Estatística, Gráficos Em Escalas Logarítmicas

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Professor: Josué Gomes da Silva Acadêmicos: Denison Naino Moreira Gandra Ednelson Oliveira Santos Joaquim Araújo Costa Neto Nelson Poerschke Vitor Thawa Arruda Mateus Wellington Kennedy Gomes da Silva UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA Gráficos em escalas logarítmicas Observe que no gráfico monologarítmico a escala do eixo das abscissas permanece linear. Voltando ao exemplo da comparação relativa entre as produções do País X e do Estado Y, vimos que os dados foram representados em uma escala linear, no eixo das abscissas, e em uma escala logarítmica, no eixo das ordenadas. Verificando aquele gráfico, nota-se que os segmentos de reta que unem os pontos são paralelos, confirmando o fato de crescerem a uma mesma razão. Escalas Dilogarítmicas Essas escalas têm uma aplicação mais restrita que as monologarítmicas, uma das quais é o teste gráfico, que é feito para saber se uma variável de nosso interesse obedece a uma função potência. Isso pode ser feito, pois a escala dilogarítmica transforma as parábolas e hipérboles em retas. Exemplo 1 Y = AXB (parábola) - aplicando logaritmo temos: log Y = log A + B log X - chamando: log Y de Y' log A de A' log X de X' * - teremos: Y'=A'+BX' (reta) Exemplo 2 (hipérbole) - aplicando logaritmo temos: log Y = log A - B log X - chamando: log Y de Y' log A de A' log X de X' * - teremos: Y'=A'-BX' (reta) Exemplo 3 Representando em uma escala dilogarítmica a seguinte função: X=f(Y) expressa por X=5Y2, para valores de Y compreendidos entre 0,1 e 1,3. Realizando os cálculos chegamos à seguinte tabela: A variável Y ocupará 2 décadas: 1ª - de 0,1 a 1,0 2ª - de 1,0 a 10 A variável X ocupará 3 décadas: 1ª - de 0,01 a 0,1 2ª - de 0,1 a 1,0 3ª - de 1,0 a 10 Papel monologarítmico Conforme se pode observar no papel monologaritmo, o eixo das ordenadas está dividido em camadas logarítmicas. Elas são denominadas deck ou década. Como a escala é logarítmica, os valores crescem de uma década para a outra em potências da base utilizada, normalmente a base 10. Exemplo: 1ª década – valores de 1 a 10 100 2ª década – valores de 10 a 100 101 3ª década – valores de 100 a 1000 102 4ª década – valores de 1000 a 10000 103 O valor inicial da escala pode ser adequado às necessidades impostas pelos dados que se quer representar. Se utilizarmos uma escala logarítmica, teremos o seguinte gráfico: Gráfico 2 Numa escala linear (papel milimetrado), a distância entre os traços consecutivos representa sempre o mesmo intervalo da grandeza a ser representada. Numa escala logarítmica, isto não acontece. As distâncias entre os traços não são lineares, ou seja, o passo é variável. A escala logarítmica é constituída de DÉCADAS. Uma década é uma escala contida em um comprimento L, iniciando pelo número 10N e terminando no número 10N+1, sendo N um número inteiro negativo, nulo ou positivo. Entre estes números são colocados os algarismos inteiros de 2 a 9, representando os múltiplos de 10N. Se o gráfico dos valores tabelados em uma experiência for uma curva, a sua função pode não ser de fácil determinação. Algumas vezes, funções deste tipo podem ser determinadas pelo uso adequado dos papéis logarítmicos: papel mono-logarítmico (mono-log); e papel dilogarítmico (log-log). O papel monolog possui escala linear no eixo das abscissas e escala logarítmica no eixo das ordenadas. Já o papel log-log possui escala logarítmica nos dois eixos. O melhor papel a ser utilizado dependerá dos dados obtidos experimentalmente. Gráficos em escalas logarítmicas Monologarítmicas - apresentam uma escala logarítmica e uma escala linear. Dilogarítmicas. - apresentam duas escalas logarítmicas. A observação do Gráfico 1 dá a impressão que o crescimento da produção do País X foi muito maior que a do Estado Y quando na realidade a produção cresceu exatamente na mesma porcentagem. Desta forma verifica-se que a escala linear não se presta para acompanhar a evolução de séries, sendo mais apropriada a escala monologarítmica. Ao convertermos os dados para a escala monologarítmica, no gráfico 2, verifica-se que a fidelidade do gráfico com os dados da tabela. No papel logaritmo, os pontos estarão representando os logaritmos dos números, portanto, para se construir o gráfico basta marcar diretamente os pontos correspondentes aos valores de x e y nos eixos logarítmicos. Então, com o uso do papel logarítmico não é necessário extrair os logaritmos dos valores de x e y. Introdução A apresentação de dados em uma escala logarítmica é útil quando os dados cobrem uma grande gama de valores – o logaritmo reduz a representação a uma escala mais fácil de ser visualizada e manejada. Na escala linear, duas graduações cuja diferença vale 10 estão a uma distância constante. Na escala logarítmica, duas graduações cuja razão vale 10 estão a distância constante. Exemplo 1 Y = ABX (exponencial) - aplicando logaritmo temos: Y = log A + X log B - chamando: log Y de Y' log A de A' log B de B' * - teremos: Y'=A'+B'X (reta) Escalas Monologarítmicas São usadas para evidenciar as comparações relativas entre dois ou mais fatos. São denominadas monologarítmicas por apresentarem uma escala logarítmica e uma linear. São também úteis para o estudo de funções exponenciais que se linearizam por uma transformação logarítmica. Deseja-se verificar a evolução relativa da produção de café entre o País X e o Estado Y que apresentaram os seguintes números: Exemplo 2 Se utilizarmos uma escala linear ou aritmética, teremos o seguinte gráfico: Gráfico 1 Clique para editar o título mestre 16/08/2011 nº Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 16/08/2011 nº Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 21 16/08/2011 nº Clique para editar o texto mestre Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre 16/08/2011 nº Clique no ícone para adicionar uma imagem Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 16/08/2011 nº Clique para editar o título mestre 16/08/2011 nº 16/08/2011 nº Clique para editar o título mestre 16/08/2011 nº Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível Clique para editar o título mestre Clique para editar o estilo do subtítulo mestre 16/08/2011 nº Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível Clique para editar o texto mestre Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 16/08/2011 nº Clique para editar o título mestre Clique para editar o texto mestre 16/08/2011 nº Clique para editar o texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível 16/08/2011 nº Clique para editar o título mestre 16/08/2011 Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nível Terceiro nível Quarto nível Quinto nível nº