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RESISTÊNCIA AO ESCOAMENTO ESCOAMENTO UNIFORME • Escoamento uniforme: Intensa aplicação prática Facilidade de cálculo Aproximação pertinente de situações práticas
• Desenvolvimento teórico recente
CONCEITOS RELATIVOS À CAMADA LIMITE Camada adjacente à parede onde o escoamento sofre o efeito das tensões de cisalhamento decorrentes do atrito
δ
Camada Limite
δ0
subcamada laminar → distribuição parabólica da velocidade
δ − δ 0 subcamada turbulenta
velocidade
→
distribuição
logarítmica
da
Rugosidade e tipos de escoamento
liso rugoso
ondulado
Altura característica de rugosidade
→K
Rugosidade relativa:
→ K/Rh
Altura crítica de rugosidade
→ Kc =
5C ν gU
• K < Kc → Escoamento Hidraulicamente Liso • K >Kc → Escoamento Hidraulicamente Rugoso
Tipos de escoamento rugoso •
Escoamento com rugosidade isolada: vorticidade inteiramente dissipada no próprio elemento
•
Escoamento com rugosidade combinada: influência da vorticidade entre elementos distintos
•
Escoamento quase liso: fluxo passa sobre as cristas dos elementos rugosos
ANÁLISE GLOBAL DA RESISTÊNCIA AO ESCOAMENTO Hipótese básica: Escoamento permanente; Declividade fraca; Canal prismático
y y + ∆y z ∆x
montante:
x
y
U
jusante:
x + ∆x
y + (dy/dx)∆x
U + (dU/dx) ∆x
Forças atuantes: Pressão:
F1 = γAy
F3 = γA
F2 = γAy
dy ∆x dx
Peso:
W = γA∆xsenθ senθ ≅ tgθ ≅ −
dz dx
⇒ W = −γA
dz ∆x dx
Atrito:
F f = τ 0 P∆x
τ 0 : tensão de arraste Fr = ∑ F = F1 − ( F2 + F3 ) + W − F f Fr = γAy − γAy − γA
dy dz ∆x − γA ∆x − τ 0 P∆x dx dx
dy dz τ 0 P Fr = −γA∆x + + dx dx γA Quantidade de movimento:
∑ F = ρAU U +
ρAU U +
dU ∆x − U dx
dy dz τ 0 P dU + ∆x − U = −γA∆x + dx dx dx γA
dy dz τ 0 P U dU = − + + g dx dx dx γA
dy dz U dU + + dx dx g dx
τ 0 = −γRh
τ 0 = −γRh
d U2 z + y + dx 2 g
com J =
d U2 z + y + ⇒ τ 0 = γRh J 2 g dx
Análise dimensional:
γ τ 0 = kρU 2 = k U 2 g
sendo k = f (Re, rugosidade, geometria)
γ γRh J = k U 2 g
U=
g Rh J k
C: Coeficiente de Chézy (1769) C =
g k
→ Fórmula de Chézy
U = C Rh J
Coeficiente de Chézy C = f (Re, rugosidade, geometria) – similar a “f” •
f Æ bastante estudado – condutos padronizados...
•
C Æ Diversidade e variabilidade das grandezas envolvidas ↓ Dificuldades de pesquisa para canais abertos
Equação Universal da Perda de Carga •
C = 8g
•
Análise para pequenos condutos, com rugosidades reduzidas R0 =
f condutos circulares
KV0
ν τ V0 = 0 = gRh J ρ
Æ Reynolds de Arraste Æ Velocidade de Arraste
Escoamento Liso : R0 < 4
⇒ C = 28,6 Re
1
(Re < 105)
8
R 8g (Re > 105) ⇒ C = 4 2 g log e 2,51C
Escoamento “em transição”: Ábacos; Colebrook ⇒
Escoamento Rugoso:
Nikuradse ⇒
•
K C 2 ,5 = −2 log + 8g 12 Rh Re f
C 12 Rh = −2 log 8g K
Análise geral: Observações diretas; fórmulas empíricas/experimentais
Manning: n =
K 1/ 6 8 g
(Escoamento Turbulento Rugoso)
ESCOAMENTO UNIFORME J=
d U2 z + y + dx 2 g
dU =0 dx dy =0 dx
⇒ J=
dH dz =− ⇒J =I dx dx
⇒ τ 0 = γRh I
∑F = 0
•
Equilíbrio das forças :
•
Profundidade Normal: yn
Definição do fator de resistência: •
Formulações semi-empíricas: Ganguillet, Kutter, Bazin, etc.
•
Formulação de Gauckler, 1865
1
C ∝ Rh 6
“Fórmula de Manning” Atribuída a Manning – Strickler (1889)
C=
1 Rh n
Q=
1 ARh2 / 3 I 1 / 2 n
1/ 6
= KRh
1/ 6
ÆU =
1 1/ 6 1/ 2 1/ 2 1 2 / 3 1/ 2 Rh Rh I = Rh I n n
Cálculo do escoamento uniforme Aplicação da Fórmula de Manning:
Q =
1 AR h2/ 3 I 1/ 2 n
Verificação do funcionamento – Cálculo direto: Variáveis geométricas (A e Rh) conhecidas Î cálculo de Q, n, I •
•
Seções definidas geometricamente: tabelas e gráficos Seções complexas/irregulares: integração
composição
de
áreas
e
Dimensionamento – Cálculo indireto: Î Problema de "dimensionamento hidráulico": Variáveis hidráulicas geométricas Qn I1 / 2 •
conhecidas
Î
cálculo
das
variáveis
= ARh2 / 3
Gráficos e tabelas auxiliares para seções parametrizáveis
(Qn)/(I1/2b8/3) ou (Qn)/(I1/2D8/3) •
Construção de gráficos auxiliares para seções quaisquer
O COEFICIENTE DE RUGOSIDADE DE MANNING Dificuldades para determinação do coeficiente de rugosidade • Variabilidade de superfícies de atrito • Influência de fatores não-explicitos (turbulência?)
Determinação direta do coeficiente de rugosidade •
determinação das cotas de fundo e das características hidráulicas em duas seções (1 e 2) distintas, separadas pela distância ∆x;
•
determinação das velocidades médias de escoamento nas duas seções;
•
aplicação da Equação de Bernoulli entre as duas seções, permitindo a determinação da declividade da linha de energia: 2 2 z + y + U1 − z + y +U2 2 2 1 1 2g 2g J= ∆x
•
cálculo de “n” médio pela aplicação da fórmula de Manning utilizando as características médias entre as duas seções: n=
Rh
2/ 3
J 1/ 2 U
Fixação do coeficiente de rugosidade •
Estimativa a partir da granulometria do leito
Leitos em material graúdo: expressão de Meyer-Peter e Muller 1/ 6 n = 0,038d 90
d90: diâmetro da peneira (m) com 90% do material passando
•
Estimativa através de incrementação Método Cowan
Î n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4) m5
- n0: valor básico para um canal retilíneo, uniforme e com superfícies planas, de acordo com o material associado à superfície de contato; - n1: correspondente às irregularidades, tais como erosões, assoreamentos, saliências e depressões na superfície, etc.; - n2: correspondente à freqüência de ocorrência de variações de forma, conforme as possibilidades de causar perturbações no fluxo; - n3: correspondente à presença de obstruções, como matacões, troncos, etc., - n4: baseado na influência da vegetação no escoamento, segundo o tipo, densidade e altura da vegetação; - m5: baseado no grau de meandrização do curso d’água.
Condições do canal n0 Solo Rocha Material Pedregulho fino envolvido Pedregulho graúdo n1 Liso Pequeno Grau de Moderado irregularidade Severo n2 Gradual Variações da Alternâncias ocasionais seção transversal Alternâncias freqüentes n3 Desprezível Pequeno Efeito de Apreciável obstruções Severo n4 Baixa Média Vegetação Alta Muito alta M5 Pequeno Grau de Apreciável meandrização Severo
Valores 0,020 0,025 0,024 0,028 0,000 0,005 0,010 0,020 0,000 0,005 0,010 – 0,015 0,000 0,010 – 0,015 0,020 – 0,030 0,040 – 0,060 0,005 – 0,010 0,010 – 0,025 0,025 – 0,050 0,050 – 0,100 1,000 1,150 1,300
•
Estimativa do coeficiente de rugosidade através de tabelas
Coeficientes de rugosidade para canais artificiais Revestimento Rugosidade mínima usual máxima Concreto pré-moldado 0,011 0,013 0,015 Concreto com 0,013 0,015 0,018 acabamento Concreto sem 0,014 0,017 0,020 acabamento Concreto projetado 0,018 0,020 0,022 Gabiões 0,022 0,030 0,035 Espécies vegetais 0,025 0,035 0,070 Aço 0,010 0,012 0,014 Ferro fundido 0,011 0,014 0,016 Aço corrugado 0,019 0,022 0,028 Solo sem revestimento 0,016 0,023 0,028 Rocha sem 0,025 0,035 0,040 revestimento Coeficientes de rugosidade para canais naturais Tipo Características Rugosidade mínima usual máxima Canais de pequeno Limpos 0,025 0,033 0,045 0,050 0,070 0,080 porte em planície Trechos lentos (B < 30 m) 0,030 0,040 0,050 Canais de pequeno Leito desobstruído porte em montanhas (B < Leito com 0,040 0,050 0,070 30 m) matacões Canais de grande Seções regulares 0,025 0,060 Seções 0,035 0,100 porte irregulares (B > 30 m) Pastagens 0,025 0,030 0,035 Culturas 0,020 0,040 0,050 Planícies de Vegetação 0,045 0,070 0,160 inundação Densa
•
Estimativa através de analogia com canais existentes Identificação do curso d’água em estudo com curso d’água existente, para o qual o coeficiente de rugosidade foi determinado Î uso de coletâneas de fotos de curso d’água com os coeficiente de rugosidade’ medidos (French, Chow, etc.)
http://wwwrcamnl.wr.usgs.gov/sws/fieldmethods/Indirects/nvalues/index.htm
0,018
0,018
0,020
0,029
0,030
0,035
0,110
0,125
0,150
Coeficientes de rugosidade rugosidade variável
para
seções
simples
- Rugosidade variável ao longo do perímetro molhado - Seção analisada como um todo
Î Coeficiente de rugosidade global: m 3/ 2 ∑ Pi ni n = i=1 P
(
)
2/3
com
Coeficiente de rugosidade para seções compostas
- Rugosidade variável ao longo do perímetro molhado - Seção compostas Î necessidade da sua subdivisão
•
Cálculo do Coeficiente de rugosidade equivalente: Î Metodologia do U.S. Corps of Engineers: m
n=
∑n i =1
i
Ai
A
- delimitação arbitrária das áreas associadas através de verticais
•
Cálculo da vazão através do Fator de Condução: - divisão da seção composta em diversas subseções - cálculo do Fator de Condução para cada subseção: A 5/ 3 K= nP 2 / 3
- vazão associada a cada subseção: Q = K I1/2 - vazão total: soma das vazões associadas à cada subseção - Cálculo dos coeficientes de Coriolis e Boussinesq:
Î
m ∑ Ai i =1
2
m
K13 α= m 3 ∑ 2 i =1 Ai ∑ Ki 1=1 m
β=
∑A
K12 2 ∑ m i =1 Ai ∑ Ki 1=1 i =1
i
m
Unidades do coeficiente de rugosidade de Manning •
Adimensional
•
[L1/6]
•
[TL-1/3] Î Fórmula de Manning dimensionalmente homogênea
