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A separação de variáveis leva à conclusão de que
22 2 2+ = (25)
que é chamada de Equação de Schrödinger independente do tempo;
Observemos que esta equação é mais simples do que a equação de Schrödinger para a mesma energia potencial, visto que envolve apenas uma variável independente;
A técnica nos dará também informações sobre a função ( ), que especifica a dependência temporal da função de onda. De fato, ( ) satisfaz uma EDO simples, sendo
= / (26)
A solução da equação independente do tempo pode ser um número real ou complexo, e é chamada de auto função.
A equação
²2 2Ψ , 2+ , Ψ , = Ψ( , )
Ψ , é uma função de onda;
Segundo Eisberg, a teoria de Schrödinger especifica quais as leis do movimento ondulatório que as partículas de qualquer sistema, seja ele microscópico ou até mesmo macroscópicos, devem obedecer;
A teoria de Schrödinger é uma extensão do postulado de de Broglie, há uma relação íntima entre esta e a teoria de Newton para o movimento de partículas em sistemas macroscópicos, sendo esta última um caso particular da teoria de Schrödinger.
Deduzindo a equação
Nota: A dedução da equação aqui utilizada é diferente da utilizada por Schrödinger, visto que esta pode ser considerada incompreensível para quem não está habituado com física quântica, contudo, o método aqui utilizado é tão satisfatório quanto o utilizado pelo físico, visto que as influências utilizadas nos dois são as mesmas.
1. Argumentos plausíveis para se chegar à equação de Schrödinger:
O primeiro problema encontrado na dedução da equação de Schrödinger é encontrar um ponto de partida para esta, não podemos utilizar as equações de Newton, nem mesmo as de Maxwell, visto que nossa tipo de onda estudada é quântico.
Já que estamos trabalhando com a mecânica quântica, podemos esperar algum auxílio dos postulados de de Broglie e Einstein, vistos anteriormente:
=h (1) e =h (2)
Com estas duas equações, utilizaremos quatro hipóteses como argumentação que se relacionam com as propriedades desejadas da equação de onda da mecânicas quântica:
Ela deve ser consistente com os postulados de de Broglie e Einstein (1) e (2);
Ela deve ser consistente com a equação que relaciona a energia total de uma partícula de massa e sua energia cinética ²2 e sua energia potencial ;
= ²2 + (3)
Ela deve ser linear em Ψ , . Isto é, se Ψ1 , e Ψ2 , são duas soluções diferentes da equação para uma dada energia potencial , então qualquer combinação linear arbitrária destas soluções também é uma solução;
A exigência de linearidade garante que podemos somar ou subtrair a equação de várias ondas, garantindo a interferência de ondas;
A energia potencial é em geral uma função de , e possivelmente até de . No entanto, no caso de uma partícula livre,
, =
No caso da partícula livre, temos que:
= , =0
Implicando que deverá ser constante e, portanto, constante.
Reescrevendo a equação (3) em função de (1) e (2), obtêm-se:
h²2 ²+ , =h
Ou,
² ²2 + , = (4)
Toma-se por hipótese a função de onda Ψ , = ( ) e suas derivadas ²Ψ , ²= 2 ( ) e Ψ( , ) = cos . Por observação, pode-se supor que os termos das derivadas com a equação (4) possuem alguma relação, sendo então:
²Ψ( , ) ²+ , Ψ , = Ψ( , ) (5)
No entanto, substituindo Ψ , em (5) obtemos equação não linear.
Supondo então um novo Ψ , =cos + ( ) e suas derivadas
²Ψ( , ) ²= 2cos ² ( ) e
Ψ( , ) = cos ( ), realizando a substituição em (5):
2+ 0+ cos + 2 + 0 =0
E para que isso funcione, os coeficientes que seguem seno e cosseno devem ser iguais a 0.
2+ 0= 6
2+ 0= (7)
A partir de (6) e (7) tiramos que:
=±
Voltando a equação (6):
2+ 0= (8)
E comparando com a equação (4) conseguimos obter que:
= ²2 (9)
=± (10)
Como os sinais alternados não iram alterar a resposta, temos, substituindo em (5):
22 2Ψ , 2+ , Ψ , = Ψ , (11)
Lembrando que , = 0. Apesar disso, postularemos que a equação acima funcione também para , qualquer.
Onde estou..? Ou, qual é meu momento..? Ou, onde estou?
Droga! Por que se preocupar com isto de novo? Não tenho certeza nem se sou uma onda ou uma partícula..!
Figura 4 – charge ilustrando a dualidade onde-partícula
Interpretações para a função de onda
Primeiramente, observamos que a função de onda é complexa, ou seja, possui uma parte não real, neste caso, não existem aparelhos físicos reais que possam realizar uma medição desta grandeza;
A equação de onda é um instrumento de cálculo válido que contém todas as informações que o princípio da incerteza permite que tenhamos à uma partícula associada. Ela nos dá informações sobre a partícula sob a ação de uma energia potencial precisamente a partir de um nível de energia inicial, porém não existem maneiras experimentais de obter a energia inicial. Então tudo que podemos aproveitar são probabilidades de outras grandezas;
As propriedades básicas da função de onda e o comportamento da partícula associada é expressa pela densidade de probabilidade , , que significa a probabilidade de encontrar a partícula próximo ao eixo x por unidade de coordenada. Segundo o postulado de Born, em 1926, , pode ser definida por:
, = Ψ , Ψ , (12)
A interpretação do resultado é que a partícula deve estar em algum lugar onde a amplitude é considerável, portanto com , apreciável e Ψ , apreciável.
Erwin Schrödinger
Erwin Schrödinger (Viena, 12 de Agosto de 1887 —Viena, 4 de Janeiro de 1961) foi um físico teórico austríaco doutorado pela universidade de Viena;
O austríaco lecionou em várias universidades europeias, mas foi em Zurique que elaborou suas mais imporatantes teorias;
Schrödinger foi um marco na história da física, ganhando o prêmio Nobel em 1933 devido à sua contribuição ao desenvolvimento da física quântica.
A equação de Schrödinger
Na Física clássica, temos a equação de onda mecânica:
² ( , ) ²=1 ² ² ( , ) ² (3)
que descreve o movimento ondulatório de partículas em sistemas macroscópicos com eficácia, contudo, no mundo microscópico, esta equação, assim como a de Maxwell para ondas eletromagnéticas não são aplicáveis.
Em 1925, Erwin Schrödinger, um físico austríaco, apresenta a equação que resolve o problema acima.
De Broglie havia proposto uma função de onda para resolver sistemas quânticos, porém ela só funcionava para partículas livres, sem a influência de energia potencial. Na presença de um campo potencial, o momento se alteraria tão rápido que a função deixaria de ser válida.
A equação de Schrödinger independente do tempo.
O processo de obtenção da função de onda através da equação de Schrödinger é algo trabalhoso, contudo sua utilidade justifica o trabalho necessário para a obtenção;
A obtenção das funções de onda Ψ , se dá através da solução da equação diferencial parcial de segunda ordem que é a equação de Schrödinger, para isto, utilizamos a técnica conhecida como separação de variáveis;
Esta técnica consiste em reduzir a equação parcial em um conjunto de equações ordinárias, para isto, escrevemos:
Ψ , = (24)
substituindo na equação, vemos que a igualdade é válida quando o potencial , é descrito em função apenas de uma variável, ou seja, , = , como na mecânica quântica quase todos os sistemas têm a energia potencial desta forma, esta restrição não é muito séria.
Equação de Schrödinger
USP - Universidade de São Paulo
EESC - Escola de Engenharia de São Carlos
SEL0428 – Propriedades Elétricas e Ópticas dos Materiais
São Carlos – Maio/2013
Grupo 4:
8006543 – Douglas Pereira Henrique
8006373 – Eduardo de Chagas Siqueira
8006140 – Gustavo Kooiti Silva Takahashi
8070719 – Marcelo Oliveira Abrão
CONTEXTO HISTÓRICO
A Teoria de Einstein
Em 1905, Albert Einstein contesta a teoria clássica da onda eletromagnética e propõe que a luz se comporta como um conjunto de partículas quânticas.
As partículas descritas por Einstein foram chamadas de fótons e, diferentemente do que foi dito por Planck, Einstein propôs que a Energia de uma Onda Eletromagnética se dá pela emissão dos fótons de acordo com a Equação:
=h (1)
Figura 1 – Albert Einstein
Em 1924, Louis de Broglie, apresenta sua tese de doutorado, em que defende a existência de ondas de matéria.
Partindo da suposição de que, se existe radiação com comportamento de partículas, também poderiam existir partículas com comportamento ondulatório. Portanto, de Broglie afirmou que a equação de Einstein ( =h ) não vale só para os fótons, mas também para qualquer tipo de partícula.
Então, de Broglie deduziu a seguinte equação:
=h (2)
que relaciona o momento linear de um corpo ou partícula com um comprimento de onda.
A Dualidade onda-partícula
Figura 2 – Loius De Broglie
Já que um corpo tem um comportamento ondulatório, que equação devemos utilizar para descrever este corpo?
Valores esperados
A partir da densidade de probabilidade, podemos extrair informações como:
- Posição média da partícula:
, = = Ψ ( , ) Ψ , (13)
- Energia potencial média:
, , = , = Ψ ( , ) ( , )Ψ , (14)
Era de se esperar também que o momento médio poderia ser escrito como:
, = = Ψ ( , ) Ψ , (15)
No entanto, o momento linear ( ) não pode ser escrito simultaneamente à coordenada x da partícula com precisão, então precisamos definir de uma outra maneira;
Pode-se começar utilizando a equação de onda para uma partícula livre:
Ψ , =cos + (16)
Derivando em relação a , temos:
Ψ , = + cos (17)
= [ + cos ( )] (18)
Propriedades das autofunções
As autofunções devem ser finitas, unívocas e contínuas;
Estas exigências garantem que a autofunção seja uma função "bem comportada" matematicamente, de forma que possas ser calculadas, a partir da autofunção, grandezas mensuráveis;
Figura 5 - Gráficos que representam funções não finitas, não unívocas e não contínuas em torno de
0, respectivamente.
Na região dentro do poço, a solução geral da equação de Schrödinger independente do tempo para o poço de potencia quadrado infinito é dado pela onda estacionária:
= + cos (32) ,
=2 2 + 2
Substituindo =+ 2, temos:
2+ 2=0 (33)
fazendo o mesmo com = 2:
2+ 2=0 (34)
Somando as equações acima: Subtraindo-as:
2 2=0 2 2=0
Definição
A energia potencial no poço infinito é:
V = , < 2 >+ 2&0, 2< <+ 2 (31)
O poço de potencial quadrado infinito é capaz de ligar uma partícula que tenha qualquer energia 0;
Na mecânica quântica apenas certos valores discretos são possíveis;
Uma partícula que se move sobre a influência de um poço de potencial quadrado infinito é frequentemente denominado partícula em uma caixa;
Figura 8 - Poço de potencial quadrado infinito
O Poço de Potencial Quadrado Infinito
Segundo Eisberg:
" Quando a relação entre a energia total de uma partícula e sua energia potencial é tal que classicamente a partícula estaria confinada a uma região limitada do espaço, pois senão a energia potencial excederia a energia total fora da região, então a teoria de Schrödinger prevê que a energia total é quantizada. Quando esta relação é tal que a partícula não estaria confinada em qualquer região limitada, então a teoria prevê que a energia total pode ter qualquer valor".
Como > para todo x pequeno, temos que os valores possíveis de energia são distribuídos continuamente, formando um contínuo limitado pelo curva :
Figura 7 - Gráfico das possíveis energias até o valor limite de um potencial ( ) e o contínuo acima do valor
limite.
Do gráfico, podemos perceber que a energia possível 2 é maior que a energia possível 1. Considerando o ponto 0 onde 1 2 têm o mesmo valor, temos que o módulo da segunda derivada de 2 é maior do que o módulo da segunda derivada de 1, ou seja:
² 2 2> ² 1 ² (28)
Utilizando isto na Equação de Schrödinger Independente do tempo, obtemos que:
2> 1 (29)
e
2> 1 (30)
Com um argumento semelhante encontramos que 3> 2;
Figura 6 - Gráfico que representa três autofunções aceitáveis, de três diferentes estados de energia.
Temos que em = 0 as três autofunções tem o mesmo valor, porém 3tem maior curvatura, porque
corresponde à maior energia comparado com as outras duas.
Quantização da energia na teoria de Schrödinger
Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo na forma:
² ²=2 (27)
temos que as propriedades dessa equação dependem, entre outras coisas, da forma da função da energia potencial ;
Existem algumas energias totais ( ) que, substituídas na equação acima, nos dá uma solução ( ) aceitável. Generalizando:
Existe uma série de valores possíveis para a energia total 1, 2, 3,…, para as quais a equação de Schrödinger independente do tempo tem soluções aceitáveis 1, 2, 3,…, ;
Como = ;
Ψ , = Ψ , (19)
o que pode ser escrito como:
Ψ , = Ψ , (20)
Assim obtemos uma relação entre a grandeza e o operador diferencial . Substituindo no integral:
= Ψ , Ψ , (21)
Percebemos que o fato do conjugado da equação de onda vir multiplicado primeiro na densidade de probabilidade foi crucial para chegarmos a este resultado.
Quando o sistema acima é satisfeito, temos que a autofunção obtida é satisfatória;
No entanto, não há valor para o parâmetro k que faça 2 e 2 serem simultaneamente nulos e não podemos tomar e nulos pois a partícula associada estaria fora da caixa;
Para obter um resultado satisfatório, devemos intercalar , e as funções trigonométricas valendo 0, assim:
=0 cos 2=0
=0 2=0
Há dois tipos de solução:
= 2=0 (35)
= 2=0 (36)
Curiosidade: A energia do primeiro autovalor ( 1) é chamada de energia de ponto 0, já que é a menor energia que uma partícula em uma caixa pode possuir.
Figura 9 - Alguns autovalores de um poço de potencial quadrado infinito
Quando tentarmos encontrar a energia média ( ) encontraremos a mesma dificuldade encontrada para descobrirmos o momento linear médio ( ), no entanto derivando a equação (17) em t e utilizando o mesmo processo, teremos que:
Ψ , = Ψ , (22)
e que;
= Ψ ( , ) [Ψ , ] (23)
Podemos afirmar que a equação acima é válida para qualquer função proporcional a , , ;
Então, concluímos que a função de onda contém implicitamente o valor médio da posição, da energia potencial , do momento e da energia total em torno da coordenada , ou seja, a função de onda contém todas as informações sobre a partícula associada que o princípio da incerteza nos permite calcular.
Para satisfazer a igualdade nula temos, para o primeiro caso:
2= 2,3 2, 5 2,… = =1, 3, 5…
para o segundo caso:
2= , 2 , 3 , … = =2,4,6 …
Com os valores de e considerando como o número quântico, podemos definir as energias possíveis para o poço quadrado infinito, considerando = 2 , obtemos:
= ² ² 2 = ² ² ²2 ² =1,2,3,4…
Concluímos assim que a energia total em uma caixa é quantizada;
Bibliografia
TIPLER, Paul A. – Física para cientistas e engenheiros, Vol. 3, LTC,2010;
EISBERG, R.M. – Física Quântica: Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas, Campus,1979;
http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Schr%C3%B6dinger
http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation
http://api.ning.com/files/CMJBG4iCbBc95ixPGh-YTR2eiBYfBW*FrGx-gX0F2-QSGMmip0aomZCp2OJglFsNbWTfsWazR5h9ddcaRlbI56ZQVdTFbxtW/ondaparticula.png
FIM
Uma partícula de massa está confinada em um potencial tipo caixa infinita, de largura , onde o potencial vale zero para 2< < 2 e é infinito fora dessa região. Utilizando a equação de Schrödinger e aplicando a condição de contorno para a função de onda, tal que ela seja 0 para < 2 ou > 2, mostre que as soluções para essa função de onda são do tipo ou , e determine a expressão para em função do nível de energia da partícula no poço n e de outras constantes pertinentes. Mostre também a relação entre e ( ), onde o último é a energia da partícula no nível .
Sabendo que a função de onda dada por Ψ , = 2 2 é solução da equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula depende do tempo para uma partícula com massa e um potencial constante zero, determine um valor de onde o quadrado da função de onda (Ψ , )² é máximo, para =0; em seguida, determine para que lado ( >0 ou <0) o máximo se desloca, quando um pequeno instante de tempo é decorrido.
Exercícios
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