Equações Do Balanço De Massa (cap. 18 Do Bird)

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Fenômenos de Transporte II 2005 documento 5 Equações do Balanço de massa (Cap. 18 do Bird) Objetivo: Obter as equações gerais para os balanços de massa e também obter equações simples para situações especiais. A equação de continuidade para uma mistura binária (A+B) Aplicando a lei de conservação de massa para a espécie A em um elemento de volume DxDyDz fixo no espaço, no qual uma mistura binária de A e B está escoando. No elemento de volume, A pode ser produzido por reação química. Façamos rA = taxa de produção de A (massa de A)/(volume.tempo). z Dy Dz Coordenadas retangulares Dx x y As contribuições para o balanço de massa são: · Taxa de acúmulo de massa de A no elemento de volume · Entrada de A pela superfície do elemento na posição x · Saída de A pela superfície do elemento na posição x+Dx · ¶r A .Dx.Dy .Dz ¶t h Ax x .Dy .Dz h Ax x + Dx .Dy .Dz (direção x) (direção x) de maneira análoga, introduzimos os termos de entrada e de saída nas direções y e z.. 36 Fenômenos de Transporte II · 2005 Taxa de produção de A por reação química. documento 5 r A .Dx.Dy .Dz æ massa de A ö æ taxa de A entrando ö æ taxa de A ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç acumulando no ÷ = ç - taxa de A saindo ÷ + ç produzida por ÷ ç elemento DxDyDz ÷ ç nas 3 direções ÷ ç reação química ÷ è ø è ø è ø ( ) ¶r A .Dx.Dy .Dz = h A x - h A x + Dx .Dy .Dz + h A y - h A y + Dy .Dx.Dz + ¶t + h A z - h A z + Dz .Dx.Dy + r A .Dx.Dy .Dz Þ ( Þ ) ( ) expandindo-se os termos na série de Taylor, aplicando-se o limite para Dx,Dy,Dz ® 0 e dividindo-se a expressão por dx.dy.dz, ficamos com: ¶r A æ ¶n Ax ¶n Ay ¶n Az + çç + + ¶t ¶y ¶z è ¶x ö ÷÷ = r A ø Equação de continuidade para o componente A notação vetorial ¶r A + Ñ.n A = r A ¶t analogamente ¶r + Ñ · n = r A + rB ¶t Para massa total (mA + mB) Onde: n = n A + nB = r.v Pela lei de conservação de massa \ ¶r B + Ñ.nB = rB ¶t ¶r + Ñ · rv = 0 ¶t r A = -rB para corrente total do fluido 37 Fenômenos de Transporte II para r=constante Þ 2005 Ñ ·v = 0 ou documento 5 æ ¶v x ¶v y ¶v z ö ÷÷ = 0 çç + + x y z ¶ ¶ ¶ ø è Desenvolvimento semelhante para unidades molares RA = taxa molar de produção de A por unidade de volume CA = concentração molar NA = Fluxo molar ¶C A + Ñ.N A = R A ¶t analogamente Para massa total (mA + mB) ¶CB + Ñ · N B = RB ¶t ¶C + Ñ · N = R A + RB ¶t ¶C + Ñ · C.v * = R A + RB ¶t Obs: como moles em geral não são conservados RA ¹ RB ________________________ Representações dos fluxos nA e NA por expressões envolvendo gradientes de concentração. ¶r A + Ñ · nA = rA ¶t \ obs. onde n A = w A (n A + nB ) - r.D AB .Ñ · w A ¶r A + Ñ · w A (rv ) - Ñ.r.D AB Ñ.w A = r A ¶t wA r = rA 38 Fenômenos de Transporte II 2005 documento 5 ¶r A + (Ñ · r A .v ) = (Ñ.r.D AB Ñ.w A ) + r A ¶t * eq. 18.1-14 analogamente ¶C A + (Ñ · C A .v * ) = (Ñ.C.D AB Ñ.x A ) + R A ¶t * eq. 18.1-15 Estas equações descrevem perfis de concentração em sistemas binários. As restrições são: ausência de difusão térmica, de pressão e forçadas. Simplificações: (r e DAB) constantes ¶r A + r A .(Ñ · .v ) + (v .Ñ.r A ) = D AB Ñ 2r A + r A ¶t Ñ·v = 0 se r constante Þ Divergente do gradiente (Laplaciano) dividindo-se a expressão por MA, onde CA = rA/MA ¶C A + vÑ · C A = D AB Ñ 2C A + R A ¶t Eq. 18.1-17 normalmente usada para difusão em solução líquida diluída a T,P constante. Vide Tabela 18.2.2 do Bird. C e DAB constantes ¶C A + (Ñ · C A .v * ) = (Ñ.C.D AB Ñ.x A ) + R A ¶t ¶C A + C A (Ñ · .v * ) + v * (Ñ · .C A ) = D AB Ñ 2 .C A + R A ¶t e sendo ¶C + (Ñ · Cv * ) = R A + RB ¶t Þ Ñ.v* = 1 (R A + R B ) C 39 Fenômenos de Transporte II 2005 documento 5 ¶C A C A (R A + RB ) + v * Ñ · .C A = DAB Ñ 2 .C A + R A + C ¶t ¶CA C + v * Ñ · .CA = DABÑ2.CA + RA - A (RA + RB ) eq. 18.1-19 ¶t C Se RA = -RB a equação 18.1-19 fica igual a equação 18.1-17 Para: v ou v* nula com rA, rB, RA, RB = 0 ¶CA = DABÑ2.CA ¶t Eq. 18.1-20 2a lei de Fick de difusão 40 Fenômenos de Transporte II 2005 documento 5 Tab. 18.2.1 A equação de continuidade do componente A em várias coordenadas Coordenadas retangulares: ¶C A æ ¶N Ax ¶N Ay ¶N Az ö +ç + + ÷ = RA ¶t ¶y ¶z ø è ¶x (A) Coordenadas cilíndricas: ¶C A æ 1 ¶ 1 ¶N Aq ¶N Az ö ÷ = RA rN Ar ) + +ç + ( è r ¶r ¶t r ¶q ¶z ø (B) Coordenadas esféricas: ¶C A æ 1 ¶ 2 1 ¶ 1 ¶N Af ö +ç 2 r N Ar + N Aq sinq) + ( ÷ = RA ¶t rsinq ¶q rsinq ¶f ø è r ¶r ( ) (C) Tab. 18.2.2 A equação de continuidade do componente A para r e DAB constantes Coordenadas retangulares: æ ¶2C ¶C A æ ¶C A ¶C A ¶C A ö ¶2CA ¶2CA ö A ÷+ RA + + + çv x + vy + vz ÷ = D AB ç 2 ¶t ¶x ¶y ¶z ø è ¶y 2 ¶z 2 ø è ¶x (A) Coordenadas cilíndricas: æ 1 ¶ æ ¶C ö 1 ¶ 2 C ¶C A æ ¶C A ¶C A ö ¶2CA ö 1 ¶C A A A ÷+ RA + çv r + vq + vz ÷ = D AB ç çr ÷+ 2 + ¶t ¶r ¶z ø è r ¶q ¶q 2 ¶z 2 ø è r ¶r è ¶r ø r B) Coordenadas esféricas: ¶C A æ ¶C A 1 ¶C A 1 ¶C A ö ÷= + çv r + vq + vf ¶t ¶r r ¶q rsinq ¶f ø è æ 1 ¶ æ ¶C ö ¶C A ö ¶2CA ö 1 1 ¶ æ A ÷+ RA = D AB ç 2 çr 2 ÷+ 2 ç sinq ÷+ 2 2 ¶r ø r sinq ¶q è ¶q ø r sin q ¶f 2 ø è r ¶r è (C) Ref. R.B. BIRD; STEWART,W.E. & LIGHTFOOT,E.N. - Transport phenomena, John Wiley & Sons, 1960 41 Fenômenos de Transporte II 2005 documento 5 Coordenadas Retangulares z · y x Coordenadas Cilíndricas z x = r.cosq y = r.sen q z=z · r = + x 2 + y2 q = arc tanæçè y / xö÷ø z=z q y r x Coordenadas Esféricas x = r.sen q.cosq y = r.sen q.sen f z = r.cosq z r = + x 2 + y2 + z2 æ ç ç ç ç è 2 2 q = arc tan x + y z q ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø · r f = arctan( y / x) f y x 42 Fenômenos de Transporte II 2005 documento 5 DIFUSÃO EM MEIO SÓLIDO Leis de Fick: Tomemos como exemplo ilustrativo, o fenômeno de difusão de um componente A em uma placa plana (Figura), com coeficientes de difusão DA constante e coeficiente de partição k unitário. CA1 t CA1 t t=0 t* CA2 x Mantendo-se fixas as concentrações de A (CA1 e CA2) nas superfícies do sólido, verifica-se a formação de perfis de concentração, que variam com o tempo e com a posição CA(x,t), até que se atinja o estado estacionário a t= t* Fluxo de massa por difusão: jA [=] [quantidade (massa ou moles)]/[(área).(tempo)] jA = f(x,t) para t < t* (estado não estacionário) jA = constante para t ³ t* (estado estacionário) 1a lei de Fick: Se existe um gradiente de concentração em um meio homogêneo, haverá transferência de massa por difusão. jA = - D A dC A dx (1) 2a. Lei de Fick: No estado não estacionário CA = f(x,t). Neste caso jA = f(x,t), acarretando acúmulo de massa de A em função do tempo. Fazendo-se um balanço de massa em um elemento de volume (S).dx 43 Fenômenos de Transporte II SUPERFÍCIE PLANA 2005 (S). jA x - (S). jA - (S). dx. C ¶jA ¶x documento 5 x + dx = (S). dx. = (S). dx. x ¶C A ¶t (S).dx ¶C A ¶t dC A ö ¶C A ¶ æ ç- D A ÷= ¶x è dx ø ¶t ¶C A ¶ 2 CA para D A constante = DA ¶t ¶x 2 Analogamente para: - x x+dx (2) SUPERFÍCIE CILÍNDRICA dC A dr SUPERFÍCIE ESFÉRICA jA = - D A æ ¶2C ¶C A 1 ¶C A ö A ÷ = DA ç + 2 r ¶r ø ¶t è ¶r æ ¶2C ¶C A 2 ¶C A ö dC A A ÷ jA = - D A = DA ç + 2 r ¶r ø ¶t dr è ¶r USO DAS EQUAÇÕES (1-4) EM PROBLEMAS PRÁTICOS (3) (4) - Determinação experimental do coeficiente de difusão do componente A no sólido. - Estimativa da quantidade do componente A que migra pela interface. INFORMAÇÕES NECESSÁRIAS: - DA = constante ou DA = f(CA) - k = coeficiente de partição = razão entre as concentrações de equilíbrio do componente A nas fases em contato. - Tipo de superfície (plana, cilíndrica ou esférica) - Condições iniciais e de contorno. SOLUÇÃO: - ANALÍTICA - Combinação de variáveis - Separação de variáveis - uso de transformadas de Laplace - NUMÉRICA - Método das diferenças finitas (Crank-Nicholson) * apropriada para casos em que o coef. de difusão não é constante ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ 44 Fenômenos de Transporte II 2005 documento 5 SOLUÇÕES ANALÍTICAS 1° CASO (Sólido semi infinito) para CAi= constante e DA = constante - o sólido é considerado semi infinito, quando a frente de concentração não atinge a posição x=L. - aplicável apenas para o intervalo de tempo em que CA(L,t)=CA¥ ¶C A ¶ 2 CA = DA ¶t ¶x 2 com condições iniciais e de contorno: p/ t=0 Þ CA = CA¥ p/ Ú x > 0 p/ x=0 Þ CA = CAi p/ Ú t ³ 0 p/ x=l Þ CA = CA¥ p/ Ú t CAI t CA¥ x=0 x=L combinação de variáveis x = x 4 DA t C A ( x, t ) - C Ai 2 x -h2 e = . dh = erf (x) C A¥ - C Ai p 0 ò Fluxo de massa na interface (x=0) Fluxo instantâneo na interface Fluxo médio no intervalo t=0 a t=t massa total transferida pela interface (massa/área) onde erf(x) = função erro jA jA ( t ) x= 0 x=0 = = DA . dC A dx x=0 DA . ( C Ai - C A¥ ) p. t __ j A (t) =2 x= 0 M( t) = 2 DA . ( C Ai - C A¥ ) p. t DA . t . ( C Ai - C A¥ ) p em 45 Fenômenos de Transporte II 2005 documento 5 APLICAÇÕES: 1.a) Contato entre 2 meios sólidos de mesmo material (e de mesma dimensão) com concentrações iniciais diferentes do componente A. mesmo material k=1 e D1 = D2 2 1 (CA¥) C Ai = ( C A¥ ) 1 + ( C A¥ ) 2 interface) CAi (conc. na C Ai = constante dentro do período de tempo em que os sólidos podem ser considerados semi infinitos. (CA¥) x x Solução: 2 æ x ö C A ( x, t ) - C Ai ÷ = erf ç (C A¥ ) 2 - C Ai è 4 Dt ø para meio (2) æ x ö C A ( x, t ) - C Ai ÷ = erf ç (C A¥ )1 - C Ai è 4 Dt ø para meio (1) M( t) = 2 DA . t . ( C Ai - C A¥ ) p quantidade total migrada pela interface (molar ou mássica) _____________________________________ 2.a) Contato entre 2 meios sólidos diferentes. Um contendo concentração inicial Co e outro contendo concentração nula. 1 2 Co C2i C1i k¹1 (ex k=1/2) D1 ¹ D2 (ex D2 = 4D1) æ C1i ö eq æ D 2 ö1/2 k =ç b = kç ÷ ÷ è C 2i ø è D1 ø k. C o C C2i = o C1i = 1+ b 1+ b D2 t D2 t æ C ö çC o - o ÷ C o - C 2i ) = 2 ( 1 + bø p p è D2 t b M t = 2Co p b +1 solução: idem anterior com os respectivos D e CAi 46 Mt = 2 0 x x Fenômenos de Transporte II 2005 documento 5 3.a) Sólido com concentração uniforme CAo confinado entre dois meios sólidos (de mesmo material) com concentração CA=0 C 0 -h C( x , t ) = 0 x h æ h + x öü C Ao ì æ h - x ö í erf ç ÷ + erf ç ÷ý 2 î è 2 Dt ø è 2 Dt øþ obs: erf(-Z) = -erf(Z) 2° CASO (Volume finito de sólidos, mantendo constante a concentração na superfície CAi) É o caso de um sólido imerso em um meio líquido bem agitado de volume infinito condições iniciais e de contorno t=0 CAo CA= CAo para -a < x < a x = ± a CA= CAi para t > 0 CAi CAi x=0 ¶C A =0 ¶x x = 0 2a _ Solução do tipo E= ¥ C A - C Ai = å C n exp -q 2n t C Ao - C Ai n =1 ( ) 47 Fenômenos de Transporte II 2005 documento 5 _ C A = concentração média no sólido D. t t = 2 = (no. de Fick) a a = semi espessura D = difusividade no sólido onde: __________________________________________________________________ q C SUPERFÍCIE n n __________________________________________________________________ p 8 2 ( 2 n - 1) . = 2 PLANA 2 2 2 ( 2 n - 1) . p qn __________________________________________________________________ 4 CILÍNDRICA J o ( qn ) = 0 * qn2 __________________________________________________________________ 6 np ESFÉRICA ( np ) 2 __________________________________________________________________ * qn = raizes positivas não nulas de J o ( qn ) J o = função de Bessel de 1a. espécie e de ordem zero PLACA PLANA: 8 ¥ 1 E= 2 å p n = 1 (2 n - 1) 2 p2 - ( 2 n -1) 2 . .t 4 .e æp2 ö æp2 ö æ æp2 ö ö t ÷÷ t ÷÷ t ÷÷ -çç -9çç -25çç ç ÷ 8 1 è 4 ø 1 è 4 ø è 4 ø ç = 2 e + .e + .e +...÷ 9 25 p ç ÷ ç ÷ è ø CILINDRO: ¥ æ 1 -5,783t ö 1 1 - q 2n t -30,472 t -74 ,887t ç ÷ . e = 4 e + . e + . e + ... 2 è 5,783 ø 30,472 74,887 n =1 q n E=4 å 1 ESFERA: ( ) ( ) ( ) ö 6 æ - p 2t 1 -4 p 2t 1 -9 p 2t - ( np )2 .t e = e + e + e + . . . ... ç ÷ 2 4 9 n=1 ( np ) p2 è ø ¥ E= å 6 48 Fenômenos de Transporte II 3° CASO 2005 documento 5 (Volumes finitos das fases) Difusão em um sólido em contato com uma solução líquida bem agitada de volume limitado. 2a a 2a x - concentração na interface = f(t) æ C s ö eq V - coeficiente de partição k = ç a= L ÷ è CL ø Vs . k - VL = volume de líquido (constante) e Vs = volume de sólidos (constante) t=0 t³0 conc. inicial no sólido = Cso e e conc. inicial no líquido = C Lo x=0 ¶C s ( r , t ) =0 ¶r x= 0 x=a ¶C s ( x , t ) ¶ C L (t) VL = k. A s . D s . ¶t ¶x x= a _ t>0 e solução do tipo E= C L ( t ) - C¥ L _ C s ( t) - C¥ s ¥ [ = = å C n .exp -q 2n . t ¥ ¥ o o CL - CL Cs - Cs n=1 ] onde: CL = concentração de A no líquido _ C s = concentração média de A no sólido C¥ L = concentração de A no líquido após t ® ¥ (fases em equilíbrio) ¥ C s = concentração de A no sólido após t ® ¥ (fases em equilíbrio) Ds . t t= 2 a 49 Fenômenos de Transporte II 2005 documento 5 __________________________________________________________________ SUPERFÍCIE qn(raizes positivas não nulas de:) Cn __________________________________________________________________ tan( q n ) 2a ( a + 1) (a + 1) + ( a . q n ) 2 a __________________________________________________________________ PLANA qn = - CILÍNDRICA qn = -2. J 1 ( q n ) a. J o (q n ) 4a ( a + 1) 4(a + 1) + ( aq n ) 2 * 6a(a + 1) ( 3 + aq 2n ). tan( q n ) 3 9(a + 1) + (aq n ) 2 __________________________________________________________________ qn = ESFÉRICA * J o e J 1 = funções de Bessel de 1a. espécie de ordem 0 e 1, respectivamente. ¥ balanço de massa para cálculo de C ¥ L e Cs C os C oL C¥ s t®¥ C oL C¥ L C¥ s C¥ s C¥ L C¥ L k>1 ou C L¥ .VL + Cs¥ .Vs = CLo .VL + Cso .Vs = conhecido k=1 e ou k<1 Cs¥ = k . CL¥ VALORES PARA ZEROS APROXIMADOS DAS FUNÇÕES DE BESSEL DE 1a ESPÉCIE Jn(x)=0 n=0 2,4048 5,5201 8,6537 11,7915 14,9309 18,0711 n=1 3,8317 7,0156 10,1735 13,3237 16,4706 19,6159 n=2 5,1356 8,4172 11,6198 14,7960 17,9598 21,1170 n=3 6,3802 9,7610 13,0152 16,2235 19,4094 22,5827 n=4 7,5883 11,0647 14,3725 17,6160 20,8269 24,0190 n=5 8,7715 12,3386 15,7002 18,9801 22,2178 25,4303 n=6 9,9361 13,5893 17,0038 20,3208 23,5861 26,8202 50 Fenômenos de Transporte II erf ( z ) = Tabela da função erro z 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 erf z 0 0.056372 0.112463 0.167996 0.222703 0.276326 0.328627 0.379382 0.428392 0.475482 0.520500 0.563323 0.603856 2005 z 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 ( documento 5 ) 2 V 2 ò0 exp - h . dh p erf z 0.642029 0.677801 0.711156 0.742101 0.770668 0.796908 0.820891 0.842701 0.880205 0.910314 0.934008 0.952285 0.966105 z 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 erf z 0.976348 0.983790 0.989091 0.992790 0.995322 0.997021 0.998137 0.998857 0.999311 0.999593 0.999764 0.999866 0.999925 51