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Estudo das Funções Trigonométricas
Aluno: Edson Akira da Silva; R.A.: 200923101
Curso: Engenharia Elétrica ; Segundo Semestre de 2009
Disciplina: Cálculo Integral e Diferencial I
Professora: Lizete
Ilha Solteira, 06 de Novembro de 2009
Estudo das Funções Trigonométricas
Sumário
1. Introdução
.......................................................................
........................... 03
2. Ciclo Trigonométrico
.......................................................................
......... 03
3. Seno
.......................................................................
..................................... 04
4. Cosseno
.......................................................................
............................... 05
5. Tangente
.......................................................................
............................. 06
6. Cotangente
.......................................................................
......................... 07
7. Secante
.......................................................................
............................... 08
8. Cossecante
.......................................................................
......................... 10
9. Identidades Trigonométricas
................................................................. 11
10. Somas, diferenças e duplicações de arcos
............................................ 12
11. Referências
.......................................................................
...................... 13
1. Introdução
Ainda que os primórdios da trigonometria possam ser identificados em
seqüências numéricas primitivas que relacionam comprimentos de sombra
com horas do dia, seu desenvolvimento se efetivou a partir da
interação entre a matemática e a astronomia.
O objetivo deste trabalho é fazer um estudo das funções
trigonométricas a apresentar dados característicos de cada um além da
apresentação de propriedades trigonométricas.
2. Ciclo Trigonométrico.
Considera-se o ciclo trigonométrico a circunferência orientada de raio
unitário associada a um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais
x, y, ou seja: A partir da equação , que é a equação normal da
circunferência, sendo (a,b) a coordenada do centro e r o raio ( com r
> 0), que para o ciclo em questão correspondem, respectivamente à
(0,0) e 1, é obtida a circunferência trigonométrica através da
disposição gráfica, no plano cartesiano dos pares ordenados (x,y) que
satisfazem a equação , que se resume em . O ponto de origem
dos arcos é o ponto A, determinado pelo par ordenado (1,0), e, ao se
adotar um ponto M, que pertença à circunferência, considera-se o arco
AM, ao qual corresponde o ângulo central α e toma-se o sentido anti-
horário como positivo conforme mostra a figura 2.1:
Fig. 2.1 – Representação do Ciclo Trigonométrico
3. Seno.
Tomando o exemplo da figura 2.1, seja o segmento OM o raio do ciclo e,
M" e M' as projeções do ponto M sobre os eixos y e x, respectivamente,
determinando com estes, ângulos retos. Define-se como seno (do arco AM
ou do ângulo α) a ordenada do ponto M e indica-se:
Seno de α = OM"
No triângulo retângulo determinado no ciclo pelos segmentos OM'M, tem-
se:
Os valores que a função seno assume variam de -1 a 1. Diz-se então que
o conjunto imagem da função seno é o intervalo [-1,1].
Como a função f(x)=sen(x) é definida no conjunto dos números reais, ou
seja, seu domínio é , a curva pode ser estendida para valores
menores que zero e maiores que 2π. Assim, o gráfico da função f:
(, definida por f(x)=sen(x), é a senóide ou curva seno:
Fig 3.1 – Curva Seno
Estudando as três condições para a continuidade de f(x)=sen(x),
veremos que esta função é contínua em zero:
I – sen (0) = 0
II -
III -
Portanto, a função seno é contínua em zero.
4. Cosseno.
Tomando o exemplo da figura 2.1, seja o segmento OM o raio do ciclo e,
M" e M' as projeções do ponto M sobre os eixos y e x, respectivamente,
determinando com estes, ângulos retos. Define-se como cosseno (do arco
AM ou do ângulo α) a abscissa do ponto M e indica-se:
Cosseno de α = OM'
No triângulo retângulo determinado no ciclo pelos segmentos OM'M tem-
se:
Os valores que a função cosseno assume variam de -1 a 1. Diz-se então
que o conjunto imagem da função seno é o intervalo [-1,1].
Como a função f(x)=cos(x) é definida no conjunto dos números reais, ou
seja, seu domínio é , a curva pode ser estendida para valores
menores que zero e maiores que 2π. Assim, o gráfico da função f:
(, definida por f(x)=cos(x), é a cossenóide ou curva
cosseno:
Fig. 4.1 – Curva Cosseno
Estudando as três condições para a continuidade de f(x)=cos(x),
veremos que esta função é contínua em zero:
I – cos (0) = 1
II -
III -
Portanto, a função cosseno é contínua em zero.
5. Tangente.
Chama-se de T a interseção da reta OM com a reta tangente (t) no ponto
A:
Fig.5.1 – A tangente no ciclo trigonométrico
Tomando o exemplo da figura 5.1, define-se como tangente (do arco AM
ou do ângulo α) a medida algébrica do segmento AT, e indica-se:
Tangente de α = AT
Nos triângulos retângulos OM'M e OAT, tem-se:
A função tangente assume todos os valores reais. Diz-se então que o
conjunto imagem da função tangente é , ou seja, Imf=
A função f(x)=tg(x) é definida em e seu domínio é o conjunto
. Assim, a curva gerada pode ser estendida para valores menores
que zero e maiores que 2π então, o gráfico da função f: D(
definida por f(x)=tg(x) é a tangentóide ou curva tangente.
Fig. 5.2 – Curva Tangente.
Por um teorema, temos que se duas funções f e g são contínuas em a,
então f/g será contínua em a. Como a tangente é o quociente entre as
funções seno e cosseno, ambas contínuas, então a mesma será contínua
em seu domínio.
6. Cotangente.
Seja c um eixo associado ao ciclo trigonométrico tal que c é paralelo
ao eixo x, c tangencia a circunferência em B. Chama-se de C a
interseção da reta OM á reta tangente (c) no ponto B.
Fig. 6.1. – A cotangente no ciclo trigonométrico.
Tomando o exemplo da figura 6.1, define-se como cotangente (do arco AM
ou do ângulo α) a medida algébrica do segmento BC, e indica-se:
Cotangente de α = BC
Nos triângulos retângulos OM''M e OBC, tem-se:
A função cotangente assume todos os valores reais. Diz-se então que o
conjunto imagem da função cotangente é , ou seja, Imf=
A função f(x)=cotg(x) é definida em e seu domínio é o conjunto
. Assim, a curva gerada pode ser estendida para valores menores
que zero e maiores que 2π então, o gráfico da função f: D(
definida por f(x)=cotg(x) é a cotangentóide ou curva cotangente.
Fig.6.2 – Curva cotangente.
Por um teorema, temos que se duas funções f e g são contínuas em a,
então f/g será contínua em a. Como a cotangente é o quociente entre as
funções cosseno e seno, ambas contínuas, então a mesma será contínua
em seu domínio.
7. Secante
Seja s um eixo associado ao ciclo trigonométrico tal que s é
perpendicular à reta OM e s tangencia a circunferência em M. Chama-se
de S o ponto de interseção da reta s ao eixo x.
Fig. 7.1. – Reta perpendicular a OM no ciclo trigonométrico.
Tomando o exemplo da figura 7.1, define-se como secante (do arco AM ou
do ângulo α) a medida algébrica do segmento OS, e indica-se:
Secante de α = OS
Nos triângulos retângulos OMM' e OMS, tem-se:
A função cosseno assume valores no intervalo [-1,1], portanto, a
secante, que é sua inversa assumirá valores no intervalo ]- ,-1] ou
[1, + [, intervalo este que define sua imagem.
Seu domínio é . Assim, a curva gerada pode ser estendida para
valores menores que zero e maiores que 2π então, o gráfico da função
f: D( definida por f(x)=sec(x) é a secantóide ou curva secante.
Fig.7.2 – Curva Secante.
Por um teorema, temos que se duas funções f e g são contínuas em a,
então f/g será contínua em a. Como a secante é o quociente entre a
função constante 1 e a cosseno, ambas contínuas, então a mesma será
contínua em seu domínio.
8. Cossecante.
Tomando o exemplo da figura 7.1, define-se como cossecante (do arco AM
ou do ângulo α) a medida algébrica do segmento OQ, e indica-se:
Cossecante de α = OQ
Nos triângulos retângulos OMM'' e OMQ, tem-se:
A função seno assume valores no intervalo [-1,1], portanto, a
cossecante, que é sua inversa assumirá valores no intervalo ]- ,-1] ou
[1, + [, intervalo este que define sua imagem.
Seu domínio é . Assim, a curva gerada pode ser estendida para
valores menores que zero e maiores que 2π então, o gráfico da função
f: D( definida por f(x)=cossec(x) é a cossecantóide ou curva
cossecante.
Fig.8.1. – Curva cossecante.
Por um teorema, temos que se duas funções f e g são contínuas em a,
então f/g será contínua em a. Como a cossecante é o quociente entre a
função constante 1 e a seno, ambas contínuas, então a mesma será
contínua em seu domínio.
9. Identidades Trigonométricas.
10. Somas, diferenças e duplicações de Arcos.
11. Referências.
[1] – LEITHOLD, L. O Calculo com Geometria Analítica. São Paulo: Editora
Harper e Row;
[2] – GUIDORIZZI, H.L. Um curso de Cálculo. Rio de Janeiro: LTC; 5ª Edição
[3] – DA SILVA, E.G. Origem e Aplicação da Trigonometria.
