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Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Centro de Ciˆ encias Exatas e Tecnologia Departamento de Matem´ atica Curso: Engenharia El´ etrica Disciplina: C´ alculo II Professor: Jair da Silva Aluno: 2¯a Prova (16/11/2009) Justifique com clareza suas respostas. Respostas sem justificativa n˜ ao ser˜ ao consideradas na corre¸c˜ ao. N˜ ao ´ e permitido o uso de calculadoras ou outros aparelhos eletrˆ onicos. 1. (valor 2,0) dz usando a regra da cadeia: dt i) z = yex + xey , x = cos(t), y = sen(t).
(a) Calcule
(b) Seja z = xy, onde x = f (u) e y = g(u). Supondo f e g diferenci´aveis, f (1) = 2, dx dy dz g(1) = −2, (1) = −1, e (1) = 5, calcule (1). du du du
2. (valor 2,0) Considere a fun¸c˜ao f (x, y) = x2 + y 2 − 2y e o ponto P0 = (2, 2). Determine: (a) A taxa de varia¸c˜ao de f em P0 na dire¸c˜ao do vetor (1, 1). (b) A taxa de varia¸c˜ao de f em P0 na dire¸c˜ao do vetor tangente g 0 (t) `a curva g(t) = (t, t2 −t) em (3, 6). (c) A dire¸ca˜o na qual a taxa de varia¸c˜ao de f em P0 ´e m´axima.
3. (valor 2,0) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das fun¸co˜es abaixo: i) f (x, y) = ln(x2 + y 2 ),
ii) f (x, y) = sen(2x + 3y)
4. (valor 2,0) Analise a natureza dos pontos cr´ıticos da fun¸ca˜o a baixo: (a) f (x, y) = xy − x3 − y 2 .
5. (valor 2,0) Encontre o m´aximo e o m´ınimo da fun¸ca˜o f (x, y) = 3x + 4y restrito a circunferˆencia g(x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0.
