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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
2 de Dezembro de 2004, a` s 13:07
Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜ o conforme a quarta edic¸a˜ o do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conte´udo 11
˜ ROTAC ¸ AO
2
11.1 Question´ario . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Exerc´ıcios e Problemas . . . . . . . . . 11.3 Problemas Adicionais . . . . . . . . . .
Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para
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˜ 11 ROTAC¸AO
acelerac¸a˜ o angular constante, o ponto tem acelerac¸a˜ o radial? Tem acelerac¸a˜ o tangencial? Os m´odulos dessas acelerac¸o˜ es variam com o tempo?
11.1 Question´ario
$#%&
Sim, a acelerac¸a˜ o radial e´ . A acelerac¸a˜ o tangencial e´ nula nesse caso. Girando com acelerac¸a˜ o Q11-3. angular constante, o ponto da borda tem acelerac¸a˜ o raO vetor que representa a velocidade angular de rotac¸a˜ o dial e acelerac¸a˜ o tangencial , de uma roda em torno de um eixo fixo tem de estar ne- constante. cessariamente sobre este eixo?
$#(') +*,-') +*
.&
Sim, o vetor velocidade angular define o eixo de Q11-15. rotac¸a˜ o. Mesmo quando o eixo n˜ao e´ fixo, o vetor est´a dirigido ao longo desse eixo, como no caso do movi- Qual a relac¸a˜ o entre as velocidades angulares de um par mento de um pi˜ao. A velocidade angular de precess˜ao de engrenagens acopladas, de raios diferentes? tamb´em e´ um vetor dirigido ao longo da direc¸a˜ o em Pontos da borda das engrenagens tem a mesma velotorno da qual o eixo do pi˜ao precessiona. cidade linear: . Assim, a engrenagem que tem o menor raio, tem a maior velocidade angular. Q11-8.
/
Por que e´ conveniente expressar em revoluc¸o˜ es por segundo ao quadrado na express˜ao e Q11-21. n˜ao na express˜ao ? A Fig. mostra uma barra de m, sendo metade de madeira e metade de metal, fixada por um eixo no Porque na equac¸a˜ o , e tamb´em ponto O da extremidade de madeira. Uma forc¸a F e´ s˜ao quantidades mensur´aveis em revoluc¸o˜ es e revo- aplicada ao ponto a da extremidade de metal. Na Fig. luc¸o˜ es por segundo, respectivamente. Mas na equac¸a˜ o , a barra e´ fixada por um eixo em na extremi, para se obter a acelerac¸a˜ o linear em m/s , dade de metal e a mesma forc¸a e´ aplicada ao ponto da deve ser expressa em radianos/s . extremidade de madeira. A acelerac¸a˜ o angular e´ a mesma para os dois casos? Se n˜ao, em que caso ela e´ maior?
!"
0(021 3245
0
020(163(427
Q11-9. Um corpo r´ıgido pode girar livremente em torno de um eixo fixo. E´ poss´ıvel que a acelerac¸a˜ o angular deste corpo seja diferente de zero, mesmo que a sua velocidade angular seja nula (talvez, instantaneamente)? Qual o equivalente linear desta situac¸a˜ o? Ilustre ambas as situac¸o˜ es com exemplos.
8 9
9
A densidade dos metais e´ maior do que das madeiras, tal que na situac¸a˜ o (b), o momento de in´ercia da barra em relac¸a˜ o ao ponto e´ maior do que no caso (a). Assim, pela relac¸a˜ o , vem que . As acelerac¸o˜ es angulares n˜ao s˜ao iguais nos dois casos, sendo .
<@?BADC$E?FADC/G E?BALC>M/E?FIKC
Sim. Se o corpo r´ıgido for submetido a uma desacelerac¸a˜ o, sua velocidade angular eventualmente 11.2 Exerc´ıcios e Problemas ser´a nula, e depois comec¸r´a a crscer no sentido contr´ario. O equivalente linear dessa situac¸a˜ o pode ser a de um corpo jogado verticalmente para cima; sua velocida- Sec¸a˜ o 11-2 As Vari´aveis de Rotac¸a˜ o de zera no ponto mais alto da trajet´oria e ele torna a cair. 11-6P.
ON2 QP T R S27D
Uma roda gira com uma acelerac¸a˜ o angular dada por , onde t e´ o tempo, e a e b s˜ao consImagine uma roda girando sobre o seu eixo e considere tantes. Se e´ a velocidade inicial da roda, deduza as um ponto em sua borda. O ponto tem acelerac¸a˜ o radial, equac¸o˜ es para (a) a velocidade angular e (b) o deslocaquando a roda gira com velocidade angular constan- mento angular em func¸a˜ o do tempo. te? Tem acelerac¸a˜ o tangencial? Quando ela gira com Q11-13.
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(a) Para obter a velocidade angular, basta integrar a angular do volante (em rad/s ), (b) o aˆ ngulo percorrido acelerac¸a˜ o angular dada: (em rad) at´e parar e (c) o n´umero de revoluc¸o˜ es completadas pelo volante at´e parar.
UWV U > \ [ ] Y Q[ V$XZY
(a) Sendo
^R_ ` bacR^7 P
.t3(4 rad/s, tem-se We R^ Eo
k 3(53 o4 021 324
d' +*Ee f> bacRg7 P
rad/s
1
(b) O deslocamento angular e´ obtido integrando a velo- (b) O aˆ ngulo percorrido e´ cidade angular:
e
Rk 3
Ufh U h XZY ([i ] Y Q[
t3245o
jRk5c/i l f Q 4 m ^ R 7 Na
(c) Para o n´umero de revoluc¸o˜ es
R 7 Na n') +*> f Q4 m ^ A 11-10P (11-6P/6 ) Uma roda tem oito raios de S2o cm. Est´a montada sobre um eixo fixo e gira a 3p1 4 rev/s. Vocˆe pretende atirar uma flecha de 35o cm de comprimento atrav´es da ro-
da, paralelamente ao seu eixo, sem que a flecha colida com qualquer raio. Suponha que tanto a flecha quan. (a) to os raios sejam muito finos; veja a Fig. Qual a velocidade m´ınima que a flecha deve ter? (b) A localizac¸a˜ o do ponto que vocˆe mira, entre o eixo e a borda da roda, tem importˆancia? Em caso afirmativo, qual a melhor localizac¸a˜ o?
0(021 3(q
(a) O aˆ ngulo entre dois raios consecutivos e´ tempo necess´ario para percorrˆe-lo e´
r54 sHr N top1 o24
rsHN
eo
s.
A velocidade m´ınima da flecha deve ser ent˜ao
u O v noon11 o3(o4 eN
rad.
m/s.
(b) N˜ao, se a velocidade angular permanece constante. 11-15E. O volante de um motor est´a girando a rad/s. Quando o motor e´ desligado, o volante desacelera a uma taxa constante at´e parar em s. Calcule (a) a acelerac¸a˜ o
3(4
35o
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wx 3y r t S(zn1 {2o
w
, temos
revoluc¸o˜ es
1
A
11-23P (11-16P/6 ) Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso com acelerac¸a˜ o angular constante at´e alcanc¸ar a rotac¸a˜ o de rev/s. Depois de completar revoluc¸o˜ es, sua velocidade angular e´ rev/s. Calcule (a) a acelerac¸a˜ o angular, (b) o tempo necess´ario para completar as revoluc¸o˜ es, (c) o tempo necess´ario para alcanc¸ar a velocidade angular de rev/s e (d) o n´umero de revoluc¸o˜ es desde o repouso at´e a velocidade de rev/s.
0|o
q2o
q2o
0|4
0}o
0|o
~
(a) A velocidade angular do disco aumenta de rad/s para rad/s no intervalo necess´ario para completar as revoluc¸o˜ es. Da relac¸a˜ o
0|o
0|4 / "eq2o / f 3Ej
obtemos que a acelerac¸a˜ o angular e´
|0 4 R0}o 0|324 R 3 J' 3(*')q(o* |0 3(o 021 o(N (b) O tempo necess´ario para as q(o voltas e´ 0}o
kR 0|4,0(R 1 o5N Nn1 { s. (c) O tempo at´e alcanc¸ar 0}o rad/s e´
[ 0(0}1 o5o N zn1 q3 s.
rev/s
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(d) E o n´umero de voltas dadas no intervalo e´
" 3( N2{
o
o
revoluc¸o˜ es.
(b) A moeda e´ projetada tangencilamente, seguindo uma trajet´oria retil´ınea.
Sec¸a˜ o 11-5 As Vari´aveis Lineares e Angulares 11-29E. Uma turbina com m de diˆametro est´a girando a rev/min. (a) Qual a velocidade angular da turbina em rad/s? (b) Qual a velocidade linear de um ponto na sua borda? (c) Que acelerac¸a˜ o angular constante (rev/min ) aumentar´a a sua velocidade para rev/min em s? (d) Quantas revoluc¸o˜ es completar´a durante esse intervalo de s?
0(1635o
35o2o
0}o2o(o
q2o
q(o
(a) A velocidade angular em rad/s e´
g K' 35o2o2(q *o 'K3@r* t35on1 z(N
(b) Qualquer ponto da borda da turbina move-se a` velocidade
(c) A acelerac¸a˜ o angular necess´aria e´
3(o(o {2o(o kR }0 o(o2o 20 R^ 1o
(d) O n´umero do voltas no intervalo de
R " 35 q2o(o
A turbina de um motor a vapor gira com uma velocidade angular constante de rev/min. Quando o vapor e´ desligado, o atrito nos mancais e a resistˆencia do ar param a turbina em h. (a) Qual a acelerac¸a˜ o angular constante da turbina, em rev/min , durante a parada? (b) Quantas revoluc¸o˜ es realiza antes de parar? (c) Qual a componente tangencial da acelerac¸a˜ o linear da part´ıcula situada a cm do eixo de rotac¸a˜ o, quando a turbina est´a girando a rev/min? (d) Em relac¸a˜ o a` part´ıcula do ´ıtem (c), qual o m´odulo da acelerac¸a˜ o linear resultante?
0|4(o
3163
45o
m/s.
(4
0|S23
(a) O intervalo dado corresponde a acelerac¸a˜ o angular e´
k 0(1B0}S2q o
min. A
rev/min .
(b) O n´umero de voltas at´e parar e´
3( e z2z(o(S
rev/min . 021 o
rad/s.
u E'K3(op1 z5N$*L')on1 q2o2* 0H31645q
11-36P.
o
rev.
(c) Para obter a acelerac¸a˜ o linear tangencial em unidades SI, a acelerac¸a˜ o angular deve estar expressa em rad/s . Fazendo a convers˜ao, obtemos rad/s e
minuto e´
0(1 z({~0}op P ttzp1 zp0~0|o a m/s . (d) A velocidade angular W54 rev/min corresponde a 1 {4 rad/s e / jS(on1 {n0 m/s .
rev.
t
11-34E. Uma certa moeda de massa M e´ colocada a uma distˆancia R do centro do prato de um toca-discos. O coeficiente de atrito est´atico e´ . A velocidade angular r do toca-discos vai aumentando lentamente at´e , quando, neste instante, a moeda escorrega para fora do prato. Portanto, o m´odulo da acelerac¸a˜ o linear resultante e´ (a) Determine em func¸a˜ o das grandezas M, R, g e . m/s . (b) Fac¸a um esboc¸o mostrando a trajet´oria aproximada t r da moeda, quando e´ projetada para fora do toca-discos.
(a) A moeda est´a sob a ac¸a˜ o da forc¸a centr´ıpeta
t 1
Z W tS(op1 {p0
11-42P.
Quatro polias est˜ao conectadas por duas correias con. A polia A ( cm forme mostrado na Fig. rad/s. A B ( cm Quando o prato atinge a velocidade , a forc¸a cen- de raio) e´ a polia motriz e gira a de raio) est´a conectada a` A pela correia . A ( cm tr´ıpeta e´ igual a` m´axima forc¸a de atrito est´atico: de raio) e´ concˆentrica a` B e est´a rigidamente ligada a ela. A polia C ( cm de raio) est´a conectada a` pela o
L
020RS(o
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324
0|o
0
0|4 0|o [ 4 [
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correia . Calcule (a) a velocidade linear de um ponto 11-49E. na correia , (b) a velocidade angular da polia B, (c) a As massas e as coordenadas de quatro part´ıculas s˜ao as velocidade angular da polia , (d) a velocidade linear seguintes: g, cm, cm; g, , de um ponto na correia e (e) a velocidade angular da cm; g, cm, cm; g, polia C. cm, cm. Qual o momento de in´ercia do conjunto em relac¸a˜ o (a) ao eixo x, (b) ao eixo y e (c) ao eixo z? (d) (a) A velocidade linear de qualquer ponto da correia Se as respostas para (a) e (b) forem, respectivamente, e´ A e B, ent˜ao qual a resposta para (c) em func¸a˜ o de A e B?
0
[
3
45o 3 ¡ZeN 324 R.S ¡N
¡/¢3 ¡%R.S
324 ¢o S(o Rd3
0
u / Este exerc´ıcio e´ uma aplicac¸a˜o do teorema dos ei 0(164 m/s. (b) A velocidade u e´ a velocidade dos pontos da borda xos perpendiculares, n˜ao apresentado dentro do texto. Este teorema e´ v´alido para distribuic¸o˜ es de massa conda polia , cuja velocidade angular e´ ent˜ao tidas num plano, como placas finas. Aqui temos uma u distribuic ¸ a˜ o discreta da massa no plano \¡ . Vamos indi 0|4 rad/s. car as massas por e coordenadas e ¡ na ordem em que aparecem no enunciado. (c) As polias e [ giram em torno do mesmo eixo, de (a) Momento de in´ercia em relac¸a˜ o ao eixo : a modo que distˆancia das part´ıculas ao eixo e´ medida no eixo ¡ / 0|4 rad/s. < £ ¡ (d) A velocidade linear de qualquer ponto da correia 3 e´ ¡ ¡ P¡P a¡a u / top154 m/s. 021 S2o24"k0}o a kg m 1 (e) Os pontos da borda da polia tem velocidade linear u . Portanto, (b) Para o c´alculo do momento de in´ercia em relac¸a˜ o u ao eixo ¡ , a distˆancia da part´ıcula ao eixo e´ medida ao S rad/s. longo do eixo : < £ Sec¸a˜ o 11-6 Energia Cin´etica de Rotac¸a˜ o P P a a 11-46P. A mol´ecula de oxigˆenio, 8 , tem massa total de 41 N4"k0}o kg m 1 41 S. 0}op kg e um momento de in´ercia de 0(1 z5N .0}op a kg m , em relac¸a˜ o ao eixo que atravessa perpendicular- (c) Para o eixo ¤ , temos mente a linha de junc¸a˜ o dos dois a´ tomos. Suponha que < £ ¥ com e W¡ 1 essa mol´ecula tenha em um g´as a velocidade de 45o2o m/s e que sua energia cin´etica de rotac¸a˜ o seja dois terc¸os da energia cin´etica de transla c c˜ao. Determine sua veloci- Os c´alculos fornecem < 021 zZk0}op kg m . a dade angular. (d) Somando os valores obtidos para < e < , confirma Com a relac¸a˜o dada entre as energias cin´eticas, temos mos a relac¸a˜ o < < f< ¥ P que podemos identificar como o teorema dos eixos per < Pe . u } pendiculares. Introduzindo os valores de , < e u , obtemos qp154"k0}o rad/s. 11-51E. A A
B
B
B’
i
i
i
B
x
i
i
i
i
i
B’ B’
C
C
y
i
z
i i
i
i
i
i
z
x
z
rot.
x
y
y
trans.
Sec¸a˜ o 11-7 C´alculo do Momento de In´ercia http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Duas part´ıculas, de massa m cada uma, est˜ao ligadas entre si e a um eixo de rotac¸a˜ o em O por dois bast˜oes P´agina 5 de 9
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©
delgados de comprimento l e massa M cada um, confor- (b) Igualando os momentos de in´ercia mencionados, teme mostrado na Fig. . O conjunto gira em torno mos do eixo de rotac¸a˜ o com velocidade angular . Determine, algebricamente, as express˜oes (a) para o momento A de in´ercia do conjunto em relac¸a˜ o a O e (b) para a enerDo que obtemos diretamente gia cin´etica de rotac¸a˜ o em relac¸a˜ o a O.
020ER¦S23
<"t< ©
<
O
v J' 3 v * S v H0 3 v f ' S 3 v * 2 { 4 v S v
(b) A energia cin´etica de rotac¸a˜ o e´
5< 4 v §P v } m c aP v
1
< 1
(a) O momento de in´ercia para o eixo passando por e´
8
Sec¸a˜ o 11-8 Torque 11-64P.
0(0RªS(q
Na Fig. , o corpo est´a fixado a um eixo no ponto O. Trˆes forc¸as s˜ao aplicadas nas direc¸o˜ es mostradas na figura: no ponto A, a m de O, N; no ponto B, a m de O, N; no ponto C, a m de O, N. Qual o torque resultante em relac¸a˜ o a O?
¯ N }0 z
« ¬0|o
{ ®0|q
S
Calculamos o torque produzido por cada uma das forc¸as dadas:
|° ±|² $N 4 t4(qp1642 °|±|² z2o t q5N °|±|² 3(o 0}zp1645o
11-58P. N m, anti-hor´ario A A A (a) Mostre que o momento de in´ercia de um cilindro s´olido, de massa M e raio R, em relac¸a˜ o a seu eixo cenN m, hor´ario B B B tral e´ igual ao momento de in´ercia de um aro fino de massa M e raio em relac¸a˜ o a seu eixo central. (b) N m, anti-hor´ario C C C Mostre que o momento de in´ercia I de um corpo qualquer de massa M em relac¸a˜ o a qualquer eixo e´ igual ao momento de in´ercia de um aro equivalente em relac¸a˜ o a Tomando o sentido positivo para fora do plano da esse eixo, se o aro tiver a mesma massa M e raio k dado p´agina, somamos os valores obtidos acima para ter o torque resultante: por
:
:
s(¨ 3
:
©
:
¨ < 1
R
¥
1
: R : g: 0|3p1 o$ N m, anti-hor´ario A
O raio k do aro equivalente e´ chamado de raio de girac¸a˜ o do corpo.
¥
B
C
(a) Os momentos de in´ercia, em relac¸a˜ o aos eixos Sec¸a˜ o 11-9 A Segunda Lei de Newton para a Rotac¸a˜ o mencionados, do aro e do cilindro s˜ao
<
e
A
< 1 A
11-70P.
Uma forc¸a e´ aplicada tangencialmente a` borda de uma Para que estes momentos de in´ercia sejam iguais, o aro polia que tem cm de raio e momento de in´ercia deve ter um certo raio : de kg m em relac¸a˜ o ao seu eixo. A forc¸a tem m´odulo vari´avel com o tempo, segundo a relac¸a˜ o A C , com F em Newtons e t em segundos. A polia est´a inicialmente em repouso. Em s, quais s˜ao (a) a sua acelerac¸a˜ o angular e (b) sua velocidade angular?
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0}o 0 0}op P eon1 4(o Wop1 S(o
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(a) O torque atuando sobre a polia no instante consi- Aplicando a segunda Lei rotacional para a polia ( escoderado e´ lhendo o sentido hor´ario como positivo), temos
' ´ k R ´ * <`1
:³' >eSn1 o*E/ ' >tSp1 o2*Eeon1 N$3 N m 1
A acelerac¸a˜ o angular neste instante e´
y' >eSn1 o*E :< N3
rad/s
Tirando
1
(b) Obtemos a velocidade angular integrando a func¸a˜ o :
y' +*
U V U [ ] Y ] 'K45o( [ fS(o5 [ * Y [ d') +*G 3(45 e0|o5 P d' EeSn1 o*G 2N z4 rad/s.
11-75P.
´ , vem ´ R (3 R 53 <2 1
11-77P. Uma chamin´e alta, de forma cil´ındrica, cai se houver uma ruptura na sua base. Tratando a chamin´e como um bast˜ao fino, de altura h, expresse (a) a componente radial da acelerac¸a˜ o linear do topo da chamin´e, em func¸a˜ o do aˆ ngulo que ela faz com a vertical, e (b) a componente tangencial dessa mesma acelerac¸a˜ o. (c) Em que aˆ ngulo a acelerac¸a˜ o e´ igual a g?
· |¸
(a) A componente radial da acelerac¸a˜ o do topo da Dois blocos idˆenticos, de massa M cada um, est˜ao liga. Podemos obter usando o dos por uma corda de massa desprez´ıvel, que passa por chamin´e e´ r uma polia de raio R e de momento de in´ercia I (veja Fig. princ´ıpio da conservac¸a˜ o da energia. Para um aˆ ngulo qualquer, temos ). A corda n˜ao desliza sobre a polia; desconhecese existir ou n˜ao atrito entre o bloco e a mesa; n˜ao h´a atrito no eixo da polia. Quando esse sistema e´ liberado, a polia gira de um aˆ ngulo , num tempo t, e a acelerac¸a˜ o dos blocos e´ constante. (a) Qual a acelerac¸a˜ o angular da Com , obtemos polia? (b) Qual a acelerac¸a˜ o dos dois blocos? (c) Quais as tens˜oes na parte superior e inferior da corda? Todas essas respostas devem ser expressas em func¸a˜ o de M, I, R, , g e t. e acelerac¸a˜ o radial do topo ent˜ao e´ (a) Se o sistema parte do repouso e a acelerac¸a˜ o e´ r constante, ent˜ao e
0(0 RNo
t s(3 @3 1
(b) Para obter a componente tangencial da acelerac¸a˜ o do topo, usamos agora a segunda Lei na forma rotacional:
% 35 1
(c) Chamemos a tens˜ao na parte vertical da corda. Tomando o sentido para baixo como positivo, escrevemos
Rk´ 1 Com a acelerac¸a˜ o obtida acima, a tens˜ao
¶ 1 ´ t µ$R @3 e
¸ ¸ 3 º3 ¹L» ° , ¼ <5 1 <" ¸\ s5S S5i+' 0cR ¸ ¹» ° 2 * ¥ eS5i'+0cR ¹» ° 2*L1
(b) Desconsiderando qualquer atrito, a acelerac¸a˜ o das massas e´ a acelerac¸a˜ o dos pontos da borda da polia:
´
:
¸
<
3 °|±|² P ¸ ¸ Com tS@ °}±|² s53 , chegamos a` acelerac¸a˜ o pedida t ¸ P °|±}² p1 t
(c) A acelerac¸a˜ o total do topo e´
´
e´
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ez@ '+0cR ¹» ° 2* & a½ °|±}² p1 Fazendo G , e alguma a´ lgebra, obtemos uma equac¸a˜ o do segundo grau para a vari´avel ° , cuja ¹» P´agina 7 de 9
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"eS(Nn164 .
Uma corda, de massa desprez´ıvel, passa em volta do equador da esfera e prende um pequeno corpo de massa m, que pode cair livremente sob a ac¸a˜ o da gravidade. A Sec¸a˜ o 11-10 Trabalho, Potˆencia e Teorema do corda prende o corpo atrav´es de uma polia de momento de in´ercia I e raio r. O atrito da polia em relac¸a˜ o ao eixo Trabalho-Energia Cin´etica e´ nulo e a corda n˜ao desliza na polia. Qual a velocidade 11-82P. do corpo, depois de cair de uma altura h, partindo do repouso? Use o teorema do trabalho-energia. Uma r´egua, apoiada no ch˜ao verticalmente por uma das extremidades, cai. Determine a velocidade da outra extremidade quando bate no ch˜ao, supondo que o extremo Seguindo a sugest˜ao do enunciado, o trabalho reaapoiado n˜ao deslize. (Sugest˜ao: considere a r´egua co- lizado pela gravidade sobre a massa e´ . mo um bast˜ao fino e use o princ´ıpio de conservac¸a˜ o de Como o sistema parte do repouso, a variac¸a˜ o da energia energia.) cin´etica e´ raiz fornece
¿
. u <( < ¥
Seguindo a sugest˜ao dada, temos
d3 v P v } ¥ que fornece e S5ps v . Portanto, a velocidade da ex-
tremidade da r´egua, quando bate no ch˜ao, e´
u v & 5S v 1
¾ ¸
p
C
C
<
onde p e´ a velocidade angular da polia e C e C s˜ao o momento de in´ercia e a velocidade angular da casca esf´erica. A velocidade de e´ tamb´em a velocidade linear dos pontos da borda da polia e dos pontos do equador da casca esf´erica. Ent˜ao podemos expressar as velocidades angulares em termos da velocidade linear da massa :
u
11-83P.
u 1
e C Um corpo r´ıgido e´ composto por trˆes hastes finas, p idˆenticas, de igual comprimento l, soldadas em forma de H (veja Fig. ). O corpo gira livremente em volta de um eixo horizontal que passa ao longo de uma das Ap´os essas considerac¸o˜ es, temos, finalmente pernas do H. Quando o plano de H e´ horizontal, o corpo cai, a partir do repouso. Qual a velocidade angular do corpo quando o plano do H passa pela posic¸a˜ o vertical?
020RN\0
¿
¾
O momento de in´ercia do corpo r´ıgido para o eixo mencionado e´
<"OP v v aP v 1
Usando o princ´ıpio da conservac¸a˜ o da energia, temos
S 3 v aP v ¥
¸
u µ
u u < P < ¶ u P
u
Tirando a velocidade , obtemos
3 ¸ u W<sH T3(s5S 1 ¸ Lembrando a equac¸a˜ o de movimento u 3(
e, tirando a velocidade angular, resulta
W P 1 v
, podemos facilmente destacar a acelerac¸a˜ o do resultado obtido, a` qual chegamos se resolvemos o problema usando a segunda Lei.
11-86P. Uma casca esf´erica uniforme, de massa M e raio R, gira sobre um eixo vertical, sem atrito (veja Fig. ).
0(0 RfN$3
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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
2 de Dezembro de 2004, a` s 13:07
< (s 3
11.3 Problemas Adicionais
<
onde e´ o momento de in´ercia do disco pelo qual passa o eixo. Para obter o momento do outro disco em relac¸a˜ o a esse eixo, usamos o teorema:
. K' 35@* ½
<
11-91.
op1635o
Uma polia de m de raio est´a montada sobre um eixo horizontal sem atrito. Uma corda, de massa desprez´ıvel, est´a enrolada em volta da polia e presa a um corpo de kg, que desliza sem atrito sobre uma superf´ıcie inclina- Para o corpo r´ıgido todo temos ent˜ao da de com a horizontal, conforme mostrado na Fig. 11-43. O corpo desce com uma acelerac¸a˜ o de m/s . kg m Qual o momento de in´ercia da polia em torno do eixo de rotac¸a˜ o? 11-96. Vamos usar aqui a segunda Lei, nas formas trans- Um cilindro uniforme de cm de raio e kg de maslacional e rotacional. Tomando o sentido positivo para sa est´a montado de forma a girar livrmente em torno de baixo do plano inclinado temos um eixo horizontal paralelo ao seu eixo longitudinal e
3
35o
3
<"t< f< 4 t Sp163
0}o
3(o
4
°}±|² 35o Rk´ 1
distando cm deste. (a) Qual o momento de in´ercia do cilindro em torno do eixo de rotac¸a˜ o? (b) Se o cilindro partir do repouso, com seu eixo alinhado na mesma altura do eixo de rotac¸a˜ o, qual a sua velocidade angular ao passar pelo ponto mais baixo da trajet´oria? (Sugest˜ao: use o princ´ıpio de conservac¸a˜ o da energia.)
Para o movimento da polia, escrevemos
´
1
´d <t< 1
Trazendo da primeira para a segunda equac¸a˜ o, e ex(a) Usamos o teorema dos eixos paralelos para obter plicitando , temos o momento de in´ercia:
<
<" ' |° ±|² 3(o R^$*Etop1 o245N
1
kg m
11-93.
N
< ¸ À 3lÁ op1B0|4 kg m
<
CM
Dois discos delgados, cada um de kg de massa e (b) Colocando o referencial de energia potencial nula no raio de m, s˜ao ligados conforme mostrado na Fig. ponto mais baixo pelo qual passa o centro de massa do 11-44 para formar um corpo r´ıgido. Qual o momen- cilindro, temos to de in´ercia desse corpo em volta do eixo A, ortogonal ao plano dos discos e passando pelo centro de um deles?
on1 No
Â
3
<5
Temos aqui uma aplicac¸a˜ o do teorema dos eixos paralelos. O momento de in´ercia do conjunto escrevemos como Resolvendo para a velocidade angular, obtemos
<%e< W< ¥
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f020(1 N(N
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