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Seus textos utilizam axiomas, ou seja, afirmações que não exigem provas para que se considerem verdadeiras. Todas as proposições e os teoremas são provados com as definições já demonstradas anteriormente. O ponto, a reta e o plano são os elementos que constituem o início da construção do sistema axiomático de Euclides, daí serem considerados conceitos geométricos primitivos. No século XVII, o francês René Descartes sofisticou a noção de ponto ao propor, no plano cartesiano, o ponto como um par ordenado de coordenadas (x, y), dando início à geometria analítica. Foi a partir dessas ideias básicas, inicialmente não muito mais sofisticadas do que o que se aprende hoje nos ensinos fundamental e médio, que começaram a se desenvolver a arquitetura, o planejamento urbano, a astronomia e várias outras ciências.
*MÓDULO 1*
Geometria Avanço lento e gradual A geometria é uma das áreas mais antigas no campo da matemática: sua origem remonta a muitos séculos antes de Cristo. Os historiadores dizem que ela surgiu no Egito. Quando o rio Nilo enchia, na vazante, e apagava as delimitações dos terrenos dos egípcios, era preciso recorrer aos conhecimentos geométricos para recalcular e redistribuir tudo. Para calcular a forma da Terra e a distância dos planetas e das estrelas, era a geometria que socorria os estudiosos. “Na história da matemática, os gregos da Antiguidade se destacam por ter inventado a maneira como a matemática moderna é levada a cabo: por meio de axiomas, provas, teoremas, mais provas, mais teoremas, e assim por diante”, escreve o físico e estatístico norte-americano Leonard Mlodinow. Diversos dos grandes formuladores das teorias da probabilidade, cujo trabalho é apresentado no livro O Andar do Bêbado, de Mlodinow, começaram a carreira como geômetras (especialista em geometria). A humanidade passou quase 2.000 anos para transformar esses entes geométricos em fórmulas matemáticas, o que só foi possível em meados de 1600, com o amadurecimento da álgebra. Com isso, tornou-se possível descrever e efetuar cálculos das formas planas, como quadrados, triângulos e círculos por meio de símbolos matemáticos como as letras que utilizamos hoje em dia. “Os gregos, gênios da geometria, criaram um pequeno conjunto de axiomas, verdades matemáticas aceitas sem contestação, e avançaram a partir daí, provando muitos teoremas elegantes que detalhavam as propriedades das retas, planos, triângulos e outras formas geométricas”, diz Mlodinow. “A partir desse conhecimento, conseguiram discernir, por exemplo, que a Terra tem a forma de uma esfera e chegaram até a calcular seu raio.” Platão, um dos patriarcas da filosofia, criou a Academia. Ali, durante 15 anos, seus pupilos começavam estudando a matemática e a geometria para, ao final, estudar a arte de esgrimir argumentos, a dialética. Na época, estava sendo desenvolvido o estudo dos átomos, mas ainda se acreditava que o mundo era feito de apenas quatro elementos – terra, fogo, ar e água. Platão propôs que os átomos desses elementos tinham a forma de sólidos específicos: tetraedros (4 faces) para o fogo, hexaedros (6 faces) para a terra, octaedros (8 faces) para o ar e dodecaedros (12 faces) para a água. Para Teeteto, colaborador de Platão, o universo estaria envolvido por um gigantesco icosaedro (20 faces). Tanto os sólidos geométricos quanto as figuras planas seriam formados por elementos ainda mais primitivos, como o ponto, a reta e o plano. Euclides sintetizou grande parte dos conhecimentos geométricos em seus 13 livros, chamados de Elementos, elaborados por volta do terceiro século antes de Cristo.
REPRODUÇÃO
Diagramas do livro Elementos, do matemático grego Euclides
165
A geometria é uma das áreas mais antigas da matemática. Durante séculos foi considerada uma espécie de “rainha” dessa ciência por ter utilidade eminentemente prática, como para medir terrenos, alturas e distâncias.
O ponto, a reta e o plano são os conceitos geométricos primitivos. Essas e outras noções fundamentais da geometria foram sintetizadas pelo matemático Euclides, no terceiro século antes de Cristo, por meio de axiomas – verdades matemáticas aceitas sem contestação.
A geometria analítica, disciplina que une geometria e álgebra, teve forte influência do francês René Descartes, que propôs localizar pontos no plano usando um sistema de coordenadas e, a partir disso, calcular suas distâncias e outras relações. No plano bidimensional , podemos representar figuras planas; usando um sistema de três eixos , podemos representar objetos tridimensionais e localizar pontos no espaço.
O sistema de coordenadas geográficas foi muito útil para o desenvolvimento de aparelhos de localização, como o GPS (Global Positioning System), que vem se tornando cada vez mais popular com as tecnologias de comunicação móvel.
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processa para transformá-las em um tipo de desenho que dê sensação de profundidade, como se vê na vida real. Em 2007, a produtora dispunha de 100 supercomputadores para dar animação às imagens. Transformar matematicamente cada segundo de animação – ou 24 imagens – toma seis dias em um computador. Na cena do desenho animado desta página, há vários elementos gráficos que podem ser representados por uma equação. Repare, por exemplo, na corda que prende o menino Russell à corda puxada por Fredricksen. A corda esticada tem a forma de uma reta, que pode ser representada pela equação . Já o nariz de Fredricksen poderia ter seu “volume” calculado pela fórmula , pois é semelhante a uma esfera. Com a ajuda da computação gráfica, essas fórmulas viram desenhos que divertem multidões de espectadores.
********** ATIVIDADES 1 ********** Texto para as questões 1 e 2.
Por todos os lados As formas estão nos objetos domésticos mais simples, assim como nas sofisticadas animações em 3D
Formas e medidas nos cercam por toda parte. Lidamos com elas para decorar o quarto, atravessar a rua ou até mesmo organizar a comida no prato. Em particular, os produtores de desenhos animados trabalham muito bem com elas. Em Up – Altas Aventuras, da produtora Pixar, o vendedor de balões aposentado Carl Fredricksen é fascinado por voar desde a infância e sonha em um dia explorar o Paraíso das Cachoeiras, desbravado por seu herói Charles Muntz. O filme ganhou em 2010 o Oscar de melhor animação e o de melhor trilha sonora.
O software RenderMan identifica e depois modela cada uma das formas geométricas em imagens, e as transforma para que ganhem sensação de profundidade Superinteressante, São Paulo, dez. 2010.
.1. (AED-SP)
DIVULGAÇÃO
“Sem a matemática, não teríamos esses ambientes e personagens visualmente ricos”, disse o cientista da computação Tony DeRose, da Pixar, a produtora do filme Up
O que significa “matematizar” uma forma? ___________________________________________________ ___________________________________________________
Durante toda a vida, Fredricksen cercou-se de objetos geométricos, desde os balões com que trabalhava – e que ajudaram sua casa a levantar voo – até um pequeno distintivo feito com uma tampinha de refrigerante, que ganhou de presente de sua falecida mulher, Ellie. Muitas dessas formas podem ser matematizadas – ou seja, transformadas em sentenças matemáticas para que os computadores gráficos das produtoras consigam transformar essas sentenças em desenhos. “Sem a matemática, não teríamos esses ambientes e personagens visualmente ricos”, disse o cientista da computação Tony DeRose, da Pixar, à revista Science Daily. Para dar vida a filmes como Up, a Pixar criou um software especial, chamado RenderMan. O programa identifica as formas geométricas de cada imagem e as
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.2. (AED-SP) Qual a função do software RenderMan? ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ 166
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Girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada, obtêm-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita.
.3. (UNESP) Considere as seguintes proposições: todo quadrado é um losango; todo quadrado é um retângulo; todo retângulo é um paralelogramo; todo triângulo equilátero é isósceles. Pode-se afirmar: (A) (B) (C) (D) (E)
só uma é verdadeira. todas são verdadeiras. só uma é falsa. duas são verdadeiras e duas são falsas. todas são falsas.
.4. (UNESP) Se é um plano e então:
uma reta não perpendicular a
,
(A) não existe um plano passando por perpendicular a . (B) existem, no mínimo, dois planos passando por e perpendiculares a . (C) existe um e só um plano passando por e perpendicular a . (D) existe uma infinidade de planos passando por e perpendiculares a . (E) todo plano passando por não é perpendicular a .
A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é:
.5. (FATEC-SP, adaptada)
(A) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. (B) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A. (C) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C.
A reta é um dos conceitos primitivos da geometria. A partir desses conceitos, pode-se construir todos os outros elementos da geometria. É correto afirmar que:
Texto para as questões 8 e 9.
(A) por três pontos não colineares passa uma única reta. (B) quando traçamos uma reta, sabemos onde ela inicia e onde ela termina. (C) por um único ponto passa uma única reta. (D) por dois pontos passam duas retas distintas. (E) entre dois pontos distintos de uma reta existem infinitos pontos.
A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a Câmara dos Vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da Câmara dos Vereadores.
.6. (FUVEST-SP) Os entes geométricos estão em tudo que nos cerca. Daí talvez a origem da famosa frase atribuída a Pitágoras: “Tudo são números”. Se pensarmos em uma avenida, em uma rua, no pneu de um carro e no telhado de uma casa, estamos nos referindo nessa ordem, abstratamente, aos conceitos matemáticos de: (A) (B) (C) (D) (E)
(D) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C. (E) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A.
retas paralelas, reta, circunferência e triângulo. retas concorrentes, ponto, círculo e quadrado. retas paralelas, ponto, circunferência e triângulo. retas concorrentes, reta, circunferência e triângulo. retas paralelas, reta, círculo e quadrado.
.7. (ENEM-MEC) Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo. 167
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.8. (UNICAMP-SP, adaptada)
********** ATIVIDADES 2 **********
Com base nas informações mencionadas, se a delegacia da cidade se situa na Av. Juscelino Kubitschek e é o ponto mais próximo entre a prefeitura e esta avenida, as coordenadas em que se localizaria a delegacia no mapa estão enunciadas no item: (A) (B) (C) (D) (E)
C1 H1
(2, 4). (4, 2). (3, 4). (4, 3). (2, 2).
Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais. Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
.11. (ENEM-MEC) Em Alexandria viveu Diofante, entre os anos 325 e 409, e a pequena parte de sua obra que chegou até
.9. (UNICAMP-SP, adaptada)
nossos dias revela a mais antiga prática de abreviações na Matemática.
Seguindo a forma de determinação dos lugares apresentada pelo mapa anterior, podemos determinar os lugares da catedral, prefeitura e câmara, respectivamente, por meio das coordenadas:
algumas expressões são escritas e outras abreviadas.
(A) (B) (C) (D) (E)
Na história da álgebra, no período anterior a Diofante, expressões são apresentadas só com palavras, inclusive os números. Com Diofante, surge a álgebra, na qual
(2, 1); (1, 2); (5, 3). (1, 2); (3, 1); (5, 2). (1, 1); (1, 3); (3, 5). (1, 1); (3, 1); (3, 5). (1, 1); (3, 1); (5, 3).
Adaptado de GUELLI, Oscar. Uma aventura do pensamento. Sexta série. Editora Ática.
Na linguagem de Diofante, por exemplo, “u 3” significa 3 unidades, “M” significa menos e, quando não há nenhum sinal, significa uma adição.
.10. (ENEM-MEC) A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nível, que são curvas fechadas representando a altitude da região, com relação ao nível do mar. As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza desenhada à direita está associada à altitude da região.
As frases abaixo estão escritas em símbolos de Diofante.
x u 3 é igual a u 6 M u 7 é igual a u 10
Em símbolos atuais, as frases podem ser escritas, respectivamente, por (A) (B) (C) (D) (E)
x + 3 = 6 e x – 7 = 10 3x = 6 e x – 7 = 10 x + 3 = 6 e 7x – 10 = 0 3 – x = 6 e 7x = 10 3 – x = 6 e x – 7 = 10
________________________________________________ *Anotações*
Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto X = (20; 60). O helicóptero segue o percurso: 0,8º L 0,5º N 0,2º O 0,1º S 0,4º N 0,3º L. Ao final, desce verticalmente até pousar no solo. De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cuja altitude é (A) (B) (C) (D) (E)
menor ou igual a 200 m. maior que 200 m e menor ou igual a 400 m. maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. maior que 800 m. 168
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Identificar padrões contagem.
numéricos
ou
princípios
de H4
.12. (ENEM-MEC)
Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
.14. (ENEM-MEC)
Os sistemas de escrita numérica mais antigos que se
Em certo país, o presidente eleito permanece no cargo por 5 anos, enquanto um prefeito é eleito para um mandato de 4 anos. No ano de 1998, houve eleições tanto para presidente quanto para prefeitos.
conhecem são os dos egípcios e dos babilônios, que datam aproximadamente do ano 3500 a.C. Os egípcios usavam um sistema de agrupamento simples, com base 10.
As eleições para presidente e para prefeitos nesse país voltarão a ocorrer no mesmo ano em
Texto: Valéria Ostete Jammis, Luchetta, 21/10/2000. Cajou, Florian. A history of Mathematical Notations, Dover Publications INC, New York, 1993.
(A) (B) (C) (D) (E)
Para eles, um traço vertical valia 1; o número 10 era representado por um osso de calcanhar invertido; o 100, por um laço; e o 1000, por uma flor de lótus. Outros números eram escritos com a combinação desses símbolos.
2008. 2014. 2018. 2020. 2028.
H5
Os números abaixo estão escritos em símbolos egípcios.
Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
.15. (ENEM-MEC) O prefeito de uma cidade de porte médio dispõe do número de habitantes de cada bairro e do número de óbitos do primeiro semestre de 2002: Bairro Vista Alegre Pitombo Vila do Bento Jardim das Rosas
Em símbolos atuais, os números podem ser escritos, respectivamente, por (A) (B) (C) (D) (E)
2223 e 1222. 1222 e 6322. 2236 e 1122. 2336 e 1222. 1336 e 1122.
H3
População 6.230 34.591 10.100 6.900
N.º de óbitos 341 83 41 131
Considerando o índice de mortalidade (razão entre o número de óbitos e o de habitantes), o prefeito deveria empregar a maior parte da verba no(s) bairro(s) (A) (B) (C) (D) (E)
Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
.13. (ENEM-MEC) As distâncias entre as estrelas, os planetas e os satélites são muito grandes. Como o quilômetro não é uma unidade adequada para medir essas distâncias, criou-se a unidade “ano-luz”. O ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano. Considerando que a luz se desloca no vácuo a cerca de 300 mil quilômetros por segundo, o ano-luz equivale a aproximadamente 9 trilhões e 500 bilhões de quilômetros.
Pitombo. Vila do Bento. Vista Alegre. Jardim das Rosas. Pitombo e Vila do Bento, pois o índice é o mesmo.
________________________________________________ *Anotações*
Usando potências de base 10, podemos escrever: (A) (B) (C) (D) (E)
1 ano-luz = 95 x 109 km 1 ano-luz = 95 x 1010 km 1 ano-luz = 95 x 1011 km 1 ano-luz = 95 x 1012 km 1 ano-luz = 95 x 108 km 169
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*MÓDULO 2*
Matemática financeira – Juros
Podemos unir essas duas equações em uma só. Com ela, todos os problemas que envolvam os juros simples podem ser resolvidos (a letra significa “montante”):
Uma só canetada A questão dos juros atinge “as mais diversas e surpreendentes esferas da vida prática, social e espiritual, a começar pelo processo de envelhecimento a que nossos corpos estão inescapavelmente sujeitos”, escreveu o economista Eduardo Gianetti da Fonseca no livro O Valor do Amanhã (Companhia das Letras, 2005). Segundo ele, o deterioramento da saúde na velhice é o juro que se paga pela longevidade. Paga-se no futuro o que se aproveita no presente. O conceito de juros é quase tão antigo quanto o uso da moeda. Eles são a remuneração pelo capital – ou seja, a forma de recompensar quem emprestou por esperar pela devolução do dinheiro. Estamos pagando para a pessoa (ou o banco) não gastar o dinheiro com outra coisa. O tamanho dos juros, porém, expressa também o medo que o emprestador tem de não ser pago. Em contextos em que há receio pelo cumprimento dos pagamentos, portanto, os juros sobem – dessa forma, o lucro maior nos empréstimos compensa os possíveis calotes que parte dos clientes, já se espera, deve dar. E também, infelizmente, as pessoas que pagam em dia acabam pagando mais caro por causa das que dão calote. Há basicamente dois tipos de juro que são usualmente cobrados pelo mercado. O primeiro é o juro simples, cujo aumento percentual incide somente sobre o capital, isto é, o valor inicial da transação – seja empréstimo, compra ou renda. O segundo é conhecido como juro composto, pois seu aumento percentual incide sobre o agregado do capital e de juros anteriores ao período. Isto é, é um juro que incide pelo juro já cobrado – daí o infame efeito “bola de neve”, que estudaremos a seguir. Neste módulo, veremos como você pode resolver problemas que envolvam os juros simples. Os juros simples são a maneira mais fácil de calcular juros. Aqui, eles incidem sobre o capital principal. Não são comumente usados nas finanças profissionais, porque os períodos de empréstimo geralmente ocorrem em vários meses e anos, mas são importantes para compreender o conceito de juros. Acompanhe um caso hipotético. Uma pessoa tem uma aplicação inicial (representada por , de “capital”), uma taxa de juros ( , de “interesse”, nome dos juros em inglês e espanhol, geralmente representado em forma decimal) e um período ( , de “tempo” em meses, ou anos, ou dias, dependendo do contrato assinado). A fórmula é:
Fatorando essa expressão, podemos simplificá-la e chegarmos à fórmula final dos juros:
DEDOC / RUBENS CHAVES
Fila em banco: juros são tão antigos quanto o uso da moeda
Se ela tomou emprestados R$ 1.000,00, a uma taxa de juros de 5% ao mês (ou 0,05, na forma decimal), para pagar após dez meses, o cálculo do quanto vai pagar de juros fica assim: 170
Porcentagem é uma ferramenta importante para comparar grandezas diferentes. Ela pode ser calculada como uma proporção, multiplicando-se depois por 100 e inserindo o símbolo %.
Determinar o valor que sofre uma transformação percentual é fundamental. Um aumento de 10% num salário de 1.000 reais significa um acréscimo de 100 reais ao contracheque. Posteriormente, um desconto de 10% no salário resultante, de 1.100 reais, significa um corte de 110 reais. Embora seja a mesma porcentagem, o tamanho do corte é diferente.
Somar porcentagens de todos os subgrupos dentro de um grupo resulta sempre em 100%. As porcentagens podem passar de 100 se cada um dos indivíduos puder fazer mais de uma escolha.
Multiplicar e dividir porcentagens é um risco. Use a regra de três para saber quanto uma porcentagem de um subgrupo significa dentro do grupo.
Inflação é o fenômeno em que a correção monetária corrói o valor do dinheiro. No Brasil, esse processo se acelerou nas décadas de 1980 e 1990.
Juros são a remuneração do capital – ou seja, o que se paga pelo direito de usar dinheiro alheio. Expressam a incerteza no recebimento.
Juros simples são os juros aplicados apenas sobre o capital. Para calcular, use a fórmula J=C∙i∙t, em que é o capital, é a taxa e é o tempo ou prazo.
Montante é o capital somado de juros, ou o tamanho da dívida depois de remunerado o capital.
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Juros compostos, usados pelos bancos, acumulam juros sobre juros. Para calcular o montante, use a fórmula , em que é o capital, é a taxa e é o tempo ou prazo considerado.
Pesquisas eleitorais usam porcentagens para mostrar a proporção dos eleitores que pretendem votar em cada candidato. Para decidir a eleição, porém, contam apenas os votos válidos.
Ponto percentual é o conceito usado para dizer que alguém tinha 10% de intenção de voto e caiu para 5% das intenções – ou seja, perdeu 5 pontos percentuais, e não 5% das intenções que tinha. Novamente, é uma questão de qual é a base a que nos referimos.
controlar a inflação. E como isso funciona? Quando a taxa Selic é reduzida, fica mais fácil fazer empréstimos, as pessoas passam a comprar mais e os preços tendem a subir, elevando assim a inflação. Por outro lado, quando a taxa de juros sobe, o consumo diminui, derrubando também os preços e mantendo a inflação controlada. A taxa de juros alta cria vantagens e desvantagens. Para os investidores especulativos estrangeiros que investem em títulos brasileiros, juros altos representam mais lucro – assim, mais dólares são injetados no mercado interno brasileiro, mantendo a cotação da moeda nacional controlada. O câmbio também interfere nos preços que chegam ao consumidor, mais um fator de controle da inflação. No entanto, se a taxa de juros permanece alta por muito tempo, as pessoas passam a comprar menos e as indústrias diminuem a produção, o que acaba provocando desemprego. Por isso existe tanta pressão para a queda nos juros, para dar ânimo ao setor produtivo, que passa a contratar mais, impulsionando assim toda a economia. Em 2011, na primeira reunião do Copom durante o governo de Dilma Rousseff, realizada em janeiro, o comitê decidiu elevar a taxa Selic de 10,75% para 11,25% ao ano. Com isso, Alexandre Tombini, o novo presidente do Banco Central, que assumiu o cargo no início deste ano, manteve a tradição de elevar os juros na sua primeira reunião no comando da instituição. A última vez que um presidente do Banco Central assumiu o cargo e não elevou a taxa básica de juros foi em 1997, na gestão de Gustavo Franco.
********** ATIVIDADES 1 ********** Texto para as questões de 1 a 3.
Para que serve o Copom Como as taxas de juros são usadas pelas autoridades monetárias para controlar a inflação e regular a economia
De tempos em tempos, você ouve no noticiário que o governo “aumentou os juros em meio ponto” ou “baixou os juros em 0,75 ponto”. Você sabe o que isso significa? Essa medida é parte da política econômica definida pelo Banco Central e decidida nas reuniões do Comitê de Política Monetária (Copom). Criado em 1996, nos mesmos modelos dos comitês monetários dos bancos centrais norte-americano e europeus, o Copom tem como objetivo criar diretrizes transparentes para a política monetária brasileira e definir a taxa de juros, visando a controlar a inflação. A taxa básica de juros, a Selic, define o valor dos juros de empréstimos baseados em títulos públicos, que os bancos fazem uns com os outros. Assim, a taxa acaba sendo um fator importante no custo do dinheiro e influencia os juros que os bancos cobrarão de seus clientes. A taxa Selic é fixada na reunião do Copom e vigora até a reunião seguinte. O Copom é formado pela diretoria colegiada, o presidente e várias autoridades do Banco Central, que, por sua vez, é subordinado ao Ministério da Fazenda. Desde 1999, o Copom estabelece metas de inflação para o país, uma das principais diretrizes da política monetária atual. Para definir a taxa básica de juros, o comitê faz uma análise da conjuntura econômica atual, levando em consideração fatores como inflação do mês anterior, economia internacional, finanças públicas, balanços de pagamentos, mercado monetário, perspectivas da inflação, expectativas para variáveis macroeconômicas entre outros. Levando tudo isso em conta, a flutuação da taxa de juros visa, principalmente, a
Veja, 9/3/2011.
.1. (AED-SP) Como a taxa Selic influencia os juros dos bancos? ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________
.2. (AED-SP) Como o aumento de juros controla a inflação? ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________
.3. (AED-SP) Qual o perigo de juros muito altos? ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ 171
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.4. (FUVEST-SP)
.7. (PUC-PR)
Há um ano, Bruno comprou uma casa por R$ 50.000,00. Para isso, tomou emprestados R$ 10.000,00 de Edson e R$ 10.000,00 de Carlos, prometendo devolver-lhes o dinheiro, após um ano, acrescido de 5% e 4% de juros, respectivamente.
Vidal fez um empréstimo de certo valor, para ser quitado ao final de quatro meses, em parcela única. A taxa de juros negociada com o gerente do banco foi de 5% ao mês. Exatamente um mês depois, sua namorada Madalena emprestou, do mesmo banco, um valor para ser pago ao final de três meses, também em parcela única, ou seja, ambos os empréstimos vencem no mesmo dia. Sabe-se que o valor emprestado por Vidal é superior a dois salários mínimos. (Considerar juros simples.).
A casa se valorizou 3% durante esse período de um ano. Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou o combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de: (A) (B) (C) (D) (E)
R$ 400,00. R$ 500,00. R$ 600,00. R$ 700,00. R$ 800,00.
Considerando o que foi exposto, assinale a alternativa correta. (A) Se o casal emprestou valores iguais, ainda que Madalena pague uma taxa de juros 30% maior do que a taxa devida por Vidal, seu saldo devedor será menor do que o do seu namorado. (B) Se Madalena emprestou um valor 10% superior àquele emprestado por Vidal, a uma taxa de 3% ao mês, seu saldo devedor no vencimento será igual ao de Vidal. (C) Suponha que eles emprestaram valores iguais. Para que o saldo devedor de ambos coincida, a taxa de juros paga por Madalena deverá ser 40% superior à taxa paga por Vidal. (D) Se Madalena emprestou 10% a menos que Vidal, a uma taxa de juros equivalente ao dobro daquela devida por ele, eles terão saldos devedores iguais na data de vencimento. (E) Sem conhecer o valor absoluto de cada empréstimo, ou o valor exato de um salário mínimo, é impossível fazer qualquer avaliação.
.5. (ENEM-MEC) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse essa dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. A opção que dá a João o menor gasto seria (A) renegociar suas dívidas com o banco. (B) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas. (C) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos. (D) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito. (E) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial.
.8. (INEP-MEC) O Sr. Silva planejou passar, com sua família, as festas natalinas no Pantanal de Mato Grosso em uma pousada que cobra uma diária de R$ 450,00, incluindo as refeições e os passeios turísticos. Fez uma reserva por 7 dias, devendo efetuar o pagamento antecipado no dia 4 de dezembro de 2003. Visando não sobrecarregar o orçamento do mês de dezembro, decidiu poupar de duas maneiras:
.6. (INEP-MEC) Um capital de R$ 30.000,00 foi dividido em duas aplicações: a primeira pagou uma taxa de 8% de juros anuais; a outra, aplicação de risco, pagou uma taxa de 12% de juros anuais. Ao término de um ano, observou-se que os lucros obtidos em ambas as aplicações foram iguais. Assim sendo, a diferença dos capitais aplicados foi de: (A) (B) (C) (D) (E)
1.º - Depositar R$ 2.000,00, no dia 3 de janeiro de 2003, em uma aplicação especial com taxa de juro composto de 1,5% ao mês, a serem resgatados somente em 3 de dezembro de 2003. 2.º - Acumular bônus pelas compras efetuadas no cartão de crédito, podendo resgatá-los em 3 de dezembro de 2003, na forma de duas diárias.
R$ 8.000,00. R$ 4.000,00. R$ 6.000,00. R$ 10.000,00. R$ 12.000,00.
A partir dessas informações, é possível afirmar que o montante reservado pelo Sr. Silva com essas maneiras de poupar será: 172
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(A) o vencedor da eleição certamente será o candidato II. (B) dependendo dos votos que ainda não foram apurados, o candidato I poderá ser o vencedor da eleição. (C) o vencedor da eleição poderá ser o candidato II ou o candidato III. (D) como existem votos ainda não apurados, qualquer um dos três candidatos poderá ganhar a eleição. (E) o vencedor da eleição certamente será o candidato III.
(A) suficiente para pagar a reserva, mas não lhe sobrará para gastos extras. (B) suficiente para pagar a reserva e ainda lhe sobrarão R$ 225,00 para gastos extras. (C) insuficiente e ainda lhe faltarão R$ 110,00. (D) suficiente para pagar a reserva e ainda lhe sobrarão R$ 110,00 para gastos extras. (E) insuficiente e lhe faltarão R$ 225,00. Admita (1,015)11 = 1,18.
.9. (UNESP) Alfredo costuma aplicar seu dinheiro em um fundo de investimento que lhe rende juro composto. Se ele planeja resgatar um montante de R$ 13.100,00 daqui a 3 anos, qual o valor do depósito inicial, se a taxa de juros for igual a 10% ao ano? (A) R$ 8.100,00. (B) R$ 9.000,00. (C) R$ 9.100,00.
H17
Ao cobrir um jogo de basquete entre os times Azulão e Verdão, um repórter anotou os pontos feitos pelos dois jogadores que marcaram mais pontos nos dois times.
(D) R$ 10.000,00. (E) R$ 10.100,00.
AZULÃO
C4
Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15
Identificar a relação de dependência entre grandezas.
João Pedroca
VERDÃO
30 20
Sivuca Antony
18 36
Esse repórter considerou que o rendimento de um jogador durante um jogo é medido pela razão entre o número de pontos que faz e o total de pontos feitos pelo seu time. O Azulão ganhou do Verdão por 80 a 72. O repórter publicou corretamente que, naquela partida, em relação ao rendimento,
.10. (ENEM-MEC)
(A) (B) (C) (D) (E)
Um grupo de artesãos resolveu criar uma cooperativa para, entre outras coisas, realizar bazares itinerantes e vender seu produto diretamente ao consumidor. Cada associado doa 14% do valor de suas vendas para o fundo da cooperativa. Se a cooperativa possui gastos mensais de, no mínimo, R$ 749,00, deve ser feito um esforço conjunto dos associados para venderem por mês um total de, pelo menos,
H16
de de
.12. (ENEM-MEC)
********** ATIVIDADES 2 **********
(A) R$ 10.486,00. (B) R$ 8.709,30. (C) R$ 5.350,00.
Analisar informações envolvendo a variação grandezas como recurso para a construção argumentação.
João foi o melhor de todos. Antony foi o pior de todos. Sivuca e Pedroca foram iguais. João e Antony foram iguais. Sivuca e Pedroca foram os melhores entre os quatro.
H18
Avaliar propostas de intervenção envolvendo variação de grandezas.
na
realidade
.13. (ENEM-MEC)
(D) R$ 1.048,60. (E) R$ 8.538,60.
Uma empresa decidiu doar livros e cadernos aos alunos carentes de uma escola da sua vizinhança. Receberão os materiais escolares apenas os alunos que tenham menos de 10 faltas no ano e cujas famílias tenham renda de até 3 salários mínimos. Sabe-se que:
Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
a escola possui 1.000 alunos;
.11. (ENEM-MEC)
350 alunos têm menos de 10 faltas no ano;
A escolha do presidente de uma associação de bairro foi feita através de uma eleição, na qual votaram 200 moradores.
700 alunos pertencem a famílias com renda de até 3 salários mínimos;
200 alunos não pertencem a nenhum dos grupos acima, ou seja, têm 10 ou mais faltas no ano e pertencem a famílias com renda superior a 3 salários mínimos.
Após apuração de 180 dos 200 votos, o resultado da eleição era o seguinte: Candidato I Candidato II Candidato III
47 votos 72 votos 61 votos
A empresa deve enviar o material escolar para (A) 250 alunos. (B) 300 alunos. (C) 400 alunos.
A partir dos dados, pode-se concluir que 173
(D) 550 alunos. (E) 600 alunos.
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*MÓDULO 3*
Funções A importância do estudo de funções não é específica da Matemática, fazendo parte também do universo de outras ciências, como a Física e a Química. Quando lemos um jornal ou uma revista, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma relação entre duas grandezas representada geometricamente.
Sejam e conjuntos não vazios. Uma relação de em é função se, e somente se, qualquer elemento de estiver associado, através de , a um único elemento de . Para indicar que é uma função de em , adotamos a notação:
Domínio, contradomínio e conjunto imagem Dada uma função
:
O domínio da função é o conjunto
Sistema de coordenadas
O contradomínio da função é o conjunto
O sistema cartesiano ortogonal de coordenadas é formado por dois eixos, (eixo das abscissas) e (eixo das ordenadas), perpendiculares entre si no ponto (origem).
O conjunto imagem da função é o conjunto formado pelos elementos de que têm correspondente em , ou seja: .
Imagem de
. .
pela função
Se ( ) pertence a uma função , dizemos que é a imagem de pela função . Indicamos esse fato por:
Gráfico de uma função O gráfico de uma função é a reunião de todos os pontos ( ) do plano cartesiano que pertencem à função.
Raiz de uma função
Para localizar um ponto no plano, traçamos por as perpendiculares a e , obtendo nos eixos as coordenadas de , que são dois números chamados de abscissa e ordenada do ponto , respectivamente.
Se é a abscissa de e é a ordenada de ordenado ( ) representa . Indicamos:
Chama-se raiz (ou zero) de uma função real de variável real, , todo número do domínio de tal que .
Graficamente, a raiz de uma função é a abscissa do ponto em que o gráfico cruza o eixo .
, o par
Estudo do sinal de uma função
Uma função é positiva para um elemento domínio se, e somente se, .
de seu
Uma função é negativa para um elemento domínio se, e somente se, .
de seu
Uma função se anula para um elemento de seu domínio se, e somente se, . Nesse caso, é raiz da função.
O conceito de função
Dados dois conjuntos não vazios, e , chama-se relação de em qualquer conjunto de pares ordenados ( , ) com e . 174
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Variação de uma função
Função injetora, sobrejetora e bijetora
Uma função é crescente em um subconjunto do domínio de se, e somente se, para quaisquer números e de , tivermos:
Uma função é injetora se, e somente se, para quaisquer e do domínio de , for obedecida a condição: Ou seja, é injetora se não existirem elementos distintos do domínio de com a mesma imagem.
Uma função é decrescente em um subconjunto do domínio de se, e somente se, para quaisquer números e de , tivermos:
Uma função é sobrejetora se, e somente se, para todo elemento do conjunto existir no conjunto tal que . Ou seja, é sobrejetora se o seu contradomínio coincidir com o seu conjunto imagem.
Uma função é bijetora se, e somente se, injetora e sobrejetora.
é
Função composta Sejam , e funções e com é a função
Uma função é constante em um subconjunto do domínio de se, e somente se, para qualquer número de , tivermos: , sendo
conjuntos não vazios e sejam as . A função composta de tal que:
Função inversa
uma constante real
A inversa de uma função bijetora tal que:
para quaisquer
e , com
e
é a função
.
Função par e função ímpar
Uma função
de domínio
é par se, e somente se:
, para qualquer Assim, as partes do gráfico de para são simétricas em relação ao eixo
Uma função se:
de domínio
e para
Se uma função admite inversa, dizemos que ela é invertível.
.
é ímpar se, e somente
Obtenção da função inversa Se uma função real de variável real invertível, sua inversa é obtida do seguinte modo:
, para qualquer Assim, as partes do gráfico de para e para são simétricas em relação à origem do sistema de eixos. 175
por
e
por , obtendo
é
I.
Trocamos
.
II.
Isolamos a variável , após a mudança de variáveis efetuada em , obtendo .
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.3. (INEP-MEC)
*********** ATIVIDADES ***********
O triângulo retângulo tem área igual a .
.1. (INEP-MEC)
, região cinza na figura abaixo,
Considere as sentenças abaixo, relativas à função , definida no intervalo
e representada,
graficamente, na figura.
Então, o valor de
I. II. III.
Se
, então
A imagem de
(A) (B) (C) (D)
. . é o intervalo
.4. (UFSCar-SP)
.
A figura representa, em sistemas coordenados com a mesma escala, os gráficos das funções reais e , com e .
É correto afirmar que: (A) (B) (C) (D) (E)
é:
2 4 6 8
Apenas III é verdadeira. Apenas I e II são verdadeiras. Apenas I e III são verdadeiras. Apenas II e III são verdadeiras. Todas as sentenças são verdadeiras.
.2. (VUNESP) Numa fazenda havia 20% de área de floresta. Para aumentar essa área, o dono da fazenda decidiu iniciar um processo de reflorestamento. No planejamento do reflorestamento, foi elaborado um gráfico fornecendo a previsão da porcentagem de área de floresta na fazenda a cada ano, num período de dez anos.
Sabendo que a região poligonal demarca um trapézio de área igual a , o número real é: (A) (B) (C) (D) (E)
.5. (UNIFOR-CE) O conjunto imagem da função real de variável real dada por Esse gráfico foi modelado pela função
(A)
,
que fornece a porcentagem de área de floresta na
(B)
fazenda a cada ano
(C)
, onde
,
e
são constantes
reais. Com base no gráfico, determine as constantes , e
e reescreva a função
é:
(D)
com as constantes
(E)
determinadas. 176
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.6. (INEP-MEC)
.9. (INSPER-SP)
Uma forma experimental de insulina está sendo injetada a cada 6 horas em um paciente com diabetes. O organismo usa ou elimina a cada 6 horas 50% da droga presente no corpo. O gráfico que melhor representa a quantidade da droga no organismo como função do tempo , em um período de 24 horas, é:
Suponha que os três gráficos abaixo estejam na mesma escala, em que a distância entre duas marcas consecutivas sobre os eixos seja igual a . Se , e são as funções nestes três gráficos, respectivamente, então é igual a:
(A)
(D)
(B)
(E)
(C)
(A) (B) (C) (D) (E)
.7. (INEP-MEC) Sendo
e
números reais positivos, sabe-se que a
função
, definida para
valor mínimo quando
, assume seu
.
.10. (MACKENZIE-SP) Dada a função
Um grupo de amigos alugou por R$ 6.000,00 um salão para fazer uma festa. Este valor será dividido por todos que estiverem presentes na festa. Como o dia do aniversário de José Carlos, um dos integrantes deste grupo, coincide com o dia da festa, ele decidiu que a comida será por conta dele. A empresa que prestará este serviço irá lhe cobrar R$ 15,00 por pessoa presente na festa. Então, o número de integrantes do grupo de amigos que minimiza o gasto de José Carlos somando o custo total da comida com a parte dele no aluguel do salão é de: (A) (B) (C) (D) (E)
e assim por diante, então o valor de
.11. (UFMA) Sendo
(A) (B) (C) (D) (E)
concluir que
uma função ímpar, e e
, pode-se
é igual a:
(A) (B) (C) (D) (E)
duas funções de em tais que . Então, o gráfico cartesiano da função :
Passa pela origem. Corta o eixo no ponto Corta o eixo no ponto Tem declividade positiva. Passa pelo ponto .
uma função par e
sabendo-se que
.8. (FGV-SP) e
é:
(A) (B) (C) (D) (E)
5 pessoas 10 pessoas 15 pessoas 20 pessoas 25 pessoas
Sejam e
, se
________________________________________________ *Anotações*
. .
177
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.12. (FGV-SP)
.15. (INEP-MEC)
A figura indica o gráfico da função , de domínio no plano cartesiano ortogonal.
,
Considere a função ímpar real de variável real definida no intervalo , cujo gráfico está desenhado na figura abaixo.
Assinale a alternativa que corresponde ao gráfico da função , em que é a inversa da função . (A)
O número de soluções da equação
é:
(A) (B) (C) (D) (E)
(B)
.13. (INEP-MEC) As funções e , ambas de domínio , estão representadas graficamente abaixo. O número de elementos do conjunto solução da equação é: (C)
(D)
(A) (B) (C) (D) (E)
.14. (UNIFESP)
.16. (UFT-TO)
Seja uma função crescente e sobrejetora, onde é o conjunto dos números inteiros. Sabendo-se que , uma das possibilidades para é:
Seja
(A) (B) (C) (D) (E) 178
definida por . Então a função inversa é:
(A)
(C)
(B)
(D)
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.17. (UFT-TO) Cada um dos gráficos abaixo representa uma função tal que
;
. Qual deles
representa uma função bijetora no seu domínio? (A)
(B)
(C)
(D)
.18. (ITA-SP) Sejam , tais que seguintes afirmações: I. II. III.
é par e
é ímpar. Das
é ímpar. é par. é ímpar.
é(são) verdadeira(s): (A) Apenas I. (B) Apenas II. (C) Apenas III.
(D) Apenas I e II. (E) Todas.
________________________________________________ *Anotações*
179
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________
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Análise da função afim
*MÓDULO 4*
Taxa de variação
Função afim Algumas funções relacionam duas grandezas em que a variação de uma é proporcional à variação da outra. Quando isso ocorre, dizemos que a função é afim.
A taxa de variação da função afim é a constante , não nula, obtida da seguinte maneira:
Se duas funções afins têm a mesma taxa de variação, então as retas que as representam são paralelas.
A função afim
Função afim ou função polinomial do 1.º grau é toda função do tipo:
O gráfico de toda função afim é uma reta. Para construí-Io, basta representar dois pontos distintos da função no plano cartesiano e traçar a reta que passa por eles.
Pontos de intersecção do gráfico da função afim com os eixos coordenados
O gráfico da função afim intercepta o eixo ponto
no
.
O gráfico da função afim intercepta o eixo ponto .
no
Crescimento e decrescimento Dada a função
, temos:
Estudo do sinal da função afim
Função linear
Toda função da forma chamada função linear.
, com
, é
O gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem do sistema de coordenadas.
Inequação-produto e Inequação-quociente Para resolver inequações-produto ou inequações-quociente, estudamos o sinal de cada função e construímos um quadro de sinais, no qual os sinais da última linha são obtidos pela regra de sinais da multiplicação ou da divisão.
________________________________________________ *Anotações*
Em toda função linear correspondentes das variáveis proporcionais.
e
, os valores são diretamente 180
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.4. (MACKENZIE-SP)
*********** ATIVIDADES ***********
A figura mostra os esboços dos gráficos das funções e , que fornecem os preços que as copiadoras, e , cobram para fazer cópias de uma folha. Para fazer cópias, a copiadora cobra:
.1. (MACKENZIE-SP) Os gráficos das funções e definem, com os eixos, no primeiro quadrante, um quadrilátero de área: (A) (B) (C) (D) (E)
12 16 10 8 14
.2. (UDESC) Sabemos que a receita total de certo produto produzido por uma família de agricultores é dada pela função , em que é a quantidade de unidades do produto. Determine a função do primeiro grau, custo total deste produto; sabendo que, quando a quantidade do produto é de 3 unidades, o custo total é de R$ 4,00; e que, quando a quantidade do produto é de 4 unidades, a receita total é igual ao custo total. Faça o esboço do gráfico das funções e .
(A)
.
(B)
.
(C) (D) (E)
. . .
.5. (UNIR-RO) Duas empresas ( e ), locadoras de veículos de passeio, apresentaram o valor da locação de um mesmo carro pelos gráficos abaixo.
.3. (ENEM-MEC) Muitos brasileiros sonham com empregos formais. Na falta destes, cada vez mais as pessoas precisam buscar formas alternativas de conseguir uma renda. Para isso, uma família decidiu montar uma malharia. O gráfico abaixo mostra o custo mensal de produção dessa empresa. Considere o valor pago, em real, pela locação desse veículo e a quantidade de quilômetros rodados. A partir dessas informações, é correto afirmar: (A) A empresa cobra 0,50 centavos por quilômetro rodado acrescidos de uma taxa fixa de 50 reais. (B) A empresa cobra somente a quilometragem rodada. (C) Para rodar 400 km, o valor cobrado pela empresa é igual ao cobrado pela . (D) Para rodar uma distância de 300 km é mais vantajoso alugar o carro da empresa . (E) Para rodar uma distância de 500 km é mais vantajoso alugar o carro da empresa .
Sabendo que as peças são vendidas por R$ 19,50 e que a família almeja um lucro mensal de R$ 4.200,00, o número de peças produzidas e vendidas, para atingir esse fim, deverá ser (A) (B) (C) (D) (E)
________________________________________________
215. 400. 467. 525. 494.
*Anotações*
(Nota: Admita que o custo para peças produzidas é uma função afim.) 181
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Seja a quantidade de caixas do medicamento, do depósito , que deverá ser enviada à drogaria e a quantidade de caixas do mesmo depósito que deverá ser enviada à drogaria .
.6. (UFSCar-SP) O gráfico esboçado representa a massa média, em quilograma, de um animal de determinada espécie em função do tempo de vida, em mês.
a)
Expressar: em função de , o gasto com transporte para enviar os medicamentos à drogaria ; em função de , o gasto com transporte para enviar os medicamentos à drogaria ; em função de e , o gasto total as duas drogarias.
Para
para atender
o gráfico é um segmento de reta.
a) Determine a expressão da função cujo gráfico é esse segmento de reta e calcule a massa média do animal com
b)
b)
meses de vida.
Para
meses, a expressão da função que
representa
a
quilogramas,
massa
média
é
do
animal,
.
Determine
intervalo de tempo para o qual
em
Sabe-se que no depósito existem exatamente 40 caixas do medicamento solicitado e que o gasto total para se atender a encomenda deverá ser de R$ 890,00, que é o gasto mínimo nas condições dadas. Com base nisso, determine, separadamente, as quantidades de caixas de medicamentos que sairão de cada depósito, e , para cada drogaria, e , e os gastos e .
o
.
.9. (UNICAMP-SP) Na década de 1960, com a redução do número de baleias de grande porte, como a baleia-azul, as baleias minke antárticas passaram a ser o alvo preferencial dos navios baleeiros que navegam no hemisfério sul. O gráfico abaixo mostra o número acumulado aproximado de baleias minke antárticas capturadas por barcos japoneses, soviéticos/russos e brasileiros, entre o final de 1965 e o final de 2005.
.7. (PUC-SP) Quantos números inteiros e estritamente positivos satisfazem a sentença (A) (B) (C) (D) (E)
?
dezesseis quinze quatorze treze menos de treze
.8. (UNESP) Um laboratório farmacêutico tem dois depósitos, e . Para atender a uma encomenda, deve enviar caixas iguais contendo um determinado medicamento à drogaria e caixas do mesmo tipo e do mesmo medicamento à drogaria . Os gastos com transporte, por cada caixa de medicamento, de cada depósito para cada uma das drogarias, estão indicados na tabela.
D1 D2
A
B
R$ 10,00 R$ 12,00
R$ 14,00 R$ 15,00
Obs.: 41.840 Japão; 34.200 URSS/Rússia; 13.500 Brasil.
182
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a) A seguir, trace a curva que fornece o número aproximado de baleias caçadas anualmente por barcos soviéticos/russos entre o final de 1965 e o final de 2005. Indique também os valores numéricos associados às letras e para que seja possível identificar a escala adotada para o eixo vertical.
Sabendo-se que nessa limpeza foram utilizadas 10 caixas coletoras e que o preço pago pelo serviço foi R$ 670,00, o valor que essa empresa cobra pela utilização de uma caixa coletora é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)
R$ 70,00. R$ 65,00. R$ 75,00. R$ 55,00. R$ 85,00.
.12. (UNESP) Uma empresa de terraplanagem, comprometida com a causa ambiental, usa 10% de borracha de pneus velhos na produção de cada metro cúbico de asfalto. O material de um pneu aro 15, triturado, equivale, em média, a 0,012 m3. Se, em média, um pneu aro 13 fornece o equivalente a 79% do material de um pneu aro 15, a média de pneus aro 13 que essa empresa usa para asfaltar 7 km de uma estrada, cobrindo-os com uma camada de 12 m de largura e 7 cm de espessura, é mais próxima de:
b) Calcule o número aproximado de baleias caçadas pelo grupo de países indicado no gráfico entre o final de 1965 e o final de 1990.
(A) (B) (C) (D) (E)
19.600. 62.025. 70.000. 37.500. 27.600.
.13. (UNIR-RO) Simplificando a expressão valor:
.10. (PUC-SP) Uma pesquisa foi realizada com estudantes do ensino médio para saber em qual área eles pretendem estudar na Universidade. Os resultados foram os seguintes:
(A)
.
(B) (C)
40% pretendem estudar na área de humanas; 30% querem estudar na área de tecnologia; 20% optaram por exatas; e 10% não pretendem prosseguir estudando.
. .
(D) (E)
. .
.14. (UNIR-RO)
Relativamente aos resultados da pesquisa, os que têm intenção de estudar na área de exatas representam, aproximadamente, quanto por cento do universo dos que pretendem prosseguir estudando? (A) (B) (C) (D) (E)
, obtemos o
Dois números
e
que satisfazem a equação
são: (A) (B) (C) (D) (E)
22,2% 20% 20,5% 25% 10%
e um inteiro menor que . um inteiro quadrado perfeito e . e . e um número racional. e um número inteiro negativo.
________________________________________________ *Anotações*
.11. (PUC-SP) O Sr. Afonso realizou uma reforma em sua casa e o entulho produzido foi retirado por uma empresa, que utilizou caixas coletoras com igual capacidade e deu um desconto de R$ 10,00 pela retirada de cada caixa de lixo, a partir da terceira. 183
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MAT Matemática
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número de medalhas de bronze conquistados. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir.
.15. (ENEM-MEC) No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”. Disponível em: http://www.estadao.com.br, 27 abr. 2010 (adaptado).
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm. Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado? (A) (B) (C) (D) (E)
Disponível em: http://www.quadroademedalhas.com.br, 05 abr. 2010 (adaptado).
1 : 20 1 : 100 1 : 200 1 : 1.000 1 : 2.000
Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem alteração no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004? (A) (B) (C) (D) (E)
.16. (ENEM-MEC) Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme o gráfico, da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados.
13.º 12.º 11.º 10.º 9.º
.18. (ENEM-MEC) Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios.
Disponível em: www.folhaonline.com.br, 30 abr. 2010 (adaptado).
Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento médio por estado em 2009 está entre (A) (B) (C) (D) (E)
Fonte: IBGE. Disponível em: http://www.ibge.gov.br, 28 abr. 2010 (adaptado).
100 km2 e 900 km2. 1.000 km2 e 2.700 km2. 2.800 km2 e 3.200 km2. 3.300 km2 e 4.000 km2. 4.100 km2 e 5.800 km2.
Supondo-se que, no Sudeste, 14.900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam telefone móvel celular? (A) (B) (C) (D) (E)
.17. (ENEM-MEC) A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na competição, tendo como critérios de desempate o número de medalhas de prata seguido do 184
5.513 6.556 7.450 8.344 9.536
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