Transcript
UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
EDNELSON OLIVEIRA SANTOS
NELSON POERSCHKE
SATURNO CÍCERO DE SOUZA
MEDIDAS DESCRITIVAS PARA AS DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
MEDIDAS DE POSIÇÃO
EXERCÍCIOS
Boa Vista
2011
EDNELSON OLIVEIRA SANTOS
NELSON POERSCHKE
SATURNO CÍCERO DE SOUZA
MEDIDAS DESCRITIVAS PARA AS DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
MEDIDAS DE POSIÇÃO
EXERCÍCIOS
31 Ago 2011
Trabalho apresentado como exigência da disciplina de Introdução à Estatística do Curso de Bacharelado em Engenharia Civil da Universidade Federal de Roraima.
Prof.: Josué Gomes da Silva
Boa Vista
2011
SUMÁRIO
I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01.................................................................................... 03
II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 02.................................................................................... 03
I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01
01. Determine a média aritmética das seguintes séries:
a) 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6
x=xn 3+4+1+3+6+5+67 287 = 4
R: x=4
b) 7, 8, 8, 10, 12
x=xn 7+8+8+10+125 455 = 9
R: x=9
c) 3,2; 4; 0,75; 5; 2,13; 4,75
x=xn 3,2+4+0,75+5+2,13+4,756 19,836 = 3,305
R: x=3,305
d) 70, 75, 76, 80, 82, 83, 90
x=xn 70+75+76+80+82+83+907 5567 = 79,42857143
R: x=79,429
02. A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um estudante obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina em questão, pergunta-se se ele foi ou não aprovado.
x=xn 7,5+8,0+3,5+6,0+2,5+2,0+5,5+4,08 398 = 4,875
R: O aluno não foi aprovado.
03. Calcule para cada uma das distribuições abaixo sua respectiva média amostral.
a)
xi
Fi
xiFi
x=xiFin 15022 = 6,818181
R: x=6,82
3
2
6
4
5
20
7
8
56
8
4
32
12
3
36
Ʃ
22
150
b)
xi
Fi
xiFi
x=xiFin 33629 = 11,5862069
R: x=11,59
10
5
50
11
8
88
12
10
120
13
6
78
Ʃ
29
336
c)
xi
Fi
xiFi
Fac
x=xiFin 11228 = 4
R: x=4
2
3
6
3
3
6
18
9
4
10
40
19
5
6
30
25
6
3
18
28
Ʃ
28
112
d)
xi
Fi
xiFi
x=xiFin 9,031 = 9,03
R: x=9,03
7
1/16
0,44
8
5/18
2,22
9
1/3
3
10
2/9
2,22
11
5/48
1,15
Ʃ
1
9,03
e)
xi
Fi
xiFi
x=xiFin 210924 = 87,875
R: x=87,88
85
5
425
87
1
87
88
10
880
89
3
267
90
5
450
Ʃ
24
2109
04. Dadas as estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a distribuição abaixo. Calcular a média.
Classes
Fi
xi
xiFi
x=xiFin 23090140 = 164,9285714
R: x=164,93
145 150
2
147,5
295
150 155
10
152,5
1525
155 160
27
157,5
4252,5
160 165
38
162,5
6175
165 170
27
167,5
4522,5
170 175
21
172,5
3622,5
175 180
8
177,5
1420
180 185
7
182,5
1277,5
Ʃ
140
23090
05. Abaixo temos a distribuição dos aluguéis de 65 casas. Determine pelo processo abreviado sua média.
Classes
Fi
xi(PM)
Zi
ZiFi
x0 = 6,5 h = 2
zi=xi-x0h=2,5-6,52=-42=-2
z=ziFin= -2265 = - 0,34
x=hz+x0 2(-0,34)+6,5 = 5,82
R: x=5,82
1,5 3,5
12
2,5
-2
-24
3,5 5,5
18
4,5
-1
-18
5,5 7,5
20
6,5
0
0
7,5 9,5
10
8,5
1
10
9,5 11,5
5
10,5
2
10
Ʃ
65
-22
06. Dada a distribuição, determinar a média pelo processo abreviado
Classes
Fi
Fac
xi(PM)
Zi
ZiFi
x0 = 78 h = 4
zi=xi-x0h=70-784=-84=-2
z=ziFin= -2340 = - 0,58
x=hz+x0 4(-0,58)+78 = 75,68
R: x=75,68
68 72
8
8
70
-2
-16
72 76
12
20
74
-1
-12
76 80
15
35
78
0
80 84
5
40
82
1
5
Ʃ
40
-23
07. Dados os seguintes números:
1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 15 20 25 0 1
2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 8 6 5 4
3 2 1 0 10 15 20 25 12 11 8 6 4 2 1
3 5 7 9 11
a) Construa a distribuição de freqüência do Tipo "A"
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
25
Ʃ
Fi
2
4
4
4
4
4
4
4
5
4
2
2
1
2
2
2
50
xiFi
0
4
8
12
16
20
24
28
40
36
20
22
12
30
40
50
362
b) Determine a média
x=xiFin 36250 = 7,24
R: x=7,24
08. Turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam, nessa disciplina:
Turma A (40 alunos) – média 6,5
Turma B (35 alunos) – média 6,0
Turma C (35 alunos) – média 4,0
Turma D (20 alunos) – média 7,5
Determine a média geral.
xG=n1x1+n2x2+...+nkxkn1+n2+...+nk=i=1knixii=1kni
xG=40.6,5 + 35.6,0 + 35.4,0 + 20.7,540 + 35 + 35 + 20 260 + 210 + 140 + 150130 760130=5,84615
R: x=5,85
9. Dada a amostra:
28 33 27 30 31 30 33 30 33 29
27 33 31 27 31 28 27 29 31 24
31 33 30 32 30 33 27 33 31 33
23 29 30 24 28 34 30 30 18 17
18 15 16 17 17 18 19 19 20 29
a) Agrupar os elementos em classes (inicie pelo 15) e use h=5.
b) Construir a tabela de distribuição de freqüência do tipo "B".
c) Determinar a média pelo processo abreviado.
Classes
Fi
xi(PM)
Zi
ZiFi
x0 = 27,5 h = 5
zi=xi-x0h=17,5-27,55=-105=-2
z=ziFin= 050 = 0
x=hz+x0 2(0)+27,5 = 27,5
R: x=27,5
15 20
10
17,5
-2
-20
20 25
4
22,5
-1
-4
25 30
12
27,5
0
0
30 35
24
32,5
1
24
Ʃ
50
0
10. Calcule a média geométrica para as séries.
a) 8, 15, 10, 12
Mg=i=1nXiFi= nX1F1. X2F2…XnFn
Mg=48 . 15 . 10 . 12=814.1514.1014.1214=10,954451
R: x=10,95
b) 3, 4, 5, 6, 7, 8
Mg=i=1nXiFi= nX1F1. X2F2…XnFn
Mg=63 . 4 . 5 . 6. 7 . 8=316.416.516.616.716.816=5,216931
R: Mg=5,22
xi
8
9
10
11
12
Fi
12
10
7
5
3
c)
Mg=i=1nXiFi= nX1F1. X2F2…XnFn
Mg=37812.910.107.115.123=81237.91037.10737.11537.12337=9,294296
R: Mg=9,29
Ou
logMg=F1logx1+F2logx2+F3logx3+F4logx4+F5logx5n
logMg=12log8+10log9+7log10+5log11+3log1237
logMg=12.log8+10log9+7log10+5log11+3log1237
logMg=35,8240137=0,968216486 Mg=9,29429571
R: Mg=9,29
11. Encontre a média harmônica para as séries.
a) 5, 7, 12, 15
Mh=nF1X1+F2X2+F3X3+...+FnXn= ni=1nF1X1
Mh=415+17+112+115 484+60+35+28420 4(420)207 8,1159
R: Mh=8,12
xi
2
3
4
5
6
Fi
3
4
6
5
2
b)
Mh=nF1X1+F2X2+F3X3+...+FnXn
Mh=3+4+6+5+232+43+64+55+26 2090+80+90+60+2060 20(60)340 3,529411765
R: Mh=3,53
12. A evolução das vendas dos últimos três meses apresentou os seguintes índices:
122,31; 132,42; 115,32. Determinar qual foi o aumento médio percentual verificado.
122,31 – 100 = 22,31%
132,42 – 100 = 32,42%
115,32 – 100 = 15,32%
Xi
Fi
122,31
1
132,42
1
115,32
1
Ʃ
3
x=xn 122,31+132,42+115,323 370,053 = 123,25
Base = 100% 123,25 - 100 = 23,25
R: x=23,25%
13. A contagem de bactérias, em certa cultura, aumentou de 500 para 2000 em três dias. Qual foi a percentagem média de acréscimo por dia?
500, a2, 2000 (3 dias)
Mg=i=1nXiFi= nX1F1. X2F2…XnFn
31500 … 32000
Mg=32000500
Mg=34 Mg=1,5874
1 = 100%; então 1,5874-100% = 58,74%
R: 58,74% por dia
14. Em 1950 e 1980 a população do Brasil era 51,944 milhões e 119,071 milhões, respectivamente. Qual foi o acréscimo médio percentual por ano?
30 anos
1950 = 51944000
1980 = 119071000
1950, a2,a3, … , 1980
Mg=i=1nXiFi= nX1F1. X2F2…XnFn
30151,944 … 30119,071
Mg=30119,07151,944 Mg=302,2922955 Mg=1,0280
1 = 100%; então 1,0280-100% =2,80%
R: 2,8% de crescimento por ano
15. Tem-se $2000,00, disponíveis, mensalmente, para a compra de determinado artigo que custou, nos meses de junho, julho e agosto, respectivamente, $200,00; $500,00 e $700,00. Qual foi o custo médio do artigo para este período.
xi
Fi
xiFi
x=xiFin 600016,8571 = 355,9331
R: x=355,93
200
10
2000
500
4
2000
700
2,857
2000
Ʃ
16,8571
6000
16. Uma empresa possui um estoque de geladeiras em quatro cidades diferentes (A, B, C e D). Na cidade A ela esgota-se em 8 meses; na cidade B, em 15 meses; na cidade C, em 6 meses; e na cidade D, em 20 meses. Calcular o tempo médio de escoamento de todos os estoques da empresa.
xi
8
15
6
20
Fi
1
1
1
1
Mh=nF1X1+F2X2+F3X3+...+FnXn
Mh=1+1+1+118+115+16+120 415+8+20+6120 4(120)49 9,795918367
80x.10030 80.30100 240100 x=24
R: Mh=9,80 meses ou 9 meses e 24 dias
17. Gastamos, em janeiro, $ 10.000,00 para comprar um produto que custou $ 100,00 a unidade. Em fevereiro, gastamos $ 24.000,00 para comprar o mesmo produto ao preço unitário de $ 120,00. Determinar qual o custo médio com o artigo nesses dois meses.
xi
Fi
xiFi
x=xiFin 34.000,00300 = 113,333333
R: x=$ 113,33
100,00
100
10,000,00
120,00
200
24.000,00
Ʃ
300
34.000,00
18. A nota média de uma turma mista de 50 alunos foi 5,3; sendo 5,0 a média dos meninos e 8,0 das meninas. Quantos meninos e meninas haviam na turma?
Meninos: n1; média 5,0
Meninas: n2; média 8,0
Media geral = 5,3
Total da turma = 50 alunos
xG=n1x1+n2x2+...+nkxkn1+n2+...+nk=i=1knixii=1kni
n1.5+n2.850=5,3
5n1=5,3 50-8n2 5n1=265-8n2
n1=265-405=2255=45
n2=50-45=5
R = haviam 45 meninos e 5 meninas.
19. O salário médio pago aos empregados da firma é $ 7.100,00. Os salários médios pagos aos empregados especializados e não especializados são, respectivamente, $ 8.000,00 e $ 5.000,00. Determinar a porcentagem dos empregados especializados e não especializados da firma.
Especializados: n1; média $ 8000,00
Não-especializados: n2; média $ 5000,00
Media geral = $ 7100,00
Total de funcionários = 100%
xG=n1x1+n2x2+...+nkxkn1+n2+...+nk=i=1knixii=1kni
n1.8000+n2.5000100=7100
8000n1=7100 100-5000n2 8000n1=710000-5000n2
n1=710000-800008000=6400008000=80,00%
n2=100-80,00=20%
R = Há 80% de empregados especializados e 20% de empregados não especializados.
20. Encontrar dois números cuja média aritmética é 50 e a média harmônica é 32.
x=xn=50
x + y = 100
Mh=nF1X1+F2X2+F3X3+...+FnXn=32
Mh=2x+yX1xy=32 2xyx+y=32 xyx+y=16 xy = 16(x + y)
xy = 16 . 100 xy = 1600
x+y=100xy=1600
x (100 - x) = 1600 100x – x2 = 1600
x2 – 100x – 1600 = 0
x=-b±b2-4ac2a x=100±1002-4.-100.(-1600)2
x=100±10000-6400)2 x=100±36002 x=100±602
x' = 80; x'' = 20 y' = 20; y'' = 80
R = {20, 80}
21. A média geométrica dos preços de dois produtos, A e B, é $ 7,20, enquanto a média aritmética é $9,00. Determinar os preços dos produtos A e B.
Mg=nX1F1. X2F2…XnFn Mg=A+B=7,2
x=xiFin A+B2=9 B=18-A
B=18-A AB=51,84
A (18 - A) = 51,84
-A2 + 18A - 51,84 = 0
A=18±116,642 A=18+10,82 A=14,40
AB=51,84 B=51,8414,40 B=3,60
R = A = $ 14,40 e B = $ 3,60
22. Utilizando a série de dados: 2, 7, 8 e 15, comprove as seguintes propriedades da média aritmética:
a) A soma dos desvios em torno da média é zero. Isto é Ʃ (xi-x)=0.
x=xn 2+7+8+154 324 = 8
xi
x
xi-x
2
8
-6
7
8
-1
8
8
0
15
8
7
Ʃ
0
Ʃ (xi-x)=0.
b) Somando ou subtraindo uma mesma quantidade arbitrária de todos os valores da série, a média ficará aumentada ou diminuída dessa mesma quantidade.
x1=xn 2+7+8+154 324 = 8
Somando o valor 2 a cada termo:
x2=xn 2+2+7+2+8+2+(15+2)4 4+9+10+174=404 = 10
x1=8 x1=10
c) Multiplicando ou dividindo cada termo de uma série por uma constante, a média ficará multiplicada ou dividida pela constante.
x1=xn 2+7+8+154 324 = 8
Multiplicando cada termo por 2:
x2=xn 2.2+7.2+8.2+(15.2)4 4+14+16+304=644=16
x1=8 x1=16
d) A soma dos quadrados dos desvios medidos em relação à média é um mínimo, ou seja, é sempre menor que a soma dos quadrados dos desvios medidos em relação a outro valor qualquer. Isto é, Ʃ (xi-x)2 é mínima.
x=xn 2+7+8+154 324 = 8
xi
x
xi-x
(xi-x)2
(xi)2
2
8
-6
36
4
7
8
-1
1
49
8
8
0
0
64
15
8
7
49
225
Ʃ
86
342
Ʃ (xi-x)2 < Ʃ (xi)2
I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01
1. Para cada série determine a mediana:
a) 1, 3, 3, 4 , 5, 6, 6
n = 07 (ímpar)
n+12=7+12=82=4º, corresponde a 4.
R: x=4
b) 1, 3, 3, 4, 6 , 8, 8, 9
n = 08 (par)
n2 82=4º, corresponde a 4
n2+1 82+1=5º, corresponde a 6
x=4+62=102=5
R: x=5
c) 12, 7, 10, 8, 8 7, 8, 8 , 10, 12
n = 05 (ímpar)
n+12=5+12=62=3º, corresponde a 8.
R: x=8
d) 82, 86, 88, 84, 91, 93 82, 84, 86, 88 , 91, 93
n = 06 (par)
n2 62=3º, corresponde a 86
n2+1 62+1=4º, corresponde a 88
x=86+882=1742=87
R: x=87
2. Para cada distribuição, determine a mediana.
xi
2
3
4
5
7
Fi
3
5
8
4
2
I)
xi
Fi
Fac
n = 22 (par)
n2 222=11º, corresponde a 4
n2+1 222+1=12º, corresponde a 4
x=4+42=82=4
R: x=4
2
3
3
3
5
8
4
8
16
5
4
20
7
2
22
Ʃ
22
xi
173
275
77
279
181
Fi
2
10
12
5
2
II)
xi
Fi
Fac
n = 31 (impar)
n+12=31+12=322=16º, corresponde a 181.
R: x=181
77
12
12
173
2
14
181
2
16
275
10
26
279
5
31
Ʃ
31
xi
12
13
15
17
Fac
5
10
18
20
III)
xi
Fi
Fac
n = 20 (par)
n2 202=10º, corresponde a 13
n2+1 202+1=11º, corresponde a 15
x=13+152=282=14
R: x=14
12
5
5
13
5
10
15
8
18
17
2
20
Ʃ
20
xi
232
235
237
240
Fac
15
40
55
61
IV)
xi
Fi
Fac
n = 61 (impar)
n+12=61+12=622=31º, corresponde a 235.
R: x=235
232
15
15
235
25
40
237
15
55
240
6
61
Ʃ
61
3. Para cada distribuição, determine a mediana.
Classes
1 3
3 5
5 7
7 9
9 11
11 13
Fi
3
5
8
6
4
3
I)
xi
Fi
Fac
n = 29 n+12 29+12= 15, corresponde a 6
lMD = 5
f = 8
h = 2
FMD = 8
1 3
3
3
3 5
5
8
5 7
8
16
7 9
6
22
9 11
4
26
11 13
3
29
Ʃ
29
x=lMD+n2-f.hFMD=
x=5+14,5-8.28 5+6,5.28 5+138 5+1,625=6,625
R: x=6,63
Classes
22 25
25 28
28 31
31 34
Fi
18
25
30
20
II)
xi
Fi
Fac
n = 93 n+12 93+12= 47
lMD = 28
f = 43
h = 3
FMD = 30
22 25
18
18
25 28
25
43
28 31
30
73
31 34
20
93
Ʃ
93
x=lMD+n2-f.hFMD=
x=28+46,5-43.330 28+3,5.330 28+10,530 28+0,35=28,35
R: x=28,35
4. Para cada série determine a moda.
I) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10
A identificação da moda, neste caso, se dá pela simples observação do elemento que aparece com maior freqüência.
Mo = 7
I) 43, 40, 42, 43, 47, 45, 45, 43, 44, 48 40, 42, 43, 43, 43, 44, 45, 45, 47, 48
A identificação da moda, neste caso, se dá pela simples observação do elemento que aparece com maior freqüência.
Mo = 43
5. Para cada distribuição, determine a moda.
xi
72
75
78
80
Fi
8
18
28
38
I)
Também neste caso a identificação da moda se dá pela simples observação do elemento que aparece com maior freqüência.
Mo = 80
xi
2,5
3,5
4,5
6,5
Fi
7
17
10
5
II)
Também neste caso a identificação da moda se dá pela simples observação do elemento que aparece com maior freqüência.
Mo = 3,5
6. Para cada distribuição, determine a moda pelos dois processos.
I)
1º processo – fórmula de Czuber
Classes
7 10
10 13
13 16
16 19
19 21
Fi
6
10
15
10
5
Mo=l+Δ1Δ1+Δ2 h
Mo=13+55+5 3 13+510 3
Mo=13+0,5 3 13+1,5=14,5
Mo = 14,5
l = 13
Δ1 = 5
Δ2 = 5
h = 3
2º processo – determinação gráfica
II)
1º processo – fórmula de Czuber
Classes
10 20
20 30
30 40
40 50
Fi
7
12
9
4
Fac
7
19
28
32
Mo=l+Δ1Δ1+Δ2 h
Mo=20+55+3 10 20+58 10
Mo=20+0,625 10 20+6,25=26,25
Mo = 26,25
l = 20
Δ1 = 5
Δ2 = 3
h = 10
2º processo – determinação gráfica
III)
1º processo – fórmula de Czuber
Classes
0 10
10 30
30 70
70 100
100 120
Fi
5
4
4
6
5
Fi /h
0,5
0,2
0,1
0,2
0,25
Mo=l+Δ1Δ1+Δ2 h
Mo=0+0,50,5+0,3 10 0+0,50,8 10
Mo=0+0,625 10 0+6,25=6,25
Mo = 6,25
l = 0
Δ1 = 0,5
Δ2 = 0,3
h = 10
2º processo – determinação gráfica
7. Para as distribuições:
I)
Classes
4 6
6 8
8 10
10 12
Fi
4
11
15
5
Fac
4
15
30
35
Calcule D6, P65 e Q1, interpretando os resultados.
D6
Di=lDi+in-f10 hFDi in10=6 3510 21010=21
D6=8+21-15 215 8+6 215 8+1215 8+0,8=8,8
D6 = 8,8
i = 6
n = 35
lDi = 8
FDi = 15
h = 2
f = 15
P65
Pi=lPi+in-f100 hFPi in100=65 35100 2275100=22,75
P65=8+22,75-15 215 8+7,75 215 8+15,515 8+1,03=9,03
P65 = 9,03
i = 65
n = 35
lPi = 8
FPi = 15
h = 2
f = 15
Q1
Qi=lQi+in-f4 hFQi in4=1 354 354=8,75
Q1=6+8,75-4 211 6+4,75 211 6+9,511 6+0,864=6,864
Q1 = 6,86
i = 1
n = 35
lQi = 6
FQi = 11
h = 2
f = 4
II)
Classes
20 30
30 40
40 50
50 60
60 70
Fi
3
5
10
4
2
Fac
3
8
18
22
24
Calcule D2, P43 e Q3, interpretando os resultados.
D2
Di=lDi+in-f10 hFDi in10=2 2410 4810=4,8
D2=30+4,8-3 105 30+1,8 105 30+185 30+3,6=36,6
D2 = 36,6
i = 2
n = 24
lDi = 30
FDi = 5
h = 10
f = 3
P43
Pi=lPi+in-f100 hFPi in100=43 24100 1032100=10,32
P43=40+10,32-8 1010 40+2,32 1010 40+23,210 40+2,32=42,32
P43 = 42,32
i = 43
n = 24
lPi = 40
FPi = 10
h = 10
f = 8
Q3
Qi=lQi+in-f4 hFQi in4=3 244 724=18
Q1=40+18-8 1010 40+10 1010 40+10010 40+10=50
Q3 = 50
i = 3
n = 24
lQi = 40
FQi = 10
h = 10
f = 8
III)
Salários
600 800
800 1000
1000 1200
1200 1400
1400 1600
1600 1800
Nº de
operários
28
36
58
72
43
13
Fac
28
64
122
194
237
250
a) Abaixo de que salário estão os 30% mais mal remunerados?
P30
Pi=lPi+in-f100 hFPi in100=30 250100 7500100=75
P30=1000+75-64 20058 1000+11 20058
P30=1000+220058 1000+37,93=1037,93
P30 = 1037,93
i = 30
n = 250
lPi = 1000
FPi = 58
h = 200
f = 64
Os 30% mais mal remunerados ganham abaixo de $ 1037,93.
b) Acima de que salário encontram-se os 15% mais bem remunerados.
P85
Pi=lPi+in-f100 hFPi in100=85 250100 21250100=212,5
P85=1400+212,5-194 20043 1400+18,5 20043
P85=1400+370043 1400+86,046=1486,05
P85 = 1486,05
i = 85
n = 250
lPi = 1400
FPi = 43
h = 200
f = 194
Os 15% mais bem remunerados ganham acima de $ 1486,05.
c) Acima de que salário ficam os 20 operários mais bem pagos.
25020 100x=0 x=20 100250 x=0,8=8%
P92
Pi=lPi+in-f100 hFPi in100=92 250100 23000100=230
P92=1400+230-194 20043 1400+36 20043
P92=1400+720043 1400+167,44=1567,44
P92 = 1567,44
i = 92
n = 250
lPi = 1400
FPi = 43
h = 200
f = 194
Os 20 operários mais bem remunerados ganham acima de $ 1567,44.
d) Abaixo de que salário ficam os 25 operários mais mal remunerados.
25025 100x=0 x=25 100250 x=1=10%
P10
Pi=lPi+in-f100 hFPi in100=10 250100 2500100=25
P10=600+25-0 20028 600+25 20028
P10=600+500028 600+178,57=778,57
P10 = 778,57
i = 10
n = 250
lPi = 600
FPi = 28
h = 200
f = 0
Os 25 operários mais mal remunerados ganham abaixo de $ 778,57.
8. Abaixo temos a distribuição do número de acidentes por dia, durante 53 dias, em certa rodovia.
Nº de acidentes
0
1
2
3
4
Nº de dias
20
15
10
5
3
Pede-se:
a) Determinar a média.
xi
Fi
xiFi
x=xiFin 6253 = 1,17
R: x=1,17 acidentes por dia
0
20
0
1
15
15
2
10
20
3
5
15
4
3
12
Ʃ
53
62
b) Determinar a mediana.
xi
Fi
Fac
n = 53 (ímpar)
n+12=53+12=542=27 corresponde a 1
R: x=1
0
20
20
1
15
35
2
10
45
3
5
50
4
3
53
Ʃ
53
c) Calcular a moda.
Nº de acidentes
0
1
2
3
4
Nº de dias
20
15
10
5
3
A identificação da moda, neste caso, se dá pela simples observação do elemento que aparece com maior freqüência.
Mo = 0
d) Qual é a porcentagem de dias que tivemos dois ou mais acidentes por dia.
Total de acidentes = 53
Dias com 2 ou mais por dia = 18
5318 100x x=18 10053 x=33,96
34%
9. O número de operários acidentados por mês, numa fábrica, nos últimos dois anos foi:
Mês
Ano
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
1975
4
8
3
6
7
7
3
8
2
4
3
3
1976
7
4
6
5
10
5
4
3
5
4
4
1
Faça X, o número de operários acidentados por mês.
a) Construa a distribuição de freqüência (tipo A).
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
10
Fi
1
1
5
6
3
2
3
2
1
b) Calcule a média, mediana e moda.
Média
xi
Fi
xiFi
x=xiFin 11624 = 4,83
R: x=4,83 acidentes por mês
1
1
1
2
1
2
3
5
15
4
6
24
5
3
15
6
2
12
7
3
21
8
2
16
10
1
10
Ʃ
24
116
Mediana
xi
Fi
xiFi
n = 24 (par)
n2 242=12º, corresponde a 4
n2+1 242+1=13º, corresponde a 4
x=4+42=82=4
R: x=4
1
1
1
2
1
2
3
5
7
4
6
13
5
3
16
6
2
18
7
3
21
8
2
23
10
1
24
Ʃ
24
Moda
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
10
Fi
1
1
5
6
3
2
3
2
1
A identificação da moda, neste caso, se dá pela simples observação do elemento que aparece com maior freqüência.
Mo = 4
10. Sendo:
Idade
(anos)
10 14
14 18
18 22
22 26
26 30
30 34
34 38
38 42
Nº de
pessoas
15
28
40
30
20
15
10
5
a) Determinar a média pelo processo abreviado.
Classes
Fi
xi(PM)
Zi
ZiFi
Fac
x0 = 28 h = 4
zi=xi-x0h=12-284=-164=-4
z=ziFin= -204163 = - -1,252
x=hz+x0 4(-1,252)+28 = 22,99
R: x=22,99
10 14
15
12
-4
-60
15
14 18
28
16
-3
-84
43
18 22
40
20
-2
-80
83
22 26
30
24
-1
-30
113
26 30
20
28
0
0
133
30 34
15
32
1
15
148
34 38
10
36
2
20
158
38 42
5
40
3
15
163
Ʃ
163
-204
b) Calcular a medida que deixa 50% dos elementos.
P50
Pi=lPi+in-f100 hFPi in100=50 163100 8150100=81,5
P50=18+81,5-43 440 18+38,5 440
P50=18+15440 18+3,85=21,85
P50 = 21,85
i = 50
n = 163
lPi = 18
FPi = 40
h = 4
f = 43
c) Determinar a moda (fórmula de Czuber).
Mo=l+Δ1Δ1+Δ2 h
Mo=18+1212+10 4 18+1222 4
Mo=18+0,55 4 18+2,18=20,18
Mo = 20,18
l = 18
Δ1 = 12
Δ2 = 10
h = 4
d) Calcular o 3º decil.
D3
Di=lDi+in-f10 hFDi in10=3 16310 48910=48,9
D3=18+48,9-43 440 18+5,9 440 18+23,640 18+0,59=18,59
D3 = 18,59
i = 3
n = 163
lDi = 18
FDi = 40
h = 4
f = 43
e) Determinar a medida que deixa um quarto dos elementos.
Q1
Qi=lQi+in-f4 hFQi in4=1 1634 1634=40,75
Q1=14+40,75-15 428 14+25,75 428 14+10328 14+3,678=17,678
Q1 = 17,68
i = 1
n = 163
lQi = 14
FQi = 28
h = 4
f = 15
f) Calcular o percentil 80.
P80
Pi=lPi+in-f100 hFPi in100=80 163100 13040100=130,4
P80=26+130,4-113 420 26+17,4 420
P80=26+69,620 26+3,48=29,48
P80 = 29,48
i = 80
n = 163
lPi = 26
FPi = 20
h = 4
f = 113
g) Qual a porcentagem das pessoas maiores de idade?
- menores de idade = 43
- total = 163
- maiores de idade = 120
163120 100x x=120 100163 x=73,62
P = 73,62%
11. Foi pedido aos alunos de uma classe de 40 alunos que escolhessem um dentre os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Obteve-se os seguintes resultados.
8 0 2 3 3 5 7 7 7 9
8 4 1 9 6 6 6 8 3 3
7 7 6 0 1 3 3 3 7 7
6 5 5 1 2 5 2 5 3 2
a) Montar a distribuição de freqüência tipo A.
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Fi
2
3
4
8
1
5
5
7
3
2
b) Determinar a média.
xi
Fi
xiFi
x=xiFin 18540 = 4,63
R: x=4,63
0
2
0
1
3
3
2
4
8
3
8
24
4
1
4
5
5
25
6
5
30
7
7
49
8
3
24
9
2
18
Ʃ
40
185
c) Qual foi o número mais escolhido? O que ele representa?.
Foi o número 3. Representa a moda.
d) Calcule a mediana.
xi
Fi
Fac
n = 40 (par)
n2 402=20º, corresponde a 5
n2+1 402+1=21º, corresponde a 5
x=5+52=102=5
R: x=5
0
2
2
1
3
5
2
4
9
3
8
17
4
1
18
5
5
23
6
5
28
7
7
35
8
3
38
9
2
40
Ʃ
40
12. Entre 100 números, vinte são 4, trinta são 5, quarenta são 6 e o restante são 7. Calcular o valor da mediana.
xi
Fi
Fac
n = 100 (par)
n2 1002=50º, corresponde a 5
n2+1 1002+1=51º, corresponde a 6
x=5+62=112=5,5 R: x=5,5
4
20
20
5
30
50
6
40
90
7
10
100
Ʃ
100
13. Na distribuição de salários abaixo descrita, determinar:
a) qual o salário acima do qual estão situados os 10% mais bem remunerados?
Salário
(em $ 1000)
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
Operários
28
32
20
6
4
xi
Fi
Fac
5 6
28
28
6 7
32
60
7 8
20
80
8 9
6
86
9 10
4
90
Ʃ
90
Pi=lPi+in-f100 hFPi in100=90.90100 8100100=81
P90=8+81-80 16 8+1 16
P90=8+16 8+0,16667=8,166667
P90 = 8166,67
i = 90
n = 90
lPi = 8
FPi = 6
h = 1
f = 80
Os 10% mais bem remunerados têm um salário acima de $8166,67.
b) qual o salário abaixo do qual se encontram os 15% mais mal remunerados?
Pi=lPi+in-f100 hFPi in100=15.90100 1350100=13,5
P15=5+13,5-0 128 5+13,5 128
P15=5+13,528 5+0,48214=5,48214
P15 = 5482,14
i = 15
n = 90
lPi = 5
FPi = 28
h = 1
f = 0
Os 15% mais mal remunerados têm um salário abaixo de $4582,14.
c) acima de que salário estão os 18 operários mais bem pagos?
9018 100x x=18 10090 x=20
Pi=lPi+in-f100 hFPi in100=80 90100 7200100=72
P80=7+72-60 120 7+12 120
P80=7+1220 7+0,6=7600,00
P80 = 7600,00
i = 80
n = 90
lPi = 7
FPi = 20
h = 1
f = 60
Os 18 operários mais bem remunerados têm um salário acima de $7600,00.
d) abaixo de que salário encontram-se os 36 operários mais mal remunerados?
9036 100x x=36 10090 x=40
Pi=lPi+in-f100 hFPi in100=40 90100 3600100=36
P40=6+36-28 132 6+8 132
P40=6+832 6+0,25=6,25
P40 = 6250,00
i = 40
n = 90
lPi = 6
FPi = 32
h = 1
f = 28
Os 36 operários mais mal remunerados têm um salário abaixo de $6250,00.
