Estatistica

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www.cliqueapostilas.com.br Estatística Autor: Prof. Alan Rodrigo Navia Colaboradores: Profa. Silmara Maria Machado Prof. Nonato Assis de Miranda www.cliqueapostilas.com.br Professor conteudista: Alan Rodrigo Navia Alan Rodrigo Navia é natural de São Paulo e morador de Taboão da Serra. É graduado em Materiais, Processos e Componentes Eletrônicos pela Fatec-SP. Possui mestrado em Engenharia Eletrônica pela Poli-USP, na área de Circuitos Integrados. Exerceu as seguintes funções no mercado de trabalho: pesquisador em Engenharia na Swiss Group, analista estatístico na Amcham, especialista em sistemas pleno no Carrefour e atualmente é coordenador de sistemas no Grupo Renac. Academicamente, lecionou na Fundação Santo André no curso de Engenharia, foi auxiliar docente do curso de Engenharia Eletrônica na Poli-USP e leciona há quase dez anos na Unip. Principais disciplinas de atuação: Estatística, Banco de Dados, Programação de Computadores e Matemática, para diversos cursos de graduação. Este material foi escrito com base nos vários anos de docência em Estatística, para cursos que não são da área de Exatas. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) F325e Navia, Alan Rodrigo Estatística / Alan Rodrigo Navia. – São Paulo: Editora Sol, 2012. 132 p., il. 1. Estatística. 2. Pedagogia. 3. Serviço Social. I. Título. CDU 519.2 © Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista. www.cliqueapostilas.com.br Prof. Dr. João Carlos Di Genio Reitor Prof. Fábio Romeu de Carvalho Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças Profa. Melânia Dalla Torre Vice-Reitora de Unidades Universitárias Prof. Dr. Yugo Okida Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez Vice-Reitora de Graduação Unip Interativa – EaD Profa. Elisabete Brihy Prof. Marcelo Souza Profa. Melissa Larrabure Material Didático – EaD Comissão editorial: Dra. Angélica L. Carlini (UNIP) Dr. Cid Santos Gesteira (UFBA) Dra. Divane Alves da Silva (UNIP) Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR) Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT) Dra. Valéria de Carvalho (UNIP) Apoio: Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos Projeto gráfico: Prof. Alexandre Ponzetto Revisão: Juliana Maria Mendes Amanda Casale www.cliqueapostilas.com.br www.cliqueapostilas.com.br Sumário Estatística Apresentação.......................................................................................................................................................7 Introdução............................................................................................................................................................7 Unidade I 1 Conceitos fundamentais..........................................................................................................................9 1.1 Conceitos iniciais......................................................................................................................................9 1.2 Dados.......................................................................................................................................................... 10 1.3 População x amostra.............................................................................................................................11 1.4 Amostragem.............................................................................................................................................11 2 Distribuição de frequências.............................................................................................................. 14 2.1 Conceitos básicos.................................................................................................................................. 14 2.2 Elementos de uma distribuição de frequência.......................................................................... 18 2.2.1 Classe (i)....................................................................................................................................................... 18 2.2.2 Limites de classe (li e Li)........................................................................................................................ 18 2.2.3 Amplitude de classe (hi)........................................................................................................................ 18 2.2.4 Amplitude amostral (AA)...................................................................................................................... 18 2.2.5 Ponto médio de classe (xi).................................................................................................................... 19 2.3 Tipos de frequências............................................................................................................................. 19 2.3.1 Frequência absoluta ou simples (fi).................................................................................................. 19 2.3.2 Frequência relativa (fri)......................................................................................................................... 19 2.3.3 Frequência acumulada (Fi)................................................................................................................... 20 2.4 Construção de distribuições de frequências.............................................................................. 21 2.4.1 Distribuição sem intervalo................................................................................................................... 21 2.4.2 Distribuição com intervalo................................................................................................................... 21 2.5 Representações gráficas..................................................................................................................... 24 2.5.1 Histograma (gráfico de colunas)....................................................................................................... 24 2.5.2 Polígono de frequências (gráfico cartesiano)............................................................................... 24 3 Medidas de tendência.............................................................................................................................. 25 3.1 Média (x)................................................................................................................................................... 25 3.1.1 Dados não agrupados............................................................................................................................ 25 3.1.2 Distribuição de frequências sem intervalo.................................................................................... 26 3.1.3 Distribuição de frequências com intervalo................................................................................... 26 3.2 Moda (Mo)................................................................................................................................................ 28 3.2.1 Dados não agrupados............................................................................................................................ 28 3.2.2 Distribuição de frequências sem intervalo.................................................................................... 29 3.2.3 Distribuição de frequências com intervalo................................................................................... 29 3.3 Mediana (Md).......................................................................................................................................... 30 www.cliqueapostilas.com.br 3.3.1 Dados não agrupados............................................................................................................................ 31 3.3.2 Distribuição de frequências sem intervalo.................................................................................... 31 3.3.3 Distribuição de frequências com intervalo................................................................................... 32 4 Medidas de dispersão.............................................................................................................................. 34 4.1 Introdução................................................................................................................................................ 34 4.2 Variância (s2)............................................................................................................................................ 35 4.2.1 Dados não agrupados............................................................................................................................ 35 4.2.2 Distribuição de frequências sem intervalo.................................................................................... 36 4.2.3 Distribuição de frequências com intervalo................................................................................... 37 4.3 Desvio-padrão (s).................................................................................................................................. 38 4.3.1 Dados não agrupados............................................................................................................................ 39 4.3.2 Distribuição de frequências sem intervalo.................................................................................... 39 4.3.3 Distribuição de frequências com intervalo................................................................................... 40 4.4 Coeficiente de variação (CV)............................................................................................................. 40 Unidade II 5 Conceitos básicos de Probabilidade............................................................................................. 72 5.1 Conceitos fundamentais.................................................................................................................... 72 5.2 Eventos complementares ................................................................................................................. 76 5.3 Eventos independentes....................................................................................................................... 77 5.4 Eventos mutuamente exclusivos.................................................................................................... 78 5.4.1 Exercício resolvido................................................................................................................................... 80 6 Distribuição Normal de probabilidades.................................................................................... 82 6.1 Conceitos fundamentais.................................................................................................................... 82 6.1.1 Exercícios resolvidos............................................................................................................................... 87 7 Correlação linear..................................................................................................................................... 92 7.1 Conceitos e diagrama de dispersão............................................................................................... 92 8 Coeficiente de Pearson........................................................................................................................... 94 www.cliqueapostilas.com.br Apresentação Este livro-texto contempla os temas fundamentais para um curso de Introdução à Estatística, que na maioria das instituições de ensino superior ou técnico tem duração semestral. A grande quantidade de exercícios de fixação e a preocupação em explicar os métodos de cálculo, passo a passo, sem excesso de texto, são os pontos marcantes deste material, que tem como objetivo ensinar os conceitos básicos de Estatística para um público que não lida diariamente e/ou tem pouca desenvoltura com a Matemática. O pré-requisito para acompanhar esta obra é somente a Matemática do primeiro grau, atualmente chamado de Ensino Fundamental, o que atende principalmente aos cursos que não são de Exatas, pois nestes a Matemática é exercitada a todo o momento, nas mais diversas disciplinas, tais como Física, Cálculo, Programação de Computadores etc. Espero que esta obra ajude o leitor a compreender os conceitos básicos de Estatística de maneira mais leve, porém bastante consistente. Introdução Este livro-texto aborda os assuntos fundamentais da Estatística, desde o estudo de uma variável até a introdução ao estudo do comportamento mútuo de duas variáveis. A Unidade I cobre os conceitos introdutórios, porém importantíssimos para o entendimento do restante do material, a organização de dados em tabelas de frequência, a obtenção de medidas de tendência e posição e a determinação de medidas de dispersão e variabilidade. Esses tópicos fazem parte da Estatística Descritiva (responsável por organizar e descrever os dados coletados). A Unidade II cobre os conceitos de probabilidade simples (que também são abordados na disciplina Matemática), distribuição normal de probabilidades e a determinação da correlação entre duas variáveis, por meio do diagrama de dispersão e do coeficiente de Pearson. Cada unidade pode ser ministrada em um bimestre, se o curso introdutório de Estatística for de duas horas-aula semanais. Vale lembrar que o material tem como leitor-alvo o aluno de graduação dos cursos da área de Humanas e Ciências Sociais Aplicadas. Espero que este livro auxilie o aluno com pouca desenvoltura em Matemática a entender e aplicar os conceitos básicos de Estatística, além de servir como guia para qualquer aluno relembrar Estatística rapidamente. 7 www.cliqueapostilas.com.br www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Unidade I 1 Conceitos fundamentais 1.1 Conceitos iniciais A palavra estatística tem origem do vocábulo latino status, que significa estado, e foi utilizada para o levantamento de dados por parte do Estado, visando à tomada de decisões. Atualmente a Estatística é parte da Matemática Aplicada que se dedica ao estudo e à interpretação de fenômenos coletivos e deles extrai conclusões. A Estatística fornece métodos para: • coleta de dados, feita normalmente por meio de um questionário ou da observação direta do fenômeno estudado; • organização e descrição dos dados; • análise e interpretação dos dados visando à tomada de decisões. A Estatística pode ser aplicada às mais diversas áreas do conhecimento, tais como Economia, Física, Medicina, Psicologia, Engenharia, Pedagogia e Serviço Social, para tabular e interpretar os resultados de um experimento, e, mais recentemente, para a geração e a interpretação de indicadores. Esses indicadores são largamente utilizados na gestão dos mais diversos segmentos do conhecimento. Para um aluno de qualquer curso superior, a Estatística é muito importante para: • organizar e analisar os dados de um experimento científico/observação de um fenômeno em qualquer área do conhecimento; • servir de embasamento para entender, analisar e até criar indicadores relevantes em seu trabalho (entendendo que, muitas vezes, o egresso de um curso superior pode assumir um cargo de gerência no seu segmento de formação). Podemos citar como exemplos de indicadores: o índice de desenvolvimento humano (IDH) de uma determinada localidade, a taxa de evasão de clientes de uma empresa de telefonia e os vários indicadores de aprendizado utilizados na educação. 9 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I A Estatística pode ser classificada em: • descritiva: responsável pela coleta, organização e descrição dos dados; • indutiva: responsável pela análise e interpretação dos dados. 1.2 Dados Dados são informações obtidas a partir de medições, resultados de pesquisas, contagens e levantamentos em geral. Alguns exemplos de dados são: o número de alunos de uma classe, o número de eleitores que votaram em um determinado candidato em uma eleição, o número de leitos ocupados em um hospital e as notas dos candidatos de um determinado concurso público. Em Estatística, os dados podem ser classificados como: • Qualitativos: são dados compostos de qualquer informação não numérica. Exemplos: estado civil (solteiro, casado); cor dos olhos (pretos, castanhos, verdes); time do coração (Corinthians, Palmeiras, São Paulo, Santos); religião praticada (católica, protestante, budista); tipo sanguíneo (A, B, O) etc. • Quantitativos: são dados compostos de informações numéricas e podem ser subdivididos em: — Discretos: são compostos somente por números inteiros e enumeráveis (na maioria das vezes, são oriundos de uma contagem). Exemplos: número de filhos, população de um município, número de escolas particulares em um determinado local, número de visitas em um determinado site na internet etc. — Contínuos: são compostos por números inteiros ou fracionários (na maioria das vezes, são obtidos por meio de uma medição). Exemplos: altura, peso, preço de um determinado produto, área de um terreno, renda mensal de uma família, o tempo gasto em uma viagem nacional, a distância entre dois bairros etc. Dados Qualitativos Quantitativos Discretos Contínuos Figura 1 – Classificação dos dados em Estatística 10 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Observação A classificação da variável depende do contexto. Por exemplo: para fins cadastrais, a variável idade poderia ser quantitativa discreta; na Pediatria, porém, é contínua, pois a parte fracionária também é considerada. 1.3 População x amostra População é o conjunto de entes portadores de, no mínimo, uma característica comum; também chamada de universo estatístico. Um exemplo são os estudantes de uma instituição de ensino, pois a característica comum é o fato de estudarem na mesma instituição. Os eleitores de um estado da federação também são um exemplo. Na maioria das vezes, podemos concluir que é inviável ter acesso a toda a população para a coleta de dados (por limitações monetárias, de tempo etc.). Logo, normalmente é feita a coleta em uma parte, que deve ser muito representativa dessa população. Tal parcela é denominada amostra. Amostra corresponde ao subconjunto finito e representativo de uma população. Para obtermos uma boa amostra, utilizamos a técnica da amostragem. 1.4 Amostragem Há diversos tipos de amostragem. Na amostragem simples (ou aleatória), todos os itens da população têm igual chance de pertencer à amostra (normalmente feita por sorteio). Sorteio Amostra População Figura 2 – Amostragem simples Já na amostragem sistemática, os itens encontram-se ordenados e enumerados, e a coleta dos elementos da amostra é feita periodicamente. 8 7 6 5 4 3 2 1 População 7 4 1 Amostra Figura 3 – Amostragem sistemática 11 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Observação: período de três (elementos coletados, iniciando do primeiro e em seguida coletando de três em três). Na amostragem estratificada, a população encontra-se dividida em vários estratos, e as amostras são coletadas aleatoriamente de cada estrato. Amostra População Figura 4 – Amostragem estratificada Saiba mais Após a leitura e a compreensão deste material, você pode aprofundar os estudos em amostragem (para compreender assuntos como tamanho e nível de confiança de amostra), lendo o livro a seguir: BRUNI, A. L. Estatística aplicada à gestão empresarial. São Paulo: Atlas, 2007. Exemplos de Aplicação 1. Cite pelo menos dez aplicações da Estatística (pesquise em jornais e sites da internet). ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 2. Defina os termos amostra e população. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 12 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA 3. O que são dados qualitativos? ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 4. O que são dados quantitativos discretos e quantitativos contínuos? ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 5. Dê pelo menos oito exemplos para cada tipo de dado: a) Qualitativo __________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ b) Quantitativo discreto __________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ c) Quantitativo contínuo __________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 6. Pesquise um exemplo prático para cada tipo de amostragem. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 13 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I 2 Distribuição de frequências 2.1 Conceitos básicos Para compreender todos os conceitos, será utilizada uma amostra como exemplo. A amostra é de quarenta alunos de uma escola qualquer, e a variável a ser estudada é a estatura deles em centímetros. Segue a tabela dos valores de estaturas (em cm) coletados: Tabela 1 – Tabela primitiva das estaturas dos alunos 166 161 162 165 164 162 168 156 160 164 155 163 155 169 170 154 156 153 156 158 160 150 160 167 160 161 163 173 155 168 152 160 155 151 164 161 172 157 158 161 Essa tabela com os dados coletados (dados brutos), sem nenhuma organização, é chamada de tabela primitiva. Analisando os dados na tabela primitiva, para determinar a maior e a menor estatura, será necessário examinar item a item, o que tende a ser ineficiente, principalmente se o tamanho da amostra for grande. Logo, se os dados da tabela forem organizados em ordem crescente ou decrescente, será obtida uma nova tabela chamada de rol. Tabela 2 – Rol das estaturas dos alunos 150 155 160 162 166 151 156 160 162 167 152 156 160 163 168 153 156 160 163 168 154 157 161 164 169 155 158 161 164 170 155 158 161 164 172 155 160 161 165 173 Examinando o rol, fica fácil determinar a maior e a menor estatura (173 e 150 cm, respectivamente), o que permite concluir que a faixa de estaturas é de 150 a 173 cm. Outros questionamentos, como: “Qual é a estatura com o maior número de alunos?” (160 cm) e “Qual(is) é(são) a(s) estatura(s) inexistente(s) no 14 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA intervalo de 150 a 173 cm?” (159 e 171 cm), podem ser respondidos, porém com uma observação mais cuidadosa do rol. Para responder ao questionamento anterior com mais agilidade, o rol será alocado em uma tabela, em que cada estatura terá um número correspondente de ocorrências (vindo da contagem do rol). Tabela 3 – Tabela de ocorrências das estaturas dos alunos Estatura (cm) Número de ocorrências 150 1 151 1 152 1 153 1 154 1 155 4 156 3 157 1 158 2 159 0 160 5 161 4 162 2 163 2 164 3 165 1 166 1 167 1 168 2 169 1 170 1 171 0 172 1 173 1 Esta tabela de ocorrências para todos os valores das estaturas é chamada de distribuição de frequências. Nesse caso, como foram exibidos todos os valores de estatura, esta distribuição é classificada como sem intervalo. 15 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Tabela 4 – Distribuição de frequências sem intervalo para as estaturas dos alunos Estatura (cm) Fi 150 1 151 1 152 1 153 1 154 1 155 4 156 3 157 1 158 2 159 - 160 5 161 4 162 2 163 2 164 3 165 1 166 1 167 1 168 2 169 1 170 1 171 - 172 1 173 1 ∑fi 40 Onde: fi = frequência (número de ocorrências para cada valor de estatura) ∑fi = n ∑fi = soma das frequências n = número de elementos da amostra (n = 40) A amostra das estaturas tem a faixa de estaturas de 23 cm (basta subtrair a maior da menor estatura), que resulta numa tabela com muitas linhas. Se a faixa de estaturas fosse maior, a tabela teria ainda mais linhas, o que prejudicaria a análise rápida dos dados. Para gerar uma tabela mais enxuta e de fácil análise, é possível agrupar as estaturas em intervalos. No exemplo, as estaturas serão agrupadas de quatro em quatro, gerando intervalos de 4 cm (no momento, 16 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA não há a necessidade de preocupar-se com a razão de o agrupamento ser de quatro em quatro, pois adiante será explicado o critério de cálculo utilizado). Essa tabela é chamada de distribuição de frequências com intervalo. Tabela 5 – Distribuição de frequências com intervalo para as estaturas dos alunos Estaturas (cm) fi 150├ 154 4 154├ 158 9 158├ 162 11 162├ 166 8 166├ 170 5 170├ 174 3 ∑fi 40 Onde: é o operador de intervalo. Inclui o valor Não inclui o valor (utiliza-se o anterior) Figura 5 Exemplo: O quinto intervalo da tabela anterior que mostra 166├ 170 é para as estaturas de 166 a 169 cm (note que o valor 170 cm é considerado no sexto). Os valores do rol que atendem a esse intervalo são: 166, 167, 168, 168 e 169. Estes cinco valores resultam na frequência igual a 5 para o quinto intervalo. A etapa da contagem dos valores do rol para a tabela de frequências deve ser feita com o máximo de cuidado, pois um erro na contagem ocasiona análises equivocadas e valores errados de todas as medidas estatísticas feitas a partir dessa tabela. Saiba mais O modelo de distribuição estudado é o mais utilizado pelos autores, porém existem outros modelos, com outros tipos de intervalo além do ├. Matematicamente um intervalo pode ser representado de diversas maneiras, como (┤,├,├┤ e ─). Para mais informações sobre esse assunto, leia: MORETTIN, L. G. Estatística básica. São Paulo: Makron Books, 1999. 17 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I 2.2 Elementos de uma distribuição de frequência Todos os conceitos a seguir serão explicados com base na distribuição de frequências já explicada anteriormente (Tabela 5). 2.2.1 Classe (i) É cada intervalo, ou cada linha para uma tabela de frequências. O total de classes de uma tabela de frequências é denominado k. Exemplo: i = 3 (terceira classe: 158├ 162) k=6 2.2.2 Limites de classe (li e Li) São os extremos de cada classe. Onde li é o limite inferior (extremo a esquerda) e Li é o limite superior (extremo a direita) da classe. O índice i apenas indica qual é a classe abordada. Exemplo: l2 = limite inferior da segunda classe = 154 L5 = limite superior da quinta classe = 170 2.2.3 Amplitude de classe (hi) É a medida do intervalo de classe. hi = Li - li Exemplo: h3 = amplitude da terceira classe h3 = L3 -l3 = 162 - 158 = 4cm Observação Uma distribuição com intervalos sempre terá a mesma amplitude para todas as classes. Note que para todos os intervalos o h é 4. 2.2.4 Amplitude amostral (AA) É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra. É obtido por meio do rol (nesse caso, a Tabela 2). AA = Xmax - xmin 18 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Exemplo: Amplitude amostral para as estaturas dos alunos AA = 173 - 150 = 23cm 2.2.5 Ponto médio de classe (xi) É o ponto que divide a classe em duas partes iguais. Será muito utilizado a partir deste ponto. xi = li + Li 2 Exemplo: Ponto médio da segunda classe. x2 = 154 + 158 = 156 cm 2 2.3 Tipos de frequências 2.3.1 Frequência absoluta ou simples (fi) É o número de ocorrências para cada uma das classes, obtida por meio da contagem no rol. Exemplo: f3 = 11 2.3.2 Frequência relativa (fri) É a razão da frequência simples com a soma das frequências da classe. Fornece a participação percentual de cada classe em relação à amostra. ƒri = ƒi Σ ƒi Observação ∑fi = n (a soma das frequências é igual ao número de elementos do rol). e ∑fri = 1 (a soma das frequências relativas deve ser sempre igual a 1, que indica 100%). 19 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Exemplo: ƒr2 = ƒ2 9 = = 0, 225 Σ ƒi 40 Isso significa que 22,5% das estaturas estão na segunda classe. 2.3.3 Frequência acumulada (Fi) É a soma das frequências até a classe indicada. Exemplo: F2 = frequência acumulada da segunda classe = soma das frequências simples até a segunda classe. F2 = 4 + 9 = 13 Finalmente temos a distribuição com as frequências e os pontos médios calculados. Tabela 6 – Distribuição de frequências com intervalo para as estaturas dos alunos, com as frequências calculadas I Estaturas (cm) fi xi fri Fi 1 150├ 154 4 152 0,100 4 2 154├ 158 9 156 0,225 13 3 158├ 162 11 160 0,275 24 4 162├ 166 8 164 0,200 32 5 166├ 170 5 168 0,125 37 6 170├ 174 3 172 0,075 40 ∑ 40 1,000 • Para a coluna fi, contar cuidadosamente os elementos do rol, lembrando-se da notação de intervalo e considerando as repetições. • Para facilitar a determinação da coluna xi, basta calcular o ponto médio, a primeira classe (152) e somar a amplitude de classe (4), intervalo por intervalo. • Não é obrigatório, mas é altamente recomendável utilizar duas ou três casas após a vírgula para os valores de fri, visando sempre a um percentual preciso por classe. • Note que o último valor de Fi é sempre a soma das frequências (∑fi). 20 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA 2.4 Construção de distribuições de frequências 2.4.1 Distribuição sem intervalo Dado o rol de uma pesquisa referente ao número de carros por residência em um determinado bairro de SP (n = 20). Tabela 7 – Rol do número de carros por residência 0 1 1 2 3 0 1 1 2 3 1 1 1 2 4 1 1 2 2 4 Análise: este rol apresenta poucas possibilidades de valores para a variável, mais precisamente de 0 a 4 carros, e isso permite concluir que a distribuição sem intervalos é a mais indicada. Logo, para construir a distribuição de frequências sem intervalos, não existe nenhum cálculo. A partir do rol, basta colocar em cada classe um dos valores da variável e contar o número de ocorrências para cada classe. Tabela 8 – Distribuição de frequências sem intervalo para o rol do número de carros por residência Nº de carros Fi 0 2 1 9 2 5 3 2 4 2 ∑ 20 2.4.2 Distribuição com intervalo Com base no rol das estaturas dos alunos (n = 40), já mostrado e repetido a seguir para fins didáticos. Tabela 9 – Repetição do rol das estaturas dos alunos 150 155 160 162 166 151 156 160 162 167 152 156 160 163 168 153 156 160 163 168 154 157 161 164 169 155 158 161 164 170 155 158 161 164 172 155 160 161 165 173 21 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Análise: este rol apresenta muitas possibilidades de valores para a variável, mais precisamente de 150 a 173 cm (o que resultaria em uma distribuição sem intervalo com muitas linhas), e isso permite concluir que a distribuição com intervalos é a mais indicada. Logo, para construir a distribuição de frequências com intervalos, é necessário determinar: • o número de classes da distribuição (k) k= n Onde o valor de K deve ser sempre arredondado para inteiro. Para o rol anterior: K = 40 = 6, 32 , arredondando para cima temos 4; logo h = 4 (cada uma das classes terá amplitude de 4cm). • a amplitude de classe (h) h= AA k Em que o valor de h sempre será arredondado para cima. Para o rol do exemplo: 173 − 150 33 = = 3, 83 , arredondando para cima temos 4; 6 6 logo h = 4 (cada umadas classes terá amplitude de 4cm). h= De posse das duas informações necessárias para montar uma tabela com intervalo (k = 6 e h = 4), realizamos o seguinte procedimento: Passo 1: colocar o menor valor do rol no limite inferior da primeira classe. Passo 2: somar o valor de h calculado e colocar no limite superior da primeira classe. Colocar o sinal de intervalo entre os limites. Tabela 10 – Início da construção de uma distribuição sem intervalo 22 I Estaturas (cm) 1 150├ 154 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Passo 3: repetir o limite superior da classe em foco na classe abaixo. Tabela 11 – Andamento da construção de uma distribuição sem intervalo I Estaturas (cm) 1 150├ 154 2 154 Passo 4: somar o valor de h (h = 4) calculado e colocar no limite superior desta classe. Colocar o sinal de intervalo entre os limites. Tabela 12 – Andamento da construção de uma distribuição sem intervalo I Estaturas (cm) 1 150├ 154 2 154├ 158 Passo 5: repetir os passos 3 e 4 até completar o total de intervalos k calculado (k = 6). Passo 6: determinar as frequências simples (pela contagem no rol) para todas as classes da distribuição. Finalmente, somar as frequências, lembrando que ∑fi deve ser igual a n. Tabela 13 – Distribuição sem intervalo finalizada k=6 I Estaturas (cm) fi 1 150├ 154 4 2 154├ 158 9 3 158├ 162 11 4 162├ 166 8 5 166├ 170 5 6 170├ 174 3 ∑ 40 h=4 Observação Esse é um dos critérios existentes para se construir uma distribuição de frequências com intervalo de classe. Existe também o critério de Sturges, que também é bem conhecido. A principal diferença está no cálculo de k, pois nesse caso k é dado por: K =1+3,3 log n 23 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I 2.5 Representações gráficas Para a distribuição com intervalo, podemos representar os dados utilizando dois tipos de gráfico: o histograma e o polígono de frequências. 2.5.1 Histograma (gráfico de colunas) • Composição: — no eixo x (horizontal): os limites das classes da variável em estudo; — no eixo y (vertical): as frequências para cada uma das classes; — a altura da barra será proporcional à frequência de cada uma das classes. f 12 9 6 3 0 150 154 158 162 166 170 174 estaturas (cm) Figura 6 – Histograma para uma distribuição com intervalo (Tabela 13) 2.5.2 Polígono de frequências (gráfico cartesiano) • Composição: — no eixo x (horizontal): os pontos médios das classes da variável em estudo; — no eixo y (vertical): as frequências para cada uma das classes; — ligar os pontos (no cruzamento das coordenadas dos eixos x e y); para fechar o polígono, devese: - subtrair a amplitude de classe (no exemplo, h = 4) do ponto médio da primeira classe (l1) para fechar o polígono pela esquerda (no eixo x); - somar a amplitude de classe (h = 4) no ponto médio da última classe da distribuição para fechar o polígono pela direita. 24 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA f 12 9 6 3 0 150 154 158 162 166 170 174 Estaturas (cm) Figura 7 – Polígono de frequências para uma distribuição com intervalo (Tabela 13) 3 Medidas de tendência Para analisar um conjunto de dados, muitas vezes é necessário obter um único valor que represente toda a amostra em estudo. Esse valor é usualmente obtido pelas medidas de tendência. As medidas de tendência abordadas serão: • a média (x); • a moda (Mo); • a mediana (Md). O cálculo de cada uma das medidas de tendência será explicado em três abordagens: • dados não agrupados (não alocados em tabelas de frequência); • distribuição de frequência sem intervalo; • distribuição de frequência com intervalo. 3.1 Média (x) A média de um conjunto de dados é a soma dos dados dividida pelo número de elementos do conjunto. 3.1.1 Dados não agrupados x= ∑ xi n Onde: ∑xi é a soma dos valores do conjunto de dados. n é o número de elementos do conjunto de dados. 25 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Exemplo: as notas de um aluno em uma determinada disciplina durante o ano foram: 3,5; 5,0; 6,5 e 9,0. A nota média do aluno na disciplina pode ser calculada por: x= 3, 5 + 5, 0 + 6, 5 + 9, 0 24 = = 6, 0 4 n 3.1.2 Distribuição de frequências sem intervalo x= ∑ xi.fi n Onde: xi.fi é a multiplicação dos valores das classes com as respectivas frequências, classe por classe. n é o número de elementos do conjunto de dados que, nesse caso, é determinado pela soma das frequências. Exemplo: dada a distribuição sem intervalo da Tabela 8, determine o número médio de veículos por residência em um determinado bairro. Para armazenar os valores de xi.fi, uma coluna é criada. Em seguida, os valores da coluna são somados, gerando ∑xi.fi. Tabela 14 – Cálculo da média para uma distribuição sem intervalo x= Nº de carros fi xi.fi 0 2 0x2=0 1 9 1x9=9 2 5 2 x 5 = 10 3 2 3x2=6 4 2 4x2=8 ∑ 20 ∑xi.fi = 33 33 = 165 , 20 Logo, no bairro citado há em média 1,65 carros por residência (para efeito de interpretação, aproximadamente 2 carros por residência). 3.1.3 Distribuição de frequências com intervalo x= 26 ∑ xi.fi n Onde: xi.fi é a multiplicação dos pontos médios das classes com as respectivas frequências, classe por classe. www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Lembrando que: xi = li + Li 2 n é o número de elementos do conjunto de dados que, nesse caso, é determinado pela soma das frequências. Exemplo: dada a distribuição com intervalo da Tabela 13, determine a estatura média dos alunos que compõem a amostra. O procedimento é similar ao da distribuição sem intervalo, apenas com o detalhe de xi, que para uma distribuição com intervalo é o ponto médio da classe. Tabela 15 – Cálculo da média para uma distribuição com intervalo x= I Estaturas (cm) fi xi xi.fi 1 150├ 154 4 (150 + 154)/2 = 152 152 x 4 = 608 2 154├ 158 9 (154 + 158)/2 = 156 156 x 9 = 1404 3 158├ 162 11 (158 + 162)/2 = 160 160 x 11 =1760 4 162├ 166 8 (162 + 166)/2 = 164 164 x 8 = 1312 5 166├ 170 5 (166 + 170)/2 = 168 168 x 5 = 840 6 170├ 174 3 (170 + 174)/2 = 172 ∑ 40 172 x 3 = 516 ∑xi.fi = 6440 6440 = 161 cm 40 Logo, a estatura média para a amostra de alunos é de 161 cm. Observação Uma análise muito simples é comparar os dados com a média. No exemplo anterior, temos estaturas acima e abaixo da média. Logo, a média pode ser um interessante indicador de classificação. Exemplos de Aplicação Compare as vendas mensais com uma média histórica, para indicar o desempenho de cada vendedor. 27 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Observação Além da média que estudamos, muito utilizada como indicador de tendência, existem outros tipos, como: a média ponderada, que também indica tendência, mas considera os valores da variável com pesos diferentes, e a média móvel em um determinado número de valores (tipicamente de 3 a 12), largamente utilizada no cálculo de previsão. 3.2 Moda (Mo) A moda é o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. Serve para indicar as regiões das máximas frequências. 3.2.1 Dados não agrupados Dados os conjuntos a seguir, a moda será determinada analisando-se as maiores frequências. Exemplo 1: conjunto 1 20 30 40 80 10 20 10 30 20 O valor 20 se repete mais vezes que os outros (possui maior frequência). Mo = 20 Exemplo 2: conjunto 2 10 20 30 30 30 40 50 50 50 60 Os valores 30 e 50 se repetem mais vezes que os outros valores do conjunto; logo, existem duas modas (30 e 50). Mo = 30 e Mo = 50 (conjunto bimodal) Exemplo 3: conjunto 3 100 110 124 145 101 200 500 Nenhum valor se repete mais vezes que os outros valores do conjunto; logo, não existe valor modal (conjunto amodal). 28 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA 3.2.2 Distribuição de frequências sem intervalo Para determinar a moda em uma distribuição sem intervalo, basta identificar a classe com maior frequência simples (classe modal). A moda será o valor da variável da classe modal. Exemplo: dada a distribuição sem intervalo da Tabela 8, determine o valor modal dos veículos por residência em um determinado bairro. Tabela 16 – Obtenção da moda para uma distribuição sem intervalo Nº de carros fi 0 2 1 9 2 5 3 2 4 2 ∑ 20 Maior fi na segunda classe (classe modal) O valor da variável para a classe modal é igual a 1; logo, Mo = 1. 3.2.3 Distribuição de frequências com intervalo Para determinar a moda em uma distribuição com intervalo, inicialmente é necessária a classe modal (da mesma forma que na distribuição sem intervalo). Nesse caso, a moda será obtida aplicando-se a fórmula a seguir na classe modal: Mo = l * + d1 ⋅ h* d1 + d2 Onde: l* é o limite inferior da classe modal h* é a amplitude da classe modal d1 = f* - fant d2 = f* - fpost f* é a frequência simples da classe modal fant é a frequência simples anterior (acima) à classe modal. fpost é a frequência simples posterior (acima) à classe modal. Existem vários modelos para cálculo da moda. O modelo aqui apresentado é o mais utilizado e chama-se Moda de Czuber. 29 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Exemplo: dada a distribuição com intervalo da Tabela 13, determine a estatura modal dos alunos que compõem a amostra. Tabela 17 – Obtenção da moda para uma distribuição com intervalo I Estaturas (cm) fi 1 150├ 154 4 2 154├ 158 9 3 158├ 162 11 4 162├ 166 8 5 166├ 170 5 6 170├ 174 3 ∑ 40 Maior fi na terceira classe (classe modal) l* = 158 h* = 4 d1 = 11 - 9 = 2 d2 = 11 - 8 = 3 Logo: 2 ⋅4 2+3 8 Mo = 158 + = 158 + 1, 6 5 Mo = 159, 6 cm Mo = 158 + Observação Assim como nos dados não agrupados, uma distribuição pode ser bimodal, desde que existam duas maiores frequências. Nesse caso basta calcular as modas para as duas classes modais. Isso vale para mais de duas modas em uma distribuição, ainda que essa ocorrência não seja tão comum. 3.3 Mediana (Md) A mediana é o valor que caracteriza o centro de uma distribuição de frequências. Divide um conjunto ordenado de dados em duas partes iguais de 50% (daí o fato de a mediana ser considerada também uma medida de posição). 30 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA 3.3.1 Dados não agrupados Dados os conjuntos a seguir, antes de determinar a mediana, é necessário ordenar os dados da amostra. Exemplo 1: conjunto ordenado 1 20 30 50 80 190 210 300 Esta é uma amostra ímpar, pois possui 7 elementos (n = 7). Para amostras ímpares, a mediana é o elemento central da série de dados. 20 30 50 80 190 210 300 Logo, Md = 80. Exemplo 2: conjunto ordenado 2 100 230 300 500 600 800 Esta é uma amostra par, pois possui 6 elementos (n = 6) Para amostras pares, existem dois elementos centrais na série de dados, então a mediana é a média de ambos. 100 230 Logo, 300 500 600 Md = (300+500) / 2 Md = 800 / 2 Md = 400 800 3.3.2 Distribuição de frequências sem intervalo Para determinar a mediana em uma distribuição sem intervalo é necessário: Passo 1: determinar as frequências acumuladas (Fi) de todas as classes da distribuição. Passo 2: identificar a classe mediana. Para isso, é necessário calcular uma referência. ∑ ƒi 2 Passo 3: comparar o valor da referência com cada uma das frequências acumuladas. Se houver um Fi igual à referência, a classe deste Fi será a classe mediana. Caso contrário, deverá ser escolhido o Fi superior mais próximo da referência para obter a classe mediana. 31 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Passo 4: a mediana é o valor da variável da classe encontrada (classe mediana). Exemplo: dada a distribuição sem intervalo da Tabela 8, determine o valor da mediana. ∑ ƒi 20 = = 10 (referência) 2 2 Tabela 18 – Obtenção da mediana para uma distribuição sem intervalo Nº de carros fi Fi 0 2 2 1 9 11 2 5 16 3 2 18 4 2 20 ∑ 20 Valor de Fi (11) superior mais próximo da referência (10). Esta é a classe mediana (segunda classe). O valor da variável para a classe mediana é igual a 1; logo, Md =1 3.3.3 Distribuição de frequências com intervalo Para determinar a mediana em uma distribuição com intervalo, inicialmente é necessária a classe mediana (da mesma forma que na distribuição sem intervalo, isto é, seguindo os passos 1, 2 e 3). Nesse caso, a mediana será obtida aplicando-se a fórmula a seguir na classe mediana:  ∑ ƒi  − Fant  2  ⋅h * Md = l * +  ƒ* Onde: l* é o limite inferior da classe mediana ∑fi/2 é a referência, já calculada anteriormente para a escolha da classe mediana. Fant é a frequência acumulada anterior (acima) à classe mediana. f* é a frequência simples da classe mediana. h* é a amplitude da classe mediana. Exemplo: dada a distribuição com intervalo da Tabela 13, determine a estatura mediana dos alunos que compõem a amostra. ∑ ƒi 40 = = 20 (referência) 2 2 32 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Tabela 19 – Obtenção da mediana para uma distribuição com intervalo I Estaturas (cm) fi Fi 1 150├ 154 4 4 2 154├ 158 9 13 3 158├ 162 11 24 4 162├ 166 8 32 5 166├ 170 5 37 6 170├ 174 3 40 ∑ 40 Valor de Fi (24) superior mais próximo da referência (20). Esta é a classe mediana (terceira classe). l* = 158 ∑fi/2 = 20 Fant = 13 f* = 11 h* = 4 Logo: Md = 159 + [20 − 13] ⋅ 4 11 7 ⋅4 11 28 Md = 158 + 11 Md = 158 + 2, 55 Md = 160, 55 cm Md = 158 + Concluindo: a estatura que divide os 50% mais altos dos 50% mais baixos é de 160,55 cm. Observação Além da mediana, uma medida tanto de tendência quanto de posição, existem outras também importantes, como o quartil, o decil e o percentil. O método de obtenção é muito parecido com o da mediana, que tem o dois como referência nos cálculos. O quartil, o decil e o percentil, por sua vez, dividem uma série em quatro, dez ou cem partes iguais. 33 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I 4 Medidas de dispersão 4.1 Introdução As medidas de dispersão têm como finalidade indicar o quanto os dados apresentam-se dispersos em torno de uma região central, isto é, mostram o grau de variação em uma amostra. As medidas de dispersão abordadas serão: • a variância (s2); • o desvio-padrão (s); • o coeficiente de variação (CV). Observação Além das medidas de dispersão estudadas, existem modelos mais simplificados, como a amplitude e o desvio médio, que têm sua importância, porém não são tão utilizados como o desvio-padrão. O cálculo de cada uma das medidas será explicado utilizando-se as três abordagens citadas anteriormente. Porém, antes de serem apresentadas as fórmulas e os métodos para o cálculo, é interessante acompanhar, por meio de um exemplo, o significado e a importância do cálculo da dispersão. Exemplo: existem três grupos de pessoas (cada um com oito elementos). A variável em estudo é a idade dessas pessoas. Grupo 1: 20 20 20 20 20 20 20 20 19 20 20 21 22 22 10 13 20 25 35 50 Grupo 2: 18 18 Grupo 3: 2 5 Desejamos tirar algumas conclusões sobre os três grupos analisando a principal medida de tendência, a média. 34 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 160 = = 20 8 8 18 + 18 + 19 + 20 + 20 + 21 + 22 + 22 160 = = 20 x do grupo 2 = 8 8 2 + 5 + 10 + 13 + 20 + 25 + 35 + 50 160 = = 20 x do grupo 3 = 8 8 x do grupo 1 = Os valores das médias para os três grupos foram iguais, mas percebemos que os grupos são totalmente distintos quanto às idades. • No grupo 1, todos os valores coincidem com a média, pois não existem diferenças em relação a esta, logo não existe dispersão. É um grupo formado somente por pessoas de 20 anos de idade. • No grupo 2, os valores não coincidem exatamente com a média, mas também não se afastam muito desta, logo existe uma pequena dispersão. É um grupo formado por pessoas com idades próximas de 20 anos. • No grupo 3, a maioria dos valores está bem afastada de média, logo existe uma considerável dispersão. É um grupo formado pelas mais diversas idades. Conclusão: apenas utilizando a média, os três grupos apresentavam um perfil de idades igual. No entanto, considerando também a dispersão das idades (afastamento dos valores em relação à média), podemos indicar as diferenças existentes entre os três grupos. 4.2 Variância (s2) É a média dos quadrados das diferenças dos valores em relação a sua média. 4.2.1 Dados não agrupados s2 = ∑( xi − x ) n Onde: xi são os valores da variável x é a média do conjunto de valores n é o número de elementos do conjunto de valores Exemplo: as notas que um aluno tirou em um determinada disciplina durante o ano foram:3,5; 5,0; 6,5; e 9,0. A variância das notas do aluno na disciplina pode ser calculada por: • Obtenção da média. x= 3, 5 + 5, 0 + 6, 5 + 9, 0 24 = = 6, 0 4 4 35 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I • Obtenção da variância utilizando uma tabela para organizar os cálculos. Tabela 20 – Tabela para auxiliar na obtenção da variância de dados não agrupados xi xi - x (xi - x)2 3,5 3,5 - 6 = -2,5 (-2,5)2 = 6,25 5,0 5 - 6 = -1 (-1)2 = 1 6,5 6,5 – 6 = 0,5 (0,5)2 = 0,25 9,0 9-6=3 (3)2 = 9 24 s2 = ∑(xi - x)2 = 16,5 16, 5 = 4,13 4 Lembrete O número elevado ao quadrado é o produto do número por ele mesmo. Para os cálculos deste livro, uma calculadora com operações básicas (+, -, x e /) e raiz quadrada é mais que suficiente. 4.2.2 Distribuição de frequências sem intervalo s2 = ∑( xi − x )2 ⋅ ƒi n Onde: xi são os valores da variável para cada classe x é a média dos valores da distribuição fi é a frequência simples de cada classe n é o número de elementos do conjunto de valores Exemplo: dada a distribuição sem intervalo da Tabela 8, determine a variância de veículos por residência em um determinado bairro. • Obtenção da média (já vista no item 3.1.2). x= 36 33 = 165 , carros 20 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Tabela 21 – Cálculo da variância para uma distribuição sem intervalo Nº de carros (xi) fi xi.fi xi - x (xi - x)2 (xi - x)2.fi 0 2 0x2=0 0 - 1,65 = -1,65 (-1,65)2 = 2,72 2,72 x 2 = 5,44 1 9 1x9=9 1 - 1,65 =- 0,65 (-0,65)2 = 0,42 0,42 x 9 = 3,78 2 5 2 x 5 = 10 2 - 1,65 = 0,35 (0,35) = 0,12 0,12 x 5 = 0,60 3 2 3x2=6 3 - 1,65 = 1.35 (1,35) = 1,82 1,82 x 2 = 3,64 4 2 4x2=8 4 - 1,65 = 2,35 (2,35) = 5,52 5,52 x 2 = 11,04 ∑ 20 ∑xi.fi = 33 2 2 2 ∑(xi - x)2.fi = 24,5 Logo: s2 = 24, 5 = 1, 23 carros2 20 Observação Um dos problemas do uso direto da variância é que a unidade e o valor estarão elevados ao quadrado. 4.2.3 Distribuição de frequências com intervalo Considere: s2 = ∑( xi − x )2 ⋅ ƒi n Onde: xi é o ponto médio para cada classe Lembrando que: xi = li + Li 2 Onde: x é a média dos valores da distribuição fi é a frequência simples de cada classe n é o número de elementos do conjunto de valores Exemplo: dada a distribuição com intervalo da Tabela 13, determine a variância das estaturas dos alunos que compõem a amostra. 37 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I O procedimento é similar ao da distribuição sem intervalo, apenas com o detalhe de xi, que para uma distribuição com intervalo é o ponto médio da classe. Tabela 22a-b – Cálculo da variância para uma distribuição com intervalo a) x= I Estaturas (cm) fi Xi xi.fi 1 150├ 154 4 (150 + 154)/2 = 152 152 x 4 = 608 2 154├ 158 9 (154 + 158)/2 = 156 156 x 9 = 1404 3 158├ 162 11 (158 + 162)/2 = 160 160 x 11 =1760 4 162├ 166 8 (162 + 166)/2 = 164 164 x 8 = 1312 5 166├ 170 5 (166 + 170)/2 = 168 168 x 5 = 840 6 170├ 174 3 (170 + 174)/2 = 172 172 x 3 = 516 ∑ 40 ∑xi.fi = 6440 6440 = 161 cm 40 b) xi - x (xi - x)2 (xi - x)2.fi 152 - 161 = -9 (-9)2 = 81 81 x 4 = 324 156 - 161 = -5 (-5) = 25 25 x 9 = 225 160 -161 = -1 (-1)2 = 1 1 x 11 = 11 164 -161 = 3 (3)2 = 9 9 x 8 = 72 168 -161 = 7 (7)2 = 49 49 x 5 = 245 172 - 161 = 11 (11)2 = 121 121 x 3 = 363 2 ∑(xi - x)2.fi = 1240 Logo: s2 = 1240 = 31 cm2 40 4.3 Desvio-padrão (s) É a raiz quadrada da variância. É a medida de dispersão mais utilizada, por ter a mesma unidade que a média, possibilitando uma melhor avaliação da dispersão da amostra. 38 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA 4.3.1 Dados não agrupados Considere: Σ( xi − x )2 n s= Onde: xi são os valores da variável x é a média do conjunto de valores n é o número de elementos do conjunto de valores Utilizando o mesmo exemplo do item 4.2.1: s2 = 16, 5 = 4,13 4 Logo: s = 4,13 = 2, 03 4.3.2 Distribuição de frequências sem intervalo Considere: Σ( xi − x )2 ⋅ ƒi n s2 = Onde: xi são os valores da variável para cada classe x é a média dos valores da distribuição fi é a frequência simples de cada classe n é o número de elementos do conjunto de valores Utilizando o mesmo exemplo do item 4.2.2: s2 = 24, 5 = 1, 23 carros2 20 Logo: s = 123 , = 111 , carros 39 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I 4.3.3 Distribuição de frequências com intervalo Considere: Σ( xi − x )2 ⋅ ƒi n s= Onde: xi é o ponto médio para cada classe Lembrando que: xi = li + Li 2 x é a média dos valores da distribuição fi é a frequência simples de cada classe n é o número de elementos do conjunto de valores Utilizando o mesmo exemplo do item 4.2.3: s2 = 1240 = 31 cm2 40 Logo: s = 31 = 5, 57 cm 4.4 Coeficiente de variação (CV) É o quociente entre o desvio-padrão e a média. É a medida de dispersão relativa, que indica a variabilidade percentual da amostra em relação à média. s CV = ⋅100 x A unidade do coeficiente de variação é uma porcentagem (%). A fórmula e o método de cálculo são exatamente os mesmos para as três abordagens apresentadas. Vale ressaltar que quanto maior o CV, maior será a variabilidade dos dados do conjunto, em relação a sua média. Exemplo: calcular o coeficiente de variação do exemplo abordado no item 4.3.3 (estaturas dos alunos). 40 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Como: x = 161 cm s = 5,57 cm Logo: CV = 5, 57 557 ⋅100 = = 3, 46% 161 161 As estaturas têm uma variabilidade de 3,46% em relação à média. Resumo Nesta Unidade abordamos inicialmente os principais conceitos teóricos para o estudo dos métodos estatísticos. Foi apresentada a definição de Estatística bem como a sua divisão em Estatística Descritiva e Indutiva. Neste livro-texto abordaremos a maior parte da Estatística Descritiva e o início da Indutiva. Conceitos como os tipos de dados, que podem ser quantitativos (subdivididos em discretos e contínuos) e qualitativos, foram abordados com uma quantidade significativa de exemplos para a perfeita compreensão. Vimos ainda as definições de população e amostra, e foi feita uma breve explicação introdutória de amostragem, em que foram exibidos seus principais tipos (aleatória, sistemática e estratificada). Estudamos as formas de se armazenar dados quantitativos, que anteriormente estavam sob a forma de uma tabela primitiva ou um rol, em distribuições de frequências. Aprendemos que existem dois tipos de distribuições de frequências: sem intervalo de classe e com intervalo de classe. Abordamos as diferenças e os métodos para a construção de uma tabela de frequências, com ou sem intervalo. Ressaltamos que erros, tanto na montagem da tabela quanto na contagem dos valores do rol, resultam em análise e medidas/indicadores errados. Na sequência, apresentamos os principais tipos de frequências existentes (simples, relativa e acumulada) e as suas respectivas finalidades. Mostramos também a montagem de gráficos (histograma e polígono de frequências) para distribuições de frequências com intervalo (por serem as mais utilizadas na prática). 41 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Além disso, estudamos as três principais medidas de tendência: a média, a moda e a mediana. As medidas foram analisadas sob três abordagens distintas (dados não agrupados, distribuição de frequência sem intervalo e distribuição de frequência com intervalo), pois os métodos de obtenção das medidas apresentam significativas diferenças para cada abordagem. Vimos que a média de dados não agrupados é a média aritmética, muito utilizada academicamente para verificar o aproveitamento do aluno em uma disciplina. Aprendemos ainda que para a obtenção da média para distribuição de frequência, devemos levar em conta tanto a frequência quanto o valor da variável. Abordamos a moda, que indica a(s) maior(es) frequências em uma série de dados. Foram apresentadas as três abordagens para a obtenção. A mediana, posição que indica o centro de uma série de dados (divide a série em duas partes de 50%) também foi apresentada das três maneiras. No que se refere às medidas de dispersão, estudamos três das principais, novamente nas três abordagens (dados não agrupados, distribuição sem intervalo e distribuição com intervalo). Aprendemos que a variância, definida pela média dos quadrados das diferenças dos valores em relação a sua média, é importante, porém não muito utilizada, pelo fato de a unidade da grandeza envolvida no cálculo estar elevada ao quadrado. Vimos, entretanto, que o desviopadrão, cuja definição é a raiz quadrada da variância, é muitíssimo utilizado em várias áreas do conhecimento, para quantificar a dispersão de uma série de dados. Para termos uma noção percentual da dispersão em relação à média, foi apresentado o coeficiente de variação, que é uma medida de dispersão derivada do desvio-padrão e da média dos dados analisados. 42 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Exercícios Questão 01. Considere as notas de um teste de inteligência aplicado a 100 alunos. Tabela 23 – Notas dos alunos no teste de inteligência 64 78 66 82 74 103 78 86 103 87 73 95 82 89 73 92 85 80 81 90 78 86 78 101 85 98 75 73 90 86 86 84 86 76 76 83 103 86 84 85 76 80 92 102 73 87 70 85 79 93 82 90 83 81 85 72 81 96 81 85 68 96 86 70 72 74 84 99 81 89 71 73 63 105 74 98 78 78 83 96 95 94 88 62 91 83 98 93 83 76 94 75 67 95 108 98 71 92 72 73 Construa uma distribuição de frequência com intervalos. Obtida a distribuição, calcule as frequências relativas e acumuladas. 43 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Resolução: Tabela 24 Rol 62 72 74 78 81 84 86 89 94 98 63 72 74 78 81 84 86 90 94 98 64 72 75 78 82 84 86 90 95 99 66 73 75 78 82 85 86 90 95 101 67 73 76 79 82 85 86 91 95 102 68 73 76 80 83 85 86 92 96 103 70 73 76 80 83 85 87 92 96 103 70 73 76 81 83 85 87 92 96 103 71 73 78 81 83 85 88 93 98 105 71 74 78 81 83 86 89 93 98 108 k = 100 = 10 108 − 62 h= = 4, 6 10 h=5 Tabela 25 notas fi fri Fi 62 ├ 67 4 0,0400 4 6 0,0600 10 67 ├ 72 72 ├ 77 18 0,1800 28 14 0,1400 42 24 0,2400 66 9 0,0900 75 92 ├ 97 13 0,1300 88 6 0,0600 94 5 0,0500 99 107 ├ 112 1 0,0100 100 100 1 77 ├ 82 82 ├ 87 87 ├ 92 97 ├ 102 102 ├ 107 Questão 02. Os números representam cotações (em US$) de uma determinada ação, durante certo período. Tabela 26 – Cotações da ação 44 3,39 3,34 3,99 3,94 3,06 3,00 3,00 3,18 3,05 3,10 3,15 3,17 3,35 3,50 3,45 3,06 3,30 3,75 3,60 3,42 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Construa uma distribuição de frequência com intervalos. Obtida a distribuição, calcule as frequências relativas e acumuladas. Resolução: Tabela 27 Rol 3,00 3,06 3,18 3,39 3,60 3,00 3,10 3,30 3,42 3,75 3,05 3,15 3,34 3,45 3,94 3,06 3,17 3,35 3,50 3,99 k = 20 = 4, 47 = 4 3, 99 − 3, 00 h= = 0, 2475 4 h = 0, 25 Tabela 28 notas 3,00 3,25 3,50 3,75 ├ ├ ├ ├ fi fri Fi 3,25 9 0,4500 4 3,50 6 0,3000 10 3,75 2 0,1000 28 4,00 3 0,1500 42 20 1 45 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Os exercícios 3 e 4 mostram as seguintes situações: — A construção de uma distribuição com intervalo de outra maneira. — Uma distribuição com a configuração diferente das vistas até o momento. Questão 03. Foi feita uma estatística do número de casamentos realizados por semana numa certa cidade, durante as 52 semanas de um dado ano. O número de casamentos em cada semana está na tabela seguinte. Tabela 29 – Estatística do número de casamentos 6 4 2 8 18 16 10 6 7 5 12 8 9 12 17 11 9 16 19 18 18 16 14 12 7 10 3 8 7 12 5 9 11 15 9 4 1 6 11 7 11 10 15 3 2 13 9 11 17 13 12 8 Construa uma distribuição de frequências com cinco classes de amplitudes iguais, sendo a primeira de 0 ├ 4. Obtida a distribuição, calcule as frequências relativas e acumuladas. Resolução: Tabela 30 1 3 5 7 8 9 9 11 11 12 14 16 18 2 4 6 7 8 9 10 11 12 12 15 16 18 2 4 6 7 8 9 10 11 12 13 15 17 18 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 17 19 k = 5 (enunciado) h = 4 (enunciado) 46 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Tabela 31 0 4 8 12 16 ├ ├ ├ ├ ├ fi fri Fi 4 5 0,096 5 8 11 0,212 16 12 17 0,327 33 16 10 0,192 43 20 9 0,173 52 52 1 Questão 04. A tabela a seguir mostra uma distribuição de frequências da duração de 400 válvulas de rádio, produzidas por uma determinada fábrica. Tabela 32 – Duração das válvulas (em horas) Duração (h) Número de válvulas 300 – 399 14 400 – 499 46 500 – 599 58 600 – 699 76 700 – 799 68 800 – 899 62 900 – 999 48 1000 – 1099 22 1100 – 1199 6 Com referência na tabela, determine: a) A amplitude amostral. b) O número de classes da distribuição. c) O limite superior da quinta classe. d) O limite inferior da oitava classe. e) O ponto médio da sétima classe. f) A amplitude de intervalo da segunda classe. g) A frequência da quarta classe. h) A frequência relativa da sexta classe. i) A frequência acumulada até a terceira classe. j) A porcentagem das válvulas cuja duração não excede 599 horas. k) A porcentagem das válvulas de duração maior ou igual a 900 horas. l) A porcentagem de válvulas cuja duração é de 500 horas no mínimo, mas inferior a 1000 horas. 47 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Resolução: Tabela 33 Duração (horas) Número de válvulas fri Fi xi 300 – 399 14 0,04 14 349,5 400 – 499 46 0,12 60 449,5 500 – 599 58 0,15 118 549,5 600 – 699 76 0,19 194 649,5 700 – 799 68 0,17 262 749,5 800 – 899 62 0,16 324 849,5 900 – 999 48 0,12 372 949,5 1000 – 1099 22 0,06 394 1050 1100 – 1199 6 0,02 400 1150 400 1 a) AA = 1.199 - 300 = 899 b) K = 9 c) L5 = 799 d) l8 = 1000 e) x7 = (999 + 900) / 2 = 949,5 f) h2 = 499 - 400 = 99 g) f4 = 76 h) fr6 = 0,16 i) F3 = 118 j) % = 0,04 + 0,12 + 0,15 = 0,31 = 31% k) % = 0,12 + 0,06 + 0,02 = 0,20 = 20% l) % = 0,15 + 0,19 + 0,17 + 0,16 + 0,12 = 0,79 = 79% 48 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Questão 05. Dada a distribuição: Tabela 34 – Distribuição dos lotes de acordo com a área (em metros quadrados) Áreas (m2) Número de lotes 300├ 400 14 400├ 500 46 500├ 600 58 600├ 700 76 700├ 800 68 800├ 900 62 900├ 1000 48 1000├ 1100 22 1100├ 1200 6 Determine: a) Os pontos médios. b) As frequências relativas. c) As frequências acumuladas. d) O histograma. e) O polígono de frequência. 49 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Resolução: Tabela 35 Áreas (m2) Número de lotes xi fri Fi 300├ 400 14 350 0,035 14 400├ 500 46 450 0,115 60 500├ 600 58 550 0,145 118 600├ 700 76 650 0,190 194 700├ 800 68 750 0,170 262 800├ 900 62 850 0,155 324 900├ 1000 48 950 0,120 372 1000├ 1100 22 1050 0,055 394 6 1150 0,015 400 1100├ 1200 400 1 Gráficos conforme a definição. Questão 06. A tabela a seguir apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico, durante um mês, por um estabelecimento comercial: Tabela 36 – Número de aparelhos vendidos no período 10 12 13 13 14 15 11 12 13 14 14 15 11 12 13 14 14 16 11 12 13 14 14 17 a) Forme uma distribuição de frequências sem intervalos de classes. b) Determine as frequências relativas e acumuladas. 50 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Resolução: Tabela 37 10 12 13 13 14 15 11 12 13 14 14 15 11 12 13 14 14 16 11 12 13 14 14 17 Tabela 38 xi fi fri Fi 10 11 1 0,0417 1 3 0,1250 4 12 4 0,1667 8 13 5 0,2083 13 14 7 0,2917 20 15 2 0,0833 22 16 1 0,0417 23 17 1 0,0417 24 24 1 Questão 07. Dada a distribuição: Tabela 39 – Distribuição para a Questão 07 I Classes fi 1 4├ 8 2 2 8├ 12 5 3 12├ 16 9 4 16├ 20 6 5 20├ 24 2 6 24├ 28 1 Determine: a) Os pontos médios. b) As frequências relativas. c) As frequências acumuladas. d) O histograma. 51 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I a) O polígono de frequência Resolução: Tabela 40 i Classes fi xi fri Fi 1 4├ 8 2 6 0,080 2 2 8├ 12 5 10 0,200 7 3 12├ 16 9 14 0,360 16 4 16├ 20 6 18 0,240 22 5 20├ 24 2 22 0,080 24 6 24├ 28 1 26 0,040 25 25 1 Gráficos conforme a definição. Questão 08. Considerando os conjuntos de dados: A. 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 B. 20 9 7 2 12 7 20 15 7 C. 51,6 48,7 50,3 49,5 48,9 Determine a média, a mediana e a moda. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 52 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Resolução: a) 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 n=10 x = (2+2+3+5+5+5+6+6+8+9)/10 = 51/10=5,1 Md =(5+5)/2=5 Mo=5 b) 2 7 7 7 9 12 15 20 20 n=9 x = (2 + 7 + 7 + 7 + 9 + 12 + 15 + 20 + 20)/9 = 99/9 = 11 Md = 9 Mo = 7 c) 48,7 48,9 49,5 50,3 51,6 n=5 x = (48,7 + 48,9 + 49,5 + 50,3 + 51,6)/5 = 249/5=49,8 Md = 49,5 Série amodal. Questão 09. Considerando a distribuição a seguir: Tabela 41 – Distribuição referente à Questão 09 Xi 3 4 5 6 7 8 Fi 4 8 11 10 8 3 53 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Calcule a média, a mediana e a moda. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Resolução: Tabela 42 Xi fi xi.fi Fi 3 4 12 4 4 8 32 12 5 11 55 23 6 10 60 33 7 8 56 41 8 3 24 44 44 239 239 = 5, 43 44 Mo = 5 ƒi 44 ∑ 2 = 2 = 22 Classe mediana = terceira classe x= Md = 5 Questão 10. Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição: Tabela 43 – Distribuição dos alunos de acordo com as respectivas notas Notas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nº de alunos 1 3 6 10 13 8 5 3 1 Calcule a nota média, a nota mediana e a nota modal. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 54 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Resolução: Tabela 44 Notas Nº de alunos xi.fi Fi 2 1 2 1 3 3 9 4 4 6 24 10 5 10 50 20 6 13 78 33 7 8 56 41 8 5 40 46 9 3 27 49 10 1 10 50 50 296 296 = 5, 92 50 Mo = 6 ƒi 50 ∑ 2 = 2 = 25 Classe mediana = quinta classe x= Md = 6 Questão 11. Dadas as distribuições de frequência, calcule a média, a mediana e a moda para cada uma delas: a) Tabela 45 – Distribuição de notas Notas fi 0├2 5 2├4 8 4├6 14 6├8 10 8├10 7 ∑=44 55 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I b) Tabela 46 – Distribuição de estaturas (em centímetros) Estaturas (cm) fi 150├158 5 158├166 12 166├174 18 174├182 27 182├190 8 ∑=70 c) Tabela 47 – Distribuição de salários (em reais) Salários (R$) fi 500├700 18 700├900 31 900├1100 15 1100├1300 3 1300├1500 1 1500├1700 1 1700├1900 1 ∑=70 d) Tabela 48 – Distribuição de pesos (em quilogramas) Pesos (kg) fi 145├151 10 151├157 9 157├163 8 163├169 6 169├175 3 175├181 3 181├187 1 ∑=40 ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 56 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Resolução: a) Tabela 49 x= Notas fi xi xi.fi Fi 0├2 5 1 5 5 2├4 8 3 24 13 4├6 14 5 70 27 6├8 10 7 70 37 8├10 7 9 63 44   ∑=44 232 232 = 5, 27 44 Classe modal = terceira classe 6 12 ⋅ 2 = 4 = 5, 2 6+4 10 ƒi 44 ∑ 2 = 2 = 22 Mo = 4 + Classe mediana = terceira classe Md = 4 + [22 − 13] 18 ⋅ 2 = 4 + = 5, 29 14 14 b) Tabela 50 x= Estaturas (cm) fi xi xi.fi Fi 150├158 5 154 770 5 158├166 12 162 1944 17 166├174 18 170 3060 35 174├182 27 178 4806 62 182├190 8 186 1488 70   ∑=70 12068 12068 = 172, 4 70 57 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Classe modal = quarta classe Mo = 174 + ƒi ∑2= 6 78 ⋅ 8 = 174 = 176, 57 9 + 19 22 70 = 35 2 Classe mediana = terceira classe Md = 166 + [35 − 17] 144 ⋅ 8 = 166 = 174 18 18 c) x= Tabela 51 Salários (R$) fi xi xi.fi Fi 500├700 18 600 10800 18 700├900 31 800 24800 49 900├1100 15 1000 15000 64 1100├1300 3 1200 3600 67 1300├1500 1 1400 1400 68 1500├1700 1 1600 1600 69 1700├1900 1 1800 1800 70   ∑=70 59000 = 842, 86 70 Classe modal = segunda classe Mo = 700 + ƒi ∑2= 13 2600 ⋅ 200 = 700 + = 789, 66 13 + 16 29 70 = 35 2 Classe mediana = segunda classe Md = 700 + 58 [13 − 18] 3400 ⋅ 200 = 700 + = 809, 68 31 31 59000 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA d) x= Tabela 52 Pesos (kg) fi xi xi.fi Fi 145├151 10 148 1480 10 151├157 9 154 1386 19 157├163 8 160 1280 27 163├169 6 166 996 33 169├175 3 172 516 36 175├181 3 178 534 39 181├187 1 184 184 40   ∑=40 6376 6376 = 159, 4 40 Classe modal = primeira classe Mo = 145 + ƒi ∑2= 10 60 ⋅ 6 = 145 + = 150, 45 10 + 1 11 40 = 20 2 Classe mediana = terceira classe Md = 157 + [20 − 19] 6 ⋅ 6 = 157 + = 157, 75 8 8 Questão 12. A empresa Tintas Brasil Ltda. está estudando uma forma de nivelar sua produção durante o ano. O Departamento de Marketing fez uma pesquisa de mercado e descobriu que o setor de tintas é altamente sazonal (muitas famílias resolvem pintar suas residências no quarto trimestre, em razão do período de festas). O gráfico a seguir mostra as previsões de vendas para o próximo ano. Milhares de Galões 100 50 40 30 1º 2º 3º 4º Trimestre Figura 8 – Previsões de vendas 59 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I De quantos milhares de galões deve ser o nível de produção trimestral da empresa para nivelar sua produção? ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ Resolução: Milhares de Galões 100 50 40 30 1º 2º 3º Figura 9 4º Trimestre Para nivelar a produção basta calcular a média das alturas das barras do gráfico. x= 30 + 50 + 40 + 100 220 = = 55 4 4 Questão 13. Uma empresa produtora de cosméticos vende seus produtos diretamente ao consumidor final de porta em porta, possuindo uma elevada quantidade de vendedoras comissionadas. A empresa precisa alavancar suas vendas e chega à conclusão de que deverá, para tanto, implantar um treinamento específico para as vendedoras menos eficientes. Resolveu também que, por motivo de custos, deveria oferecer esse treinamento apenas a 50% das vendedoras de pior desempenho, relacionado diretamente com as comissões obtidas. O supervisor de treinamento está, nesse momento, redigindo a convocação para o treinamento. Tabela 53 – Relação de vendedoras e respectivas comissões Faixas monetárias I II III IV 60 Comissões recebidas nos últimos seis meses Quantidade de vendedoras comissionadas R$ 1.500,00 ├ R$ 3.500,00 15 R$ 5.500,00├ R$ 7.500,00 78 R$ 7.500,00 ├ R$ 9.500,00 97 R$ 3.500,00 ├ R$ 5.500,00 46 V R$ 9.500,00├ R$ 11.500,00 132 VI R$ 11.500,00├ R$ 13.500,00 154 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA VII R$ 13.500,00├ R$ 15.500,00 165 VIII R$ 15.500,00├ R$ 17.500,00 123 IX R$ 17.500,00├ R$ 19.500,00 95 X R$ 19.500,00├ R$ 21.500,00 59 XI R$ 21.500,00├ R$ 23.500,00 27 Quais vendedoras ele deve convocar, considerando o quadro anterior, que resume as comissões recebidas nos últimos seis meses? A) As vendedoras cujas comissões recebidas são inferiores a R$ 13.500,00 aproximadamente. B) As vendedoras cujas comissões recebidas são superiores a R$ 13.150,00 aproximadamente. C) As vendedoras cujas comissões recebidas são inferiores a R$ 13.000,00 aproximadamente. D) As vendedoras cujas comissões recebidas são inferiores a R$ 13.150,00 aproximadamente. E) As vendedoras cujas comissões recebidas são superiores a R$ 13.000,00 aproximadamente. Resolução: Tabela 54 Faixas monetárias Comissões recebidas nos últimos seis meses Quantidade de vendedoras comissionadas Fi 15 15 2 R$ 1.500,00 ├ R$ 3.500,00 46 61 3 R$ 5.500,00├ R$ 7.500,00 78 139 97 236 5 R$ 7.500,00 ├ R$ 9.500,00 R$ 9.500,00├ R$ 11.500,00 132 368 6 R$ 11.500,00├ R$ 13.500,00 154 522 7 R$ 13.500,00├ R$ 15.500,00 165 687 8 R$ 15.500,00├ R$ 17.500,00 123 810 9 R$ 17.500,00├ R$ 19.500,00 95 905 10 R$ 19.500,00├ R$ 21.500,00 59 964 11 R$ 21.500,00├ R$ 23.500,00 27 991 1 R$ 3.500,00 ├ R$ 5.500,00 4 991 Para obter o valor de comissão que identifica 50% das vendedoras de pior desempenho é a mediana. Logo: ƒi ∑2= 991 = 495, 5 2 61 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Classe mediana = sexta classe Md = 11500 + [495, 5 − 368] 255000 ⋅ 2000 = 11500 + = 13155, 84 154 154 A alternativa correta é a D (As vendedoras cujas comissões recebidas são inferiores a R$ 13.150,00 aproximadamente). Questão 14. Considerando os conjuntos de dados: A. 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 B. 20 9 7 2 12 7 20 15 7 C. 51,6 48,7 50,3 49,5 48,9 Calcule o desvio-padrão e o coeficiente de variação para cada um dos conjuntos. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ _____ __________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Resolução: a) Tabela 55 xi x-x (x - x)2 3 -2,1 4,41 5 -0,1 0,01 2 -3,1 9,61 6 0,9 0,81 5 -0,1 0,01 9 3,9 15,21 5 -0,1 0,01 2 -3,1 9,61 8 2,9 8,41 6 0,9 0,81 51 62 48,9 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA 51 = 5,1 10 48, 9 s= = 4, 89 = 2, 21 10 2, 21 CV = ⋅100 = 43, 33% 5,1 x= b) Tabela 56 xi x-x (x - x)2 20 9 81 9 -2 4 7 -4 16 2 -9 81 12 1 1 7 -4 16 20 9 81 15 4 16 7 -4 16 99 312 99 = 11 9 312 s= = 34, 67 = 5, 89 9 5, 89 CV = ⋅100 = 53, 55% 11 x= c) Tabela 57 xi x-x (x - x)2 51,6 1,8 3,24 48,7 -1,1 1,21 50,3 0,5 0,25 49,5 0,3 0,09 48,9 -0,9 0,81 249 5,6 63 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I 249 = 49, 8 5 5, 6 s= = 112 , = 1, 06 5 1, 06 CV = ⋅100 = 2,13% 49, 08 x= Questão 15. Dadas as distribuições de frequência com intervalo: Tabela 58 – Distribuição de salários (em reais) referente à Questão 15 Salários (R$) fI 500├ 700 18 700├ 900 31 900├ 1100 15 1.100├ 1.300 3 1.300├ 1.500 1 1.500├ 1.700 1 1.700├ 1.900 1 ∑=70 Tabela 59 – Distribuição de estaturas (em centímetros) referente à Questão 15 Estaturas (cm) fI 150├ 158 5 158├ 166 12 166├ 174 18 174├182 27 182├190 8 ∑=70 Calcule o desvio-padrão e o coeficiente de variação para cada uma delas. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 64 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Resolução: a) Tabela 60 Salários (R$) fI xi xi . fi x-x (x - x)2 (x - x)2 . fi 500├ 700 18 600 10800 -242,857 58979,59 1061633 700├ 900 31 800 24800 -42,8571 1836,735 56938,78 900├ 1100 15 1000 15000 157,1429 24693,88 370408,2 1.100├ 1.300 3 1200 3600 357,1429 127551 382653,1 1.300├ 1.500 1 1400 1400 557,1429 310408,2 310408,2 1.500├ 1.700 1 1600 1600 757,1429 573265,3 573265,3 1.700├ 1.900 1 1800 1800 957,1429 916122,4 ∑=70 59000 916122,4 3671429 59000 = 842, 86 70 3671429 s= = 52448, 99 = 229, 02 70 229, 02 CV = ⋅100 = 27,17% 842, 86 x= b) Tabela 61 Estaturas fI xi xi . fi x-x (x - x)2 (x - x)2 . fi 150 ├ 158 5 154 770 -18,4 338,56 1692,8 12 162 1994 -10,4 108,16 1297,92 166 ├ 174 18 170 3060 -2,4 5,76 103,68 27 178 4806 5,6 31,36 846,72 182 ├ 190 8 186 1488 13,6 184,96 1479,68 158 ├ 166 174 ├ 182 ∑=70 12068 5420,8 12068 = 172, 40 70 5420, 8 s= = 77, 44 = 8, 80 70 8, 80 CV = ⋅100 = 5,10% 172, 40 x= 65 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Questão 16. Calcule o desvio-padrão e o coeficiente de variação das distribuições a seguir: Tabela 62 – Distribuição A xI 2 3 4 5 6 7 8 fI 1 3 5 8 5 4 2 Tabela 63 – Distribuição B R$ 450├550 550├650 650├750 750├850 850├950 950├1050 1050├1150 fI 8 10 11 16 13 5 1 Tabela 64 – Distribuição C Classes 30├50 50├70 70├90 90├110 110├130 fI 2 8 12 10 5 ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Resolução: a) Tabela 65 xi fI xi . fi x-x (x - x)2 (x - x)2 . fi 2 1 2 -3,18 10,10 10,10 3 3 9 -2,18 4,75 14,24 4 5 20 -1,18 1,39 6,95 5 8 40 -0,18 0,03 0,26 6 5 30 0,82 0,67 3,37 7 4 28 1,82 3,32 13,27 8 2 16 2,82 7,96 15,92 28 145 145 = 5,18 28 64,11 s= = 2, 29 = 151 , 28 151 , CV = ⋅100 = 29,15% 5,18 x= 66 64,11 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA b) Tabela 66 R$ fI xi xi . fi x-x (x - x)2 (x - x)2 . fi 480 ├ 550 8 500 4000 -254,69 64865,72 518925,78 550 ├ 650 10 600 6000 -154,69 23928,22 239282,23 11 700 7700 -54,69 2990,72 32897,95 750 ├ 850 16 800 12800 45,31 2053,22 32851,56 850 ├ 950 13 900 11700 145,31 21115,72 274504,39 5 1000 5000 245,31 60178,22 300891,11 1050 ├ 1150 1 1100 1100 345,31 119240,72 119240,72 650 ├ 750 950 ├ 1050 64 48300 1518593,75 48300 = 754, 69 64 1518593, 75 s= = 23728, 03 = 154, 04 64 154, 04 CV = ⋅100 = 20, 41% 754, 69 x= c) Tabela 67 Classes fI xi xi . fi x-x (x - x)2 (x - x)2 . fi 30 ├ 50 2 40 80 -44,32 1964,65 3929,29 8 60 480 -24,32 591,67 4733,38 70 ├ 90 12 80 960 -4,32 18,70 224,40 10 100 1000 15,68 245,73 2457,27 110 ├ 130 5 120 600 35,68 1272,75 6363,77 50 ├ 70 90 ├ 110 37 3120 17708,11 3120 = 84, 32 37 17708,11 s= = 478, 60 = 21, 88 37 2188 , CV = ⋅100 = 25, 95% 84, 32 x= 67 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Questão 17. Dados os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos: Tabela 68 – Estaturas e pesos dos indivíduos Média s Estaturas 175 cm 5,0 cm Pesos 68 kg 2,0 kg Calcule os coeficientes de variação dos pesos e das estaturas. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Resolução: Estaturas: CV = 5 ⋅100 = 2, 86% 175 Pesos: CV = 2 ⋅100 = 2, 94% 68 Questão 18. Medidas as estaturas de 1.017 indivíduos, obtivemos a média de 162,2 cm e o desviopadrão de 8,01 cm. O peso médio desses mesmos indivíduos é de 52 kg, com s = 2,3 kg. Esses indivíduos apresentam maior variabilidade em estatura ou em peso? ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Resolução: Estaturas: CV = 68 8, 01 ⋅100 = 4, 94% 162, 2 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Pesos: CV = 2, 3 ⋅100 = 4, 42% 52 A maior variabilidade está na estatura. Questão 19. Um grupo de 100 estudantes tem uma estatura média de 163,8 cm, com um coeficiente de variação de 3,3%. Qual o desvio-padrão desse grupo? ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Resolução: Utilizando a fórmula do CV: s ⋅100 163, 8 540, 24 = s ⋅100 s = 5, 40 3, 3 = Questão 20. Uma distribuição apresenta as seguintes estatísticas: s = 1,5 e CV = 2,9%. Determine a média da distribuição. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Resolução: Utilizando a fórmula do CV: 15 , ⋅100 x 150 2, 9 = x 150 = 51, 72 x= x 2, 9 = 69 www.cliqueapostilas.com.br Unidade I Questão 21. A distribuição das idades dos alunos de uma classe é dada pelo gráfico a seguir. Nº de alunos 25 20 10 5 15 17 19 21 Idade (em anos) Figura 10 – Histograma: idades de alunos da Escola A Qual das alternativas representa o desvio-padrão das idades dos alunos? A) 1,72 anos. B) 3,15 anos. C) 3,02 anos. D) 6,74 anos. E) 1,01 anos. Resolução: No eixo x do histograma, os pontos apresentados são os pontos médios das classes. Tabela 69 fI xi xi . fi x-x (x - x)2 (x - x)2 . fi 10 15 150 -2,83 8,03 80,28 20 17 340 -0,83 0,69 13,89 25 19 475 1,17 1,36 34,03 5 21 105 3,17 10,03 50,14 60 1070 = 17, 83 60 178, 33 s= = 2, 97 = 172 , 60 x= A resposta correta é a alternativa A. 70 1070 178,33 www.cliqueapostilas.com.br ESTATÍSTICA Questão 22. As decisões financeiras devem ser tomadas considerando-se os retornos e os riscos esperados, bem como o respectivo impacto destes sobre o preço do ativo avaliado. O risco de um ativo individual, uma ação, por exemplo, pode ser devidamente avaliado por meio da maior variabilidade dos retornos esperados. Portanto, a comparação das distribuições probabilísticas dos retornos, relativas a cada ativo individual, possibilita a quem toma decisões perceber os diferentes graus de risco. Analise, a seguir, os dados estatísticos relativos aos retornos de cinco ativos: Tabela 70 – Retornos dos ativos Dados estatísticos referentes aos retornos Ativo A Ativo B Ativo C Ativo D Ativo E Valor esperado 15,0% 12,0% 5,0% 10,0% 4,0% Desvio-padrão 6,0% 6,6% 2,5% 3,0% 2,6% O ativo menos arriscado é o: A) Ativo A. B) Ativo B. C) Ativo C. D) Ativo D. E) Ativo E. Resolução: Tabela 71 Dados estatísticos referentes aos retornos Ativo A Ativo B Ativo C Ativo D Ativo E Valor esperado 15,0% 12,0% 5,0% 10,0% 4,0% Desvio-padrão 6,0% 6,6% 2,5% 3,0% 2,6% O valor esperado é o valor médio para cada ativo. Como o risco está associado à variabilidade, serão calculados os coeficientes de variação de todos os ativos. O ativo de menor coeficiente de variação será o menos arriscado. 6 = ⋅100 = 40, 00% 15 6, 6 CVB = ⋅100 = 55, 00% 12 2, 5 CVC = ⋅100 = 50, 00% 5 3 CVD = ⋅100 = 30, 00% 10 2, 6 CVD = ⋅100 = 65, 00% 4 CVA = O ativo menos arriscado é aquele com CV = 30% (alternativa D). 71