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MATRIZES
Adição
Dadas as matrizes e , ambas do mesmo tipo (), somar com
é obter a matriz + , do tipo , onde cada elemento é a
soma dos elementos de mesma posição de e . Por exemplo:
Se e
então
Propriedades da Adição
Sendo , e matrizes do mesmo tipo (), temos as seguintes
propriedades para a adição:
a) comutativa:
b) associativa: () + C = A + (B + C)
c) elemento neutro: , sendo a matriz nula
d) elemento oposto:
Subtração
Para entendermos a subtração de matrizes devemos saber o que é uma matriz
oposta. A oposta de uma matriz é a matriz , cujos elementos são
os números opostos de mesma posição de . Por exemplo:
Com a matriz oposta podemos definir a diferença de matrizes:
ou seja, para subtrair matrizes, somamos a primeira com a oposta da
segunda. Assim para as matrizes e acima, temos:
Logo,
Multiplicação por um Número Real
Multiplicar um número por uma matriz é obter a matriz ,
cujos elementos são os elementos de multiplicados, todos por .
Propriedades
Sendo e matrizes do mesmo tipo e e números reais
quaisquer, valem as seguintes propriedades:
a) associativa:
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes:
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais:
d) elemento neutro: , para , ou seja,
Multiplicação de Matrizes
Dadas as matrizes e , define-se como produto de por a
matriz tal que o elemento é a soma dos produtos da i-ésima linha
de pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de .
Observação
Somente existe o produto de uma matriz por outra matriz se o
número de colunas de é igual ao número de linhas de . Se existir
o produto de por , o tipo da matriz produto é dado pelo número de
linhas de e pelo número de colunas de . Pode existir o produto de
por , mas não existir o produto de por .
Propriedades
Verificadas as condições de exixtência para a multiplicação de matrizes,
valem as seguintes propriedades:
a) associativa:
b) distributiva em relação à adição: ou
c) elemento neutro: , sendo a matriz identidade de ordem
Geralmente a propriedade comutativa não vale para a multiplicação de
matrizes ( ). Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo
uma matriz nula, não implica, necessariamente, que ou .
Inversão de Matrizes
Dada uma matriz , quadrada, de ordem , se exixtir uma matriz
, de mesma ordem, tal que , então é matriz inversa de .
Representamos a matriz inversa por .
Pense um Pouco!
Sempre podemos multiplicar matrizes de mesma ordem (iguais) ?
(ACAFE) Sejam as matrizes , e . A alternativa em que a
expressão é possível de ser determinada é:
a)
b)
c)
d)
e)
Exercícios de Aplicação
1. Sendo , determine sua inversa, se exixtir.
2. (ACAFE) Dada a matriz , seja a sua matriz transposta. O
produto é a matriz:
a)
b)
c)
d)
e
3. (ACAFE) Considre as matrizes
, e
. Sabendo que , o valor de é:
a)
b)
c)
d)
e)
Exercícios Complementares
4. Dadas as matrizes e , calcule .
5. A matriz é definida, de tal forma que:
Determinar a matriz inversa de .
6. Dada a matriz
Calcule .
7. (ITA-SP) Considere a matriz inversa da matriz . A soma dos
elementos da diagonal principal da matriz é:
a)
b)
c)
d)
e)
8. (UECE) O produto da inversa da matriz
pela matriz é igual a:
a)
b)
c)
d)
