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8. MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
8.1 Distribuição "discreta" de probabilidade
8.1.1 Distribuição de Bernoulli
Supõe-se a realização de um experimento E, cujo resultado pode ser um
sucesso ou um fracasso, sendo:
X = ,
Onde: P(x1) = p, é a probabilidade de sucesso (ocorrer o evento);
P(x0) = 1 – p = q, é a probabilidade de fracasso (não ocorrer o
evento).
Dessa forma, defini-se que a variável aleatória X tem distribuição de
Bernoulli.
Seja a variável aleatória X, onde x = 1 para o sucesso; x = 0 para
o fracasso (x=0).
"X "0 "1 "Total "
"P(x) "q = 1 - p "p "1 "
a) Esperança matemática ou média
E(X) = m = 0.(1 – p) + 1.p = p
b) Variância
(2 =
,
8.1.2 Distribuição Binomial
Se a tentativa de Bernoulli for repetida n vezes, onde:
Cada tentativa admite 2 resultados: sucesso e fracasso;
A probabilidade de sucesso permanece a mesma para cada
tentativa;
As n tentativas são independentes e do mesmo tipo,
assim diz-se que essas tentativas tem distribuição binomial, definida por:
P(x) =
Onde: n = é o número de repetições do experimento;
p = probabilidade de sucesso;
q = 1 – p = probabilidade de fracasso;
x = probabilidade de ocorrer o evento no experimento;
= combinação.
Em uma distribuição Binomial, tem-se:
Esperança matemática ou Média
E(X) = m = np
a) Variância
(2 = n.p.q
Exemplo: Uma Cia coloca no mercado um equipamento eletrônico para
venda. A probabilidade desse equipamento eletrônico apresentar defeito é de
p = 1/3. Se um cliente compra 5 desses equipamentos, qual a probabilidade
de:
a) Exatamente 3 equipamentos apresentarem defeitos?
n = 5; p = 1/3; x = 3
q = 1 – p = 1 – 1/3 = 2/3
P(x) = ( P(3) = = 10. = = 0,1646
b) Nenhum equipamento apresentar defeito?
n = 5; p = 1/3; q = 2/3; x = 0
P(0) = = 1.1. = 0,1317 = (13,17%)
c) Pelo menos um equipamento apresentar defeito?
P(X ( 1) = P(X =1) + P(X = 2) + P(X =3) + P(X = 4) + P(X = 5)
Ou
P(X ( 1) = 1 – P(X ( 1) = 1 – P(X=0) ( (Complementar)
1 - = 1 - 1.1. = 1 - = 0,8683
d) Obter a média e a variância.
E(X) = m = n.p = 5.
(2 = n.p.q =
3. Distribuição de Poisson
Em várias situações conhece-se o número de sucessos, porém torna-se
difícil e, às vezes, sem sentido, determinar o número de fracassos ou o
número total de provas. Por exemplo: Pode-se determinar o número de carros
que passam numa esquina num determinado intervalo de tempo, porém, o número
de carros que deixaram de passar não poderá ser determinado.
Se X tem uma distribuição de Poisson, então a sua função de
probabilidade é definida por:
, x = 1, 2, 3, ..., n; e = 2,71828
OBS: e-m, obtém-se em tabelas ou em calculadora científica.
Em uma distribuição de Poisson, tem-se:
a) Esperança matemática ou média
E(X) = m = n. p
b) Variância
= m = n.p
Exemplo: Em média há 2 chamadas por hora num certo telefone. Calcular
a probabilidade de receber:
a) 3 chamadas em 2 horas;
E(X) = m = 4 (Por regra de três); X = 3
( ( = 0,1954
b) Nenhuma chamada em 90 minutos;
E(X) = m = 3 (Por regra de três); X = 0
( ( = 0,04979
c) Pelo menos uma chamada em 3 horas.
E(X) = m = 6 (Por regra de três); X ( 1
P(X ( 1) = P(X =1) + P(X = 2) + P(X = 3) + ... + P(X = +()
Ou pelo Complementar:
P(X ( 1) = 1 – P(X ( 1) = 1 – P(X = 0)
( 1 - = 1 - = 1 - = 1 - 0,00248 = 0,99752
8.1.4 Relação entre as Distribuições Binomial e de Poisson
A distribuição binomial descreve a amostragem com reposição, a fim de
não alterar o valor de p; contudo, constitui uma aproximação para amostras
sem reposição, quando n é grande (n > 30), mas a probabilidade p de
ocorrência do evento é pequena (p< 0,1), tal que 3 < n.p ( 10). Nestas
condições, pode-se aplicar a distribuição de Poisson como aproximação da
binomial.
1. Distribuição "contínua" de probabilidade
8.2.1 Distribuição Normal
A distribuição Normal é a mais importante distribuição de
probabilidade, por ser aplicada em inúmeros fenômenos e utilizada para o
desenvolvimento teórico da estatística.
Seja X uma variável aleatória contínua, então sua função densidade de
probabilidade é definida por:
para - ( ( x ( + (,
Onde: m = Média da distribuição;
= Desvio padrão da distribuição;
= 3,1416....;
e = 2,72828...
Propriedades: - É simétrica em relação à média;
- Média = moda = mediana;
- É assíntota em relação ao eixo x.
Na distribuição normal, tem-se:
a) A esperança matemática ou média
E(X) = m
b) A variância
V(X) =
Gráfico:
f(x)
0 m - ( m m + (
Exemplo: Gráfico do Coeficiente de Inteligência (QI)
Fonte: James Dobson, Miami, E.U.A. 1977.
Como calcular: P(a ( X ( b) = ?
P(a ( X ( b) dx
Como o cálculo da probabilidade dessa integral representa um grau
relativo de dificuldade, faz-se a seguinte mudança de variável, obtendo-se
a Distribuição normal padronizada ou reduzida:
8.2.2 Distribuição Normal Reduzida
Z = ,
Onde: X~N(m; (2). Lê-se: A variável aleatória X tem distribuição normal com
média m e variância (2;
Z~N(0; 1). Lê-se a variável aleatória Z tem distribuição normal com
media m = 0 e variância = 1.
Demonstra-se que E(Z) = 0 e VAR(Z) = 1.
A função densidade de probabilidade da distribuição normal padroniza
de Z, é dada por:
para ( < z < (
Exemplo: As alturas da população com 3600 alunos de uma determinada
Universidade são normalmente distribuídas com média 1,60 m e desvio padrão
0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno medir:
a) Entre 1,50 m e 1,80 m;
m= 1,50;
P(1,50(X( 1,80) = P(Z1( Z (Z2)=P(-0,33(Z( 0,67) = 0,1293 + 0,2486 = 0,3779
Z = ( Z1 = = -0,33; Z2 = = 0,67
Preencha todos os gráficos abaixo (conforme orientação do Professor):
0,1293 0,2486
-0,33 0
0,67
b) Mais de 1,50 m;
P(X ( 1,50) = P(Z ( Z1) = P( Z ( -0,33) = 0,5 + 0,1293 = 0,6293
0,1293 0,5
0,33 0
c) Menos que 1,50 m;
P(X ( 1,50) = P(Z ( Z1) = P( Z ( -0,33) = 0,5 - 0,1293 = 0,3707
0,1293
-0,33 0
d) Entre 1,72 e 1,80m
P(1,72 (X ( 1,80) = P(Z3 ( Z (Z2)=P(0,40 (Z ( 0,67) = Amax - Amin
=
0,2486 – 0,1554 = 0,0932
Z = ( Z3= = 0,40
Amin
0,1554
0 0,40 0,67
Amax = 0,2486
8.2.3 Aproximação Normal para distribuição Binomial
Se n é grande e p e q estão próximo de zero, a distribuição Binomial
se aproxima da distribuição Normal por:
( Z ( N (0, 1)
Na distribuição binomial, tem-se:
E(X) = m = n.p; = n.p.q; =
Exemplo: Uma empresa comercializa variedades de equipamentos eletrônicos e
historicamente 80% dos equipamentos têm pelo menos moderado sucesso no
mercado. Se a empresa vai lançar 30 novas marcas, Calcule a probabilidade
de que pelo menos 7 deles tenham êxito.
Resolução: Observa-se que é uma variável discreta (Binomial), onde:
n = 30; p = 0,80; q = 0,20
Pela binomial: P(x(7) = P(x=7) + P(X=8) + ... + P(X=30), é muito
trabalhoso.
Processo para calcular pela aproximação Normal:
Para abranger com segurança pelo menos 7 tipos de medicamentos,
calcula-se P(X(6,5), isto é, toma-se 0,5 a menos, para transformar uma
variável discreta em uma variável contínua.
(
P(X ( -6,5) = P(Z ( - 7,99) = 0,5 + 0,4990 = 0,9999
0,4990 0,5
-7,99 0
OBS: Para valores de Z superiores a 3,09, considera-se o valor da tabela
normal Z = 0,4990, isto é, aproximadamente 0,5000 ou 50%.
TRABALHO 8: Distribuições de probabilidades (Discretas e
contínua)
1) Um time X tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X
jogar 5 partidas, calcule a probabilidade de:
a) X vencer exatamente 3 partidas;
b) X vencer pelo menos uma partida;
c) X vencer mais da metade das partidas.
2) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 1/3. Se ele atirar 6
vezes, qual a probabilidade de:
a) Acertar 2 tiros; b) Não acertar nenhum tiro.
3) Numa campanha de vacinação, 2/5 de uma população foi vacinada. Tomando-
se ao acaso 6 pessoas desta população, qual a probabilidade de:
a) Exatamente 4 pessoas estarem vacinadas; b) Nenhuma pessoa estar
vacinada; c) Pelo menos uma pessoa estar vacinada.
4) Das diversas marcas de transformadores elétricos produzidos no Brasil,
1/4 deles são de marca A. Tomando-se 8 transformadores elétricos ao
acaso, qual a probabilidade de:
a) Não encontrar transformador algum de marca A; b) Encontrar 2
transformadores de marca A; c) Encontrar no máximo um transformador de
marca A.
5) Uma pesquisa na compra lâmpadas incandescentes indica que 2/3 da
população em geral compraria esse tipo de lâmpada. Se um comerciante
oferece este tipo de lâmpada a 4 pessoas, qual é a probabilidade de:
a) Nenhum pessoa comprar esse tipo de lâmpada.
b) Pelo menos 3 pessoas comprar esse tipo de lâmpada.
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6) Uma fábrica de pneus que ao testar seus pneus nas pistas, havia em média
um estouro de pneu a cada 5000 km.
a) Qual a probabilidade que num teste de 3000km haja no máximo um pneu
estourado?
b) Qual a probabilidade de que um carro ande 8000 km sem estourar nenhum
pneu?
7) Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia. Calcular a
probabilidade de:
a) Receber 4 chamadas num dia; b) Receber 3 ou mais chamadas num dia.
8) A média de chamadas telefônicas numa hora é 3. Qual a probabilidade de:
a) Receber 3 chamadas em uma hora?
b) Receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos?
9) Suponha que haja em média 2 suicídios por ano numa população de 50.000
habitantes. Em uma cidade de 100.0000 habitantes, encontre a
probabilidade de que em um dado ano tenha havido:
a) Nenhum suicídio; b) Dois suicídios; c) Dois ou mais suicídios.
10) Uma loja de materiais elétricos atende em média 2 clientes por hora.
Calcular a probabilidade de em uma hora:
a) Atender exatamente 2 clientes; b) Atender 3 clientes.
11) Supondo que os componentes eletrônicos da população de uma Indústria
têm distribuição normal. A duração de um certo componente eletrônico
tem em média 850 dias e com um desvio padrão de 45 dias. Calcular a
probabilidade desse componente durar:
a) Entre 700 e 1000 dias; b) Mais que 800 dias; c) Menos que 750
dias;
c) Exatamente 1000 dias.
12) Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 63,5
kg e desvio padrão 5,5 kg. Encontre a probabilidade e o número de alunos
que pesam:
a) Entre 60 e 70 kg; b) Mais que 63,2 kg; c) Qual o peso mínimo p/
escolher 10% dos mais pesados; d) Qual o peso máximo p/ escolher 15%
dos mais leves.
13) Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus
pneus e verificou que ele obedecia a uma distribuição normal, de média
48.000 km e com um desvio padrão de 2.000 km. Calcular a probabilidade
de um pneu escolhido ao acaso:
a) Dure mais que 46.000 km; b) Dure entre 45.000 e 50.000 km.
14) Numa fábrica foram instaladas 1000 lâmpadas novas. Sabe-se que a
duração média é de 800 horas e com um desvio padrão de 100 horas, cujos
dados têm distribuição normal. Determine a probabilidade e a
quantidade de lâmpadas que durarão:
a) Menos de 500 horas; b) Mais de 700 horas; c) Entre 516 e 814
horas.
15) Sabe-se que os motores de carros de uma Fábrica têm duração Normal, com
duração média de 150.000 Km e desvio padrão de 5.000 Km. Qual a
probabilidade de que um carro escolhido ao acaso dos fabricados pela
Fábrica tenha motor que dure:
a) Menos de 163.000 km; b) Entre 140.000 e 165.000 km; c) Se a fábrica
substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia, qual
deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substituídos
seja inferior a 0,2%?
RESPOSTAS: 1) a) 80/243; b)242/243; c) 64/81; 2) a) 80/243; b)
64/729;
3) a) 0,1382; b) 0,0467; c) 0,9533; 4) a) 0,1001; b) 0,3115; c)
0,3671;
5) a) 0,01123; b) 0,5926; 6) a) 0,8784; b)0,2020; 7) a) 0,168;
b) 0, 5767;
8) a) 0,2241; b) 0,658; 9) a) 0,0183; b) 0,1664; c) 0,9085;
10) a) 0,270;
b) 0,180; 11) a) 1; b) 0,8665; c) 0,0132; d) 0,5; 12) a) 0,6199 e
372 alunos; b) 0,5199 e 312 alunos; c) 70,54 kg; d) 57,78 kg; 13) a)
0,8413; b) 0,7745;
14) a) 0,0013; b) 0,8413; c) 0,5534; 15) a) 0,9953; b) 0,9759; c)
135.600 km.
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50%
50%%%
70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130
Variação
Normal
22%
25%
25%
23%
2%
3%
Dotados
Normais brilhantes
Os morosos para aprender
Retardados
f(x)
0 m a b
