Exercicios De Derivadas

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02/10/2007 Educação e Responsabilidade social Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes E-mail: [email protected] Exercícios Complementares Orientações: Prezado Aluno(a), Seja Professor(a) de você mesmo(a), ou seja, confie em você! Em referência ao que lhe for proposto, sempre leia com muita atenção cada palavra, releia o exercício quantas vezes achar necessário, organize primeiro as “IDÈIAS” que o exercício está propondo, descubra o objetivo a ser alcançado. A seguir, organize os dados fornecidos no exercício, se possível faça a grafia da situação-problema apresentada, pois esta pode facilitar ainda mais o entendimento do que lhe foi proposto. Outra orientação muito importante é quanto ao conteúdo ser cumulativo, ou melhor, vamos generalizar este fato; o aprendizado seja ele qual for é sempre cumulativo, ou seja, se esforce para verificar se algo já aprendido em algum momento não vai ser útil e/ou necessário na resolução da “nova” situação-problema proposta a você. Por exemplo, as ferramentas Matemáticas que já lhe foram apresentadas em algum momento, as “IDÉIAS” construídas, nas diversas situações-problemas, nunca desvencilhem delas. Este é o principal “segredo” do seu sucesso, ou seja, alcançar mais rápido o seu aprendizado e consequentemente atingir os seus tão almejados objetivos. Imagine o quanto você irá resolver mais rápido o que lhe for proposto! Pense nisso! Exercite estas orientações. Confie em você! Você é capaz! Acredite! E, por que não você ter um tempinho para o seu merecido descanso? Você merece! Sucesso! 1. Determine os extremos locais de r , discutindo detalhadamente a concavidade, encontre os pontos de inflexão e esboce o modelo gráfico, sendo g ( r ) = − r + 2r + 12 . 4 2 2. Apresente uma situação-problema prática específica envolvendo o seu Curso e a disciplina de Cálculo II, a partir de uma análise detalhada do modelo obtido por você no Exercício 1. n é denotado um inteiro ímpar, então f (n) = 1 e f ' (n) = 0 ; se n é denotado um inteiro par, ' então f ( n) = 0 e f ( n) não existe; se n é denotado um inteiro qualquer, então esboce o modelo de uma função contínua f que satisfaça todas as condições indicadas. 3. Se a. b. c. f ' ( w) > 0 se 2n < w < 2n + 1 f ' ( w) < 0 se 2n − 1 < w < 2n f '' ( w) < 0 se 2n < w < 2n + 2 Cálculo II Estudo das Derivadas Aplicações de Derivadas 1 02/10/2007 Educação e Responsabilidade social Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes E-mail: [email protected] 4. Determine o instante em que dois ciclistas estão mais próximos um do outro, e aproxime a distância mínima entre eles. Para a resolução desta situação-problema as informações são as seguintes: I. Uma quadra Norte-Sul intercepta outra quadra Leste-Oeste em uma localidade Q . 20km / h . III. Dado o mesmo instante, outro ciclista está a 2km ao Norte de Q e dirige-se para o Sul a 50km / h . II. Um ciclista passa por Q às 10h, dirigindo-se para o leste a Nota: Lembre-se, em resumo, para solucionar situações-problemas envolvendo Taxas Relacionadas, sempre que possível, grafe uma figura associando as variáveis e as constantes em estudo na situaçãoproblema. Considere, geralmente, que todas as variáveis são funções deriváveis de t . (Ler Exercícios – Lista 03 – página 1 e 2). Como forma de melhor orientar você aluno na resolução deste exercício, observe no Referencial de Respostas o grafo desta situação-problema envolvendo a posição dos dois ciclistas. 5. Determine o tempo mínimo que um grupo de esportistas levará para atingir uma residência situada em uma ilha. Nos itens abaixo estão denotadas todas as informações necessárias para você resolver esta situação-problema. I. O grupo encontra-se em um bote a 2km de distância do ponto mais próximo em uma ilha retilínea; II. Este grupo de esportistas deseja atingir uma residência localizada na ilha; esta residência está a uma distância de 6km ilha abaixo. III. Condição que o grupo de esportista tem para determinar este tempo mínimo: o grupo pode remar à razão de 3km / h e andar à razão de 5km / h. Dica: Considere tempo = distância taxa 0 em (−∞;5), f ' (k ) < 0 em (5; ∞ ). '' '' (b) f ( k ) > 0 em ( −∞;−7,5) e (7,5; ∞ ) , f ( k ) < 0 em (−7,5;7,5). (c) lim f ( k ) = −7,5 , lim f ( k ) = 0 ' 6. Supor as condições: (a) f (k ) > k → −∞ k →∞ Satisfeitas as condições acima fornecidas, esboce se possível um gráfico representativo de f . Comente detalhadamente argumentando sua conclusão. Dica: Utilize-se das próprias condições fornecidas como parâmetro para “enriquecer” suas argumentações conclusivas. 7. Expor detalhadamente a curva f ( h) = h − 4h em relação aos intervalos onde f apresenta aclive ou declive, côncava ou não côncava, pontos de inflexão e mínimos e máximos locais. Utilize-se destas informações para reproduzir o esboço gráfico da curva. 4 3 8. Apresente uma situação-problema prática específica envolvendo o seu Curso e a disciplina de Cálculo II, a partir de uma análise detalhada do modelo obtido por você no Exercício 7. 9. Apresente detalhadamente as indagações requisitadas a você em cada um dos itens a seguir, utilizando-se do modelo gráfico de y = f (x ) . Cálculo II Estudo das Derivadas Aplicações de Derivadas 2 02/10/2007 Educação e Responsabilidade social Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes E-mail: [email protected] I. Encontre os intervalos nos quais f apresenta aclive e declive. II. Encontre os intervalos abertos nos quais f apresenta concavidade positiva e concavidade negativa. III. O modelo gráfico apresenta ponto de inflexão? Caso apresente, encontre todos os valores de x nos quais f possui um P. I. Argumente detalhadamente sua conclusão. IV. Apresente uma situação-problema prática específica envolvendo o seu Curso e a disciplina de Cálculo II, a partir de uma análise detalhada do modelo gráfico proposto a você, em apenas um intervalo específico (escolhido por você) ou, caso queira apresente-a no geral, as diversas situações-problemas práticas específicas nestes intervalos. 10. Quantos cm devem ser dobrados de cada lado de modo que certo material apropriado utilizado como condutor de água tenha capacidade máxima, de acordo com a vazão de água esperada? Sabe-se que o material apropriado utilizado é retangular com 30cm de largura e, deve-se construir este conduto dobrando-se as laterais perpendicularmente à este material apropriado. 11. Em cada item abaixo, esboce o modelo gráfico de g satisfazendo as propriedades indicadas. ' '' Discuta detalhadamente os sinais de g e g . (− ∞;+∞). g é côncava negativa e possui aclive no intervalo (− ∞;+∞). g é côncava positiva e possui declive no intervalo (− ∞;+∞). g é côncava negativa e possui declive no intervalo (− ∞;+∞). I. A função g é côncava positiva e possui aclive no intervalo II. A função III. A função IV. A função 12. Em uma situação-problema qualquer, envolvendo certa função, é apresentada a expressão f ' ( s ) = 4 s 3 + 24s 2 + 36 s . Responda detalhadamente aos itens: a. Aponte em quais intervalos f está em aclive ou declive? b. Se existir, em quais intervalos f tem concavidade positiva? E concavidade negativa? c. Apresente as coordenadas s dos extremos relativos e dos pontos de inflexão de f . d. Represente o modelo gráfico, se possível. 13. Grafe f em [−1,1] , sendo f (h) = 1 − 2h + 3h + h + 4h . 2 4 5 I. Estime onde o gráfico apresenta concavidade positiva ou negativa. II. Estime a coordenada -h de cada ponto de inflexão. Cálculo II Estudo das Derivadas Aplicações de Derivadas 3 02/10/2007 Educação e Responsabilidade social Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes E-mail: [email protected] 14. Determine a quantidade mínima de muro construído que será necessária para concretizar a idealização industrial de um Projeto de Lazer, aos funcionários e associados de uma empresa de grande porte? Sabe-se que o setor de prestação de serviços, em áreas nas proximidades urbanas, vencedor da licitação irá construir para esta empresa a área de lazer ao longo de uma grande extensão de mata 2 virgem. Esta área de lazer deve ser retangular, com uma área de 5000 m e, deverá ser construída nos três lados não-adjacentes à mata virgem. 15. Em relação ao Exercício 14, represente um esboço gráfico da função mínima de muro construído sinalizando, caso exista, qual é a posição da inclinação da reta tangente. Se existe, comente detalhadamente como você obteve a posição exata da inclinação da reta tangente. Existe uma relação desta posição e a minimização desta idealização industrial do Projeto de Lazer, aos funcionários e associados? Comente argumentando suas conclusões. 16. Expor detalhadamente a curva f ( w) = w 4 + 8w 3 + 18w 2 − 8 em relação aos intervalos onde f apresenta aclive ou declive, côncava ou não côncava, pontos de inflexão e mínimos e máximos relativos. Utilize-se destas informações para reproduzir o esboço gráfico desta curva. Referencial de Respostas 1. Números críticos ( −1, 0 e 1) . Pontos críticos: ( −1;13) , (0;12) e (1;13) . Números de inflexão ⎛ 3 3⎞ e ⎜⎜ − ⎟ . Pontos de inflexão: 3 ⎠⎟ ⎝ 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 3 ; 12,5 ⎟⎟ e ⎜⎜ − ;12,5 ⎟⎟ . Esboço do modelo gráfico: ⎜⎜ − ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2. Exercício dissertativo; as respostas podem variar. 3. Nota: Analise cada item proposto, de acordo com o intervalo apresentado. Porém, em cada item observe que o exercício sugere o estudo do intervalo apresentado para um valor de n um inteiro qualquer e, este inteiro qualquer deve ser analisado para n ímpar e para n par. Portanto, é necessário realizar estes cálculos para depois, novamente, em análise aos itens propostos terminar a conclusão necessária para expor o esboço gráfico, como apresentado abaixo. Cálculo II Estudo das Derivadas Aplicações de Derivadas 4 02/10/2007 Educação e Responsabilidade social Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes E-mail: [email protected] 4. Solução (Parcial): O objetivo é encontrar o instante em que os dois ciclistas estão mais próximos, logo podemos “pensar” que precisamos encontrar um tempo t em que a distância d apresente seu menor valor. Portanto, podemos supor: 20km / h = 20t 50km / h = 50t # Nota: Agora é com você, termine a resolução e compare com o desfecho do resultado apresentado abaixo. Conclui-se que os ciclistas estarão mais próximos um do outro a 2h07 min. após 10h ). Portanto, a distância mínima ( d ) é d = Nota: Medidas de tempo 1 29 horas (ou, aproximadamente, 16 ⎛ 1 ⎞ f⎜ ⎟= ≅ 0, 74km . 29 ⎝ 29 ⎠ → Transformação: 1h − 60' 1 −t 29 t ≅ 2, 07 min . Cálculo II Estudo das Derivadas Aplicações de Derivadas 5 02/10/2007 Educação e Responsabilidade social Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes E-mail: [email protected] 5. B: Bote I: representa a posição do ponto mais próximo na Ilha A: representa o ponto que o bote Atinge a Ilha R: Residência x: distância entre I e A. Nota: Observe que este Exercício forneceu uma dica de como encontrar o tempo mínimo que um grupo de esportistas levará para atingir uma residência situada em uma ilha. E, para encontrar este tempo foi fornecido um dado o qual devemos ter muita atenção, ou seja, o grupo pode determinar este tempo mínimo de duas formas; pois foi fornecido no Exercício, a razão (taxa) de 3km / h que o grupo pode realizar o percurso remando e/ou pode realizá-lo andando, a uma razão (taxa) de 5km / h . Logo, para “checar” este tempo mínimo precisamos encontrar um tempo TOTAL T ( x ) , que é a soma das duas formas de realizar o percurso (Utilize-se da Dica). A seguir, realize o estudo separadamente dos valores extremos do domínio de f , assim você encontrará o valor mínimo. Estes valores são as alternativas que o grupo tem para realizar o percurso, observe: x = 0 → Alternativa que o grupo tem de remar (taxa de 3km / h ) até I (Ilha) em seguida fazer o percurso por terra, andando (taxa de 5km / h ) de I a R (Residência). x = 6 → Alternativa que o grupo tem de remar (taxa de 3km / h ) de B (Barco) a R (Residência). Por fim, diferencie o tempo TOTAL ( dt / dx ) , ou seja, T ( x) = 0 → número(s) crítico(s). E por que encontrar o número(s) crítico(s)? Bem, a resposta é simples, ou seja, é por isto que devemos sempre insistir nas “IDÉIAS” que cada situação-problema exige para ser solucionada. Você estudou as alternativas que o grupo tem para realizar o percurso, separadamente, na função tempo TOTAL T ( x ) , agora precisa diferenciar T ( x ) que fornece as duas alternativas juntas. Desta forma, você irá verificar o tempo mínimo entre todas as alternativas possíveis e propostas neste Exercício. Número crítico: 3 2. 1h44 min em x = 3 2 . Portanto o bote deve aportar em A (Ponto em que o bote Atinge (chega) a Ilha), 1km e meio de I a fim de minimizar T . Conclui-se que o tempo mínimo é de 6. Pontos de inflexão: ( −7, 5; f(k) ) e (7, 5; f(k) ) . 7. Números críticos (0 e 3) . Pontos críticos: (0;0) e (3; −27) . Números de inflexão de inflexão: Cálculo II ( 0 e 2 ) . Pontos ( 0; 0 ) e ( 2; −16 ) . Esboço do modelo gráfico: Estudo das Derivadas Aplicações de Derivadas 6 02/10/2007 Educação e Responsabilidade social Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes E-mail: [email protected] 8. Exercício dissertativo; as respostas podem variar. 9. [ 4;6] . Declive: [1; 4] e [6;7] . Concavidade positiva: (1; 2 ) e ( 3;5 ) . Concavidade negativa: ( 2;3) e ( 5;7 ) . '' Ponto de Inflexão ⇒ f ( x ) = 0 → Ponto onde a “concavidade” muda de posição, ou seja, se a I. Aclive: II. III. f está em declive passa para aclive ou vice-versa. Portanto, analisando o esboço gráfico apresentado neste exercício, conclui-se que os números de inflexão em x = 2,3 e 5 . IV. Exercício dissertativo; as respostas podem variar. 10. Agora é terminar os cálculos e “checar” o valor apresentado. L : Largura da base do condutor de água x : valor em cm a ser dobrado em cada lado do condutor L = 30 − 2 x Portanto, Aretangulo = f ( x ) = x ( 30 − 2 x ) . ' Aretangulo = f ' ( x ) = 0 → número(s) crítico(s). # Logo, x = 7,5cm . Conclui-se que para obtermos um condutor de água com capacidade máxima, de acordo com a vazão de água esperada, devem ser dobrados 7,5cm de cada lado do material utilizado. Cálculo II Estudo das Derivadas Aplicações de Derivadas 7 02/10/2007 Educação e Responsabilidade social Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes E-mail: [email protected] 11. I. g '' > 0 em ( −∞; +∞ ) g ' > 0 em ( −∞; +∞ ) II. g '' < 0 em ( −∞; +∞ ) g ' > 0 em ( −∞; +∞ ) III. g '' > 0 em ( −∞; +∞ ) g ' < 0 em ( −∞; +∞ ) IV. g '' < 0 em ( −∞; +∞ ) g ' < 0 em ( −∞; +∞ ) 12. f ' ( s ) = 4s 3 + 24s 2 + 36s → Derivada de 1ª ordem (derivada primeira) f ' ( s ) = 0 → Número(s) crítico(s): ( 0 e − 3) . f '' ( s ) = 0 → Número(s) de inflexão: ( -1 e − 3) . Como a função primitiva f ( s ) não foi fornecida, os pontos críticos (PC) e os pontos de inflexão (PI) ficam em função de s para a ordenada em ( 0; f ( s ) ) e ( −3; f ( s ) ) e os pontos de inflexão são: f ( s ) , ou seja, os pontos críticos são: ( −3; f ( s ) ) e ( −1; f ( s ) ) . Para representar as coordenadas dos extremos relativos, as determinaremos por ( s; f ( s ) ) , pois a localização exata é encontrada via função primitiva. 13. Nota: Fazendo f '' ( h ) = 0 → PI . Assim o valor do número na coordenada-h no par ordenado PI é h ≅ −0, 45 . (Rever Números Complexos ^ ). Cálculo II Estudo das Derivadas Aplicações de Derivadas 8 02/10/2007 Educação e Responsabilidade social Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes E-mail: [email protected] Portanto, como o exercício pede o esboço gráfico em [ −1;1] temos, ( −0, 45;1) . Concavidade negativa em ( −1; −0, 45 ) . a. Concavidade positiva em b. A coordenada-h de PI E, podemos verificar em é −0, 45 . f ( h) → para h=0 na f “fornecida” que, f ( 0) = 1. 14. Dados: Supor, M : quantidade de muro construída. M = x + 2 y (Lembrete: Temos 1 equação e duas incógnitas!!!) É fornecido no Exercício 14 que a área construída deve ser retangular, 5000m 2 . Logo, 5000 Are tan gulo = x. y ⇒ y = x Como temos y em função de x , expressamos: M ( x ) = x + 2 y . com uma área de M ' ( x ) = 0 → Número crítico # Atenção: Lembrar que da interpretação prática para qualquer valor de x , pois é pedido para encontrar a quantidade mínima de muro construído ⇒ mínimo absoluto ⇒ intervalo x >0. M ( x ) , verificamos que apenas o valor positivo situa-se no intervalo x > 0 e, o único número crítico que satisfaz o enunciado do exercício é o valor 100 . Portanto, a quantidade mínima de muro construído necessária para concretizar o Projeto de Lazer é 200m . Após derivar 15. Em relação ao Exercício 14, conforme a ilustração gráfica a posição da reta tangente está demonstrada no gráfico abaixo e, foi obtida fazendo M ' ( x ) = 0 para encontrar o valor que minimiza a construção do muro, ou seja, sabe-se que este é o valor para o qual a inclinação da reta tangente é zero. Portanto existe uma relação desta posição e a minimização da construção do muro no Projeto de Lazer. Cálculo II Estudo das Derivadas Aplicações de Derivadas 9 02/10/2007 Educação e Responsabilidade social Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes E-mail: [email protected] M ' ( x) = 0 16. Números críticos (0 e -3) . Pontos críticos: (0; −8) e ( −3;19) . Números de inflexão Pontos de inflexão: ( -1 e -3) . ( -3; 19 ) e ( −1;3) . Esboço do modelo gráfico: Conforme o esboço gráfico, concluímos que o ponto crítico de 1ª ordem (0; −8) é um mínimo relativo, ( −3;19 ) não é nem um mínimo nem um máximo relativo e, que ambos os pontos críticos de 2ª ordem ( -3; 19 ) e ( −1;3) são pontos de inflexão. enquanto o ponto Cálculo II Estudo das Derivadas 10 Aplicações de Derivadas