Engenharia De Controle Moderno

2,2S m ° é -CdH = Qdl ou -0,01 VFi dH dt c 2 Em conseqüência dH vii Considere-se, agora, que no instante t = ti' H = 1,125 m. Integrando-se ambos os membros desta última equação, tem-se 1 1.125 2,2:' -O,OOS dt , ír1 = III H () dH V ( -0,005) dt = - 0,00St 1 Segue-se que 1,12:' 2vlTis - 2Vlj 2~ = -0,OOSt 1 1 2,2:' ou ti 175,7 E, por conseguinte, o valor da coluna se torna igual à metade do valor inicial (2,25 m) em 175,7 s. A-3-14. Seja o sistema de nível de líquido mostrado na Fig. 3-42. Em estado estacionário, os valores das vazões de entrada e de saída se igualam a Q e a vazão entre os reservatórios é nula. Os valores de coluna em ambos os reservatórios] e 2 são iguais a H. Em t 0, a vazão de entrada muda, instantaneamente, de Q para Q + q, sendo q uma pequena variação da vazão de entrada. As variações resultantes nos valores de coluna de fluido (h l e h2) e de vazões (ql e qJ se admitem pequenas. As capacitâncias dos reservatórios 1 e 2 são, respectivamente, C I e C2 • A resistência da válvula entre os reservatórios é RI e a da válvula de saída é R2 . Deduzir modelos matemáticos para o sistema quando: (a) q for a grandeza de entrada e h 2 , a grandeza de saída; (b) q for a grandeza de entrada e q2' a grandeza de saída; (c) q for a grandeza de entrada e hp a grandeza de saída. Solução. (a) Para o reservatório 1, tem-se 100 Capítulo 3 / Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos onde Conseqüentemente. R C dh] dt ] ] +h = ] h (3-98) o L Para o reservatório 2. obtém-se em que Segue-se, então, (3-99) Eliminando-se h] nas Eqs. (3-98) e (3-99), tem-se (3-100) Em termos de função de transferência, His) Q(s) = RiR 1C1S + 1) RIC1R2C2S2 + (R 1C 1 + R 2C 2 + R 2C 1 )S + 1 Este é o modelo matemático desejado no qual q é considerada a grandeza de entrada e h 2 a grandeza de saída. (b) A substituição de h 2 = R 2q2 na Eq. (3-100), fornece q Esta equação é um modelo matemático do sistema quando se consideram q a grandeza de entrada e q2 a grandeza de saída. Em termos de função de transferência, tem-se Qis) = _ _ _ _ _----''-----'-_ _ _ _ _ __ Q(s) (c) Eliminando-se h 2 nas Eqs. (3-98) e (3-99) vem Q+q-+-~ Reservatório 2 Reservatório 1 Fig. 3-42 Sistema de nível de líquido. Problemas Ilustrativos e Soluções 101 que é um modelo matemático do sistema quando se considera q como grandeza de entrada e h l como grandeza de saída. Em termos de função de transferência, obtém-se A-3-15. Seja o sistema de nível de líquido mostrado na Fig. 3-43. No sistema, Q; e Q2 são valores estacionários das vazões de entrada, e RI e valores estacionários de coluna de fluido. As grandezas qii' qi2' h l , h 2 , ql e q() são consideradas como tendo valores pequenos. Obter uma representação do sistema no espaço de estados, quando se consideram h l e h} como grandezas de saída e qil e qi2 como grandezas de entrada. Solução. As equações para o sistema são C]dh 1 (qn = h1 (3-101) h2 (3-102) R1 + qi2 - qo) dt C 2dh 2 = (q1 (3-103) (3-104) Eliminando-se ql a partir da Eq. (3-101) e substituindo-se na Eq. (3-102) resulta 1 ( C A eliminação de ql 1 qi1 _~) R (3-105) 1 e q(l na'Eq. (3-103) a partir das Eqs. (3-102) e (3-104) fornece (3-106) Definindo-se as variáveis de estado XI e Xl como sendo as variáveis de entrada UI e U 2, UI = U} = qi2 YI = Y2 = hl h2 qil e as variáveis de saída YI e Y}, = XI = X2 Q1+qil~~ Fig. 3-43 Sistema de nível de líquido. 102 Capítulo 3 / Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos Pode-se, então, escrever as Eqs. (3-105) e (3-106) sob a forma Na forma matricial-vetorial padronizada, tem-se que são as equações de estado, e que é a equação de saída. A-3-16. Desenhar um diagrama de blocos do sistema de calefação de ar mostrado na Fig. 3-44, considerando-se pequenas variações em torno da operação em estado estacionário. Considerar desprezíveis as perdas de calor para o meio circundante e a capacitância das partes metálicas do aquecedor. Solução. Definam-se @; valor estacionário da temperatura na entrada de ar, °C @o G M e R C valor estacionário da temperatura na saída de ar, °C vazão de massa de ar através da câmara de aquecimento, kg/s massa de ar contida na câmara de aquecimento, kg calor específico do ar, kcal/kg °C resistência térmica, °C slkcal capacitância térmica do ar contido na câmara de aquecimento = Me, kcal/OC valor estacionário do fluxo térmico de entrada, kcal/s H Admita-se que o fluxo térmico de entrada mude instantaneamente de valor, de H para H + h, e que a temperatura do ar de entrada mude repentinamente do valor @; para @; + O;. Como conseqüência, a temperatura do ar de saída mudará de @() para @o + 00 , A equação que descreve o comportamento do sistema é ou c dOo dt = h H+h t Aquecedor -)lo- --------------+-------~~--~ Fig. 3-44 Sistema de aquecimento de ar. Problemas Ilustrativos e Soluções 103 Observando-se que 1 Gc= R obtém-se C d80 dt ou seja, Aplicando-se a transformada de Laplace a ambos os membros da equação anterior e substituindo-se a condição inicial 8 (0) tém-se 0 0 0 (s) = R RCs = 0, ob- 1 H(s) O diagrama de blocos correspondente a esta equação é mostrado na Fig. 3-45. A-3-17. Seja o termómetro de mercúrio, com paredes delgadas de vidro, mostrado na Fig. 3-46. Admita-se que o termómetro se encontre a uma temperatura uniforme °C (temperatura ambiente) e que em t = 0, seja mergulhado num banho a uma temperatura + 8hoC, onde 8h é o valor de temperatura do banho (que pode ser constante ou variável no tempo) medida em relação à temperatura ambiente Defi+ (PC de modo que 8 seja a variação de temperatura do termóna-se o valor instantâneo da temperatura do termómetro como sendo metro, satisfazendo a condição eco) = O. Obter um modelo matemático para o sistema. Obter, também, um sistema elétrico análogo ao do termómetro. e e e e. Solução. É possível deduzir um modelo matemático para o sistema a partir da consideração do balanço térmico que se segue: O calor que é fornecido ao termómetro durante dt segundos é igual a q dt, sendo q o fluxo térmico de entrada no sistema do termómetro. Este calor é armazenado na capacitância térmica C do termómetro, elevando, assim, sua temperatura de de. Em decorrência disto, a equação de balanço térmico é Cd 8 = q dt (3-107) Como a resistência térmica R pode ser escrita como R = d(J18) dq = J18 q O fluxo térmico q pode ser expresso, em termos da resistência térmica R, como sendo em que, e + 8h é a temperatura do banho e e + 8 é a temperatura do termómetro. Assim, a Eq. (3-107) pode ser reescrita como H(s) Fig. 3-45 Diagrama de blocos do sistema de aquecimento de ar mostrado na Fig. 3-44. 104 Capítulo 3 I Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos Termómetro Banho Fig. 3-46 Termómetro de mercúrio com parede de vidro delgada. ou de RC- + dt e = eb (3-108) A Eq. (3-108) é um modelo matemático do sistema termómetro. Com base na Eq. (3-108), um sistema elétrico análogo pode ser descrito como deo RC - dt + e o = e, Um circuito elétrico representado por esta última equação é mostrado na Fig. 3-47. A-3-18. Linearizar a equação não-linear z = xy na região 5 ::; x ::; 7, 10 ::; Y ::; 12. Determinar o eno se a equação linearizada for utilizada para calcular z quando x = 5ey 10. Solução. Como a região a ser considerada é definida por 5::; x::; 7, 10 ::; Y ::; 12, será escolhido o ponto médio X 6 e y = 11. Em conseqüência, z = xy = 66. Será obtida uma equação linearizada, para a equação não-linear, em torno de um ponto X = 6, Y = 11. Expandindo-se a equação não-linear em série de Taylor, em torno do ponto x X, Y = y, desprezados os termos de ordem superior, tem-se z - z = a(x - X) + b(y - y) onde éi(xy) a=-éix y = 11 a(xy) é)y =.t = 6 b=-Assim, a equação linearizada é z - 66 = 11 (x - 6) + 6(y - 11) R ~ ei O C r - e() O Fig. 3-47 Análogo elétrico do sistema termómetro mostrado na Fig. 3-46. Problemas Ilustrativos e Soluções 105 ou z = llx Quando x = 5ey 10, o valor de éz xy - 66 z dado pela equação linearizada é z = llx o valor exato de + 6y + 6y - + 60 66 = 55 50. Deste modo, o erro vale 50 49 = 66 = 49 1. Em termos percentuais o erro é de 2%. A-3-19. Seja o sistema de nível de líquido mostrado na Fig. 3-48. Em regime estacionário, o valor da vazão de entrada é Qi vazão de saída 71 e a altura da coluna de fluido é H = H. Se o escoamento for turbulento tem-se = 71, o valor da Admita-se que, em t = 0, a vazão de entrada mude de Qi = 71 para Qi 71 + qi' Esta mudança acarreta uma alteração no valor de coluna de fluido de H H para H = H + h que, por sua vez, ocasiona uma mudança no valor da vazão de saída de 71 para = 71 + q(!. Para este sistema tem-se sendo C a capacitância do reservatório. Defina-se dH dt f(H, QJ 1 = (3-109) C Qi - -C- = H + h, Note-se que a condição de operação em regime estacionário é ( H, (1) e que H em estado estacionário dH/dt = 0, tem-sef( H, (1) = O. Linearizar a Eq. (3-109) em torno do ponto de operação H, 71. Qi = 71 + qi' Uma vez que, na operação Solução. Utilizando-se a técnica de linearização apresentada na Seção 3-10, pode-se obter uma forma linearizada para a Eq. (3-109) como se segue: dH dt f(I1, (2) af -(H II) aH (3-110) onde Q) ajl aH ° _ _K_= _ Q _1_ 2CvIl Ill=l7, Q,=Q 2CII em que se usou a resistência R definida por R= 2H t t H=H+h Q()~~~q() ~--~--------------4/~~ Fig. 3-48 Sistema de nível de líquido. 106 Capítulo 3 / Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos 1 RC Além disto, af aQi 1 I IJ=il,Q,=Q C Então a Eq. (3-110) pode ser escrita como 1 - - ( H - H) dH Como H - H h e Qi qi' (2) RC dr (3-111) a Eq. (3-111) pode ser escrita sob a forma dh __l_h dr RC ou seja dh RCdi + h = Rqi que é a forma linearizada da equação para o sistema de nível de líquido e coincide com o resultado da Eq. (3-69) que tinha sido obtida na Seção 3-8. A-3-20. Considere-se o servossistema hidráulico mostrado na Fig. 3-49. Obter um modelo matemático para o sistema, admitindo-se que as forças de reação da carga não podem ser desprezadas. Admita-se, também, que a massa do êmbolo de potência deve ser incluída na massa m da carga. Solução. Ao se deduzir um modelo matemático do sistema para o caso em que não é possível desprezar as forças de reação da carga, devem ser considerados outros efeitos como a queda de pressão nos orifícios, as fugas de óleo em torno da válvula e do êmbolo e a compressibilidade do óleo. A queda de pressão através dos orifícios é uma função da pressão PI da fonte de alimentação e da diferença de pressão tJ.p = PI Pc' Em conseqüência, a vazão q é uma função não-linear do deslocamento x da válvula e da diferença de pressão tJ.p, ou seja, q = f(x, tJ.p) 0, tJ.p Linearizando esta equação em torno da origem (x = Oe q = O), obtém-se, com base na Eq. (3-82) (3-112) Pode-se considerar que a vazão q é constituída de três parcelas (3-113) em que qo = vazão útil no cilindro de potência, responsável pelo movimento do êmbolo, kg/s Ps po t t y ~ ()....----=---- Fig. 3-49 Servossistema hidráulico. Problemas Ilustrativos e Soluções 107 q/ = vazão devida às fugas, kg/s qc vazão equivalente devida à compressibilidade, kg/s Serão obtidas as expressões de qo, q/ e qc' A vazão %dt, no lado esquerdo do êmbolo de potência, acarreta um deslocamento d.r do êmbolo para a direita. Tem-se, assim, AQ dy = qo dt onde Aem 2) é a área do cilindro de potência, Qekg/m3) é a densidade do óleo e dy (m) é o deslocamento do êmbolo de potência. Então, (3-114) A componente devida às fugas qL pode ser escrita como (3-115) onde L é o coeficiente de perdas por fuga do sistema. A vazão equivalente devida à compressibilidade qc pode ser expressa em função do módulo de compressibilidade efetiva total do óleo K (incluindo os efeitos de ar dissolvido, dilatação das tubulações etc.), onde K= dt1p -dV/V (Aqui a quantidade dV é negativa e, portanto, -dV é um valor positivo.) Reescrevendo-se esta última equação, vem V -dV= -dt1p K ou o -dV _ QV d t1p ~ dr - K dt Observando-se que qc = Q( -dV)/dt, resulta QV d t1p K dt onde V é o volume efetivo do óleo sob pressão (isto é, aproximadamente metade do volume total do cilindro de potência). Usando-se as Eqs. (3-112) a (3-116), L 6.p q QV d 6.p K dt ou seja, QV d6.p K dI AQ dt (3-117) A força desenvolvida através do êmbolo de potência é A 6.p e esta força é aplicada aos componentes da carga. Assim, m b dy dt ky = A 6.p (3-118) Eliminando-se 6.p nas Eqs. (3-117) e (3-118), resulta QVm d"'y KA dt'" QVb [ KA [ AQ d2y dP + QVk KA + (L + K 2 )b] dy + (L + K 2 )k v = K x A dt A . I Este é um modelo matemático do sistema relacionando o deslocamento x do carretel da válvula-piloto com o deslocamento y do êmbolo de potência, quando as forças de reação da carga não puderem ser desprezadas. 108 Capítulo 3 / Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos PR BLE s C(s) R(s) 3-50 Diagrama de blocos de um sistema. B-3-1. Simplificar o diagrama de blocos mostrado na Fig. 3-50 e obter a função de transferência a malha fechada C(s)/R(s). B-3-2. Simplificar o diagrama de blocos mostrado na Fig. 3-51 e obter a função de transferência C(s)/R(s). B-3-3. Simplificar o diagrama de blocos mostrado na Fig. 3-52 e obter a função de transferência a malha fechada C(s)/R(s). B-3-4. Obter uma representação no espaço de estados para o sistema mostrado na Fig. 3-53. B-3-5. Considere-se o sistema descrito por .y" 3)1+ 2}' = u Obter uma representação do sistema no espaço de estados. B-3-6. o sistema descrito por Obter a função de transferência do sistema. C(s) 3-51 Diagrama de blocos de um sistema. B-3-7. Obter a função de transferênciaXJs)/XiCs) relativa a cada um dos três sistemas mecânicos mostrados na Fig. 3-54. Nos diagramas, Xi designa o deslocamento de entrada e X o denota o deslocamento de saída. (Cada um dos deslocamentos é medido a pm1ir de sua posição de equilíbrio.) B-3-S. Obter modelos matemáticos para os sistemas mecânicos mostrados nas Figs. 3-55(a) e (b). B-3-9. Obter uma representação no espaço de estados para os sistemas mecânicos mostrados na Fig. 3-56, onde UI e u 2 são as grandezas de entrada e YI e Y2 as grandezas de saída . B-3-10. Considere-se o sistema de pêndulo carregado com mola mostrado na Fig. 3-57. Admita-se que a força de mola agindo sobre o pêndulo é nula quando o pêndulo estiver na vertical, ou seja, para 8 = O. Admita-se, também, que o atrito envolvido seja desprezível e que o ângulo de oscilação 8 seja pequeno. Obter um modelo matemático do sistema. B-3-11. Com base no Exemplo 3-4, considere-se o sistema de pêndulo invertido mostrado na Fig. 3-58. Admita-se que a massa m do pêndulo invertido seja uniformemente distribuída ao longo do comprimento da haste. (O centro de gravidade do pêndulo fica localizado no centro da haste.) Supondo que os valores de 8 sejam pequenos, obter modelos matemáticos para o sistema sob as formas de equação diferencial, função de transferência e de equações no espaço de estados. C(s) Fig. 3-52 Diagrama de blocos de um sistema. Problemas 109 y Fig. 3-56 Sistema mecânico. Fig. 3-53 Sistema de controle. b 11 / k 2 ~ (b) (a) mg (c) Fig. 3-54 Sistemas mecânicos. Fig. 3-57 Sistema de pêndulo com carregamento de mola. x (Sinal de saída) (Força de entrada) i' Atrito nulo (a) ~-----X-----4~ x (Sinal de saída) .......... !l(t) (Força de entrada) Atrito nulo (b) Fig. 3-55 Sistemas mecânicos. 110 Capítulo 3 / Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos Fig. 3-58 Sistema pêndulo invertido. 3m 2m 3-59 Sistema elétrico. Q+C/i ~-""""".I""'-I-- t Fig. 3-61 Sistema de reservatório de água de forma cónica. H+h Q+ C/o ~--~~~----~~~~>.'~'~-- ~ Capacitância B-3-15. Considere-se o sistema de nível de líquido mostrado na Fig. 3-62. Em estado estacionário a vazão de entrada é Q e a vazão de saída é, igualmente, Q. Admita-se que no instante t = a vazão de entrada seja modificada de Q para Q + qi' sendo os valores de qi pequenos. A perturbação de entrada é qd' cujos valores também são pequenos. Esboçar um diagrama de blocos do sistema e simplificá-lo de modo a obter em função de Qls) e de Qis), onde H 2(s) ;;g [h 2(t)], Qi(S) [qlt)] e Qis) ;;g [qd(t)]. As capacitâncias dos reservatórios 1 e 2 são, respectivamente, C 1 e ° C Fig. 3-60 Sistema de nível de líquido. B-3-12. Deduzir a função de transferência do sistema elétrico mostrado na Fig. 3-59. Esboçar um diagrama esquemático de um sistema mecânico análogo. B-3-13. Seja o sistema de nível de líquido mostrado na Fig. 3-60. Admitindo-se que H = 3 m, Q = 0,02 m'/s e que a seção reta do reservatório possua uma área igual a 5 m 2 , obter a constante de tempo do sistema no ponto de operação (H, Q). Supor que o escoamento através da válvula seja turbulento. B-3-14. Seja o reservatório de água em forma de cone, como mostrado na Fig. 3-61. O escoamento através da válvula é turbulento e se relaciona com o valor de coluna d' água H através de B-3-16. Um termopar possui uma constante de tempo de 2 s. Um poço térmico possui uma constante de tempo de 30 s. Quando o termopar é inserido no poço, este dispositivo de medição de temperatura pode ser considerado como um sistema formado por duas capacitâncias. Determinar as constantes de tempo do sistema combinado termoparpoço térmico. Admitir que o peso do termopar seja de 8 g e que o peso do poço térmico seja de 40 g. Admitir, também, que os calores específicos do termopar e do poço térmico sejam idênticos. B-3-17. Supor que a vazão Q e a altura de coluna H num sistema de nível de líquido sejam relacionadas por Q = 0,005 Q onde Q é a vazão medida em m 3/s e H é a altura da coluna d'água, em metros. Supor que a coluna d' água tenha um valor de 2 m para t = O. Qual será o valor de coluna d' água no instante t = 60 s? 0,002 Obter um modelo matemático linearizado relacionando a vazão e a altura de coluna, nas proximidades de um ponto de operação (H, quando H = 2,25 m e Q = 0,003 m'/s. ~-+-Cf(1 Reservatório 1 t l--------,t,-----1~ Reservatório 2 Fig. 3-62 Sistema de nível de líquido. Problemas 111 Óleo sob Dreno pressão Dreno + + + )UU~ Válvula-piloto Porta I Porta II Cilindro de potência Fig. 3-63 Diagrama esquemático de um servomotor hidráulico. B-3-1S. Obter uma equação linearizada para y em torno do ponto x= = 0,2x 3 2. B-3-20. Seja o servomotor hidráulico mostrado na Fig. 3-63. Obter a função de transferência Y(s)/X(s). Admitir que a força de inércia devida às massas do êmbolo de potência e da haste possa ser desprezada em presença da massa m da carga e da força de atrito viscoso by. B-3-19. Linearizar a equação não-linear z = x 2 + 4xy + 6y2 na região definida por 8 ::; x ::; 10, 2::; y ::; 4. 112 Capítulo 3 / Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos 4 Análise de Resposta Transitória 1 INTRODUÇÃO Afirmou-se no Cap. 3 que o primeiro passo na análise de um sistema de controle era a obtenção de um modelo matemático do sistema. Uma vez obtido o modelo, dispõe-se de vários métodos para analisar o desempenho do sistema. Na prática, o sinal de entrada em um sistema de controle não é conhecido a priori; é de caráter aleatório e seus valores instantâneos não podem ser expressos analiticamente. Somente em alguns casos especiais se conhece, antecipadamente, o sinal de entrada sob forma analítica ou por meio de curvas, como no caso do controle automático de máquinas-ferramentas. Na análise e projeto de sistemas de controle, é necessário ter uma base para comparar o desempenho de vários desses sistemas. Esta base pode ser obtida especificando-se sinais de teste particulares a serem aplicados como entradas e comparando-se as respostas dos vários sistemas a esses sinais de entrada. Muitos dos critérios de projeto são baseados em tais sinais ou na resposta de sistemas a mudanças nas condições iniciais (sem qualquer sinal de teste). O uso de sinais de teste pode ser justificado pela correlação que existe entre as características da resposta do sistema a um sinal de entrada de teste típico e a capacidade deste sistema para responder aos sinais de entrada reais. Sinais de teste típicos. Os sinais de entrada para teste comumente usados são as funções degrau, rampa, aceleração, impulso, senoidal etc. Com estes sinais de teste, tanto a análise matemática quanto a análise experimental de sistemas de controle podem ser feitas com facilidade, uma vez que estes sinais são funções temporais muito simples. A determinação de qual ou quais destes sinais de entrada típicos devem ser usados para analisar características do sistema depende da forma de solicitação a que o sistema será sujeito, mais freqüentemente, sob condições normais de operação. Quando as excitações de um sistema de controle são representadas por funções que variam gradualmente com o tempo, então a solicitação em rampa pode ser um bom sinal de teste. Para sistemas sujeitos a perturbações de transição brusca, uma solicitação em degrau pode ser um bom sinal de teste; e, para sistemas submetidos a excitações do tipo surto, uma função impulso pode ser a melhor escolha. Uma vez projetado o sistema de controle com base nos sinais de teste, normalmente o desempenho do sistema para entradas reais é satisfatório. O uso de tais sinais de teste permite comparar o desempenho de todos os sistemas com relação a uma mesma base. Resposta transitória e resposta estacionária. A resposta temporal de um sistema de controle consiste em duas partes: a resposta transitória e a resposta estacionária. Entende-se por resposta transitória aquela que vai do estado inicial até o estado final. Por resposta estacionária entende-se a maneira como o sinal de saída do sistema se comporta quando t tende a infinito. Estabilidade absoluta, estabilidade relativa e erro estacionário. Ao projetar um sistema de controle, deve ser possível prever o comportamento dinâmico do sistema a partir do conhecimento dos componentes. A característica mais importante do comportamento dinâmico de um sistema de controle é a estabilidade absoluta, isto é, se o sistema é estável ou instável. Um sistema de controle está em equilíbrio se, na ausência de qualquer perturbação ou sinal de entrada, permanece no mesmo estado. Um sistema de controle linear e invariante no tempo é estável se a saída retorna ao seu estado de equilíbrio quando o sistema é submetido a uma condição inicial. Um sistema de controle linear e invariante no tempo é criticamente estável se o sinal de saída apresenta oscilações que se conservam indefinidamente. É instável se os valores do sinal de saída divergem sem limite do seu estado de equilíbrio quando o sistema é submetido a uma condição inicial. Em casos reais, o sinal de saída de um sistema físico só pode aumentar até um certo valor, sendo limitado por "batentes" mecânicos; ou então o sistema pode parar de funcionar ou se tornar não-linear após o valor do sinal de saída ultrapassar uma certa amplitude, de modo que as equações diferenciais lineares não são mais válidas. 113 Outros comportamentos (além da estabilidade absoluta) do sistema, que se devem considerar cuidadosamente, incluem a estabilidade relativa e o erro estacionário. Dado que um sistema de controle físico envolve armazenamento de energia, ao se aplicar a ele um sinal de entrada, o sinal de saída não pode seguir a excitação imediatamente, exibindo uma resposta transitória antes que um regime permanente possa ser estabelecido. A resposta transitória de um sistema de controle real muitas vezes apresenta oscilações amortecidas antes de alcançar um estado ou regime estacionário. Se os valores de saída de um sistema em regime estacionário não coincidem exatamente com os do sinal de entrada, diz-se que o sistema apresenta erro estacionário. Este erro indica a exatidão do sistema. Ao se analisar um sistema de controle, devem ser examinados o comportamento da resposta transitória e o comportamento em regime estacionário. Escopo do capítulo. Este capítulo se ocupa da resposta de sistemas a sinais aperiódicos (funções temporais tais como degrau, rampa, aceleração e impulso). O escopo do capítulo é o seguinte: a Seção 4-1 apresentou a matéria introdutória do capítulo. A Seção 4-2 trata da resposta de sistemas de primeira ordem a sinais de entrada aperiódicos. A Seção 4-3 trata da resposta transitória de sistemas de segunda ordem. São apresentadas análises detalhadas das respostas de sistemas de segunda ordem a excitações em degrau, em rampa e impulsional. análise da resposta transitória de sistemas de ordem mais alta é discutida no Cap. 5.) A Seção 4-4 fornece uma introdução à solução da resposta transitória através do enfoque do MATLAB. Na Seção 4-5 é apresentado um exemplo de solução da resposta transitória com o uso do MA TLAB. SISTEMAS DE Considere-se o sistema de primeira ordem mostrado na Fisicamente, este sistema pode representar um circuito um sistema térmico etc. Um diagrama de blocos simplificado é apresentado na 4-1 (b). A relação entrada-saída é dada por 1 Ts 1) 1 A seguir, serão analisadas as respostas do sistema a em degrau unitário, rampa unitária e impulso unitário. As condições iniciais são supostas nulas. Note-se que todos os sistemas com uma mesma função de transferência irão apresentar a mesma saída em resposta a uma determinada entrada. Dado um sistema físico, é possível atribuir à resposta matemática uma interpretação física. Resposta ao degrau unitário de sistemas de degrau unitário é 1/s, substituindo-se Como a transformada de Laplace da função 1/s na Eq. C(s) = - - 1 1s Expandindo C(s) em frações parciais, tem-se 1 Ts + 1 s Tomando a transformada inversa de Laplace da 1 s 1 s + (1/T) obtém-se c(t) = 1 para t 2:: ° (4-3) estabelece que, inicialmente, a saída cCt) é nula e finalmente se torna unitária. Uma das características importantes desta curva de resposta exponencial cCt) é que no instante t T o valor de c(t) é 0,632, ou seja, o valor da resposta cCt) alcançou 63,2% de sua excursão total. Isto pode ser visto facilmente substituindo-se t = Tem cCt). Ou c( 0,632 C(s) (a) (b) 4-1 (a) Diagrama de blocos de um sistema de primeira ordem; (b) diagrama de blocos simplificado. 1 4 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória · I nc I maçao c(t) 0.632 =TI c(t) =I - e-UT) t----f---jp'----t--J!oo- &2 V', &2 &2 r<', et5 Çi\ o' ('l Çi\ t t 3T 4T I o 2T T Çi\ 5T Fig. 4-2 Curva de resposta exponencial. Note-se que, quanto menor for a constante de tempo T, mais rápida será a resposta do sistema. Outra característica importante da curva de resposta exponencial é que a inclinação da tangente em t = O é lIT, pois de dt = le- 1iJ I T 1=0 1 T A saída alcançaria o valor final em t = T caso se mantivesse a sua velocidade inicial de resposta. Constata-se, a partir da Eq. (4-4), que a inclinação da curva de resposta cU) decresce monotonicamente de 1/T em t = O para zero em t = x. A resposta exponencial eCt) dada pela Eq. (4-3) é mostrada na Fig. 4-2. No intervalo de tempo correspondente a uma constante de tempo, a resposta exponencial foi de Oa 63,2% do valor final. Em duas constantes de tempo, a resposta alcança 86,5% do valor final. Em t = 3T, 4T e 5T, a resposta alcança 95%, 98,2% e 99,3%, respectivamente, do valor final. Portanto, para t 2: 4T, a resposta permanece dentro de 2% do valor final. Como visto a partir da Eq. (4-3), o regime estacionário é alcançado matematicamente somente após um tempo infinito. Na prática, entretanto, uma estimativa razoável do tempo de resposta é o tempo ql.Je a curva de resposta necessita para alcançar a linha de 2% do valor final, ou seja, quatro constantes de tempo. Considere-se o sistema indicado na Fig. 4-3. Para determinar experimentalmente se o sistema é ou não de primeira ordem, traça-se o gráfico da curva log leU) - e(x)l, onde eCt) é a saída do sistema, em função de t. Se ocorrer da curva ser uma reta, o sistema é de primeira ordem. A constante de tempo T pode ser lida do gráfico como sendo o tempo T que satisfaz a seguinte equação e(T) - e(x) 0,368 [e(O) - e(x)] Note-se que em vez de traçar o gráfico de log leCt) - e( x)1 em função de t, é conveniente fazer o gráfico de le(t) eCO) - e(x)1 em função de t em papel semilogarítmico, como visto na Fig. 4-4. Resposta a rampa unitária de sistemas de primeira ordem. Como a transformada de Laplace da função rampa unitária é 1/S2, obtém-se a saída do sistema da Fig. 4-1 (a) como sendo C(s) 1 1 Ts + 1 S2 Expandindo C(s) em frações parciais, tem-se c(t) r(t) - - - -.............; Sistema Fig. 4-3 Um sistema genérico. Seção 4-2 / Sistemas de Primeira Ordem 115 % 100 ---- dT) - 36,8 HH '-C't I I c(x) = 0,368lc(0) 6 8 c(x)1 20 <:'õ '-,-'~ ..::=~ 10 2 4 O Fig. 4-4 Gráfico de 12 10 Ic(t) - c(x)I/lc(O) - c(x)1 versus t em papel semilog. Tomando a transformada de Laplace inversa da Eq. (4-5), obtém-se c(t) = t - T + para t Te-ln, 2:: O o sinal de erro e(t) é então e(t) = r(t) - c(t) T(l - e-- IIT ) Quando t tende a infinito, e- 1fT tende a zero, e, portanto, o sinal de erro e(t) tende a T, ou seja, e(x) = T A excitação em rampa unitária e a saída do sistema são mostradas na Fig. 4-5. O erro do sistema para seguir um sinal de entrada em rampa unitária é igual a T para t suficientemente grande. Quanto menor a constante de tempo T, menor o erro estacionário ao seguir uma excitação em rampa. r(t) c(t) Erro estacionário 6T 4T 2T O 2T 4T 6T Fig. 4-5 Resposta do sistema mostrado na Fig. 4-1 (a) a uma excitação em rampa unitária. 116 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória c(t) T o 2T T 4T 3T Fig. 4-6 Resposta do sistema mostrado na Fig. 4-1 (a) a uma excitação em impulso unitário. Resposta ao impulso unitário de sistemas de primeira ordem. = I e a saída do sistema da Fig. 4-1 (a) podem ser obtidas como sendo Para uma excitação em impulso unitário, R(s) 1 C(s) c(t) Ts + 1 = -1e - l i ! para t:::::: O T (4-6) A curva de resposta dada pela Eq. (4-6) é mostrada na Fig. 4-6. Uma propriedade importante de sistemas lineares invariantes no tempo. Na análise vista acima, mos- trou-se que para uma excitação em rampa unitária a saída c(t) é c(t) = t - T + Te-II], para t:::::: O Para uma excitação em degrau unitário, que é a derivada da rampa unitária, a saída c(t) é c(t) = 1 - para t:::::: O Finalmente, para uma excitação em impulso unitário, que é a derivada do degrau unitário, a saída c(t) é 1 c(t) = T para t:::::: O A comparação das respostas do sistema a estas três entradas mostra claramente que a resposta à derivada de um sinal de entrada pode ser obtida derivando-se a resposta do sistema para o sinal original. Também pode-se ver que a resposta à integral do sinal original pode ser obtida integrando-se a resposta do sistema ao sinal original e determinando-se as constantes de integração a partir da condição inicial de saída nula. Esta é uma propriedade de sistemas lineares e invariantes no tempo. Sistemas lineares variantes no tempo e sistemas não-lineares não possuem esta propriedade. EXEMPLO 4-1 Seja o sistema de controle de nível apresentado na Fig. 4-7(a). (Supõe-se que o controlador é proporcional, isto é, o seu sinal de saída é proporcional ao seu sinal de entrada.) Admite-se que os valores de todas as variáveis, r, qi' h e q" são medidos em relação aos valores de regime permanente respectivos R, 71, H e 71. Admite-se também que a magnitude dos valores das variáveis r, qi' h e q" é suficientemente pequena de modo a aproximar o comportamento do sistema ao de um modelo matemático linear. Com base na Seção 3-8, pode-se obter a função de transferência do sistema de nível de líquido como sendo H(s) Q/s) Seção 4-2 / Sistemas de Primeira Ordem = R RCs 11 7 Tendo em vista que o controlador é do tipo proporcional, a variação da vazão de entrada qi é proporcional ao erro atuante e tal que qi KpK,.e, onde Kp é o ganho do controlador e K,. o ganho da válvula de controle. Em termos de transformada de Laplace, = Um diagrama de blocos deste sistema consta da Fig. 4-7(b). Um diagrama simplificado é dado na Fig. 4-7(c), onde X(s) = (l/Kb)R(s) , K KpK,RKb e T = RC. No que segue será investigada a resposta h(t) a uma mudança de valor do sinal de referência. Será admitida uma mudança em degrau unitário no valor de x(t), onde x(t) = (lIK/i)r(t). A função de transferência a malha fechada entre H(s) e X(s) é dada por H(s) _ X(s) K Ts (4-7) K Como a transformada de Laplace da função degrau unitário é 1/s, a substituição de X(s) 1/s na Eq. (4-7) fornece K H(s) - - - - Ts + 1 + K s A expansão de H(s) em frações parciais conduz a K H(s) =-- 1 K 1 K s 1 + K s + (1 + K)/T Tomando-se a transformada de Laplace inversa de ambos os membros desta última equação, obtém-se a solução no domínio do tempo h(t): h(t) K = -- K 1 (1 - e-ln;), para t 2': O (4-8) onde T K A curva da resposta h(t) está traçada na Fig. 4-7 (d). Constata-se, com base na Eq. (4-8), que a constante de tempo T 1 do sistema a malha fechada é diferente da constante de tempo T do bloco do caminho direto. A partir da Eq. (4-8) é possível ver que se t tender para infinito o valor de h(t) tenderá para K/(l + K), ou seja, h(x) K =-- 1 Como x(x) = 1, há um erro estacionário de U( 1 que o valor de K aumenta. + K K). Este erro é chamado erro residual (offset). Este valor se torna menor à medida R +,. H(s) (b) c +11 Q+q" ------..R Sinal de entrada x( t) h(t) (a) Erro residual K I +K -----------.~-~-----~~~~~ o (c) (d) 4-7 (a) Sistema de controle de nível de líquido; (b) diagrama de blocos; (c) diagrama de blocos simplificado; (d) curva h(t) versus t. 118 Capítulo 4 I Análise de Resposta Transitória o erro residual é uma característica do controle proporcional de processos que não disponham de elemento integrador. (Neste caso há necessidade de erro não-nulo na entrada do controlador para se obter sinal de saída não-nulo.) Para eliminar o erro residual é necessário acrescentar ação de controle integral. (Ver Seção 5-3.) Nesta seção será obtida a resposta de um sistema de controle de segunda ordem típico a uma excitação em degrau, rampa e impulso. Será considerado aqui um motor de conente contínua como exemplo de sistema de segunda ordem. Os motores de corrente contínua convencionais utilizam escovas mecânicas e coletores de comutação que requerem manutenção regularmente. Em virtude dos aperfeiçoamentos introduzidos nas escovas e nos coletores, contudo, muitos dos motores de conente contínua usados em servos sistemas podem ser operados praticamente sem manutenção. Alguns motores de corrente contínua utilizam comutação eletrónica. São os chamados motores de conente contínua sem escovas (brushless). Servomotores de corrente contínua Há muitos tipos de motores de corrente contínua em uso nas indústrias. Os motores de conente contínua empregados nos servossistemas são chamados servomotores de conente contínua. Nestes servomotores, a inércia do rotor tem sido reduzida a valores muito pequenos, resultando na disponibilidade de motores comerciais com elevada relação torque-momento de inércia. Alguns servomotores de conente contínua possuem constantes de tempo extremamente pequenas. Servomotores de corrente contínua de potência relativamente pequena são usados em instrumentos e equipamentos periféricos de computadores, tais como acionadores de disco e de fita, impressoras e máquinas de processamento de texto. Servomotores CC de média e alta potências são usados em sistemas robóticos, máquinas fresadoras de comando numérico etc. Nos servomotores CC, os enrolamentos de campo podem ser conectados em série com a armadura ou serem independentes do circuito de armadura. é, o campo magnético é produzido por um circuito separado.) Neste último caso, em que o campo é excitado separadamente, o fluxo magnético é independente da corrente de armadura. Em alguns servomotores o campo magnético é produzido por meio de um ímã permanente e, portanto, o fluxo magnético é constante. Tais servo motores CC são chamados servomotores de ímã permanente. Os servo motores CC com enrolamento de campo separado, bem como os servomotores CC de ímã permanente, podem ser controlados pela conente de armadura. Esta forma de controlar a saída do servomotor CC através da corrente de armadura é chamada controle de armadura. No caso em que a corrente de armadura é mantida constante e a velocidade é controlada pela tensão de campo, o motor de corrente contínua é chamado de motor CC controlado pelo campo. (Alguns sistemas de controle de velocidade utilizam motores de corrente contínua controlados pelo campo.) O requisito de conente de armadura constante, contudo, constitui uma séria desvantagem. (Prover uma fonte de conente constante é muito mais difícil do que prover uma fonte de tensão constante.) As constantes de tempo de motores de corrente contínua controlados pelo campo em geral são grandes em comparação com as constantes de tempo de motores de tamanho equivalente, controlados pela armadura. Os servomotores CC também podem ser acionados por um controlador eletrónico de movimento, freqüentemente chamado servo-acionador, numa combinação acionador-motor. O servo-acionador controla o movimento do servomotor CC e opera de vários modos. Alguns dos recursos são o posicionamento ponto a ponto, o perfil de velocidade e a aceleração programada. A utilização de controladores eletrónicos de movimento empregando acionadores com modulação por largura de pulsos pulse-width-n1Odulated) para controlar servomotores CC é freqüentemente vista em sistemas robóticos, sistemas de comando numérico e em outros sistemas de controle de posição e/ou velocidade. No que se segue, será discutido o controle de armadura de servomotores de corrente contínua. Um servossistema. Considere-se o servos sistema mostrado na Fig. 4-8(a). O objetivo deste sistema é controlar a posição da carga mecânica de acordo com a posição de referência. A operação deste sistema é a seguinte: um par de potenciómetros age como dispositivo de medição de erro. Eles convertem as posições de entrada e saída em sinais elétricos proporcionais. O sinal de entrada de comando determina a posição angular r do cursor do potenciómetro de entrada. A posição angular r é a entrada de referência para o sistema, e a tensão elétrica do cursor é proporcional à posição angular do cursor. A posição angular do eixo de saída determina a posição angular c do cursor do potenciómetro de saída. A diferença entre a posição angular de entrada r e a posição angular de saída c constitui o sinal de erro e, ou seja, e r - c A diferença de tensão e, - e c e\ é a tensão de erro, onde e, é proporcional a r e e c é proporcional a c; ou seja, e, = e ec = sendo uma constante de proporcionalidade. O sinal de erro que aparece nos terminais dos potenciómetros é amplificado pelo amplificador cuja constante de ganho é . A tensão de saída deste amplificador é aplicada ao circuito de armadura do motor Cc. (O amplificador deve ter uma impedância de entrada muito alta porque os potenciómetros são essencialmente circuitos de alta impedância e não toleram consumo de corrente. Ao mesmo tempo, o amplificador deve ter impedância de saída baixa, pois ele alimenta o circuito de armadura do motor.) Uma tensão fixa é aplicada ao enrolamento de campo. Quando existe um erro, o motor desenvolve um torque para girar a carga de saída de tal forma a reduzir o erro a zero. Para corrente de campo constante, o torque desenvolvido pelo motor é T Seção 4-3 / Sistemas de Segunda Ordem 119 Sinal de referência Potenciómetro de entrada ---11 )rL, ~ ! dJf, ~~! I Dispositivo de e~trada Dispositivo de medição de erro Amplificador Motor Trem de Engrenagens Carga (a) C(s) (c) (b) Fig. 4-8 (a) Diagrama esquemático de servossistema; (b) diagrama de blocos do sistema; (c) diagrama de blocos simplificado. onde K2 é a constante de torque do motor e i{/ é a corrente de armadura. Note-se que a inversão de polaridade da corrente i" implica a inversão de sinal do torque T, o que acarretará uma inversão no sentido de rotação do eixo do motor. Quando a armadura estiver girando, será induzida na armadura uma tensão elétrica proporcional ao t1uxo e à velocidade angular. Com um t1uxo constante, a tensão induzida eh é diretamente proporcional à velocidade angular d8/dt, ou seja, (4-9) onde e/; é a força contra-eletromotriz, K3 é a constante de força contra-eletromotriz do motor, e 8 é o deslocamento angular do eixo do motor. A velocidade de um servomotor CC controlado pela armadura é controlada por meio da tensão e{/ aplicada à armadura. (A tensão e{/ = Kte,. é a saída do amplificador.) A equação diferencial para o circuito de armadura é ou seja, (4-10) A equação para equilíbrio de torque é (4-11) onde lo é a inércia da combinação motor, carga e trem de engrenagens referidos ao eixo do motor e ho é o coeficiente de atrito viscoso da combinação motor, carga e trem de engrenagens referidos ao eixo do motor. A função de transferência entre o deslocamento angular do eixo do motor e o sinal de erro é obtida a partir das Eqs. (4-10) e (4-11) como se segue 6(s) EJs) (4-12) onde 6(s) = ~[8(t)] e EJs) = ~[eJt)]. Supõe-se que a relação das engrenagens do trem é tal que o eixo de saída gira n vezes para cada revolução do eixo do motor. Portanto, C(s) = n6(s) 120 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória (4-13 ) onde C(s) = ~[c( t)] e c( t) é o deslocamento angular do eixo de saída. A relação entre EJ s), R( s) e C( s) é Eis) = Ko[R(s) - C(s)] = KoE(s) (4-14) onde R(s) ~[r(t)]. O diagrama de blocos deste sistema pode ser construído a partir das Eqs. (4-12), (4-l3) e (4-14), como é visto na Fig. 4-8(b). A função de transferência do percurso direto deste sistema é G(s) C(s) 0(s) Ev(s) = KOK]K2n 0(s) Eis) E(s) s[(L{/s + R(J(Jos + b o) + K 2K 3] Como o valor de La é normalmente pequeno, ele pode ser desprezado, e a função de transferência do percurso direto se torna G(s) s[ R{/(Jos + b o) + K 2K 3] KOK]K2nIR{/ 1oS2 + (b K o + K2R 3)S (4-15) {/ O termo [b o + (K2K/Ra)Js indica que a força contra-eletromotriz do motor tem o efeito de aumentar o atrito viscoso do sistema. A inércia lo e o coeficiente de atrito viscoso [bo + (K2K/Ra)] estão referidos ao eixo do motor. Se lo e [b o + (K2K/ Ra)J forem multiplicados por lIn 2 , a inércia e o coeficiente de atrito viscoso serão referidos ao eixo de saída. Introduzindose novos parâmetros definidos por 1 = lc1n2 momento de inércia referido ao eixo de saída B = [bo + (K2K/R(,)Jln 2 = coeficiente de atrito viscoso referido ao eixo de saída K = KOK]KinRa pode-se simplificar a função de transferência G( s) dada pela Eq. (4-15) resultando K G(s) = -ls-2-+-B-s ou C(s) =-----.:.:..::..s(T,ns + 1) (4-16) onde O diagrama de blocos do sistema mostrado na Fig. 4-8(b) é então simplificado como visto na Fig. 4-8( c) A seguir, serão investigadas as respostas dinâmicas deste sistema à excitação em degrau unitário, rampa unitária e impulso unitário. Das Eq s. (4-15) e (4-16) pode-se ver que as funções de transferência envolvem o termo 1Is. Assim, este sistema possui a propriedade de integração. Na Eq. (4-16) observa-se que a constante de tempo do motor é tão menor quanto menores forem os valores de Ra e lo. Com lo pequeno, à medida que a resistência RiI é reduzida, a constante de tempo do motor tende a zero e o motor se comporta como um integrador ideal. Efeito de carga na dinâmica do servomotor. A mais importante dentre as características de um servomotor é o valor máximo de aceleração que se pode obter. Para um determinado valor de torque, o momento de inércia do rotor deve ser mínimo. Como o servomotor opera sob condições que variam continuamente, ocorrem a cada instante aceleração e desaceleração do rotor. O servomotor tanto deve ser capaz de absorver quanto de gerar energia mecânica. O desempenho do servomotor, quando usado como freio, deve ser satisfatório. Sejam 1 e b respectivamente, o momento de inércia e o coeficiente de atrito viscoso do rotor, e sejam l L e bv respectivamente, o momento de inércia e o coeficiente de atrito viscoso da carga, referidos ao eixo de saída. Admita-se que o momento de inércia e o coeficiente de atrito viscoso do trem de engrenagens sejam desprezíveis ou estejam incluídos, 111 Seção 4-3 / ll1 , Sistemas de Segunda Ordem 121 respectivamente, em JL e b L • Assim, o momento de inércia equivalente e o coeficiente de amortecimento viscoso equivalente beq , referidos ao eixo do motor, podem ser escritos como (para maiores detalhes, ver o Problema A-4-4) n 2JL Jeq = + b eq = b m + n 2fL onde n( n < 1) é a relação de engrenagem entre o eixo do motor e o eixo da carga. Se a relação de engrenagem n for pequena e J m ~ n2Jv então o momento de inércia da carga referida ao eixo motor é desprezível em relação ao momento de inércia do rotor. Um argumento similar se aplica ao atrito viscoso. Em geral, quando a relação de engrenagem n é pequena, a função de transferência do servomotor elétrico pode ser obtida sem levar em conta o momento de inércia e o atrito viscoso da carga. Contudo, se nem JI/1 nem n 2JL forem pequenos um em relação ao outro, deve-se utilizar o valor do momento de inércia equivalente J cq na determinação da função de transferência do conjunto motor-carga. Resposta de sistemas de segunda ordem à excitação em degrau. A função de transferência de malha fechada do sistema mostrado na Fig. 4-8( c) é C(s) = K Js 2 + Bs R(s) (4-17) K que pode ser reescrita como K J R(s) + B 2J Os pólos a malha fechada são complexos se Bê. sitória, é conveniente escrever B +-- + 4JK < O, e são reais se B 2 K _ 2 J -(JJn' 18) 2J B J = - 4JK :2': O. Para a análise da resposta tran- 2 Sr (JJ n = 20 onde (J" é chamado de atenuação, W é afreqüência natural não-amortecida e ~ é o coeficiente de amortecimento do sistema. O coeficiente de amortecimento ~ é a relação entre o amortecimento real B e o amortecimento crítico Bc = 2~ JK , ou seja, Il , Em termos de ~ e de W o sistema mostrado na Fig. 4-8( c) pode ser modificado de acordo com o mostrado na Fig. 4-9 e a função de transferência a malha fechada C( s )/R(s) dada pela Eq. (4-18) pode ser escrita Il , C(s) R(s) (4-19) O comportamento dinâmico dos sistemas de segunda ordem pode então ser descrito em função de dois parâmetros ~ e W Se O < ~ < 1, os pólos a malha fechada são complexos conjugados e se situam no semiplano esquerdo do plano s. O Il C(s) Fig. 4-9 Sistema de segunda ordem. 122 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória • sistema então é dito subamortecido, e a resposta transitória é oscilatória. Se ~ = 1, o sistema é dito criticamente amortecido. Sistemas superamortecidos correspondem a ~ > 1. A resposta transitória de sistemas amortecidos criticamente e superamortecidos não oscila. Se ~ = O, a resposta transitória não decai. Será determinada, agora, a resposta do sistema mostrado na Fig. 4-9 a uma excitação em degrau unitário. Consideramse três casos diferentes: o subamortecido (O < ~ < 1), o criticamente amortecido (~ = 1) e o superamortecido (~ > 1). -,---,_C_as_o_su_b_a_m_o_rt_e_cl_·d_o--,,-_-=_--,--Neste caso, C(s)/R(s) pode ser escrita A freqüência onde Wc! = W unitário, C(s) pode ser escrita como I1 • Wd é chamada de freqüência natural amortecida. Para uma excitação em degrau I w~ (4-20) C(s) = (:-,2 + 2TW s + ( 2 )s ':> n n A transformada de Laplace inversa da Eq. (4-20) pode ser obtida facilmente se C(s) for escrita sob a seguinte forma: 1 s + C(s) = - - ------'-'-S S2 + 2~ wns + w~ 1 S No Cap. 2 foi mostrado que Portanto, a transformada de Laplace inversa da Eq. (4-20) é obtida como se segue: [C(s)] = c(t) para t 2:: O (4-21) Este resultado pode ser obtido diretamente usando-se uma tabela de transformadas de Laplace. Da Eq. (4-20) pode-se ver que a freqüência da oscilação transitória é a freqüência natural amortecida W d e, portanto, varia com o coeficiente de amortecimento ~. O sinal de erro para este sistema é a diferença entre a entrada e a saída, e é e(t) = r(t) - c(t) =e '''',I ( CDS (;)"t + -==== sen mJ ) para t 2> O Este sinal de erro apresenta uma oscilação senoidal amortecida. Em regime permanente, ou em t = 0::::, não existe erro entre a entrada e a saída. Se o coeficiente de amortecimento ~ for igual a zero, a resposta se toma não-amortecida e as oscilações continuam indefinidamente. A resposta c(t) para o caso de amortecimento nulo pode ser obtida substituindo-se ~ = Ona Eq. (4-21), resultando c(t) = 1 Seção 4-3 / Sistemas de Segunda Ordem COS wi, para t 2:: O (4-22) 123 Portanto, da Eq. (4.22) vê-se que W n representa a freqüência natural não-amortecida do sistema. Isto é, W n é a freqüência em que o sistema oscilaria se o amortecimento fosse reduzido a zero. Se o sistema linear tiver amortecimento, mesmo que só um pouco, a freqüência natural não-amortecida não poderá ser observada experimentalmente. A freqüência que pode ser observada é a freqüência natural amortecida W d , que é igual a mn ~l - ç . Esta freqüência é sempre menor que a freqüência natural não-amortecida. Um aumento em ~ irá reduzir a freqüência natural amortecida W". Se o valor de ~ for aumentado além da unidade, a resposta se tornará superamortecida e não irá oscilar. (2) Caso criticamente amortecido (~ = 1): Se os dois pólos de C(s)lR(s) forem aproximadamente iguais, o sistema pode ser aproximado por um com amortecimento crítico. 1/s e C(s) pode ser escrita Para uma excitação em degrau unitário, R(s) C(S) (s + UJn (4-23) )2s A transformada de Laplace inversa da Eq. (4-23) pode ser determinada como sendo cU) Este resultado pode ser obtido fazendo-se ~ (4-24) 1 tender a 1 na Eq. (4-21) e usando-se o seguinte limite: (3) Caso superamortecido (~ > 1): Neste caso, os dois pólos de C(s)lR(s) são reais, negativos e distintos. Para uma exci1/s e C( s) pode ser escrita tação em degrau unitário, R( s) C(s) = ------==~-------;:::==- (s + ~UJn + A transformada de Laplace inversa da Eq. (4-25) é c(t) = 1 + ---===-----===- = 1+ UJ n 2vÇZ=l (e- SII SI eS--?S:I) , para t _ :2:: O (4-26) onde SI = (( + ~ (2 - 1)mn e S2 = (( - ~ ç - 1)m n • Portanto, a resposta c( t) inclui dois termos de exponencial decrescente. Quando ~ for consideravelmente maior que a unidade, uma das duas exponenciais decrescentes decai mais rapidamente que a outra, de tal forma que o termo da exponencial mais rápida (que corresponde a uma constante de tempo menor) pode ser desprezado. Isto é, se -S2 estiver localizado muito mais perto do eixojw do que -SI (o que significa Is 21~ Isll), então para se obter uma solução aproximada pode-se desprezar - SI. Isto é permissível porque o efeito de - SI na resposta é muito menor que o de -S2' pois o termo contendo SI na Eq. (4-26) decai muito mais rapidamente do que o termo contendo S2. Uma vez que o termo exponencial mais rápido desaparece, a resposta é similar à de um sistema de primeira ordem, e C( s)/R( s) pode ser aproximada por C(s) _ R(s) ----~--~~-===== Esta forma aproximada é uma conseqüência direta do fato de que os valores inicial e final tanto da C(s)/R(s) original como da aproximação coincidem. Com a função de transferência C(s)/R(s) aproximada, a resposta ao degrau unitário pode ser obtida como C(s) = c ~~1 Ç,UJ n - UJ n V Ç,- - 1 (s + ~UJn - UJnvÇZ=l)s 124 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória 2,0 1.8 1.6 IA 1.2 cU) LO 0,8 0,6 OA 0.2 2 ° 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 w,/ Fig. 4-10 Curvas de resposta do sistema mostrado na Fig. 4-9 a uma excitação em degrau unitário. A resposta temporal c( t) é então c(t) = 1 - para t 2': O Isto fornece uma resposta aproximada ao degrau unitário quando um dos pólos de C( s )/R(s) pode ser desprezado. Na Fig. 4-10 mostra-se uma família de curvas de c(t) para diversos valores de ~, tendo como abcissa adimensional a variável wJ. As curvas são funções unicamente de~. Estas curvas são obtidas a partir das Eqs. (4-21), (4-24) e (4-26). O sistema descrito por estas equações se encontrava inicialmente em repouso. Note-se que dois sistemas de segunda ordem que têm o mesmo valor de ~ mas diferentes valores de W terão o mesmo valor de ultrapassagem e o mesmo padrão oscilatório. Diz-se que tais sistemas possuem a mesma estabilidade relativa. É importante notar que as curvas de resposta ao degrau de sistemas de segunda ordem cujas funções de transferência a malha fechada sejam diferentes da fornecida pela Eq. (4-19) podem ser bem diferentes das mostradas na Fig. 4-10. Da Fig. 4-10 vê-se que um sistema subamortecido com valores de ~ entre 0,5 e 0,8 chega perto do valor final mais rapidamente que um sistema com amortecimento crítico ou um sistema superamortecido. Entre os sistemas que respondem sem oscilações, um sistema com amortecimento crítico apresenta a resposta mais rápida. Um sistema superamortecido sempre é lento ao responder a quaisquer excitações. ' I1 Definições de especificações de regime transitório. Em muitos casos práticos, as características de desempenho desejadas de sistemas de controle são especificadas em termos de grandezas no domínio do tempo. Sistemas com armazenamento de energia não podem responder instantaneamente e terão respostas transitórias sempre que submetidos a excitações ou a perturbações. Freqüentemente, as características de desempenho de um sistema de controle são especificadas em termos da resposta transitória a uma excitação em degrau unitário, pois este sinal é fácil de ser gerado e corresponde a uma solicitação suficientemente severa. (Conhecendo-se a resposta a uma excitação em degrau, é matematicamente possível computar a resposta para qualquer outro tipo de sinal.) A resposta transitória de um sistema a uma excitação em degrau unitário depende das condições iniciais. Por uma questão de conveniência na comparação de respostas transitórias de vários sistemas, constitui uma praxe usar a condição inicial padrão de que o sistema está inicialmente em repouso com valor nulo da variável de saída e de todas as suas derivadas. Assim, as características do sinal de resposta podem ser facilmente comparadas. N a prática, a resposta transitória de um sistema de controle freqüentemente apresenta oscilações amortecidas antes de alcançar o estado ou regime estacionário. Ao especificar as características de resposta transitória de um sistema de controle a uma excitação em degrau unitário, é comum especificar-se o seguinte: 1. 2. 3. 4. 5. Tempo de atraso, t d Tempo de subida, t, Instante de pico, tI' Máximo valor de ultrapassagem, Tempo de acomodação, ( MI' Estas especificações são definidas, a seguir, e mostradas graficamente na Fig. 4-11. Seção 4-3 / Sistemas de Segunda Ordem 125 dt) Tolerância aceitável 0,5 ° ~--~-+--+-------------~----------------------~ ~----- t,--------lo-I Fig. 4-11 Curva de resposta ao degrau unitário mostrando f d , tr' tp ' MI) e t,. 1. Tempo de atraso, t d : o tempo de atraso é o tempo necessário para que a resposta alcance, pela primeira vez, a metade do valor final. 2. Tempo de subida, tr: o tempo de subida é o tempo necessário para que a resposta passe de 10% a 90%, de 5% a 95%, ou de 0% a 100% do seu valor final. Para sistemas de segunda ordem subamortecidos, normalmente se usa o tempo de subida de 0% a 100%. Para sistemas de segunda ordem superamortecidos, o tempo de subida normalmente usado diz respeito ao intervalo de 10% a 90%. 3. Instante de pico, tI': o instante de pico é o tempo necessário para que a resposta alcance o primeiro pico de ultrapassagem. 4. Máxima ultrapassagem (percentual), Mp: a máxima ultrapassagem é o máximo valor de pico da curva de resposta medido a partir do valor unitário. Quando o valor final de regime estacionário da resposta difere da unidade, é comum usar-se a máxima ultrapassagem percentual, definida por - c( 00) c( 00) Máxima ultrapassagem percentual = --'--'---- x 100% o valor de máxima ultrapassagem (percentual) indica diretamente a estabilidade relativa do sistema. 5. Tempo de acomodação, t,: o tempo de acomodação é o tempo necessário para que a curva de resposta alcance valores dentro de uma faixa em torno do valor final e aí permaneça. O intervalo de valores no interior da faixa é especificado por uma porcentagem absoluta do valor final (normalmente 2% ou 5%). O tempo de acomodação está relacionado com a maior constante de tempo do sistema de controle. A escolha de que porcentagem usar no critério de erro pode ser determinada a partir dos objetivos do projeto do sistema em questão. As especificações de domínio de tempo que se acabou de fornecer são bastante importantes, visto que a maioria dos sistemas de controle são sistemas no domínio do tempo, isto é, eles devem apresentar respostas temporais aceitáveis. (Isto significa que o sistema de controle deve ser modificado até que a resposta transitória seja satisfatória.) Observe-se que se forem especificados os valores de td, tr' tp' t, e Mp, então a forma da curva de resposta estará virtualmente determinada. Isto pode ser visto claramente na Fig. 4-12. cU) Para t > t s a resposta permanece no interior desta faixa. ° Fig. 4-12 Especificações de regime transitório. 126 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória jw Fig. 4-13 Definição do ângulo (3. Note-se que nem todas estas especificações se aplicam necessariamente a qualquer caso dado. Por exemplo, para um sistema superamortecido, os termos instante do pico e máxima ultrapassagem não se aplicam. (Para sistemas que apresentam erros de regime estacionário a excitações em degrau, este erro deve ser mantido dentro de um nível percentual especificado. Discussões detalhadas de erros de regime estacionário são apresentadas mais adiante, na Seção 5-10.) Alguns comentários sobre especificações de respostas transitórias. Exceto em certas aplicações, onde não se podem tolerar oscilações, é desejável que a resposta transitória seja suficientemente rápida e suficientemente amortecida. Portanto, para uma resposta transitória aceitável de um sistema de segunda ordem, o coeficiente de amortecimento deve estar situado entre 0,4 e 0,8. Valores menores para ~(~ < 0,4) acarretam valores de máxima ultrapassagem excessivos na resposta transitória, e um sistema com um valor grande de ~(~ > 0,8) responderá de forma lenta. Será visto, mais tarde, que a máxima ultrapassagem e o tempo de subida são especificações conflitantes. Em outras palavras, não se pode minimizar a máxima ultrapassagem e o tempo de subida simultaneamente. Se um deles for reduzido, o outro necessariamente aumentará. Sistemas de segunda ordem e especificações de resposta transitória. A seguir serão obtidas expressões para determinar o tempo de subida, o instante de pico, a máxima ultrapassagem e o tempo de acomodação de sistemas de segunda ordem descritos pela Eq. (4-19). Estes valores serão obtidos em termos de ;; e Wi1' Supõe-se que o sistema seja subamortecido. . Referindo-se à Eq. (4-21), obtém-se o tempo de subida t, fazendo e(t,) = 1 ou seja, ----''--------'- 1 (4-27) Como e-çw"t, i= 0, obtém-se o seguinte resultado com base na Eq. (4-27): ou úJd a Em conseqüência, o tempo de subida tr é (4-28) onde f3 é definido na Fig. 4-13. É claro que um valor pequeno de t, impõe que se tenha um valor grande para W d• Instante do pico t,,: Com base na Eq. (4-21) pode-se obter o instante do pico derivando-se e(t) com relação ao tempo e fazendo a derivada igual a zero. Assim, -de = dt r n + Seção 4-3 / 'rw çúJ e~L,,, Sistemas de Segunda Ordem l( cos úJ ti t e~L,W,,1 (euii sen euti t 127 Nesta última equação, os tennos envolvendo cosseno se cancelam e de(t)/dt, calculado em t de dt I l=l ( sen úJti tp ) úJn VI _ ~2 ' e-C,OJ"ll' = tI" pode ser simplificado para =O I' Isto fornece a seguinte equação ou Como o instante do pico corresponde ao primeiro pico da ultrapassagem, wil' = 7T. Portanto, (4-29) o instante do pico tI' corresponde ao meio ciclo de freqüência da oscilação amortecida. Máximo valor de ultrapassagem Mp: O máximo valor de ultrapassagem ocorre no instante do pico, ou seja, em t = Portanto, da Eq. (4-21), MI' é obtido como sendo tfi = 7T/Wd . (4-30) O valor máximo de ultrapassagem percentual é e-(r:ylwd)n X 100%. Tempo de acomodação t,: Para um sistema subamortecido de segunda ordem, a resposta transitória é obtida a partir da Eq. (4-21) como sendo c(t) = 1 para t:::::: O As curvas 1 ± (e- SWnr / ~1 - Ç2) são as envoltórias da resposta transitória a uma excitação em degrau unitário. A curva de resposta e( t) sempre permanece no interior do espaço delimitado pelo par de envoltórias, conforme mostrado na Fig. 4-14. A constante de tempo destas curvas envoltórias é 1/ ~Wl/' c(t) 1+_1_ JI -(- "'11- Fig. 4-14 Par de curvas envoltórias da resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Fig. 4-9. 128 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória A velocidade de decaimento da resposta transitória depende do valor da constante de tempo 11 twn • Para um dado valor de W'l' o tempo de acomodação t, é uma função do coeficiente de amortecimento ~. Da Fig. 4-10 vê-se que para o mesmo valor de W n e para a gama de valores de ~ entre e 1, o tempo de acomodação t" para um sistema ligeiramente amortecido, é maior do que para um sistema adequadamente amortecido. Para um sistema superamortecido, o tempo de acomodação t, se torna grande por causa do início lento da resposta. O tempo de acomodação cOlTespondente a uma faixa de tolerância de ±2% ou ±5% pode ser medido em termos da constante de tempo T = 11t W'l' a partir das curvas da Fig. 4-10 para diferentes valores de { Os resultados são mostrados na Fig. 4-15. Para < ~ < 0,9, se for utilizado o critério de 2%, então t, é aproximadamente quatro vezes a constante de tempo do sistema. Se for utilizado o critério de 5%, então t, é aproximadamente três vezes a constante de tempo. Note-se que o tempo de acomodação alcança um valor mínimo em torno de ~ = 0,76 (para o critério de 2%) ou ~ = 0,68 (para o critério de 5%) e depois aumenta quase linearmente para grandes valores de ~. As descontinuidades nas curvas da Fig. 4-15 surgem porque uma variação infinitesimal no valor de ~ pode causar uma variação finita no tempo de acomodação. Por conveniência, na comparação das respostas dos sistemas comumente definem-se os valores de tempo de acomodação ts como sendo ° ° 4T L = 4 4 a ~ú11 =- S (critério de 2%) (4-31) ou tI' = 3 3 a ~ú11 ---- 3T (critério de 5%) (4-32) Note-se que o tempo de acomodação é inversamente proporcional ao produto do coeficiente de amortecimento pela freqüência natural não-amortecida do sistema. Como o valor de ~ é normalmente determinado a partir da especificação requerida de máximo valor de ultrapassagem, o tempo de acomodação é determinado principalmente pela freqüência natural não-amortecida WII' Isto significa que a duração do período transitório pode ser variada, sem modificar o valor máximo de ultrapassagem, pelo ajuste da freqüência natural não-amortecida W Da análise anterior, fica evidente que para uma resposta rápida, w" deve ser grande. Para limitar o valor máximo de ultrapassagem Mp e fazer o tempo de acomodação pequeno, o coeficiente de amortecimento ~ não deve ser muito pequeno. A relação entre o valor máximo de ultrapassagem percentual MI' e o coeficiente de amortecimento ~ é apresentada na Fig. 4-16. Convém observar que se o coeficiente de amortecimento estiver situado entre 0,4 e 0,8, então o valor máximo de ultrapassagem percentual para resposta ao degrau estará entre 25% e 2,5%. I1 • 6T I / /1 II 5T de 2% 1 \ \ .: 4T Ó / I /C':j c..y, /1 7 ~ r-- 1/ (':j '"d o E o() 3T ro o o. E ~ 2T v. . . / .~ /1'"'"'1 I I V / I ; V':/ I '/ de ,Co II I 1 K \ :V F< I, V I ;(10 T 0,3 0,4 0,5 0.6 0,7 0.8 0,9 1.0 I: Fig. 4-15 Curvas de tempo de acomodação t, versus Seção 4-3 / Sistemas de Segunda Ordem ~. 129 % 100 90 80 70 60 A11' 50 40 ~ \ R(s) \ \ w,f = ~2 + 2(wns + ~ MI': Valor máximo de ultrapassagem \ \ : '" '" 30 '\ 20 ..... "", 10 ~ r-- • I LO 0.5 O 1,5 versus ,. Fig. 4-16 Curva de EXEMPLO 4-2 Seja considerado o sistema mostrado na Fig. 4-9, onde' = 0,6 e W n = 5 rad/s. Serão obtidos o tempo de subida t" o instante do pico a máxima ultrapassagem MI' e o tempo de acomodação t, quando o si~tema for submetido a uma solicitação em degrau unitário. Com base nos valores dados de , e W n' obtém-se W(/ = W n ~l - ç = 4 e (T = ~wn 3. t, onde =~ tI" 3,14 - (3 4 f3 é dado por (3 = tan- 1 = a tan" [ 4 3 = 093 rad ' - o tempo de subida t, é então t, = 3,14 4 0,93 = 0,55 sec Instante de pico tI): O instante de pico é 3,14 7í 0,785 sec Valor máximo de ultrapassagem MI): O valor máximo de ultrapassagem é = 0,095 O valor máximo de ultrapassagem percentual é então 9,5%. Tempo de acomodação t,: Para o critério de 2%, o tempo de acomodação é 4 a tI 4 3 1,33 sec Para o critério de 5%, 3 tI a 3 3 1 sec Servossistema com retroação de velocidade. A derivada do sinal de saída pode ser utilizada para melhorar o desempenho do sistema. Na obtenção da derivada do sinal de saída de posição, é desejável recorrer ao uso de um tacómetro 130 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória C(s) (a) C(s) K (b) Fig. 4-17 (a) Diagrama de blocos de um servossistema; (b) diagrama de blocos simplificado. em vez de derivar fisicamente o sinal de saída. (Note-se que a derivação amplifica os efeitos do ruído. Na realidade, na presença de ruídos com descontinuidade, a derivação amplifica mais o ruído do que o sinal útil. Por exemplo, a saída de um potenciómetro é um sinal de tensão com descontinuidades em decorrência do movimento do cursor sobre as espiras. São induzidas tensões na ação de comutação de uma espira para outra, gerando, assim, sinais transitórios. Por conseguinte, o sinal de saída de um potenciómetro não deve ser seguido de um elemento derivador.) Seja o servos sistema mostrado na Fig. 4-17(a). Neste dispositivo, o sinal de velocidade, juntamente com o sinal de posição, retroage para produzir o sinal de erro atuante. Em qualquer servos sistema o sinal de velocidade pode ser gerado por meio de um tacómetro. O diagrama de blocos mostrado na Fig. 4-17(a) pode ser simplificado, conforme indicado na Fig. 4-17(b), produzindo C(s) = R(s) Is2 K + (B + KKf7)s + K (4-33) Comparando-se a Eq. (4-33) com a Eq. (4-17), observa-se que a retroação de velocidade tem por efeito o aumento do amortecimento. A relação ~ de amortecimento se torna (4-34) A freqüência natural não-amortecida úJ = ~ K/J não é afetada pela retroação de velocidade. Observando-se que o valor máximo de ultrapassagem na resposta a uma excitação em degrau unitário pode ser controlado através do valor do coeficiente de amortecimento ~, é possível reduzir o valor máximo de ultrapassagem ajustando-se o valor da constante de retroação de velocidade K", de modo a situar ~ entre 0,4 e 0,7. Convém lembrar que a retroação de velocidade tem o efeito de aumentar a relação de amortecimento sem afetar a freqüência natural não-amortecida do sistema. lI EXEMPLO 4-3 Para o sistema mostrado na Fig. 4-17 (a), determinar os valores de ganho K e a constante de retroação de velocidade K" de modo que o valor máximo de ultrapassagem na resposta a um degrau unitário seja 0,2, e que o instante de pico tI' seja 1 s. Com estes valores de K e obter o tempo de subida e o tempo de acomodação. Admitir que J = 1 kg-m 2 e B = 1 N-m/rad/s. Determinação dos valores de K e K,,: O valor máximo de ultrapassagem Mp é dado pela Eq. (4-30) como sendo Este valor deve ser 0,2. Assim, 0,2 Seção 4-3 / Sistemas de Segunda Ordem 131 ou --:==== = 1,61 o que conduz a l; o instante de pico tI' foi especificado com o valor de 0,456 Is; por conseguinte, a partir da Eq. (4-29), ou úJd = Como o valor de ~ é 0,456, úJn 3,14 é ---;:== = Como a freqüência natural não-amortecida úJn é igual a K ~ KIJ 3,53 , úJ~ = 12,5 N-m JúJ;; Daí, com base na Eq. (4-34), o valor de K" é 2VKJl; - B K =------='--- _ - - ' -_ _ _ _...l-. K K Iz - 1 = 0,178 s Da Eq. (4-28), o tempo de subida tr é tr n-f3 =-- úJ" onde f3 tan -1 úJ -----.!!... = a tan -1 1,95 = 1,10 Assim, tr vale 0,65 s ti Tempo de acomodação t,: Para o critério de 2%, t, 4 = - a = 2,48 s Para o critério de 5%, t, 1,86 s a Resposta impulsionaI de sistemas de segunda ordem. Para uma excitação r(t) em impulso unitário, a correspondente transformada de Laplace é unitária, ou seja, R(s) = l. A resposta ao impulso unitário C(s) do sistema de segunda ordem mostrada na Fig. 4-9 é A transformada de Laplace inversa desta equação conduz à solução temporal para a resposta c(t) a seguir: Para O :S ~ < 1, c(t) 132 Capítulo 4 / = ---==== Análise de Resposta Transitória (4-35) Para ~ = 1, (4-36) c(t) Para' > 1, VÇ;~ )w"t cU) para t :::::: O (4-37) Observe-se que é possível obter a resposta temporal c(t), sem uso da transformada de Laplace inversa de C(s), derivando-se a correspondente resposta a degrau unitário em relação ao tempo, uma vez que a função impulso unitário é a derivada temporal da função degrau unitário. Uma família de curvas de resposta a impulso unitário dadas pelas Eqs. (4-35) e (4-36) com vários valores de , é mostrada na Fig. 4-18. As curvas c(t)/w são traçadas em função da variável adimensional w}, e portanto são funções apenas de ~. Para os casos de amortecimento crítico e superamortecimento, a resposta ao impulso unitário é sempre positiva ou nula, isto é c(t) > O. Isto pode ser visto nas Eqs. (4-36) e (4-37). Para o caso subamortecido, a resposta ao impulso unitário c(t) oscila em torno de zero e assume valores positivos e negativos. Da análise anterior pode-se concluir que, se a resposta ao impulso unitário c(t) não muda de sinal, o sistema ou é criticamente amortecido, ou é superamortecido, e neste caso a correspondente resposta ao degrau não tem ultrapassagem, mas cresce ou decresce monotonicamente e tende a um valor constante. O valor máximo de ultrapassagem para a resposta ao impulso unitário do sistema subamortecido ocorre em ll onde O < t = <1 ~ e o valor máximo de ultrapassagem é c ( t ) máx _ - W 11 V 1 ~_ ( exp - ~2 - 1 _----=--- onde O < tan ~ < 1 Como a função de resposta ao impulso unitário é a derivada temporal da função de resposta a degrau unitário, o valor máximo de ultrapassagem MI' para a resposta ao degrau unitário pode ser determinado a partir da correspondente resposta ao impulso unitário. Em outras palavras, a área sob a curva de resposta ao impulso unitário de t = Oaté o tempo do primeiro cruzamento do zero, como mostrado na Fig. 4-19, dá o valor 1 MI" onde M/) é o valor máximo de ultrapassagem (para a resposta a degrau unitário) dado pela Eq. (4-30). O instante de passagem pelo valor de pico t p (para a resposta ao degrau unitário) dado pela Eq. (4-29) corresponde ao tempo em que a resposta ao impulso unitário cruza a primeira vez o eixo dos tempos. LO /"'... 0.8 /, ~ \ 0.6 0.4 0.2 c(r) W Il ;--- t;=O,1 t;= 0,3 o-- t;= 0.5 t;= .7 -t;= LO ft c::\W r ~ ---::: ~ \~ -0.2 \ . / \ '-- '--" / ~ \ / ."-:/ • -0.8 -1.0 ,,- ----- --/{ \. -0.6 \ / "~ :::-- O -0.4 ~ • O 2 4 6 8 lO 12 Fig. 4-18 Curvas de resposta do sistema mostrado na Fig. 4-9 a uma excitação em impulso unitário. Seção 4-3 / Sistemas de Segunda Ordem 133 dr) Resposta ao impulso unitário o Fig. 4-19 Curva de resposta ao impulso unitário do sistema mostrado na Fig. 4-9. 4-4 ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA COM MATLAB Introdução. Nesta seção é apresentado o enfoque computacional para análise de resposta transitória com o uso do MATLAB. Recomenda-se aos leitores ainda não familiarizados com o MATLAB a leitura do Apêndice antes de iniciar o estudo desta seção. Conforme assinalado anteriormente neste capítulo, as respostas transitórias (tais como resposta ao degrau, ao impulso e à rampa) são utilizadas freqüentemente para investigar as características no domínio do tempo de sistemas de controle. Representação de sistemas lineares em MATLAB. por dois arranjos de números. Seja o sistema A função de transferência de um sistema é representada C(s) _ R(s) 25 S2 + 4s +. 25 (4-38) Este sistema é representado por dois arranjos contendo, cada um, os coeficientes dos polinómios em potências decrescentes de s, como a seguir num = [O 025] den = [1 425] Note-se a inclusão de zeros onde se fazem necessários. Se num e den (o numerador e o denominador da função de transferência a malha fechada) forem conhecidos, comandos do tipo step(num,den), step(num,den,t) geram as curvas das resposta a um degrau unitário. (O parâmetro t no comando step é o tempo especificado pelo usuário.) Para um sistema de controle definido no espaço de estados, onde a matriz de estado a matriz de controle B, a matriz de saída C e a matriz de transmissão direta D são conhecidas, o comando step(A, B,C, O) irá gerar as curvas de resposta ao degrau unitário. O vetor tempo é automaticamente determinado se t não for definido explicitamente nos comandos step. Note-se que nenhum gráfico é mostrado na tela quando os comandos step possuem argumentos à sua esquerda tais como [y,x,t] = step(num,den,t) [y,x,t] = step(A,B,C,D,iu) [y,x,t] = step(A,B,C,D,iu,t) (4-39) Em conseqüência, será necessário usar um comando plot para ver as curvas de resposta. As matrizes y e x contêm os valores de resposta e de estado, respectivamente, calculados em cada um dos pontos de computação t (y possui tantas colunas quantas são as variáveis de saída e uma linha para cada elemento em t. y possui tantas colunas quantas são as variáveis de estado e uma linha para cada elemento em t.) 134 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória Programa MATLAB 4- 1 % ------------ Resposta ao degrau unitário -----------%*****Entrar com o numerador e o denominador da %função de transferência***** num den = [O O 25]; = [1 4251; %*****Entrar com o seguinte comando de resposta ao degrau***** step(num,den) %*****Entrar com o reticulado e o título do gráfico***** grid title('Resposta ao Degrau Unitário de G(s) 25)') = 25/(s"2 + 4s + Observe-se que o escalar iu, na Eq. (4-39), é um índice que assinala qual componente do sinal de entrada está sendo utilizada para produzir a resposta e t é o tempo especificado pelo usuário. Quando o sistema envolve múltiplas entradas e múltiplas saídas, o comando step, tal como é dado através da Eq. (4-39), produz uma série de curvas de resposta ao degrau, uma para cada uma das combinações entrada-saída de x = Ax + Bu y = ex + Du (Para detalhes, ver o Exemplo 4-4.) Obtenção da resposta ao degrau unitário a partir da função de transferência do sistema. Seja a resposta ao degrau unitário do sistema definido pela Eq. (4-38). O Programa MATLAB 4-1 conduz o traçado da curva de resposta deste sistema a uma excitação em degrau unitário. O traçado da curva é mostrado na Fig. 4-20. 1.4 ,-----,------,-----r----,---,-----, 1.2 1) "O :ª~ .;;:: 0.8 0.6 0.4 0.2 0.5 1.5 Tempo (s) 2 2.5 Fig. 4-20 Curva de resposta ao degrau unitário. Seção 4-4 / Análise de Resposta Transitória com MATLAB 135 EXEMPLO 4-4 Considere-se o seguinte sistema: Obter as curvas de resposta a degrau unitário. Embora não seja necessário determinar a expressão da função de transferência do sistema para obter as curvas de resposta a degrau com o MATLAB, esta expressão será determinada para referência. Para o sistema definido por x= + Bu y = Cx + Du Ax a matriz de transferência G(s) é uma matriz que relaciona Y(s) e U(s) como se segue: Y(s) = G(s)U(s) Aplicando-se a transformada de Laplace às equações no espaço de estados, obtém-se sX(s) - x(O) = AX(s) Y(s) Na dedução da matriz de transferência, admite-se que x(O) = CX(s) + BU(s) + DU(s) (4-40) (4-41) O. Assim, da Eq. (4-40) vem X(s) (4-42) Substituindo-se a Eq. (4-42) na Eq. (4-41), obtém-se = [C(sI - Af1B + D]U(s) Portanto, a matriz de transferência G( s) é dada por G(s) = C(sI - A)-lB D A matriz de transferência G(s) do sistema dado é G(s) = 1 1 -6,5 s [~ 0][>+ 1 + s + 6,5 1 + s + 6,5 [ s 6,5 [s + TT-lW~l 1 s +1 1 1 ~l s1 6,5 s Por conseguinte, s Y 1(s)] [ Yis) s 6,5 = 6,5 Como este sistema envolve duas entradas e uma saída, podem ser definidas quatro funções de transferência dependendo de que pares de sinais de entrada e saída estão sendo considerados. Note-se que, ao considerar a ação de U 1,U 2 deve ser considerado nulo e viceversa. As quatro funções de transferência são 136 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória Y1(s) s - 1 s + 6,5' V 1(s) 11(s) Y2(s) V 1(s) Yis) s 6,5 ' Vis) Vis) As quatro curvas individuais de resposta a degrau unitário podem ser traçadas com o comando step(A,B,C,D) o Programa MATLAB 4-2 produz estas quatro curvas. As curvas são mostradas na Fig. 4-21. Programa MATLAB 4-2 A = 1-1 -1;6.5 B = [1 1;1 O]; C [1 0;0 1]; O = [O 0;0 O]; step(A, B C, O) O]; I Para traçar as duas curvas de resposta para a excitação UI num diagrama e as duas curvas de resposta à excitação u 2 noutro diagrama, devem ser utilizados os seguintes comandos step(A,B,C,D,l ) e step(A,B,C,D,2) respectivamente. O programa MATLAB 4-3 é um programa para traçar as duas curvas de resposta a um degrau unitário UI aplicado à entrada 1 num diagrama e traçar as duas curvas de resposta a um degrau unitário U 2 aplicado à entrada 2 num outro diagrama. Entrada 1 Saída 1 Entrada 1 Saída 2 0,4 2 0,2 11 (i) '"d 1.5 '"d .ª .ªE ° -< Õ. Õ. 1 E -< -0,2 5 Tempo(s) 0,5 °° 10 Entrada 2 Saída 1 2 0,2 1,5 (i) .ªõ.E -< 10 Entrada 2 Saída 2 0,3 '"d 5 Tempo(s) (i) '"d 0.1 .ªE Õ. ° -< -0.1 5 Tempo(s) 10 0.5 5 Tempo(s) 10 Fig. 4-21 Curvas de resposta ao degrau unitário. Seção 4-4 / Análise de Resposta Transitória com MATLAB 137 Programa MATLAB 4-3 % ------------ Resposta ao degrau de sistemas definidos no %espaço de estados -----------%*****Este programa traça as curvas de resposta ao degrau %de um sistema com duas entradas (u1 e u2)e duas saídas (yl e %*****Primeiro serão traçadas as curvas de resposta ao %degrau para a entrada ul. Após, serão traçadas as curvas %para a entrada u2***** %*****Entrar com as matrizes A,B,C,D***** A [-1 B C [1 [1 D = [O -1;6.5 1;1 0;0 0;0 O]; OJ; 1J; O]; %*****Para traçar as curvas de resposta ao degrau com a %entrada ul! digitar o comando 'step(A,B,C,D,l )'***** step(A,B,C,D,l ) grid title ('Curvas de Resposta ao Degrau: Entrada text(3.4, -0.06,'Yl') . text(3.4,1.4/Y2') ul (u2 = O)') %*****Em seguida, serão traçadas as curvas quando a %entrada for u2. Digitar o comando 'step(A,B,C,D,2); step(A,B,C,D,2); grid title('Curvas de Resposta ao Degrau: Entrada text(3,0.14,'Yl ') text(2 .8, 1.1, 'Y2') Escrevendo texto nos ,.."'."' ... "".<" da tela. = u2 (u1 = O)') Para escrever texto nos gráficos da tela, entra-se, por exemplo, com os seguintes comandos: l text(3.4,-O.06,'Yl ) e text(3. 1.4,'Y2 1 ) o primeiro comando diz ao computador para escrever Yl começando nas coordenadas x = e y = -0,06. De modo semelhante, o segundo comando diz ao computador para escrever Y2 começando nas coordenadas x = 3,4 e y 1,4. o Programa MATLAB 4-3 e a Fig. 4-22(a).] Resposta impulsionaI. A resposta de um sistema de controle ao impulso unitário pode ser obtida usando-se um dos seguintes comandos do MA TLAB: impul num,den) impulse(A,B, [y,x,tl impul num,den) [y,x,tl impulse(num,den,t) [y,x,tl impul B, O) [y,x,tl impulse(A, D,iu) [y,x,tl impulse(A,B, iu,t) 138 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória (4-43) (4-44) (4-45) Gráficos da Resposta ao Degrau: Sinal de entrada = lil (u2 2r---.---'---'---'---'---'---~--~--~--~ 1,5 ~ ::9 ~ C) ü c:; .~ .g C) ü .ªe 0,5 "õ, 0,537. será dividido em duas partes: Para °: : ; t::::; °: : ; 0,537: Assim x (5) _ 2,452 X 2 1 152 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória - 53 4,904 53 No enfoque contínuo, o tempo o sinal de saída Y( s) pode, então, ser dado por Y(s) lOs + 100 4,904 + lOs + 100 S3 = 49,04s + 490,4 1 + 10s 3 + 100s2 S (4-64) S4 Para t > xit) 0,707 Como lOs + 100 + lOs + 100 Y2(s) = Xis) a equação diferencial correspondente se torna Aplicando-se a transformada de Laplace a esta equação resulta [S2y2(S) - SY2(0) - Y2(0)] + 10[sY2(s) - Y2(0)] + 100Y2(s) 10[sXis) - xiO)] + 100Xis) ou seja (S2 + lOs + 100) Y2(s) = (lOs + 100)X2(s) + SY2(0) + Y2(0) + 10Y2(0) - 10xiO) Assim, lOs + 100 + lOs + 100 Xis) SY2(0) + Y2(0) + 10Y2(0) - 10x2(0) S2 + lOs + 100 +~~--~~--~~~--~~ As condições iniciais são encontradas como sendo Y2(0) = YI(0,537) e Y2 (O) = yJO, 537). Portanto, lOs + 100 0,707 + lOs + 100 s + s2[y,(0,537)] + [Y1(0,537) + 10yJO,537) - 10(0,707)]s 1 S2 + lOs + 100 - s ou Y2(s) = + lOs + 100 0,707 + lOs + 100 S S2[ y1(537)] + [y1dot(537) + 10y1(537) - 7,07]s 1 S2 + lOs + 100 - s (4-65) onde y1 (537) = Y' (0,537), Seção 4-5 / Problema Ilustrativo Resolvido com MATLAB y1dot(537) = Y1 (0,537) 153 Um programa MA TLAB para obter a resposta y( t), segundo o enfoque de sistema contínuo no tempo, é dado no Programa MATLAB 4-11. A curva da resposta y(t) versus t, bem como a curva x(t) versus t, são mostradas na Fig. 4-33. Programa MATLAB 4-11 % ---------- Enfoque de sistema contínuo no tempo --------% ***** Obter y1 e yl dot ***** num1 =[0 O O 49.04 den 1 = (1 10 100 O t1 = 0:0.001 :0.537; yl step(num1,den1 ,t1); num2 = [O O 49.04 490.4]; 100 O]; den2 = [1 10 yl dot = step(num2,den2,t1); 490.4]; O]; %*****Determinar os valores iniciais de yl (537) e %yl dot(537) para a segunda parte. Os valores de % condição inicial para a segunda parte são as saídas % y2_ini yl (537) e y2dot_ini y1 dot(537)***** y2_ini = yl (537); y2doCini = yl dot(537); t2 = 0.538:0.001 :1.5; num3 [O 7.07 70.7]; den3=[1 10 100]; num4 [yl (537) yl dot(537) + 1O*yl (537) 7.07 O]; y20 = step(num3,den3,t2); y2i = step(num4,den3,t2); y2 = y20 + y2i; Y [yl' y2']; t = [tl t2]; plot(t, -y,'.') hold Current plot held xl = 2.452*t1.1\2; x2 = 0.707*ones(size(t2)); x [xl x2]; plot(t, - x,' -') gríd title('Resposta do Sistema (Enfoque Contínuo no Tempo)') xlabel('t Si) ylabeWSinal de Entrada x e Sinal de Saída y') text(0.2 , -O.54/Sinal de Entrada x') text(0,47,-0.25,'Sinal de Saída y') É importante notar que para traçar curvas múltiplas sobre um mesmo gráfico é necessário usar o comando "hold". Ao entrar com o comando "ho1d", a tela do computador exibirá a mensagem hold Current plot held 154 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória Resposta do Sistema (Enfoque de Sistema Contínuo) ° -0,1 -0.2 >, -0,3 C-::l :g C-::l CI) -0,4 Q) "; C-::l -0,5 "O 2 c -0,6 U.l -0,7 -0,8 -0,9 ° 0,5 1,5 t (s) Fig. 4-33 Sinal de entrada x(t) e sinal de saída y(t) obtido segundo o enfoque de sistema contínuo no tempo. Para liberar a retenção do gráfico digita-se novamente o comando "hold". O gráfico corrente será liberado em seguida conforme mostrado a seguir. hold Current plot held hold Current plot released Simulação em computador (enfoque de sistema discreto no tempo). A função de transferência de sinais contínuos pode ser convertida numa função de transferência de sinais amostrados (função de transferência de sistemas discretos no tempo) utilizando-se fórmulas gerais. O método mais simples consiste em converter uma função de transferência de sinais contínuos numa função de transferência de sinais amostrados através de comandos do MATLAB. O primeiro passo é converter a função de transferência de sinais contínuos num modelo de sistema contínuo no espaço de estados, usando-se o comando MATLAB [A,B,CD] = tf2ss(num,den). As equações no espaço de estados podem, então, ser discretizadas através do comando [G,H] = c2d(A,B,Ts), onde Ts é o passo desejado de discretização do tempo (período de amostragem). As equações no espaço de estados do sistema discretizado são convertidas na função de transferência de sinais amostrados por meio do comando [numz,denz] = ss2tf(G,H,C,D). No presente caso, escolheu-se T 0,001 s. A função de entrada x(t) deve, primeiramente, ser discretizada. A função contínua no tempo foi determinada como sendo x(t) = 2,452 t 2 , x(t) = 0,707, para ° ~ t ~ 0,537 para 0,537 < t Note-se que no MATLAB x é definido como um arranjo de pontos. Este arranjo segue inicialmente a lei x(t) = 2,452 P e, após o instante t = 0,537 s, segue x(t) = 0,707. Considera-se a faixa de tempo o::; t::; 1,5. A excitação em aceleração, da primeira parte, pode ser escrita como kl = 0:537; xl = [2.452*(0.001 *kl ).1\2] Seção 4-5 / Problema Ilustrativo Resolvido com MA TLAB 155 onde kl representa um contador e xl é a primeira parte do sinal completo de excitação. (Há 538 pontos de cálculo a partir da posição inicial até que o sinal de entrada alcance o valor 0,707 m.) Para a segunda parte do sinal de entrada, necessitase de uma função degrau de amplitude 0,707. Após 0,537 s, k2 = 538: 1500; x2 = [0.707*ones(size(k2))] (Há 963 pontos de 0,538 s a 1,5 s, inclusive.). O próximo passo é transformar ambos os sinais de entrada num único (sinal completo): x = [xl (As duas equações de entrada são transformadas num único vetor linha de entrada de modo a figurar apenas uma entrada como argumento do comando filter.) Agora é possível utilizar o comando filter atribuindo valores a uma variável y y = filter(numz,denz,x); e traçar o gráfico da resposta y(t), bem como do próprio sinal original x(t), tendo-se cuidado dos intervalos de tempo ao se usar t: t = 0:1500; plot(t/l OOO,-y/.',t/l OOO,-x/-') (O valor de t foi dividido por 1.000 tendo em vista o passo de discretização de 0,001 s). Note-se também que as grandezas de entrada e de saída são traçadas com o sinal negativo. (Caso contrário, seria obtida uma aceleração positiva de entrada e de saída, o que seria incorreto.) Um possível programa em MATLAB, usando o enfoque de sistema discretizado, é mostrado no Programa MATLAB 4-12. As curvas de resposta resultantes x(t) versus te y(t) versus t são mostradas na Fig. 4-34. Programa MATLAB 4- 12 % ------------ Enfoque de sistema discreto -----------%*****Converte a função de transferência %do sistema contínuo em função de transferência %discreta (função de transferência de sinais %amostrados) escolhendo o passo de discretização %(período de amostragem) com o valor de 0,001 s***** num = [O 10 100]; den = [1 10 100]; [A,B,C,D] = tf2ss(num,den); [G,H] = c2d(A,B,O.001); [numz,denz] = ss2tf(G,H,C,D); %*****Entrar com os sinais de entrada x1 e x2***** kl = 0:537; xl = [2.452*(0.001 *kl )./\2]; k2 538:1500; x2 [0.707*ones(size(k2))]; [xl x2]; x %*****Utilizar o comando filter e obter a resposta y = filter (numz,denz,x); t = 0:1500; plot(tll OOO,-y/.',tll OOO/-X,I-') grid title('Resposta do Sistema (Enfoque Discreto)') xlabel('t s') ylabeWSinal de Entrada x e Sinal de Saída y') text(0.2,-0.54,'Sinal de Entrada x') text(0.47, -0.25,'Sinal de Saída y') 156 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória Resposta do Sistema (Enfoque de Sistema Discreto) O~~----------.-------------.-------------, -0,1 -0,2 -ã -0,5 c l..Ll -0,6 e -0,7 -0,8 -0,9~------------~------------~----------~ ° 0,5 1,5 t (s) 4-34 Sinal de entrada x(t) e sinal de saída .v(t) obtido segundo o enfoque de sistema discreto no tempo. PROBLE A-4-1. S ILUSTRATIVOS E SOLUÇÕES No sistema da Fig. 4-35, x(t) é o deslocamento de entrada e 8(t) é o deslocamento angular de saída. Admitir que as massas envolvidas são desprezivelmente pequenas e todos os movimentos se restringem a valores pequenos; em conseqüência, o sistema pode ser considerado linear. As condições iniciais de x e 8 são nulas, ou seja, x(O-) Oe 8(0-) = O. Mostrar que este sistema é, funcionalmente, um elemento derivador. Obter, em seguida, a resposta 8(t) a uma excitação x(t) em degrau unitário. Solução. A equação para o sistema é b(.l: - LiJ) kL& ou Aplicando a transformada de Laplace a esta última equação, supondo condições iniciais nulas, vem ~b 1) (9(s) ~ ~-------- L sX(s) --------~ Sem atrito Fig. 4-35 Sistema mecânico. Problemas Ilustrativos e Soluções 157 x(t) o eu) L Fig. 4-36 Degrau unitário de excitação e resposta do sistema mecânico mostrado na Fig. 4-35. E assim s (9(s) _ X(s) Assim, o sistema é um elemento derivador. Para uma excitação em degrau unitário X( 5) = 1/5, L s + (k/b) a saída 8(s) se torna 1 (9(s) = 1 L s + (k/b) A transformada de Laplace inversa de 8(s) fornece B(l) 1 L = - e-(klb) I Note-se que se o valor de k/b for alto, ()(t) se aproxima de um pulso, como é mostrado na Fig. 4-36. A-4-2. Considere-se o sistema mecânico mostrado na Fig. 4-37. Supõe-se que o sistema esteja inicialmente em repouso [x(O) = O, x(O) = OJ e que, no instante t O, o sistema é posto em movimento através de um impulso unitário de força. Obter um modelo matemático do sistema. Determinar, em seguida, o movimento do sistema. Solução. O sistema é excitado por meio de um impulso unitário. Em conseqüência mx + kx = o(t) Este é um modelo matemático do sistema. Aplicando-se a transformada de Laplace a ambos os membros desta última equação resulta m[s2 X(s) - sx(O) - .r(0)] Substituindo-se as condições iniciais x(O) + kX(s) = 1 = O e x(O) = O e explicitando o valor de X(s), obtém-se XCs) Força do tipo impulso k ô(t) - - + - fi! ( ) "~V, ( ) Fig. 4-37 Sistema mecânico. 158 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória A transformada de Laplace inversa de X(s) conduz a X(t) A oscilação é um movimento harmónico simples. A amplitude da oscilação é 11 Jl11k . A-4-3. Obter a função de transferência a malha fechada do servos sistema de posição mostrado na Fig. 4-38. Admitir que os sinais de entrada e saída do sistema são, respectivamente, a posição angular do eixo de entrada e a posição angular do eixo de saída. Admitir as seguintes definições e os seguintes valores numéricos para os parâmetros do sistema: r c deslocamento angular do eixo de entrada (referência), radianos deslocamento angular do eixo de saída, radianos e = deslocamento angular do eixo do motor, radianos = ganho do potenciómetro detector de erro = 24111 VIrad Kj = ganho do amplificador = 10 VIV e(/ tensão elétrica aplicada ao circuito de armadura, V eh força contra-eletromotriz, V R" resistência do enrolamento da armadura 0,2 L" = indutância do enrolamento da armadura = desprezível (, corrente no enrolamento da armadura, A constante de força contra-eletromotriz 5,5 X 10 2 V -s/rad K 2 constante de torque do motor = 6 X 10 5 N-m/A momento de inércia do motor referido ao eixo do motor = 1 X 10- 5 kg-m 2 coeficiente de atrito viscoso do motor referido ao eixo do motor desprezível l[= momento de inércia da carga referido ao eixo de saída = 4,4 10--' kg-m 2 17[= coeficiente de atrito viscoso da referido ao eixo de saída = 4 X 10- 2 N-m/rad/s fi relação de engrenagens N/Nê = n ..::Jul!u\,,-au. O momento de inércia equivalente lo e o coeficiente de amortecimento viscoso b(), referidos ao eixo do motor, são, respecti- vamente, I X 10~~ + 4,4 X 10-~ X 1O-~ 4 X 10- 4 Com base na Eq. (4-16), obtém-se 1) onde 7,64 X 10 (0,2)(4 X 10- 4 ) X 6 (6 X 10~ X 0,1 X 1O~)(5,5 X 10-2 ) 5,5 0,13 r it = constante I -----~~------------------------- Fig. 4-38 Servos sistema de posição. Problemas Ilustrativos e Soluções 159 C(s) Fig. 4-39 Diagrama de blocos do sistema mostrado na Fig. 4-38. Assim, E(s) 5,5 s(O,13s + 1) (4-66) Utilizando-se a Eq. (4-66), é possível esboçar o diagrama de blocos mostrado na Fig. 4-39. A função a malha fechada do sistema é C(s) R(s) A-4-4. 5,5 0,13s 2 + s + 5,5 Os trens de engrenagens são usados com freqüência nos servossistemas para reduzir velocidade, amplificar torque ou para obter a transferência de potência mais eficiente, ajustando o elemento acionador a uma determinada carga. Seja o sistema de trem de engrenagens mostrado na Fig. 4-40. Neste sistema, a carga é acionada por um motor através do trem de engrenagens. Admitindo-se que a rigidez dos eixos do trem de engrenagens seja infinita (não existindo folgas nem deformações elásticas) e que o número de dentes de cada engrenagem seja proporcional ao raio da engrenagem, obter o momento de inércia equivalente e o coeficiente de amortecimento viscoso equivalente referidos ao eixo do motor e ao eixo da carga. Na Fig. 4-40, os números de dentes das engrenagens 1,2,3 e 4 são, respectivamente, N I , N 2 , N 3 e N 4 • Os deslocamentos angulares dos eixos 1,2, e 3 são, respectivamente, 8 p 82 e 83" Assim, 8/8 1 = N/N2 e 8/82 N/N4 • Os momentos de inércia e os coeficientes de amortecimento viscoso de cada um dos componentes do trem de engrenagens são designados, respectivamente. por ll'b I ;J2,b 2 e lo,b}. (1} e b} incluem o momento de inércia e o coeficiente de atrito viscoso da carga.) Solução. Para este trem de engrenagens, pode-se obter as seguintes três equações. Para o eixo 1. (4-67) onde Tm é o torque desenvolvido pelo motor e TI é o torque de carga sobre a engrenagem 1 devido ao resto do trem de engrenagem. Para o eixo 2, (4-68) onde T2 é o torque transmitido à engrenagem 2 e T} é o torque de carga sobre a engrenagem 3 devido ao resto do trem de engrenagem. Como o trabalho realizado pela engrenagem 1 é igual ao trabalho realizado pela engrenagem 2, ou T 2 -- T 1 N 2 Se N/N2 < 1, a relação de engrenagem reduz a velocidade e amplifica o torque. Para o terceiro eixo, (4-69) Eixo 1 Engrenagem 1 Engrenagem 2 Engrenagem 4 Fig. 4-40 Sistema de trem de engrenagens. 160 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória onde TL é o torque de carga e T~ é o torque transmitido à engrenagem 4. T, e T4 são relacionados por = e ()3 e ()I T, são relacionados por A eliminação de Ti' T2 , T, e Eliminando-se ()2 e tempo, obtém-se ()3 T~ a partir das Eqs. (4-67), (4-68) e (4-69) conduz a nesta última equação e escrevendo-se a equação resultante em função de ()I e de suas derivadas em relação ao [J (~:r J, + (~:)' (~:r J\]8 .' + (NN (NN)T T [b + (NN.)2 b" (NN)2(NN)2 b,]é I 1 1 1 2. ~ 1 3 2 4 1 1 2 ) 3 4 L = 111 (4-70) Assim, o momento de inércia equivalente e o coeficiente de atrito viscoso referidos ao eixo I são dados, respectivamente, pelas expressões De modo semelhante, o momento de inércia e o coeficiente de atrito viscoso equivalentes, referidos ao eixo da carga (eixo 3) são dados, respectivamente, por f, (~;)' J, + (~:r (~;r J, "k4 ~ h, (~:r", (~:)'(~:r "1 A relação entre J leq e J3eq é, por conseguinte, e a relação entre b leq e b3eq é o efeito de J 2 e de J 3 sobre o momento de inércia equivalente é determinado pelas relações de engrenagens NJN2 e N/N.". Para trens redutores de velocidade, as relações NJN2 e N/N4 são, usualmente, menores que a unidade. Se NJN2 ~ 1 e N/N4 ~ 1, então o efeito de J 2 e de J 3 sobre o momento de inércia equivalente J leq é desprezível. Comentários semelhantes se aplicam ao coeficiente de atrito viscoso equivalente do trem de engrenagens. A Eq. (4-70) pode ser simplificada, sendo reescrita em função de J leq e b leq onde Problemas Ilustrativos e Soluções 161 Mostrar que as razões torque-inércia referidas ao eixo do motor e ao eixo de carga diferem entre si, de um fator n. Mostrar também que as razões quadrado do torque-inércia referidas ao eixo motor e ao eixo da carga são iguais. Solução. Suponha-se que de inércia referida ao eixo seja o máximo valor de torque que possa ser produzido no eixo do motor. Então, a razão torque-momento motor seria onde 1 momento de inércia do rotor 111 II = momento de inércia da carga 11 = relação de engrenagens A razão torque-inércia referida ao eixo da carga é fi Evidentemente, as razões diferem entre si de um fator n. Assim, ao se comparar a razão torque-inércia de motores é necessário ficar qual o eixo de referência. Note-se que a razão quadrado do torque-inércia, referida ao eixo do motor, é e a referida ao eixo da carga é T~1ÚX Estas duas razões possuem o mesmo valor. A-4-6. Quando o sistema mostrado na Fig. 4-41 (a) é submetido a uma excitação em rampa unitária, a saída do sistema responde conforme mostrado na Fig. 4-41 (b). Determinar os valores de K e T da curva de resposta. (a) cU) (b) 4-41 (a) Sistema a malha fechada; (b) Curva da resposta ao degrau unitário. 162 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória Solução. O valor máximo de ultrapassagem de 25,4% corresponde a S 0,4. Da curva de resposta tem-se Conseqüentemente, ---;=:===;;c = 3 Segue-se que 1,14 W Il Do diagrama de blocos tem-se C(s) K R(s) K donde 1 T Em conseqüência, os valores de Te K são determinados como T K A-4-7. 1 2C;úJn = -- = 2 X 0,4 X 1,09 1,14 úJ~T = 1,142 X 1,09 1,42 Determinar os valores de K e de k do sistema a malha fechada mostrado na Fig. 4-42, de modo que o valor máximo de ultrapassagem da resposta a uma excitação em degrau unitário seja 25% e o tempo de pico seja 2s. Admitir que J = 1 kg-m". Solução. A função de transferência a malha fechada é C(s) _ _ _ _ K_ _ R(s) Substituindo-se J K = 1 kg-me, tem-se C(s) R(s) K Kks + K Observe-se que O valor máximo de ultrapassagem MI' é que foi especificado em 25%. Assim, = 0,25 R(s) C(s) Fig. 4-42 Sistema a malha fechada. Problemas Ilustrativos e Soluções 163 donde -='--- = 1,386 ou seja, ~ = 0,404 o instante de pico tI' foi especificado como 2s. E, portanto, ou seja úJd = Assim, a freqüência natural não-amortecida Cún 1,57 é -----:;::=1=,5=7=~ Vl - 0,404 2 = 1 72 ' Portanto. obtém-se K úJ~ = 1,72 2 = 2,95 N-m = k A-4-8. 2~úJl1 2 X 0,404 X 1,72 K 2,95 = 04 1 ' 7 s Qual é a resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Fig. 4-43? Solução. A função de transferência a malha fechada é C(s) = R(s) Para uma excitação em degrau unitário [R(s) S2 lOs 10 + 10s + 10 1/s], tem-se lOs + 10 + lOs + 10 s C(s) 5 (s Vf5)s - - - - - - - - - + -1 s A transformada de Laplace inversa de C(s) fornece c(t) = vIs 4 Vf5 -('i+\TI)t 4 -3--Vf5-=1=5 e + - 3 + Vf5 1,1455e-- x.x7t 0,1455e-1.Llt + 1 C(s) Fig. 4-43 Sistema a malha fechada. 164 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória Vê-se, claramente, a inexistência de oscilação. A curva de resposta tende exponencialmente para o valor final c(x) A-4-9. = 1. A Fig. 4-44(a) mostra um sistema vibratório mecânico. Quando se aplica uma força de 2 lb (excitação em degrau), a massa oscila, conforme mostrado na Fig. 4-44(b). Determinar os valores de rn, b e k do sistema que conduzem a esta resposta. O deslocamento x é medido em relação à posição de equilíbrio. Solução. A função de transferência do sistema é X(s) _ - ,_ __ P(s) bs + k Como 2 s P(s) Obtém-se 2 X(s) k) Segue-se que o valor de regime estacionário de x é x(x) = 2 k !irn sX(s) S~O = 0,1 ft Assim, k Note-se que Mp ~ 9,5% corresponde a = 20lb f /ft 0,6. O tempo de pico tI' é dado por -------- A curva experimental mostra que tI' 2 s. Em conseqüência, (J)11 Como 0),; = k/m = 3,14 2 X 0,8 1 96 rad/s ' --- = 201m, obtém-se m (Convém lembrar que 1 slug = 20 20 1,96 = -= 2 52 sIuas ' = 166lb b = I Ib f -s 2Ift). O valor de b é, então, determinado a partir de b m xU) =_--- 0, ll-------.~_._-"""....... ft (a) ° (b) Fig. 4-44 (a) Sistema mecânico vibratório; (b) curva de resposta ao degrau. Problemas Ilustrativos e Soluções 165 ou seja, 2(;úJ Il m = 2 b A-4-10. X 0,6 X 1,96 X 5,2 = 12,2 lbr/ft/s Admitindo-se que o sistema mecânico mostrado na Fig. 4-45 esteja em repouso ao se aplicar como excitação uma força P sen wt, obter a solução completa x(t) e a solução de regime permanente x,,(t). O deslocamento x é medido em relação à posição de equilíbrio. Admitir que o sistema seja subamortecido. Solução. A equação do movimento para o sistema é mi + bi + kx Observando-se que x(O) = O e x(O) = = P senOJ[ O, aplicando-se a transformada de Laplace a esta equação vem bs k)X(s) = OJ P -;--; s- + OJ- ou X(s) pOJ = --::----::- - - : : - - - - - + bs + k) Como o sistema é subamortecido, X( s) pode ser escrito sob a forma: X(s) onde w = ll fiJiii púJ - --- ------? úJ~ , onde °< (; < 1 e ~ = b/ (2~) . X( s) pode ser expandido em frações parciais sob a forma X(s) púJ m Por meio de cálculos simples, encontram-se a d 4(;2úJ~ - (úJ~ (úJ~ - úJ2f Assim, X(s) 2(;úJf1s + (úJ~ - úJ2) S2 úJ2 (úJ~ Fig. 4-45 Sistema mecânico. 166 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória úJ2) 4(;2úJ~((i A transformada de Laplace inversa de X(s) fornece x(t) ( m w~ ç w; (V~ Ú 2 ) - - - - - sen wt -[-C-c;c:-----ú2=-P)-=-2-4-'--=;----=-;---=-'] [- 2i:;w n cos wt sen Em regime estacionário t ~ x os termos que envolvem e <(J),,I tendem a zero. Em conseqüência, em regime estacionário tem-se )' Pw ( - -Sw/1 -[-C-w-2--e-v-2)-2--4-r-2-w-2-ev-2-] cos wt n7 '::l fi Pw -w-2 ( - b cos wt - - - - 7 - ; - - b -2 (I<; - mw-)- ~=======P~==~~sen(wl A-4-11. --'-'---- se n w w II t) 2 I<; mw senwt) w tan- 1 I<; bw 2 ) - mw Seja a resposta a uma excitação em degrau unitário do sistema de segunda ordem A amplitude do sinal senoidal amortecido exponencialmente muda segundo uma série geométrica. No instante t = tI' 1T/Wd , a amplitude vale e ~(m(Úd);r. Depois de uma oscilação, ou para t tI' 21T/Wd = 31T/Wd , a amplitude é igual a e~(Y(Ú, )3;r; depois de um outro ciclo de oscilação, a amplitude é e-(Y(J)d )5;r. O logaritmo da relação entre duas amplitudes sucessivas é chamado de decremento logarítmico. Determinar o decremento logarítmico para este sistema de segunda ordem. Descrever um método para a determinação experimental do fator de amortecimento a partir do conhecimento da relação de decaimento das oscilações. Solução. Seja, por definição, Xi a amplitude da oscilação de saída em t de amplitude para um período de oscilação amortecida é x 1 = ti' onde ti tI' (i - I) T (T = período de oscilação). A relação e-(IJ/w,/)", x2 Assim, o decremento logarítmico 8 é Ele é uma função, unicamente, do coeficiente de amortecimento ,. Assim, o coeficiente de amortecimento' pode ser determinado através do uso do decremento logarítmico. 1)T. Na determinação experimental do coeficiente de amortecimento " medem-se as amplitudes XI em t = tI' e X em t tI' (11 Note-se que é necessário escolher n suficientemente grande de modo que a relação não esteja próxima da unidade. Então. Il x1 = e(n - I )2i:.'/\' x/1 ou ln (n 1) --===== Daí Problemas Ilustrativos e Soluções 167 t x Fig. 4-46 Sistema mola-massa-amortecedor. A-4-12. No sistema da Fig. 4-46, os valores numéricos de ln, b e k são dados como ln = 1 kg, b = 2 N-s/m e k = 100 N/m. A massa é deslocada 0,05 m e abandonada com velocidade inicial nula. Determinar a freqüência observada na vibração. Adicionalmente, determinar a amplitude quatro ciclos depois. O deslocamento x é medido a partir da posição de equilíbrio. Solução. A equação do movimento para o sistema é bi mx Substituindo-se os valores numéricos de ln, kx = ° b e k nesta equação, obtém-se i + 2.i onde as condições iniciais são x(O) 0,05 e i(O) tecida W n e do coeficiente de amortecimento' ° 100x O. Desta equação é possível encontrar os valores da freqüência natural não-amor- ~ = 0,1 A freqüência realmente observada na vibração é a freqüência natural amortecida 10V1 - 0,01 = Na presente análise, i(O) Segue-se que, em t w". 9,95 radls O. Assim a solução pode ser escrita como, nT, onde T = 27T/(ú" x(nT) = x(O)e-i::w,I1T Conseqüentemente, a amplitude no quarto ciclo se torna x( 4T) = x(0)e-S (!lil 4T x(0)e(O.1)(1O)(4)(O,6315) = O,05e ····2.52ti = 0,05 X 0,07998 0,004 m A-4-13. Considere-se um sistema cujos pólos e zeros a malha fechada estão situados no plano s sobre uma linha paralela ao eixo jw, como mostrado na Fig. 4-47. Mostrar que a resposta impulsionaI de um tal sistema é uma função cossenoidal amortecida. júJ x-- -- - - - - júJc! -(J" o x- - - - - - - - - j úJc! 168 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória Fig. 4-47 Configuração de pólos e zeros a malha fechada de um sistema cuja resposta impulsionaI é uma função cossenoidal amortecida. Solução. A função de transferência a malha fechada é C(s) = _ _ _--"-_---""-_ __ R(s) (s + o + júJd)(S + (J - jWr/) Para um impulso unitário R( s) 1e C(s) + o) + 0)2 + w~ K(s (s A transformada de Laplace inversa de C( s) é c(t) Ke- O [ cos úJelt, para t :::=:: O que é uma função cossenóide amortecida. A-4-14. Considere-se o sistema de controle de nível mostrado na Fig. 4-48. O controlador é do tipo proporcional. O ponto de ajuste do controlador é fixo. Esboçar um diagrama de blocos do sistema, admitindo-se que as variações nos valores das variáveis sejam pequenas. Obter a função de transferência entre o nível do segundo reservatório e uma perturbação de entrada qd' Obter o erro de regime permanente quando a perturbação qd for um degrau unitário. Solução. A Fig. 4-49(a) é um diagrama de blocos deste sistema quando a excursão de valores das variáveis é pequena. Como o ponto de ajuste do controlador é fixo, r = O. (Note-se que r é a variação no valor do ponto de ajuste.) Para investigar a resposta do nível do segundo reservatório a uma perturbação qd em degrau unitário, acha-se conveniente transformar o diagrama de blocos da Fig. 4-49(a) no diagrama da Fig. 4-49(b). A função de transferência entre His) e Q,ls) pode ser obtida como A partir desta equação pode-se encontrar a resposta de Hz{s) a uma perturbação Q,is). O efeito do controlador é identificado pela presença de K no denominador da função de transferência. Para uma perturbação Q,/s) em degrau unitário, obtém-se ou seja, Erro de regime permanente O sistema exibe um erro residual na resposta a uma perturbação em degrau unitário. Controlador proporcional Q+q" L -_ _~-+ ____ ~-_-_~~~/~~--~ Fig. 4-48 Sistema de controle de nível de líquido. Problemas Ilustrativos e Soluções 169 (b) (a) 4-49 (a) Diagrama de blocos do sistema mostrado na Fig. 4-48: (b) diagrama de blocos modificado. Observe-se que a equação característica relativa à função perturbação e à função de entrada são iguais. A equação característica deste sistema é s o 1) que pode ser modificada para o s freqüência natural não-amortecida úJn e o coeficiente de amortecimento ~ são dados por A freqüência natural não-amortecida e o coeficiente de amortecimento dependem, ambos, do valor do ganho K. Este ganho deve ser ajustado de modo que as respostas transitórias a ambos os sinais de entrada e de perturbação apresentem amortecimento e velocidade razoáveis. Considere-se o sistema de controle de nível mostrado na 4-50. A válvula de entrada é controlada por um controlador hidráulico do Admite-se que os valores de regime permanente da vazão de entrada e da vazão de saída iguais a Q, que o valor de estacionário da coluna de fluido seja H, que o valor de regime estacionário do deslocamento da válvula piloto seja X = 0, e que o valor de estacionário da posição da válvula seja f. Admite-se que o ponto de ajuste R corresponde ao valor de regime permanente da coluna de f1uido H. O ponto de ajuste é fixo. Considera-se também que uma perturbação na vazão de entrada q", valores sejam pequenos, é aplicada em t = O. Esta perturbação ocasiona uma mudança no valor da coluna de fluido de H para + h. Esta mudança acarreta uma variação q() na vazão de saída. Através do controlador hidráulico, uma mudança no nível do fluido acaro reta uma mudança na vazão de entrada de Q para Q + qi' (O controlador integral tende a manter constante, tanto quanto nível do f1uido na presença de perturbações.) Admitem-se como pequenas todas as mudanças de valores. Admitindo-se os valores numéricos para o sistema a = 0.25 m. R 0,5 s/m 2, b 0,75 m, obter a resposta h(t) quando a perturbação q" na entrada for um degrau unitário. Obter também a resposta h(t) com o MATLAB. Como o aumento de água no reservatório durante o intervalo de tempo dt segundos é igual ao volume líquido que entra no reservatório durante os mesmos dt segundos, tem-se (';()Ilucal[). (4-71 ) Cdh onde (4-72) Para o mecanismo de alavanca de retroação, tem-se x Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória a --h a+ b (4-73) b lot---o-----------Q t t Iz y+\, Q+Cfil t t fi C (Capacitância) h L . - _ - - L_ _ _ _ _ _ _ _ _ ---!/~~r--- Q+ qo R (Resistência) Fig. 4-50 Sistema de controle de nível de líquido. Admite-se que a velocidade do êmbolo de potência (válvula) é proporcional ao deslocamento x da válvula piloto dv dr -"-=Kx (4-74 ) 1 onde K 1 é uma constante positiva. Admite-se, também, que a mudança na vazão de entrada qi é negativamente proporcional a uma mudança na abertura da válvula y, ou seja, 4-75) onde K, é uma constante positiva. São obtidas, agora, as equações do sistema, da seguinte forma: a partir das Eqs. (4-71), (4-72) e (4-75), tem-se h dh cdr A partir das -R + {I d (4-76) (4-73) e (4-74), resulta ~h a b dy dr (4-77) Substituindo-se os valores numéricos dados, nas Eqs. (4-76) e (4-77), obtém-se 2 ~~ dy dr y - 2h qd h Aplicando-se a transformada de Laplace às duas equações precedentes, admitindo condições iniciais nulas, obtém-se 2sH(s) = - Y(s) sY(s) = H(s) Eliminando-se Y(s) das duas últimas equações e observando que a perturbação é um degrau unitário, ou seja, Qis) Problemas Ilustrativos e Soluções = lIs, obtém-se 17 A transformada de Laplace inversa de H(s) fornece a resposta h(t) h(t) sen O,5t = Observe-se que uma perturbação qd em degrau unitário ocasionou um erro transitório na altura da coluna d' água que se anula em regime permanente. O controlador integral eliminou, assim, o erro produzido pela perturbação qd . Traçado da curva de resposta h(t) com o MATLAB. H(s) Uma vez que a resposta H( s) é dada por s =---- + 2s + 1s o Programa MATLAB 4-13 pode ser usado para obter a resposta a uma perturbação em degrau unitário. A curva de resposta resultante é mostrada na Fig. 4-51. Programa MATLAB 4-13 % ------------ Resposta a degrau unitário -----------%*****Entrar com o numerador e com o denominador %da função de transferência***** 10]; num = [O den = [2 2 1]; %*****Entrar com o comando step***** step(num,den) grid title('Resposta a Degrau Unitário') A-4-16. Considerar a resposta impulsionaI de um sistema de segunda ordem na forma padronizada definida por Para um impulso unitário de excitação R(s) = 1 . Assim. C(s) Resposta ao degrau unitário 0,35 0,3 0,25 :o 2 ~ 1) 0,2 v ::ac .;:: 0,15 .§ 1) v 0,1 .ª õ.. 0,05 ~ ° ° -0,05 2 4 6 8 10 12 Tempo (s) Fig. 4-51 Resposta a uma perturbação em degrau unitário. 172 Capítulo 4 / Análise de Resposta Transitória 14 Considere-se um sistema normalizado em que w n = 1. Então s + 1s Considerar cinco valores diferentes de zeta: lores de zeta, usando o MATLAB. S 0,1,0,3,0,5,0,7 e 1,0. Obter as curvas de resposta impulsionai para cada um dos va- Solução. Um programa MATLAB para traçar as cinco curvas de resposta impulsionaI num único diagrama é dado através do Programa MA TLAB 4-14. O diagrama resultante é mostrado na Fig. 4-52. Programa MA TLAB 4-14 % ----------- Resposta ao impulso unitário ----------%*****Curvas de resposta impulsionai para o sistema %de segunda ordem normalizado G(s) 1/[sI\2 + 2(zeta)s + 1]***** %*****A resposta impulsionai é obtida como a resposta ao %degrau unitário de sG(s)***** %*****Os valores de zeta considerados aqui são 0,1, 0,3, %0,5, 0,7 e 1,0***** %*****Entrar com o numerador e com o denominador de sG(s) %para zeta = 0,1***** num den [O 1 [1 0.2 O]; 1]; %*****Especificar os instantes de tempo para cálculo(por %exemplo t = 0:0.1:10). Entrar, em seguida, com o comando para %resposta ao degrau step(num,den,t) e o comando text %textC, If)***** t=O:O.l : 10; step(num,denl,t); text(2.2,0,88, 'Zeta = 0,1') %*****Reter este gráfico e acrescentar a ele outra curva %de resposta impulsional***** hold Current plot held %*****Entrar com os denominadores de sG(s) para zeta=0,3, %0,5, 0,7 e 1,0***** den2 den5 [1 [1 0.6 1]; den3 2 1]; [1 1];den4=[1 1.4 1]; %*****Sobrepor ao gráfico retido as curvas de resposta %impulsional para zeta = 0,3 , 0,5 , 0,7 e 1,0 entrando, %sucessivamente, com o comando de resposta ao degrau %step(num,den,t) e com o comando de texto text(,,")***** step(num,den2,t); text(1.33,0.72,'0,3') step(num,den3,t); text(1.15,O.58,'O,5') step(num,den4,t); text(1.1 ,0.46, '0,7') step(num,den5,t); text(0.8,0.28,'1,0') Problemas Ilustrativos e Soluções 173 %*****Entrar com o reticulado e com o título do gráfico***** grid title('Curvas de Resposta Impulsionai de G(s) ;:::: 1/[51\2 + 2(zeta)s + 1]') %*****Liberar a retenção de gráfico***** hold Current plot released Respostas impulsionais para G(s) = l/[s!\2 2 (zeta) s 1] 0,8 0,6 0,4 (!) ""d .ªõ..E O para e(t) < O onde e são constantes. O valor mínimo é, usualmente, zero ou Os controladores de duas posições geralmente são dispositivos elétricos, e as válvulas operadas por solenóide elétrico são extensivamente usadas nestes controladores. Controladores proporcionais pneumáticos com ganhos muito altos atuam como controladores de duas posições e são muitas vezes denominados controladores pneumáticos de duas posições. As Figs. 5-3(a) e (b) mostram os diagramas de blocos de controladores de duas posições. O intervalo através do qual o sinal de eno atuante deve mover-se antes de ocorrer a comutação de valores é denominado intervalo d~ferencial. Um intervalo diferencial é indicado na Fig 5-3(b). Este intervalo diferencial faz com que a saída de controlador u(t) mantenha seu valor presente até que o sinal de eno atuante tenha se movido ligeiramente além do valor zero. Em alguns casos, o intervalo diferencial é o resultado de atrito e de perda de movimento introduzidos de forma não-intencional no sistema; entretanto, quase sempre é intencionalmente colocado, de modo a impedir uma operação excessiva do mecanismo de comutação. Seja o sistema de controle de nível de líquido mostrado na Fig. 5-4(a), onde a válvula eletromagnética indicada na Fig. 5-4(b) é usada para controlar a vazão de entrada. Ou esta válvula está aberta ou está fechada. Com este controle de duas posições, ou a vazão de entrada de água é uma constante positiva ou é nula. Conforme mostrado na Fig. 5-5, o sinal de saída move-se continuamente entre os dois limites requeridos para ocasionar o movimento do elemento atuante de uma posição fixa para outra. Note-se que os valores do sinal de saída seguem uma de duas curvas exponenciais, uma cones- Intervalo diferencial e (b) (a) 5-3 (a) Diagrama de blocos de um controlador liga-desliga; (b) diagrama de blocos de um controlador liga-desliga com intervalo diferencial. ~ ~ Núcleo móvel de ferro r---------------------o c /' 115V ""-1--0 : Flutuador '1ttttl]-o(--- Bobina magnética 1 t h ~ (a) (b) Fig. 5-4 (a) Sistema de controle de nível de líquido; (b) válvula eletromagnética. Seção 5-2 / Ações de Controle Básicas 179 h(t) Intervalo diferencial 5-5 Curva do nível h(t) versus t relativa ao sistema mostrado na 5-4(a). pondente à ação de encher e a outra à ação de esvaziar. Esta oscilação do sinal de saída entre dois limites é uma característica de resposta típica de um sistema de controle de duas posições. Da Fig. 5-5 verifica-se que a amplitude da oscilação de saída pode ser reduzida diminuindo-se o intervalo diferencial. Isto, entretanto, aumenta o número de comutações por minuto da chave, reduzindo a vida útil do componente. A amplitude do intervalo diferencial deve ser determinada a partir de considerações relativas à exatidão exigida e à vida do componente. Ação de controle proporcional. Para um controlador com ação de controle proporcional, a relação entre o sinal de saída do controlador u(t) e o sinal de erro atuante e(t) é ou, no domínio de transformada de Laplace, onde Kp é denominado ganho proporcional. Qualquer que seja o mecanismo real ou a forma da energia usada na operação, o controlador proporcional é essencialmente um amplificador com ganho ajustável. Um diagrama de blocos deste controlador é mostrado na Fig. 5-6. Ação de controle integral. Em um controlador com a ação de controle o valor da saída do controlador u(t) é variado segundo uma taxa proporcional ao sinal de erro atuante e(t). Isto é, dt ou u(t) r e(t) dt o onde K; é uma constante ajustável. A função de transferência do controlador integral é _ Ki S Se o valor de e(t) for dobrado, então o valor de u(t) varia duas vezes mais rápido. Para erro atuante permanece estacionário. A ação de controle integral é muitas vezes denominada controle de restabelecimento 5-7 mostra um diagrama de blocos desse tipo de controlador. 5-6 Diagrama de blocos de um controlador proporcional. 180 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais Fig. 5-7 Diagrama de blocos de um controlador integral. de controle A ação de controle de um controlador proporcional-e-integral é de- n1",,..,nl"'\1","""''''' finida por u(t) = + i t Ti o e(t) dt ou a função de transferência do controlador é onde representa o ganho proporcional e Ti é chamado tempo integral. Tanto Kl'como Ti são ajustáveis. O tempo integral ajusta a ação de controle integral, enquanto uma mudança no valor de Kp afeta tanto a parte proporcional como a parte integral da ação de controle. O inverso do tempo integral Ti é denominado taxa de restabelecimento. A taxa de restabelecimento é o número de vezes por minuto que a parte proporcional da ação de controle é duplicada. A taxa de restabelecimento é medida em termos de repetições por minuto. A Fig. 5-8(a) mostra um diagrama de blocos de um controlador proporcional-e-integral. Se o sinal de erro atuante e(t) for uma função em degrau unitário, como mostrado na Fig. 5-8(b), então a saída do controlador uCt) é a indicada na Fig. 5-8( c). é de controle Drc)DC)r(:lOlr1all-e·-d.E~n,rativa pela seguinte equação A ação de controle de um controlador proporcional-e-derivativo u(t) e a função de transferência é + onde representa ganho proporcional e é uma constante chamada tempo derivativo. Tanto Kp como Td são ajustáveis. ação controle derivativa, algumas vezes denominada controle de taxa, é onde a magnitude da saída do controlador é proporcional à taxa de variação do sinal de eITO atuante. O tempo derivativo Td é o intervalo de tempo pelo qual a ação derivada avança o efeito da ação de controle proporcional. A Fig. 5-9(a) mostra um diagrama de blocos de um controlador proporcional-e-derivativo. Se o sinal de erro atuante eCt) for uma função rampa unitária, conforme mostrado na Fig. 59(b), então a saída do controlador u(t) é a indicada na Fig. 5-9(c). Como pode ser visto na Fig. 5-9(c), a ação de controle derivativa tem um caráter antecipatório. De fato, no entanto, a ação de controle derivativa nunca poderá antecipar uma que ainda não tenha OCOITido. u(t) Degrau unitário eU) \0U'lllClllC o o (a) proporcional) (b) (c) 5-8 (a) Diagrama de blocos de um controlador proporcional-integral; (b) e (c) diagramas esboçando um degrau unitário de entrada e o correspondente sinal de saída do controlador. Seção 5-2 / Ações de Controle Básicas 181 u(t) U(s) e(t) proporcional) o o (c) (b) (a) Fig. 5-9 (a) Diagrama de blocos de um controlador proporcional-derivativo: (b) e (c) diagramas esboçando uma rampa unitária de entrada e o correspondente sinal de saída do controlador. Enquanto a ação de controle derivativa possui a vantagem de ser antecipatória, apresenta as desvantagens de amplificar os sinais de ruído e causar um efeito de saturação no atuador. Note-se que a ação de controle derivativa nunca pode ser usada sozinha porque esta ação de controle somente é efetiva durante os períodos transitórios. Ação de controle proporcional-integral-derivativa. A combinação da ação de controle proporcional, ação de controle integral e ação de controle derivativa é denominada ação de controle proporcional-integral-derivativa. Esta combinada possui as vantagens de cada uma das três ações de controle individuais. A equação de um controlador com esta ação combinada é dada por fi Kp u(t) = Kpe(t) + e(t) dt + ~ o de(t) dt ou pela função de transferência U(s) E(s) onde Kp representa o ganho proporcional, ~I representa o tempo derivativo e representa o tempo integral. O diagrama de 5-10(a). Se e(t) for uma função rampa uniblocos de um controlador proporcional-integral-derivativo é mostrado na tária, conforme mostrado na Fig. 5-10(b), então a saída do controlador u(t) será a indicada na 5-10(c). Efeitos do sensor (elemento de medida) no desempenho do sistema. Uma vez que as características estática e dinâmica do sensor ou elemento de medida afetam a indicação do valor real da variável de saída, o sensor repre- (a) Ação de controle PlD 1I(t) e(t) Ação de controle PD (Somente proporcional) (b) o (c) Fig. 5-10 (a) Diagrama de blocos de um controlador proporcional-integral-derivativo; (b) e (c) diagramas esboçando uma rampa unitária de entrada e o correspondente sinal de saída do controlador. 82 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais R(s) (a) R(s) U(s) C(s) 1>(>0 (b) (c) de blocos de controladores automáticos com sensor (a) de primeira ordem; (b) de segunda ordem superamortecido; ordem subamortecido. (c) de senta um papel importante na determinação do do sistema de controle. O sensor normalmente determina a de transferência no ramo de Se as constantes de tempo de um sensor são suficientemente pequenas, comparadas com outras constantes de tempo no sistema de a função de transferência do sensor simplesmente se torna uma constante. As 5-11 (a), (b) e (c) mostram diagramas de blocos de controladores automáticos dotados segunda ordem superamortecido e de segunda ordem subamortecido, respectivamende um sensor de primeira ordem, resposta de um sensor térmico é normalmente do tipo de segunda ordem superamortecido. E os efeitos das de controle integral e derivativa sobre o desempenho do sistema. se somente de modo que os efeitos das de controle integral e derivativa sobre o selTIp1enho do sistema possam ser vistos claramente. vJlL?;l-lU'-"., No controle de um processo cuja função de transferência não possui um a uma excitação em degrau. Este erro residual ser eliminado se for incluída no controlador uma ação de integral. No controle integral de um processo, o sinal de controle, o sinal de saída do controlador, em qualquer instante é igual à área sob a curva do sinal de elTO atuante até aquele instante. O sinal de controle u(t) pode possuir um valor não-nulo o sinal de erro atuante e(t) for nulo, conforme indicado na 5-12(a). Isto é impossível no caso do controlador V!Jvn~À~'HUC1. uma vez que um sinal de controle não-nulo necessita de um sinal de erro atuante não-nulo. (Um sinal de erro atuante não-nulo em regime estacionário significa que há um erro residual.) Fig. 5-12(b) mostra a curva de e(t) versus t e a curva correspondente u(t) versus t quando o controlador é do tipo proporcional. e(t) eU) u(t) ll(!) (a) (b) 5-12 (a) Gráficos das curvas eU) e /I(t) mostrando sinal de controle não-nulo para sinal de erro atuante nulo (controle integral); (b) das curvas e(t) e u(t) mostrando sinal de controle nulo para sinal de erro atuante nulo (controle proporcional). Seção 5-3 / Efeitos das Ações de Controle Integral e Derivativa Sobre o Desempenho do Sistema 183 (b) (a) Fig. 5-13 (a) Sistema de controle de nível de líquido; (b) diagrama de blocos do sistema. Note-se que a ação de controle integral, embora remova o erro residual ou erro em regime estacionário, pode resultar em uma resposta oscilatória com amplitude lentamente decrescente ou mesmo com amplitude crescente, ambas usualmente indesejáveis. Controle integral de sistemas de controle de nível de líquido. Na Seção 4-2 verificou-se que o controle proporcional de um sistema de nível de líquido apresenta um erro em regime estacionário a uma excitação em degrau. Será mostrado, agora, que este erro pode ser eliminado se for incluída no controlador uma ação de controle integral. A Fig. 5-13(a) mostra um sistema de controle de nível de líquido. Admite-se que o controlador seja um controlador integral. Considera-se, ainda, que os valores instantâneos das variáveis, x, qi' h e q", medidos em relação aos seus valores e Q, são pequenas quantidades, de modo que o sistema possa ser considerarespectivos de regime estacionário X, Q, do linear. Sob estas hipóteses, o diagrama de blocos do sistema pode ser obtido como indicado na Fig. 5-13(b). Da Fig. 513(b), a função de transferência a malha fechada entre e X(s) é H(s) _ _ _ _ K_R_ _ X(s) + s + KR POlianto, + 5 + KR Uma vez que o sistema é estável, o erro em regime estacionário da resposta a uma excitação em degrau unitário é obtido pela aplicação do teorema do valor final como se segue lim sE(s) eV\ \--70 = . 11m \--70 S(RCS2 + s) 1 RCs2 + s + KR s =0 o controle integral do sistema de nível de líquido, portanto, elimina o erro em regime estacionário na resposta a uma excitação em degrau. Esta é uma vantagem importante em relação ao controle proporcional que resulta em erro residual. Resposta a torques de perturbação (controle proporcional). Agora, investiguemos o efeito de um torque perturbador aplicado à carga. Considere-se o sistema indicado na Fig. 5-14. O controlador proporcional fornece um torque T para posicionar o elemento de carga, que consiste em momento de inércia e atrito viscoso. O torque perturbador é designado por D. é dada por Admitindo-se nulo o sinal de referência, ou seja, R(s) O, a função de transferência entre C(s) e 184 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais D c R 5-14 Sistema de controle com torque perturbador. Portanto, 1 E(s) = _ C(s) D(s) D(s) o erro em regime estacionário devido a um torque perturbador em degrau, de valor T d, eyS é dado por = lim sE(s) S->O = lim 1->0 -s ~I + bs + Kp s Em regime permanente, o controlador proporcional fornece o torque - Td que é igual em módulo, mas oposto em sinal, ao torque perturbador A saída em regime permanente, devida ao torque perturbador em degrau, é o erro em regime estacionário pode ser reduzido aumentando-se o valor do ganho Kp' O aumento deste valor, entretanto, resultará em uma resposta mais oscilatória do sistema. Obtenção de resposta com o MATLAB. A seguir serão obtidas curvas de resposta do sistema mostrado na Fig. 5quando este é submetido a uma perturbação em degrau unitário. Serão obtidas, especificamente, curvas de resposta para valores pequenos e para valores grandes de Kf" Sejam considerados dois casos: Caso 1: J= 1, b = 0,5, C(s) _ _ _1_ _ D(s) + 0,5s + 1 Caso 2: J= 1, h = 0,5, C(s) _ _ _1_ _ D(s) + 0,5s + 4 Note-se que, para o sistema 1 [O [1 O 1] 0.5 1] num2 = [O den2 = [1 O 1] 0.5 4J numl denl e para o sistema 2 No Programa MATLAB 5-1 foram usadas as notações y1 e y2 para o sinal de resposta. yl é a resposta c(t) do sistema 1, e y2 é a resposta c(t) do sistema 2. Seção 5-3 / Efeitos das Ações de Controle Integral e Derivativa Sobre o Desempenho do Sistema 185 Note-se que, no Programa MATLAB 5-1, o comando pIot com argumentos múltiplos foi utilizado no lugar do comando hold. (Obtêm-se os mesmos resultados em ambos os casos.) Para utilizar o comando plot com argumentos múltiplos, yl e y2 não devem ter, necessariamente, o mesmo número de elementos. Contudo, é conveniente que os vetores y1 e y2 sejam do mesmo tamanho. Assim, especifica-se o mesmo número de pontos a serem calculados a partir da escolha de pontos correspondentes aos instantes de tempo (como, por exemplo, t = 0:0.1 :20). O comando step deve incluir este valor de t definido pelo usuário. Em conseqüência, no Programa MA TLAB 5-1 foi usado o seguinte comando step: As curvas de resposta ao degrau unitário obtidas pelo uso do Programa MA TLAB 5-1 são mostradas na Fig. 5-15. Programa MATLAB 5-1 % --------------- Traçar duas curvas de resposta ao degrau % num único diagrama --------------% ***** Entrar com os numeradores e denominadores %das duas funções de transferência ***** num1 = [O O 1]; den1 = [1 0.5 1]; num2=(0 O 1]; den2 = [1 0.5 4]; % ***** Para traçar duas curvas de resposta a degrau % y1 versus t e y2 versus t num único diagrama % e escrever dísticos 'Sistema l' e 'Sistema 2' % para distinguir as duas curvas, entrar com os % seguintes comandos ***** t = 0:0.1 :20; [yl/ xl, tJ = step(numl,denl/t); [y2, x2, tJ step(num2,den2,t); plot(t, yl, t, y2) grid text(11,0.75,'Sistema 1'), text(11.2,O.16,'Sistema 2') % ***** Adicionar título do gráfico e legendas dos % eixos x e y ***** title('Respostas ao Degrau de Dois Sistemas') xlabe!('t s') ylabel('Resp8stas yl e y2') Resposta ao degrau de dois sistemas o:l :s2 ~ (l) '"O v: Vi2 0<; ,- 2 4 6 8 10 ts 186 Capítulo 5 / 12 14 16 18 20 5-15 Curvas de resposta ao degrau unitário. Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais D c Fig. 5-16 Controle proporcional-integral de uma carga constituída de inércia e de atrito viscoso. Resposta a torques de perturbação (controle proporcional-integral). Para eliminar o erro residual devido ao torque perturbador, o controlador proporcional deve ser substituído por um controlador proporcional-integral. Se for adicionada ao controlador uma ação de controle integral, então, enquanto houver sinal de erro, haverá um torque desenvolvido pelo controlador visando reduzir este erro, desde que o sistema de controle seja estável. A Fig. 5-16 mostra o controle proporcional-integral de uma carga constituída de inércia e de atrito viscoso. A função de transferência a malha fechada entre C(s) e D(s) é C(s) D(s) s Na ausência de sinal de referência, ou seja, para r(t) = 0, o sinal de erro é obtido a partir de s - - - - - - - D(s) E(s) Se este sistema de controle for estável, isto é, se as raízes da equação característica tiverem partes reais negativas, então o erro em regime estacionário da resposta a um torque perturbador em degrau unitário é obtido aplicando-se o teorema de valor final da seguinte forma: ey \ = lim sE(s) .1'-70 1 -S2 = lim .1'-70 Is3 + bs2 + K s + Kp s p ~ =0 Portanto, o erro em regime estacionário em relação ao torque perturbador pode ser eliminado se o controlador for do tipo proporcional-integral. Note-se que a ação de controle integral adicionada ao controlador proporcional converteu o sistema originalmente de segunda ordem em um sistema de terceira ordem. Conseqüentemente, o sistema de controle pode tornar-se instável para um valor grande de KI' desde que as raízes da equação característica possam possuir partes reais positivas. (O sistema de segunda ordem será sempre estável se os coeficientes na equação diferencial do sistema forem todos positivos.) É importante observar que, se o controlador fosse um controlador integral, como na Fig. 5-17, então o sistema sempre resultaria instável porque a equação característica possuiria raízes com partes reais positivas. Um sistema instável deste tipo não poderia ser usado na prática. Note-se que, no sistema da Fig. 5-16, a ação de controle proporcional tende a estabilizar o sistema, enquanto a ação de controle integral tende a eliminar ou reduzir o erro em regime estacionário em resposta a vários sinais de entrada. Seção 5-3 / Efeitos das Ações de Controle Integral e Derivativa Sobre o Desempenho do Sistema 187 D c Fig. 5-17 Controle integral de uma carga constituída de inércia e de atrito viscoso. Ação de controle derivativa. A ação de controle derivativa, quando adicionada a um controlador proporcional, propicia um meio de obter um controlador com alta sensibilidade. Uma vantagem em se usar ação de controle derivativa é que ela responde à taxa de variação do erro atuante e pode produzir uma correção significativa antes de o valor do erro atuante tornar-se demasiadamente grande. O controle derivativo, portanto, antecipa o erro atuante e inicia uma ação corretiva mais cedo, tendendo a aumentar a estabilidade do sistema. Embora o controle derivativo não afete diretamente o erro em regime estacionário, ele introduz amortecimento no sistema e, portanto, permite o uso de um valor maior do ganho K, o que resulta em uma melhoria na precisão em regime estacionário. Devido ao fato de o controle derivativo operar sobre a taxa de variação do erro atuante e não sobre o próprio erro atuante, este modo nunca é usado sozinho. É sempre utilizado em combinação com ação proporcional ou com ação proporcional-integral. Sistemas de controle proporcional com carga de inércia. Antes de discutir o efeito da ação derivativa no desempenho do sistema, será considerado o controle proporcional de uma carga de inércia. Seja o sistema indicado na Fig. 5-18(a). A função de transferência a malha fechada é obtida como R(s) Como as raízes da equação característica o são imaginárias, a resposta a uma excitação em degrau unitário continua a oscilar indefinidamente, como mostrado na 5-18(b). Sistemas de controle que exibem estas características de resposta não são desejáveis. Será visto que a adição de um controle derivativo estabilizará o sistema. Controle proporcional-derivativo de um sistema com carga de inércia. Seja feita a substituição do controlador proporcional por um controlador proporcional-derivativo cuja função de transferência é Kp(l + O tOl-que desenvolvido pelo controlador é proporcional a Kp(e + Td ê). O controle derivativo é essencialmente antecipatório, mede a velocidade de erro instantânea, prediz grandes valores de ultrapassagem antecipadamente no tempo e produz uma contrária apropriada antes de ocorrer uma ultrapassagem demasiadamente grande. C(s) Ca) (b) 188 Capítulo 5 / 5-18 (a) Controle proporcional de um sistema com carga de inércia; (b) resposta a um degrau unitário. Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais C(s) (b) (a) Fig. 5-19 (a) Controle proporcional-derivativo de um sistema com carga de inércia; (b) resposta a um degrau unitário. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 5-19(a). A função de transferência a malha fechada é dada por C(s) R(s) KP(l + ~/s) Is2 + Kp~/S + Kp A equação característica agora possui duas raízes com partes negativas para valores positivos de I, Kp' e ~J' Portanto, o controle derivativo introduz um efeito de amortecimento. Uma curva de resposta típica c(t) a uma excitação em degrau unitário é fornecida na Fig. 519(b). Evidentemente, a curva de resposta mostra uma melhoria significativa em relação à curva de resposta original indicada na Fig. 5-18(b). Controle proporcional-derivativo de sistemas de segunda ordem. Pode-se alcançar uma solução de compromisso entre o comportamento em regime transitório e o comportamento em regime estacionário por meio da ação de controle proporcional-deri v ati va. Seja o sistema mostrado na Fig. 5-20. A função de transferência a malha fechada é C(s) = Kp + Kds R(s) Is2 + (B + Kd)s + Kp o erro estacionário a uma excitação em rampa unitária é B A equação característica é A constante de amortecimento efetiva do sistema é B sistema vale + Kd em lugar de B. Como o coeficiente de amortecimento ~ deste é possível obter, simultaneamente, valores pequenos para o erro de regime permanente e ss a uma excitação em rampa e para o valor de ultrapassagem a uma excitação em degrau, fazendo-se os valores de B pequeno, de Kp elevado, e de Kd suficientemente grande de modo a se ter o valor de ~ entre 0,4 e 0,7. C(s) Fig. 5-20 Sistema de controle. Seção 5-3 / Efeitos das Ações de Controle Integral e Derivativa Sobre o Desempenho do Sistema 189 2,0 1,8 • L6 -I 1,4 ~I 1,2 r • '"\ ,rv/ • · ".--- ~ ~ I rll: ~ ~ t::::::--... l/I ""- ....I 'I II 1/ fI/ / cU) 1,0 '-- 0,8 0,6 0.4 0,2 t/·· a= n Fig. 5-21 Curvas de respostas ao degrau unitário do sistema de segunda ordem ... ......... . O O I;w 2 3 • 4 5 • C(s) _ W~ R(s) - -;- 678 ~ S2 S + Z + 2~wns + W~ = 0,5 A seguir, será examinada a resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Fig. 5-20. Seja a definição úJ n z = A função de transferência a malha fechada pode ser escrita s + C(s) _ R(s) Z S2 + Z 2~úJns + úJ~ Quando um sistema de segunda ordem possui um zero próximo dos pólos a malha fechada, o comportamento da resposta transitória se torna consideravelmente diferente daquele de um sistema de segunda ordem sem o zero. Se o zero em s - z estiver localizado próximo ao eixo jm, seu efeito sobre a resposta ao degrau unitário será bastante significativo. Curvas de resposta ao degrau típicas deste sistema, para valores de ~ = 0,5 e diversos valores de zI(~mn)' são mostradas na Fig. 5-21. SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR Nesta seção discute-se inicialmente a resposta ao degrau unitário de um tipo particular de sistema de ordem superior. Em seguida apresenta-se, em termos gerais, uma análise de resposta transitória de sistemas de ordem superior. Apresenta-se, finalmente, uma análise de estabilidade no plano complexo. Resposta transitória de sistemas de ordem superior. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 5-22. A fun- ção de transferência a malha fechada é C( s) _ _ _C_(~s)'----_ R(s) 1 + C(s)H(s) Em geral, C(s) e H(s) são dados como relações de polinómios em s, ou seja, C(s) = p(s) q(s) e H( ) = n(s) s d(s) C(s) Fig. 5-22 Sistema de controle. 190 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais onde p(s), q(s), n(s) e d(s) são polinómios em s. A função de transferência a malha fechada dada pela Eq. (5-1) pode ser escrita então p(s)d(s) R(s) q(s)d(s) + p(s)n(s) (m ~ n) A resposta transitória deste sistema a qualquer sinal de entrada dado pode ser obtida por uma simulação em computador (Ver Seção 4-4). Se se desejar uma expressão analítica para a resposta transitória, então é necessário fatorar o polinómio em denominador. [O MATLAB pode ser usado para se encontrarem as raízes do polinómio em denominador. Digitar o comando roots(den).] Uma vez que o polinómio em denominador tenha sido fatorado, C(s)/R(s) pode ser escrita assim C(s) _ R(5) + ZI)(S + Z2) ... (s + znJ (s + Pl)(S + P2) ... (5 + Pn) ------~----~--------~~ Será examinado o comportamento da resposta deste sistema para uma excitação em degrau unitário. Será considerado primeiramente o caso em que todos os pólos a malha fechada são reais e distintos. Para uma excitação em degrau unitário, a Eq. (5-2) pode ser escrita a C(s) = - + 11 (5-3) s - Pi' onde ai é o resíduo do pólo situado em s Se todos os pólos a malha fechada estiverem localizados no semiplano esquerdo, as magnitudes relativas dos resíduos determinam a importância relativa dos componentes na forma expandida de Ces). Se há um zero a malha fechada perto de um pólo a malha fechada, então o resíduo neste pólo é pequeno e o coeficiente do termo de resposta transitória que corresponde a este pólo se torna pequeno. Um pólo a malha fechada e um zero a malha fechada, perto um do outro, se cancelarão efetivamente. Se o pólo estiver localizado muito longe da origem, o resíduo neste pólo pode ser pequeno. Os transitórios que correspondem a tal pólo afastado são pequenos e de curta duração. Os termos na forma expandida de C(s) que têm resíduo muito pequeno pouco contribuem para a resposta transitória e podem ser desprezados. Se isto for feito, o sistema de ordem superior pode ser aproximado por um de ordem inferior. (Tal aproximação freqüentemente permite estimar as características de resposta de um sistema de ordem superior a partir daquelas de um sistema simplificado.) Seja, a seguir, o caso em que os pólos de Ces) consistem em pólos reais e pares de pólos complexos-conjugados. Um par de pólos complexos-conjugados fornece um termo de segunda ordem em s. Como a forma fatorada da equação característica de ordem superior constitui-se de termos de primeira e de segunda ordem, então a Eq. (5-3) pode ser reescrita m K II (5 + z) C(s) = ______i=_I_ _ _ _ _ _ __ s onde q + 2r = n. Se os pólos a malha fechada forem distintos, a Eq. (5-4) pode ser expandida em frações parciais como a seguir: a C(s) = - + S a _J_ /=1 5 + ~ + /(ccl Desta última equação vê-se que a resposta de um sistema de ordem superior é composta de um certo número de termos envolvendo as funções simples achadas nas respostas de sistemas de primeira e de segunda ordem. A resposta c(t) a uma excitação em degrau unitário, a transformada de Laplace inversa de C(s), é então (j c(t) = a r 2: +2: j=1 /(=1 sen t, para t;:::: O (5-5) 1<=1 Seção 5-4 / Sistemas de Ordem Superior 191 Assim, a resposta de um sistema estável de ordem elevada é composta pela soma de exponenciais e de senóides amortecidas. Se todos os pólos a malha fechada estiverem no semiplano esquerdo do plano s, então os termos exponenciais e m termos amortecidos exponencialmente na Eq. (5-5) tenderão a zero quando t cresce. O valor da saída em regime estacionário é então c( 00) = a. Suponha-se que o sistema em consideração seja estável. Então os pólos a malha fechada que estão localizados longe do eixo ieu têm partes reais negativas de valor alto. Os termos exponenciais que correspondem a estes pólos decaem rapidamente a zero. (Note-se que a distância horizontal de um pólo a malha fechada ao eixo ieu determina o tempo de acomodação de transitórios devido àquele pólo. Quanto menor a distância, maior é o tempo de acomodação.) Deve-se lembrar que o tipo de resposta transitória é determinado pelos pólos a malha fechada, enquanto a forma é determinada primariamente pelos zeros. Como se viu antes, os pólos do sinal de entrada R(s) fornecem os termos de resposta estacionária na solução, enquanto os pólos de C(s)/R(s) entram nos termos de resposta transitória exponencial e/ou nos termos de resposta transitória senoidal amortecidos. Os zeros de C(s)/R(s) não afetam os expoentes nos termos de resposta exponencial, mas sim as magnitudes e sinais dos resíduos. Pólos a malha fechada dominantes. A dominância relativa de pólos a malha fechada é determinada pela relação das partes reais dos pólos a malha fechada, bem como pelos valores relativos dos resíduos calculados nos pólos malha fechada. As magnitudes dos resíduos dependem, ao mesmo tempo, dos pólos e dos zeros a malha fechada. Se as relações das partes reais excedem cinco, e não havendo zeros na vizinhança, então os pólos a malha fechada mais perto do eixo ieu dominarão no desempenho da resposta transitória porque estes pólos correspondem a termos de resposta transitória que decaem lentamente. Os pólos a malha fechada que têm efeito dominante sobre o comportamento da resposta transitória são chamados pólos dominantes. Freqüentemente, os pólos a malha fechada dominantes ocorrem na forma de um par complexo-conjugado. Os pólos a malha fechada dominantes são os mais importantes entre os pólos a malha fechada. O ganho de um sistema de ordem superior é freqüentemente ajustado até que exista um par de pólos a malha fechada complexos-conjugados dominantes. A presença destes pólos em um sistema estável reduz o efeito de não-linearidades tais como zona morta, histerese e atrito seco. Deve-se lembrar que, embora o conceito de pólos a malha fechada dominantes seja útil para se estimar o comportamento dinâmico de um sistema a malha fechada, há necessidade de cuidados para verificar se as hipóteses são realmente satisfeitas antes de se utilizar este conceito. Análise de estabilidade no plano complexo. A estabilidade de um sistema linear a malha fechada pode ser determinada pela localização dos pólos a malha fechada no plano s. Se qualquer desses pólos estiver situado no semiplano direito do plano s, então à medida que o tempo cresce, eles dão origem ao modo dominante, e a resposta transitória aumenta monotonicamente ou oscila com amplitude crescente. Isto representa um sistema instável. Para tal sistema, tão logo a fonte de energia seja ligada, a saída poderá crescer com o tempo. Se não existir saturação ou não for providenciado algum limitador mecânico, então o sistema pode vir a sofrer danos e parar de funcionar, uma vez que a resposta de um sistema físico real não pode aumentar indefinidamente. Portanto, pólos a malha fechada no semiplano direito não são permissíveis nos sistemas de controle lineares usuais. Se todos os pólos a malha fechada estiverem situados à esquerda do eixo i eu, 3 resposta transitória termina por alcançar um equilíbrio. Isto representa um sistema estável. O fato de um sistema linear ser estável ou instável é uma propriedade do sistema em si e não depende do sinal de entrada do sistema. Os pólos do sinal de entrada, ou excitação, não afetam a propriedade de estabilidade do sistema, mas contribuem somente para os termos de resposta estacionária na solução. Portanto, o problema de estabilidade absoluta pode ser jw Nesta região S>O,4 4 ts < (i o a Fig. 5-23 Região do plano complexo satisfazendo a condição' > 0,4 e t, < 4/0-. 192 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais resolvido de imediato, não se escolhendo pólos a malha fechada no semiplano s da direita, incluído o eixo jm. (Matematicamente, pólos a malha fechada no eixo jm resultarão em oscilações, com amplitude nem descrescente nem crescente com o tempo. Em casos práticos, onde o ruído se faz presente, a amplitude das oscilações pode crescer com uma taxa determinada pelo nível de potência do ruído. Portanto, um sistema de controle não pode ter pólos a malha fechada no eixo jm.) Note-se que o mero fato de que todos os pólos a malha fechada estejam no semiplano esquerdo do plano s não garante características satisfatórias para a resposta transitória. Se há pólos a malha fechada complexos-conjugados dominantes perto do eixo jm, a resposta transitória pode apresentar oscilações excessivas ou ser muito lenta. Portanto, para garantir uma característica de resposta transitória rápida e ainda bem amortecida, é necessário que os pólos a malha fechada do sistema se localizem em regiões particulares do plano complexo, como por exemplo a região limitada pela área hachurada na Fig. 5-23. Uma vez que a estabilidade relativa e o desempenho transitório de um sistema de controle a malha fechada estão diretamente relacionados com a configuração de pólos e zeros a malha fechada no plano s, freqüentemente se torna necessário ajustar um ou mais parâmetros do sistema para obter configurações satisfatórias. Os efeitos de variação de parâmetros do sistema sobre os pólos a malha fechada serão discutidos com detalhes no Cap. 6. CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH O problema mais importante em sistemas de controle lineares é o da estabilidade. Ou seja, em que condições um sistema se tornará instável? Se ele é instável, como se pode estabilizá-lo? Na Seção 5-4 foi dito que um sistema de controle é estável se e somente se todos os pólos a malha fechada estiverem situados no semiplano esquerdo do plano s. Como a maioria dos sistemas lineares a malha fechada apresenta funções de transferência a malha fechada da forma C(s) R(s) j bos m + bjs m - + ... + bm_js + b m = B(s) aos n + ajs n - I + ... + an_ls + an A(s) onde os coeficientes ai e b j são constantes em::::; n, deve-se inicialmente fatorar o polinómio A(s) para achar os pólos a malha fechada. Um critério simples, conhecido como critério de estabilidade de Routh, permite determinar o número de pólos a malha fechada que estão no semiplano direito s sem ter que fatorar o polinómio. Critério de estabilidade de Routh. O critério de estabilidade de Routh diz se há ou não raízes instáveis de uma equação polinomial sem ter que resolver a equação. Este critério de estabilidade se aplica a polinómios com apenas um número finito de termos. Quando o critério é aplicado a um sistema de controle, pode-se obter informação sobre estabilidade absoluta diretamente dos coeficientes da equação característica. O procedimento no critério de estabilidade de Routh é o seguinte: 1. Escrever o polinómio em s da seguinte forma o onde os coeficientes são grandezas reais. Admite-se que a -::/= O; isto é, qualquer raiz nula foi removida. 2. Se qualquer dos coeficientes for zero ou negativo na presença de pelo menos um coeficiente positivo, então há uma raiz ou raízes que são imaginárias ou que têm partes reais positivas. Portanto, em um caso como este, o sistema não é estável. Se estivermos interessados apenas na estabilidade absoluta, não há necessidade de seguir com o procedimento. Note-se que todos os coeficientes devem ser positivos. Esta é uma condição necessária, como pode ser visto pelo seguinte argumento: um polinómio em s que tem coeficientes reais pode ser sempre fatorado em fatores lineares e quadráticos, + bs + c), onde a, b e c são reais. Os fatores lineares resultam em raízes reais do polinómio, e os tais como (s + a) e fatores quadráticos em raízes complexas. O fator (S2 + bs + c) resulta em raízes com partes reais negativas somente se b e c são ambos positivos. Para que todas as raízes tenham partes reais negativas, as constantes a, b, c. etc. em todos os fatores devem ser positivas. O produto de qualquer número de fatores lineares e quadráticos que contém apenas coeficientes positivos sempre resulta em um polinómio com coeficientes positivos. É importante notar que a condição de que todos os coeficientes sejam positivos não é suficiente para assegurar estabilidade. A condição necessária, mas não suficiente, para estabilidade é que os coeficientes da Eq. (5-6) estejam todos presentes e todos tenham um sinal positivo. (Se todos os ai são negativos, eles podem ser tornados positivos multiplicando-se ambos os membros da equação por - 1.) 3. Se todos os coeficientes são positivos, arranjar os coeficientes do polinómio em linhas e colunas de acordo com o seguinte padrão: l1 Seção 5-5 / Critério de Estabilidade de Routh 193 s/1 sl1-[ 511 ...... 2 sn-3 sn-4 ao aI bl a2 a3 b2 a4 as b3 aó Cl C2 C3 C4 d3 d4 dI 5,2 el SI fI "'0 g] a7 b4 e2 Os coeficientes b], b 2 , b 3 e assim por diante são calculados como a seguir: O cálculo dos b's continua até que os restos sejam todos nulos. O mesmo padrão de multiplicação em cruz dos coeficientes das duas linhas anteriores é seguido para calcular os c's, d's, e's etc. Ou seja, c] c2 c3 b]a 3 - a]b 2 b[ b[a S - a 1b 3 b[ a 1b 4 b 1a7 b[ e Este processo continua até que a n-ésima linha tenha sido completada. O arranjo completo de coeficientes é triangular. Note-se que, ao desenvolver o arranjo, uma linha inteira pode ser dividida ou multiplicada por um número positivo visando simplificar os cálculos subseqüentes sem alterar a conclusão de estabilidade. O critério de estabilidade de Routh diz que o número de raízes da Eq. (5-6) com partes reais positivas é igual ao número de mudanças de sinal dos coeficientes da primeira coluna do arranjo tabular. Deve-se notar que os valores exatos dos termos da primeira coluna não precisam ser conhecidos; apenas os sinais são necessários. A condição necessária e suficiente 194 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais para que todas as raízes da (5-6) fiquem no semiplano esquerdo do plano s é que todos os coeficientes da Eq. (5-6) sejam positivos e que todos os termos da primeira coluna do arranjo tabular tenham sinais positivos. EXEMPLO 5-1 Seja aplicar o critério de estabilidade de Routh para o seguinte polinómio de terceira ordem onde todos os coeficientes são números positivos. O arranjo tabular de coeficientes se torna s-' ao a2 S2 aI ao., SI aI SO ao., A condição para que todas as raízes tenham partes reais negativas é dada por EXEMPLO 5-2 Considere-se o seguinte polinómio: Vai-se seguir o procedimento apresentado e construir a tabela de coeficientes. (As duas primeiras linhas podem ser obtidas diretamente do polinómio dado. Os demais termos são obtidos a partir destes. Se qualquer dos coeficientes for inexistente, este pode ser substituído por um zero na tabela.) 1 2 S4 S3 3 4 5 O S4 1 s:l l S2 1 SI -6 SI So 5 sO 5 1 -3 5 S2 3 5 0 '" 2 5 A segunda linha foi dividida O por 2. Neste exemplo o número de mudanças de sinal dos coeficientes da primeira coluna é igual a dois. Isto significa que há duas raízes com partes reais positivas. Note-se que o resultado não se altera quando os coeficientes de qualquer linha são multiplicados ou divididos por um número positivo para simplificar os cálculos. Casos especiais. Se um termo da primeira coluna for nulo, mas os termos restantes não forem nulos ou não houver termo restante, então o termo nulo é substituído por um número E positivo muito pequeno e o resto da tabela é calculado. Por exemplo, considere-se a seguinte equação +s+2=O S3 o arranjo tabular de coeficientes é S3 1 1 2 S2 2 SI O=E SO 2 Se o sinal do coeficiente acima de zero CE) é o mesmo sinal do coeficiente abaixo, isto indica que há um par de raízes imaginárias. De fato, a Eq. (5-7) tem duas raízes em s = ± j. Se, entretanto, o sinal do coeficiente acima do zero CE) é oposto ao do coeficiente abaixo, isto indica que há uma mudança de sinal. Por exemplo, para a seguinte equação Seção 5-5 / Critério de Estabilidade de Routh 195 35 + 2 53 (5 - 1)2(5 + 2) = O a tabela de coeficientes é 53 Uma mudança de sinal: (52 C 51 Uma mudança de sinal: 1 -3 O=E -3 - 2 2 E 2 5° Há duas mudanças de sinal dos coeficientes da primeira coluna. Isto está de acordo com o resultado correto indicado pela forma fatorada de equação polinomial. Se todos os coeficientes em uma linha calculada forem nulos, isto indica que há raízes de igual módulo mas radialmente opostas no plano s, isto é, duas raízes reais com módulo igual mas sinal oposto e/ou duas raízes imaginárias conjugadas. Em tal caso, o cálculo do resto da tabela pode ser continuado formando-se um polinómio auxiliar com os coeficientes da última linha e usando-se os coeficientes da derivada deste polinómio na linha seguinte. Tais raízes com igual módulo e situadas radialmente opostas no plano s podem ser determinadas resolvendo-se o polinómio auxiliar, que é sempre par. Para um polinómio auxiliar de grau 2n há n pares de raízes iguais e opostas. Por exemplo, considere-se a seguinte equação: 55 254 + 245 3 + 485 2 255 - 50 = O A tabela de coeficientes é Os termos na linha auxiliar P(s) é S3 55 1 24 -25 54 53 2 48 - 50 O O ~ Polinómio auxiliar P(s) são todos nulos. O polinómio auxiliar é então formado dos coeficientes da linha P(5) = 25 4 + 485 2 .5.4. O polinómio 50 que indica que há dois pares de raízes de igual módulo e sinal oposto. Estes pares são obtidos resolvendo-se a equação polinomial auxiliar P(s) O. A derivada de P(s) com respeito a s é 85 3 d5 + 965 Os termos na linha·s 3 são substituídos pelos coeficientes da última equação, ou seja, 8 e 96. A tabela de coeficientes então se torna 55 54 5,3 51 5° 1 24 -25 2 48 -50 8 24 112,7 -50 96 -50 f-Coeficientes de dP(s)/ds O Vê-se que há uma mudança de sinal na primeira coluna da nova tabela. Portanto, a equação original tem uma raiz com parte real positiva. Resolvendo a equação polinomial auxiliar 25 4 + 485 2 - 50 = O obtém-se 196 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais ou s s = ±j5 ±1, Estes dois pares de raízes são uma parte da equação original. De fato, a equação original pode ser escrita em forma fatorada como a seguir: (s + l)(s l)(s + j5)(s j5)(s 2) o É evidente que a equação original tem uma raiz com parte real positiva. Análise de estabilidade relativa. O critério de estabilidade de Routh provê a resposta à questão da estabilidade absoluta. Isto, em muitos casos práticos, não é suficiente. Normalmente é requerida informação sobre a estabilidade relativa do sistema. Um modo útil de se examinar a estabilidade relativa consiste em se deslocar o eixo vertical do plano s e aplicar o critério de estabilidade de Routh. Ou seja, substitui-se s=s-a (a = constante) s na equação característica do sistema, escreve-se o polinómio em termos de e, então, se aplica o critério de estabilidade de Routh para o novo polinómio em S. O número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela feita para o polinómio em ,~ é igual ao número de raízes que estão localizadas para a direita da linha vertical s = -a. Portanto, este teste revela o número de raízes que estão à direita da linha vertical s = -a. Aplicação do critério de estabilidade de Routh para a análise de sistemas de controle. O critério de estabilidade de Routh é de utilidade limitada na análise de sistemas de controle lineares, principalmente porque ele não sugere como melhorar a estabilidade relativa ou como estabilizar um sistema instável. Entretanto, é possível determinar os efeitos da modificação de um ou dois parâmetros de um sistema examinando-se os valores que causam instabilidade. Em seguida, considera-se o problema de determinar a região de estabilidade para um valor de um parâmetro. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 5-24. Será determinada a região de valores de K para os quais haverá estabilidade. A função de transferência a malha fechada é C(s) _ K R (s ) s (S2 + s + 1) (s + 2) + K A equação característica é + 2s + K = O O arranjo tabular dos coeficientes se torna 1 3 S4 S3 7 S2 :3 SI 2 - ~K K SO 3 K 2 K O Para estabilidade, K deve ser positivo, e todos os coeficientes da primeira coluna devem ser positivos. Portanto, Jt Quando K = >K>O 14/9, o sistema se torna oscilatório e, matematicamente, a oscilação é mantida com amplitude constante. C(s) Fig. 5-24 Sistema de controle. Seção 5-5 / Critério de Estabilidade de Routh 197 CONTROLADORES PNEUMÁTICOS* Como meio mais versátil de transmitir sinais e potência, os fluidos, sejam como líquidos, sejam como gases, têm amplo emprego na indústria. Líquidos e gases podem ser distinguidos basicamente por suas relativas incompressibilidades e pelo fato de que um líquido pode ter uma superfície livre, enquanto um gás se expande para encher seu recipiente. No campo da engenharia o termo pneumático descreve os sistemas de fluidos que usam ar ou gases, e hidráulico se aplica aos sistemas que usam óleo. Os sistemas pneumáticos são extensivamente usados na automação de maquinaria de produção e no campo dos controladores automáticos. Por exemplo, circuitos pneumáticos que convertem a energia do ar comprimido em energia mecânica têm amplo uso, e vários tipos de controladores pneumáticos são achados na indústria. Uma vez que sistemas pneumáticos e sistemas hidráulicos são freqüentemente comparados, será feita a seguir uma breve comparação entre estas duas espécies de sistemas. Comparação entre sistemas pneumáticos e sistemas hidráulicos. O fluido geralmente achado em sistemas pneumáticos é o ar; em sistemas hidráulicos é o óleo. E são principalmente as diversas propriedades dos fluidos envolvidos que caracterizam as diferenças entre os dois sistemas. Essas diferenças podem ser relacionadas da seguinte forma: 1. O ar e os gases são compressíveis, enquanto o óleo é incompressível. 2. O ar é desprovido de propriedades lubrificantes e sempre contém vapor d'água. O óleo funciona como fluido hidráulico e também como lubrificante. 3. A pressão de operação normal de sistemas pneumáticos é muitíssimo mais baixa do que a dos sistemas hidráulicos. 4. As potências de saída dos sistemas pneumáticos são consideravelmente menores do que as dos sistemas hidráulicos. 5. A precisão dos atuadores pneumáticos é deficiente nas baixas velocidades, enquanto a precisão dos atuadores hidráulicos pode ser satisfatória em todas as velocidades. 6. Em sistemas pneumáticos, a fuga externa é permissível até certo ponto, mas a fuga interna deve ser evitada porque a diferença de pressão efetiva é um tanto pequena. Nos sistemas hidráulicos, a fuga interna é permissível até certo ponto, mas a fuga externa deve ser evitada. 7. Não são requeridas tubulações de retorno em sistemas pneumáticos que utilizam o ar, mas elas são sempre necessárias em sistemas hidráulicos. 8. A temperatura de operação normal em sistemas pneumáticos é de 5° a 60°C (41 ° a 140°F). O sistema pneumático, no entanto, pode ser operado na faixa de 0° a 200°C (32° a 392°F). Os sistemas pneumáticos são insensíveis às variações de temperatura, em contraste com os sistemas hidráulicos, onde o atrito dos fluidos devido à viscosidade depende grandemente da temperatura. A temperatura de operação normal nos sistemas hidráulicos é de 20° a 70°C (68° a 158°F). 9. Sistemas pneumáticos são à prova de fogo e de explosão, enquanto os sistemas hidráulicos não o são. A seguir, começa-se com uma modelagem matemática dos sistemas pneumáticos. Depois, são apresentados os controladores pneumáticos proporcionais. Ilustra-se o fato de que os controladores proporcionais utilizam o princípio da retroação negativa neles próprios. Será apresentada uma discussão detalhada do princípio pelo qual operam os controladores proporcionais. Finalmente, serão tratados métodos de obtenção das ações de controle derivativa e integral. Em todas as discussões, a ênfase recai sobre os princípios fundamentais, em vez de em detalhes da operação dos mecanismos reais. Sistemas pneumáticos. As décadas passadas viram um grande desenvolvimento nos controladores pneumáticos de baixa pressão para sistemas de controle industrial, e atualmente eles são usados extensivamente nos processos industriais. Dentre as razões para sua grande atração incluem-se sua característica de funcionamento à prova de explosão, a simplicidade e a facilidade de manutenção. Resistência e capacitância de sistemas de pressão. Muitos processos industriais e controladores pneumáticos envolvem o fluxo de um gás ou ar através de tubulações e de recipientes sob pressão conectados. Considere-se o sistema de pressão mostrado na Fig. 5-25(a). O fluxo de gás através da restrição é uma função da diferença de pressão Pi Pu do gás. Um sistema de pressão desse tipo pode ser caracterizado em termos de uma resistência e de uma capacitância. A resistência R do fluxo de gás pode ser assim definida: R= variação na diferença de pressão do gás, N/m" variação na diferença de vazão do gás, kg/s *Foram adotadas ao longo deste capítulo as unidades do Sistema Internacional. (N. do T.) 198 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais ou R=d(6.P) dq onde é uma pequena variação na diferença de pressão do gás e dq uma pequena variação na vazão de gás. O cálculo do valor da resistência R do fluxo de gás pode ser bastante demorado. Experimentalmente, entretanto, pode ser facilmente determinado através de um gráfico relacionando a diferença de pressão com a vazão e calculando-se a inclinação da curva em uma dada condição de operação, conforme mostrado na Fig. 5-25(b). A capacitância do recipiente sob pressão pode ser definida por variação na quantidade de gás armazenado, kg C=----------------------------------variação na pressão do gás armazenado, N/m 2 ou c = dm = V dp dp onde C m p V p (5-9) dp capacitância, kg-m 2lN massa do gás no interior do recipiente, kg pressão do gás, N/m 2 volume do recipiente, m 3 densidade do gás, kg/m 3 A capacitância do sistema de pressão depende do tipo de processo de expansão envolvido. A capacitância pode ser calculada pelo uso da lei dos gases perfeitos. Se o processo de expansão do gás for politrópico e a mudança de estado do gás for entre isotérmica e adiabática, então constante (5-10) onde n = expoente politrópico. Para os gases perfeitos, pv RT pv ou R -T M em que p= pressão absoluta, N/m 2 v= volume ocupado por 1 moI do gás, m 3/kg-mol R= constante universal dos gases, N-m/kg-mol °K temperatura absoluta, °K T v= volume específico do gás, m 3lkg M= massa molecular do gás por moI, kglkg-mol R M T = Rgás T 1) onde = constante do gás, N-m/kg °K. O expoente politrópico n é unitário para expansão isotérmica. Para expansão adiabática, n é igual à relação entre os calores específicos c/c" onde cp é o valor do calor específico a pressão constante e c,. é o calor específico a volume constante. Em muitos casos práticos o valor de n é aproximadamente constante e portanto a capacitância pode ser considerada constante. O valor de dpldp é obtido das Eq. (5-10) e (5-11) como Seção 5-6 / Controladores Pneumáticos dp 1 dp nRgásT 199 jp Inclinação =R P+Pi Capacitância C o (b) (a) Fig. 5-25 (a) Diagrama esquemático de um sistema de pressão; (b) curva de diferença de pressão versus vazão. A capacitância é então obtida como (5-12) A capacitância de um dado recipiente é constante se a temperatura permanecer constante. (Em muitos casos práticos, o expoente politrópico ri é aproximadamente 1,0 ~ 1,2 para gases em recipientes metálicos não-isolados.) Sistemas de pressão. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 5-25(a). Supondo-se apenas pequenos desvios nos valores das variáveis, em relação a seus respectivos valores de regime estacionário, então este sistema pode ser considerado linear. Seja a definição P = valor de regime estacionário da pressão do gás no interior do recipiente (antes da ocorrência de variações de pressão), N/m2 Pi pequena variação na pressão do gás que entra no recipiente, N/m2 Po pequena variação na pressão do gás que sai do recipiente, N/m2 V volume do recipiente, m 3 m massa do gás no interior do recipiente, kg q vazão do gás, kg/s p massa específica do gás, kg/m 3 Para pequenos valores de Pi e Pi!' a resistência R dada pela Eq. (5-8) torna-se constante e pode ser escrita como R = Pi Po q A capacitância C é dada pela Eq. (5-9), ou dm C=dp Uma vez que a variação de pressão dpo vezes a capacitância C é igual ao gás adicionado ao recipiente durante dt segundos, obtém-se C dpo = q dt ou c dt R que pode ser escrita como RC 200 Capítulo 5 / dt + Pi! Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais Sinal de entrada Suprimento de ar 1 ~ Orifício Palheta Ps t Para a válvula de controle x (a) (b) Fig. 5-26 (a) Diagrama esquemático de um amplificador pneumático bocal-palheta; (b) curva característica relacionando a pressão reversa e a distância bocal-palheta. Se Pi e Po forem consideradas, respectivamente, a grandeza de entrada e a grandeza de saída, então a função de transferência do sistema é 1 RCs + 1 onde RC possui a dimensão de tempo e é a constante de tempo do sistema. Amplificadores pneumáticos bocal-palheta (nozzle-flapper). Um diagrama esquemático de um amplificador pneumático do tipo bocal-palheta (nozzle-flapper) é indicado na Fig. 5-26(a). A fonte de potência para este amplificador é uma fonte de ar a pressão constante. O amplificador converte pequenas variações na posição da palheta em grandes variações na pressão do bocal. Portanto, uma grande potência de saída pode ser controlada através de uma pequena potência necessária para posicionar a palheta (jlapper). Na Fig. 5-26(a), o ar pressurizado é introduzido através de um orifício e o ar é ejetado do bocal (nozzle) para a palheta. Geralmente a pressão de alimentação para este controlador é de 20 psig (1,4 kg/cm 2). O diâmetro do orifício é da ordem de 0,01 in. (0,25 mm), e o do bocal é da ordem de 0,016 in. (0,4 mm). O diâmetro do bocal deve ser maior que o do orifício, a fim de que o amplificador funcione apropriadamente. Para operar este sistema, a palheta é posicionada contra a abertura do bocal. A pressão no bocal P/J é controlada pela distância X palheta-bocal. Conforme a palheta se aproxima do bocal, a oposição para o fluxo de ar através do bocal aumenta, resultando em um aumento da pressão p/r Se o bocal for completamente fechado pela haste, a pressão do bocal é igual à pressão de alimentação PI.' Se a palheta for distanciada do bocal, de modo que a distância bocal-palheta seja grande (da ordem de 0,25 mm) então não há praticamente restrição ao fluxo e a pressão no bocal possui o seu valor mínimo, que depende do dispositivo haste-bocal utilizado. (A mínima pressão possível será a pressão ambiente Pu') Note-se que, como o jato de ar empurra a palheta, é necessário construir o diâmetro do bocal tão pequeno quanto possíveL Uma curva típica relacionando a pressão do bocal com a distância palheta-bocal X é mostrada na Fig. 5-26(b). A parte descendente e quase linear da curva é utilizada na operação real do amplificador bocal-palheta. Como o intervalo de deslocamentos da palheta é restrito a valores muito pequenos, a variação na pressão de saída também é pequena, a menos que se tenha uma curva muito íngreme. O amplificador bocal-palheta converte deslocamentos em um sinal de pressão. Já que os sistemas de controle de processo industrial exigem grandes potências de saída para a operação de grandes válvulas atuantes pneumáticas, usualmente a amplificação de potência do amplificador bocal-palheta é insuficiente. Conseqüentemente, muitas vezes um relé pneumático serve como amplificador de potência em conexão com o amplificador bocal-palheta. Relés pneumáticos. Na prática, em um controlador pneumático, um amplificador bocal-palheta atua como primeiro estágio amplificador e um relé pneumático como o segundo estágio amplificador. O relé pneumático é capaz de operar com uma grande quantidade de fluxo de ar. Um diagrama esquemático de um relé pneumático é mostrado na Fig. 5-27(a). Conforme a pressão no bocal Pi> aumenta, a válvula do diafragma se move para baixo. A abertura para a atmosfera diminui e a abertura para a válvula pneumática aumenta, aumentando desse modo a pressão de controle PC' Quando a válvula de diafragma fecha a abertura para a atmosfera, a pressão de controle Pc torna-se igual à pressão de alimentação PI' Quando a pressão inversa P" no bocal diminui e a válvula de diafragma se move para cima e fecha o suprimento de ar, o valor da pressão de controle Pc cai para o valor da Seção 5-6 / Controladores Pneumáticos 201 Pre);~ão rever<.:a Pressão reversa de bocal PI> de bocal PI> A atmosfera À válvula pneumática À atrrloslera Suprimento ar sob pressão ,",,·imc·ntn (b) (a) 5-27 (a) UI,l~raITlla de esquemático de um relé do tipo com dreno: (b) LtlCli"-lUIlJlU esquemático de um relé do tipo sem dreno. ambiente até a de controle desde O variar a Pode-se, portanto, usualmente 20 é muito pequeno. Em todas as POSlc:oe~s O movimento total da válvula de fechar o de ar, o ar continua a escapar para a atmosfera, mesmo ser CH'''h'·UH inversa do bocal e a de controle. Portanto, o relé mostrado na rH""C''''''' de ,,,,,,',,y\,o,,t,, total, Há um outro de o o ar deixa de escapar a de é na em estado estacionário. Note-se, entretanto, que o relé do e, portanto, não há perda de ar um sistema de alívio para remover a de controle da válvula atuante Um ""'''-lU'vi'''''''''"'V de um relé sem dreno é mostrado na Em qualquer tipo de relé o de ar é controlado por uma que por sua vez é controlada do bocal. do bocal é convertida na de controle com C\,.y,nl,T\f>'lr·ClI' de controle varia quase que instantaneamente em das na do bocal é se com as outras constantes de tempo do controlaa constante de tempo do relé dor e do processo a controlar, que são usualmente maiores. Observa-se que relés são de reversa. Por o relé mostrado na 5-28 é um relé aumenta, a válvula de esfera é p~:::>r(:iOlnajis UUÇ;,YIJIlOl.l\"U;::O balarlce:an1eI1tcl-de-10rca. são extensivamente utilizados na cos, um denominado do indústria. ln(jel)eI1d(~nten1eI1te industriais possam parecer, um estudo cuido circuito Serão considerados apenas os controladores dadoso mostrará a grande similaridade nas do de controlador r"',,nf,rr'">t''' ,.,,~,~C'rn~ inversa do bocal é controlada ta constitui o primeiro de inversa do bocal determina a DOSlç:ao do relé constitui o .",."U,'~V da válvula de de fluxo para o de ar. 1J11'-Ul1H.tl1\.V., 1J1l'-Ulli e PC' respectivamente. (O sentido positivo para cada variável de deslocamento é indicado no diagrama por uma seta.) Supondo-se que a relação entre a variação na pressão do bocal e a variação na distância palheta-bocal seja linear, tem-se (5-13) Seção 5-6 / Controladores Pneumáticos 203 onde KJ é uma constante com valor positivo. Para a válvula de diafragma, 14 ) Pb = onde K2 é uma constante com valor positivo. A posição da válvula de diafragma determina a pressão de controle. Se a válvula de diafragma for tal que a relação entre Pc e z seja linear, então 15) onde KJ é uma constante com valor positivo. Das Eqs. (5-13), (5-14) e (5-15) obtém-se Pc onde K Kl = - ' Pb Kx KJK/K2 é uma constante com valor positivo. Para o movimento da palheta tem-se x= b a+b a e---y a+b o fole F age como uma mola, e vale a seguinte equação 18) Apc = k\.y onde A é a área efetiva do fole e k, é a constante da mola equivalente ou a rigidez devida à ação da parte corrugada do fole. Supondo-se que todas as variações nas variáveis estão dentro da faixa linear, pode-se obter um diagrama de blocos para este sistema a partir das Eqs. (5-16), (5-17) e (5-18), como mostrado na Fig. 5-29(d). Da 5-29(d) pode-se verificar claramente que o controlador pneumático mostrado na Fig. 5-29(a) é por si só um sistema com retroação. A função de transferência entre Pc e e é dada por _b_ K Pc(s) _ __a_+_b_ _ E(s) a A 1 + K--a + b k\ Um diagrama de blocos simplificado é mostrado na Fig. 5-29(e). Uma vez que Pc e e são proporcionais, o controlador pneumático indicado na Fig. 5-29(a) é denominado controlador proporcional pneumático. Conforme visto na o ganho do controlador proporcional pneumático pode variar amplamente pelo ajuste do valor efetivo dos segmentos a e b da palheta. [O sistema de ajuste destes segmentos não aparece na Fig. 5-29(a).] Na maioria dos controladores proporcionais comerciais é fornecido um botão de ajuste ou um outro mecanismo para variar o ganho pelo ajuste destes ..-":,,.'<:> tros. Conforme obs~rvado de início, o sinal de erro atuante moveu a palheta em um sentido, e o fole de retroação moveu a palheta no sentido oposto, mas em um grau menor. O efeito do fole de retroação é, portanto, o de reduzir a sensibilidade do controlador. O princípio da retroação é comumente usado para obter controladores de banda proporcional ampla. Os controladores pneumáticos que não possuem mecanismos de retroação [o que significa que um extremo da palheta é fixo, como indicado na Fig. 5-30(a)] possuem alta sensibilidade e são denominados controladores pneumáticos de duas 1"1(1 o P, x (a) x (b) Fig. 5-30 (a) Controlador pneumático sem mecanismo de retroação; (h) curvas P" versus X e Pc versus X. 204 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais A ... l/lhH~'V~,J ou controladores pneumáticos do tipo liga-desliga. Em tal controlador é requerido apenas um pequeno movimento entre o bocal e a palheta para se obter uma excursão completa na gama de valores da pressão de controle desde a de controle máxima até a mínima. As curvas relacionando P" a X e a X são mostradas na Fig. 5-30(b). Note-se que uma pequena variação em X pode acarretar uma grande variação em PJ" o que faz a válvula de diafragma estar completamente aberta ou completamente fechada. Controladores proporcionais pneumáticos (tipo balanceamento-de-força). A Fig. 5-31 mostra um diagrama esquemático de um controlador proporcional pneumático do tipo balanceamento-de-força. Controladores deste tipo são extensivamente usados na indústria. Tais controladores são muitas vezes denominados controladores em pilha. O prinbásico de operação não difere daquele do controlador força-distância. A principal vantagem do controlador de balanceamento-de-força é que ele elimina muitas perdas mecânicas e juntas articuladas, reduzindo, conseqüentemente, os efeitos de fricção. A seguir considera-se o princípio do controlador de balanceamento-dê-força. No controlador mostrado na Fig. 5-31 a nr'~~·~··.H' de entrada de referência e a pressão de saída p() são,injetadas em grandes câmaras com diafragmas. Note-se que um controlador pneumático do tipo balanceamento-de-força opera apenas com sinais de pressão. Portanto, é necessário converter a entrada de referência e a saída do sistema em sinais de pressão correspondentes. Como no caso do controlador força-distância, este controlador emprega uma palheta, um bocal e orifícios calibrados. Na 5-31 a abertura perfurada com broca, na câmara inferior, é o bocal. O diafragma exatamente acima do bocal atua como palheta. A operação do controlador do tipo balanceamento-de-força mostrado na Fig. 5-31 pode ser resumida a seguir: o ar sob de 20 psig flui através de um orifício calibrado, ocasionando uma redução de pressão na câmara inferior. O ar câmara escapa para a atmosfera através do bocal. O fluxo de ar para a atmosfera depende do intervalo entre o bocal e a palheta e da queda de pressão no bocal. Um aumento na pressão de entrada de referência Pr' enquanto a pressão de saída estiver constante, acarreta o movimento da haste da válvula para baixo, reduzindo o intervalo entre o bocal e o diafragma-palheta. Isto produz um aumento da pressão de controle Pc' Seja Pc = Pr ~) Quando Pc = O, haverá um ponto de equilíbrio com a distância bocal-palheta igual a X e a pressão de controle igual a Neste ponto de equilíbrio, PI = ~.k (onde k < 1) e ~.. onde O:' é uma constante. Admita-se que Pc O e definam-se pequenas variações no afastamento bocal-palheta como sendo x e pequenas variana pressão de controle como sendo PC' Assim, obtém-se a seguinte equação: '* x+x )e Das resulta AJ] Neste ponto, deve-se examinar a grandeza x. No projeto de controladores pneumáticos, a distância bocal-palheta é muito pequena. Como x/O:' é um termo de ordem superior em relação a pJI k)A I ou a - AI)' isto é, para Pc O, '* x - a ~ Pc(l x a -~ Atmosfera - Pressão --de referência :::::==!!!!lIIIIIIIIIIIIt:!!!:~ PI Pressão de saída ___ p() Suprimento de ar --- Pressão de :::::==i_iii/iíl L.iiir=:::...:==::::;,~=== --- controle X+x Seção 5-6 / Controladores Pneumáticos ~+~ Fig. 5-31 Diagrama esquemático de um controlador pneumático proporcional do tipo balanceamento-deforça. 205 pode-se desprezar o termo x nesta análise. A Eq. (5-23) pode então ser reescrita, para refletir esta consideração, sob a seguinte forma: e a função de transferência entre Pce Pc se torna onde Pc é definido pela Eq. (5-20). O controlador mostrado na Fig. 5-31 é um controlador proporcional. O valor do ganho Kp aumenta conforme k se aproxima da unidade. Note-se que o valor de k depende dos diâmetros dos orifícios das tubulações de entrada e de saída da câmara de retroação. (O valor de k tende à unidade conforme a resistência ao fluxo no orifício da tubulação de entrada seja feita menor.) Válvulas atuadoras pneumáticas. Uma característica dos sistemas de controle pneumáticos é que eles empregam, quase exclusivamente, válvulas atuadoras pneumáticas. Uma válvula atuadora pneumática pode fornecer uma grande potência de saída. (Uma vez que um atuador pneumático requer uma grande potência na entrada para produzir uma grande potência na saída, é necessário que esteja disponível uma quantidade suficiente de ar pressurizado.) Na prática, as válvulas atuadoras pneumáticas possuem características que podem ser não-lineares, isto é, o fluxo pode não ser diretamente proporcional à posição da haste da válvula, e também pode haver outros efeitos não-lineares, tais como histerese. Considere-se o diagrama esquemático de uma válvula atuadora pneumática mostrado na Fig. 5-32. Supõe-se que a área do diafragma seja A. Supõe-se, ainda que, para erro atuante nulo, a pressão de controle seja igual a ~, e o deslocamento da válvula seja igual a X. Na análise seguinte, consideram-se pequenas variações nas variáveis e é feita uma linearização da válvula atuadora pneumática. Serão definidos a pequena variação na pressão de controle e o correspondente deslocamento da válvula como sendo Pc e x, respectivamente. Uma vez que uma pequena variação na força de pressão pneumática aplicada ao diafragma reposiciona a carga, constituída de mola, fricção viscosa e massa, a equação de balanço de forças se torna APl' onde mx + bi + kx = massa do conjunto válvula e haste da válvula h = coeficiente de fricção viscosa k = constante da mola 111 Se a força devida à massa e à fricção viscosa forem desprezíveis, então a Eq. (5-24) pode ser simplificada para: A função de transferência entre x e Pc então se torna onde X(s) = ;;g [x] e PcCs) = ;;g [pJ. Pressão de controle I t Fig. 5-32 Diagrama esquemático de uma válvula atuadora pneumática. 206 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais na vazão através da válvula atuadora pneUlmallca, for Se qi' a haste da onde = ~[qJ e é uma constante. nr"nr,,.,,,,nn de transferência entre qi e p, a x. a U',,'1-:>,''''', no deslocamento da torna o deslocamento da haste da válvula é limitado "H~'U<~F,'ll«, co]rresplC)nl:1eI1te a uns poucos centímetros. Nos casos em que se torna p'Y1,nr,",,,,·"V> uma êmbolo-mola. necessária uma excursão maior, Em válvulas atuadoras estática deve ser limitada a um valor sultar em histerese excessiva. Devido à de controle não pode ser nnC1("'''' da válvula de haste. O uso de um OOS1CI0]1a(101 de válvula acarreta melhorias no rlac""y,r'.Qn,hA jJU'VU1,UU,U"-'''''cl, de controle derivativa e "P"""',H''''',' e integral. detalhes dos mecanismos reais. O básico para gerar uma caminho de Para o sistema mostrado na Sei I, então Serão agora, aqui se dará ênfase ao princípio e não aos u"-'.~"-'Iaua é inserir o inverso da função de transferência u"-'''''-'Iaua no a função de transferência a malha fechada é ser modificado para u"-',~'-'IIClULa uma de controle ,""'",,",,,,''''''''''> insere-se um elemento que de a 1) no caminho de retrO<:lca.o transferência nas H-:>I', -'1"PI c o controlador pneumático mostrado na Considerando-se pequenas desenhar um diagrama de blocos deste ""n.r'",'"n,,,' conforme mostrado na Do de blocos vê-se que o controlador do Será m"en"'ln,,, a que a no caminho da ,.pt""""",,, "''''''''H'''O) transformará o controlador em controlador proporcional-derivativo, comum ente chamado controlador PD. Considere-se o controlador pneumático mostrado na Supondo-se novamente pequenas no erro de resumIr a deste controlador como se segue: atuante. na distância inicialmente se uma pequena em em e. Em decorrência de controle Pc 1'"",'1-1"'0-:>" R evitará momentaneamente que o fole de sinta a PC' !->",,,r">1nrn "''''''UU,''''HC''''';,UV não momentaneamente, e a válvula atuante pneumática sentirá o efeito total do moviIJU,ll1\,,'lCl. Com o passar do tempo, o fole de se expandirá ou se contrairá. A na distância bocalde controle Pc podem ser desenhadas em um em função do tempo t, como indicao fole de atua como um mecanismo de retroação comum. A curva Pc versus t mostra claramente que este controlador é do v,H,,,.,,,nJIHÁiiLJ, C(s) 5-33 Sistema de controle. Seção 5-6 / Controladores Pneumáticos 207 x+x 1\ - _ _~ . . . - - - - - - - - - -.. . 1 Pc(s) E(s) (a) (b) Fig. 5-34 (a) Controlador pneumático proporcional; (b) diagrama de blocos do controlador. Ps _____II....-., . - -_ _ _ _ _ _ _ _/ )I t )I t (a) (b) E(s) Fig. 5-35 (a) Controlador pneumático proporcional-derivativo; (b) mudança de e em degrau e as mudanças correspondentes em x e Pc traçadas versus t; (c) diagrama de blocos do controlador. (c) Um diagrama de blocos correspondente a este controlador pneumático é mostrado na Fig. 5-35(c). No diagrama de blocos, K é uma constante, A é a área do fole e k\ é a constante de mola equivalente do fole. A função de transferência entre Pc e e pode ser obtida do diagrama de blocos, resultando: b --K Pc(s) _ _ _ _a_+_b_ _ __ E(s) Ka A 1 1 +----a + b k\ RCs + 1 Neste tipo de controlador o ganho de malha, expresso por 1KaA/[(a + b)k,(RCs + 1)]1 normalmente é muito maior do que a unidade. Conseqüentemente, a função de transferência pode ser simplificada para P/s) E(s) + ~fS) onde aA ' 208 Capítulo 5 / 7;, = RC Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais Portanto, a retroação negativa retardada, ou a função de transferência l/(RCs + 1) no percurso de retroação, transforma o controlador proporcional em controlador proporcional-derivativo. Note-se que se a válvula de retroação estiver completamente aberta, a ação de controle se torna proporcional. Se a válvula de retroação estiver completamente fechada, a ação de controle se torna proporcional com banda estreita (liga-desliga). Obtenção da ação de controle proporcional-integral pneumática. Seja o controlador proporcional indicado na Fig. 5-34(a). Considerando-se pequenas variações nos valores das variáveis, pode-se mostrar que a adição de retroação positiva retardada transformará este controlador proporcional em controlador proporcional-integral, comumente chamado controlador PI. Seja o controlador pneumático mostrado na Fig. 5-36(a). A operação deste controlador é a seguinte: o fole designado por I é ligado à fonte de pressão de controle sem qualquer restrição. O fole designado por II é conectado à fonte de pressão de controle através de uma restrição. Vamos supor uma pequena variação em degrau no erro atuante. Isto acarretará uma variação instantânea na pressão do bocal. Portanto, uma variação também ocorrerá instantaneamente na pressão de controle PC. Devido à restrição da válvula no percurso para o fole II, haverá uma queda de pressão na válvula. À medida que o tempo passa, o ar fluirá através da válvula, de tal modo que a variação na pressão do fole II atingirá o valor PC. Conseqüentemente, o fole II se expandirá ou se contrairá com o passar do tempo, de tal modo a mover a palheta de uma quantidade adicional no sentido do deslocamento original e. Isto acarretará uma variação contínua na pressão inversa Pc do bocal, conforme indicado na Fig. 5-36(b). P, __._--------------"""1 .. t .. Pc II (b) (a) t .. t E(s) (c) PJ)') E(s) (d) Seção 5-6 / Controladores Pneumáticos Fig. 5-36 (a) Controlador pneumático proporcional-integral; (b) mudança de e em degrau e as mudanças correspondentes em x e Pc traçadas versus t; (c) diagrama de blocos do controlador; (d) diagrama de blocos simplificado. 209 Note-se que a ação de controle integral no controlador assume a forma de um lento cancelamento na retroação fornecida originalmente pelo controle proporcional. Um diagrama de blocos deste controlador sob a hipótese de pequenas variações nas variáveis é mostrado na Fig. 536(c). Uma simplificação deste diagrama de blocos resulta na Fig. 5-36(d). A função de transferência deste controlador é b --K PcCs) = _ _ _ _a_+_b_ _ _ __ E(s) 1 + _K_a_ A a + b ks onde K é uma constante, A é a área dos foles e ks a constante de mola equivalente dos foles combinados. Se I KaARCs/(a b)k,,(RCs + 1)]1~ 1, que é normalmente o caso, a função de transferência pode ser simplificada para PcCs) -K E(s) p + (1 +1-) ~s onde bk\> aA ' RC Obtenção da ação de controle proporcional-integral-derivativa pneumática. Uma combinação dos controladores pneumáticos mostrados nas Figs. 5-35(a) e 5-36(a) conduz a um controlador proporcional-integraI-derivativo, comumente chamado controlador PlD. A Fig. 5-37(a) mostra um diagrama esquemático de um tal controlador. A Fig. 5-37(b) mostra um diagrama de blocos deste controlador sob a hipótese de pequenas variações nas variáveis. A função de transferência deste controlador é bK PcCs) = _ _ _ _ _ _a_+_b_ _ _ __ E(s) +~ A (RiC RdC)s a + b ks (RdCs + l)(R iCs + 1) p,---........, ~-----------. . . i b (a) E(s) X(s) (b) 210 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais Fig. 5-37 (a) Controlador pneumático proporcional-integraI-derivativo; (b) diagrama de blocos do controlador. Definindo-se e observando que sob a operação normal 1KaA(Ti - Td)s/[(a + b)kJTds + l)(Tis + 1)]1 ~1, e Ti ~ T(b 1 obtém-se Pc(s) == bks (7ds + l)(~s E(s) . aA (~ - Td)s 1) == bks _ _ _ _-'--_+_1 . aA (5-25) onde K = bks P aA A Eq. (5-25) indica que o controlador mostrado na Fig. 5-37(a) é um controlador proporcional-integraI-derivativo. CONTROLADORES HIDRÁULICOS Excetuando-se os controladores pneumáticos de baixa pressão, o ar comprimido raramente é usado no controle contínuo do movimento de dispositivos envolvendo grandes massas sob forças de cargas externas. Em tal caso, os controladores hidráulicos são geralmente preferidos. Sistemas hidráulicos. O amplo uso de circuitos hidráulicos nas aplicações de máquinas ferramentas, nos sistemas de controle de aviões e de operações similares ocorre devido a fatores tais como positividade, precisão, flexibilidade, alta relação potência-peso, partida rápida, parada e reversão com suavidade e precisão, e simplicidade de operações. A pressão de operação em sistemas hidráulicos está situada entre 145 e 5.000 Ib/poF (entre 1 e 35 MPa). Em algumas aplicações especiais, a pressão de operação pode ir até 10.000 Ib/poF (70 MPa). Para um mesmo valor de potência requerida, o peso e o tamanho da unidade hidráulica podem ser reduzidos aumentando-se a pressão de alimentação. Com sistemas hidráulicos de alta pressão, podem ser obtidos valores muito grandes de força. O posicionamento preciso e a atuação rápida de cargas pesadas é possível com sistemas hidráulicos. Uma combinação de sistemas eletrônicos e hidráulicos é amplamente usada porque ela combina as vantagens tanto do controle eletrônico quanto da potência hidráulica. Vantagens e desvantagens dos sistemas hidráulicos. Há um certo número de vantagens e de desvantagens na utilização de sistemas hidráulicos no lugar de outros sistemas. Algumas vantagens são: 1. O fluido hidráulico atua como lubrificante, além de transportar o calor gerado no sistema para um trocador de calor conveniente. 2. Atuadores hidráulicos de tamanho comparativamente pequeno podem desenvolver grandes forças ou torques. 3. Atuadores hidráulicos possuem uma velocidade de resposta mais alta com partidas e paradas rápidas e inversões de velocidade. 4. Atuadores hidráulicos podem ser operados sob condições contínuas, intermitentes, de reversão e de parada repentina, sem avarias. 5. A disponibilidade tanto de atuadores lineares quanto rotativos dá flexibilidade ao projeto. 6. Em virtude das baixas fugas nos atuadores hidráulicos, a queda de velocidade é pequena quando as cargas são aplicadas. Por outro lado, várias desvantagens tendem a limitar seu uso. 1. Energia sob forma hidráulica não está prontamente disponível se comparada à energia elétrica. 2. O custo de um sistema hidráulico pode ser mais alto do que o de um sistema elétrico comparável que desempenhe uma função similar. 3. Há perigo de incêndio e de explosões, a menos que sejam usados fluidos à prova de fogo. 4. Em função da dificuldade de manter um sistema hidráulico livre de vazamentos, o sistema tende a ser sujo. Seção 5-7 / Controladores Hidráulicos 211 5. Óleo contaminado pode causar falhas no funcionamento adequado de um sistema hidráulico. 6. Em conseqüência das não-linearidades e de outras características complexas envolvidas, o projeto de sistemas hidráulicos sofisticados é bastante elaborado. 7. Circuitos hidráulicos têm geralmente características de amortecimento deficientes. Se um circuito hidráulico não for projetado adequadamente, alguns fenômenos instáveis podem ocorrer ou desaparecer, dependendo da condição de operação. Comentários. Uma atenção particular é necessária para garantir que o sistema hidráulico seja estável e satisfatório sob todas as condições de operação. Uma vez que a viscosidade do fluido hidráulico pode afetar grandemente os efeitos do amortecimento e do atrito dos circuitos hidráulicos, testes de estabilidade devem ser realizados na temperatura de operação mais alta possível. Note-se que os sistemas hidráulicos em sua maioria são não-lineares. Às vezes, no entanto, é possível linearizar sistemas não-lineares de modo a reduzir sua complexidade e permitir soluções que sejam suficientemente precisas para a maioria dos propósitos. Uma técnica de linearização útil para se tratar dos sistemas não-lineares foi apresentada na Seção 3lO. Controladores integrais hidráulicos. O servomotor hidráulico mostrado na Fig. 5-38 é essencialmente um amplificador hidráulico de potência controlado por válvula-piloto e um atuador. A válvula-piloto é uma válvula balanceada no sentido de que as forças de pressão que atuam sobre ela são todas balanceadas. Uma potência de saída muito grande pode ser controlada por uma válvula-piloto, que pode ser posicionada com muito pouca potência. Será mostrado a seguir que para uma carga com massa desprezivelmente pequena o servomotor mostrado na Fig. 5-38 atua como um integrador ou como um controlador integral. Um tal servomotor constitui a base do circuito de controle hidráulico. No servomotor hidráulico mostrado na Fig. 5-38, a válvula-piloto (uma válvula de quatro vias) tem duas saliências sobre o carretel. Se a largura da saliência for menor que o acesso na camisa da válvula, diz-se que a válvula está subposta. Válvulas sobrepostas têm uma largura de saliência maior do que a largura do acesso. Uma válvula de sobreposição nula tem uma largura da saliência que é idêntica à largura do acesso. (Se a válvula-piloto não for uma válvula de sobreposição nula, a análise dos servomotores hidráulicos torna-se muito complicada.) Na presente análise, admite-se que o fluido hidráulico é incompressível e que a força de inércia do êmbolo de potência e carga é desprezível comparada à força hidráulica no êmbolo de potência. Admite-se também que a válvula-piloto é uma válvula de sobreposição nula e que a vazão de óleo é proporcional ao deslocamento da válvula-piloto. A operação deste servomotor hidráulico é a seguinte: se a entrada x mover a válvula-piloto para a direita, o acesso II é descoberto e, portanto, óleo sob alta pressão entra no lado direito do êmbolo de potência. Uma vez que o acesso I está conectado ao acesso do dreno, o óleo no lado esquerdo do êmbolo de potência retorna ao dreno. O óleo que flui para dentro do cilindro de potência está em alta pressão; o óleo que flui para fora do cilindro de potência para dentro do dreno está em baixa pressão. A diferença resultante na pressão em ambos os lados do êmbolo de potência fará com que ele se mova para a esquerda. Note-se que a vazão de óleo q(kg/s) vezes dt(s) é igual ao deslocamento dy(m) do êmbolo de potência vezes a área A(m2 ) do êmbolo vezes a densidade do óleo p(kg/m 3 ). Portanto, (5-26) Ap dy = q dt Em virtude da hipótese de que a vazão q do fluxo de óleo é proporcional ao deslocamento x da válvula-piloto, tem-se q= Óleo sob pressão t t t JUUl x ~ ACCS~ ~~i::dm O O 212 Capítulo 5 / Válvula-piloto 1 I r de potência O ~-x Fig. 5-38 Servomotor hidráulico. Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais onde é uma constante positiva. Das Eqs. (5-26) e (5-27), obtém-se dy Ap- = K x dt 1 Aplicando-se a transformada de Laplace a esta última equação, admitindo-se condição inicial nula, vem ou ~_K X(s) onde K = Aps s K/(Ap). Assim o servomotor hidráulico mostrado na Fig. 5-38 atua como um controlador integral. Controladores proporcionais hidráulicos. Foi mostrado que o servomotor na Fig. 5-38 atua como um controlador integral. Este servomotor pode ser transformado em controlador porporcional por meio de um elo de retroação. Seja o controlador hidráulico mostrado na Fig. 5-39(a). O lado esquerdo da válvula-piloto está ligado ao lado esquerdo do êmbolo de potência através do elo ABC. Este elo é um elo flutuante, em vez de um elo móvel em torno de um pivô fixo. Aqui o controlador opera da seguinte maneira: se a entrada x mover a válvula-piloto para a direita, o acesso II será descoberto e o óleo sob alta pressão fluirá do acesso II para o lado direito do êmbolo de potência, forçando este êmbolo para a esquerda. O êmbolo de potência, ao se mover para a esquerda, transportará o elo ABC de retroação com ele, movendo desse modo a válvula-piloto para a esquerda. Esta ação continua até que o êmbolo-piloto novamente cubra os acessos I e II. Um diagrama de blocos do sistema pode ser desenhado como na Fig. 5-39(b). A função de transferência entre Y(s) e E(s) é dada por b K Y(s) _ a b s E(s) K a 1+--s a + b bK s(a + b) + Ka Observando-se que sob as condições normais de operação tem-se IKa/[s(a plificada para + b)]1 :? 1, esta última equação pode ser sim- Y(s) E(s) A função de transferência entre y e e torna-se uma constante. Assim, o controlador hidráulico mostrado na Fig. 5-39(a) atua como um controlador proporcional, cujo ganho é Kp' Este ganho pode ser ajustado variando-se efetivamente a relação de braços de alavanca b/a. (O mecanismo de ajuste não está indicado no diagrama.) e_ x - Óleo sob pressão A t BO----==--II---II-----.:::::---Y(s) E(s) (a) Seção 5-7 / Controladores Hidráulicos (b) Fig. 5-39 (a) Servomotor que atua como um controlador proporcional; (b) diagrama de blocos do servomotor. 213 q -of---- R Y(s) 'L ~ x y T= (b) (a) k (c) Fig. 5-40 (a) Amortecedor viscoso; (b) mudança de x em degrau e as mudanças correspondentes em y traçadas versus t; (c) diagrama de blocos do amortecedor viscoso. Vê-se, portanto, que o acréscimo de uma alavanca de retroação fará com que o servomotor hidráulico atue como um controlador proporcional. Amortecedores viscosos. O amortecedor viscoso indicado na Fig. 5-40(a) atua como um elemento diferenciador. Suponha-se a aplicação de um deslocamento em degrau na posição x do êmbolo. Então, momentaneamente, o deslocamento y se torna igual a x. Devido à força da mola, entretanto, o óleo fluirá através da resistência R e o cilindro retornará à posição original. As curvas de x versus t e de y versus t são mostradas na Fig. 5-40(b). Agora, será deduzida a função de transferência entre o deslocamento y e o deslocamento x. Definam-se as pressões existentes nos lados direito e esquerdo do êmbolo como sendo PI (N/m2 ) e P 2 (N/m 2), respectivamente. Suponha-se que a força de inércia envolvida seja desprezível. Então, a força que atua sobre o êmbolo deve equilibrar a força da mola. Portanto, onde A = área do êmbolo, m 2 k = constante da mola, N/m 2 A vazão q é dada por q R onde q = vazão através da restrição kg/s R resistência ao fluxo na restrição, N-s/m 2-kg Como o fluxo através da restrição durante dt segundos deve ser igual à variação da massa de óleo na parte à esquerda do êmbolo durante os mesmos dt segundos, obtém-se q dt = Ap(dx - dy) onde p = densidade, kg/m 3 • (Supõe-se que o fluido seja incompressível ou p =constante.) Esta última equação pode ser reescrita como dx dt dy = -.!L dt Ap _____ ~ RAp RA2p ou dx dt dy dt ky RA2p -=-+-Aplicando-se a transformada de Laplace a ambos os membros desta última equação, supondo condições iniciais nulas, obtém-se sX(s) = sY(s) 214 Capítulo 5 / + k Y(s) RA p -2- Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais Óleo sob \-e a x __ Constante de mola = k J \ b Área =A " Y(s) E(s) Resistência =R (b) (a) Fig. 5-41 (a) Diagrama esquemático de um controlador hidráulico proporcional-integral; (b) diagrama de blocos do controlador. A função de transferência deste sistema resulta Y(s) _ __s__ X(s) k s + --2RA p Seja, por definição, RA 2p/k = T. Em conseqüência, Y(s) _~=_1_ 1 X(s) Ts + 1 1 +Ts A Fig. 5-40(c) mostra uma representação em diagrama de blocos para este sistema. Obtenção da ação de controle proporcional-integral hidráulica. A Fig. 5-41 (a) mostra um diagrama esquemático de um controlador proporcional-integral hidráulico. Um diagrama de blocos deste controlador é indicado na Fig. 5-41(b). A função de transferência Y(s)/E(s) é dada por b Y(s) _ K +b s Ka T 1+---a + b Ts + 1 E(s) Sob operação normal, 1KaT/[(a + b)(Ts + a 1)]1 ~ 1, neste controlador resultando Y(s) - = K ( 1 +1-) E(s) p ~s onde b a Portanto, o controlador indicado na Fig. 5-42(a) é um controlador proporcional-integral (controlador PI). Seção 5-7 / Controladores Hidráulicos 215 e ~ a x J \ J -z Y(s) E(s) b \' ~ (a) (b) Fig. 5-42 (a) Diagrama esquemático de um controlador hidráulico proporcional-derivativo; (b) diagrama de blocos do controlador. Obtenção de ação de controle proporcional-derivativa hidráulica. A Fig. 5-42(a) mostra um diagrama esquemático de um controlador proporcional-derivativo hidráulico. Os cilindros permanecem fixos no espaço e os êmbolos podem mover-se. Para este sistema, observe-se que z) = A(P2 k(y q= P2 - - PJ) PJ R q dt = pA dz Por conseguinte, y = A z+- k qR = RA2p dz z + --k dt ou Z(s) = _1_ Y(s) Ts + 1 onde T Um diagrama de blocos deste sistema é mostrado na Fig. 5-42(b). Do diagrama de blocos pode ser obtida a função de transferência Y(s)/E(s), como sendo b K Y(s) _ ___ a_+_b_s_ _ 1 + _a_ K _ l _ a + b s Ts + 1 E(s) Sob condição normal de operação laK/[(a + b)s(Ts + 1)]I~l. Assim, onde Kp b =- a , Portanto, o controlador mostrado na Fig. 5-42(a) é um controlador proporcional-derivativo (controlador PD). 216 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais CONTROLADORES ELETRÔNICOS Esta seção discute os controladores eletrônicos que usam amplificadores operacionais. De início, deduzem-se as funções de transferência relativas a circuitos simples, com amplificadores operacionais. Em seguida, são obtidas as funções de transferência de alguns controladores com amplificadores operacionais. Finalmente, é fornecido um conjunto de controladores com a respectiva função de transferência, sob forma de tabela. Amplificadores operacionais. Amplificadores operacionais, às vezes denominados amp op, são freqüentemente usados para amplificar sinais em circuitos sensores. Os amp op são também freqüentemente usados em filtros com propósitos de compensação. A Fig. 5-43 mostra um amp op. É prática comum escolher o ponto de terra como sendo O volt e medir as tensões de entrada e, e e2 em relação a este ponto. O sinal de entrada e, aplicado ao terminal com o sinal negativo tem sua polaridade invertida, e o sinal de entrada aplicado ao terminal com o sinal positivo não é submetido à inversão de polaridade. A entrada total para o amplificador torna-se, portanto, e 2 - e,. Por conseguinte, para o circuito mostrado na Fig. 5-54 tem-se onde e, e e 2 podem ser sinais cc ou ca e K é o ganho diferencial ou ganho de tensão. A magnitude de K é de aproximadamente 105 ~ 106 para sinais cc e sinais ca com freqüências menores do que aproximadamente 10Hz. (O ganho diferencial K diminui com a freqüência do sinal e torna-se próximo da unidade para freqüências de I MHz ~ 50 MHz). Note-se que o amp op amplifica a diferença entre as tensões e, e e2 • Um tal amplificador é comumente chamado amplificador diferencial. Como o ganho do amp op é muito alto, é necessário ter uma retroação negativa da saída para a entrada a fim de tornar o amplificador estável. (A retroação é feita da saída para a entrada inversora, de modo que se tenha uma retroação negativa.) No amp op ideal, não flui corrente através dos terminais de entrada, e a tensão de saída não é afetada pela carga conectada ao terminal de saída. Em outras palavras, a impedância de entrada é infinita e a impedância de saída é nula. Em um amp op real, uma corrente muito pequena (quase desprezível) flui para um terminal de entrada e a saída não pode ser carregada demasiadamente. Na análise que se faz aqui, admite-se, por hipótese, que os amps op são ideais. Amplificador inversor. Considere-se o circuito amplificador operacional mostrado na Fig. 5-44. Seja obter a tensão de saída eo • A equação deste circuito pode ser obtida como se segue: sejam, por definição, Uma vez que apenas uma corrente desprezível flui para o amplificador, a corrente i, deve ser aproximadamente igual à corrente i2 • Assim, :: :I-----C>>----O O--------I~~-------O Fig. 5-43 Amplificador operacional. Ci Fig. 5-44 Amplificador inversor. Seção 5-8 / Controladores Eletrônicos 217 eI (a) Como K(O e' ) = Fig. 5-45 (a) Amplificador operacional não-inversor; (b) circuito equivalente. (b) eo e K > 1, o valor de e ' deve ser quase zero, ou e ' ::=: O. Daí, se tem -e o R2 RI ou R 2 e e() = - R 1 1 Assim, o circuito mostrado é um amplificador com inversão de sinal. Se R j como um inversor de sinal. R2' então o circuito amp op mostrado age Amplificador não-inversor. A Fig. 5-45(a) mostra um amplificador não-inversor. Um circuito equivalente a este é mostrado na Fig. 5-45(b). Para o circuito da Figura 4-45(b), tem-se onde K é o ganho diferencial do amplificador. Desta última equação, obtém-se (RI R +R e= Como K 1) +- e I 1 2 K () > 1, se R/(R + R2 ) > l/K então, j e = () (1 + R2) e RI I Esta equação dá a tensão de saída ei!' Como eo e ei têm os mesmos sinais, o circuito amp op mostrado na Fig. 5-45(a) é nãoinversor. EXEMPLO 5-3 A Fig. 5-46 mostra um circuito elétrico envolvendo um amplificador operacional. Obter o sinal de saída e(). Seja, por definição, i3 e' = Observando-se que a corrente que flui para o amplificador é desprezível, tem-se Daí - e' 218 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais Como, e' :::= O, tem-se -c de() dt eo R2 Aplicando-se a transformada de Laplace a esta última equação, admitindo-se condição inicial nula, tem-se que pode ser escrita o circuito amp op mostrado na Fig. 5-46 é um circuito com dinâmica de primeira ordem. (Vários outros circuitos envolvendo amplificadores operacionais são mostrados na Tabela 5-1, juntamente com as respectivas funções de transferência.) Método das impedâncias para obtenção das funções de transferência. Considere-se o circuito amp op indicado na Fig. 5-47. Semelhante ao caso dos circuitos elétricos, discutido anteriormente, a técnica das impedâncias pode ser aplicada aos circuitos com amplificadores operacionais para se obterem funções de transferência. Para o circuito mostrado na Fig. 5-47, tem-se EoCs) = -Zis)/(s) Daí, a função de transferência para o circuito é obtida como sendo Eo(s) = Els) Fig. 5-46 Circuito com dinâmica de primeira ordem usando amplificador operacional. I(s) Fig. 5-47 Circuito com amplificador operacional. Seção 5-8 / Controladores Eletrônicos 219 EXEMPLO 5-4 Com referência ao circuito amp op indicado na Fig. 5-46, obter a função de transferência Eo(s)/Ei(s) pelo uso da técnica das impedâncias. As impedâncias complexas ZI(S) e Zis) para este circuito são Zis) e = --- Cs Por conseguinte, E/s) e Eo(s) são obtidas como A função de transferência Eo(s)/Ei(s) é, portanto, obtida como que é, naturalmente, a mesma obtida no Exemplo 5-3. Estruturas de avanço e atraso de fase com amplificadores operacionais. A Fig. 5-48(a) mostra um circuito eletrônico utilizando um amplificador operacional. A função de transferência deste circuito pode ser obtida como a seguir: sejam, por definição, as impedâncias de entrada ZI(S) e de retroação Zis), respectivamente. Então, Como a corrente de entrada do amplificador é desprezível, a corrente iI é igual à corrente i2. Assim, iI = i 2, ou seja, Els) - E'(S) E'(S) - E(s) ZI Como E' (s) == O, tem-se E(s) Z2 = ZI Ei(s) s + R2 R1 C 1S + 1 RI R2 C2 S +1 C 2S + 1 R1C I (5-28) 1 R2 C2 Observe-se que a função de transferência na Eq. (5-28) contém um sinal menos. Assim, este circuito é inversor de sinal. Caso esta inversão de sinal não seja conveniente para a aplicação real, pode-se conectar um circuito inversor de sinal ,--- c::. c::.--l, ZI cI I Z::. cI K2 , I J iII E(s) l EM) Eo(s) E(s) Estrutura de avanço ou atraso de fase (a) Inversor de sinal (b) Fig. 5-48 (a) Circuito com amplificador operacional; (b) circuito com amplificador operacional usado como compensador de avanço ou atraso de fase. 220 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais ao terminal de entrada ou ao terminal de saída do circuito da Fig. 5-48(a). Um exemplo é mostrado na Fig. 5-48(b). A função de transferência do inversor de sinal é Eo(s) = _ R4 E(s) R:, o inversor de sinal possui um ganho igual a - RiR3' Assim, a estrutura mostrada na Fig. 5-48(b) tem a seguinte função de transferência: +1 - K ( aTs + 1 c = K,a T<; s + s+ T 1 (5-29) aT onde Note-se que Esta estrutura possui um ganho estático de Kcex R2RiRjR3' Com base na Eq. (5-29), esta estrutura se comporta como avanço de fase se RjC j > R 2C2 , ou ex < 1; como atraso de fase se RjC j < R 2C 2 • (Para as definições de circuitos de avanço e de atraso de fase, reportar-se à Seção 5-9.) Controlador PIO usando amplificadores operacionais. A Fig. 5-49 mostra um controlador eletrônico proporcional-integraI-derivativo (controlador PlD) usando amplificadores operacionais. A função de transferência E(s)/Ei(s) é dada por E(s) = Ei(S) Z2 ZI E(s) Fig. 5-49 Controlador PlD eletrônico. Seção 5-8 / Controladores Eletrônicos 221 onde Assim, Levando-se em conta que Eo(s) = E(s) R4 R3 tem-se (5-30) Assim, Kp = R 4 (R 1C 1 + R 2 C2 ) RRC 3 1 2 Ti = R 1 C 1 + R 2 C2 TI ( R C R C 1 1 2 2 = --'--=--=--=-R 1C1 + R 2 C2 Em termos de ganho proporcional, ganho integral e ganho derivativo tem-se Note-se que o segundo estágio do circuito com amplificadores operacionais se comporta, ao mesmo tempo, como inversor de sinal e como ajuste de ganho. A Tabela 5-1 apresenta uma lista de circuitos com amplificadores operacionais que podem ser utilizados como controladores ou compensadores. 5-9 RESPOSTA SENOIDAL DE ESTRUTURAS DE AVANÇO E ATRASO DE FASE A resposta, em regime estacionário, de um sistema linear e invariante no tempo a uma excitação senoidal é um sinal senoidal com uma defasagem que é função da freqüência do sinal de entrada. Esta defasagem angular varia à medida que a freqüência é aumentada de zero a infinito. Se o sinal senoidal de saída de uma estrutura estiver adiantado (atrasado) em relação ao sinal senoidal de entrada, diz-se que a estrutura é de avanço (atraso) de fase. Inicialmente, será obtida a resposta estacionária de uma estrutura linear e invariante no tempo a uma excitação senoidal. 222 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais Tabela 5-1 Circuitos com amplificadores operacionais que podem ser usados como compensadores Ação de controle Circuitos com amplificadores operacionais _ RJ + P - e + ~" - + 2 e :3 PD 4 PI 5 PlD 6 Avanço ou atraso de fase 7 Avanço Atraso de Fase R4 '!J:. &. '!J:. R 2 C 2S + J R3 RI R2 C2S CRICls+ 1) (R 2C2S RJ RI + 3 - + ~' 1) R2 C2S &. '!J:. R1CI_I' + 1 R3 RI R2 C 2S + 1 &. [(RI + R3 ) CIS + 1] (R 2C2S + 1) Rs R3 (RICjs + 1) !(R 2 + R4 ) C2s + 1J Ró Obtenção de saídas em regime estacionário para entradas senoidais. Será mostrado que a resposta em regime estacionário de um sistema pode ser obtida diretamente da função de transferência senoidal, isto é, a função de transferência na qual s é substituída por jm, onde m é a freqüência. Considere-se o sistema linear e invariante no tempo indicado na Fig. 5-50. Os sinais de entrada e de saída do sistema, cuja função de transferência é G(s), são designados por x(t) e y(t), respectivamente. Se o sinal de entrada x(t) for um sinal senoidal, o sinal de saída em regime estacionário será também um sinal senoidal da mesma freqüência mas, possivelmente, com amplitude e ângulo de fase diferentes. Admita-se que o sinal de entrada seja dado por x(t) = X sen mt Suponha-se que a função de transferência G(s) possa ser escrita como uma relação de dois polinómios em s, isto é, Seção 5-9 / Resposta Senoidal de Estruturas de Avanço e de Atraso de Fase 223 x(t) y(t) X(s) Y(s) Fig. 5-50 Sistema linear, invariante no tempo e estável. p(s) _ _ _ _--'--'--'-_ _ __ q(s) (s + SI)(S + S2)' .. (s + srJ G(s) A transformada de Laplace de saída Y(s) é então p(S) Y(s) = G(s)X(s) = q(s) X(s) (5-31 ) onde X(s) é a transformada de Laplace do sinal de entrada x(t). Será mostrado que, depois de se esperar até que as condições de regime estacionário sejam alcançadas, a resposta em freqüência pode ser calculada substituindo s por júJ na função transferência. Será mostrado também que a resposta em regime estacionário pode ser dada por G(júJ) = Me jrfJ = ML!L onde M é a relação de amplitude das senóides de saída e de entrada e cP é o deslocamento de fase entre a senóide de entrada e a senóide de saída. No teste da resposta em freqüência, varia-se a freqüência do sinal de entrada úJ até que toda a faixa de freqüências de interesse esteja coberta. A resposta em regime estacionário de um sistema linear estável invariante no tempo a uma excitação senoidal não depende das condições iniciais. (Portanto, pode-se admitir a condição inicial zero.) Se Y(s) possuir apenas pólos distintos, então a expansão em frações parciais da Eq. (5-31) fornece úJX Y(s) = G(s)X(s) = G(s) -S2-+a ã =---+---+ s + júJ s - júJ onde a e b; (onde i = 1,2, ... , n) são constantes e inversa à Eq. (5-32) resulta S + SI a é o complexo conjugado de a. Aplicando-se a transformada de Laplace (t Para um sistema estável -SI' -S2' ... , -S11 2:: (5-33) O) possuem partes reais negativas. Portanto, à medida que t tende a infinito, os termos e -slt, e -S2 t , ... , e -s,/ tendem a zero. Portanto, todos os termos do segundo membro da Eq. (5-33), exceto os dois primeiros, se anulam em regime estacionário. Se Y(s) envolver pólos múltiplos s) de multiplicidade m), então y(t) envolverá termos do tipo t hj e -s/ com o valor (h) = hj 0, 1, 2, ... , m) - 1). Para sistemas estáveis, os termos t e -s;t tendem a zero quando t tende a infinito. Portanto, independentemente de o sistema possuir pólos distintos ou não, a resposta em regime estacionário resulta em + ãe Jwt (5-34) onde a constante a pode ser calculada a partir da Eq. (5-32) da seguinte forma: a = G(s) S2 úJX I + úJ2 (s + júJ) I.F-ju; = XG(-júJ) 2j Note-se que ã = G(s) 224 Capítulo 5 / X 2 (s - júJ) I s + úJ s=jw 2 XG(júJ ) 2j Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais Como G(júJ) é uma grandeza complexa, pode ser escrita da seguinte forma G(jw) = IG(jw)lej(!J onde !c G) úJ) I representa o módulo e 4> representa o ângulo de fase de G(júJ), isto é, ~ c/J = G(jw) = tan __ ] [parte imaginária de G(jW)] parte real de G(jw) o ângulo 4> pode ser negativo, positivo ou nulo. Analogamente, obtém-se a seguinte expressão para G( - )úJ): Em seguida, observando-se que a= xlG(jw )le~j(jJ ã 2'1 xIG(jw)le jÇb 2'1 A Eq. (5-34) pode ser escrita como ej«(I)t~qJ) Yss(t) = X IG(jw)1 2j = XIG(jw)1 sen (wt + c/J) = Ysen(wt + c/J) (5-35) onde Y X IG(júJ)l. Verifica-se que um sistema linear, estável, invariante no tempo quando submetido a uma excitação senoidal, apresentará, em regime estacionário, um sinal de saída senoidal com a mesma freqüência do sinal de entrada. Porém, de um modo geral, a ampli-tude e o ângulo de fase do sinal de saída serão diferentes daqueles do sinal de entrada. Com efeito, a amplitude do sinal de saída é dada pelo produto da amplitude do sinal de entrada por IG(júJ)1, enquanto o ângulo de fase do sinal de saída difere do sinal de entrada de um valor 4> = I G(júJ). Um exemplo de sinais senoidais de entrada e de saída é mostrado na Fig. 5-51. Com base no exposto, obtém-se este importante resultado: para sinais de entrada senoidais, IG(jw)1 /G(jw) = I;i;:~ I ~ relação de amplitudes das senóides de entrada e saída Y(jw) = defasagem da senóide de saída em relação à senóide de entrada X(jw) Portanto, as características de resposta de um sistema a uma excitação senoidal podem ser obtidas diretamente de Y(jw) - (.-) = X 1w . G(jw) A função G(júJ) é chamadafunção de transferência senoidal. É a relação entre Y(júJ) e X(j úJ) , é uma grandeza complexa, e pode ser representada pelo módulo e ângulo de fase, tendo a freqüência como parâmetro. (Um ângulo de fase nega- Sinal de entrada x(t) = X sen w t Sinal de saída y(t) Seção 5-9 / = Y sen (w t = T2 então tan - I TI W - tan - I T2 w >0. Portanto, se TI > T2 , a estrutura é de avanço de fase. Se TI < Tc, o circuito é uma estrutura de atraso de fase. 10 ERRq ESTACIONÁRIO EM SISTEMAS DE CONTROLE COM RETROAÇÃO ONITARIA Num sistema de controle, os erros podem ser atribuídos a muitos fatores. Mudanças no sinal de referência acarretarão erros inevitáveis durante o regime transitório e também podem ocasionar erros em regime estacionário. Imperfeições tais como atrito seco, folgas e derivas dos amplificadores, bem como envelhecimento ou deterioração dos componentes, produzirão erros em regime permanente. Nesta seção, contudo, não serão discutidos erros devidos a imperfeições dos componentes do sistema. Em vez disto, será investigado um tipo de erro estacionário que é causado pela incapacidade do sistema em seguir tipos particulares de sinais de excitação. Qualquer sistema de controle físico apresenta inerentemente erro estacionário na resposta a certos tipos de sinais de entrada. Um sistema pode não apresentar erro estacionário quando submetido a solicitações em degrau, mas o mesmo sistema pode apresentar erro estacionário não-nulo para uma excitação em rampa. (A única maneira de se eliminar este erro é modificando a estrutura do sistema.) O fato de um sistema apresentar erro estacionário para um dado tipo de sinal de entrada depende do tipo de função de transferência a malha aberta do sistema, o que será discutido a seguir. Classificação dos sistemas de controle. Os sistemas de controle podem ser classificados de acordo com a sua habilidade em seguir sinais de entrada em degrau, em rampa, em parábola etc. Este é um critério razoável de classificação porque as excitações reais podem ser freqüentemente consideradas como uma combinação de tais sinais. Os valores dos erros estacionários devidos a estas entradas individuais são indicativos da "qualidade" do sistema. Considere-se o sistema de controle com retroação unitária com a seguinte função de transferência a malha aberta C(s): Ela envolve o termo SN no denominador, representando um pólo de multiplicidade N na origem. O presente critério de classificação é baseado no número de integrações indicadas pela função de transferência a malha aberta. Um sistema é 2 ... , respectivamente. Note-se que esta classificação é chamado de tipo 0, do tipo 1, do tipo 2 ... se N = 0, N = 1, N diferente daquela que diz respeito à ordem de um sistema. À medida que se aumenta o número N, melhora a precisão mas agrava o problema da estabilidade. É sempre necessário um compromisso entre precisão em regime estacionário e estabilidade relativa. Na prática, raramente se tem um sistema de tipo 3 ou maior porque, em geral, é difícil projetar sistemas estáveis com mais de duas integrações no percurso direto. Será visto mais tarde que, se C(s) for escrita de tal forma que cada termo no numerador e no denominador, exceto o termo tenda à unidade quando s tende a zero, então o ganho de malha aberta K está diretamente relacionado com o erro estacionário. s" Erros estacionários. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 5-53. A função de transferência a malha fechada é C(s) _ C(s) R(s) 1 + C(s) Seção 5-10 / Erro Estacionário em Sistemas de Controle com Retroação Unitária 227 C(s) Fig. 5-53 Sistema de controle. A função de transferência entre o sinal de erro atuante eU) e o sinal de entrada r(t) é E(s) = 1 _ R(s) R(s) 1 1 + G(s) onde o erro atuante e(t) é a diferença entre o sinal de entrada e o sinal de saída. O teorema do valor final provê uma maneira conveniente de se determinar o desempenho em regime estacionário de um sistema estável. Como E(s) é 1 E(s) = 1 + G(s) R(s) o erro estacionário é ess = lim e(t) = lim sE(s) = lim s-.o 1 s-.o ( ) +Gs Os coeficientes de erro estático definidos a seguir são figuras de mérito dos sistemas de controle. Quanto maiores os valores dos coeficientes, menor o erro estacionário. Em um dado sistema, a grandeza de saída pode ser posição, velocidade, pressão, temperatura etc. A forma física da grandeza de saída é, entretanto, irrelevante nesta análise. Assim, daqui em diante, o sinal de saída será chamado de "posição", a taxa de variação do sinal de saída de "velocidade" etc. Isto significa que, em um sistema de controle de temperatura, "posição" representa a temperatura de saída, "velocidade" representa a taxa de variação da temperatura de saída etc. Coeficiente de erro estático de posição Kp. O erro estacionário do sistema a uma excitação em degrau unitário é ess = lim s-.o 1 s 1 ( ) +Gs s 1 1 + G(O) O coeficiente de erro estático de posição KI' é definido por Kp = lim G(s) = G(O) s-.o Assim, o erro estacionário, em termos do coeficiente de erro estático de posição Kp, é dado pela expressão e ss 1 1 + Kp =--- Para um sistema do tipo O Para um sistema do tipo I ou maior . Kp = 11m s-.o +1)( N S (TIS +1) .. ' + 1)(T2 s + 1) ... = x para N 2: 1 Portanto, para um sistema do tipo O, o coeficiente de erro estático de posição Kp é finito, enquanto para um sistema do tipo 1 ou maior, KI' é infinito. 228 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais Para uma excitação em degrau unitário, o erro estacionário e ss pode ser resumido como se segue: 1 ess = 1 + K ' para sistemas do tipo ess = 0, ° para sistemas do tipo 1 ou maior Da análise feita, vê-se que a resposta de um sistema de controle com retroação unitária para uma entrada em degrau envolve um erro estacionário se não houver integração no percurso direto. (Se enos pequenos à solicitação em degrau puderem ser tolerados, então um sistema do tipo pode ser admissível, contanto que o ganho K seja suficientemente grande. Entretanto, se o ganho K for grande demais, fica difícil obter-se uma estabilidade relativa adequada.) Se for desejado um eno estacionário nulo para uma solicitação em degrau, então o tipo Glo sistema deve ser 1 ou maior. ° Coeficiente de erro estático de velocidade Kv. O eno estacionário do sistema a uma excitação em rampa unitária é dado por s 1 ess = lim (S2 S-70 1 + G s) . 1 =hm-1'-70 sG(s) O coeficiente de erro estático de velocidade K, é definido por Kv = lim sG(s) S-70 Assim, o eno estacionário, em termos do coeficiente de eno estático de velocidade, é dado pela expressão 1 O termo erro de velocidade é usado aqui para designar o eno estacionário a uma excitação em rampa. A dimensão do erro de velocidade é a mesma do erro do sistema, isto é, o eno de velocidade não é um erro na velocidade, mas um eno na posição devido a uma entrada em rampa. Para um sistema do tipo 0, Para um sistema do tipo 1, Para um sistema do tipo 2 ou maior, O erro estacionário ess para uma entrada em rampa unitária pode ser resumido como se segue: 1 = Kv e =ss ess = 1 K x ' para sistemas tipo ° 1 = K' para sistemas tipo 1 v ess = 1 K = 0, para sistemas tipo 2 ou maior v Seção 5-10 / Erro Estacionário em Sistemas de Controle com Retroação Unitária 229 r(r) c(t) Fig. 5-54 Resposta de um sistema com retroação unitária, do tipo 1, a uma solicitação em rampa unitária. o A análise feita mostra que um sistema do tipo Oé incapaz de seguir, em regime estacionário, uma solicitação em rampa. O sistema do tipo 1 com retroação unitária pode seguir o sinal de entrada em rampa com um erro finito. Em operação estacionária, a velocidade de saída é exatamente igual à velocidade de entrada, mas há um erro de posição. Este erro é proporcional à velocidade de entrada e inversamente proporcional ao ganho K. A Fig. 5-54 mostra um exemplo da resposta de sistema tipo 1 com retroação unitária a uma entrada em rampa. O sistema de ordem 2 ou maior pode seguir uma entrada em rampa com erro estacionário nulo. Coeficiente de erro estático de aceleração Ka. O erro estacionário do sistema a uma solicitação em parábola unitária (entrada de aceleração), que é definida por t 2 r(t) = 2' para t 2:: O para t < O = O, é dado por 5 ess = .1'--)0 lim 1 + G (5 ) 1 53 1 O coeficiente e erro de aceleração estático K" é definido pela equação K(/ lim s2G(S) S-->O O erro estacionário é então Note-se que o erro de aceleração, o erro estacionário devido a uma solicitação em parábola, é um erro em posição. Os valores de K{/ são obtidos como a seguir: Para sistemas do tipo O, · _ _-"--_+_----'-_+_1_)-''-' = O K a = 11m .1'-->0 (TIS + 1)(T2 s + 1) ... Para sistemas do tipo 1, lim - - - = - - - - ' - - - - - = O S-->O 230 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais r(t) cU) Fig. 5-55 Resposta de um sistema com retroação unitária, do tipo 2, a uma solicitação em parábola. o Para sistemas do tipo 2, Para um sistema do tipo 3 ou maior, Portanto, o eITO estacionário para um sinal de entrada em parábola unitária é ess para sistemas do tipo x ° e do tipo 1 1 ess = K para sistemas do tipo 2 ess = 0, para sistemas do tipo 3 ou maior ° Note-se que tanto sistemas do tipo como do tipo 1 são incapazes de seguir, em regime permanente, uma solicitação em parábola. Os sistemas do tipo 2 com retroação unitária podem seguir uma entrada em parábola com um eITO finito. A Fig. 5-55 mostra um exemplo da resposta de um sistema do tipo 2 com retroação unitária a uma excitação em parábola. O sistema do tipo 3 ou maior com retroação unitária segue uma entrada em parábola com erro nulo em regime estacionário. Resumo. A Tabela 5-2 resume os eITOS estacionários para sistemas do tipo 0, tipo I e tipo 2 quando sujeitos aos vários sinais de entrada. Os valores finitos para erro estacionário aparecem na linha diagonal. Acima da diagonal, os eITOS estacionários são infinitos; abaixo da diagonal eles são nulos. É bom lembrar que os termos erro de posição, erro de velocidade e erro de aceleração significam desvios em regime estacionário na posição de saída. Um erro de velocidade finita significa que depois de os transitórios desaparecerem, a entrada e a saída se movem com a mesma velocidade, mas com uma diferença de posição finita. Tabela 5-2 Erro estacionário em função do ganho K Entrada em degrau 1 r(t) 1 Sistema tipo O --- Sistema tipo 1 O Sistema tipo 2 O Seção 5-10 / I + Entrada em rampa r(t) t x Entrada em aceleração 1 2 t 2 r(t) = x K I x K O Erro Estacionário em Sistemas de Controle com Retroação Unitária - 1 K 231 R G .. Calibração K= I ( K .. [éJ c .. Processo a controlar C Processo a controlar Fig. 5-56 Diagramas de blocos de um sistema de controle a malha aberta e de um sistema de controle a malha fechada. Os coeficientes de erro Kp, K,. e K" descrevem a habilidade de um sistema com retroação unitária em reduzir ou eliminar erros estacionários. Portanto, eles são indicativos de desempenho em regime estacionário. Em geral é desejável aumentar os coeficientes de erro, enquanto se mantém a resposta transitória dentro de limites aceitáveis. Se houver algum conflito entre o coeficiente de erro de velocidade e o coeficiente de erro de aceleração, então o último pode ser considerado menos importante do que o anterior. Nota-se que para melhorar o desempenho em regime estacionário, pode-se aumentar o tipo do sistema adicionando um integrador ou integradores no percurso direto. Entretanto, isto introduz problemas adicionais de estabilidade. O projeto de um sistema satisfatório com mais de dois integradores no percurso direto é geralmente difícil. Comparação entre os erros estacionários de sistemas a malha aberta e de sistemas a malha fechada. Sejam os sistemas de controle a malha aberta e a malha fechada mostrados na Fig. 5-56. No sistema a malha aberta o ganho Kc é calibrado de modo a se ter Kc = l/K. Assim, a função de transferência do sistema de controle a malha aberta é 1 K 1 Co(s) = K Ts + 1 = Ts + 1 N o sistema de controle a malha fechada, o ganho Kp do controlador é ajustado de modo que KpK ~ 1. Admitindo-se uma excitação em degrau unitário, vamos comparar os erros estacionários nestes dois sistemas. Para o sistema de controle a malha aberta, o sinal de erro é e(t) = r(t) - c(t) ou E(s) = R(s) - C(s) = [1 Co(s)]R(s) O erro estacionário a uma solicitação em degrau unitário é ess = lim sE(s) s~o 1 s = lim s[l - Co(s)]s~o = 1 - CoCO) Se CoCO), o ganho estático do sistema de controle a malha aberta, for igual à unidade, então o erro de regime permanente será nulo. Contudo, devido a mudanças no ambiente e ao envelhecimento dos componentes, o ganho estático CJO) se afastará do valor unitário à medida que o tempo passa e o erro estacionário deixará de ser nulo. Este erro permanecerá no sistema a malha aberta até que se faça uma nova calibração do sistema. Para o sistema de controle a malha fechada, o sinal de erro é E(s) R(s) - C(s) 1 1 + C(s) R(s) 232 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais onde G(s) = KpK Ts + 1 o erro estacionário a uma excitação em degrau unitário é . s[ e ss = hm ,, S-70 1 1 ] 1 + G () s -s 1 1 + G(O) 1 No sistema de controle a malha fechada, o ganho Kp é ajustado para ter um valor grande em comparação com l/K. Assim, o erro estacionário pode ser feito muito pequeno, embora não exatamente igual a zero. Admita-se a seguinte variação na função de transferência do processo a controlar, supondo-se Kc e Kp constantes: K+ ~K Ts + 1 Por simplicidade, sejam os seguintes valores, K = 10, b.K = 1, ou b.K/K = O,l. Então o erro estacionário na resposta ao degrau unitário se torna, para o sistema de controle a malha aberta, 1 K(K + ~K) 1 1 - 1,1 = -0,1 Para o sistema de controle a malha fechada, se K" for ajustado no valor 1OO/K, então o erro de regime estacionário da resposta ao degrau unitário se torna e ss = 1 + G(O) 1 100 1 + K(K + ~K) 1 + 110 = 0,009 Assim, o sistema de controle a malha fechada é superior ao sistema de controle a malha aberta, em presença de mudanças no ambiente, envelhecimento dos componentes e efeitos similares que afetam o desempenho em regime permanente. PROBLEMAS ILUSTRATIVOS E SOLUÇÕES A-S-l. Explicar por que o controle proporcional de um processo que não possua propriedade de integração (o que significa que a função de transferência do processo não inclui o fator 1/s) apresenta um erro residual na resposta a excitações em degrau. Solução. Considere-se, por exemplo, o sistema mostrado na Fig. 5-57. Em regime permanente, se c fosse igual a uma constante r nula, então e = O e u = Ke O, resultando em c = O, o que contradiz a hipótese de se ter c r = constante não-nula. Para que um tal sistema de controle funcione de forma adequada, deve existir, necessariamente, um erro residual. Em outras palavras, em regime permanente, se e for igual a rI(l + K), então u = Kr/(l + K) e c KrI(1 + K), que resulta no valor de erro anteriormente suposto e rI( 1 + K). Portanto, o erro residual rI( 1 + K) é inerente a um sistema como este. A-S-2 Seja o sistema mostrado na Fig. 5-58. Mostrar que o valor de regime permanente do erro de acompanhamento de um sinal em rampa unitária é B/ K. Este erro pode ser feito pequeno escolhendo-se B pequeno e/ou K grande. Contudo, reduzir o valor de B e/ou aumentar Problemas Ilustrativos e Soluções 233 ~ c Ts+ 1 - . Fig. 5-57 Sistema de controle. C(s) Fig. 5-58 Sistema de controle. o valor de K tem como efeito a redução do coeficiente de amortecimento, o que normalmente não é desejável. Descrever um método ou métodos para reduzir a relação B/K e manter um valor razoável para o coeficiente de amortecimento (0,5 < , < 0,7). Solução. A partir da Fig. 5-58 obtém-se E(s) = C(s) R(s) = --:---- o erro estacionário a uma solicitação em rampa unitária pode ser obtido da seguinte forma: para um sinal de entrada em rampa unitária o erro em regime permanente e ss é dado por ess = lim sE(s) s-.o Is2 Bs lim s - - - - - s-.o Is2 Bs + K S2 B K = 2S- onde Para assegurar uma resposta transitória e um erro de regime permanente aceitáveis, a uma excitação em rampa unitária, , não precisa ser muito pequeno, nem úJ muito grande. É possível ter o valor do erro estacionário e ss bem pequeno fazendo-se o valor de K ser grande. (Um valor elevado de K apresenta uma vantagem adicional de suprimir efeitos indesejáveis causados por zona morta, folgas, atrito seco etc.) Um valor elevado para K, contudo, produziria um valor pequeno de , e aumentaria o valor máximo de ultrapassagem, o que é indesejável. Torna-se necessário, portanto, estabelecer um compromisso entre as magnitudes do erro estacionário e do valor máximo de ultrapassagem a uma excitação em rampa unitária. Para o sistema mostrado na Fig. 5-58, pode não ser muito fácil obter uma solucão de compromisso. É, então, desejável que se considerem outros tipos de ação de controle que possam melhorar, simultaneamente, a r~spos­ ta transitória e o comportamento em regime permanente. Há dois esquemas disponíveis para melhorar, ao mesmo tempo, a resposta transitória e o comportamento em regime permanente. Um deles consiste em utilizar um controlador proporcional-integral-derivativo; o outro diz respeito ao uso de retroação tacométrica. lI A-5-3. O diagrama de blocos da Fig. 5-59 mostra um sistema de controle de velocidade no qual o dispositivo de saída é submetido a um torque perturbador. No diagrama, DJs), D(s), T(s) e D(s) são, respectivamente, as transformadas de Laplace da velocidade de referência, da velocidade de saída, do torque acionador e do torque perturbador. Na ausência de torque perturbador, a velocidade de saída é igual à velocidade de referência. Determinar a resposta deste sistema a um torque perturbador em degrau unitário. Admitir que a velocidade de referência é nula, isto é, Dr(s) = O. Solução. A Fig. 5-60 é um diagrama de blocos modificado, conveniente para a presente análise. A função de transferência a malha fechada é 234 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais D(s) fl(s) Fig. 5-59 Diagrama de blocos de um sistema de controle de velocidade. Fig. 5-60 Diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade da Fig. 5-59 quando qCs) = o. ºDCS) Js + K D(s) onde Qf)(s) é a transformada de Laplace da velocidade de saída devida ao torque perturbador. Para um torque perturbador em degrau unitário, a velocidade em regime permanente é = s 1 Iim - - - s-.o Js K s K A partir desta análise, conclui-se que, ao ser aplicado um torque perturbador em degrau ao elemento de saída do sistema, resulta um elTO em velocidade de modo que o torque motor decorrente equilibre, exatamente, o torque perturbador. Para desenvolver este torque motor, com valor não-nulo, há necessidade de existir um erro de velocidade. A-5-4. No sistema considerado no Problema A-5-3, deseja-se eliminar, tanto quanto possível, o erro de velocidade devido a torques perturbadores. É possível cancelar, em regime estacionário, o efeito de um torque perturbador constante aplicado ao elemento de saída, de modo que não haja mudança de velocidade em regime permanente? Solução. Admita-se a escolha de um controlador adequado cuja função de transferência seja Gc(s), conforme mostrado na Fig. 5-6l. Então, na ausência de sinal de referência, a função de transferência entre a velocidade de saída QD(S) e o torque perturbador D(s) é Js + Gc(s) D(s) fl(s) Fig. 5-61 Diagrama de blocos de um sistema de controle de velocidade. Problemas Ilustrativos e Soluções 235 Fig. 5-62 Diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade da Fig. 5-61 quando Gc(s) = Kp + (K/s) e Dr(s) = O. o valor de regime estacionário da velocidade devido a um torque perturbador em degrau unitário é WD(X) = lim SDD(S) s--'>o s lim----.1--'>0 Js + Gc(s) s 1 G/O) Para satisfazer o requisito Deve-se escolher G/O) = x. Isto pode ser conseguido escolhendo-se K G/s) = - s A ação de controle integral continua a corrigir o erro até que este seja nulo. Este controlador, contudo, apresenta um problema de estabilidade porque a equação característica terá duas raízes imaginárias. Um método de estabilização para um tal sistema consiste em adicionar o modo proporcional ao controlador, ou seja, escolher Com este controlador, o diagrama de blocos da Fig. 5-61, na ausência de um sinal de referência, pode ser modificado para o da Fig. 562. A função de transferência a malha fechada Df)(s)/D(s) se transforma em DD(S) ____5_'_ _ D(s) Js 2 K Para um torque perturbador em rampa unitária, a velocidade estacionária de saída é Constata-se, assim, que o controlador proporcional-integral elimina o erro de velocidade em regime estacionário. O uso da ação de controle integral aumenta de uma unidade a ordem do sistema. (Isto tende a produzir uma resposta oscilatória.) No presente caso, um torque perturbador em degrau produzirá um erro transitório na velocidade, mas, em regime estacionário, este erro se anulará. O integrador provê uma saída não-nula para um erro nulo de entrada. (A saída não-nula do integrador produz o torque motor que equilibra, exatamente, o torque perturbador.) Observe-se que o integrador presente na função de transferência do processo a controlar não elimina o erro em regime estacionário devido a um torque perturbador em degrau. Para eliminar isto, deve-se ter um integrador antes do ponto de entrada do torque perturbador. A-5-5. Seja o sistema mostrado na Fig. 5-63(a). O erro em regime estacionário a uma excitação em rampa unitária é es, = 2~/wl)' Mostrar que o erro em regime estacionário, resultante da aplicação de uma excitação em rampa, pode ser eliminado pela interposição de um filtro proporcional-derivativo entre o sinal de entrada e o sistema, conforme mostrado na Fig. 5-63(b), e pelo ajuste adequado de k. Note-se que o erro e(t) é dado por r(t) - c(t). Solução. A função de transferência a malha fechada do sistema mostrado na Fig. 5-63(b) é C(s) _ R(s) 236 Capítulo 5 / (1 S2 + ks)w~ 21;wn s + w~ Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais C(s) (a) Fig. 5-63 (a) Sistema de controle; (b) sistema de controle com filtro na entrada. (b) Então R () s - C( s) S2 úJ~kS) () -;--,---')- R s ( s- + 2ÇúJ s úJ~ n = Se a excitação for uma rampa unitária, então o erro estacionário é e(x) r(x) - c(x) lim s = s-:>() S2 + 2~úJ s ( S2 2~úJn + n 2~úJns úJ~k úJ~ Portanto, se k for escolhido com o valor k= então é possível anular o erro estacionário resultante de uma solicitação em rampa. Observe-se que, se ocorrerem variações nos valores dos parâmetros se/ou OJ/I ocasionadas por influência do meio externo ou por envelhecimento dos componentes, pode resultar um erro estacionário não-nulo na resposta a uma excitação em rampa. A-5-6. Seja o sistema de controle de nível de líquido mostrado na Fig. 5-64. Admite-se que o valor do ponto de ajuste seja fixado. Supondo-se uma perturbação em degrau de amplitude Do, determinar o erro. Supor que Do é um valor pequeno e que as variações nos valores das variáveis em relação aos respectivos valores de regime permanente são também pequenas. O controlador é proporcional. Se, em vez de um controlador proporcional, for usado um controlador integral, qual o erro em regime permanente? Solução. A Fig. 5-65 é um diagrama de blocos do sistema quando o controlador é do tipo proporcional, com ganho KI" (Considera-se que a função de transferência da válvula pneumática seja a unidade.) Uma vez que o valor do ponto de ajuste é constante, sua variação é nula, ou seja, X(s) = O. A transformada de Laplace de h(t) é H(s) = KpR RCs R E(s) + RCs + 1 D(s) Então E(s) = - H(s) = E(s) = __ R_D(s) RCs 1 Assim R RCs + 1 K R D(s) p Fig. 5-64 Sistema de controle de nível de líquido. Problemas Ilustrativos e Soluções 237 H(s) Fig. 5-65 Diagrama de blocos do sistema de controle de nível mostrado na Fig. 5-64. Uma vez que D(s) = Do s obtém-se E(s) = A solução no domínio do tempo para t > O é e(t) Assim, a constante de tempo é RC/O KpR). (Na ausência do controlador, a constante de tempo é RC.) À medida que o ganho do controlador aumenta, a constante de tempo é reduzida. O valor de regime permanente do erro é e(x) À medida que se aumenta o ganho Kp do controlador, o erro em regime permanente, ou erro residual, diminui. Assim, matematicamente, quanto maior o valor do ganho KI" menores os valores do erro residual e da constante de tempo. Na prática, contudo, se o ganho do controlador proporcional for ajustado para um valor muito alto, podem resultar oscilações no valor do sinal de saída uma vez que nesta análise foram desprezadas todas as constantes de tempo e retardos pequenos que existem no sistema de controle real. (Se estes pequenos retardos e constantes de tempo forem incluídos na análise, a função de transferência se torna de maior ordem, e para valores grandes de Kp existe a possibilidade de ocorrerem oscilações e, mesmo, instabilidade.) Se o controlador for do tipo integral, admitindo-se que sua função de transferência seja obtém-se Rs + s + KR D(s) O erro estacionário, devido a uma perturbação em degrau D(s) e(x) = = Do/s, é lim sE(s) S---70 lim S---70 RS2 Do KR s =0 Assim, um controlador integral elimina o erro estacionário, ou erro residual, devido a uma perturbação em degrau. (O valor de K deve ser escolhido de modo que a resposta transitória devida a um sinal de comando e/ou a uma perturbação seja amortecida com uma velocidade razoável.) 238 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais A-5-7. Obter ambas as soluções, analítica e computacional, da resposta ao degrau unitário de um sistema com retroação unitária cuja função de transferência a malha aberta é CCs) C = 16,35) s s Solução. A função de transferência a malha fechada é C(s) RCs) = _ _ _ _:--_5--".C_s_+_2_0-,-)_ _ _ __ ses 16,35) + 5(s + 20) 100 A resposta deste sistema ao degrau unitário é, então, 5(s C(s) S(S2 20) + 2s + 10)(s2 6s + 10) s A resposta no domínio do tempo cU) pode ser obtida tomando-se a transformada de Laplace inversa de C(s) como a seguir: e(O = 1 + cos 3t - cos t - sen3t - sen t, para t :::: O Um programa em MATLAB para obter a resposta deste sistema a uma excitação em degrau unitário é mostrado no Programa MATLAB 5-2. A curva de resposta ao degrau unitário resultante é mostrada na Fig. 5-66. Programa MA TLAB 5-2 % ------------- Resposta ao degrau unitário ------------num = [O O O 5 100}; den = [1 8 32 80 100]; step(num,den) grid title('Resposta ao Degrau Unitário de C(s)/R(s) A-5-S. = (55 + 100)/(sI\4 + 851\3 + 32sl\2 + 80s + 100)') Considere-se a seguinte equação característica: S4 + Ks" +:,2 O S Determinar a faixa de K para estabilidade. Solução. O arranjo de coeficientes do critério de Routh é 1 O O K K - 1 K K2 K- O 1 Para estabilidade, são requeridas as condições K>O K - 1 -->0 K K2 --->0 K - 1 Problemas Ilustrativos e Soluções 239 Resposta ao degrau unitário de C(s)/R(s)= (5s + 100)/(sIl4 + 8s 113 + 32s112 + 80s + 100) 1,2 I~ "" I --- 0,8 0,6 I 0,4 I ...- ........... / 0,2 o O / J 0,5 1,5 2 3,5 3 2,5 4 - 4,5 Tempo (s) Fig. 5-66 Curva de resposta ao degrau unitário. A partir da primeira e da segunda condições, deve-se ter K > 1. Para K > 1, note-se que o termo 1 - [J<:l/(K - 1)] é sempre negativo uma vez que K 1 - K2 K-l _-_l_+_K-'..-(1_-_K-,-) < O K - 1 Assim, as três condições não podem ser atendidas simultaneamente. Em conseqüência, não existe valor de K que assegure a estabilidade do sistema. A-5-9. Considere-se a equação característica dada por (5-37) + o critério de estabilidade de Hurwitz, apresentado a seguir, fornece condições para que todas as raízes possuam parte real negativa, em função dos coeficientes do polinómio. Conforme assinalado nas discussões da Seção 5-5 sobre o critério de estabilidade de Routh, para que todas as raízes possuam parte real negativa todos os coeficientes ai devem ser positivos. Esta é uma condição necessária mas não suficiente. Se esta condição não for satisfeita, fica indicado que algumas das raízes podem ter parte real positiva, serem imaginárias ou iguais a zero. Uma condição suficiente para que todas as raízes possuam partes reais negativas é dada pelo seguinte critério de estabilidade de Hurwitz: Se todos os coeficientes do polinómio forem positivos, arranjam-se os coeficientes no seguinte determinante: 1'-..n = a1 ao O O a3 a2 a1 ao a" a4 a3 a2 O O O O O O ali an - 1 an - 2 al1 - 3 al1 --4 O O an an - 1 an - 2 O O O O an onde se substitui a, por zero, para s > n. Para que todas as raízes possuam parte real positiva, é necessário e suficiente que os menores principais sucessivos de Ll n sejam positivos. Os menores principais sucessivos são os seguintes determinantes: ao 1'-..= O I a3 a2 a1 a2i - 1 a2i - 2 a2i - 3 O O ai aI (i 1,2, ... ,n 1) onde a, = O para s > n. (Nota-se que algumas das condições para os determinantes de ordem inferior estão incluídas nas condições para os determinantes de maior ordem.) Se todos estes determinantes forem positivos e se ao > O, como admitido anteriormente, o estado de equilíbrio cuja equação característica é dada pela Eq. (5-37) é assintoticamente estável. Observe-se que os valores exatos 240 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais dos determinantes não são necessários; em vez disto, somente o sinal destes determinantes é necessário para o critério de estabilidade. Considere-se, agora, a seguinte equação característica: Obter a condição de estabilidade usando o critério de Hurwitz. Solução. A condição para se ter estabilidade é que todos os coeficientes sejam positivos e que (/31 1(/ I L1 2 a2 ao a1 L1:; = a 1a 2 - aoa:; >O a:; O a2 a4 a1 a:; ao O = a1(a 2 a:; - a1a4 ) = ao,(a 1a2 ? aoa:i aoa:;) - a?a 4 > O É evidente que, se todos os valores de ai forem positivos e se a condição .:l.3 > O for satisfeita, a condição .:l.2 > O também será atendida. Em conseqüência, para que todas as raízes da equação característica possuam parte real negativa, é necessário e suficiente que todos os valores dos coeficientes ai sejam positivos e que Ú, > O. A-5-1O. Mostrar que os critérios de estabilidade de Routh e de Hurwitz são equivalentes. Solução. Escrevendo-se os determinantes de Hurwitz sob forma triangular a11 * an L1 I (i = 1,2, ... ,n) aii O onde os elementos abaixo da diagonal são todos nulos e os elementos acima da diagonal são quaisquer valores, então as condições de Hurwitz para estabilidade assintótica se tornam (i = 1, 2, ... , n) que são equivalentes às condições Será mostrado que estas condições são equivalentes a onde ai' bi' C I , ... são os elementos da primeira coluna do arranjo de Routh. Considere-se, por exemplo, o seguinte determinante de Hurwitz, que corresponde a n a1 ao O O a:; a2 a1 ao as a4 a:; a2 = 4: a7 a6 as a4 O determinante permanece inalterado se k vezes aj-ésima linha for subtraída da i-ésima linha. Subtraindo-se da segunda linha aelal vezes a primeira linha, obtém-se L14 Problemas Ilustrativos e Soluções a ll O O O aO, an a1 ao as a2:; a:; a2 a7 a24 as a4 241 onde ao a 1 .' -a~ ao a1 -a~ I De modo semelhante, subtraindo-se da quarta linha aia l vezes a terceira linha, tem-se a 1l O O O a3 an aI O as an a3 a7 a24 as â43 onde ao â43 = a2 -a~ a4 ao -a:; aI = a 1 .' Em seguida, subtraindo-se da terceira linha a/a 22 vezes a segunda linha vem an O O O a3 an O O a5 a 23 a33 - a an n a7 a 24 a 34 em que a33 = a~ a34 = as - .' an a 24 Finalmente, subtraindo-se da última linha â4 /a 33 vezes a terceira linha, vem: a 11 O Ll4 = O O a3 an O O a) an a 33 O a7 a 24 a34 a44 onde Desta análise observa-se que 242 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais As condições de Hurwitz para estabilidade assintótica Ll I > 0, Ll 2 > 0, >0, Ll4> 0, se reduzem às condições o arranjo de Routh para o polinómio em que ao> ° é dado por ao a2 a1 a:; b1 c1 b2 a4 dI A partir deste arranjo de Routh, observa-se que Assim, as condições de Hurwitz para estabilidade assintótica se tornam Foi demonstrado, assim, que as condições de Hurwitz para estabilidade assintótica podem ser reduzidas às condições de estabilidade assintótica de Routh. O mesmo argumento pode ser estendido aos determinantes de Hurwitz, de qualquer ordem, e se pode estabelecer a equivalência entre os critérios de estabilidade de Routh e de Hurwitz. A-5-B. Mostrar que a primeira coluna do arranjo de Routh relativo a é dado por Ll:; Ll 2 1, ' onde a1 a:; a::; Ll r a2 a4 ° ° a1 a:; a2 = ° ° ° sek > n Problemas Ilustrativos e Soluções 243 Soluçiio. o arranjo de coeficientes de Routh tem a forma a2 a1 aO, b 1 b2 c1 a4 a6 as bo, c2 o primeiro termo da primeira coluna da tabela de Routh é 1. O próximo termo da primeira coluna é Q I' que é igual a O termo seguin- te é b l , que é igual a O termo que se segue, na primeira coluna é c I que é igual a [Q1 a1a2ao, Q a~ a 1a2 ao,J a1 aia 4 + alaS aO, 2 - Os demais termos da primeira coluna da tabela de Routh podem ser obtidos de forma similar. O arranjo tabular de Routh tem a seguinte propriedade: os últimos termos não-nulos de qualquer coluna são iguais, isto é, se o arranjo for dado por a2 a4 aó as bo, Co, a7 c1 aO, b2 C2 d1 d2 e1 e2 a4 a5 bo, O ar ao a1 b1 f1 gl então, e se o arranjo tabular for dado por ao a1 b1 a2 aO, b2 c1 c2 d1 d2 e1 O O f1 então 244 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais Em qualquer caso, o último termo da primeira coluna é igual a ali ou Por exemplo, se n 4, então O O a3 a z a j a" a4 a3 a z a7 a ó a" a4 aj ~4 = aj O a3 a z a j O a4 a3 O O O O az = ~3a4 a4 Assim, foi mostrado que a primeira coluna do arranjo tabular de Routh é dada por 1, ~' j A-5-12. O valor da constante de um gás pode ser determinado, para qualquer gás, a partir de observações experimentais precisas dos valores simultâneos de p, v e T. Obter a constante de gás Rar para o ar. Note-se que a 32°F e sob 14,7 psia o volume específico do ar é 12,39 ft 3llb. Em seguida, obter a capacitância de um recipiente de pressão de 20 ft3 que contém ar a 160°F. Admitir que o processo de expansão seja isotérmico. Solução. 14,7 144 X 12,39 460 + 32 X 53,3 ft-Ibrflb °R Com base na Eq. (5-12), a capacitância de um recipiente de 20 ft 3 é V 20 C=--=----nR ar T 1 X 53,3 X 620 6,05 X -4 10 lb lbrfftz Note-se que, em unidades do Sistema Internacional (SO, o valor de Rur é dado por Rar = 287 N-m/kg K A-5-13. A Fig. 5-67 é um diagrama esquemático de uma válvula pneumática de diafragma. Em estado estacionário, a pressão de controle proveniente de um controlador é ~., a pressão na válvula é também ~ e o posicionamento da haste da válvula é X. Supõe-se que no instante t = O o valor da pressão de controle muda de~, para ~ + Pc' Em conseqüência, o valor da pressão na válvula muda de ~, para ~. + PI' A variação p\ na pressão da válvula acarreta uma mudança no valor do posicionamento da haste da válvula de X para X x. Obter a função de transferência entre uma variação x no posicionamento da haste e uma variação Pc na pressão de controle. Solução. Defina-se como q a vazão de ar aplicada à válvula de diafragma através da resistência R. Então Pc -Pv q= R Para o ar no interior da câmara da válvula de diafragma, tem-se C dpv q dt Conseqüentemente, CdPI' -=q=--dt R donde dpv RC- + Pv dt = Pc Observando-se que Problemas Ilustrativos e Soluções 245 Fig. 5-67 Válvula pneumática de diafragma. Tem-se dx ) =p -k ( RC-+x A dt c A função de transferência entre x e Pc é X(s) = Pc(s) A/k RCs + 1 A-5-14. No sistema pneumático de pressão da Fig. 5-68(a), admite-se que, para t < O, o sistema se encontra em estado estacionário e que a pressão ~m todo_o sistema é P. Admite-se também que os dois foles são idênticos. Em t = O, o .:::.alor dayressão d~ entrada muda de P para P + Pi' Então os valores das pressões nos foles 1 e 2 mudam, respectivamente, de P para P + PI e P +P2' A capacidade (volume) de cada fole é 5 X 1O-'+m3 e a diferença de pressão operacional6.p (diferença entre Pi e PIOU entre Pi e P2) fica situada entre os valores de -0,5 X 105 N/m 2 e 0,5 X 10 5 N/m 2 • As correspondentes vazões de massa (kg/s) através das válvulas estão mostradas na Fig. 5-68(b). Admita-se que os foles se expandam ou se contraiam linearmente com as pressões de ar aplicadas a eles, que a constante de mola equivalente do sistema de foles seja k = 1 X 105 N/m, e que cada fole tenha uma área A = 15 X 10- 4 m 2 • Definindo-se como x o deslocamento do ponto central da haste que conecta os dois foles, obter a função de transferência X(s)/Pi(s). Admitir que o processo de expansão seja isotérmico e que a temperatura de todo o sistema permaneça em 30°e. Solução. Com base na Seção 5-6, pode-se obter a função de transferência PI (s)/P/s) como sendo (5-38) 0,5 X 105 Válvula I Válvula 2 Válvula 1 q(kg/s) -- -0.5 P+Pi (a) 246 Capítulo 5 / (b) Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais X 105 Fig. 5-68 (a) Sistema pneumático de pressão; (b) curva de pressão diferencial versus vazão de massa. De maneira semelhante, a função de transferência P 2(S)/P i(s) é (5-39) A força atuante sobre o fole 1 na direção x é A(P + p), e a força atuante no fole 2 na direção negativa de x é A(J5 resultante se equilibra com o valor kx, força de mola equivalente devida à parte corrugada dos foles. + P2)' A força ou (5-40) Com base nas Eqs. (5-38) e (5-39), constata-se que ---=='----'----1-) Pls) Substituindo-se esta última expressão na Eq. (5-40), reescrevendo-a, obtém-se a função de transferência X(s)/Pi(s) como sendo X(s) = :1 ____-=-_ _ Pls) (5-41 ) 1) Os valores numéricos médios das resistências RI e R} são 0,5 X lO" 3 X 10-'" = O 167 X lO lO N/m kg/s 2 R; = d f....p = 0,5 X 10~'i = O333 X 1010 N/m dq2 1,5 X 10 . kg/s 2 O valor numérico da capacitância C de cada um dos foles é c v 4 5 X 10= 5 75 1 X 287 X (273 + 3 0 ) ' X 10-9 kg N/m 2 em que Rar = 287 N-m1kg K. (Ver Problema A-5-12.) Conseqüentemente, R 1C = R 2C 0,167 X 10 10 X 5,75 X 10- 9 = 0,333 X 10 10 X 5,75 X 10-9 9,60 S 19,2 S Substituindo-se os valores numéricos de A, k, R I C e R}C na Eq. (5-41), obtém-se 1) A-5-15. Esboçar um diagrama de blocos do controlador pneumático mostrado na Fig. 5-69. Obter, em seguida, a função de transferência deste controlador. Se a resistência Rei for removida (substituída por um pedaço de tubulação com o mesmo diâmetro da linha) que tipo de ação de controle será obtido? Removendo-se a restrição Ri (substituição por um tubo de diâmetro igual ao da linha pneumática), que tipo de ação de controle será obtido? Solução. Seja X a distância bocal-palheta quando e = O e a pressão do controlador for igual a Pc' Na presente análise, serão considerados pequenos desvios, definidos a seguir, a partir dos respectivos valores de referência: sinal de erro (valor pequeno) e = x = pequena mudança no valor da distância bocal-palheta p, pequena mudança no valor da pressão de controle Problemas Ilustrativos e Soluções 247 e , - - r.,"":""..;- - PI Fig. 5-69 Diagrama esquemático de um controlador pneu mático. = pequena mudança no valor da pressão no interior do fole I, devida a uma pequena mudança no valor da pressão de controle Pu = pequena mudança no valor da pressão no interior do fole II, devida a uma pequena mudança no valor da pressão de controle y = pequeno deslocamento da extremidade inferior da palheta Neste controlador, Pc é transmitida ao fole I através da restrição R". De modo semelhante, a pressão Pc é transmitida ao fole II através das restrições em série Rd e Ri' Uma relação aproximada entre PI e Pc é 1 onde Td = RdC = tempo derivativo. De modo análogo, Pu e PI são relacionadas através da função de transferência onde Ti = RiC = tempo integral. A equação de equilíbrio de forças para os dois foles é (PI PIl)A k\.y onde k\ é a rigidez dos dois foles conectados e A é a área da seção reta dos foles. A relação entre as variáveis e, x e y é b a x=--e---y a b a+ b A relação entre Pc e x é Pc Kx (K> O) A partir das equações que acabam de ser obtidas, pode ser esboçado o diagrama de blocos mostrado na Fig. 5-70(a). A simplificação deste diagrama de blocos resulta na Fig. 5-70(b). A função de transferência entre Pc(s) e E(s) é PcCs) E(s) _b_ K a b Para um controlador prático, sob condições normais de operação, 1RáATis/[(a + b)k\.(Tis e Ti ~ Td • Assim, a função de transferência pode ser simplificada como a seguir: Pc(S) == bk\(~s + 1)(~Is + 1) E(s) . aATis 248 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais + l)(Td s + 1)]1 é muito maior que a unidade E(s) (a) E(s) Fig. 5-70 (a) Diagrama de blocos do controlador pneumático mostrado na Fig. 5-69; (b) diagrama de blocos simplificado. (b) onde Assim, o controlador mostrado na Fig. 5-69 é do tipo proporcional-integral-derivativo. Se a restrição Rd for suprimida, ou seja Rd O, a ação de controle se transforma na de um controlador proporcional-integral. Se a restrição Ri for removida, isto é, se Ri O, a ação de controle se torna a de um controlador proporcional de banda estreita, ou controlador de duas posições. (Note-se que as ações dos dois foles de retroação se cancelam mutuamente e inexiste retroação.) A-5-16. Em virtude das tolerâncias de fabricação, as válvulas de carretel reais ou são do tipo sobreposta ou do tipo subposta. Considerem-se as válvulas de carretel sobreposta e subposta mostradas na Fig. 5-71 (a) e (b). Esboçar curvas relacionando a área A descoberta no acesso em função do deslocamento x do carretel. Solução. Para a válvula do tipo sobreposta, existe uma zona morta entre -! Xo e X o, ou seja, para Xo < x <,! Xo . A curva relacionando a área exposta A versus deslocamento x é mostrada na Fig. 5-72(a). Tal válvula sobreposta é inadequada como válvula de controle. Para a válvula do tipo subposta, a curva relacionando área exposta A versus deslocamento x é mostrada na Fig. 5-72(b). A curva efetiva para a região subposta apresenta uma inclinação maior, significando uma maior sensibilidade. As válvulas de carretel usadas para controle são, usualmente, do tipo subposta. A-5-17. A Fig. 5-73 mostra um controlador hidráulico com bocal de jato. O fluido hidráulico é ejetado através do bocal. Se este for deslocado da posição neutra para a direita, o êmbolo se movimenta para a esquerda e vice-versa. A válvula do tipo bocal de jato não é tão usada como a do tipo bocal-palheta em função de sua maior vazão de nulo, de sua resposta mais lenta e de outras características de imprevisibilidade. Sua principal vantagem consiste na insensibilidade a fluidos sujos. x_ Alta pressão Baixa pressão (a) Problemas Ilustrativos e Soluções Baixa pressão Alta pressão (b) Fig. 5-71 (a) Válvula de carretel do tipo sobreposta; (b) válvula de carretel do tipo subposta. 249 A Área exposta a alta pressão Área efetiva x x Fig. 5-72 (a) Curva da área A não-coberta versus deslocamento x para uma válvula do tipo sobreposta; (b) curva da área A não-coberta versus deslocamento x para uma válvula do tipo subposta. Área exposta a baixa pressão /-tIc---t- (b) (a) J L --y ..-----=------o o----~~--~ x t Óleo sob pressão Fig. 5-73 Controlador hidráulico do tipo bocal de jato. Suponha-se que o êmbolo de potência seja conectado a uma carga leve de tal sorte que a força de inércia seja insignificante em comparação com a força hidráulica desenvolvida pelo êmbolo de potência. Que tipo de ação de controle é produzida por este controlador? Solução. Definam-se como x o deslocamento do bocal de jato em relação à posição neutra e como y o deslocamento do êmbolo de potência. Se o bocal de jato for movimentado para a direita de um pequeno deslocamento x, o óleo Hui para o lado direito do êmbolo de potência e o óleo existente no lado esquerdo do êmbolo Hui em direção ao dreno. O óleo que entra no cilindro de potência está sob alta pressão; o óleo que escoa do cilindro de potência para o dreno está a baixa pressão. A diferença de pressão resultante ocasiona o movimento do êmbolo de potência para a esquerda. Para pequenos deslocamentos x do bocal de jato, a vazão q para o cilindro de potência é proporcional a x, isto é, Para o cilindro de potência, Ap dy = q dt onde A é a área do êmbolo de potência e p é a densidade do óleo. Assim dy dt onde K = K/Ap - q Ap = K - 1x Ap = Kx constante. A função de transferência Y(s)/X(s) é, por conseguinte, Y(s) _ li X(s) s O controlador produz uma ação de controle integral. 250 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais Válvula borboleta Êmbolo de potência A Óleo sobre t Bocal de jato Entrada de referência Fig. 5-74 Diagrama esquemático de um sistema de controle de vazão usando um controlador hidráulico do tipo bocal de jato. Reservatório Filtro coletor de óleo A-5-18. A Fig. 5-74 mostra um controlador hidráulico com bocal de jato aplicado a um sistema de controle de vazão. O controlador de bocal governa a posição da válvula borboleta. Discutir a operação do sistema. Traçar uma curva possível de relacionar o deslocamento x do bocal de jato e a força total atuando sobre o êmbolo de potência. Solução. A operação deste sistema é a seguinte: a vazão é medida pela placa de orifício e a diferença de pressão produzida pelo orifício é transmitida ao diafragma do dispositivo medidor de pressão. O diafragma está conectado a um bocal oscilante, ou bocal de jato, através de um sistema de articulação. O óleo sob alta pressão é ejetado continuamente através do bocal. Quando o bocal se encontra na posição neutra, não há escoamento de óleo por nenhuma das tubulações que movem o êmbolo de potência. Se o bocal for deslocado pelo movimento do braço de alavanca para um dos lados, o óleo sob alta pressão fluirá através da tubulação correspondente e o óleo existente no cilindro de potência fluirá de volta para o reservatório coletor de óleo através da outra tubulação. Admita-se que o sistema esteja inicialmente em repouso. Se o sinal de entrada de referência for mudado instantaneamente para um maior valor de vazão, então o bocal se move num sentido tal que ocasiona o deslocamento do êmbolo de potência para abrir a válvula borboleta. Em conseqüência disto, a vazão aumenta, a diferença de pressão na placa de orifício se torna maior e o bocal se moverá de volta à posição neutra. O movimento do êmbolo de potência será interrompido quando o deslocamento x do bocal corresponder à volta e à permanência deste à posição neutra. (O controlador de bocal de jato possui, assim, uma propriedade de integrador.) A relação entre a força líquida F atuante sobre o êmbolo de potência e o deslocamento x do bocal está mostrada na Fig. 5-75. A força resultante é igual à diferença de pressão f:"P através do êmbolo vezes a área deste. Para um pequeno deslocamento x do bocal, a força F e o deslocamento x podem ser considerados proporcionais. A-5-19. Explicar a operação do sistema de controle de velocidade mostrado na Fig. 5-76. Solução. Se a velocidade do motor aumenta, a luva do regulador de esferas se move para cima. Este movimento funciona como o sinal de entrada para o controlador hidráulico. Um sinal de erro positivo (movimento da luva para cima) acarreta o movimento do êmbolo de F x Fig. 5-75 Curva força versus deslocamento. Problemas Ilustrativos e Soluções 251 Fig. 5-76 Sistema de controle de velocidade. Y(s) E(s) Fig. 5-77 Diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade mostrado na Fig. 5-76. potência para baixo, a redução da abertura da válvula de combustível e a redução da velocidade do motor. Um diagrama de blocos do sistema é mostrado na Fig. 5-77. A partir do diagrama de blocos pode-se obter a função de transferência Y(s)/E(s) como sendo K Y(s) bs E(s) K k s Se for aplicável a seguinte condição bs KI ----~1 I aj + a2 bs k s a função de transferência Y(s)/E(s) se torna ---- E(s) aj a2 bs + k aj bs = aj (1 k) bs o controlador de velocidade apresenta uma ação de controle proporcional-integral. A-5-20. Considere-se o servos sistema hidráulico mostrado na Fig. 5-78. Admitindo-se que o sinal e(t) seja a excitação e o deslocamento y(t) a resposta do sistema, determinar a função de transferência Y(s)/E(s). Solução. Um diagrama de blocos para o sistema pode ser esboçado como consta na Fig. 5-79. Admitindo-se que as condições IK;a/[s(a\ + a2)]1 ~ 1 e I K2b/[s(b\ + b2)]1 ~ 1 sejam satisfeitas, obtém-se 252 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais A Óleo sob ---=~--.()----y Fig. 5-78 Servossistema hidráulico. E(s) Fig. 5-79 Diagrama de blocos do sistema mostrado na Fig. 578. Z(s) E(s) a1 + .~ a2 ai a1 ~=a2+a) a1 + a2 a1 K2 Y(s) ____s_ __ W(s) b1 b 1 b2 S Assim, Y(s) E(s) W(s) . W(s) E(s) = (a 2 ao,)(b 1 + b 2 ) a1 b 1 o servossistema é um controlador proporcional. A-5-21. Obter a função de transferência EJs)IEi(s) do circuito com amplificador operacional mostrado na Fig. 5-80. Solução. Seja, por definição, e.\ a tensão no ponto A. Então, Problemas Ilustrativos e Soluções 253 Fig. 5-80 Circuito com amplificador operacional. Seja, por definição, eH a tensão no ponto B. Então Observando-se que eK ~ 1, deve-se ter Assim, de onde se obtém EoCs) E/s) A-5-22. Obter a função de transferência Eo(s)IE;(s) relativa ao circuito com amplificadores operacionais mostrado na Fig. 5-81. Solução. A tensão elétrica no ponto A é A versão desta equação no domínio da transformada de Laplace é (I-;:- o~-------------jt~----------------~o Fig. 5-81 Circuito com amplificador operacional. 254 Capítulo 5 / Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais A tensão elétrica no ponto B é Cs, 1 Ei(S) R +_ 2 Cs Como [Eis) - E,(s)]K = Eo(s) e K p 1, deve-se ter E,(s) 1 = R C 2 1 Els) S Assim, = 1 ---E(s) R 2 Cs + 1 I Em conseqüência, 1 Eo(s) = - 1 R 2Cs + 1 s --- R2 C 1 s +-- R2 C A-S-23. Seja o sistema de controle com retroação unitária e estável cuja função de transferência do canal direto é G(s). Suponha-se que a função de transferência a malha fechada possa ser escrita sob a forma C(s) = _--"-'--R(s) 1 + G(s) (m::;n) Mostrar que r e(t) dt = (Ti + ) - (Ta + + ... + JJ + ... + T m ) sendo e(t) o erro a uma solicitação em degrau unitário. Mostrar, também, que 1 lim sG(s) S->O Solução. Seja, por definição, e Então C(s) = R(s) P(s) Q(s) e E( ) s Para uma excitação em degrau unitário R(s) = Q(s) - P(s) R( ) s 1/s e E(s) Como o sistema é estável, Q(s) Q(s) - P(s) 'sQ(s) L'" e(t) dt converge para um valor constante. Com base na Tabela 2-2 (item 10), tem-se r Jo Problemas Ilustrativos e Soluções e(t) dt = lim s E(s) = lim E(s) s->() S s->O 255 Assim, I x o e(t) d t l'1m -Q(s) - P(s) '-=-'--'---'--'s~o sQ(s) = r Q'(S) - PI(S) SQ'(S) s~ Q(s) lim [Q'(S) PI(S)] s~o Como lim PI(S) Ta s~o lim Q'(S) TI s~o tem-se (X e(t) dt Jo (T j + T 2 = Para uma excitação r(t) em degrau unitário, como (X e(t) dt Jo lim E(s) s~o = lim HO 1 1 C(s) R(s) - lim - - - HO 1 + C(s) s lim sC(s) s~o tem-se lim sC(s) = (T j + T2 s~o Note-se que zeros no semiplano da esquerda (isto é, valores positivos de Ta' Tb , ••• , T,') melhoram o valor de K,. Pólos próximos da origem acarretam valores pequenos para a constante de erro de velocidade, a menos que existam zeros nas proximidades. PROBLEMAS B-5-l. Se o percurso direto de um sistema de controle contiver pelo menos um elemento integrador, então o sinal de saída continua a evoluir enquanto o erro estiver presente. O sinal de saída pára de evoluir quando o sinal de erro for exatamente igual a zero. Se uma perturbação externa for aplicada ao sistema, é desejável possuir um elemento integrador entre o elemento de medição do erro e o ponto de entrada da perturbação. Deste modo é possível anular, em regime estacionário, o efeito da perturbação. Mostrar que, se a perturbação for uma função rampa, então o erro estacionário devido a esta perturbação só poderá ser eliminado se ao menos dois integradores precederem o ponto de inserção da perturbação. B-5-2. Considerem-se os controladores industriais cujas ações de controle são proporcional, integral, proporcional-integral, proporcionalderivativa e proporcional-integral-derivativa. As funções de transferência destes controladores são dadas, respectivamente, por U(s) E(s) U(s) E(s) = Kp = Ki s onde U(s) é a transformada de Laplace de u(t), sinal de saída do controlador, e E(s) a transformada de Laplace de e(t), sinal de erro atuante. Esboçar as curvas de u(t) versus t para cada um dos cinco tipos de controlador quando o sinal de erro for: (a) (b) e(t) = função degrau unitário eU) = função rampa unitária Ao esboçar as curvas, admita que os valores numéricos de Kp, Ki' Ti e T" são dados Kp Ki Ti T" = ganho proporcional = 4 = ganho integral = 2 = = tempo integral = 2 s tempo derivativo = 0,8 s B-5-3. Seja o sistema de controle com retroação unitária cuja função de transferência a malha aberta é K C(s) = s(Js + B) Discutir os efeitos dos valores de K e de B sobre o erro estacionário a uma excitação em rampa unitária. Esboçar curvas típicas de resposta à rampa unitária para valores pequenos, médios e grandes de K. B-5-4. A Fig. 5-82 mostra três sistemas. O Sistema I é um servos sistema de posição. O Sistema II é um servos sistema com ação de controle PO. O SistemalIIéumservossistemacomretroaçãodevelocidade.Comparar as respostas dos três sistemas a uma excitação em degrau unitário, em impulso unitário e em rampa unitária. Qual dos sistemas é melhor, no que tange a velocidade de resposta e valor máximo de ultrapassagem, na resposta a uma solicitação em degrau? U(s) E(s) 256 Capítulo 5 / = ( Kp 1 B-5-5. Considere-se o sistema de controle de posição mostrado na Fig. 5-83. Escrever um programa em MATLAB para obter a resposta do Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais C(s) Sistema I Sistema II Sistema III Fig. 5-82 (a) Servossistema de posição; (b) servos sistema de posição com ação de controle PD; (c) servos sistema de posição com retroação de velocidade. Fig. 5-83 Sistema de controle de posição. sistema a uma excitação em degrau unitário e em rampa unitária. Traçar as curvas xt(t) versus t, xit) versus t, x 3(t) versus t e e(t) versus t [onde e(t) = r(t) - xt(t)] para ambos os sinais de entrada, em degrau unitário e em rampa unitária. B-5-6. Determinar a faixa de valores de K para estabilidade do sistema de controle com retroação unitária cuja função de transferência a malha aberta é C(s) 2) A (A é chamada matriz de Schwarz). Mostrar que a primeira coluna do arranjo tabular de Routh referente à equação característica IsI - AI =0 consiste em 1, bjl b 2 e b t b 3 • B-5-9. Considere-se o sistema pneumático mostrado na Fig. 5-84. Obter a função de transferência X(s)IPi(s). B-5-7. Considere-se o sistema de controle com retroação unitária com a seguinte função de transferência a malha aberta: Constante de mola k C(s) 10 ses - 1)(2s + 3) fi + Pi Este sistema é estável? B-5-8. Seja o sistema x= onde a matriz A é dada por Problemas Ax Fig. 5-84 Sistema pneumático. 257 Sinal de erro atuante e 5-85 Controlador pneumático. Sinal de erro atuante e Palheta (/ b Orifício- P, Pc + Pc 1__ 2 1 1 " I ... --t-*-t- B-5-1O. A Fig. 5-85 mostra um controlador pneumático. Que tipo de ação de controle este controlador produz? Deduzir a função de transferência Pc(s)IE(s). B-5-11. o controlador pneumático mostrado na Fig. 5-86. Admitindo-se que o relé pneumático possui características tais que Pc = (onde K > O), determinar a lei de controle deste controlador. O sinal de entrada é e e o sinal de saída é Pc' B-5-12. A 5-87 mostra um controlador pneumático. O sinal de entrada é e e o sinal de saída é a variação de pressão de controle Pc' Obter a de transferência Pc(s)IE(s). Admitir que o relé pneumático tenha características tais que Pc = onde K> O. B-5-13. Considere-se o controlador pneumático mostrado na Fig. 5-88. a lei de controle produzida por este controlador? Admitir que o relé pneumático tenha características tais que Pc = Kp;" onde K > O. B-5-14. A 5-89 mostra um transdutor eletropneumático. Mostrar que uma variação na pressão de saída é proporcional a uma variação na corrente de entrada. B-5-15. A Fig. 5-90 mostra uma válvula de palheta. Ela é colocada entre dois bocais opostos. Se a palheta for ligeiramente deslocada para a direita, haverá um desequilíbrio de pressão nos bocais e o êmbolo de fJ"'.VuvHA se deslocará para a esquerda e vice-versa. Tal dispositivo é freqüentemente usado em servos hidráulicos como primeiro estágio de servoválvulas de dois estágios. Esta utilização ocorre em virtude de haver 258 Capítulo 5 / 5-86 Controlador pneumático. necessidade de se contar com forças consideráveis para mover o carretel de válvulas grandes. As forças de escoamento em regime permanente tendem a se opor ao movimento do carretel. Para reduzir ou compensar estas forças, emprega-se, com freqüência, a configuração de dois estágios. Uma válvula de palheta ou de bocal de jato é utilizada como válvula de primeiro estágio para produzir a força necessária de acionamento do carretel existente no segundo estágio. A Fig. 5-91 mostra um diagrama esquemático de um servomotor hidráulico no qual o sinal de erro é amplificado por meio de dois estágios, utilizando uma válvula de bocal de jato e uma válvula-piloto. Construir o diagrama de blocos do sistema da Fig. 5-91 e, em seguida, determinar a função de transferência entre .\' e x, onde x é a pressão do ar e y o deslocamento do êmbolo de potência. B-5-16. A Fig. 5-92 é um diagrama esquemático do sistema de controle do profundor de uma aeronave. O sinal de entrada do sistema é uma det1exão angular eda manete de controle e o sinal de saída é o ângulo de elevação 4Y. Admitir que os ângulos ee 4Y são relativamente pequenos. Mostrar que para cada valor de ângulo eda manete de controle existe um valor correspondente (estacionário) do ângulo 4Y do profundor. B-5-17. Seja o sistema de controle mostrado na Fig. 5-93. O sinal de entrada é a pressão de ar Pi e o sinal de saída é o deslocamento y do êmbolo de potência. Obter a função de transferência Y(s)IPi(s). B-5-18. Obter a função de transferência do circuito com amplificadores operacionais mostrado na Fig. 5-94. Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais Sinal de erro atuante e PI \ iI ... 1 .... --1,..* ...... - Fig. 5-87 Controlador pneumático. Sinal de erro atuante e PI ,--I 1 ... 1 .... --1,..* ...... - Fig. 5-88 Controlador pneumático. Corrente de entrada Ar comprimido Problemas Pressão de saída Fig. 5-89 Transdutor eletropneumático. 259 OI----:J=----1I __--==L;...---o -- y Óleo sob pressão Fig. 5-90 Válvula de palheta. Fig. 5-91 Diagrama esquemático de um servomotor hidráulico. Óleo J Fig. 5-92 Sistema de controle do profundor de um avião. __ Pressão de ar Pi (Sinal de entrada) / y (Sinal de saída) Fig. 5-93 Controlador. 260 Capítulo 5 / Fig. 5-94 Circuito com amplificador operacional: Ações de Controle Básicas e Controladores Automáticos Industriais B-5-19. Obter a função de transferência E(I(s)/E;(s) do circuito com amplificadores operacionais mostrado na Fig. 5-95. B-5-20. Considere-se o sistema de controle com retroação unitária com a função de transferência a malha fechada C(s) = _ _ _b_ R(s) Determinar a função de transferência a malha aberta G(s). Mostrar que o erro estacionário da resposta a uma excitação em rampa unitária é dado por a- K ----- Kv b B-5~21. Mostrar que o erro estacionário da resposta a uma excitação em rampa unitária pode ser anulado se a função de transferência a malha fechada for dada por C(s) _ Fig. 5-95 Circuito com amplificador operacional. Problemas R(s) -----~~--~----- Sfl + 261 6 Análise pelo Método do Lugar das Raízes 1 INTRODUÇÃO A característica básica da resposta transitória de um sistema a malha fechada está intimamente relacionada à localização dos pólos a malha fechada. Se o sistema tiver um ~anho de malha variável, então a localização dos pólos de malha fechada depende do valor do ganho de malha escolhido. E importante, portanto, que o projetista saiba como os pólos a malha fechada se movem no plano s quando o ganho da malha é variado. Do ponto de vista do projeto, em alguns sistemas o simples ajuste do ganho pode mover os pólos a malha fechada para os locais desejados. Então o problema do projeto pode se transformar na seleção de um valor de ganho apropriado. Se o ajuste do ganho sozinho não produzir um resultado desejado, será necessário o acréscimo de um compensador ao sistema. (Este assunto é discutido, em detalhes, no Cap. 7). Os pólos a malha fechada são as raízes da equação característica. A determinação das raízes da equação característica de grau superior a três é trabalhosa e requer solução com o uso de computadores. MA TLAB fornece uma solução simples para este problema.) Contudo, a simples determinação das raízes da equação característica pode ser de alcance limitado. Com efeito, à medida que o ganho da função de transferência a malha aberta varia, a equação característica se modifica e os cálculos necessitam ser repetidos. Um método simples para determinar as raízes da equação característica foi desenvolvido por W. R. Evans e é amplaé um procedimento pelo mente usado em engenharia de controle. Este método, denominado método do lugar das qual as raízes da equação característica são locadas graficamente em função dos valores de um parâmetro do sistema. As raízes correspondentes a um valor particular deste parâmetro podem então ser localizadas no gráfico resultante. Note-se que, usualmente, o parâmetro é o ganho, porém qualquer outra variável da função de transferência a malha aberta pode ser utilizada. Salvo menção em contrário, será admitido que o ganho da função de transferência a malha aberta é o parâmetro a ser variado ao longo de toda a gama de valores possíveis, isto é, de zero a infinito. Usando o método do lugar das raízes, o projetista pode prever os efeitos sobre a localização dos pólos a malha fechada devido à variação do valor do ganho ou ao acréscimo de pólos e/ou zeros a malha aberta. Portanto, o que se deseja é que o projetista tenha uma boa compreensão do método para esboçar os lugares das raízes do sistema a malha fechada, manualmente, seja através de recursos computacionais como o MATLAB. Método do lugar das raízes. A idéia básica que fundamenta o método do lugar das raízes é a de que os valores de s que fazem a função de transferência de malha ser igual a-I devem satisfazer a equação característica do sistema. O lugar das raízes da equação característica do sistema a malha fechada, quando o ganho varia de zero a infinito, dá ao método o seu nome. O gráfico correspondente mostra claramente as contribuições de cada pólo ou cada zero a malha aberta nas localizações dos pólos a malha fechada. No projeto de um sistema de controle linear verifica-se que o método do lugar das raízes se torna muito útil, uma vez que indica a maneira pela qual os pólos e zeros a malha aberta devem ser modificados para que a resposta satisfaça as especificações de desempenho do sistema. Este método é particularmente conveniente para que se obtenham resultados aproximados de modo muito rápido. Alguns sistemas de controle podem envolver o ajuste de mais de um parâmetro. O diagrama do lugar das raízes para um sistema que tem múltiplos parâmetros pode ser construído variando-se um parâmetro de cada vez. Neste capítulo inclui-se a discussão dos lugares das raízes para um sistema com dois parâmetros. Os lugares das raízes para um tal caso recebem a denominação de contorno das raízes. O método do lugar das raízes é uma técnica gráfica poderosa para investigar os efeitos do valor de um parâmetro do sistema sobre a localização dos pólos a malha fechada. Na maioria dos casos, o parâmetro considerado é o ganho de malha embora possa ser qualquer outro parâmetro variável do sistema. Se o projetista seguir as regras gerais de construção do lugar das o esboço destes lugares se torna, na realidade, algo muito simples. Uma vez que a geração do lugar das raízes através do MATLAB é um assunto muito simples, pode-se imaginar que o uma perda de tempo e de esforço. Contudo, a experiência em esboçar manualmente o esboço manual destes lugares lugar das raízes é de um valor inestimável na interpretação do lugar das raízes gerados por computador, bem como para se obter, rapidamente, uma idéia aproximada do lugar das raízes. Através do método do lugar das raízes, é possível determinar o valor do ganho de malha K que produza o coeficiente de amortecimento prescrito para os pólos dominantes a malha fechada. Se a localização de um pólo ou de um zero for a variável do sistema, o método do lugar das raízes sugere a forma de escolher a localização do pólo ou do zero a malha aberta. o Exemplo 6-8 e os Problemas A-6-12 a A-6-14.) No Cap. 7 será mostrado mais sobre o projeto de sistemas de controle com base no método do lugar das raízes . ...... .:> ..... vvv do capítulo. Este capítulo introduz o conceito básico do método do lugar das raízes e apresenta regras úteis para a construção gráfica dos lugares das raízes, bem co'mo sua geração por meio do MATLAB. O escopo do capítulo é o seguinte: a Seção 6-1 apresentou uma introdução ao método do lugar das raízes. A 62 detalha os conceitos que servem de base ao método do lugar das raízes e apresenta o procedimento geral para se desenharem os lugares das raízes usando exemplos ilustrativos. A Seção 6-3 resume as regras gerais para a construção dos lugares das raízes e a Seção 6-4 discute a geração dos lugares das raízes por meio do MATLAB. A Seção 6-5 trata de casos especiais: o primeiro ocorre quando a variável K não aparece como um fator multiplicativo e o segundo caso quando o sistema a malha fechada apresenta retroação positiva. A Seção 6-6 analisa os sistemas a malha fechada através do método do lugar das raízes. A Seção 6-7 estende o método do lugar das raízes para tratar dos sistemas a malha fechada com retardo de transporte. Finalmente, a Seção 6-8 discute os gráficos de contorno das raízes. '-'-'UI..H'I,..V'-;<;> de e de módulo. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 6-1. função de transferência a malha fechada é C(s) = _ _--'--'-__ 1) 1+ A equação característica para este sistema a malha fechada é obtida igualando-se a zero o denominador da gundo membro da Eq. (6-1). Isto é, 1 + G(s)H(s) do se- O ou = -1 é uma razão de polinómios em s. [Posteriormente, na Seção 6-7, a análise será estendida ao caso em que envolve o retardo de transporte e-TI.] Uma vez que G(s)H(s) é uma quantidade complexa, a deve ser desmembrada em duas equações a fim de se igualarem os ângulos e os módulos de ambos os membros da equarespectivamente, para obter: '--'VH'-<"VU.V angular: /G(s)H(s) = :±:1800(2k + 1) (k = 0,1,2, ... ) C(s) 6-1 Sistema de controle. Seção 6-2 / Diagramas de Lugar das Raízes 263 Condição de módulo: (6-4) 1 IG(s)H(s)1 Os valores de s que satisfazem simultaneamente as condições de ângulo e de módulo são raízes da equação característica, ou os pólos a malha fechada. O gráfico dos pontos do plano complexo que satisfazem apenas a condição angular é o lugar das raízes. As raízes da equação característica (os pólos a malha fechada) correspondentes a um dado valor do ganho podem ser determinadas a partir da condição de módulo. Os detalhes da aplicação das condições de ângulo e de módulo a fim de se obterem os pólos a malha fechada são apresentados adiante, nesta seção. Em muitos casos, G(s)H(s) envolve um parâmetro de ganho K e a equação característica pode ser escrita como (6-5) Então os lugares das raízes para o sistema são os lugares dos pólos a malha fechada quando o ganho K é variado de zero a infinito. Note-se que para começar o esboço dos lugares das raízes de um sistema pelo método do lugar das raízes, deve-se saber a localização dos pólos e zeros de G(s)H(s). Deve-se lembrar que os ângulos das grandezas complexas que se originam dos pólos a malha aberta e dos zeros de malha aberta para o ponto de teste s são medidos no sentido anti-horário. Por exemplo, se G(s)H(s) for dado por K(s + G(s)H(s) = - - - - - - - - - (s + p))(s + P2)(S + P3)(S + P4) onde - P2 e - P3 são pólos complexos-conjugados, então o ângulo de G(s)H(s) é / G(s)H(s) = cp) - 8) - 82 - 83 - 84 onde CPI' 81, 82 , 83 e 8:f são medidos no sentido anti-horário conforme mostrado nas Fig. 6-2(a) e (b). O módulo de G(s)H(s) para este sistema é IG(s)H(s)1 = A ) :~l A 234 onde AI' A2' A3' A4 e BI são os módulos das grandezas complexas s + PI' s + P2, S + P3' s + P4 e s + ZI' respectivamente, conforme mostrado na Fig. 6-2(a). Note-se que, devido ao fato de os pólos e zeros complexos-conjugados a malha aberta, se os houver, estarem sempre localizados simetricamente em tomo do eixo real, os lugares das raízes são sempre simétricos em relação a este eixo. Portanto, Ponto de teste jw Ponto de teste cr -174 6, os pólos a malha fechada dominantes estão no semiplano direito do plano, resultando em um sistema instável. Note-se, finalmente, que se necessário, os lugares das raízes podem ser graduados facilmente em valores de K pelo uso da condição do módulo. Escolhe-se, simplesmente, um ponto sobre um dos ramos do lugar das raízes, medem-se os módulos dos três números comI e s + 2, multiplicam-se estes três módulos, e o produto resultante é igual ao valor do ganho K naquele ponto, ou plexos s, s Isl . Is + 11 . Is 21 K = EXEMPLO 6-2 Neste exemplo será esboçado o gráfico do lugar das raízes de um sistema com pólos a malha aberta complexos-conjugados. Considerese o sistema indicado na Fig. 6-6. Para este sistema K(s + 2) s2 + 2s + 3 ' C(s) H(s) Verifica-se que G(s) possui um par de pólos complexos conjugados em s = -1 -1 s Um procedimento típico para esboçar o gráfico do lugar das raízes é o seguinte: 1. Determinar os lugares das raízes sobre o eixo real. Para qualquer ponto de teste s sobre o eixo real, a soma das contribuições angulares dos pólos complexos conjugados é 360°, como mostrado na Fig. 6-7. Portanto, a contribuição líquida dos pólos complexosconjugados é zero sobre o eixo real. A localização do lugar das raízes sobre o eixo real é determinada pelo zero a malha aberta situado no semi-eixo real negativo. Um teste simples revela que o segmento do eixo real negativo, entre -2 e -00, constitui uma parte do lugar das raízes. Note-se que, como este lugar fica situado entre dois zeros (em s = -2 e s = -00) o segmento é, na realidade, uma parte de dois ramos do lugar das raízes, cada um deles partindo de um dos pólos complexos-conjugados. Em outras palavras, duas raízes devem coincidir na região sobre o eixo real negativo entre -2 e -00. Como há dois pólos e um zero a malha aberta, há uma única assíntota que coincide com o semi-eixo real negativo. 2. Determinar o ângulo de partida dos pólos a malha aberta complexos-conjugados. A presença de um par de pólos de malha aberta complexos-conjugados requer a determinação do ângulo de partida destes pólos. O conhecimento deste ângulo é importante, uma vez que o lugar das raízes próximo ao pólo complexo fornece informação de como o lugar das raízes originário do pólo complexo migra para o eixo real ou se estende para a assíntota. Com base na Fig. 6-8, se for escolhido um ponto de teste móvel nas proximidades do pólo complexo a malha aberta, em s = -PI' verifica-se que a soma das contribuições angulares do pólo em s = - P2 e do zero em s = - Zl no ponto de teste móvel, pode ser consi- C(s) K(s + 2) S2 + 2s + 3 Fig. 6-6 Sistema de controle. jw Ponto de teste -2 o Fig. 6-7 Determinação do lugar das raízes sobre o eixo real. 270 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes jw o e'~ \ 6-8 Determinação do ângulo de partida. derada constante, com um mesmo valor. Se o ponto de teste estiver sobre o lugar das raízes, então a soma de cp' p ± 180° (2k + 1) onde k = 0, L 2, .... Portanto, neste exemplo, cP'j «()j+8/) ej e e' 2 deve ser ±1800(2k+l) ou o ângulo de partida é então Como o lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real, o ângulo de partida do pólo em s -P2 é-145°. 3. Determinar o ponto de separaçâo de chegada no eixo real. Um ponto de separação de chegada no eixo real existe onde um par de ramos de lugar das raízes se funde quando K é aumentado. Para este problema, o ponto de separação de chegada no eixo real pode ser determinado como se segue. Uma vez que ') 3 s~ K= tem-se (2s + 2)(s dK ds (S2 + 2s + 3) 2) (s + 2)2 ° que fornece S2 4s + 1 ° = ou s -3,7320 ou s -0,2680 Observe-se que o ponto s = - 3,7320 está sobre o lugar das raízes. Assim, este ponto é um ponto de separação de chegada real. (Note-se que no ponto s = - 3,7320 o conespondente valor do ganho é K = 5,4641.) Uma vez que o ponto s = -0,2680 não está sobre o lugar das raízes, ele não pode ser um ponto de separação de chegada. (Para o ponto s 0,2680, o conespondente valor do ganho é K = - 1,4641.) 4. Esboçar o gráfico do lugar das raízes com base na informação obtida nas etapas precedentes. Para determinar, com exatidão, o lugar das raízes, é necessário determinar diversos pontos entre o ponto de separação de chegada e os pólos a malha aberta complexos, usando a técnica de tentativa e erro (método experimental). (Para facilitar o esboço do gráfico do lugar das raízes, deve-se achar a direção na qual o ponto de teste deve ser movido, resumindo-se mentalmente as variações nos ângulos dos pólos e dos zeros.) A Fig. 6-9 mostra o gráfico completo do lugar das raízes referente ao sistema considerado. O valor do ganho K em qualquer ponto do lugar das raízes pode ser determinado aplicando-se a condição do módulo. Por exemplo, o valor de K para o qual os pólos complexos-conjugados a malha fechada apresentam um coeficiente de amortecimento ~ = 0,7 pode Seção 6-2 / Diagramas de Lugar das Raízes 271 ser determinado pela localização das raízes, como indicado na Fig. 6-9, e calculado o valor de K como se segue: K _____S_+_2__1_+_-_iY2_2_l 1,"-,.67 1,34 J170 1 Observa-se que neste sistema o lugar das raízes no plano complexo é parte de um círculo. Um tal lugar das raízes circular não ocorre na maioria dos sistemas. Lugares das raízes circulares podem ocorrer em sistemas que envolvam dois pólos e um zero, dois pólos e dois zeros, ou um pólo e dois zeros. Mesmo em tais sistemas, a ocorrência ou não dos lugares das raízes circulares depende da localização dos pólos e zeros envolvidos. Para mostrar a ocorrência de um lugar das raízes circular no presente sistema, necessita-se deduzir a equação do lugar das raízes. Para o presente sistema, a condição de ângulo é /s + 2 Se s = (j' / s + 1 - j0 + jOJ for substituído nesta última equação, obtém-se / 0+ 2 + jw / o + 1 + jw - j 0 / a + 1 + jw + j 0 = ±1800(2k 1) que pode ser escrita como _ _(W V2) - ( w) tan- 1 - - - tan- 1 O 2 O 1 tan- 1 w+ _(W0+10) tan'l = ±1800(2k + 1) ou ( O 0) 1 = ( tan- 1 -W-) ± 180 0 (2k + 1) 0+2 Tomando as tangentes de ambos os membros desta última equação e usando a relação tan x ± tan y tan x tan y tan(x ± y) (6-12) obtém-se ou w O 1 2 o +~XO o 2 jw Reta de (= 0.7 o Fig. 6-9 Gráfico do lugar das raízes. 272 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes a que pode ser simplificada para 2w(0 + 1) _ _ w_ (0+ 1)2- (W 2 - 2) o 2 ou w[(o - 3] = ° Esta última equação é equivalente a w=O ou Estas duas expressões são as equações dos lugares das raízes para o presente sistema. Observe-se que a primeira equação, w = 0, é a equação do eixo real. O eixo real de s = -2 até s = - 0 0 cOlTesponde a um lugar das raízes para K ::::: O. A parte remanescente do eixo real corresponde a um lugar das raízes quando K é negativo. (No presente sistema, K é não-negativo.) A segunda equação para o lugar das raízes é uma equação de um círculo com centro em (j = -2, OJ O e o raio igual a {3. A parte do círculo à esquerda dos pólos complexos conjugados corresponde a um lugar das raízes para K ::::: O. A parte restante do círculo corresponde a um lugar das raízes quando K for negativo. É importante notar que equações facilmente interpretáveis para o lugar das raízes podem ser deduzidas apenas para sistemas simples. Para sistemas complicados com muitos pólos e zeros, qualquer tentativa de deduzir equações dos lugares das raízes é desencorajada. Tais equações deduzidas são muito complicadas e sua configuração no plano complexo é difícil de visualizar. RE?UMO DAS REGRAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DOS LUGARES DAS RAIZES Para um sistema complicado com muitos pólos e zeros a malha aberta, a construção do gráfico do lugar das raízes pode parecer complicada, porém, na realidade, não é difícil se forem aplicadas as regras para construção dos lugares das raízes. Pela localização de pontos particulares e assÍntotas, e pelo cálculo de ângulos de partida de pólos complexos e ângulos de chegada em zeros complexos, pode-se construir a forma geral dos lugares das raízes sem dificuldade. Algumas das regras para construção dos lugares das raízes foram dadas na Seção 6-2. A finalidade desta seção é resumir as regras gerais para a construção dos lugares das raízes do sistema indicado na Fig. 6-10. Embora o método do lugar das raízes seja baseado essencialmente em uma técnica de tentativa e erro, o número de tentativas necessárias pode ser reduzido significativamente se estas regras forem usadas. Regras gerais para construção dos lugares das raízes. Será fornecido agora um resumo das regras e procedimentos gerais para construção dos lugares das raízes do sistema mostrado na Fig. 6-10. Obtenha-se, inicialmente, a equação característica 1 + G(s)H(s) = O e seja feito um rearranjo desta equação de modo que o parâmetro sob interesse apareça como um fator multiplicativo na forma 1 + + + ... + K(s Z 1 )(s (s ------------~-------=~= (s + P1)(S + P2) ... (s + P/1) O (6-13) Nas discussões presentes, supõe-se que o parâmetro de interesse é o ganho K, onde K > O. (Se K < O, que corresponde ao caso de retroação positiva, a condição de ângulo deve ser modificada. Ver a Seção 6-5.) Note-se, entretanto, que o método ainda é aplicável a sistemas com parâmetros de interesse diferentes do ganho. 1. Locar os pólos e zeros a malha aberta de G(s)H(s) no plano s. Os ramos dos lugares das raízes começam nos pólos a malha aberta e terminam nos zeros a malha aberta (zeros finitos ou zeros no infinito). A partir da forma fatorada da Fig. 6-10 Sistema de controle. Seção 6-3 / Resumo das Regras Gerais para Construção dos Lugares das Raízes 273 função de transferência a malha aberta, locam-se os pólos e zeros a malha aberta no plano s. [Note-se que os zeros a malha aberta são os zeros de G(s)H(s), enquanto os zeros a malha fechada consistem nos zeros de G(s) e nos pólos de Note-se que os lugares das raízes são simétricos em relação ao eixo real do plano s porque os pólos complexos e os zeros complexos ocorrem somente em pares conjugados. Acham-se os pontos de início e os pontos onde terminam os das raízes, bem como o número de ramos destacados. Os pontos no lugar das raízes que correspondem a K O são os pólos a malha aberta. Isto pode ser constatado a partir da condição de módulo, fazendo-se K tender para zero, ou seja lim 1(5 + Z1)(5 + Z2)'" (5 + Zm)1 K--70 (5 + PI )(5 + ... (5 + Pn) . 1 hm-= K--70 K x Esta última equação implica que, à medida que K se reduz, o valor de 5 se aproxima de um dos pólos a malha aberta. cada lugar das raízes se origina num pólo da função de transferência a malha aberta G(s)H(s). À medida que o valor de K aumenta, tendendo a infinito, cada trecho do lugar das raízes se aproxima ou de um zero da função de transferência a malha aberta, ou de um ponto do plano complexo, no infinito. Isto pode ser visto como a seguir: fazendo-se K tender para infinito na condição de módulo, então l~ 1(5 + Z1)(S + Z2)'" (5 Zm)1 (s + PI )(5 + P2) ... (5 + . 1 11m K-)'l: K O Portanto, o valor de s deve tender para um dos zeros a malha aberta finitos ou para um dos zeros no infinito. [Incluindose o número de zeros no infinito na contagem, possui o mesmo número de pólos e de zeros.] Um gráfico do lugar das raízes possui tantos ramos quantas são as raízes da equação característica. Uma vez que o número de pólos a malha aberta geralmente excede o de zeros, o número de ramos é igual ao número de pólos. Se o número de pólos a malha fechada for o mesmo que os pólos a malha então o número de ramos individuais do lugar das raízes que terminam em zeros finitos é igual ao número m dos zeros a malha aberta. Os n - m ramos restantes terminarão no infinito (n - m zeros implícitos no infinito) ao longo das assíntotas. Se forem incluídos pólos e zeros no infinito, o número de pólos a malha aberta é igual ao número de zeros a malha aberta. Portanto, é sempre possível enunciar que os lugares das raízes começam nos pólos de e terminam nos , zeros de G( s )H( s), quando K varia de zero a infinito, incluídos aí pólos e zeros finitos no plano s e os situados no infinito. 2. Determinar os lugares das raizes sobre o eixo real. Os lugares das raízes sobre o eixo real são determinados pólos e zeros a malha aberta existentes sobre ele. Os pólos e zeros complexos-conjugados da função de transferência a malha aberta não influenciam a locação d9 lugar das raízes sobre o eixo real, uma vez que a contribuição angular de um par de pólos ou de zeros complexos-conjugados é de 3600 sobre o eixo real. Cada parte do lugar das raízes sobre o eixo real se estende de um pólo ou zero a outro pólo ou zero. Para se construir o lugar das raízes sobre o eixo real escolhe-se um ponto de teste sobre ele. Se o número de raízes reais (pólos à direita do ponto de teste for ímpar, então este é um ponto do lugar das raízes. O lugar das raízes e seu complemento formam segmentos alternados ao longo do eixo real. 3. Determinar as assintotas dos lugares das raizes. Se o ponto de teste estiver localizado muito longe da então o valor de ângulo de cada grandeza complexa pode ser considerado o mesmo. Os efeitos de um zero a malha aberta e um pólo a malha aberta se cancelam mutuamente. ror os lugares das raízes para valores de s devem ser assintóticos a retas cujos valores angulares de inclinação são dados por Ângulos das assÍntotas = ---'-----'- n-m onde n m (k=0,1,2, ... ) número dos pólos finitos de número de zeros finitos de Aqui, k = O corresponde às assÍntotas com o menor ângulo em relação ao eixo real. Embora k possa ter um número infinito de valores, à medida que k aumenta, a determinação angular se repete, e o número de assíntotas distintas é n m. Todas as assíntotas se interceptam sobre o eixo real. O ponto no qual elas se cruzam é obtido da seguinte maneira: expandindo-se o numerador e o denominador da função de transferência o resultado é + ... + Z + ... + PIP2' .. Pn Se o ponto de teste for colocado bastante distante da origem, então, dividindo-se o denominador vel escrever G(s)H(s) sob a forma [(PI 274 Capítulo 6 / + P2 + ... + Análise pelo Método do Lugar das Raízes + Z2 + ... + é + ... Como a equação característica é G(s)H(s) = -1 ela pode ser escrita como sn~m + [(PI + P2 + ... + P,J - -K (Zj (6-14) A Eq. (6-14), para valores grandes de s, pode ser aproximada por o [s Designando-se a abcissa do ponto de interseção das assÍntotas sobre o eixo real por s = 0(J = - O"a' --'----=------'-'-----"--------- n - m então, (6-15) ou (soma dos pólos) - (soma dos zeros) n m (6-16) Tendo em vista que todos os pólos e zeros complexos ocorrem em pares conjugados, ~, é sempre uma grandeza real. Uma vez que se tenha determinado o ponto de interseção das assÍntotas sobre o eixo real, é possível traçá-las prontamente no plano complexo. É importante observar que as assÍntotas mostram o comportamento dos lugares das raízes para Isl ~ 1. Um ramo do lugar das raízes pode permanecer de um dos lados da assÍntota correspondente ou cruzá-la de um lado para outro. 4. Determinar os pontos de separação de partida e os pontos de separação de chegada. Em virtude da simetria dos lugares das raízes em relação ao eixo real, os pontos de separação de partida e de chegada ou estão situados sobre o eixo real ou ocorrem em pontos complexos-conjugados. Se o lugar das raízes ocorrer sobre o eixo real entre dois pólos adjacentes, existe, pelo menos, um ponto de separação de partida entre os dois pólos. De modo análogo, se o lugar das raízes ocorrer entre dois zeros adjacentes (um dos zeros pode estar localizado em -00) sobre o eixo real, então existe, pelo menos, um ponto de separação de chegada entre os dois zeros. Se o lugar das raízes ocorrer sobre o eixo real entre um pólo e um zero a malha aberta (finito ou infinito), não ocorrem isoladamente pontos de partida ou de chegada, ou então devem existir ambos. Suponha-se que a equação característica seja dada por B(s) + KA(s) O Os pontos de separação de partida e os pontos de separação de chegada correspondem a raízes múltiplas da equação característica. Por conseguinte, os pontos de separação de partida e de chegada podem ser determinados a partir das raízes de dK ds B'(s)A(s) - B(s)A'(s) A 2 (s) --~~~--~~~~ = O (6-17) onde o apóstrofo indica derivação em relação a s. É importante notar que os pontos de separação de partida e de chegada devem ser raízes da Eq. (6-17), mas nem todas as raízes da Eq. (6-17) são pontos de separação de partida ou de chegada. Se uma raiz real da Eq. (6-17) permanecer sobre a porção do lugar das raízes do eixo real, então ela é um ponto de separação de partida ou de chegada real. Se uma raiz real da Eq. (6-17) não estiver sobre a porção do lugar das raízes do eixo real, então esta raiz não corresponde nem a um ponto de separação de partida nem a um ponto de separação de chegada. Se duas raízes da Eq. (6-17) s = Sj e s = - SI são um par de complexos-conjugados e se não há certeza de que estão sobre os lugares das raízes, então é necessário verificar o correspondente valor de K. Se o valor de K correspondente a uma raiz de dK/ds = O, s Sj' for positivo, o ponto S Sj será um ponto de separação de partida ou de chegada real. (Como K é suposto não-negativo, se o valor de K assim obtido for negativo, então o ponto S = Sj não será nem um ponto de separação de partida nem um ponto de separação de chegada.) 5. Determinar o ângulo de partida (ou ângulo de chegada) dos lugares das raízes de um pólo complexo (a um zero complexo). Para que sejam esboçados os lugares das raízes com razoável precisão, deve-se determinar as direções dos lugares das raízes nas proximidades dos pólos e dos zeros complexos. Se for escolhido um ponto de teste e este for movido em uma vizinhança muito próxima de um pólo complexo (ou zero complexo), pode-se considerar que a soma das contribuições angulares de todos os outros pólos e zeros permanecerá a mesma. Portanto, o ângulo de partida (ou o ângulo de 0 chegada) do lugar das raízes de um pólo complexo (ou a um zero complexo) pode ser determinado subtraindo-se de 180 Seção 6-3 / Resumo das Regras Gerais para Construção dos Lugares das Raízes 275 a soma de todos os ângulos dos vetares com origem nos outros pólos e zeros e com extremidade final no pólo complexo (ou zero complexo) em questão, incluindo-se os sinais apropriados. Ângulo de partida de um pólo complexo 1800 (soma dos ângulos dos vetores com extremidade final no pólo complexo em questão e origem nos outros pólos) + (soma dos ângulos dos vetores com extremidade final no pólo complexo em questão e origem nos zeros) Ângulo de chegada em um zero complexo = 1800 - (soma dos ângulos dos vetores com extremidade final no zero complexo em questão e origem nos outros zeros) + (soma dos ângulos dos vetores com extremidade final no zero complexo em questão e origem nos pólos) o ângulo de partida é mostrado na Fig. 6-11. 6. Determinar os pontos onde os lugares das raizes cruzam o eixo imaginário. Os pontos onde os lugares das raízes interceptam o eixojmpodem ser facilmente determinados (a) pelo uso do critério de estabilidade de Routh, (b) pela substituição de s = jm na equação característica, igualando a zero tanto a parte real quanto a parte imaginária e resolvendo para me K. O valor de m assim determinado fornece a freqüência na qual o lugar das raízes cruza o eixo imaginário. O valor de K correspondente a cada freqüência de cruzamento dá o ganho no ponto de cruzamento. 7. Obter uma série de pontos de teste numa região abrangente em tomo da origem do plano s e esboçar os lugares das raizes. Determinar os lugares das raízes numa região abrangente em torno do eixo j m e da origem. A parte mais importante dos lugares das raízes diz respeito não ao trecho sobre o eixo real ou sobre as assÍntotas, mas aos trechos nas vizinhanças do eixo jm e da origem. A forma do lugar das raízes nesta importante região do plano s deve ser obtida com suficiente exatidão. 8. Determinar os pólos a malha fechada. Um ponto particular sobre cada um dos ramos do lugar das raízes será um pólo a malha fechada se o valor de K neste ponto satisfizer a condição de módulo. Reciprocamente, a condição de módulo capacita a determinação do valor de ganho K correspondente a uma localização de raiz específica sobre o lugar das raízes. (Se necessário, pode-se graduar os lugares das raízes em função de K. Os lugares são contínuos com K.) O valor de K correspondente a qualquer ponto s sobre um lugar das raízes pode ser obtido usando a condição de módulo, ou K produto das distâncias do ponto s aos pólos produto das distâncias do ponto s aos zeros Este valor pode ser calculado quer graficamente, quer analiticamente. Se o ganho K da função de transferência a malha aberta for dado no problema, então, pela aplicação da condição de módulo, pode-se achar as localizações corretas dos pólos a malha fechada correspondentes, em cada um dos lugares das raízes. Esta determinação pode ser feita por um método de tentativa e erro ou através do uso do MATLAB como será apresentado na Seção 6-4. Comentários sobre os gráficos do lugar das raízes. função de transferência é Observa-se que a equação característica do sistema cuja (n::2: m) é uma equação algébrica em s de grau n. Se a ordem do numerador de G(s)H(s) for inferior àquela do denominador por duas ou mais unidades (o que significa que há dois ou mais zeros no infinito), então o coeficiente aI é a soma negativa das raízes da equação e é independente de K. Neste caso, se alguma das raízes se deslocar para esquerda sobre o lugar das raízes conforme K é aumentado, então as outras raízes devem se mover para a direita, conforme K é aumentado. Esta informação é útil na determinação da forma geral dos lugares das raízes. jw Ângulo de partida (J Fig. 6-11 Construção do lugar das raízes. [Ângulo de partida 276 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes 1800 (e l + e 2 ) + cp.] júJ júJ Fig. 6-12 Gráfico do lugar das raízes. Observa-se, também, que uma pequena variação na configuração de pólos e zeros pode acarretar variações significativas na configuração do lugar das raízes. A Fig. 6-12 demonstra o fato de que uma pequena modificação na posição do zero ou do pólo resultará em uma configuração do lugar das raízes bastante diferente. Cancelamento de pólos de G(s) com zeros H(s). É importante notar que se o denominador de C(s) e numerador de H(s) envolverem fatores comuns, então os pólos e zeros de malha aberta correspondentes se cancelarão entre si, reduzindo o grau da equação característica de uma ou mais unidades. Por exemplo, considere-se o sistema mostrado na Fig. 6-13(a). (Este sistema possui retroação de velocidade.) Mudando o diagrama de bloco da Fig. 6-13(a) para aquele mostrado na Fig. 6-13(b) observa-se claramente que C(s) e H(s) têm um fator comum s + 1. A função de transferência a malha fechada C(s)/R(s) é C(s) _ _ _ _ _ _ K_ _ __ 2) + K(s + 1) A equação característica é ls(s + + K](s + 1) O Em virtude do cancelamento dos termos (s + 1) que aparecem em C(s) e H(s), tem-se, contudo, 1 K(s + 1) ) ) s s + 1 (s + 2 + G(s)H(s) = 1 + ( ses + 2) + K ses 2) eis) (a) G(s) eis) eis) H(s) (b) (c) Fig. 6-13 (a) Sistema de controle com retroação de velocidade; (b) e (c) diagramas de blocos modificados. Seção 6-3 / Resumo das Regras Gerais para Construção dos Lugares das Raízes 277 A equação característica reduzida é 5(5 + 2) + K = O o gráfico do lugar das raízes de G(s)H(s) não mostra todas as raízes da equação característica, apenas as raízes da equação reduzida. Para obter o conjunto completo de pólos a malha fechada, devem ser adicionados os pólos cancelados de G(s)H(s) aos pólos a malha fechada obtidos do gráfico do lugar das raízes de G(s)H(s). O fato importante a lembrar é que o pólo cancelado de G(s)H(s) é um pólo a malha fechada do sistema, conforme é visto na Fig. 6-13(c). Configurações típicas de pólos e zeros e lugares das raízes correspondentes. Concluindo esta seção, a Tabela 6-1 mostra algumas configurações de pólos e zeros a malha aberta e seus correspondentes lugares das raízes. A configuração dos lugares das raízes depende apenas da separação relativa aos pólos e zeros a malha aberta. Se o número de pólos a malha aberta exceder o número de zeros finitos por três ou mais unidades, há um valor do ganho K além do qual os lugares das raízes entram no semiplano direito do plano s, e portanto o sistema pode tornar-se instável. Um sistema estável deve possuir todos os seus pólos a malha fechada no semiplano esquerdo do plano s. Tabela 6-1 Configurações de pólos e zeros a malha aberta e os correspondentes lugares das raízes .lU) Cí .lU) .lU) (T .lU) 278 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes .lU) Note-se que uma vez que se tenha alguma com o método, é possível avaliar facilmente as modificações causadas nos lugares das raízes por no número e na localização dos pólos e zeros a malha aberta, a partir da lsualI.zaç:ao dos resultantes das diversas de pólos e zeros. Resumo. Das discussões fica evidenciado que é possível esboçar diagramas de lugares das raízes razoavelmente para um determinado através da observância de regras bastante simples. (Sugere-se ao leitor estudar os vários diagramas de lugares das raízes mostrados nos problemas ilustrativos e nos problemas do fim do Nos preliminares de um pode não ser necessário conhecer a posição exata dos pólos a malha fechada. Freqüentemente, as localizações aproximadas são tudo o que é necessário para se fazer uma estimativa do desempenho do sistema. É importante, por conseguinte, que o projetista tenha a capacidade de esboçar rapidamente o lugar das raízes de um dado sistema. v"~·lH~''-'V Nesta Construindo os a o enfoque MATLAB para gerar os gráficos dos lugares das raízes. das raízes com o MATLAB. O traçado do lugar das raízes com o MATLAB envolve que pode ser escrita como do sistema sob a forma da num -=0 1 onde num é o polinómio do numerador e den o num = (s + den = (s + PI den fJ'-JHU'-JHHV + do denominador. Isto é, '" (s + + P2 + ... + Observe-se que ambos os vetores num e den devem ser escritos de acordo com as potências decrescentes de s. Um comando MATLAB comumente usado para traçar os das raízes é rlocus(num,den) Através deste o lugar das raízes é desenhado na tela do monitor. O vetor relativo ao ganho K é determinado automaticamente. O comando rlocus funciona tanto para sistemas contínuos, quanto para sistemas discretos no tempo. Para os sistemas definidos no espaço de o comando rlocus (A, B, C, D) realiza o traçado do lugar das com o vetar ganho determinado de forma automática. Observe-se que os comandos e rlocus(num,den,K) utilizam o vetor de K definido calcular os a malha reC:haaa. Se utilizados com argumentos à usuário. [r,K] [r,K] lr,K] [r,KJ rlocus(A,B,CD,K) vetor K contém todos os valores de ganho para os quais se deseja = rlocus(num,den) = rlocus(num,den,K) K) a tela do monitor exibirá a matriz e o vetor de K é uma matriz que possui um número de linhas igual ao comprimento de K e um número de colunas ao comprimento de den-l, contendo a localização das raízes complexas. Cada linha da matriz a um valor de ganho do vetor K). O comando plot das raízes. traça os Seção 6-4 / Construção do Lugar das Raízes com MATLAB 279 Desejando-se traçar os lugares das raízes com marcas identificadoras 'o' ou 'x', é necessário utilizar os seguintes comandos r = rlocus(num,den) plot(r,lol) ou plot(r/x 1) o traçado dos lugares das raízes utilizando marcas 'o' ou 'x' é instrutiva, uma vez que cada um dos pólos a malha fechada calculado é mostrado graficamente; em alguns trechos do lugar das raízes estas marcas são densamente assinaladas, enquanto em outras partes são colocadas de forma esparsa. O MA TLAB fornece o seu próprio conjunto de valores de ganho usados para traçar o lugar das raízes. Isto é feito através de uma rotina interna de passo de cálculo adaptativo. Além disto, o MATLAB utiliza o recurso de escala automática dos eixos do comando plot. Observe-se, finalmente, que devido ao fato de se ter o vetor ganho definido automaticamente, os gráficos dos lugares das raízes de G(s)H(s) = G(s)H(s) = K(s + 1) ses + 2)(s + 3) 10K(s + 1) ses + 2)(s + 3) 200K(s + 1) G(s)H(s) = ses + 2)(s + 3) são todos iguais. Os conjuntos num e den são os mesmos para todos os três sistemas. Os vetores num e den são num den [O [1 O 5 1] O] 6 EXEMPLO 6-3 Considere-se o sistema de controle mostrado na Fig. 6-14. Para traçar o lugar das raízes com o MATLAB, é necessário obter os polinómios do numerador e do denominador da função de transferência a malha aberta. Neste problema, o numerador já é fornecido como um polinómio em s. Contudo, o denominador é dado sob a forma de um produto de termos do primeiro grau e do segundo grau, havendo necessidade de se efetuar a multiplicação dos termos para se obter um polinómio em s. A multiplicação destes termos pode ser feita facilmente através do comando de convolução, conforme mostrado a seguir. Sejam, por definição, a = s(s 4) b = s 6 c = S2 + 1,4s S2 + 4s a b c = [1 4 [1 6] [1 1.4 O] 1] Utilizam-se em seguida os seguintes comandos R(s) C(s) Fig. 6-14 Sistema de controle. 280 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes [Note-se que conv (a b) fornece o produto dos dois polinómios a e b.] Observa-se a seguinte saída na tela do monitor: I a b c = d = [1 4 [1 6]; O]; [1 1.4 1]; conv(a,b) d= 10 24 O e= 1.0000 11.4000 39.0000 43.6000 24.0000 O O polinómio do denominador é, por conseguinte, den = [1 11.4 39 43.6 24 O] Para se encontrarem os zeros a malha aberta de uma dada função de transferência, pode ser usado o comando root s, como a seguir: p = [1 2 4] roots(p) Os comandos e as saídas do computador são os seguintes: p = [1 2 4]; r = roots(p) -1.0000 + 1.7321 i -1.0000 - 1.7321 i De modo semelhante, para se encontrarem os pólos complexos conjugados (as raízes de seguintes comandos: q 52 + l,4s + 1 = O), pode-se entrar com os roots(c) = q= -0.7000 0.7141 i -0.7000 - 0.7141 i Assim, o sistema possui os seguintes zeros e pólos a malha aberta: Zeros a malha aberta: Pólos a malha aberta: Seção 6-4 / s s = s = -1 j1 ,7321, -0,7 + jO,7141, s = -4, 0, Construção do Lugar das Raízes com MATLAB s s s = -1 - j1,7321 -0,7 - jO,7141 -6 281 8 6 4 o 'C '=-:l c:: 'CI) =-:l .§ o >< 2 O -2 üJ -4 -6 -8 -10 -10 -8 -6 -4 2 O Eixo Real -2 4 6 6-15 Gráfico do lugar das raízes. o Programa MATLAB 6-1 traça o diagrama do lugar das raízes deste sistema. O gráfico é mostrado na Fig. 6-15. Programa MATLAB 6-1 % ---.--.--- Gráfico do lugar das raízes ---.-----num = [O O O 1 den = [1 11.4 39 rlocus(num,den) 2 4]; 43.6 24 O]; Warning: Divide by zero* v = [-10 10 -10 10]; axis(v) grid title('Lugar das Raízes de G(s) K(s1\2 + 25 + 4)/[5(5 + 4)(s + 6) (s1\2 + l,4s + 1)]') * Atenção: Divisão por zero. EXEMPLO 6-4 Considere-se o sistema mostrado na Fig. 6-16, onde a função de transferência a malha aberta G(s)H(s) é K(s + 0,2) 2 5 (5 3,6) O zero a malha aberta está situado em s = -0,2 e os pólos a malha aberta estão em s = 0, s = Oe s = 3,6. O Programa MATLAB 6-2 gera o gráfico do lugar das raízes. O traçado do gráfico resultante é mostrado na Programa MATLAB 6-2 % ---------- Gráfico do lugar das raízes ---------num = [O O 1 0.2]; den = [1 3.6 O O]; rlocus(num,den) v = [-4 2 -4 4]; axis(v) grid title('Lugar das Raízes de G(s)H(s) 282 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes = K(s + O(2)/[sI\2(s + 3,6)]') 6-17. Fig. 6-16 Sistema de controle. Gráfico do Lugar das Raízes de G(s) = K(s+O.2)/[sI\2(s+3.6)] 4 ,------,------,-,----,------,------,------, 3 2 .§ 'ro c: '@) ro .§ O o >< W -1 -2 -3 -4 L -_ _ _ _- L_ _ _ _ _ _~~_ _~_ _ _ _ _ _~_ _ _ _~_ _ _ _~ -4 -3 -1 -2 O 2 Eixo Real Fig. 6-17 Gráfico do lugar das raízes. EXEMPLO 6-5 Seja o sistema mostrado na Fig. 6-18. Traçar o lugar das raízes com uma relação de aspecto quadrada de modo que uma linha com inclinação 1 seja a verdadeira reta com inclinação de 45°. Para ajustar a região gráfica da tela à forma quadrada, entra-se com o comando axis('square'). Com este comando, uma reta com tangente unitária possui uma inclinação real de 45°, não sendo distorcida pela forma irregular da tela do monitor. (É importante notar que na cópia em papel pode-se ter ou não uma forma de quadrado, dependendo da impressora.) O Programa MATLAB 6-3 produz um gráfico numa região de forma quadrada. O gráfico resultante é mostrado na Fig. 6-19. Programa MATLAB 6-3 % ---------- Gráfico do lugar das raízes ---------num = [O O O 1 1]; den = [1 3 12 -16 O]; rlocus(num,den) v = [-6 6 -6 6];axis(v);axisesquare') grid title( 'Lugar das Raízes de G(s)H(s) = K(s + 1)/[s(s - 1) (s1\2 + 4s + 16)] ') K(s + 1) ses - 1)(s2 + 4s + 16) Fig. 6-18 Sistema de controle. Seção 6-4 / Construção do Lugar das Raízes com MATLAB 283 l)(s Gráfico do Lugar das Raízes de G(s) = K(s 6 A 2 + 4s 16)] ~--~----~----~----~---,-----, 4 .§ 2 ':-;l C 'bll :-;l .§ O >< êi3 -2 -4 -6 L -_ _~_ _ _ _~_ _ _ _~_ _ _ _~_ _~_ _ _ _~ ~ ~ ~ O 246 Eixo Real 6-19 Gráfico do lugar das raízes. EXEMPLO 6-6 Considere-se o sistema cuja função de transferência a malha aberta seja G(s)H(s) K = 5(5 + ") 0,5)(s~ + 0,65 10) K 55 Não há zeros a malha aberta. Os pólos a malha aberta estão situados em 5= -0,3+ j3, 1480, s= -0,3- j3, 1480, s= -0,5 e s=O. Entrando-se no computador com o Programa MATLAB 6-4 obtém-se o gráfico do lugar das raízes mostrado na Fig. 6-20. Programa MA TLAB 6-4 % ---------- Gráfico do lugar das raízes ---------num = [O O O O 1]; den=[l 1.1 10.3 5 OJ; rlocus(num,den) grid title( 'lugar das Raízes de G(s)H(s) = KI[s(s + 0.5)(51\2 + 0.65 + 10)] ') Observe-se que na região próxima a x= -0,3, y=2,3 e x= -0,3, y= -2,3, dois lugares se aproximam mutuamente. Pode-se imaginar se estes dois ramos devem-se tocar ou não. Para explorar esta situação, pode-se traçar os lugares das raízes utilizando os comandos r = rlocus(num,den) plot(r,lol) conforme mostrado no Programa MATLAB 6-5. A Fig. 6-21 apresenta o gráfico resultante. Como não há pontos calculados próximo das regiões (-0,3,2,3) e (-0,3, -2,3), torna-se necessário ajustar o passo de cálculo do ganho K. Através de um procedimento de tentativa e erro, encontra-se uma região particular de interesse como sendo 20 :::; K :::; 30. Entrando-se com o Programa MATLAB 6-6, obtém-se o gráfico do lugar das raízes mostrado na Fig. 6-22. A partir deste gráfico, fica evidenciado que os dois ramos que se aproximam no semi-plano superior (ou no semiplano inferior) não se tocam. 284 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes Gráfico do Lugar das Raízes de C (s) =K/[s(s+0,5)(sI\2+0.6s+ 10)] 6~----,------,-----,-----,------,---~ 4 2 O~----~--------~H*----~----------~ -4 -6~----L- __ --~ ____- L_ _ --~_ _- -_ _L-~~ -fi Eixo Real Fig. 6-20 Gráfico do lugar das raízes. Programa MATLAB 6-5 % ---------- Gráfico do lugar das raízes ------.--num = [O O O O 1]; den = [1 1.1 103 5 O]; r rlocus(num,den); plot(r,/or ') v = [-6 6 -6 6]; axis(v) grid title( 'Lugar das Raízes de G(s) = KJ[s(s + 0.5)(sI\2 xlabel ('Eixo Real') ylabel (iEixo Imaginário') + 0.6s + 10)] ') % ***** Observe-se que o comando 'plot(r,'or)' produz, na tela, % pequenos círculos de cor vermelha***** Gráfico do Lugar das Raízes de C(s) =K/[s(s+Oj)(sI\2+0.6s+ 1O)] 6 ,-----~----~------,------,------,-----~ o o o 4 c "e: o 2 'ro c:: "8; ro .§ O ~ ií3 -2 -4 -6 o o -6 -4 -2 o 2 4 6 Eixo Real Fig. 6-21 Gráfico do lugar das raízes. Seção 6-4 / Construção do Lugar das Raízes com MA TLAB 285 Programa MATLAB 6-6 % ---------- Gráfico do lugar das raízes ---------num = [O O O O 1]; den = [1 1.1 10.3 5 O]; Kl = 0:0.2:20; K2 = 20:0.1 :30; K3 = 30:5:1000; K = [Kl K2 K3J; r = rlocus(num,den,K); plot(r,/ob, v = [-4 4 -4 4J; axis(v) grid title('Lugar das Raízes de G(s)H(s) xlabel( 'Eixo Real, ylabeWEixo Imaginário, = KI[s(s + 0.5)(sI\2 + 0.6s + 10)], %*****Observe-se que o comando Jplot(r, lob,1 produz, na tela, % pequenos círculos de cor azul***** EXEMPLO 6-7 Considere-se o sistema mostrado na Fig. 6-23. As equações do sistema são x= Ax + Bli y ex li =r Du y Gráfico do Lugar das Raízes de G(s) = K/rs(s+0.5)(sI\2+0,6s+ 1O) 1 4~~~--~--~--~--~----~--~--~ 3 2 .§ '::":I \:: ';n O ::":I .§ o -1 >< G3 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 O Eixo Real 2 4 Fig. 6-22 Gráfico do lugar das raízes. r Fig. 6-23 Sistema de controle a malha fechada. 286 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes Neste problema ilustrativo será obtido o diagrama do lugar das raízes do sistema definido no espaço de estados. Admita-se, por exemplo, que as matrizes A, B, C e D sejam dadas por A = l~ ~ ~l, -160 C -56 o [1 14 l-l~l B O], D = (6-18) [O] o gráfico do lugar das raízes para este sistema pode ser obtido com o MA TLAB através do seguinte comando rlocus(A,B,C,D) Este comando produz o mesmo gráfico de lugar das raízes obtido pelo uso do comando rlocus(num,den), onde num e den são obtidos a partir de [num,den] ss2tf(A,B,C,D) = como a seguir: num den = [O [1 O 14 OJ 56 160J o Programa MA TLAB 6-7 produzirá o gráfico do lugar das raízes mostrado na Fig. 6-24. Programa MA TLAB 6-7 % ---------- Gráfico do lugar das raízes ---------%*****Gráfico do lugar das raízes de um sistema definido no espaço de estados***** %*****Entrar com as matrizes A, B, C e 0***** A = [O 0;0 B = [0;1; 14]; C = [1 O O]; O 1; -160 -56 -14]; O = [O]; %****Entrar com o comando rlocus(A,B,C,O)***** rlocus(A,B,C,O) grid title( 'Lugar das Raízes de Sistema definido no Espaço de Estados ') Lugar das Raízes de Sistema definido no Espaço de Estados 15 ~ 10 'C c: ) ~ O "r::l ·sn ~ i.ii -10 -15 -20 --~-"~~~-~~ ~-L~~_L~_~ ..L._~-------L -20 -15 -10 -5 O 5 _ _ ~~._~-"-~_~~~L_~_~~~' 10 15 20 Eixo Real Fig. 6-24 Gráfico do lugar das raízes de um sistema definido no espaço de estados, onde A, B, C e D são dadas pela Eq. (6-18). Seção 6-4 / Construção do Lugar das Raízes com MATLAB 287 6-5 CASOS ESPECIAIS Nesta seção serão considerados dois casos especiais. Um deles é o caso em que o ganho K não aparece como fatar multiplicativo e o outro diz respeito a sistemas a malha fechada com retroação positiva em vez de retroação negativa. Construção de lugar das raízes quando o parâmetro variável não aparece como fator multiplicativo. Em alguns casos, o parâmetro variável K pode não aparecer como um fator multiplicativo de G( s )H( s). Em casos como esses, é possível reescrever a equação característica de tal sorte que o parâmetro variável K apareça como fator multiplicativo de G(s)H(s). O Exemplo 6-8 mostra como proceder em tal caso. EXEMPLO 6-8 Considere-se o sistema da Fig. 6-25. Desenhar o diagrama do lugar das raízes. Determinar, em seguida, o valor de k tal que o coeficiente de amortecimento dos pólos a malha fechada dominantes seja 0,4. O sistema em pauta envolve retroação de velocidade. A função de transferência a malha aberta é Função de transferência a malha aberta = s ( 4) + 20ks 5 Observe-se que o parâmetro ajustável k não aparece como um fatar multiplicativo. A equação característica do sistema é /' + 55 2 + 45 20 20k5 O (6-19) 20 O (6-20) Seja, por definição, 20k = K Então a Eq. (6-19) se transforma em 53 + 55 2 4s K5 Dividindo-se ambos os membros da Eq. (6-20) pela soma dos termos que não contêm K, tem-se O ou + - - - - K5 ----(5 j2)(5 j2)(5 + 5) = O (6-21) A Eq. (6-21) está agora sob a forma da Eq. (6-5). Será esboçado agora o gráfico do lugar das raízes do sistema dado pela Eq. (6-21). Note-se que os pólos a malha aberta estão localizados em s = j2,s = - j2 s= - 5, e o zero a malha aberta está situado em s = O. O lugar das raízes existe sobre o eixo real entre O e -5. Como K5 (5 + j2)(s - j2)(5 + 5) lim - - - - - - - - .\-7 X tem-se Ângulo das assÍntolas C(s) Fig. 6-25 Sistema de controle. 288 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes A interseção das assÍntotas com o eixo real pode ser achada a partir de lim - , - - - - - - - - lim K 5s + . . . = lim K (s 2,5? como sendo o ângulo de partida (ângulo 8) do pólo s = j2 pode ser obtido da seguinte forma: Assim, o ângulo de partida do pólo s = j2 é 158,2°. A Fig. 6-26 mostra um gráfico do lugar das raízes do sistema. Observe-se que os pólos a malha fechada com ç = 0,4 devem estar situados sobre uma reta que faça um ângulo de ±66,42° com o semi-eixo real negativo. No presente caso, há duas interseções do ramo do lugar das raízes no semiplano superior de s com a reta que faz um ângulo de 66,42°. Portanto, dois valores de K produzirão pólos a malha fechada com coeficiente de amortecimento igual a 0,4. No ponto P o valor de K é K ~ I (5 + j 2)(s s j2)(s + 5) L 1.0490+)2,4065 8,9801 Portanto, k = K 20 = 04490 ' no ponto P No ponto Q, o valor de K é K I(s + j2)(s s j2)(s + 5)IF_2.1"")4%" ~ 28,2611 )w J'6 )5 s =-2,1589 + )4,9652 )4 s =-1,0490 +)2,4065 -)3 -)4 -)5 -)6 Fig. 6-26 Gráfico do lugar das raízes do sistema mostrado na Fig. 6-25. Seção 6-5 / Casos Especiais 289 Portanto, K 20 k Assim, há duas soluções para este problema. Para k 1,0490 51 Para k = no ponto Q 1,4130 0,4490 os três pólos a malha fechada ficam situados em j2,4065, 1.0490 s s -2.9021 s -0,6823 1,4130, os três pólos a malha fechada estão situados em s -2.1589 s -2,1589 j4,9652, É importante assinalar que o zero na origem é um zero a malha aberta, mas não é um zero a malha fechada. Isto é evidente, porque o sistema original mostrado na Fig. 6-25 não possui zero a malha fechada, tendo em vista que C(s) ks) R(s) o zero a malha aberta em s O foi introduzido através do processo de modificação da equação característica de modo que a variável ajustável K = 20k aparecesse sob a forma de fator multiplicativo. Foram obtidos dois valores distintos de k satisfazendo o requisito de coeficiente de amortecimento dos pólos a malha fechada dominantes igual a 0,4. A função de transferência a malha fechada com k = 0,4490 é dada por C(s) R(s) 20 20 20 1.0490 A função de transferência a malha fechada com k = j2,4(65)(s 2,9(21) j4,9652)(s 0,6823) 1,4130 é dada por 20 20 R(s) (s + 2,1589 20 2,1589 Observe-se que para k = 0,4490 o sistema possui dois pólos conjugados a malha fechada na condição de pólos dominantes, é o pólo dominante. Os pólos complexos conjugados deixam de ser enquanto para k = 1,4130, o pólo a malha fechada em s = pólos a malha fechada dominantes. Neste caso, as características da resposta são determinadas principalmente pelo pólo real a malha fechada. Seja feita agora uma comparação entre as respostas ao degrau unitário de ambos os sistemas. O Programa MATLAB 6-8 pode ser utilizado para traçar as curvas de resposta ao degrau em um único diagrama. As curvas de resposta ao degrau unitário resultantes [cJt) para k = 0,4490 e ci t) para k = 1,4130] são mostradas na 6-27. Programa MATLAB 6-8 % ---------- Resposta ao degrau unitário ---------%*****Entrar com os numeradores e denominadores das %de transferência respectivas para k = OA490 e k 1A 1 num1 = [O O O 20]; denl [1 5 12.98 20]; num2 = [O O O den2 = [1 5 32.26 20]; t=0:0.1:10; [cl ,x1 ,t] = step(numl ,denl ,t); [c2,x2,tl = step(num2,den2,t); plot(t,cl text(2.5, 1.12,'k = OA490 I) text(3.7,O.85,'k = lA130 1) grid titleCResposta ao Degrau Unitário dos Dois Sistemas~ xlabel('t s~ ylabeWRespostas cl e c2 ~ 290 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes Resposta ao Degrau Unitário de Dois Sistemas Q) 0.8 ~ ~ 0.6 () "O z '::3 ~ 0.4 0.2 2 3 4 5 7 6 8 9 10 t s Fig. 6-27 Curvas da resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Fig. 6-25 quando o coeficiente de amortecimento ~ dos pólos a malha fechada dominantes é ajustado em 0,4. (Dois valores possíveis de k fazem o coeficiente de amortecimento ~ igual a 0,4.) Observa-se, a partir da Fig. 6-27, que a resposta do sistema com k = 0,4490 é oscilatória. (O efeito do pólo a malha fechada situado em s = -2,9021 sobre a resposta ao degrau unitário é pequeno.) Para k = 1,4130, as oscilações devidas aos pólos a malha fechada -2,1589 ± j4,9652 desaparecem muito mais rápido que a resposta puramente exponencial devida ao pólo a malha situados em s fechada em s = -0,6823. O sistema com k 0,4490 (que apresenta uma resposta mais rápida com um valor relativamente pequeno de ultrapassagem) tem uma resposta com características melhores que as do sistema com k = 1,4130 (que apresenta uma resposta lenta superamortecida). Portanto, no presente sistema seria escolhido o valor de k = 0,4490. Lugares das raízes para sistemas com retroação positiva. * Em um sistema de controle complexo pode existir uma malha interna com retroação positiva como mostrado na Fig. 6-28. Tal malha é usualmente estabilizada pela malha externa. No que se segue, o interesse estará focado apenas sobre a malha interna com retroação positiva. A função de transferência a malha fechada desta malha interior é C( s) = __G_(-,--,s)'-----_ R(s) 1 - G(s)H(s) A equação característica é (6-22) 1 - G(s)H(s) = O Esta equação pode ser resolvida de maneira similar ao desenvolvimento do método do lugar das raízes na Seção 6-2. A condição angular, contudo, deve ser alterada. A Eq. (6-22) pode ser reescrita como G(s)H(s) 1 C(s) Fig. 6-28 Sistema de controle. *Ver Referência W-S. Seção 6-5 I Casos Especiais 291 que é equivalente às duas equações seguintes 0° ± k360° jC(s)H(s) IC(s)H(s)1 = (k=0,1,2, ... ) 1 A soma algébrica de todos os ângulos dos pólos e dos zeros a malha aberta deve ser igual a 0° ± k360°. Assim, o gráfico do lugar das raízes segue o lugar geométrico de 0° em contraste com o lugar geométrico de 180° considerado anteriormente. A condição de módulo permanece inalterada. Para ilustrar o traçado do lugar das raízes de sistemas com retroação positiva, serão utilizadas as seguintes funções de transferência G(s) e H(s) como exemplo. + C(s) - ----'------"---- (s + 3) (52 + 25 + 2) , H(s) 1 o ganho K será considerado positivo. As regras gerais para construção dos lugares das raízes apresentadas na Seção 6-3 devem ser modificadas da seguinte maneira: A Regra 2 é modificada da seguinte maneira: Se o número total de pólos e zeros à direita do ponto de teste sobre o eixo real for par, então este ponto pertence ao lugar das raízes. A Regra 3 é modificada do seguinte modo: Ângulos das assÍntoles onde n-m (k=0,1,2, ... ) n = número de pólos finitos de G(s)H(s) número de zeros finitos de G(s)H(s) ln A Regra 5 é modificada como a seguir: Ao calcular o ângulo de partida (ou o ângulo de chegada) de um pólo complexo conjugado a malha aberta (ou a um zero complexo conjugado a malha aberta), subtrai-se de 0° a soma de todos os ângulos dos vetores com origem nos outros pólos e zeros e terminando no pólo complexo (zero complexo) em questão, incluindose os sinais apropriados. As outras regras para construir os lugares das raízes permanecem as mesmas. Serão aplicadas agora as regras modificadas para construir o gráfico do lugar das raízes. 1. Locação dos pólos a malha aberta (s = - I + j, s 1 - j, s = - 3) e o ze'ro (s - 2) no plano complexo. À medida que o valor de K aumenta de O a 00, os pólos a malha fechada começam nos pólos a malha aberta e terminam nos zeros a malha aberta (finitos ou infinitos), exatamente como no caso dos sistemas com retroação negativa. 2. Determinação dos lugares das raízes sobre o eixo real. Os lugares das raízes existem entre - 2 e + 00 e entre - 3 e - 00. 3. Determinação das assÍntotas dos lugares das raízes. Para o sistema presente, A Angulo das assíntota +k360° = ----- 3- 1 Isto implica simplesmente que as assíntotas estão sobre o eixo real. 4. Determinação dos pontos de partida e de chegada sobre o eixo real. Uma vez que a equação característica é (5 + 3) (S2 + 2s + 2) K(s + 2) = O obtém-se (s + 3) (S2 + 2s + 2) K = ~--~~--------~ s +2 Derivando-se K em relação a s, tem-se dK 2S 3 ds 292 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes + 11s2 + 20s + 10 (s + 2)2 Observe-se que 2S3 + 11s2 + 20s + 10 = 2(s + 0,8)(S2 + 4,7s + 6,24) = 2(s + 0,8)(s + 2,35 + jO,77)(s + 2,35 - jO,77) O ponto s = -0,8 está sobre o lugar das raízes. Como este ponto fica situado entre dois zeros (um zero finito e um zero no infinito), ele é realmente um ponto de chegada. Os pontos s = - 2,35 ± iO,77 não satisfazem a condição angular e, portanto, não constituem nem pontos de partida nem de chegada. 5. Determinação do ângulo de partida do lugar das raízes a partir de pólos complexos. Para o pólo complexo posicionado em s = - 1 + i, o ângulo de partida é e ou (O ângulo de partida do pólo complexo situado em s = -1 i é 72°.) 6. Escolha um ponto de teste numa vizinhança abrangente do eixo im e a origem e aplicação da condição de ângulo. Locação de um número suficiente de pontos, satisfazendo a condição angular. A Fig. 6-29 mostra os lugares das raízes para o sistema dado, com retroação positiva. Os lugares das raízes estão assinalados com linhas tracejadas. Note-se que se K > -,,-CS_--'--"-S-+-2-_2-,-) I,~O - 3 uma das raízes entra no semiplano s da direita. Portanto, para valores de K maiores que 3, o sistema se torna instável. (Para K> 3, o sistema deve ser estabilizado com a malha externa.) Note-se que a função de transferência a malha fechada do sistema com retroação positiva é dada por C(s) R(s) = _ _G_(,,--,s)'---_ 1 - G(s)H(s) (s + 3)(S2 2) Para comparar este gráfico de lugar das raízes com o correspondente ao de um sistema com retroação negativa, a Fig. 6-30 mostra o lugar das raízes de um sistema com retroação negativa cuja função de transferência a malha aberta é C(s) _ K(s + 2) R(s) (s + 3)(S2 + 2s + 2) + K(s + 2) )úJ )3 )2 )úJ )1 )2 , x )1 • J.. __ L _ +-----6- _ .l ~ _ -5 -4 -3 -2 -1, I. -5 _1 __ .J _ +-- O I 2 / Casos Especiais -3 -2 -I O 2 (J -:j I (J -:j I -:j2 -j2 -:j3 Fig. 6-29 Gráfico do lugar das raízes do sistema com retroação 1. positiva e G(s) = K(s + 2)/[(s + 3)(S2 + 2s + 2)], H(s) Seção 6-5 -4 Fig. 6-30 Gráfico do lugar das raízes do sistema com retroação negativa e G(s) K(s + 2)/[(s 3)(S2 + 2s + 2)], H(s) = 1. 293 A Tabela 6-2 apresenta vários diagramas de lugares das raízes de sistemas com retroação negativa e com retroação positiva. As funções de transferência a malha fechada são dadas por C e R 1 + eH' c e R 1- eH' para retroação negativa para retroação positiva Tabela 6-2 Gráficos de lugares das raízes de sistemas com retroação negativa e retroação positiva -----f----~ jw ---~ (J' jw ---~ (J' jw ---lio- ---~ (J' (J' jw ~ Retas e curvas em linha cheia correspondem a sistemas com retroação negativa; retas e curvas em linha tracejada correspondem a sistemas com retroação positiva. onde GH é a função de transferência a malha aberta. Na Tabela 6-2, os lugares das raízes de sistemas com retroação negativa estão representados com linhas cheias e os lugares das raízes de sistemas com retroação positiva, com linhas tracejadas. 294 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes Nesta será discutida, primeiro, a ortogonalidade dos lugares das raízes e os lugares de ganho constante para os sistemas a malha fechada. Em seguida, serão discutidos os sistemas condicionalmente estáveis. Finalmente, serão analisados os sistemas de fase não-mínima. Jrt1oqonallaalae entre os das raízes e os de ganho constante. Considere-se o sistema função de transferência a malha aberta No plano G(s)H(s), os lugares de IG(s)H(s)1 = constante são ± 180 0 (2k + 1) (k circunferências com centro na origem, e os lugares correspondentes à condição angular /CCs )H(s) 0,1 permanecem sobre o eixo real negativo do plano como indicado na Fig. 6-31. [Note-se que o plano complexo aqui empregado não é o plano s, mas o plano Os lugares das raízes e os lugares de ganho constante no plano s são mapeámentos conformes dos lugares de - - " - ' - - - - " - ' ± 180 0 1) e deIGCs)H(s)1 constante no plano Como os lugares de fase constante e de ganho constante no plano G(s)H(s) são ortogonais, os lugares das raízes e os lugares de ganho constante no plano s também são ortogonais. A Fig. 6-32(a) mostra os lugares das raízes e os de ganho constante para o seguinte sistema: = 1 Observe-se que devido à configuração de pólos e zeros ser simétrica em relação ao eixo real, os lugares de ganho constante também são simétricos em relação ao eixo real. A 6-32(b) mostra os lugares das raízes e de ganho constante para o sistema: H(s) 1 Note-se que, devido à configuração dos pólos no plano s ser simétrica em relação ao eixo real, e em relação à reta ao eixo imaginário passando pelo ponto ((J - 1, (J) O), os lugares de ganho constantes são simétricos em relação à reta (J) O real) e à reta (J = - 1. Sistemas condicionalmente estáveis. Seja o sistema indicado na Fig. 6-33(a). Os lugares das raízes para este sistema podem ser construídos aplicando-se as regras e procedimentos gerais para construção dos lugares das raízes. Um gráfico do lugar das raízes para este sistema é mostrado na Fig. 6-33(b). Pode-se constatar que este sistema é estável apenas em intervalos limitados do valor de K, isto é, O < K < 14 e 64 < K < 195. O sistema torna-se instável para 14 < K < 64 e para K > 195. Se K possuir um valor correspondente à operação instável, o sistema pode deixar de funcionar ou tornar-se não-linear devido à existência de uma não-linearidade por saturação. Um sistema deste tipo é denominado candicianabnente estável. Na prática, sistemas condicionalmente estáveis não são desejados. A estabilidade condicional é perigosa porém ocorre em alguns sistemas, em particular em sistemas que possuem um caminho instável no ramo direto. Este caminho pode ocorrer quando o sistema for dotado de uma malha interna, secundária. É aconselhável evitar esta estabilidade condi ciose o ganho cair, por alguma razão, aquém do valor crítico, o sistema se torna instável. Note-se que a adição de 1m 1m Plano CCs) H(s) Plano C(s) H(s) Ic(s) H(s) 180 0 (2k + I) Re IC(s) H(s)1 Fig. 6-31 Lugares Seção 6-6 / "pr,rn,>tri,C'nc o Re = constante de ganho e de fase constantes no plano G(s)H(s). Análise de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes 295 jw jw /6--'" j4 K =6 K ""< j3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ CT CT \ I ~j2 K= I -j4 -j6 -j3 (a) (b) Fig. 6-32 Gráficos dos lugares das raízes e dos lugares geométricos de ganho constante. (a) Sistema com G(s) 3), H(s) = 1; (b) sistema com G(s) K/[s(s + 1)(s + 2)], H(s) 1. = K(s + 2)/(S2 + 2s + uma estrutura de compensação apropriada eliminará a estabilidade condicional. [A adição de um zero causará o deslocamento dos lugares das raízes para a esquerda. (Ver Seção 7-2.) Portanto, a estabilidade condicional pode ser eliminada pela adição de uma compensação apropriada.] Sistemas de fase não-mínima. Se todos os pólos e zeros de um sistema estiverem no semiplano esquerdo do plano s, então o sistema é chamado defase mínima. Se um sistema possui pelo menos um pólo ou um zero no semiplano direito do plano s, então o sistema é denominado sistema defase não-mínima. O termo fase não-mínima provém da característica de deslocamento de fase de tais sistemas quando submetidos a sinais senoidais de entrada. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 6-34(a). Neste sistema C(s) _ _K_(1_-_-=-s(Ts + 1) (Ta> O), H(s) = 1 Este é um sistema de fase não-mínima, uma vez que há um zero no semiplano s da direita. Para este sistema, a condição de ângulo resulta C(s) (a) Fig. 6-33 (a) Sistema condicionalmente estável; (b) gráfico do lugar das raízes. 296 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes jw K=O t C(s) T (b) (a) Fig. 6-34 (a) Sistema de fase não-mínima; (b) gráfico do lugar das raízes. jG(s) = K(Tas 1) s(Ts + 1) K(Tas - 1) + 180 s(Ts + 1) 0 (k=0,1,2, ... ) ou K(Tas - 1) s(Ts + 1) (6-23) Os lugares das raízes podem ser obtidos da Eq. (6-23). A Fig. 6-34(b) mostra um gráfico do lugar das raízes para este sistema. Constata-se, a partir do diagrama, que o sistema será estável se o ganho K for menor do que l/T(I" 6-7 LUGARES DAS RAÍZES PARA SISTEMAS COM RETARDO DE TRANSPORTE A Fig. 6-35 mostra um sistema térmico no qual se faz circular ar quente a fim de manter constante a temperatura de uma câmara. Neste sistema, o elemento de medida é colocado a jusante do fluxo a uma distância L(m) da fornalha, sendo a velocidade do ar v (m/s) e T = L/v (s) o tempo decorrido, antes de qualquer variação na temperatura do forno ser sentida Combustível Insuflador Fig. 6-35 Sistema térmico. Seção 6- 7 / Lugares das Raízes para Sistemas com Retardo de Transporte 297 pelo termómetro, considerado T. Um tal retardo na medida, na ação do controlador ou na operação do atuador etc é chamado tempo morto ou retardo de tran5porte. O tempo morto existe na maioria dos sistemas de controle de processos. O sinal de entrada x(t) e o sinal de saída y(t) de um elemento com tempo morto ou retardo de transporte são relacionados por y(t) = x(t onde T é o tempo morto. A função de transferência do tempo morto é dada por cc;e[x(t - T)1(t Função de transferência do tempo morto ou retardo de transporte T)] 5E[x(t)1 (t)] Admita-se que a função de transferência do percurso direto deste sistema térmico possa ser aproximada por s conforme indicado na 6-36. Seja, agora, construir um gráfico do lugar das raízes para este sistema. A equação característica deste sistema a malha fechada é +-- 1 s + 1 O (6-24) Observe-se que nos sistemas com retardo de transporte, as regras de construção apresentadas inicialmente necessitam ser modificadas. Por exemplo, o número de ramos do lugar das raízes é infinito, uma vez que a equação característica tem um número infinito de raízes. O número de assíntotas é infinito. Elas são todas paralelas ao eixo real do plano s. Da Eq. obtém-se s + a condição de ângulo se torna igual a + 1) + Para determinar o ângulo de e- Ts faz-se S (J 0,1,2" .. ) + jro, Obtém-se então T Como e-Tc; é um número real "'''<'11-1,,,, o ângulo de e-Tc; é zero. / cos wT - jsen wT wT 6-36 298 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes de blocos do sistema mostrado na 6-35. A condição de ângulo, Eq. (6-25), torna-se 57,3wT - = ±1800(2k + 1) '---- Uma vez que T é uma constante dada, o ângulo de e-Ts é uma função apenas de w. Será determinada, agora, a contribuição angular devida ao termo e-TI. Para k = O, a condição de ângulo pode ser escrita = ±180° - 57,3°wT (6-26) '----- Como a contribuição angular de e-Ts é zero para w O, o eixo real desde -1 até - 0 0 constitui uma parte do lugar das raízes. Suponha-se agora um valor w1 para we seja feito o cálculo de 57,3° w] T. No ponto -1 sobre o eixo real negativo, desenhe-se uma reta que faça um ângulo de 180° - 57,3 ° w1 T com o eixo real. Encontre-se a interseção desta reta com a reta horizontal w = w1 • Esta interseção, ponto P na Fig. 6-37(a), é um ponto que satisfaz a Eq. (6-26) e, portanto, está sobre o lugar das raízes. Continuando-se o mesmo processo, obtém-se o gráfico do lugar das raízes indicado na Fig. 6-37(b). Note-se que conforme s tende a menos infinito, a função de transferência a malha aberta tende a menos infinito, uma vez que d - (Ke- TS ) Keds lim - - - - - - - - s=-x S + 1 d (s + 1) E ds -x Portanto, s = - 0 0 é um pólo da função de transferência a malha aberta. Conseqüentemente, os lugares das raízes têm InICIO em s = 1 ou s = - 0 0 e terminam em s = 00, conforme K aumenta de zero a infinito. Uma vez que o segundo membro da condição de ângulo dada pela Eq. (6-25) possui um número infinito de valores, há um número infinito de lugares das raízes conforme o valor de k (k O, 1,2, ... ) vai de zero a infinito. Por exemplo, se k 1, a condição de ângulo se torna (graus) ±3,n wT (radianos) júJ jl júJ] O---K O -I -3 -2 -I O CT CT -:i I (a) (b) Fig. 6-37 (a) Construção do lugar das raízes; (b) gráfico do lugar das raízes. Seção 6- 7 / Lugares das Raízes para Sistemas com Retardo de Transporte 299 A construção dos lugares das raízes para k = 1 é a mesma que para k e 2 quando T = 1 é mostrado na Fig. 6-38. A condição de módulo estabelece que O. O gráfico dos lugares das raízes para k = 0, 1, Ke-TsI - =1 s I +1 Como o módulo de e-TI é igual ao de e-h; ou a condição de módulo resulta Is + 11 = Ke- TiJ Os lugares das raízes mostrados na Fig. 6-38 são graduados em termos de K quando T = 1 s. Embora haja um número infinito de ramos de lugar das raízes, o ramo primário que permanece entre -ire e ire é o mais importante. Com base na Fig. 6-38, o valor critico de K no ramo primário é igual a 2, enquanto os valores críticos de K em outros ramos são muito maiores (8, 14, ... ). Portanto, o valor crítico K = 2 no ramo primário é mais significativo do ponto de vista da estabilidade. A resposta transitória do sistema é determinada pelas raízes localizadas mais próximo ao eixo iOJ e que permanecem sobre o ramo primário. Em resumo, o ramo do lugar das raízes correspondente a k = é o ramo dominante; outros ramos correspondentes a k = 1, 2, 3, ... não são tão importantes e podem ser desprezados. Este exemplo ilustra o fato de que o tempo morto pode causar instabilidade mesmo em sistemas de primeira ordem porque os lugares das raízes entram no semiplano direito do plano s para valores grandes de K. Portanto, embora o ganho K do sistema de primeira ordem possa ser ajustado em um valor alto na ausência de tempo morto, ele não pode ser ajustado muito alto se houver tempo morto. (Para o sistema aqui considerado, o valor do ganho K deve ser consideravelmente menor do que 2 para uma operação satisfatória.) ° Aproximação do retardo de transporte ou tempo morto. Se o tempo morto Tfor muito pequeno, então e-Ts poderá ser aproximado por júJ K =6 X 10-5 K= 0.028 K= 14 K =8.000 t K =5 X 10-5 K= 5.5 X 10h (k = 2) (k 1) (k = O) K= 0.019 (T K (k = O) (k = 1) (k = 2) =0.028 Fig. 6-38 Gráfico do lugar das raízes para o sistema mostrado na Fig. 6-36 (T 300 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes = 1 s). ou 1 Ts + 1 Estas aproximações são boas se o tempo morto for muito pequeno e, além disso, a função temporal de entradaf(t) para o elemento com tempo morto for uma função suave e contínua. [Isto significa que as derivadas segunda e de ordens superiores de f(t) são pequenas.] Dispõe-se de uma expressão mais elaborada para aproximar o valor de e-TI, a saber Ts (TS)2 (TS)3 2 8 48 Ts (TS)2 (TS)3 2 8 48 1 - - + - - - - - . + ... 1+-+--+--+· .. Se apenas os dois primeiros termos do numerador e do denominador forem considerados, então Ts 1 2 - Ts 2 ---- Ts 1 +2 2 + Ts Esta aproximação é usada freqüentemente. DIAGRAMAS DE CONTORNO DAS RAÍZES Efeitos das variações dos parâmetros sobre pólos a malha fechada. Em muitos problemas de projeto necessitam ser investigados os efeitos das variações de parâmetros, que não sejam o ganho K, sobre os pólos a malha fechada. Tais efeitos podem ser facilmente investigados pelo método do lugar das raízes. Quando dois (ou mais) parâmetros são variados, os correspondentes lugares das raízes são denominados contorno das raízes. Será utilizado um exemplo para ilustrar a construção dos contornos das raízes quando dois parâmetros são variados, respectivamente, desde zero até infinito. Considere-se o sistema com retroação tacométrica mostrado na Fig. 6-39(a). Eliminando-se a malha interior secundária, tem-se o diagrama de blocos simplificado [Fig. 6-39(b)]. Definindo-se a = b + KKIz este diagrama de blocos pode ser modificado para a representação mostrada na Fig. 6-39(c). Este sistema envolve duas vanaveis o parâmetro a e o ganho K. No que se segue serão investigados os efeitos da variação do parâmetro a bem como do ganho K. A função de transferência a malha fechada deste sistema se torna C(s) R (5) 52 K + as + K A equação característica é 52 + as + K = O (6-27) que pode ser reescrita 1+ as 52 +K = O ou as S2 Seção 6-8 / Diagramas de Contorno das Raízes +K =-1 (6-28) 301 C(s) (a) C(s) (b) (c) Fig. 6-39 (a) Servossistema com retroação tacométrica; (b), (c) diagramas de blocos simplificados (a =b + Na Eq. (6-28), o parâmetro a é escrito como um fator multiplicativo. Para um dado valor de K, o efeito de a nos pólos a malha fechada pode ser investigado a partir da Eq. (6-28).Os contornos das raízes para este sistema podem ser construídos seguindo-se o procedimento usual para a construção dos lugares das raízes. Serão construídos agora os contornos das raízes conforme K e a variam respectivamente desde zero até infinito. Os ) e terminam nos zeros (em s = O e no infinito). contornos das raízes começam nos pólos (em s = ±j Constroem-se, inicialmente, o lugar das raízes quando a = O. Isto pode ser feito facilmente como a seguir. Substituase a = O na Eq. (6-27). Então ou K -1 (6-29) Os pólos a malha aberta, portanto, são pólos duplos na origem. O gráfico do lugar das raízes da Eq. (6-29) é indicado na Fig. 6-40(a). Para construir os contornos das raízes, iremos supor, inicialmente, que K é uma constante, por exemplo, K = 4. A Eq. (6-28) então se torna as ---S2 +4 1 Os pólos a malha aberta são s = O zero a malha aberta finito está na origem. O diagrama do lugar das raízes correspondente à Eq. (6-30) é mostrado na Fig. 6-40(b). Para diferentes valores de K, a Eq. (6-30) fornece lugares das raízes similares. O contorno das raízes, o diagrama mostrando os lugares das raízes correspondentes a O < K < 00 e O < a < 00 pode ser traçado como na Fig. 6-40(c). É claro que os contornos das raízes têm início nos pólos e terminam nos zeros da função de transferência as/(s2 + K). As setas dos contornos das raízes indicam o sentido do aumento no valor de a. Os contornos das raízes mostram os efeitos das variações dos parâmetros do sistema nos pólos a malha fechada. Do gráfico do contorno das raízes mostrado na Fig. 6-40( c) verifica-se que, para O < K < 00 e O < a < 00, os pólos a malha fechada ficam no semiplano esquerdo do plano s e o sistema é estável. Note-se que se o valor de K é fixado, por exemplo em K 4, então os contornos das raízes resultam simplesmente nos lugares das raízes como mostrado na Fig. 6-40(b). 302 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes júJ K= 16 júJ j:+ j4 a=O K=4 j2 j2 j2 a=X /' -2 O -4 CT -2 O (T K= 1 K :+ K=9 . K=:+ -j2 --1 2 K= 16 --:i4 --:j4 (a) (b) 6-40 (a) Gráfico do lugar das raízes para o sistema mostrado na 4); Cc) gráfico do contorno das raízes. (T -)2 (c) 6-39(c) Ca = O, O::S K::s 00); (b) gráfico do lugar das raízes (O ::S ([ ::S 00, K Ilustrou-se um método de construção dos contornos das raízes quando o ganho K e o parâmetro a são variados, respectivamente, de zero a infinito. Basicamente, atribui-se a um parâmetro um valor constante de cada vez e se varia o outro parâmetro de O até 00 esboçando-se os lugares das raízes. Varia-se, então, o valor do primeiro parâmetro e repete-se o esboço dos lugares das raízes. Repetindo-se este procedimento pode-se esboçar o contorno das raízes. Um programa em MATLAB para gerar os contornos das raízes é mostrado a seguir, no Programa MATLAB 6-9. O gráfico resultante é mostrado na Fig. 6-41. Programa MATLAB 6-9 % ----.-.--- Gráfico do contorno das raízes ---------%*****Traçar o contorno das raízes para 'o sistema mostrado %na Fig. 6-39(c), onde a e K são variáveis***** %*****Na Equação (6-28), as/(sI\2 + K) 1, admitir K = 1, 4, 9, % 16, ... e traçar os lugares das raízes quando a varia de zero a infinito***** %*****Entrar o numerador e os denominadores***** num = [O denl = [1 den2 [1 den3 = [1 den4 = (1 1 O]; O 1]; O 4]; O 9]; O 16]; %*****Entrar com o comando r1ocus(num,den)***** rlocus(num,denl ) hold Current plot held rlocus(num,den2) rlocus(num,den3) rlocus(num,den4 ) v = [- 5 2 -5 5]; axis(v); axisCsquare); grid title( IContorno do Lugar das Raízes ') %*****Remover o comando hold***** hold Current plot released Seção 6-8 / Diagramas de Contorno das Raízes 303 Gráfico do Contorno das Raízes 5 4 3 2 .s: ,8 c .5D cj .§ O ~ -1 [.ij -2 -3 -4 Eixo Real Fig. 6-41 Gráfico do contorno das raízes gerado com o MATLAB. PROBLEMAS ILUSTRATIVOS E SOLUÇÕES A-6-1. Esboçar os lugares das raízes para o sistema mostrado na Fig. 6-42(a). (Supõe-se o ganho K positivo.) Observe-se que para valores pequenos e grandes de K o sistema é superamortecido e que para valores intermediários de K ele é subamortecido. Solução. O procedimento para traçar os lugares das raízes é o seguinte: 1. Locar os pólos e zeros a malha aberta no plano complexo. Os lugares das raízes existem sobre o semi-eixo real negativo nos segmentos entre O e -1 e entre -2 e -3. 2. O número de pólos a malha aberta e o número de zeros finitos é o mesmo. Isto significa que não há assíntotas na região complexa do plano s. 3. Determinação dos pontos de chegada e de partida. A equação característica do sistema é O ou K= ses (s + 2)(s 1) 3) jw j2 K 0,0718 jl ° C(s) -jl -)2 (a) (b) Fig. 6-42 (a) Sistema de controle; (b) gráfico do lugar das raízes. 304 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes Os pontos de partida e de chegada são determinados a partir de (25 + 1)(5 dK ds ses + 1 )(2s 3)F 5) 4(s + 0,634)(s + 2,366) [(s + 2)(s + 3)F =0 como sendo s = -0,634, s = -2,366 Observe-se que ambos os pontos estão sobre os lugares das raízes. Em conseqüência, eles são realmente pontos de partida e de chegada. No ponto s = -0,634, o valor de K é K= De modo análogo, em s = - ( -0,634)(0,366) (1,366)(2,366) 0,0718 2,366, K= (- 2,366)( -1,366) ( -0,366)(0,634) = 14 (Como o ponto s = -0,634 está situado entre dois pólos, é um ponto de partida, e, como s este é um ponto de chegada.) = -2,366 fica situado entre dois zeros, 4. Determinação de um número suficiente de pontos satisfazendo a condição angular. (Pode-se descobrir que o lugar das raízes é um círculo com centro em 1,5 e que passa pelos pontos de saída e de entrada.) O lugar das raízes do sistema é mostrado na Fig. 6-42(b). Observe-se que este sistema é estável, quaisquer que sejam os valores positivos de K, uma vez que os lugares das raízes estão situados no semiplano s da esquerda. Valores pequenos de K (O < K < 0,0718) correspondem a um sistema superamortecido. Valores intermediários de K (0,0178 < K < 14) correspondem a um sistema subamortecido. Finalmente, para valores grandes de K (K > 14), o sistema é superamortecido. Para valores grandes de K, o estado estacionário pode ser alcançado num tempo muito menor do que com valores pequenos de K. O valor de K deve ser ajustado de modo que o desempenho do sistema seja ótimo segundo um dado índice de desempenho. A-6-2. Uma forma simplificada da função de transferência de uma aeronave com piloto automático no módulo longitudinal é G(s)H(s) = K(s + a) ? ' ses - b )(s- + 2çwn s w~)' a> 0, b>O Um tal sistema, envolvendo um pólo a malha aberta no semiplano s da direita, pode ser condicionalmente estável. Esboçar os lugares das raízes quando a b = 1, , = 0,5 e OJ" = 4. Determinar a faixa de valores de K que corresponde à estabilidade. Solução. A função de transferência a malha aberta do sistema é G(s)H(s) Para esboçar os lugares das raízes será adotado o seguinte procedimento: 1. Locar os pólos e zeros a malha aberta no plano complexo. Os lugares das raízes existem, sobre o eixo real, entre I e ° e entre -1 e 2. Determinar as assíntotas dos lugares das raízes. Há três assíntotas cujas inclinações angulares são determinadas como Ângulos das assÍntotas Com base na Eq (6-15), a abcissa da interseção das assÍntotas e do eixo real é (O - 1 Problemas Ilustrativos e Soluções 2 - j20) 2 3 305 3. Determinar os pontos de partida e de chegada. Como a equação característica é + ----'----'---5(5 = O 16) obtém-se K 5 +1 Derivando-se K em relação a s, tem-se 35 4 + 105.1 + 215 2 (5 + 1 dK ds 245 16 o numerador pode ser fatorado como a seguir: 35 4 + 105.1 + 215 2 245 - 16 3(5 = 0,76 + j2,16)(s 0,76 - j2,16)(s - 0,45) Os pontos s = 0,45 e 5 = - 2,26 estão sobre os lugares das raízes e sobre o eixo real. Portanto, estes são, respectivamente, de fato, ponto de partida e ponto de chegada. Os pontos no plano complexo s= -0,76 ± j2,16 não satisfazem a condição angular. Não correspondem, portanto, nem a pontos de partida, nem a pontos de chegada. 4. Utilizando o critério de estabilidade de Routh, determinar os valores de K para os quais os lugares das raízes interceptam o eixo imaginário. Como a equação característica é 54 + 35 3 + 125 2 (K 16)5 + K = O o arranjo tabular de Routh se torna 54 52 52 K 5° 16 K 3 51 K 12 K 3 53 -K 2 +59K 52 K K 832 O O O Os valores de K que fazem o termo SI igual a zero são K 35,7 e K = 23,3. Os pontos de interseção com o eixo imaginário podem ser determinados resolvendo-se a equação auxiliar obtida a partir da linha S2, isto é, obtendo-se os valores de s na equação 52 - K 3 ~ 5~ +K= O Os resultados são 5 = ±j2,56, para K 5 = ±j1,56, para K Os pontos de interseção com O eixo imaginário são, por conseguinte, s = 35,7 23,3 = ±j2,56 e s = ±jl,56. 5. Achar os ângulos de partida dos pólos complexos. Para o pólo a malha aberta em s = -2 + j a ou (-) = 306 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes -54,5° , o ângulo de partida eé igual júJ Fig. 6-43 Gráfico do lugar das raízes. (O ângulo de partida do pólo a malha aberta em s -2 -j 6. Escolher um ponto de teste numa vizinhança ampla do eixo jw e da origem e aplicar a condição de ângulo. Se o ponto de teste não satisfizer a condição angular, escolher um outro ponto de teste até que a condição seja satisfeita. Continuar o mesmo processo e locar um número suficiente de pontos que satisfaçam a condição angular. A Fig. 6-43 mostra os lugares das raízes deste sistema. Conclui-se, do passo 4, que o sistema é estável para 23,3 < K < 35,7. Fora desta faixa, é instável. A-6-3. Esboçar os lugares das raízes para o sistema de controle mostrado na Fig. 6-44(a). Solução. Os pólos a malha aberta estão localizados em s 0, s = - 3 + j4 e s = - 3 - j4. Existe um ramo do lugar das raízes sobre o eixo real entre a origem e - 0 0 . Há três assÍntotas para os lugares das raízes. Os ângulos das assÍntotas são Ângulos das assÍntotas Com base na Eq. (6-15), a abcissa da interseção das assÍntotas e do eixo real é ° 3+3 3 -2 Em seguida, são testados os pontos de partida e de chegada. Para este sistema tem-se K = S(S2 + 6s 25) Fazendo-se dK ds = -(3s2 12s + 25) ° resultam s Problemas Ilustrativos e Soluções = -2 + j2,0817, s = -2 j2,0817 307 júJ j6 (T (a) (b) Fig. 6-44 (a) Sistema de controle; (b) gráfico do lugar das raízes. Observe-se que nos pontos 5 = -2 ± j2,0817 a condição de ângulo não é satisfeita. Portanto, estes não constituem nem pontos de partida, nem pontos de chegada. Com efeito, calculando-se o valor de K correspondente, obtém-se 65 K 25) 34 j18,04 (Para ser um verdadeiro ponto de partida ou de chegada, o valor de K correspondente deve ser real e positivo.) O ângulo de partida do pólo complexo situado no semiplano superior de s é ou e= -36,87° Os pontos onde os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário podem ser encontrados substituindo-se s = jO) na equação característica e resolvendo-se a equação resultante para K e 0), como a seguir: observando-se que a equação característica do sistema é 6s 2 + 255 S3 K O tem-se (j01)-' 6(j01f 25(j01) K = (-601 2 j01(25 - 012 ) K) = O o que conduz a 01 ±5, K = 150 ou 01 = O. K O Os lugares das raízes interceptam o eixo imaginário em O) = 5 e O) - 5. O valor de K nestes pontos de interseção é 150. Além disso, o ramo do lugar das raízes sobre o eixo real toca o eixo imaginário em O) = O. A Fig. 6-44(b) mostra o gráfico do lugar das raízes deste sistema. Nota-se que se o grau do polinómio em numerador de G(s)H(s) é inferior, em duas ou mais unidades, ao grau do polinómio em denominador, e se algum dos pólos a malha fechada se mover para a direita em função de um aumento no valor de K, então os outros pólos devem se deslocar para a esquerda à medida que seja aumentado o valor de K. Isto pode ser visto claramente neste problema. Se o ganho K aumentar de K = 34 para K = 68, os pólos complexos conjugados a malha fechada se deslocam de s = -2 + j3,65 para s = -1 ± j4; o terceiro pólo se move de s -2 (que corresponde a K = 34) para 5 -4 (que corresponde a K = 68). Assim, os 308 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes deslocamentos de dois pólos complexos conjugados a malha fechada para a direita, de uma unidade, ocasionam o deslocamento do pólo a malha fechada restante (pólo real, neste caso) de duas unidades, para a esquerda. A-6-4. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 6-45(a). Esboçar os lugares das raízes do sistema. Observe-se que para valores pequenos e grandes de K o sistema é subamortecido e para valores intermediários de K o sistema é superamortecido. Solução. Um ramo do lugar das raízes existe sobre o eixo real, entre a origem e raízes são obtidos a partir de Ângulos das assíntotas -00. Os ângulos das assíntotas dos ramos do lugar das ::!::1800(2k + 1) = ------'-----'- 3 A interseção das assíntotas e do eixo real está situada sobre o eixo real em 2 0+2 3 Os pontos de entrada e de saída são encontrados a partir de dKlds S3 + -1,3333 O. Como a equação característica é 5s O K tem-se K = _(S3 4s 2 (3s 2 8s 5s) Fazendo-se dK ds + 5) = O que conduz a s 1, s = 1,6667 Como os pontos se encontram sobre o lugar das raízes, são realmente pontos de partida ou pontos de chegada. (No ponto s valor de K é 2 e, no ponto s -1,667, o valor de K é 1,852.) = -1, o ~,--S(_S2_+_:_S_+_5_) --' (a) (b) Fig. 6-45 (a) Sistema de controle; (b) gráfico do lugar das raízes. Problemas Ilustrativos e Soluções 309 o ângulo de partida de um pólo complexo situado no semiplano superior de s é obtido a partir de ou () = -63,43° o ramo do lugar das raízes, originado no pólo complexo situado no semiplano superior de s, entra no eixo real em s = 1,6667. Em seguida, são determinados os pontos onde os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário. Substituindo-se s = jw na equação característica, tem-se (júJ)" + 4(júJ? + 5(júJ) K = ° ou de que se obtém úJ = ±0, K = 20 úJ ou = 0, K ° Os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário em w = eW= O ramo do lugar das raízes sobre o eixo real toca o eixo jw em w = O. Um esboço dos lugares das raízes deste sistema é mostrado na Fig. 6-45(b). Note-se que, como este sistema é de terceira ordem, há três pólos a malha fechada. A natureza da resposta do sistema a uma dada excitação depende da localização dos pólos a malha fechada. Para 0< K < 1,852, há um conjunto de dois pólos complexos conjugados e um pólo real a malha fechada. Para 1,852:::; K:::; 2, há três pólos reais a malha fechada. Por exemplo, os pólos a malha fechada são localizados em s -1,667, = s s 1,667, s 1, -1, = s = -0,667, para K s = -2, para K = 1,852 2 Para K > 2, há um conjunto de dois pólos complexos e um pólo real a malha fechada. Assim, pequenos valores de K (O < K < 1,852) correspondem a um sistema subamortecido. (Uma vez que o pólo real é dominante, apenas uma pequena ondulação poderá estar presente na resposta transitória.) Valores intermediários de K (1 ,852 :::; K:::; 2) correspondem a um sistema superamortecido. Para valores elevados de K o sistema responde mais rápido do que para valores pequenos de K. A-6-5. Esboçar os lugares das raízes para o sistema mostrado na Fig. 6-46(a). Solução. Os pólos a malha aberta estão localizados ems = O,s = -l,s = -2 + j3es = -2 -j3.Existeumramodolugardasraízes no eixo real entre os pontos s = Oe s = -1. As assíntotas são determinadas como a seguir: 0 Angulos das assÍntotas A = ± 180 (2k 4 + 1) 450, -450, 1350, -1350 A interseção das assíntotas e do eixo real é encontrada a partir de 2 4 Os pontos de entrada e de saída são encontrados a partir de dK/ds K = -s(s 1)(s2 -1,25 = o. Observando-se que 4s + 13) = _(S4 + 5s 3 + 17s2 + 13s) tem-se dK ds - = ~ 7 -(4s" + 15s- + 34s + 13) = ° de onde s 310 Capítulo 6 / = -0,467, s -1,642 Análise pelo Método do Lugar das Raízes + j2,067, s = -1,642 - j2,067 júJ jS (T -:iS (a) (b) Fig. 6-46 (a) Sistema de controle; (b) gráfico do lugar das raízes. o ponto s = -0,467 está sobre o lugar das raízes. Em conseqüência, é um ponto de partida real. Os valores do ganho K correspondentes aos pontos s = -1,642 ± j2,067 são grandezas complexas. Como os valores de ganho não são reais positivos, estes pontos não são pontos de entrada nem de partida. O ângulo de partida do pólo complexo situado no semiplano superior de s é e 180° ou e -142,13° Em seguida serão determinados os pontos onde os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo jro. Como a equação característica é S substituindo-se s 4 + 13s + K = O = jro nesta equação, tem-se 17(jro? + 13(jro) + K O ou de onde se obtém cu ± 1,6125, K 37,44 ou cu = K=O O, Os ramos dos lugares das raízes que se estendem para o semiplano s da direita cruzam o eixo imaginário em ro = ± l,6125. Além disso, o ramo do lugar das raízes sobre o eixo real toca o eixo imaginário em ro O. A Fig. 6-46(b) mostra um esboço dos lugares das raízes deste sistema. Observe-se que cada um dos ramos do lugar das raízes que se estende no semiplano da direita atravessa a própria assÍntota. A-6-6. Esboçar os lugares das raízes do sistema mostrado na Fig. 6-47(a). Solução. Existe um ramo do lugar das raízes no eixo real entre os pontos s seguir: -] e s = - 3,6. As assÍntotas são determinadas como a Ângulos das assÍntotas Problemas Ilustrativos e Soluções 311 júJ j3 (T -j3 (a) (b) Fig. 6-47 (a) Sistema de controle; (b) gráfico do lugar das raízes. A interseção das assÍntotas e do eixo real é encontrada a partir de ° - 1 -1,3 3- 1 Como a equação característica é tem-se K= Os pontos de partida e de chegada serão obtidos a partir de dK ds ou de onde se tem s = 0, s = -1,65 + jO,9367, s 1,65 = ° jO,9367 O ponto s = corresponde a um real ponto de partida. Porém, os pontos s -1,65 jO,9367 não correspondem nem a pontos de partida nem a pontos de chegada porque os valores correspondentes do ganho K são grandezas complexas. Para verificar os pontos onde os ramos dos lugares das raízes possam cortar o eixo imaginário, substitui-se s = jO) na equação característica. (jW)3 3,6(jw? ou 312 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes Kjw K ° Observe-se que esta equação só pode ser satisfeita se OJ = Oe K = O. Devido à presença de um pólo duplo na origem, o lugar das raízes é tangente ao eixo jOJ em OJ = O. Os ramos dos lugares das raízes não cruzam o eixo jOJ. A Fig. 6-47(b) é um esboço dos lugares das raízes deste sistema. A-6-7. Esboçar os lugares das raízes do sistema mostrado na Fig. 6-48(a). Solução. Existe um ramo do lugar das raízes no eixo real entre os pontos 5 a seguir: Ângulos das assÍntotas = -0,4 e 5 = - 3,6. As assíntotas são determinadas como :± 180 0 (2k 1) = ----'---~ = 3 1 90°, - 90° A interseção das assÍntotas e do eixo real é encontrada a partir de O O 3,6 3 - 1 0,4 1,6 Em seguida, são determinados os pontos de partida. Como a equação característica é 5' + 3,65 2 + Ks + O,4K = ° tem-se K= 5" S 3,65 2 0,4 Os pontos de partida e de chegada serão obtidos a partir de dK d5 (3s 2 + 7,2s)(s + 0,4) - (s" (s + O,4f 3,6s 2 ) = O resultando júJ j3 j2 -)2 -)3 (a) (b) Fig. 6-48 (a) Sistema de controle; (b) gráfico do lugar das raízes. Problemas Ilustrativos e Soluções 313 ou ses + 1 = O Assim, os pontos de partida ou de chegada estão situados em 5 = O e s = 1,2. Observe-se que 5 = 1,2 é uma raiz dupla. Quando ocorre uma raiz dupla em dKJd5 O no ponto 5 = 1,2, cPKJ(ds 2 ) = O neste ponto. O valor do ganho K no ponto s = -1,2 é + 3,652 5 + 0,4 53 K= Isto significa que com K como a seguir: = 4,32 = 4,32 a equação característica possui um pólo triplo em s = 53 3.6s 2 4,32s (s 1.728 + 1,2. Isto pode ser facilmente comprovado O 1,2)3 Portanto, os três ramos do lugar das raízes se encontram no ponto s = - 1,2. Os ângulos de partida do ponto s = 1,2 dos ramos que tendem para as assíntotas são::±:: 180°/3, isto é, 60° e -60°. (Ver Problema A-6-8.) Finalmente, será examinado se os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário. Substituindo-se s = júJ na equação característica, tem-se (jw? + 3,6(jw)2 + K(jw) O.4K = O ou Esta equação só pode ser satisfeita se úJ = Oe K = O. No ponto úJ = O, o lugar das raízes é tangente ao eixo júJ devido à presença de um pólo duplo na origem. Não há pontos onde os ramos dos lugares das raízes cruzem o eixo imaginário. A Fig. 6-48(b) mostra um esboço dos lugares das raízes deste sistema. A-6-8. Com base no Problema A-6-7, obter as equações dos ramos do lugar das raízes para o sistema mostrado na Fig. 6-48(a). Mostrar que os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo real no ponto de partida segundo ângulos de ::±:: 60°. Solução. As equações dos ramos dos lugares das raízes podem ser obtidas a partir da condição de ângulo K(s + 0.4) + 3,6) S2(S que pode ser reescrita como / s + 0.4 Substituindo-se s = 2t /s + 3,6 = 180 0 (2k + 1) a + júJ, obtém-se / a + jw + 0.4 - 2 / a + jw / a + jw + 3.6 ou tan- 1 (_w_) + a 3,6 = ::±::1800(2k + 1) Rearranjando-se os termos, vem Tomando-se a tangente de ambos os membros desta última equação e observando-se que l)l- _ w a + 3,6 J 314 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes obtém-se w w w a a + 0.4 a w w +---a + 0.4 a w a + 3,6 1_ __w__ ~ a a + 3,6 que pode ser simplificado para wo - w(o (o + 0,4) + w2 + 3,6) + wo o(a + 3,6) - w2 w(o 0,4)0 ou W(03 2,40 2 + 1,440 + 1,6w2 + ow2) O que pode ser simplificado adicionalmente para + 1,2)2 w[o(o Para (5 (o + 1,6)w2 ] O -1,6, pode-se escrever esta última equação como [ úJ - (a + 1,2) J ~,6 ] [ a: úJ J + (a + 1,2) a : ~,6 ] ~ O que fornece as equações para o lugar das raízes, como a seguir w O w (o + 1,2) II O " 0+ 1,6 w = - (o + 1,2) -o " 0+ 1,6 A equação (J) = Orepresenta o eixo real. O lugar das raízes para O::; K::; 00 está situado entre os pontos s = -0,4 e s = - 3,6. (A parte do eixo real que difere deste segmento e da origem s = O corresponde ao lugar das raízes para - 0 0 ::; K < O.) As equações w = ±(o (6-31) representam os ramos complexos para O ::; K::; 00. Estes dois ramos estão localizados entre (5 = - 1,6 e (5 = O. [Ver Fig. 6-48(b ).] A inclinação dos ramos complexos do lugar das raízes no ponto de partida ((5 -1,2) pode ser encontrada calculando-se dOJld(5 da Eq. (6-31), no ponto (5 -1,2. ± Como tan- I A-6-9. , = J ~,61 a: ±/Il (J =-1 .~') yO,4 60° os ramos do lugar das raízes interceptam o eixo real segundo um ângulo de ± 60°. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 6-49, que possui uma função de transferência instável no percurso direto. Esboçar o gráfico do lugar das raízes e locar os pólos a malha fechada. Mostrar que, embora os pólos a malha fechada estejam situados sobre o semi-eixo real negativo e o sistema seja não-oscilatório, a resposta a um degrau unitário apresentará uma ultrapassagem. Solução. O lugar das raízes para este sistema é mostrado na Fig. 6-50. Os pólos a malha fechada estão localizados em s = - 2 e s = - 5. C(s) Fig. 6-49 Sistema de controle. Problemas Ilustrativos e Soluções 315 jw Pólos a malha fechada Zero a malha fechada Fig. 6-50 Gráfico do lugar das raízes para o sistema mostrado na Fig. 6-49. A função de transferência a malha fechada se torna C(s) R(s) A resposta ao degrau unitário deste sistema é CCs) A transformada de Laplace inversa de C(s) fornece c(t) = 1 + 1,666e-2t - 2,666e-:"t, para t :::::: O A curva da resposta ao degrau unitário é apresentada na Fig. 6-51. Embora o sistema seja não-oscilatório, a curva de resposta ao degrau unitário apresenta ultrapassagem. (Isto é devido à presença do zero em s = 1.) A-6-1O. Esboçar os lugares das raízes do sistema de controle mostrado na Fig. 6-52(a). Determinar a faixa de valores do ganho K que assegura estabilidade. e s = -2 j J3. Um ramo do lugar das raízes se enconSolução. Os pólos a malha aberta estão localizados em s 1, s = -2 j tra sobre o eixo real entre os pontos s = 1 e s = - 0 0 . As assíntotas dos ramos do lugar das raízes são encontradas como a seguir: Ângulos das assÍntotas 1.6 1,4 1.2 / 1.0 c(t) 0.8 0.6 004 0.2 -.......... / / ~ • ------ --- I I ~ ..... I o 0.2 004 0.6 0.8 1.0 1.2 IA 1.6 1.8 2.0 Fig. 6-51 Curva da resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Fig. 6-49. 3 16 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes jw (T (b) (a) Fig. 6-52 (a) Sistema de controle; (b) gráfico do lugar das raízes. A interseção das assÍntotas com o eixo real é obtida a partir de 1 + + 2 2 3 Os pontos de partida e de chegada podem ser localizados com base em dK/ds K -(s - 1)(s2 4s 7) = = O. Como _(S3 + 3s 2 + 3s - 7) tem-se dK ds (3s + 6s + 3) O o que conduz a (s + 1)2 = O Assim a equação dK/ds = O possui uma raiz dupla em s = -1. O ponto de partida está localizado em s = -1. Os três ramos do lugar das raízes se encontram neste ponto de partida. Os ângulos de partida dos ramos no ponto de partida são ± 180°/3, isto é, 60° e-60°. A seguir serão determinados os pontos onde os ramos do lugar das raízes podem interceptar o eixo imaginário. Observando-se que a equação característica é (s 1)(S2 4s + 7) K O ou substitui-se aí s = jro resultando (jW)3 3(jW)2 3(jw) - 7 K O Reescrevendo-se esta última equação, tem-se Problemas Ilustrativos e Soluções 317 Esta equação é satisfeita quando w= ±y3, w ou 0, = K=7 (onde K = 16) e m = O (onde K = 7). Como o valor do ganho K Os ramos do lugar das raízes cortam o eixo imaginário em m = ± na origem é 7, a faixa de valores para se ter estabilidade é 7 < K < 16 A Fig. 6-52(b) mostra um esboço dos lugares das raízes. Observe-se que todos os ramos consistem em segmentos de retas. O fato de que todos os ramos do lugar das raízes são retas pode ser verificado como a seguir: uma vez que a condição de ângulo é tem-se - ~ - /s +2 + j 0 Substituindo-se s = (J + jm nesta última equação, / O - 1 + jw + / O + 2 + jw + j 0 /0+2+jw-j0= ±1800(2k 1) ou /0+ 2 + j(w + j0) /0+ 2 + j(w - j0) = -/0-1 +jw±1800(2k + 1) que pode ser reescrita como tan- 1 + 0) + tan- (w - 0) (w0+2 0+2 1 -tan- 1 = ( -W-) 1 O ± 1800(2k + 1) Tomando-se a tangente de ambos os membros desta última equação, obtém-se w w ---'-- w 0+2 O 0) - 0-1 _ (w 0)(w 0+2 0+2 ou w 0-1 3 que pode ser simplificado para 2w(0 2)(0- 1) = - (0 2 + 40 w 2) 7 ou Simplificações adicionais desta equação conduzem a _1) =0 V3 definindo-se três retas w 318 Capítulo 6 / 0, 1 O 1+-ú)=0 V3 Análise pelo Método do Lugar das Raízes 1 ' O l--w=O V3 Assim, os ramos do lugar das raízes consistem em três retas. Observe-se que os lugares das raízes para K > O compõem-se de segmentos de retas como mostrado na Fig. 6-52(b). (Note-se que cada um dos segmentos de reta começa a partir de um pólo a malha aberta e se estende ao infinito segundo as direções de 180°,60°, ou -60°, medidos a partir do eixo real.) As partes restantes de cada reta correspondem a lugares das raízes para K < O. A-6-11. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 6-53(a). Esboçar os lugares das raízes. Solução. Os zeros a malha aberta do sistema estão localizados em s ±j. Os pólos a malha aberta estão localizados em s = O e s = - 2. Este sistema envolve dois pólos e dois zeros. Assim, existe a possibilidade de ocorrerem ramos circulares. Na realidade, existem neste caso lugares das raízes circulares conforme será mostrado adiante. A condição angular é j) 1) ou Substituindo-se s (j + júJ nesta última equação, obtém-se / o + jw + j + /0 + jw - j o + jw + = / /0 + 2 + jw ± 180 (2k + 1) 0 ou 1) + tan- (w 1) w-+ tan~l 0( 1 --0- = tan- 1 (w) -;; Tomando-se a tangente de ambos os membros desta última equação e observando-se que w o 2 obtém-se w- 1 (J) + 1 --+-o o w+1 w- 1 -----o o w o W o w 2 w --- o o 2 ou júJ j2 ~j2 (a) (b) Fig. 6-53 (a) Sistema de controle; (b) gráfico do lugar das raízes. Problemas Ilustrativos e Soluções 319 Fig. 6-54 Sistema de controle. o que é equivalente a w=O 5 4 ou Estas duas expressões são as equações dos lugares das raízes. A primeira equação corresponde ao lugar das raízes sobre o eixo real. (O segmento entre s = Oe s -2 corresponde ao lugar das raízes para O::; K < 00. O restante da reta corresponde ao lugar das raízes para K < O). A segunda equação é uma equação de um círculo. Assim, há um lugar das raízes circular com centro em (J !, OJ O e raio igual a . Os lugares das raízes estão esboçados na Fig. 6-53(b). [A parte do lugar circular à esquerda dos zeros imaginários corresponde a K > O. A parte do lugar circular não mostrado na Fig. 6-53(b) corresponde a K < O.] A-6-12. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 6-54. Determinar o valor de d tal que o coeficiente de amortecimento fechada dominantes seja igual a 0,5. ~ dos pólos a malha Solução. Neste sistema a equação característica é + 2(s a) ses + 1)(s + 3) O = Note-se que a variável a não é um fator multiplicativo. Portanto, é necessário reescrever a equação característica ses + 1 )(s 3) 2s + 2a O = sob a forma 2a 1 + -::-----::--+ 5s = O Seja, por definição 2a = K Resulta, então, a equação característica sob a forma O (6-32) No Problema A-6-4 foi construído o lugar das raízes para o sistema definido pela Eq. (6-32). Em conseqüência, a solução para este problema está disponível no Problema A-6-4. Com base na Fig. 6-45(b), os pólos a malha fechada que possuem um coeficiente de amortecimento ~ = 0,5 podem ser localizados em s = -0,63 ± jl,09. O valor de K no ponto s -0,63 + jl,09 é igual a 4,32. Assim, o valor de a neste problema pode ser obtido da seguinte forma: a A-6-13. K ="2 2,16 Considere-se o sistema mostrado na Fig. 6-55(a). Determinar o valor de a tal que o coeficiente de amortecimento fechada dominantes seja igual a 0,5. ~ dos pólos a malha Solução. A equação característica é O A variável a não é um fator multiplicativo. Portanto, é necessário modificar a forma da equação característica. Uma vez que ela pode ser escrita como S3 320 Capítulo 6 / 9S2 + 18s + 1Oa Análise pelo Método do Lugar das Raízes = O jV / -rL-_::_:_~_:---,H",-·_)(_/_~_l_)-,I---""""III""""'~."""'- (a) (b) Fig. 6-55 (a) Sistema de controle; (b) gráfico do lugar das raízes, onde K = lOa. é possível reescrevê-la, a seguir, com a aparecendo como fatar multiplicativo: lOa --::------ = + 9s O 18) Seja, por definição lOa = K A equação característica se torna K 1 +------ 18) = O Observe-se que a equação característica está numa forma conveniente para a construção dos lugares das raízes. Este sistema envolve três pólos e não possui zeros. Os três pólos estão localizados em s O, s = - 3 e s = -6. Um ramo do lugar das raízes se encontra sobre o eixo real entre os pontos s = Oe s = - 3. Além disso, existe um outro ramo entre os pontos s - 6 e s As assíntotas dos ramos do lugar das raízes são encontradas como a seguir: Ângulos das assÍntotas 0 ± 180 (2k 3 = 1) A interseção das assíntotas com o eixo real é obtida a partir de O 3 3 6 -3 Os pontos de partida e de chegada podem ser determinados a partir de dK/ds = O, onde K 18s) = _(S·1 Fazendo-se, agora, dK ds Problemas Ilustrativos e Soluções 18s 18) O 321 o que conduz a 52 + 65 6 1,268, s O ou 5 4,732 o ponto s = 1,268 está sobre um dos ramos do lugar das raízes. Por conseguinte, s = - 1,268 é um real ponto de partida. O ponto s -4,732, porém, não está situado em nenhum ramo do lugar das raízes e, assim, nem é ponto de partida nem é ponto de chegada. A seguir serão determinados os pontos onde os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário. Substituindo-se s = JOJ na equação característica, que é = K=O como se segue 9(JúJ? + 18(JúJ) (júJ)'" K=O ou da qual se obtém K úJ = 9úJ 2 162 = úJ ou = O, K O Os pontos de cruzamento estão situados em OJ e correspondem a um valor de ganho K igual a 162. Além disso, um ramo do lugar das raízes toca o eixo imaginário em OJ = O. A Fig. 6-55(b) mostra um esboço dos lugares das raízes do sistema. Como foi especificado em 0,5 o valor do coeficiente de amortecimento dos pólos dominantes a malha fechada, o pólo desejado no semiplano superior de s deve estar na interseção do lugar das raízes com uma reta fazendo um ângulo de 60° com o eixo real negativo. Os pólos dominantes a malha fechada desejados estarão em s s= /1,732, j 1 ,732 Nestes pontos o valor de K é 28. Assim, K a=-=28 10 ' Como o sistema envolve dois ou mais pólos que zeros (na realidade, três pólos e nenhum zero), o terceiro pólo pode ser localizado sobre o semi-eixo real negativo a partir do fato de que a soma dos três pólos a malha fechada é igual a -9. Assim, o terceiro pólo é encontrado em 5 = -9 - (-1 + /1,732) - (-1 jl,732) ou 5 = -7 A-6-14. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 6-56(a). Esboçar os lugares das raízes do sistema à medida que o ganho k da retroação de velocidade varia de zero a infinito. Determinar o valor de k tal que o coeficiente de amortecimento ~ dos pólos a malha fechada seja igual a 0,7. Solução. A função de transferência a malha aberta é 10 Função de transferência a malha aberta (s + 1 + 10k)s 10 Como k não é um fator multiplicativo, modifica-se a equação de modo a fazê-lo multiplicativo. Como a equação característica é 10ks 10 = O pode-se reescrevê-la como a seguir: 10ks 322 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes O (6-33) jv )4 R(s) C(s) s -)4 (a) (b) Fig. 6-56 (a) Sistema de controle; (b) gráfico do lugar das raízes, onde K = IOk. Seja, por definição, 10k = K Então a Eq. (6-33) se toma Ks -----=0 + s + 10 ° Observe-se que o sistema possui um zero em s = e dois pólos em s = -0,5 :±: j3,1225. Como este sistema envolve dois pólos e um zero, há possibilidade de existir um lugar das raízes circular. Na verdade, este sistema possui um lugar das raízes com ramo circular, como será mostrado. Uma vez que a condição de ângulo é tem-se ~ Substituindo-se s = (5 - L - - -_ _ /s + 0,5 - j3,1225 :±:1800(2k + 1) = + JOJ nesta última equação, obtém-se / a + 0,5 + j(w + 3,1225) + / a + 0,5 + j(w - 3,1225) = /a + jw 180 0(2k + 1) que pode ser reescrito como tan _) (w - 3,1225) tan-l(~) ± 180'(2k + I) a + 0,5 Tomando-se a tangente de ambos os membros desta última equação, obtém-se w a 3,1225 0,5 w - 3,1225 a + 0,5 w a 1 _ (w + 3,1225)(W - 3,1225) a + 0,5 a + 0,5 que pode ser simplificado para 2w(a 0,5) (a + 0,5? - (w 2 - 3,1225 2 ) Problemas Ilustrativos e Soluções w a 323 ou que conduz a O (JJ ou Observe-se que ú) = O corresponde ao eixo real. O semi-eixo real negativo (entre s real positivo corresponde a K < O. A equação = Oe s -00) corresponde a K 2: O e o semi-eixo 10 é uma equação de um círculo com centro em (J = O, ú) O e raio igual a . Uma parte deste círculo que permanece à esquerda dos pólos complexos corresponde ao lugar das raízes para K > O. A porção do círculo que permanece à direita dos pólos complexos corresponde ao lugar das raízes para K < O. Assim, esta porção não é lugar das raízes para o presente sistema, em que K > O. A Fig. 6-56(b) mostra um esboço dos lugares das raízes. Como se requer ~ = 0,7 para os pólos a malha fechada, encontra-se a interseção do lugar das raízes circular com a reta que faz um ângulo de 45,57° (note-se que cos 45,57° = 0,7) com o eixo real negativo. A interseção é em s = -2,214 + j2,258. O ganho K correspondente a este ponto é 3,427. Por conseguinte, o valor desejado para o ganho k de retroação de velocidade é k = K 10 0,3427 A-6-15. Considere-se o sistema de controle mostrado na Fig. 6-57. Traçar os lugares das raízes com o MATLAB. Solução. O Programa MATLAB 6-10 gera o traçado do lugar das raízes conforme mostrado na Fig. 6-58. Os lugares das raízes devem ser simétricos em relação ao eixo real. Contudo, a Fig. 6-58 mostra o contrário. O MATLAB fornece seu próprio conjunto de valores de ganho que é usado para calcular os pontos do gráfico do lugar das raízes. Isto é feito por meio de uma rotina interna adaptativa do passo de cálculo. Para certos sistemas, contudo, pequenas variações no valor do ganho, numa certa faixa de valores, ocasionam mudanças drásticas na localização das raízes. Assim, o MATLAB, ao calcular as raízes, fez saltos muito grandes na variação de valores de ganho, e a localização das raízes sofreu mudanças relativamente grandes. Ao traçar as curvas, o MATLAB conecta estes pontos e ocasiona um aspecto estranho na região de ganhos sensíveis. Tais gráficos errados do lugar das raízes ocorrem geralmente quando os ramos do lugar das raízes se aproximam de um pólo duplo (triplo ou de maior multiplicidade), uma vez que nestas regiões o lugar das raízes é muito sensível a pequenas variações de ganho. No problema considerado aqui, a região crítica de ganho K é entre 4,2 e 4,4. Assim, torna-se necessário escolher um passo de cálculo suficientemente pequeno nesta região. Pode-se dividir a região de valores de K como se segue: K1 K2 K3 K4 K [0:0.2:4.2]; [4.2:0.002:4.4]; [4.4:0.2:10]; = [10:5:200]; [Kl K2 K3 K4]; Executando-se o Programa MATLAB 6-11 em computador, obtém-se o gráfico mostrado na Fig. 6-59. Trocando-se o comando plot(r,' o') do Programa MATLAB 6-11 pelo comando plot(r,' _I), obtém-se a Fig. 6-60. As Figs. 6-59 e 6-60 mostram gráficos satisfatórios dos lugares das raízes. Programa MATLAB 6-' O % ..---...-- Gráfico do lugar das raízes -..------num = [O O OA]; den = [1 3.6 O O]; rlocus(num,den); v [-5 1 -3 3J;axis(v) grid title('Lugar das Raízes de G(s) = K(s + 0,4)/[sI\2(s + 3,6)J') 6-57 Sistema de controle. 324 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes Gráfico do Lugar das Raízes de C(s) K(s+0,4)/[sJ\2(s+3,6)] 3r-----~----~------~~--~------r-----~ 2 1 ..... '2 '01) :'j .§ O 1------;-~:--------+---..;..---"---4--~---;IE----_i -2 -4 -3 -2 -1 o Eixo Real Fig. 6-58 Gráfico do lugar das raízes. A-6-16. Considere-se o sistema cuja função de transferência a malha aberta G(s)H(s) é dada por G(s)l1(s) 2) Utilizando o MATLAB, traçar os lugares das raízes e suas assÍntotas. Programa MATLAB 6-11 % ---------- Gráfico do lugar das raízes ---------num = [O O 1 0.4]; den = [1 3.6 O O]; Kl = [0:0.2:4.2]; K2 [4.2:0.002:4.4]; K3 = [4.4:0.02:10]; K4 [10:5:200]; K = [Kl K2 K3 K4]; r = r1ocus(num,den,K); plot{r,'o') -5 5]; axis(v) v = [-5 grid title('Lugar das Raízes de G(s) xlabel('Eixo Real') ylabe!('Eixo Imaginário') = K(s + OA)/[s!\2(s + 3,6)]') Solução. Serão traçados os lugares das raízes e as assÍntotas num único diagrama. Como a função de transferência a malha aberta é dada por G(s)l1(s) K 2) K 2s as equações das assÍntotas podem ser obtidas como a seguir: observando-se que Problemas Ilustrativos e Soluções 325 Gráfico do Lugar das Raízes de G(s) = K(s+0,4)/[sJ\2(s+3,6)] 5 4 3 2 1 O -1 -2 -3 -4 -2 -3 -4 -1 O Eixo Real Fig. 6-59 Gráfico do lugar das raízes. as equações das assÍntotas podem ser dadas por K Ga(s)Ha(s) = ( 1 s + Assim, para o sistema, tem-se num den = [O = [1 O numa dena = [O O O [1 3 3 3 O 2 1] O] e, para as assÍntotas, 1] 1 Ao utilizar os comandos rlocus e plot rlocus(num,den) rlocus(numa,dena) a plot([r a]) 5 4 3 2 .§ 1 ': O, os pólos a malha fechada do sistema serão dois conjuntos de pólos fechada reais.) Como não há pólos a malha fechada no semiplano s da direita, o sistema é estável para todos os valores de K > o. Programa MATLAB 6- 14 % ---------- Gráfico do Lugar das Raízes ---------num = [O O 1 4 4]; den=[l 10 29 40 100J; r = rlocus(num,den); plot(r,' 0') hold plot(r/ -') v [-8 4 -6 6J; axis(v); axis('square') grid title('Lugar das Raízes G(s) = (s + 2)1\2/[(sI\2 xlabel('Eixo Real') ylabel('Eixo Imaginário') + 4)(s + 5)1\2]') A-6-18. Considere-se o sistema com retardo de transporte mostrado na Fig. 6-64(a). Esboçar os das raízes e achar os dois pares de pólos a malha fechada mais próximos do eixo jO). Utilizando apenas os pólos a malha fechada dominantes, obter a resposta ao degrau unitário e esboçar a curva de resposta. Solução. A equação característica é 2e Il ..'.\ O s que é equivalente às seguintes condições de ângulo e de módulo: I~e 0;' I A condição de ângulo se reduz a 1) ~ O,3w (radianos) 4 2 \-. 'çj C .5'1) çj O ..§ o >< ü3 -2 -4 -6L---~----~~~~--~----~--~ ~ ~ ~ 4 Eixo Real 6-63 Gráfico do lugar das raízes. Problemas Ilustrativos e Soluções 329 Pam k O, ~ = ~n- O,3w (radianos) (graus) 180" Para k = 1, ±3n - 0,3w (radianos) (graus) o gráfico do lugar das raízes deste sistema é mostrado na Fig. 6-64(b). Na condição de módulo seja feito S (j jm e a mudança de 2 por K. Obtém-se, então K Calculando-se o valor de K em diferentes pontos dos lugares das raízes, pode-se achar os pontos para os quais K os pólos a malha fechada. O par de pólos a malha fechada dominantes é s 2. Estes pontos são -2,5 ± j3.9 O próximo par de pólos a malha fechada é s 8,6 Utilizando-se o par de pólos a malha fechada dominantes é possível aproximar a função de transferência a malha fechada como a seguir: observando-se que CCs) R(s) .) )w )40 j30 K=2 j20 (T -)20 -)30 -)40 (a) (b) 6-64 (a) Sistema de controle com retardo de transporte; (b) gráfico do lugar das raízes. 330 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes cU) LO Exato 0.5 O LO 0.5 L5 2.0 Fig. 6-65 Curvas da resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Fig. 6-64(a). e (s + 2,5 /3,9)(s 2,5 j3,9) 5s + 21,46 S2 é possível aproximar C(s)/R(s) por ou 14,3 1e- o.'., R(s) Para uma excitação em degrau unitário, C(s) Observe-se que [(s + 2,5)2 Assim. C(s) ~ m 1e-o ~s-lQ 3 3 + [ (s + 2,5f 0).\ 3,9 2 A transformada de Laplace inversa de C(s) fornece c(t) ~[1- cos 3,9(t - 0,3) 0,641 sen 3,9(t - 0,3)Jl(t - 0,3) onde 1(t 0,3) é a função degrau unitário aplicada no instante t = 0,3. A Fig. 6-65 mostra a curva de resposta aproximada assim obtida, com a curva exata da resposta ao degrau unitário, resultante de simulação em computador. Note-se que neste sistema é possível obter uma aproximação razoavelmente boa usando-se apenas os pólos dominantes a malha fechada. PROBLEMAS B-6-1. Traçar os lugares das raízes para o sistema de controle a malha fechada com C(s) Problemas K 5) , H(s) B-6-2. Traçar os lugares das raízes para o sistema de controle a malha fechada com C(s) H(s) 331 Assinalar sobre o lugar das raízes os pólos a malha fechada dominantes tais que possuam um coeficiente de amortecimento igual a 0,5. Determinar o valor correspondente do ganho K. C(s) R(s) B-6-3. Traçar os lugares das raízes para o sistema de controle a malha fechada com C(s) K = ( H(s) 10) , s s B-6-4. Traçar os lugares das raízes para o sistema de controle a malha fechada com C(s) = K - - - - - - + - 2 - s-+-5-) , Fig. 6-67 Sistema de controle. H(s) C(s) Determinar os pontos exatos onde os lugares das raízes cruzam o eixo j w. B-6-5. Mostrar que os lugares das raízes para um sistema de controle com 10) 10 H(s) = 1 são arcos do círculo centrado na origem com raio igual a 56. B-6-6. Traçar os lugares das raízes para o sistema de controle a malha fechada com 0,2) 3,6) , C(s) H(s) B-6-7. Traçar os lugares das raízes para o sistema de controle a malha fechada com Fig. 6-6S Sistema de controle. B-6-12. Considere-se o sistema cuja função de transferência a malha aberta G(s)H(s) é dada por C(s)H(s) 5) K C( ) = s K(s s~ 0.5) S2 l' H(s) = B-6-S. Traçar os lugares das raízes para o sistema mostrado na Fig. 666. Determinar a faixa de valores de K para a estabilidade do sistema. B-6-9. Considere-se o sistema de controle com retroação unitária dotado da seguinte função de transferência no percurso direto: C(s) 10 1 Traçar um diagrama do lugar das raízes com o MATLAB. B-6-B. Considere-se o sistema cuja função de transferência a malha aberta é dada por C (s ) H (s) = 0,6667) 7,0325s 2 -4---'------'------''------- S K 8) Traçar os lugares das raízes para o sistema. Se o valor do ganho K for ajustado em 2, qual a localização dos pólos a malha fechada? B-6-1O. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 6-67. Determinar os valores de ganho K e do coeficiente de retroação em velocidade K" tais que os pólos a malha fechada estejam localizados em s -1 j {3 . Em seguida, usando o valor determinado para K", traçar os lugares das raízes. B-6-11. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 6-68. O sistema envolve retroação de velocidade. Determinar o valor de ganho K tal que os pólos a malha fechada dominantes tenham um coeficiente de amortecimento igual a 0,5. Usando o valor de K assim determinado, obter a resposta do sistema a uma excitação em degrau unitário. Mostrar que a equação das assÍntotas é dada por C{/(s )Ha(s) K 5,3515s + 2,3825 = -------------- Usando o MA TLAB, traçar os lugares das raízes e as assíntotas para o sistema. B-6-14. Considere-se o sistema com retroação unitária cuja função de transferência do percurso direto é C(s) K = ( s s 1) O lugar geométrico de ganho constante do sistema para um dado valor de K é definido pela seguinte equação: Mostrar que os lugares geométricos de ganho constante para podem ser dados por [0(0 1) °: :;: K:::;: 00 ') OF Esboçar, no plano s, os lugares geométricos de ganho constante para K = 1, 2, 5, 10 e 20. Fig. 6-66 Sistema de controle. 332 Capítulo 6 / Análise pelo Método do Lugar das Raízes B-6-15. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 6-69. Traçar os lugares das raízes. Assinalar os pólos a malha fechada quando o ganho K for ajustado no valor igual a 2. B-6-19. Traçar os contornos das raízes para o sistema mostrado na Fig. 6-73 quando o ganho K e o parâmetro a variam, cada um deles, de zero a infinito. K s(s C(s) + 1) (.I' + (l) Fig. 6-69 Sistema de controle. B-6-16. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 6-70. Traçar os lugares das raízes quando a varia de a 00. Determinar o valor de a tal que o coeficiente de amortecimento dos pólos a malha fechada dominantes seja igual a 0,5. ° Fig. 6-73 Sistema de controle. B-6-20. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 6-74. Admitindo-se que o valor do ganho K varie de a 00, traçar os lugares das raízes quando K/i = 0,5. Esboçar, em seguida, o contorno das raízes para O::; K < e < Assinalar os pólos a malha fechada sobre o contorno das raízes quando K = 10 e K/i = 0,5. 00 °: ; ° 00. R(s) C(s) 6-70 Sistema de controle. B-6-17. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 6-7l. Traçar os lugares das raízes quando k varia de a 00. Que valor de k faz o coeficiente de amortecimento dos pólos a malha fechada dominantes ser igual a 0,5? Achar a constante de erro estático de velocidade para este valor de k. ° Fig. 6-74 Sistema de controle. Fig. 6-71 Sistema de controle. B-6-18. Traçar os lugares das raízes para o sistema mostrado na Fig. 6-72. Mostrar que o sistema pode se tornar instável para grandes valores de K. C(s) Fig. 6-72 Sistema de controle. Problemas 333 7 Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes 1 INTRODUÇÃO o objetivo principal deste capítulo é apresentar procedimentos para o projeto e a compensação de sistemas de controle invariantes no tempo, lineares, monovariáveis (uma entrada e uma saída). A compensação diz respeito a modificações da dinâmica do sistema, visando satisfazer a um dado conjunto de especificações. O enfoque de projeto e de compensação de sistemas de controle adotado neste capítulo é o do método do lugar das raízes. (Os enfoques de projeto e compensação de sistemas de controle via resposta de freqüência e representação no espaço de estados serão apresentados, respectivamente, nos Caps. 9 e 11.) Especificações de desempenho. Os sistemas de controle são projetados para permitir executar tarefas específicas. Os requisitos impostos aos sistemas de controle são, usualmente, designados como especificações de desempenho. Estes se relacionam, de um modo geral, a exatidão, estabilidade relativa e velocidade de resposta. Em problemas rotineiros de projeto, as especificações de desempenho podem ser dadas em termos de valores numéricos precisos. Em outros casos, elas podem ser fornecidas parcialmente através de valores numéricos precisos e parcialmente em termos de enunciados qualitativos. Neste último caso, pode ser necessário modificar as especificações ao longo do projeto em virtude de nunca poderem ser atingidas (devido a requisitos conflitantes) ou por conduzirem a sistemas muito dispendiosos. De um modo geral, as especificações de desempenho não deveriam ser mais apertadas que o necessário à execução da tarefa a que se destina. Se, num dado sistema de controle, o aspecto primordial for a exatidão na operação em regime permanente, não se deve, então, impor especificações de desempenho desnecessariamente rígidas sobre o regime transitório. Tais especificações iriam requerer a utilização de componentes dispendiosos. Deve-se lembrar que a etapa mais importante do projeto de sistemas de controle consiste em se estabelecerem precisamente as especificações de desempenho de modo que elas conduzam a um sistema de controle ótimo em relação a um dado objetivo. Compensação de sistemas. O ajuste de ganho é a primeira etapa na adequação de um sistema para um desempenho satisfatório. Contudo, em muitos casos práticos, somente o ajuste de ganho pode não prover as alterações de comportamento do sistema, necessárias para se atingirem as especificações dadas. Como é freqüentemente o caso, um aumento no valor do ganho melhora o comportamento em regime estacionário mas resulta em deficiência de estabilidade e mesmo em instabilidade. Torna-se, então, necessário reprojetar o sistema (modificando a estrutura ou incorporando dispositivos ou componentes adicionais) para alterar o comportamento, como um todo, de modo que o sistema se comporte como desejado. Um tal procedimento de reprojeto ou de adição de um dispositivo adequado é chamado de compensaçüo. Um dispositivo inserido no sistema com o propósito de satisfazer especificações é dito um compensador. O compensador contrabalança deficiências de desempenho do sistema original. Compensação em série e através de retroação (compensação em paralelo). As Figs. 7-1 (a) e (b) apresentam os esquemas de compensação comumente usados em sistemas de controle com retroação. A Fig. 7-1 (a) mostra a configuração onde o compensador Gc(s) é inserido em série com o processo a controlar. Este esquema é chamado de compensação em série. 334 (a) (b) 7-1 (a) Compensação em série; (b) compensação através de retroação ou em paralelo. Uma alternativa para a compensação em série é retornar o(s) sinal(is) a partir de algum(ns) elemento(s) e colocar o compensador no percurso interno de retroação resultante, como é mostrado na Fig. 7-1 (b). Tal compensação é chamada de compensação através de retroação ou compensação em paralelo. Ao se compensar sistemas de controle, constata-se que o problema se reduz ao projeto adequado de um compensador em série ou através de retroação. A escolha entre compensação em série e compensação através de retroação depende da natureza dos sinais no sistema, do nível de potência nos diversos pontos, dos componentes disponíveis, da experiência do projetista, de considerações econômicas, e assim por diante. De um modo geral, a compensação em série pode ser mais simples que a compensação através de retroação; contudo, a compensação em série requer, freqüentemente, amplificadores adicionais para aumentar o ganho e/ou propiciar isolamento. (Para evitar problemas de dissipação de potência, o compensador em série é inserido no ponto de menor nível de potência do percurso direto.) Note-se que, em geral, o número de componentes requeridos na compensação através de retroação é menor que o da compensação em série, desde que se disponha de um sinal adequado, tendo em vista que o fluxo de energia se dá do nível de potência mais alto para o mais baixo. (Isto significa que o uso de amplificadores adicionais pode não ser necessário.) Ao se discutir os compensadores, se usa, freqüentemente, termos como estrutura de avanço defase, estrutura de atraso de fase e estrutura de avanço-atraso de fase. Conforme foi estabelecido na Seção 5-9, se a uma excitação senoidal e; aplicada à entrada de uma estrutura corresponder uma resposta em regime estacionário e" (que também será senoidal) com um avanço de fase, então a estrutura é dita uma estrutura de avanço de fase. (Quanto, do avanço angular de fase, é função da freqüência do sinal de entrada.) Quando o sinal de saída e() em regime permanente possuir um atraso de fase, a estrutura é chamada de atraso de fase. Numa estrutura de atraso-avanço de fase podem ocorrer, no sinal de saída, ambos os tipos de atraso e de avanço de fase, porém em regiões diferentes de freqüências; o atraso de fase ocorre na região de baixas freqüências e o avanço de fase na região de altas freqüências. Um compensador com características de uma estrutura de avanço de fase, de atraso de fase ou de avanço-atraso de fase é chamado de compensador por avanço de fase, compensador por atraso de fase ou compensador por avanço-atraso de fase. Compensadores. Quando se necessita de um compensador para se alcançarem as especificações de desempenho, o projetista deve implementar um dispositivo físico que tenha a função de transferência prescrita para o compensador. Inúmeros dispositivos físicos têm sido usados com esta finalidade. Com efeito, pode-se encontrar na literatura muitas idéias brilhantes e úteis na construção física de compensadores. Dentre as muitas espécies de compensadores amplamente usados estão os compensadores de avanço de fase, de atraso de fase, de avanço-atraso de fase e os de retroação de velocidade (compensação tacométrica). Neste capítulo as discussões, em sua maioria, estarão limitadas a estes tipos. Os compensadores de avanço de fase, atraso de fase e avanço-atraso de fase podem ser implementados por meio de dispositivos eletrônicos (tais como circuitos com amplificadores operacionais), estruturas RC (elétricas, mecânicas, pneumáticas, hidráulicas ou uma combinação destes tipos) e amplificadores. No projeto real de um sistema de controle, a escolha pelo uso de um compensador eletrônico, pneumático ou hidráulico é uma questão que deve ser decidida, em parte, pela natureza do processo a controlar. Por exemplo, se o processo a controlar envolve fluidos inflamáveis, então a escolha recai sobre componentes pneumáticos (tanto o compensador quanto o atuador) a fim de se evitar a possibilidade de centelhas. Se, contudo, inexistirem riscos de incêndios, os compensadores Seção 7 -1 / Introdução 335 eletrônicos são os mais comumente usados. realidade, os sinais de natureza não-elétrica são transformados em sinais elétricos em virtude de sua maior simplicidade de transmissão, maior exatidão, maior confiabilidade, facilidade de comIJv'h)'-'lyWV, etc.) Procedimentos de Ao projetar sistemas de controle através da metodologia de tentativa e erro, estabelece-se um modelo matemático para o sistema e se ajustam os parâmetros do compensador. A parte que mais tempo consome neste trabalho consiste em verificar o desempenho do via análise, para cada um dos ajustes dos parâmetros. O n.-",ohC'j-" deve recorrer ao uso de um a fim de evitar a maior parte do esforço numérico necessário nesta Uma vez que se tenha obtido um modelo matemático o projetista deve construir um protótipo e testar o sistema a malha aberta. Se a estabilidade absoluta do sistema a malha fechada estiver assegurada, o projetista fecha a malha deSelm[lerlho do sistema a malha fechada resultante. Devido ao efeito de carga entre os componentes, às nãodistribuídos etc, que não foram levados em consideração no trabalho original de projeto, o diferirá, provavelmente, das predições teóricas. Assim, o primeiro projeto pode não satisfazer a todos os de desempenho. Através de ensaio e erro, o projetista deve efetuar modificações no protótipo até que o sistema atenda as especificações. Ao se fazer cada uma das tentativas deve ser analisada e os resultados incorporados para a tentativa seguinte. O deve certificar-se de que o sistema final alcance todas as especificações de confiável e económico. Nota-se que, ao se projetarem sistemas de controle métodos do lugar das raízes ou da resposta em freqüência, o resultado não é tendo em vista que a melhor ou a ótima, pode não ser precisamente definida se as esr)ec:ltlca<~oe~s forem dadas no domínio do tempo ou no domínio de freqüência. 7 -1 apresentou uma introdução à compensação de sistemas de controle. A Seção 7-2 para o de sistemas de controle segundo o enfoque do lugar das raízes. A Seção 7-3 trata de detalhes das técnicas de por avanço de fase baseadas no método do lugar das raízes. A Seção 7-4 '-'V'lUiJ''-'ll,'U.~''''''V por atraso de por meio do método do lugar das raízes. A Seção 7-5 apresenta as técnicas de por avanço-atraso de fase. São apresentadas também discussões detalhadas sobre o projeto de com[)enlsadores por avanço-atraso de fase. Ao se construir um sistema de sabe-se que modificações adequadas da dinâmica do processo a controlar podem ser uma forma de atender às de desempenho. contudo, não ser possível em muitas situonde o processo a controlar fixo e não possa ser modificado. então, realizar o ajuste de parâmetros outros que não os fixados no processo a controlar. ao longo deste que o processo a controlar seja dado de uma vez por todas e inalterável. Os de por passam a ser: melhorar o desempenho do sistema pela inserção de um vVll1IJvl"'<.-tyU.'-' de um sistema de controle se reduz ao projeto de um filtro cujas características tendem a compensar características indesejadas e inalteráveis do processo a controlar. As discussões serão limitadas aos controladores contínuos no tempo. Nas 7-3 a 7-5 serão os projetos de compensadores por avanço de fase, por atraserá colocado um compensador em série com a funso de fase e por avanço-atraso de fase. Em tais de transferência inalterável para se obter o comportamento O problema principal envolve, então, a escolha do para alterar o lugar das raízes (ou a resposta de fre- das raízes para o de sistemas de controle. O método do lugar das raízes é um para se determinar a de todos os pólos a malha fechada a partir do conhecimento da localizae zeros a malha aberta à medida que o valor de um parâmetro (usualmente o ganho) é variado de zero a infinito. O método conduz a uma clara dos efeitos do do parâmetro. Na o das raízes de um sistema pode indicar que não se pode o desempenho desejado unicamenno valor do Com efeito, em alguns casos, o sistema pode não ser estável para todos os valores de nJ, então, dar uma nova forma aos lugares das raízes para se atender às especificações de desemllV'-'-,' ,'LlLl um sistema de se for outro procedimento que não o ajuste de ganho, os lugares das devem ser modificados inserindo-se um compensador adequado. Uma vez que se tenha entendido plenaraízes mente os efeitos da de pólos e zeros sobre o lugar das raízes, determinar prontamente a localização does) do que o condicionamento da forma do lugar das raízes como desejado. Em método do das raízes os das raízes do sistema são submetidos a uma mudança de 336 Capítulo / Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes jw jw ()" (a) jw ()" ()" (b) (c) Fig. 7-2 (a) Gráfico do lugar das raízes de um sistema com um único pólo; (b) gráfico do lugar das raízes de um sistema com dois pólos; (c) gráfico do lugar das raízes de um sistema com três pólos. jw ()" (a) (b) jw ()" 7-3 (a) Gráfico do lugar das raízes de um sistema com três pólos; (b), (c) e (d) gráficos do lugar das raízes mostrando os efeitos da adição de um zero ao sistema com três pólos. (d) (c) forma através do uso de um compensador de modo que um par de pólos a malha fechada dominantes possa ser alocado na posição desejada. (Quase sempre são especificados o coeficiente de amortecimento e a freqüência natural não-amortecida de um par de pólos a malha fechada dominantes.) Efeitos da adição de pólos. A adição de um pólo à função de transferência a malha aberta tem por efeito puxar o lugar das raízes para a direita, tendendo a diminuir a estabilidade do sistema e a tornar mais lenta a acomodação da resposta. (Deve-se lembrar que a adição do controle integral acrescenta um pólo na origem, tornando, assim, o sistema menos estável.) A Fig. 7-2 mostra exemplos de lugares das raízes ilustrando os efeitos da adição de um pólo e de dois pólos a um sistema constituído de um único pólo. Efeitos da adição de zeros. A adição de um zero à função de transferência a malha aberta tem por efeito puxar o lugar das raízes para a esquerda, tendendo a tornar o sistema mais estável e mais rápida a acomodação da resposta. sicamente, a introdução de um zero na função de transferência do percurso direto significa a adição do controle derivativo ao sistema. O efeito de tal controle é a introdução de um certo grau de antecipação ao sistema e um aumento na rapidez da resposta transitória.) A Fig. 7-3(a) mostra os lugares das raízes de um sistema que é estável para pequenos valores de ganho e instável para valores grandes. As Figs. 7-3(b), (c) e (d) mostram os gráficos dos lugares das raízes quando se adiciona um zero à função de transferência a malha aberta. Note-se que, ao se acrescentar um zero ao sistema da Fig. 7-3(a), este se torna estável para todos os valores de ganho. COMPENSAÇÃO AVANÇO FASE Compensadores de avanço de fase. Há muitas formas de realizar compensadores de avanço de fase contínuos no tempo (ou analógicos), tais como por meio de circuitos eletrônicos com amplificadores operacionais, com circuitos elétricos RC e através de sistemas mecânicos mola-amortecedor. Os compensadores com amplificadores operacionais são freqüentemente usados na prática. (Ver o Cap. 5 para circuitos que utilizam amplificadores operacionais.) A Fig. 7-4 mostra um circuito eletrônico que utiliza amplificadores operacionais. A função de transferência deste circuito foi obtida no Cap. 5 como a seguir: Seção 7 -3 / Compensação por Avanço de Fase 337 E()(s) Fig. 7-4 Circuito eletrônico que é uma estrutura de avanço de fase quando R]C] > R2 C2 e que é uma estrutura de atraso de fase quando < R 2C2• R4 C I 1 s+-1 s+-- E/s) 1 s +T 1 s+T Ts + 1 aTs + 1 1) onde T RI aT R2C2, Kc RIC I R2 R4 RI a= Observe-se que C1 Este circuito tem um ganho estático de KJx = R 2R.+ / Constata-se, com base na Eq. (7-1), que a estrutura é um circuito de avanço de fase se R]C] > R2 C2 ou Q' < 1. É de atraso de fase se R]C] < R2 C2 . As configurações de pólos e zeros quando R]C] > R2 C2 e R]C] < R2C2 são mostradas, respectivamente, nas Figs. 7-5(a) e eb). Técnicas de compensação por avanço de fase baseadas no enfoque do lugar das raízes. O enfoque do lugar das raízes para projeto é muito potente quando as especificações são dadas em termos de grandezas no domínio do tempo tais como coeficiente de amortecimento e freqüência natural não-amortecida dos pólos a malha fechada dominantes que se deseja, valor máximo de ultrapassagem, tempo de subida e tempo de acomodação. Considere-se o problema de projeto no qual o sistema original seja instável ou estável, mas com características da resposta transitória indesejáveis. Em tais casos, uma modificação na forma do lugar das raízes se faz necessária nas vizinhanças do eixo jw e da origem de tal modo que os pólos a malha fechada dominantes sejam posicionados nos locais desejados do plano complexo. Este problema pode ser resolvido através da inserção de um compensador de avanço de fase apropriado em cascata com a função de transferência do percurso direto. jw jw (T (a) 338 Capítulo 7 / (T (b) 7-5 Configurações de pólos e zeros: (a) estrutura de avanço de fase; (b) estrutura de atraso de fase. Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes Fig. 7-6 Sistema de controle. Os procedimentos para se projetar um compensador de avanço de fase para o sistema mostrado na Fig. 7-6, por meio do método do lugar das raízes, podem ser enunciados da seguinte forma: 1. A partir das especificações de desempenho determina-se a posição desejada dos pólos a malha fechada dominantes. 2. Pelo desenho do lugar das raízes identifica-se se os pólos a malha fechada dominantes podem ser alocados nas posições desejadas ajustando-se apenas o ganho do sistema. Se isto não for possível, calcula-se a deficiência angular cp. Este ângulo deve ser acrescentado pelo compensador de avanço de fase se se desejar que o novo lugar das raízes passe nas posições desejadas para os pólos a malha fechada dominantes. 3. Admite-se que o compensador por avanço de fase Gc(s) seja da forma G (5') c ' = Ts + 1 K.a--(aTs + 1 1 T s +Kc 1 ' (O < a < 1) s+aT onde ex e T são determinados a partir do valor da deficiência angular. Kc é determinado a partir do requisito de ganho de malha aberta. 4. Se as constantes de erro estático não forem especificadas, determinam-se as posições do pólo e do zero do compensador de modo que a contribuição angular deste seja o valor do ângulo 4> necessário. Se nenhum outro requisito for imposto ao sistema, tenta-se fazer o valor de ex o maior possível. Um grande valor de ex resulta usualmente num valor elevado para K" o que é desejável. (Se for especificada uma constante de erro estático particular, é geralmente mais simples usar o enfoque da resposta de freqüência.) 5. Determina-se o ganho de malha aberta do sistema compensado pela condição de módulo. Uma vez que se tenha projetado o compensador, verifica-se se as especificações de desempenho foram alcançadas. Se o sistema compensado não atender às especificações de desempenho, repete-se então o procedimento de projeto ajustando-se o pólo e o zero do compensador até que tais especificações sejam alcançadas. Se for requerida uma constante de erro estático com valor elevado, acrescenta-se uma estrutura de atraso de fase em cascata ou se substitui o compensador por avanço de fase por um compensador de atraso-avanço de fase. Note-se que se os pólos a malha fechada escolhidos como dominantes não o forem realmente, será necessário modificar a localização do par de pólos a malha fechada dominantes selecionado. (Os outros pólos a malha fechada, que não os dominantes, modificam a resposta que se obtém quando se consideram apenas os pólos dominantes. O quanto é modificado depende da localização destes pólos a malha fechada restantes.) Além disso, os zeros a malha fechada afetam a resposta se estiverem localizados próximo da origem. EXEMPLO 7-1 Considere-se o sistema mostrado na Fig. 7-7(a). A função de transferência do percurso direto é G(s) 4 ses + 2) o gráfico do lugar das raízes deste sistema é mostrado na Fig. 7-7(b). A função de transferência a malha fechada se toma C(s) 4 4 R(s) (s Os pólos a malha fechada estão localizados em s = -1 2: jy'3 Seção 7 -3 / Compensação por Avanço de Fase 339 júJ j3 j2 Pólos a malha fechada jl Cí -jl C(s) -j2 -j3 Fig. 7-7 (a) Sistema de controle; (b) gráfico do lugar das raízes. (b) (a) o coeficiente de amortecimento dos pólos a malha fechada é 0,5. A freqüência natural não-amortecida dos pólos a malha fechada é 2 rad/s. A constante de erro estático de velocidade é 2 ç 1• Deseja-se modificar os pólos a malha fechada de modo a se obter uma freqüência natural não-amortecida w = 4 rad/s, sem modificar o valor do coeficiente de amortecimento, ç = 0,5. Convém lembrar que, no plano complexo, o coeficiente de amortecimento ç de um par de pólos complexos conjugados pode ser expresso em termos do ângulo 8, medido a partir do eixojw, como é mostrado na Fig. 7-8(a), com l1 ~ sen O Em outras palavras, as retas dos coeficientes de amortecimento ç constantes são retas radiais passando pela origem, como é mostrado na Fig. 7 -8(b). Por exemplo, um coeficiente de amortecimento de 0,5 requer que os pólos complexos estejam situados sobre retas passando pela origem e fazendo um ângulo de ±60° com o semieixo real negativo. (Se a parte real do par de pólos complexos for positiva, o que significa que o sistema é instável, o valor de ç correspondente é negativo.) O coeficiente de amortecimento determina a localização angular dos pólos, enquanto a distância do pólo à origem é determinada pela freqüência natural não-amortecida w No presente exemplo, as localizações desejadas para os pólos a malha fechada são l1 s • -2 Em alguns casos, após a obtenção dos lugares das raízes do sistema original é possível movimentar os pólos dominantes a malha fechada para as posições desejadas simplesmente por meio de um ajuste de ganho. Este não é, todavia, o caso no presente sistema. Em conseqüência, deve ser inserido um compensador de avanço de fase no percurso direto. Um procedimento geral para se determinar o compensador por avanço de fase é o seguinte: acha-se, primeiramente, a soma dos ângulos na posição desejada para um dos pólos a malha fechada, a partir dos pólos e zeros a malha aberta do sistema original, e se determina o ângulo cP necessário a ser acrescentado de modo que a soma total dos ângulos seja igual a ± 1800 (2k+ 1). O compensador de avanço de fase deve contribuir com este ângulo cP. (Se o ângulo cP for bastante grande, então podem ser necessárias duas ou mais estruturas de avanço de fase em vez de uma única.) jeu júJ 0.2 úJll «o ------------~~--~---~ O o Cí a «O x 0.2 (= (a) 340 Capítulo 7 / O (b) 7 -8 (a) Pólos complexos; (b) retas de coeficiente de amortecimento' constante. Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes Se o sistema original tiver uma função de transferência a malha aberta G(s), então o sistema compensado apresentará uma função de transferência a malha aberta igual a GJs)G(s) K' SI ( ~ G(5) aT onde s s 1 T 1 ' (O < a < 1) T Note-se que há muitos valores possíveis para Te a que conduzem à contribuição angular necessária nos pólos a malha fechada desejados. O próximo passo é determinar as localizações do pólo e do zero do compensador de avanço de fase. Há muitas possibilidades na escolha destas localizações. (Ver comentários ao final deste problema ilustrativo.) No que se segue, será apresentado um procedimento para se obter o maior valor possível de a. (Observe-se que um valor elevado de a produzirá um valor elevado de K, .. Na maioria dos casos, quanto maior o valor de K,., melhor o desempenho do sistema.) Traça-se, primeiramente, uma reta horizontal passando pelo ponto P, posição desejada para um dos pólos a malha fechada dominantes. Isto é mostrado pela reta PA, na Fig. 7-9. Traça-se, também, uma reta unindo o ponto P à origem. Traça-se a bissetriz do ângulo formado pelas retas PA e PO, conforme mostrado na Fig. 7-9. Constroem-se duas retas PC e PD fazendo ângulos de ±qy/2 com a bissetriz PB. As interseções de PC e PD com o semieixo real negativo dão as localizações necessárias para o pólo e o zero da estrutura de avanço de fase. O compensador assim projetado fará com que o ponto P esteja sobre o lugar das raízes do sistema compensado. O ganho de malha aberta será determinado pela condição de módulo. No presente sistema, o ângulo de G(s) na posição desejada para o pólo a malha fechada é -210 0 Assim, se é necessário forçar o lugar das raízes a passar pelo pólo a malha fechada que se quer, o compensador por avanço de fase deve contribuir com qy = 30° neste ponto. Seguindo-se o procedimento de projeto anteriormente estabelecido, determinam-se as posições do pólo e do zero do compensador, de acordo com o mostrado na Fig. 7-10, como sendo Zero em s = -2,9, Pólo em s = -5,4 p A - - - - - -.. c B D Fig. 7-9 Determinação do pólo e do zero da estrutura de avanço de fase. jw a 7-10 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado. Seção 7-3 / Compensação por Avanço de Fase 341 ou T Assim, a = - 1 aT 0,345, 2,9 = - 1 5,4 = 0,185 = 0,537. A função de transferência a malha aberta do sistema compensado se torna: s + 2,9 Gc(s)G(s) Kc-- ( s + 5,4 s s 4 ses 2) K(s + 2,9) 2)(s + 5,4) onde K = 4 Kc. O lugar das raízes para o sistema compensado está mostrado na Fig. 7-10. O ganho K é calculado a partir da condição de módulo como a seguir: com base no diagrama do lugar das raízes do sistema compensado mostrado na Fig. 7-10, o ganho K se obtém a partir da condição de módulo como sendo I K(s + 2,9) I 2)(s + 5,4) s=--2+j2 vr;; ses ou K = 18,7 Segue-se que GcCs)G(s) A constante Kc do compensador de avanço de fase é 18,7 4 K =-=468 c Portanto, Kca ' 2,51. Assim, o compensador por avanço de fase tem a função de transferência G\.(s) = 2,51 ° 0,345s + 1 18t: , .JS +1 4,68 = s s 5,4 Se for utilizado o circuito eletrônico com amplificadores operacionais mostrado na Fig. 7-4 para implementar o compensador de avanço de fase que acaba de ser projetado, então os valores dos parâmetros do compensador podem ser determinados a partir de E/s) R2 R4 RI CIs + 1 RIR." R2C2s + 1 = 2 SI 0,345s +1 0,185s 1 ,. como indicado na Fig. 7-11, onde se escolheu arbitrariamente C 1 = C2 10 IJ-F e R3 A constante de erTO estacionário de velocidade K,. é obtida a partir da expressão K\. = 10 kD. lim sGc(s)G(s) S-7() = lim S-7() = s18,7(s + 2,9) ses + 2)(s 5,4) 5,02 sec-1 EJs) Fig. 7-11 Compensador por avanço de fase. 342 Capítulo 7 / Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes Note-se que o terceiro pólo a malha fechada do sistema projetado é encontrado dividindo-se a equação característica pelos fatores conhecidos como a seguir: ses 2)(s 18,7(s S,4) 2,9) = (s j2y1j)(s + 2 2 j2y1j)(s + 3,4) o método de compensação precedente fornece um meio de se posicionar os pólos a malha fechada dominantes em pontos escolhidos do plano complexo. O terceiro pólo em s 3,4 está próximo do zero adicionado em s = -2,9. Em conseqüência, o efeito deste pólo na resposta transitória deve ser relativamente pequeno. Como nenhuma restrição foi imposta ao pólo não-dominante e nenhuma especificação foi dada com respeito ao valor da constante de erro estático de velocidade, conclui-se que o presente projeto é satisfatório. Comentários. Pode-se colocar o zero do compensador em s - 2 e o pólo em s = -4 de tal modo que a contribuição angular do compensador de avanço de fase seja de 30°. (Neste caso, o zero do compensador cancelará um pólo do processo a controlar, resultando num sistema de segunda ordem, em vez do sistema de terceira ordem como foi projetado anteriormente.) Pode-se ver que neste caso o valor de K,. é 4 ç I. Outras combinações que produzam 30° de avanço de fase podem ser escolhidas. (Para as diferentes combinações de um zero e de um pólo que contribuam com 30°, os valores de a serão diferentes e os valores de K,. também serão diferentes.) Embora se possa obter uma certa variação no valor de K,. alterando a posição do pólo e do zero do compensador de avanço de fase, se for desejado um aumento importante no valor de K,. deve-se substituir o compensador de avanço de fase por um compensador de atrasoavanço de fase. (Ver Seção 7-5 para compensação por atraso-avanço de fase.) Comparação das respostas ao degrau dos sistemas compensado e sem compensação. No que se segue serão examinadas, com o auxílio do MA TLAB, as respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e sem compensação. A função de transferência a malha fechada do sistema compensado é 2,9) 18,7(s + 2,9) R(s) Portanto, numc=[O denc = [1 O 7.4 18.7 29.5 54.23] 54.23] Para o sistema sem compensação, a função de transferência a malha fechada é 4 + 2s +4 Assim, num [O den = [1 O 4] 2 4] O Programa MA TLAB 7-1 produz as curvas de resposta ao degrau unitário dos dois sistemas. O gráfico resultante é mostrado na Fig. 7-12. Programa MATLAB 7-1 %---------- resposta ao degrau unitário ---------%*****Respostas ao degrau unitário dos sistemas compen%sado e sem compensação***** numc = [O O 18.7 54.23]; denc = [1 7.4 29.5 54.23]; num = [O O 4J; den = [1 2 4]; t = 0:0.05:5; [c1,xl,t] = step(numc,denc,t); [c2,x2,t] = step(num,den,t); plot(t,cl ,t,c1,'o',t,c2,t,c2, !x~ grid title('Respostas ao Degrau Unitário dos Sistemas Compensado e Sem xlabeWt s~ ylabel( ISinais de saída c1 e c2 ~ text(0.6,l.32,'Sistema compensado~ text(1.3,O.68,'Sistema não-compensado~ Seção 7-3 / Compensação por Avanço de Fase Compensação~ 343 Respostas ao Degrau Unitário de Sistemas Compensado e sem Compensação 1A ,----,~--,r-----,~----,-~---,--___,_-__r-__r-__,_-__, 1.2 N '-.l V '-.l ~ 0,8 :g ~ r:/J v "O 0.6 v; 'e;:; c (/3 0.4 0.2 0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t s Fig. 7-12 Respostas ao degrau unitário de sistemas compensado e sem compensação. 7-4 COMPENSAÇÃO POR ATRASO DE FASE Compensador por atraso de fase eletrônico usando amplificadores operacionais. A configuração do compensador de atraso de fase eletrônico usando amplificadores operacionais é a mesma que a do compensador por avanço de fase mostrada na Fig. 7-4. Escolhendo-seR 2 C2 > RjC j no circuito mostrado na Fig. 7-4, este se torna um compensador por atraso de fase. Com base na Fig. 7-4, a função de transferência do compensador por atraso de fase é dada por ~ Ts + 1 ~ ( ) = Kc(3 (3 Ei S Ts + 1 ~ Kc 5 1 +T 1 5+(3T onde Note-se que foi utilizado f3 no lugar de C\' nas expressões acima. [No compensador por avanço de fase foi usado C\' para indicar a relação R2 Ci(R j CJ, que era inferior a 1, ou O < C\' < 1.] Neste capítulo será sempre admitido que O < C\' < 1 e f3 > 1. Técnicas de compensação por atraso de fase baseadas no enfoque do lugar das raízes. Considere-se o problema de encontrar uma estrutura de compensação adequada para o caso em que o sistema apresente resposta transitória com características satisfatórias mas cujo comportamento em regime estacionário seja insatisfatório. A compensação, neste caso, consiste essencialmente em aumentar o ganho a malha aberta sem mudar apreciavelmente as características da resposta transitória. Isto significa que o lugar das raízes nas proximidades dos pólos dominantes não deve mudar sensivelmente, mas que o ganho a malha aberta deve ser aumentado tanto quanto o necessário. Isto pode ser alcançado colocando-se um compensador de atraso de fase em cascata com a função de transferência do percurso direto no sistema dado. Para evitar uma mudança considerável nos lugares das raízes, a contribuição angular da estrutura de atraso de fase deve ser limitada a um valor pequeno, digamos 5°. Para que isto seja assegurado, o pólo e o zero da estrutura de atraso de fase são colocados juntos e próximos da origem do plano s. Então, os pólos a malha fechada do sistema compensado serão deslocados apenas ligeiramente de suas posições originais. Assim, as características da resposta transitória serão mudadas somente um pouco. Considere-se um compensador por atraso de fase GJs), onde 1 Ts + 1 -(3-T-s-+-1 = 5 Capítulo 7 / T Kc --15 344 ++(3T Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes Se o pólo e o zero do compensador por atraso e fase forem colocados muito próximo um do outro, então em s = SI' onde é um dos pólos a malha fechada dominantes, os módulos de SI + (l/T) e SI + [l/(f3T)] são aproximadamente iguais, ou seja SI í 1). Se o pólo e o zero forem posicionados bastante próximo da origem, então o valor de 13 pode ser aumentado. (Pode ser usado um valor alto para 13, desde que seja possível a implementação física do compensador por atraso de fase.) Observe-se que o valor de T deve ser grande, mas o seu valor exato não é crítico. Contudo, este valor não deve ser exageradamente alto a fim de evitar dificuldades de realização do compensador por atraso de fase, por conta dos componentes físicos. Um aumento no ganho significa um aumento nas constantes de erro estático. Se a função de transferência a malha aberta de um sistema não-compensado for G(s), então a constante de erro estático de velocidade K, do sistema não-compensado é = lim sG(s) .1'-70 Escolhendo-se o compensador conforme é dado pela Eq. (7-2), então, para o sistema compensado com função de transferência a malha aberta Gc(s)G(s), a constante de erro estático de velocidade K, se torna Kv = lim sGJs)G(s) .1'-70 = lim Gc(s)KJ' .1'-70 = KJ3Kv Assim, se o compensador é dado pelaEq. (7-2), então a constante de erro estático de velocidade é aumentada de um fator onde Ke é aproximadamente igual à unidade. Kef3, Procedimentos de projeto de compensação por atraso de fase através do método do lugar das raízes. Os procedimentos para se projetar um compensador de atraso de fase para o sistema mostrado na Fig. 7-13 por meio do método do lugar das raízes pode ser enunciado da seguinte forma (admite-se que o sistema não-compensado atende às especificações de regime transitório mediante simples ajuste de ganho; se este não for o caso, é necessário referir-se à Seção 7-5): 1. Constrói-se o lugar das raízes para o sistema não-compensado cuja função de transferência a malha aberta é G(s). Com base nas especificações da resposta transitória, localizam-se, sobre o lugar das raízes, os pólos dominantes a malha fechada. 2. Admite-se que a função de transferência do compensador por atraso de fase seja s + 1 T 1 s+Então a função de transferência a malha aberta do sistema compensado se torna Gls)G(s). 3. Calcula-se o valor da constante de erro estático particular especificada no problema. 4. Determina-se o acréscimo no valor da constante de erro estático necessário para se atender às especificações. 5. Determinam-se o pólo e o zero do compensador por atraso de fase que produzam o aumento no valor da constante de erro estático particular, sem alterar significativamente os lugares das raízes. (Note-se que a relação entre o valor de ganho Fig. 7-13 Sistema de controle. Seção 7 -4 / Compensação por Atraso de Fase 345 requerido pelas especificações e o valor de ganho encontrado no sistema sem compensação é a relação requerida entre as distâncias do zero à origem e do pólo à origem.) 6. Traça-se o novo diagrama de lugar das raízes para o sistema compensado. Localizam-se, sobre o lugar das raízes, os pólos a malha fechada dominantes nas posições desejadas. (Se a contribuição angular do compensador por atraso de fase for pequena, isto é, uns poucos graus, então os lugares das raízes originais e os novos serão quase idênticos. Em caso contrário, haverá uma pequena discrepância entre eles. Localizam-se, então, sobre o novo lugar das raízes, os pólos a malha fechada dominantes desejados com base nas especificações de regime transitório da resposta.) 7. Ajusta-se o ganho Ke do compensador a partir da condição de módulo de modo que os pólos a malha fechada dominantes estejam na posição desejada. EXEMPLO 7-2 Considere-se o sistema mostrado na Fig. 7 -14( a). A função de transferência do percurso direto é C(s) = 1,06 ses + 1)(s 2) o gráfico do lugar das raízes deste sistema está mostrado na Fig. 7 -14(b). A função de transferência a malha fechada se torna R(s) (s 0,3307 jO,5864)(s + 0,3307 + jO,5864 )(5 + 2,3386) Os pólos a malha fechada dominantes são s - 0,3307 jO,5864 O coeficiente de amortecimento dos pólos a malha fechada dominantes é C 0,491. A freqüência natural não-amortecida dos pólos a malha fechada dominantes é 0,673 rad/s. A constante de erro estático de velocidade é 0, 53 ç 1. Deseja-se aumentar a constante de erro estático de velocidade K, para algo em torno de 5 ç 1 sem introduzir modificações apreciáveis na localização dos pólos a malha fechada dominantes. Para atender a esta especificação, vai-se inserir um compensador por atraso de fase definido pela Eq. (7-2) em cascata com a função de transferência do percurso direto do sistema dado. Para aumentar a constante de erro estático de velocidade de um fator em torno de 10, escolhe-se f3 = 10 e colocam-se o zero e o pólo do compensador por atraso de fase, respectivamente, em 5 -0,05 e s = -0,005. A função de transferência do compensador por atraso de fase se torna 5 5 0,05 0,005 A contribuição angular desta estrutura de atraso de fase próximo de um pólo a malha fechada dominante é de cerca de 4°. Como esta contribuição angular não é muito pequena, haverá uma pequena modificação no novo lugar das raízes, nas proximidades dos pólos a malha fechada dominantes desejados. jw )2 a (a) 346 Capítulo 7 / (b) Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes Fig. 7-14 (a) Sistema de controle: (b) gráfico do lugar das raízes. A função de transferência a malha aberta do sistema compensado se torna Gc(s)G(s) onde K 1,061(. o diagrama de blocos do sistema compensado é mostrado na Fig. 7-15(a). O gráfico do lugar das raízes nas proximidades dos pólos a malha fechada dominantes é mostrado na Fig. 7 -15(b), juntamente com o gráfico do lugar das raízes original. A Fig. 7 -15( c) mostra o 1,06 ses + 1) (s + 2) (a) Gráficos do Lugar das Raízes dos Sistemas Compensado e sem Compensação 1,5 .§ 0.5 ,~ c '51 ~ .5 O o x -0.5 ü3 -I -1.5 -2.5 Eixo real (b) Gráficos do Lugar das Raízes do Sistema Compensado nas Proximidades da Origem 0.5 0.4 0.3 0.2 .§ ,~ c 'õD ~ .§ 0.1 O o -0.1 x ü3 -0.2 -0.3 -0.4 -0,5 -0.4 -0.2 0.2 Eixo real Cc) Fig. 7-15 (a) Sistema compensado; (b) gráficos do lugar das raízes dos sistemas compensado e sem compensação; (c) gráfico do lugar das raízes do sistema compensado, nas proximidades da origem, Seção 7-4 / Compensação por Atraso de Fase 347 gráfico do lugar das raízes do sistema compensado nas proximidades da origem. Um programa em MATLAB destinado a gerar os gráficos dos lugares das raízes mostrados nas 7-15(b) e (c) é dado através do Programa MATLAB 7-2. Se o coeficiente de amortecimento dos novos pólos a malha fechada dominantes deve ser mantido o mesmo, então os pólos são obtidos a partir do gráfico do novo lugar das raízes como se segue: -0,31 Programa MA TLAB 7-2 %---------- Gráfico do Lugar das Raízes ---------%*****Gráficos do lugar das raízes dos sistemas compen% sado e sem compensação***** %*****Entrar com os numeradores e denominadores dos % sistemas compensado e sem compensação***** 0.05]; numc = [O O O denc = [1 3.005 2.015 0.01 O]; num = [O O O 1.06]; den = [1 3 2 O]; %*****Entrar com o comando rlocus. % lugares das raízes de ambos os os gráficos dos rlocus(numc,denc) hold Current plot held rlocus(num,den) v [-3 1 -2 2J; axis(v); grid text( -2,8,0.2, 'Sistema compensado} text(-2.8,l.2, ISistema não-compensado} text( -2.8,0.58, IPólo a malha fechada original) text( -0.1 ,0.85, Novo pólo} text( -0.1,0.62, la malha fechada) title(/Gráficos do Lugar das Raízes de Sistemas Compensado e Sem Compensação) hold Current plot released das raízes do sistema compensado rlocus(numc,denc) v [-0.6 0.6 -0.6 0.6J; grid title( IGráfico do Lugar das Raízes do Sistema Compensado Próximo à Origem} o ganho a malha aberta K é +jO. 'i " = Então o ganho K, 1.0235 do compensador por atraso de fase é determinado como 1,06 1,06 = 0.9656 Assim, a função de transferência do compensador por atraso de fase projetado é 96')6 205 + 1 ,. 2005 1 348 Capítulo 7 / Projeto de Sistemas Controle pelo Método Lugar das Raízes Então o sistema compensado tem a seguinte função de transferência a malha aberta: 1) A constante de erro estacionário de velocidade K,. é lim 5,12 sec (s) 1 s-:>() No sistema compensado, a constante de erro estacionário de velocidade aumentou para 5, 12 s J, ou seja, 5,12/0,53 = 9,66 vezes o valor original. (O erro estacionário a uma excitação em rampa decresceu para aproximadamente 10% do valor do erro do sistema original). Foi atingido assim o objetivo do projeto de aumentar a constante de erro estacionário de velocidade para cerca de 5 çJ. Observe-se que, como o pólo e o zero do compensador por atraso de fase foram colocados junto um do outro e muito próximo à origem, seus efeitos sobre a forma dos lugares das raízes originais foram muito pequenos. Exceto pela presença de um pequeno lugar das raízes fechado perto da origem, os lugares das raízes do sistema compensado e sem compensação são muito similares um ao outro. Contudo, o valor da constante de erro estacionário de velocidade do sistema compensado é 9,66 vezes superior ao valor desta constante no sistema sem compensação. Os dois outros pólos a malha fechada para o sistema compensado são encontrados como: -2,326, -0,0549 S4 A inclusão do compensador por atraso de fase aumenta a ordem do sistema de 3 para 4, acrescentando um pólo a malha fechada adicional ao zero do compensador por atraso de fase. (O pólo a malha fechada acrescentado em s = -0,0549 fica próximo do zero em s = -0,05). Tal par de zero e pólo dá origem a uma espécie de cauda alongada de pequena amplitude na resposta transitória, como será visto adiante na resposta ao degrau unitário. Uma vez que o pólo em s -2,326 está bastante afastado do eixojw em comparação com os pólos a malha fechada dominantes, o efeito deste pólo sobre o regime transitório é também pequeno. Em conseqüência, os pólos a malha fechada situados em s = -0,31 ± jO,55 podem ser considerados os pólos a malha fechada dominantes. A freqüência natural não-amortecida dos pólos a malha fechada dominantes é 0,631 rad/s. Este valor é cerca de 6% inferior ao valor original de 0,673 rad/s. Isto implica que a resposta transitória do sistema compensado seja mais lenta que a do sistema original. Resultará um maior tempo para a acomodação. O valor máximo de ultrapassagem na resposta ao degrau unitário será aumentado no sistema compensado. Se tais efeitos adversos puderem ser tolerados, o compensador por atraso de fase, como foi discutido aqui, apresenta uma solução satisfatória ao problema de projeto proposto. Em seguida, iremos comparar a resposta a uma rampa unitária do sistema compensado contra a resposta do sistema não-compensado e constatar que o desempenho em regime permanente é muito melhor no sistema compensado que no sistema não-compensado. Para se obter a resposta à rampa unitária com o MATLAB, utiliza-se o comando step para o sistema C(s) l[sR(s)]. Como C(s) I lsR( s) Jpara o sistema compensado é C(s) sR(s) tem-se numc denc [O [1 O O O 1.0235 0.0512] 3.005 2.015 1.0335 0.0512 O] Além disso, C(s) l[sR( s)] para o sistema não-compensado é 1,06] 1.06s Portanto, num = [O [1 den O 3 O 2 1.06] 1.06 O] O O Programa MATLAB 7-3 produz os gráficos das curvas de resposta a uma excitação em rampa unitária. A Fig. 7-16 mostra o resultado. Obviamente, o sistema compensado exibe um erro de regime estacionário muito menor (um décimo do erro estacionário original) ao seguir uma excitação em rampa unitária. Seção 7 -4 / Compensação por Atraso de Fase 349 Programa MATLAB 7-3 %---------- Resposta a uma excitação em rampa unitária ---------%*****Respostas a uma excitação em rampa unitária de um %sistema compensado e de um sistema sem compensação***** %*****A resposta à rampa unitária será obtida a partir da %resposta ao degrau unitário de C(s)/[sR(s)]***** %*****Entrar com os numeradores e denominadores de % C1 (s)/[sR(s)] e C2(s)/[sR(s)L onde C1 (s)e C2(s)são as %transformadas de Laplace dos sinais de saída dos %sistemas compensado e sem compensação,respectivamen- °/ote***** numc = [O O O O 1.0235 0.0512]; denc = [1 3.005 2.015 1.0335 0.0512 num = [O O O O 1.06]; den = [1 3 2 1.06 O]; O]; %*****Especificar a faixa de valores de tempo (tal como %t = 0:0.1 :50) e entrar com os comandos step e plot. ***** t = 0:0.1 :50; [cl/xl,tJ = step(numc,denc,t); [c2,x2,t1 = step(num,den,t); plot(t,c1,'-',t,c2,1.',t,t,'--') grid text(2.2,27, 'Sistema compensado'); text(26,21.3, 'Sistema não-compensado') title( 'Respostas à Rampa Unitária de Sistemas Compensado e Sem Compensação ') xlabel('t s'); ylabel( 'Sinais de saída cl e c2 ') Programa MATLAB 7-4 %---------- Resposta a uma excitação em degrau unitário ---------%*****Respostas a uma excitação em degrau unitário de um %sistema compensado e de um sistema sem compensação***** %*****Entrar com os numeradores e denominadores dos %sistemas compensado e sem compensação***** numc = [O O O 1.0235 0.0512]; denc [1 3.005 2.015 1.0335 0.0512]; num = [O O O 1.06]; den = [1 3 2 1.06]; %*****Especificar a faixa de valores de tempo (tal como %t = 0:0.1 :40) e entrar com os comandos step e plot. ***** t = 0:0.1 :40; [cl,x1,t] = step(numc,denc,t); [c2,x2,t] = step(num,den,t); plot(t,cl ,'-',t,c2,', ') grid text(13,l.12, 'Sistema compensado} text(13.6,O.88,/Sistema não-compensado') title( 'Resposta ao Degrau Unitário de Sistemas Compensado e Sem Compensação ') xlabel('t s'); ylabel( 'Sinais de saída cl e c2 ') 350 Capítulo 7 / Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes Respostas à Rampa Unitária de Sistemas Compensado e sem Compensação 50 45 40 N '-' 35 (l) '" '" ;9 :-:s C/) 30 25 (l) -o v: 20 '"c:: (/3 15 lO 5 5 1O 15 20 25 30 35 40 45 50 ts Fig. 7-16 Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e sem compensação. Respostas ao Degrau Unitário dos Sistemas Compensado e sem Compensação 1.4 r---,---,--------,----,-----------,---.,-------,------, 1.2 ~ 0.8 -o '; C/) ..g 0.6 'l: 2 (/3 0.4 0.2 5 10 15 20 25 rs 30 35 40 Fig. 7-17 Gráfico do lugar das raízes. o Programa MATLAB 7-4 fornece as curvas da resposta a um degrau unitário dos sistemas compensado e sem compensaç~o. As curvas das respostas ao degrau unitário são mostradas na Fig. 7-17. Observe-se que o sistema compensado por atraso de fase apresenta um valor de ultrapassagem máxima superior e uma resposta mais lenta que o sistema original não-compensado. Note-se que o par de -0,0549 e pelo zero em s = -0,05 geram um efeito de cauda de pequena amplitude na resposta raízes constituído pelo pólo em s transitória. Se o valor máximo de ultrapassagem superior e a resposta mais lenta não forem desejados, torna-se necessário utilizar um compensador por avanço-atraso de fase, como apresentado na Seção 7-5. COMPENSAÇÃO E A compensação por avanço de fase basicamente torna a resposta mais rápida e aumenta a estabilidade do sistema. A compensação por atraso de fase melhora a exatidão do sistema em regime estacionário, mas reduz a velocidade de resposta. Quando se deseja melhorar ao mesmo tempo a resposta transitória e o regime estacionário, então ambos os compensadores de avanço e de atraso de fase devem ser usados simultaneamente. Contudo, em vez de introduzir ambos os compensadores de avanço e de atraso de fase como elementos separados, é económico utilizar-se um único compensador com as características de avanço e de atraso de fase. A compensação por atraso e avanço de fase combina as vantagens das compensações específicas por atraso de fase e por avanço de fase. Uma vez que o compensador por atraso e avanço de fase possui dois pólos e dois zeros, este tipo de compensação aumenta a ordem do sistema em duas unidades, a menos que ocorra o cancelamento de pólo (s) ou de zero (s) no sistema compensado. Seção 7-5 / Compensação por Atraso e Avanço de Fase 351 Rs E(s) Estrutura de avanço e de atraso de fase EoCs) Fig. 7-18 Compensador por atraso e avanço de fase. Inversor de sinal Compensador por atraso e avanço de fase eletrônico usando amplificadores operacionais. A Fig. 7-18 mostra um compensador por atraso e avanço de fase eletrônico usando amplificadores operacionais. A função de transferência deste compensador pode ser obtida como a seguir: a impedância complexa ZI é dada por 1 1 ----+1 R:~) ou (R 1C 1S + 1)R 3 (R] + R?,)C 1s + 1 De modo semelhante, a impedância complexa Z2 é dada por Tem-se, assim, _ R4 (R] R3 + R3)C]s R]C]s + 1 1 +1 (R 2 + R4 )C2S + 1 o inversor de sinal tem por função de transferência E{)(s) E(s) _ R6 Rs Por conseguinte, a função de transferência do compensador mostrado na Fig. 7-18 é (7-3) Sejam, por definição, Então a Eq. (7-3) se torna Eo(s) Els) 352 Capítulo 7 / Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes (7-4) onde _ R2 R 4 R 6 RI R3 R R RI 3 S + R4 Observe-se que freqüentemente se escolhe f3 igual a y. Técnicas de compensação por atraso e avanço de fase baseadas no enfoque do lugar das raizes. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 7-19. Admita-se o uso do compensador por atraso e avanço de fase: onde f3 > 1 e y> 1. (Considere-se Kc pertencendo à parte de avanço de fase do compensador por atraso e avanço de fase.) No projeto de compensadores por atraso e avanço de fase, consideram-se dois casos: f3 e y f3. Caso 1. y ::/= f3. Neste caso, o procedimento de projeto é uma combinação do projeto de um compensador por avanço com o de um compensador por atraso de fase. O procedimento de projeto é o seguinte: 1. A partir das especificações de desempenho fornecidas, determina-se a posição desejada dos pólos a malha fechada dominantes. 2. Usando-se a função de transferência a malha aberta G( s) do sistema não-compensado, determina-se a deficiência angular qy para que os pólos dominantes estejam na posição desejada. A parte de avanço de fase do compensador deve contribuir com este ângulo qy. 3. Admitindo-se que adiante será escolhido o valor de T2 suficientemente alto de modo que o módulo da parte de atraso de fase 1 5;1 SI seja aproximadamente igual à unidade, onde do requisito S SI ++ é um dos pólos dominantes, escolhem-se os valores de TI e ya partir -----"-=cp A escolha de TI e y não é única. (Há um número infinito de conjuntos de valores possíveis para TI e y.) Determina-se, em seguida, o valor de Kc a partir da condição de módulo: 1 T 1 C(SI) SI + SI +L Kc = 1 TI Fig. 7-19 Sistema de controle. Seção 7-5 / Compensação por Atraso e Avanço de Fase 353 4. Se a constante de erro estático de velocidade K\, é especificada, determina-se o valor de (3 que satisfaz o requisito de K,. A constante de erro estático de velocidade K, é dada por Kv = lim sGJs)G(s) S--ó>O s +- T1 ) = lim sKc ___ 1 S--ó>O S y +TI = lim sKc ~ G(s) y S--ó>O onde Kc e y já foram determinados na etapa 3. Portanto, dado o valor de K" o valor de {3 pode ser obtido a partir desta última equação. Em seguida, usando-se este valor de {3, escolhe-se o valor de T2 tal que (O procedimento de projeto acima é ilustrado no Exemplo 7-3.) Caso 2. y = {3. Se for requerido y = {3 na Eq. (7-5), então o procedimento de projeto anteriormente descrito deve ser modificado como a seguir: 1. A partir das especificações de desempenho fornecidas, determina-se a posição desejada dos pólos a malha fechada dominantes. 2. O compensador por atraso e avanço de fase dado pela Eq. (7-5) é modificado para (7-6) onde (3 > l. A função de transferência a malha aberta do sistema compensado é GcCs)G(s). Se a constante de erro estático de velocidade K, é especificada, determina-se o valor de Kc a partir da seguinte equação: Kl' lim sGc(s)G(s) S--ó>O = lim sKcG(s) S--ó>O 3. Calcula-se a contribuição angular cP que necessita ser fornecida pela parte de avanço de fase do compensador para que os pólos a malha fechada dominantes fiquem posicionados de acordo com o desejado. 4. Admite-se que adiante o valor de T2 será escolhido suficientemente alto de modo que o módulo da parte de atraso de fase 1 354 Capítulo 7 / S1 +- s1 +- 1 (3T2 Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes seja aproximadamente unitária, sendo S = SI um dos pólos a malha fechada dominantes. Determinam-se os valores de e {3 a partir das condições de módulo e de ângulo: TI 5. Utilizando-se o valor de {3 que acaba de ser determinado, escolhe-se T2 tal que 1 1 Para poder ser fisicamente realizável, o valor de {3T2, a maior constante de tempo do compensador de atraso e avanço de fase, não deverá ser muito grande. (Um exemplo de projeto de compensador de atraso e avanço de fase, onde y = (3, é dado no Exemplo 7-4.) EXEMPLO 7-3 Considere-se o sistema de controle mostrado na Fig. 7-20. A função de transferência do percurso direto é C(S) 4 = ( s s 0,5) Este sistema possui pólos a malha fechada em s = -0,2500 ± jl ,9843 o coeficiente de amortecimento é 0,125, a freqüência natural não-amortecida é 2 radls e a constante de erro estático de velocidade é 8 s- I Deseja-se fazer o coeficiente de amortecimento dos pólos a malha fechada dominantes igual a 0,5 e aumentar a freqüência natural não-amortecida para 5 radls e a constante de erro estático de velocidade para 80 ç I. Projetar um compensador adequado para atender a todas as especificações de desempenho. Admita-se que será usado um compensador de atraso e avanço de fase que tem a função de transferência (y>l,t1>l) ~~4 ~ Seção 7 -5 / Compensação por Atraso e Avanço de Fase Fig. 7-20 Sistema de controle. 355 onde 'Ye f3 são diferentes. Então, o sistema compensado terá uma função de transferência K( _s Cc(s)C(s) S _~) _S_+_~-=-2) +- Ti s C(s) (3T2 Com base nas especificações de desempenho, os pólos dominantes a malha fechada devem estar em s -2,50 ± j4,33 Como a porção de avanço de fase do compensador deve contribuir com 55° de modo que o lugar das raízes passe na localização desejada para os pólos a malha fechada dominantes. Para projetar a parte relativa ao adiantamento de fase do compensador, determina-se primeiramente a posição do zero e do pólo que forneça uma contribuição de 55°. Há muitas escolhas possíveis, mas aqui será escolhido o zero em 5 = -0,5 de modo que este zero cancele o pólo do processo a controlar em s = -0,5. Uma vez fixado este zero, pode-se localizar o pólo de modo que a contribuição angular seja 55°. Através de cálculos simples ou de uma análise gráfica obtém-se que o pólo deve estar em s = - 5,021. Por conseguinte, a parte referente ao avanço de fase do compensador de atraso e avanço de fase se torna s T Kc _s_ _ 0,,-5_ s 5,021 K - - -1 ( s ..L Assim, y 5,021 0,5 1004 ' = Determina-se, em seguida, o valor de Kc a partir da condição de módulo: Por conseguinte, A parte do compensador referente ao atraso de fase pode ser projetada como a seguir. Determina-se primeiro que o valor de o requisito de constante de erro estático de velocidade: K\, = lim sKc fi C(s) s--'>o y lim sCc(s)C(s) s--'>o . ( 4 hm s 6,26) 10,04 s(s + 0,5) Assim, = 4,988(3 f3 é determinado como (3 = 16,04 Finalmente, escolhe-se o valor de T2 suficientemente alto de modo a se ter 5 =?= s 356 Capítulo 7 / 16,04T2 1 s=-2.5+j4,:;:; Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes = 80 f3 satisfaça e 1 s+--'---_ _1_6_,O_4_T-.:2"-. s = ~ 2,'Õ + )4,:'-' Como T 2 ~ 5 (ou qualquer valor superior a 5) satisfaz ambos os requisitos, pode-se escolher A função de transferência do compensador de atraso e avanço de fase projetado é dada por Gc(s) = (6,26) 1) o sistema compensado terá a função de transferência a malha aberta GJs)G(s) = ( ss Por causa do cancelamento dos termos (s + 0,5), o sistema compensado é de terceira ordem, (Matematicamente, este cancelamento é exato; mas na prática tal cancelamento não será exato tendo em vista que algumas aproximações são habitualmente envolvidas ao se obter o modelo matemático de sistemas e, como resultado disto, as constantes de tempo não são precisas.) O gráfico do lugar das raízes do sistema compensado é mostrado na Fig. 7-21(a). Uma vista ampliada do lugar das raízes nas proximidades da origem é mostrada na Fig. 7-21 (b). Devido à contribuição angular de atraso de fase do compensador de atraso e avanço ser bastante pequena, há somente uma pequena variação na localização dos pólos a malha fechada dominantes que se deseja ter em s = -2,5 ± j4,33. Com efeito, os novos pólos a malha fechada estão localizados em s = -2,4123 ± j4,2756. (O novo coeficiente de amortecimento é ç = 0,49l.) Por conseguinte, o sistema compensado atende a todas as especificações de desempenho requeridas. O terceiro pólo a malha fechada do sistema Gráfico do Lugar das Raízes do Sistema Compensado Gráfico do Lugar das Raízes do Sistema Compensado nas Proximidades da Origem 10 0,25 8 02 6 0,15 4 .S ,ac 2 :-:I O '51 .§ o >< üJ ,g ,~ c "51 :-:I .§ o ~2 >< üJ -4 0.1 0.05 O -0.05 -0.1 -0.15 -6 -0.2 -8 -0.25 -10 -10 -5 O 5 Eixo Real (a) -0.5 -0.4 -0.3 -02 -0.1 O Eixo Real (b) 7-21 (a) Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado; (b) gráfico do lugar das raízes do sistema nas proximidades da origem. Seção 7-5 / Compensação por Atraso e Avanço de Fase 357 Respostas ao Degrau Unitário dos Sistemas Compensado e sem Compensação 1.8 Respostas à Rampa Unitária dos Sistemas Compensado e sem Compensação 10 ,----,----,--,..----,-------r--,-----,-----, Erro estacionário do sistema compensado = 0,0125 Erro estacionário do sistema não-compensado =0,125 9 1,6 8 IA 7 1.2 0:1 :-2:"O 6 V) 0 "D Vé 0,8 :"O C Vi 0,6 5 4 '") -) 0,4 "Sistema não-compensado Sistema 2 0,2 2 '") .) 4 5 6 °0 8 7 4 2 5 6 7 8 9 10 t s ts (a) (b) Fig. 7-22 Curvas de resposta transitória para os sistemas compensado e sem compensação. (a) Curvas de resposta ao degrau unitário; (b) curvas de resposta à rampa unitária. compensado está situado em s -0,2078. Como este pólo a malha fechada está muito próximo do zero em s = -0,2, o efeito deste pólo na resposta é muito pequeno. (Note-se que, em geral, se um pólo e um zero ficam próximos entre si sobre o semi-eixo real negativo e perto da origem, então uma tal combinação pólo-zero conduzirá a uma espécie de cauda de pequena amplitude na resposta transitória.) As curvas de resposta ao degrau unitário antes e depois da compensação são mostradas na Fig. 7-22. EXEMPLO 7-4 Considere-se o sistema de controle do Exemplo 7-3. Admita-se que seja utilizado um compensador de atraso e de avanço de fase sob a forma dada pela Eq. (7-6), ou seja ((3 > 1) Admitindo-se que as especificações sejam as mesmas dadas no Exemplo 7-3, projetar o compensador Gc(s). A localização desejada para os pólos a malha fechada dominantes é s = -2,50 ::!:: j4,33 A função de transferência a malha aberta do sistema compensado é 4 Gc(s)G(s) s(s Como o requisito sobre a constante de erro estático de velocidade K, é 80 ç K\ = lim sGc(s)G(s) s-,,() = I, lim Kc ~ s-,,() O,) tem-se 8K( Assim 358 Capítulo 7 / 0,5) Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes 80 A constante de tempo TI e o valor de {3 são determinados a partir de S 8_ 1_ _-'-1 __ li s = 1 4,77 T1 e s= -2.~ +j4,33 Com base na Fig. 7-23 pode-se determinar facilmente os pontos A e B tais que 8 (Usa-se uma abordagem gráfica ou uma abordagem trigonométrica.) O resultado é AO = 2,38, BO = 8,34 ou 2,38 0,420, A parte de avanço de fase da estrutura de atraso e avanço de fase se torna 238) 10(: 8,34 Para a parte ao atraso de fase, escolhe-se Então 1 -')-S-·3--1-0 .),_ O. x 1 (rI' = 0,0285 jw j5 p -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -I o 2 a -j2 -j3 -j4 Fig. 7-23 Determinação da localização do pólo e do zero desejados. Seção 7 -5 / Compensação por Atraso e Avanço de Fase 359 Re~po~tas 1.8 0::1 ao Degrau Unitário de Sistemas Compensado e sem Compensação 4 1.6 3.5 IA ".) 1.2 0::1 2 20::1 ~ VJ 'g Vi 2.5 VJ V v "':J C/C Respostas à Rampa Unitária dos Sistemas Compensado e sem Compensação "':J 0.8 2 C/; 0::1 c Cí3 0.6 1.5 OA 0.5 0.2 O O 0.5 1.5 2 2.5 rs 3 3.5 4 4.5 0.5 5 2 1.5 t 3 4 S (b) (a) 7 -24 (a) Curvas de resposta ao degrau unitário de sistemas compensado e sem compensação; (b) curvas de resposta à rampa unitária para ambos os sistemas. Assim, o compensador de atraso e avanço de fase se torna G)s) + 0,1 ) (10) CL0285 o sistema compensado terá a função de transferência a malha aberta G(s) G(s) = ----'---'----'--"----'--'--- 0,5) '(s Neste caso não ocorrem cancelamentos e o sistema compensado é de quarta ordem. Como a contribuição angular da parte de atraso de fase do compensador é bastante pequena, os pólos a malha fechada dominantes ficam localizados muito próximo à posição desejada. Com efeito, os pólos a malha fechada dominantes estão localizados em s = -2,4539 ± j4,3099. Os outros dois pólos a malha fechada se encontram localizados em s = s = -3,8604 -0,1003, Como o pólo a malha fechada em s = -0,1003 está muito próximo de um zero em s = -0,1, eles praticamente se cancelam. Assim, o efeito deste pólo a malha fechada é muito pequeno. O pólo a malha fechada restante (s = - 3,8604) não se cancela com o zero em s -2,4. O efeito deste zero é o de introduzir um maior valor de ultrapassagem máxima na resposta ao degrau unitário que o de um sistema sem este zero. As curvas da resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não-compensado são mostrados na Fig. 7-24(a). As curvas da resposta a uma rampa unitária de ambos os sistemas são esboçadas na Fig. 7-24(b). PR A-7-1. BLE AS ILUSTR TI SES LUÇ ES Obter a função de transferência do sistema mecânico mostrado na Fig. 7-25. Admita-se que o deslocamento Xi é o sinal de entrada e que o deslocamento X() é o sinal de saída do sistema. LJU'lu'\;-au. A partir do diagrama são obtidas as seguintes equações de movimento: '\:(1) b j Un - .\1) = b 1U() .i') k}' Aplicando-se a transformada de Laplace a estas duas equações, admitindo-se condições iniciais nulas e eliminando-se em seguida Y(s), obtém-se 360 Capítulo 7 / Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes r-! ~ b~ ~ ~I b ,\() j t y Fig. 7-25 Sistema mecânico. Xo(s) _ - - - - " ' - - - - - - - - - Xls) 61 Esta é a função de transferência entre XJ s) e X/ s). Definindo-se ~= k T ' obtém-se X)s) Ts Xl~) aTs s + 1 T --=(1--- 1 S + . aT Este sistema mecânico é uma estrutura mecânica de avanço de fase. A-7-2. Obter a função de transferência do sistema mecânico mostrado na Fig. 7-26. Admita-se que o deslocamento x; é o sinal de entrada e que o deslocamento x() é o sinal de saída do sistema. Solução. As equações de movimento para este sistema são b 2(i/ - .(,) k 2 (X i b 1Cio - x,J .y) bli:" - n ky Fig. 7-26 Sistema mecânico. Problemas Ilustrativos e Soluções 361 Aplicando-se a transformada de Laplace a estas duas equações, admitindo-se condições iniciais nulas, obtém-se b2!sXi(S! sX)s)] + k 2!X/s) X)s)] bdsX()(s) b 1 [sX,ls') - sY(s)] sY(s)] k 1 Y(s) Eliminando-se Y(s) destas duas últimas equações, obtém-se a função de transferência Xj s )/Xls) Definindo-se ((3 > 1) Pode-se, então, simplificar XJ s)/X;( s), resultando Constata-se, a partir desta função de transferência, que este sistema mecânico é uma estrutura mecânica de atraso e avanço de fase. A-7-3. Considere-se o circuito elétrico mostrado na Fig. 7-27. Obter a função de transferência do circuito. (Como de hábito na dedução da função de transferência de qualquer quadripolo, será admitido que a impedância vista pelo circuito é nula e que a impedância da carga sobre os terminais de saída é infinita.) Solução. Utilizando-se os símbolos definidos na Fig. 7-27, encontram-se as impedâncias complexas Zj e Z,- A função de transferência entre o sinal de saída e o sinal de entrada é Sejam, por definição. a < 1 Assim, a função de transferência se torna s+ s T aT Como a é menor do que 1, este circuito é uma estrutura de avanço de fase. Fig. 7-27 Circuito elétrico. 362 Capítulo 7 / Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes ---, ~ - ~ I vz~ I ~ I I I o~1____________i_~J:~___~_J____~j_o A-7-4. Fig. 7-28 Circuito elétrico. Obter a função de transferência do circuito mostrado na Fig. 7-28. Solução. As impedâncias complexas ZI e Z2 são A função de transferência entre EJ s) e E;( s) é O denominador desta função de transferência pode ser fatorado em dois termos reais. Sejam, por definição (13)1) Então EJ s )/E,(s) pode ser simplificado para Este circuito é uma estrutura de atraso e avanço de fase. A-7-5. Um sistema de controle com C(s) K = --- H(s) = 1 é instável para todos os valores de ganho K. Traçar os lugares das raízes do sistema. Usando este gráfico, mostrar que este sistema pode ser estabilizado pela adição de um zero no semi-eixo real negativo, ou seja, substituindo-se G( s) por G /s), onde (0:s0.<1) Solução. Um gráfico do lugar das raízes para o sistema com C(s) K = -=-,-s-(s 1) . H(s) = 1 é mostrado na Fig. 7-29(a). Como há dois ramos situados no semiplano s da direita, o sistema é instável para qualquer valor de K > O. A adição de um zero à função de transferência G( s) encurva os ramos situados no semiplano da direita para a esquerda e traz todos os ramos do lugar das raízes para o semiplano da esquerda, conforme mostrado no gráfico da Fig. 7-29(b). Portanto, o sistema com K(s S2(S a) 1) . H(s) (O :S a < 1) é estável para todos os valores de K > O. Problemas Ilustrativos e Soluções 363 A Gráfico do Lugar das Raízes de CCs) =K/[s 2(s+ I)], H(s)= 1 2 Gráfico do Lugar das Raízes de C(s) =K(s+0,5)1[SA2(s+ I )],H(s)= 1 2 ~--~--~--~--~--~~~---.---. ~--~--~--~,-,---~--~---,--~ 1,5 .g 0,5 0,5 'C':I ::: .~ O~--~--*~~---~--~--~-~~--~----~ .§ ~ -0,5 til ~ -0.5 til -1 -1 -1,5 -1.5 _2L-__L -_ _L -_ _L -_ _L -_ _ -2 -1,5 -I ° -0,5 L-~L- 0,5 -2 _ _L-~ 1,5 ~--~--~--~~~--~--~--~--~ -2 2 -1,5 Eixo Real -1 -0.5 O 0.5 1.5 2 Eixo Real (b) (a) Fig. 7-29 (a) Gráfico do lugar das raízes do sistema G(s) G1(s) = K(5i + a)/[s2 (s + 1)] e H(s) = 1, onde a 0,5. 10000 (s2 = K/[S2 (s + 1)] e H(s) 1; (b) Gráfico do lugar das raízes do sistema com 1, l772) (a) júJ j3 j2 Pólo a malha fechada -:} 1 -j2 -:j3 (b) A-7-6. Fig. 7-30 (a) Controle PD de um processo a controlar instável; (b) diagrama do lugar das raízes relativo ao sistema. Considere-se um sistema com um processo a controlar instável como mostrado na Fig. 7-30 (a) . Usando o enfoque do lugar das raízes, projetar um controlador proporcional derivativo (isto é, determinar os valores de KI' e Til) tal que o coeficiente de amortecimento (do sistema a malha fechada seja 0,7 e que afreqüência natural não-amortecida úJ seja igual a 0,5 rad/s. ll 364 Capítulo 7 / Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes Solução. Note-se que a função de transferência a malha aberta envolve dois pólos em 5 = 1,085 e 5 = 1,085 e um zero em s que, neste ponto, ainda é desconhecido. Como os pólos a malha fechada desejados devem ter wn = 0,5 rad/s e ( = 0,7, eles devem estar localizados em s (( = = = -l/Td 0,5 /180° ± 45,573° 0,7 corresponde a uma reta que faz 45,573° com o semi-eixo real negativo) . Assim, os pólos a malha fechada desejados estão em s = -0,35 ± jO,357 Os pólos a malha aberta e o pólo a malha fechada desejado no semiplano superior estão localizados no diagrama mostrado na Fig. 7-30 (b) . A deficiência angular no ponto s = -0,35 + jO,357 é -166,026° - 25,913°+ 180° = Isto significa que o zero em s guir: 11,938" - l/Td deve contribuir com 11,938°, o que, por sua vez, determina a localização do zero como a se- s 2,039 Tem-se, assim, (7-7) O valor de T(/ é 1 2,039 = -- = 04904 ' O valor de KI' pode ser determinado a partir da condição de módulo como se segue: K T I fl ti s + 2.039 10.000(5 2 - 1,1772) I s=(I,.\:'+}0.3:"7 ou KrJ~1 = 6.999,5 Assim, 6.999,5 Kp = 0,4904 = 14.273 Substituindo-se os valores numéricos de Td e KI' na Eq. (7-7) , obtém-se 14.273( 1 0,49045') = 6.999,5(s 2,(39) que fornece a função de transferência do controlador proporcional derivativo desejado. A-7-7. Seja o sistema de controle mostrado na Fig. 7-31. Projetar um compensador de atraso de fase tal que a constante de en'o estático de velocidade K\. seja 50 ç I, sem alterar significativamente a localização dos pólos a malha fechada originais, que estão situados em s -2 ±j{6. R(s) C(s) Fig. 7-31 Sistema de controle. Problemas Ilustrativos e Soluções 365 Solução. Admita-se que a função de transferência do compensador seja s 1 +T 1 K( ({3 > 1) s+- {3T Como K\ foi especificado como 50 ç I, tem-se lim sC cCs) ( ss s--'>o Assim, Escolhendo-se agora í( = 10 1, então (3 Escolhendo-se T = A 4) = K c{32,5 = 50 20 10, o compensador por atraso de fase pode ser dado por s C,(s) = s 0,CJ05 A contribuição angular do compensador por atraso de fase no pólo a malha fechada s tan -1 , J\(, -1.9 tan- I = - 2 j -J6 é --- 1.995 -1.3616° que é pequena. Em conseqüência, a mudança na localização dos pólos a malha fechada dominantes é muito pequena. A função de transferência a malha aberta do sistema se torna s 0.1 10 Cc(s)C(s) = s + 0.005 ses + 4) A função de transferência a malha fechada é C(s) R(s) Para se comparar as características da resposta transitória antes e depois da compensação, são mostradas nas Figs. 7-32(a) e (b), respectivamente, as respostas ao degrau unitário e à rampa unitária dos sistemas compensado e sem compensação. O erro estacionário a uma excitação em rampa unitária é mostrado na Fig. 7-32 (c). A-7-8. Seja o sistema de controle com retroação unitária cuja função de transferência do canal direto é dada por C(s) 10 ses + 8) Projetar um compensador tal que os pólos a malha fechada dominantes estejam localizados em s erro estacionário de velocidade K\ seja igual a 80 ç I. = -2 ± j2 -f3 e que a constante de Solução. A constante de erro estacionário de velocidade do sistema não-compensado é K\ = +t = 0,625. Como se requer K\ 80, é necessário aumentar o ganho a malha aberta de 128 vezes. (Isto implica a necessidade de se usar um compensador por atraso de fase.) O lugar das raízes do sistema não-compensado revela não ser possível trazer os pólos a malha fechada dominantes para s = - 2 exclusivamente através de um ajuste de ganho. Ver a Fig. 7-33. (Isto significa que também há necessidade de um compensador por avanço de fase.) Em conseqüência, será empregado um compensador de atraso e de avanço de fase. Admita-se que a função de transferência do compensador por atraso e avanço de fase seja (CI' 366 Capítulo 7 / = Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes (3) 1.2 Respostas ao Degrau Unitário dos Sistemas Compensado e sem Compensação ,--,----,--,----,---,---r-~-__r--r____.., Respostas à Rampa Unitária dos Sistemas Compensado e sem Compensação 10 c:l 9 U') 8 2c:l o sistema compensado apresenta um erro estacionário de 0,02 C) '"d .g '"c:l 7 0.8 c êí3 '@ U') C) C) c:l 6 ~ 0.6 o- 5 ê c.:: 4 E c:l êí3 E C) 0,4 o 'c:l 3 Ü" iS 'ü >< Lll 0.2 3 4 5 6 8 7 ........... 2 2 10 9 apresenta um erro estacionário de 0,4 3 4 5 ts ts (a) (b) 6 7 8 10 9 Resposta à Rampa Unitária (3S< Lll ü c:l o- E c:l c.:: 36 35.5 35,5 36 36.5 37 37.5 38 38,5 39 39.5 40 s ( c) t 7-32 (a) Curvas de resposta ao degrau unitário para os sistemas compensado e sem compensação; (b) curvas de resposta à rampa unitária de ambos os sistemas; (c) curvas de resposta à rampa unitária mostrando os erros estacionários. 8 6 o 'C 4 c '51 2 .§ O 'c:l c:l o >< W -2 -4 -6 -8 -1º-1O -5 O Eixo Real Problemas Ilustrativos e Soluções 5 lO Fig. 7-33 Gráfico do lugar das raízes de C(s) lO/[s(s 2) (s + 8)]. 367 onde K, = 128. Isto se deve a 80 !im sG,(s)G(s) = lim sKcG(s) S-ê>O S-ê>O e se obtém K, = 128. A deficiência de ângulo na posição desejada para o pólo a malha fechada s = -2 Deficiência angular 120° 90° + 30° + j2 é - 180° = 60° A parte de avanço de fase do compensador deve contribuir com este ângulo. Para a escolha de TI será usado o método gráfico apresentado na Seção 7-5. A parte de avanço de fase deve satisfazer as seguintes condições: e A primeira condição pode ser simplificada para 13,3333 Utilizando-se o mesmo procedimento utilizado na Seção 7-5, o zero (5 seguir: TI = lITJ e o pólo (s = 3,70, = f3/T) podem ser determinados como a 53,35 Ver a Fig. 7-34. O valor de f3 é, assim, determinado como f3 14.419 Para a parte de atraso de fase do compensador, pode-se escolher = 0,01 jw x -3,70 -53.35 a Fig. 7-34 Determinação gráfica do zero e do pólo da parte de avanço de fase do compensador. 368 Capítulo 7 / Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes Então 1 - = 0.1442 T2 Observando-se que = 0,9837 -- 2 -,- j2\;':5 1442 0, + 0,01 1 S, -2+j2\;':5 a contribuição angular da parte de atraso de fase é 1,697° e a contribuição de módulo é 0,9837, Isto significa que os pólos a malha -2 ± j2 . Assim, o compensador projetado fechada dominantes permanecem muito próximo da posição desejada s Gc(s) = 3,70 ) (s s (s+ 53,35 128 s 0,1442) 0,01 é aceitável. A função de transferência do percurso direto do sistema compensado se torna Gc(s)G(s) = ( s s Um gráfico do lugar das raízes do sistema compensado é mostrado na Fig. 7-35 (a). Um gráfico ampliado do lugar das raízes nas proximidades da origem é mostrado na Fig. 7-35 (b). Para verificar a melhoria de desempenho do sistema compensado, observar as respostas ao degrau unitário e à rampa unitária dos sistemas compensado e sem compensação mostradas, respectivamente, nas Figs. 7-36 (a) e (b). A-7-9. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 7-37. Projetar um compensador de atraso e de avanço de fase tal que a constante de erro estático de velocidade K, seja 50 ç I e o coeficiente de amortecimento?; dos pólos a malha fechada dominantes seja 0,5. (Escolher o zero da parte de avanço de fase do compensador de modo a cancelar o pólo do processo a controlar em s = - 1.) Determinar todos os pólos a malha fechada do sistema compensado. Solução. Seja o emprego do compensador por atraso e avanço de fase dado por Gráfico do Lugar das Raízes do Sistema Compensado Gráfico do Lugar das Raízes do Sistema Compensado nas Proximidades da Origem. 60 10 8 40 .S 6 4 20 ,~ .S ';n c ,~ c ~ ~ 'CD O ~ .§ o >< o >< r.il -20 UJ 2 O -2 -4 -6 -40 -8 -40 -20 O Eixo Real (a) 20 40 -5 O 5 10 Eixo Real (b) Fig. 7-35 (a) Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado; (b) gráfico do lugar das raízes nas proximidades da origem. Problemas Ilustrativos e Soluções 369 Respostas à Rampa Unitária dos Sistemas Compensado e sem Compensação Respostas ao Degrau Unitário de Sistemas Compensado e sem Compensação 1A ,-----,-----,---,---,---,---,---,---..,---..,------, 10 9 1,2 8 7 ("j 2("j r./) ("j 2("j 0.8 r./) C) "O C) c: 5 "O ~ '8 6 0.6 '" ("j Ci3 c: Ci3 0.4 4 3 2 0.2 2 3 4 5 7 6 8 9 10 t s t s (a) (b) Fig. 7-36 (a) Curvas de resposta ao degrau unitário de sistemas compensado e sem compensação; (b) curvas de resposta à rampa unitária para ambos os sistemas. s(s + I) (s + 5) Fig. 7-37 Sistema de controle. onde f3 > 1. Então = lim sGc(s)G(s) S--'7() S) A especificação de K, Escolhe-se, agora, TI 50 s -I determina o valor de Kc ou = 1 de modo que s + (11TJ cancele o termo (s S 1 s ;3 1) do processo a controlar. A parte de avanço de fase se torna Para a parte de atraso de fase do compensador é requerido 1, onde 370 S = SI Capítulo 7 é um dos pólos a malha fechada dominantes. Para S / -)"')< = SI' a função de transferência a malha aberta se torna Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes Observando-se que em S = SI as condições de módulo e de fase devem ser satisfeitas, tem-se (7-8) (7-9) onde k = 0, 1,2, .... Nas Eqs. (7-8) e (7-9) , f3 e SI são incógnitas. Como o coeficiente de amortecimento dominantes foi especificado como 0,5, o pólo a malha fechada em S = SI pode ser escrito sob a forma SI jy3x x = ç dos pólos a malha fechada onde x é ainda indeterminado. Observe-se que a Eq. (7-8), a condição de módulo, pode ser reescrita como Kc 1 Observando-se que Kc = (-x + jV3x)(-x + (3 + jV3x)(-x + 5 +jV3x) 1 = 1 250, tem-se (7-10) 125 = A Eq. (7-9), condição de ângulo, pode ser reescrita como tan- 1 0x - -) (-x+{J - tan ( 0x ) = 1 ---_ -x ) -180° ou tan -1 (_V:"3x+ (3) + tan x -1 (_~?x c) x + 60° ,J (7-11) É necessário resolver as Eqs. (7-10) e (7-11) para f3 e x. Através de vários cálculos de tentativa e erro, encontram-se (3 = 16,025, x = 1,9054 Assim -1.9054 + jV3 (1,9054) = -1,9054 + j3,3002 SI A parte de atraso de fase do compensador pode ser determinada como a seguir. Observando-se que o pólo e o zero da parte de atraso de fase do compensador devem ser localizados nas proximidades da origem, pode-se escolher 1 !JT = 0,01 2 Isto é, 1 T2 Com a escolha de T2 = 0,16025 ou T2 6.25 = 6,25, encontra-se 1 s+1 T 2 1 SI +- 1.9054 + j3,3002 + 0,160251 1,9054 j3,3002 + 0,01 (3T2 -1,74515 + j3,30021 = 0,98 1 1,89054 + j3,3002 Problemas Ilustrativos e Soluções ~1 (7-12) 371 e I tan (I 3,3002 1.74515 1 I ( tan - 3.3002 ) _ 1.89054 13) Como a escolha de T2 = 6,25 é aceitável. Então o compensador de atraso e de avanço de fase que acaba de ser projetado pode ser escrito como s 0.16025) ( s 0.01 250 GJs) Por conseguinte, o sistema compensado tem a seguinte função de transferência a malha aberta: G)s)G(s) = ses 250(s 0.16025) 0.01 )(s + 5)(s + 16.(25) Um gráfico do lugar das raízes do sistema compensado é mostrado na Fig. 7-38 (a). Um gráfico ampliado do lugar das raízes nas proximidades da origem é mostrado na Fig. 7-38 (b). A função de transferência do sistema a malha fechada se torna C(s) R(s) ses 0.16025) Os pólos a malha fechada estão localizados em s 1$308 s -0,1684 s 17,205 Observe-se que os pólos a malha fechada dominantes s = -1,8308 ± j3,2359 diferem dos pólos a malha fechada dominantes s ±sp admitidos no cálculo de f3 e Os pequenos desvios dos pólos a malha fechada dominantes s = 1,8308 ± j3,2359 dos pólos S = ±Sj = Gráfico do Lugar das Raízes do Sistema Compensado IS ,----,-----,----,-----,--,-,-----, Gráfico do Lugar das Raízes do Sistema Compensado nas Proximidades da Origem 0.8 lO o 'C 0.6 0.4 5 '::j \... C c:I .§ c O 'S"fJ c:I ~ o >< ü:s 0.2 'c:I '5"'1) ~ -5 ü:s O -0.2 -OA -0.6 -lO -0.8 -15 L -_ _- J_ _ _ _- L_ _ _ _ _ _ _ _ -20 -15 -lO -5 O Eixo Real ~ L-~~_ _ _ _~ 5 10 -I -I (a) 0.5 Eixo Real (b) 7-38 (a) Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado; (b) gráfico do lugar das raízes nas proximidades da origem. 372 Capítulo 7 / Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes 1,9054 j3,3002 são devidos às aproximações envolvidas na determinação da parte de atraso de fase do compensador [Ver Eqs. (7-12) e (7-13)]. As Figs. 7-39 (a) e (b) mostram, respectivamente, as respostas ao degrau unitário e à rampa unitária do sistema projetado. Note-se -0,1684 quase cancela o zero em s = -0,16025. Contudo, este par pólo-zero localizado nas proque o pólo a malha fechada em s - 17.205 está situado à ximidades da origem produz um efeito de cauda de pequena amplitude. Como o pólo a malha fechada em s esquerda, muito afastado dos pólos a malha fechada em s 1,8308 ± j3,2359, o efeito deste pólo real sobre a resposta do sistema é muito pequeno. Por conseguinte, os pólos a malha fechada em s = 1,8308 ± j3,2359 são, na realidade, pólos dominantes que determinam as características da resposta do sistema a malha fechada. Na resposta à rampa unitária, o erro estacionário ao seguir este sinal em rampa se torna l/K, = -,ia 0,02. A -7 -10. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 7-40. Deseja-se projetar um controlador PlD G,(s) tal que os pólos a malha fechada dominantes estejam localizadas em s = -1 ± j . Para o controlador PlD, escolher a = 1 e então determinar os valores de K e de b. Esboce o diagrama do lugar das raízes referente ao sistema projetado. Solução. Como G({s) G( s) a soma dos ângulos em s s -j é K -'---'-'----'- j ~3, um dos pólos a malha fechada desejado, a partir do zero em s = 90° - 143,794° - 12(Y' - 110,104° Portanto, o zero em s = = -1 e pólos em s O, s = j e -283,898° -17 deve contribuir com 103,898°. Isto requer que o zero esteja localizado em b = 0,5714 A constante de ganho K pode ser determinada a partir da condição de módulo. 1/\ -' Resposta ao Degrau Unitário do Sistema Compensado 1.4 ,....---,....---,....---,----,----,...---,...------, Resposta à Rampa Unitária do Sistema Compensado 10 9 1.2 8 7 '" :9 '" CI) '" :9 0.8 '" 6 CI) v Q) -::l -::l 'l: 5 v; .; ê 0.6 :::: Vi Vi 4 3 0.4 2 0.2 2 4 8 6 10 14 12 ts (b) (a) Fig. 7-39 (a) Resposta ao degrau unitário do sistema compensado; (b) resposta à rampa unitária do sistema compensado. R(s) C(s) (s + a) (s + b) K----s Controlador PlD Gc(s) Processo a controlar G(s) Fig. 7-40 Sistema com controlador PlD. Problemas Ilustrativos e Soluções 373 ou K = 2,3333 Então o compensador pode ser descrito por (s + 1 )(s + 0,5714) 2,3333 -'-----'-'------'- Gc(s) s A função de transferência a malha aberta se torna ~ (. '() ('c s)G s = _2,:..-33_3_3..::.,..(s_+_1)~(s_+_0:..-,5_7_14-'-') s + A partir desta equação é possível traçar o lugar das raízes para o sistema compensado. A Fig. 7-41 é um gráfico do lugar das raízes. A função de transferência a malha fechada é dada por es Os pólos a malha fechada estão localizados em s = -1 ± j Fig. 7-42. O pólo a malha fechada em s = -0,3333 e um zero em s de pequena amplitude. 3 = -0,3333. A curva da resposta ao degrau unitário é mostrada na = -0,5714 produzem uma espécie de efeito de cauda prolongado, Gráfico do Lugar das Raízes de Gc(s)G(s) ,---,-----r----.-----,----,----~ 2 .§ ,~ c '5b ~ E O o >< ~ -1 -2 -4 -3 -2 -1 o Eixo Real Fig. 7-41 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado (Problema A-7-10). Resposta ao Degrau Unitário do Sistema Compensado L2 ,----------,-------,--------,-------.------,---------, 0.8 < [ii -5 -10 -15 -15 L -_ _~_ _ _ _~_ _ _ _- L____- L_ _ _ _~_ _~ -10 -5 10 5 O 15 Eixo Real Fig. 7-45 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado. Um gráfico do lugar das raízes referente ao sistema compensado é mostrado na Fig. 7-45. Estão indicados no gráfico os pólos a malha fechada do sistema compensado. Os pólos a malha fechada, raízes da equação característica (s O,ls + 4) 9,9158fs(s2 88,0227(s 2f(s + 4) ° são s - 2,0000 s = s = j3,4641 -7,5224 ± j6,5326 0,8868 Agora que se projetou o compensador, serão examinadas as características do regime transitório com o auxílio do MATLAB. A função de transferência a malha fechada é dada por R(s) (s 88,0227(s 2)2(S 4) 9,9158fs(s2 + O,ls + 4) 88,0227(s + 2f(s + 4) As Figs. 7-46 (a) e (b) mostram os gráficos da resposta ao degrau unitário e da resposta à rampa unitária. Estas curvas de resposta mostram que o sistema projetado é aceitável. Resposta ao Degrau Unitário do Sistema Compensado Resposta à Rampa Unitária do Sistema Compensado 6 5 r:j 2r:j lfJ "O "O '::3 lfJ 0.8 Q) r:j "O § 3 Q) "O ::;; c 4 Q) r:j c 0.6 '-I.l Vi <1) "O O/: '::3 0.4 2 c Vi 0.2 O O 0.5 1.5 2 2.5 ts ( a) 3 3.5 4 4.5 5 t s (b) Fig. 7-46 (a) Resposta ao degrau unitário do sistema compensado; (b) resposta à rampa unitária do sistema compensado (Problema A-7-11). Problemas Ilustrativos e Soluções 377 R(s) C(s) Compensador por avanço de fase Espaçonave Fig. 7-47 Sistema de controle de uma espaçonave. Sensor A-7-12. Seja o modelo referente a um sistema de controle de um veículo espacial, mostrado na Fig. 7-47. Projetar um compensador por avanço de fase Gc(s) tal que o coeficiente de amortecimento?; e a freqüência natural não-amortecida w" dos pólos a malha fechada dominantes sejam, respectivamente, 0,5 e 2 rad/s. Solução Primeira tentativa: Admita-se que o compensador por avanço de fase GJs) seja s (O< üJ -5 -10 Eixo Real Problemas Ilustrativos e Soluções Fig. 7-49 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado. 379 Re>:posta ao Degrau Unitário do Sistema Compensado Fig. 7-50 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado. jw 35.4467° )1.73205 I I -16 -20 -12 I -8 -4 7 o -1 a 40.89334° ~-------------------\'------------------~ Fig. 7-51 Determinação do pólo da estrutura de avanço de fase. que conduz a y=l 1,73205 0,09535 = 191652 ,- Assim, o compensador por avanço de fase terá a seguinte função de transferência: 3 s ( S + 19,1652 GJs) )2 o valor de Kc pode ser obtido da condição de módulo, como a seguir: I K, (s s 3 )2 1 1 19,1652 7i 0,1s + 1 ou = 174,3864 Então o compensador por avanço de fase que acaba de ser projetado é 174,3864 380 Capítulo 7 / (s s19,1652 3 )2 Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes Gráfico do Lugar das Raízes do Sistema Compensado nas Proximidades da Origem Gráfico do Lugar das Raízes do Sistema Compensado 3 ,----,-----,-----,-----,----,-----, 20,--,---,---,---.---,--~--~--~ 15 2 10 .9 ,~ 5 c:: '@) ('j ,§ o x U3 O o x -5 U3 -1 -10 -2 -15 -20 __ - 30 -25 - 20 -15 -1 O -5 ~ L -_ _~_ _~_ _~_ _~~~_ _- L_ _~ O 5 10 -3 -2 -1 Eixo Real Eixo Real (a) (b) O Fig. 7-52 (a) Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado; (b) gráfico do lugar das raízes nas proximidades da origem. A função de transferência a malha aberta se torna, portanto, Gc(s)G(s)H(s) 174,3864 ( s s + 3 19,1652 )2 -1 1 s20,ls Um gráfico do lugar das raízes relativo ao sistema compensado é mostrado na Fig. 7-52 (a). Observe-se que não há zeros a malha fechada nas proximidades da origem. Uma vista expandida do gráfico do lugar das raízes nas proximidades da origem é mostrada na Fig. 7-52 (b). A função de transferência a malha fechada se torna C(s) R(s) 174,3864(s (s Resposta ao Degrau Unitário do Sistema Compensado Resposta ao Degrau Unitário do Sistema Compensado 5 .------,----~------~----~----~ 4.5 4 3.5 ('j 2('j CI) 3 0.8 2.5 ü "d ('j c:: 0.6 2 ü3 1.5 0.4 0.2 0.5 3 2 t S ts (a) (b) 4 5 7 -53 (a) Resposta ao degrau unitário do sistema compensado; (b) resposta à rampa unitária do sistema compensado; (c) um gráfico do sinal de retroação versus t, na resposta à rampa unitária. Problemas Ilustrativos e Soluções 381 Sinal de Retroação na Resposta à Rampa Unitária 5 ~ ~----~-----.------,------,----~ :I:) ~ [ 4,5 E 8 4 :I:) ~ 3,5 3 êí3 o "O "t 2,5 ~ 2 '.S :I:) @" 1,5 :I:) cG ,:I:) 3 2 4 ts Fig. 7-53 Continuação. (c) Os pólos a malha fechada são os seguintes: s 1 ±jl,73205 = s = -9,1847 ± j7,4814 s = -27,9606 As Figs. 7-53 (a) e (b) mostram a resposta do sistema compensado a uma excitação em degrau unitário e em rampa unitária. A curva de resposta ao degrau unitário é razoável e a resposta à rampa unitária parece aceitável. Observe-se que na resposta à rampa unitária o sinal de saída está ligeiramente avançado em relação ao sinal de entrada. Isto é porque o sistema possui uma função de transferência do canal de retroação igual a 1/(0,1 s + 1) . Traçando-se o sinal de retroação versus t, juntamente com a excitação em rampa unitária, constatase que, em regime estacionário, o sinal de retroação não está avançado em relação à excitação em rampa. Ver Fig. 7-53 (c). PROBLEMAS B-7-1. Considere-se o sistema mecânico mostrado na Fig. 7-54. Ele consiste em uma mola e dois amortecedores viscosos. Obter a função de transferência do sistema. O deslocamento Xi é o sinal de entrada e o deslocamento X o o sinal de saída. Este sistema mecânico é uma estrutura de avanço ou de atraso de fase? B-7-2. Obter a função de transferência do circuito elétrico mostrado na Fig. 7-55. Mostrar que se trata de uma estrutura de atraso de fase. k Fig. 7-55 Circuito elétrico. Fig. 7-54 Sistema mecânico. 382 Capítulo 7 / B-7-3. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 7-56. Traçar os lugares das raízes relativos ao sistema. Determinar o valor de K tal que o coeficiente de amortecimento?; dos pólos dominantes a malha fechada seja 0,5. Determinar, em seguida, todos os pólos a malha fechada. Traçar a curva de resposta ao degrau unitário com o uso do MATLAB. Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes B-7-7. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 7-60. Projetar um compensador tal que os pólos a malha fechada dominantes estejam localizados em s = -1 jl. Fig. 7-56 Sistema de controle. Compensador por avanço de fase B-7 -4. Determinar os valores de K, TI e T 2 do sistema mostrado na Fig. 7 -57 de modo que os pólos a malha fechada dominantes possuam um coeficiente de amortecimento C= 0,5 e uma freqüência natural não3 rad/s. amortecida úJl/ Espaçonave Fig. 7-60 Sistema de controle. B-7 -8. Tomando como referência o sistema mostrado na Fig. 7-61, projetar um compensador tal que a constante de elTO estático de velocidade seja 20 çl sem aIterar significativamente a posição original de um par de pólos complexos conjugados, a malha fechada, em s = -2 ±j2 7-57 Sistema de controle. B-7-5. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 7-58, envolvendo retroação de velocidade. Determinar os valores de ganho K do amplificador e de ganho K" de retroação de velocidade de modo que as seguintes especificações sejam atendidas: O coeficiente de amortecimento dos pólos a malha fechada igual a 0,5. 2. Tempo de acomodação s 2 s. 3. Constante de erro estacionário de velocidade K\ 2: 50 s- I 4. °< < 1 R(s) C(s) Fig. 7-61 Sistema de controle. B-7 -9. Considere-se o sistema de posicionamento angular mostrado na Fig. 7-62. Os pólos dominantes a malha fechada estão localizados em s = - 3,60 ± j4,80. O coeficiente de amortecimento Cdos pólos a malha fechada dominantes é 0,6. A constante de erro estacionário de velocidade K\ é 4,1 ç I, o que significa, para uma excitação em rampa de 3600 /s, um erro estacionário de e\ 7-58 Sistema de controle. B-7-6. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 7-59. Projetar um compensador de avanço de fase tal que os pólos a malha fechada dominantes estejam localizados em s = - 2 ± j2 {3. Traçar, com o uso do MA TLAB, a curva de resposta ao degrau unitário do sistema projetado. Deseja-se reduzir e, a um décimo do valor atual, ou seja, aumentar a constante de erro estático de velocidade K\ para 41 s -I. Deseja-se, também, conservar o valor de 0,6 para o coeficiente de amortecimento C dos pólos a malha fechada dominantes. Uma pequena mudança no valor da freqüência natural não-amortecida úJl/ dos pólos a malha fechada dominantes é permitida. Projetar um compensador por atraso de fase adequado para aumentar o valor da constante de erro estático de velocidade, como se deseja. 7-62 Sistema de posicionamento angular. 7-59 Sistema de controle. Problemas B-7-10. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 7-63. Projetar um compensador tal que os pólos a malha fechada dominantes estejam 10- 383 resposta a uma excitação em degrau unitário apresente um valor máximo de ultrapassagem inferior a 40% e um tempo de acomodação de 5 s ou menos. Fig. 7-63 Sistema de controle. calizados em s = -2 ± j2 velocidade K,. seja 50 S·l. B-7 -13. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 7-65. Projetar um compensador tal que a resposta a uma excitação em degrau unitário apresente um valor máximo de ultrapassagem de 30% ou menos e um tempo de acomodação de 3 s ou menos. e que a constante de erro estático de B-7-11. Seja o sistema considerado no Problema A-7-10. Deseja-se projetar um controlador PlD G,.(s) tal que os pólos a malha fechada dominantes estejam localizados em s -1 ± j .f3 . Escolher, para o controlador PlD, a 0,5 (em vez de a = I, conforme discutido no Problema A-7-10) e determinar, em seguida, K e b . Esboçar um gráfico do lugar das raízes relativo ao sistema projetado. Obter também, por meio do MATLAB, a curva de resposta ao degrau unitário. B-7-12. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 7-64. O processo a controlar é criticamente estável no sentido de que as oscilações continuam indefinidamente. Projetar um compensador adequado tal que a Fig. 7-65 Sistema de controle. B-7-14. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 7-66. Projetar um compensador tal que a resposta a uma excitação em degrau unitário apresente um valor máximo de ultrapassagem de 25% ou menos e um tempo de acomodação de 5 s ou menos. 10 .'P +2 Fig. 7-64 Sistema de controle. 384 Capítulo 7 / Fig. 7-66 Sistema de controle. Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes 8 ~ o lnl Análise no de .. ee A .. qu nel 1 INTRODUÇÃO Pelo termo resposta de freqüência entende-se a resposta em regime estacionário de um sistema submetido a um sinal de entrada senoidal. Nos métodos de resposta em freqüência, varia-se a freqüência do sinal de entrada ao longo de uma faixa de interesse e estuda-se a resposta resultante. O critério da estabilidade de Nyquist permite investigar tanto a estabilidade absoluta quanto a estabilidade relativa de sistemas a malha fechada lineares a partir do conhecimento de suas características de resposta de freqüência a malha aberta. Uma das vantagens do enfoque da resposta de freqüência é que os testes experimentais são, em geral, simples e podem ser realizados com exatidão a partir do uso de geradores de sinal senoidal e de equipamentos de medida precisos. Muitas vezes as funções de transferência de componentes complicados podem ser determinadas experimentalmente através dos testes de resposta de freqüência. Adicionalmente, o enfoque no domínio da resposta de freqüência apresenta a vantagem de se projetar um sistema de modo que os efeitos de ruídos indesejáveis sejam desprezíveis e que a análise e o projeto possam ser estendidos a determinadas classes de sistemas não-lineares. Embora a resposta de freqüência de um sistema de controle apresente uma imagem qualitativa da resposta transitória, a correlação entre as respostas de freqüência e transitórias é indireta, exceto no caso de sistemas de segunda ordem. Ao se projetar um sistema a malha fechada, ajusta-se a característica da resposta de freqüência da função de transferência a malha aberta usando-se vários critérios de projeto a fim de se obterem características de resposta transitória aceitáveis. Resposta em regime permanente a um sinal de entrada senoidal. Considere-se o sistema linear invariante no tempo indicado na Fig. 8-1. Para este sistema Y(s) _ G(s) x(s) O sinal de entrada x(t) é senoidal e é dado por x(t) = X sen wt Conforme apresentado no Cap. 5, se o sistema for estável, o sinal de saída y(t), em regime estacionário, será dado por y(t) = Y sen(wt + rp) onde Y = XIG(jw)1 xU) X(s) Y(s) Fig. 8-1 Sistema linear e invariante no tempo. 385 de entrada x{ t) = X Se/I wt de saída y{t) = Y sen (wt + (j)) 8-2 Sinais senoidais de entrada e de saída. e cp= tan -1 [parte '--- imaginária de G.(júJ)] parte real de G(júJ ) Um sistema linear e invariante no tempo, submetido a uma excitação senoidal, terá como resposta, em regime estacionário, um sinal também senoidal da mesma freqüência do sinal de entrada. Mas a amplitude e o ângulo de fase do sinal de saída serão, em geral, diferentes da amplitude e do ângulo de fase do sinal de entrada. Com efeito, a amplitude do sinal de saída é dada pelo produto da amplitude do sinal de entrada por IC(jill)l, enquanto o ângulo de fase do sinal de saída difere do ângulo de fase do sinal de entrada do valor cP jG(júJ ). Um exemplo de sinais senoidais de entrada e de saída é mostrado na Fig. 8-2. Observe-se que, para sinais senoidais de entrada Y(jÚJ) I IX(j(J) ) relação entre a amplitude do sinal de entrada e a amplitude do sinal de saída defasagem do sinal de saída em relação ao sinal de entrada Por conseguinte, as características da resposta de um sistema a um sinal senoidal de entrada podem ser obtidas, diretamente, a partir de X(j(J) ) G(júJ) A função de transferência senoidal relação entre Y(jill) e X(jill), é uma grandeza complexa e pode ser representada por magnitude e fase tendo como parâmetro a freqüência. valor negativo do ângulo de fase é chamado de atraso de fase e um valor positivo é dito um avanço de fase.) A função de transferência senoidal de qualquer sistema linear é obtida substituindo-se s por jill na função de transferência do sistema. nY'."'C'<:'n1""' .... ~n das características da resposta de freqüência sob forma A função de transferência senoidal, uma função a valores complexos da freqüência ill, é caracterizada por sua magnitude e por sua tendo a freqüência como parâmetro. Há três representações comumente usadas, da função de transferência senoidal: 1. Diagramas de Bode ou gráficos logarítmicos 2. Diagrama de Nyquist ou gráfico polar 3. Diagrama de magnitude logarítmica versus ângulo de fase* Estas representações serão discutidas detalhadamente ao longo deste capítulo. Também será enfocado o uso do MA TLAB para se obterem os diagramas de Bode e de Nyquist. L..'::O .... vuv do A Seção 8-1 apresentou uma introdução à resposta de freqüência. A Seção 8-2 apresenta diagramas de Bode relativos a diversas funções de transferência de sistemas. A Seção 8-3 discute uma abordagem computacional para se obterem os diagramas de Bode por intermédio do MATLAB. A Seção 8-4 trata dos diagramas de "'Referido, às vezes. como diagrama de Black. (N. do 386 Capítulo 8 / T.) Análise no Domínio de Freqüência funções de transferência senoidal e a Seção 8-5 discute o traçado dos diagramas de com o MATLAB. A 8-6 apresenta, de forma sucinta, os diagramas de magnitude logarítmica versus ângulo de fase. A Seção 8-7 fornece um tratamento detalhado do critério de estabilidade de e a Seção 8-9 se ocupa da análise da estabilidade relativa de sistemas a malha fechada. As medidas da estabilidade relativa por meio da margem de ganho e da margem de fase são introduzidas neste ponto. É também discutida a correlação entre a resposta transitória e a resposta de freqüência. Na Seção 8-10 é apresentado um método para que se obtenha a resposta de freqüência a malha fechada a partir da resposta de freqüência a malha aberta por intermédio dos círculos Me N. Discute-se também o uso da carta de Nichols para se obter a resposta de freqüência a malha fechada. Finalmente, a Seção 8-11 trata da determinação da função de transferência com base em diagramas de Bode obtidos experimentalmente. de bode ou gráficos Uma função de transferência senoidal pode ser representada por meio de dois gráficos separados, um representando o valor do módulo (magnitude) VerSllcl,' o valor de freqüência; o outro, o valor do ângulo de fase (em graus) versus o valor da freqüência. Um diagrama de Bode consiste em dois gráficos: um é o gráfico do logaritmo do módulo da função de transferência senoidal; o outro é um gráfico do ângulo de ambos são construídos em função da freqüência numa escala logarítmica. A representação padrão do módulo logarítmico de G(júJ) é 20 log IG(júJ)l, onde a base do logaritmo é 10. A unidade usada nesta representação do módulo é o decibel, usualmente abreviado dB. Na representação logarítmica, as curvas são desenhadas em papel semilog, usando-se a escala log para a freqüência e a escala linear tanto para o módulo (porém em como para o ângulo de fase (em graus). faixa de freqüência de interesse determina o número de décadas logarítmicas exigidas na abcissa.) A principal vantagem de se usar gráfico logarítmico é que a multiplicação dos módulos é convertida em uma adição. Além disso, dispõe-se de um método simples para esboçar uma curva aproximada do logaritmo do módulo. Este método é baseado em aproximações assintóticas. Estas aproximações por retas assintóticas são suficientes quando se deseja somente uma informação aproximada das características da resposta de freqüência. Se forem requeridas as curvas exatas, as correções nas curvas assintóticas básicas podem ser feitas com facilidade. As curvas de ângulo de fase podem ser facilmente desenhadas se estiver disponível um modelo para a curva do ângulo de fase de 1 + jm. A expansão da faixa de baixas freqüências utilizando-se uma escala logarítmica para a freqüência é muito vantajosa, uma vez que as caracterÍsticas de baixa freqüência são, na prática, as mais importantes. Embora não seja possível descer até a freqüência zero por causa da freqüência logarítmica (log O = isto não cria um problema sério. Note-se que a determinação experimental de uma função de transferência pode ser realizada de modo se os dados de resposta em freqüência estiverem apresentados na forma de um diagrama de Bode. Fatores básicos de Conforme citado anteriormente, a principal vantagem em se usar o gráfico logarítmico está na relativa facilidade de desenhar as curvas de resposta em freqüência. Os fatores básicos que mais freqüentemente ocorrem em uma função de transferência arbitrária G(júJ)H(júJ) são 1. Ganho K 2. Fatores integral e derivativo (júJt I 3. Fatores de primeira ordem (1 + 4. Fatores quadráticos [1 2~(júJ/úJ,) + (júJ/úJ,YJ:;:1 Uma vez familiarizados com os gráficos destes fatores básicos, é possível utilizá-los na construção de gráficos logarítmicos compostos para qualquer forma geral de G(júJ)H(júJ) esboçando-se as curvas para cada fator e adicionando as curvas individuais graficamente, pois a adição dos logaritmos dos ganhos corresponde à multiplicação destes. O processo de obtenção do gráfico logarítmico pode ser ainda mais simplificado pelo uso de aproximações assintóticas necessário, podem ser feitas correções facilmente em um gráfico aproximado para se para as curvas de cada fator. obter um gráfico o ganho K. Um número maior do que a unidade possui um valor positivo em decibéis, enquanto um número menor do que a unidade possui um valor negativo. curva do logaritmo do módulo para um ganho constante K é uma horizontal de valor 20 log K dB. O ângulo de fase do ganho K é nulo. O efeito da variação do ganho K na função de transferência é de deslocar a curva do logaritmo do módulo para cima ou para baixo, de uma quantidade correspondente, não afetando porém o ângulo de fase. Uma reta de conversão de valores numéricos em decibéis é fornecida na Fig. 8-3. O valor em decibel de qualquer número pode ser obtido a partir desta reta. Quando um número aumenta por um fator de 10, o valor em decibel correspondente aumenta de 20. Este resultado pode ser verificado a partir do seguinte: 20 log(K X 10) = 20 log K Seção 8-2 / Diagramas de Bode + 20 387 20 // ;/ // 10 // V / ,/ // / / . • v'/ ,/ // -30 / V -40 0,0 I 0,02 0,04 I I I O, I 0,2 I iJ 0.4 0,6 I J 2 3 456 8 10 Valores numéricos Fig. 8-3 Reta de conversão de valores numéricos em decibéis. De modo semelhante, 2010g x 10fl) 20 log K + 20n Note-se que, se expresso em dB, o recíproco de um número difere do seu valor apenas no sinal, isto é, para um número K, 20 log K Fatores integral e derivativo Um)~l. 1 -20 log K O módulo logarítmico de lI)m em dB é 2010gl~1 - 20 log w dE ./0) O ângulo de fase de lI)m é constante e igual a-90°. Nos diagramas de Bode, as relações de freqüência são expressas em termos de oitavas ou décadas. Uma oitava é um intervalo de freqüência compreendido entre mi e 2m l , onde mi é uma freqüência de qualquer valor. Uma década corresponde a um intervalo de freqüência compreendido entre mi e 10ml , onde, novamente, mi é qualquer valor de freqüência. (Na escala logarítmica de um papel monolog, qualquer relação de freqüência pode ser representada mesma distância horizontal. Por exemplo, a distância horizontal desde m 1 até m = 10 é igual à distância desde m = 3 até m = 30.) Se a expressão - 20 log m dB for representada em um gráfico com m em escala logarítmica, a curva resultante é uma reta. Para se traçar esta reta, é necessário locar um ponto (O dB, m = 1) sobre ela. Uma vez que (-20 log 10w) dE = log w - 20) dE a inclinação da reta é -20 dB/década (ou -6 dB/oitava) Analogamente, o logaritmo do módulo de)m em dB é 20 log I jO) I = 20 log w dE O ângulo de fase de)mé constante e igual a 90°. A curva do módulo em dB é uma reta com inclinação de 20 dB/década. As Figs. 8-4(a) e (b) mostram as curvas da resposta em freqüência para lI)me)m, respectivamente. Pode-se verificar facilmente que as diferenças nas curvas de resposta em freqüência dos fatores 11) me) m residem nos sinais das inclinações das curvas de módulo em dB e nos sinais dos ângulos de fase. Ambas as curvas de módulo em dB tomam-se iguais a O dB para m = 1. Se a função de transferência contiver o fator (l/)m)J1 e (jm)J1, os módulos em dB resultam, respectivamente, em n X 20 log 388 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência I jwl = - 20n log w dE clS dS 40 40 20 Inclinação = - 20dB/década 20 / o o Inclinação -40 = 20clB/década -20 -20 -40 '-----'------i.----'--"""'"lI>100 (V 0.1 10 '------'-----i.--....;:!ol..-"""'"lI>- 10 0.1 100 (I) (jJ O" ISO" 90° 1 - -......- - _......_ - - 90° 1 - -.......- - - - - - - -ISO" '---_--'-_ _--i.-_ _-'----,lo._ 0.1 100 !O 0° '-----'------i.----'--"""'"lI>- CU O) Diagrama de Bode de G(jw) = l/jw 10 100 w Diagrama de Bode de G(jw) =jw (b) (a) 8-4 (a) Diagramas de Bode de G(jOJ) = l/jOJ; (b) Diagramas de Bode de G(jOJ) = JOJ. ou 20 log l(jw y I = n X 20 log Ijwl = 20n log w dE As inclinações das curvas de módulo em dB para os fatores (l/jm)" e (jm)" são, respectivamente, -20n dB/década e 20n dB/década. O ângulo de fase de (1Ijm)" é igual a -90° X n em toda a faixa de freqüência, enquanto para (jm)n é igual a 90° X n em toda a faixa de freqüência. Essas curvas de módulo passarão pelo ponto (O dB, mI). Fatores de primeira ordem (1 jm)+ 1. 2010g Para baixas freqüências, tais que m <; I1 O módulo em dB do fator de primeira ordem 11(1 +1jwT I -201og + jmT) é dE o módulo em dB pode ser aproximado por -201og -201og1 = OdE Portanto, a curva do módulo em dB nas baixas freqüências é a reta constante de O dB. Para as altas freqüências, tais que m~ -201og ~ -20 log wT dE Esta é uma expressão aproximada para a faixa de altas freqüências. Em m 1IT, o módulo em dB é igual a O dB; em m = 10/T, o módulo em dB é - 20 dB. Portanto, o valor de - 20 log mT decresce de 20 dB para cada década de m. Para m ~ a curva do módulo em dB é uma reta com inclinação de -20 dB/década (ou -6 dB/oitava). A análise anterior mostra que a representação logarítmica da curva de resposta em freqüência do fator 1I(l + jmT) pode ser aproximada por duas retas assintóticas, uma reta em O dB para a faixa de freqüências O < m < 1IT e uma outra reta com inclinação -20 dB/década (ou -6 dB/oitava) para a faixa de freqüências 1/T < m < x. A curva exata do módulo em dB, as assíntotas e a curva exata do ângulo de fase são mostradas na Fig. 8-5. A freqüência na qual as duas assíntotas se interceptam é denominada freqüência de corte ou freqüência de mudança de inclinação ("quebra"). Para o fator 11( 1 jmT), a freqüência m 1IT é a freqüência de corte uma vez que em m = 1IT as duas assíntotas possuem o mesmo valor. expressão assintótica em baixas freqüências em m = 1/T é 20 log 1 dB O dB, e a expressão assintótica nas altas freqüências em m = 1IT é também 20 log 1 dB O dB.) A freqüência de corte é muito importante para o esboço das curvas logarítmicas de resposta em freqüência. Seção 8-2 / Diagramas de Bode 389 10 O dR -10 -20 0° cp -45 0 -90 0 2 10T 5T 2T T T 10 T 5 T 2C T (JJ 8-5 Curvas de módulo em dB com assÍntotas e de ângulo de fase relativas a 1/(1 o ângulo de fase exato cP do fator 1/0 + jwT). é cp = -tarCI wT Na freqüência zero, o ângulo de fase é 0°. Na freqüência de corte, o ângulo de fase é -tan I T T No infinito, o ângulo de fase se torna igual a -90°. Uma vez que o ângulo de fase é dado por uma função inversa da tangente, o ângulo de fase é anti-simétrico em relação ao ponto de inflexão em cP -45°. O erro na curva de módulo cometido quando se usam as assÍntotas pode ser calculado. O erro máximo ocorre na freqüência de corte e é aproximadamente igual a - 3 dB uma vez que + 20 log 1 = -lO log 2 = - 3,01 dE -201og O erro na freqüência uma oitava abaixo da freqüência de corte, ou -201og + 1 + 20 log 1 em - 20 log 2 = O erro na freqüência uma oitava acima da freqüência de corte, ou seja, em -201og + 20 log 2 é úJ úJ = -20 log2 0,97 dE é -0,97 dE Portanto, o erro no valor do módulo em dB, na freqüência uma oitava abaixo ou uma oitava acima da freqüência de corte, é aproximadamente igual a -1 dB. Analogamente, o erro no valor do módulo em uma década abaixo ou uma década acima da freqüência de corte é aproximadamente -0,04 dB. O erro em decibéis envolvido no uso da expressão assintótica é indicado na Fig. 8-6. O erro é simétrico em relação à freqüência para a curva de resposta em freqüência de 1/( 1 + de corte. U ma vez que as assíntotas são muito fáceis de desenhar e suficientemente próximas da curva exata, o uso destas aproximações nos desenhos dos diagramas de Bode é conveniente para se estabelecer, rapidamente e com um mínimo de cálculo, a natureza geral das características de resposta em freqüência. Elas podem ser utilizadas para muitos trabalhos de projeto preliminares. Se desejarmos as curvas de resposta de freqüência exatas, podem ser feitas as correções facilmente referindo-se à curva fornecida na Fig. 8-6. Na prática, a curva precisa de resposta em freqüência pode ser desenhada introduzindo-se uma correção de 3 dB na freqüência de corte e uma correção de 1 dB nos pontos uma oitava abaixo e acima da freqüência de corte, e depois conectando estes pontos por intermédio de uma curva suave. 390 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência Freqüência de corte o _....... .~ t -...-. ~ -I dB -2 -3 III- r- , c. . . . . , ..... ............. . " , c••••••••• ...... -" "'" ..... I ,... , ........... ;1 -4 1 10T , 2 21' 5T T 5 3 l' T 10 T 8-6 Erro de módulo em dB na expressão assintótica da curva de resposta de freqüência de 1/(1 + Note-se que uma na constante de tempo T desloca a freqüência de corte para a direita ou para a C"",,,,,,,~,Yl porém as formas das curvas de módulo em dB e do ângulo de fase permanecem as mesmas. possui as características de um filtro passa-baixos. Para freqüências acima de A função de transferência 1/(1 + úJ = l/T, o módulo dB cai rapidamente em direção a x. Este resultado é devido essencialmente à presença da constante de tempo. No filtro passa-baixos, a saída pode seguir, com fidelidade, um sinal de entrada senoídal em baixas Tl'pnl,,~n_ cias. Porém, conforme a freqüência de entrada é aumentada, a saída não pode seguir a entrada porque é necessário um certo intervalo de tempo para o sistema atingir o valor necessário. Portanto, em altas freqüências, a amplitude da saída tende a zero e o ângulo de fase da saída tende a -90°. Portanto, se a função de entrada contém muitos harmônicos, então as componentes de baixas freqüências são bem reproduzidas na saída, enquanto as componentes de altas freqüências são atenuadas em amplitude e defasadas. Portanto, um elemento de primeira ordem fornece uma réplica exata, ou quase exata, apenas para fenômenos constantes ou lentamente variáveis. Uma vantagem do diagrama de Bode é que para fatores recíprocos, por exemplo, para o fator 1 + as curvas do módulo em dB e do ângulo de fase necessitam apenas trocar de sinal. Uma vez que 20 log 11 = -201og 1 + 1jwT I I tan- 1 wT = a freqüência de corte é a mesma em ambos os casos. A inclinação da assíntota de 1 + júJT, nas altas de 20 dB/década e o ângulo de fase varia desde 0° até 90° à medida que a freqüência úJ aumenta desde O até infinito. módulo em dB, juntamente com as assíntotas e a curva ângulo de fase para o fator 1 + , são indicadas na Os formatos das curvas do ângulo de fase são os mesmos para qualquer fator da forma (1 + é conveniente possuir um gabarito para a curva do ângulo de fase à disposição. Este gabarito pode ser usado repetidamente na construção das curvas do ângulo de fase para qualquer função da forma (1 + . Se este gabarito não estiver deve-se locar alguns pontos da curva. Os ângulos de fase de (1 + fllCC'nnn1- +45° Seção 8-2 / Diagramas de Bode 1 T em w em w= em w em w= - em 10 w=- 2T 1 10T 2 T dB 0° ~__~~__~____~__~ w 0.01 T 8-7 Curvas de módulo em dB com assÍntotas e de ângulo de fase relativas a 1 + jOJT. Para o caso no qual uma dada função de transferência envolve termos do tipo (1 + jwT)+", pode ser feita uma construassintótica similar. A freqüência de corte ainda é em w l/T, e as assÍntotas são retas. A assÍntota nas baixas freqüências é uma reta horizontal em O dB, enquanto a assíntota nas altas freqüências possui a inclinação de -20n dB/década ou 20n dB/década. O erro envolvido nas assintóticas é n vezes o correspondente a (I + jwT)+ I. O ângulo de fase é 11 vezes o de (1 + para cada valor de freqüência. Os sistemas de controle muitas vezes possuem fatores quadráticos da 1 2Ç j - + ((j) j - )2 c 1 ( (8-1) ())) , (})rz ' (})n Se , > 1, este fator quadrático pode ser expresso como o produto de dois fatores de primeira ordem com pólos reais. Se O < ,< , este fator quadrático é o produto de dois fatores complexos conjugados. As aproximações assintóticas para as curvas de resposta em freqüência não são precisas para um fator com baixos valores de " pois tanto o módulo como o ângulo de fase do fator quadrático dependem da freqüência de corte e do coeficiente de amortecimento ,. curva de resposta em freqüência assintótica ser obtida como se segue: uma vez que 1 (1 - üi)2 + (c2Ç-(j))2 -20 20 7 ())~ nas rre:quenculS baixas tais que w ~ (J) fi w", o módulo em dB resulta em -20 1 = O dE assíntota nas baixas +~~Q('yi..!if'_r,c"l"O é, portanto, uma reta horizontal em O dB. Nas altas freqüências tais que w módulo em dB se torna -20 Capítulo / Análise no Domínio de Freqüência -40 (}) dE ~ w", o A equação para a assÍntota nas altas freqüências é uma reta que possui a inclinação -40 dB/década uma vez que 10úJ -401ogúJ II -40 A assíntota de altas freqüências intercepta a de baixas freqüências em úJ úJ -40 log _11 úJ lI -40 log 1 = úJll pois que nesta freqüência O dE Esta freqüência, úJll' é a freqüência de corte do fator quadrático considerado. As duas assíntotas, cuja dedução acaba de ser feita, são independentes do valor de ~. Nas proximidades da freqüência úJ úJll OCOlTe um pico de ressonância, conforme pode ser esperado a partir de (8-1). O coeficiente de amortecimento ~ determina a amplitude deste pico de ressonância. Portanto, existem obviamente elTOS na aproximação pelas assÍntotas. O valor do erro depende do valor de ~. Será grande para pequenos valores de ~. A Fig. 8-8 fornece as curvas ex atas do módulo em dB conjuntamente com as assÍntotas e as curvas do ângulo de fase para o fator quadrático dado em (8-1), para alguns valores de ~. No caso de se desejar cOlTigir as curvas assintóticas para um certo número de valores de freqüência, tais cOlTeções podem ser obtidas a partir da Fig. 8-8. O ângulo de fase do fator quadrático [1 + 2~(júJlúJ,J (júJlúJ,Yr é J 1 1J= 1 + 2Ç j j - )2 úJ) + (úJ úJ n úJ n ( úJ )2 úJ n 1 c ( (8-2) 20r-----~--~--~~~----~----~--~-~: • • • • 10 dB O -10 0° 1-........... "y/ "~ .......................;................;........ Assmtotas ; ~:'~\ ';1 ~~§~~:::::J-._-'~\.~\-' ~ : r= ~:::-~0 I 0.1 0.2 I I 0.4 0.60.8 1 ~. 2 I 4 I 6 8 10 Fig. 8-8 Curvas de módulo em dB com assÍntotas e de ângulo de fase relativas à função de transferência quadrática dada por (8-1). Seção 8-2 / Diagramas de Bode 393 o ângulo de fase é uma função tanto de m quanto de ~. Em m = O, o ângulo de fase é igual a 0°. Na freqüência de corte m = mil' o ângulo de fase é-90° independentemente do valor de ~, uma vez que -tan~ 1 (2~) O Em m = x resulta o ângulo de fase igual a -180°. A curva do ângulo de fase é anti-simétrica em relação ao ponto de inflexão, o ponto onde cP = -90°. Não há maneiras simples de esboçar tais curvas de fase. É preciso referir-se às curvas mostradas na Fig. 8-8. As curvas de resposta de freqüência para o fator podem ser obtidas simplesmente invertendo-se o sinal daquelas do módulo em dB e das curvas do ângulo de fase do fator úJ lO 71 + 2Ç j - + j ( ( úJ n ) lO n ) c Para que se obtenham as curvas de resposta de freqüência de uma dada função de transferência quadrática, deve-se determinar inicialmente o valor da freqüência de corte mil e do coeficiente de amortecimento~. Usando-se, então, a família de curvas fornecidas na Fig. 8-8, podem-se construir as curvas de resposta em freqüência. A freqüência de ressonância úJr e o valor do pico de ressonância M,.. O módulo de 1 G(jlO) = 1+ 2~(j :J + ~:} é 1 IG(flO)1 + ( 0))' (1 - -0)7 lO~ lO 2~- (8-3) n Quando IC(júJ) I apresenta um valor de pico para alguma freqüência, esta freqüência é denominada a freqüência de ressonância. Uma vez que o numerador de IC(júJ) I é constante, ocorrerá um valor de pico de IC(júJ) I quando g(úJ) (1 _úJlO~)2 + (2~~)2 lO n n é um mínimo. Como a Eq. (8-4) pode ser escrita g(cú) = ui [ O valor mínimo de g( úJ) ocorre em úJ = lO~7(1 úJ~ - 2 ç2)]2 + 4~2(1 c _ (8-5) . Portanto, a freqüência de ressonância úJr é para O ::; ~ ::; 0,707 (8-6) À medida que o coeficiente de amortecimento ~ tenda a zero, a freqüência de ressonância tenderá a úJll" Para O < ~ ::; 0,707, a freqüência de ressonância úJr é menor do que a freqüência natural amortecida úJeI úJll , que é exibida na resposta transitória. A partir da Eq. (8-6) pode-se observar que, para ~ > 0,707, não há pico de ressonância. O módulo 394 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência 14 12 10 c:o "ü 8 53 ~- 6 \ \ \ \ 4 \\ '\ 2 ~ • O 0.2 0,4 0.6 0,8 1,0 ~ Fig. 8-9 Curva de M, versus ~ relativa ao sistema de segunda ordem 1/[1 + 2~(jwlwJ + (jw/w'y). ° IG(jm) I decresce monotonicamente com o aumento na freqüência m. (O módulo é menor do que dB para todos os valores de m> O. É bom lembrar que, para 0,7 < ~ < 1, a resposta ao degrau é oscilatória, porém as oscilações são bastante amortecidas e pouco perceptíveis.) O módulo do pico de ressonância M r pode ser determinado substituindo-se a Eq. (8-6) na Eq. (8-3). Para ~ 0,707, °: ; : ; (8-7) Para ~ 0,707 1 (8-8) À medida que ~ tende a zero, M r tende a infinito. Isto significa que se o sistema não-amortecido for excitado em sua freqüência natural, o módulo de G(jm) se torna infinito. A relação entre M r e ~ é mostrada na Fig. 8-9. O ângulo de fase de G(jm) na freqüência onde ocorre o pico de ressonância pode ser obtido substituindo-se a Eq. (8-6) na Eq. (8-2). Portanto, na freqüência de ressonância, / G(fwr ) = -tan- 1 --~----'=-- -90 + sen- 1 ----:===== 0 Procedimento geral para construção dos diagramas de Bode. Inicialmente se reescreve a função de transferência senoidal G(jm)H(jm) sob a forma de produto dos fatores básicos anteriormente discutidos. Identificam-se, então, as freqüências de corte associadas com estes fatores básicos. Finalmente, se desenham as curvas assintóticas do módulo em dB, com inclinações apropriadas entre as freqüências de corte. A curva exata situada muito próximo à curva assintótica pode ser obtida efetuando-se as correções apropriadas. A curva do ângulo de fase de G(jm)H(jm) pode ser traçada adicionando-se as curvas dos ângulos de fase dos fatores individuais. O uso dos diagramas de Bode empregando aproximações assintóticas necessita de um tempo muito menor do que os outros métodos que podem ser utilizados para a determinação da resposta de freqüência de uma função de transferência. A facilidade de construção das curvas de resposta de freqüência para uma dada função de transferência e a facilidade de modificação da curva de resposta de freqüência, conforme seja adicionada uma compensação, constituem as principais razões pelas quais o uso dos diagramas de Bode é muito comum, na prática. EXEMPLO 8-1 Esboçar os diagramas de Bode para a seguinte função de transferência: G(jW) 2] Efetuar correções de modo que a curva do módulo em dB seja precisa. Seção 8-2 / Diagramas de Bode 395 A fim de se evitar possíveis erros na construção da curva do módulo em dB, é desejável colocar G(júJ) na forma normalizada seguinte, onde as assÍntotas de baixa freqüência para os fatores de primeira ordem e para o fator de segunda ordem correspondem à reta de OdB. Esta função é composta dos seguintes fatores: .w + ,,2 7,5, (j~)'] As freqüências de corte do terceiro, quarto e quinto termos são, respectivamente, úJ = 3, úJ 2 e úJ = . Note-se que o último termo tem coeficiente de amortecimento igual a 0,3536. Para construir o diagrama de Bode, as curvas assintóticas separadas para cada um dos fatores são mostradas na Fig. 8-10. A curva composta é então obtida adicionando-se algebricamente as curvas individuais, também mostradas na Fig. 8-10. Note-se que, ao se adicionarem, ponto a ponto, as curvas assintóticas individuais para cada valor de freqüência, a inclinação da curva co~osta é acumulativa. Abaixo de úJ = )2, o gráfico tem uma inclinação de -20 dB/década. Na primeira freqüência de corte úJ ~2 , a inclinação muda para -60 dB/década e continua com esta inclinação até a próxima freqüência de corte úJ 2, onde a inclinação passa a ser de -80 dB/ década. Na última freqüência de corte úJ = 3, a inclinação muda para -60 dB/década. Uma vez traçada a curva aproximada do módulo em dB, pode-se obter a curva real adicionando-se as correções em cada freqüência júJD= I, as corde corte e nas freqüências uma oitava abaixo e acima das freqüências de corte. Para os fatores de primeira ordem (1 Curva exata (T) 20~____________~~~________~~~ __~ -20 -40~~~~~~~ 0.2 0.4 ____~__~~~~~~ 0,60.8 1 2 4 6 8 10 (J) O°F=========~----------L---~ $ -90o~--------------~------~------4 -no" L----.l.__L-.l..-L..l......L...J....L_ _--L_--L---.Jc...:=r:::::::±=I:::::bd::I 0.2 (O Fig. 8-10 Diagramas de Bode (amplitude e fase) do sistema considerado no Exemplo 8-1. 396 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência reções são de ± 3 dB na freqüência de corte e ± 1 dB nas freqüências correspondentes a uma oitava acima e abaixo da freqüência de corte. As correções necessárias para o fator quadrático são obtidas da Fig. 8-8. A curva exata do módulo de G(jw), em dB, é indicada por uma linha tracejada na Fig. 8-10. Note-se que qualquer modificação na inclinação da curva de módulo é feita apenas nas freqüências de corte da função de transferência G(jw). Portanto, em vez de traçar curvas individuais e de adicioná-las, conforme mostrado anteriormente, pode-se traçar a curva de começar desenhando a porção de baixas freqüências da linha reta (isto é, da módulo em dB sem esbocar as curvas individuais. ). À medida que o valor da freqüência aumenta, incorpora-se o efeito dos pólos reta com a inclinação de '- 20 dB/década para w < complexos conjugados (termo quadrático) na freqüência de corte W = yf2. Os pólos complexos conjugados fazem com que as inclinações da curva de módulo mudem de -20 para -60 dB/década. Na freqüência de corte seguinte, w = 2, o efeito do pólo é modificar a inclinação para -80 dB/década. Finalmente, na freqüência de corte W = 3, o efeito do zero é modificar a inclinação de -80 para -60 dB/década. Para a construção da curva completa do ângulo de fase, devem ser esboçadas as curvas do ângulo de fase para todos os fatores. A soma algébrica de todas as curvas de ângulo de fase fornece a curva completa do ângulo de fase, conforme mostrado na Fig. 8-10. Sistemas de fase mínima e sistemas de fase não-mínima. Funções de transferência que não possuam pólos ou zeros no semiplano direito do plano s são funções de transferência de fase mínima, enquanto as funções de transferência que possuam pólos e/ou zeros no semiplano direito são funções de transferência de fase não-mínima. Os sistemas com funções de transferência com fase mínima são denominados sistemas defase mínima; por outro lado, aqueles com funções de transferência de fase não-mínima são chamados sistemas de fase não-mínima. Para sistemas com as mesmas características de módulo, a gama de valores do ângulo de fase da função de transferência de fase mínima é a menor dentre as de todos estes sistemas, enquanto a gama de valores do ângulo de fase de qualquer função de transferência de fase não-mínima é superior a esse valor mínimo. Para um sistema de fase mínima, a função de transferência pode ser determinada, univocamente, a partir da curva de módulo. Para um sistema de fase não-mínima, este não é o caso. Ao se multiplicar qualquer função de transferência por filtros passa-tudo, não se altera a curva de módulo, mas a curva de fase é modificada. Considerem-se, como um exemplo, os dois sistemas cujas funções de transferência senoidais sejam, respectivamente, GI(júJ ) 1 + júJT 1 + 1 1 0< T< TI As configurações de pólos e zeros destes sistemas são indicadas na Fig. 8-11. As duas funções de transferência senoidais possuem as mesmas características de módulo, porém as características do ângulo de fase são diferentes, conforme mostrado na 8-12. Estes dois sistemas diferem entre si pelo fator 1 - júJT . G(júJ) = . 1 1úJT O módulo do fator (1 - júJT)/(l + júJT) é sempre unitário. Porém, o ângulo de fase é igual a -2 tan- I úJTe varia desde 0° até 180° à medida que a freqüência úJ varia de zero até infinito. Conforme estabelecido anteriormente, para um sistema de fase mínima, as características de módulo e de ângulo de fase são univocamente relacionadas. Isto significa que se a curva de módulo de um sistema for especificada em todas as freqüências desde zero até infinito, então a curva do ângulo de fase é determinada de forma única, e vice-versa. Isto, entretanto, deixa de ser verdade para um sistema de fase não-mínima. As situações de fase não-mínima podem surgir através de dois modos diferentes. Um deles é simplesmente quando o sistema inclui um elemento, ou elementos, de fase não-mínima. A outra situação pode acontecer nos casos onde há uma malha secundária instável. jw jw a T I T a 8-11 Configuração de pólos e zeros de um sistema de fase mínima GI(s) e de um sistema de fase não-mínima Gis). Seção 8-2 / Diagramas de Bode 397 w Fig. 8-12 Características do ângulo de fase dos sistemas GI(s) e G 2(s) mostrados na Fig. 8-11. Para um sistema de fase mínima, o ângulo de fase em OJ = x se torna igual a -90°(p - q), onde p e q são, respectivamente, os graus dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência. Para um sistema de fase nãomínima, o ângulo de fase em OJ = x difere de -90°(p - q). Em qualquer dos dois sistemas, a inclinação da curva de módulo em dB para OJ = x é de -20(p - q) dB/década. É possível, portanto, detectar se o sistema é ou não de fase mínima examinando-se, simultaneamente, a inclinação da assíntota nas altas freqüências da curva do módulo em dB e o ângulo de fase em OJ = x. Se a inclinação da curva do módulo em dB, à medida que OJtende a infinito, for de -20(p - q) dB/ década e o ângulo de fase em OJ = x for igual a -90°(p - q), então o sistema é de fase mínima. Sistemas de fase não-mínima apresentam resposta lenta em virtude de seus comportamentos incorretos nos instantes iniciais da resposta. Na maioria dos sistemas de controle práticos, devem ser evitados atrasos de fase excessivos. No projeto de um sistema, se a rapidez de resposta for de fundamental importância, não se deve usar componentes de fase não-mínima. (Um exemplo comum de elementos de fase não-mínima que podem estar presentes em sistemas de controle é o retardo de transporte.) Deve-se notar que as técnicas de análise e projeto de resposta de freqüência a serem apresentados neste e no próximo capítulo são válidos tanto para sistemas de fase mínima como para sistemas de fase não-mínima. Retardo de transporte. O retardo de transporte apresenta um comportamento de fase não-mínima e possui um atraso de fase excessivo, sem atenuação de módulo, nas altas freqüências. Retardos de transporte desse tipo existem normalmente em sistemas térmicos, hidráulicos e pneumáticos. Seja o retardo de transporte dado por G(jw) = e- j (!)! O módulo é sempre igual à unidade uma vez que IG(jw)1 = Icos wT - j sen wTI 1 Portanto, o módulo em dB do retardo de transporte e- jwT é igual a O dB. O ângulo de fase do retardo de transporte é - wT (radianos) -57,3 wT O ângulo de fase varia linearmente com a freqüência indicada na Fig. 8-13. OJ. (graus) A característica do ângulo de fase do retardo de transporte é EXEMPLO 8-2 Esboçar o diagrama de Bode relativo à seguinte função de transferência: o módulo em dB é 20loglc(jw)! = 2010g!e- i (u/1 + 20l0g 1 O 398 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência 20 IOgl1 + I;OJTI 1 , 1 +jwT - I-- ~ ~-- - . ~-~ ~ • -100° "-'\ /1: '\/ \ \ C( j(v) 1--. '\ = e~j(!)T =O IE \ \ · • • • \ \ -500° \ ••• • •• • I I 02 0.4 I I 0.60.8 1 2 4 6 8 10 wT Fig. 8-13 Característica do ângulo de fase do retardo de transporte. o ângulo de fase de G(jw) é +/1+lj"'7 -wL - tan- I wT As curvas do módulo em dB e do ângulo de fase para esta função de transferência com L = 0,5 e T = 1 são mostradas na Fig. 8-14. 10 -20 1-- ..... , ....... ,........ , ......•......... , ...•.... , ..... ,P .......•. -100 0 -200° I- -300° ~~~~~~~~~~__~~~~~~~~ 0,1 •.......... , ...... c .....•...........•...•..••......•.....•.....•.•••.•... 0.2 0.4 0,60,8! 2 4 6 8 10 w Fig. 8-14 Diagramas de Bode (amplitude e fase) para o sistema e-júJL/(l + jwT). com L Seção 8-2 / Diagramas de Bode 0,5 e T = 1. 399 Relação entre o tipo do sistema e a curva do módulo em dB. Considere-se o sistema de controle com retroação unitária. As constantes de erro estático de posição, velocidade e aceleração descrevem o comportamento em baixa freqüência dos sistemas do tipo O, do tipo 1 e do tipo 2, respectivamente. Para um dado sistema, somente uma das constantes de erro estático é finita e significativa. (Quanto maior o valor da constante de erro estático finito, maior será o ganho de malha à medida que w tende a zero.) O tipo do sistema determina a inclinação da curva do módulo em dE nas baixas freqüências. Portanto, a informação relativa à existência e amplitude do erro em regime estacionário de um sistema de controle para uma dada entrada pode ser determinada a partir da observação da região de baixas freqüências na curva do módulo em dE. Determinação da constante de erro estático de posição. Seja o sistema de controle com retroação unitária mostrado na Fig. 8-15. Admita-se que a função de transferência a malha aberta seja dada por + 1) + 1) ou A Fig. 8-16 mostra um exemplo de diagrama do módulo em dE de um sistema do tipo O. Nos sistemas deste tipo, o módulo de G(jw) nas baixas freqüências é igual a ou lim júJ) = W~O Segue-se que a assíntota nas baixas freqüências é uma reta horizontal em 20 log dE. Determinação da constante de erro estático de velocidade. Considere-se o sistema de controle com retroação unitária mostrado na Fig. 8-15. A Fig. 8-17 mostra um exemplo do gráfico do módulo em dE de um sistema do tipo 1. A interseção do segmento inicial de - 20 dE/década (ou seu prolongamento) com a reta w 1 tem como valor 20 log K,>. Este resultado pode ser verificado da seguinte maneira: em um sistema do tipo 1 C(s) R(s) 8-15 Sistema de controle com retroação unitária. dB - 20 dB/década -40 dB/década o~------------------~--------~ w em escala logarítmica 8-16 Curva de módulo em dE de um sistema do tipo O. 400 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência dB -20 dB/década 20 log Kv Or-------~r_~cr--~r_--------~0)] w em escala logarítmica -40 dB/década (1)= I Fig. 8-17 Curva de módulo em dB de um sistema do tipo 1. C(jw) jw para w ~ 1 Portanto, 2010g -" K1'1 Ijw 20 log Kv (1)=1 A interseção do segmento inicial de - 20 dB/década (ou seu prolongamento) com a reta de O dB possui uma freqüência numericamente igual a K,. Para verificar este resultado, define-se a freqüência nesta interseção como sendo mI; então, Ij:':1 = 1 ou Como exemplo, considere-se o sistema do tipo 1 com retroação unitária cuja função de transferência a malha aberta é K C(S) = s(Js + F) Definindo-se a freqüência de corte como sendo m2 e a freqüência de interseção do segmento de -40 dB/década (ou seu prolongamento) com a reta de O dB como sendo m3 , então (l} 3 K =] Uma vez que K F segue-se que ou Seção 8-2 / Diagramas de Bode 401 dR -40 dB/década -60 dR/década - 20 dB/década O~---------+------~--~~------------~- w em escala logarítmica (t) Fig. 8-18 Curva de módulo em dB de um sistema do tipo 2. No diagrama de Bode Portanto, o ponto úJ3 é o ponto médio entre os pontos e úJl úJ2. O coeficiente de amortecimento ~ do sistema é, então, ~= Determinação da constante de erro estático de aceleração. Seja o sistema de controle com retroação unitária mostrado na Fig. 8-15. A Fig. 8-18 mostra um exemplo de gráfico do módulo em dB para um sistema tipo 2. A interseção do segmento inicial de -40 dB/década (ou seu prolongamento) com a reta úJ = 1 possui a ordenada 20 log Uma vez que nas baixas freqüências C( júJ) = . 2' (}úJ ) para úJ « 1 segue-se que ~{/ 2010 g 1 /1. ( }úJ)- (»= 1 = 2010g A freqüência úJ" na interseção do segmento inicial de -40 dB/década (ou seu prolongamento) com a reta de O dB fornece a raiz quadrada de K(/ numericamente. Esta afirmação pode ser verificada a partir do seguinte: 20 lOgl . .Ku /1 = ( }Ú)(/)- 20 log 1 O que fornece OJ({ = 8-3 TRAÇADO DE DIAGRAMAS O comando bode calcula o módulo e o ângulo de fase da resposta de freqüência de sistemas contínuos no tempo, lineares e invariantes no tempo. 402 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência Quando se entra com o comando bode (sem argumentos no primeiro membro) o MATLAB gera na tela do monitor um diagrama de Bode. Quando este comando é ativado com argumentos no primeiro membro [mag,phase,w] = bode(num,den,w) obtém-se a resposta de freqüência do sistema através das matrizes mag, phase, e w. Nenhum gráfico é produzido na tela do monitor. As matrizes mag e phase contêm os valores dos módulos e dos ângulos de fase da resposta de freqüência do sistema calculados nos valores de freqüência definidos pelo usuário. Os valores dos ângulos de fase são expressos em graus. Os valores do módulo podem ser convertidos em dB através do comando magdB = 20*logl O(mag) Para se especificar a gama de valores de freqüência, utilizam-se o comando logspace(d l,d2) ou o comando logspace(dl ,d2,n). O comando logspace(dl ,d2) gera um vetor de 50 pontos espaçados regularmente numa escala logarítmica entre as décadas 1 Odl e 1 Od2. Isto é, para se gerar 50 pontos entre 0,1 radls e 100 radls entra-se com o comando w logspace(-l O comando logspace(dl, d2, n) gera n pontos regularmente espaçados numa escala logarítmica entre as décadas 1 Odl e 1 Od2. Por exemplo, para gerar 100 pontos entre 1 radls e l.000 radls, entra-se com o seguinte comando: w = logspace(O,3,100) Para incorporar estes valores de freqüência no traçado de diagramas de Bode, utilizam-se os comandos bode(num,den, w) ou bode (A,B,C,D,iu,w). Estes comandos utilizam os valores de freqüência especificados no vetor w. EXEMPLO 8-3 Considere-se a seguinte função de transferência: C(s) 25 25 Traçar o diagrama de Bode relativo a esta função de transferência. Quando o sistema for definido sob a forma C(s) den(s) usa-se o comando bode(num,den) para construir o diagrama de Bode. [Quando as matrizes num e den contêm os coeficientes dos polinómios em numerador e denominador em ordem decrescente das potências de s, o comando bode(num, den) fornece o diagrama de Bode]. O Programa MA TLAB 8-1 permite traçar os diagramas de Bode relativos a este sistema. O diagrama de Bode resultante é mostrado na Fig. 8-19. Programa MATLAB 8- 1 num = [O O 25]; [1 4 251; den bode(num,den) subplot(2,1 ,1 ); title('Diagramas de Bode de G(s) Seção 8-3 / Traçado de Diagramas de Bode com MATLAB = 25/(sI\2 + 4s + 25)') 403 Diagramas de Bode de G(s) = 25/(sA2+4s+25) 50 o::l "O ::: O ii) o "ê -50 :'j O -100 10° Freqüência (rad/s) c.r; ::l O 2 ~ ~ ~ r----------- ~ -90 CJ "O "" """", -180 0 I--f- 10° Freqüência (rad/s) 25 8-19 Diagramas de Bode de G(s) 25 EXEMPLO 8-4 Seja o sistema mostrado na Fig. 8-20. A função de transferência a malha aberta é G(s) Traçar os diagramas de Bode. O Programa MA TLAB 8-2 traça os diagramas de Bode relativos a este sistema. O gráfico resultante é mostrado na Fig. 8-21. A gama de valores de freqüência, neste caso. será determinada automaticamente como sendo o intervalo de O, I a 10 rad/s. Programa MATLAB 8-2 num [O 9 1.8 9]; den [1 1.2 9 O]; bode(num,den) subplot(2,l f 1 ); title( 'Diagramas de Bode de G(s) = 9(s!\2 + 0.2s + l)j [s(s!\2 + 1.2s + 9)] ~ Caso se queira traçar os diagramas de Bode de 0,1 a 1.000 rad/s, entra-se com o seguinte comando: w = logspace (-2,3,100) 8-20 Sistema de controle. 404 Capítulo 8 j Análise no Domínio de Freqüência = 9(sA21 +0,2s+ 1)/[sC\A2+ 1,2s+9)] Diagramas de Bode de G(s) 20 r:o ~ v E (l) .c O r---~-- ~ ~- ~ ~ I'---~ § O " V / ~ V ~ ~I'--- i'- ! - -- f- -20 10- 1 10° Freqüência (rad/s) IC1\ 1\ 1/ o "3 oD ~ 1-1- (~-90 10- 1 f-"/ ~ 1---1--1- 10° Freqüência (rad/s) 8-21 Diagramas de Bode de G(s) Este comando gera 100 pontos regularmente espaçados numa escala logarítmica, entre 0,01 e 100 rad/s. (Note-se que o vetor w especifica os valores de freqüência em rad/s para os quais se deseja calcular a resposta de freqüência.) Se for utilizado o comando bode (num,den,w) então a faixa de valores de freqüência será a definida pelo usuário, mas as faixas de valores do módulo e do ângulo de fase continuarão a ser determinadas automaticamente. Ver o Programa MATLAB 8-3 e o gráfico resultante na Fig. 8-22. Para especificar a gama de valores do módulo (magnitude) e do ângulo de fase, utiliza-se o seguinte comando: [mag,phase,w] = bode(num,den,w) As matrizes mag e phase contêm os valores de módulo e dos ângulos de fase da resposta de freqüência calculados nos valores de freqüência especificados pelo usuário através do vetor w. Os valores do ângulo de fase são expressos em graus. Os valores de magnitude podem ser convertidos em dB através do comando Programa MATLAB 8-3 num = [O 9 1.8 9]; den [1 1.2 9 O]; w = logspace (-2,3,100); bode(num,den,w) subplot(2,l,1 ); title ('Diagramas de Bode de G(s) = 9(SA2 magdb + 0.2s + 1)1 [s(sA2 + 1.25 + 9)]' ) = 20*logl O(mag) Desejando-se especificar a faixa de valores em que a magnitude deva permanecer, por exemplo, entre -45 dB e +45 dB, é preciso entrar no gráfico com retas invisíveis em -45 dB e +45 dB especificando-se os valores de dBmáx (máximo valor da magnitude) e dBmín (mínimo valor da magnitude), como se segue: dBmax dBmin 45*ones(l,100); = -45*ones(1,1 00); Digita-se, em seguida, o seguinte comando de traçado semilogx(w,magdB,'o',w,magdB,'-',w,dBmax,'--i',w,dBmin,':i') Seção 8-3 I Traçado de Diagramas de Bode com MA TLAB 405 Diagrama de Bode de G(s) = 9(s~2+0,2s+ 1)/[s(s~2+ 1,2s+9)] 50 r-----r--. o::l "O E O j- . W n % 1m t (I) (O O =O Rc 8-29 Diagrama polar de 1 Seção 8-4 / Gráficos Polares jwT. 413 1m w=x Re Fig. 8-30 Diagrama polar de - - - - - - - - - - . " , - para 1+ 2~ (j ~ > O. W wn são dadas, respectivamente, por lim G(júJ) e (!)~O lim G( júJ) = O/-180° (!)~X L2.: o gráfico polar desta função de transferência senoidal tem início em 1 e termina em O/- \80 0 à medida que úJ aumenta de zero até infinito. Portanto, o trecho de altas freqüências de G(júJ) é tangente ao eixo rea negativo. Os valores de G(jro) no intervalo de freqüências de interesse podem ser calculados diretamente usando-se o diagrama de Bode ou por intermédio do MATLAB. Exemplos de gráficos polares da função de transferência considerada são indicados na Fig. 8-30. A forma ex ata de um gráfico polar depende do valor do coeficiente de amortecimento ~, porém a forma geral do gráfico é a mesma tanto para o caso subamortecido (l > ~ > O) como para o caso superamortecido (~ > 1). Para o caso subamortecido em ro = roll' tem-se G(jron ) = 1/(j20, e o ângulo de fase em úJ = ron é -90°. Além disso, pode ser observado que a freqüência na qual o lugar geométrico de G(jro) intercepta o eixo imaginário é a freqüência natural não-amortecida roJ1' No gráfico polar, o ponto de freqüência cuja distância à origem é máxima corresponde à freqüência de ressonância ror' O valor de pico de G(jro) é obtido através da relação entre o valor da magnitude do vetor na freqüência de ressonância ror e o módulo do vetor em úJ = O. A freqüência de ressonância ror é indicada no gráfico polar mostrado na Fig. 8-31. Para o caso superamortecido, à medida que ~ aumenta bem além da unidade, o lugar geométrico de G(jro) se aproxima de uma semicircunferência. Isto pode ser observado pelo fato de que para um sistema muito amortecido, as raízes características são reais e uma delas é muito menor que a outra. Uma vez que para ~ suficientemente grande o efeito da maior raiz (maior em valor absoluto) na resposta resulta muito pequeno, o sistema se comporta como de primeira ordem. 1m w=X w=O Re Fig. 8-31 Diagrama polar mostrando o pico e a freqüência de ressonância wr' 414 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência hn (V o =o Re Fig. 8-32 Diagrama polar de 1 + 2~(j~] + (j OJ" OJ OJ" , para ~ > O. Seja, a seguir, a seguinte função de transferência senoidal: o trecho de baixas freqüências da curva é lim G(júJ) 1 (1)-)0 e a parte de altas freqüências é lim G(júJ) = x /180° (1)-)% Uma vez que a parte imaginária de G(jro) é positiva para ro> O e monotonicamente crescente, e a parte real de G(jro) é monotonicamente decrescente a partir da unidade, a forma geral do gráfico polar de G(jro) tem o aspecto indicado na Fig. 8-32. O ângulo de fase está entre 0° e 180°. EXEMPLO 8-7 Considere-se a seguinte função de transferência de segunda ordem C(s) = s(Ts + 1) Esboçar um gráfico polar desta função de transferência. Uma vez que a função de transferência senoidal pode ser escrita T ---,--- - j ----::---c- a parte de baixas freqüências do gráfico polar torna-se lim C(júJ) T - jx = = x / -90° W--'>O e a parte de altas freqüências se torna l~ C(jw) = O - jO = O/-180° A forma geral do gráfico polar de G(jOJ) é indicada na Fig. 8-33. O gráfico de G(jOJ) é assintótico à reta vertical passando pelo ponto (- T, O). Uma vez que esta função de transferência envolve uma integração (1Is), a forma geral do gráfico polar difere substancialmente daquelas correspondentes a funções de transferência de segunda ordem que não possuem um integrador. Seção 8-4 / Gráficos Polares 415 1m -T x o Re Fig. 8-33 Diagrama polar de l/Uw(l Retardo de transporte. jwT)]. O retardo de transporte C(jw) = e-jU)! pode ser escrito C(jw) = 1 / cos w T - j sen w T Como o módulo de G(jm) é sempre unitário e o ângulo de fase varia linearmente com m, o gráfico polar do retardo de transporte é uma circunferência unitária, conforme indicado na Fig. 8-34. Em baixas freqüências, o retardo de transporte e- jwT e a dinâmica de primeira ordem 1/0 + jmT) se comportam de forma similar, conforme é mostrado na Fig. 8-35. Os gráficos polares de e--jwT e de 1/(1 + jmT) são tangentes entre si na freqüência m = O. Este resultado pode ser comprovado pelo fato de que, para m ~ 1/T, e-jw ! ~ 1 - jwT e 1 1 + jwT Para m ~ 1/T, entretanto, existe uma diferença essencial entre e- jofT e 1/(1 ~1- 'wT .1 + jmT), como pode ser visto na Fig. 8-35. 1m Re Fig. 8-34 Diagrama polar do retardo de transporte. 1m Fig. 8-35 Diagramas polares de e- jofI e l/( 1 + joJ7). 416 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência EXEMPLO 8-8 Obter o gráfico polar da seguinte função de transferência G(jw) jwT Uma vez que G(júJ) pode ser escrita G(jw) A magnitude e o ângulo de fase são, respectivamente, e I 1 LEIiii -wL tan- 1 wT Uma vez que o módulo diminui monotonicamente desde a unidade e o ângulo de fase também diminui monotônica e indefinidamente, o gráfico polar da função de transferência em estudo é uma espiral, conforme indicado na Fig. 8-36. Formas gerais de gráficos polares. Os gráficos polares de uma função de transferência da forma K(l + jw~J(l + jwTrJ· .. Ciw)'1.(1 + jw T j )(1 + jw T 2 )· •. C(jw) boCiw)m + bl(jw)m-I + .. . aoCiw yz + ai CiW)I1-1 + .. . onde n > m, ou o grau do polinómio do denominador é maior do que o grau do polinómio do numerador, apresentarão as seguintes formas gerais: 1. Para A = O ou sistemas do tipo O: O ponto inicial do gráfico polar (que corresponde a O) = O) é finito e está sobre o eixo real positivo. A tangente ao gráfico polar em O) = Oé perpendicular ao eixo real. O ponto final, que corresponde a O) = x, corresponde à origem, e a curva é tangente a um dos eixos. 2. Para À = 1 ou sistemas do tipo 1: O termo jO) no denominador contribui com -90° para o ângulo de fase total de G(jO) ao longo de todo o intervalo O ::; 0)::; x. Em O) = O, o módulo de G(jO) é infinito, e o ângulo de fase resulta -90°. Nas baixas freqüências, o gráfico polar é assintótico a uma reta paralela ao eixo imaginário negativo. Em O) = x, o módulo torna-se nulo e a curva converge para a origem, sendo tangente a um dos eixos. 3. Para À = 2 ou sistemas do tipo 2: O termo (j0)2 no denominador contribui com 180° para o ângulo de fase total de G(jO) ao longo de todo o intervalo O ::; 0)::; x. Em O) = O, o módulo de G(jO) é infinito, e o ângulo de fase resulta 180°. Nas baixas freqüências, o gráfico polar é assintótico a uma reta paralela ao eixo real negativo. Em O) = x, o módulo tornase nulo e a curva é tangente a um dos eixos. Os formatos gerais das partes de baixa freqüência dos gráficos polares de sistemas tipo O, tipo 1 e tipo 2 são indicados na Fig. 8-37. Pode-se ver que, se o grau do polinómio do denominador de G(jO) for maior que o do numerador, então os 1m Re Fig. 8-36 Diagrama polar de ejlúL/(l + júJT). Seção 8-4 / Gráficos Polares 417 1m Sistema tipo 2 Re Sistema tipo O Fig. 8-37 Diagramas polares de sistemas tipo 0, tipo 1 e tipo 2. lugares geométricos de G(jw) convergem para a origem no sentido horário. Em w = x, os lugares geométricos são tangentes a um ou ao outro eixo, conforme indicado na Fig. 8-38. Note-se que quaisquer formas complicadas nas curvas do gráfico polar são causadas pela dinâmica do numerador, isto é, pelas constantes de tempo no numerador da função de transferência. A Fig. 8-39 mostra exemplos de gráficos polares de funções de transferência com dinâmicas no numerador. Na análise de sistemas de controle, o gráfico polar de deve ser determinado com exatidão na faixa de freqüências de interesse. A Tabela 8-1 mostra esboços de gráficos polares de várias funções de transferência. 1m 11 m 3 G(jw) Re Il-m=l Fig. 8-38 Diagramas polares na região de altas freqüências. 1m [m w=x w=x Re Re w + O 8-39 Diagramas polares de funções de transferência com dinâmica em numerador. 418 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência Tabela 8-1 Diagramas polares de funções de transferência simples 1m Im (J)=X I (J)=X O Re w tO jw O 1m 1m x jw x t I +jwT O Re Re Re O 1m ~ 1m I +jwT (jw)2 0-- w O O Re w=O 1m (I + jwT j ) (I + jwT2) (I +jwT3) w=X O (a> J) jw(l + jwT2) (I + jwT3) 1m Re Re DIAGRAMAS w=X NYQUIST COM Os diagramas de Nyquist, do mesmo modo que os diagramas de Bode, são comumente usados para a representação de sistemas de controle com retroações lineares e invariantes no tempo, no domínio de freqüência. Os diagramas de Nyquist são diagramas polares, enquanto os diagramas de Bode são diagramas retangulares. Um dos diagramas pode ser mais conveniente para uma operação em particular, porém qualquer operação pode ser conduzida por meio de ambos os diagramas. O comando nyquist calcula a resposta de freqüência de sistemas contínuos no tempo, lineares e invariantes no tempo. Quando utilizado sem argumentos, o comando nyquist produz, na tela do monitor, um diagrama de Nyquist. O comando nyquist(num,den) traça o diagrama de Nyquist da função de transferência num(s) den(s) onde as matrizes num e den contêm os coeficientes dos polinómios em ordem decrescente das potências de s. Seção 8-5 / Traçado de Diagramas de Nyquist com MATLAB 419 o comando nyquist(num,den,w) usa os valores de freqüência especificados pelo usuário através do vetor w. O vetor w especifica os valores de freqüência em radls para os quais se deseja calcular a resposta de freqüência. Quando utilizado com argumentos no primeiro membro nyquist(num,den) ou [re,im,w] = nyquist(num,den,w) o MATLAB fornece a resposta de freqüência do sistema através das matrizes re, i me w. Nenhum gráfico é exibido na tela do monitor. As matrizes re e im contêm os valores das partes real e imaginária da resposta de freqUência do sistema nos pontos de freqüência especificados no vetor w. Note-se que re e im possuem tantas colunas quanto o número de sinais de saída e uma linha para cada elemento de w. EXEMPLO 8-9 Considere-se a seguinte função de transferência a malha aberta: G(s) Traçar o diagrama de Nyquist com o MATLAB. Uma vez que o sistema é dado sob a forma de função de transferência, pode ser usado o comando nyquist(num,den) para traçar o diagrama de Nyquist. O Programa MATLAB 8-8 produz o diagrama de Nyquist mostrado na Fig. 8-40. Neste diagrama, as faixas de valores no eixo real e no eixo imaginário são determinadas automaticamente. Programa MATLAB 8-8 num = [O O 1]; den = [1 0.8 1]; nyquist(num,den) grid title('Diagrama de Nyquist de G(s) = 1/(51\2 Diagrama de Nyquist de C(s) 1.5 + 0.8s + 1)') = 1/(sA2+0,8s+ 1) r---,----,----,---,----,------,------,--..,----, c >< :í3 -O.)- -1 - 1.5 '----_---L-_--'--_-----L_ _-'-----_-'--_---'-_------'_ _- ' - - _ - - " -0.6 -0.4 -02 O 0.2 0.4 0.6 0.8 Eixo Real 8-40 Diagrama de Nyquist de G(s) = 5" 420 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência + 0,8s + 1 1.2 Desejando-se desenhar o diagrama de Nyquist usando faixas de valores determinadas manualmente, como por exemplo, de -2 a 2 sobre o eixo real e de - 2 a 2 sobre o eixo imaginário, entra-se com o seguinte comando no computador: v= axis(v); 2 -2 2]; axis([-2 2 -2 2]); ou, combinando-se as duas linhas numa única, Ver o Programa MATLAB 8-9 e o diagrama de Nyquist resultante mostrado na Fig. 8-41. Programa MATlAB 8-9 % ------------ Diagrama de Nyquist -----------num = [O 01]; den = [1 0.81]; nyquist(num, den) v = [- 2 2 -2 2]; axis(v) grid title( 'Diagrama de Nyquist de G(s) = 1/(sI\2 + 0.8s + 1)j Atenção. Ao traçar o diagrama de Nyquist na região onde a operação do MATLAB envolve a mensagem "Divide by zero" (Divisão por zero) o gráfico de Nyquist pode estar errado. Por exemplo, se a função de transferência G(5) for dada por 1 G(s) = - - s(s + 1) então o comando MA TLAB num [O O 1]; den = [1 1 O]; nyquist(num,den) produz um diagrama de Nyquist com erro. Um exemplo de diagrama de Nyquist com erro é mostrado na Fig. 8-42. Quando aparece um diagrama com erro na tela do monitor, é possível corrigi-lo por meio de uma especificação do comando axis(v). Por exemplo, digitando-se o comando de especificação de eixo v = [-2 2 5 5]; axis(v) é possível se obter um diagrama de Nyquist correto. Ver Exemplo 8-10. Diagrama de Nyquist de C(s) = l/(sA2+0,8s+ 1) 2 ,---,,---,----,----,----,----,----,----, 1.5 .3 ,~ 0.5 c 'CD ~ ~ O o x iil -0.5 -] -1.5 -1.5 -I 2 -0.5 Eixo Real Fig. 8-41 Diagrama de Nyquist de G(s) S2 Seção 8-5 / Traçado de Diagramas de Nyquist com MATLAB + 0,85 + 1 421 x 107 Diagrama de Nyquist Incorreto 0,8 0,6 OA "o 'e 'ct1 c: 'CD C':l § 02 ° o -02 >< ~ -OA -0,6 i'- -0,8 -1 ° L -_ _L -_ _L -_ _L -_ _~_ _~_ _~_ _~_ _~_ _~_ _~ -1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0.1 Eixo Real Fig. 8-42 Diagrama de Nyquist incorreto, EXEMPLO 8-10 Traçar o diagrama de Nyquist da seguinte G(s): C(s) ses 1) o Programa MA TLAB 8-10 produzirá, na tela do monitor, um diagrama de Nyquist correto mesmo que a mensagem "Divide (Divisão por zero) possa aparecer no monitor. O diagrama de Nyquist resultante é mostrado na Fig, 8-43. Programa MATLAB 8-10 % ------------ Diagrama de Nyquist -----------num = [O O 1J; den = [1 1 O]; nyquist(num, den} v = [-2 2 -5 5J; axís(v) grid title('Diagrama de Nyquist de G(s) Diagrama de Nyquist de C(s) = 1/[s (s + l)'J = 1/[s(s+ I)J 5 4 3 2 .§ 'C':l c: 'CD C':l § ° o -1 >< ~ -2 ,.., -,) -4 -1.5 -1 -0,5 ° 0,5 Eixo Real 422 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência 1,5 2 8-43 Diagrama de Nyquist de G(s) = + 1) zero" Diagrama de Nyquist de G(s) = l/[s(s+l)] Eixo Real 8-44 Diagrama de Nyquist de G(s) = + ses 1) Observe-se que o diagrama de Nyquist mostrado na Fig. 8-43 inclui ambos os lugares geométricos para úJ> O e úJ < O. Caso se deseje construir o diagrama de Nyquist somente para valores positivos da freqüência angular (úJ > O), então será necessário utilizar o comando [re,im,w] = nyquist(num,den,w) Uma aplicação em programa MATLAB deste comando nyqui5t é mostrada no Programa MATLAB 8-11. O diagrama de Nyquist resultante é mostrado na Fig. 8-44. Programa MATLAB 8-11 % ------------ Diagrama de Nyquist -----------num = [O O 1]; den = [1 1 O]; w = 0.1:0.1:100; [re,im,w] = nyquist(num,den,w); plot(re, im) v = [-22 -5 5J; axis(v) grid title('Diagrama de Nyqui5t de G(s) xlabel('Eixo Real') ylabel('Eixo Imaginário') 1/[5(5 + 1)]') Traçado dos diagramas de Nyquist de sistemas definidos no espaço de estados. Considere-se o siste- ma definido por Ax + Bu :ii: y onde x y u A B C D Seção 8-5 = Cx + Du vetor de estado (vetor n X 1) vetor resposta (ou de saída) (vetor m X 1) vetor excitação (ou de entrada) (vetor r Xl) matriz de estado (matriz n X n) matriz de controle (matriz n X r) matriz de saída (matriz m X n) matriz de transmissão direta (matriz m X r) 1 Traçado de Diagramas de Nyquist com MA TLAB 423 Pode-se obter os diagramas de Nyquist deste sistema através do comando nyquist(A,B,C,D) Este comando produz uma série de diagramas de Nyquist, um para cada par entrada-saída do sistema. A gama de valores de freqüência é determinada automaticamente. O comando produz os diagramas de N yquist relacionando o sinal de entrada i u a todos os sinais de saída do sistema, com os valores de freqüência angular determinados automaticamente. O escalar iu é um índice relativo às entradas do sistema e identifica qual delas está sendo usada para obter a resposta de freqüência. O comando utiliza o vetor w com os valores de freqüência especificados pelo usuário. O vetor w especifica os valores de freqüência angular em rad/s onde se deseja calcular a resposta de freqüência do sistema. EXEMPLO 8-11 Considere-se o sistema definido por y [1 O][~l] x + [O]u 2 Traçar um diagrama de Nyquist. Este sistema possui uma única grandeza de entrada u e uma única grandeza de saída)'. Pode-se obter um diagrama de Nyquist através do comando nyquist(A,B,C,D) ou do comando nyquist(A,B,CD,l ) Diagrama de Nyquist 1,2 Eixo Real 8-45 Diagrama de Nyquist do sistema considerado no Exemplo 8-11. 424 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência Programa MATLAB 8-12 A = [O 1;-25 B = [0;25]; 24); C = [1 O]; D = [O]; nyqu ist(A, BfC, D) grid title( Diagrama de Nyquist) o Programa MA TLAB 8-12 fornece o diagrama de Nyquist. (Observe-se que é obtido o mesmo resultado com qualquer destes dois comandos.) A Fig. 8-45 mostra o diagrama de Nyquist produzido pelo Programa MATLAB 8-12. EXEMPLO 8-12 Seja o sistema definido por Este sistema envolve duas entradas e duas saídas. Há quatro relações senoidais de entrada- saída: YIVúJ)IUIVúJ), Y2VúJ)IU IVúJ), YIVúJ)1 U 2VúJ) e YhúJ)IU 2VúJ). Traçar os diagramas de Nyquist para o sistema. (Quando se considera o sinal de entrada UI admite-se que o sinal de entrada U 2 é zero e vice-versa.) Cada um dos quatro diagramas de Nyquist pode ser obtido através do comando nyqu ist(A, B,C D) O Programa MATLAB 8-13 produz os quatro diagramas de N yquist. Eles são mostrados na Fig. 8-46. Programa MATLAB 8-1 3 A = [-1 -1;6.5 B = [1 1;1 O]; C = [1 0;0 1]; O = [O 0;0 O]; O]; nyquist(A,B,C,D) GRÁFICOS EM Uma outra abordagem para retratar graficamente as características de resposta em freqüência é o uso do gráfico do logmódulo versus fase, que é um gráfico do logaritmo do módulo em decibéis versus o ângulo de fase, ou margem de para uma faixa de freqüência de interesse. [A margem de fase é a diferença entre o ângulo de fase real e-180°, isto é, cP - (-180°) 180° + cP·] A curva é graduada em termos da freqüência. Estes gráficos do log-módulo versus fase são algumas vezes denominados gráficos de Nichols. No diagrama de Bode, as características da resposta de freqüência de G(jw) são fornecidas em um papel monolog por meio de duas curvas separadas, a curva do log-módulo e a curva do ângulo de fase, enquanto no gráfico do log-módulo versus fase as duas curvas do diagrama de Bode são combinadas em apenas uma. O gráfico do log-módulo versus fase pode ser facilmente construído pelos valores obtidos do logaritmo do módulo e do ângulo de fase a partir do diagrama de Bode. Note que, no gráfico do log-módulo versus fase, uma variação na constante de ganho de G(jw) simplesmente desloca a curva para cima (para ganhos crescentes) ou para baixo (para ganhos decrescentes), porém a forma da curva permanece a mesma. As vantagens do gráfico do 10g-módulo versus fase são as seguintes: a estabilidade relativa do sistema a malha fechada pode ser determinada rapidamente e a compensação pode ser realizada com facilidade. Os gráficos do log-módulo versus fase para as funções de transferência senoidais G(jw) e IIG(jw) são anti-simétricos em relação à origem desde que em dE = Seção 8-6 / Gráficos de Amplitude em dB Versus Fase -I G (j0) ) 1em dE 425 Entrada 1 Saída 1 Entrada 1 Saída 2 4 .§ ':j c: '51 :j .§ 0.5 O o -0.5 x fij -1 -1 -@- o 'c ':j 2 c: 'bD :j O .§ >:i -2 W -4 2 O ~[3 -2 4 O 2 Eixo Real Eixo Real Entrada 2 Saída 1 --- Entrada 2 Saída 2 4 o 'c ':j c: '- 0.5 :j ~ 2 ':j c: 'biJ 'CD :j O O ~ ~ -2 'ú3 ~ -0.5 G:l -I O -4 -2 0.5 0, -I Eixo Real 2 O Eixo Real 8-46 Diagrama de Nyquist do sistema considerado no Exemplo 8-12, e I leu;) 1 G(jw) = A Fig. 8-47 compara as curvas de resposta em freqüência de G(jw) 1 + 2~ j (j -w) + (w (Vil 5 6 1m 3 O (0=00 o::: "O O -5 '" v o::: -3 := ;:; Re ~ "O -lO S2 -6 -9 (() -12 t -IS -180° -90 0 & UJ (a) (b) (c) 1 8-47 Três representações da resposta de freqüência de 1+ 2'(j para' > O. O) 0)/1 (a) Diagramas de Bode; (b) diagrama polar; (c) diagrama de módulo em dB versus fase, 426 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência 0° nas três representações diferentes. No gráfico do log-módulo versus fase, a distância vertical entre os pontos correspondentes úJ = O e úJ = úJ" onde úJ, é a freqüência de ressonância, é o valor de pico de G(júJ) em decibéis. Desde que as características do log-módulo e do ângulo de fase das funções de transferência básicas foram discutidas com detalhe nas Seções 8-2 e 8-3, será suficiente fornecer aqui exemplos de alguns gráficos do log-módulo versus fase. A Tabela 8-2 mostra estes exemplos. NYQUIST Esta seção apresenta o critério de estabilidade de Nyquist e a base matemática associada. Considere-se o sistema a malha fechada indicado na Fig. 8-48. A função de transferência a malha fechada é C(s) R(s) G(s) 1 + G(s)H(s) Para estabilidade, todas as raízes da equação característica o 1+ devem permanecer no semiplano s da esquerda. [Observa-se que, embora os pólos e zeros da função de transferência a malha aberta G(s)H(s) possam estar no semiplano s da direita, o sistema é estável se todos os pólos da função de transfeTabela 8-2 Diagramas de módulo em dE versus fase de funções de transferência simples o 10 t I- (ú G= :::c "O ::J 20 I I jw 10 ~ G I +jwT :::c "O O ::J ~w=1 "", v w ~IO I - ex ~20 ~IO - t O \..) I ~20 ~180° ~180° 20 .-----,---r----.------, 20 I T I 10 10 - W=Z "O O~------~~------~ G = I +jwT ::J O = e~j(})L c-- :::c w =0 G ex -w c..::; ~IO ! - ~IO ~20L----L----L---L--~ ~180° - I ~20 ~180° 0° I 0° 20~--_r----,----,----, 20~--_r----~--~--~ 10 lO ~IO ~IO jO)( I +jwT) :::c "O ~20L----L---L----L--~ ~ 180 0 0° 180 0 & Seção 8-7 / Critério de Estabilidade de Nyquist ~20L----L----L----L--~ ~ 180 0 0° 180° & 427 C(s) Fig. 8-48 Sistema de controle a malha fechada. rência a malha fechada (isto é, as raízes da equação característica) estiverem no semiplano s da esquerda.] O critério de estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em freqüência a malha aberta G(jOJ)H(jOJ) ao número de zeros e pólos de 1 + G(s)H(s) que estão no semiplano direito do plano s. Este critério, devido a H. Nyquist, é útil em engenharia de controle porque a estabilidade absoluta do sistema a malha fechada pode ser determinada graficamente a partir das curvas de resposta em freqüência a malha aberta e não há necessidade de se determinarem realmente os pólos a malha fechada. As curvas de resposta em freqüência de malha aberta obtidas analiticamente, bem como aquelas obtidas experimentalmente, podem ser utilizadas na análise de estabilidade. Isto é conveniente porque, no projeto de um sistema de controle, muitas vezes ocorre que as expressões matemáticas para alguns dos componentes não são conhecidas, sendo disponíveis apenas seus dados de resposta em freqüência. O critério de estabilidade de Nyquist é baseado em um teorema da teoria de variáveis complexas. Para entender o critério, serão discutidos inicialmente mapeamentos de contornos no plano complexo. Admitiremos que a função de transferência a malha aberta G(s)H(s) é representável como uma relação de polinômios em s. Para um sistema fisicamente realizável, o grau do polinômio do denominador da função de transferência a malha fechada deve ser maior ou igual àquele do polinômio do numerador. Isto significa que o limite de G(s)H(s) é nulo ou constante para s tendendo a infinito, ou para qualquer sistema fisicamente realizável. Estudo preliminar. A equação característica do sistema indicado na Fig. 8-48 é F(s) = 1 + G(s)H(s) = ° Será mostrado que a um dado percurso fechado e contínuo no plano s, que não passe através de quaisquer pontos singulapela res, corresponde uma curva fechada no plano F(s). O número e o sentido de envolvimentos da origem do plano curva fechada representam um papel particularmente importante no que se segue, porque mais tarde o número e o sentido dos envolvimentos serão correlacionados à estabilidade do sistema. Considere-se, por exemplo, a seguinte função de transferência de malha aberta: 6 (s + 1 )(s + 2) A equação característica é = 1 + G(s)H(s) = 1 + ___6___ (s + 1)(s + (s + + j2,4)(s + 1,5 (s + 1 )(s + 2) ------------------------= ° A função F(s) é analítica em todos os pontos do plano s, exceto em seus pontos singulares. Para cada ponto de analiticidade no plano s, corresponderá um ponto no plano F(s). Por exemplo, se s 1+ então F(s) se torna F(1 + j2) 1 + (2 + j2)~3 + j2) = 1,115 Portanto, o ponto s = 1 + j2 no plano s é mapeado no ponto 1,115 jO,577 do plano Portanto, conforme anteriomente estabelecido, a um dado percurso fechado contínuo no plano s, que não passe por pontos singulares, corresponderá uma curva fechada no plano A Fig. 8-49(a) mostra mapeamentos conformes das retas OJ = 0,1,2,3 e das retas (J" = 1,0, - 1, - 2, -4 no semiplano superior do plano s para o plano Por exemplo, a reta s = jOJno semiplano superior do plano s(OJ 2:: O) é mapeada na curva indicada por (J" = no plano A Fig. 8-49(b) mostra mapeamentos conformes das retas OJ = 0, 1, - 2, - 3 e das retas (J" 1, 0, 1, - 2, - 3, -4 no semiplano inferior do plano s, no plano F(s). Observe-se que, para um dado (J", a curva para freqüências negativas é simétrica em relação ao ° 428 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência Plano s jw B o 2 j2 A (d) D -4 O I 2 o (e) O Plano s B C A D Re =3 -2 E Plano F(s) 1m 2 A' G -2 E -2 w jw F a -)2 F Plano F(s) 1m C O H o 2 a Re -2 -)2 H' Fig. 8-49 Mapeamento conforme de percursos do plano s no plano F(s). eixo real da curva para freqüências positivas. Referindo-se às 8-49(a) e (b), verifica-se que, para o percurso ABCD no plano s percorrido no sentido horário, a curva correspondente no plano F(s) é A' B' C' D'. As setas sobre as curvas indicam o sentido de percurso. Analogamente, o percurso DEFA no plano s se mapeia na curvaD' E' F'A' do plano FCs). Devido à propriedade de mapeamento conforme, os ângulos correspondentes no plano s e no plano F(s) são iguais e possuem o mesmo sentido. [Por exemplo, uma vez que as retas AB e BC se interceptam em ângulos retos no plano s, as curvas A' B' e B' C' também se interceptam em ângulos retos no ponto B' do plano F(s).] Referindo-se à Fig. 8-49(c), verifica-se que sobre o contorno fechado ABCDEFA no plano s a variável s tem início no ponto A e assume valores neste percurso no sentido horário até retornar ao ponto de partidaA. A curva correspondente no plano F(s) é designada por A' B' C' D' E' F'A'. Definindo-se a área à direita do contorno, quando um ponto representativo s se move no sentido horário como corresSeção 8-7 / Critério de Estabilidade de Nyquist 429 pondente ao lado de dentro do contorno e a área à esquerda como o lado de fora, então a área hachurada na Fig. 8-49( c) está envolvida pelo contorno ABCDEFA e está no interior dele. Da Fig. 8-49(c) pode-se verificar o seguinte: quando o contorno no plano s envolve dois pólos de F(s), o lugar geométrico de F(s) envolve a origem do plano F(s) duas vezes, no sentido anti-horário. O número de envolvimentos da origem do plano depende do contorno fechado no plano s. Se este contorno envolver dois zeros e dois pólos de F(s), então o lugar geométrico de F(s) correspondente não envolverá a origem, conforme indicado na Fig. 8-49(d). Se este contorno envolver apenas um zero, o lugar geométrico correspondente de F(s) envolverá a origem uma vez no sentido horário. Isto é mostrado na Fig. 8-49(e). Finalmente, se o contorno fechado no plano s não envolver nem zeros nem pólos, então o lugar geométrico de F(s) não envolverá a origem do plano Este resultado também é mostrado na Fig. 8-49(e). Note-se que, para cada ponto no plano s, exceto para os pontos singulares, há apenas um ponto correspondente no plano F(s); isto é, o mapeamento do plano s no plano F(s) é unívoco. O mapeamento do plano no plano s pode, entretanto, não ser unívoco, de modo que um dado ponto no plano FCs) pode corresponder a mais de um ponto no plano s. Por exemplo, o ponto B' no plano F(s) na Fig. 8-49(d) corresponde aos dois pontos (- 3,3) e (0, no plano s. Da análise precedente pode-se observar que o sentido de envolvimento da origem do plano F(s) depende de o contorno no plano s envolver um pólo ou um zero. Note-se que a localização de um pólo ou de um zero no plano s, estejam eles no semiplano direito ou no semiplano esquerdo do plano s, não faz qualquer diferença; porém o envolvimento de um pólo ou de um zero faz diferença. Se o contorno no plano s envolve k zeros e k pólos (k 0, 1,2, ... ), isto é, um número igual de cada um deles, então a curva fechada correspondente no plano F(s) não envolve a origem do plano F(s). A discussão anterior corresponde a uma explicação gráfica do teorema do mapeamento, que é a base para o critério de estabilidade de Nyquist. Teorema do mapeamento. Seja F(s) uma relação de dois polinómios em s. Seja P o número de pólos e Z o número de zeros de F(s) que estão dentro de algum contorno fechado no plano s, levando-se em conta a multiplicidade dos pólos e zeros. Seja este contorno tal que não passe por nenhum pólo ou zero de F(s). Esse contorno fechado no plano s é então mapeado no plano F(s) como uma curva fechada. O número total N de envolvimentos da origem do plano no sentido horário, à medida que um ponto representativo s percorre todo o contorno no sentido horário, é igual a Z - P. (Note-se que por meio deste teorema do mapeamento os números de zeros e pólos não podem ser determinados, apenas sua diferença.) Não será apresentada aqui uma demonstração formal deste teorema, deixando-se esta prova para o Problema A-8-1 O. Note-se que o número positivo N indica um excesso de zeros em relação aos pólos da função F(s) e que um número negativo de N indica um excesso de pólos em relação aos zeros. Nas aplicações de sistemas de controle, o número P pode ser prontamente determinado para F(s) 1 + G(s)H(s) a partir da função G(s)H(s). Portanto, se N for determinado a partir do gráfico de F(s), o número de zeros no contorno fechado do plano s pode ser imediatamente obtido. Note-se que as formas exatas do contorno no plano s e do lugar geométrico de F(s) não têm importância quando se consideram os envolvimentos da origem, pois os envolvimentos dependem apenas do envolvimento de pólos e/ou zeros de F(s) pelo contorno no plano s. Aplicação do teorema do mapeamento na análise de estabilidade de sistema a malha fechada. Para analisar a estabilidade de sistemas de controle lineares será considerado o contorno fechado no plano s envolvendo todo o semiplano direito do plano s. O contorno consiste em todo o eixo JOJ, desde OJ = - x até OJ x, e em um percurso semicircular de raio infinito no semiplano direito do plano s. Este contorno é denominado percurso de Nyquist. sentido do percurso é o horário.) O percurso de Nyquist envolve todo o semiplano direito do plano s e todos os pólos e zeros de 1 + (G)(s)H(s) que possuam parte real positiva. [Se não houver zeros de 1 + G(s)H(s) no semiplano direito do plano s, então lá também não haverá pólos a malha fechada, e o sistema é estável.] É necessário que o contorno fechado, ou o percurso de Nyquist, não passe através de qualquer pólo ou zero de 1 G(s)H(s). Se G(s)H(s) possuir um ou mais pólos na origem do plano s, então o mapeamento do ponto s = resulta indeterminado. Nestes casos, a origem é evitada, considerando-se um contorno em torno dela. (Uma discussão detalhada deste caso especial será dada mais adiante.) Se o teorema do mapeamento for aplicado ao caso especial em que F(s) é igual a 1 G(s)H(s), então se pode fazer a seguinte afirmação: se o contorno fechado no plano s envolver todo o semiplano direito do plano s, conforme indicado na Fig. 8-50, então o número de zeros da função F(s) = 1 + G(s)H(s) no semiplano direito é igual ao número de pólos da ° jw Plano s o CJ Fig. 8-50 Contorno fechado no plano s. 430 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência função 1 + G(s )H(s) no semiplano direito do plano s mais o número de envolvimentos da origem do plano 1 no sentido horário para a curva fechada correspondente neste último plano. Devido à condição admitida de que 11m s-->% rI + G(s)H(s)l = constante a função 1 G(s)H(s) permanece constante conforme s percorre a semicircunferência de raio infinito. Por esta razão, independentemente do lugar geométrico de 1 + G(s)H(s), o envolvimento da origem do plano 1 G(s)H(s) pode ser determinado considerando-se apenas uma parte do contorno fechado no plano s, isto é o eixo JOJ. OS envolvimentos da origem, se houver, ocorrerão somente enquaJto um ponto representativo se move desde - jx até +jx ao longo do eixo JOJ, se não existir nenhum zero ou pólo no eixo} OJ. Note-se que a parte do contorno de 1 G(s)H(s) desde OJ - x até OJ +x é simplesmente 1+ G(jOJ)H(jOJ). Uma vez que 1+ G(jOJ)H(jOJ) é a soma vetorial do vetor unitário e do vetor G(jOJ)H(jOJ) , 1+ G(jOJ)H(jOJ) é idêntico ao vetor com origem no ponto 1 + )0 e ponto terminal na extremidade do vetor G(jOJ)H(jOJ), conforme mostrado na Fig. 8-51. O envolvimento da origem pelo gráfico de 1+ G(jOJ:H(jOJ) é equivalente ao envolvimento do ponto -1 + )0 pelo lugar geométrico de G(jOJ)H(jOJ). Portanto, a estabilidade de um sistema a malha fechada pode ser investigada examinando-se os envolvimentos do ponto -1 + )0 pelo lugar geométrico de G(jOJ)H(jOJ). O número de envolvimentos do ponto 1 + )0 no sentido horário pode ser determinado desenhando-se um vetor com origem no ponto - 1 + )0 até o lugar geométrico de G(jOJ)H(jOJ) iniciando em OJ = -x, passando por OJ = O e terminando em OJ = x, e contando-se o número de rotações do vetor no sentido horário. A construção do gráfico de G(jOJ)H(jOJ) relativa ao percurso de Nyquist é simples e direta. O mapeamento do eixo)OJ negativo é a imagem especular, em relação ao eixo real, do mapeamento do eixo)OJ positivo. Isto é, o gráfico de G(jOJ)H(jOJ) e o gráfico de G( - )OJ)H( - )OJ) são simétrico s em relação ao eixo real. A semicircunferência com raio infinito é mapeada na origem do plano GH ou em um ponto sobre o eixo real do plano GH. Na discussão precedente, admitiu-se que G(s)H(s) é a relação de dois polinómios em s. Portanto, o retardo de transporte e-TI foi excluído da discussão. Note-se, entretanto, que uma discussão análoga é aplicável a sistemas com retardo de transporte, embora a prova desta asserção nãJ seja fornecida aqui. A estabilidade de um sistema com retardo de transporte pode ser determinada a partir das curvas de resposta em freqüência a malha aberta examinando-se o número de envolvimentos do ponto -} jO, como no caso de um sistema cuja função de transferência a malha aberta é uma relação de dois polinómios em s. Critério de estabilidade de Nyquist. A análise anterior, utilizando o envolvimento do ponto -1 geométrico de G(jOJ)H(jOJ) é sumarizada no seguinte critério de estabilidade de Nyquist: + )0 pelo lugar Critério de estabilidade de Nyquist [para um caso especial em que G(s)H(s) não possua pólos ou zeros no eixo JOJ]. No sistema indicado na Fig. 8-48, se a funçãc de transferência a malha aberta G(s)H(s) possuir k pólos no semiplano direi= constante. então, para se ter estabilidade, o lugar geométrico G(jOJ)H(jOJ), à medida que to do plano s e }~~ OJ varia de - x a x, deve envolver o ponto -1 )0 k vezes no sentido anti-horário. Considerações sobre o critério de estabilidade de Nyquist 1. Este critério pode ser expresso como Z N+P 1m 1m Plano GH Plano I +GH ----f---l---'------jroo-Re o I Re G(jÚ)) H(jw) G(jw) H(jw) Fig. 8-51 Gráficos de 1 + G(júJ)H(júJ) no plano 1 + GH e no plano GH. Seção 8-7 / Critério de Estabilidade de Nyquist 431 onde Z número de zeros de 1 + G(s )H(s) no semiplano direito do plano s N = número de envolvimentos do ponto -1 jO no sentido horário P = número de pólos de G(s)H(s) no semiplano direito do plano 51 Se P for diferente de zero, para um sistema de controle estável, deve-se ter Z O ou N - P, o que significa que se deve ter P envolvimentos do ponto - 1 jO no sentido horário. Se G(s)H(s) não possuir qualquer pólo no semiplano direito do plano s, então Z N. Portanto, para estabilidade não se jO pelo lugar geométrico de G(jm)H(jm). Neste caso, não é necessário deve ter nenhum envolvimento do ponto -1 considerar o lugar geométrico para todo o eixo jm, mas somente a parte de freqüências positivas. A estabilidade de um sistema deste tipo pode ser determinada verificando se o ponto 1 + jO é envolvido pelo gráfico de Nyquist de G(jm)H(jm). A região envolvida pelo gráfico de Nyquist é mostrada na Fig. 8-52. Para estabilidade, o ponto - 1 + jO deve estar do lado de fora da região hachurada. 2. Deve-se tomar cuidado ao verificar a estabilidade de sistemas de múltiplas malhas, uma vez que estas podem incluir pólos no semiplano direito do plano s. (Note-se que, embora uma malha interna possa ser instável, o sistema a malha fechada como um todo pode ser estável através de um projeto apropriado.) A simples inspeção dos envolvimentos do ponto - 1 + jO pelo lugar geométrico de G(jm)H(jm) não é suficiente para detectar instabilidade em sistemas de múltiplas malhas. Nestes casos, entretanto, a existência ou não de qualquer pólo de 1+ G(s)H(s) no semiplano direito do plano s pode ser determinada facilmente aplicando-se o critério de estabilidade de Routh para o denominador de Se funções transcendentais, tais como retardo de transporte e-TI, forem incluídas em G(s)H(s), elas devem ser aproximadas por meio de uma expansão em série antes que seja aplicado o critério de estabilidade de Routh. Uma forma de expansão em série de e- Ts foi dada no Cap. 5 e é repetida aqui: Ts --+ 2 e-T~ = + ... 8 48 8 48 Ts -+ 2 1 +. " Em primeira aproximação podem ser considerados apenas os dois primeiros termos no numerador e no denominador, respectivamente, ou Ts 1 2 e/I Ts 1 +- 2- Ts 2+ Ts 2 Isto dá uma boa aproximação para o retardo de transporte na faixa de freqüência O::; m::; (O,5/T). [Note-se que o módulo é sempre igual a um, e o ângulo de fase de (2 - jmT)/(2 + jmT) é aproximadamente igual àquele de (2 - jmT)/(2 do retardo de transporte, dentro da faixa de freqüência estabelecida.] 3. Se o lugar geométrico de G(jm)H(jm) passar pelo ponto -1 + jO, então os zeros da equação característica ou os pólos a malha fechada estarão localizados sobre o Isto não é desejável para sistemas de controle práticos. Para um sistema a malha fechada bem projetado, nenhuma raiz da característica deve estar sobre o eixo jm. 1m Plano GH -1 8-52 432 Capítulo 8 / Re encerrada Análise no Domínio de Freqüência diagrama de Nyquist. Caso em que contém pólos e/ou zeros sobre o eixo júJ. Na discussão anterior, admitiu-se que a função de transferência a malha aberta G(s )H(s) não possuía pólos ou zeros na origem. Será considerado agora o caso em que G(s)H(s) contém pólos e/ou zeros sobre o eixojúJ. Uma vez que o percurso de Nyquist não deve passar em pólos ou zeros de G(s)H(s), se a função G(s)H(s) possuir pólos ou zeros na origem (ou sobre o eixo júJ em pontos diferentes da origem), o contorno no plano s deve ser modificado. O modo usual de modificação de contorno próximo à origem é usar uma semicircunferência com um raio infinitesimal E, conforme indicado na Fig. 8-53. Um ponto representativo s se move ao longo do eixo júJ negativo de x até jO-. De s = jO- até s = jO+, o ponto se move ao longo da semicircunferência de raio E (onde E <:g 1) e em seguida se move ao longo do eixo júJ positivo + até jx. De s = jx, o contorno segue uma semicircunferência com raio infinito e o ponto representativo retorna ao ponto de partida. A área que o contorno fechado modificado evita é muito pequena e tende a zero à medida que o raio E tenda a zero. Portanto, todos os pólos e zeros, se houver, no semiplano direito do plano s serão envolvidos por este contorno. por exemplo, um sistema a malha fechada cuja função de transferência a malha aberta seja dada por Os pontos correspondentes as jO+ e s sobre o lugar geométrico de G(s)H(s) no plano G(s)H(s) são - jx re~;pe:ctl.vam(~nte. Sobre o percurso semicircular com raio E (onde E <:g 1), a variável complexa s pode ser escrita S onde () varia de - 90° para + 90°. Então Ee iO resulta em K = K e-lO E O valor de K/E tende a infinito à medida que tende a zero, e - () varia de 90° a -90° à medida que um ponto representativo s se move ao longo da semicircunferência. Portanto, os pontos G(jO- )H(jO-) = jx e G(jO+ )H(jO+) -jx são unidos por uma semicircunferência de raio infinito no semiplano direito do plano GH. A semicircunferência infinitesimal em torno da origem é mapeada no plano GH em uma semicircunferência de raio infinito. A Fig. 8-54 mostra o contorno no plano s e o lugar geométrico de G(s)H(s) no plano GH. Os pontos A, B e C do contorno no plano s são mapeados nos pontos respectivos A', B ' e C' do lugar geométrico G(s)H(s). Como pode ser observado a partir da Fig. 8-54, os pontos D, E e F na semicircunferência de raio infinito no plano s são mapeados na origem do plano GH. Uma vez que não há pólo no semiplano direito do plano s e o lugar geométrico de G(s)H(s) não envolve o ponto -} + jO, não há zeros da função I + G(s)H(s) no semiplano direito do plano s. Portanto, o sistema é estável. Para uma função de transferência a malha aberta G(s)H(s) contendo um fator 1/s" (onde n 2, 3, ... ), o gráfico de possui n semicircunferências de raio infinito no sentido horário em torno da origem, à medida que um ponto jw Plano s jw Plano s a a S = E ciO 8-53 Percursos fechados no plano s evitando pólos e zeros na origem. Seção 8-7 / Critério de Estabilidade de Nyquist 433 [m jU) II' (O =0- I E B' a Re -1 -jx F Fig. 8-54 Contorno no plano s e lugar geométrico G(s)H(s) no plano GH, onde G(s)H(s) representativo s percorre a semicircunferência de raio transferência a malha aberta: E (onde E ~ = K/[s(Ts I)]. Considere-se, por exemplo, a seguinte função de K + 1) Então, K À medida que (} varia de -90° a 90° no plano s, o ângulo de varia de 180° até 180°, conforme mostrado na 8-55. Como não há pólos no semiplano direito do plano s e o lugar geométrico envolve o ponto -1 + jO duas vezes no sentido horário, para qualquer valor positivo de Khá dois zeros de 1 + no semiplano direito do plano s. este sistema é sempre instável. Note-se que uma análise equivalente pode ser realizada se contiver pólos e/ou zeros sobre o eixo jm. O critério de estabilidade de Nyquist pode agora ser generalizado como a seguir: Critério de estabilidade de Nyquist [para o caso geral em que G( s)H( s) contérn pólos e/ou zeros no eixo jm]: No sistema mostrado na Fig. 8-48, se a função de transferência a malha aberta G(s)H(s) possuir k pólos no semiplano direito do plano s, então, para estabilidade, o lugar geométrico de deve envolver o ponto 1 + jO k vezes no sentido anti-horário, à medida que um ponto representativo s percorre o contorno modificado de Nyquist no sentido horário. 1m jw a Fig. 8-55 Contorno no plano s e lugar geométrico G(s)H(s) no plano GH, onde G(s)H(s) = 434 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência Re I)]. Nesta seção serão apresentados alguns exemplos ilustrativos da análise de estabilidade de sistemas de controle utilizando o critério de estabilidade de Nyquist. Se o percurso de Nyquist no plano s envolver Z zeros e P pólos de 1 + G(s)H(s) e não passar por nenhum pólo ou zero de ] + G(s)H(s) à medida que um ponto representativo s percorre o contorno de Nyquist no sentido horário, então o contorno correspondente no plano G(s)H(s) envolve o ponto -1 + jO N Z - P vezes no sentido horário. (Valores negativos de N implicam envolvimentos no sentido anti-horário.) No exame da estabilidade de sistemas de controle lineares utilizando o critério de estabilidade de Nyquist, verifica-se que podem ocorrer três possibilidades: 1. Não há envolvimento do ponto -1 + jO. Isto implica que o sistema é estável se não houver pólos de G(s)H(s) no semiplano direito do plano s; caso contrário, o sistema é instável. 2. Há um ou mais envolvimentos do ponto 1 jO no sentido anti-horário. Neste caso, o sistema é estável se o número de envolvimentos no sentido anti-horário for igual ao número de pólos de G(s)H(s) no semiplano direito do plano s; caso contrário, o sistema é instável. 3. Há um ou mais envolvimentos no sentido horário do ponto -1 + jO. Neste caso, o sistema é instável. Nos exemplos a seguir, iremos supor que os valores do ganho K e das constantes de tempo (tais como T, TI e T 2) sejam todos positivos. EXEMPLO 8-13 Considere-se um sistema a malha fechada cuja função de transferência a malha aberta é dada por K G(s)H(s) = (T s 1 + 1 )(T2s 1) Examinar a estabilidade do sistema. Um gráfico de G(jOJ)H(jOJ) é mostrado na Fig. 8-56. Como G(s)H(s) não possui pólos de espécie alguma no semiplano direito do plano s e o ponto -1 +.i0 não é envolvido pelo lugar geométrico de G(jOJ)H(jOJ), este sistema é estável para quaisquer valores positivos de K, TI e EXEMPLO 8-14 Considere-se o sistema com a seguinte função de transferência a malha aberta: G(s) K 1)(T2s + 1) Determinar a estabilidade do sistema para dois casos: (1) o ganho K é pequeno e (2) K é grande. Os gráficos de Nyquist da função de transferência a malha aberta com um pequeno valor de K e com um grande valor de K são mostrados na Fig. 8-57. O número de pólos de G(s)H(s) no semiplano da direita é zero. Portanto, para que este sistema seja estável é necessário que N = Z = O ou que o lugar geométrico G(s)H(s) não envolva o ponto -1 + .ia. 1m Plano GH -1 G(jco) H(jm) 8-56 Diagrama polar de G(jOJ)H(jOJ) considerado no Exemplo 8-13. Seção 8-8 / Análise de Estabilidade 435 1m 1m Re Re K grande Kpequeno 8-57 Diagramas polares do sistema considerado no '_""vH'JJ'V 8-14. Para pequenos valores de K, não há nenhum envolvimento do ponto )0. Por conseguinte, o sistema é estável para pequenos valores de K. Para grandes valores de K. o lugar geométrico de G(s)H(s) envolve o ponto -1 )0 duas vezes no sentido horário, indicando dois pólos a malha fechada no semiplano s da direita, e o sistema é instável. (Para uma maior exatidão, K deve ser Do ponto de vista da estabilidade, no entanto, um grande valor de K gera uma estabilidade deficiente ou mesmo instabilidade. Para um compromisso entre exatidão e estabilidade, é necessário inserir uma estrutura de compensação no sistema. Técnicas de compensação no domínio de frequência são discutidas no 9.) EXEMPLO 8-15 A estabilidade de um sistema a malha fechada com a de transferência a malha aberta G(s)lJ(s) depende dos valores relativos de TI e Desenhar gráficos de Nyquist e determinar a estabilidade do sistema. TI e TI > são mostrados na 8-58. Para < o Gráficos do lugar geométrico de G(s)H(s) para três casos, TI < lugar de G(s)H(s) não envolve o ponto 1 + )0, e o sistema a malha fechada é estável. Para TI = o lugar de G(s)H(s) passa ponto -1 + )0, o que indica que os pólos a malha fechada estão localizados sobre o eixo)úJ. Para TI > Tc, o lugar geométrico de G(s)H(s) envolve o ponto - I + )0 duas vezes no sentido horário. Portanto, o sistema a malha fechada tem dois pólos a malha fechada no Se11l11pla.no s da direita e o sistema é instável. Plano GH Im Im Plano GH 1m Plano GH Re TI < T2 (Estável) TI> T] o lugar geométrico (Instável) G(jw)H(jw) passa pelo ponto I + jO 8-58 Uwgrall11as 436 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência do sistema considerado no '--'/,...,'" 'JJ'.V 8-15. EXEMPLO 8-16 1m Plano GH w=x Re w= 8-59 Diagrama polar do sistema considerado no Exemplo 8-16. Considere-se o sistema a malha fechada que tem a seguinte função de transferência a malha aberta: K 1) Determinar a estabilidade do sistema. l/T) no semiplano s da direita. Portanto, P 1. O gráfico de Nyquist mostrado na Fig. 8-59 A função G(s)H(s) tem um pólo (s jO uma vez no sentido horário. Portanto, N = 1. Uma vez que Z N + P, indica que o gráfico de G(s)H(s) envolve o ponto achamos que Z = 2. Isto significa que o sistema a malha fechada tem dois pólos a malha fechada no semiplano s da direita e é instável. EXEMPLO 8-1 7 Investigar a estabilidade de um sistema a malha fechada com a seguinte função de transferência a malha aberta: G(s)H(s) >1) A função de transferência a malha aberta possui um pólo (s = 1) no semiplano direito do plano s, ou P 1. O sistema a malha aberta é instável. O gráfico de Nyquist mostrado na Fig. 8-60 indica que o ponto -1 + jO é envolvido pelo lugar geométrico de G(s)H(s) uma vez no sentido anti-horário. Portanto, N 1. Conseqüentemente, Z, determinado a partir de Z = N + P, indica que não há zeros de 1 + G(s)H(s) no semiplano direito do plano s, e o sistema a malha fechada é estável. Este é um dos exemplos onde um sistema a malha aberta instável torna-se estável quando a malha é fechada. 1m Plano GH w= (U =x Re 8-60 Diagrama polar do sistema considerado no Exemplo 8-17. Seção 8-8 / Análise de Estabilidade 437 Im Plano GH w=x Re Fig. 8-61 Diagrama polar de um sistema condicionalmente estável. Sistemas condicionalmente estáveis. A Fig. 8-61 mostra um exemplo de um lugar geométrico G(júJ)H(júJ) para o qual o sistema a malha fechada pode ser feito instável variando-se o ganho a malha aberta. Se o ganho a malha aberta for aumentado suficientemente, o lugar de G(júJ)H(júJ) envolve o ponto -1 + )0 duas vezes e o sistema toma-se instável. Se o ganho a malha aberta for diminuído suficientemente, uma vez mais o lugar de G(júJ)H(júJ) envolve o ponto 1 + )0 duas vezes. Para operação estável do sistema considerado aqui, o ponto crítico 1 + )0 não deve estar localizado nas regiões entre DA e BC mostradas na Fig. 8-61. Um tal sistema, que é estável somente para faixas limitadas de valores do ganho a malha aberta para os quais o ponto 1 + )0 é completamente externo ao lugar G(júJ)H(júJ), é um sistema condicionalmente estável. Um sistema condicionalmente estável é estável para os valores do ganho de malha aberta que estão entre os valores críticos, mas é instável se o ganho de malha aberta for aumentado ou diminuído suficientemente. Um sistema deste tipo resulta instável quando são aplicados grandes sinais na entrada, já que um sinal grande pode causar saturação, o que por sua vez reduz o ganho a malha aberta do sistema. É aconselhável evitar situações como esta. Sistemas de malhas múltiplas. Considere-se o sistema indicado na Fig. 8-62. Este é um sistema de malhas múltiplas. A malha interna possui a função de transferência Se G(s) for instável, os efeitos da instabilidade são para produzir um pólo ou pólos no semiplano direito do plano s. Então, e a equação característica da malha interna, 1 + Gis)His) O, possui um zero ou zeros nesta parte do plano. Se His) possuírem nesta parte p] pólos, então o número Z] de zeros no semiplano direito de 1 + Gis)H2(s) pode ser determinado a partir de Z] = N] + PI' onde N] é o número de envolvimentos do ponto 1 + )0 no sentido horário pelo lugar geométrico de Gis)His). Como a função de transferência a malha aberta do sistema inteiro é dada por G](s)G(s)H](s), a estabilidade deste sistema a malha fechada pode ser determinada do gráfico de Nyquist de G](s)G(s)H](s) e o conhecimento dos pólos de G](s)G(s)H1(s) no semiplano direito. Note-se que, se for eliminada uma malha de retroação por meio de reduções do diagrama de blocos, há uma possibilidade de serem introduzidos pólos instáveis; se o ramo direto for eliminado por meio de reduções de diagrama de blocos, há uma possibilidade de serem introduzidos zeros no semiplano s da direita. Portanto, deve-se observar todos os pólos e zeros do semiplano direito resultantes de reduções de malhas intermediárias. Este conhecimento é necessário na determinação da estabilidade de sistemas de malhas múltiplas. G(s) C(s) 8-62 Sistema de malhas múltiplas. 438 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência EXEMPLO 8-18 R(s) C(s) Fig. 8-63 Sistema de controle. Seja o sistema de controle mostrado na Fig. 8-63. O sistema envolve duas malhas. Determinar a faixa de valores do ganho K para estabilidade do sistema, pelo uso do critério da estabilidade de Nyquist. (O ganho K é positivo.) Para examinar a estabilidade do sistema de controle, necessita-se esboçar o lugar geométrico de Nyquist de G(s), onde No entanto, os pólos de G(s) não são conhecidos neste ponto. Portanto, há necessidade de se examinar se a malha interna possui pólos no semiplano s da direita. Isto pode ser feito facilmente pelo uso do critério da estabilidade de Routh. Uma vez que a tabela de Routh se torna Observe-se que há duas mudanças de sinal na primeira coluna. Em conseqüência, há dois pólos de G 2(s) no semiplano s da direita. Uma vez que se achou o número de pólos de Gl(s) no semiplano s da direita, procede-se o esboço do lugar geométrico de Nyquist para G(s) onde O problema consiste em determinar a faixa de valores do ganho K para se ter estabilidade. Contudo, em vez de construir os lugares geométricos de Nyquist para G(jw) com vários valores de K, constroem-se os lugares geométricos de Nyquist para G(jw)/K. A Fig. 8-64 mostra o gráfico de Nyquist ou gráfico polar de G(jw)/K. Uma vez que G(s) possui dois pólos no semiplano s da direita, tem-se Pj = 2. Observando-se que ° a condição de estabilidade requer Zj = ou N j = -2. Isto é, o lugar geométrico de Nyquist para G(jw) deve envolver o ponto 1 + jO duas vezes no sentido anti-horário. A partir da Fig. 8-64 constata-se que, se o ponto crítico permanecer entre e -0,5, então o lugar G(jw)/K envolve o ponto crítico duas vezes no sentido anti-horário. Portanto, requeremos que ° -0,5K < -1 A faixa de valores do ganho K para se ter estabilidade é 2< K Critério de estabilidade de Nyquist aplicado a gráficos polares inversos. Na análise anterior, o critério da estabilidade de Nyquist foi aplicado a gráficos polares da função de transferência a malha aberta G(s)H(s). Na análise de sistemas de malhas múltiplas, a função de transferência inversa pode às vezes ser usada a fim de permitir a análise gráfica; isto evita grande parte do cálculo numérico. (O critério de estabilidade de Nyquist pode igualmente ser aplicado aos gráficos polares inversos. A dedução matemática do critério de estabilidade de Nyquist para gráficos polares inversos é idêntica à efetuada para gráficos polares diretos.) O gráfico polar inverso de G(jm)H(jm) é um gráfico de l/[G(jm)H(jm)] em função de m. Por exemplo, se G(jm)H(jm) for Seção 8-8 / Análise de Estabilidade 439 · jw T G(jw )H(jw) = 1 + jw T então 1 G(jw )H(jw) 1 ----------= --- +1 o gráfico polar inverso para ú) 2: O é a metade inferior da reta vertical que se inicia no ponto (1,0) sobre o eixo real. O critério de estabilidade de Nyquist aplicado aos gráficos polares inversos pode ser estabelecido como a seguir. Para um sistema a malha fechada ser estável, o envolvimento, se houver, do ponto 1 + jO pelo lugar geométrico de 1![G(s)H(s)] (à medida que s percorre o contorno de Nyquist) deve ser anti-horário e o número destes envolvimentos deve ser igual ao número de pólos de 1![G(s)H(s)] [isto é, os zeros de G(s)H(s)] que estão no semiplano direito do plano s. [O número de zeros de G(s)H(s) no semiplano direito do plano s pode ser determinado pelo critério de estabilidade de Routh.] Se a função de transferência a malha aberta G(s)H(s) não possuir zeros no semiplano direito do plano s, então, para que um sistema a malha fechada estável, o número de envolvimentos do ponto -1 + jO pelo lugar geométrico de l/[G(s)H(s)] deverá ser igual a zero. Note-se que, embora o critélio de estabilidade de Nyquist possa ser aplicado aos gráficos polares inversos, se forem incorporados dados experimentais de resposta de freqüência, a contagem do número de envolvimentos do lugar geométrico de l/[G(s)H(s)] poderá se tomar difícil porque a defasagem correspondente ao percurso semicircular infinito no plano s é difícil de ser medida. Por exemplo, se a função de transferência a malha aberta G(s)H(s) envolve retardo de transporte tal que G(s)H(s) = --- então o número de envolvimentos do ponto -} + jO pelo lugar geométrico de l/[G(s)H(s)] se toma infinito e o critério da estabilidade de Nyquist não pode ser aplicado ao gráfico polar inverso de uma tal função de transferência a malha aberta. 1m G K Plano (I) = 0,8 jl.5 G(jw) K w =1 Re Fig. 8-64 Diagrama polar de G(jw)/K. 440 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência Em geral, se os dados experimentais de resposta em freqüência não puderem ser colocados sob forma analítica, os lugares geométricos de G(júJ)H(júJ) e de l/[G(júJ)H(júJ)] deverão ser construídos graficamente. Além disso, o número de zeros de G(s)H(s) no semiplano direito deve ser determinado. É mais difícil determinar os zeros de G(s)H(s) no semiplano direito (em outras palavras, determinar se um dado componente é ou não de fase mínima) do que determinar os pólos de G(s)H(s) no semiplano direito (em outras palavras, determinar se o componente é ou não estável). Dependendo de os dados serem analíticos ou gráficos e de os componentes serem ou não de fase mínima, um teste de estabilidade apropriado deve ser utilizado para sistemas de múltiplas malhas. Se os dados forem fornecidos sob forma analítica, ou se forem conhecidas as expressões matemáticas de todos os componentes, a aplicação do critério de estabilidade de Nyquist para gráficos polares inversos não acarretará dificuldades e sistemas de malhas múltiplas poderão ser analisados e projetados no plano GH inverso. EXEMPLO 8-19 Considere-se o sistema de controle indicado na Fig. 8-63. (Referir-se ao Exemplo 8-18.) Usando o gráfico polar inverso, determinar a faixa de valores de ganho K para estabilidade. Uma vez que Cis) =---- tem-se C(s) K(s + 0,5) S2 + 1 = s3 Daí 1 s3 Observe-se que l/G(s) tem um pólo em s de Nyquist 1 S2 ---- C(s) K(s 0,5) -0,5. Não há nenhum pólo no semiplano s da direita. P0l1anto, a equação de estabilidade Z N P reduz-se a Z N uma vez que P = O. A equação reduzida estabelece que o número Z dos zeros de 1 + [1IG(s)] no semiplano s da direita é igual a N, o número dos envolvimentos no sentido horário do ponto -1 + .i0. Para se ter estabilidade, N deve ser igual a zero, ou seja, não deve haver nenhum envolvimento. A Fig. 8-65 mostra o gráfico de Nyquist ou gráfico polar de K/G(jw). Observe-se que tendo em vista a expressão 1](0,: -.Iw - .~W) K C(jw) 0,) 0,5 - 0,5u} - w4 + jw( -1 + 0,5ui) 0,25 + w 2 o lugar de K/G(jw) cruza o eixo real negativo em w = J2 e o ponto de cruzamento no eixo real negativo é -2. Vê-se, a partir da Fig. 8-65, que se o ponto crítico permanecer na região entre -2 e -x, então o ponto crítico não é envolvido. Daí, para se ter estabilidade é necessário que -2 -1<- K Portanto, a faixa de valores do ganho K para se ter estabilidade é 2< K que é o mesmo resultado obtido no Exemplo 8-18. Análise de estabilidade relativa através dos diagramas de Nyquist modificados. O percurso de Nyquist para testes de estabilidade pode ser modificado de modo a permitir a investigação da estabilidade relativa de sistemas a malha fechada. Para a seguinte equação característica de segunda ordem o Seção 8-8 / Análise de Estabilidade (O < 1; < 1) 441 1m /. K Plano Lugar geometnco ~ G ~ G Re Fig. 8-65 Diagrama polar de K/G(jw). as raízes são complexas-conjugadas com valores + Se estas raízes forem colocadas em um gráfico no plano s, como indicado na Fig. 8-66, verifica-se então que e ~, ou seja, o ângulo eé indicativo do coeficiente de amortecimento ~. À medida que sen ese torna menor, também será menor o valor de ~. Modificando-se o percurso de N yquist e utilizando-se retas radiais com ângulo em vez do eixo j m, como indicado na Fig. 8-67, pode-se dizer então, com base no mesmo raciocínio utilizado para estabelecer o critério de estabilidade de N yquist, que se o lugar geométrico de G(s)H(s) correspondente ao contorno modificado no plano s não envolver o ponto -1 + jO e nenhum dos pólos de G(s)H(s) estiver dentro do contorno do plano s fechado, então este contorno não envolve qualquer zero de 1 + G(s)H(s). A equação característica 1 + G(s)H(s) = O não possui, então, qualquer raiz dentro do contorno modificado no plano s. Se nenhum pólo a malha fechada de um sistema de maior ordem for envolvido por este contorno, pode-se afirmar que o coeficiente de amortecimento de cada par de pólos complexos-conjugados a malha fechada do sistema é maior do que sen er • Suponha-se que o contorno do plano s consiste em uma reta à esquerda e paralela ao eixo j m a uma distância U o (ou a reta s - U o + jm) e o semicírculo de raio infinito envolve todo o semiplano s da direita e aquela parte do semiplano s da esquerda entre as retas s = - U o + jm e s = jm, conforme indicado na Fig. 8-68(a). Se o lugar geométrico de correspondente a este contorno do plano s não envolver o ponto 1 + jO e G(s)H(s) não tiver pólos dentro do contorno do plano s incluso, então a equação característica não tem zeros na região encerrada pelo contorno modificado do plano s. Todas as raízes da equação característica permanecem à esquerda da reta s = - U o + jm. Um exemplo de um lugar geomé- Plano s a Fig. 8-66 Diagrama de raízes complexas-conjugadas no plano s. 442 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência jw Plano s x x a x x Fig. 8-67 Percurso de Nyquist modificado. trico de G( -(To + jm)H( -(To + jm), junto com um lugar de G(jm)H(jm), é mostrado na Fig. 8-68(b). O módulo de 1/(To é indicativo da constante de tempo dos pólos a malha fechada dominantes. Se todas as raízes permanecerem fora do contorno do plano s, todas as constantes de tempo da função de transferência a malha fechada serão menores do que 1/(To. Se o contorno do plano s for escolhido conforme mostrado na Fig. 8-69, então o teste de envolvimentos do ponto -1 + jO revela a existência ou não-existência de raízes da equação característica do sistema a malha fechada dentro deste contorno do plano s. Se o teste revela que nenhuma das raízes permanece no contorno do plano s, então está claro que todos os pólos a malha fechada têm coeficientes de amortecimento maiores do que ~ e constantes de tempo menores do que 1/(To. Portanto, tomando-se um contorno apropriado no plano s, é possível investigar constantes de tempo e coeficientes de amortecimento de pólos a malha fechada a partir de funções de transferência a malha aberta. ja> 1m Plano s Plano GH a Re (b) (a) Fig. 8-68 (a) Percurso de Nyquist modificado; (b) diagramas polares de G( -(]'() .ia> + jOJ)H( -(]'o + JOJ) e de G(jOJ)H(jOJ) no plano GH. Plano s a Fig. 8-69 Percurso de Nyquist modificado. Seção 8-8 / Análise de Estabilidade 443 No projeto de um sistema de controle, que o sistema estável. Além é necessário que ele possua uma adequada estabilidade relativa. Nesta seção, será mostrado como o gráfico de indica não apenas se o sistema é ou não mas também o grau de estabilidade de um sistema estável. O gráfico de Nyquist também fornece de como a estabilidade ser melhorada, se isto for necessário. o 9.) Na discussão a seguir, iremos supor que os sistemas considerados possuem unitária. Note-se que é sempre reduzir um sistema com elementos de para um sistema com unitária, conforme indicado na 8-70. Conseqüentemente, é possível estender-se a análise de estabilidade relativa de sistemas com unitária para a de sistemas com retroação não-unitária. Será considerado também que, salvo em contrário, os sistemas de fase mínima, isto é, a de transferência a malha aberta não possui pólos ou zeros no direito do s. Análise de estabilidade relativa via conforme. Um dos problemas na análise de um sistema de controle é determinar todos os pólos a malha fechada ou pelo menos aqueles mais próximos do (ou o par de pólos a malha fechada dominantes). Se as características de resposta de freqüência a malha aberta de um sistema forem conhecidas, pode ser possível estimar os pólos a malha fechada mais do eixo júJ. O lugar de do sistema Nyquist de CVúJ) não necessita ser uma função analiticamente conhecida de úJ. O lugar geométrico de como um todo pode ser obtido experimentalmente. A técnica a ser aqui apresentada é essencialmente gráfica e baseada em um mapeamento conforme do plano s no onde Cf' é constante e úJ varia) e retas Considere-se o mapeamento conforme das retas de Cf' constante (retas S (J de úJ constante (retas s = Cf' + júJ, onde úJ é constante e (J no plano s. A reta Cf' = O (isto é, o no plano s é mapeada no plano pelo gráfico de As retas de Cf' constante no plano s são mapeadas em curvas similares ao gráfico de Nyquist e, em certo sentido, paralelas ao de como indicado na 8-71. As retas de úJ constante no plano s são mapeadas em curvas, também indicadas na 8-71. C(s) 8-70 de um sistema com elementos de retroação num sistema com retroação unitária. Plano s 1m jw Plano G --+---+---I---J.----I j (1).+ Re --+--+---I--+-----1 j (I) I o a 8-71 Ma.pe:amenl:o conforme de reticulados do plano s no 444 Capítulo 8 / Análise no Domínio de FreqUência G(s). jw I ! jw 1 Plano s l I I I I I 1 I I I I I I r a O I \ Plano s J I I (a) a O j l (b) 8-72 Dois sistemas com dois pólos a malha fechada. Embora as formas dos lugares geométricos de (J" constante e úJ constante no plano G(s) e o modo de aproximação do lugar de G(júJ) em relação ao ponto 1 jO dependam da expressão particular de G(s), a maneira de aproximação de do ponto 1 + jO é uma indicação da estabilidade relativa de um sistema estável. Em geral, pode-se esperar que quanto mais próximo o lugar geométrico de estiver em relação ao ponto - 1 + jO, maior será o valor máximo de ultrapassagem na resposta transitória ao degrau e mais longo será o tempo para se alcançar sua redução. Considerem-se os dois sistemas indicados nas Figs. 8-73(a) e (b). Fig. 8-72, as cruzes (X) indicam pólos a malha fechada.) O sistema (a) é obviamente mais estável do que o sistema (b) porque os pólos a malha fechada do sistema (a) estão localizados mais à esquerda do que os correspondentes ao sistema (b). As Figuras 8-73(a) e (b) mostram o mapeamento conforme das grades do plano s no plano G(s). Quanto mais próximos do eixo júJ estiverem localizados os pólos a malha fechada, mais próximo o lugar geométrico de G(júJ) estará do ponto -1 + jO. Margens de fase e de A Fig. 8-74 mostra os gráficos polares de G(júJ) para três valores diferentes do ganho de malha aberta K. Para um valor grande do ganho K, o sistema é instável. À medida que o ganho diminui para um certo o lugar geométrico de G(júJ) passa pelo ponto - 1 + jO. Isto significa que, com este valor de ganho, o sistema está no limiar de instabilidade e exibirá oscilações mantidas. Para um valor menor do ganho K, o sistema é estável. Em geral, quanto mais próximo o lugar geométrico G(júJ) estiver de envolver o ponto 1 + jO, mais oscilatória será a resposta do sistema. A proximidade do lugar geométrico G(júJ) do ponto -} + jO pode ser usada como uma medida da margem de estabilidade. não se aplica, entretanto, a sistemas condicionalmente estáveis.) Constitui uma prática comum representar a proximidade em termos da margem de fase e da margem de ganho. Margem defase: A margem de fase é o atraso de fase adicional na freqüência de cruzamento do ganho, necessário para levar o sistema ao limiar de instabilidade. A freqüência de cruzamento do ganho é a freqüência na qual!G(júJ)!, o módulo da função de transferência a malha aberta, é unitário. A margem de fase r é 1800 mais o ângulo de fase 4> da função de transferência a malha aberta na freqüência de cruzamento do ganho, ou seja, y = 180 0 + () As Figs. 8-75(a), (b) e (c) ilustram a margem de fase tanto de um sistema estável quanto de um sistema instável em diagramas de Bode, gráficos polares e gráficos de módulo em dB versus fase. No gráfico polar, uma reta pode ser traçada Plano G Plano G 1m o (a) 8-73 Seção 8-9 / 1m O Re Re (b) conformes dos reticulados do plano s para os sistemas mostrados na Fig. 8-72 no plano G(s). Estabilidade Relativa 445 1m Plano G o Re K: Pequeno K = ganho a malha aberta + + Fig. 8-74 Diagramas polares de ----"---"'-----'--'---(jW)A(l + jw7;)(l + jwT2 )··· desde a origem até o ponto em que o círculo unitário intercepta o lugar geométrico C(jm). O ângulo do eixo real negativo até esta linha é a margem de fase. A margem de fase é positiva para 'Y > Oe negativa para 'Y < O. Para um sistema de fase mínima ser estável, a margem de fase deve ser positiva. Nos gráficos logarítmicos, o ponto crítico no plano complexo corresponde às retas de O dB e-180°. Margem de ganho: A margem de ganho é o recíproco do módulo IC(jm) I na freqüência onde o ângulo de fase é-180°. Definindo-se a freqüência de cruzamento de fase mI como a freqüência na qual o ângulo de fase da função de transferência a malha aberta é igual a-180°, resulta a margem de ganho K~: Em termos de decibéis A margem de ganho expressa em decibéis será positiva se Kg for maior do que a unidade e negativa se Kg for menor que a unidade. Portanto, uma margem de ganho positiva (em decibéis) significa que o sistema é estável, e uma margem de ganho negativa (em decibéis) significa que o sistema é instável. A margem de ganho é indicada nas Figs. 8-75(a), (b) e Cc). Para um sistema de fase mínima estável, a margem de ganho indica de quanto o ganho pode ser aumentado antes de o sistema se tornar instável. Para um sistema instável, a margem de ganho é indicativa de quanto o ganho deve ser diminuído para tornar o sistema estável. A margem de ganho de um sistema de primeira ordem ou de segunda ordem é infinita uma vez que os gráficos polares para estes sistemas não cruzam o eixo real negativo. Portanto, teoricamente, sistemas de primeira ordem ou segunda ordem não podem ser instáveis. (Note-se, entretanto, que os sistemas denominados de primeira ordem ou de segunda ordem são apenas aproximações no sentido de que pequenas constantes de tempo e outros efeitos dinâmicos rápidos são desprezados na dedução das equações do sistema, e por conseguinte não são verdadeiramente sistemas de primeira e de segunda ordem. Se forem levados em consideração estes pequenos efeitos dinâmicos, os assim chamados sistemas de primeira ordem ou segunda ordem podem tornar-se instáveis.) É importante salientar que, para um sistema de fase não-mínima, a condição de estabilidade não será satisfeita a menos que o gráfico de C(jm) envolva o ponto -1 + jO. Portanto, um sistema de fase não-mínima estável possuirá margens de fase e de ganho negativas. É também importante assinalar que sistemas condicionalmente estáveis terão duas ou mais freqüências de cruzamento de fase, e alguns sistemas de ordem mais alta com dinâmica de numerador complicada podem ter também duas ou mais freqüências de cruzamento de ganho, conforme mostrado na Fig. 8-76. Para sistemas estáveis que tenham duas ou mais freqüências de cruzamento de ganho, a margem de fase é medida na mais alta freqüência de cruzamento de ganho. 446 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência Margem de ganho positiva + t t O o:::: "::l ;:::: õ v'" Margem de ganho negativa o:::: Log cu Log (() "::l õ \.:) ~ -180° ~----~~~----------~­ Log (() Margem de fase negativa positiva (a) Sistema estável Sistema instável 1m Margem de 1m ganho positiva Margem de fase Plano G Margem de-I fase positiva Plano G Re Sistema estável Sistema instável (b) Margem de fase + + o:::: 'V t t Margem de :@ E E O (j) \.:) (j) Margem de ganho t O~-----F--r-~----~ I Gr ganho positiva -270° negativa -180° lQ Sistema estável -90 -180° 0 lQ (c) Sistema instável 8-75 Margens de fase e de ganho de sistemas estáveis e instáveis. (a) Diagramas de Bode; (b) diagramas polares; (c) diagramas de \ módulo em dB versus ângulo de fase. Alguns comentários relacionados com margens de fase e de ganho. As margens de fase e de ganho de um sistema de controle constituem uma medida da proximidade do gráfico polar em relação ao ponto I + jO. Portanto, estas margens podem ser utilizadas como critérios de projeto. Deve ser observado que a margem de ganho ou a margem de fase, isoladamente, não fornecem uma indicação suficiente da estabilidade relativa. Ambas devem ser fornecidas na determinação da estabilidade relativa. Para que um sistema de fase mínima seja estável, tanto a margem de fase como a margem de ganho devem ser positivas. Margens negativas indicam instabilidade. Margens de fase e de ganho apropriadas previnem contra variações dos componentes no sistema e são especificadas para valores definidos de freqüência. Os dois valores limitam o comportamento do sistema a malha fechada próximo à freqüência de ressonância. Para desempenho satisfatório, a margem de fase deve estar entre 30° e 60°, e a margem de ganho deve ser maior do que 6 dB. Com estes valores, um sistema de fase mínima tem estabilidade garantida, mesmo se o ganho a malha Seção 89 / Estabilidade Relativa 447 1m 1m Freqüências de cruzamento de fase ((01, ({)2, U)3) W x Re Re Freqüências de cruzamento de ganho (WI, W2, (03) W tO Fig. 8-76 Diagramas polares mostrando mais de dois valores para freqüências de cruzamento de ganho e de fase. aberta e as constantes de tempo dos componentes variarem em uma grande extensão. Embora as margens de fase e de ganho forneçam apenas estimativas grosseiras do coeficiente de amortecimento efetivo do sistema a malha fechada, elas oferecem, na verdade, um meio conveniente de projetar sistemas de controle ou de ajustar constantes de ganho de sistemas. Para sistemas de fase-mínima, as características de módulo e fase da função de transferência a malha aberta estão definitivamente relacionadas. A exigência de que a margem de fase esteja entre 30° e 60° significa que, num diagrama de Bode, a inclinação da curva módulo em dB na freqüência de cruzamento do ganho deva ser mais gradual do que -40 dB/ década. Na maioria dos casos práticos, para se ter estabilidade é desejável uma inclinação de -20 dB/década na freqüência de cruzamento do ganho. Se esta inclinação for de -40 dB/década, o sistema pode ser estável ou instável. (Entretanto, mesmo que o sistema seja estável, a margem de fase é pequena.) Se a inclinação na freqüência de cruzamento do ganho for de -60 dB/década ou mais íngreme, o sistema provavelmente é instável. EXEMPLO 8-20 Obter as margens de fase e de ganho do sistema indicado na Fig. 8-77 para os dois casos, onde K = 10 e K 100. As margens de fase e de ganho podem ser facilmente obtidas a partir do diagrama de Bode. Um diagrama de Bode da função de transferência a malha aberta com K = 10 é indicado na Fig. 8-78(a). As margens de fase e de ganho para K = 10 são Margem de fase = 21 0, Margem de ganho = 8 dB Portanto, o ganho do sistema pode ser aumentado de 8 dB antes de ocorrer instabilidade. O aumento do ganho de K = 10 para K = 100 corresponde a deslocar o eixo de OdB para baixo em 20 dB, como mostrado na As margens de fase e de ganho são Margem de fase - 30°, Margem de ganho 8-78(b ). - 12 dB Portanto, o sistema é estável para K = 10, porém instável para K = 100. Observe-se que um dos aspectos muito convenientes da técnica dos diagramas de Bode é a facilidade com que os efeitos das variações do ganho podem ser avaliados. Note-se que, para obter um desempenho satisfatório, deve-se aumentar a margem de fase para 30° ~ 60°. Isto pode ser realizado diminuindo-se o ganho K. Entretanto, a diminuição de K não é desejável porque um pequeno valor de K resultará em um grande erro para uma excitação em rampa. O que sugere que talvez seja necessária uma modificação na forma da curva de resposta em freqüência a malha aberta, adicionando-se compensação. Tais técnicas serão discutidas em detalhe no Cap. 9. Fig. 8-77 Sistemas de controle. 448 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência 30 20 -........ ........... 10 40 .................. , " O >= í3 G 50 K= 10 -10 "" t ~"'- I -20 o:l • ........... ..... ...... ........... ' .... § 10 G :Mm gem "" ~ ~ '\ '\ I "'- 2 IB ;anho O "- oo ,• --.......... 20 "'Cl "'- -30 --.......... 30 ~ N!.q8 ,~~hoMargem I K= 100 "'-, + "- I I -10 '\ '\ I I I : I I I r--- --- I -- .... ;...., (Margem de fase) o -90" : ~ + 2r....,.. t I r-- S2J I ....... ---- ---- I I ..... I ~ ..... -180° ,.... • ....... .......... I -180 \ 0° I -90 o '\. --.......... :Margem t de.fa~ ~30° f' .......... -....;..",. • :--- • o ),2 0,4 0,60,8 I 2 cu 4 6 •• -270 0 0,2 8 IO 0,4 • 0,60.8 I 2 4 • 6 8 10 (U (a) (h) Fig. 8-78 Diagramas de Bode do sistema mostrado na Fig. 8-77 (a) com K Magnitude do pico de ressonância M r e freqüência de ressonância na Fig. 8-79. A função de transferência a malha fechada é = la e (b) com K = 100. úJr" Considere-se o sistema mostrado C(s) = _ _------'-_ _ R(s) onde ~ e úJ" são, respectivamente, o coeficiente de amortecimento e a freqüência natural não-amortecida. A resposta de freqüência a malha fechada é C(jOJ ) R(jOJ ) 1 - - - - - - - = Me lu ( 1 - OJ~) + j2~ ~ OJ (V n n onde M 1 úJ)2 (1 w")' + (c2çOJ 2 OJ n OJ OJ n a = -tan 1 n üi w~ C(s) R(s) Fig. 8-79 Sistema de controle. Seção 8-9 / Estabilidade Relativa 449 Conforme é dado pela Eq. (8-6), para O ::; , ::; 0,707, o valor máximo de M ocorre na freqüência mr> onde Wr = úJ n Vl - 2~2 = (8-10) úJnVcos 28 o ângulo () é definido na Fig. 8-80. A freqüência m é a freqüência de ressonância. Na freqüência de ressonância, o valor r de M é máximo e é dado pela Eq. (8-7), reescrita sob a forma: 1 1 - ----- --~===== 11 ) sen 28 onde M r é definido como a magnitude do pico de ressonância. A magnitude do pico de ressonância é relacionada ao coeficiente de amortecimento do sistema. A magnitude do pico de ressonância dá uma indicação da estabilidade relativa do sistema. Uma grande magnitude do pico de ressonância indica a presença de um par de pólos a malha fechada dominantes com pequeno coeficiente de amortecimento, que produzirão uma resposta transitória indesejável. Um menor valor de magnitude do pico de ressonância, por outro lado, indica a ausência de um par de pólos a malha fechada dominantes com coeficiente de amortecimento pequeno, significando que o sistema está bem amortecido. Convém lembrar que mr é real somente se , < 0,707. Portanto, não há ressonância a malha fechada se , > 0,707. [O valor de M r é unitário para' = 0,707. [Ver a Eq. (8-8).] Uma vez que os valores de M r e de mr possam ser medidos facilmente em um sistema físico, eles são bem úteis para verificação da concordância entre a análise teórica e a experimental. No entanto, em problemas práticos de projeto, a margem de fase e a margem de ganho são mais freqüentemente especificadas do que a magnitude do pico de ressonância para indicar o grau do amortecimento de um sistema. Cerrelação entre a resposta transitória ao degrau e a resposta de freqüência de um sistema de segunda ordem padrão. O valor máximo de ultrapassagem na resposta ao degrau unitário do sistema de segunda ordem padrão, conforme indicado na Fig. 8-79, pode ser correlacionado, de forma exata, à magnitude do pico de ressonância na resposta de freqüência. Assim, essencialmente a mesma informação sobre a dinâmica do sistema está contida tanto na resposta em freqüência quanto na resposta transitória. Para uma excitação em degrau unitário, o sinal de saída do sistema indicado na Fig. 8-79 é dado pela ), ou seja, c( t) = 1 e-'Wn' (cos m,,t + --==== sen (Vi} para t '2: O onde = úJ n COS e Por outro lado, o valor máximo de ultrapassagem (8- na resposta ao degrau unitário é dado pela Eq. (4-30), ou 3) Este valor máximo de ultrapassagem ocorre na resposta transitória que possui a freqüência natural amortecida md mil . O valor máximo de ultrapassagem se torna excessivo para valores de , < jw o a x Fig. 8-80 Definição do ângulo 8. 450 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência Uma vez que o sistema de segunda ordem mostrado na Fig. 8-79 possui a seguinte função de transferência a malha aberta para operação senoidal, o módulo de G(júJ) resulta unitário quando úJ = úJ n que pode ser obtido igualando-se IG(júJ) I à unidade e resolvendo-se em termos de úJ. Nesta freqüência, o ângulo de fase de G(júJ) é Portanto, a margem de fase y é y = 180° + / G(júJ) = 90° tan - 1-----"-----"- 2~ (8- A Eq. (8-14) fornece a relação entre o coeficiente de amortecimento ~ e a margem de fase y. (Observe-se que a margem de fase y é uma função somente do coeficiente de amortecimento ~.) A seguir será resumida a correlação entre a resposta transitória ao degrau e a resposta de freqüência para o sistema de segunda ordem dado pela (8-9): 1. A margem de fase e o coeficiente de amortecimento são diretamente relacionados. A Fig. 8-81 fornece um gráfico da margem de fase em função da relação de amortecimento. Para o sistema de segunda ordem padrão mostrado na Fig 8-79, a margem de fase ye o coeficiente de amortecimento ~ estão relacionados aproximadamente por uma linha reta para ~ :::; 0,6, como se segue: °: :; Portanto, uma margem de fase de 60° corresponde a um coeficiente de amortecimento de 0,6. Para sistemas de ordem mais alta tendo um par de pólos a malha fechada dominantes, esta relação pode ser usada como uma norma prática na estimativa da estabilidade relativa da resposta transitória (isto é, o coeficiente de amortecimento) a pmtir da resposta de freqüência. • • I --- /; y li // (/- i I · • c--- por uma reta • V' • • 0.4 / -" 'FI f' Seção 8-9 / / / ;.-- ,.- 0.8 Estabilidade Relativa 1.2 1.6 2.0 Fig. 8-81 Curva de r (margem de fase) versus ç para o sistema mostrado na Fig. 8-79. 451 2. Referindo-se às Eqs. (8-10) e (8-12), verifica-se que os valores de úJr e úJ" são quase os mesmos para pequenos valores de ~. Portanto, para pequenos valores de ~, o valor de úJr é indicativo da velocidade da resposta transitória do sistema. 3. A partir das Eqs. (8-11) e (8-13) vê-se que quanto menor o valor de " maiores os valores de e de para ~ > entre M r e Mp em função de ~ é mostrada na Fig. 8-82. Pode-se verificar uma relação íntima entre Para valores muito pequenos de ~, se torna muito grande ?> 1), enquanto o valor de não excede a 1. Correlação entre a resposta transitória ao e a de para sistemas genencos. O projeto de sistemas de controle é muitas vezes conduzido com base na resposta de freqüência. paI razão deste fato é a relativa simplicidade desta abordagem comparada com as outras. Uma vez que, em muitas ções, é a resposta transitória do sistema para sinais de entrada não-periódicos, em vez da resposta em regime permanente com entradas senoidais, que é de principal importância, surge a questão da correlação entre a resposta transitória e a resposta de freqüência. Para o sistema de segunda ordem mostrado na Fig. as matemáticas conelacionando a resposta transitória ordem ao degrau e à resposta de freqüência podem ser obtidas facilmente. A resposta temporal de um sistema de pode ser prevista exatamente a partir do conhecimento de e úJrde sua resposta de freqüência a malha fechada. facilmente Para sistemas de maior ordem, a conelação é mais complexa e a resposta transitória pode não ser a partir da resposta de freqüência, pois os pólos adicionais podem variar a correlação entre a resposta transitória ao e a resposta de freqüência existente para um sistema de segunda ordem. Existem técnicas matemáticas para obterlca.o conelação exata, porém são muito trabalhosas e de pouco valor prático. A aplicabilidade da conelação resposta de freqüência-resposta transitória existente para o sistema de ,J'-',,'-H''-'U. indicado na Fig. 8-79 para sistemas de maior ordem depende da presença de um par de a malha fechada dominantes nestes últimos sistemas. É claro que se a resposta de freqüência de um sistema de maior ordem for dominada por um par de pólos complexos conjugados a malha fechada, a correlação resposta de transitória existente para o sistema de segunda ordem pode ser estendida para um sistema de maior ordem. Para sistemas lineares invariantes no tempo e de maior ordem que têm um par dominante de pólos COJmD'le)~OS dos a malha fechada, existem geralmente as seguintes relações entre a resposta transitória ao degrau e a resposta de freqüência: 1. O valor de é indicativo da estabilidade relativa. Normalmente se obtém um desempenho satisfatório em transitório se o valor de M r esti ver no intervalo 1,0 < < 1,4 (O dB < < 3 dB), que corresponde a um coeficiente de maiores do que a resposta transitória ao amortecimento efetivo de 0,4 < ~ < 0,7. Para valores de exibir várias ultrapassagens. que, em geral, um grande valor de a um grande valor máximo de forem ultrapassagem na resposta transitória ao degrau. Se o sistema estiver sujeito a sinais com ruído cujas próximas à freqüência de ressonância úJr' o ruído será amplificado na saída e causará sérios problemas.) 2. O valor da freqüência de ressonância úJr é indicativo da velocidade da resposta transitória. Quanto maior o valor de úJr' mais rápida será a resposta transitória. Em outras o tempo de subida varia inversamente com úJr. Em termos da resposta de freqüência a malha aberta, a freqüência natural amortecida da resposta transitória está situada entre a freqüência de cruzamento do ganho e a freqüência de cruzamento de fase. 3. A freqüência de ressonância úJr e a freqüência natural amortecida úJiI da resposta transitória ao são muito próximas uma da outra para sistemas pouco amortecidos. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ~ 8-82 Curva de 452 Capítulo 8 / verslIs Análise no Domínio de Freqüência çe versus ç para o sistema mostrado na 8-79. As três anteriormente listadas são úteis para correlacionar a resposta transitória ao degrau com a resposta de uma vez que estes possam ser aproximados por um sistema de segunda ordem ou de sistemas de maior a um par de pólos conjugados a malha fechada. Se o sistema de maior ordem satisfizer esta condição, um conde no domínio do tempo pode ser transferido para especificações no domínio de freqüência. Isto simcrn'Õ1('ClfnICIIT),I"nl,p o trabalho de projeto, ou de compensação, de sistemas de maior ordem. Além da margem de da margem de ganho, do pico de ressonância e da freqüência de ressonância úJr' há outras gr2lildezélS no domínio de freqüência comumente utilizadas nas especificações de desempenho. Elas são a freqüência de corte, a banda passante e a taxa de corte. Estas grandezas serão definidas a seguir. '-'''1'.........,,''- .... de corte e banda Referindo-se à Fig. 8-83, a freqUência úJb, na qual o módulo da resposta de treqUenCla a malha fechada é 3 dE abaixo de seu valor na freqüência zero, é denominadafreqüência de corte. Portanto, 3 Para sistemas onde I C(jO)/R(jO) I O sistema a malha fechada filtra os componentes de sinal cujas freqüências são maiores do que a freqüência de corte e transmite componentes de sinal com freqüências inferiores à freqüência de corte. faixa de freqüência O ::::; úJ::::; úJ", em que o módulo da resposta de freqüência a malha fechada não cai abaixo de - 3 dB, é chamada b~lnda passante. A banda passante indica a freqüência em que o ganho começa a cair a partir de seu valor de baixa freqüência. Portanto, a banda passante indica quão bem o sistema será capaz de seguir um sinal senoidal de entrada. Note-se que para um dado valor de úJ o tempo de subida aumenta com o crescimento do coeficiente de amortecimento ~. Por outro lado, a banda passante diminui com o aumento de ~. Portanto, o tempo de crescimento e a banda passante são inversamente proporcionais entre si. A da banda passante pode ser determinada pelos seguintes fatores: lI ~~t--'~'~<~'~~'v para reproduzir o sinal de entrada. Uma banda passante grande corresponde a um pequeno tempo de suou resposta Grosseiramente falando, afirmar que a banda passante é proporcional à velocidade de resposta. 2. características de filtragem necessárias para atenuar o ruído de alta freqüência. com exatidão sinais de entrada arbitrários, é necessário que o sistema possua uma grande banda Para que o sistema passante. Do ponto de vista do ruído, entretanto, a banda passante não deve ser demasiadamente grande. Portanto, há ren11,cltnC' conflitantes em à banda passante e normalmente é necessário adotar-se uma solução de compromisso para um bom Note-se que um sistema com grande banda passante exige componentes com alto desempenho. Assim, o custo dos componentes normalmente aumenta com a largura de banda passante. Taxa de corte. A taxa de corte é a inclinação da curva do módulo em dE próxima à freqüência de corte. A taxa de corte indica a de um sistema para distinguir um sinal de um ruído. Observa-se que uma curva de resposta de freqüência a malha fechada com uma característica de corte acentuada pode uma magnitude de de ressonância muito grande. Isto implica ter margem de estabilidade relativamente pequena para o sistema. dB 01-------1-0:----- Banda passante - - - ) 1 - - 1 (() em escala logarítmica 8-83 Gráfico logarítmico mostrando a freqüência de corte wIJ e a banda passante. Seção 8-9 / Estabilidade Relativa 453 EXEMPLO 8-21 Considerem-se os dois sistemas seguintes: Sistema I: R(s) s + 1' Sistema II: C(s) R(s) 3s + 1 Comparar as bandas passantes destes dois sistemas. Mostrar que o sistema com a maior banda passante possui uma velocidade de resposta maior e pode seguir o sinal de entrada muito melhor do que aquele que possui uma banda passante menor. A Fig. 8-84(a) mostra as curvas de resposta de freqüência a malha fechada para os dois sistemas. (As curvas assintóticas são indicadas por linhas tracejadas.) Verifica-se que a banda passante do sistema I é O:::; úJ:::; 1 rad/s e a do sistema II éO:::;Cü:::;0.333rad/s.As Fig. 8-84(b) e (c) mostram, respectivamente, as curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária para os dois sistemas. Obviamente, o sistema I, cuja banda passante é três vezes maior que a do sistema II, possui uma velocidade de resposta mais rápida e pode seguir melhor o sinal de entrada. r(t) 0,33 I w (em escala (a) logarítmica) (b) Cc) Fig. 8-84 Comparação das características dinâmicas dos dois sistemas considerados no Exemplo 8-21. (a) Curvas de resposta de freqüência a malha fechada; (b) curvas de resposta ao degrau unitário; (c) curvas de resposta à rampa unitária. 10 RESPOSTA DE FREQÜÊNCIA MALHA FECHADA Resposta de freqüência a malha fechada de sistemas com retroação unitária. Para um sistema a malha fechada estável, a resposta de freqüência pode ser facilmente obtida a partir da resposta a malha aberta. Considere-se o sistema com retroação unitária indicado na Fig. 8-85(a). A função de transferência a malha fechada é 1m Re (a) (b) Fig. 8-85 (a) Sistema com retroação unitária; (b) determinação da resposta de freqüência a malha fechada a partir da resposta de freqüência a malha aberta. 454 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência -7 No diagrama de ou polar indicado na Fig. 8-85(b) o vetor DA representa G(jOJ j ), onde OJI é a freqüência no ponto A. O comprimento do vetor OÂ é IG(jOJ j) I e o ângulo do vetor e extremidade no lugar geométrico de Nyquist, representa 1 resposta de freqüência a malha fechada, ou seja, OÂ é /G(jw + j ). O vetor ~,com origem no ponto -7 )0 ~ G(jOJ I ). Portanto, a relação entre DA e PA representa a -7 ~ O módulo da função de transferência a malha fechada em OJ = OJ1 é a relação entre os módulos de DA e PA . O ângulo de -7 ~ fase da função de transferência a malha fechada em OJ OJ 1 é o ângulo formado pelos vetores DA e PA, isto é, cP - () indicado na Fig. 8-85(b). Medindo-se o módulo e o ângulo de fase em pontos de diferentes freqüências, pode ser obtida a curva de resposta de freqüêncía a malha fechada. Sejam, por definição, M o módulo da resposta de freqüência a malha fechada e Q' o ângulo de fase, isto é, C(jw) R(jw) A seguir serão determinados os lugares geométricos de módulo constante e os lugares geométricos de ângulo de fase constante. Tais lugares geométricos são convenientes na determinação da resposta de freqüência a malha fechada a partir do gráfico de Nyquist. geométricos de módulo constante (circunferências M). Para obter os lugares geométricos de módulo constante, será observado, inicialmente, que G(jOJ) é uma grandeza complexa e pode ser escrita, em coordenadas retangulares, como se segue: G(jw) = X + jY onde X e Y são grandezas reais. Então M é dado por M= --~--~~- Portanto, =0 Se M ponto Se M *- (8- 1, então da Eq. 15) obtém-se X -1/2. Esta é a equação de uma reta paralela ao eixo Ye passando pelo O). 1, a (8pode ser escrita sob a forma + ----Se o termo =0 1) for adicionado aos dois membros desta última equação, obtém-se ( Seção 8-10 / +---+ X + M 2-1 )2 + Resposta de Freqüência a Malha Fechada (8- 455 A Eq. (8-16) é a equação de uma circunferência com centro emX = -M/(M -1), Y O e com raio IM/(M-l)1 OS lugares geométricos de M constante no plano C(s) constituem, portanto, uma família de circunferências. O centro e o raio da circunferência para um dado valor de M podem ser calculados facilmente. Por exemplo, para M = 1,3 o centro está em (-2,45, O) e o raio é 1,88. Uma família de circunferências de M constante é indicada na Fig. 8-86. Pode-se ver que conforme M aumenta e se torna maior que a unidade, as circunferências resultam cada vez menores e convergem para o ponto 1 + jO. Para M > 1, os centros das circunferências M estão à esquerda do ponto -1 + jO. Analogamente, à medida que M diminui e se torna muito menor do que a unidade, a circunferência M fica cada vez menor e converge para a origem. Para O < M < 1 os centros das circunferências M estão à direita da origem. M = 1 corresponde ao lugar geométrico dos pontos eqüidistantes da origem e do ponto -1 + jO. Conforme estabelecido anteriormente, esta é uma reta passando pelo ponto 1/2,0) e paralela ao eixo imaginário. (As circunferências M correspondentes a M > 1 estão à esquerda da reta M 1, e aquelas correspondentes a 0< M < 1 estão à direita da reta M = 1.) As circunferências são simétricas em relação à reta correspondente a M = 1 e em relação ao eixo real. Lugares geométricos de ângulo de fase constante (circunferências N). Deve-se obter, inicialmente, o ângulo de fase (}' em termos de X e Y. Uma vez que ~= o ângulo de fase (}' é Definindo-se tan a = N então Como tan(A - M tan A - tan B 1 + tan A tan B 1.2 x Fig. 8-86 Família de circunferências M. 456 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência obtém-se N y y X l+X Y l+Y(-Y) X +X 1 ou +X+ A adição de (1/4) + - 1 N Y = O 1/(2N)2 aos dois membros desta última equação resulta em (8- Esta é a equação de uma circunferência com centro em X - I /2, Y 1/(2N) e raio igual a . Por exemplo, se ex = 30°, então N = tan a = 0,577, e o centro e o raio da circunferência relativa a ex = 30° são encontrados, respectivamente, como (-0,5,0,866) e a unidade. Como a Eq. (8-17) é satisfeita para X = Y e X = 1, Y = 0, qualquer que seja o valor de N, todas as circunferências N passam pela origem e pelo ponto - 1 )0. Os lugares geométricos de a constante podem ser traçados facilmente uma vez que se tenha dado o valor de N. Uma família de circunferências N, tendo ex como parâmetro, é mostrada na Fig. 8-87. Deve-se observar que o lugar geométrico N para um dado valor de a não é, na realidade, uma circunferência completa mas apenas um arco. Em outras palavras, os arcos referentes a a = 30° e a-150° são partes da mesma circunferência. Isto se dá porque a tangente de um ângulo permanece a mesma se for acrescentado a este ângulo 180° (ou múltiplos deste valor). A utilização das circunferências M e N permite a determinação da resposta de freqüência a malha fechada a partir do conhecimento da resposta de freqüência a malha aberta C(jro), sem calcular o módulo e o ângulo de fase da função de transferência a malha fechada para cada valor de freqüência. As interseções de C(jro) com as circunferências Me N fornecem os valores de M e N correspondentes à freqüência dos pontos sobre o lugar C(jro). ° y 2 X 8-87 Família de circunferências N. Seção 8-10 / Resposta de Freqüência a Malha Fechada 457 As circunferências N apresentam valores múltiplos no sentido de que as circunferências relativas a O' = 0'1 e O' ± 180° n (n = 1,2, ... ) são idênticas. Ao se utilizarem as circunferências N para determinação do ângulo de fase do sistema a malha fechada, é necessário interpretar o valor adequado de 0'. A fim de evitar erros, deve-se começar na freqüência zero, onde O' = 0° e prosseguir para as freqüências mais altas. A curva de ângulo de fase deve ser contínua. Graficamente, as interseções do lugar geométrico C(jro) com as circunferências M fornecem os valores de M correspondentes aos valores de freqüência designados sobre o lugar C(jro). Assim, a circunferência M de menor raio e que tangente ao lugar geométrico C(jro) fornece o valor do pico de ressonância Se desejarmos conservar o de ressonância inferior a um determinado valor, então é necessário que o sistema não envolva o ponto crítico 1 + )0) e, ao mesmo tempo, não haja interseção do lugar C(jro) com a circunferência correspondente ao valor M particular. A Fig. 8-88(a) mostra o lugar geométrico C(jro) superposto a uma família de circunferências M. A 8-88(b) mostra o lugar C(jro) superposto a uma família de circunferências N. A partir destes gráficos, é possível obter, por as características de resposta de freqüência a malha fechada. Constata-se que a circunferência de M = 1,1 intercepta o lugar geométrico C(jro) no ponto de freqüência ro = rol' Isto significa que nesta freqüência o valor do módulo da função de transferência a malha fechada é 1,1. Na Fig. 8-88(a), a circunferência M = 2 é tangente ao lugar C(jro). Em conseqüência, há somente um ponto sobre o lugar C(jro) para o qual IC(jro)IR(jro) I é igual a 2. A 8-88(c) mostra a curva de ra",,,,,,,tn 0'1 Im Re (a) (b) 2 1.5 + II ~ 0.5 O (I) 0° -90° :::o -180° -270 0 (J)l (1)2 (1), Of+ (o" (J) (c) 8-88 (a) Lugar geométrico G(jW) superposto a uma família de circunferências M; eb) lugar família de circunferências N; (c) curvas de resposta de freqüência a malha fechada. Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência ap(,rrl,ptrllr" superposto a uma de freqüência a malha fechada do sistema. A curva superior é o gráfico de M versus o valor de freqüência úJ e a curva inferior é o gráfico do valor de a versus freqüência úJ. O valor do pico de ressonância é o valor de M correspondente à circunferência de menor raio tangente ao lugar G(júJ). Em conseqüência, no diagrama de Nyquist, os valores do pico de ressonância e da freqüência de ressonância úJr podem ser determinados a partir da circunferência M tangente a G(júJ). presente exemplo, M r = 2 e úJr = úJ..j.) Carta de Nichols. Ao lidar com problemas de projeto, é conveniente construir os lugares de M e N constantes no plano magnitude em dB versus ângulo de fase. A carta fonnada pelos lugares de M e N constantes no plano magnitude em dB versus ângulo de fase é chamada carta de Nichols. Esta carta é mostrada na Fig. 8-89, para ângulos de fase entre 0° e-240°. Note-se que o ponto crítico (-1 + iO) é mapeado na carta de Nichols no ponto (O dB, 180°). A carta de Nichols contém as curvas de magnitude e ângulo de fase a malha fechada constantes. O projetista pode determinar graficamente a margem de fase, a margem de ganho, a magnitude do pico de ressonância, a freqüência de ressonância e a banda passante do sistema a malha fechada a partir da resposta de freqüência a malha aberta G(júJ). A carta de Nichols é simétrica em relação ao eixo de -180°. Os lugares geométricos de Me N repetem-se a cada 360°, e há simetria em todo o intervalo de 180°. Os lugares M estão centrados no ponto crítico (O dB, -180°). A carta de Nichols é muito útil na determinação da resposta de freqüência a malha fechada a partir da resposta a malha aberta. Se a curva de resposta de freqüência a malha aberta for sobreposta à carta de Nichols, as interseções da curva de resposta de freqüência a malha aberta G(júJ) e os lugares geométricos de Me N fornecem os valores do módulo M e o ângulo de fase a da resposta em freqüência em malha fechada, em cada ponto de frequência. Se o lugar geométrico de G (jwJ. não interceptar o lugar Mr, porém a ele for tangente, então o valor do pico de ressonância de M da resposta de freqüência a geométrico de M A freqüência de ressonância é dada pela freqüência no ponto de tangência. malha fechada é dado por Considere-se, como um exemplo, o sistema com retroação unitária possuindo a seguinte função de transferência a malha aberta: G(jw) = , ses + K 1)(0,55 + 1) , K = 1 Para determinar a resposta de freqüência a malha fechada utilizando-se a carta de Nichols, constrói-se o lugar geométrico de G(júJ) no plano módulo em dB versus fase, a partir do diagrama de Bode. O uso do diagrama de Bode elimina cálculos numéricos extensos de G(júJ). A Fig. 8-90(a) mostra o lugar geométrico de G(júJ) junto com os lugares geométricos de M e N. As curvas de resposta de freqüência a malha fechada podem ser construídas lendo-se os valores de módulo e ângulo de fase em vários pontos de freqüência sobre o lugar geométrico de G(júJ) a partir dos lugares geométricos de M e N, conforme mostrado na Fig. 8-90(b). Uma vez que o maior contorno do módulo tocado pelo lugar geométrico de G(júJ) é 5 dB, o módulo de pico ressonante M, é 5 dB. A correspondente freqüência de ressonância é 0,8 rad/s. 36 32 28 24 20 16 CD 12 "O >= i) ::t: \.) 8 4 O -4 -8 -12 -16 -240° -210° -180° -150° -120° -90° -60 0 -30 0 0° IGH 8-89 Carta de Nichols. Seção 8-10 / Resposta de Freqüência a Malha Fechada 459 10 5 20 16 O c:o "O E são verificados até se obterem valores aceitáveis. de O conceito das circunferências M será agora aplicado ao projeto de sistemas de controle. Para se obter desempenho conveniente, o ajuste do ganho normalmente é a primeira consideração. O ajuste pode ser baseado em um valor para o pico de ressonância. Em será demonstrado um método para determinação do ganho K de modo que o sistema possua um certo valor não excedido em toda a faixa de freqüência. Referindo-se à 8-91, verifica-se que a reta tangente desenhada a partir da origem até a circunferência desejada se for maior do que a unidade. O valor de sen ljJ é um ângulo ljJ como 1 sen ljJ = (8-18) como P o ponto de tangência da reta tangente à circunferência Pode-se provar facilmente que a reta a do ponto P, perpendicular ao eixo real negativo, intercepta este eixo no ponto - 1 + .iO. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 8-92. O procedimento para determinação do ganho K, de modo que G(jm) = (jw) possua um valor desejado de > 1) pode ser resumido a seguir: ' J v c H ! " , U U .... V o polar da função de transferência a malha aberta normalizada Gj(jm) = G(jm)/K. a partir da a reta que faz com o eixo real um ângulo ljJ = sen - j (1 Desenhar uma circunferência com centro sobre o eixo real negativo e tangente simultaneamente ao lugar geométrico e à reta PO. Desenhar uma reta perpendicular ao eixo real negativo pelo ponto P, o ponto de tangência desta circunferência com a reta PO. A reta perpendicular PA intercepta o eixo real negativo no ponto A. Para que a circunferência determinada corresponda à circunferência desejada, o ponto A deve ser o ponto - 1 + 6. O valor desejado do ganho K é aquele valor que modifica a escala de modo que o ponto A se torne o ponto - 1 + Portanto. K = 1/ 1m o Rc 8-91 Circunferência M. Seção 8- / Resposta de Freqüência a Malha Fechada 461 Fig. 8-92 Sistema de controle. Note-se que a freqüência de ressonância mr é a freqüência do ponto no qual a circunferência é tangente ao lugar geométrico de G1(jm). O procedimento apresentado pode não conduzir a um valor satisfatório de mr • Se este for o caso, o sistema (Para compensação de sistemas de deve ser compensado a fim de aumentar o valor de mr , sem modificar o valor de controle através de métodos no domínio de freqüência, ver o Cap. 9.) Observe-se que se o sistema possuir retroação não-unitária então o método requer alguns passos de tentativa e erro. EXEMPLO 8-22 Considere-se o sistema de controle com retroação unitária cuja função de transferência a malha aberta seja K G(jw) = . ]w (1 jw) Determinar o valor do ganho K de modo que 1,4. O primeiro passo na determinação do ganho K é esboçar o gráfico polar de G(jw) K jw(1 jw) como indicado na Fig. 8-93. O valor de 1jJ correspondente a 1,4 é obtido de 1j) = sen- l - 1 1 sen- 1 1,4 45,6° O próximo passo é traçar a reta GP que faz um ângulo de 45,6° com o eixo real negativo. Traça-se então a circunferência tangente, ao mesmo tempo, ao lugar geométrico G(jw)/K e à reta GP. Defina-se como P o ponto onde a circunferência é tangente à reta de 45,6°. A reta perpendicular traçada a partir de P intercepta o eixo real negativo em (-0,63, O). Então, o ganho K do sistema é determinado como a seguir: 1 K = = 159 0,63 ' Deve-se observar que esta determinação do ganho também pode ser realizada facilmente sobre o gráfico de módulo em dB versus fase. A seguir será demonstrado como o diagrama de módulo em dB versus fase pode ser usado para se determinar o ganho K tal que o sistema apresente o valor desejado de M r • A Fig. 8-94 mostra o lugar geométrico de 1,4 e o lugar geométrico de G(jw)/K. A modificação do ganho não afeta o ângulo de fase, mas simplesmente movimenta a curva verticalmente para cima se K > 1 e para baixo se K < 1. 1m 0,63 Re 8-93 Determinação do ganho K usando uma circunferência M. 462 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência 15r-------~--------~--~~~ 10 f- ..........."'"""'.... ;........................ '·1··· ,......... I ::o "O ~ O ::.,:, -5 -IOf-··················,······························· ......, -15~ ........................... I __-L~~_ _ _ _ _ _~~_ _ _ _ _ _~ -90 -150° -180° 0 8-94 Determinação do ganho K usando a carta de Nichols. Na 8-94, o lugar geométrico de C(júJ)/K deve ser deslocado para cima, em 4 dB, de modo que seja tangente ao lugar geométrico M, desejado e que o lugar geométrico de C(júJ)/ K possa estar inteiramente fora do lugar geométrico de M, = 1,4. O quanto de deslocamento vertical do lugar geométrico de C(júJ)/K determina o ganho necessário para se obter o valor desejado de M,. Portanto, resolvendo 20 log K = 4 obtém-se K = 1,59 Assim, tem-se o mesmo resultado alcançado anteriormente. 1 o primeiro passo na análise e no projeto de um sistema de controle é obter um modelo matemático do processo a controlar sob consideração. A obtenção analítica de um modelo pode ser bastante difícil. Pode ser necessário então obtê-lo por meio de análise experimental. A importância dos métodos de resposta de freqüência está no fato de que a função de transferência do processo, ou de qualquer outro componente de um sistema, pode ser determinada através de medidas simples de resposta de freqüência. Se forem medidas as relações de amplitude e a defasagem em um número suficiente de freqüências dentro da faixa de os valores podem ser utilizados para se traçar o diagrama de Bode. A função de transferência pode então ser determinada através de aproximações assintóticas. Constroem-se as curvas assintóticas do módulo em dB que consistem em vários segmentos. Normalmente é possível, com algumas tentativas de posicionamento das freqüêncías de corte, obter um bom ajuste de curva. (Note-se que se a freqüência for indicada em ciclos por segundo e não em radianos por segundo, as freqüêncías de corte devem ser convertidas em radianos por segundo antes de se calcularem as constantes de tempo.) Geradores de sinais senoidais. Na realização de um teste de resposta de freqüência devem estar disponíveis de sinais senoidais convenientes. O sinal pode estar sob forma mecânica, elétrica ou pneumática. As faixas de freqüência necessárias para o teste são de aproximadamente 0,00] alO Hz para sistemas com grandes constantes de tempo e de 0,1 a 1.000 Hz para sistemas com pequenas constantes de tempo. O sinal senoidal deve ser razoavelmente isento de harmónicas ou de distorção. Para faixas de freqüência muito baixas (abaixo de 0,01 Hz) pode ser utilizado um gerador de sinal mecânico (conjuntamente com um transdutor pneumático ou elétrico conveniente, se necessário). Para a faixa de freqüência 0,01 a 1.000 Hz ser utilizado um gerador de sinal elétrico adequado (se necessário, juntamente com um transdutor conveniente). Seção 8-11 / Determinação Experimental de Funções de Transferência 463 )et:ermllnal<;:élIO de funções de transferência de fase mínima a partir de diagramas de Bode. Conforme estabelecido anteriormente, o fato de um sistema ser ou não de fase mínima pode ser verificado a partir de curvas de resde freqüência, examinando-se as características de altas freqüências. Para se determinar a função de transferência, traçam-se inicialmente as assíntotas à curva do módulo em dB, obtida experimentalmente. As assíntotas devem possuir inclinações múltiplas de ± 20 dB/década. Se a inclinação da curva do módulo em dB obtida experimentalmente variar de -20 para -40 dB/década em m = mi' é claro que existe um fator 1/[1 + j(ill"m l )] na função de transferência. Se a inclinação variar de -40 dB/década em m ~ deve existir um fator quadrático da forma 1 na função de transferência. A freqüência natural não-amortecida deste fator quadrático é igual à freqüência de corte m2 • O coeficiente de amortecimento' pode ser determinado a partir da curva do módulo em dB obtida experimentalmente medindo-se o valor do pico ressonante próximo à freqüência de corte m2 e comparando esta curva com aquela fornecida na 8-8. Uma vez determinados os fatores da função de transferência G(jm), o ganho pode ser determinado a partir da região de baixas freqüências da curva do módulo em dB. Como os termos do tipo 1 + j(m/mJ e 1 2'(jm/w2 ) + (jm/m2 se tornam unitários quando m tende a zero, em freqüências muito baixas a função de transferência senoidal G(jm) pode ser escrita r- K lim (!)-õ>O Em muitos sistemas 1. Para À nrrH"lf'r.c À = O, ou sistemas do é igual a O, ou 2. O, G(j(ú) para w ~ 1 ou 20 IG(jw)1 2010g A assÍntota de baixas Tr",.nlllanro1ólc é uma reta horizontal e 20 desta assÍntota horizontal. 2. Para À 1, ou sistemas do tipo 1, para w 1 K dB. O valor de K para w jw ~ ~ então ser determinado a 1 ou 2010g 20 K - 20 log w, para w ~ 1 o que indica que a assíntota de baixas freqüências possui inclinação -20 dB/década. A freqüência na qual a assÍntota de baixas freqüências (ou seu prolongamento) intercepta a reta O dB é numericamente igual a K. 3. Para À = 2, ou sistemas do 2, (jwf' para w ~ 1 ou 2010g A HH.,.U>U'e·<-<'-' Capítulo / K - 40 log w, para w ~ 1 da assÍntota em baixas freqüências é de -40 dB/década. A freqüência na qual esta assÍntota a reta de O dB é numericamente a K. lMrcH·,'·"' ...... t" 464 20 Análise no Domínio de Freqüência seu prolon- Alguns exemplos de curvas de módulo em dB para sistemas tipo O, tipo 1 e tipo 2 são mostrados na Fig. 8-95, juntamente com a freqüência para a qual o ganho K está relacionado. A curva do ângulo de fase obtida experimentalmente possibilita um meio de verificação da função de transferência obtida da curva de módulo em dB. Para um sistema de fase mínima, a curva experimental do ângulo de fase deve concordar razoavelmente bem com a curva teórica do ângulo de fase obtida a partir da função de transferência determinada experimentalmente. Estas duas curvas de ângulo de fase devem concordar exatamente tanto na faixa de freqüências muito altas como na faixa de freqüências muito baixas. Se o ângulo de fase obtido experimentalmente, em freqüências muito altas (comparadas com as freqüências de corte), não for igual a -900 (q - p), onde p e q são, respectivamente, os graus dos polinómios do numerador e do denominador da função de transferência, então a função de transferência deve ser de fase não-mínima. Funções de transferência de fase não-mínima. Se, no extremo de altas freqüências, o ângulo de fase calculado for 180° menor do que o ângulo de fase obtido experimentalmente, então um dos zeros da função de transferência deve estar no semiplano direito do plano s, em vez de no semiplano esquerdo. Se o ângulo de fase calculado diferir do ângulo de fase obtido experimentalmente por uma taxa de variação de fase constante, então existe um retardo de transporte, ou tempo morto, no sistema. Supondo-se que a função de transferência seja da forma onde G(s) é a relação de dois polinómios em s, então lim dd / G(jw (11-'1 x úJ )e~j(Ur = lim (l1-'1X = lim «1-'1% ~ do) [/G(jW) + /e-- Jwr ] ~ [/ G(jw) dw 0- T = dB - WT] T ~20 01-------""'0,;;;::-----'- w em escala logarítmica (a) ~20 dB o ~20 t------""~---- w em escala logarítmica w em escala logarítmica (b) ~40 dB o1-------3\0,:------ ~20 w em escala logarítmica w em escala logarítmica (c) 8-95 (a) Curva de módulo em dB de um sistema tipo O; (b) curvas de módulo em dB de sistemas tipo 1; (c) curvas de módulo em dB de sistemas tipo 2. (As inclinações são mostradas em dB/déeada.) Seção 8-11 / Determinação Experimental de Funções de Transferência 465 Portanto, a partir desta última equação se pode calcular o valor do retardo de transporte T. Algumas observações sobre a determinação experimental de funções de transferência 1. Normalmente, é mais fácil fazer medidas precisas de amplitude do que de defasagem. Medidas de defasagem podem envolver erros causados por instrumentação ou por interpretação errónea dos resultados experimentais. 2. A resposta de freqüência do equipamento de medida utilizado para medir a saída do sistema deve possuir curvas de módulo versus freqüências praticamente planas. Além disso, o ângulo de fase deve ser aproximadamente proporcional à freqüência. 3. Os sistemas físicos possuem diversos tipos de não-linearidades. Portanto, é necessário considerar cuidadosamente a amplitude dos sinais de entrada senoidais. Se a amplitude do sinal de entrada for muito grande, o sistema saturará e o teste de resposta em freqüência apresentará resultados inexatos. Por outro lado, um sinal pequeno causará erros devido à zona morta. Conseqüentemente, deve ser feita uma escolha cuidadosa da amplitude do sinal de entrada senoidal. É necessário visualizar a forma de onda do sinal de saída do sistema para assegurar-se de que a forma de onda é senoidal e que o sistema está operando na região linear durante todo o teste. (A forma de onda do sinal de saída do sistema não será senoidal se o sistema estiver operando em sua região não-linear.) 4. Se o sistema sob consideração estiver operando continuamente por dias e semanas, então a operação normal não necessita ser interrompida para os testes de resposta de freqüência. O sinal de teste senoidal pode ser sobreposto às entradas normais. Assim, para sistemas lineares, o sinal de saída devido ao sinal de teste estará sobreposto ao sinal de saída normal. Para a determinação da função de transferência enquanto o sistema estiver em operação normal, também são muito utilizados sinais estocásticos (sinais de ruído branco). Utilizando-se funções de correlação, a função de transferência do sistema pode ser determinada sem interromper sua operação normal. EXEMPLO 8-23 Determinar a função de transferência do sistema cujas curvas experimentais de resposta de freqüência são mostradas na Fig. 8-96. O primeiro passo na determinação da função de transferência é aproximar a curva do módulo em dB por assÍntotas com inclinações de ± 20dB/década e seus múltiplos, conforme indicado na Fig. 8-96. As freqüências de corte são então determinadas. Para o sistema mostrado na Fig. 8-96, estima-se a seguinte forma da função de transferência. K(1 + 0,5jOJ) C(jw) jw(1 jm) ri (i~) v~n O valor do coeficiente de amortecimento ~ é determinado examinando-se o pico de ressonância próximo a úJ 6 rad/s. Com base na Fig. 8-8, determina-se ~ como sendo igual a 0,5. O ganho K é numericamente igual à freqüência determinada na interseção do prolongamento da assíntota de baixas freqüências com a reta de dB. O valor de K é determinado em 10. Portanto, G(júJ) é obtida soriamente como sendo ° 10(1 C(jOJ ) jw(1 0,5jOJ ) iw) [I (i*) (j*rJ ou C(s) 64) Esta função de transferência é uma tentativa porque não se examinou, ainda, a curva do ângulo de fase. Uma vez verificadas as freqüências de corte da curva do módulo em dB, a curva do ângulo de fase correspondente a cada fator da função de transferência pode ser traçada facilmente. A soma destas curvas de ângulo 9~fase componentes é aquela da função de trans8-96 por Nesta figura, nota-se claramente uma discreferência suposta. A curva do ângulo de fase para G(júJ) é indicada na pância entre a curva do ângulo de fase calculada e a curva do ângulo de obtida expenmentalmente. A diferença entre as duas curvas em freqüências muito altas parece possuir uma taxa de variação constante. Conseqüentemente, as discrepâncias nas curvas de ângulo de fase devem ser causadas por um retardo de transporte. Deste modo, admite-se uma função de transferência completa como sendo G(s)e- T1 • Como a discrepância entre os ângulos de fase calculado e experimental é -0,2úJ para freqüências muito altas, o valor de T pode ser determinado como a L!l.. lim d dOJ -0,2 ou T 466 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência 0,2 s 40 Magnitude 20 0° O -20 -100° -40 -200° -60 -300° -80 -400° dB -I 00 '--_-'-_-'----'--'--'--_-'--_-'----'--'--"'--_-"'-----' - 500 0 0.1 02 0.4 0,6 2 4 6 10 20 40 (O em rad/s 8-96 lJLagl'an1as de Bode de um sistema. (As linhas cheias são curvas obtidas experimentalmente.) A presença do retardo de transporte pode então ser determinada, e a completa função de transferência, obtida a partir das curvas experimentais, é 64) PR A-8-l. BLE S ILOSTR TI SES LOÇ ES Considere-se um sistema cuja função de transferência a malha fechada é 5) (Este é o mesmo sistema considerado no Problema A-6-9.) Os pólos a malha fechada estão situados, obviamente, em s = -2 e s -5 e o sistema não é oscilatório. (Contudo, a resposta ao degrau unitário apresenta ultrapassagem devida à presença do zero em s = -1. Ver 6-51.) Mostrar que a resposta de freqüência a malha fechada deste sistema apresenta um pico de ressonância, embora o coeficiente de amortecimento dos pólos a malha fechada maior que um. A 8-97 mostra o diagrama de Bode relativo ao sistema. O valor do pico de ressonância é de aproximadamente 3,5 dB. (Observe-se que, na ausência de zeros, os sistemas de ordem com ~ > 0,7 não apresentam pico de ressonância. Contudo, a presença de um zero a malha fechada pode causar o de pico de ultrapassagem.) A-8-2. Traçar o diagrama de Bode relativo à Substituindo-se s = função de transferência a malha aberta G(s): jw em G(s), tem-se G(jw) Problemas Ilustrativos e Soluções 467 15 10 cc '"O 5 5 21 2 t)~ .'"-: '-" - • / ,< , -..... ......... ~/ ---'/ o A ~s ptota ,--- - ~~ -5 '""" -10 -15 90° 2~ ~ ,:::; 45° ~ 0° ----- --cr--:........... -45° -90° 0.2 0,4 0,6 I 2 4 w em radls r---- 20 10 6 40 Fig. 8-97 Diagrama de Bode relativo a 10(1 + jro)/[(2 + jro)(5 Observando-se que os valores de ro/l e de ~ jro)]. do termo quadrático em numerador são s e = 0,707 este termo quadrático pode ser escrito como Observe-se que a freqüência de corte é ro = JO,5 = 0,707 rad/s. Agora se pode escrever C(jro) como (i~r + 1,414(j:j&s) + 1 G(jw) jw(jw + 1)(0, ljw 1) O diagrama de Bode relativo a C(jro) é mostrado na Fig. 8-98. 20 .~ ~ ........... -- O "~ ............ ............ -20 , • • dB -40 -60 c-'''''' !---- ~ /" V ......... :,...--- ........... ........ I --- ----- - I '--'- -180° 10 0.1 cu 100 em rad/s Fig. 8-98 Diagrama de Bode relativos à C(jro) do Problema A-8-2. 468 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência dB 11-)",71 r 16 o o,dB/decadC I w em escala T logarítmica ) -90"~ l , w em escala logarítmica T Fig. 8-99 Diagrama de Bode relativo a 1 - jOJT. A-8-3 Construir os diagramas de Bode do seguinte sistema de fase não-mínima: C(s) _ 1 - Ts R(s) Obter a resposta a uma excitação em rampa unitária e traçar a curva c(t) versus t. Solução. Os diagramas de Bode (magnitude e fase) são mostrados na Fig. 8-99. Para uma excitação em rampa unitária, R(s) se tem Ts C(s) = lIs2, e T s A transformada de Laplace inversa de C(s) fornece c(t) = t - T, para t 2: O A Fig. 8-100 mostra a curva de c(t) versus t. (Note-se o comportamento deficiente nos instantes iniciais da resposta do sistema.) Constitui uma propriedade característica de sistemas de fase não-mínima ter a resposta transitória começando em sentido oposto ao do sinal de entrada aplicado e finalmente retornando ao mesmo sentido. A-8-4. Seja o sistema definido por Obter as funções de transferência senoidais Y1UOJ)/U1UOJ), Y2UOJ)/U 1UOJ), Y 1UOJ)/U2UOJ) e Y2UOJ)/U 2UOJ). Ao se obterem as funções de transferência Y1UOJ)/U1UOJ) e Y2UOJ)/U 1UOJ), admite-se U2UOJ) = O. De modo semelhante, na obtenção de Y1UOJ)/UhOJ) e Y2UOJ)/U2UOJ), se supõe U1UOJ) O. Obter também os diagramas de Bode destas quatro funções de transferência com o MATLAB. r(t) c(t) + r(t) ~ cU) O Fig. 8-100 Resposta do sistema considerado no Problema A-8-3 a uma excitação em rampa unitária. Problemas Ilustrativos e Soluções 469 Solução. A expressão da matriz de transferência do sistema definido por x y Bu = ex Du é dada por onde G(s) é a matriz de transferência e é dada por D Para o sistema considerado aqui, a matriz de transferência se torna D UI ~] s:1 [~ ~] _[s 4 ls] [01 25 -25 1 .1 ] Assim Admitindo-se U,JjOJ) = O, é possível obter YjVOJ)IUjVOJ) e Y2VOJ)IU jVOJ) como a De modo semelhante, admitindo-se UjVOJ) como a seguir: O. é 25 25 4jw + 25 Observe-se que YhOJ)IU2VOJ) é uma função de transferência de fase não-mínima. Para traçar os diagramas de Bode relativos a YjVOJ)IUjVOJ), YjvOJ)IUhOJ) e YhOJ)IU2VOJ) com o uso do MATLAB, pode ser usado o comando o MA TLAB produz, então, os de Bode para UI como sinal de entrada e U 2 nulo, e para U 2 como sinal de entrada e UI nulo. Ver o Programa MATLAB 8-14 e os de Bode mostrados na Fig. 8-101. que o MATLAB produz dois conjuntos de 2) na tela do monitor. A 8-10] consiste nestes dois conjuntos de diagramas de 470 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüênda Programa MATLAB 8-14 ' A = [O 1; -25 B = [1 1;0 1J; C = [1 0;0 1]; D = lO 0;0 O]; bode(A, B, C, D) A-8-5. Referindo-se ao Problema A-8-4, considerar uma forma alternativa de traçar os diagramas de Bode do sistema. Uma forma de se traçar os diagramas de Bode é usando o comando bode(A,B,C,D,l ) para se obterem os diagramas relativos a Y1VW)/U1vw) e Yhw)/U1vOJ). Para se obterem os diagramas de Bode relativos a Y1VW)/U 2vw) e Y2VOJ)/U 2vw) usa-se o comando bode(A,B,C,D,2) Sinal de entrada 1 50 co "O E v o ..c c: C(J CJ O -50 -100 10° cf: :::l 10 1 Freqüência (rad/s) 10 2 180 ~ 25! ~ ~ v "O 90 O -90 10° 20 10 1 Freqüência (rad/s) Sinal de entrada 2 co "O E v O o ..c c: -20 C(J CJ -40 10° Freqüência (rad/s) 180 -90~~~~~~~~l=====~====~~=bd 10° 10 1 Freqüência (rad/s) 8-101 Diagramas de Bode do sistema considerado no Problema A-8-4. Problemas Ilustrativos e Soluções 471 Escrever um programa em MA TLAB para obter os diagramas de Bode através destes comandos bode. Programa MATLAB 8-15 A [O = 1;-25 B == [1 C==[l D == [O -4]; 1;0 1]; 0;0 1]; 0;0 O]; bode(A,B,C,D,l ) subplot(2,l! 1), title( 'Diagramas de Bode; Entrada bode(A, B, C, Df 2) subplot(2,1 f 1), title('Diagramas de Bode; Entrada = u 1 (u2 = O) ') u2 (u1 O)') Solução. O programa para este problema é fornecido como Programa MATLAB 8-15. Os diagramas de Bode gerados por este programa são mostrados na Fig. 8-102. Nestes diagramas pode não ser fácil identificar quais são as curvas relativas a YI(jOJ) ou a Y2(jOJ). Usualmente Diagramas de Bode: Sinal de entrada = li I ([/2 = O) CCl 'Ü E O~--~==~=±=+~~~----~----~~-~~~-I C) o ..c ê -50 O -IOOL-----L-~--~~~~~--------L-~~~~~ 10 1 10° Freqüência (rad/s) :r::l 180 ~ 23 90 ~ ~ C) "O O o "3 bJ) ç: <<( -90 10° 10 1 Freqüência (rad/s) Diagramas de Bode: Sinal de entrada = u2 (uI = O) 20,-----------~--~~~----~--~~~~--~ 2 ê -20 O -40L-----~~--~~~~----~--~~~-L~~ 10 1 10° Freqüência (rad/s) ~ 180 ~ 23 ~ 90 !2 C) O ~--t___~ .. "O o "3 bJ) <~ - 90 L..:;..:.:.:..:..:~~:.:..:..:L~..:.:.:.:.l.:.:..:..:..:..:..Ll:r:t===:::±=::::t:::::±==:::::t::±:±:::!::::::I 10° lO! 10 2 Freqüência (rad/s) Fig. 8-102 Diagramas de Bode. 472 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência o comando text é usado para identificar as curvas. O comando text, no entanto, não é aplicável aos presentes comandos bode. Para se usar o comando text, deve-se empregar o seguinte comando: [mag,phase,w] = bode(A,B,C,D,iu,w) Para detalhes, ver o Problema A-8-6. A-8-6. Referindo-se aos Problemas A-8-4 e A-8-5, considerar o traçado dos diagramas de Bode do mesmo sistema discutido nestes problemas. Utilizar o comando text para identificar as curvas nos diagramas. Escrever um programa em MA TLAB para traçar os diagramas de Bode utilizando o comaIldo: [mag,phase,w] = bode(A,B,C,D,iu,w) Solução. Ao se utilizar o comando especificado, observe-se que as matrizes mag e phase contêm as magnitudes e os ângulos de fase de YI(jOJ) e de Y2(jOJ) calculados em cada valor de freqüência considerado. Para se obter a magnitude de YI(jOJ), utiliza-se o seguinte comando: Y1 = mag* [1 ;0] Para converter a magnitude em dB, emprega-se o comando magdB = 20*log10(mag) Assim, para converter Yl em dB, entra-se com o comando Yl dB 20*logl 0(Y1) De modo similar, para traçar a magnitude de Y2 em dB, utilizam-se os comandos: Y2 Y2dB = mag* [O; 1] 20*log10(Y2) Em seguida, entra-se com o comando semilogx(w, Y1 dB,'O',W, Yl dB,'_',W, Y2dB,' X ', W, Y2dB,'-') O comando text pode agora ser utilizado para escrever texto na figura. Ver o Programa MATLAB 8-16. Programa MA TLAB 8-16 % *****Será obtida inicialmente a resposta de freqüência quando % u2 = O; isto é, será obtido Yl (jw)/Ul (jw) e % Y2 (jw)/U 1 (jw)***** A = [O 1 -4]; B=[l 1;0 1); C = [1 0;0 1]; O [O 0;0 O]; w = logspace(-l,3,l 00); (mag 1, phase 1, w] = bode(A,B,C,D,l,w); Yl = magl *[1 ;01; Yl dB = 20*logl O(Yl); Y2 = mag1 *[0;1]; Y2dB = 20*logl0(Y2); semilogx(w,Yl dB, 'o',w,Yl dB, '-',w,Y2dB, 'x', w,Y2dB, '-') grid subplot(2, 1, 1 ); title('Diagramas de Bode: Sinal de Entrada = ul (u2 = O)') xlabel('Freqüência (rad/s)') ylabeWGanho em dB') text(1.2,-1 O, 'Y1 '); text(1.2,6, 'Y2') Yl P = phasel *[1; O); Y2p = phasel*[O;l]; semilogx(w,Yl p, 'o',w,Yl p, '-',w,Y2p, 'x',w,Y2p, '-') grid xlabel('Freqüência (rad/s)') ylabel('Fase em graus') text(1.2,25, 'Yl '); text(1.2 , 188, 'Y2 ') Problemas Ilustrativos e Soluções 473 % ***** A seguir será obtida a resposta de freqüência quando % u1 ::=; O; isto é, serão obtidas Y1 (jw)/U2(jw) e Y2(jw)/U2(jw)***** [mag2,phase2,w] bode(A,B,C,D,2,w); YYl = mag2*[1 ;0]; YY1 dB"'::=; 20*logl 0(YY1); YY2 = mag2*[O;1 l; YY2dB = 20*logl0(YY2); semilogx(w, YYl dB, 'o', w, YYl dB, '-' w, YY2dB, 'x', w, YY2dB, '- ') grid subplot(2,l,l ); title('Diagramas de Bode: Sinal de entrada = u2 (ul = O)') xlabel('Freqüência (rad/s)'} ylabel('Ganho em dB') text(1.2, -17, 'Yl '); text(l .2, 5, 'Y2'); I YYl P = phase2*(l ;0]; YY2p phase2*[0;1 li semílogx(w, YYlp, 'o',w,YYl P, '-',w,YY2p, 'x',w,YY2p, '-') grid xlabel('Freqüência (rad/s)') ylabel('Fase em graus') text(1.2,20, 'Yl '); textO.2, 182, 'Y2'); De modo similar, para se traçarem os gráficos do ângulo de fase relativos a Yj(jw) e Y2(jw) , utilizam-se os seguintes comandos: Yl P phase* [1 ;0]; Y2p phase*[O;ll; semilogx(w,Y1 p,'o',w,Yl p,'_',w,Y2p,' x',w,Y2p/_') Os diagramas de Bode gerados pelo Programa MA TLAB 8-16 são mostrados nas A-8-7. 8-103 e 8-104. Provar que o diagrama polar da função de transferência senoidal G(jw) 1 jwT jw T ' para O :s; w :s; x é uma semicircunferência. Determinar o centro e o raio da circunferência. Solução. A função de transferência senoidal em questão C(jw) pode ser escrita sob a forma: G(jw) = X Diagramas de Bode: Sinal de entrada = ui (u2 20 = O) 200 Y2 O 150 Yl be ~~ -20 o::l "O E 1) o .c -40 ~~ ~ ~~ c: ~ ~~ 41) ~~ 50 "O YI O rxx~ -100 ~ ~ .... ~ I~ -50 -100 10-1 10-1 Freqüência (rad/s) Freqüência (rad/s) 8-103 Diagramas de Bode. Capítulo 8 1\ 100 ?J cj ~P\ -60 -80 474 ~~ C/: ;:l :-:i O ~ / Análise no Domínio de Freqüência Diagramas de Bode: Sinal de entrada = u2 (uI O) Freqüência (rad/s) 200 ~~~ 150 Y2 ~ 'l: :::l 100 ::J 3 ~ ~ 1\ ~ ~ 50 a.J v Yl O ~~ ~ -50 K~x,. ~ ~ -. -100 Freqüência (rad/s) 8-104 Diagramas de Bode. onde x wT y Então 4 Constata-se, assim, que o gráfico de superior corresponde aOS; A-8-8. úJ é uma circunferência centrada em (0,5, O) e com raio igual a 0,5. O semicírculo S; x, e o semicírculo inferior corresponde a - x Referindo-se ao Problema A-8-2, traçar o U'U5'U,'llU s; úJ s; O. polar de G(s) onde 0,5) 10) Assinalar no diagrama polar os pontos referentes às freqüências Problemas Ilustrativos e Soluções úJ 0,1; 0,2; 0,4; 0,6; 1,0; 2,0; 6,0; 10,0; 20,0 e 40,0 rad/s. 475 Tabela 8-3 Magnitude e Fase deG(jw) consideradas no Problema A-8-8 w IG(jw) I jC(jw) 0,1 9,952 -84,75° 0,2 4,918 -78,96° 0,4 2,435 -64,46° 0,6 1,758 -47,53° 1,0 1,573 -24,15° 2,0 1,768 -14,49° 4,0 1,801 -22,24° 6,0 1,692 -31,10° 10,0 1,407 -45,03° 20,0 0,893 -63,44° 40,0 0,485 -75,96° Solução. Observando-se que . ) 2( - w2 + jw + 0,5) C ( JW =. . . . }w(}W 1 )(O,l}w + 1) tem-se IcC/w)1 !C(jw) wVl + w2 tan- 1 (0,5 w ( 2) -90" - tan- 1 w - tan-I(O, Iw) A magnitude e o ângulo de fase podem ser obtidos conforme é mostrado na Tabela 8-3. (Note-se que a magnitude em dB e o ângulo de fase em graus podem ser lidos com facilidade na Fig. 8-98.) O valor em dB pode ser convertido, com facilidade, em um número. A Fig. 8-105 mostra o diagrama polar. Observe-se a existência de um laço no diagrama polar. 1m 2 (U =x Re UJ = 20 -2 -3 -4 -5 w = 0,2 8-105 Diagrama polar relativo à G(jw) dada no Problema A-8-8. 476 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência A-8-9. Considere-se a função F(s) = s s o mapeamento conforme das retas ú) = O),:::!:: 2, e das retas cr = 0, :::!:: 1, :::!:: 2 conduz a circunferências no plano F(s) como é mostrado na Fig. 8-106. Mostrar que se o contorno no plano s envolver o pólo de F(s), haverá um envolvimento da origem de F(s) no sentido antihorário. Se o percurso no plano s envolver o zero de F(s), haverá um envolvimento da origem do plano F(s) no sentido horário. Se o contorno fechado no plano s envolver, simultaneamente, o zero e o pólo, ou se o percurso não envolver nem o zero nem o pólo de F(s) então não haverá envolvimento da origem do plano F(s) pela curva mapeada através de FCs). (Note-se que um ponto representativo s do plano s descreve um percurso fechado no sentido horário.) Solução. Uma solução gráfica é dada na Fig. 8-107; são mostrados percursos fechados no plano s e suas curvas fechadas, correspondentes no plano F(s). A-8-1O. Provar o seguinte teorema do mapeamento: Seja FCs) a relação entre dois polinômios racionais em s. Seja P o número de pólos e Z o número de zeros de F(s) que permanecem no interior de um percurso fechado do plano s. Seja o percurso fechado tal que não passe por nenhum dos pólos ou zeros de F(s). O percurso fechado no plano s é então mapeado no plano numa curva fechada do plano FCs). O número N de envolvimentos da origem do plano F(s), no sentido horário, à medida que um ponto representativo s percorre o percurso fechado no plano s no sentido horário, é igual a Z- P. Solução. Para provar este teorema, serão utilizados o teorema de Cauchy e o teorema dos resíduos. O teorema de Cauchy estabelece que a integral de F(s) ao longo de um percurso fechado do plano s é nula se F(s) for analítica no intelior e sobre o contorno fechado, ou seja F(s) ds = O Suponha-se que F( s) seja dada por F(s) em que X(s) é analítica sobre o percurso fechado do plano s e todos os zeros e pólos estejam localizados no interior do percurso. Então, a relação F' Cs)/F(s) pode ser escrita como F(s) F(s) s+ Z2 + . .. ) - mj ( m2 --;-p; + --;-p; . ) X'(s) X(s) (8-19) Isto pode ser visto a partir da seguinte consideração: Se F(s) for dada por F(s) então F(s) possui um zero de ordem k em s = -ZI' = (s Zj)"X(s) Derivando-se F(s) em relação a s resulta 1m Plano s jw I I Plano F(s) 3 j2 jl -2 -I I----t- (ú O 2 a =O Re -j I +---+------1 -3 a=l Fig. 8-106 Mapeamento conforme dos reticulados do plano s no plano F(s), onde F(s) Problemas Ilustrativos e Soluções = (s 1)/(s 1). 477 Im jw j2 '- Plano s jl A I 3 J., I -2 B -I 2 O -jl C D -)2 (} f- jO) j2 1m 2 A C' I -2 D -I 2 O C 3 (} -;i 1 B' -2 -j2 )u) 1m 2 )2 B A I (} -I O -I -2 -;j2 jw Re (} 8-107 Mapeamento conforme dos contornos do plano s no plano F(s), onde F(s) = (s 1)/(s 1). Assim, F(s) k =---+ 5 (8-20) de F'(s)/F(s). Constata-se que ao se tomar a relação F'(s)/F(s) o zero de ordem k de F(s) torna-se um pólo Se o último termo no segundo membro da (8-20) não contiver pólos ou zeros no percurso fechado no plano s, é analítica em todos os pontos deste contorno exceto no zero s = Em conseqüência, com base na (8-19) e utilizando-se o teorema de um percurso fechado do plano s é igual do resíduo, que estabelece que a integral de F' (s)/F(s) calculada no sentido horário ao a -21T) vezes os resíduos dos pólos simples de F'(s)/F(s), ou tem-se 478 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência onde Z P = kj + = número total de zeros de F(s) envolvidos pelo contorno fechado no plano s; mi + nz 2 +... número total de pólos de F(s) envolvidos pelo contorno fechado no plano s. [Os k zeros(ou pólos) múltiplos são considerados k zeros (ou pólos) localizados no mesmo ponto.] Como F(s) é uma grandeza complexa, pode ser escrita sob a forma IFle jO F(s) e ln F(s) ln je Observando-se que F'(s)/F(s) pode ser expresso por F(s) d ln F(s) ds obtém-se . de J ds Se o percurso fechado no plano s for mapeado num percurso fechado [' do plano F(s), então F(s) ds A integral de dlnlFI j I de = trd InlFI é igual a zero uma vez que a magnitude de InlFI é a mesma no ponto inicial e no ponto final do percurso r Obtém- se assim z p A diferença angular entre os valores final e inicial de () é igual à variação do ângulo de fase de F' (s)/ F(s) à medida que um ponto representativo do plano s se desloca sobre o percurso fechado. Observando-se que N é o número de envolvimentos, no sentido horário, da origem do plano F(s) e ()2 - ()I é zero ou um múltiplo de 2n rad, obtém-se -N Assim, tem-se a relação N Z P Isto prova o teorema. Observe-se que por intermédio deste teorema do mapeamento não é possível encontrar o número exato de pólos e zeros; apen,as sua diferença. Note-se, também, a partir das Figs. 8-1 08(a) e (b) que se () não variar de 2n rad, então a origem do plano F(s) não poderá ser envolvida. 1m lm Plano F(s) Plano F(s) Re Origem envolvida fh 8, (a) = 2:7 o Origem não-envolvida 82 8, =O (b) 8-108 Determinação do envolvimento da origem do plano F(s). Problemas Ilustrativos e Soluções 479 1m (O =x Re Fig. 8-109 Diagrama de Nyquist. A-8-11. O diagrama de Nyquist (gráfico polar) da resposta de freqüência a malha aberta de um sistema de controle com retroação unitária é mostrado na Fig. 8-109. Admitindo-se que o percurso de Nyquist no plano 5 envolve todo o semiplano s da direita, construir o diagrama de Nyquist completo, no plano G. Responder, em seguida, às seguintes questões: (a) Se a função de transferência a malha aberta não possuir pólos no semiplano s da direita, o sistema a malha fechada será estável? (b) Se a função de transferência a malha aberta possuir um pólo e não possuir zeros no semiplano s da direita, o sistema a malha fechada será estável? (c) Se a função de transferência a malha aberta possuir um zero e não possuir pólos no semiplano s da direita, o sistema a malha fechada será estável? Solução. A Fig. 8-110 mostra um diagrama de Nyquist completo no plano G. As respostas às três perguntas são: O sistema a malha fechada é estável porque o ponto crítico jO) não é envolvido pelo diagrama de Nyquist. Isto é, como P = O e N = O, tem-se Z = N + P O. (b) A função de transferência a malha aberta possui um pólo no semiplano s da direita. Em conseqüência, P = 1. (O sistema a malha aberta é instável.) Para que o sistema a malha fechada seja estável, o diagrama de Nyquist deverá envolver o ponto crítico (-1 + jO) uma vez no sentido anti-horário. Contudo, o diagrama de Nyquist não envolve o ponto crítico. Assim, N = O. Em conseqüência, Z N P = 1. O sistema é instável. (c) Como a função de transferência a malha aberta possui um zero e nenhum pólo no semiplano 5 da direita, tem-se Z = N + P O. Assim, o sistema a malha fechada é estável. (Note-se que os zeros da função de transferência a malha aberta não afetam a estabilidade do sistema a malha fechada.) (a) A-8-12. O sistema a malha fechada cuja função de transferência a malha aberta é dada a seguir é estável para K K 1)(25 + 1) G(5)H(s) Determinar o valor crítico de K para se ter estabilidade. 1m Plano G U) =0- w=o+ Re Fig. 8-110 Diagrama completo de Nyquist no plano G. 480 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência 2? Solução. A função de transferência a malha aberta é K G(jw)H(jw) jw(jw + 1) (2jw 1) K Esta função de transferência a malha aberta não possui pólos no semiplano s da direita. Assim, para se ter estabilidade, o ponto 1 + jO não pode ser envolvido pelo lugar de Nyquist. Seja agora determinar o ponto onde o diagrama de Nyquist cruza o eixo real negativo. Fazendo-se a parte imaginária de G(jw)H(jw) igual a zero, vem 1- = O donde Substituindo-se w 11 em G(jw)H(jOJ), obtém-se 2K 3 o valor crítico de K é obtido igualando-se - 2K/3 a-I, ou seja 2 3 --K -1 Assim, 3 K=- 2 3 O sistema é estável se O < K < -. Em conseqüência, para K 2 2 o sistema é instável. A-8·13. Considere-se o sistema a malha fechada mostrado na Fig. 8-11l. Determinar, por meio do critério de estabilidade de Nyquist, o valor crítico do ganho K para o sistema ser estável. Solução. O diagrama polar de G(jw) K jw - 1 é uma circunferência com o centro sobre o eixo real negativo em - K/2 e raio igual a K/2, conforme mostrado na Fig. 8-112( a). À medida que OJcresce de -x a +x, o lugar G(jOJ) desenvolve uma rotação completa no sentido anti-horário. Neste sistema, P = 1 porque há um pólo de G(s) no semiplano s da direita. Para que o sistema a malha fechada seja estável, Z deve ser igual a zero. Por conseguinte, N Z - P deve ser igual a-I, ou seja, deve haver um envolvimento do ponto - 1 + jO no sentido anti-horário. (Se não houver envolvimento do ponto 1 jO, o sistema será instável.) Assim, para se ter estabilidade, K deve ser maior que a unidade e K = 1 estabelece o limiar da estabilidade. A Fig. 8-112(b) mostra gráficos de G(jw) com ambos os casos estável e instável. A-8-14. Seja um sistema com retroação unitária cuja função de transferência a malha aberta é Ke-o.'KS G(s) R(s) =-- s 1 C(s) Fig. 8-111 Sistema a malha fechada. Problemas Ilustrativos e Soluções 481 Im K Plano G O w (I) =-x Re w x (a) 1m 1m Plano G Plano G w =0 w=O -x (J) w=-x Re Re w w=x x P=I P=I N=-I N=O Z=O Z (Estável) (Instável) K< 1 K>l (b) 8-112 (a) Diagrama polar de K/(jOJ 1): (b) diagramas polares de K/(jOJ - I) para os casos estável e instável. Determinar, por meio do diagrama de Nyquist, o valor crítico de K para se ter estabilidade. Para este sistema. G(júJ ) júJ K (cos 0,8úJ K j sen 0,8 úJ)(1 1 úJ2 júJ) [(cos 0,8(0 - úJ sen 0,8(0) - j(sen 0,8úJ O) cos 0,8(0)] = -0,378K A parte imaginária de G(jOJ) é igual a zero se sen 0,8(0 O) cos 0,8 O) ° Assim, O) = -tan 0,80) Resolvendo-se esta equação para o mehor valor positivo de OJ, tem-se 0)= Substituindo-se OJ = 2.4482 em G(jOJ), resulta G(j2,4482) K - - - - (cos 1,9586 - 2,4482 sen 1,9586) o valor crítico de K em relação à estabilidade é obtido fazendo-se igual a - 1. Portanto, 0,378K ou K 482 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência 2,65 1m w =2,5 -1 w Re =2 Fig. 8-113 Diagramas polares de 2,65e-O,~j(ú/(l + jú») e de 2,65/(1 + jú»). A Fig. 8-113 mostra os diagramas de Nyquist (ou diagramas polares) de 2,65e- OXj (ú/(l + jú») e de 2,65/(1 jú»). O sistema de primeira ordem sem retardo de transporte é estável para todos os valores de K, mas o que contém um retardo de transporte de 0,8 s se torna instável para K > 2,65. A-8-15. Considere-se um sistema com retroação unitária com a seguinte função de transferência a malha aberta: Traçar um diagrama de Nyquist com o auxílio do MA TLAB e examinar a estabilidade do sistema a malha fechada. Solução. Carrega-se inicialmente, no computador, o Programa MATLAB 8-17. Como neste sistema o MATLAB envolve divisão por zero ("Divide by zero") nos cálculos, o diagrama de Nyquist resultante é incorreto conforme mostra a Fig. 8-114. Programa MATLAB 8- 1 7 num = [O 20 20 10]; den = [1 11 1 O O]; nyquist(num,den) Este diagrama de Nyquist pode ser corrigido através do comando axis, como é mostrado no Programa MATLAB 8-18. O diagrama de Nyquist resultante é mostrado na Fig. 8-115. Programa MATLAB 8-1 8 num = [O 20 20 10]; den = [1 11 10 O]; nyqu ist(num,den) v = [-2 3 -3 3]; axis(v) grid title( 'Diagrama de Nyquist de G(s) = 20(5 A 2 + s + O, 5)/[5(s + 1)(s + 1O)J} ° Como não há pólos a malha aberta situados no semiplano s da direita, P no critério de estabilidade de Nyquist. Constata-se, a partir da Fig. 8-115, que o diagrama de Nyquist não envolve o ponto -1 + jO. Por conseguinte, o sistema a malha fechada é estável. A-8-16. Considere-se o mesmo sistema discutido no Problema A-8-15. Traçar o diagrama de Nyquist relativo somente à região de valores positivos de freqüência. Solução. O traçado do diagrama de Nyquist relativo exclusivamente a valores positivos de freqüência pode ser obtido por meio do seguinte comando: [re,im,w] Problemas Ilustrativos e Soluções = nyquist(num,den,w) 483 X 107 0,8 0,6 0,4 ·8 '''Í 0.2 c: '51 "Í ,5 ° c x W -0.2 f- -0,4 I- -0,6 -0,8 -1 ° 0,2 0,4 0,6 0,8 1,2 1,4 1.6 1.8 Eixo Real Fig. 8-114 Diagrama de Nyquist incorreto. A gama de valores de freqüência pode ser dividida em várias sub-regiões com incrementos diferentes. Por exemplo, a região de freqüências sob interesse pode ser dividida em três sub-regiões como a seguir: w1 =0.1:0.1:10; w2 = 10:2:100; w3 100:10:500; w = [w1 w2 w3] o programa MATLAB 8-19 utiliza esta região de valores de freqüência. Utilizando-se este programa, obtém-se o diagrama de Nyquist mostrado na Fig. 8-116. A-8-17. Considere-se o sistema com retroação unitária positiva com a seguinte função de transferência a malha aberta: Traçar um diagrama de Nyquist. 2 ·8 ,~ c: '51 "Í ,5 C ° X W -1 -2 -1,5 -1 -0,5 ° 0,5 Eixo Real Fig. 8-115 Diagrama de Nyquist de G(s) 484 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência 1,5 2 2.5 3 Diagrama de Nyquist de C(s) = 20(s~2+s+0,5)/[s(s+ 1) (s+ 1O)] O ·ê -1 ,~ c '5b ~ .§ -2 >< LíJ .., -.) -4 -2 -1 O 2 3 Eixo Real Fig. 8-116 Diagrama de Nyquist para a região de freqüências positivas. Solução. O diagrama de Nyquist para sistema com retroação positiva pode ser obtido definindo-se num e den como num den = [-1 5 [1 -4 -6] 4] Programa MATLAB 8-19 % -----------. Diagrama de Nyquist .-------.--num = [O 20 20 10]; den = [1 11 10 O]; w1 = 0.1:0.1:10; w2 = 10:2:100; w3 = 100:10:500; w = [w1 w2 w31; [re,im,w] = nyquist(num,den,w); plot(re,im) v = [-3 3 -5 1]; axis(v) grid títle('Diag. de Nyquist G(s) 20(SA2 + s + 0/5)/[5(s + 1)(5 xlabel('Eixo Real') ylabel('Eixo Imaginário') + 10)'] e usando o comando nyquist(num,den). O Programa MATLAB 8-20 produz o diagrama de Nyquist mostrado na Fig. 8-117. Programa MATLAB 8-20 num = [-1 -4 -61; den = [1 5 4]; nyquist(num,den); grid title('Diagrama de Nyquist de G(5) = -(sA2 + 45 + 6)/(SA2 + 5s + 4)') Este sistema é instável porque o ponto -1 + jO é envolvido uma vez no sentido horário. Note-se que este é um caso especial em que o diagrama de Nyquist passa pelo ponto - 1 + jO e também envolve este ponto uma vez no sentido horário. Isto significa que o sistema a malha fechada é degenerado; o sistema se comporta como se fosse um sistema de primeira ordem instável. Ver a seguinte função de transferência a malha fechada do sistema com retroação positiva: C(s) _ _ _ _ _ _-::--_ __ 6) R(s) 4s + 6 S2 s Problemas Ilustrativos e Soluções 2 485 A Diagrama de Nyquist de C(s) = -(s 2+4s+6)/C,(2+5s+4) 0.5 OA 0.3 0,2 .§ ,~ c: 'sn ~ ,§ c >< r.rJ 0,1 O -0.1 -02 -0.3 -0.4 -o '-1.5 5 -1,4 -1.3 -1,2 -1.1 -1 -0,7 Eixo Real Fig. 8-117 Diagrama de Nyquist para o sistema com retroação positiva. Note-se que o diagrama de Nyquist para o caso de retroação positiva é a imagem especular em torno do eixo imaginário do diagrama de Nyquist para o caso com retroação negativa. Isto pode ser visto a partir da Fig. 8-118, que é obtida por meio do Programa MATLAB 8-21. Programa MATLAB 8-21 numl == [1 4 6]; denl == [1 5 41; num2 == [-1 -4 -6]; den2 == [1 5 4]; nyquist(numl ,denl); hold on nyquist(num2,den2) v [-2 2 -1 1J; axís(v); grid title(Diagramas de Nyquíst de G(s) e de -G(s)') text(O.95,O.5,/G(s)') text(O.57,-0.48/Usar este diagrama') text(O.57,-O.62/de Nyquist para sistemas') text(O.57,-0.73,'com retroação negativa') text(-1.3,O.5,'-G(s)') text( -1.7, -0.48,/Usar este diagrama ') text(-l.7,-O. 62/de Nyquist para sistemas') text( -1.7,-0.73,'com retroação positiva ') A-8-18. Admita-se que um sistema possua pelo menos um par de pólos complexos conjugados a malha fechada. Se o ponto -1 + jO estiver na interseção de uma curva de - O" constante e de uma curva de ú) constante no plano C(s), então estes valores particulares de O" e de ú), definidos respectivamente como - O"c e ú)c' caracterizam o pólo a malha fechada mais próximo do eixo jú) na metade superior do plano s. (Note-se que - O"c representa o decaimento exponencial e ú)c representa a freqüência natural amortecida do termo da resposta transitória ao degrau devido ao par de pólos a malha fechada mais próximo do eixo jú).) Valores prováveis de - O"c e ú)c podem ser estimados a partir do gráfico, conforme mostrado na Fig. 8-119. Assim, é possível determinar graficamente o par de pólos complexos a malha fechada que está situado mais próximo do eixo jú). Deve-se notar que todos os pólos a malha fechada são mapeados no ponto -1 + jO do plano C(s). Embora os pólos complexos conjugados a malha fechada mais próximos do eixojú) possam ser determinados facilmente por meio desta técnica, a determinação de outros pólos a malha fechada, caso existam, é praticamente impossível por meio deste método. Se os dados sobre C(jú) forem experimentais, será possível construir um reticulado curvilíneo nas proximidades do ponto 1 + jO, por meio de extrapolação. Com base na Fig. 8-120 é possível achar a localização no plano s dos pólos a malha fechada dominantes, ou o coeficiente de amortecimento' e a freqüência natural amortecida, traçando-se a reta AB que conecta o ponto 1 jO (ponto A) e o ponto B, a maior aproximação do ponto 1 + jO, e construindo-se, em seguida, o quadrado curvilíneo CDEF, conforme mostrado na 8-120. Este quadrado curvilíneo CDEF pode ser construído traçando-se a curva PQ mais provável (onde PQ é o mapeamento conforme de uma reta do plano s paralela ao eixo pelo ponto 1 + jO e é "paralela" ao lugar geométrico C(jú) e ajustando-se os pontos C,D,E e F, tais que e fi + CD + ED. O contorno correspondente C' D' E ' F' no plano s, juntamente Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência Diagramas de Nyquist de G(s) e -G(s) 0.8 0.6 0.4 .§ 'ro c 0.2 ';n ro .§ o >< W ° -0,2 -0.4 -0,6 -0,8 -1,5 -1 -0.5 0.5 ° 1.5 2 Eixo Real Fig. 8-118 Diagramas de Nyquist para sistemas com retroação negativa e positiva. com o ponto A', o pólo a malha fechada mais próximo do eixojw, é mostrado na Fig. 8-120. O valor do intervalo de freqüência L-,w l entre os pontos E e F é aproximadamente igual ao valor de (TI mostrado na Fig. 8-120. A freqüência no ponto B é aproximadamente igual à freqüência natural amortecida wd • Os pólos a malha fechada mais próximos do eixo jw são estimados como S = -01 :±: jWd Em conseqüência, o coeficiente de amortecimento' destes pólos a malha fechada pode ser obtido a partir de Wd wd Deve-se notar que a freqüência natural amortecida wd da resposta transitória a uma excitação em degrau está realmente sobre o contorno de freqüência que passa pelo ponto -1 + jO e não é necessariamente o ponto da maior aproximação do lugar G(jw). Por conseguinte, o valor de wd obtido pela técnica acima está, de uma certa forma, incorreto. Da análise precedente se pode concluir que é possível estimar os pólos a malha fechada mais próximos do eixo jw a partir da proximidade do lugar G(jw) do ponto -1 + jO, da freqüência no ponto de maior aproximação e da graduação de freqüência próxima deste ponto. 8-121, Com base no gráfico da resposta de freqüência G(jw) relativa a um sistema com retroação unitária, conforme mostrado na achar os pólos a malha fechada mais próximos do eixo jw. Solução. A reta unindo o ponto I + )0 ao ponto de maior aproximação do lugar G(jw) do ponto 1 +)0 é traçada em primeiro Constrói-se, em seguida, o quadrado curvilíneo ABCD. Como a freqüência no ponto de maior aproximação é w = 2,9, a treql1cn lCIa natural amortecida é aproximadamente igual a 2,9, ou seja, wd = 2,9. A partir do quadrado curvilíneo ABCD, obtém-se /).W = wJ) - wA = 3,4 2,4 = 1,0 Os pólos a malha fechada mais próximos do eixo jw são então estimados como S = -} :±: j2,9 1m Plano G ° Re 8-119 Estimando -(]" e wc' Problemas Ilustrativos e Soluções 487 Im JOJ Plano G Plano s t D' Re E' B' A' Ll(JJl F' C' (úd o) Q O o Fig. 8-120 Mapeamento conforme de um quadrado curvilíneo nas proximidades de ponto -1 + jO no plano G(s) no plano s. Plano G Im 0,4 0.2 O Re -0,2 -0,4 " G(jw) -0.6 -0,8 Fig. 8-121 Diagrama polar de um quadrado curvilíneo. o lugar G(jro) mostrado na Fig. 8-121 é, na realidade, um gráfico da seguinte função de transferência a malha aberta: G(s) = ( 16,35) s s Os valores exatos dos pólos a malha fechada deste sistema são s = - 1 ± j3 e s = - 3 ± j 1. Os pólos a malha fechada mais próximos do eixo jro são s = -1 ± j3. Neste exemplo particular, vê-se que o erro envolvido é razoavelmente pequeno. Este erro, de um modo geral, depende da curva particular referente a G(jro). Quanto mais próximo estiver o lugar G(jro) do ponto -1 jO, menor será o erro. A-8-19. A Fig. 8-122 mostra um diagrama de blocos de um sistema de controle de um veículo espacial. Determinar o ganho K tal que a margem de fase seja de 500 • Qual a margem de ganho, neste caso? Solução. Como G(jw) tem-se -2 Fig. 8-122 Sistema de controle de um veículo espacial. 488 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência o requisito de que a margem de fase seja de 50° resulta em se ter /C(jwJ igual a -130°, onde w, é a freqüência de cruzamento de ganho, ou seja ' c) IC( ./w -130° - Portanto, se ajusta a partir de que Wc 2,3835 rad/s Como a curva de fase nunca intercepta a reta de -180°, a margem de ganho é +x dB. Observando-se que a magnitude de GUw) deve ser igual a O dB para w = 2,3835, tem-se I KOW 2) I OW)2 W=2.3R:":i = 1 de onde se tem 2,3835 2 K 1,8259 Este valor de K fornece uma margem de fase de 50°. A -8-20. Traçar os diagramas de Bode da função de transferência G(s) do sistema de controle a malha fechada mostrado na Fig. 8-123. Determinar as margens de ganho e de fase. Solução. Observe-se que C(jw) jw(jw 20(jw + 1) + 5)[(jw)2 2jw + 10] O,4(jw rad/s e um coeficiente de amortecimento ~ de 0,3162, ou O termo quadrático no denominador tem uma freqüência de corte de wn = VW, + 1) ~ = 0,3162 Os diagramas de Bode (magnitude e fase) são mostrados na Fig. 8-124. A partir destes diagramas são obtidas uma margem de fase de 100° e uma margem de ganho de + 13,3 dE. A-8-21. Mostrar que a banda passante wi> do sistema de segunda ordem sob a forma padronizada C(s) R(s) é dada por C(s) Fig. 8-123 Sistema a malha fechada. Problemas Ilustrativos e Soluções 489 40 I 20 ~ O ~ . '~ ~ ...... - ~ -20 t:3 dB ~. ~ dB -40 - --'---........., Joo ~\ \ -r- -60 t -80 I -100 0,1 0,2 I \ 0,4 0,6 \ ~ J I 2 '\ ' ....... -- :-- 4 6 10 w em rad/s '\ 20 '\ \ -270 0 40 60 100 8-124 Diagrama de Bode relativo à C(jw) do sistema mostrado na Fig. 8-123. Observar que w,,/W/1 é uma função unicamente de ,. Traçar uma curva de w/W/1 versus ,. Solução. A banda passante w" é determinada a partir de IC(jw,,)/RC(jwh ) I - 3,01 dB, que é igual a 0,707. Assim, I -3 dB. Freqüentemente, em vez de -3 dB, se utiliza C(JúJ b ) I R (júJ/J) Então --::======:===:::;::;:;::==;= de onde se tem Dividindo-se ambos os membros desta última equação por , obtém-se Resolvendo-se esta última equação em termos de (w/wy vem Como (w;/w,y > O, toma-se o sinal positivo nesta equação. Então úJ~(l - ou 490 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência = 0,707 2.0 1,8 1.6 r--- IA ------ ............ ~ 1.2 WI; (°11 ~ ~~ LO ~ 0,8 "'- ......... 0,6 ~ OA 0,2 O O OA 0.2 0.6 Fig. 8-125 Curva de OJ/OJ" versus ~ 0.8 LO , onde OJ" é a banda passante. A Fig. 8-125 mostra uma curva relacionando OJ/ OJ" versus ~. A-8-22. Um sistema de controle com retroação unitária apresenta a seguinte função de transferência a malha aberta: C(s) = K 1)(s + 2) ( s s Considerar a resposta de freqüência deste sistema. Traçar o diagrama polar de G(jOJ)/K. Determinar, então, o valor de ganho K para o qual a magnitude do pico de ressonância M, da resposta de freqüência a malha fechada vale 2. Solução. Um gráfico de G(jOJ)/K é mostrado na Fig. 8-126. O valor do ângulo !/J correspondente a M, sen 1 ~l - 2 = = 2, obtido a partir da Eq. (8-18), é .30° Em conseqüência, traça-se a reta GP que passa pela origem e que faz um ângulo de 30° com o eixo real negativo, conforme mostrado na Fig. 8-126. Traça-se então a circunferência tangente, simultaneamente ao lugar geométrico G(jOJ)/K e à reta GP. Defina-se como P o ponto de tangência entre a reta GP e a circunferência. A reta perpendicular traçada a partir de P intercepta o eixo real negativo em (-0,445, O). O ganho K é determinado, então, como sendo K = 1 = 2247 0,445 ' iW iI M = 2 círculo K Fig. 8-126 Diagrama de G(jOJ)/K do sistema considerado no Problema A-8-22. Problemas Ilustrativos e Soluções 491 80e- Il.l1 R(s) s(s C(s) + 4)(s + 10) G(s) Fig. 8-127 Diagrama de blocos de um sistema reator químico. Observa-se, com base na Fig. 8-126, que a freqüência de ressonância é aproximadamente m = 0,83 rad/s. A-8-23. A Fig. 8-127 mostra o diagrama de blocos de um reator químico. Construir um diagrama de Bode (amplitude e fase) de G(jm). Traçar, também, o diagrama de G(jm) sobre a carta de Nichols. Obter, a partir da carta de Nichols, os valores de magnitude e fase da resposta de freqüência a malha fechada e traçar, em seguida, o diagrama de Bode do sistema a malha fechada, G(jm)/[1 + G(jm)]. Solução. Observando-se que 80e -O,ls C(s) 2e - O.1s ses + 4)(s + 10) = s(0,25s + l)(O,ls 1) tem-se 2e- O,ljw C(jw) O ângulo de fase do retardo de transporte e-O,ljW = . JW (O 24: . 1) , -)JW é jcos(O,lw) - j sen(O,lw) -O,lw = 5,73w (rad) (graus) O diagrama de Bode de G(jOJ) é mostrado na Fig. 8-128. É possível traçar, em seguida, o gráfico de ganho versus ângulo de fase sobre a carta de Nichols, obtendo-se as leituras de magnitude e fase de G(jOJ) para os diversos valores de m. A Fig. 8-129 mostra o lugar geométrico G(jm) superposto à carta de Nichols. Os valores de magnitude e de ângulo de fase do sistema a malha fechada, para diversos valores de freqüência, podem ser lidos diretamente a partir da carta de Nichols. A Fig. 8-130 apresenta o esboço do diagrama de Bode da resposta de freqüência a malha fechada G(jOJ)/[ 1 + G(jOJ)]. 40 I I 20 ~ ~ ~---.... !oo...... O - - -20 dB -40 ~ ~~ • --- ~ ~ • • lQ/ A >- "- '\ "'< \ -60 -80 \ • • -100 I I 0,1 0.2 \ 0,4 0,6 4 6 2 (J) 10 /IGI \ \ 20 \ \ \.. -450° 40 60 100 em radls Fig. 8-128 Diagrama de Bode de G(jOJ) do sistema mostrado na Fig. 8-127. 492 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência 36 32 28 24 20 ]6 CCl 12 § 8 :::r:: ~ 4 "O O -4 -8 -12 -16 -240° -210° - 180° - 1SOo -120° -90 -60 0 0 - 30° 0° lQH Fig. 8-129 Lugar geométrico de G(júJ) superposto à carta de Nichols (Problema A-8-23). A-8-24. O diagrama de Bode (amplitude e fase) da função de transferência G(s) de um sistema de controle com retroação unitária é mostrado na Fig. 8-131. Sabe-se que a função de transferência a malha aberta é de fase mínima. Pode-se constatar, a partir deste diagrama, que há um par de pólos complexos conjugados em úJ = 2 rad/s. Determinar o coeficiente de amortecimento relativo ao termo quadrático que envolve estes pólos complexos-conjugados. Determinar também a função de transferência G(s). 20 I I I 10 • • --'"""\ O - -- , ~ -10 \ ......... dB -20 -30 ~/ 1 +G !-H \ \ \\ -40 \ /1 "~\ I 0.2 0,4 0.6 4 6 810 w em radls 2 1- \( "- 0.1 + -180° \ 20 40 60 Fig. 8-130 Diagrama de Bode da resposta de freqüência a malha fechada (Problema A-8-23). Problemas Ilustrativos e Soluções 493 40 ~ 20 '" '" "'" o "- _J ~ \ -20 \ dB \ -40 -60 ......---- ~ ~ / \ 0.1 0.2 0.4 0,6 \. \ ~~ -80 \ 4 2 (JJ \ '-- 6 10 em rad/s 20 -180° \ \ 1\ 40 60 100 Fig. 8-131 Diagrama de Bode da função de transferência a malha aberta de um sistema de controle com retroação unitária. Solução. Com base na Fig. 8-8 e examinando o diagrama de Bode da Fig. 8-131, obtêm-se o coeficiente de amortecimento' e a freqüência natural não-amortecida úJ" do termo quadrático como sendo ~ = 0,1, W Il 2 radls Observando-se a existência de uma outra freqüência de corte em úJ = 0,5 radls e que a inclinação da curva de magnitude na região de baixas freqüências é de -40 dBldécada, é possível aproximar G(júJ) como a seguir: K(jW C(jw ) 0,5 1) = -----'------'---- (jw )2[C~V )' 0, I(lOJ) + 1J Como, a partir da Fig. 8-131, se obtém IG(jO, 1) I = 40 dB, o valor do ganho K pode ser determinado como sendo unitário. Além disto, a curva de ângulo de fase calculada, !C(jw) versus úJ, coincide com a curva de fase dada. Assim, a função de transferência G(s) pode ser expressa por 4) A-8-25. Um sistema de controle a malha fechada pode conter um elemento instável no interior da malha. Quando o critério de estabilidade de Nyquist for aplicado a este sistema, torna-se necessário obter a resposta de freqüência do elemento instável. Como obter experimentalmente as curvas de resposta de freqüência deste elemento instável? Sugerir uma possível abordagem para a determinação experimental da resposta de freqüência de um elemento linear instável. Fig. 8-132 Sistema de controle. 494 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência Solução. Uma possível abordagem consiste em se medir a resposta de freqüência do elemento instável utilizando-o como parte de um sistema estável. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 8-132. Suponha-se que o elemento GI(s) seja instável. O sistema completo pode ser feito estável por intermédio de uma escolha adequada do elemento linear Gis). Aplica-se um sinal senoidal na entrada. Em regime nente, todos os sinais ao longo da malha são senoidais. Medem-se os sinais e(t) - entrada do elemento instável e x(t) elemento instável. Fazendo-se variar a freqüência [e possivelmente a amplitude para medida conveniente de e(t) e de x(t)] do sinal senoidal de entrada e repetindo este processo, é possível obter a resposta de freqüência do elemento linear instável. PR BLE B-8-1. Considere-se o sistema com retroação unitária com a função de transferência a malha aberta G(s) 10 =-- s 1 Obter a resposta do sistema em regime estacionário quando este for submetido a cada uma das seguintes excitações: (a) r (t) (b) r (t) (c) r (t) = = = sen (t + 30°) 2 cos (2t 45°) sen (t + 30°) - 2 cos (2t 45°) B-8-2. Considere-se o sistema cuja função de transferência a malha fechada é s Traçar o diagrama de Bode (amplitude e fase) de G(s) com o uso do MA TLAB. Explicar por que a curva de ângulo da fase começa em 0° e tende para 180°. B-8-7. Esboçar os diagramas polares da função de transferência a malha aberta K(Tas 1 )(Tbs + 1) s2(Ts + 1) G(s)H(s) para os seguintes casos: (a) (b) Ta > T> 0, T" > T> T > Ta > 0, T> T" > °° Obter a resposta do sistema em regime estacionário quando este for submetido a uma excitação r(t) = R sen OJt. B-8-8. As configurações de pólos e zeros das funções complexas FI(s) e são mostradas nas Figs. 8-133(a) e (b), respectivamente. Admitir que os percursos fechados nos planos são os mostrados nas Figs. 8-133(a) e (b). Esboçar qualitativamente os con'espondentes contornos fechados nos planos FI (5) e B-8-3. Esboçar os diagramas de Bode (amplitude e fase) para as três funções de transferência a seguir: B-8-9. Traçar o diagrama de Nyquist relativo ao sistema de controle com retroação unitária cuja função de transferência a malha aberta é R(s) (a) (b) (c) G(s) G(s) = ~s+l -1 G(s) ~s Utilizando o critério de estabilidade de Nyquist, determinar a estabilidade do sistema a malha fechada. (TI> To > O) +1 B-8-1O. Um sistema com função de transferência a malha aberta 4 +1 ------- (TI > To > O) ~s + 1 - G(s) G(s)H(s) B-8-4. Traçar o diagrama de Bode de G(s) = s) s+1 K(1 10(~2 + O,4s s(s~ 1) 0,8s + 9) B-8-5. Dado K 1) é inerentemente instável. Este sistema pode ser estabilizado adicionando-se controle derivativo. Esboçar os diagramas polares da função de transferência a malha aberta com e sem controle derivativo. B-8-11. Considere-se o sistema a malha fechada com a seguinte função de transferência a malha aberta: G(s) Traçar ambos os diagramas polares, direto e inverso de G(s)H(s) com 10. Aplicar o critério de estabilidade de Nyquist aos diaK = 1e K gramas e determinar a estabilidade do sistema com estes valores de K. mostrar que jw Plano s B-8-6. Considere-se o sistema de controle com retroação unitária com a seguinte função de transferência a malha aberta: Este é um sistema de fase não-mínima. Dois dos três pólos a malha aberta estão localizados no semiplano s da direita como se segue: Pólos a malha aberta em s s s Problemas o o G(s) -1,4656 0,2328 + jO,7926 0,2328 - jO,7926 Plano s jw a (a) o o a (b) Fig. 8-133 (a) Representação, no plano s, de uma função complexa FI(s) e de um percurso fechado; (b) representação, no plano s, de uma função complexa e de um percurso fechado. 495 B-8-12. Considere-se o sistema a malha fechada cuja função de transferência a malha aberta é: ~ ____~2~0~(s_+~1)~__ ~__~__~_ s(s2 + 2s + 10) (s + 5) ----,..--~ C(s) C(s)H(s) s Achar o maior valor de K para o qual o sistema é estável. B-8-13. Traçar o diagrama de Nyquist para a seguinte C(s): C(s) + 0,8s + 1) B-8-14. Considere-se o sistema de controle com retroação unitária com a seguinte função de transferência a malha aberta: C(s) 0,2s 2 + s + 1 = S3 Traçar o diagrama de Nyquist de C(s) e determinar a estabilidade do sistema. B-8-15. Considere-se o sistema de controle com retroação unitária com a seguinte função de transferência a malha aberta: C(s) S2 =" s·) + + 2s + 1 ? +s + 0,2s~ Traçar o diagrama de Nyquist de CCs) e examinar a estabilidade do sistema a malha fechada. B-8-16. Considere-se o sistema definido por Fig. 8-135 Sistema de controle. B-8-2!. Considere-se o sistema de controle com retroação unitária com função de transferência a malha aberta C(s). K C(s) 4) Determinar o valor do ganho K para o qual a margem de fase é de 50°. Qual a margem de ganho para este valor de K? B-8-22. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 8-136. Traçar o diagrama de Bode (amplitude e fase) da função de transferência a malha aberta e determinar o valor de K para o qual a margem de fase seja 50°. Qual a margem de ganho para este valor de K? B-8-23. Considere-se o sistema de controle com retroação unitária cuja função de transferência a malha aberta é: C(s) K =----- + s + 0,5) Determinar o valor do ganho K para o qual a magnitude do pico de ressonância na resposta de freqüência é de 2 dB, isto é, M, 2 dB. B-8-24. A Fig. 8-137 mostra o diagrama de blocos de um sistema de controle de um processo. Determinar a faixa de valores de K para se ter estabilidade. Há quatro diagramas de Nyquist individuais envolvidos neste sistema. Traçar os dois gráficos de Nyquist relativos ao sinal de entrada UI num diagrama e os dois gráficos de Nyquist relativos ao sinal de entrada U 2 noutro diagrama. Escrever um programa em MA TLAB para obter estes dois diagramas. B-8-17. Com referência ao Problema B-8-16, deseja-se traçar somente o gráfico de YI Vw)/ UJj w) para w> O. Escrever um programa em MATLAB para produzir este gráfico. Desejando-se traçar o gráfico de Y1VW)/U1VW) para - x < W < x, que modificações devem ser feitas no programa em MATLAB? B-8-18. Considere-se o sistema de controle com retroação unitária cuja função de transferência a malha aberta é: C(s) B-8-25. Considere-se o sistema a malha fechada cuja função de transferência a malha aberta é C(s)H(s) Determinar o maior valor de K para se ter estabilidade em função do retardo de transporte T. B-8-26. Esboçar o diagrama polar de C(s) = (Tsf 6(Ts) (Ts? + 6(Ts) 12 12 as + 1 Determinar o valor de a para uma margem de fase de 45°. B-8-19. Seja o sistema mostrado na Fig. 8-134. Traçar o diagrama de Bode (amplitude e fase) da função de transferência a malha aberta C(s). Determinar as margens de fase e de ganho. B-8-20. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 8-135. Traçar o diagrama de Bode (amplitude e fase) da função de transferência a malha aberta C(s). Determinar as margens de fase e de ganho. Fig. 8-136 Sistema de controle. Fig. 8-134 Sistema de controle. Fig. 8-137 Sistema de controle de processo. 496 Capítulo 8 / Análise no Domínio de Freqüência 40 ~ ~ 20 dB "' ....... ~ ~ o '" """ -20 ~ /IGI ~ -40 ~, " --- -- v--jQ/ I O, I 0,2 0,4 0,6 ............ .......... ~--- --- I 2 (j) 4 6 810 em radls 20 -180° -270° 40 60 100 Fig. 8-138 Diagrama de Bode de uma função de transferência C(s). Mostrar que, na faixa de freqüências O < wT < 2{3, esta equação fornece uma boa aproximação para a função de transferência do retardo de transporte e- T,. B-8-28. O diagrama de Bode de um sistema CUro), obtido experimentalmente, é mostrado na Fig. 8-139. Determinar a função de transferência C(s). B-8-27. A Fig. 8-138 mostra o diagrama de Bode de uma função de transferência C(s). Determinar esta função de transferência. 20 0° O -20 -90° -40 -180° -60 -270° dB -80 0.1 0,2 0,4 0,6 2 4 w em radls 6 10 20 -360° 40 Fig. 8-139 Diagrama de Bode de um sistema obtido experimentalmente. Problemas 497 9 .. I 1 o objetivo principal deste capítulo é apresentar procedimentos para o projeto e a COlmplensa~~ao de sistemas de controle invariantes no tempo, lineares, com uma única entrada e uma única através da da resposta de Projeto de sistemas de controle no domínio de É importante assinalar que, no projeto de um sistema de controle, o desempenho em regime transitório é usualmente o aspecto mais importante. Na abordagem no domínio de freqüência, o desempenho em regime transitório é especificado de forma indireta. Isto é, o da resposta transitória é expresso em termos de margem de margem de ganho, do pico de ressonância fornecem uma boa estimativa do amortecimento do sistema); da freqüência de cruzamento de ganho, da freqüência de ressonância, da banda passante (que fornecem uma estimativa razoável da velocidade da resposta transitória); e das consentre o regime tantes de erro estático (que fornecem a exatidão do sistema em regime permanente). Embora a transitório e a resposta de freqüência seja indireta, as no domínio de podem ser alcançadas convenientemente na abordagem via diagramas de Bode. Após se ter projetado a malha aberta através do método de resposta de os e zeros a malha fechada podem ser determinados. As características da transitória devem ser verificadas satisfaz os requisitos no domínio do tempo. Se não deve ser 'H~J~H"'-'U.UV que o resultado obtido seja satisfatório. O projeto no domínio de freqüência é simples e direto. O de resposta de indica claramente a maneira através da qual se deve modificar o embora a predição exata das características da resposta transitória não possa ser feita. A técnica da resposta de a sistemas ou componentes Note-se que, devido à dificuldade de se características dinâmicas possam ser expreSM::; sob a forma de dados deduzir as equações que governam certos componentes tais como e as características dinâmicas destes componentes são, de hábito, determinadas através de testes de resposta de frepodem ser combinados facilmente com outros qüência. Os gráficos de resposta de freqüência obtidos gráficos de resposta de freqüência quando se utiliza o método dos de Bode. Observe-se ainda que, ao se tratar com ruídos de altas freqüências, a abordagem através do domínio de é mais conveniente que as outras técnicas. Há fundamentalmente duas abordagens de projeto no domínio de Uma utiliza o a outra os diagramas de Bode. Ao se acrescentar um compensador, o não retém a forma e, torna-se necessário construir um novo diagrama polar, o qual consome tempo e é, portanto, inconveniente. Por outro os diaadicionados aos de Bode e, em consegramas de Bode de um compensador podem ser Além a malha aberta for qüência, o traçado dos diagramas de Bode é uma tarefa de variado, a curva de magnitude é deslocada para cima ou para baixo sem modificar a sua fase permanece inalterada. Para fins de projeto, portanto, é melhor trabalhar com os UH~FLUHH"'0 Uma prática comum no uso dos de Bode consiste em se a malha aberta de traçam-se as curvas de magnitude modo que o requisito de exatidão em regime permanente e fase do sistema a malha aberta (com o valor de a malha aberta anteriormente de margem de fase e de margem de ganho não forem cará a forma da função de transferência a malha aberta. dos, tenta-se satisfazê-los, a menos que alguns deles 0Ul1,"-'-'H<.<,), ............ "'......... obtidas a da freqüência de cruzamento de 498 bem abaixo 1m 1m Desejável dE Indesejável Re -I Desejável (b) (a) Fig. 9-1 (a) Exemplos de curvas de resposta de freqüência a malha aberta desejáveis e não-desejáveis; (b) exemplos de curvas de resposta de freqüência a malha fechada desejáveis e não-desejáveis. fechada. A região de freqüências médias (região próxima do ponto - 1 + jO) do diagrama indica a estabilidade relativa. A região de altas freqüências (região bem acima da freqüência de cruzamento de ganho) indica a complexidade do sistema. Requisitos sobre a resposta de freqüência a malha aberta. Pode-se dizer que, em muitos casos práticos, a compensação é essencialmente um compromisso entre a exatidão em regime permanente e a estabilidade relativa. Para se ter um valor elevado de constante de erro de velocidade e ainda uma estabilidade relativa satisfatória, torna-se necessário reconfigurar a forma da curva de resposta de freqüência a malha aberta. O ganho na região de baixas freqüências deve ser suficientemente elevado e, além disto, nas proximidades da freqüência de cruzamento de ganho, a inclinação da curva de módulo em dB do diagrama de Bode deve ser - 20 dB/década. Esta inclinação deve se estender sobre uma faixa de freqüências suficientemente ampla de modo a assegurar uma margem de fase adequada. Para a região de altas freqüências, o ganho deve ser atenuado tão rapidamente quanto possível a fim de minimizar os efeitos do ruído. Exemplos de curvas de resposta de freqüência a malha aberta e a malha fechada geralmente desejáveis e indesejáveis são mostrados na Fig. 9-1. Com base na Fig. 9-2, constata-se que a reconfiguração da forma da curva da resposta de freqüência a malha aberta pode ser feita se a parte de altas freqüências seguir o lugar geométrico G1Um), enquanto a porção de baixas freqüências segue o lugar geométrico G2Um). O lugar geométrico reconfigurado GcUm)GUm) deve apresentar valores razoáveis de margem de fase e de ganho ou ser tangente a uma circunferência M adequada, conforme mostrado. Características básicas da compensação por avanço, atraso e atraso-avanço de fase. A compensação por avanço de fase conduz, essencialmente, a uma melhoria considerável do regime transitório e a uma pequena variação na exatidão em regime estacionário. Ela pode acentuar os efeitos de ruídos de alta freqüência. A compensação por atraso de fase, por outro lado, conduz a uma melhoria apreciável da ex ati dão em regime estacionário às expensas de um aumento na duração do regime transitório. A compensação por atraso de fase suprime os efeitos dos sinais de ruído de altas freqüências. A compensação por atraso-avanço de fase combina as características de ambos os compensadores de atraso de fase e de avanço de fase. A utilização de um compensador por avanço ou por atraso de fase eleva a ordem do sistema de uma unidade (a menos que haja cancelamento entre o zero do compensador e um dos pólos da função de transferência a malha aberta não-compensada). A utilização de um compensador por atraso-avanço de fase eleva a ordem do sistema de duas unidades (a menos que ocorra cancelamento entre zeros do compensador e pólos da função de transferên- Circunferência M 1m Re GAjw)G(jw) , I I I I Seção 9-1 / Introdução Fig. 9-2 Alterando a forma da curva de resposta de freqüência a malha aberta. 499 cia a malha aberta não-compensada), o que significa que o sistema se torna mais complexo e é mais difícil controlar o comportamento em regime transitório. A situação particular determina o tipo de compensação a ser usado. Escopo do capítulo. A Seção 9-1 apresentou um material introdutório. A Seção 9-2 discute a compensação por avanço de fase através de diagramas de Bode e a Seção 9-3 trata da compensação por atraso de fase por meio dos diagramas de Bode. A Seção 9-4 discute as técnicas de compensação por atraso-avanço de fase baseadas na abordagem de diagramas de Bode. A Seção 9-5 fornece comentários conclusivos sobre a abordagem de resposta de freqüência para o projeto de sistemas de controle. 9-2 COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE Primeiramente serão examinadas as características freqüenciais do compensador por avanço de fase. Em seguida, será apresentada uma técnica de projeto de compensadores por avanço de fase utilizando os diagramas de Bode. Características dos compensadores por avanço de fase. seguinte função de transferência: Ts + 1 K.a = K ( aTs + 1 c 1 T 1 s+aT Seja um compensador por avanço de fase tendo a s+ (O < a < 1) ° Ele possui um zero em s = -1/T e um pólo em s = -1/( CiT). Como < Ci < 1, observa-se que o zero está sempre situado à direita do pólo no plano complexo. Note-se que para um valor pequeno de Ci o pólo se localiza bem longe, à esquerda. O valor mínimo de Ci é limitado pela construção física do compensador de avanço de fase. O valor mínimo de Ci é usualmente tomado em torno de 0,05. (Isto significa que o valor máximo de avanço de fase é de aproximadamente 65°.) A Fig. 9-3 mostra o diagrama polar de júJT + 1 ( jeoaT + 1 K.a--"----- (O < a < 1) com 1. Para um dado valor de Ci, o ângulo formado pelo eixo real positivo com a tangente traçada da origem à semicircunferência fornece o valor máximo de avanço de fase, CPm. A freqüência no ponto de tangência será designada por OJm. A partir da Fig. 9-3 o ângulo de fase na freqüência OJ = OJmé CPm' onde 1 sen 1>m 1 a 2 1 - a +a 1 -- +a (9-1) 2 A Eq. (9-1) relaciona o valor máximo de avanço de fase com o valor de Ci. A Fig. 9-4 mostra os diagramas de Bode relativos a um compensador de avanço de fase para Kc 1 e Ci = 0,1. As freqUências de corte do compensador de avanço de fase são OJ = 1/T e OJ = 1/( CiT) = 10/T. Examinando-se a Fig. 9-4, constata-se que OJm é a média geométrica das duas freqUências de corte, ou seja, IOg~) aT 1m o 500 Capítulo 9 / a Re 9-3 Diagrama polar de um compensador por avanço de fase a(júJT l)/(júJaT + 1), onde O < x < l. Projeto de Sistemas de Controle no Domínio de Freqüência 10 dE O -lO / -20 -------------- 0° 0,1 T / ~t ~/m \10 T .... 10 T T 100 T w em rad/s 9-4 Diagramas de Bode de um compensador por avanço de fase a(jOJT + l)/(jOJaT + 1), onde a 0,1. Em conseqüência, 1 Conforme se vê na Fig. 9-4, o compensador por avanço de fase é fundamentalmente um filtro passa-altos. (As altas freqüências passam, mas as freqüências baixas são atenuadas.) Técnicas de compensação baseadas na abordagem da resposta de freqüência. A função principal do compensador por avanço de fase é dar nova forma à curva de resposta de freqüência de forma a propiciar um ângulo de avanço de fase suficiente para compensar o retardo de fase em excesso associado aos componentes de um determinado sistema. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 9-5. Admita-se que as especificações de desempenho sejam dadas em termos de margem de fase, margem de ganho, constantes de erro estático de velocidade etc. O procedimento para se projetar um compensador por avanço de fase através da técnica de resposta de freqüência pode ser formulado da seguinte maneira: 1. Admitir o seguinte compensador por avanço de fase 1 s +T s + 1 aT (O < a < 1) Definir Então Ts + 1 K--- aTs + 1 A função de transferência a malha aberta do sistema compensado é GcCs)G(s) = K Ts + 1 Ts + 1 T\' + 1 'I' 1 G(s) = T. 1 KG(s) = T. 1 Gl(s) as+ as+ as+ Fig. 9-5 Sistema de controle. Seção 9-2 / Compensação por Avanço de Fase 501 onde Determinar o ganho K que satisfaça o requisito sobre a constante de erro estático dada. 2. Usando-se o ganho K assim determinado, traçar um diagrama de Bode de Cj(júJ), sistema com o ganho ajustado mas não-compensado. Avaliar a margem de fase. 3. Determinar o ângulo de avanço de fase cp necessário a ser acrescentado ao sistema. 4. Determinar o fator de atenuação a por meio da Eq. (9-1). Determinar a freqüência onde o módulo do sistema nãocompensado Cj(júJ) é igual a -20 log(l/ -Ia). Selecionar esta freqüência como a nova freqüência de cruzamento de ganho. Esta freqüência corresponde a úJ 11 e o valor máximo de defasagem CPrn ocorre nesta freqüência. 5. Determinar as freqüências de corte do compensador por avanço de fase como a seguir: Zero do compensador por avanço de fase: úJ = Pólo do compensador por avanço de fase: úJ T aT 6. Usando-se o valor de K determinado na etapa 1 e o de a determinado na etapa 4, calcular a constante a partir de K a 7. Verificar a margem de ganho para se certificar se ela é satisfatória. Se não for, repetir o processo de projeto modificando a localização (posição) de pólos-zeros do compensador até que seja obtido um resultado satisfatório. EXEMPLO 9-1 Considere-se o sistema mostrado na Fig. 9-6. A função de transferência a malha aberta é 4 C(s) 2) Deseja-se projetar um compensador para o sistema de modo que a constante de erro estático de velocidade fase seja pelo menos igual a 500 e a margem de ganho seja, no mínimo, igual a 10 dB. Será usado um compensador por avanço de fase da forma seja 20 ç I, a margem de 1 Gc(s) = Ts Kc a T a s+ s +T 1 1 s aT o sistema compensado terá a função de transferência a malha aberta GJs)G(s). Seja, por definição 2) onde K KJy. O primeiro passo no projeto consiste em se ajustar o ganho K de modo a atender as especificações de desempenho em regime estacionário, ou seja, propiciar o valor requerido de constante de erro estático de velocidade. Como esta constante foi especificada como sendo 20 ç I, obtém-se lim sGc(s)G(s) s-+o . Ts 1 h m s - - - Gj(s) aT" 1 s-+o . = 11m ( s4K s-+o S S 2 ) = 2K 20 9-6 Sistema de controle. 502 Capítulo 9 / Projeto de Sistemas de Controle no Domínio de Freqüência ou K=lO Com K= 10, o sistema compensado satisfará o requisito de Será traçado, em seguida, o diagrama de Bode referente a , . G1(Jw) estacionário. 20 40 = -.- . - - - 1) ]w( ]w 9-7 mostra as curvas de magnitude e fase de GJ(jw). partir deste gráfico obtém-se a margem de fase e a margem de ganho iguais a 17° e + 00 dB. (A margem de fase de 17° implica que se tenha o sistema bastante oscilatório. Assim, o atendimento da especificação de regime permanente conduz a um desempenho medíocre da resposta transitória.) A especificação requer uma margem de fase de, no mínimo, 50°. Encontra-se, então, que o avanço de fase adicional para se satisfazer o requisito de estabilidade relativa é de 33°. Para se alcançar uma margem de fase de 50° sem redução do valor de K, o compensador por avanço de fase deve contribuir com o ângulo de fase requerido. Obervando-se que a inclusão de um compensador por avanço de fase modifica a curva de magnitude no diagrama de Bode, constatase que a freqüência de cruzamento de ganho será deslocada para a direita. Deve-se compensar o aumento do atraso angular de Gl(jw) devido ao aumento no valor da freqüência de cruzamento de ganho. Considerando-se o deslocamento da freqüência de cruzamento de admitir que 1) No plano complexo, um compensador por atraso de fase tem um zero em s -l/T e um pólo em s = -1/(f3T). O pólo está localizado à direita do zero. A Fig. 9-13 mostra um gráfico polar do compensador por atraso de fase. A Fig. 9-14 mostra os diagramas de Bode (magnitude e fase) do compensador, onde 1 e f3 = 10. As freqüências de cOlte do compensador por atraso de fase estão em úJ = l/T e úJ = l/(f3T). Conforme é visto na Fig. 9-14, onde os valores de Kc e f3 e são feitos iguais a 1 elO, respectivamente, a magnitude em dB do compensador por atraso de fase torna-se igual a 10 (ou 20 dB) nas freqüências Im O w=ü Re Fig. 9-13 Diagrama polar de um compensador por atraso de fase KJ3(j wT + 1)/(j wf3T + 1). Seção 9-3 / Compensação por Atraso de Fase 507 30 20 dB ~ 10 ° r------.. -90 0 lI- 0,01 T -- ~ -- ~ ~ ~ 10 T T T úJ 9-14 Diagramas de Bode de um compensador por atraso de fase {3(jOJT + 1)/(jOJ{3T 1) com {3 = 10. em rad/s baixas e igual à unidade (ou O dB) nas altas freqüências. Portanto, o compensador por atraso de fase é essencialmente um filtro passa-baixos. Técnicas de compensação por atraso de fase baseadas no enfoque da resposta de freqüência. O papel primordial de um compensador por atraso de fase é fornecer atenuação na faixa de altas freqüências para dar a um sistema suficiente margem de fase. A característica de atraso de fase não acarreta nenhuma conseqüência para a compensação por atraso. O procedimento para se projetar compensadores por atraso de fase para o sistema mostrado na Fig. 9-5, através da abordagem da resposta de freqüência, pode ser enunciado da seguinte forma: 1. Admitir o seguinte compensador por atraso de fase 1 s+T 1 ((3 > 1) s+Definir =K Então Ts +1 = K---+1 A função de transferência a malha aberta do sistema compensado é Ts + 1 K---(3Ts + 1 (s) onde (s) = Determinar o ganho K que satisfaça o requisito sobre a constante de erro estático dada. 2. Se o sistema não-compensado Gj(jm) = KG(jm) não satisfizer as especificações de margens de fase e de ganho, achar, então, o valor de freqüência onde o ângulo de fase da função de transferência a malha aberta seja igual a 180° mais a margem de fase requerida. A margem de fase requerida é a margem de fase especificada mais 5° a 12°. acreSClmo de 5° a 12° compensa o atraso de fase do compensador.) Escolher esta freqüência como a nova freqüência de cruzamento do ganho. 3. Para evitar efeitos prejudiciais de atraso de fase devidos à compensação, o pólo e o zero do compensador por atraso de fase devem estar localizados substancialmente abaixo da nova freqüência de cruzamento de ganho. Portanto, escolher a freqüência de corte m = lIT (correspondente ao zero do compensador) uma oitava ou uma década abaixo da nova fre- 508 Capítulo 9 / Projeto de Sistemas de Controle no Domínio de Freqüência qüência de cruzamento de ganho. (Se as constantes de tempo do compensador por atraso de fase não se tornarem exces~i­ vamente grandes, a freqüência de corte OJ = 1/T pode ser escolhida uma década abaixo da nova freqüência de cruzamento de ganho,) 4. Determinar a atenuação necessária para trazer a curva de magnitude abaixo de O dB na nova freqüência de cruzamento de ganho. Observando-se que esta atenuação é - 20 log {3, determinar o valor de {3. Então a outra freqüência de corte (correspondente ao pólo do compensador por atraso de fase) é determinada a partir de OJ = l/(~T). 5. Usando-se o valor de K determinado na etapa 1 e o de (3 determinado na etapa 5, calcular a constante Kc a partir de K f3 EXEMPLO 9-2 Considere-se o sistema mostrado na Fig. 9-15. A função de transferência a malha aberta é dada por G(s) 1) Deseja-se compensar o sistema de modo que a constante de erro estático de velocidade seja Ky = 5 menos 40° e a margem de ganho de, no mínimo, 10 dB. Será usado um compensador por atraso de fase da forma 1 5- , a margem de fase seja pelo 5 T - - - = K c - -1 5 (3T ((3 > 1) Seja, por definição, Defina-se, também K 5(5 + 1 )(0,55 1) o primeiro passo no projeto consiste em se ajustar o ganho K para satisfazer a constante de erro estático de velocidade. Portanto, K = lim sGc(s)G(s) lim s-,;() s-,;O lim .HO 5(5 lim SGl(S) 5 --- s-,;() sK = 1 )(0,55 + 1) K 5 ou K = 5 Com K = 5, o sistema compensado satisfaz o requisito de desempenho em regime estacionário. A seguir serão construídos os diagramas de Bode (módulo e fase) de 1) As curvas de módulo e de ângulo de fase de G1vw) são mostradas na Fig. 9-16. Deste gráfico é obtida a margem de fase de -20°, o que significa que o sistema é instável. 9-15 Sistema de controle. Seção 9-3 / Compensação por Atraso de Fase 509 40 "'-, 20 I- dB ..... :...... '" I- O .... ~ ...... "'- '!~ ............... I- Cc " -20 -90° :-.......... r-- "- ~ ...... .... ~~ "'-~ ,--'-- .... -- .-;- -- v: ...... ~ )I / -'- -t:.t-- 40° ..... ~ s...::::., t i 0,02 , ri f '- 0,01 ........ ...... 11 dB "- I~ -180° _270° 0,004 t "- ...... .......... -40 0° ...... GI ~ i 0,04 0.1 0.2 0,4 0,6 '--- Fig. 9-16 Diagramas de Bode (amplitude e fase) relativos ao sistema não-compensado, ao compensador e ao sistema compensado. (G 1: sistema não-compensado, Gc: compensador, GcG: sistema compensado.) 4 2 w em rad/s Observando-se que a inclusão de um compensador por atraso de fase altera a curva de fase do diagrama de Bode, deve-se acrescentar uma folga de 5° a 12° à margem de fase especificada para compensar a modificação da curva de fase. Uma vez que a freqüência correspondente a uma margem de fase de 40° é 0,7 rad/s, a nova freqüência de cruzamento de ganho (do sistema compensado) deve ser escolhida perto deste valor. Para evitar constantes de tempo muito grandes para o compensador, escolhe-se a freqüência de corte úJ = 1/T (que corresponde ao zero do compensador por atraso de fase) como sendo 0,1 rad/s. Uma vez que esta freqüência de corte não está suficientemente abaixo da nova freqüência de cruzamento de ganho, a modificação na curva de fase pode não ser pequena. Daí serem adicionados cerca de 12° à margem de fase dada como uma tolerância para levar em conta o ângulo de atraso introduzido pelo compensador. A margem de fase requerida é agora 52°. O ângulo de fase da função de transferência a malha aberta não-compensada é-128° nas proximidades da freqüência úJ = 0,5 rad/s. Escolhe-se, assim, a nova freqüência de cruzamento de ganho como sendo úJ = 0,5 rad/s. Para trazer a curva de magnitude abaixo da linha de O dB nesta nova freqüência de cruzamento de ganho, o compensador por atraso deve fornecer a atenuação necessária que, neste caso, é -20 dB. Daí, 1 20 log~(3 = -20 ou (3 A outra freqüência de corte úJ = 10 1 (f3T), que corresponde ao pólo do compensador por atraso de fase, é então determinada como 1 (3T 0,01 rad/s Portanto, a função de transferência do compensador por atraso de fase é Gc(s) = s lOs + 1 K c (10) 100s 1 s U ma vez que o ganho K foi determinado como sendo 5 e 10 1 100 f3 foi determinado como sendo K (3 .5 = 10 = 0,5 A função de transferência a malha aberta do sistema compensado é Gc(s)G(s) 510 Capítulo 9 / = s(100s Projeto de Sistemas de Controle no Domínio de Freqüência 1) 10, tem-se 24 20 16 12 8 CQ ü E 4 c5 O Il) -4 I- -8 ·····,H··:""-.='::::=.-1J;················· ,........ HI !-- I'~··················'I·H····:······,················7......... -12 1-/·········" -16 I-U ............ c... J ....... ;.................... ,................... ".... ..... I , ............... ,............. ,.......... HI I HI -18 LL-._...J.....I.._-l-_--'-_--'-_--I -240° -210° -180° -150° -120° -90° 9-17 Diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase relativos ao sistema não-compensado e ao sistema compensado. (G j : sistema nãocompensado, GcG: sistema compensado.) As curvas de módulo e de ângulo de fase de G,(jOJ)G(jOJ) são também mostradas na Fig. 9-16. A margem de fase do sistema compensado é de cerca de 40°, que é o valor requerido. A margem de ganho é cerca de 11 dB, que é bastante aceitável. A constante de erro estático de velocidade é 5 ç j, como requerido. O sistema compensado, portanto, satisfaz tanto as especificações de regime estacionário quanto as de estabilidade relativa. Note-se que a nova freqüência de cruzamento do ganho é diminuída de aproximadamente 2,1 para 0,5 rad/s. Isto significa que a banda passante do sistema está reduzida. Para mostrar ainda mais os efeitos da compensação por atraso de fase, os gráficos de módulo em dB versus fase do sistema nãocompensado Gj(jOJ) e do sistema compensado Gc(jOJ)G(jOJ) são mostrados na Fig. 9-17. O gráfico de Gj(jOJ) mostra claramente que o sistema não-compensado é instável. A inclusão do compensador por atraso de fase estabiliza o sistema. O gráfico de Gc(jOJ)G(jOJ) é 3 dB. Portanto, o valor do pico de ressonância é 3 dB, ou seja, 1,4, e este pico ocorre em OJ = 0,5 rad/s. tangente ao lugar de M Compensadores projetados por diferentes métodos ou por diferentes projetistas (mesmo usando a mesma técnica) podem parecer suficientemente diferentes. Qualquer um dos sistemas bem projetados, no entanto, dará um desempenho transitório ou de regime estacionário semelhante. A melhor dentre muitas alternativas pode ser escolhida a partir da consideração económica de que as constantes de tempo do compensador por atraso de fase não devem ser demasiadamente grandes. Finalmente, serão examinadas as respostas dos sistemas compensado e original, sem compensação, a excitações em degrau unitário e em rampa unitária. As funções de transferência a malha fechada dos sistemas com e sem compensação são, respectivamente, C(s) R(s) 5 e O Programa MATLAB 9-2 fornece as respostas dos sistemas com e sem compensação a excitações em degrau unitário e em rampa unitária. As curvas resultantes de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária são mostradas, respectivamente, nas Figs. 9-18 e 9-19. A partir das curvas de resposta conclui-se que o sistema projetado atende às especificações e é satisfatório. Programa MATLAB 9-2 %*****Respostas ao degrau unitário***** num = [O O O 1]; den = [0.5 1.5 1 1]; numc = [O O 50 5]; denc = [50 150.5 101.5 51 t = 0:0.1 :40; [cl,x1,tl = step(num,den,t); [c2,x2/t] = step(numc,denc,t); plot(t,cl ,'."t,c2,' -') grid title('Respostas ao Degrau Unitário dos Sistemas com e sem Compensação') ° Seção 9-3 / Compensação por Atraso de Fase 511 xlabeWt Si) ylabel('Sinais de saída') text(12.2,l.27,'Sistema compensado') text(12.2,0.7,'Sistema sem compensação') %*****Respostas à rampa unitária***** num1 = [O O O O 1]; denl [0.5 1.5 1 1 O]; numlc=[O O O O 50 5]; den1c = [50 150.5 101.5 51 5 O]; t 0:0.1 :20; [y1,zl,tl = step(numl,denl,t); [y2,z2,t] = step(numl c,denl c,t); plot(t, yl,' ,',t, y2,' -',t,t, grid title('Respostas à Rampa Unitária dos Sistemas com e sem Compensação') xlabel('t s') ylabel('Sinaís de saída') text(8.4,3,'Sistema compensado') text(8.4,5,'Sistema sem compensação') Observe-se que o zero e os pólos do sistema a malha fechada projetado são os seguintes: Zero em s -0,1 Pólos em s = - 0,2859 ± jO,5196, s =-0,1228, s=-2,3155 Os pólos a malha fechada dominantes estão localizados muito próximos do eixo jm, acarretando uma resposta lenta. Além disto, o par de raízes a malha fechada constituído pelo zero em s -0,1 e pelo pólo em s -0,1228 produz um efeito de cauda de pequena amplitude com decaimento longo. Alguns comentários sobre a compensação por atraso de fase 1. Compensadores por atraso de fase são essencialmente filtros passa-baixos. Portanto, a compensação por atraso de fase permite um alto ganho nas baixas freqüências (o que melhora o desempenho em regime estacionário) e reduz o ganho na faixa de freqüências críticas mais elevadas, de modo a melhorar a margem de fase. Note-se que na compensação por atraso de fase utilizou-se a característica de atenuação do compensador nas altas freqüências, em vez da característica de atraso de fase. característica de atraso de fase não é útil para os propósitos da compensação.) 2. Suponha-se que o zero e o pólo de um compensador por atraso de fase estejam localizados em s = - z e s = - p, respectivamente. Então a localização (posição) exata do zero e do pólo não é crítica, contanto que estejam próximo à origem e a razão z/p seja igual ao fator de multiplicação requerido pela constante de erro estático de velocidade. Respostas ao Degrau Unitário de Sistemas com e sem Compensação 1.4 ,-----.,....-----,----------r-----,------,-----,---,-------, 1.2 C"j :2 0.8 C"j C/) 'l.) ü C/c 0.6 C"j c Cí3 0,4 0.2 15 20 ts 2 Capítulo 9 / 25 30 35 40 Fig. 9-18 Curvas de resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não-compensado (Exemplo 9-2). Projeto de Sistemas de Controle no Domínio de Freqüência Respostas à Rampa Unitária de Sistemas com e sem Compensação 20r-~r--'r--'---'---'---'---'--~---'--~ 18 16 c:l ü 14 'C:;; r/) III 12 ü CE; c:l c Cí3 10 8 6 4 2 2 4 8 6 10 12 14 16 18 20 ts Fig. 9-19 Curvas de resposta à rampa unitária dos sistemas compensado e não-compensado (Exemplo 9-2). Deve-se observar, no entanto, que o zero e o pólo do compensador por atraso de fase não devem estar localizados desnecessariamente próximo à origem, porque o compensador por atraso de fase criará um pólo a malha fechada adicional na mesma região onde se encontram o zero e o pólo do compensador por atraso de fase. O pólo a malha fechada localizado perto da origem dá uma resposta transitória que decai muito lentamente, embora seu módulo vá se tornar muito pequeno porque o zero do compensador em atraso quase anulará o efeito deste pólo. No entanto, a resposta transitória (decaimento) devida a este pólo é tão lenta que o tempo de acomodação será afetado de forma adversa. Observe-se também que, no sistema compensado por um compensador por atraso de fase, a função de transferência entre uma perturbação do processo a controlar e o erro do sistema pode envolver um zero que esteja perto deste pólo. Portanto, a resposta transitória do sistema a uma perturbação pode demorar muito tempo. 3. A atenuação devida ao compensador por atraso de fase deslocará a freqüência de cruzamento de ganho para um valor inferior onde a margem de fase é aceitável. Assim, o compensador por avanço de fase reduzirá a banda passante do sistema, o que resultará numa resposta transitória mais lenta. [A curva de ângulo de fase de Gc(jm)G(jm) é relativamente inalterada perto e acima da nova freqüência de cruzamento do ganho.] 4. Como o compensador por atraso de fase tende a integrar o sinal de entrada, ele atua aproximadamente como um controlador proporcional-integral. Por causa disso, um sistema compensado por atraso de fase tende a se tornar menos estável. Para evitar esta característica indesejável, a constante de tempo T deve ser feita suficientemente maior do que a maior constante de tempo do sistema. 5. A estabilidade condicional pode ocorrer quando o sistema a ser compensado por atraso de fase apresentar saturação ou limites. Quando a saturação ou limitação ocorre no sistema, ela reduz o ganho de malha efetivo. Então o sistema se o torna menos estável e pode resultar até mesmo em operação instável, conforme mostrado na Fig. 9-20. Para evitar 40 30 20 dB 10 O -10 -20 _90 0 _180 0 _270 0 0.7 2 4 6 810 w em rad/s Seção 9-3 / Compensação por Atraso de Fase 20 Fig. 9-20 Diagramas de Bode relativos a um sistema condicionalmente estável. 513 sistema deve ser projetado de modo que o efeito da compensação por atraso de fase se torne significativo somente quando a amplitude da entrada para o elemento de saturação for pequeno. (Isto pode ser feito por meio de compensação com malha secundária de retroação.) E Primeiramente serão examinadas as características freqüenciais do compensador por atraso e avanço de fase. Em seguida, será apresentada uma técnica de projeto de compensadores por atraso e avanço de fase baseada no enfoque da resposta de freqüência. Característica do compensador por atraso e avanço de fase. Considere-se o compensador por atraso e avanço de fase representado por 1)( s+T1) s+T (s + yl S f3~2 onde y > 1 e f3 > 1. O termo (y> 1) produz o efeito da estrutura de avanço de fase, e o termo 1 s +T2 --=---=(3 1 s + ((3 > 1) produz o efeito da estrutura de atraso de fase. Ao se projetar um compensador por atraso e avanço de fase, freqüentemente se escolhe y = f3. (Isto não é necessário. Pode-se, naturalmente, escolher y *- f3.) No que se segue, considera-se o caso em que y = f3. O gráfico polar do compen= 1 e y f3 adquire a forma mostrada na Fig. 9-21. Pode-se constatar que o sador por atraso e avanço de fase com compensador atua como um compensador por atraso de fase na faixa O < (O < (01' enquanto para (01 < ex; ele atua como um compensador por avanço de fase. A freqüência (01 é a freqüência para a qual o ângulo de fase é zero. Ela é dada por 1 deduzir esta equação, ver Problema 1m o w= O Re 9-21 Diagrama polar de um compensador por atraso e avanço de fase definido pela (9-3), 1 e 'Y = f3. com K( 514 Capítulo 9 / Projeto de Sistemas de Controle no Domínio de Freqüência 10 O ~ dB -10 -20 ~ / / ....... -30 ~ ~ ~ /' ~ 0,1 "--- 10 TI 100 Fig. 9-22 Diagrama de Bode de um compensador por atraso e avanço de fase definido pela Eq. (9-3), com Kc = 1e y f3 = 10 e T2 10TI' TI w em rad/s A Fig. 9-22 mostra os diagramas de Bode (magnitude e fase) de um compensador por atraso e avanço de fase quando = 1, Y = f3 = 10 e T2 1OTI' Observe-se que a curva de magnitude tem o valor de OdB nas regiões de baixas e de altas freqüências. Compensação por atraso e avanço de fase baseada no enfoque da resposta de freqüência. O de um compensador por atraso e avanço de fase pela abordagem da resposta de freqüência é baseado na combinação técnicas de projeto discutidas para a compensação por avanço de fase e para a compensação por atraso de fase. Será admitido que o compensador por atraso e avanço de fase seja da seguinte forma: s + + 1) onde f3 > 1. A porção de avanço de fase do compensador por atraso e avanço de fase (a porção que envolve altera a curva de resposta de freqüência acrescentando ângulo de avanço de fase e aumentando a margem de fase na freqüência de cruzamento de ganho. A porção de atraso de fase (a porção que envolve T2 ) fornece atenuação perto e acima da freqüência de cruzámento de ganho e, desse modo, permite um aumento de ganho na faixa de baixas freqüências para melhorar o desempenho em regime estacionário. Os detalhes dos procedimentos para o projeto de um compensador por atraso e avanço de fase serão ilustrados por meio de um exemplo. EXEMPLO 9-3 Considere-se o sistema com retroação unitária cuja função de transferência a malha aberta seja G(s) = ( 2) s s Deseja-se que a constante de erro estático de velocidade seja 10 ç J, a margem de fase seja 50° e a margem de ganho seja de 10 dB ou mais. Admite-se que será usado um compensador por atraso e avanço de fase definido pela Eq. (9-4). A função de transferência a malha aberta do sistema compensado é Gc(s)G(s). Uma vez que o ganho K do processo a controlar é ajustável, admite-se que K( = 1. Então = 1. partir da especificação da constante de erro estático de velocidade, obtém-se Kl' = lim sGc(s)G(s) = lim sGc(s) ( s--.o Seção 9-4 / .1--.0 Compensação por Atraso e Avanço de Fase S S l~(S + 2) = }2<' = 10 515 Daí K = 20 A seguir serão traçados os diagramas de Bode (magnitude e fase) do sistema não-compensado com K = 20, conforme mostrado na Fig. 9-23. A margem de fase do sistema não-compensado é obtida como - 32°, o que indica que o sistema não-compensado é instável. A etapa seguinte no projeto de um compensador por atraso e avanço de fase consiste em se escolher uma nova freqüência ~e cruzamento de ganho. A partir da curva de ângulo de fase relativa a G(júJ), observa-se que íGaúJ) -180° em úJ 1,5 em rad/s. E conveniente escolher a nova freqüência de cruzamento de ganho como sendo 1,5 radls, de modo que o ângulo de avanço de fase requerido em úJ = 1,5 radls seja cerca de 50°, o que é bastante possível pelo uso de uma única estrutura de atraso e avanço de fase. U ma vez escolhida a freqüência de cruzamento de ganho como sendo 1,5 radls, pode-se determinar a freqüência de corte da porção relativa ao atraso de fase do compensador. Seja a escolha da freqüência de corte úJ = lIT2 (que corresponde ao zero da porção de atraso de fase do compensador) com um valor de uma década abaixo da nova freqüência de cruzamento de ganho, ou seja, úJ 0,15 rad/s. É bom lembrar que para o compensador por avanço de fase, o valor máximo do ângulo de avanço de fase cplJl é dado pela Eq. (9-1), onde a na Eq. (9-1) corresponde a 1/{3 no presente caso. Substituindo-se ex = 1/{3 na Eq. (9-1) tem-se 1Jm sen = j3 - 1 j3 + I 1 + j3 Observe-se que {3 10 corresponde a cplJl 54,9°. Uma vez que se necessita de uma margem de fase de 50°, pode-se escolher {3 (Notar que está sendo usado um valor de defasagem de vários graus abaixo do valor máximo de 54,9°.) Portanto, 10. 10 j3 Em conseqüência, a freqüência de corte úJ l/{3T2 (que corresponde ao pólo da porção de atraso de fase do compensador) se torna úJ = 0,015 rad/s. A função de transferência da porção relativa ao atraso de fase do compensador então se torna 10 (6,67S + 1 ~ 66,7s + 1) s s A porção relativa ao avanço de fase pode ser determinada conforme se segue: Uma vez que a nova freqüência de cruzamento de ganho é úJ = 1,5 radls, obtém-se, a partir da Fig. 9-23, G(jl,5) como sendo igual a 13 dB. Portanto, se o compensador por atraso e avanço de fase contribuir com 13 dB em úJ = 1,5 radls, então a nova freqüência de cruzamento de ganho atenderá o desejado. A partir desta exigência é possível traçar uma linha reta com inclinação de 20 dB/década passando pelo ponto (-13 dB, 1,5 rad/s). As interse- 60 ~ I- 40 K ...... "'" "-"" I- 20 dB .......... I- ...... ......... )'~ TC O ..... , ..... "- ' f ",........ I- Cc -20 ,-0 «'t ............ "--;.- ........... I ".~ ,....., .. :. ..."", ............ , I- O --- -I ,....., ~'- - I- " \ I- -40 90° 6 cB .- l- /;..... ---- - .--- -- K ---( _ ----- ........ ;..-' _...........--- _90° 'c ~ -180° C~ ......... -270° 0.01 0.02 :> .... 0.04 0.1 0.2 0.4 0.6 w em rad/s 516 Capítulo 9 / ...... ' .. -..........; .......... ..........- f ... . . . . . . r--.... ........ 'l~ ..... -............... -.- 2 4 6 10 Fig. 9-23 Diagramas de Bode (amplitude e fase) relativos ao sistema não-compensado, ao compensador e ao sistema compensado. (G I: sistema não-compensado, . compensador, GrG: sistema compensado.) Projeto de Sistemas de Controle no Domínio de Freqüência ções desta reta com a linha de O dB e com a linha de - 20 dB determinam as freqüências de corte. Portanto, as freqüências de corte relativas à porção de avanço de fase são w = 0,7 radls e w 7 rad/s. Assim, a função de transferência da porção relativa ao avanço de fase do compensador se torna ~ s + 7 = ~ ( 1,43s + 1 ) 10 0,143s 1 Combinando-se as funções de transferência das porções relativas a atraso e a avanço de fase do compensador obtém-se a função de transferência do compensador por atraso e avanço de fase. Uma vez que se escolheu Kc = 1, vem C(s) ( = (~)( s 7 s 0,15) s + 0,015 1 )(6,67S 1) 1,43s ( 0,143s + 1 66,7s + 1 As curvas de magnitude e de ângulo de fase do compensador por atraso e avanço de fase que se acabou de projetar são mostradas na Fig. 9-23. A função de transferência a malha aberta do sistema compensado é C (s)C(s) c = (s O,7)(s 0,15)20 (s + 7)(s + 0,015)s(s + 1 )(s + 2) 1) (9-5) As curvas de módulo e de ângulo de fase do sistema da Eq. (9-5) são também mostradas na Fig. 9-23. A margem de fase do sistema compensado é 50°, a margem de ganho é 16 dB, e a constante de erro estático de velocidade é lOs I.Todos os requisitos são, portanto, satisfeitos, e o projeto foi concluído. A Fig. 9-24 mostra os gráficos polares do sistema não-compensado e do sistema compensado. O lugar G/jw)G(jw) é tangente ao 1,2 em aproximadamente w = 2 rad/s. Isto indica, claramente, que o sistema compensado tem estabilidade relativa satiscírculo M fatória. A banda passante do sistema compensado é ligeiramente maior do que 2 rad/s. A seguir serão examinadas as características da resposta transitória do sistema compensado. (O sistema não-compensado é instável.) A função de transferência a malha fechada do sistema compensado é C(s) _ 95,381s 2 + 81s + 10 R(s) 4,7691 s:'i + 47,7287s 4 + 110,3026s3 + 163,724s 2 + 82s + 10 As curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária obtidas através do MATLAB são mostradas, respectivamente, nas e 9-26. M= 1.2 9-25 1m -8 Fig. 9-24 Diagramas polares de sistemas sem e com compensação. (G I: sistema não-compensado, GcG: sistema compensado.) Seção 9-4 / Compensação por Atraso e Avanço de Fase 517 Res:po~ta Resposta à Rampa Unitária do Sistema Compensado do Sis:tema Compensado ao Degrau Unitário 1,6 20 18 IA 16 1,2 14 o:l ::2 o:l o:l 1) 'ü "" 10 0,8 CI) 1) v; 'ü o:l c Cíi 12 ::2 CI) v; 0,6 o:l 8 c Cíi OA 6 4 0,2 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2C 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ts ts 9-25 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado 9-3). ~1''-'"qJ'V 9-26 Resposta à rampa unitária do sistema compensado (Exemplo 9-3), Note-se que o sistema de controle a malha fechada projetado tem os seguintes pólos e zeros: Zeros em s -0,1499, s = -0,6993 Pólos em s = -0,8973 ± jl,4439 s =-0,1785, s =-0,5425, s = -7,4923 o pólo em s -0,1785 e o zero em s = -0,1499 estão situados muito próximo um do outro. Um par de raízes deste tipo produz uma longa cauda de pequena amplitude na resposta ao degrau unitário, conforme mostrado na Fig. 9-25. Além disto, o pólo em s = -0,5425 e o zero em s = -0,6993 também estão situados razoavelmente próximos um do outro. Este par de raízes acrescenta amplitude ao efeito de cauda. CONCLUSIVOS Este capítulo apresentou procedimentos detalhados para se projetar compensadores de avanço, de atraso, e avanço e atraso de por intermédio de exemplos simples. Mostrou-se que o projeto de um compensador visando satisfazer um conjunto dado de especificações (em termos de margem de fase e de margem de ganho) pode ser conduzido de forma simples e direta a partir dos diagramas de Bode. Note-se que o projeto satisfatório de um compensador para um sistema complexo pode requerer a aplicação destes princípios básicos de projeto de forma criativa. Comparação da compensação por avanço de fase, por atraso de fase e por atraso e avanço de fase 1. A compensação por avanço de fase atinge o resultado desejado através dos méritos de sua contribuição de avanço de enquanto a compensação por atraso de fase realiza o resultado através dos méritos de sua propriedade de atenuação nas altas freqüências. (Em alguns problemas de projeto, tanto a compensação por atraso de fase quanto a compensação por avanço de fase podem satisfazer as especificações.) 2. A compensação por avanço de fase é comumente utilizada para melhorar as margens de estabilidade. A compensação por avanço de fase conduz a uma freqüência de cruzamento de ganho com valor maior do que seria possível obter com a compensação por atraso de fase. Um valor maior de freqüência de cruzamento de ganho significa maior banda passante. Um grande valor de banda passante significa redução no tempo de acomodação. A banda passante de um sistema com compensação por avanço de fase é sempre maior do que aquela com compensação por atraso de fase. Portanto, se se desejar uma grande banda passante ou uma resposta rápida, deve-se empregar compensação por avanço de fase. Se, no entanto, estiverem presentes sinais com ruído, uma banda passante elevada pode não ser desejável, uma vez que ela toma o sistema mais suscetível ao ruído em virtude do aumento no ganho para altas freqüências. * Em tal caso, deve ser usada compensação por atraso de fase. *0 autor considera apenas ruídos de altas freqüências (N. do T.) 5 8 Capítulo 9 / Projeto de Sistemas de Controle no Domínio de Freqüência 3. A compensação por avanço de fase requer um aumento adicional em ganho para compensar a atenuação inerente à estrutura de avanço de fase. Isto significa que a compensação por avanço de fase requer um ganho maior do que de uma estrutura por atraso de fase. Um maior valor de ganho, na maioria dos casos, implica em maior volume, maior peso e maior custo. 4. A compensação por atraso de fase reduz o ganho do sistema nas altas freqüências sem reduzi-lo nas baixas freqüências. Uma vez que a banda passante do sistema é reduzida, o sistema possui uma menor velocidade de resposta. Por causa do ganho reduzido, nas altas freqüências, é possível aumentar o ganho total do sistema e, portanto, o ganho nas baixas freqüências pode ser aumentado e a exatidão em regime permanente pode ser melhorada. Além disto, quaisquer ruídos de altas freqüências envolvidos no sistema podem ser atenuados. 5. Se forem desejadas, simultaneamente, rapidez de resposta e exatidão em regime permanente, deve ser empregado um compensador por atraso e avanço de fase. Por meio de um compensador por atraso e avanço de fase é possível aumentar o ganho nas baixas freqüências (o que significa melhoria na exatidão em regime permanente), enquanto se aumenta, ao mesmo tempo, a banda passante e as margens de estabilidade do sistema. 6. Embora um grande número de tarefas práticas de compensação possa ser realizado com compensadores por avanço de fase, por atraso de fase ou por atraso e avanço de fase, para sistemas complicados, a simples compensação pelo uso destes compensadores pode não produzir resultados satisfatórios. Devem ser empregados, então, compensadores com outras configurações de pólos e zeros. Comparação gráfica. A Fig. 9-27(a) mostra uma curva da resposta ao degrau unitário e a curva de resposta à rampa unitária de um sistema não-compensado. As curvas típicas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária para o sistema compensado usando estruturas de avanço, de atraso e de atraso e avanço de fase são mostradas, respectivamente, nas Figs 9-27(b),(c) e (d). O sistema com um compensador por avanço de fase exibe a resposta mais rápida, enquanto aquele com um compensador por atraso de fase exibe a resposta mais lenta mas com melhoramentos acentuados na resposta à rampa unitária. O sistema com um compensador por atraso e avanço de fase propiciará uma solução de compromisso: melhoramentos razoáveis tanto na resposta transitória quanto na resposta em regime estacionário podem ser esperados. As curvas de resposta mostradas exibem a natureza dos aprimoramentos que podem ser esperados da utilização de diferentes tipos de compensadores. Compensação por retroação. Um tacómetro é um dos dispositivos de retroação de velocidade. Um outro sitivo de retroação de velocidade é o girómetro. Os girómetros são comumente utilizados nos sistemas de pilotagem automática de aeronaves. A retroação de velocidade utilizando um tacómetro é comumemente empregada em servossistemas de posição. Observa-se que se o sistema for submetido a sinais com ruído, a retroação de velocidade pode ocasionar algumas dificuldades quando o esquema utilizado para realizar a retroação envolve a derivação do sinal de saída. (O resultado é a acentuação dos efeitos devidos ao ruído.) Cancelamento de pólos indesejáveis. U ma vez que a função de transferência de elementos em cascata é o produto de suas funções de transferência individuais, é possível cancelar alguns pólos ou zeros indesejáveis colocando-se um cCt) cU) o o c(t) o c(t) o o o (a) o cCt) cU) o c(t) cU) (b) (c) (d) 9-27 Curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária. (a) Sistema não-compensado; (b) sistema compensado por avanço de fase; (c) sistema compensado por atraso de fase; (d) sistema compensado por atraso e avanço de fase. Seção 9-5 / Comentários Conclusivos 519 elemento compensador em cascata, com seu pólos e zeros ajustados para cancelar os pólos ou zeros indesejáveis do sistema original. Por exemplo, uma grande constante de tempo TI pode ser cancelada pelo uso de uma estrutura de avanço de fase (TIs + 1)/(T2s + 1) como se segue: 1 + Se T2 for muito menor do que TI' é possível efetivamente eliminar a grande constante de tempo A Fig. 9-28 mostra o efeito do cancelamento de uma grande constante de tempo na resposta transitória ao degrau. Se um pólo indesejável no sistema original permanecer no semiplano s da direita, este esquema de compensação não deve ser usado, já que, embora matematicamente seja possível cancelar o pólo indesejável com um zero adicionado, o cancelamento exato é fisicamente impossível devido às imprecisões envolvidas na posição (localização) dos pólos e zeros. Um pólo no semiplano s da direita não exatamente cancelado pelo zero do compensador conduzirá, conseqüentemente, a uma operação instável devido ao fato de que a resposta envolverá um termo exponencial cujo valor aumenta com o tempo. Observa-se que se um pólo do semiplano da esquerda for quase, mas não exatamente cancelado, como é freqüentemente o caso, a combinação pólo-zero não cancelada fará com que a resposta tenha uma componente de amplitude pequena, mas de longa duração, no regime transitório. Se o cancelamento não for exato, mas razoavelmente bom, então esta componente será bastante pequena. Deve-se notar que o sistema de controle ideal não é aquele que tem uma função de transferência unitária. Fisicamente, um sistema de controle como este não pode ser construído, já que não se pode transferir energia, instantaneamente, da entrada para a saída. Além disso, uma vez que o ruído está quase sempre presente de uma forma ou de outra, um sistema com uma função de transferência unitária não é desejável. Em muitos casos práticos, um sistema de controle desejado pode ter um conjunto de pólos a malha fechada complexos-conjugados dominantes com um coeficiente de amortecimento razoável e uma freqüência natural não-amortecida. A determinação da parte significativa da configuração de pólos-zeros a malha fechada, tal como a localização dos pólos a malha fechada dominantes, está baseada nas especificações que dão o requerido desempenho do sistema. Cancelamento de pólos complexos-conjugados indesejáveis. Se a função de transferência de um processo a controlar contiver um ou mais pares de pólos complexos-conjugados, então um compensador por avanço, por atraso ou por atraso e avanço de fase pode não dar resultados satisfatórios. Em tal caso, uma estrutura que possua dois zeros e dois pólos pode se mostrar útil. Se os zeros forem escolhidos de modo a cancelar os pólos complexos-conjugados indesejáveis do processo a controlar, então se poderá essencialmente substituir os pólos indesejáveis por pólos aceitáveis. Isto é, se os pólos complexos-conjugados indesejáveis estiverem no semiplano s da esquerda e forem da forma 1 então a inserção de uma estrutura de compensação que tem a função de transferência resultará em efetiva mudança dos pólos complexos-conjugados indesejáveis em pólos aceitáveis. Note-se que mesmo se o cancelamento não puder ser exato, o sistema compensado exibirá melhores características de resposta. (Conforme estabelecido inicialmente, esta técnica não pode ser usada se os pólos complexos-conjugados estiverem no semiplano s da direita.) Estruturas familiares que consistem somente em componentes RC cujas funções de transferência possuem dois zeros e dois 9-29. pólos são as redes T em ponte. Exemplos de redes T em ponte e suas funções de transferência são mostrados na Comentários conclusivos. Nos exemplos de projeto apresentados neste capítulo, o foco principal recaiu unicamente sobre a função de transferência dos compensadores. Nos problemas de projeto de sistemas reais é preciso escolher 9-28 Curvas de resposta ao degrau mostrando o efeito de cancelamento de uma constante de tempo grande. 520 Capítulo 9 / Projeto de Sistemas de Controle no Domínio de Freqüência o (a) (b) Fig. 9-29 Estruturas de ponte em T. os equipamentos. Assim se torna necessário atender a restrições adicionais de projeto tais como custo, tamanho, peso e confiabilidade. O sistema projetado pode atender às especificações sob condições nominais de operação, mas se afastar consideravelmente das especificações quando as modificações ambientais forem muito grandes. Uma vez que as modificações do ambiente afetam o ganho e as constantes de tempo do sistema, torna-se necessário prover meios de ajuste manual ou automático do ganho para compensar tais mudanças nas condições ambientais, os efeitos de não-linearidade que deixaram de ser considerados no projeto e também para compensar as tolerâncias de fabricação de uma unidade para outra na produção dos componentes do sistema. (Os efeitos das tolerâncias de fabricação são suprimidos num sistema a malha fechada; no entanto, os efeitos podem não ser críticos na operação a malha fechada, mas sê-lo na operação a malha aberta.) Além disso, o projetista deve lembrar que todos os sistemas são submetidos a pequenas variações devidas, principalmente, à sua deterioração normal ao longo do tempo. PROBLEMAS ILUSTRATIVOS E SOLUÇÕES A-9-1. Mostrar que a estrutura de avanço de fase e a estrutura de atraso de fase inseridas em cascata em uma malha aberta atuam, respectivamente, como controle proporcional-derivativo (na região de O) pequena) e controle proporcional-integral (na região de O) grande). Solução. Na região de O) pequena, o gráfico polar da estrutura de avanço de fase é aproximadamente o mesmo que o do controlador proporcional-derivativo. Isto é mostrado na Fig. 9-30(a). Similarmente, na região de O) grande o gráfico polar da estrutura de atraso de fase se aproxima do controlador proporcional-integral, conforme mostrado na Fig. 9-30(b). A-9-2. Considere-se um compensador por atraso e avanço de fase definido por (, + Mostrar que na freqüência 0)1' iJ(s + onde 1m 1m Controlador PD Estrutura de avanço de fase ü Re ü (a) Problemas Ilustrativos e Soluções w=ü Controlador PI (b) Re Estrutura de atraso de fase Fig. 9-30 (a) Diagramas polares de uma estrutura de avanço de fase e de um controlador proporcional-derivativo; (b) diagramas polares de uma estrutura de atraso de fase e de um controlador proporcional-integral. 521 o ângulo de fase de GcUúJ) se torna zero. (Este compensador atua como um compensador por atraso de fase para 0< úJ < um compensador por avanço de fase, para úJI < úJ < x.) úJI e, como Solução. O ângulo de fase de CcUúJ) é dado por + Em úJ 1/ úJ I wT 1 + tan tan = , tem-se = _] 1 tan-] tan ~ - tan -1 (3 Como ----:==---:== = X ou tan -] tan-1 e também tan -1 1 tan -1 - (3 tem-se Assim, o ângulo de fase de A-9-3. se torna 0 em úJ Seja o sistema de controle mostrado na 0 = úJ 11 9-31. Determinar o valor de ganho K tal que a margem de fase seja de 60°. Solução. A função de transferência a malha aberta é G(s) Vamos traçar os diagramas de Bode relativos a C(s) para K 1. O Programa MATLAB 9-3 pode ser utilizado para este fim. A mostra os diagramas de Bode (magnitude e fase) gerados por este programa. Com base nestes diagramas, a margem de fase r"n''''''',n" 9-31 Sistema de controle. 522 Capítulo 9 / Projeto de Sistemas de Controle no Domínio de Freqüência de 60° ocorre na freqüência O) = 1,15 rad/s. A magnitude de GVO)) nesta freqüência é obtida como sendo 14,5 dB. Assim, o ganho K deve satisfazer a seguinte equação: 20 log K = -14,5 dB I Programa MATLAB 9-3 num = [O O 10 1J; den = [1 1.5 0.5 O]; bode(num,den) subplot(2, 1, 1); title('Diagramas de Bode de G(s) = (105 + 1 )/(s(s + 0,5)(5 + 1)]') ou K = 0,188 Assim, foi determinado o valor do ganho K. Para verificar os resultados, será traçado o diagrama de Nyquist relativo a G na faixa de freqüências w= 0.1:0.01:1.15 o ponto final do lugar (W = 1,15 rad/s) estará sobre uma circunferência de raio unitário no plano de Nyquist. Para verificar a margem de fase é conveniente traçar o diagrama de Nyquist sobre o gráfico polar usando um reticulado polar. Para traçar o diagrama de Nyquist sobre um gráfico polar, defina-se primeiramente o vetor complexo z por z = re + i *i m = reio onde r e e (teta) são dados por r = abs(z) theta angle(z)* A expressão abs significa a raiz quadrada da soma dos quadrados da parte real e da parte imaginária e a expressão angle significa tan- I (parte imaginária/parte real). Utilizando-se o comando polar(theta, r) Diagramas de Bode de G(s)=(10s+1)/[s(s+O,5) (s+1)] Freqüência (rad/s) Fig. 9-32 Diagramas de Bode de G(s) 1) *abs e angle são comandos de funções do MATLAB. abs(z) fornece o módulo de z e angle(z) fornece o ângulo de fase de z. (N. do T.) Problemas Ilustrativos e Soluções 523 o MATLAB produz um gráfico em coordenadas polares. O uso subseqüente do comando grid traça retas e círculos do reticulado polar. Programa MATLAB 9-4 gera o diagrama de Nyquist de G(jw) para valores de w entre 0,5 e 1,15 rad/s.O gráfico resultante é mostrado na Fig. 9-33. Observe-se que o ponto G(j1,15) fica situado sobre a circunferência de raio unitário e que o ângulo de fase deste ponto é -120°. Portanto, a margem de fase é 60°. O fato de se ter o ponto G(jl,15) sobre a circunferência de raio unitário verifica a 1,15 rad/s a magnitude é igual a 1 ou O dB. condição de que para W a Programa MATLAB 9-4 %*****Diagrama de Nyquist em coordenadas polares***** num = [O O 1.88 0.188]; den = [1 1.5 0.5 O]; w = 0.5:0.01 :1.15; [re,im,w] = nyquist(num,den,w); %*****Conversão de coordenadas retangulares em coordenadas %polares através da definição de z, r, teta como se segue***** z re + i*im; r = abs(z); teta = angle(z); %*****Para traçar o gráfico polar, entrar com o comando %'polar(teta,r)'***** polar(teta,f) title('Verificação do Ângulo de Fase') text(O.l ,-1.5/Diagrama de Nyquist') text(-2.25,·0.3,' A margem de fase') text(-2.25,-0.7,'é de 60 graus.') (Por conseguinte, w = 1,15 é a freqüência de cruzamento de ganho.) Assim, K 0,188 fornece a margem de fase desejada de 60°. Observe-se que para incluir 'texto' no diagrama polar entra-se com o comando text como a seguir: text(x, y,' ') Por exemplo, para se escrever 'Diagrama de Nyquist' começando no ponto (0,1, - 1,5), entra-se com o comando text(O.l, 1.5,'Nyquist plot') O texto é escrito horizontalmente na tela do monitor. A-9-4. Se a função de transferência a malha aberta G(s) envolver pólos complexos-conjugados levemente amortecidos, então mais de um lugar M pode ser tangente ao lugar G(jw). Verificação da Margem de Fase 120 180 90 2.5 ~~--~~--+-~~+--+--+--+~ 270 524 Capítulo 9 / 60 o 9-33 Diagrama de Nyquist de G(jW) mostrando que a margem de fase é 60°. Projeto de Sistemas de Controle no Domínio de Freqüência 40 • 20 '-... dB ••• ~ O ........... N~ .~ -20 (\ \, -40 \ " -- " '\ 0° 0 -90 -180° -270° -360° 0,1 ;--- "-- _ ........... \ '- 0.2 0,4 2 úJ 10 4 9-34 Diagrama de Bode de G(jw) dada pela Eq. (9-6). em rad/s Considerar o sistema com retroação unitária cuja função de transferência a malha aberta é C(s) = ses 9 (9-6) + 0,5)(S2 + 0,6s + 10) Traçar os diagramas de Bode relativos a esta função de transferência a malha aberta. Traçar o diagrama de módulo em dB versus ângulo de fase e mostrar que dois lugares M são tangentes ao lugar G(jw). Traçar, finalmente, os diagramas de Bode relativos à função de transferência a malha fechada. Solução. A Fig. 9-34 mostra os diagramas de Bode de G(jw). A Fig. 9-35 mostra o gráfico de módulo em dB versus ângulo de fase de G(jw). Constata-se que o lugar G(jw) é tangente ao lugar de M 8 dB em w = 0,97 radls e é tangente ao lugar M = -4 dB em w 2,8 rad/s, A Fig. 9-36 mostra os diagramas de Bode da função de transferência a malha fechada, A curva de módulo da resposta de freqüência a malha fechada mostra dois picos ressonantes. Note-se que um tal caso ocorre quando a função de transferência a malha fechada envolve o produto de dois termos de segunda ordem levemente amortecidos e as duas correspondentes freqüências ressonantes estão suficientemente separadas uma da outra. Na realidade, a função de transferência a malha fechada deste sistema pode ser escrita C(s) _ _ C---,--(s--,--)_ R(s) C(s) 9) 30 24 18 CQ 12 "O ;::: ii 6 6' O -6 -12 -18 -360° -270° -180° /Q Problemas Ilustrativos e Soluções Fig. 9-35 Diagrama de módulo em dB versus ângulo de fase relativo à G(jw) dada pela Eq. (9-6). 525 20 - ~, """'" O dR -20 "~ \ -40 - ............. 0° -90 0 -180° -270 0 ... -360° 0,1 0,2 . '" _ _......... , '\\ 0,4 0,6 ~ 2 \ 4 6 10 úJ em rad/s Fig. 9-36 Diagramas de Bode de G(jO»)/[ 1 + G(jO»)] onde G(jO») é dada pela Eq. (9-6). Obviamente, a função de transferência a malha fechada é um produto de dois termos de segunda ordem levemente amortecidos (os coeficientes de amortecimento são 0,243 e 0,102) e as duas freqüências ressonantes são suficientemente separadas. A-9-5. Seja um sistema com retroação unitária cuja função de transferência no percurso direto é dada por G(s) 1 = 7" s- Deseja-se inserir um compensador-série tal que a curva de resposta de freqüência a malha aberta seja tangente à circunferência M = 3 dB na freqüência O) = 3 rad/s. O sistema é submetido a ruídos de altas freqüências e se deseja um corte abrupto. Projetar um compensador-série apropriado. Solução. A fim de se estabilizar o sistema, deve-se inserir um compensador do tipo proporcional-derivativo ou um compensador por avanço de fase. Como se deseja um corte de freqüências abrupto, será escolhido um compensador por avanço de fase. Considere-se o seguinte compensador por avanço de fase: GJs) Ts aTs + 1 (a < 1) A curva de resposta de freqüência a malha aberta do sistema compensado deve ser tangente ao lugar de M 3 dB. Para minimizar o valor do ganho Kc adicional, escolhe-se o ponto de tangência ao lugar de 3 dB como mostrado na Fig. 9-37. Observa-se, a partir da Fig. 9-37, que o compensador por avanço de fase deve prover cerca de 45°. Então o valor de O' é determinado pela expressão dB 6 -6 ~............................ ~ o .... ················· ................... , ..... ······· ... ~\ ...................................•................. ............. , ....................... . ························;·1··························· ... ; ...................•.... Fig. 9-37 Carta de Nichols mostrando que o lugar geométrico Gc(jO»)G(jO») é tangente a M = 3 dB em O) = 3 rad/s. 526 Capítulo 9 / Projeto de Sistemas de Controle no Domínio de Freqüência 1 - a sen45°= - I a ou a = 0,172 == i. tangente ao lugar M a escolha a = = ~. Como se requer que a curva de resposta de freqüência a malha aberta Cc(jw) C(jw) 3 dB em w = 3 radk obtém-se 20 log IG c (j:3)1 + 20 log IG(j:3)1 = IG,.(J3lI 20 20 log Iii :3 dB ou dB As duas constantes de tempo Te aT do compensador por avanço de fase podem ser determinadas como a seguir: Observando-se que T aT 3 tem-se 3 1,225, T 7,348 aT Dos diagramas de Bode mostrados na Fig. 9-38, encontra-se o valor do ganho Kc como sendo 14,3 dB ou 5,19. Assim, o compensador projetado é dado por GJs) A-9-6. 0,816s + 1 5.19---0,136s + 1 . o sistema mostrado na Fig. 9-39. Projetar um compensador por avanço de fase tal que o sistema a malha fechada tenha uma margem de fase de 500 e uma margem de ganho nunca inferior a 10 dB. Admita-se que (O < a < 1) Jf':Sf':lil-Sf': ;:'UllUa,;au. que a banda passante do sistema a malha fechada seja de 1 ~ 2 rad/s. Quais são os valores de M, e w, do sistema compensado? Observe-se que Gc(júJ)G(júJ) 1) Como a banda passante do sistema a malha fechada é próxima da freqüência de cruzamento de ganho, escolhe-se a freqüência de cruzamento de ganho como sendo 1 rad/s. Em w = 1 o ângulo de fase de C(jw) é 191,31 0 • Por conseguinte, a estrutura de avanço de fase 11,31 0 61,31 0 em w = 1. Assim, a pode ser determinado a partir de deve suprir 500 sen CPm = sen 61,31 ° a 0,8772 10 30r----------,----------------~~----------~ dB 20 143 1-............................................ • . ................. ······'~"'·7······································· i ;.................................... I 1------.. . . . . . . ,. . . 10L-----------L-~------~------~--~------~ 3 1.225 úJ 7348 (rad/s) 9-38 Diagrama de Bode do compensador por avanço de fase projetado no Problema A-9-S. Problemas Ilustrativos e Soluções 9-39 Sistema a malha fechada. 527 ou a 0,06541 Observando-se que o valor máximo do ângulo de avanço tem-se CPIII ocorre para o valor da média geométrica das duas freqüências de corte, --==1=_ VQ,06541 T = 3,910 -T- 1 = Assim, 1 T 0,2558 3,910 e aT 3,910 0,06541 Então, ~.. Gc(Jw)G(Jw) = _ 3,91Ojw 0,06."l41Kc02c 8' ~w , _J5 1 + 1 1) ou +1) Diagramas de Bode relativos a G c (jú))G(jú))/(0,06541 KJ são mostrados na Fig. 9-40. Através de cálculos simples (ou por meio dos diagramas de Bode), obtém-se que a curva de magnitude deve ser elevada em 2,306 dB de modo que a magnitude iguale dB na freqüência ú) = 1 rad/s. Portanto, iguala-se ° 20 log 0,06541 Kc = 2,306 ou 0,06541 1,3041 que conduz a = 19,94 40 20 O -20 dB • -40 '1,; ..... "."' ...... ;.............•........; ... -1 -60 1- .... ,.... " .. ,.......,......... ,... ", .. , ......... ; .......,\ .....;.. ,,:\c,'-I 0° -90° -80 L--L----I-L...Ll_...L-L--L..L.L.-=:r:::~o;;;;J;;;:;tj 0,1 0,2 0.4 2 4 w em rad/s 528 Capítulo 9 / 10 20 40 -270° 100 Fig. 9-40 Diagrama de Bode do sistema mostrado na Fig. 9-39. Projeto de Sistemas de Controle no Domínio de Freqüência 36 32 28 24 20 16 o::: 12 "'O ;;:; s::l.) 8 4 O -4 -8 -12 -16 -240° -210° -180° -150° -120° -90 0 -60 -30° 0 Fig. 9-41 Lugar geométrico G'(iúJ)G(júJ) superposto à carta de Nichols (Problema A-9-6). IGH As curvas de magnitude e fase do sistema compensado mostram que o sistema possui uma margem de fase de 50° e uma margem de ganho de 16 dB. Assim, as especificações de projeto são satisfeitas. A Fig. 9-41 mostra o lugar geométrico de Gc(júJ)G(júJ) superposto à carta de Nichols. A partir deste diagrama, encontra-se uma banda passante de aproximadamente 1,9 rad/s. Os valores de M r e úJr são lidos a partir deste diagrama como a seguir: wr 2,13 dB, A-9-7. 0,58 rad/s Referindo-se ao Exemplo 9-1, traçar os diagramas de Nyquist de G(júJ), Gj(júJ) e Gc(júJ)G(júJ) com o uso do MATLAB. (Comparar os gráficos de Nyquist obtidos aqui com os da Fig. 9-10.) Escrever um possível programa em MATLAB para traçar os gráficos de Nyquist num único diagrama. Note-se que G(júJ), Gj(júJ) e Gc(júJ)G(júJ) são dadas por G(jw) 4 jw (jw 2) 40 G (jw) - - - - 1. - jw(jw + 2) GJjw)G(jw) 4 41,7 jw + 18,4 j ( jÚJ + 2) Solução. Uma possível programação em MATLAB para este problema é dada no Programa MATLAB 9-5. Os diagramas de Nyquist resultantes são mostrados na Fig. 9-42. Programa MATLAB 9-5 %*****Diagramas de Nyquist em coordenadas polares***** num1 = [O O 4]; denl [1 2 O]; num2 = [O O 40]; den2 = [1 2 OJ; num3 = [O O 166.8 735.588]; [1 20A 36.8 O]; den3 w = 0.2:0.1:10; ww = 1.5:0.1:10; Problemas Ilustrativos e Soluções 529 [re1,ím1,w] = nyquist(numl ,denl ,w); zl = rel + i*iml; r1 = abs(z1); tetal = angle(z1); polar(teta 1Irl,lo; hold on [re2,im2,wwl = nyquist(num2,den2,ww); z2 = re2 + i*im2; r2 = abs(z2); teta2 = angle(z2); polar(teta2,r2, lO; [re3,im3,ww] = nyquist(num3,den3,ww); z3 = re3 + i*im3; r3 abs(z3); teta3 = angle(z3); polar(teta3 ,r3 ,'x'); title('Diagramas de Nyquist de G(jw),G1 (jw) e Gc(jw)G(jw)') text(O.7, -8.8,'G(jw)') text( -11.7, -8.7,'Gl (jw)') text(-6.6, -12.3,'Gc(jw)G(jw)') A-9-8. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 9-43(a). Projetar um compensador tal que o sistema a malha fechada satisfaça os seg;Ulrltes requisitos: 20 S-l Constante de erro estático de velocidade Margem de fase 500 de ganho ;::: 10dB Solução. Para satisfazer os requisitos será tentado um compensador de avanço de fase GJs) da forma q.(s) = 5 T 5 aT (Se o compensador por avanço de fase não funcionar, então será utilizado um compensador de forma diferente.) O sistema compensado é mostrado na Fig. 9-43(b). Diagramas de Nyquist de G(jw). Gljw) e G,(jw)G(jw) 120 180 9°10 60 o 9-42 Diagramas de e Gc(jOJ)G(jOJ). 530 Capítulo 9 / Projeto de Sistemas de Controle no Domínio de Freqüência (b) (a) 9-43 (a) Sistema de controle; (b) sistema compensado. Seja, por definição, 10K ses 1) onde K = KJ'L A primeira etapa do projeto consiste em se ajustar o ganho K de modo a ser atendida a especificação de regime permanente, ou seja, prover o valor requerido da constante de erro estacionário de velocidade. Como a constante de erro estático de velocidade K\. é dada por 20 çl, tem-se = lim sGc(s)G(s) S-7() = . Ts aTs ' I1m s10K ses 1) S-7() = 1 hm s - - - 1 G 1 (s) lOK 20 ou K = 2 Com K 2, o sistema compensado satisfaz o requisito de regime estacionário. Serão traçados, em seguida, os diagramas de Bode relativos a G (s) = 1 20 ses + 1) o Programa MATLAB 9-6 gera os diagramas de Bode mostrados na Fig. 9-44. Obtém-se, a partir destes gráficos, uma margem de fase de 14°. A margem de ganho é de +00 dB. Programa MATLAB 9-6 num [O O 20]; den= [1 1 O]; w = logspace( -1,2,100); bode(num,den, w) subplot(2,l f 1); title('Diagramas de Bode de Gl (s) = 20/[s(s + 1)]') Como a especificação requer uma margem de fase de 50°, o avanço de fase adicional que se faz necessário para atender ao requisito de margem de fase é de 36°. Um compensador por avanço de fase pode contribuir com este acréscimo. Observando-se que a adição de um compensador por avanço de fase modifica a curva de magnitude nos diagramas de Bode, constata-se que a freqüência de cruzamento de ganho se desloca para a direita. Deve-se compensar o aumento no atraso de fase de G1Uw) devido ao aumento na freqüência de cruzamento de ganho. Levando-se em consideração o deslocamento da freqüência de cruzamento de ganho, deve-se admitir que cfJlIl' valor da máxima defasagem requerida, é de aproximadamente 41 0. (Isto significa que foram acrescentados aproximadamente 5° para compensar o deslocamento da freqüência de cruzamento de ganho.) Como sen cfJ lII Problemas Ilustrativos e Soluções = l-a -1-- +a 531 Diagramas de Bode de G1 (5) ~ = 20/[s(s+1)] O ~---'--~-~---~~··i+,+-----+-~~~~~-L----,---~-c-+~-r-~ E () o -'§ c::J O -50 -100 L -_ _L-~L-~UL~-L~-L~~~_ _~~~~~ 102 lO- I Freqüência (rad/s) -60 -90 ~ -120 ~ ~ -150 B -180 51 ::: lO-I <<( 9-44 Diagramas de Bode de G\(s). Freqüência (rad/s) o GJs) = 1. A partir do requisito de constante de erro estático de velocidade, obtém-se Respostas à Rampa Unitária de Sistemas com e sem Compensação .-, J ,------,------,-----~------,------,----~ 2,5 2 0,5 0,5 1.5 t S 536 Capítulo 9 / 2 25 3 9-49 Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não-compensado. Projeto de Sistemas de Controle no Domínio de Freqüência lim lim 4) s-:;() J( 4 10 Portanto, 40 Serão traçados inicialmente os diagramas de Bode do sistema não-compensado com K = 40. O Programa MATLAB 9-12 pode ser usado para traçar estes diagramas de Bode. Os diagramas de Bode obtidos são mostrados na Fig. 9-50. Programa MATLAB 9-12 [O O O 40]; num den = [1 5 4 O]; w logspace( -1,1 t 100); bode(num,den,w) subplot(2,l 11); title(/Diagramas de Bode de G(s) 40/[s(s + l)(s + 4)]1) A partir da 9-50, encontra-se a margem de fase como sendo -16°, o que indica que o sistema é instável. O próximo passo no projeto de um compensador por atraso e avanço de fase consiste em escolher uma nova freqüência de cruzamento de fase. Com base na curva de ângulo de fase relativa a G(júJ), constata-se que a freqüência de cruzamento de fase é úJ = 2 rad/s. Pode-se escolher a nova freqüência de cruzamento de ganho como sendo 2 rad/s, de modo que o ângulo de avanço de fase em úJ = 2 rad/s seja cerca de 50°. Um compensador simples de atraso e avanço de fase pode fornecer este valor de avanço de fase muito facilmente. Uma vez escolhida a freqüência de cruzamento de ganho como sendo 2 rad/s, determina-se a freqüência de corte da porção relativa ao atraso de fase do compensador por atraso e avanço de fase. Seja a escolha da freqüência de corte úJ = (correspondente ao zero da porção de atraso de fase do compensador) 1 década abaixo da nova freqüência de cruzamento de ganho, ou seja, úJ 0,2 rad/s. Para uma outra freqüência de corte úJ = 1/«(3T2), necessita-se do valor de (3. O valor de (3 pode ser determinado com base na consideração da porção relativa ao avanço de fase do compensador, como mostrado a seguir. Para o compensador por avanço de fase, o valor máximo de ângulo de avanço de fase cfJlI1 é dado por sen 1J1/1 _/3_ /3 Observe-se que (3 = 10 corresponde a cfJl/1 = 54,9°. Como se necessita de uma margem de fase de 50°, escolhe-se (3 está sendo usado um valor vários graus abaixo do ângulo máximo, 54,9°.) Assim, /3 Diagramas de Bode de G(s) 10. (Note-se que 10 = 40/ls(s+ 1) (s+4)] 50 c:o v E QJ O ..c :::: :-::I O -50 - 10- 1 FreqUência (rad/s) e :/: 29 O -90 ~ ~ QJ v -180 -270 10-1 9-50 Diagramas de Bode de G(s) FreqUência (rad/s) Problemas Ilustrativos e Soluções [ses + 1) (s = 401 + 4)]. 537 Então a freqüência de corte (j) l/(f3T]) (que corresponde ao pólo da porção de atraso de fase do compensador) se torna 0,02 (j) A função de transferência da porção de atraso de fase do compensador se torna °--- s+ -----'- 1 ( 5s + 1 ) s 0,02 50s 1 A porção de avanço de fase pode ser determinada como a seguir: como a nova freqüência de cruzamento de ganho é (j) = 2 radls, obtém-se, a partir da Fig. 9-50, que I G(j2) I é 6 dB. Em conseqüência, se o compensador por atraso e avanço de fase contribuir com -6 dB em (j) = 1 radls, a nova freqüência de cruzamento de ganho é a desejada. Com base neste requisito, é possível traçar uma reta com inclinação de 20 dB/década passando pelo ponto (-6 dB, 2 rad/s). (Esta linha foi superposta manualmente à Fig. 9-50.) As interseções desta reta com as linhas de O dB e -20 dB determinam as freqüências de corte. Com base nesta consideração, as freqUências de corte relativas à porção de avanço de fase podem ser determinadas como sendo (j) = 0,4 radls e (j) = 4 rad/s. Assim, a função de transferência referente à porção de avanço de fase do compensador por avanço e atraso de fase se torna s + s +4 = 1 (2,5S 11) 10 -0-,2-5-s-- Combinando-se as funções de transferência das partes de atraso de fase e de avanço de fase do compensador obtém-se a função de 1, tem-se transferência G/s) do compensador por avanço e atraso de fase. Como se escolheu Gc(s) = s + 0,4 s + ~-s-0-'-,0-2 1) Os diagramas de Bode do compensador por avanço e atraso de fase GJs) podem ser obtidos através do computador por meio do Programa MATLAB 9-13.0 gráfico resultante é mostrado na Fig. 9-51. Programa MATLAB 9-13 numc = [1 0.6 0,08]; denc = [1 4.02 0,08]; bode(numc,denc) subplot(2, 1, 1); title('Diagramas de Bode do Compensador por Atraso e Avanço de Fase') A função de transferência a malha aberta do sistema compensado é Diagramas de Bode de Compensador por atraso e avanço de fase Or-~~~r-'-~~'-~~~~-r~-r==-r~~~ cc '"O E 1J Se S(jm) e T(jm) satisfizerem estas desigualdades, a estabilidade do sistema estará assegurada. Note-se que Z(jm) especifica o limitante superior da magnitude de T(jm). Como Gel (jw)GI'(jw) T(jw) = - - - - - 1 + G cl (júJ)GI'(júJ) e IGcl(jm)Gp(jm) I ~ 1 nas altas freqüências, T(jm) tende para Gel(jm)Gp(jm) quando m tende para infinito. Portanto, na faixa de altas freqüências o que significa que o erro de modelagem especifica o limitante superior do ganho de malha. e. O efeito do ruído do sensor é determinado pela função de transferência G'!l" Note-se que o negativo desta função de transferência é o mesmo que a função sensibilidade complementar T. Portanto, fazendo-se TUm) menor, o efeito do ruído do sensor se torna menor. Sumário. Da análise precedente obtêm-se as seguintes conclusões: 1. Para se melhorar a rejeição a perturbações, faz-se S(jm) pequeno. 2. Para se fazer baixa a sensibilidade ao erro de modelagem, faz-se S(jm) pequeno. 3. Para se aumentar a margem de estabilidade, faz-se T(jm) pequeno. 4. Para se ter um valor baixo de sensibilidade ao ruído do sensor, faz-se T(jm) pequeno. Observe-se que S(jm) + T(jm) = 1. Ê interessante observar que, embora o desempenho de acompanhamento dependa simultaneamente de Gel e de Ge2 , a rejeição a perturbações, a sensibilidade aos erros de modelagem, a margem de estabilidade e a sensibilidade ao ruído do sensor dependem apenas de Isto significa que determina as características da malha de retroação e que G e2 afeta a função de transferência entre o sinal de referência e o sinal de saída do sistema. Ao se projetarem sistemas de controle PlD a dois graus de liberdade (ou ao se ajustarem as ações de controle P, I e D em sistemas de controle PlD a dois graus de liberdade), deve-se primeiramente melhorar as características de retroação por meio de Gel e, em seguida, melhorar as características a malha fechada entre o sinal de referência e o sinal de saída do sistema. Ê uma vantagem dos sistemas de controle a dois graus de liberdade o fato de se poder ajustar as características de retroação e de malha fechada independentemente uma da outra. Toda a análise nesta seção foi feita utilizando-se o sistema de controle a dois graus de liberdade mostrado na Fig. 1020. Naturalmente, toda a análise aqui apresentada pode ser aplicada aos sistemas de controle a um grau de liberdade, admitindo-se G e2 igual a zero. Requisitos de projeto robusto em termos de de Bode. Ê possível estabelecer condições sobre os diagramas de Bode relativos à função de transferência a malha aberta de modo a satisfazer condições impostas sobre sensibilidade, erros estacionários e ruído de sensores. O requisito de se ter S(jm) pequeno na região de baixas freqüências especifica o limitante mínimo no ganho de baixas freqüências e o requisito sobre uma baixa sensibilidade do sensor ao ruído [T(jm) ser pequeno] coloca um limitante superior sobre o ganho nas altas freqüências. Um diagrama de Bode aceitável da função de transferência a malha aberta é mostrado na Fig. 10-22. A freqüência de cruzamento de ganho deve estar localizada nas proximidades da banda passante requerida e a inclinação da curva de magnitude na freqüência de cruzamento de ganho deve ser de - 20 dB/década. 560 Capítulo 10 / Controle PlD e Introdução ao Controle Robusto dB Fig. 10-22 Requisitos no diagrama de Bode para um projeto robusto. Comentários conclusivos. As idéias de se avaliar o desempenho do sistema com base nas funções de sensibilidade S(jm) e de sensibilidade complementar TUm) foram desenvolvidas durante meados de 1970 e final de 1980. Tais desenvolvimentos deram aos antigos métodos de resposta de freqüência uma nova cara moderna. Avanços recentes em controle de H-infinito, controle robusto e similares baseiam-se na abordagem de resposta de freqüência. PROBLEMAS ILUSTR A-lO-1. TIOS E SOLUÇÕES Descrever sucintamente as características de um controlador PI, de um controlador PD e de um controlador PlD. Solução. O controlador PI é caracterizado pela função de transferência l/Ti e um pólo em s = O. Assim, a característica O controlador PI é um compensador por atraso de fase. Ele possui um zero em s = do controlador PI é ganho infinito na freqüência zero. Isto melhora as características de regime estacionário. Contudo, a inclusão da ação de controle PI no sistema aumenta de uma unidade o tipo do sistema compensado e isto faz com que o sistema compensado seja menos estável e eventualmente se tome instável. Por conseguinte, os valores de KI' e de Ti devem ser escolhidos cuidadosamente de modo a assegurar uma resposta transitória conveniente. Através do projeto adequado do controlador PI, é possível fazer com que a resposta transitória a uma excitação em degrau apresente pequena ou nenhuma ultrapassagem. A velocidade de resposta, contudo, se toma mais lenta. Isto se deve ao fato de que o controlador PI, sendo um filtro passa-baixos, atenua as componentes de altas freqüências do sinal. O controlador PD é uma versão simplificada do compensador por avanço de fase. O controlador PD possui a função de transferência Gc(s), onde O valor de é determinado usualmente para satisfazer o requisito de regime estacionário. A freqüência de corte l/Td é escolhida de tal sorte que o avanço de fase ocorra nas proximidades da freqüência de cruzamento de ganho. Embora a margem de fase possa ser aumentada, a magnitude do compensador continua a aumentar para a região de freqüência 1/T(/ < úJ. (Assim, o controlador PD é um filtro passa-altos.) O aumento continuado de magnitude é indesejável, uma vez que amplifica os ruídos de alta freqüência que podem estar presentes no sistema. Em conseqüência o compensador por avanço de fase é preferível ao controle PD. A compensação por avanço de fase pode prover um avanço de fase suficiente, com um aumento de magnitude na região de altas freqüências muito menor do que no controle PD. Como a função de transferência do controlador PD envolve um zero e nenhum pólo, não é possível realizá-la eletricamente apenas com elementos passivos RLC. A realização do controlador PD utilizando-se amplificadores operacionais, resistores e capacitores é possível, mas, em virtude de o controlador PD ser um filtro passa-altos, conforme mencionado anteriormente, o processo de derivação envolvido pode gerar, em alguns casos, sérios problemas de ruídos. Contudo, não há problemas quando o controlador PD é implementado através de elementos hidráulicos e pneumáticos. O controle PD, como no caso do compensador por avanço de fase, melhora as características da resposta transitória, melhora a estabilidade do sistema e aumenta sua banda passante, o que acarreta tempo de subida rápido. O controlador PlD é uma combinação dos controladores PI e PD. É um compensador de atraso e avanço de fase. Observe-se que as ações de controle PI e PD ocorrem em diferentes regiões de freqüência. A ação de controle PI ocorre na região de baixas freqüências e a ação de controle PD na de altas freqüências. O controlador PlD pode ser usado quando o sistema requer melhorias de desempenho em ambos os regimes transitório e estacionário. A-1O-2. Traçar os diagramas de Bode de um controlador PlD dado por Gc(s) = 2,2 Problemas Ilustrativos e Soluções + 2 s 0,2s 561 40~~------~------~--------------~ 0,1 0,2 0,4 2 4 wemrad/s lO 20 40 Fig. 10-23 Diagramas de Bode (amplitude e fase) de um 100 controlador PlD dado porGJs) = 2(0,1s + l)(s + Solução. A função de transferência do controlador Gc(s), pode ser escrita como -.. ( ) _ Cc s - 2 (O,ls + l)(s + 1) s A Fig. 10-23 mostra os diagramas de Bode (magnitude e fase) do controlador PlD dado. A-1O-3. Mostrar que a função de transferência U(s)/E(s) do controlador PlD mostrado na Fig. 10-24 é Admita-se que o ganho K seja muito grande em comparação com a unidade, ou seja, K?> 1. Solução. K E(s) +K(~~_1_) K() 1 + 1 + T 2s K KO(1 _1_)(1 TIS Ko(1 T + [1 1s E(s) T2 s) + T2 ) T1 1 TI T,s T 1 + T2 1 U(s) Fig. 10-24 Controlador PlD. 562 Capítulo 10 / Controle PlD e Introdução ao Controle Robusto l)/s. A-IO-4. Considere-se o circuito eletrônico envolvendo dois amplificadores operacionais mostrados na Fig. 10-25. Este é um controlador PIO modificado no sentido de que a função de transferência envolve um integrador e um termo com dinâmica de primeira ordem. Obter a função de transferência deste controlador PIO. Solução. Como e tem-se E(s) (R 2 C 2 + 1) (R l Cjs 1) R~ + RjR"Cjs) C2 s(R 1 + EJs) Além disso, Eo(s) = E(s) R5 R4 Conseqüentemente, E(s) E(s) Ei(s) R 4 (R j + R,,)C2 R:Cj)(S + R:C2 ) Observe-se que RI C 1 e R2 C2 determinam a localização dos zeros do controlador enquanto R3 afeta a localização do pólo sobre o eixo real negativo. RIR4 ajusta o ganho do controlador. A-lO-S. É impossível, na prática, realizar uma derivação verdadeira. Assim, sempre temos que aproximar o derivador verdadeiro Tds por algo como Uma forma de realizar uma tal aproximação do derivador consiste em se utilizar um integrador no percurso de integração. Mostrar que a função de transferência a malha fechada do sistema mostrado na Fig. 10-26 é dada pela expressão precedente. (Em derivadores disponíveis comercialmente, o valor de 'Y pode ser ajustado em 0,1.) Fig. 10-25 Controlador PIO modificado. Problemas Ilustrativos e Soluções 563 C(s) Fig. 10-26 Derivador aproximado. Solução. A função de transferência a malha fechada do sistema mostrado na Fig. 10-26 é C(s) _ __'Y'------_ 1 R(s) +-'YTd S Note-se que um tal derivador com um elemento dinâmico de primeira ordem reduz a banda passante do sistema de controle a malha fechada e atenua o efeito prejudicial do ruído. A-10-6. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 10-27. Trata-se do controle PlD de um processo a controlar de segunda ordem G(s). Admitase que perturbações D(s) atuem sobre o sistema conforme assinalado no diagrama. Supõe-se que o sinal de referência seja normalmente mantido constante e que as características da resposta a perturbações sejam considerações muito importantes neste sistema. Projetar um sistema de controle tal que a resposta a uma perturbação em degrau unitário seja atenuada rapidamente( em 2 ou 3s em termos de um tempo de acomodação a 2%). Escolher a configuração dos pólos a malha fechada tal que haja um par de pólos dominantes a malha fechada. Obter, em seguida, a resposta a uma perturbação em degrau unitário. Obter também a resposta a um sinal de referência em degrau unitário. D(s) ~K(ac'+(:(bH() ~ Controlador PlD C(s) Processo a controlar C(s) Fig. 10-27 Sistema controlado com PlD. Solução. O controlador PlD possui a função de transferência s Para uma perturbação na ausência do sinal de referência, a função de transferência a malha fechada se torna s 3,6s + 9) + K(as s 1)(bs + 1) (10-12) K As especificações requerem que a resposta a uma perturbação em degrau unitário seja tal que o tempo de acomodação seja de 2 a 3s e que o sistema possua um amortecimento razoável. Pode-se interpretar a especificação como ~ = 0,5 e 0)" = 4 rad/s para os pólos a malha fechada dominantes. Pode-se escolher o terceiro pólo em s = - IOde modo que o efeito deste pólo real sobre a resposta seja pequeno. Em conseqüência, a equação característica desejada pode ser escrita como (s (5 10)(5 2 4s + 16) = 14s 2 + 56s + 160 53 A equação característica do sistema dado pela Eq. (10-12) é (3,6 + Kab)s2 (9 Kb)s + K Ka Assim, se requer 3,6 + Kab 9 + Ka Kb K 564 Capítulo 10 / Controle PlD e Introdução ao Controle Robusto = 14 56 160 = O conduzindo a ab = 0,065, a b = 0,29375 o controlador PlD se torna agora 5 160( 0,0655 2 1) 5 10,4(5 2 + 4,51925 + 15,385) 5 Com este controlador PlD, a resposta a perturbações é dada por (5) Obviamente, para uma perturbação em degrau unitário, o valor do sinal de saída em regime estacionário é zero, uma vez que ° A resposta a uma perturbação em degrau unitário pode ser obtida facilmente com o MATLAB. O Programa MATLAB 10-2 gera a curva de resposta mostrada na Fig. 1O-28(a). A partir da curva de resposta se observa que o tempo de acomodação é de aproximadamente 2,7s. A resposta é atenuada rapidamente. Por conseguinte, o sistema projetado aqui é satisfatório. Programa MATLAB 10-2 %*****Resposta a uma perturbação em degrau unitário***** numd = [O O 1 O]; dend [1 14 56 160]; t = 0:0.01 :5; [c1 ,xl ,t] = step(numd, dend, t); plot(t,cl ) grid title('Resposta a uma Perturbação em Degrau Unitário') xlabel(/t s') ylabel('Resposta a uma Perturbação em Degrau Unitário') %*****Resposta a uma excitação em degrau unitário***** numr = [O 10.4 47 160]; denr=[l 14 56 160]; [c2,x2,t] = step(numr, denr, t); plot(t c2) grid title('Resposta a uma Excitação em Degrau Unitário') xlabel( 't s') ylabeWResposta a uma Excitação em Degrau Unitário') Para o sinal de referência r (t), a função de transferência é C(5) R(5) Problemas Ilustrativos e Soluções 565 Resposta a uma excitação em degrau unitário Resposta a uma perturbação em degrau unitário 14 c 1,2 x 10-3 12 1,0 c Ic:l '->" c:l -2;:l 1:: " 10 i3 'u>< E c:l E ;:l ;:l 6 c:l c:l c:l c:l :::2 ~ 4 i)l O) Observe-se que a ação de controle derivativa realiza a derivada do sinal e amplifica os efeitos de ruído. O pólo em s = lia acrescentado ao termo de ação derivativa, suaviza variações rápidas na saída do derivador. S B-1O-3. Considere-se o sistema de controle mostrado na Fig. 10-36. Utilizando as regras de sintonia de Ziegler-Nichols, determinar os valores de KI" Ti e Td • Deseja-se que o valor de ultrapassagem máxima da resposta ao degrau unitário seja de 25%. Obter o gráfico da resposta ao degrau unitário do sistema projetado, com o auxílio do MATLAB. Se o valor máximo de ultrapassagem for superior a 25%, efetuar ajuste fino nos valores dos parâmetros Kp, Ti e T" de sorte a obter um valor máximo de ultrapassagem de 25%. B-IO-4. Considere-se o sistema de controle mostrado na Fig. 10-37. Utilizando as regras de sintonia de Ziegler-Nichols, determinar os valores de Kp, Ti e ~I. Obter a resposta ao degrau unitário do sistema projetado. Efetuar ajuste fino nos valores dos parâmetros Kp, Ti e Td de sorte a obter um valor máximo de ultrapassagem de aproximadamente 15%. B-IO-5. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 10-38. Admita-se que perturbações D(s) agem sobre o sistema conforme mostrado no diagrama. Determinar os parâmetros K, a e b tais que a resposta a uma perturbação em degrau unitário satisfaça as seguintes especificações: a resposta a uma perturbação em degrau deve ser atenuada rapidamente (2 s como tempo de acomodação a 2o/q), e a resposta a uma excitação em EoCs) Fig. 10-35 Controlador PlD eletrônico. Fig. 10-36 Sistema controlado com PlD. Fig. 10-37 Sistema controlado com PlD. Problemas 571 D(s) K(as + I)(bs + C(s) 2(s + 2) 1) (.1'+ 1)(.1'+ 10) Fig. 10-38 Sistema de controle. degrau unitário apresente um valor máximo de ultrapassagem de 20% ou menos e um tempo de acomodação de 2 s. B-1O-6. Mostrar que o sistema com um controlador PIO mostrado na 1O-39(a) é equivalente a um sistema controlado por um I-PD com um controle com ação à frente mostrado na Fig. 1O-39(b). B-IO-7. Considerem-se os sistemas mostrados nas Figs. 1O-40(a) e (b). O sistema mostrado na Fig. 1O-40(a) é o sistema projetado no Exemplo 10-1. A resposta a uma excitação em degrau unitário na ausência de perturbação é mostrada na Fig. 10-11. O sistema mostrado na Fig. 10-40(b) é um sistema com controle I-PD utilizando os mesmos valores de Kp, Ti e Td do sistema mostrado na Fig. 1O-40(a). C(s) (a) R(s) C(s) Fig. 10-39 (a) Sistema controlado com PIO; (b) sistema controlado com I-PD e controle por ação à frente. (b) D(s) C(s) 39.42 (1 + _1_ + 0.7692.1') 3.077s ses + I)(s + 5) Controlador PlD (a) D(s) C(s) s(s+ 1)(.1'+5) (h) 572 Capítulo 10 / Controle PlD e Introdução ao Controle Robusto Fig. 10-40 (a) Sistema controlado com PIO; (b) sistema controlado com I-PD. Obter a resposta do sistema com controle I-PD a uma excitação em degrau unitário, com o auxílio do MATLAB. Comparar as curvas de resposta ao degrau unitário dos dois sistemas. B-I0-8. Referindo-se ao Problema B-1O-7, obter a resposta do sistema controlado com PlD mostrado na Fig. 1O-40(a) a uma perturbação em degrau unitário. Mostrar que as respostas a perturbações do sistema controlado por um PlD mostrado na Fig. 1O-40(a) e do sistema controlado por um 1PD mostrado na Fig. I 0-40(b) são exatamente iguais. [Ao se considerar a resposta a uma perturbação D(s), admitir que o sinal R(s) seja nulo.] B-I0-9. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 10-41. Este sistema é submetido a três sinais de entrada: referência, perturbação e ruído. Mostrar que a equação característica deste sistema é a mesma, seja qual for o sinal de entrada que se considere. B-I0-1O. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 10-42. Mostrar que, por meio de uma escolha conveniente da função de transferência Gj(s), é possível transformar a função de transferência a malha fechada C(s)/ R(s) em valor aproximadamente unitário. B-lO-11. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 10-43. Obter a função de transferência a malha fechada C(s)/R(s) para o sinal de excitação e a função de transferência a malha fechada C(s)/D(s) a uma perturbação D(s). Ao se considerar o sinal R(s), supor D(s) nulo e vice-versa. B-I0-12. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 10-44(a), onde K é um ganho de valor ajustável e G(s) e H(s) são componentes fixos. A função de transferência a malha fechada para a perturbação é D(s) 1 + KG(s)H(s) Perturbação D(s) R(s) C(s) Fig. 10-41 Sistema de controle. C(s) Fig. 10-42 Sistema de controle. C(s) Fig. 10-43 Sistema de controle. D(s) C(s) C(s) (a) D(s) (b) Fig. 10-44 (a) Sistema de controle com perturbação agindo no percurso direto; (b) sistema de controle com perturbação agindo no percurso de retroação. Problemas 573 A fim de minimizar o efeito das perturbações, o valor do ganho K ajustável é o maior possível. Isto também é verdade para o sistema da Fig. 1O-44(b)? B-IO-13. Considere-se o sistema mostrado na Fig. 10-45. Se a perturbação D puder ser detectada, ela pode ser processada pela função de transferência G 3 e adicionada ao percurso direto entre o amplificador G, e o processo a controlar G2 , como é mostrado na Fig. 10-45. Determinar uma função de transferência G3 adequada à redução do efeito desta perturbação D em regime permanente. O que limitará a presente abordagem de redução de efeitos desta perturbação? B-1O-14. A Fig. 1O-46(a) mostra o controle I-PD da velocidade de um motor de corrente contínua. Admitindo-se que o sinal de referência seja nulo, ou seja, Dr(s) = 0, obter a função de transferência a malha fechada para a perturbação D(s), ou seja, Dc(s)/D(s). Mostrar, em seguida, que o diagrama de blocos da Fig. 10-44(a) pode ser transformado no diagrama de blocos mostrado na Fig. 1O-46(b). Observe-se que há um D c Fig. 10-45 Sistema de controle. D(s) (a) D(s) (b) Fig. 10-46 (a) Controle I-PD da velocidade de um motor de corrente contínua; (b) diagrama de blocos modificado. 574 Capítulo 10 / Controle PlD e Introdução ao Controle Robusto percurso de controle com ação à frente para a perturbação D(s). (No diagrama, Kb é a constante de força contra-eletromotriz.) B-IO-IS. Mostrar que os sistemas de controle esboçados nas Figs. IO-47(a), (b) e (c) são sistemas a dois graus de liberdade. B-1O-16. Mostrar que o sistema de controle apresentado na Fig. 10-48 é um sistema a três graus de liberdade. As funções de transferência Ge2 e Gc3 são controladores. O processo a controlar consiste nas funções de transferência G] e G 2• D(s) Y(s) R(s) N(s) (a) R(s) N(s) (b) D(s) Y(s) R(s) N(s) (c) Fig. 10-47 (a), (b ), (c) Sistemas a dois graus de liberdade. Y(s) R(s) N(s) Fig. 10-48 Sistema a três graus de liberdade. Problemas 575 Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados 11-1 INTRODUÇÃO* Os sistemas complexos modernos podem possuir muitas entradas e muitas saídas, e estes acessos podem estar inter-relacionados de uma forma complicada. Para analisar tais sistemas, é essencial reduzir a complexidade das expressões matemáticas, bem como recorrer aos computadores para a maioria das tarefas tediosas de cálculo necessárias à análise. O enfoque de variáveis de estado para a análise de sistemas é o melhor, deste ponto de vista. Enquanto a teoria de controle convencional se baseia nas relações entrada-saída, ou seja, na função de transferência, a teoria modema de controle se fundamenta na descrição por meio de um sistema de n equações diferenciais de primeira ordem que podem ser combinadas numa equação diferencial vetor-matricial de primeira ordem. O uso da notação vetor-matricial simplifica grandemente a representação matemática de sistemas de equações. O aumento do número de variáveis de estado, do número de variáveis de entrada ou do número de variáveis de saída não aumenta a complexidade das equações. Na realidade, a análise de sistemas complicados de entradas e de saídas múltiplas pode ser conduzida através de procedimentos que são apenas ligeiramente mais complicados que os requeridos na análise de sistemas de equações diferenciais de primeira ordem escalares. Este capítulo e os dois seguintes tratam da análise e do projeto de sistemas de controle no espaço de estados. Tópicos básicos da análise no espaço de estados, incluindo a representação de sistemas no espaço de estados, controlabilidade e observabilidade, são apresentados neste capítulo. No Cap. 12 apresentam-se métodos de projeto baseados no controle por retroação de estado. No Cap. 13 são tratados a análise de estabilidade segundo Liapunov e o controle ótimo quadrático. Escopo do capítulo. A Seção 11-1 apresentou uma introdução à análise de sistemas de controle no espaço de estados e um resumo antecipado dos capítulos restantes deste livro. A Seção 11-2 cuida da representação de funções de transferência no espaço de estados. Neste ponto são apresentadas diversas formas canónicas das equações no espaço de estados. A Seção 11-3 discute a transformação de modelos de sistemas (tais como a conversão de função de transferência em equações no espaço de estados e vice-versa) com o uso do MATLAB. A Seção 11-4 apresenta a solução das equações de estado no caso invariante no tempo. A Seção 11-5 fornece alguns resultados úteis na análise matricial necessários ao se estudar a análise de sistemas de controle no espaço de estados. A Seção 11-6 discute a controlabilidade de sistemas e a Seção 11-7 trata da observabilidade de sistemas de controle. 11 REPRESENTAÇÃO DE ESTADOS FUNÇÕES ESPAÇO Dispõe-se de muitas técnicas para obter representações de função de transferência no espaço de estados. No Cap. 3 foram apresentados alguns destes métodos. Esta seção cuida de representações no espaço de estados sob as formas controlável, observável, diagonal e canónica de Jordan. (São discutidos nos Problemas A-ll-l a A-11-5 métodos para se obterem estas representações a partir de funções de transferência.) *Observe-se que, neste livro, um asterisco usado como sobrescrito de uma matriz, como em A*. indica tratar-se da matriz transposta conjugada de A. A transposta conjugada é a conjugada da transposta de uma matriz. No caso de uma matriz real (matriz cujos elementos são todos reais), a transposta A* é igual à transposta AT. 576 Representação no espaço de estados sob formas canônicas. (n) (n-l) Y +aj Y (n) . (n-I) + ... +an-Iy+any=bou +b l U Considere-se um sistema definido por + ... +bn-Iü+bnu (11-1) onde u é a excitação e y, a resposta. Esta equação pode ser escrita como Y(s) U(s) bos ll + bls n - I + ... + bn-Is + brz s/1 + I (11-2) + ... + an-Is + an No que se segue serão apresentadas representações do sistema definido pelas Eqs. (11-1) e (11-2) sob as formas canónicas controlável, observável e diagonal (ou forma canónica de Jordan). Forma canônica controlável. A seguinte representação no espaço de estados é chamada de forma canónica controlável: o O 1 O O O O 1 O O XI X2 + O O O 1 Xn--I -aI Xn (11-3) u O 1 XI X2 b l - albo] (1 + bou xn A forma canónica controlável é importante ao se discutir a abordagem de projeto de sistemas de controle por meio da alocação de pólos. [A dedução das Eqs. (11-3) e (11-4) a partir das Eqs. (11-1) e (11-2) é apresentada no Problema A-II-l.] Forma canônica observável. A seguinte representação no espaço de estados é chamada forma canónica observável: O 1 O O O O -a n bn - anbo b n - l - an-Ib o -an-I + X,1 O 1 O h Xn -aI U (11-5) albo XI X2 Y = [O O O + bou 1] (11-6) X/l-I XII Note-se que a matriz de estados n X n da equação de estados fornecida pela Eq. (11-5) é a transposta da equação de estados definida pela Eq. (11-3). Seção 11-2 / Representação de Funções de Transferência no Espaço de Estados 577 Forma canónica diagonal. Considere-se a função de transferência de um sistema definida através da Eq. (11-2). Será considerado aqui o caso em que o polinômio em denominador envolve somente raízes distintas. Para o caso de raízes distintas, a Eq. 01-2) pode ser escrita como bos n + bls ll - I + ... + bn - 1 s + b n (s + PI)(S + P2) ... (s Pn) Y(s) U(s) (11-7) CI ~ ~ = bo + - - + ---+ .. . + - s + PI S + P2 S + Pn A forma canônica diagonal de representação no espaço de estados deste sistema é dada por o 1 1 XI X2 + u (11-8) 1 Xn -Pn XI X2 crJ + bou (lI Xn Forma canónica de Jordan. Será considerado a seguir o caso em que o polinômio no denominador da (l envolve raízes múltiplas. Para este caso deve-se modificar a forma canônica diagonal transformando-a na forma canônica de Jordan. Admita-se, por exemplo, que todos os valores Pi sejam diferentes entre si, com exceção dos três primeiros, que são iguais, isto é, PI = P7. = P3' Então a forma fatorada de Y( s)/U( s) se torna Y(s) U(s) A expansão desta última equação em frações parciais se torna U(s) = bo + (s + PI? + . + (s + pd 2 S + PI s + P4 + ... + _c_n_ S + Pn Uma representação deste sistema no espaço de estados sob a forma canônica de Jordan é dada por XI X2 X3 X4 -PI O O O 1 -PI O O 1 O O XI -PI O O O O X2 X3 X4 -P4 + O O 1 1 u (11- O O O -Pn 1 y ( 1-11) Xn 578 Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados EXEMPLO 11-1 Considere-se o sistema dado por Y(s) U(s) 2 Obter representações no espaço de estados sob as formas canónicas controlável, observável e diagonal. Forma canónica controlável: y(t) = [3 Forma canónica observável: Forma canónica diagonal: y(t) Autovalores de uma matriz A n x n. Os autovalores de uma matriz A n X n são as raízes da equação caracte- rística IAI - AI O Os autovalores são também chamados de raízes características. Considere-se, por exemplo, a seguinte matriz A: r~ A = ~ ~J -6 -11 -6 A equação característica é IAI - AI A -1 O A 6 11 3 = A O 1 A+ 6 2 + 6A + lIA + 6 = (A + l)(A + 2)(A + 3) = O Os autovalores de A são as raízes da equação característica, ou seja, -1, -2 e -3. Diagonalização de matrizes n x n. Note-se que se uma matriz A n X n com autovalores distintos é dada por Seção 11-2 / Representação de Funções de Transferência no Espaço de Estados 579 o 1 O O O O O 1 A= (11-12) 1 O O O -a n -an-l -a n-2 -aI a transformação x = Pz, onde 1 1 1 AI A2 Ar A~ An A~ P= A1- 1 A A~-l AI' A2' ... , A/1 = n autovalores de A distintos transformará P-IAP em uma matriz diagonal, ou O O Se a matriz A definida pela Eq. (11-12) envolver autovalores múltiplos, então a diagonalização se torna impossível. Por exemplo, se a matriz A 3 X 3, onde tem os autovalores AI' A2' A3' então a transformação x = Sz, onde S [ ~1 Ar ~3 l O 1 A:32 2A 1 fornecerá S--lAS ~J 1 [Ai = ~ AI O Esta é a chamada forma canónica de Jordan. EXEMPLO 11-2 Considere-se a seguinte representação de um sistema no espaço de estados [;~J [~ ~ ~J [;~J [~J + x, 580 Capítulo 11 I -6 -11 -6 x, Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados 6 li (11-13) (11-14) As Eqs. (11-13) e (11-14) podem ser colocadas, sob forma padronizada, como X Ax y Bu (11-15) (11-16) Cx onde ~], B=m C = [1 O OJ -6 Os autova1ores da matriz A são A1 -1, = A2 -2, = Assim, os três autovalores são distintos. Definindo-se um novo conjunto de variáveis de estado ZI' [~~J [-~ -2 4 1 X1 Z2 e Z3 por meio da transformação -~J [;~J 9 Z1 ou seja, (l1-17) x = pz onde ~3J [-~ = A~ -2 (11-18) 4 1 então, substituindo-se a Eq. (11-17) na Eq. (l1-15), obtém-se Pi = APz Bu Multiplicando-se, à esquerda, ambos os membros desta última equação por P -I tem-se (11-19) n ou seja, Z2 _[_33 Z3 1 - 2,5 -4 1,5 O,5jf -1 0,5 2,5 [3 + -~ -4 1,5 ° ° ~J[- ~ O 1 -6 -11 -6 1 -2 4 -mn O'~WJu 0,5 6 Simplificando-se, vem (l1-20) A Eq. (11-20) é também uma equação de estado que descreve o mesmo sistema definido pela Eq. (11-13). A equação de saída, Eq. (11-16), é modificada para y == Cpz Seção 11-2 / Representação de Funções de Transferência no Espaço de Estados 581 ou seja, O [1 y = 1 OlH -m;:] -2 4 1lH [1 01-21) Observe-se que a matriz P de transformação, definida pela Eq. (11-18), transforma a matriz de coeficientes de z numa matriz diagonal. Como se observa claramente a partir da Eq. (11-20), as três equações de estado escalares são desacopladas. Observe-se, também, que os elementos na diagonal da matriz P-1AP na Eq. (11-19) são idênticos aos três autovalores de A. É muito importante constatar que os autovalores de A e os de P-1AP são idênticos. Isto será provado a seguir para um caso geral. Invariância de autovalores. Para provar a invariância dos autovalores sob uma transformação linear, deve-se mostrar e III - p-IAPI são idênticos. que os polinômios característicos IAI Como o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes das matrizes, obtém-se IAP-Ip - p-IAPI Ip-I(AI A)pl Ip-IIIAI - Allpl I II pII AI - AI e Observando que o produto dos determinantes Ipl é o determinante do produto Ip-Ipl, obtém-se IIAI - A IAI - AI Ficou provado, portanto, que os auto valores de A são invariantes sob uma transformação linear. Não-unicidade do conjunto de variáveis de estado. Foi dito que um conjunto de variáveis de estado não é único para um dado sistema. Suponha-se que Xl' X 2, ••• , x n são um conjunto de variáveis de estado. Então é possível considerar como outro conjunto de variáveis de estado qualquer conjunto de funções Xl = XI (Xl, X2, " X2 = X 2 (XI, . ,Xn ) X2, Xn) x contanto que, para cada conjunto de valores Xl' X2 , ••• , n corresponda um único conjunto de valores Xl' versa. Portanto, se x for um vetor de estado, então x, onde x= X 2, ... , XII e vice- Px também é um vetor de estado, contanto que P seja não-singular. Diferentes vetores de estado fornecem a mesma informação sobre o comportamento do sistema. 11 TRANSFORMAÇÃO DE MODELOS DE UM SISTEMA COM MATLAB Nesta seção será considerada a transformação de um modelo de sistema sob a forma de função de transferência para um modelo representado no espaço de estados. 582 Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados Seja escrever a função de transferência a malha fechada sob a forma Y(s) polinómio em s no numerador polinómio em s no denominador U(s) num den U ma vez que se disponha desta expressão da função de transferência, o comando do MA TLAB [A, S, C, Dl=tf2ss(num.den) fornecerá uma representação no espaço de estados. É importante notar que a representação de um dado sistema no espaço de estados não é única. Há inúmeras representações (um número infinito delas) para um mesmo sistema. O comando do MA TLAB fornece uma dessas possíveis representações no espaço de estados. Formulação no espaço de estados de funções de transferência de sistemas. Considere-se a função de transferência de sistema s U(5) (5 + 10)(52 + 45 + 16) (11-22) s + 565 + 160 Há muitas (um número infinito) de possíveis representações deste sistema no espaço de estados. Uma representação possível deste sistema é Uma outra representação possível no espaço de estados (dentre inúmeras) é [~l] X2 X3 [-14 1 O -56 -160] O O 1 O [Xl] [1] X2 + O X3 O U (11 (11 O MATLAB transforma a função de transferência dada pela Eq. (11-22) em representações no espaço de estados dadas pelas Eqs. (11-23) e (11-24). Pelo sistema do exemplo considerado aqui, o programa MATLAB 11-1 produzirá as matrizes B, C eD. Transformação de representação no espaço de estados em função de transferência. Para se obter a função de transferência a partir das equações no espaço de estados usa-se o seguinte comando: [num,den] = ss2tf(A,S,C,D,iu) para sistemas com mais de um sinal de entrada deve-se especificar o valor de iu. Por exemplo, se o sistema possuir três entradas (uI, u2 e u3), então iu será 1,2 ou 3, conforme se esteja referindo, respectivamente, a uI, ou a u2 ou a u3. Se o sistema possuir somente uma entrada, então se pode utilizar Seção 11-3 / Transformação de Modelos de um Sistema com MATLAB 583 Programa MATLAB 11-1 num = [O den = [1 [A,B/C/O] O]; O 14 56 1601; = tf2ss(num/den) A= 14 -56 -160 1 O O 1 O O B= 1 O O C= O O 0= O [num/den] = ss2tf (A/B/C/D) ou [num/den] = ss2tf (A,B,C,D, 1) podem ser usadas. (Ver Exemplo 11-3 e o Programa MATLAB 11-2.) Para o caso em que o sistema possui múltiplas entradas e múltiplas saídas, ver o Exemplo 11-4. EXEMPLO 11-3 Obter a função de transferência do sistema definido pelas seguintes equações de estado: [~:] X3 Y = [ ~ 1 O -5,008 -25,1026 [ 25~04 ] u -121,005 Xl] [ [I O O]:: O Programa MATLAB 11-2 produzirá a função de transferência do sistema dado. A função de transferência obtida é dada por U(5) 25,045 + 5,008 53 + 5,03255 2 + 25,10265 5,008 Programa MATLAB 11-2 A = [O 1 0;0 O 1;-5.008 B = [0;25.04; -121.005]; C = [1 O 01; O [O]; [num/den] = ss2tf(A,B/C/O) -25.1026 -5.03247]; -0.0000 25.0400 5.0080 5.0325 25.1026 5.0080 num = O den = 1.0000 %*****0 mesmo resultado pode ser obtido entrando-se com o seguinte comando***** [num/den] num = O den = 1.0000 584 Capítulo 11 / = ss2tf(A,B,C/O,1) -0.0000 25.0400 5.0080 5.0325 25.1026 5.0080 Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados EXEMPLO 11-4 Considere-se um sistema de múltiplas entradas e múltiplas saídas. Quando o sistema possuir mais de uma entrada, o comando [NUM,den] = ss2tf(A,B,C,D,iu) produz funções de transferência relacionando todas as saídas com cada uma das entradas. (Os coeficientes do numerador são obtidos como saída da matriz NUM com tantas linhas quantas são as saídas.) Considere-se o sistema definido por Este sistema envolve duas entradas e duas saídas. São envolvidas quatro f~nções de transferência: f l ( s)lUJs), fi s)lUJ s), f l ( s)lUi s) e fi s )lUis). (Quando se considera o sinal de entrada UI' admite-se que o sinal de entrada U 2 é nulo e vice-versa.) Ver a seguinte saída em MATLAB. A = [O 1; -25 -4]; B=[1 1;01]; C=[l 0;0 lJ; D = [O O; O O]; [NUM,denJ = ss2tf(A,B,C,D,l) NUM O 1 O O 4 -25 4 25 den [NUM,den] = ss2tf(A,B,C,D,2) NUM O O 5.0000 -25.0000 1.0000 1.0000 den = 4 25 Esta é a representação em MA TLAB das seguintes quatro funções de transferência: 4 U 1 (s) Y j (s) U2 (s) -25 4s + 25 Uj(s) s + 5 4s + 25 Y 2 (s) U2 (s) = s - 25 25 11-4 SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE ESTADO DE SISTEMAS INVARIANTES NO TEMPO Nesta seção, será obtida a solução geral das equações de estado lineares e invariantes no tempo. Será considerado, inicialmente, o caso homogéneo e, em seguida, o caso não-homogéneo. Solução das equações de estado homogêneas. Antes de resolver as equações diferenciais sob forma vetoriaI-matricial, considere-se a revisão da solução da equação diferencial escalar. x = ax (11-25) Ao se resolver esta equação, pode-se admitir a solução x(t) sob a forma ( 11-26) Seção 11-4 / Solução das Equações de Estado de Sistemas Invariantes no Tempo 585 Substituindo-se esta solução proposta na Eq. 01-25), obtém-se b j + 2b 2t + 3b 3t 2 + ... + kbkt k- 1 + = a(b o + bIt + b 2t 2 + ... + bkt k + ... ) (11-27) Para que a solução presumida seja a solução verdadeira, a Eq. (11-27) deve ser verificada para qualquer valor de t. Assim, igualando-se os coeficientes de iguais potências de t, obtém-se b 1 = abo _ 1 _ 1 2 b2 - 2. ab 1 - "2 a b o bk _ 1 k k! a bo - O valor de b() é determinado substituindo-se t = O na Eq. (11-26), ou seja, x(O) = b o Assim, a solução x(t) pode ser escrita como x(t) ( 1 + at + ~a2t2 + + ~aktk + ... ) x(O) 2! k! eatx(O) Será resolvida agora a equação vetorial-matricial x = Ax (11-28) onde x = vetor n-dimensional A = matriz n X n Por analogia com o caso escalar, admite-se que a solução esteja na forma vetorial de uma série de potências em t, ou seja, (11-29) x(t) = Substituindo-se esta solução proposta na Eq. (11-28) tem-se b1 + 2b 2 t + 3b 3t 2 + ... + kbkt k - 1 + .. . A(b o b 1t + + ... + kbkt k ... ) (11-30) Para que a solução proposta seja verdadeira, a Eq. (11-30) deve ser válida para qualquer valor de t. Assim, igualando-se os coeficientes de mesma potência em t de ambos os membros da Eq. (11-30), resulta 1 2 1 3 = -Ab l 586 1 3 X2 Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados Substituindo-se t = O na Eq. (11-29), obtém-se x(O) = b o Assim, a solução x(t) pode ser escrita como x(t) = (I + At + ~A2t2 + ... + 1 k! 2! + ... ) x(O) A expressão entre parênteses, no segundo membro desta última igualdade, cOlTesponde a uma matriz n X n. Em virtude de sua similaridade de forma com a série de potências da exponencial escalar, é chamada de exponencial matricial e se escreve 1 kk I + At + -1 A 22 t + .. . + - A t + ... = k! 2! Em termos da exponencial matricial, a solução da Eq. (11-28) pode ser escrita como (11-31) Como a exponencial matricial é muito importante na análise de sistemas lineares no espaço de estados, suas propriedades serão analisadas a seguir. Exponencial matricial. Pode-se provar que função exponencial matricial de uma matriz A n X n, converge, de forma absoluta, para todos os valores finitos de t. (Em conseqüência, os procedimentos computacionais para o cálculo dos elementos de eM por meio de uma expansão em série podem ser realizados com facilidade.) Em virtude da convergência da série infinita do-se I,:=o Akt k /k!, é possível derivá-la, termo a termo, em relação a t, obten- d A1 e = A + dt ltk~l] A2t2 A I + At + - - + . . . + + . .. = Ae AI [ 2! (k - I)! A exponencial matricial possui a propriedade Isto pode ser provado como a seguir: = Seção 11-4 / eA(l-rS) Solução das Equações de Estado de Sistemas Invariantes no Tempo 587 Em particular, se s - t, então Portanto, a inversa de e Ai é e-Ai. Como a inversa de É importante lembrar que sempre existe, eAi e Ai é não-singular. se AB = BA seAB =I=- BA Para provar isto, observe-se que =I+(A+B)t+~----'-t2+ (A 2! + B)3 3! t3 + ... Assim, eA1e B1 BA =- -AB - 2t BA 2 + ABA + + BAB - 2NB- 2AB 2 3t 3 + ------------------t + A diferença entre elA -'- B)i e eAie Bi se anula quando A e B comutam. Enfoque da transformada de Laplace para a solução das equações de estado homogêneas. Considere- se, inicialmente, o caso escalar: (11 x = ax Aplicando-se a transformada de Laplace à Eq. (11-32), obtém-se sX(s) - x(O) = aX(s) onde X(s) (11-33) ;g [x]. Resolvendo-se a Eq. (11-33) em X(s) tem-se X(s) s - a = (s a)-lx(O) A transformada de Laplace inversa desta última equação fornece x(t) = eU1 x(O) A abordagem precedente para a solução da equação diferencial homogénea escalar pode ser estendida à equação de estado homogénea: x(t) = Ax(t) Aplicando-se a transformada de Laplace a ambos os membros da Eq. (11-34), obtém-se sX(s) onde X(s) x(O) = AX(s) ;g [x]. Portanto, A)X(s) = x(O) 588 Capítulo 11 / Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados (11-34) Multiplicando-se, à esquerda, ambos os membros desta última equação por (sI - A)-I, obtém-se X(s) = A transformada de Laplace inversa de X(s) fornece a solução x(t). Por conseguinte, x(t) = :;g - (11-35) Note-se que I s =-+ (si Assim, a transformada de Laplace inversa de (sI I A +-+ S3 fornece A 2t 2 1] = I + At + - - + 21 31 + ... = (11-36) (A transformada de Laplace inversa de uma matriz é uma matriz formada pelas transformadas de Laplace inversas de cada um de seus elementos.) Com base nas Eqs. (11-35) e (11-36) pode-se obter a solução da Eq. (11-34) sob a forma A importância da Eq. (11-36) reside no fato de que ela propicia um modo conveniente de se obter a solução, sob forma fechada, da exponencial matricial. Matriz de transição de estados. A solução da equação de estado homogénea x= Ax (11-37) x(t) = (t)x(O) (11-38) pode ser escrita como onde (t) é uma matriz n X n e é solução única de (t) = A(t), <1>(0) = I Para verificar isto, observe-se que x(O) = (O)x(O) = x(O) e x(t) = (t)x(O) A(t)x(O) = Ax(t) Fica confirmado, portanto, que a Eq. (11-38) é solução da Eq. (11-37). A partir das Eqs. (11-31), (11-35) e (11-38) obtém-se Note-se que = (-C) Constata-se, com base na Eq. (11-38), que a solução da Eq. (11-37) é simplesmente uma transformação da condição inicial. Assim, a matriz única (t)é chamada de matriz de transição de estados. A matriz de transição de estados contém toda a informação relativa ao comportamento livre do sistema definido por meio da Eq. (11-37). Se os autovalores ÀI' À 2, ... , ÀIi da matriz A forem distintos, (t) conterá n exponenciais Seção 11-4 / Solução das Equações de Estado de Sistemas Invariantes no Tempo 589 Em particular, se a matriz A for diagonal, então o diagonal) o Se houver autovalores múltiplos, por exemplo, se os autovalores de A forem então (t) conterá, além das exponenciais e ÀII , l é· , é , l , ••• , e Ànl , termos como t/'II e eÀII • Propriedades das matrizes de transição de estados. Serão resumidas agora as propriedades importantes da matriz de transição de estados (t). No caso de sistemas invariantes no tempo X Ax para os quais (t) tem-se o seguinte: 1. 2. 3. 4. 5. <1>(0) = eAO = I (t) = e A1 = (e-A1)-1 = r ( -t)l i ou -l(t) = <1>( -t) (tI + (2) = e A (tl+12) = eAlleAI2 = (tl)(t2) (t2) (ti) [(t)ln = (nt) (t2 tl)(tl - to) (t2 to) = (ti - tO)(t2 - ti) EXEMPLO 11-5 Obter a matriz de transição de estados relativa ao seguinte sistema: Obter, também, a inversa da matriz de transição de estados -l(t). Para este sistema, A matriz de transição de estados (t) é obtida a partir de Desde que a inversa de (sI - A) é dada por (sI A)-l = 1 (s + 1)(s 5 (5 [ + 3 + 1)(5 + 2) Capítulo 11 / (5 + 1)(s -2 (5 + 1)(5 590 3 1]s s + 2) [ -2 2) Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados Assim, ~ Observando-se que ( - t), obtém-se a inversa da matriz de transição de estados, a saber: 2er e 2t [ - 2e t + 2e 2t e-- At Solução das equações de estado não-homogêneas. Será considerado inicialmente o caso escalar i ax + bu ~i - ax = bu (l Seja a Eq. (11-39) reescrita como Multiplicando-se ambos os membros desta equação por e-ai, obtém-se [x(t) - ax(t)] = -d dt [e-a1x(t)] = e-albu(t) Integrando-se esta equação entre O e t resulta ou o primeiro termo no segundo membro é a parcela devida à condição inicial e o segundo é a parcela devida ao sinal de entrada u( t). Considere-se agora a equação de estado não-homogénea descrita por X onde x Ax + (1 Bu vetor n-dimensional u = vetor r-dimensional A = matriz n X n B = matriz n X r Escrevendo-se a Eq. (11-40) como x(t) - Ax(t) = Bu(t) e multiplicando-se à esquerda ambos os membros desta equação por e-AI, obtém-se [x(t) - Ax(t)] = -d dt [e-AI x(t)] = e-AIBu(t) Integrando a equação precedente entre O e t resulta - x(O) E ~ e~MBu( r) dr ou x(t) Seção 11-4 / Solução das Equações de Estado de Sistemas Invariantes no Tempo (11-41) 591 A Eq. (11-41) pode também ser escrita como = (t)x(O) + x(t) f(t - r)Bu( r) dr (11-42) onde (t) = eAt • A Eq. (11-41) ou (11-42) é a solução da Eq. (11-40). Torna-se evidente que a solução x(t) é a soma de um termo que consiste na transição do estado inicial com um termo devido ao vetor de entrada. Enfoque da transformada de Laplace para a solução da equação de estado não-homogênea. A solu- ção da equação de estado não-homogénea x= Ax + Bu também pode ser obtida através da abordagem via transformada de Laplace. Aplicando-se a transformada de Laplace a esta última equação vem sX(s) - x(O) = AX(s) + BU(s) ou = x(O) + BU(s) Multiplicando-se à esquerda ambos os membros desta equação por (sI 1, obtém-se X(s) = Usando-se a relação dada pela Eq. (11-36) vem X(s) = ~[eA'Jx(O) + ~[eA'JBU(s) A transformada de Laplace inversa desta última equação pode ser obtida por meio da integral de convolução como a seguir: Solução em função de x(to). Admitiu-se até aqui que o instante inicial era igual a zero. Se, contudo, o instante inicial for to em vez de O, então a solução da Eq. (11-40) deve ser modificada para x(to) + I' eA(t-T)Bu( r) dr t li EXEMPLO 11-6 Obter a resposta temporal do seguinte sistema: onde u(t) é um degrau unitário aplicado em t = 0, ou u(t) = 1 ([) Para este sistema A [0 1] - 2 - 3 ' = A matriz de transição de estados (À) de menor grau, m Seção 11-5 / Alguns Resultados Úteis na Análise Matricial-Vetorial ~ n 593 tal que rjJ(A) = 0, ou seja, 1+ ... + alll - o polinómio mínimo desempenha um importante papel no cálculo de polinómios de matrizes n X n. Admita-se que d(À), um polinómio em À, seja o máximo divisor comum de todos os elementos de adj Podese mostrar que, se o coeficiente do termo de maior grau em À no polinómio deA) for escolhido igual aI, então o polinómio mínimo rjJ(À) é dado por (11-45) [Ver Problema A-11-8 para a dedução da Eq. (lI-45).] Observa-se que o polinómio mínimo (À) de uma matriz A mento: 17 X n pode ser determinado a partir do seguinte procedi- 1. Construir adj (ÀI e escrever os elementos de adj (ÀI como polinómios fatorados em À. 2. Determinar o máximo divisor comum d(À) de todos os elementos de adj (ÀI Escolher o coeficiente de maior grau em À no polinómio d(À) como unitário. Quando não há divisor comum, d(À) = 1. 3. O polinómio mínimo rjJ(À) é dado, então, por IÀI AI dividido por d(À). Exponencial matricial e At • Na solução de problemas de engenharia de controle se torna necessário, freqüentemente, calcular é l • Se a matriz A é dada com todos os seus elementos sob forma numérica, o MATLAB propicia um meio simples de se calcular eAl, onde T é uma constante. Além dos métodos numéricos, dispõe-se de vários métodos analíticos para calcular eM Serão apresentados aqui três desses métodos. Cálculo de e At : Método 1. Se a matriz A puder ser convertida à forma diagonal, então eA1 pode ser obtida a partir de o p-l p e AI = (11-46) o onde P é a matriz diagonalizante de A. [Ver Problema A-II-II para a dedução da Eq. (11-46).] Se a matriz A puder ser transformada nUüúi forma canónica de Jordan, então e A1 pode ser obtida por meio de Como exemplo, considere-se a seguinte matriz A: 1 O -3 ~l A equação característica é IAI - AI (A - 1)3 = O = Portanto, a matriz A possui um autovalor de multiplicidade 3 em À = 1. Pode-se mostrar que a matriz A possui um autovetor de ordem 3. A matriz de transformação que converte a matriz A numa forma canónica de Jordan pode ser dada por O 1 2 594 ~l Capítulo lI/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados A inversa da matriz S é r-~ S-1 o 1 -2 Pode-se ver então que S-lAS = = o r-~ m~ 1 -2 r~ ~] 1 1 o 1 o m! o -3 1 2 ~] = .J Observando-se que J1 e resulta = e r~' tel el ~{2e'l O te l el e A1 r~ ~lr~ O 1 2 r ~t2e'Jr te l el O 2 e' - te' + it e' te el te l e te l + 1 te -3te l - l 1 -1 O 1 -2 (2e l l - ~] 1 2 2 e' lt 21 te + lt 2 e e f + 2te l + ~t2el l 1 Cálculo de e At: Método 2. O segundo método para se calcular eA1 utiliza a abordagem da transformada de Laplace. Com base na Eq. (11-36), resulta para eA1 Assim, para se obter eA1 , inverte-se primeiramente a matriz (sI - A).Isto resulta em uma matriz cujos elementos são funções racionais em s. Aplica-se, então, a transformada de Laplace inversa a cada um dos elementos da matriz. EXEMPLO 11-7 Considere-se a seguinte matriz A: Calcular eA' através dos dois métodos analíticos apresentados anteriormente. Método 1. O, /...2 = -2). Pode-se obter a matriz de transformação necessária P como Os autovalores de A são Oe Obtém-se, então, com base na Eq. (11-46), e/H na forma seguinte: O ][e -2 O 1 Seção 11-5 / O][1 e- 21 O Alguns Resultados Úteis na Análise Matricial-Vetorial 595 Método 2. Como sI A Ilos O]s [OO -21] [sO s -+12] = obtém-se = [~ S(S] 2)1 O s 2 Por conseguinte, Cálculo de e At : Método 3. O terceiro método é baseado na interpolação de Sy lvester. (Ver Problema A -11-12 para a fórmula de interpolação de Sylvester.) Considera-se inicialmente o caso em que as raízes do polinômio mínimo cp(Â) de A são distintas. Trata-se, em seguida, do caso de raízes múltiplas. Caso 1: O Polinómio Mínimo de A Envolve Somente Raízes Distintas. Será admitido que o grau do polinômio mínimo de A é m. Utilizando-se a fórmula de interpolação de Sylvester, é possível mostrar que eA1pode ser obtida através da seguinte equação de determinante: =0 (11-47) Resolvendo-se a Eq. (11-47) em função de é r, obtém-se é1em termos de Ak (k 0,1,2, ... , m .", m). [A Eq. (11-47) pode ser expandida, por exemplo, segundo a última coluna.] Observe-se que resolver a Eq. (11-47) em função de eA1 é o mesmo que escrever + e determinar cxk(t) (k = + ... + + CX m 1) e de eÀ;I (i 1,2,3, (11-48) l 0, 1, 2, ... , m - 1) resolvendo-se um conjunto de rn equações em cxk(t): O' () (t) O'()(t) O' I 0'1 (t»)q (t)A 2 O' 2 (t) AI + 0'2(t)A~ eA",t Se A for uma matriz 11 X 11 com autovalores distintos, então o número de incógnitas cxk(t) a serem determinadas é m 11. Se A envolver autovalores múltiplos mas seu polinômio mínimo possuir somente raízes simples, então o número m de incógnitas a determinar cxk(t) é inferior a n. Caso 2: O Polinómio Mínimo de A Envolve Raízes Múltiplas. Como exemplo, considere-se o caso em que o polinômio mínimo de A envolve três raízes iguais (Â 1 ~ = ~)e possui outras raízes (Â-l' ... , Âm) que são todas distintas. Aplicando-se a fórmula de interpolação de Sylvester, é possível mostrar que é\1 pode ser calculada a partir da seguinte equação de determinante: 596 Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados o O 1 O 1 2A j ~eAlf te AT·~ 1 A1 1 A4 j e A~ e All Al1 A1f =0 1 Am Ar~l I A A2 (l eA",t Am~-l A Eq. (11-49) pode ser resolvida em função de eA1 expandindo o determinante segundo a última coluna. Observa-se que, exatamente como no caso 1, a solução da (11-49) em função de eA 1 é o mesmo que escrever (lI-50) e determinar as incógnitas CK k (t) (k O, 1, 2, ... , m - 1) a partir de ... + (m A extensão a outros casos onde, por exemplo, há dois ou mais conjuntos de raízes múltiplas torna-se evidente. Note-se que se o polinómio mínimo de A não for determinado, é possível substituir o polinómio mínimo pelo polinómio característico. O número de cálculos pode, naturalmente, aumentar. EXEMPLO 11-8 Considere-se a matriz Calcular eA1utilizando a fórmula de interpolação de Sylvester. Com base na Eq. (11-47), tem-se I Àl el'!l À2 e A À21 e =0 A1 Substituindo-se À j por O e ~ por -2, nesta última equação, obtém-se o o -2 I A Expandindo-se o determinante, vem +A Seção 11-5 / 21 Alguns Resultados Úteis na Análise Matricial-Vetorial o 597 ou eÁI 21 = Ae- 21 ) ~~m -~] + [~ ~] [~ _~]e-2'} ~ [~ l(1 - e-"J] Uma abordagem alternativa consiste em se utilizar a Eq. (11-48). Determinam-se, inicialmente, O'o(t) e 0'1(t) a partir de Como À 1 = Oe ~ O'o(t) + 0'1 = eÀ11 O'o(t) + 0'1 (t)A 2 = e À21 (t)A 1 - 2, as duas últimas equações se tornam O'o(t) 20'1 (t) O'o(t) Resolvendo-se em função de O'()(t) e 0'1(t) tem-se O'o(t) 1, Então f"'t pode ser escrita como Independência linear de vetares. onde C], c2, ... , Cn Os vetores XI' x2, ... , x n são ditos linearmente independentes se são constantes, implicar ... = cn o Reciprocamente, os vetores XI' x 2 , ... , XII são linearmente dependentes se e somente se combinação linear de Xi (j = 1, 2, ... , n; j #: i), ou seja, Xi puder ser expresso como uma fi para algum conjunto de constantes cio Isto significa que se Xi puder ser expresso como uma combinação linear de outros vetores do conjunto, ele é linearmente dependente deles, ou seja, ele não é um membro independente do conjunto. EXEMPLO 11-9 Os vetores x, são linearmente dependentes uma vez que Os vetores 598 Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados m são linearmente independentes uma vez que implica se ter Note-se que se uma matriz n X n for não-singular (ou seja, se a matriz for de posto n ou, ainda, se o determinante for diferente de zero) então os 11 vetares coluna (ou linha) são linearmente independentes. Se a matriz n X n for singular (isto é, se o posto da matriz for inferior a 11, ou seja, o determinante for nulo) então os n vetares coluna (ou linha) serão linearmente dependentes. Para demonstrar isto, observe-se que = r~ O [~ O 1 3 11 !] ~ ~] ~ singu lar não-singular CONTROLABILIDADE Controlabilidade e observabilidade. Um sistema é dito controlável no instante to se for possível, por meio de um vetor de controle não-restrÍto*, transferir o sistema de qualquer estado inicial x(to) para qualquer outro estado num intervalo de tempo finito. Um sistema é dito observável no instante to se, com o sistema num estado x(to) qualquer, for possível determinar este estado a partir da observação da saída durante um intervalo de tempo finito. Os conceitos de controlabilidade e observabilidade foram introduzidos por Kalman. Eles desempenham um papel importante no projeto de sistemas de controle no espaço de estados. Com efeito, as condições de controlabilidade e de observabilidade podem governar a existência de uma solução completa para o problema de projeto de sistemas de controle. A solução para este problema pode não existir se o sistema considerado for não-controlável. Embora a maioria dos sistemas físicos seja controlável e observável, os modelos matemáticos correspondentes podem não possuir as propriedades de controlabilidade e observabilidade. Torna-se necessário, então, conhecer as condições sob as quais um sistema é controlável e observável. Esta seção trata da controlabilidade e a próxima, da observabilidade. No que se segue, será deduzida, inicialmente, a condição para controlabilidade de estado completa. Discute-se, para finalizar, a controlabilidade de saída. Controlabilidade de estado completa de sistemas contínuos no tempo. Seja o sistema contínuo no tem- po x = Ax + Bu onde (11- 51) x = vetor de estado (n-dimensional) u = sinal de controle (escalar) A = matriz n X n B = matriz n X 1 O estado de um sistema descrito pela Eq. (11-51) é dito controlável em t = to se for possível construir um sinal de controle não-restrito capaz de transferir o sistema do estado inicial para o estado final num intervalo de tempo finito to::; t::; tI. Se todos os estados forem controláveis, então o sistema é dito de estados completamente controláveis. Será deduzida, agora, a condição para completa controlabilidade de estados. Sem perda de generalidade, pode-se admitir que o estado final seja a origem do espaço de estados e que o instante inicial seja zero, ou seja to = O. A solução da Eq. (11-51) é x(t) x(O) + i *Por um vetor não-restrito entenda-se um vetor cujo valor possa ser qualquer. (N. do T.) Seção 11-6 / Controlabilidade 599 Aplicando-se a definição de controlabilidade de estado completa, que acabou de ser dada, tem-se ou seja, x(O) (lI-52) Com base nas Eqs. (11-48) ou (11-50), e-A, pode ser escrita sob a forma 11-1 (lI-53) kccO Substituindo-se a Eq. (lI-53) na Eq. (11-52), tem-se x(O) = (11-54) Seja Então a Eq. (lI-54) se torna 11-1 x(O) = - L AkBf3k k=O AB (11-55) f3n-l Se o sistema for de estados completamente controláveis, então, dado um estado inicial qualquer x(O), a Eq. (11-55) deve ser satisfeita. Isto requer que o posto da matriz n X n AB seja n. Desta análise pode ser estabelecida a seguinte condição para a controlabilidade completa de estados: o sistema dado pela Eq. (l1-51) é de estados completamente controláveis se e somente se os vetores B, AB, ... , Ali lB forem linearmente independentes, ou seja, se a matriz n X n [B AB for de posto n. O resultado que se acabou de obter pode ser estendido para o caso em que o vetor u seja r-dimensional. Se o sistema for descrito por x= Ax + Bu onde u é um vetor de dimensão r, pode-se provar então que a condição para controlabilidade de estados completa é que a matriz n X nr 600 Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados seja de posto n, ou seja, que contenha n vetores-coluna linearmente independentes. A matriz [B i AB é comumente chamada de matriz de controlabilidade. EXEMPLO 11-10 Considere-se o sistema dado por Como [8 1] O i = sinoular to o sistema não é de estados completamente controláveis. EXEMPLO 11-11 Seja o sistema definido por Para este caso, o sistema é, portanto, de estados completamente controláveis. Forma alternativa da condição de controlabilidade de estado completa. Considere-se o sistema definido por x= onde (11-56) Ax + Bu x = vetor de estado (n-dimensional) u = sinal de controle (vetor r-dimensional) A matriz n X n B = matriz n X r Se os autovalores de A forem distintos, então é possível encontrar uma matriz de transformação P tal que o P-1AP = O = o Note-se que se os autovalores de A forem distintos, então os autovetores de A serão distintos; a recíproca, contudo, não é verdadeira. Por exemplo, uma matriz simétrica real n X n que possua autovalores múltiplos possuirá n autovetores distintos. Observe-se, também, que na matriz P cada uma das colunas é um autovetor de A associado a íL; (i = 1,2, ... ,11 ). Seja, por definição, x Seção 11-6 / Controlabilidade = pz (11-57) 601 Substituindo-se a Eq. (lI-57) na Eq. (lI-56), obtém-se (lI-58) + z= Definindo-se é possível reescrever a Eq. (lI-58) como Se os elementos de qualquer uma das linhas da matriz F n X r forem todos nulos, então a variável de estado correspondente não pode ser controlada por nenhum dos componentes Ui do vetor de controle. Por conseguinte, a condição de controlabilidade de estado completa é: se os autovetores de A forem todos distintos, então o sistema é de estados completamente controláveis se e somente se nenhuma das linhas de P-1B for toda constituída de elementos nulos. É importante ressaltar que, para se aplicar esta condição de controlabilidade de estado completa, a matriz P-IAP da Eq. (lI-58) deve ser colocada na forma diagonal. Quando a matriz A na Eq. (lI-56) não possuir autovetores distintos, então a diagonalização é impossível. Em tais caÂ6' sos, a matriz A pode ser posta na forma canónica de Jordan. Se, por exemplo, A possuir os autovalores Âl' Âl' Âl' Â4' ... , Ân e n - 3 autovetores distintos, então a forma canónica de Jordan da matriz A é AI O O O 1 AI O O: 1 : AI: ---------~--------I : A4 1 I I I ~ _Q ___ ~:f _ i J ____ _ : A6 O As submatrizes quadradas na diagonal principal são chamadas de blocos de Jordan. Admita-se que é possível obter uma matriz de transformação S tal que s- = J Se for definido um novo vetor de estado z por x = Sz (11-59) então a substituição da Eq. (lI-59) na Eq. (lI-56) produz z S- Jz + SS- (l1-60) A condição de se ter estados completamente controláveis no sistema da Eq. (11-56) pode ser enunciada da seguinte forma: o sistema é de estados completamente controláveis se e somente se (1) inexistirem em J da Eq. (l1-60) dois blocos de 602 Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados Jordan associados a um mesmo autovalor, (2) os elementos de qualquer linha de S-IB que correspondem à última linha de cada um dos blocos de Jordan não forem todos nulos e (3) os elementos de cada uma das linhas de S-IB que correspondem a auto valores distintos não forem todos nulos. EXEMPLO 11-12 Os seguintes sistemas são de estados completamente controláveis: Xl -2 1 O: O -2 1: O O -2: O O O 3 O 2 Xl I X2 X3 X3 -----------~------- :-s X4 ~Y::; X2 I I X4 - I I , O -5 O X::; 1 O O O [/1U2 1 ] Os seguintes sistemas não são de estados completamente controláveis: X1 X2 X3 -2 O -2 O 4 2 Xl X2 --º---º_:=?!------- X4 X::; O O:, 1:, 5 ,, , O -5 I x, + X4 X5 li 3 O Condição, no plano s, para controlabilidade de estados completa. A condição de controlabilidade de estados completa pode ser estabelecida em termos de funções ou de matrizes de transferência. Uma condição necessária e suficiente para a controlabilidade de estados completa é que não ocorram cancelamentos na função ou na matriz de transferência. (Para uma demonstração desta propriedade, ver o Problema A-11-16.) Se houver cancelamento, o sistema não poderá ser controlado na direção do modo cancelado. EXEMPLO 11-13 Considere-se a seguinte função de transferência: X(s) U(s) (s + 2,5)(s 1) É claramente visível o cancelamento do fator (s + 2,5) que ocorre no numerador e no denominador desta função de transferência. (Em conseqüência, um grau de liberdade será perdido.) Devido ao cancelamento, este sistema não é de estados completamente controláveis. A mesma conclusão pode ser obtida escrevendo-se esta função de transferência sob a forma de equações de estado. Uma representação no espaço de estados é Como AR] Seção 11-6 / Controlabilidade [ 11 603 o posto da matriz [B láveis. AB] é 1. Em conseqüência, chega-se à mesma conclusão: o sistema não é a estados completamente contro- Controlabilidade de saída. Na prática de projetos de sistemas de controle se deseja controlar o sinal de saída em vez do estado do sistema. A controlabilidade de estado completa não é condição necessária nem suficiente para se controlar o sinal de saída do sistema. Por esta razão, é desejável definir separadamente a controlabilidade completa de saída. Considere-se o sistema descrito por x= Ax + Bu (11-61) = Cx + Du (11-62) em que x = vetor de estado (n-dimensional) u = vetor de controle (r-dimensional) y = vetor resposta (m-dimensional) A = matriz n X n B = matriz n X r C matriz m X n D = matriz m X r o sistema descrito pelas Eqs. (11-61) e (1 é dito com saída completamente controlável se for possível, por meio de um vetor de controle u(t) não-restrito, transferir qualquer saída inicial para qualquer outro valor de saída y(t l ) num intervalo de tempo finito to:S t :S ti. Pode-se provar que a condição para se ter controlabilidade de saída completa é a seguinte: o sistema descrito pelas (11-61) e (11-62) é de saídas completamente controláveis se e somente se a matriz m X (n + l)r i CAB Bi i for de posto m. (Ver o Problema A-II-I7 para uma demonstração desta propriedade.) Note-se que a presença do termo Du sempre auxilia no estabelecimento da controlabilidade de saída. 11 Nesta seção será discutida a observabilidade de sistemas lineares. Considere-se o sistema não-forçado descrito através das seguintes equações: x= y em que x y A C = (11-63) (11-64) = Cx vetor de estado (n-dimensional) = vetor resposta (m-dimensional) matriz matriz 11 111 X 11 X 11 o sistema é dito completamente observável se qualquer estado pode ser determinado a partir da observação de y(t) durante um intervalo de tempo finito, to:S t:S ti. Por conseguinte, o sistema é completamente observável se toda transição de estado afeta finalmente cada um dos elementos do vetor de saída. O conceito de observabilidade é útil na solução do problema de se reconstruírem variáveis de estado não-mensuráveis a partir das variáveis mensuráveis, no menor intervalo possível de tempo. Nesta seção trata-se somente do caso de sistemas lineares e invariantes no tempo. Por conseguinte, sem perda de generalidade, pode-se admitir que to = O. O conceito de observabilidade é muito importante porque, na prática, a dificuldade encontrada com o controle por retroação de estado reside no fato de algumas variáveis de estado não serem acessíveis diretamente para medição. Isto tem como resultado a necessidade de se estimarem as variáveis de estado não-mensuráveis para que se possam elaborar os sinais de controle. Na Seção 12-5 mostraremos que estimar variáveis de estado só é se e somente se o sistema for completamente observável. Ao se discutirem as condições de observabilidade, considera-se o sistema não-forçado conforme descrito pelas Eqs. 01-63) e (11-64). A razão para isto é a seguinte: se o sistema for descrito por x = = 604 Capítulo Bu Cx + Du l/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados então e y(t) é + Du + y(t) = Como as matrizes C e D são conhecidas e também é conhecido, os dois últimos termos do segundo membro desta última equação são quantidades conhecidas. Portanto, elas podem ser subtraídas dos valores observados de y(t). Em conseqüência, para se investigar uma condição necessária e suficiente para observabilidade completa, basta considerar o sistema descrito pelas Eqs. 01-63) e (11-64). Observabilidade rnrnlnl.e:.t":::JI de sistemas contínuos no tempo. Considere-se o sistema descrito pelas Eqs. (11-63) e (11-64), reescritas X Ax y = Cx o vetor de saída y( t) é y(t) = Com base na Eq. (11-48) ou (lI-50), tem-se n····l =22 k=O Assim, resulta n-l y(t) = k=O ou y(t) + ... + O'O(t)Cx(O) 0'/1-1 Se o sistema for completamente observável, então, dado o sinal de saída y(t) durante um intervalo de tempo O::=; t::=; tI' é (11-65). Pode-se mostrar que isto requer que o posto da matriz nm possível determinar x(O), univocamente, a partir da Xn seja igual a n. o Problema A-II-20, para uma demonstração desta condição.) A partir desta análise é possível enunciar a condição de observabilidade completa da seguinte forma: o sistema descrito pelas Eqs. (11-63) e (11-64) é completamente observável se e somente se a matriz n X nm i A*C* i for de posto n, ou seja, se tiver n vetores-coluna linearmente independentes. Esta matriz é chamada matriz de observabilidade. Seção 11-7 / Observabilidade 605 EXEMPLO 11-14 Considere-se o sistema descrito por Este sistema é controlável e observável? Como o posto da matriz é igual a 2, o sistema é a estados completamente controláveis. Para a controlabilidade de saída será determinado o posto de [CB i = CAB]. Como [O 1J o posto desta matriz é 1. Assim, o sistema é a saídas completamente controláveis. Para testar a condição de observabilidade, será determinado o posto de [C* l A*C*]. Como [~:] i o posto de [C* A*C*] é 2. Logo, o sistema é completamente observável. Condições, no plano s, para observabilidade completa. As condições para observabilidade completa podem ser estabelecidas, também, em termos de funções e de matrizes de transferência. Uma condição necessária e suficiente para se ter observabilidade completa é que não ocorram cancelamentos na função ou na matriz de transferência. Se ocorrerem cancelamentos, o modo cancelado não poderá ser observado na saída. EXEMPLO 11-15 Mostrar que o seguinte sistema não é completamente observável. x= Ax Bu y = Cx em que Xl X = Il~~ , A ] 1 O -11 ~], c [4 5 IJ -6 Note-se que a função de controle Li não afeta a observabilidade completa do sistema. Para examinar a observabilidade completa, pode-se fazer simplesmente u = O. Para este sistema, tem-se l~ (A* A*C* -6 -7 -1 ~] Note-se que 4 5 1 Assim, o posto da matriz [C* 606 Capítulo 11 / i A*C* i -6 -7 6 5 =0 -1 é menor que 3. Em conseqüência, o sistema não é completamente observável. Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados Com efeito, neste sistema ocorre cancelamento na função de transferência. A função de transferência entre Xj(s) e U(s) é 3) U(s) e a função de transferência entre Y(s) e Xl,) é (s 1)(s 4) Em conseqüência, a função de transferência entre a saída Y(s) e a entrada U(s) é 3) Evidentemente, os dois fatores (s I) se cancelam mutuamente. Isto significa que há estados iniciais x(Q) não-nulos que não podem ser determinados a partir da medida de ,\'(t). Comentários. A função de transferência não possui cancelamentos se e somente se o sistema for a estados completamente controláveis e completamente observável. Isto significa que a função de transferência com cancelamentos não contém toda a informação caracterizando a dinâmica do sistema. Forma alternativa da condição de observabilidade completa. (11-64), reescritas abaixo Seja o sistema descrito pelas Eqs. (11-63) e x = Ax (11-66) y = Cx (11-67) Admita-se que a matriz de transformação P converta a matriz A na forma diagonal, ou seja, P- = D onde D é uma matriz diagonal. Seja, por definição, x = pz Então as Eqs. (11-66) e (11-67) podem ser escritas como i P- Y Cpz = Dz Portanto, y(t) = CPeD1z(O) ou o eA11Zl(O) eA2I Z2(O) y(t) z(O) CP CP o o sistema é completamente observável se nenhuma das colunas da matriz CP m X n for constituída integralmente de elementos iguais a zero. Isto se deve ao fato de que se a i-ésima coluna da matriz CP for constituída totalmente de elementos nulos, então a variável de estado Zi(O) não aparecerá na equação de saída e, por conseguinte, não poderá ser determinada a partir de observações de y(t). Por conseguinte, que se relaciona a z(O) através da matriz P não-singular, não pode ser determinado. (Convém lembrar que este teste só é aplicável se a matriz P-1AP estiver na forma diagonal.) Seção 11-7 / Observabilidade 607 Se a matriz A não puder ser convertida à forma diagonal, então, por meio de uma matriz de transformação S, é possível converter a matriz A na forma canónica de Jordan, ou seja, em que J está sob a forma canónica de Jordan. Seja, por definição, x = Sz As Eqs. (11-66) e (11-67) podem ser escritas sob a forma z = S-IASz = Jz = CSz y Assim, y(t) = CSeJ1z(0) o sistema será completamente observável se (1) não houver dois blocos de Jordan associados a um mesmo autovalor, (2) não houver colunas da matriz CS correspondentes à primeira linha de cada um dos blocos de Jordan, constituídos de elementos iguais a zero e (3) se nenhuma das colunas de CS correspondentes a autovalores distintos for constituída de elementos nulos. Para esclarecer a condição (2), no Exemplo 11-16 foram assinaladas com linhas tracejadas as colunas de CS que correspondem à primeira linha de cada um dos blocos de Jordan. EXEMPLO 11-16 Os seguintes sistemas são completamente observáveis. y o O ii 2 X2 O O x] O: 2 O 1 2 O 1 1 1 1 -~ 1 1 1 O X2 X-, i4 -3 O -3 XI Xl [YI] = Y2 X4 1 io; I I ~OJ 1 1 ~lJ [:1: 1 ~] X:" X2 X3 X4 Xs Os seguintes sistemas não são completamente observáveis. y=[O 1][;:] 2 _ii 2 X2 O O X3 608 Capítulo 11 / O:1 1:1 O 2: --1- O O Xl XI X2 X3 :-3 X4 Xs 1 2 1 O -3 X4 [YI] Y2 Xs Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados = l i: 1 io; 1 1 1 ~OJ 1 1 ~OJ ~] X2 X3 X4 Xs Princípio da dualidade. Será discutida agora a relação existente entre controlabilidade e observabilidade. Faremos uma introdução ao princípio da dualidade, devido a Kalman, para elucidar analogias evidentes entre controlabilidade e observabilidade. Seja o sistema SI descrito por x= Ax + Hu Cx y em que x u vetor de estado (n-dimensional) vetor de controle (r-dimensional) y vetor resposta (m-dimensional) A = matriz n X n B = matriz n X r C matriz m X n = e o sistema dual S2 definido por z = A*z n = H*z em que z v n A* B* C* = = = = = = + C*v vetor de estado (n-dimensional) vetor de controle (m-dimensional) vetor resposta (r-dimensional) transposta conjugada de A transposta conjugada de B transposta conjugada de C o princípio da dualidade estabelece que o sistema SI é a estados completamente controláveis (observáveis) se e somente se o sistema S2 for completamente observável (a estados completamente controláveis). Para verificar este princípio, serão escritas, adiante, as condições necessárias e suficientes para a controlabilidade completa de estados e para a observabilidade completa dos sistemas SI e S2' Para o sistema SI: 1. Uma condição necessária e suficiente para a controlabilidade de estados completa é que o posto da matriz n X nr [H i AH i seja n. 2. Uma Gondição necessária e suficiente para a observabilidade completa é que o posto da matriz n X nm [C* :, A*C* :, seja n. Para o sistema S2: 1. Uma condição necessária e suficiente para a controlabilidade de estados completa é que o posto da matriz n X nm [C* i A*C* i .,. i (A* lC*J seja n. 2. Uma condição necessária e suficiente para a observabilidade completa é que o posto da matriz n [H i AH i .,. i X nr AI? - I H] seja n. Comparando-se estas condições, a veracidade deste princípio se torna evidente. Através do uso deste princípio é possível testar a observabilidade de um dado sistema por meio do teste da controlabilidade de estado de seu dual. Seção 11-7 / Observabilidade 609 PROBLEMAS ILUSTRATIV A-l1-l. S E SOLUÇÕES Considere-se a função de transferência definida pela Eq. 01-2), reescrita a seguir Y(s) U(s) (l1-68) Deduzir a seguinte representação no espaço de estados desta função de transferência sob a forma canônica controlável: o 1 O O O O O Xl X2 O O (11-69) li X II -l -aI O XII (11-70) Solução. A Eq. (11-68) pode ser escrita como que pode ser modificada para Y(s) = boU(s) (11-71) Y(s) onde Y(s) Seja reescrever esta última equação na seguinte forma: ----;------'-----'----- = Q( s) ali Desta última equação, é possível obter as duas equações seguintes: SIlQ(S) = -aIs l1 - I Q(s) - Y(s) = (h - albO)sll-1 Q(s) + ... (11-72) + (b ll - allbo)Q(s) (11-73) Seja agora a definição das seguintes variáveis de estado: X 1(s) = Q(s) sQ(s) 610 Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados Então, obviamente, que podem ser reescritas como Xl X2 = X2 = X, (11-74) Observando-se que s"Q( s) a Eq. (11-72) pode ser reescrita como = ou (11-75) Além disso. a partir das Eqs. 01-71) e (11-73) obtém-se Y(s) = boU(s) (b l albo)sn-lQ(s) + (b n - anbo)Q(s) = boU(s) (b n (b j ajbo)Xn(s) anbo)Xj (s) A transformada de Laplace inversa desta equação de saída se torna (11-76) Combinando-se as Eqs. (11-74) e (11-75) numa única equação diferencial matricial-vetorial obtém-se a Eq. (11-69). A Eq. (11-76) pode ser posta na forma dada pela Eq. (11-70). As Eqs. (11-69) e (11-70) são ditas na forma canónica controlável. A Fig. 11-1 mostra a representação em diagrama de blocos do sistema definido pelas Eqs. (11-69) e (11-70). u 11-1 Representação em diagrama de blocos do sistema definido pelas Eqs. (11-69) e (11-70) (forma canónica controlável). Problemas Ilustrativos e Soluções 6 1 A-H-2. Considere-se a seguinte função de transferência de um sistema: , Y(s) (11-77) U(s) Deduzir a seguinte representação deste sistema, no espaço de estados, sob a forma canônica observável: o O b n - anb o b n - I - an-lb o O + li (11-78) O O y [O O O 1J (11-79) Xn-I Solução. A Eq. (11-77) pode ser modificada para a seguinte forma: Dividindo-se toda a equação por Sil e rearranjando-se os termos, obtém-se Y(s) boU(s) 1 s [b l U(s) - ai Y(s)J ( 11-80) Seja, agora, a seguinte definição de variáveis de estado: (l1-81) Xis) 1 = s [b n - l U(s) - an -1 Y(s) Xl(s)] Então é possível escrever a Eq. (11-80) como Y(s) = boU(s) + Xn(s) Substituindo-se a Eq. (11-82) na Eq. (11-81) e multiplicando-se ambos os membros da igualdade por s, obtém-se 612 Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados (11-82) Xn-I(S) - aIXn(s) + (b l sX,/s) sXn- l (S) X n - 2(S) = - alb(l)U(S) a2X n(S) + (b 2 - a2bO)U(S) Aplicando-se a transformada de Laplace inversa às n equações precedentes e escrevendo-as na ordem inversa, tem-se Além disso, aplicando-se a transformada de Laplace inversa à Eq. (11-82) resulta Reescrevendo-se as equações de estado e de saída na forma matricial-vetorial padronizada obtêm-se as Eqs. (11-78) e (11-79). A Fig. 11-2 mostra a representação em diagrama de blocos correspondente ao sistema definido pelas Eqs. (11-78) e (11-79). A-11-3. Considere-se a função de transferência do sistema definido por bos n (s Y(s) U(s) bls ll - l + ... + bn- l s b n PI )(S + P2)' .. (S + Pn) (11-83) C n +--s + pn onde Pi *- Pj' Deduzir uma representação deste sistema no espaço de estados na seguinte forma canónica diagonal: Xl -PI O 1 Xl + li (11-84) O Fig. 11-2 Representação em diagrama de blocos do sistema definido pelas Eqs. (11-78) e (11-79) (forma canónica observável). Problemas Ilustrativos e Soluções 613 (11-85) C,ZJ Solução. A (11-83) pode ser escrita como Y(s) = boU(s) Ci --U(s) S + Pi + S P2 S PI U(s) U(s) (11-86) Seja a seguinte definição de variáveis de estado: U(s) 1 --U(s) S X,Js) P2 1 = - - U(s) S PIl que podem ser reescritas como + U(s) + U(s) U(s) A transformada de Laplace inversa destas equações fornece XI -PiXi U X2 = -P2X2 U (11-87) Estas n equações caracterizam a equação de estado. A Eq. (11-86) pode ser escrita em função das variáveis de estado XJs), Xis), ... , XJs) como A transformada de Laplace inversa desta equação é (11-88) que é a equação de saída. A Eq. (11-87) pode ser posta sob a forma de equação matricial-vetorial como é mostrado na Eq. (11-84). A Eq. (11-88) pode ser colocada na forma da Eq. (11-85). A Fig. 11-3 apresenta uma representação em diagrama de blocos do sistema definido pelas Eqs. (11-84) e (11-85). 614 Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados u Fig.H-3 Representação em diagrama de blocos do sistema definido pelas Eqs. (11-84) e 01-85) (forma canónica diagonal). Observa-se que se as variáveis de estado forem escolhidas como CI --U(s) S PI s + P2 C A x,/s) U(s) = n --U(s) s Pn obtém-se, então, uma representação no espaço de estados ligeiramente diferente. Esta escolha de variáveis de estado fornece sXj(s) sX2(s) = -Plií(s) + cIU(s) C2 U(S) 'de onde se obtém (11-89) Problemas Ilustrativos e Soluções 615 Com base na Eq. (11-86), a equação de saída se torna Y(s) boU(s) + Xl (s) + = da qual se obtém (11-90) As Eqs. (11-89) e (11-90) fornecem a seguinte representação do sistema no espaço de estados. o + li o y A-1l-4. [1 . . . 1] + bou Seja o sistema definido por Y(s) U(s) (l1-91) em que há um pólo triplo em S -PI' (Admite-se que, com exceção dos três primeiros valores de Pi' todos os demais são distintos.) Obter a forma canônica de Jordan da representação deste sistema no espaço de estados. Solução. A expansão da Eq. (11-91) em frações parciais se torna Y(s) ----=--+~ U(s) S c/) ~ PI +-- S+P4 S PI1 que pode ser escrita como Y(s) boU(s) + (s --=---::- C4 --U(s) + S + P4 I1 _ + _c_ U (s) S + PI1 Seja, por definição, ---::- U(s) ---,,- U(s) 1 --U(s) s + PJ X 4 (s) X,ls) 616 1 = -S P4 1 s + PI! U(s) U(s) Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados U(s) + s PI U(s) (11-92) Observe-se que existem as seguintes relações entre xJs), Xis) e Xis): Xj(s) + PI X 2(s) S X:;(s) s + pj Então, a partir da definição precedente das variáveis de estado e das relações anteriores, obtém-se sXj(s) = -PIXI(S) Xls) sX2(s) -pIXls) + x:;(s) sX:;(s) -p1x:;(s) + U(s) sX4(s) = -P4X4(S) U(s) sXI1 (s) = -PII x,/s) U(s) A transformada de Laplace inversa das n equações precedentes fornece A equação do sinal de saída, Eq. (11-92), pode ser reescrita como A transformada de Laplace inversa desta equação de saída é Portanto, a representação no espaço de estados do sistema para o caso em que o polinómio do denominador envolve uma raiz tripla -PI pode ser dada sob a forma que se segue: Xl X2 ~t3 X4 -pj O II O I I O -PI I O O -PI: O ---T---O O : -P4 O Xj O X2 X:; X4 O O u (11-93) XII O O -Pn O Xn Xl X2 Y [Cl C2 CII + bou ] (11-94) XII Problemas Ilustrativos e Soluções 617 li Fig. 11-4 Representação em diagrama de blocos do sistema definido pelas Eqs. (11-93) e (11-94) (forma canónica de Jordan). A representação no espaço de estados na forma dada pelas Eqs. (11-93) e (11-94) é dita estar na forma canónica de Jordan. A Fig. 11-4 mostra um diagrama de blocos da representação do sistema dada pelas Eqs. (11-93) e (11-94). A-11-S. Considere-se a função de transferência 5,008 25,1026s + 5,008 U(s) Obter uma representação deste sistema no espaço de estados com o MATLAB. Solução. O comando do MA TLAB fornecerá a representação do sistema no espaço de estados. Ver o Programa MATLAB 11-3. Programa MATLAB 11-3 num = [O O 25.04 5.008]; den = [1 5.03247 25.1026 5.008]; [A, S, C, D] = tf2ss(num,den) A= -5.0325 1.0000 O -25.1026 O 1.0000 -5.0080 O O 25.0400 5.0080 S= 1 O O C= O D= O 618 Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados Esta é a representação em MATLAB para as seguintes equações no espaço de estados: [ ~l] X2 _ - [-5,0325 1 -5,008] O O O X3 y A-1l-6. -25,1026 O [O = 25,04 [Xl] X2 X-, Xl] [ 5,008J ~~ [1] O O II [OJu Seja o sistema definido por x = Ax em que x u A B = = = Bu vetor de estado (n-dimensional) vetor de controle (r-dimensional) matriz n X n matriz n X r Obter a resposta do sistema para cada um dos seguintes sinais de entrada: (a) As r componentes de u são impulsos de diversas magnitudes. (b) As r componentes de u são degraus de diversas magnitudes. (c) As r componentes de u são rampas de diversas magnitudes. Solução. (a) Resposta impulsionaI: Com base na Eq. (11-43), a solução para a equação de estado dada é x(t) fi eA(l eA(t-Io)x(to) T)Bu( T)dT ln Substituindo-se to 0- nesta solução, tem-se x(t) = eAlx(O-) + II eA(l-T)Bu(T) dT 0- Escrevendo-se a excitação em impulso u(t) como 8(t)w u(t) onde w é um vetor cujas componentes são as magnitudes dos r impulsos de entrada aplicados em t quando se aplica uma excitação em impulso Ó(t)w em t = O é x(t) II eAlx(O-) O. A solução da equação de estado eA(l- T)B8( T)W dT ()- (11-95) (b) Resposta ao degrau: Seja a excitação em degrau u(t) escrita como u(t) k onde k é um vetor cujas componentes são as magnitudes das r funções em degrau aplicadas em t degrau aplicada em t = O é dada por x(t) = eAlx(O) + II = O. A solução para uma entrada em eA(l T)Bk (17 o At 2 -+--2! 31 Problemas Ilustrativos e Soluções 619 Se A for não-singular, então esta última equação pode ser simplificada e se tem . x(t) (c) [-(A ~l)(e~AI - I)JBk = eAlx(O) = eAlx(O) + (11-96) I)Bk Resposta à rampa: Seja a excitação em rampa u(t) escrita sob a forma u(t) Iv onde v é um vetor cujas componentes são as magnitudes das r funções-rampa aplicadas em t tv em t O é x(t) II eA(t~T)BTV eAlx(O) = O. A solução a uma excitação em rampa dT () dTBv I? 2A 3A2 e A IX(O) + e A I ( -t- - -t-' 2 3! o --t 4! 4 3 4A 5! (' + ... ) Bv Se A for não-singular, então esta última equação pode ser simplificada e se tem - I) A-11-7. (11-97) Bv Obter a resposta y(t) do seguinte sistema: [~:] y [-11 ~ [1 -0~5] [~:] [()~)] u. O] [:J quando u( t) for uma excitação em degrau unitário aplicada em t O, ou seja, = u(t) = 1(t) Solução. Para este sistema A = [-1 -OS] ,- 1 A matriz de transição de estados ( t) e ~().)l( cos Como x(O) O,?t - sen 0. ,5 t) 2e~()·~1 [ - e-O.)l sen 0,5 t 0,5t + sen 0,5t)J e~()·)l(cos sen 0,5 t = 0, com base na Eq. (11-96), resulta x(t) = eA1x(0) + A'l(e A1 - I)Bk I)B - 1 ][0,5 e~()·)l( cos 0,5t sen 0,5 t) -2 sen 0,5 t = e ~().)l sen 0,5 t [ -e~()·)l(cos 0,5t + sen 0,5 t) Por conseguinte, o sinal de saída )'(t) pode ser dado por y(t) [1 A-H-S. O teorema de Cayley-Hamilton estabelece que toda matriz A n X n satisfaz sua própria equação característica. A equação característica não é, contudo, necessariamente a equação escalar de menor grau a que A satisfaz. O polinómio de menor grau que tem A como raiz é chamado de polinómio mínimo. Isto é, o polinómio mínimo de uma matriz A n X n é definido como o polinómio (A). Como ljf(A) = O e cj>(A) = O, resulta, obrigatoriamente, a(A) = O. Como 1>(A) é o polinômio mínimo, a(A) deve ser identicamente nulo, ou seja, 1f;(A) Note-se que tendo em vista cj>(A) = = g(A)4>(A) Oé possível escrever 4>(A)I (AI A)C(A) Assim, 1f;(A)I = g(A)4>(A)I = g(A)(AI - A)C(A) e se obtém B(A) = R(A)C(A) Observe-se que o máximo divisor comum dos n 2 elementos de B(A) é a unidade. Em conseqüência, g(A) Portanto, 1f;(A) 4>(A) Então, a partir desta última equação e da Eq. (11-99) se obtém A-11-9. Se uma matriz A n X n possuir n autovalores distintos, então o polinômio mínimo de A será idêntico ao polinômio característico. Além disso, se os autovalores múltiplos de A estiverem ligados numa cadeia de Jordan, o polinômio mínimo e o polinômio característico são idênticos. Se, contudo, os autovalores múltiplos de A não estiverem ligados numa cadeia de Jordan, o polinômio mínimo é de grau inferior ao do polinômio característico. Utilizando as seguintes matrizes A e B como exemplos, verificar os enunciados anteriores a respeito de polinômio mínimo quando são envolvidos autovalores múltiplos. o 2 2 3 3 Solução. Considere-se, primeiramente, a matriz A. O polinômio característico é dado por IAI - -4 A- 2 -1 O A- 2 O o -3 A-1 Assim, os autovalores de A são 2,2 e 1. Pode-se mostrar que a forma canônica de Jordan da matriz A é 1 2 O e os autovalores múltiplos estão ligados numa cadeia de Jordan, como é mostrado. Para se determinar o polinômio mínimo, considere-se primeiro a obtenção de adj (AI - A). Ela é dada por 1) adj (AI - 622 (A (A 11) 2)(A - 1) 3(A - 2) Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados 4(A ~ 2)J (A - 2)2 Observe-se que não há divisor comum a todos os elementos de adj (AI - A). Portanto, d(A) idêntico ao polinómio característico, ou seja, 4Y(A) IAI = = 1. Assim, o polinómio mínimo rjJ(A) é (A - 2?(A - 1) = Um simples cálculo prova que 8A 41 O mas - 3A 21"* O Assim, mostrou-se que o polinómio mínimo e o polinómio característico desta matriz A são iguais. Considere-se, em seguida, a matriz B. O polinómio característico é dado por A 2 O O IAI - RI O O O A 2 A-I -3 Um cálculo simples revela que a matriz B possui três autovalores e que a forma canónica de Jordan de B é dada por O 2 O Assim, os autovalores não são ligados. Para se obter o polinómio, calcula-se primeiro adj (AI 2)(A adj (AI R) O 1) O O B): (A 2)(A 3(A 1) 2) de onde se torna evidente que d(A) = A 2 Portanto, 4Y(A) = IAI - RI d(A) -,-(A_-_2-,--?--,-(A _ _l---,--) = A2 - 3A + 2 A-2 Para testar, seja o cálculo de rjJ(B): (A) pode ser escrito como em que a m -=I=- O. Assim, I ~(Am + = am Multiplicando-se à esquerda por A -I, obtém-se ~ (A m - l A- l que é a Eq. (11-100). Para a matriz A dada, adj (AI aj A am II1 - 2 + ... + am-2A + am-l I) A) pode ser expressa como adj (AI - A) [ A2 + 4A + 3 2A + 6 3A + 7 A2 + 2A - 3 A 1 2 -4 ] -2A + 2 A2 - 7 Obviamente, não há divisor comum d(A) para os elementos da matriz adj (AI - A). Portanto, d(A) mínimo (A) é dado por 1. Conseqüentemente, o polinómio Assim, o polinómio mínimo 4>(A) é igual ao polinómio característico. Como o polinómio característico é obtém-se Identificando-se os coeficientes do polinómio mínimo (que é igual ao polinómio característico, neste caso), tem-se A inversa de A pode então ser obtida a partir da Eq. (11-100) como a seguir: A- l + aO, ~ i7{H = 1[3~ 17 1\ (A 2 + 3A - 71) -4]~ + 3 [1~ O 7 2 2 -1 ~] -1] 17 17 -~]-+ O -3 -7 [y 17 1 624 6 -3 2 a2I) 17 _7 Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados O O O m A-H-H. Mostrar que se a matriz A puder ser diagonalizada, então em que P é uma matriz de transformação diagonalizante que transforma A em matriz diagonal, ou seja, P-1AP matriz diagonal. Mostrar também que se a matriz A puder ser transformada numa forma canónica de Jordan, então em que S é uma matriz de transformação que converte A numa forma canónica de Jordan J, ou seja, S-IAS forma canónica de Jordan. = D, onde D é uma J, em que J está numa Solução. Considere-se a equação de estado x= Ax Se uma matriz quadrada puder ser diagonalizada, então existe uma matriz diagonalizante (matriz de transformação) que pode ser obtida por meio de um procedimento padrão. Seja P a matriz diagonalizante de A. Seja, por definição, x = Pi Então, em que D é uma matriz diagonal. A solução desta última equação é Assim, xCt) = Pi (t) Observando-se que x(t) pode também ser dado através da equação obtém-se é t = PeDiP-I, ou seja, o p- 1 (11-101) o A seguir, será considerado o caso em que a matriz A pode ser transformada numa forma canónica de Jordan. Considere-se novamente a equação de estado x= Ax Primeiramente será obtida a matriz de transformação S que converterá a matriz A em uma forma canónica de Jordan tal que onde J é uma matriz na forma canónica de Jordan. Seja, agora, a definição x = Si Então, A solução desta última equação é Problemas Ilustrativos e Soluções 625 Em conseqüência, Como a solução x(t) também pode ser dada pela equação obtém-se Observe-se que a matriz eJI é uma matriz triangular [o que significa que os elementos abaixo (ou acima, conforme ocaso) da diagonal principal são zeros] cujos elementos são é r , té l , ~ t2 e Àl 2 e assim por diante. Por exemplo, se a matriz J apresentar a seguinte forma canônica de Jordan: J= [AI A1 ~ O J então [e~" e J! te iq ! 12eA 4te AI ! ,'] e AI ! e AI ! O De modo semelhante, se O O AI- - - 1 - - __ : A4 J -fi I O A4 : ------r------: Aó O : A7 então r e/qt O O e JI AIE ~t2eAI! A11 te AI ! re e O = I I A11 I e - - - -II I I O I O eA.j! I I I O A-H-12. Considere-se o seguinte polinômio em A, de grau m Pk(!\) onde k = 1, em que se consideram Ai' A2' ... , A/II distintos: (1\ - 1\1)' .. (1\ (I\k - 1\1)' .. (I\k I\k-l )(1\ 1\k71)'" (1\ 1\//1) I\k--l)(l\k - I\k-l)' .. (I\k - 1\//1) 1, 2, ... , m. Observe-se que se i = k se i =1= k Então o polinômio !(A) de grau m - 1, 626 Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados j(A) = assume valoresj(Ak ) nos pontos Ak. Esta última equação é comumente chamadajónnula de interpolação de Lagrange. O polinómio j(A) de grau m - 1 é determinado a partir de um conjunto de m dados independentes j(A 1),f(A 2 ), ... ,f(An). Isto é, o polinómio j(A) passa por m pontosj(A1),J(A 2), •. • ,J(An). Comoj(A) é um polinómio de grau m - 1, é possível determiná-lo de forma unívoca. Quaisquer outras representações do polinómio de grau m - 1 podem ser reduzidas ao polinómio de Lagrange j(A). Admitindo-se que os autovalores de uma matriz A n X n sejam distintos, substitui-se A por A no polinómio pk(A). Tem-se, então, Observe-se que Pk(A) é um polinómio em A de grau m - 1. Note-se também que se i = k se i =1= k Defina-se, agora, j(A) = (11-102) A Eq. (11-102) é conhecida como fórmula de interpolação de Sylvester. A Eq. (11-102) é equivalente à seguinte equação: I =0 (11-103) As Eqs. (11-102) e (11-103) são utilizadas freqüentemente para calcular funçõesf(A) de matrizes A, como por exemplo (AI eM e assim por diante. Observe-se que a Eq. (11-103) pode ser escrita também como =0 01-104) I A À;;~~ 1 j(À/II) Am~1 j(A) Mostrar que as Eqs. (11-102) e (11-103) são equivalentes. Para simplificar a argumentação, admitir ln Solução. A Eq. (l1-103), com m = = 4. 4, pode ser expandida como a seguir: I .1 = AI A2 A3 A4 AI A~ A~ A~ A~ A~ A Al Al jUI) j(A 2 ) j(A 3 ) j(A 4 ) j(A) Problemas Ilustrativos e Soluções 627 = f(A) 1 I À\ À2 À3 À4 A À1 À2 2 À~ À1 À~ À3 3 À~ À~ À\ À2 À4 À\ - f(À 4 ) À1 À1 À2 À3 À~ À~ À3 À3 3 2 A3 I I j(À 3) À1 À~ À~ À2 À3 À~ À~ À3 3 À1 A 2 A À~ 3 À~ A -f(À 2 ) À\ À3 À1 À~ À1 À3 3 " A 2 A À~ 3 À~ A À4 I f(Àd À~ " A À4 À2 4 À~ A3 Como À2 À\ À2 À" À23 À~ À~ 1 À31 À~ " À4 À24 À34 e I Ài À2I À3 Àj À2 J À3 I J Àk Àt À3 k A A2 A" obtém-se .1 = f(A)[(À 4 - À3)(À4 - À2 )(À 4 À\)(À 3 +f(À 3)[(A - -f(À 2 )[(A - À2 )(À 3 À1)(À 2 À\)J À2 )(À 3 - À\)(À 2 Àt!)(À 4 - À2 )(À 4 - À\)(À 2 À\)J À\ I) (À 4 À3) (À 4 - À\) ( À3 À\ ) J À3)(À4 À2 )(À 3 À2 )J - +f(Àt>[(A - À\)J O Resolvendo-se esta última equação emj(A), resulta f(À') (A " À 1 1)( (À,c; - A À\) (À 3 - I) ( A À4 À2) (À 3 À4) À2 À 2 I) I) (A À2 ) (À 4 - À3 I) À3) onde 111 = 4. Por conseguinte, foi evidenciada a equivalência entre as Eqs. (11-102) e (11-103). Embora se tenha admitido 111 = 4, podese estender integralmente a argumentação para qualquer valor 111 inteiro e positivo. (Para o caso em que a matriz A envolve autovalores múltiplos, referir-se ao Problema A-11-13.) A-11-13. Considere-se a fórmula de interpolação de Sylvester na forma dada pela Eq. (11-104): ÀT- 1 I À'2 f(À\ ) f(À 2 ) =0 ÀIII-- I fIZ . A III --\ 628 Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados f(Àm) f(A) Esta fórmula para a determinação de f(A) se aplica nos casos em que o polinómio mínimo de A envolve somente raízes distintas. Supor que o polinómio mínimo de A envolve raízes múltiplas. Então as linhas do determinante que correspondem às raízes múltiplas são idênticas, e, por conseguinte, se torna necessário modificar o determinante na Eq. (11-104). Modificar a forma da fórmula de interpolação de Sylvester dada pela Eq. (11-104) quando o polinómio mínimo de A envolver raízes múltiplas. Ao deduzir a equação modificada para o determinante, admitir que há três raízes iguais (AI = A2 = A,) no polinómio mínimo de A e que as outras raízes Às, ... , Àm) são distintas. Solução. Como o polinómio mínimo de A envolve três raízes iguais, o polinómio mínimo cp(A) pode ser escrito como Uma função arbitráriaj(A) de uma matriz A 11 X 11 pode ser escrita como f(A) em que o polinómio mínimo cp(A) é de grau 111 = e a(A) é um polinómio em A de grau f(A) onde a(A) é um polinómio em A de grau 111 - g(A)cp(A) + a(A) g(A)cp(A) 111 1 ou inferior. Em conseqüência, se tem a(A) 1 ou inferior, o que permite escrever (l1-l05) No presente caso, tem-se g(A)cp(A) + a(A) feA) = g(A)[ (A AI? (A A4 ) ... Substituindo-se, na Eq. (11-106), A por Ai' A.\' ... , AIJl obtêm-se as seguintes f(A I) f(A4) = CA 111 - AI11 )] aCA) (11-106) 2 equações: a(Ad a( A4 ) (l1-107) Derivando-se a Eq. (11-106) com relação a A, resulta d dA aCA) (11-108) onde Substituindo-se A por AI na Eq. (l1-108) vem d f d '" ('" ) I = l' ('" d = ),,=)'1 d a( "') I d", ),,=/'1 Com base na Eq. (l1-105), esta última equação se torna (m (11-109) De modo semelhante, derivando-se a Eq. (11-106) duas vezes em relação a A e substituindo-se A por AI' obtém-se f"("'d Problemas Ilustrativos e Soluções = 629 Esta última equação pode ser escrita como ... + (m 6a:v\1 (11-110) 1)(m Reescrevendo-se as Eqs. (11-110), (11-109) e (l1-107), vem a2 + 3aY\1 aI (m - l)(m + ... 2) f"P'I) 2 2 2a2AI + ... (m - 1 )am-lAT-1 = j'(Ad ao + aj/\I + a2A~ + + am_IA'~I-1 = f (AI) ao + a]A 4 + a2A~ + + a m - I A',7-] f (A 4 ) Estas m equações simultâneas determinam os valores de a k (em que k um polinómio mínimo, tem-se f(A) como a seguir: f(A) = (11-111) = O, 1, 2, ... , m I ) . Observando-se que cp(A) = O devido a ser g(A)cp(A) Portanto, com base na Eq. (l1-105), vem (11-112) onde os valores de a k são expressos em função def(A j ),f'(A),f"(A j ),f(A 4 ),f(A s)' ... ,f(\I1)' Em termos da expressão do determinante, pode-se obterf(A) resolvendo-se a seguinte equação: A Eq. (11-113) mostra as modificações desejadas na forma do determinante. Esta equação fornece a fórmula de interpolação de Sylvester quando o polinómio mínimo de A envolver tres raízes iguais. (As modificações necessárias na forma do determinante para outros casos são evidentes.) A-11-14. Usando a fórmula de interpolação de Sylvester, calcular eH, quando 1 2 3 ~] Solução. Com base no Problema A -11-9, o polinómio característico e o polinómio mínimo são iguais para esta matriz A. O polinómio mínimo (polinómio característico) é dado por cp(A) Observe-se que Aj 630 A2 = 2 e ~ = (A 2?(A - 1) 1. Com base na Eq. (11-112) e observando-se quej(A) neste problema é eM, tem-se Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados onde O'()(t), O'J(t) e O'/r) são determinados a partir das equações 2O'2(t)A 1 = O'j(t) Substituindo-se AJ 2 e A3 = AII re O'()(t) 0'1 (t)A j + O'2(t)A7 eAII O'(J(t) O'1(t)A:l + O'2(t)A~ = eA!1 1 nestas três equações, obtém-se te 21 0'1 (t) + 4O'2(t) 20'1 (t) + 4O'2( t) O'()(t) O'()(t) + O'1(t) = O'2(t) el Resolvendo-se em termos de O'n(t), O'J(t) e O'2(t), vem O'()(t) = 4e l O'1(t) = -4e l + - Por conseguinte, 2te2')l~ ~1 O 1 O ( -4e l 4e" - te2'{~ 16 121 4 9 3te2'{~ 2 3 ~1 O 1 + 13te 21 12e l e 21 - 3e t A-lI-1S. Considere-se uma matriz A n X 3e 21 n. Mostrar que (sI - A)-l 111 i=() onde O'i são os coeficientes do polinómio mínimo de A: em que 0'0 = 1 e ln é o grau do polinómio mínimo (m ::; n). Solução. Seja, por definição, P = (si A)-l Então sP AP Multiplicando-se à esquerda ambos os membros desta equação por (sI A), vem De modo semelhante, multiplicando-se à esquerda ambos os membros desta última equação por (sI + A), obtém-se Problemas Ilustrativos e Soluções 631 Repetindo-se este processo, obtém-se o seguinte conjunto de equações: p=p sP = A2p + A + 51 S2p S3p I AP = A2 A 3p sA + + ... onde 117 é o grau do polinômio mínimo de A. Então, multiplicando-se SiP por a nesta ordem, e adicionando-se os produtos, obtém-se lll _ iCem que i = 0,1,2, ... , nl) nas 117 + 1 equações acima, 111 """a .L.J i=() /li-I A i - l i=2 ) III sm-2 ~ (11-114) i=m-I Observando-se que III """a .L.J ln ~··l Aip + = a,))P = O i--() é possível simplificar a Eq. (11-114) como a seguir: 111 111-) """ .L.J asip III - I III = """ si """ .L.J.L.J j=() +j p = i=() Portanto, = (51 - ~i~_-(_)_____ +~j_________ 111 """a .L.J 1 .5 rfl-l i=() Se o polinômio mínimo e o polinômio característico de A forem iguais, então 117 n. Se = 117 = n, então esta última equação se torna (11-115) (51 onde - AI ao = 1 i=() A-1l-16. Uma condição necessária e suficiente para se ter controlabilidade de estados completa é que não ocorram cancelamentos na função ou na matriz de transferência. Seja o sistema definido por x= onde x li 632 Ax Su, x(O) = vetor de estado (n-dimensional) = sinal de controle (escalar) Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados = O 01-116) A = matriz n X 11 B = matriz 11 X J Aplicando-se a transformada de Laplace à Eq. (11-116) e resolvendo-se em termos de X( s), obtém-se ( 11-117) X(s) onde (sI - IsI - AI p,/s) e p/ s) (i = 1,2, ... ,11) são polinómios em s. Em seguida será definido o que se entende por cancelamentos na matriz de transferência (sI AtlB. A matriz (sI - A)~IB é dita não ter cancelamentos se e somente se os polinómios PI(S), pis), ... , pjs) e IsI - AI não possuírem fatores em comum. Se (sI - A)~IB possuir um cancelamento, então o sistema não pode ser controlado na direção do modo cancelado. A)lB apresenta cancelamento se e somente se o posto de Mostrar que (sI p for menor que n. Solução. Seja, por definição, Através do uso da Eq. (11-115) é possível exprimir = j=O i=l +j '----'---'1' - - - - - (ao = 1) 2: i=O Defina-se 11 Vj 2: = i= l+j onde Vi é um vetor n-dimensional. Então (11-118) Admita-se que 4> possua um cancelamento. Então o numerador do segundo membro da Eq. (11-118) deve apresentar a seguinte forma: = onde um autovalor de A. Igualando-se os coeficientes de Problemas Ilustrativos e Soluções Si (s - S k) 2: sjw j (11-119) (i = 0, 1, 2, ... , 11 - 1) em ambos os membros da Eq. (11-119), obtém-se 633 Então + ... + o (11-120) A Eq. (11-120) implica ter-se n 2: a n n _ i A i - 1 R + Sk2: + ... + que pode ser reescrita como o (11-121) onde l/-i-1 Como o coeficiente de Ali-IR é C I ao = 1, a Eq. (11-121) implica que os vetores R, AR, ... , A"-IB são linearmente dependentes. Portanto, o posto de P é menor que n. Assim, fica provado que, se 4> apresentar um cancelamento, então o posto de P é menor do que n. Será provado, a seguir, que se o posto de P for menor do que n, então 4> apresenta cancelamento. Se o posto de P for menor do que n, então haverá constantes )l0' )II' ... , "YII -I' não-nulas simultaneamente, tais que Il - )loR + )ljAR Como R (sI A) 4> tem-se l1-j 1/--1 2: yiAi(sI 2: y A 4> i=() i A)4> i i=() Para s tal que IsI AI *- O, a Eq. (11-12) implica ter-se i=() yi A l 4> O Utilizando-se as identidades 4>=4> A4> = s4> - R A 2 4> s24> AR sR obtém-se 11-[ 2: YiAi 4> i'=() - s i=() O 634 1/-1 11-[ = Capítulo II/Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados 2: = O (11-122) Portanto, B 5 i=1 i=2 11-2 ~ sj 1=() i=j+ 1 ou n-2 11-1 51 qy = j=() ~ i=j+ 1 '-----,"'-1--,--1- - - - (11-123) ysl I o denominador da Eq. (11-123) indica que houve um cancelamento. Isto completa a demonstração. Ficou demonstrado, então, que a condição de se ter o posto da matriz i AB i A)- IB. igual a n é equivalente à condição de não se ter cancelamentos na matriz de transferência (sI A-ll-17. Mostrar que o sistema descrito por X y em que x u = = y A B C = vetor de estado (n-dimensional) vetor de controle (r-dimensional) vetor resposta (m-dimensional) (m :::; matriz 11 X n matriz 11 X r matriz m X n Ax (11-124) Bu (11-125) Cx = 11) tem saída completamente controlável se e somente se a matriz composta P m X P = CCB ... i CAB i 11 r, em que : CA II - 1B, - for de posto m. (Observe-se que a controlabilidade completa de estados não é condição necessária nem suficiente para se ter a controlabilidade completa de saída.) Solução. Admita-se que o sistema seja com saída controlável e que o valor de saída y(t), a partir de qualquer valor y(O) de saída inicial, possa ser transferido para a origem do espaço de valores de saída num intervalo de tempo finito O :::; t :::; T. Isto é, y(T) = Cx(T) O (11-126) Como a solução da Eq. (11-124) é em t T, tem-se Problemas Ilustrativos e Soluções 635 f [X(o) x(T) = e-A Ru(r) dr] (11-127) Substituindo-se a Eq. (l1-127) na Eq. (11-126), obtém-se y(T) Cx(T) [X(o) + f Ru(r) dr] (11-128) O Por outro lado, y(O) = Cx(O). Observe-se que a controlabilidade completa de saída significa que o vetor Cx(O) gera o espaço m-dimensional de saída. Como eU é não-singular, se Cx(O) gerar o espaço m-dimensional de saída, assim também o faz Ce\Jx(O) e vice-versa. A partir da Eq. (11-128) se obtém dr r)dr Note-se que Jor eA'Bu(T - r) eh pode ser expressa como uma soma de T - r) dr onde I T Yij ai(r)uj ( T r) dr escalar () e al r) satisfaz (p: grau do polinómio mínimo de a i( r) i=() e B) é a j-ésima coluna de B. Em conseqüência, pode-se escrever A partir desta última equação constata-se que se que se o posto de Q, onde Q i como é uma combinação linear de CAB i CA 2B i i = 0,1, 2, ... ,p - l;j = 1,2, ... , r). Note- (p :::; n) for 117, então o mesmo ocorre para o posto de P e vice-versa. [Isto é óbvio quando p = n. Se p < 11, então CN/B) (em que p :::; h :::; n -1) são linearmente dependentes de CB), Por conseguinte, o posto de P é igual ao de Q.] Se o posto de P for m, então CeATx(O) gera o espaço m-dimensional de saída. Isto significa que se o posto de P for 117, então Cx(O) também gera o espaço m-dimensional de saída e o sistema é de saída completamente controlável. Reciprocamente, suponha-se que o sistema seja de saída completamente controlável, mas que o posto de P seja k, onde k < m. Então o conjunto de todos os valores iniciais de saída pode ser transferido para a origem do espaço k-dimensional. Portanto, a dimensão deste conjunto é menor do que m. Isto contradiz a hipótese de que o sistema é de saída completamente controlável. Isto completa a demonstração. Note-se que é possível provar imediatamente que, no sistema das Eqs. (11-124) e (11-125), a controlabilidade completa de estados em O :::; t :::; T implica controlabilidade completa de saída em O :::; t :::; T se e somente se as m linhas de C forem linearmente independentes. A-1l-18. Discutir a controlabilidade de estados do seguinte sistema: (11-129) 636 Capítulo 11 / Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados Solução. Para este sistema A= R Como AR - [--23 1,51] [1]4 [14J observa-se que os vetores R e AB não são linearmente independentes e o posto da matriz [B i AR] é 1. O sistema, portanto, não é de estados completamente controláveis. Com efeito, a eliminação de X 2 na Eq. (11-129), ou seja, no sistema de equações, conduz a 2,5xl = li 2,5u ou, na forma de função de transferência, X 1 (s) = ------ U(s) (s 1) Observe-se a ocorrência de cancelamento do fator (s + 2,5) em numerador e denominador da função de transferência. Devido a este cancelamento, este sistema não é de estados completamente controláveis. Este é um sistema instável. Convém lembrar que estabilidade e controlabilidade são coisas bastante diferentes. Há muitos sistemas que são instáveis, mas que são de estados completamente controláveis. A-1l-19. A representação de um sistema no espaço de estados, sob a forma canónica controlável, é dada por [~;] ~ l~,4 v -:,3W:l [0,8 [~] II 1][~;] (11-130) (11-131) O mesmo sistema pode ser representado pela seguinte equação no espaço de estados, que está na forma canónica observável: Xl] [X2 = [01 -OA] [Xl] [0,8] 1,3 1 Y = [O X2 li 1J [Xl] (11-132) (11-133) X2 Mostrar que a representação no espaço de estados dada pelas Eqs. (11-130) e (11-131) fornece um sistema que é de estados controláveis mas não observáveis. Mostrar, por outro lado, que a representação no espaço de estados definida pelas Eqs. (11-132) e (11-133) fornece um sistema que não é de estados completamente controláveis mas observáveis. Explicar o que causa a diferença evidente na controlabilidade e na observabilidade do mesmo sistema. Solução. Considere-se o sistema definido pelas Eqs. (11-130) e (11-131). O posto da matriz de controlabilidade é 2. Portanto, o sistema é de estados completamente controláveis. O posto da matriz de observabilidade * i Problemas Ilustrativos e Soluções N' C*J = O8 [ ~ -OA] -0,5 637 é 1. Portanto, o sistema é não-observável. Considere-se, a seguir, o sistema definido pelas Eqs. (1 ] -] 32) e (l1-133). O posto da matriz de controlabilidade é 1. Por conseguinte, o sistema não é de estados completamente controláveis. O posto da matriz de observabilidade é 2. Portanto, o sistema é observável. A diferença evidente entre a controlabilidade e a observabilidade do mesmo sistema é causada pelo fato de que o sistema original apresenta cancelamento de pólos e zeros na função de transferência. Com base na Eq. (3-32), tem-se G(s) = C(sI - Usando-se as Eqs. (11-130) e (l1-133), então G(s) [0,8 S 1 + 1,3 l~l [OJ 1 1 ------[0,8 1,3s + 0,4 (s s + + 0,8)(s 0,5) [Observe-se que a mesma função de transferência pode ser obtida a partir das Eqs. (11-132) e (11-133).] Evidentemente, ocorre cancelamento nesta função de transferência. Quando ocorre cancelamento de pólos e zeros na função de transferência, então a controlabilidade e a observabilidade variam, dependendo de como se escolhem as variáveis de estado. Convém lembrar que para ser completamente controlável e observável, a função de transferência não deve ter nenhum cancelamento de pólos e zeros. A-H-20. Provar que o sistema definido por onde x vetor de estado (n-dimensional) y = vetor de saída (m-dimensional) (m A matriz nX n C = matriz m X 11 x= Ax y Cx = ::s; n) é completamente observável se e somente se a matriz composta P mn X n, onde C CA P= for de posto n. Solução. Primeiramente será obtida a condição necessária. Admita-se que posto de P 1Y\nnrY1C>r'I leClen,oa do eixo dos x e do eixo dos y. Uma colocar título no do eixo dos ,x e do eixo dos vez que se tenha uma é e colocar rótulos nos eixos x e y. Os comandos MA TLAB para y são (reticu lado) (título) xlabel (legenda do eixo dos x) ylabel (legenda do eixo dos y) Note-se que, uma vez que o comando de eIXOS x y ser colocados no "JUUHL.,U.~,'-"J Escrevendo texto sobre a tela ,., ... ~... ",.. ~ tenha sido trazido de Para se escrever texto o título e as o come~çando dos Lvl","-'U'"HAcJ no ponto (X, Y) da tela utiliza o comando text(X, Y,'texto') Por o comando 'sen ti) escreverá horizontalmente a AV''',.""C""", sen t come~çando no ponto de coordenadas plot(xl, yl os comandos '2') text(xl ,yl /1'), marcam as duas curvas de modo que elas possam ser facilmente Além '-'''>L''Lf-,~UU.U..", plot(X, V/Xl) traça um de pontos utilizando símbolos X, enquanto utiliza uma linha de para a curva e uma linha de símbolos ( + ) para a de linhas e de símbolos para as linhas de pontos de ponto de linha Cheia Ponto Sinal mais De pontos Seção A-2 / Traçando Curvas de Resposta + Asterisco Círculo O Marca em X X c'Vr"~H'U.U curva. São os ~d c'Vf"ULUU.. os Cores. Os comandos I rI) I+g/) e de uma curva de marcas indicam o uso de uma linha vermelha no vermelho verde azul branco invisível são em verde. As cores g b w são postos em escala automaticamente. Este para o automático. em que o é e os gráfico permanece como corrente até que um outro automático de referentes a cureixos são automaticamente postos em nova escala. Os "',.,"ólr)'V)(' de e similares são r"",,,Ar .. vas de resposta transitória, das trabalhar com uma ampla gama de sistemas mas não são sempre em determinadas a característica de colocação automática dos eixos em escala filcnnnn,p no comando ,nLl.lL.\-,UU r1 ,'HUL'YU'\.,,), LCHocaçao manual dos eixos em escala. v [x-mín Se se traçar uma curva numa x-máx y-mín eSIJeCIIlI::aC!a por y-máxl deve ser digitado o comando axis(v). O comando axis(v), onde v é um veto r de quatro os eixos dentro dos limites especificados. Nos os elementos de v são os dos valores mínimo e máximo. A execução de axis(v) o corrente de escala dos eixos para os axis novamente, retoma-se a colocação em escala automática. O comando axis (/square/) faz com que o resultante numa tela em forma de a 1 é mostrada com verdadeira de 45°, e não distorcida de aspecto quadrado, uma reta com tangente de aspecto forma irregular da tela do monitor. O comando axis(/normal/) faz retornar a Nesta serão discutidos os cálculos de normas, de autovalores, de autovetores, de autovalores e de autovetores generalizados, do valor de dentre outros. Normas. norma de uma matriz é um escalar que dá diferentes são comumente usadas. Uma dessas medida do tamanho da matriz. Diversas fio·t1""",,,,,c fip·t1n10r\PC norma de maior valor dos elementos de De modo semelhante, para a norma de um vetor Uv.UUlyL'.V comumente utilizada norm(x) = Ver o ('c>cnllnté' x [2 3 6J; norm(x) ans 7 Autovalores e autovetores. Se A for uma matriz II X n, então os = Àx Apêndice / Fundamentos Necessários ao Uso Efetivo do MA TLAB 11 números À que satisfazem são os autovalores de A. Eles são obtidos usando-se o comando que retorna os autovalores na forma de um vetor-coluna. Se for real e os autovalores serão reais. Porém, se A não for simétrica, os autovalores serão freqüentemen- o comando ans o+ O 1.0000i 1.0000i ter argumentos de saída ou múltiplos. Por exemplo, como foi visto anteriormenum vetor-coluna que consiste nos autovalores de enquanto o comando de designação dupla os autovalores e os autovetores. Os elementos da matriz diagonal D são os autovalores e as colunas de X são os autovetores tais que AX XD Por v/\.'~H11J"J, se r o o 1 o 6 -11 J então a sentença DI eig(A) fornece o seguinte resultado: [X,D] eig(A) X 0.5774 0.5774 0.5774 0.2182 - 0.4364 0.8729 0.1048 0.3145 0.9435 1.0000 O O O 2.0000 O O O 3.0000 D Seção A-3 / Calculando Funções de Matrizes 795 Os autovetores são normalizados de modo que a norma de cada um seja 1. Se os autovalores de uma matriz forem distintos, os autovetores serão sempre independentes e a matriz de autovetores X diagonalizará a matriz original A se for usada como matriz de uma transformação de similaridade. Contudo, se uma matriz possui autovalores repetidos, ela não é a menos que possua um conjunto pleno de autovetores (ina matriz original é dita defectiva. Mesmo quando a matriz é dependentes). Se os autovetores não forem defectiva, a solução de eig satisfaz a relação AX Autovalores Qeneirallzaaols e autovetores aeneralIIZéW()S. Se A e são matrizes quadradas, então o comando eig(A,B) retorna um vetor contendo autovalores gel1erallzaclOS que resolvem a equação = ABx onde A é um escalar. Os valores de A que satisfazem a são os autovalores valores de x são os autovetores generalizados. Para se obterem os autovetores, utiliza-se o comando de dupla atribuição como a I",vllVlLU1.LU'-lV,) e os cOlrrespcmClentes eig(A,B) Isto produz uma matriz diagonal D de autovalores correspondentes de modo que colunas são os autovetores = BXD Por exemplo, se = A r-4~ r~ 1 o ~l -6 -4 o ~l 1 o então eig(A,B) fornece ans 0.3129 0.3129 0.6258 e [X, 2.5087i 2.5087i O.OOOOi = eig(A,B) produz [X,O] eig(A,B) X 0.7309 - 0.0178 0.6336 0.0144i 0.2S03i 0.0336i 0.6720 0.2880i - 0.0776 - 0.2387i 0.5745 0.2693i - 0.2390 0.2459 0.1539 0.5893i 0.6062i 0.3794i o 0.3129 - 2.5087i O O Apêndice / O 0.3129 O 2.S087i Fundamentos Necessários ao Oso Efetivo do MATLAB O O 0.6258 - O.OOOOi Os autovetores são postos em escala de modo que a norma de cada um deles é . característica. ..... "i ........ ..". ... "'" As raízes da característica são as mesmas dos autovalores da matriz ser calculada por meio de = poly(A) p Por v"''-'i:4 I 5*i [2- 6-il; abs(A) ans = 2.8284 3.1623 6.4031 6.0828 0.7854 0.8961 1.2490 0.1651 ans ...... ~-I . . ."" ........... e ..... ~M' ...."c'-" de fase de um número de fase de um número com- ,rnrn,... lo",r>. r = teta = e a sentença z = converte-os de volta ao número complexo r.:xPOlne:nC:lal de matriz. éa '"'''tJ,--""",n,-"''-H de uma matriz 17 X n. Isto é, A+-+'" .1. Note-se que a transcendental é como em expm(A) ou Matrizes de utilidade. No de matrizes se um "m" for acrescido ao nome da .nt""·y,,·,,,t ... rl as ones(n) ones(m/n) zeros Apêndice / Fundamentos Necessários ao Uso Efetivo do geram matrizes Isto é, ones(n) matriz ln X n de elementos a um. uma matriz ln X fi de zeros. A A for escalar. a um. ones(m,n) uma uma matriz fi X 11 de zeros, enuma matriz de zeros com as mesmas Matriz identidade. Em programas é necessário tre:aü,enternente entrar com a matriz identidade I. Uma sentença eye(n) fornece uma matriz identidade n X 17. Isto é, eye(5) ans = O O O O O O O O O O O O Se x é um vetor, a sentença diag(x) para o vetor nal O O O O O O O O uma matriz Ulrn , e Note-se que os resíduos retornam sob a forma de vetor-coluna r, os direto na forma de um vetor linha k. é a re~)re:senlta~;ao ciais: s +.3 sob a forma de um vetor-coluna exoa11S3lO de em ."_"CU~'Hv .3 +-'-+--+ s + 1 comando [num,den] = residue(r,p,k) anterior. converte a [num,denj ~v'~r,,~r'n,~ em po- residue(r,p,k) num 2.0000 den 5.0000 3.0000 6.0000 6.0000 11.0000 6.0000 = 1.0000 Conversão de modelo contínuo no '-"""Tlnn o comando para discreto no fG,Hl = onde Tsé o de amostragem em Se~wnIQOS, converte o modelo de espaço de estados contínuo no em discreto no tempo, considerando-se a existência de um de ordem zero nas entradas. Isto é, com este comando + é convertido para +1) por v~''-'U'IJ''J. o .J'-i"U~uc\,.c sistema contínuo no tempo: Pode-se obter um sistema discreto por meio do comando é suposto a 0.05 s. Ver a CÇ>.(~1l1nto saída MATLAB. Seção A-4 / Modelos Matemáticos de Sistemas Lineares H]= o ",,,,,.,,,1'1,, de amostragem T s G 0.97088325381929 1.12117605956599 0.04484704238264 0.79149508428874 H 0.00116466984723 0.04484704238264 o sistema discreto equivalente no espaço de estados é dado por Xl(k + 1)J = [ 0,9709 [x2(k 1) -1.1212 0,04485] [Xl(k)] + [0,001165J x2(k) 0,04485 Resumo. O material apresentado neste apêndice constitui um para o MATLAB. Como todos os cálculos e gráficos neste livro são feitos com o o leitor deve estar familiarizado com o material deste Q",,,'nr110C> Apêndice / Fundamentos Necessários ao Oso Efetivo do MA TLAB A-3 B-I B-2 B-3 B-4 B-5 B-6 C-I C-2 C-3 C-6 C-7 C-8 O-I D-2 E-I E-3 F-I F-2 F-] G-I G-2 G-3 G-4 G-5 H-I H-2 H-3 l-I 1-\ K-l K-2 K-3 K-4 K-5 K-6 Ackermann, J. 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