Engrenagens

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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja ENGRENAGENS TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS As engrenagens, também chamadas rodas dentadas, são elementos básicos na transmissão de potência entre árvores. Elas permitem a redução ou aumento do momento torsor, com mínimas perdas de energia, e aumento ou redução de velocidades, sem perda nenhuma de energia, por não deslizarem. A mudança de velocidade e torção é feita na razão dos diâmetros primitivos. Aumentando a rotação, o momento torsor diminui e vice-versa. Assim, num par de engrenagens, a maior delas terá sempre rotação menor e transmitirá momento torsor maior. A engrenagem menor tem sempre rotação mais alta e momento torsor menor. O movimento dos dentes entre si processa-se de tal modo que no diâmetro primitivo não há deslizamento, havendo apenas aproximação e afastamento. Nas demais partes do flanco, existe ação de deslizamento e rolamento. Daí conclui-se que as velocidades periféricas (tangenciais) dos círculos primitivos de ambas as rodas são iguais (lei fundamental do dentado). A figura a seguir mostra o tipo mais comum de engrenagem, chamada de engrenagem cilíndrica de dentes retos, em inglês “spur gear”. O termo engrenagem, embora possa ser empregado para designar apenas um dos elementos, normalmente é empregado para designar a transmissão. Uma transmissão por engrenagens é composta de dois elementos ou mais. Quando duas engrenagens estão em contato, chamamos de pinhão a menor delas e de coroa a maior. A denominação não tem relação com o fato de que um elemento é o motor e outro é o movido, mas somente com as dimensões. Engrenagem Cilíndrica de Dentes Retos UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja A figura mostra uma transmissão por engrenagens cilíndricas de dentes retos. Trata-se apenas de um arranjo demonstrativo, mas serve para mostrar a forma como os dentes entram em contato. Quando as manivelas ao fundo giram, o elemento da direita transmite potência para o da esquerda. Transmissão por Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos A expressão “transmite potência” é uma generalização para a lei de conservação de energia. Significa que um dos elementos executa trabalho sobre o outro, em uma determinada taxa. Aparentemente, toda a potência é transmitida, mas a realidade mostra que parte dela é perdida pelo deslizamento entre os dentes. Transmitir potência pode não descrever o objetivo de uma transmissão por engrenagens na maioria das aplicações de engenharia. O que se deseja é transmitir um determinado torque, ou seja, a capacidade de realizar um esforço na saída da transmissão. UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Classificação das Engrenagens As engrenagens podem ser classificadas de acordo com a posição relativa dos eixos de revolução. Esses eixos podem estar: • Paralelos; • Intersecionados; • Nem paralelo nem intersecionados. a- Engrenagens para conexão de eixos paralelos: 1. Engrenagens de dentes retos Contato Interno Contato Externo Engrenagem de dentes retos UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Contato Interno (Fonte: Mabie e Ocvirk, 1980). 2. Engrenagem helicoidal paralela 3. Engrenagem helicoidal dupla UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja 4. Pinhão e cremalheira de entes retos evolventes 5. Engrenagem cilíndrica com dentes em V b- Engrenagens para conexão de eixos intersecionados: 1. Engrenagem cônica de dente reto UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja 2. Engrenagem cônica espiral c- Eixos nem paralelos ou intersecionados: 1. Engrenagens helicoidais cruzadas 2. Par coroa e sem-fim UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Terminologia de Engrenagens de Dentes Retos A figura a seguir mostra alguns dos termos utilizados em engrenagens de dentes retos. a. Superfície primitiva: a superfície de um cilindro (cone, etc.) imaginário, girante que o dente de engrenagem pode ser substituído. b. Circunferência primitiva: uma seção da superfície primitiva. c. Circunferência de cabeça: um círculo que recobre o topo dos dentes. d. Circunferência de pé: círculo que passa pela base dos dentes. e. Altura de cabeça: distância radial entre a circunferência primitiva e a circunferência de cabeça. f. Profundidade ou altura de pé: distância radial entre a circunferência primitiva e a circunferência de pé. UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja g. Vão ou folga: diferença entre a altura de pé de uma engrenagem e a altura da cabeça da outra. h. Face do dente: parte da superfície do dente que se encontra fora da superfície primitiva. i. Flanco do dente: parte da superfície do dente que se encontra dentro da superfície primitiva. j. Espessura do dente: espessura do dente medida na circunferência primitiva. É o comprimento de um arco e não co comprimento de uma linha reta. k. Espaço do dente: distância entre dentes medida na circunferência primitiva. l. Passo frontal (p): comprimento de um dente e um espaço medido na circunferência primitiva (veja a figura a seguir). Fonte: Mabie e Ocvirk, 1980. m. “Diametral pitch” (P): é o número de dentes dividido pelo diâmetro primitivo. (A norma brasileira ABNT TB 81, indica o módulo frontal como sendo o quociente do diâmetro primitivo pelo número de dentes, expresso em milímetros: m = p= πD N E P= N D Assim: p.P = π D ). N UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Sendo: p o passo frontal; P o “diametral picth”; N o úmero de dentes e D o diâmetro primitivo. n. Módulo frontal (m): inverso do “diametral picth”, diâmetro primitivo dividido pelo número de dentes. o. Filete ou Arredondamento: pequeno raio que conecta o perfil do dente com a circunferência de pé. UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja p. Pinhão: a menor engrenagem de qualquer para. A engrenagem maior é chamada apenas de engrenagem ou coroa. q. Relação de velocidade: relação dada pelo número de revoluções da engrenagem motora pelo número de revoluções da engrenagem movida, em uma unidade de tempo. r. Ponto primitivo: o ponto que tangencia as circunferências rimitivas de um para de engrenagens (veja o ponto P da figura). Fonte: Mabie e Ocvirk, 1980. s. Tangente comum: a linha tangente da circunferência primitiva no ponto primitivo. t. Linha de ação: linha normal ao par de dentes no seu ponto de contato. u. Trajetória de contato: trajetória traçada pelo ponto de contato de um para de dentes. v. Ângulo de pressão (α ) : ângulo entre a normal comum no ponto de contato dos dentes e a tangente comum à circunferência primitiva. É também o ângulo entre a linha de ação e a tangente comum. UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja w. Circunferência base: circunferência imaginária usada na engrenagem evolvente para gerar a evolvente que forma o perfil dos dentes. Alguns Dados Lista padrão do sistema de dentes pa engrenagens de dentes retos (Shigley e Uicker, 2003). Sistema de Dente Ângulo de Pressão (α ) Altura de Cabeça Profundidade Profundidade Total 20° 1 ou 1 ⋅ m P 1, 25 ou 1, 25 ⋅ m P Profundidade Total 22,5° 1 ou 1 ⋅ m P 1, 25 ou 1, 25 ⋅ m P Profundidade Total 25° 1 ou 1 ⋅ m P 1, 25 ou 1, 25 ⋅ m P Ponta do Dente 20° 0,8 ou 0,8 ⋅ m P 1 ou 1 ⋅ m P Lista dos valores mais usados para o “diametral pitch”: Pitch Expresso 2 Pitch Fino 20 2,25 2,5 24 32 3 4 6 8 10 12 16 40 48 64 96 120 150 200 NOTE: que ao invés de usar a circunferência primitiva teórica como um índice do tamanho do dente, a circunferência base pode ser usada. O resultado é chamado de base primitiva ( Pb ) , e está relacionada com a circunferência base pela equação: UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Pb = p ⋅ cos α Ação do Dente da Engrenagem Lei Fundamental da Ação do Dente da Engrenagem A figura a seguir mostra o contato de dois dentes de engrenagens, em que: • O perfil do dente 1 aciona o perfil 2 pelo ponto de atuação de contato instantâneo K. • N1N2 são as normais dos dois perfis. • N1 é o pé da perpendicular de O1 a N1N2. • N2 é o pé da perpendicular de O2 a N1N2. Apesar dos dois perfis possuírem velocidade V1 e V2 diferentes no ponto K, suas velocidades ao longo de N1N2 são iguais tanto em magnitude como em direção. Caso contrário, os dois perfis se separariam, sendo assim tem-se: O1 N1ω1 = O2 N 2ω2 UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Ou ω1 O2 N 2 = ω2 O1 N1 Observa-se que a interseção da tangente N1N2 é a linha de centro O1O2 é o ponto P, e: ∆O1 N1 P ∆O2 N 2 P Assim, a relação entre as velocidades angulares e a engrenagem de acionamento, ou relação de velocidades de um para de dentes em contato é: ω1 O2 P = ω2 O1P O ponto P é muito importante para a relação de velocidades e é chamado de ponto primitivo. Tal ponto divide a linha de centros e sua posição define a relação de velocidades entre dois dentes. Dessa forma, a expressão é a lei fundamental da ação do dente da engrenagem. Relação de Velocidade Constante Para uma relação de velocidade constante, a posição de P deve permanecer imutável. Nesse caso, o movimento transmitido entre as duas engrenagens é equivalente ao movimento transmitido entre dois cilindros imaginários sem escorregamento dom raios R1 e R2 ou diâmetros D1 e D2. Assim têm-se dois círculos cujos centros estão em O1 e O2 e passam pelo ponto primitivo P. Esses dois círculos são chamados de circunferência primária, e a relação de velocidade é igual ao inverso da relação do diâmetro das circunferências primárias. Perfil Conjugado Para obter a esperada relação de velocidades, de dois pares de dentes, a linha normal de seus perfis deve passar através do correspondente ponto primitivo, que é definido pela razão de velocidade. Os dois perfis que satisfazem esse requerimento são chamados de perfis conjugados. UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Apesar das muitas formas de dentes que são possíveis, apenas duas satisfazem a lei fundamental, e essas são de uso geral: perfil cicloidal e evolvental. A evolvente possui vantagens importantes, são fáceis de confeccionar e a distância central entre um par de engrenagens evolventes pode variar sem mudar a relação de velocidade. Assim, uma tolerância estreita entre a posição dos eixos não é exigida, o que faz com que a curva conjugada mais usada seja a evolvental. Curva Evolvente Os seguintes exemplos são para engrenagens de dentes retos evolventes. Usa-se a palavra evolvente devido ao contorno da curva interna do dente de engrenagem. Engrenagens possuem muitos termos, parâmetros e princípios e um dos conceitos mais importantes é a relação de velocidade, que é a relação da velocidade de giro da engrenagem motora e a engrenagem movida. O número de dentes no exemplo mostrado na figura são 15 e 30 respectivamente. Se a engrenagem de 15 dentes é a motora e a engrenagem movida possui 30, a relação de velocidade é 2. Geração da Curva Evolvente A curva mais utilizada para o perfil de dentes de engrenagens é a evolvente de um círculo. Essa curva é o caminho traçado por um ponto em uma linha a medida que a linha gira sem escorregamento na circunferência de um círculo. Também pode ser definido como o caminho traçado pelo fim de uma corda que originalmente envolve um círculo quando a corda é desenrolada do círculo. O círculo cuja evolvente é gerada é chamado de circunferência de base. Observe a figura a seguir: UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Fazendo a linha MN girar no sentido anti-horário da circunferência de um círculo sem deslizar, quando a linha alcança a posição M’N’, a tangente original A alcança a posição K, traçando a curva evolvente AK durante o movimento. A medida que o movimento continua, o ponto A irá traçar a curva evolvente AKC. Quanto menor for o diâmetro primitivo, mais acentuada será a evolvente. Quanto maior for o diâmetro primitivo, menos acentuada será a evolvente, até que, em uma engrenagem de diâmetro primitivo infinito (cremalheira) a evolvente será uma reta. Neste caso, o perfil do dente será trapezoidal, tendo como inclinação apenas o ângulo de pressão. Imagine a cremalheira citada no item anterior como sendo uma ferramenta de corte que trabalha em plaina vertical, e que a cada golpe se desloca juntamente com a engrenagem a ser usinada (sempre mantendo a mesma distância do diâmetro primitivo). É por meio desse processo contínuo que é gerada, passo a passo, a evolvente. O ângulo de inclinação do perfil (ângulo de UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja pressão) sempre é indicado nas ferramentas e deve ser o mesmo para o par de engrenagens que trabalham juntas. Propriedades da Curva Evolvente 1- A distância BK é igual ao arco AB, pois a linha MN rola sobre o círculo sem escorregar. 2- Para qualquer instante, o centro instantâneo do movimento da linha é o ponto tangente com o círculo. NOTE: não foi definido o termo centro instantâneo anteriormente. O centro instantâneo é definido de duas formas: i. Quando dois corpos possuem um movimento relativo plano, o centro instantâneo é um ponto sobre um dos corpos em que o outro gira no instante considerado; ii. Quando dois corpos possuem movimento relativo plano, o centro instantâneo é o ponto em que os corpos estão relativamente parados no instante considerado. 3- A normal em qualquer ponto de uma evolvente é a tangente à circunferência base, Devido a propriedade (2) da curva evolvente, o movimento do ponto que está traçando a evolvente é perpendicular a linha em qualquer instante, e assim a curva traçada também será perpendicular à linha em qualquer instante. 4- Não há curva evolvente junto ao círculo base. Condição para o Correto Engrenamento A figura a seguir mostra o engrenamento de duas engrenagens com contato nos pontos K1 e K2. UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Para obter o engrenamento correto, a distância K1K2 na engrenagem 1 deve ser a mesma que a distância K1K2 na engrenagem 2. Como K1K2 em ambas engrenagens são iguais à base primitiva de suas engrenagens, têm-se: Pb1 = Pb 2 Uma vez: π Pb1 = p1 ⋅ cos α1 = P1 cos α1 E π Pb 2 = p2 ⋅ cos α 2 = P2 cos α 2 Assim: π P1 cos α1 = π P2 cos α 2 Para satisfazer tal equação, o par de engrenagens engrenadas deve satisfazer a seguinte condição:  P1 = P2  α1 = α 2 UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Trem de Engrenagens Comuns Trem de engrenagens consiste em duas ou mais engrenagens com o propósito de transmitir o movimento de um dos eixos para o outro. Um trem de engrenagem comum possui os eixos alinhados. Esses podem ser simples como mostra a figura (a) ou composta como a figura (b). Relação de Velocidade Sabe-se que a relação de velocidade de um par de engrenagens é a porção inversa dos diâmetros de suas circunferências primitivas, e o diâmetro da circunferência base igualado ao número de entes dividido pelo “diametral pitch” (P). Também sabe-se que é necessário pra o engrenamento que as engrenagens possuam o mesmo “diametral pitch”. Assim, tem-se que para a relação de velocidade de um par de engrenagens é dada pelo inverso de seu número de dentes. UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja ω1 N 2 ω2 N 3 ω3 N 4 = ; = ; = ω2 N1 ω3 N 2 ω4 N 3 Combinando as equações de forma a fornecer a relação entre a primeira e última engrenagem: ω1 N 2 N 3 N 4 N 4 = = ω4 N1 N 2 N 3 N1 NOTE: Existem duas formas de determinar o sentido de giro. A primeira é desenhar flechas para cada engrenagem. A segunda é multiplicar a enésima potência de “-1” à relação geral de velocidades onde “n” é o número de pares de contato externo (engrenagem com contato interno não muda o sentido de rotação). Assim no caso da figura anterior (b): ω1 2 N N = ( −1) 2 4 ω4 N1 N 3 UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Trens de Engrenagens Planetários O conjunto epicicloidal ou planetário é formado por uma engrenagem central (planetário) instalada no mesmo eixo de uma coroa dentada interna, ao qual estão ligadas algumas engrenagens "satélites", que rodam em eixos de uma carcaça própria. Normalmente esta é soldada com um eixo coaxial ao do planetário. Esse grupo de engrenagens é muito utilizado em câmbios automáticos e alguns diferenciais para transmitir o movimento com diferentes relações de redução entre dois eixos coaxiais, mas sem inverter a direção de rotação. Fonte: Shigley, 2005; Mabie e Ocvirk, 1980. Com esse movimento, uma engrenagem não só gira em torno de seu centro, como esse gira em torno de um outro. A figura a seguir mostra o arranjo que pode ser usado só ou como parte de um sistema mais complexo. A engrenagem 1 é chamada de solar e a 2 de planetária, ambas são ligadas por uma barra. UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Relação de velocidade A determinação da relação de velocidades de um trem planetário é ligeiramente mais complexa que um trem comum. Seguindo os seguintes processos: 1. Invertendo o mecanismo, imaginando a aplicação do movimento rotatório com uma velocidade angular ωb do mecanismo. Fazendo a análise do movimento antes e depois da inversão com a tabela: Antes da Inversão Depois da Inversão (mecanismo original) (mecanismo imaginário) Barra (eixo móvel) ωb ωb − ωb = 0 Estrutura (eixo fixo) 0 0 − ωb = −ωb Sol ω1 ω1 − ωb = ωb1 Planeta ω2 ω2 − ωb = ωb2 NOTE: que no mecanismo imaginário a barra permanece parada e funciona como uma estrutura, assim nenhum eixo das engrenagens se move e o mecanismo imaginário torna-se um trem de engrenagens comum. 2. Aplicando-se a equação da relação de velocidades de um trem comum para o mecanismo imaginário, tem-se: ωb1 N =− 2 2 ωb N1 Ou ω1 − ωb N =− 2 ω2 − ωb N1 EXEMPLO: Seja o sistema planetário da figura, determine o valor de ωb . Dados ω1 = 0 e ω2 = 30 r.p.m.. UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Aplicando a equação da relação de velocidades para um trem planetário, têm-se: ω1 − ωb N =− 2 ω2 − ωb N1 0 − ωb 18 = − = −0,5 30 − ωb 36 −ωb = −0,5 ( 30 − ωb ) ωb = 10 r.p.m. Principais Diferenças entre Engrenagem Dentada e Engrenagem Planetária Engrenagem dentada: • Baixa perda de fricção; • Estrutura simples; • Velocidades diversas de transmissão para transmissões de múltiplas velocidades; • Dimensões mais longas Engrenagem planetária: • Dimensões curtas; • Alta transferência de potência; • Maior perda de fricção; • Montagem estrutural complexa; UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja • Transmissão possível apenas em três etapas para múltiplas velocidades das caixas de transmissão. Principais Usos Diferenciais: Devido à diferença de raios de curva, as rodas externas do carro em uma curva, vão percorrer uma distância maior que as internas. Para que a força do motor seja distribuída com esta diferença de rotação às rodas motrizes, existe o diferencial. Cada semi-eixo motriz é ligado a uma engrenagem planetária, que por sua vez são interligadas por duas engrenagens satélites formando o conjunto diferencial. O motor gira todo este conjunto por uma coroa e um pinhão. Em linha reta o conjunto diferencial gira solidário e em curvas a diferença de rotação é absorvida pela movimentação dos satélites em relação às planetárias. Câmbio Automático: Em sua configuração clássica é formado por alguns grupos epicicloidais dispostos em série e alojados dentro de uma caixa de liga de alumínio. A entrada e a saída do movimento ocorrem, portanto, ao longo do mesmo eixo. Entre o motor e o câmbio automático é colocado um conversor de torque, que substitui a embreagem tradicional e diminui o número de relações. O engate das marchas é obtido por meio de fricções multi disco comandado hidraulicamente e que, de acordo com a necessidade, agem sobre vários elementos de cada grupo UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja epicicloidal. Estes podem tanto serem bloqueados como receber ou transmitir movimento – o funcionamento ocorre segundo as necessidades de rodagem. Nas construções mais modernas, os câmbios automáticos são controlados por central eletrônica. Caixa “Overdrive”: A caixa overdrive mais comum é de engrenagem epicicloidal, do mesmo tipo usado amplamente nas transmissões automáticas até hoje. A engrenagem epicicloidal compõe-se basicamente de uma coroa com dentes internos e uma engrenagem solar no centro, que transmite movimento para a coroa por meio de três engrenagens planetárias. No caso do overdrive, a coroa está ligada à saída da caixa e a engrenagem solar à árvore de transmissão (cardam). Dependendo do número de dentes da coroa e da engrenagem solar, produz-se uma multiplicação entre 20% e 40%. Um acionamento elétrico, por solenóide, engata e desengata o sistema, conforme o comando do motorista. O sistema incorpora ainda uma roda-livre, que funciona quando a função overdrive está ativada. Roda-livre, como se sabe, anula o freio-motor, permitindo ao veículo perder velocidade gradualmente enquanto o motor se encontra em marcha - lenta (o DKW-Vemag possuía tal dispositivo, mas nada tinha a ver com overdrive). Caixas de Direção: Características do Designe das Engrenagens Planetárias da Caixa de Direção: 1. Menos folga no movimento 2. Aumento de eficiência 3. Maior segurança 4. Maior longevidade de sistema 5. Operação macia 6. Menos esforço de retorno 7. Seis pontos de contato Caixa de direção planetária: diferença entre TELEFLEX x UFLEX x MORSE UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Elevadores de Carros: Os elevadores construídos com sistema de correia necessitam de constantes ajustes. O “elevacar” é o único com sistema de acionamento através de engrenagem planetária que além de reduzir o consumo de energia elétrica, alinha o motor com a coluna. Análise de Tensões em Dentes de Engrenagens Engrenagens podem falhar basicamente por dois tipos de solicitação: a que ocorre no contato, devido à tensão normal, e a que ocorre no pé do dente, devido a flexão causada pela carga transmitida. A fadiga no pé do dente causa a quebra do dente, o que não é comum em conjuntos de transmissão bem projetados. Geralmente, a falha que ocorre primeiro é a por fadiga de contato. A figura a seguir, mostra um modelo por elementos finitos das tensões no contato. A parte que tende ao vermelho mostra as maiores tensões em magnitude (von Mises) e a parte em azul as menores. Esse modelo corresponde exatamente ao resultado obtido por outras técnicas, como a fotoelasticidade, e mostra as tensões que levam às falhas citadas. UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Modelagem Numérica das Tensões no Dentes de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos A próxima figura mostra duas engrenagens com falha por fadiga de contato. Esse tipo de falha pode ser avaliada pelo que convencionou-se chamar de critério de durabilidade superficial. A figura da esquerda mostra o estágio inicial da falha. Esses pequenos sulcos, chamados pites segundo nomenclatura brasileira recente, são formados na região próximo a linha primitiva do dente, que é definida pelo diâmetro primitivo. Surgem nessa região porque a velocidade de deslizamento entre os dentes anula-se no ponto primitivo. Será verdade? Novamente, será necessário um pouco de imaginação, para que não seja necessária a comprovação analítica. Suponha que, na figura anterior, as engrenagens estejam trabalhando com o pinhão (superior) movendo a coroa, da esquerda para a direita, lentamente. Quando os dentes entram em contato, é fácil notar que existe uma compressão na direção radial devido ao deslizamento. Quando os dentes estão deixando o contato, a tensão se inverte e passa a tração na direção radial. Como os elementos são rígidos, existe um pequeno deslizamento entre as superfícies dos dentes, tanto na entrada quanto na saída dos dentes em contato. Com existe a inversão no sentido do deslizamento, existe um ponto no qual esse deslizamento será zero e isso ocorre quando o contato é na linha primitiva. Já que o lubrificante depende do movimento relativo entre as superfícies para atuar (efeito elasto-hidrodinâmico), nessa região a separação dos elementos em contato não é adequada. Por isso, os pites ocorrem ao longo dessa linha. A figura a seguir, mostra ainda o mesmo tipo de falha após a progressão. Nesse caso, a falha de fadiga por contato aumenta de tamanho e partes maiores são arrancadas da superfície. O UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja termo em inglês para o que ocorre é “spalling”, cuja melhor tradução para o português é cavitação, o que não descreve adequadamente o fenômeno. Falha por Fadiga de Contato em Dentes de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Forças Transmitidas no Engrenamento A primeira definição necessária ao projeto de um sistema de redução é a carga que se deseja transmitir. Essa definição permite estimar a potência necessária para a fonte (motor, turbina, ...) e, em muitos casos, a própria fonte. Surgem então as questões básicas de projeto, tais como: Dada a rotação de entrada e saída do redutor, quantos pares de engrenagens devo usar? Definido o número de pares, qual a relação de redução devo utilizar em cada par? Engrenagens cilíndricas de dentes retos normalmente são empregadas com relações de redução de até 3 por par. É sempre importante lembrar que a potência dissipada pelo atrito aumenta proporcionalmente ao número de pares em contato em uma redução. O calor gerado dessa perda deve ser retirado do sistema, sob pena de que um aumento significativo na temperatura comprometa o lubrificante e causa falhas prematuras. A potência a ser transmitida é a força tangencial Ft vezes a velocidade V na mesma direção, ou o torque T vezes a rotação w. Assim, como a potência e a velocidade são dados de entrada dos problemas comuns de projeto, é necessário primeiro obter a força tangencial e depois a força total no contato. A figura 10 mostra as forças agindo em um dente. A força no contato F é a razão entre a força tangencial e o co-seno do ângulo de pressão. A força Fr é o produto entre a força Ft e a tangente do ângulo de pressão. As forças estão mostradas no centro do dente apenas para ilustração do modelo utilizado para a avaliação da flexão no pé do UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja dente. Também estão mostradas num ponto próximo à cabeça com a mesma finalidade. Esquema de forças em Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Que resumidamente: UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Aproveitando o tema, resumidamente as forças nos outros tipos de engrenagens são: Tensões de Flexão no Pé do Dente As tensões no pé do dente podem ser de tração ou compressão. Das figuras anteriores, notase que para a força aplicada, a tensão será de tração no filete da direita e de compressão no da esquerda. Para engrenagens trabalhando em um só sentido, um dos lados do dente estará sempre em tração quando os dentes estiverem em contato. O outro lado estará sempre em compressão. Quando o sentido de trabalho é invertido, a tensão de flexão também muda de sinal. Em engrenagens intermediárias ou loucas, que transmitem potência entre outras engrenagens, os dentes sofrem tração e compressão em cada rotação do elemento. O modelo atual para avaliação das tensões no pé do dente baseia-se nos estudos de Lewis (1892), que propôs um modelo simplificado considerando a carga aplicada na ponta do dente, com distribuição uniforme na largura do denteado, sem concentração de tensões, desprezando a carga radial e as forças de deslizamento. Em sua equação para o cálculo das tensões, Lewis propôs um modelo baseado num fator de forma Y, posteriormente batizado com UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja o seu nome e é dado por: Com base na proposição de Lewis, a Associação Americana de Fabricantes de Engrenagens (AGMA), sugere a seguinte equação para o cálculo das tensões no pé do dente: σ= Ft Kv Ko Km m⋅b⋅ J Nessa equação, a variável J é o fator geométrico, que é obtido a partir do fator de Lewis original com a inclusão da concentração de tensões para o raio de concordância recomendado e que leva em consideração o número médio de dentes em contato no engrenamento. Esse fator pode ser determinado a partir do gráfico mostrado na figura a seguir, para ângulos de pressão de 20o. A curva inferior deve ser utilizada quando a razão de contato for pequena ou quando se deseja projetar com maior segurança, mas de forma não otimizada. As curvas superiores dependem do número de dentes da engrenagem conjugada e levam em consideração a distribuição das cargas quando são utilizadas as dimensões recomendadas para a cabeça e pé do dente. UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Fator Geométrico J para Cálculo das Tensões no Pé do Dente O fator de impacto ou de velocidades Kv é aplicado para levar em consideração o efeito das tolerâncias de fabricação nos choques sofridos pelos dentes devidos às diferenças dimensionais. Assim, depende da forma de fabricar e do tipo de ferramenta. A próxima figura dá o valor desse fator para condições usuais de aplicação e velocidade. Esta última é levada em conta porque influencia na energia dissipada no choque. Fator de Impacto Kv para Cálculo das Tensões no Pé do Dente UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja O fator de sobrecarga Ko leva em conta os choques decorrentes da fonte de acionamento (motor) e da carga. Para a maioria dos casos é suficiente classificar os choques em pequenos, médios ou intensos. A tabela 1 mostra os valores recomendados para cada uma das situações. O fator de correção para a precisão da montagem Km é utilizado para incluir o efeito de alinhamento ou outras condições do arranjo que não permitam o contato em toda a extensão da largura do denteado. Os valores recomendados são dados na tabela 2. Uma vez definida a forma de calcular as tensões, resta o cálculo da resistência com a qual a tensão vai ser comparada. Simplificando, a resistência à fadiga por flexão no pé do dente Sn pode ser calculada por: Sn = Sn′ ⋅ CL ⋅ CG ⋅ CS ⋅ kr ⋅ kl ⋅ kms Tabela 1 – Fator de Correção para Sobrecarga devido aos Choques Ko Choques Gerados pela Carga Fonte de Potência Uniformes Moderados Intensos Uniformes 1,00 1,25 1,75 1,25 1,50 2,00 1,50 1,75 2,25 Leves Médios Tabela 2 – Fator de Correção para a Precisão de Montagem Km Largura da Face (mm) Características da Montagem e do Dispositivo Montagens precisas, pequena folga nos mancais, deflexões 0a Até Até Até 50,8 152 228 407 1,3 1,4 1,5 1,8 1,6 1,7 1,8 2,2 mínimas e engrenagens de precisão. Montagens não tão cuidadosas, engrenagens com fabricação não tão precisas, contato ao longo de toda a largura do dente Montagem e Precisão de forma a que não haja contato ao longo de todo a largura do dente Acima de 2,2 UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja O valor de Sn’ é dado pelo ensaio de flexão alternada padronizado (ensaio de Moore). Como estimativa, pode-se considerar como a metade do valor do limite de resistência a tração Su, para aços com valores de Su de até 1400 MPa. Acima disso, é aconselhável adotar o valor de 700 MPa, já que o comportamento não é linear. Os valores dos coeficiente CL, CG e CS podem ser obtidos em Shigley, et. al., 2005, Norton, 2004, entre outros autores. Para o primeiro coeficiente, como trata-se de flexão, o valor será sempre 1,0. O valor do coeficiente CG, que leva em consideração o tamanho do dente, pode ser considerado unitário para módulos menores que 5,0 mm e 0,85 para módulos maiores. O valor do coeficiente de acabamento superficial CS pode ser obtido na figura a seguir em função do tipo de fabricação e da dureza superficial. Deve-se tomar o cuidado de avaliar se a verificação está ocorrendo na superfície ou logo abaixo dessa, onde a dureza é significativamente menor, mas não há razão para utilizar um valor diferente de 1,0. Fator de Correção para o Acabamento Superficial CS O fator kr define a probabilidade de falha com a qual se deseja trabalhar. Pode ser encarado também como uma medida da confiabilidade do seu projeto, embora esse termo não seja bem empregado dessa forma. O fator kt leva em consideração a temperatura do conjunto. Só é levado em UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja consideração para temperaturas acima de 70oC. O fator pode ser calculado aproximadamente por: kt = 345 275 + T ( º C ) O fator kms é um fator que leva em conta o fato de que os dentes de engrenagem podem trabalhar em um só sentido. Se trabalharem nos dois, o valor obtido em ensaio ou estimado para Sn’ é válido, já que os ensaios são realizados com tensão alternada. Caso o conjunto de redução trabalhe em um só sentido, o valor da resistência não pode ser comparado com a tensão calculada segundo a equação 4, que usa o valor de Ft, que é a força máxima e não a amplitude de tensão. O valor correto seria a metade do valor da força e um diagrama de tensão constante seria necessário para comparar a tensão com a resistência. Para evitar esse trabalho adicional, demonstra-se que considerar a resistência cerca de 40% maior tem praticamente o mesmo efeito. Assim, define-se o fator kms = 1,4 para engrenagens que trabalham sempre em um mesmo sentido de rotação e kms = 1,0 para engrenagens que tem seu sentido invertido ou que trabalham como engrenagens intermediárias ou loucas. Table 3 – Fator de Correção para a Confiabilidade kr Confiabilidade Fator Kr 50 1 90 0,897 99 0,814 99,9 0,753 99,99 0,702 99,999 0,659 UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Tensões devidas ao Contato entre os Dentes As teorias de contato são baseadas principalmente nos estudos de Hertz publicados em 1881. Hertz calculou a distribuição de tensões em sólidos elásticos de dimensões simples. O cálculo das tensões nos dentes de engrenagens é baseado em seu modelo para cilindros em contato. Os problemas no contato não se limitam às tensões. De fato, se os dentes estiverem deslizando sob elevada pressão, poderá haver transferência de material entre eles (“scoring”). Além disso, a presença de partículas estranhas no lubrificante, ou vindas do próprio desgaste do material ou geradas pela contaminação, pode causar abrasão nas superfícies. Os sulcos causados pela abrasão podem modificar significativamente a estabilidade da lubrificação e intensificar o problema. Para a abrasão, a filtragem do óleo durante o trabalho resolve o problema na maior parte das vezes. Para evitar a transferência de material, um lubrificante com a viscosidade adequada é a melhor solução. Para os problemas de pite, somente o projeto adequado e uma manutenção criteriosa podem resolver. A equação para o cálculo das tensões superficiais no contato, baseada nos estudos de Hertz e modificada por Buckingham, é mostrada a seguir. Nessa equação, os coeficientes Ki são os mesmos apresentados anteriormente. O valor da constante geométrica I é dado na equação 8. O coeficiente elástico CP depende dos materiais em contato e é dado na tabela 4. As demais variáveis foram definidas anteriormente. 1  Ft 2 σ H = CP  K ⋅K ⋅K  b ⋅ d p ⋅ I v o m    R ⋅ senφ ⋅ cos φ I= 2 ( R + 1) UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Tabela 4 – Valores para o Coeficiente Elástico CP Material da Coroa Material do Pinhão Aço Ferro Fundido Bronze Bronze (E=121GPa) (E=110 Gpa) Aço 191 166 162 158 Ferro Fundido 166 149 149 145 A determinação da resistência a fadiga de contato tem sido um dos desafios para os pesquisadores, já que existe uma grande dispersão dos resultados e uma sensibilidade às condições de uso que dificulta a definição de valores precisos. Moris e Cram reportaram um estudo que durou 24 anos para cilindros em contato com e sem deslizamento. No caso do deslizamento, simularam as condições encontradas em engrenagens. Os estudos levaram a definição da resistência à fadiga de contato e de um fator de tensões no contato, que servem de base para muitas aplicações. Para o emprego no curso de Elementos de Máquinas e Transmissões é suficiente que utilizemos estimativas confiáveis para a resistência à fadiga Sfe. Os valores propostos por Juvinall são mostrados na tabela 5, para probabilidade de falhas de 1% e 107 ciclos de vida. Tabela 5 – Valores para a Resistência à Fadiga no Contato Sfe Material Aço Sfe (MPa) 2,8.(HB)-69 Ferro Fundido Nodular 0,95.[2,8.(HB)-69] Ferro Fundido Grade 30 482 UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja A resistência à fadiga no contato, de forma diferente da fadiga usual, não tem um limite definido, abaixo do qual não haverá a falha. Por isso, é necessário corrigir o valor da tabela 5 por um fator de vida CLi, que é utilizado para vidas diferentes de 107 ciclos. O fator CLi segue o gráfico da próxima figura. Para cada valor de vida o fator adquire um valor diferente, conforme o gráfico. Também é necessário corrigir a resistência para probabilidades de falha diferentes da especificada para a tabela, utilizando o fator CR. Este fator tem o valor 1,25 para confiabilidade de 50% e 0,8 para confiabilidade de 99,9%. Obviamente é 1,0 para confiabilidade de 99%. A equação a seguir mostra como calcular a resistência à fadiga corrigida: S H = S fe ⋅ CLi ⋅ CR Fator de Vida CLi para Cálculo das Tensões no Contato Engrenagens Cilíndricas Helicoidais Engrenagens cilíndricas de dentes inclinados, ou helicoidais, são construídas com dentes que não são alinhados com a direção axial dos elementos de transmissão. São utilizadas quando é necessário construir reduções que ocupem menor espaço axial e que gerem menor ruído. A primeira característica vem do fato de que a largura efetiva dos dentes é maior do que a de engrenagens cilíndricas de dentes retos e a segunda é devida ao engrenamento gradual dos UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja dentes. A figura mostra um conjunto de redução com esse tipo de engrenamento. As engrenagens têm os dentes inclinados em sentido oposto uma da outra, para permitir o engrenamento sem que os dentes se cruzem. Se imaginarmos o conjunto em movimento, é fácil observar o engrenamento gradual. Considere a engrenagem da direita movendo a da esquerda: a parte do dente mais próxima da face frontal das engrenagens entra em contato primeiro e o restante do dente vai gradualmente entrando em contato com o resto do dente conjugado. Também é possível observar que o rolamento entre os dentes ocorre num plano inclinado em relação à face do conjunto. Assim, o perfil evolvente deve ser gerado em torno de um cilindro que também está inclinado em relação aos eixos das engrenagens. Engrenagens Cilíndricas de Dentes Inclinados (Helicoidais) Engrenagens de dentes inclinados geram esforços axiais, já que o contato ocorre em um plano inclinado em relação ao eixo dos elementos. Para suportar esses esforços deve-se prever a utilização de mancais de escora ou mancais radiais, como os rolamentos de contato angular. Uma providência de projeto bastante comum é a montagem de uma redução com dois pares de engrenagens, cada conjunto gerando esforços axiais em uma direção. Com engrenagens semelhantes, os esforços axiais resultantes serão mínimos. A figura a seguir mostra esse tipo de montagem. Montagem de um Par de Engrenagens Helicoidais para evitar Esforço Axial UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Um esquema dos dentes e das variáveis envolvidas no estudo das engrenagens helicoidais é mostrado na figura a seguir. Nessa figura,ψ é o ângulo de hélice, que define a inclinação dos dentes em relação ao eixo das engrenagens; p é o passo; pn é o passo normal ou ortogonal; pa é o passo axial e b é a largura da engrenagem. A variável b’, não mostrada, é utilizada para a largura efetiva dos dentes, que em engrenagens helicoidais depende do ângulo de hélice. Vista Superior de uma Engrenagem Helicoidal mostrando as designações mais importantes A figura anterior também mostra os planos RR e NN. O primeiro é o plano perpendicular ao eixo da engrenagem e o segundo é perpendicular aos dentes. A visão dos dentes em cada plano é diferente. A figura 4 mostra os dentes em ambos os planos. Nessa figura, φn é o ângulo de pressão normal ou ortogonal e φ é o ângulo de pressão. Pode-se notar que os ângulos são diferentes. O ângulo normal é o que realmente está no plano de rolamento e é normalizado. Embora o perfil dos dentes deva ser evolvental nesse plano, dificuldades de fabricação impedem que isso ocorra. Pequenas diferenças são levadas em conta no dimensionamento através da modificação dos fatores geométricos. Visualização dos Dentes de Engrenagens Helicoidais. À esquerda, corte no Plano NN; à direita, corte no Plano RR UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Com as duas figuras anteriores é possível descrever as relações entre as diversas variáveis. Assim, o passo normal pode ser calculado por: pn = p cosψ O ângulo de pressão normal é dado por: tan φn = tan φ ⋅ cosψ E o módulo normal, que é diretamente proporcional ao passo normal, é dado por: mn = m ⋅ cosψ Análise de Forças em Engrenagens Helicoidais Conforme já mencionado, o contato entre os dentes ocorre no plano inclinado NN. Assim, a força de contato F, que é normal à superfície de ambos os dentes, também deve estar nesse plano. Devido à essa inclinação, três componentes de força são geradas. As componentes radial (Fr) e axial (Fa) não causam torque nos eixos de transmissão. A primeira causa flexão e a segunda apenas tensão axial. Embora sejam importantes no dimensionamento da transmissão com um todo (eixos, engrenagens, selos, mancais, ...) aparecem apenas indiretamente nos cálculos das tensões nos dentes. De fato, uma vez que os ângulos de hélice e pressão para um conjunto de redução são fixos e definem a relação entre as forças, o efeito de cada uma pode ser incluído na força tangencial (Ft), que é a que define o torque que está sendo transmitido. A figura a seguir permite determinar as relações entre as forças. Nessa figura é mostrada uma vista superior da engrenagem helicoidal e os dentes nos planos RR e NN. Esquema para a determinação das relações entre as Forças em Engrenagens Helicoidais UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja A força tangencial pode ser obtida a partir dos dados de entrada do problema. Normalmente esses dados são a potência (ou torque) e a rotação da fonte de acionamento (motor). Para calcular a força é necessário que se conheça o raio da engrenagem, que não está disponível no início de um projeto. Uma estimativa inicial do raio pode ser obtida levando-se em conta as recomendações de projeto descritas no cspítulo sobre engrenagens cilíndricas de dentes retos, que relacionam a distância entre centros e a redução desejada com as dimensões. Supondo o raio conhecido, pode-se obter a velocidade e, com a potência, calcular a força tangencial conforme a equação: Ft = W V A figura anterior mostra que a relação entre Ft e Fr é dada por: Fr = Ft ⋅ tan φ A força axial Fa, gerada pela inclinação dos dentes e pelo contato no plano inclinado, depende do ângulo de hélice conforme a equação 5. A relação mostrada nessa equação pode ser vista no esquema de forças no centro da figura. Nesse esquema também pode ser vista a força que causa flexão no pé do dente, cujo símbolo é Fb e cuja relação com a força tangencial é: Fa = Ft ⋅ tanψ Fb = Ft cosψ A força no contato entre os dentes é composta das componentes axial, tangencial e radial e pode ser obtida por: F= Que resumidamente: Fb Ft = cos φn cosψ ⋅ cos φn UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Tensões e Resistência em Engrenagens Helicoidais Da mesma forma que para engrenagens cilíndricas de dentes retos, as tensões relevantes para o dimensionamento dos dentes são geradas pela força a ser transmitida. A figura a seguir mostra um modelo foto-elástico de um dente em pexiglass em contato com outro de um material metálico. Por essa técnica é possível visualizar as linhas de deformação (ou tensão) geradas pelos esforços. A diminuição do espaçamento dessas linhas significa uma maior concentração de tensões. Observando a figura é possível identificar a raiz do dente e o ponto de contato entre os dentes como os pontos de maior tensão, conforme já visto no estudo de engrenagens de dentes retos. Modelo Foto-elástico da Distribuição de Tensões em Dentes de Engrenagens UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Tensões e Resistência na Raiz do Dente A equação a seguir mostra o cálculo das tensões no pé do dente em engrenagens helicoidais, conforme recomendado pela Associação Americana dos Fabricantes de Engrenagens (AGMA), órgão regulador nessa matéria na América do Norte. Consiste basicamente na mesma equação apresentada para dentes retos e, portanto, valem as mesmas considerações, a menos de duas pequenas modificações. Engrenagens Helicoidais, devido ao formato dos dentes, não são tão sensíveis ao desalinhamento, principalmente se houver uma sobreposição de dentes em contato, isto é, mais de um dente estiver em contato em cada momento, o que é o esperado. Assim, o fator que leva em consideração a montagem, Km, não precisa ter os valores recomendados pela tabela 2 do texto sobre engrenagens cilíndricas de dentes retos. A AGMA recomenda um valor 7 % menor, ou seja, recomenda a inclusão de um multiplicador de valor 0,93 na equação. σ= Ft K v ⋅ K o ⋅ ( 0, 93 ⋅ K m ) b⋅m⋅ J Uma segunda diferença leva em consideração o fato de que o perfil dos dentes no plano ortogonal não é exatamente evolvental. O fator J para engrenagens helicoidais inclui essa diferença. Esse fator é obtido do gráfico da figura a seguir para uma engrenagem cuja conjugada tenha 75 dentes. Para engrenagens cuja conjugada tenha qualquer outro número de dentes. Os dados de entrada na figura a seguir são o número de dentes na engrenagem onde se quer conhecer a tensão e o ângulo de hélice. UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Fator Geométrico J para Engrenagens Helicoidas com Conjugada de 75 dentes Para a figura a ant eri or é necessário utilizar também o número de dentes da engrenagem conjugada e a sua correção dada por: Multiplicador para correção do fator geométrico da figura anterior para conjugadas de número de dentes diferente de 75. A resistência à flexão no pé do dente é calculada exatamente da mesma maneira que para engrenagens de dentes retos. Sn = Sn′ ⋅ CL ⋅ CG ⋅ CS ⋅ kr ⋅ kt ⋅ kms UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja Tensões e Resistência no Contato entre os Dentes As tensões no contato entre os dentes de engrenagens helicoidais também são calculadas basicamente da mesma forma que para dentes retos. Novamente, a recomendação da AGMA para o fator montagem deve ser incluída. Uma segunda recomendação leva em consideração o número médio de dentes em contato, representado pelo valor CR na equação. O valor de CR é chamado também de razão de contato e pode ser calculado pela equação: (r CR = 2 ap 2 2 − rbp2 ) + ( rac2 − rbc2 ) − C ⋅ senφ pb O termo rij na equação anterior representa um raio: quando i é substituído por a, representa o raio da cabeça do dente; quando i é substituído por b, representa o raio de base; quando j é substituído por p, representa o pinhão; quando j é substituído por c, representa a coroa. Assim, rap é o raio da cabeça do dente do pinhão, e assim por diante. O termo C é a distância entre centros, ou a soma dos raios primitivos dos dois elementos. O passo da base pb é dado pela equação: pb = π ⋅ d ⋅ cos φ N = p ⋅ cos φ No cálculo da tensão no contato também deve ser incluída a largura real b’, já que o contato ocorre no plano normal, ao longo de toda a largura. Essa largura pode ser calculada dividindo a largura do denteado b pelo cosseno do ângulo de hélice. Assim, a equação para o cálculo da tensão fica: 1  Ft  cos  2 σ H = Cp  ⋅ K ⋅ K ⋅ 0,93 ⋅ H ( ) m    v o  b ⋅ d p ⋅ l  0.95CR   Da mesma forma que para as tensões na raiz do dente, não há modificação para a forma de calcular a resistência à fadiga no contato. A equação de engrenagens cilíndricas de dentes retos é repetida para facilitar o uso desta. Os fatores multiplicadores foram definidos no capítulo citado. S H = S fe ⋅ CLI ⋅ CR UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL Elementos de Máquinas e Transmissões – Prof. Rafael Antônio Comparsi Laranja 4. Considerações Finais Engrenagens helicoidais são as mais utilizadas na construção de caixas de câmbio automotivas e redutores industriais atualmente. O custo total um pouco mais elevado é suplantado pela sua simplicidade de fabricação e pelas vantagens sobre as de dentes retos. Algumas características de suas variáveis principais devem ser ressaltadas: • O ângulo de pressão normalizado é o ângulo normal φn e não o ângulo. O valor do primeiro é, normalmente, 20°. O módulo normal mn também deve seguir os valores recomendados para o módulo m, conforme a apostila de engrenagens de dentes retos, embora seja possível encontrar uma grande quantidade de conjuntos de redução não normalizados. • Da mesma forma que para engrenagens de dentes retos, é sempre recomendável procurar valores reais para as resistências ao invés de usar as estimativas propostas nas equações. • O ângulo de hélice, embora possa ter valor de até 30°, assume muito comumente o valor de 15°. Bibliografia: Juvinall, R.C., Marshek, K.M., Fundamentals of Machine Component Design, NY, John Wiley e Sons, 2003. dos Santos, Auteliano Antunes, Jr., Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos, Apostila de Sistemas Mecânicos , Faculdade de Engenharia Mecânica da UNICAMP. 2003. d o s S a n t o s , Au t e l i a n o An t u n e s , J r., Engrenagens Helicoidais, Apostila de Sistemas Mecânicos , Faculdade de Engenharia Mecânica da UNICAMP. 2003. Norton, R.L., Projeto de Máquinas, PoA, Bookman, 2004. Shigley, J.E., Mischke, C.R., Budynas, R.G., Projeto de Engenharia Mecânica, PoA, Bookman, 2005.