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Teoria das Estruturas de Comportamento Linear Fundamentos
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
O objeto da Teoria das Estruturas é a análise estrutural, isto é, a determinação dos estados de tensão e deformação que se instalam numa estrutura como resposta a uma dada solicitação.
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A linearidade do comportamento mecânico é uma hipótese perfeitamente válida para a maioria das estruturas em funcionamento normal. Dessa forma a Teoria da Elasticidade Linear constitui o instrumento mais importante da análise estrutural Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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A Teoria da Elasticidade Linear é pois, de toda a Mecânica dos Sólidos Deformáveis, o ponto de partida conveniente e o conjunto de sólidos conceitos cuja aplicação à análise estrutural se dá pela discretização do problema contínuo, mediante a utilização do conceito lagrangiano de variável generalizada. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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As duas contribuições mais relevantes à Teoria das Estruturas nos últimos anos, foram: Teoremas Variacionais da Teoria da Elasticidade, que se considera a base para se introduzir as teoria mais modernas de aproximações, base para a resolução de problemas através de computadores. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas Desenvolvimento do Método dos H Elementos Finitos, cuja importância é fundamental e imprescindível para o estudo dos comportamento das estruturas lineares e não-lineares; isso foi possível com o desenvolvimento da matemática computacional, ponto que permite processos de discretização robustos e representação gráficas dinâmicas dos campos de esforços e solicitações. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Slide 6 HMCdA1
Henrique Mariano Costa do Amaral; 29/6/2005
Teoria da Elasticidade Fundamentos da Teoria das Estruturas Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
As incógnitas fundamentais na teoria da elasticidade são representadas por: O vetor campo de deslocamento: T u = {u, v, w} O tensor campo de deformações:
ε = {ε x , ε y , ε z , γ yz , γ zx , γ xy }
T
O tensor campo de tensões:
σ = {σ x , σ y , σ z , τ yz , τ zx , τ xy }
T
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Fundamentos da Teoria das Estruturas As 15 incógnitas anteriores, definidas em um domínio Ω com contorno Γ, podem ser resolvidas pelas 15 equações básicas: 3 equações de equilíbrio (Eq. de Cauchy):
; como não há movimento → ρ u = 0 ∂σ + B = ρ u ∂σ + B = 0
6 equações deformação-deslocamento:
ε −∂ u = 0 T
6 equações constitutivas: ∂W ∂W * σ= ou ε = ∂ε ∂σ
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onde: W e W* são potenciais acoplados pelo que se chama de transformada de Legendre:
W (ε ) + W (σ ) = σ ε *
T
O vetor B é o vetor das forças de corpo:
B = {Bx , B y , Bz }
T
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Fundamentos da Teoria das Estruturas Nas equações constitutivas e de deformação-deslocamento, aparece um operador matricial ∂ definido por: ⎡∂ ∂ ∂⎤ ⎢ ⎥ 0 0 0 ⎢ ∂x ∂x ∂ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ⎥ ∂=⎢ 0 0 0 ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ y z x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ⎢0 ⎥ 0 0 ⎢ ⎥ z y x ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Como parte fundamental da formulação baseada sobre equações diferenciais, são as condições de contorno prescritas sobre o contorno Γ = Γu ∪ Γp; onde Γu denota o contorno onde deslocamentos são prescritos e Γp denota o contorno onde trações são prescritas; Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Assim, se tem as seguintes condições de contorno: 3 condições de contorno estáticas sobre Γp :
nσ − p = 0 ∴ p são valores prescritos
3 condições de contorno cinemáticas sobre Γu :
u − u = 0 ∴ u são valores prescritos Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Nas equações de contorno aparece uma matriz denotada por n que é a matriz dos co-senos diretores, que tem estrutura similar a matriz ∂:
⎡nx ⎢ n = ⎢⎢ 0 ⎢0 ⎢⎣ Prof. Henrique Mariano C. Amaral
0
0
0
nz
ny 0
0 nz nz n y
0 nx
ny ⎤ ⎥ n x ⎥⎥ ⎥ 0 ⎥⎦ 15
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Fundamentos da Teoria das Estruturas O campo de tensão σ e o campo de deslocamentos u são acoplados por uma relação integral chamada de teorema da divergência ou teorema da Clapeyron:
∫σ∂ T
T
Ω
ud Ω = ∫ u nσd Γ − ∫ u ∂σd Ω T
Γ
T
Ω
Que pode ser interpretado como uma igualdade entre o trabalho interno (lado esquerdo) e o externo realizado por forças de superfície e de corpo. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Teoria da Elasticidade Equações Constitutivas para Materiais Anisotrópicos Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Um material linear elástico é caracterizado pela densidade de energia de deformação:
1 T W (ε ) = (ε − ε 0 ) D (ε − ε 0 ) 2 onde D é uma matriz simétrica de ordem 6, representando a matriz de rigidez do material. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas Para materiais anisotrópicos, a matriz D tem 21 elementos independentes ou constantes elásticas. O vetor de deformação inicial ε0 ε0 = {ε0 x , ε0 y , ε0 z ,0,0,0}
T
representa os efeitos devido a mudanças de temperaturas, contrações, etc. Por exemplo, para dilatação devido a temperatura se tem: ε0 x = αxT ; ε0 y = α yT ; ε0 z = αzsT ; Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Onde T é a variação de temperatura em Kelvin e αx, αy, αz são os coeficientes de expansão térmica em [K-1]; Para materiais construtivos comuns (aço, concreto) pode-se fazer:
αx = αy = αz = 0,000012=12x10-6
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Combinando a função densidade de energia de deformação 1 T W (ε ) = (ε − ε 0 ) D (ε − ε 0 ) 2
com as equações constitutivas , obtémse
∂W = D (ε − ε 0 ) σ= ∂ε -1 ⇒ ε = D σ + ε0
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Usando a densidade de energia complementar de uma material elástico linear, se tem:
∂W * -1 ε= ⇒ (D σ + ε 0 ) dσ = dW ∂σ 1 T * T −1 ⇒ W = σ Cσ + σ ε 0 ∴ C = D 2 *
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Anisotropia total ocorre apenas para materiais especiais arranjados em um sistema triclínico. Um caso menos geral porém muito importante para a engenharia é a anisotropia rômbica com três planos ortogonais de simetria elástica, referenciado como ortotropia. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Usando as constantes técnicas E (modulo de elasticidade), ν (coeficiente de Poisson) e G (modulo de elasticidade transversal), a matriz de conformidade do material, C, é expressa por: ⎡ 1 Ex ⎢ ⎢−ν yx E x ⎢ ⎢−ν E zx x C = ⎢⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣ Prof. Henrique Mariano C. Amaral
−ν xy E y 1 Ey −ν zy E y
−ν xz E z −ν yz E z 1 Ez
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 G yz 0 0
0 1 G zx 0
0 0 1 G xy
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ 24
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Devido a simetria, a matriz C contém apenas 9 constantes independentes, pois o bloco superior esquerdo de elementos apresentam a seguinte condição:
ν xy E x = ν yx E y
ν yz E y = ν zy E z ν zx E z = ν xz E x Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Por inversão da matriz de compatibilidade C, se acha a matriz de rigidez do material D: ⎡ d xx ⎢ ⎢ d yx ⎢ ⎢d zx ⎢ C= ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0 Prof. Henrique Mariano C. Amaral
d xy
d xz
0
0
d yy
d yz
0
0
d zy
d zz
0
0
0
0
G yz
0
0
0
0
G zx
0
0
0
0
0⎤ ⎥ 0⎥ ⎥ 0 ⎥⎥ 0 ⎥⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ G xy ⎥⎦ 26
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Denotando ξ = 1− (ν xy ν yx + ν yzν zy + ν zxν xz ) − (ν xyν yzν zx + ν yxν zyν xz )
Se pode escrever o seguinte: ξd xx = E x (1− ν zy ν yz )
ξd xy = E x (ν xy − ν xzν zy ) = E y (ν yx − ν zxν yz ) = ξd yz
Os demais elementos podem ser obtidos por uma permutação cíclica dos índices. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Duas formulações especiais podem ser feitas para problemas bidimensionais: Estado plano de deformação, onde
ε z = γ xz = γ xz = 0 Estado plano de tensão, onde
σ z = τ xz = τ xz = 0 Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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A descrição de estado plano de deformação é baseado na redução da matriz D, após o que as equações constitutivas ficam:
⎧ ⎫ ⎡ ⎪ ⎪ σ d x xx ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪σ ⎪ ⎪ = ⎢d ⎨ y ⎬ ⎢ yx ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ τ 0 ⎪ ⎪ xy ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎣⎢ Prof. Henrique Mariano C. Amaral
d xy d yy 0
⎫ ⎪ ⎪ 0 ⎤⎧ ε x ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ 0 ⎥⎨ εy ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ Gxy ⎦⎩ γ ⎪ ⎥ ⎪ xy ⎪⎭⎪ 29
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As relações inversas têm a seguinte forma: ⎧⎪ ε x ⎫⎪ ⎡ cxx cxy 0 ⎤⎧⎪ σ x ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
onde
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ε c c 0 σ = ⎨ y ⎬ ⎢ yx ⎨ y⎬ yy ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎢ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎥ 0 1 Gxy ⎦⎩ ⎪⎩ ⎥ ⎪⎪τ xy ⎪⎭⎪ ⎪γ xy ⎪⎭⎪ ⎣⎢ 0 1− ν xzν zx cxx =
Ex
cxy = c yx = − c yy = Prof. Henrique Mariano C. Amaral
ν xy − ν xzν zy Ex
=−
ν yx − ν zxν yz Ey
1− ν yzν zy Ey 30
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A descrição do estado plano de tensões é baseado na redução da matriz C, após o que as equações constitutivas são: ⎧⎪ ε x ⎫⎪ ⎡ 1 E x ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ν E 0 σ − xy y x ⎪⎪ ⎪⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ε ⎪⎬ = ⎢−ν E ⎥ ⎪⎨ σ ⎪⎬ 1 E 0 y ⎥⎪ y ⎪ ⎪⎪ y ⎪⎪ ⎢⎢ yx x ⎪ ⎪ ⎥ γ τ 0 0 1 G ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ xy xy xy ⎢ ⎥ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎣ ⎦⎩⎪ ⎭⎪ Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Suas relações inversa têm a seguinte forma: ⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫
onde
⎪ σ x ⎪⎪ ⎢ d xx ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ σ ⎨ y ⎬ = ⎢⎢ d yx ⎪⎪ ⎪ ⎢0 ⎪⎩⎪τ xy ⎪ ⎪⎭ ⎪ ⎢⎣ d xx =
d xy
d yy 0
0 ⎪⎪ ε x ⎪⎪ ⎥⎪ ⎪ 0 ⎥⎥ ⎨⎪ ε y ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪γ ⎪⎪ Gxy ⎥⎥⎦⎩ ⎪ xy ⎪⎭
Ex 1− ν xy ν yx
ν xy E x ν yx E y = d xy = d yx = 1− ν xy ν yx 1− ν xy ν yx d yy = Prof. Henrique Mariano C. Amaral
Ey 1− ν xy ν yx
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Introduzindo o conceito de coeficiente de Poisson equivalente, dado por
ν = ν xy ν yx As últimas relações constitutivas passam a ter a forma: ⎡ E ⎧⎪ σx ⎫⎪ ⎢ x ⎪⎪ ⎪⎪ ⎢ 1 ⎪σ ⎪ = ⎢ν E E ⎨ y⎬ x y ⎪⎪ ⎪⎪ 1− ν 2 ⎢⎢ ⎪⎩⎪τxy ⎪⎭⎪ ⎢ 0 ⎢⎣ Prof. Henrique Mariano C. Amaral
ν E y Ex Ey 0
⎤ ⎥ ⎧⎪ ε x ⎫⎪ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎥ ⎪⎨ ε ⎪⎬ 0 ⎥⎪ y ⎪ ⎥ ⎪⎪γ ⎪⎪ Ex + E y − 2ν E y Ex ⎥⎥ ⎩⎪ xy ⎭⎪ ⎦ 0
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(
)
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Em um meio isotrópico, todas as constantes do material são independentes da orientação dos eixos coordenados; dessa forma se pode suprimir os índices x e y, e as matrizes C e D nos estados planos de tensão e deformação são dadas a seguir. Observamos que: E G= 2 (1 + ν ) Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas EPT- Estado Plano de Tensão EPD- Estado Plano de Deformação C
D
⎛ 1 ⎜⎜ ⎜⎜ 2 (1 + ν ) ⎜⎜ 1 ⎜⎜ −ν ⎜⎜ G ⎜ 2 (1 + ν ) ⎜⎜ ⎜⎜ 0 ⎜⎜ ⎝
⎛ 2 ⎜⎜ ⎜⎜ (1 − ν ) ⎜⎜ ⎜⎜ 2ν G⎜ ⎜⎜ (1 − ν ) ⎜⎜ ⎜⎜ 0 ⎜⎜ ⎝
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⎞⎟ −ν 0⎟⎟ 2 (1 + ν ) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ 1 ⎟ 0⎟⎟ 2 (1 + ν ) ⎟⎟⎟ ⎟⎟ 0 1⎟⎟ ⎟ ⎠⎟
2ν (1 − ν ) 2 (1 − ν ) 0
⎞⎟ 0 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ 0 ⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎟⎟ 1 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠
⎛1 − ν −ν ⎜⎜ ⎜⎜ 2 2 ⎜ 1 ⎜⎜ −ν 1 − ν ⎜⎜ G⎜ 2 2 ⎜⎜ 0 ⎜⎜ 0 ⎜⎝ ⎛ 2 (1− ν ) 2ν ⎜
⎜⎜ ⎜⎜ 1− 2ν ⎜⎜ 2ν G ⎜⎜ ⎜⎜ 1− 2ν ⎜⎜ ⎜⎜ 0 ⎜⎜ ⎝
⎞⎟ 0 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ 0 ⎟⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ 1 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠
⎞⎟ 0⎟⎟ ⎟⎟ 1− 2ν ⎟⎟ 2 (1− ν ) ⎟⎟ 0⎟⎟ 1− 2ν ⎟⎟⎟ 0 1⎟⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎟ 35
Materiais Elásticos Lineares Transformação de Equações Constitutivas para Materiais Ortotrópicos Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas Em geral, os planos de simetria elástica não coincidem com os planos coordenados globais, os quais servem como referencia para uma estrutura por inteira. Assim, é necessário transformar a matriz de rigidez do material D (ou a matriz de compatibilidade C) do sistema de coordenadas local, no qual as constantes elásticas foram determinadas, no sistema de coordenadas global. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Essa transformação é baseada na expressão da densidade de energia de deformação W (ou na densidade de energia complementar W*), a qual, sendo um escalar, independe do sistema de coordenadas:
2W (ε ) = ε σ = ε Dε = T
T
= ε σ = ε Dε T
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T
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Supondo conhecida a matriz D definida com relação ao sistema de coordenadas local, se quer achar a matriz D relacionada ao sistema de coordenadas global. Restringindo o foco à descrição planar de um material ortotrópico se tem que o tensor deformação é transformado de acordo com a conhecida fórmula: Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas 2 2 ⎡ ⎤ ⎧⎪ ε x ⎫⎪ ⎧⎪ ε x ⎫⎪ ⎧⎪ ε1 ⎫ c s cs ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎥ 2 ⎪ ε ⎪ = ⎪ ε ⎪ = ⎢ s2 ⎪ ⎪ ⎥ −cs ⎥ ⎨ ε y ⎬ c ⎨ y⎬ ⎨ 2⎬ ⎢ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ − − γ γ 2 2 γ cs cs c s ⎥⎦ ⎪⎩⎪ xy ⎪⎭⎪ ⎪ ⎢⎣ ⎩⎪⎪ xy ⎭⎪⎪ ⎪⎩⎪ 12 ⎪⎭ Onde s = sen α e c = cos α
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De forma compacta se tem:
ε = Tε
Ou ainda
ε Dε = ε T DTε T
T
T
⇒ D = T DT T
Realizando as multiplicações matriciais vê-se que: D = D + D 1
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2
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Ou ainda
D = D1 + D2 = [ D11
D12
⎧ ⎫ ⎪ ⎪ d 22 s 4 + 4G12 s 2c 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2 2 D11 = ⎨ d 22 s c − 4G12 s c ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 2 2 ⎪ ⎪ − − − 2 d s c G sc c s ( ) 22 12 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎪
onde
⎧ ⎫ ⎪ ⎪ d 22 s 2c 2 + 4G12 s 2c 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 2 2 D12 = ⎨ d 22c − 4G12 s c ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 2 2 ⎪ − + − 2 d sc G sc c s ( )⎪⎪⎪⎭ 12 ⎪⎩⎪ 22 ⎧ ⎪ ⎪ −d 22 s 3c − 2G12 sc (c 2 − s 2 )⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 2 2 ⎪ D13 = ⎨−d 22 sc + 2G12 sc (c − s )⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2 2 2 ⎪ ⎪⎪ d 22 s c + G12 (c − s ) ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Prof. Henrique Mariano C. Amaral
D13 ] + [ D21
D22
D23 ]
⎧ ⎫ ⎪ d11c 4 + 2d12 s 2c 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 4 4 ⎪ ⎪ D21 = ⎪ d s c d s c + + ) ⎨ 11 ⎬ 12 ( ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 2 2 ⎪ ⎪ d sc − d12 sc (c − s )⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 11 ⎭ 2 2 4 4 ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ d s c d s c + + ( ) 11 12 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 2 2 D22 = ⎨ d11s + 2d12 s c ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ 3 2 2 ⎪⎪d11s c + d12 sc (c − s )⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎧⎪d sc 3 − d sc (c 2 − s 2 )⎫⎪ 12 ⎪⎪ 11 ⎪⎪ ⎪⎪ 3 2 2 ⎪ D23 = ⎨d11s c + d12 sc (c − s )⎪⎬ ⎪⎪ ⎪⎪ 2 2 ⎪⎪ (d11 − 2d12 ) s c ⎪⎪ 42 ⎩⎪ ⎭⎪
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Como mostrado na figura abaixo, se tem d11 = d12 = 0, logo os elementos de D2 se anulam e, assim, D1 corresponde a rigidez do material danificado por fendas na direção 2 (d22≠0) devido ao cisalhamento.
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Materiais Elásticos Lineares Forma Tensorial das Equações da Elasticidade Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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A notação tensorial é preferível nos problemas em que a notação matricial se torna complicada. A notação tensorial, é particularmente útil no método dos elementos finitos onde produz expressões simples para as matrizes de rigidez de certos elementos importantes. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Para o estado geral de tensões, a equação tensorial é: 3
3
σij = ∑∑ Dijkl (ε kl − ε0 k =1 l =1
kl
)
onde Dijkl é o tensor de rigidez do material, que para o caso de materiais isotrópicos é dado por: ⎛ ν ⎞⎟ + δik δ jl ⎟⎟ Dijkl = 2G ⎜⎜ δ δ ij kl ⎜⎝1− 2ν ⎠ Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Onde δij é um tensor chamado tensor isotrópico (que também chamado de delta de Kronecker) assume valores 1 (para i=j) e 0 (para j ≠ i). Similarmente, o tensor de compatibilidade de um material isotrópico é dado por
Cijkl Prof. Henrique Mariano C. Amaral
⎞⎟ 1 ⎛⎜ ν δijδkl ⎟⎟ = ⎜⎜⎝δik δ jl − ⎠ 2G 1+ ν 47
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Agora se pode escrever a relação inversa da equação de estado geral de 3 3 tensão: σij = ∑∑ Dijkl (ε kl − ε0kl ) k =1 l =1
da seguinte maneira 3
3
εij = ∑∑ Cijkl σ kl − ε0 k =1 l =1
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kl
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Essas duas equações podem ser escritas omitindo o símbolo de somatória, assumindo a regra de somação sobre os subscritos repetidos, da seguinte forma 3
3
σij = ∑∑ Dijkl (ε kl − ε0 ) = Dijkl (ε kl − ε0 kl
k =1 l =1 3
3
εij = ∑∑ Cijkl σ kl − ε0 k =1 l =1
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kl
kl
= Cijkl σ kl − ε0kl 49
)
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A partir dessas equações a relação de deformação-deslocamento, ε −∂T u = 0 , na notação tensorial, é dada por:
1 ⎛⎜ ∂uk ∂ul ⎞⎟ ⎟⎟ ε kl = ⎜⎜ + 2 ⎝ ∂xl ∂xk ⎠⎟ Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas É sempre útil combinar as equações constitutivas com a equação deformaçãodeslocamento. Fazendo ε0kl = 0, se tem:
⎛ ν ⎞ ⎛ ⎞ ∂ u ∂ul 1 ⎜ ∂ui ⎜⎜ j ⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ + ⎜⎜ + σij = 2G ⎜ δij ⎜⎝1− 2ν ∂xl 2 ⎜⎝ ∂x j ∂xi ⎠⎟⎟⎠⎟⎟ Esta equação é válida para o estado plano de deformação, com os índices de somação variando de 1 até 2. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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A equação tensorial para o estado plano de tensão é obtida da relação ν
anterior trocando ν por (1 + ν ) . A simples manipulação, leva a:
⎛ ν ⎞ ⎛ ⎞ ∂ul 1 ⎜ ∂ui ∂u j ⎟⎟⎟⎟ ⎜⎜ σij = 2G ⎜ δij + ⎜⎜ + ⎟⎟⎟⎟ ⎜⎝1− ν ∂xl 2 ⎜⎝ ∂x j ∂xi ⎠⎟⎠⎟ Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Para retornar da equação do estado plano de tensão para a equação do estado plano de deformação, deve-se trocar ν por ν
(1− ν ) Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Para completar a formulação, precisase das equações de Cauchy:
∂σ + B = 0 na forma tensorial
∂σij ∂x j Prof. Henrique Mariano C. Amaral
+ Bi = 0 54
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Com suas respectivas condições de contorno: σ n − p = 0 ij
j
i
e ui − ui = 0 onde os co-senos diretores nj são as componentes do versor normal ao contorno. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Princípios Variacionais Princípio do Trabalho Virtual Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) e os princípios variacionais da mecânica, provêem a base de muitos dos métodos de aproximação usados na mecânica, como o Método dos Elementos Finitos (MEF), o Método dos Elementos de Contorno (MEC), etc. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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O Princípio do Trabalho Virtual – PTV tem duas versões básicas: O Princípio dos Deslocamentos Virtuais – PDV; e O Princípio das Forças Virtuais – PFV A palavra virtual aqui significa hipotético, que poderia ocorrer, embora, de fato, não ocorra. É um deslocamento infinitesimal que se impõe a um ponto ou a um sistema rígido de modo a não alterar a configuração estática ou geométrica do corpo e das forças que nele atuam, preservando as condições de equilíbrio a que essas forças estão sujeitas. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas Pode-se dizer que o trabalho virtual realizado pelas forças externas, quando se dá a uma estrutura deformável em equilíbrio um deslocamento virtual, é igual ao trabalho realizado pelas forças internas. Um deslocamento virtual consiste em uma translação em qualquer direção, uma rotação em torno de qualquer eixo ou ambas Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Princípios Variacionais Princípio dos Deslocamentos Virtuais – PDV Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Seja um corpo sólido solicitado por forças de superfície e de volume, as quais induzem um estado de tensões σ em equilíbrio com as mesmas. Em correspondência a este estado de tensões existirá um estado de deformações ε e um campo de deslocamentos u, que definem a configuração deformada do sólido. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Se si agrega à configuração deformada de equilíbrio um estado de deslocamentos virtuais δu, fictícios, com a única limitação de que o campo de deslocamentos finais, u+ δu continue satisfazendo as condições de contorno, então, sobre a superfície Γu se deve ter:
δu = 0
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Como já dito, para se manter o equilíbrio, o trabalho virtual realizado pelas forças externas, quando se dá a uma estrutura deformável em equilíbrio um deslocamento virtual δu, é igual ao trabalho realizado pelas forças internas. Assim, o PDV é uma exigência de equilíbrio, podendo ser aplicado tanto a problemas lineares como não lineares. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
O princípio dos deslocamentos virtuais – PDV é usualmente escrito como:
∫ δε
T
Ω
σd Ω = ∫ δ u Bd Ω + ∫ δ u pd Γ T
Ω
T
Γp
O lado esquerdo representa o trabalho virtual das forças internas (tensões x deformações) enquanto o lado direito corresponde ao trabalho virtual das forças externas (forças x deslocamentos). Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Os deslocamentos virtuais δε e δu precisam ser cinematicamente admissíveis. Isto significa o seguinte: O deslocamento virtual δu precisa satisfazer as condições de contorno cinemáticas:
δu = 0
sobre Γu As deformações virtuais δε precisam ser ligadas aos deslocamentos virtuais pela relação: T
δε = ∂ δu
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Trocando u por δu na equação de Clapeyron (teorema da divergência):
∫ σ ∂ udΩ = ∫ u nσd Γ − ∫ u ∂σdΩ T
T
Ω
T
T
Γ
Ω
pode-se transformar a equação do PDV em:
∫ δu (∂σ + B) dΩ + ∫ δu T
Ω
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T
(−nσ + p) d Γ = 0
Γu
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
A equação anterior é satisfeita para deslocamentos virtuais arbitrários δu apenas se as condições de equilíbrio também forem satisfeitas, isto é: as equações de Cauchy ∂σ + B = 0 são satisfeitas sobre Ω; as condições de contorno nσ − p = 0 são satisfeitas sobre Γ. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Assim, as equações
∫ δu (∂σ + B) dΩ + ∫ δu T
T
Ω
(−nσ + p) d Γ = 0
Γu
∂σ + B = 0
sobre Ω
nσ − p = 0
sobre
Γ
representam o Princípio Geral de Equilíbrio. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
O PDV pode ser facilmente estendido para problemas dinâmicos. De acordo com o Princípio de D’Alembert, podese tratar as forças de inércia, ρ u , como forças de corpo aplicadas denota a segunda externamente ( u derivada parcial com relação ao tempo; ρ é a massa específica). Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Se esse procedimento for realizado, a equação:
∫ δu (∂σ + B) dΩ + ∫ δu T
Ω
T
(−nσ + p) d Γ = 0
Γu
se transforma em: T T δ u ∂ σ + B − ρ u d Ω + δ u ) ∫ ( ∫ (−nσ + p) d Γ = 0 Ω
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Γu
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Princípios Variacionais Princípio das Forças Virtuais – PFV Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Seja agora um campo de deslocamentos u e um estado de deformações compatíveis no qual se introduz uma variação δσ do estado de tensões. Esta variação δσ será arbitrária devendo o estado de tensões total σ+δσ satisfazer as condições de equilíbrio e as condições de contorno sobre a superfície Γu. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
O Princípio das Forças Virtuais – PFV é usualmente escrito como: T T T ∫ δ σ εdΩ = ∫ δp ud Γ + ∫ δ B udΩ = Ω
Γu
Ω
= ∫ δ σ n ud Γ + ∫ δ B ud Ω T
Γu
T
T
Ω
O lado esquerdo da expressão acima representa o trabalho virtual complementar das forças internas, enquanto o lado direito representa o trabalho virtual complementar das forças externas. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Os campos virtuais δσ, δB e δp precisam ser estaticamente admissíveis, isto é, para δB = 0 em Ω e para δp = 0 em Γp, as condições de equilíbrio incluem: As equações homogêneas de Cauchy
∂σ + B = 0
sobre Ω
Condições de contorno estáticas homogêneas:
nσ − p = 0
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
sobre
Γp
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Usando a equação de Clapeyron ou teorema da divergência
∫ σ ∂ udΩ = ∫ u nσd Γ − ∫ u ∂σdΩ T
T
Ω
T
T
Γ
Ω
pode-se transformar a equação do PFV em:
∫ δσ Ω
T
(ε −∂u) d Ω + ∫ δ p (u − u) d Γ = 0
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
T
Γu
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Esta equação é satisfeita tensões arbitrárias virtuais δσ (δp = n.δσ ≠ 0 sobre Γu) apenas se as equações cinemáticas também forem satisfeitas, isto é, Relação cinemática ε-∂Tu=0 em Ω; Condições cinemáticas u-ū = 0 em Γu.
Dessa forma, vê-se que PFV é um princípio da continuidade. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Princípios Variacionais Princípios Variacionais
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Os princípios variacionais se seguem diretamente do Princípio do Trabalho Virtual - PTV: O Princípio dos Deslocamentos Virtuais – PDV – leva ao Princípio Variacional de Lagrange ou Princípio de Energia Potencial Mínima; O Princípio das Forças Virtuais – PFV – leva ao Princípio Variacional de Castigliano ou Princípio da Energia Complementar Mínima. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Princípios Variacionais Princípio da Lagrange Princípio da Energia Potencial Mínima Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Em um sólido elástico o trabalho desenvolvido em correspondência com o processo de deformação, quando esse processo é adiabático, resulta igual à mudança produzida na energia interna de deformação, que é, por definição
∏i = ∫ W (ε ) d Ω = Ω
1 2
∫ε
T
σd Ω =
1 2
Ω
∫ε
T
Dεd Ω
Ω
∴ 2W (ε ) = ε σ = ε Dε T
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
T
80
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
A variação dessa energia de deformação é:
δ ∏i = ∫ δ ε σd Ω = ∫ δ ε Dεd Ω T
Ω
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
T
Ω
81
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Por outro lado, quando as forças de corpo B e de superfície p são independentes dos deslocamentos, pode-se definir o potencial das forças externas como:
∏e = −∫ u Bd Ω − ∫ u pd Γ T
Ω
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T
Γ
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Similarmente, sua variação é:
δ ∏e = −∫ δ u Bd Ω − ∫ δ u pd Γ T
Ω
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
T
Γ
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
O princípio de Lagrange nos afirma: “Dentre todos os estados cinematicamente admissíveis de um corpo elástico, o estado real é aquele que minimiza a energia potencial total que é igual a soma da energia interna de deformação mais a energia potencial das cargas externas.”
Π p = Πi + Πe = mínima Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Os estados cinematicamente admissíveis são especificados por: Deslocamentos que são contínuos e têm derivadas contínuas por partes no domínio de solução e satisfazem as condições de contorno cinemáticas sobre Γu, e Deformações que são derivadas dos deslocamentos usando as equações cinemáticas de deformaçãodeslocamento. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
85
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Como a energia potencial deve ser mínima, então sua variação deve ser nula, logo
δ Π p = δ ( Πi + Π e ) = δ Πi + δ Π e 0 ou δΠ p = ∫ δ ε Dεd Ω − ∫ δ u Bd Ω − ∫ δ u pd Γ = 0 T
Ω
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
T
Ω
T
Γ
86
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Nota-se que a energia potencial Πp depende somente dos deslocamentos u. Assim a expressão de δΠp implica uma condição a ser aplicada sobre os deslocamentos. Por outro lado esse princípio foi deduzido a partir do PDV- princípio dos deslocamentos virtuais, que representa um requerimento de equilíbrio Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Disso se conclui o princípio de Lagrange. Para se certificar da natureza do ponto estacionário é necessário estudar o sinal da segunda variação da energia potencial: δ 2Π = δ εT Dδ εd Ω p
∫ Ω
que é a expressão que define uma forma quádrica. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Na expressão da forma quádrica
δ Π p = ∫ δ ε Dδ εd Ω 2
T
Ω
A matriz D é positiva definida para materiais estáveis, logo δ2Πp será sempre positiva; portanto o princípio da energia potencia mínima indica que o campo de deslocamentos produzidos por tensões em equilíbrio corresponde a um mínimo da energia potencial. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
89
Exemplo
E
X
E M P L O
• Considere o caso de uma viga prismática como a indicada abaixo:
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
90
E
X
E M P L O
Exemplo • Desprezando as deformações por efeito de corte, se tem:
∂v ∂ u γ xy = + = 0 ∂x ∂ y ∂v dv ∴ v = v ( x) ⇒ =+ =θ ∂x dx Prof. Henrique Mariano C. Amaral
91
Exemplo
E
X
E M P L O
• onde θ é a inclinação da linha neutra deformada, e
dv u = − yθ ⇒ u = − y dx
• e mais, como:
du εx = dx Prof. Henrique Mariano C. Amaral
2
d v ⇒ εx = −y 2 dx 92
E
X
E M P L O
Exemplo • Por outro lado se tem: σ x = E ε x • Com o que a energia de deformação da viga resulta ser: L
1 1 Πi = ∫ ε x σ x d Ω = ∫ 2 Ω 2 0
h 2
b 2
⎛ d v ⎞⎟ ⎜− y E ⎜ ∫h ∫b ⎜⎝ dx 2 ⎠⎟⎟⎟ dxdydz 2
2
−2 −2
• Donde, o momento de inércia da seção transversal da viga é: h2 b2
∫ ∫ y dydz = I 2
− h2 − b2
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
93
Exemplo • Dessa forma, se tem:
⎛ d v ⎞⎟ 1 Πi = EI ∫ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ dx ⎜⎝ dx ⎠⎟ 2 0
E
X
E M P L O
L
2
2
• Assim, a energia potencial da viga prismática será: L ⎛ ⎞ 1 d v⎟ ⎜ Π p = Πi + Πe = EI ∫ ⎜ 2 ⎟⎟ dx − ∫ pvdx ⎜⎝ dx ⎠⎟ 2 L
0
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
2
2
0
94
Exemplo • A primeira variação δΠp resulta: L ⎛ d 2 v ⎞⎟ ⎛ d 2 v ⎞⎟ δΠ p = EI ∫ ⎜⎜ 2 ⎟⎟δ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ dx − ∫ pδ vdx ⎜⎝ dx ⎠⎟ ⎝⎜ dx ⎠⎟ 0
0
• A segunda variação δ2Πp resulta:
E
X
E M P L O
L
L
δ Π p = EI ∫ 2
0 Prof. Henrique Mariano C. Amaral
⎛ d v ⎞⎟ δ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ dx > 0 ⎜⎝ dx ⎠⎟ 2
2
95
Princípios Variacionais Princípio de Castigliano Princípio da Energia Complementar Mínima Prof. Henrique Mariano C. Amaral
96
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas O Princípio de Castigliano pode ser formulado como o princípio da energia complementar mínima: “Dentre todos os estados estaticamente admissíveis, o estado real é aquele que minimiza a energia complementar:
Π = Π + Π = mínimo *
* i
* e
Onde Π*i por definição é a variação da energia complementar de tensões Π*e é igual ao incremento do potencial complementar das forças externas”
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Isto é:
Π = ∫ W (σ ) d Ω * i
*
Ω
Π = −∫ p ud Γ = −∫ σ n ud Γ * e
T
Γu
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
T
T
Γu
98
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Se as condições de contorno cinemáticas prescritas sobre Γu forem homogêneas, isto é, ū = 0, então a energia potencial complementar das forças externas (trabalho complementar) é nulo e então:
Π = Π = mínimo *
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
* i
99
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Os estados estaticamente admissíveis precisam satisfazer as condições de equilíbrio internas ao corpo (equações não homogêneas de Cauchy) e sobre parte de seu contorno (condições de contorno estáticas sobre Γp). Prof. Henrique Mariano C. Amaral
100
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Então para que o funcional Π* seja mínimo é necessário que sua primeira variação seja nula, isto é:
⎛ ⎞⎟ ⎜⎜ * * T δΠ = δ ⎜ ∫ W (σ) d Ω − ∫ p ud Γ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎝ ⎟ ⎠ Ω Γu =∫ Ω
∂W ( σ ) T δσ d Ω − ∫ δ p ud Γ = 0 ∂σ Γ
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
*
T
u
101
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Substituindo a derivada parcial do potencial complementar pela equação constitutiva correspondente, se tem: * ∂W (σ) ε= = Cσ + ε 0 ∂σ
δΠ = ∫ δ σ εd Ω − ∫ δ p ud Γ = 0 *
T
Ω
T
Γu
δΠ = ∫ δ σ Cσd Ω − ∫ δ p ud Γ = 0 *
T
Ω
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
T
Γu
102
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Assim, tanto o PFV quanto o principio da energia complementar mínima levam às mesmas equações: Equações deformação-deslocamento (ou após a eliminação dos deslocamentos, às equações de compatibilidade), e Condições de contorno cinemáticas.
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103
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas Assim
O PDV e o princípio variacional de Lagrange estabelecem a base para o método dos deslocamentos na analise estrutural, pois o principio da energia potencial mínima que o envolve é um requisito de equilíbrio; Prof. Henrique Mariano C. Amaral
104
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Similarmente, o PFV e o principio variacional de Castigliano estabelece a base do método das forças na analise estrutural, pois o principio da energia complementar mínima é uma exigência de compatibilidade do estado de deformações. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
105
Princípios Variacionais Princípio de Hellinger-Reissner Prof. Henrique Mariano C. Amaral
106
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
O funcional correspondente ao princípio variacional de HellingerReissner, ou princípio geral, envolve tanto equilíbrio como compatibilidade, e nele se pode variar tanto as tensões e forças como os deslocamentos.
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
107
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
A expressão matemática do princípio variacional de Hellinger-Reissner é:
δΠ R = 0 ∴ Π R = ∫ σ ∂ ud Ω − ∫ W (σ) d Ω − ∫ u Bd Ω T
T
T
*
Ω
Ω
Ω
−∫ u pd Γ − ∫ σ n (u − u) d Γ T
Γp
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T
T
Γu
108
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
No princípio variacional de Hellinger-Reissner os campos u e σ são independentes e requer que as equações constitutivas sejam satisfeitas a priori e levam às seguintes condições de estacionariedade: Equações de Cauchy; Relações tensão-deslocamento; Condições de contorno estáticas sobre Γp; Condições de contorno cinemáticas sobre Γu. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
109
• Exemplo • Seja a viga prismática abaixo com inércia constante::
E
X
E M P L O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
110
Fundamentos da Teoria das Estruturas • A energia potencial, neste caso é L ⎛ ⎞ 1 d v⎟ ⎜ Π p = EI ∫ ⎜ 2 ⎟⎟ dx − ∫ pvdx ⎜⎝ dx ⎠⎟ 2 2
2
0
0
• Para aplicar o método de Rayleigh-Ritz escolhe-se como primeira aproximação a família de funções
v = αx
E
X
E M P L O
L
2
• Que cumpre as condições de contorno essenciais do problema. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
111
Fundamentos da Teoria das Estruturas • O funcional aproximado será, então
E
X
E M P L O
L
L
1 1 3 2 π p = EI ∫ 4αdx − ∫ pvdx = 2 EILα − pL α 2 3 0 0
• Aplicando a condição de ponto estacionário se tem:
3⎞ 2 ⎛ pL ⎟ pL ⎜ ⎟⎟δ a = 0 ⇒ α = δπ p = ⎜4 EILα − ⎜⎝ 3 ⎠⎟ 12 EI
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
112
Fundamentos da Teoria das Estruturas
E
X
E M P L O
• Levando esse resultado à função de aproximação, se tem: 2
2
pL 2 d v 2 v= x ⇒ M = EI 2 = pL 12 EI dx • Essa solução aproximada não é muito boa, pois produz um momento fletor constante. Assim é necessário uma aproximação com um número maior de termos. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
113
Fundamentos da Teoria das Estruturas
E
X
E M P L O
• Seja agora a aproximação:
v = α1 x + α2 x 2
L ⎛ d 2 v ⎞⎟ 1 Π p = EI ∫ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ dx − ∫ pvdx ⎜⎝ dx ⎠⎟ 2 L
• que substituindo em fica: L
Πp = ∫
(
1 2
3 2
0
EI (2α1 + 6α2 x ) − p (α1 x + α2 x 2
2
0
3
)) dx
0
Π p = 12 EI (4α12 L + 6α1α2 L2 + 6α22 L3 ) − p ( 13 α1L3 + 14 α2 L4 ) Prof. Henrique Mariano C. Amaral
114
Fundamentos da Teoria das Estruturas
E
X
E M P L O
• Aplicando a condição de estacionariedade, se tem
δΠ p =
∂Π p ∂α1
δα1 +
∂Π p ∂α2
δα2
• Que equivale a zerar cada parcela do funcional Πp: ∂Π p 2 3 1 = EI (4α1L + 6α2 L ) − 3 pL = 0 ∂α1 ∂Π p = EI (6α1L2 + 12α2 L3 ) − 14 p = 0 ∂α2 Prof. Henrique Mariano C. Amaral
115
Fundamentos da Teoria das Estruturas
E
X
E M P L O
• Resolvendo as duas equações lineares, se obtém: 5oL ⎫⎪⎪ α1 = ⎪⎪ pLx ⎜⎛ 5 2⎞ 24 EI ⎟ − Lx x ⎟ ⎬⇒ v = ⎜⎜⎝ ⎪ ⎠⎟ 12 EI 2 pL ⎪ α2 = − ⎪⎪ 12 EI ⎪⎭ 2
• Que produz no ponto x = L o valor exato do deslocamento, mas não o valor do momento: pL4 vx=L =
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8EI 116
Fundamentos da Teoria das Estruturas
E
X
E M P L O
• Seja agora uma terceira aproximação:
v = α1 x + α2 x + α3 x 2
3
4
• Fazendo os mesmos procedimentos realizados anteriormente, se encontra: 2 2⎞ ⎛ px ⎜ L Lx x ⎟ v= ⎜⎜ − + ⎟⎟⎟ EI ⎝ 4 6 24 ⎠ 2
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
117
Fundamentos da Teoria das Estruturas • Esta solução 2 2⎞ ⎛ px ⎜ L Lx x ⎟ v= ⎜⎜ − + ⎟⎟⎟ EI ⎝ 4 6 24 ⎠
E
X
E M P L O
2
• Corresponde à uma solução exata (dentro de um intervalo de erro admissível) para o problema dado. • Usando o MathCad mostra-se a seguir uma tabela comparativa dos valores do deslocamento e momento, para as tres aproximações consideradas. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
118
1ª aproximação:
2ª aproximação:
2
p⋅L 2 v1 ( x) := ⋅x 12 ⋅ E ⋅ I
v2 ( x) :=
3ª aproximação:
p ⋅ L⋅ x ⎡⎛ 5 ⎞ 2⎤ ⋅ ⎢⎜ ⋅ L⋅ x − x ⎥ 12 ⋅ E ⋅ I ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦
2 2 2 L⋅ x x ⎞ p⋅x ⎛ L ⋅⎜ − + v3 ( x) := E⋅ I ⎝ 4 6 24 ⎠
Deslocamentos v
E M P L O
0.14 0.13 0.12 0.11 0.1 0.09 v1 ( x)
E
X
v2 ( x) v3 ( x)
0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0
0
0.1
0.2
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
0.3
0.4
0.5 x
0.6
0.7
0.8
0.9
1
119
Fundamentos da Teoria das Estruturas
m1( x) :=
d2 2
v1 ( x)
1 m1( x) → 6
v2 ( x)
5 1 − ⋅x m2( x) → 12 2
v3 ( x)
m3( x) →
dx
m2( x) :=
X
E M P L O
Mometos Fletores
d2 2
E
dx
m3( x) :=
d2 dx2
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1 2 1 1 ⎛ −1 + 1 ⋅ x⎞ − ⋅ x + ⋅ x + 4 ⋅ x⋅ ⎜ 6 2 3 ⎝ 6 12 ⎠
120
0.5
Momentos Fletores 0.5 0.44
0.32
m1 ( x) 0.26 m2 ( x) 0.2 m3 ( x) 0.14
X
E M P L O
0.38
E
0.08 0.02 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.04
− 0.083 0.1
0 Prof. Henrique Mariano C. Amaral
x
L 121
Fundamentos da Teoria das Estruturas Funcional
L
⌠ ⎮ 1 J2 ( x) := ⋅ E ⋅ I⋅ ⎮ 2 ⎮ ⌡0
2
L ⎞ ⎛⎜ d2 ⌠ v1 ( x) dx − ⎮ p ⋅ v1 ( x) dx ⎜ dx2 ⌡0 ⎝ ⎠
2
L ⎞ ⎛⎜ d2 ⌠ v2 ( x) dx − ⎮ p ⋅ v2 ( x) dx ⎜ dx2 ⌡0 ⎝ ⎠
J1 ( x) →
−1 72
−7 J2 ( x) → 288
E
X
E M P L O
L
⌠ ⎮ 1 J1 ( x) := ⋅ E ⋅ I⋅ ⎮ 2 ⎮ ⌡0
L
⌠ ⎮ 1 J3 ( x) := ⋅ E ⋅ I⋅ ⎮ 2 ⎮ ⌡0
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
2
L ⎛⎜ d2 ⎞ ⌠ v3 ( x) dx − ⎮ p ⋅ v3 ( x) dx ⎜ dx2 ⌡0 ⎝ ⎠
J3 ( x) →
−1 40
122
Fundamentos da Teoria das Estruturas
E
X
E M P L O
• Seja agora a viga prismática indicada abaixo (L=10 e p=10):
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
123
E
X
E M P L O
Fundamentos da Teoria das Estruturas • Neste exemplo, se sabe que o valor exato da fecha no ponto onde se aplica a carga concentrada é 1875. • Para essa viga a expressão da energia potencial é:
⎛ d v ⎞⎟ 1 Π p = EI ∫ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ dx − Pv x = L ⎜⎝ dx ⎠⎟ 2 0 L
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
2
2
124
• Se vê na expressão da energia potencial que a integral que define o potencial das forças externas se transformou em um termo simples, uma vez que a carga é concentrada e não distribuída.
E
X
E M P L O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
⎛ d v ⎞⎟ 1 ⎜ Π p = EI ∫ ⎜ 2 ⎟⎟ dx − Pv x= L ⎜⎝ dx ⎠⎟ 2 0 L
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
2
2
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
E
X
E M P L O
• Como a viga tem dois trechos com inércia diferente, o potencial anterior pode ser reescrito como: L 2 ⎞ 2 ⎛ ⎛ ⎞ 1 d v 1 d v Π p = ( EI )1 ∫ ⎜⎜ 21 ⎟⎟⎟ dx − ( EI )2 ∫ ⎜⎜ 22 ⎟⎟⎟ dx − Pv2 x=L ⎜⎝ dx ⎠⎟ 2 2 ⎝⎜ dx ⎠⎟ L2
0
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2
2
L2
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E
X
E M P L O
Fundamentos da Teoria das Estruturas • Pelo fato da existência de uma descontinuidade em L/2 é necessário que a derivada segunda de v também a represente; • Logo é necessário que se trabalhe com duas funções de aproximação, uma no intervalo de 0 a L/2 e outra no intervalo L/2 a L, ambas porem satisfazendo as condições de continuidade em x=L/2. Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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v1 ( x ) = α1 x
2
E
X
E M P L O
• Assim, seja as seguintes funções de aproximação:
v2 ( x ) = α2 x + α3 x + α4 2
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⎡ ∀x ∈ ⎢0, ⎢⎣
L ⎞⎟ ⎟⎟ 2⎠ ⎛L ⎤ ∀x ∈ ⎜⎜ , L⎥ ⎜⎝ 2 ⎥⎦
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E
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Fundamentos da Teoria das Estruturas • Essas funções precisam cumprir, como citado, as seguintes condições de continuidade: 2 2 ⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎞⎟ L L L L L v1 ⎜⎜ x = ⎟⎟ = v2 ⎜⎜ x = ⎟⎟ ⇒ α1 = α2 + α3 + α4 ⎜⎝ ⎝⎜ 2⎠ 2⎠ 4 4 2 ⎛ dv1 ⎞⎟ ⎛ dv2 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⇒ α1L = α2 L + α3 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎝ dx ⎠ L ⎝⎜ dx ⎠ L x= x= 2
2
⎧⎪ α3 = (α1 − α2 ) L ∴ ⎪⎨ 2 1 ⎪ = − − L α α α ( ) 1 2 2 ⎪⎩ 4 Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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E
X
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Fundamentos da Teoria das Estruturas • Assim, eliminando α3 e α4, se obtém as seguintes expressões para v1 e v2 respectivamente: v1 ( x ) = α1 x
2
⎡ ∀x ∈ ⎢0, ⎢⎣
L ⎞⎟ ⎟⎟ 2⎠
2⎞ 2 ⎛ ⎛ ⎞⎟ ⎛L ⎤ L L 2 ⎟ ⎜ ⎜ v2 ( x ) = α1 ⎜ Lx − ⎟⎟ + α2 ⎜ − Lx + x ⎟⎟ ∀x ∈ ⎜⎜ , L⎥ ⎝⎜ 2 ⎦⎥ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ ⎝⎜ 2 ⎠⎟
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
E
X
E M P L O
• Fazendo todo o procedimento: – – – –
Substitui no funcional Π; Acha a condição de estacionariedade: ∂Π = 0 ; Acha os valores dos coeficientes αi; ∂αi Substitui αi nas equações das funções de aproximação
• Se obtém a seguinte solução: 3PL 2 v1 ( x ) = x 16 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3PL ⎜ L ⎟ PL ⎜ L 2⎟ v2 ( x ) = ⎜⎜ − Lx + x ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎝ Lx − ⎟⎟⎠ + 16 2 8 ⎝2 ⎠ Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas • Se adotarmos polinômios de terceiro grau, e procedendo de forma similar, se obtém a seguinte solução: PL 2 P v1 ( x ) = x − x 4 12 2⎞ 3⎞ ⎛ ⎛ PL ⎜ L ⎟ P ⎜3 2 L⎟ v2 ( x ) = ⎜ Lx − ⎟⎟⎟ − ⎜ L x − ⎟⎟⎟ + 4 ⎜⎝ 4 ⎠ 12 ⎝⎜ 4 4⎠ 3 ⎞ ⎛ ⎞⎟ 4 PL ⎛⎜ L2 P L 2⎟ 2 3 + ⎜ − Lx − x ⎟⎟ + ⎜⎜ − L x − x ⎟⎟ 2 ⎜⎝ 4 ⎠⎟ 6 ⎝⎜ 4 3 ⎠⎟ Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas Resumo do Processo
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Pelo que foi visto até aqui pode-se afirmar que o processo de solução é o seguinte: 1 – Determina-se o princípio variacional que rege o problema, através de um funcional Π; 2 – Desenvolve-se a função básica u em série aproximando-a por n
u ≈ ∑ αiϕ i i =0
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Fundamentos da Teoria das Estruturas 3 – Substitui a função u e suas derivadas no funcional pela função aproximada, a qual deve satisfazer as condições de admissibilidade e de contorno; 4 – Acha-se a condição de estacionariedade do funcional Π: ∂Π ∂Π ∂Π ∂Π δΠ = δα1 + δα2 + " + δαi + " = δα = 0 ∂α1 ∂α2 ∂αi ∂α
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Fundamentos da Teoria das Estruturas 5 – Daí se obtém um sistema de equações algébricas, das quais se pode determinar os parâmetros αi.
⎧⎪ ∂Π ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ∂α1 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ∂Π ⎪ ⎪ =⎨ # ⎬=0 ⎪⎪ ∂α ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ∂Π ⎪⎪ ⎪⎪ ∂α ⎪⎪ ⎩⎪ n ⎭⎪ Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas 6 – Se o funcional Π é de segunda grau, isto é, as funções u e suas derivadas aparecem com expoentes menores ou iguais a dois, se diz que o funcional Π é linear, e pode-se reescrever sua variação da seguinte forma:
∂Π = Kα + f = 0 ∂α Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Vale observar, antes de concluir esta aula, que as equações que se obtém por meios variacionais são simétricas mas também têm outras vantagens, como a de se poder escrever o funcional Π de forma aproximada, da seguinte forma: T
T
Π = α Kα + α f 1 2
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