Estática - Cap2

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Capítulo 2: Noções da estática clássica 1 Princípios e conceitos fundamentais Embora o estudo da Mecânica se tenha iniciado no tempo de Aristóteles (364- 322 A. C.) e Arquimedes (287-212 A. C.), ela teve que esperar até Newton (1642-1727) para encontrar uma formulação satisfatória de seus princípios fundamentais e sua validade permaneceu imutável até Einstein (1905). Apesar de suas limitações terem sido reconhecidas, a mecânica newtoniana ainda permanece sendo a base das ciências atuais de Engenharia. Mecânica pode ser definida como a ciência que descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob a ação de forças. E dividida em três partes: mecânica dos corpos rígidos, mecânica dos corpos deformáveis e mecânica dos fluidos. A Mecânica dos corpos rígidos é subdividida em Estática e Dinâmica; a primeira se refere a corpos em repouso e a segunda, a corpos em movimento. Neste curso, os corpos são considerados perfeitamente rígidos (pequenas deformações não influenciam apreciavelmente as condições de equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada). A Resistência dos Materiais é a parte da mecânica dos corpos deformáveis. Os conceitos básicos usados na Mecânica são os de espaço, tempo, massa e força: O conceito de espaço é associado à noção de posição de um ponto P. A posição P pode ser definida por três comprimentos medidos a partir de um ponto de referência, ou de origem, segundo três direções dadas. Esses comprimentos são conhecidos como as coordenadas de P. O tempo ou instante em que o evento ocorre, também deve ser dado. Para definir um evento não é suficiente definir sua posição no espaço. O conceito de massa é usado para caracterizar e comparar os corpos com base em certas experiências mecânicas fundamentais. Dois corpos de mesma massa, por exemplo, serão atraídos pela terra da mesma maneira; eles oferecerão também a mesma resistência a uma variação do movimento de translação. A força representa a ação de um corpo sobre outro. Pode ser exercida por contato ou à distância (caso de forças gravitacionais ou magnéticas). Uma força é representada por um vetor e caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido. Na mecânica newtoniana, espaço, tempo e massa são conceitos absolutos, independentes um do outro. Por outro lado a força resultante que atua sobre um corpo depende da massa do corpo e da maneira como sua velocidade varia com o tempo. Por partícula entendemos uma pequena porção da matéria que pode ser considerada como se ocupasse um ponto no espaço. Um corpo rígido é uma combinação de um grande número de partículas que ocupam posições fixas, relativamente uma à outra. O estudo da mecânica elementar repousa em seis princípios fundamentais baseados na demonstração experimental. A Lei do Paralelogramo para a Adição de Forças. Estabelece que duas forças atuantes sobre uma partícula podem ser substituídas por uma única força, chamada resultante, obtida pela diagonal do paralelogramo cujos lados são iguais às forças dadas. O Princípio da Transmissibilidade. Estabelece que as condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo rígido permanecerão inalteradas se uma força que atua num dado ponto do corpo rígido é substituída por outra de mesma intensidade, direção e sentido, mas atuante num ponto diferente, desde que as duas forças tenham a mesma linha de ação. Primeira lei de Newton. Se a força resultante que atua sobre uma partícula é zero, a partícula permanecerá em repouso (se estava originalmente em repouso) ou mover-se-á com velocidade constante e em linha reta (se estava originalmente em movimento). Segunda lei de Newton. Se a força resultante que atua sobre uma partícula não é zero, a partícula terá uma aceleração proporcional à intensidade da resultante e na direção desta. Esta lei pode ser expressa como F = ma, onde F, m e a representam respectivamente, a força resultante que atua sobre a partícula, sua massa e sua aceleração. Terceira lei de Newton. As forças de ação e reação entre corpos em contato têm a mesma intensidade, mesma linha de ação e sentidos opostos. Lei da Gravitação de Newton. Enuncia que duas partículas de massas M e m são mutuamente atraídas com forças iguais e opostas F e -F de intensidade F dada pela fórmula: onde r é a distância entre as partículas, G é a constante de gravitação. Um caso particular de grande importância é o da atração da Terra sobre uma partícula localizada na sua superfície. A força F exercida pela Terra sobre a partícula é então definida como o peso P da partícula. Sendo M a massa da Terra, m a massa da partícula e r o raio R da Terra, e introduzindo a constante g: , a intensidade P do peso de uma partícula pode ser expressa como: Observa-se que o valor de g varia com a posição do ponto considerado. Depende da altura do ponto considerado e também de sua latitude, pois a Terra não é esférica. Na maioria dos cálculos de engenharia é suficientemente preciso supor g = 9,81 m/s2. 2 Sistema Internacional de Unidades Histórico Em 1948 a 9( Conferência Geral de pesos e Medidas (CGM) iniciou estudos para o estabelecimento de um "Sistema pratico de Medidas a ser adotado por todos os países signatários da Convenção do Metro". A 10( CGPM (1954) adotou como unidades de base deste "Sistema Prático de Unidades" as unidades das seis grandezas seguintes: "comprimento "metro "m " "massa "quilograma "kg " "tempo "segundo "s " "intensidade de corrente elétrica "ampère "A " "temperatura termodinâmica "kelvin "K " "intensidade luminosa "candela "cd " A 11( CGPM (1960) adotou o nome "Sistema Internacional de Unidades" com abreviação internacional "SI" e estabeleceu regras para os prefixos, para as unidades derivadas e as unidades suplementares e a 14( CGPM (1969) introduziu a "Unidade de Quantidade de Matéria como a sétima unidade de base do Sistema Internacional de Unidades. "quantidade de matéria "mol "mol " Unidades Derivadas As unidades derivadas são constituídas, a partir das unidades de base, por expressões algébricas. Muitas dentre essas unidades derivadas receberam nome especial e símbolo particular, que podem ser utilizados por sua vez, para expressar outras unidades derivadas. A seguir são apresentadas algumas das Unidades Derivadas mais comuns na engenharia civil. Unidades Derivadas expressas a partir das Unidades de Base "superfície "metro quadrado "m2 " "volume "metro cúbico "m3 " "velocidade "metro por segundo "m/s " "aceleração "metro por segundo ao "m/s2 " " "quadrado " " "massa específica "quilograma por metro cúbico"kg/m3 " Unidades Derivadas possuidoras de nomes especiais "força "newton "N "m kg s-2 " "pressão "pascal "Pa "m-1 kg s-2" Unidades Derivadas expressas com emprego de nomes especiais "momento de uma força "metro newton "N.m "m2 kg s-2 " "tensão superficial "newton / metro "N/m "kg s-2 " Unidades Suplementares As unidades suplementares são aquelas que, a critério do usuário, podem ser consideradas como unidades de base ou derivadas. Esta categoria comporta apenas duas unidades: a de ângulo plano e a de ângulo sólido. "angulo plano "radiano "rad" Múltiplos e submúltiplos decimais das unidades SI "1012 "tera "T " "10-1 "deci "d " "109 "giga "G " "10-2 "centi "c " "106 "mega "M " "10-3 "mili "m " "103 "quilo "k " "10-6 "micro "( " "102 "hecto "h " "10-9 "nano "n " "101 "deca "da " "10-12"pico "p " Unidades não pertencentes ao Sistema Internacional "(em uso com o Sistema Internacional) " "minuto "min "1 min "= "60 s " " " "hora "h "1 h "= "60 min "="3600 s " "dia "d "1 d "= "24 h "="86400 s " "grau "( "1( "= "( (/180 ) rad " " " "minuto "' "1' "= "(1/60)( "="( (/10800) rad " "segundo "" "1" "= "(1/60)' "=" ( (/648000 ) " " " " " " " "rad " "litro "( "1 ( "= "1 dm3 "="10-3 m3 " "tonelada "t "1 t "= "103 kg " " " No Brasil o sistema de unidades MKS (metro, kilograma-força, segundo) foi reconhecido como sistema oficial até a adoção do Sistema Internacional de Unidades SI. A principal diferença entre estes sistemas se dá nas grandezas que empregam a unidade de medida Força. MKS: denomina-se quilograma-força (kgf) ou quiloponde (kp) a força que produz, na massa de um quilograma, a aceleração da gravidade (g = 9,8 m/s), SI: denomina-se Newton (N) a força que produz, na massa de um quilograma, a aceleração de 1,0 m/s. Conversões "1 kgf (kp) "= "9,8 N " "1 MPa "= "1 N/mm2 " "1 N "= "0,102 kgf " "1 MPa " "0,1 KN/cm2 " " " "(kp) " " " " " " " " " "1 MPa " "10,2 kgf/cm2" "1 Pa "= "1 N/m2 " "1 MPa " "0,1 KN/cm2 " "1 Kgf/cm2 "= "0,102 MPa "= "1 MPa "= "1 MN/m2 " Obs.: usualmente se trabalha com a aceleração da gravidade g = 10,0 m/s Precisão Numérica A precisão do resultado de um problema depende de dois fatores: a precisão dos dados fornecidos e a dos cálculos realizados. A precisão do resultado não pode superar a destes dois fatores. Por exemplo, se a carga de uma ponte é de 750 kN com um possível erro de 1 kN, o erro relativo que mede o grau de precisão do dado é 1 / 750 = 0,0013 = 0,13 % Em problemas de engenharia, raramente os dados são conhecidos com uma precisão maior que 0,2%. Portanto é desnecessário realizar os cálculos com precisão maior. 3 Noções de cálculo vetorial – Forças coplanares. Uma força representa a ação de um corpo sobre outro. Ela é caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido. A intensidade de uma força é dada por um número (em N ou kN), a sua direção é definida pela reta ao longo da qual a força atua e caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo e, finalmente, o sentido da força é indicado por uma seta. Os vetores são definidos como entes matemáticos que possuem intensidade, direção e sentido. Um vetor usado para representar uma força que atua em uma dada partícula tem bem definido o seu ponto de aplicação e, esse vetor é dito fixo e não pode ser deslocado sem modificar as condições do problema. Independentemente de terem ou não o mesmo ponto de aplicação, dois vetores de mesma intensidade, direção e sentido são ditos iguais e, podem ser indicados pela mesma letra. As forças, como vetores, se adicionam de acordo com a lei do paralelogramo. Outras entidades também seguem a lei de adição do paralelogramo: os deslocamentos, as velocidades, as acelerações e os momentos, são outros exemplos de quantidades físicas que possuem intensidade e direção e que são adicionadas de acordo com a lei do paralelogramo. Todas estas grandezas podem ser representadas matematicamente por vetores, enquanto aquelas que não possuem direção, tais como volume, massa ou energia, são representadas por números ordinários ou escalares. Lei do paralelogramo para a adição de duas forças Duas forças F1 e F2, atuantes sobre uma partícula A podem ser substituídas por uma única força R que tem o mesmo efeito sobre a partícula. Esta força é chamada de resultante das forças F1 e F2 e pode ser obtida pela construção de um paralelogramo, usando F1 e F2 como lados do paralelogramo. A diagonal que passa por A representa a resultante. Como o paralelogramo construído com os vetores F1 e F2 não depende da ordem segundo a qual F1 e F2 são tomados, concluímos que a adição de dois vetores é comutativa e escrevemos: F1F2 = F2F1 Da lei do paralelogramo, tem-se um método conhecido como a regra do triângulo: como o lado do paralelogramo oposto a F1 é igual a F1 em magnitude e direção, pode-se desenhar apenas a metade do paralelogramo. A soma dos dois vetores pode ser então determinada pelo reposicionamento de F1 e F2, de modo que a origem de um vetor esteja sobre a extremidade do outro, e unindo a origem de F1 com a extremidade de F2, ou seja, a adição vetorial é comutativa Regra do triângulo O vetor negativo de um dado vetor P é definido como sendo um vetor que tem a mesma intensidade e direção de P e sentido oposto ao de P. O vetor negativo de P é representado por -P. Os vetores P e -P são comumente referidos como vetores iguais e opostos. A subtração de um vetor é definida como a adição do correspondente vetor negativo. Então, o vetor P - Q, que representa a diferença entre os vetores P e Q é obtida pela adição do vetor P ao vetor -Q. Escrevemos A soma de três vetores P, Q e S será, por definição, obtida pela adição inicial dos vetores P e Q e adicionando o vetor S ao vetor P+Q. Analogamente, a soma de quatro vetores será obtida pela adição do quarto vetor à soma dos três primeiros. Este raciocínio é válido para a soma de n vetores. A soma de n vetores pode ser feita pelo método da regra do triângulo, fazendo com que a origem de um vetor coincida com a extremidade do anterior e unindo a origem do primeiro vetor com a extremidade do último. Isso é conhecido como a regra do polígono para a adição dos vetores. Regra do polígono R = A + B + C + D + E + F Fundamentos de trigonometria Dado um triângulo de lados A, B e C Lei dos senos: Lei dos co-senos: Exemplo 01. Determinar a resultante do sistema de forças. Lei dos co-senos: R = 205,607 N Lei dos senos: ( = 39,76º ( = ( + 15º = 54,76º ( A força resultante é de 205,61 N, 54,76º com a horizontal. Exemplo 02. Decompor a força de 200 N em componentes nas direções dos eixos ortogonais xy e x'y' e nas direções x' e y. "Eixo xy " "Eixo x'y' ( = " "cos 40º = Fx / F ( Fx = 153,21 N " "30º ( = 20º " "cos 50º = Fx / F ( Fx = 128,56 N " "cos 70º = Fx' / F ( Fx = 187,94 N " " " "cos 20º = Fx' / F ( Fx = 68,40 N " Eixos y e x' Lei dos senos: 176,91 N 217,01 N Exemplo 03. Decompor a força F de 500 N em duas componentes nas direções das barras AB e AC de modo que a componente na direção AC fique dirigida de A para C e tenha módulo de 400 N. Determinar o ângulo (. Lei dos senos: sen (120-() = 0,866 x 0,8 = 0,68928 ( 120-( = 43,85 ( ( = 76,15º Exemplo 04. o suporte da figura abaixo está submetido a duas forças F1 e F2. Considerando que a resultante deve ser vertical e de módulo FR = 1000 N, Determinar: a) os módulos de F1 e F2 quando ( = 30º; b) os módulos de F1 e F2 quando F2 é mínimo. a) b) "F1 = 652,7 N e F2 = 446,5 N "F1 = 342 N e F2 = 939,7 N " " "A menor distância do ponto A ao " " "lado do paralelogramo é quando F1 e" " "F2 são perpendiculares " 4 Equilíbrio de uma Partícula Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre uma partícula é zero, esta partícula está em equilíbrio. Uma partícula submetida à ação de duas forças estará em equilíbrio quando essas duas forças tiverem a mesma intensidade a mesma linha de ação e sentidos opostos, pois, neste caso, a resultante das duas forças é zero. Determine a intensidade de T3 e sua direção para que o sistema esteja em equilíbrio. Observe o polígono das forças a esquerda. Para a condição de equilíbrio, o polígono de forças precisa ser fechado, i.é: Primeira Lei do Movimento de Newton. Se a força resultante que atua sobre uma partícula é zero, esta partícula permanece em repouso (se estava originalmente em repouso) ou se move ao longo de uma reta com velocidade constante (se originalmente, estava em movimento). Desta lei e da definição de equilíbrio conclui-se que uma partícula em equilíbrio está em repouso ou movimenta-se sobre uma reta com velocidade constante. Quando efeito global das forças sobre uma partícula é zero a partícula é dita em equilíbrio. O polígono fechado é uma expressão gráfica do equilíbrio de A. Para exprimir algebricamente as condições de equilíbrio de uma partícula, escrevemos Decompondo cada força F em componentes retangulares, temos Concluindo-se que a condição necessária e suficiente para o equilíbrio de uma partícula é: e Solução: 1) 2) e dividindo a segunda pela primeira Diagrama de corpo livre. Um grande número de problemas que envolvem estruturas reais pode ser reduzido, no entanto, a problemas referentes ao equilíbrio de uma partícula. Isto é feito escolhendo-se uma partícula conveniente e esquematizando-se em um diagrama separado, todas as forças que sobre ela são exercidas. Tal diagrama é chamado diagrama de corpo livre. Como exemplo, consideremos que um caixote entre dois prédios, pesando 700 N, está sendo colocado sobre um caminhão, que o removerá. O caixote é sustentado por um cabo vertical ligado a duas cordas que passam por polias fixadas nos prédios. Qual a força de tração em cada uma das cordas AB e AC. Para resolver este problema, é necessário o traçado de um diagrama de corpo livre, que mostre a partícula em equilíbrio e, neste caso o ponto A é adequado para servir como corpo livre para este problema e o diagrama de corpo livre é mostrado na figura b). Na figura c) mostra-se a os segmentos de reta RAB e RAC construídos, respectivamente, a partir do final e da origem do vetor da força. A intersecção dos dois segmentos de reta define a construção do polígono de forças (figura d) fechado, ou seja, em equilíbrio. Solução pela Lei dos senos: TAB = 70 x sen 60º/sen 80º = 61,56 N TAC = 70 x sen 40º/sen 80º = 45,69 N Solução algébrica: TAC = 45,689 N e TAB = 1,3473 TAC = 61,557 N Exercício 01 - Numa operação de descarga de navio, um automóvel de 1750 kgf é suportado por um cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puxada a fim de que o automóvel seja centralizado na posição desejada. O ângulo entre o cabo e a vertical é de 2°, enquanto o ângulo entre a corda e a horizontal é de 30°. Qual é a tração nesta corda? Exercício 02 - Determinar a intensidade, a direção e sentido da menor força F que manterá a caixa em equilíbrio. Observar que a força exercida pelos roletes sobre a caixa é perpendicular ao plano inclinado. Exercício 03 - Um pequeno barco está ancorado por três cordas amarradas a pilastras às margens do rio. A corrente exerce uma força de arrasto sobre o barco no sentido da jusante. As trações nas cordas A e B são medidas e encontrados os valores A = 120 kgf e B = 80 kgf. Determinar a intensidade da força exercida pela corrente e a tração na corda C. Exercício 04 - Um parafuso é utilizado para escorar três cabos de sustentação como está indicado. É dada a tensão em cada cabo. Determinar a intensidade, direção e sentido da força exercida pela fundação sobre o parafuso. Exercício 05 - Duas forças P = 1000 kgf e Q = 1200 kgf são aplicadas a esta conexão de avião. Sabendo que a conexão está em equilíbrio, determinar os esforços T1 e T2. Exercício 06 - Duas forças P e Q são aplicadas à conexão do avião. Em certo instante, quando a conexão está em equilíbrio, é medido que T1 = 560 kgf e T2 = 120 kgf. Determinar os valores correspondentes de P e Q, Exercício 07 - Uma partícula A está em equilíbrio sob a ação das quatro forças indicadas. Determinar a intensidade, direção e sentido de Q. Exercício 08 - Uma caixa de 600 kgf é suportada por vários arranjos de corda e roldanas, como mostra a figura. Determinar, para cada arranjo, a tensão na corda. (A tensão na corda é a mesma em cada lado da roldana). Exercício 09 - Resolver as partes b e d deste exercício supondo que a extremidade da corda está fixada à caixa. Exercício 10 - Um caixote de 750 kgf é levantado por um cabo de guindaste CD. Uma alça A CB de 1,5 m de comprimento é afixada ao caixote de cada uma das maneiras mostradas. Determinar a tensão na alça em cada caso. Exercício 11 - Uma arca móvel e seu conteúdo pesam 370 kgf. Determinar a menor braçadeira ACB que pode ser usada para erguer a arca carregada, se a tensão na braçadeira não pode exceder a 450 kgf. ----------------------- 50º x' Fy 30º x' 40º F = 200 N 40º x x' y' 30º F = 200 Fx x Fx' F = 200 N F = 200 N 40º y' 30º y A 40º ( = 15+90+10=115º 15º F2 Fy' ( y Fy A R F2 ( 10º ( F1 ( F2 10º 15º 15º 10º A F1 R F1 = 150 N F2 = 100 N ( b C a R A F1 A F2 10º F1 65º c B A 10 kN A 30º F1 R A F2 30º Eixo x y a) Eixo x'y' b) ( y 30º 50º 70º 60º Fx' 60º 60º 70º B C 30º ( 20º F = 500 N F = 500 N A ( 30º 70º AC = 400 N 60º 60º 120-( ( F2 = 100 N A F1 = 100 N B R A F2 F1 A B R E F C D A B R FR = 1000 N FR = 1000 N 20º 20º 30º F2 F2 F1 F112 A 60 N T1 150 N ( 60º ( T3 30º A F = 250 N T3 T2 T2 T1 F B 50º 30º A 50º 30º A C TAC 70 N TAB c) b) a) 50º 30º TAB RAB RAC 30º 50º TAC d)