Exercicios Resolvidos De Física

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LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a` s 4:17 Exerc´ıcios Resolvidos de Teoria Eletromagn´etica Jason Alfredo Carlson Gallas Professor Titular de F´ısica Te´orica Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a PRIMEIRA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas clicando-se em ‘ENSINO’ Conte´udo 24 Campo El´etrico 24.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . 24.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . 24.2.1 Linhas de campo el´etrico . 24.2.2 O campo el´etrico criado uma carga puntiforme . . . . . . . . . . . por . . . 2 2 2 2 3 24.2.3 O campo criado por um dipolo el´etrico . . . . . . . . . . . . . 24.2.4 O campo criado por uma linha de cargas . . . . . . . . . . . . 24.2.5 O campo el´etrico criado por um disco carregado . . . . . . . . . 24.2.6 Carga puntiforme num campo el´etrico . . . . . . . . . . . . . 24.2.7 Um dipolo num campo el´etrico . Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 5 7 9 9 13 jgallas @ if.ufrgs.br (lista1.tex) P´agina 1 de 13 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 Campo El´etrico 24.1 Quest˜oes 30 de Junho de 2004, a` s 4:17
Sem atrito, na situac¸a˜ o inicial mostrada na Figura 2417a, o movimento do dipolo el´etrico ser´a peri´odico e oscilat´orio em torno do eixo e em torno da posic¸a˜ o de alinhamento de  com  . Q 24-3 extra. Uma bola carregada positivamente est´a suspensa por um longo fio de seda. Desejamos determinar  num ponto situado no mesmo plano horizontal da bola. Para isso, colocamos uma carga de prova positiva  neste ponto e medimos  . A raz˜ao  ser´a menor, igual ou maior do que  no ponto em quest˜ao?
Quando a carga de prova e´ colocada no ponto em quest˜ao, ela repele a bola que atinge o equil´ıbrio numa posic¸a˜ o em que o fio de suspens˜ao fica numa direc¸a˜ o ligeiramente afastada da vertical. Portanto, a distˆancia entre o centro da esfera e a carga de prova passa a ser Q 24-3. maior que do que a distˆancia antes do equil´ıbrio. Donde se conclui que o campo el´etrico no ponto considerado As linhas de forc¸a de um campo el´etrico nunca se cru(antes de colocar a carga de prova) e´ maior do que o zam. Por quˆe? valor  medido por meio da referida carga de prova.
Se as linhas de forc¸a pudessem se cruzar, nos pontos de cruzamento ter´ıamos duas tangentes diferentes, uma para cada linha que se cruza. Em outras palavras, em tal ponto do espac¸o ter´ıamos dois valores diferentes do campo el´etrico, o que e´ absurdo. Q 24-2. Usamos uma carga teste positiva para estudar os campos el´etricos. Poder´ıamos ter usado uma carga negativa? Porque?
N˜ao. Tal uso seria extremamente anti-natural e inconveniente pois, para comec¸ar, ter´ıamos o  e  apontando em direc¸o˜ es diferentes.  Tecnicamente, poder´ıamos usar cargas negativas sim. Mas isto nos obrigaria a reformular v´arios conceitos e ferramentas utilizadas na eletrost´atica. 24.2 Problemas e Exerc´ıcios Q 24-5. Uma carga puntiforme  de massa  e´ colocada em repouso num campo n˜ao uniforme. Ser´a que ela seguir´a, necessariamente, a linha de forc¸a que passa pelo ponto em que foi abandonada?
N˜ao. A forc¸a el´etrica sempre coincidir´a com a direc¸a˜ o tangente a` linha de forc¸a. A forc¸a el´etrica, em cada ponto onde se encontra a carga, e´ dada por  , onde  e´ o vetor campo el´etrico no ponto onde se encontra a carga. Como a carga parte do repouso, a direc¸a˜ o de sua acelerac¸a˜ o inicial e´ dada pela direc¸a˜ o do campo el´etrico no ponto inicial. Se o campo el´etrico for uniforme (ou radial), a trajet´oria da carga deve coincidir com a direc¸a˜ o da linha de forc¸a. Entretanto, para um campo el´etrico n˜ao uniforme (nem radial), a trajet´oria da carga n˜ao precisa coincidir necessariamente com a direc¸a˜ o da linha de forc¸a. Sempre coincidir´a, por´em, com a direc¸a˜ o tangente a` linha de forc¸a. 24.2.1 Linhas de campo el´etrico E 24-3. Trˆes cargas est˜ao dispostas num triˆangulo equil´atero, como mostra a Fig. 24-22. Esboce as linhas de forc¸a devidas a` s cargas  e  e, a partir delas, determine a direc¸a˜ o e o sentido da forc¸a que atua sobre  , devido a` presenc¸a das outras duas cargas. (Sugest˜ao: Veja a Fig. 24-5)
Chamando-se de de  e  as forc¸as na carga  devidas a` s cargas  e  , respectivamente, podemos ver que, em m´odulo,  pois as distˆancias bem como o produto das cargas (em m´odulo) s˜ao os mesmos.  "!  # $ As componentes verticais de   e   se cancelam. As componentes horizontais se reforc¸am, apontando da esQ 24-20. querda para a direita. Portanto a forc¸a resultante e´ horizontal com m´odulo igual a Um dipolo el´etrico e´ colocado em repouso em um campo el´etrico uniforme, como nos mostra a Figura 24-17a,  % '&)(+*, - . /& (0*, - ! #  $ pg. 30, sendo solto a seguir. Discuta seu movimento. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 2 de 13 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a` s 4:17 = = 69 $ M 6ON $ P $ QCD2E 0R T C$ M7$ S CD2E F  E 24-5. Esboce qualitativamente as linhas do campo el´etrico para um disco circular fino, de raio 1 , uniformemente carregado. (Sugest˜ao: Considere como casos limites pontos muito pr´oximos ao disco, onde o campo el´etrico e´ perpendicular a` superf´ıcie, e pontos muito afastados do disco, onde o campo el´etrico e´ igual ao de uma carga puntiforme.)
Em pontos muito pr´oximos da superf´ıcie do disco, para distˆancias muito menores do que o raio 1 do disco, as linhas de forc¸a s˜ao semelhantes a` s linhas de forc¸a de um plano infinito com uma distribuic¸a˜ o de cargas uniforme. Como a carga total  do disco e´ finita, a uma distˆancia muito grande do disco, as linhas de forc¸a tendem a se confundir com as linhas de forc¸a de uma carga puntiforme  . Na figura abaixo, esboc¸amos apenas as linhas de forc¸a da parte superior do disco e consideramos uma distribuic¸a˜ o de cargas positivas.  E 24-10. Duas cargas puntiformes de m´odulos   "N $ UC52> FJV C e   W $ M CD2E FYX C est˜ao separadas por uma distˆancia de 2KN cm. (a) Qual o m´odulo do campo el´etrico que cada carga produz no local da outra? (b) Que forc¸a el´etrica atua sobre cada uma delas?
(a) O m´odulo do campo sobre cada carga e´ diferente, pois o valor da carga e´ diferente em cada ponto. Z! ! > <    <   P = N $ [CD2E FJV 6 $ [CD2E R = 96 $ 2KN  2 $ N M CD2E 0\ N/C ]  P = W $^M CD2E FJX 6 $ [CD2E R = 69 $ 2KN  $^M CD2E 0\ N/C $   (b) O m´odulo da forc¸a sobre cada carga e´ o mesmo. Pe-+_ la lei de Newton (ac¸a˜ o e reac¸a˜ o):  H`a  b e, portanto, H"c> d    = = F X e6 2 $ N M CD2E \ 69W ^$ M CD2E J  N$ 2 $ QCD2E F   24.2.2 O campo el´etrico criado por uma carga punNote que como n˜ao sabemos os sinais das cargas, n˜ao tiforme podemos determinar o sentido dos vetores. E 24-7. Qual deve ser o m´odulo de uma carga puntiforme escolhida de modo a criar um campo el´etrico de 2 $ N/C em pontos a 2 m de distˆancia?
Da definic¸a˜ o de campo el´etrico, Eq. 24-3, sabemos >= que 3457698 )< . Portanto, ,;:  H = %?6@8 " $ 2B202 nC $ A< 32 $ 2B2CD2E GF ,;: E 24-9.
Como a magnitude do campo el´etrico produzido por K= uma carga puntiforme  e´ 3"B76@8 '< , temos que ,JI  L 8 '<  ,JI http://www.if.ufrgs.br/ jgallas E 24-11. Duas cargas iguais e de sinais opostos (de m´odulo N $ fC.2> FYV C) s˜ao mantidas a uma distˆancia de 2 M cm uma da outra. (a) Quais s˜ao o m´odulo, a direc¸a˜ o e o sentido de E no ponto situado a meia distˆancia entre as cargas? (b) Que forc¸a (m´odulo, direc¸a˜ o e sentido) atuaria sobre um el´etron colocado nesse ponto?
(a) Como o m´odulo das cargas e´ o mesmo, estando elas igualmente distantes do ponto em quest˜ao, o m´odulo do campo devido a cada carga e´ o mesmo.      = 69g7N   ! 6   - P F V = N $ [Ch2> J Ch2> R = 69 $ 2 M N  $ NiCD2E 0\ N/C $ P´agina 3 de 13 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS Portanto, o campo total e´ = jJkHl m.NG6 $ NQCD2> \  30 de Junho de 2004, a` s 4:17 Para que o campo se anule, devemos ter SG$ 8[Ch2> \   N/C ]  w  na direc¸a˜ o da carga negativa  . >  = 6@w{Dg  $ A raiz f´ısica (das duas ra´ızes poss´ıveis) e´ obtida (b) Como o el´etron tem carga negativa, a forc¸a sobre ele considerando-se a raiz quadrada positiva de ambos latem sentido oposto ao do campo. O m´odulo da forc¸a e´ dos da equac¸a˜ o acima. Isto fornece-nos | |    el´etron  jYkel >   =    el´etron 69  n  = w @ 6 y w }  g $  = =  6e2 $ S Ch2> F R 6 So$ 8pCD2E \ N, eq  2 $ iCD2E F N Resolvendo agora para w obtemos | | no sentido da carga positiva.   8+> | wf~ | g g  ~ | |     7€ 80> > € E 24-12. N
 ~ g Como a carga est´a uniformemente distribuida na esN‚2ƒ€ fera, o campo el´etrico na superf´ıcie e´ o mesmo que que  Ng ter´ıamos se a carga estivesse toda no centro. Isto e´ , a magnitude do campo e´ =  NG6O $^M cm  % ] 8 /1  ,JI  2E 0 cm $ onde  e´ a magnitude da carga total e 1 e´ o raio da esfera. O ponto v est´a a M cm a` direita de K . A magnitude da carga total e´ rs , de modo que    8  P ,JI rs 1  = P =  = 6 Ch2> R 6 8 6e2 $ S h C 2> F R  So$ S 8iCD2E F \ b N/C $ $ utQCh2> P 24-21. Determine o m´odulo, a direc¸a˜ o e o sentido do campo el´etrico no ponto v da Fig. 24-30. P 24-17.
Desenhe sobre uma linha reta dois pontos,   e > , separados por uma distˆancia g , com   a` esquerda de > . Para pontos entre as duas cargas os campos el´etricos individuais apontam na mesma direc¸a˜ o n˜ao podendo, portanto, cancelarem-se. A carga E tem maior magnitude que   , de modo que um ponto onde o campo seja nulo deve estar mais perto de   do que de   . Portanto, deve estar localizado a` direita de   , digamos em ponto v . Escolhendo   como a origem do sistema de coordenadas, chame de w a distˆancia de   at´e o ponto v , o ponto onde o campo anula-se. Com estas vari´aveis, a magnitude total do campo el´etrico em v e´ dada por x   2 K 3  ] =  8 69wyDg oz w ,JI onde   e > representam as magnitudes das cargas. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
A soma dos campos devidos as duas cargas  e´ nula pois no ponto v os campos tem m´odulos coincidentes por´em sentidos opostos. Assim sendo, o campo resultante em v deve-se unica e exclusivamente a` carga NB , perpendicular a` diagonal que passa pelas duas cargas  , apontado para ‘fora’ da carga NB . O m´odulo do campo e´ %! N _ „  =  ! 6  80 #   2 ,;:  # ;  $ P 24-22 P´agina 4 de 13 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a` s 4:17 Qual o m´odulo, a direc¸a˜ o e o sentido do campo el´etrico O aˆ ngulo que tal campo faz com o eixo dos w e´ no centro do quadrado da Fig. 24-31, sabendo que y    ˆ 2 $ [CD2E FJX C e #  M cm.  ŽB‘ F  †  =  ŽB‘'F 6H2  8 M k $ Tal aˆ ngulo aponta do centro do quadrado para cima, dirigido para o centro do lado superior do quadrado.
Escolhamos um sistema de coordenadas no qual o ei- 24.2.3 O campo criado por um dipolo el´etrico xo w passe pelas cargas  e N , e o eixo … passe pelas cargas  e N . E 24-23. No centro do quadrado, os campos produzidos pelas cargas negativas est˜ao ambos sobre o eixo w , e ca- Determine o momento de dipolo el´etrico constitu´ıdo por da um deles aponta do centro em direc¸a˜ o a carga que um el´etron e um pr´oton separados por uma distˆancia de lhe da| origem. Como cada carga esta a uma distˆancia 8 $ nm. | # # g{ NBBNi  N do centro, o campo l´ıquido resul-
O m´odulo da carga das duas part´ıculas e´ ’2 $ S C tante devidos as duas cargas negativas e´  2> F R C. Portanto, temos aqui um belo exemplo de x exerc´ıcio de multiplicac¸a˜ o: 2 NB  †   #  #  z 8 BN BN  = =  g ,JI  6H2 $ S CD2E F R 6@8 $ CD2E F R 2     SG$ WBWiCh2> F X C m $ 8 #  BN ,JI P = 2 $ QCD2E X  6 CD2E R = E 24-25 69 $ M  BN P Na Fig. 24-8, suponha que ambas as cargas sejam posi t $ 2 CD2E ‡ N/C $ tivas. Mostre que  no ponto v , considerando “5”•g , e´ No centro do quadrado, os campos produzidos pelas car- dado por: 2 N gas positivas est˜ao ambos sobre o eixo … , apontando do 3 8 “ ;$ centro para fora, afastando-se da carga que lhe da ori,;: gem. O campo l´ıquido produzido no centro pelas cargas
Usando o princ´ıpio de superposic¸a˜ o e dois termos da positivas e´ expans˜ao x NB 2  - q =  – ˆ‰  #  #  6e2`w F 2Z`NwQ w D8Bw ‡  $E$ $ ] 8 BN BN z ,JI 2  v´alida quando — w—7˜™2 , obtemos  8 #  N x ,JI 2   P   =  =  t $ 2 Ch2> ‡ N/C $ 8 6O“A}guBN 69“.g7N  z ,;: š 2  xcš g F  g F  Portanto, a magnitude do campo e´  2Z  2  z 8 “ N“› N“/› ,;: x 2  g =   Š  †  n ˆ  ~ 2Z}No6H   $E$ $  8 “ N“ € ,;: g P = = œ~B2Z}No6  $E$ $ z  ‹ NG6Œt $ 2 Ch2> ‡  N“ € 2 N   2 $ 0NQCD2E 0\ N/C $ 8 “  $ ,;: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 5 de 13 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a` s 4:17 O vetor  aponta para baixo. E 24-26. Calcule o campo el´etrico (m´odulo, direc¸a˜ o e sentido) 24-27 ª devido a um dipolo el´etrico em um ponto v localizado a uma distˆancia “”žg sobre a mediatriz do segmento Quadrupolo el´etrico. A figura abaixo mostra um quaque une as cargas (Figura 24-32). Expresse sua resposta drupolo el´etrico t´ıpico. em termos de momento de dipolo p.
Obt´em-se o campo  resultante no ponto v somandose vetorialmente  3  Ÿ   F $ A magnitude dos vetores e´ dada por: Ele e´ constitu´ıdo por dois dipolos cujos efeitos em pontos externos n˜ao chegam a se anular completamente.  Ÿ  ! F Mostre que o valor de  no eixo do quadrupolo, para pontos a uma distˆancia “ do seu centro (supor “5”«g ), e´ As soma das componentes sobre a mediatriz se candado por: celam enquanto as componentes perpendiculares a ela  somam-se. Portanto, chamando-se o aˆ ngulo entre o  eixo do dipolo e a direc¸a˜ o de Ÿ (ou de  ), segue 3   ] F 8 >“ ‡  ,;: 3NB Ÿ &)(+* ] onde p6¬"NBg >= e´ chamado de momento de quadrupolo onde, da figura, da distribuic¸a˜ o de cargas.  < .  g  8 $ & (0*   guBN $   g  8 ‹ < n Com isto segue  N!    !  <  ng  8 g7N   g  K8 ‹ < n
A distˆancia entre o ponto v e as duas cargas positivas s˜ao dadas por 6O“p¥g = e 69“[g = . A distˆancia entre v e as cargas negativas s˜ao iguais a “ . De acordo com o princ´ıpio de superposic¸a˜ o, encontramos: g = 6@<  .  g  8 q ¡ !  g  ¢ = =¤£ @6 <  qc¡T 2ng  796 8B<  qc¡ $ x 2 2 N =  =  69“A}g  96 “ ng  “  z ,;: x  2 2  N z =  = `  8 E“ 6H2Z}gu“ 6e2.g7“  ,;:    8  Expandindo em s´erie como feito no livro-texto, para o Como o problema nos diz que <¥”¦g , podemos des- caso do dipolo [ver Apˆendice G],  E= prezar o termo g 7698B< no u´ ltimo denominador acima, - q =  – 6e2`w F 2Z`NwQ w D8Bwo‡¨ $E$ $ ] obtendo para o m´odulo do campo o valor 3! g < q$ Em termos do momento de dipolo — §¨—©g , uma vez que  e § tem sentidos opostos, temos ™%! § < q $ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas v´alida quando — w—7˜™2 , obtemos   8  ,;: xcš >“  2 -  NBg g   “ “  š N g   2Z  “ $ $E$ › -  g  “  $ $E$ › `N z ] P´agina 6 de 13 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS de onde se conclui que, considerando-se os termos at´e a segunda ordem, inclusive, temos x g    S 3  ]   z 8 “ 8 “ “ ‡ ,;: ,;: onde o momento de quadrupolo e´ definido como ­  Ng $ Em contraste com a derivac¸a˜ o apresentada no livrotexto, observe que aqui foi necess´ario usarmos o termo quadr´atico na expans˜ao em s´erie, uma vez que a contribuic¸a˜ o devida ao termo linear era nula. 30 de Junho de 2004, a` s 4:17 direc¸a˜ o ao ponto de equil´ıbrio “« . Al´em disto, a magnitude da forc¸a e´ proporcional a “ , com uma conqE= tante de proporcionalidade ´°%sKB7698 , como se 1 ,;: o el´etron estivesse conectado a uma mola. Ao longo do eixo, portanto, o el´etron move-se num movimento harmˆonico simples, com uma freq¨ueˆ ncia angular dada por (reveja o Cap. 14, caso necess´ario) ® ´ sK  ¯ %¯ ]  8 °1 q ,;: onde  representa a massa do el´etron. P 24-31. 24.2.4 O campo criado por uma linha de cargas P 24-30. Um el´etron tem seu movimento restrito ao eixo do anel de cargas de raio 1 discutido na sec¸a˜ o 24-6. Mostre que a forc¸a eletrost´atica sobre o el´etron pode fazˆe-lo oscilar atrav´es do centro do anel, com uma freq¨ueˆ ncia angular dada por: ® s> 3¯ 8 °1 q'$ ,;:
Como visto no livro-texto, a magnitude do campo el´etrico num ponto localizado sobre o eixo de um anel homogeneamente carregado, a uma distˆancia “ do centro do anel, e´ dado por (Eq. 24-19): % “ ] =  “  q¡ 6O1  . 8 ,;: onde  e´ a carga sobre o anel e 1 e´ o raio do anel. Para que possa haver oscilac¸a˜ o a carga  sobre o anel deve ser necessariamente positiva. Para uma carga  positiva, o campo aponta para cima na parte superior do anel e para baixo na parte inferior do anel. Se tomarmos a direc¸a˜ o para cima como sendo a direc¸a˜ o positiva, ent˜ao a forc¸a que atua num el´etron sobre o eixo do anel e´ dada por ±3s±3 8 Na Fig. 24-34, duas barras finas de pl´astico, uma de carga  e a outra de carga  , formam um c´ırculo de raio 1 num plano wo… . Um eixo w passa pelos pontos que unem as duas barras e a carga em cada uma delas est´a uniformemente distribu´ıda. Qual o m´odulo, a direc¸a˜ o e o sentido do campo el´etrico  criado no centro do c´ırculo?
Por simetria, cada uma das barras produz o mesmo campo el´etrico µ que aponta no eixo  … no centro do c´ırculo. Portanto o campo total e´ dado por  &)(+* ""NBZ Œ¶· NT¶¹¸ g+ 8 >1  ; , :   Ÿ;º ¡ 1Dg &)(+*  NT¶ ¸ >1  1 º ¡ 8 F ,;: , 2 80 ¶  ~ 8 1  € $ ,;: , P 24-32. Uma barra fina de vidro e´ encurvada na forma de um semic´ırculo de raio < . Uma carga  est´a distribu´ıda uniformemente ao longo da metade superior, e uma carga  , distribu´ıda uniformemente ao longo da metade inferior, como mostra a Fig. 24-35. Determine o campo el´etrico E no ponto v , o centro do semic´ırculo. sK“ ] = B6O1  .“  qc¡ ,;: onde s representa a magnitude da carga do el´etron. Para oscilac¸o˜ es de pequena amplitude, para as quais vale “™²‰1 , podemos desprezar “ no denominador da express˜ao da forc¸a, obtendo ent˜ao, nesta aproximac¸a˜ o, %± 8 sK “5³3´U“ $ >1 q , : ; Desta express˜ao reconhecemos ser a forc¸a sobre o el´etron uma forc¸a restauradora: ela puxa o el´etron em http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Para a metade superior: g+ Ÿ ! g+ g ¼  < "!"» <  P´agina 7 de 13 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a` s 4:17  =   Ÿ   apononde ™5G6ON F R C P´agina 9 de 13 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS A forc¸a aponta para baixo e a carga e´ negativa. Logo, o campo aponta de baixo para cima. (b) O m´odulo da forc¸a eletrost´etica Í exercida sobre o pr´oton e´ 30 de Junho de 2004, a` s 4:17 E 24-46. Uma arma de defesa que est´a sendo considerado pela Iniciativa de Defesa Estrat´egica (“Guerra nas Estrelas”) usa feixes de part´ıculas. Por exemplo, um feixe  de pr´otons, atingindo um m´ıssil inimigo, poderia inu Í 34N $ 80 iCD2E 7F Ì N $ tiliz´a-lo. Tais feixes podem ser produzidos em “caComo o pr´oton tem carga positiva, a forc¸a sobre ele ter´a nh˜oes”, utilizando-se campos el´etricos para acelerar as part´ıculas carregadas. (a) Que acelerac¸a˜ o sofreria um a mesma direc¸a˜ o do campo: de baixo para cima. pr´oton se o campo el´etrico no canh˜ao fosse de N $ Cy2E ‡ (c) A forc¸a gravitacional exercida sobre o pr´oton e´ N/C. (b) Que velocidade o pr´oton atingiria se o campo atuasse durante uma distˆancia de 2 cm?  = P = Î{Ï  6H2 $ S t½CD2E F V 6 $ W
 (a) Usando a segunda lei de Newton encontramos:  2 $ S 8[CD2E F Ì N ] #  apontando de cima para baixo.    sK  P  H 32 $ Q N CD2E m/s $ (d) A raz˜ao entre as magnitudes das forc¸as el´etrica e gra(b) Usando a Eq. 15 do Cap. 2, encontramos: vitacional e´  Í H P = 32 $ 8 S Ch2> $ Ñi?‹ N # 69wphwƒ 32 S km/s $ Î Portanto, vemos que o peso /Î do pr´oton pode ser  ´ E preciso lembrar-se das f´ormulas aprendidas no curcompletamente ignorado em comparac¸a˜ o com a forc¸a so de Mecˆanica Cl´assica (F´ısica I). el´etrost´atica exercida sobre o pr´oton. E 24-47. E 24-45. (a) Qual e´ a acelerac¸a˜ o de um el´etron num campo el´etrico uniforme de 2 $ 8¹CÐ2> Ì N/C? (b) Quanto tempo leva para o el´etron, partindo do repouso, atingir um d´ecimo da velocidade da luz? (c) Que distˆancia ele percorre? Suponha v´alida a mecˆanica Newtoniana.
(a) Usando a lei de Newton obtemos para o m´odulo da acelerac¸a˜ o:  #   Í  sK  = = 6e2 $ S h C 2> F R 6H2 $ 8pCD2E Ì P c q  $ 2ACh2> F   N $ 8 S CD2E V m/s $   Í  (b) Partindo-se do repouso (i.e. com Ñ  ) e usando a equac¸a˜ o ÑiÑ  #+Ò obtemos facilmente que Ch2> X 72E Ò  Ó 72E  # N $ 8 S CD2E  V $ 2KNBN5Ch2> F R s $  (c) A distˆancia percorrida e´ gi N 2 #+Ò  2   N 2 $W Ch2> F #  q m$ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Ks  °Í    = q = 6H2 $ S D C 2E F R 6H2 $ [CD2E P b q  $ 2ACD2E F   2 $ t S Ch2> ‡ m/s $ Portanto, usando o fato que Ñ  ©Ñ  N # 6@w¥wƒ = e definindo gQwyDwo temos, para a distˆancia viajada: gi  = = 6ON $ 8 S CD2E V 96 $ 2KNBNQCD2E F R - Um el´etron com uma velocidade escalar de M7$ œCÐ2E X cm/s entra num campo el´etrico de m´odulo 2 $ DC"2E q N/C, movendo-se paralelamente ao campo no sentido que retarda seu movimento. (a) Que distˆancia o el´etron percorrer´a no campo antes de alcanc¸ar (momentaneamente) o repouso? (b) Quanto tempo levar´a para isso? (c) Se, em vez disso, a regi˜ao do campo se estendesse somente por W mm (distˆancia muito pequena para parar o el´etron), que frac¸a˜ o da energia cin´etica inicial do el´etron seria perdida nessa regi˜ao?
(a) Primeiro, calculemos a acelerac¸a˜ o do el´etron devida ao campo:  Ñ  # N =e 6 M7$ [Ch2> Ì  = "t $ 2KNQCh2> F m $  NZ6H2 $ t S Ch2> ‡ (b) Usando o fato que ÑiÑ  #0Ò e que Ñp , temos Ò  Ñ #  M7$ iCh2> Ì 4NW 8+ 5CD2E F R s $ $ 2 $ t S Ch2>  ‡ P´agina 10 de 13 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a` s 4:17 (c) Basta determinar a velocidade do el´etron quando o e, portanto,Û campo terminar. Para tanto, usamos Ñ  Ñ  N #7Ô ,   W $ +N S Ch2> F R C onde Ô W[CD2E F q m e´ a extens˜ao do campo.   M ]  s 2 $ S Ch2> F  R C   7 # Ô Ñ  Ñ ‚N  = q = = ou seja, A M s .  6 M7$ [CD2E Ì `NZ6e2 $ t S Ch2> ‡ 6OW[Ch2> F e  m/s $  NBN $ NQC}2E P 24-54. Portanto, a frac¸a˜ o da energia cin´etica perdida e´ dada por Duas grandes placas de cobre, paralelas, est˜ao separadas   !`! Ñ DÑ N0N $ N`N M por M cm e entre elas existe um campo el´etrico uniforme   3 $ 2B2KN  como e´ mostrado na Fig. 24-39. Um el´etron e´ libera!p Ñ N M do da placa negativa ao mesmo tempo que um pr´oton e´ ou seja, perde 202 $ N0Õ da sua energia cin´etica. liberado da placa positiva. Despreze a forc¸a que existe Se voce gosta de trabalhar mais, pode calcular as ener- entre as part´ıculas e determine a distˆancia de cada uma gias explicitamente e determinar o mesmo percentual. delas at´e a placa positiva no momento em que elas pasA energia cin´etica ! perdida e´ dada por sam uma pela outra. (n˜ao e´ preciso conhecer o m´odulo do campo el´etrico para resolver este problema. Isso lhe 2 2 P  qc = e = !Ö œÍcÑ  6 $ 2ACh2> F 6ON0N $ NiCh2> causa alguma surpresa?) N N 
 2 $ o2CD2E F V J $ A acelerac¸a˜ o do pr´oton e´ #BÜ sKQK Ü e a acelerac¸a˜ o do el´etron e´ # ͽ s>iKœÍ , onde  e´ a magnitude do A energia cin´etica inicial ! era campo el´etrico e  Ü e °Í representam as massas do 2 2 P  qb = pr´oton e do el´etron, respectivamente. = !p  œÍcÑ  6 $ 2ACh2> F 6 MG$ [CD2E Ì N N Consideremos a origem de referˆencia como sendo na posic¸a˜ o inicial do pr´oton na placa a` esquerda. Assim   2 $ 2 WiCh2> F V J $ sendo, a coordenada do pr´oton num instante Ò qualquer e´ dada por w Ü  #BÜKÒ  N enquanto que a coordenada do el´etron e´ wYÍ%Þݱ # Í Ò  N . As part´ıculas pasE 24-49. sam uma pela outra quando suas coordenadas coinciNa experiˆencia de Milikan, uma gota de raio 2 $ S 8 × m e dem, w Ü ?wYÍ , ou seja, quando #BÜKÒ  N{ÄÝ` # Í Ò  BN . de densidade $ W M 2 g/cm q fica suspensa na cˆamara infe- Isto ocorre quando Ò  "NBÝU76 #BÜ  # Í = , que nos fornece rior quando o campo el´etrico aplicado tem m´odulo igual P #Ü a 2 $ NC°2E \ N/C. Determine a carga da gota em termos w Ü  Ý # Ü de s .  # Í
Para a gota estar em equil´ıbrio e´ necess´ario que a sKQ Ü Ý  forc¸a gravitacional (peso) esteja contrabalanc¸ada pela s>iK Ü .sKQ Í forc¸a eletrost´atica associada ao campo el´etrico, ou se°Í  Ý ja, e´ preciso ter-se {Ïp , onde  e´ a massa da gota,  Í . Ü  e´ a carga sobre a gota e  e´ a magnitude do campo P qb = $ 202CD2E F el´etrico no qual a gota est´a imersa. A massa da gota e´  P - = q c q   6O $ M m B 2  2 h C > 2   2 5 t D C E 2 F F V dada por Ö±Ø}Ù{Ú698  < Ù , onde < e´ seu raio e Ù $ $S , e´ a sua densidade de massa. Com isto tudo, temos  N $ t½CD2E F \ m fÏ q  N $ t½CD2E F cm $ ‰  q Portanto, enquanto o el´etron percorre os M cm entre as 8 < Ù0Ï  ,placas, o pr´oton mal conseguiu mover-se!  =eq q = P E= 6H2 $ S 8iCD2E FYÌ m 6OW M 2 kg/m 6 $ W m/s P = 6H2 $ N½D C 2E \ N/C R F C] W $ iCD2E 8   , http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P 24-55.  (a) Suponha que o pˆendulo fac¸a um aˆ ngulo com a vertical. Desenhado-se o diagrama de forc¸as temos {Ï
P´agina 11 de 13 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a` s 4:17  para baixo, a tens˜ao no fio, fazendo um aˆ ngulo para a esquerda do vetor  , que aponta para cima j´a que a carga e´ positiva. Consideremos o aˆ ngulo assim definido como sendo positivo. Ent˜ao o torque sobre a esfera em torno do ponto onde o fio esta amarrado a` placa superior e´ ß %½69{Ï5} = ¼ sen  $ Na Fig. 24-41, um campo el´etrico  , de m´odulo NZCp2> q N/C, apontando para cima, e´ estabelecido entre duas placas horizontais, carregando-se a placa inferior positivamente e a placa superior negativamente. As placas tˆem comprimento ÝÚ•2E cm e separac¸a˜ o gn©N cm. Um el´etron e´ , ent˜ao, lanc¸ado entre as placas a partir da extremidade esquerda da placa inferior. A velocidade inicial tem um m´odulo de S C‚2E Ì m/s. (a) Atingir´a o el´etron uma das placas? (b) Sendo assim, qual delas e a Se {Ï.àÚ , ent˜ao o torque e´ um torque restaurador: que distˆancia horizontal a partir da extremidade esquerele tende a empurrar o pˆendulo de volta a sua posic¸a˜ o de da? equil´ıbrio.  Se a amplitude  de oscilac¸a˜ o e´ pequena, sen pode ser
Considere a origem como sendo o ponto em que o substituido por em radianos, sendo ent˜ao o torque da- el´etron e´ projetado para o interior do campo. Seja Bw o do por eixo horizontal e B… o eixo vertical indicado na Fig. ???36. Oriente w da esquerda para a direita e B… de baixo  ß %½69{ÏQD = ¼ $ para cima, como a carga do el´etron e´ negativa, a forc¸a el´etrica est´a orientada de cima para baixo (no sentido O torque e´ proporcional ao deslocamento angular e o oposto ao sentido do campo el´etrico). A acelerac¸a˜ o do pˆendulo move-se num movimento harmˆonico simples. el´etron e´ dada por Sua freq¨ueˆ ncia angular e´ ® = #    s>  - 2 - CD2E  ‡ m/s 3‹ 6@fÏ5} ¼>áo] $^M $   onde á e´ o momento de in´ercia rotacional do pˆendulo. Para saber se o el´etron atinge ou n˜ao a placa superior, Como para um pˆendulo simples sabemos que ái{¼  , devemos calcular inicialmente o tempo Ò necess´ario pasegue que ra que ele atinja a altura …œ3 $ +N m da placa superior. ® Podemos escrever a seguinte relac¸a˜ o: = @ 6 f  5 Ï D     ¼ ¯  #+Ò  f¼   = …[%69Ñ sen Ò  N $ ¯ Ï5DiK   ¼ Temos: Ñ sen ­6 SG$ ’Cn2E Ì = sen8 M æ8 $ N8°Cn2E Ì m/s. Substituindo os valores adequados na relac¸a˜ o antee o per´ıodo e´ â rior e resolvendo a equac¸a˜ o do segundo grau em Ò , encontramos: N® ¼  , 4N $ ,äã Ï5}QK Quando  àåfÏ o torque n˜ao e´ restaurador e o pˆendulo n˜ao oscila. (b) A forc¸a do campo el´etrico est´a agora para baixo e o torque sobre o pˆendulo e´ ß 3½6@fÏ. = ¼  se o deslocamento for pequeno. O per´ıodo de oscilac¸a˜ o â e´ 4N ,äã ¼ Ï‚QK Ò   Ò So$ 8uN iCh2> F R s e  %2 $ t0tK8[CD2E FJX s $ O menor valor de Ò e´ o que nos interessa (o outro corresponde ao trecho descendente da trajet´oria). Neste intervalo de tempo Ò  o el´etron se deslocou uma distˆancia w dada por w’36@Ñ &)(0*  =Ò ç   $ = = 6@8 $ N8pCh2> Ì 6 SG$ 8+NB iCh2> F R $ 0N+tN m $ N $ t N cm $ Como N $ tBN™˜è2E cm, concluimos que: (a) o el´etron atinge a placa superior, e, (b) num ponto situado a N $ tBN cm da extremidade esquerda da placa superior. P 24-56. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 12 de 13 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24.2.7 Um dipolo num campo el´etrico P 24-60. Determine a freq¨ueˆ ncia de oscilac¸a˜ o de um dipolo el´etrico, de momento de dipolo  e momento de in´ercia á , para pequenas amplitudes de oscilac¸a˜ o, em torno de sua posic¸a˜ o de equil´ıbrio, num campo el´etrico uniforme de m´odulo  .
A magnitude do torque que atua no dipolo el´etrico e´  dada por ß    sen , onde  e´ a magnitude do mo- 30 de Junho de 2004, a` s 4:17  Se e´ positivo o torque e´ negativo e vice-versa: ß      sen . Quando a amplitude do movimento e´ pequena, pode mos substituir sen por em radianos. Neste caso, ß é    . Como a magnitude do torque e´ proporcional ao aˆ ngulo de rotac¸a˜ o, o dipolo oscila num movimento harmˆonico simples, de modo an´alogo a um pˆendulo de tors˜ao com constante de tors˜ao êD   . A freq¨ueˆ ncia angular e´ dada por ®   ê    ] á á mento de dipolo,  e´ a magnitude do campo el´etrico onde á e´ o momento de in´ercia rotacional do dipolo.  e e´ o aˆ ngulo entre o momento de dipolo e o campo Portanto, a freq¨ueˆ ncia de oscilac¸a˜ o e´ ® el´etrico. O torque e´ sempre ‘restaurador’: ele sempre tende agi2 ¯   ë   rar o momento de dipolo em direc¸a˜ o ao campo el´etrico. N N á $ , , http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´agina 13 de 13