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FACULDADE DO CENTRO LESTE
BRUNO BOM ALVES NUNES
TRANSFERÊNCIA
DE
CALOR
SERRA
MAIO DE 2010
BRUNO BOM ALVES NUNES
EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS
Trabalho apresentado à disciplina
Transferência de Calor, do curso
Engenharia de Produção Química, da
Faculdade do Centro Leste, como
requisito parcial para avaliação na
referida disciplina.
Orientador: Prof. Dr. Bruno Venturini
Loureiro
UCL – Jardim Limoeiro
Serra – 11 de maio de 2010
1. INTRODUÇÃO
Condução refere-se ao transporte de energia em um meio devido a um
gradiente de temperatura e o mecanismo físico é a atividade atômica ou
molecular aleatória. Ao restringimos nossa atenção para problemas da
condução, nos quais o gradiente de temperatura é significativo em uma
direção coordenada. Passamos a ter muitos casos, em que esses problemas são
simplificados de forma grosseira se o tratamento unidimensional for
utilizado, sendo necessário levar em conta os efeitos multidimensionais.
Então, usamos em certos casos os métodos analíticos para a obtenção de
soluções matemáticas exatas para problemas de condução bidimensional, em
regime estacionário. Estas soluções foram obtidas para um conjunto de
geometrias e condições de contorno simples. Contudo, são muito freqüentes
os problemas bidimensionais que envolvem geometrias e/ou condições de
contorno que impedem tais soluções. Nesses casos, a melhor alternativa é
normalmente a utilização de uma técnica numérica como a de diferenças
finitas, a dos elementos finitos ou método dos elementos de contorno.
Devido a sua facilidade de aplicação, o método de diferenças finitas é bem
apropriado para um tratamento introdutório das técnicas numéricas.
1. INTRODUCTION
Conduction refers to the transport of energy in a way because of a
temperature gradient and the physical mechanism is the random molecular or
atomic activity. To restrict our attention to problems of driving in which
the temperature gradient is significant in a coordinated way. Began many
cases, these problems are simplified if the roughly one-dimensional
treatment is used, being necessary to take into account the
multidimensional effects.
So, in some cases we use analytical methods to obtain exact
mathematical solutions to problems driving two-dimensional, steady state.
These solutions were obtained for a set of geometries and simple boundary
conditions. However, very frequent problems involving two-dimensional
geometries and / or boundary conditions that prevent such solutions. In
such cases, the best alternative is usually to use a numerical technique
like finite difference, the finite element method or finite element. Due to
its ease of application, the finite difference method is well suited for an
introductory treatment of numerical techniques.
2. PROBLEMA PROPOSTO
1. OBJETIVO
Determinar o campo de temperatura em uma placa de 1m x 0,5m com três
lados com temperatura definida, sendo que dois lados terão uma temperatura
de 50°C e outro com temperatura de 200°C e haverá convecção de um fluido a
20°C.
Implantar na placa 11 nós em X e 6 nós em Y, em um total de 66 nós, e
determinar as temperatura nesses nós.
Y
X
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2. HIPÓTESES
1. Regime permanente;
2. Condução Bidimensional;
3. Propriedades Constantes;
4. Não há geração interna de energia.
3. EQUACIONAMENTO MATEMÁTICO
1. Equação de Difusão de Calor
1. Simplificações Possíveis
I. Condutividade Térmica Constante
II. Regime Permanente
III. Sem Geração de Calor
IV. Condução Bidimensional
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4. MÉTODO DE SOLUÇÃO
Para determinação da distribuição de temperatura dita numericamente
que uma equação apropriada da conservação de calor seja escrita para
cada um dos pontos nodais de temperatura de cada nó. Para qualquer nó
interno de um sistema bidimensional sem geração e condutividade
térmica uniforme, a forma exata da exigência da conservação de energia
é dada pela equação de calor com suas hipóteses aplicadas. Contudo se
o sistema for caracterizado em termos da rede nodal, é necessário
trabalhar com uma forma aproximada dessa equação ou diferenças
finitas.
Uma equação de diferenças finitas que é conveniente para os nós
internos de um sistema bidimensional pode ser deduzida diretamente da
equação de calor. A partir da equação já com as hipóteses aplicada,
seu valor no ponto nodal m, n pode ser aproximado como:
Os gradientes de temperatura podem por sua vez ser expressos como uma
função das temperaturas nodais. Ou seja,
Substituindo as equações, obtemos:
Procedendo de maneira similar, mostramos rapidamente que,
Utilizando a rede para a qual x = y e substituindo todas as equações
teremos:
Essa forma de diferenças finitas da equação do calor, aproximada, pode
ser aplicada ao nó interno que seja eqüidistante dos quatro nós de sua
vizinhança, exigindo simplesmente que a soma das temperaturas
associadas com os nós vizinhos seja quatro vezes a temperatura do nó
de interesse.
A equação de diferenças finitas para um nó também pode ser obtida
aplicando-se a conservação de energia a um volume de controle em torno
da região nodal. Uma vez que a direção real do fluxo de calor é
freqüentemente desconhecida, torna-se conveniente formular o balanço
de energia considerando-se que todo o fluxo de calor esteja no
interior do nó. Tal consideração é, obviamente, impossível, mas, se as
equações das taxas forem expressas de uma maneira consistente com essa
consideração, a forma correta da equação das diferenças finitas é
obtida.
Para condições de regime estacionário com geração, temos:
Considerando a aplicação em um volume de controle em torno do nó
interno m, n. Para condições bidimensionais, a troca de energia é
influenciada pela condução entre m, n e seus quatro nós adjacentes,
bem como pela geração. Assim temos:
Onde i se refere aos nós adjacentes, é a taxa de condução entre
os nós, considerando a profundidade unitária. Para avaliar os termos
da taxa de condução, consideramos que a transferência por condução
ocorre exclusivamente através das faixas que são orientadas na direção
x ou y. Formas simplificadas da lei de Fourier podem, portanto, ser
utilizadas. Por exemplo, a taxa na qual a energia é transferida por
condução de um nó m-1, n para m, n pode ser expressa como:
A grandeza ) é a área da transferência de calor, e o termo
() / é aproximação por diferenças finitas do
gradiente de temperatura no limite entre nós. As taxas de condução
restantes podem então ser representadas como:
Essa convenção é necessária devido à consideração do fluxo de calor
para o interior de m, n. substituindo as equações no balanço de
energia e lembrando que x = y, segue a equação de diferenças finitas
para o interior de um nó com geração:
É importante observar que a equação das diferenças finitas é
necessária para cada ponto nodal em que a temperatura é desconhecida.
Agora para um nó que apresenta três quartos da seção sombreada e troca
energia por convecção com um fluido de contato a T. A condução
para a região nodal (m, n) ocorre ao longo das quatro diferentes
faixas vizinhas aos nós no sólido. As taxas de calor de condução
podem ser expressas como:
As condições na região nodal m, n também são influenciadas pela troca
convectiva com o fluido, e essa troca pode ser vista como ocorrendo ao
longo das faixas nas direções x e y. A taxa de convecção total
pode ser expressa como:
Implicitamente nessa expressão está a consideração de que as
superfícies expostas do vértice encontram-se a uma temperatura
uniforme correspondente à temperatura nodal . Essa consideração
é coerente com o conceito de que toda a região nodal é caracterizada
por uma única temperatura, que representa uma media da distribuição de
temperatura real na região. Na ausência de efeitos transiente
tridimensional e de geração, a conservação de energia exige que a soma
das equações seja zero. Somando essas equações e rearrumando-as,
obtemos:
Em que novamente a rede é tal que x = y.
Portanto para as equações de balanço nodais pertinentes a diversas
geometrias comuns podem ser formuladas a partir do desenvolvimento das
equações apresentadas.
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5. RESULTADOS
200 "200 "200 "200 "200 "200 "200 "200 "200 "200 "200 " "50 "123,37 "151,3
"163,3 "168,53 "170,03 "168,53 "163,3 "151,3 "123,37 "50 " "50 "92,18
"118,53 "133,35 "140,8 "143,06 "140,8 "133,35 "118,53 "92,18 "50 " "50
"76,82 "97,3 "110,78 "118,25 "120,63 "118,25 "110,78 "97,3 "76,82 "50 " "50
"67,79 "83,08 "94,2 "100,79 "102,96 "100,79 "94,2 "83,08 "67,79 "50 " "50
"61,25 "73,02 "82,17 "87,75 "89,61 "87,75 "82,17 "73,02 "61,25 "50 " "
Os resultados obtidos no exercício para determinar as temperaturas em
determinados pontos na placa, considerando as laterais da placa com
temperatura fixa ate sua extremidade obtemos os seguintes resultados:
Considerando convecção na sua extremidade obtemos:
200 "200 "200 "200 "200 "200 "200 "200 "200 "200 "200 " "50 "123,35 "151,27
"163,26 "168,5 "170 "168,5 "163,26 "151,27 "123,35 "50 " "50 "92,19 "118,46
"133,28 "140,73 "143 "140,73 "133,28 "118,46 "92,19 "50 " "50 "76,7 "97,17
"110,66 "118,15 "120,53 "118,15 "110,66 "97,17 "76,7 "50 " "50 "67,51
"82,86 "94,04 "100,67 "102,84 "100,67 "94,04 "82,86 "67,51 "50 " "47,56
"60,48 "72,7 "81,99 "87,63 "89,51 "87,63 "81,99 "72,7 "60,48 "47,56 " "
3. CONCLUSÃO
Concluímos que ao deparar com um problema bidimensional, é necessário
primeiramente verificar se uma solução exata é conhecida. Isso pode ser
feito examinando-se algumas das referências nas quais soluções exatas para
a equação de calor são obtidas. Pode-se, também, querer verificar se o
fator de forma ou a taxa de condução de calor adimensional é conhecido para
o sistema de interesse. Contudo, freqüentemente, as condições são tais que
o uso de um fator forma, da taxa de condução de calor adimensional ou de
uma solução exata não é possível, sendo assim, necessária a utilização de
uma solução por diferenças finitas ou elementos finitos. Deve-se valorizar
a natureza inerente do processo de discretização e saber como formular e
resolver as equações de diferenças finitas para os pontos discretos de uma
rede nodal, em que uma vez estabelecida esta rede e escrita uma equação de
diferenças finitas apropriada para cada ponto nodal, a distribuição de
temperaturas pode ser determinada. Onde o problema se reduz ao da solução
de um sistema de equações algébricas lineares. Numerosos métodos estão
disponíveis para este propósito e podem ser classificados em função de
serem diretos ou indiretos. Entretanto, algumas vezes é mais eficiente a
utilização de uma técnica iterativa, por exemplo, a de Gauss-Seidel.
Não podemos deixar de mencionar que em certos problemas, ocorre o uma
falha na incapacidade de satisfazer precisamente o balanço de energia,
falha esta que pode ser atribuído a erros de medida das temperaturas, as
aproximações empregadas no desenvolvimento das equações de diferenças
finitas e ao uso de uma malha relativamente grossa.
Sendo assim, após estudos e as analises feitas no exercício em especial,
concluímos que a temperatura na placa será mais baixa à medida que se
aproxima da convecção, porém, a mesma não abaixa a ponto de ficar com o
valor de T . Concluímos também, que a menor temperatura é próxima de 50°C.
E se as temperaturas fossem todas de 50°C encontraríamos pontos na placa
com a temperatura próximo ou igual a T .
4. BIBLIOGRAFIA
Livros:
INCROPERA, Frank / DEWITT, David / BERGMAN, Theodore / LAVINE, Adrienne.
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6. ed. RJ: LTC, 2008.
POULIKAKOS, D. Conduction Heat Transfer. Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
NJ, 1994.
HOFFMAN, J. D., Numerical Methods for Engineers and Scientists. McGraw-
Hill, NY, 1992.
6. ASSINATURAS
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Bruno Bom Alves Nunes Amanda Babilone Fonseca
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T2=200°C
T2=200°C
T3=50°C
T1=50°C
Ar
h = 100 w/m²°C
T-" = 20°C
Propriedades do material:
Aço Carbono Á = 7854 Kg/m³
Cp = 434J/KgK K =
60,5 W/m°C
C
Ar
h = 100 w/m²°C
T = 20°C
Propriedades do material:
Aço Carbono ρ = 7854 Kg/m³
Cp = 434J/KgK K =
60,5 W/m°C
