Equações Diferenciais

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DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS CRÉDITOS: 04 CARGA HORÁRIA: 60 H/A Objetivo: Desenvolver o conhecimento de equações diferenciais e suas aplicações na física, química, biologia e engenharia.. EMENTA: Equação diferencial. Equação diferencial de 1ª ordem. Aplicações de equações diferenciais na física, química e biologia. PROGRAMA: 1 Equação Diferencial 1.1 Definição 1.2 Classificação 1.3 Ordem e grau 1.4 Solução 2 Equação diferencial de 1ª ordem. 2.1 Equação diferencial de variáveis separadas 2.2 Equação diferencial de 1ª ordem homogênea 2.3 Equação diferencial de 1ª ordem não homogênea 2.4 Equação diferencial exata 2.5 Equação diferencial redutível à exata (fatores de integração). 3 Aplicações de equações diferenciais na física, química e biologia. BIBLIOGRAFIA BOYCE, William E. & DI PRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 8º ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. MATOS, Marivaldo P. Séries e Equações Diferenciais. São Paulo: Prentice Hall, 2001. SVEC, Mária et al. Tópicos: Séries e Equações Diferenciais. Salvador: EDUFBA, 2002. AYRES, Jr. Frank. Equações diferenciais. Rio de Janeiro: McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1978. BASSANEZI, R. FERREIRA Jr.,W.C. Equações diferenciais. São Paulo: Harbra, 1988. RAFIKOV, M. BORGES, P. A. Equações diferenciais ordinárias. Série das Matemáticas, no 02. Ijuí: UNIJUÍ, 1995. ZILL, Dennis G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem / Dennis G. Zill; tradução Cyro de Carvalho Patarra; revisão técnica Antonio Luiz Pereira. - São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. SOARES, LINO J. Introdução ao Estudo das Equações Diferenciais Ordinárias. Pelotas/RS: EDUCAT Editora da Universidade Católica de Pelotas, 2004. 1 EquaçÃo Diferencial 1.1 Definição São equações que relacionam uma função com suas derivadas. Uma lei que relaciona a variável x, a função y e as derivadas sucessivas da função y, isto é, Ex.: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 1.2 Classificação 1.2.1 Ordinárias (EDO) A função y é denominada incógnita de uma variável independente x. Quando existe apenas uma variável independente, a equação é chamada ordinária (cinco primeiros exemplos). 1.2.2 Parciais (EDP) Se a equação envolve derivadas parciais de duas ou mais variáveis independentes é chamada parcial (sexto exemplo). 1.2.3 Linear (EDOL) Uma equação diferencial ordinária de ordem n é linear se, e somente se, pode ser escrita sob a forma onde para todo x. Onde são supostas constantes. 1.3 Ordem e grau 1.3.1 Ordem A ordem de uma equação diferencial ordinária (EDO) é a ordem da mais alta derivada contida na equação. 1.3.2 Grau É o grau da derivada de mais alta ordem Ex.:1 1ª ordem e 1º grau Ex.:2 1ª ordem e 1º grau Ex.:3 2ª ordem e 1º grau Ex.:4 4ª ordem e 3º grau Ex.:5 3ª ordem e 2º grau Ex.:6 2ª ordem e 1º grau 1.4 Solução Uma função é chamada de uma solução, ou integral, da equação diferencial ordinária , se, quando substituída na equação dada a converte em uma identidade. 1.4.1 Solução geral de uma equação diferencial Uma solução de uma equação diferencial, na qual figura n constantes arbitrárias, é chamada de solução geral. Será indicada por . A solução geral é representada graficamente pela família de curvas integrais. O número de constantes na solução geral é igual à ordem da equação. 1.4.2 Solução particular Uma solução particular de uma equação diferencial é a que é obtida da solução geral, calculando as constantes arbitrárias , com o uso de condições iniciais dadas: Ex.: Verifique se as funções dadas são soluções para as respectivas equações diferenciais a) b) c) d) 2 Equação diferencial de primeira ordem A edo de primeira ordem pode ser representada numa das três formas abaixo: , 2.1 Equação diferencial de variáveis separadas Quando a equação diferencial de 1ª ordem possui a forma diz-se que a mesma possui variáveis separáveis. Multiplicando meios por extremos: Onde se aplica o operador integral nos dois lados da igualdade e encontra-se a solução da equação. Ex.: 1) Podemos ter uma equação diferencial que satisfaça a uma condição inicial, nesse caso, alem da solução geral, encontramos também uma solução particular, determinando o valor da constante "c". Ex.: 2) 3) Exercícios Resolva a EDO por separação de variáveis 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 2.2 Equação diferencial de 1ª ordem homogênea 2.2.1 Função homogênea Se uma função f satisfaz para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n. Ex.:1) 2) 3) 4) Consideramos a equação onde e são funções, se , dividimos a equação por : Equação diferencial ordinária de 1ª ordem linear homogênea. (separação de variáveis) Solução geral Ex.: Para determinar a solução particular tenho que ter condição inicial Ex.: 2) Exercícios Resolva as EDO lineares de 1ª ordem homogêneas: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 2.3 Equação diferencial de 1ª ordem não homogênea Consideremos a equação multiplicando esta equação por uma função teremos: Por outro lado sabemos que: Para que o 1º membro de [*] seja igual ao 2º membro de [**] termos Que é uma EDO de 1ª orem homogênea cuja solução é dada por Tomando a solução particular quando c=1 teremos: . Para esta função u termos que o 1º membro de [*] é igual ao 2º membro de [**] e, portanto podemos escrever: Mas então . Solução geral da equação diferencial do tipo não homogênea. Ex.: 1) 2) 3) Acrescentar equações homogêneas com parametro Exercícios Resolver as EDO de 1ª ordem não homogêneas 1) 2) 3) 4) 2.4 Equação diferencial exata De uma forma mais geral vamos resolver equação do tipo Multiplico por dx: Notem que a derivada em relação a "x" da função é dada por: [1] Comparando com a equação diferencial Supondo Isto implica que Pois Como Temos que é a condição para que a equação pode ser colocada na forma cuja solução é dada por Quando [2] a equação é chamada exata com solução . [3] 2.4.1 Método de resolução Dada a equação: Mostre primeiro que Depois suponha que Daí pode encontrar integrando com relação a x, considerando y constante. [4] Em que h(y) é a constante. Agora derivando a equação acima em relação a y e supondo [5] Finalmente integre a equação em relação a y e substitua o resultado em [4]. A solução para a equação é: . Analogamente: Ex.: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 2.5 Equação diferencial redutível à exata (fatores de integração). Ex.: Não é exata. Se multiplicarmos toda ela por por exemplo É exata. Logo através do fator integrante torno exata e resolvo como exata. Agora temos que achar esse fator integrante: Não é exata Supondo Fator integrante Aplicando a regra do produto: Suponhamos P ser apenas função de x: 1º ) Seja Então: Suponhamos P ser apenas função de y: 2º ) Seja Então: Conclusão: P(x) e P(y) são chamados fatores integrantes. Ex.:1) 2) Exercícios Resolva: 1) 2) 3) 4) 5) 3 Aplicações de equações diferenciais na física, química e biologia. 3.1 Crescimento populacional A taxa de variação (crescimento) de uma população é proporcional a população num instante considerado. Seja: P população taxa de crescimento populacional no instante t. , onde k é o coeficiente de proporcionalidade. Este modelo é aplicado em certos tipos de microorganismos que se reproduzem por mitose. (Equação diferencial de variáveis separáveis ou linear de 1ª ordem homogênea). 1º ) Variáveis separáveis 2º ) Linear de 1ª Ordem Homogênea Ex.: 1) Sabendo que a população de uma cidade dobra em 50 anos, em quantos anos, ela será o triplo, admitindo-se que a razão do crescimento é proporcional ao numero de habitantes dessa cidade. 2) Uma colônia de bactérias cresce a uma razão proporcional ao número de bactérias presentes. Se o número de bactérias duplica em 24 horas, quantas horas serão necessárias para que as bactérias aumentem em 100 vezes a sua quantidade original? 3) Numa certa cultura e bactérias a taxa de aumento é proporcional ao número de bactérias presente. Verificando que o número dobra em 4 horas, quantas se podem esperar no fim de 12 horas? 4) Numa determinada cultura de bactérias a taxa de aumento é proporcional ao número de bactérias presentes em determinado instante. Sabe-se que no fim de 3 horas existiam e no fim de 5 horas , quantas bactérias existiam no começo, ou seja, qual a população inicial de bactérias? 5) Uma cidade possui uma população de 120.000 habitantes, um ano após esta população era de 6/5 da inicial. a) Quanto tempo levará para que a população seja de 195.000 habitantes. b) Qual a população após 5 anos? 3.2 Desintegração Radiativa A velocidade de desintegração de uma substância radioativa é diretamente proporcional a sua massa no instante considerado. Determinamos a lei de variação da massa da substância radioativa em função do tempo, sabendo que no instante t=0 a massa era . Quando não conhecemos o material radioativo, devemos determinar o valor da constante k, o que pode ser feito através da característica de "meia-vida" do material. A meia-vida é o tempo necessário para desintegrar a metade do material que uma vez conhecida, podemos obter a constante k e vice-versa. Por exemplo, a meia-vida do carbono-14 está na faixa entre 5538 anos e 5598 anos, numa média de 5568 anos com um erro para mais ou menos de 30 anos. Determina-se a velocidade de desintegração como segue. Seja: m a massa no instante t a velocidade de desintegração no instante t Segundo a condição do problema em que k é um coeficiente de proporcionalidade (k>0). Introduzimos o sinal negativo uma vez que a massa decresce quando o tempo cresce. A solução geral desta equação é dada por: 1º ) Variáveis separáveis 2º ) Linear de 1ª Ordem Homogênea 6) Um elemento radioativo possui uma massa inicial de 100 g, 3 anos após esta massa reduziu-se a 80 g. a) Quanto tempo levará para que esta massa seja 52 g? b) Após 5 anos, qual a massa do elemento ainda presente? c) Qual a meia-vida deste elemento? 7) O rádio 226 tem meia-vida de 1620 anos. Determinar o tempo durante o qual uma amostra deste nuclídeo se reduz a três quartos da sua massa original. 8) Um elemento radioativo tem meia vida de 1420 anos. Determinar o tempo durante o qual uma amostra deste elemento se reduz a três quartos de sua massa original. 9) Um elemento radioativo possui uma massa inicial de 300 g, 2 anos após esta massa reduziu-se a 120 g. a) Quanto tempo levará para que esta massa seja 52 g? b) Após 5 anos, qual a massa do elemento ainda presente? c) Qual a meia-vida deste elemento? 10) Determine a meia-vida de uma substância radioativa, sabendo que em 20 dias a massa inicial de 72 g se reduziu a 67,8 g. 11) Um determinado nuclídeo radioativo, decai de acordo com a equação: , onde m está em gramas e t em meses. a) Determine a meia-vida deste elemento radioativo. b) Se neste instante tivermos presentes 50 g deste nuclídeo, quanto termos daqui a 12 meses. 12) Um determinado nuclídeo radioativo, decai de acordo com a equação: , onde m está em gramas e t em meses. a) Determine a meia-vida deste elemento radioativo. b) Se neste instante tivermos presentes 60 g deste nuclídeo, quanto termos daqui a 20 meses. 13) Um isótopo radioativo que tem meia-vida de 16 dias. Você deseja ter 30 g no final de 30 dias. Com quanto radioisótopo você deve começar? 14) Sabendo que uma determinada substância radioativa de decompõe numa razão proporcional a quantidade existente e que sua meia-vida se dá em 1600 anos. Calcular a percentagem perdida em 100 anos. 15) O nuclídeo radioativo plutônio 241, decai de acordo com a equação: , onde m está em miligramas e t em anos. a) Determine a meia-vida do plutônio 241. b) Se 50 g de plutônio estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto existirá daqui a 10 anos? 3.3 Juro composto Suponhamos que certa quantia de dinheiro seja depositada em uma instituição financeira que paga juros à taxa k% a.a. O valor do investimento A(t), em qualquer instante t, depende da freqüência na qual o juro é capitalizado e também a taxa de juros. As instituições financeiras seguem várias orientações no que de refere a capitalização dos juros: alguns fazem-na mensalmente, outras semanalmente e até diariamente. Admitiremos que a capitalização seja contínua. Seja a taxa de variação do valor do investimento e esta taxa é proporcional a taxa na qual o investimento cresce a cada instante t, ou seja onde então (*) A solução dessa equação diferencial fornece o valor do montante A(t) creditado ao investidor em qualquer instante t. 1º ) Variáveis separáveis 2º ) Linear de 1ª ordem homogênea Vamos agora comprar os resultados do modelo contínuo que acabamos de descrever, com a situação na qual a capitalização ocorre em intervalos finitos de tempo. Se o juro for capitalizado uma vez por ano então depois de t anos tem-se Se o juro for capitalizado duas vezes por ano, então depois de 6 meses o montante será E no final de 1 ano tem-se Em geral, se os juros forem capitalizados m vezes durante 1 ano então Em t anos tem-se A medida que m tem-se onde , mas Então ou seja Que é a solução particular encontrada para a equação (*) com a condição inicial 16) Empresta-se 100 u.m. a juros compostos de 4% a.a. Em quanto tempo teremos um total de 200 u. m. 17) Encontrar o valor, no fim de 20 anos, de um investimento de 100 u.m. a juros de 5% a.a computados continuamente. 18) A que taxa de juros por ano deve ser investido 1 u.m para dobrar o seu valor no fim de 10 anos? 19) Um investimento de 350 u.m dobra de valor em 6 anos, considerando os juros contados continuamente. a) em quanto tempo o montante da aplicação será de 540 u.m. b) qual será o montante após 8 anos? 20) Um investimento de 1 u.m dobra de valor em 10 anos, considerando os juros contados continuamente. a) em quanto tempo o montante da aplicação será de 2,3 u.m. b) qual será o montante após 15 anos? 21) Após 7 meses, um investimento de 2800 u.m se transforma em 4350 u.m.. a) em quanto tempo o montante será de 5578,96 u.m. b) qual será o montante após 1ano e 8 meses? Retornando a capitalização contínua, vamos imaginar que além do rendimento dos juros existam depósitos ou retiradas. Vamos admitir que os depósitos, ou retiradas, ocorram de uma forma constante "d", a equação (*) será substituída por Então 1º ) Variáveis separáveis 2º ) Linear de 1ª ordem Não-Homogênea 22) Suponha que um cidadão abra uma conta individual com a idade de 25 anos, com um investimento inicial de 2000 u. m e depois faça investimentos anuais de 200 u. m de maneira contínua. Admitindo que a taxa de juros seja 8% a. a, qual será o montante disponível quando o cidadão tiver 65 anos? 3.4 Variação de temperatura A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional a diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Então a taxa de variação da temperatura do corpo é e a lei de Newton relativa à variação de temperatura pode ser formulada como ou Onde k é uma constante de proporcionalidade que depende do material com que o corpo foi construído, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente. A solução geral dessa equação é dada por 1º ) Variáveis separáveis 2º ) Linear de 1ª ordem Não-Homogênea 23) De acordo com a lei de variação de temperatura de Newton, a taxa de resfriamento de uma substância numa corrente de ar é proporcional à diferença entre a temperatura da substância do ar. Sendo a temperatura do ar 30º C e resfriando a substância de 100º C para 70º C em 15 minutos, ache o momento em que a temperatura será 40º C. 24) Certa substância esfria de 100ºC a 60º C em 10 minutos, ao ar, sendo a temperatura deste 20º C. Achar a temperatura da substância após 40 minutos. 25) Um corpo foi achado descoberto a meia noite e sua temperatura era de 29,4º C no instante da descoberta e 23,3º C duas horas depois. Suponhamos a temperatura ambiente igual a 20º C e que a temperatura de uma pessoa viva é de 37º C. Estime o instante da morte. 26) Suponha que a temperatura de uma xícara de café obedece à lei de Newton do resfriamento. Se o café está a uma temperatura de 97º C logo depois de coado e eu minuto depois a temperatura diminui para 89º C em uma cozinha que se encontra a 28º C. a) determine o tempo que o café levará para chegar a uma temperatura de 71º C. b) qual a temperatura do café após 18 minutos. 27) Suponha que a temperatura de uma xícara de chá obedece à lei de Newton do resfriamento. Se o chá está a uma temperatura de 90º C logo depois de feito e eu minuto depois a temperatura diminui para 85º C em uma cozinha que se encontra a 25º C. a) determine o tempo que o chá levará para chegar a uma temperatura de 65º C. b) qual a temperatura do chá após 8 minutos. 28) Um corpo com temperatura de 75ºC resfria-se até 50º C em 30 minutos. Considerando a temperatura do ambiente 16º C, determine: a) a temperatura do corpo após 50 minutos. b) quanto tempo levou para a temperatura do corpo atingir 40º C. ----------------------- 8