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Para decompormos o número 245, fazemos:
*MÓDULO 1*
número 245 49 7 1
Álgebra e aritmética Números primos Chamamos de números primos todo número inteiro diferente de 1 (um), cuja divisão exata só pode ser efetuada por ele mesmo e pelo número 1. Exemplos: a)
O número 2 é um número primo, pois seus divisores são 1 e 2.
b)
O número 3 é um número primo, pois seus divisores são 1 e 3.
c)
O número 11 é um número primo, pois seus divisores são 1 e 11.
d)
O número 21 não é um número primo, pois seus divisores são 1, 3, 7 e 21.
fatores primos 5 7 7 5 7 7 = 5 72
Mínimo múltiplo comum (MMC) Dados dois números inteiros a e b, calcular o mínimo múltiplo comum entre estes dois números MMC (a, b) é encontrar o menor número que seja múltiplo dos dois ao mesmo tempo. Veja: Para calcularmos o MMC, seguimos o mesmo método de decomposição, mas desta vez utilizando os dois números. Veja: Para calcularmos o MMC (6, 14): 6, 14 3, 7 1, 7 1, 1
2 3 (3 só divide o número 3, deixamos 7 da mesma forma) 7 (com 7 chegamos ao número 1 nos dois lados) 2 3 7 = 42 (resultado)
Para calcularmos o MMC (27, 78): 27, 78 9, 26 3, 26 1, 26 1, 13 1, 1
3 3 3 2 13 33 2 13 = 702 (resultado)
Máximo divisor comum (MDC) Dados dois números inteiros a e b, encontrar o máximo divisor comum entre eles MDC (a, b) é determinar o maior número que divide (de maneira exata) tanto a quanto b. Para calcularmos o MDC, decompomos separadamente cada um dos números e identificamos os fatores comuns a ambos. Este será o maior número que divide os dois. Veja: Para calcularmos o MDC (10, 65): Decompondo 10, temos: 10 = 2 5. Decompondo 65, temos: 65 = 5 13. Portanto, o MDC (10, 65) = 5.
ADRIANA KOMURA
Fatoração de um número inteiro Todo número inteiro pode ser representado de maneira única, por meio do produto de potências de números primos. Este resultado é conhecido por teorema da decomposição. Para decompormos um número primo, seguimos de maneira sistemática realizando a divisão desse número até chegarmos ao número 1. Por exemplo: Para decompormos o número 4, fazemos: número 4 2 1
Para calcularmos o MDC (9, 72): Decompondo 9, temos: 9 = 32. Decompondo 72, temos: 72 = 23 32. Portanto, o MDC (9, 72) = 32 = 9.
Números primos entre si
fatores primos 2 2 2 2 = 22 (resultado)
Dois números inteiros a e b são ditos primos entre si, se MDC (a, b) = 1. Exemplos: 4 e 15 são primos entre si, pois MDC (4, 15) = 1. 12 e 66 não são primos entre si, pois MDC (12, 66) = 3.
Por isso, podemos escrever o número 4 em forma decomposta: 4 = 22.
9 e 112 são primos entre si, pois MDC (9, 112) = 1. 147
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correspondem a 32 anos cristãos, é possível estabelecer uma correspondência aproximada de anos entre os dois calendários, dada por:
Equações são usadas para resolver problemas em que não se conhece um dos fatores. Esse fator é chamado de incógnita, e geralmente é representado pela letra .
Potência é uma multiplicação de um número por si próprio repetida tantas vezes quanto o exponencial (o número sobrescrito) aparece. Raiz é a operação inversa à potência.
Frações representam a divisão de dois números inteiros. A parte de cima (numerador) é dividida pela de baixo (denominador).
Sistemas de medidas são usados para comparar grandezas de mesma espécie com diferentes unidades. No decorrer da história, cada país desenvolveu as próprias medidas. A partir da Revolução Francesa, no século XVIII, surgiram tentativas de universalizar as medidas, primeiro no sistema métrico e depois no Sistema Internacional.
Fatores de conversão são utilizados para adaptar uma medida a outra. Ao usar uma regra de três simples e conhecendo os fatores de conversão entre as diferentes medidas, é possível descobrir, por exemplo, a quantos centímetros equivalem 6 pés.
Escalas são utilizadas para representar, em tamanho menor, grandezas que não caberiam no papel ou numa maquete. Elas são proporcionais aos tamanhos reais. Assim, é possível calcular a altura em metros e centímetros de um boneco de 13 polegadas em escala 1.:.6, ou prever num mapa a distância linear entre um ponto e outro.
(A) (B) (C) (D) (E)
C = M + 622 – (M/33). C = M – 622 + (C – 622/32). C = M – 622 – (M/33). C = M – 622 + (C – 622/33). C = M + 622 – (M/32).
Obs.: (C = anos cristãos e M = anos muçulmanos)
.2. (ENEM-MEC) Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no período 1985-1996, realizado pelo SEADE-DIEESE, apresentou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego.
Fonte: SEP, Convênio SEADE-DIEESE.
Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período considerado, (A) a maior taxa de desemprego foi de 14%. (B) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período. (C) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente. (D) no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%. (E) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e 1991.
*ATENÇÃO, ESTUDANTE!* Para complementar o estudo deste Módulo, utilize seu LIVRO DIDÁTICO.
*********** ATIVIDADES ***********
Texto para as questões 3 e 4.
.1. (ENEM-MEC) Existem muitas diferenças entre as culturas cristã e islâmica. Uma das principais diz respeito ao calendário. Enquanto o calendário cristão (gregoriano) considera um ano como o período correspondente ao movimento de translação da Terra em torno do Sol — aproximadamente 365 dias —, o calendário muçulmano se baseia nos movimentos de translação da Lua em torno da Terra — aproximadamente 12 por ano, o que corresponde a anos intercalados de 254 e 255 dias.
Um armazém recebe sacos de açúcar de 24 kg para que sejam empacotados em embalagens menores. O único objeto disponível para pesagem é uma balança de 2 pratos, sem os pesos metálicos.
Considerando que o calendário muçulmano teve início em 622 da era cristã e que cada 33 anos muçulmanos 148
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.3. (ENEM-MEC)
.7. (ENEM-MEC)
Realizando uma única pesagem, é possível montar pacotes de
Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados.
(A) 3 kg. (B) 4 kg. (C) 6 kg. (D) 8 kg. (E) 12 kg.
O número esperado de carros roubados da marca Y é (A) (B) (C) (D) (E)
.4. (ENEM-MEC) Realizando exatamente duas pesagens, os pacotes que podem ser feitos são os de (A) (B) (C) (D) (E)
3 kg e 6 kg. 3 kg, 6 kg e 12 kg. 6 kg, 12 kg e 18 kg. 4 kg e 8 kg. 4 kg, 6 kg e 8 kg.
.8. (ENEM-MEC) No Brasil, mais de 66 milhões de pessoas beneficiam-se hoje do abastecimento de água fluoretada, medida que vem reduzindo, em cerca de 50%, a incidência de cáries. Ocorre, entretanto, que profissionais da saúde muitas vezes prescrevem flúor oral ou complexos vitamínicos com flúor para crianças ou gestantes, levando à ingestão exagerada da substância. O mesmo ocorre com o uso abusivo de algumas marcas de água mineral que contêm flúor. O excesso de flúor — fluorose — nos dentes pode ocasionar desde efeitos estéticos até defeitos estruturais graves. Foram registrados casos de fluorose tanto em cidades com água fluoretada pelos poderes públicos como em outras, abastecidas por lençóis freáticos que naturalmente contêm flúor.
Texto para as questões 5 e 6. Se compararmos a idade do planeta Terra, avaliada em quatro e meio bilhões de anos (4,5 x 109 anos), com a de uma pessoa de 45 anos, então, quando começaram a florescer os primeiros vegetais, a Terra já teria 42 anos. Ela só conviveu com o homem moderno nas últimas quatro horas e, há cerca de uma hora, viu-o começar a plantar e a colher. Há menos de um minuto percebeu o ruído de máquinas e de indústrias e, como denuncia uma ONG de defesa do meio ambiente, foi nesses últimos sessenta segundos que se produziu todo o lixo do planeta!
Revista da Associação Paulista de Cirurgiões-Dentistas –APCD, vol. 53, n.º 1, jan./fev. 1999 (adaptado).
Determinada estação trata cerca de 30.000 litros de água por segundo. Para evitar riscos de fluorose, a concentração máxima de fluoretos nessa água não deve exceder a cerca de 1,5 miligrama por litro de água.
.5. (ENEM-MEC) O texto permite concluir que a agricultura começou a ser praticada há cerca de (A) (B) (C) (D) (E)
365 anos. 460 anos. 900 anos. 10.000 anos. 460.000 anos.
A quantidade máxima dessa espécie química que pode ser utilizada com segurança, no volume de água tratada em uma hora, nessa estação, é (A) (B) (C) (D) (E)
.6. (ENEM-MEC) Na teoria do Big Bang, o universo surgiu há cerca de 15 bilhões de anos, a partir da explosão e expansão de uma densíssima gota. De acordo com a escala proposta no texto, essa teoria situaria o início do universo há cerca de (A) (B) (C) (D) (E)
20. 30. 40. 50. 60.
1,5 kg. 4,5 kg. 96 kg. 124 kg. 162 kg.
________________________________________________ *Anotações*
100 anos. 150 anos. 1.000 anos. 1.500 anos. 2.000 anos. 149
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Texto para as questões de 9 a 11.
bomba de Hiroshima tinha 64 quilos de urânio-235, dos quais apenas 600 miligramas (o peso de uma moeda) foram convertidos em energia. Essa “moedinha” equivaleu a 15.000 toneladas de TNT, causando a morte de 140.000 pessoas.
Einstein e a bomba atômica O poder que se esconde por trás da mais célebre equação da Física contemporânea foi a base para a criação da bomba atômica
Em 1939, Einstein em pessoa enviou uma carta ao presidente norte-americano Franklin Delano Roosevelt pedindo que ele desenvolvesse a bomba antes que os alemães o fizessem. Os norte-americanos chegaram primeiro — a bomba de Hiroshima explodiu em 6 de agosto de 1945, e a de Nagasaki, em 9 de agosto. No entanto, a União Soviética tinha espiões infiltrados no projeto norte-americano e conseguiu produzir suas próprias bombas a partir de 1949. O mundo assistiu a uma corrida nuclear, mas o medo de aniquilação mútua fez com que os Estados Unidos e a União Soviética evitassem o conflito direto. Essa foi a Guerra Fria, na qual, felizmente, nenhuma arma nuclear foi utilizada por ambos os lados. Superinteressante, ago. 2005.
.9. (AED-SP) De acordo com a equação de Einstein, adicionar energia a um objeto acrescenta mais massa ou adicionar massa acrescenta mais energia?
ADRIANA KOMURA
Einstein (acima, à esquerda) e Roosevelt: o físico provou que o tempo passa mais devagar quando nos movemos
___________________________________________________ Em 1905, o físico Albert Einstein tinha apenas 26
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anos e publicava seus estudos sobre a teoria da relatividade restrita, que explica como o tempo é relativo ao movimento no espaço. Num desses textos, intitulado “A inércia de um corpo depende de seu conteúdo energético”, constava a equação mais famosa da Física contemporânea: . A fórmula diz respeito não a tempo e espaço, mas à relação entre massa e energia. significa energia, é a massa e é a constante da velocidade da luz no vácuo, de 300.000 quilômetros por segundo — ou, conforme as medidas usadas por Einstein, 30.000.000.000 (trinta bilhões) de centímetros por segundo. Uma das consequências da equação de Einstein é que, se adicionarmos energia a um objeto, por exemplo, movendo-o ou esquentando-o, ele se torna mais pesado — mas numa proporção ínfima, de 1 para 30 bilhões ao quadrado (ou 9 1020, nove seguido de 20 zeros). Outra
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.10. (AED-SP) Por que a energia liberada numa explosão nuclear é 9 1020 vezes a massa perdida? ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________
.11. (AED-SP) Dos 64 quilos de urânio na bomba de Hiroshima, quanto foi transformado, efetivamente, em energia? ___________________________________________________ ___________________________________________________
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é que, ao se remover massa de um objeto, uma quantidade de energia de 9 1020 vezes maior é liberada. Os resultados dessa segunda parte da fórmula são bem mais conhecidos: a forma pela qual removemos massa de um objeto é a fissão nuclear. Assim, a equação de Einstein prevê qual a energia liberada numa explosão atômica. Para se ter uma ideia do que isso significa, a
*Anotações*
150
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.12. (ENEM-MEC)
Suponha que todas as famílias de uma cidade
Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.
descartem
óleos
de
frituras
através
dos
encanamentos e consumam 1.000 litros de óleo em frituras por semana. Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade? (A) 10–2.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é (A) (B) (C) (D) (E)
os
(B) 103. (C) 104. (D) 106. (E) 109.
V = 10.000 + 50x – x2. V = 10.000 + 50x + x2. V = 15.000 – 50x – x2. V = 15.000 + 50x – x2. V = 15.000 – 50x + x2.
.15. (ENEM-MEC) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o
.13. (ENEM-MEC)
modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação
O salto triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.
matemática, já que a massa é uma variável de dimensões
cúbicas
e
a
altura,
uma
variável
de
dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são:
Disponível em: www.cbat.org.br. Acesso em: 27/3/2010 (adaptado).
Um atleta da modalidade salto triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre (A) (B) (C) (D) (E)
ARAÚJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, n.º 1, 2002 (adaptado).
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2, então ela possui RIP igual a (A) 0,4 cm/kg1/3.
4,0 m e 5,0 m. 5,0 m e 6,0 m. 6,0 m e 7,0 m. 7,0 m e 8,0 m. 8,0 m e 9,0 m.
(B) 2,5 cm/kg1/3. (C) 8 cm/kg1/3. (D) 20 cm/kg1/3. (E) 40 cm/kg1/3.
________________________________________________ *Anotações*
.14. (ENEM-MEC) Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 milhões (107) de litros de água potável. Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2.055), Cláudia (ed. 555), National Geographic (ed. 93) e Nova Escola (ed. 208). Adaptado.
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De acordo com essas informações, qual a previsão mais aproximada para o consumo de café em 2010?
.16. (ENEM-MEC) Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros:
(A) (B) (C) (D) (E)
a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro; b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.
8 bilhões de litros. 16 bilhões de litros. 32 bilhões de litros. 40 bilhões de litros. 48 bilhões de litros.
.19. (ENEM-MEC) Para uma atividade realizada no laboratório de Matemática, um aluno precisa construir uma maquete da quadra de esportes da escola que tem 28 m de comprimento por 12 m de largura. A maquete deverá ser construída na escala de 1.:.250. Que medidas de comprimento e largura, em cm, o aluno utilizará na construção da maquete? Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente, (A) (B) (C) (D) (E)
(A) (B) (C) (D) (E)
0,23 e 0,16. 2,3 e 1,6. 23 e 16. 230 e 160. 2.300 e 1.600.
.20. (ENEM-MEC) No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”.
.17. (ENEM-MEC) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2.000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm.
Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27/4/2010 (adaptado).
Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de (A) (B) (C) (D) (E)
4,8 e 11,2. 7,0 e 3,0. 11,2 e 4,8. 28,0 e 12,0. 30,0 e 70,0.
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm.
1.:.250. 1.:.2.500. 1.:.25.000. 1.:.250.000. 1.:.25.000.000.
Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado? (A) (B) (C) (D) (E)
.18. (ENEM-MEC) Café no Brasil O consumo atingiu o maior nível da história no ano passado: os brasileiros beberam o equivalente a 331 bilhões de xícaras.
1.:.20. 1.:.100. 1.:.200. 1.:.1.000. 1.:.2.000.
________________________________________________ *Anotações*
Veja, n.º 2.158, 31/3/2010.
Considere que a xícara citada na notícia seja equivalente a, aproximadamente, 120 mL de café. Suponha que em 2010 os brasileiros bebam ainda mais café, aumentando o consumo em
do que foi
consumido no ano anterior. 152
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.21. (ENEM-MEC)
Considere-se que cada tonelada de cana-de-açúcar
A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1.:.150.
permita a produção de 100 litros de álcool combustível, vendido nos postos de abastecimento a R$ 1,20 o litro. Para que um corta-cana pudesse, com o que ganha nessa atividade, comprar o álcool produzido a partir das oito toneladas de cana resultantes de um dia de trabalho, ele teria de trabalhar durante (A) 3 dias. (B) 18 dias. (C) 30 dias. (D) 48 dias. (E) 60 dias.
________________________________________________ *Anotações*
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter? (A) (B) (C) (D) (E)
2,9 cm x 3,4 cm. 3,9 cm x 4,4 cm. 20 cm x 25 cm. 21 cm x 26 cm. 192 cm x 242 cm.
.22. (ENEM-MEC) Álcool, crescimento e pobreza O lavrador de Ribeirão Preto recebe em média R$ 2,50 por tonelada de cana cortada. Nos anos 80, esse trabalhador cortava cinco toneladas de cana por dia. A mecanização da colheita o obrigou a ser mais produtivo. O corta-cana derruba agora oito toneladas por dia. O trabalhador deve cortar a cana rente ao chão, encurvado. Usa roupas mal-ajambradas, quentes, que lhe cobrem o corpo, para que não seja lanhado pelas folhas da planta. O excesso de trabalho causa a birola: tontura, desmaio, cãibra, convulsão. A fim de aguentar dores e cansaço, esse trabalhador toma drogas e soluções de glicose, quando não farinha mesmo. Tem aumentado o número de mortes por exaustão nos canaviais. O setor da cana produz hoje uns 3,5% do PIB. Exporta US$ 8 bilhões. Gera toda a energia elétrica que consome e ainda vende excedentes. A indústria de São Paulo contrata cientistas e engenheiros para desenvolver máquinas e equipamentos mais eficientes para as usinas de álcool. As pesquisas, privada e pública, na área agrícola (cana, laranja, eucalipto etc.) desenvolvem a bioquímica e a genética no país. Folha de S. Paulo, 11/3/2007 (com adaptações).
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a 307,95%. Isso não significa que o salário tenha aumentado 307,95%. Significa que o salário de 2001 está para 100% assim como o de 2009 está para 307,95%. Para calcular o aumento, você precisa subtrair o valor final do valor inicial, porque você quer saber quanto ele aumentou em relação ao que já tinha. Assim, o aumento é este: 307,95% – 100% = 207,95%
*MÓDULO 2*
Aritmética – Proporcionalidade Três conhecidos e uma incógnita Ferramenta fundamental na solução de problemas matemáticos, a regra de três é baseada na proporcionalidade. Com ela, podemos determinar a variação entre duas grandezas que aumentam ou diminuem na mesma proporção. Suponhamos que, no fim de 2000, a passagem de ônibus na cidade de Paranguaçu da Serra custava R$ 1,25 e o salário mínimo era de R$ 151,00. Se o salário mínimo no início de 2010 era de R$ 510,00, qual deveria ser o preço da passagem se o aumento tivesse sido proporcional? passagem de ônibus 1,25 x
O aumento foi de 207,95%. Para cada R$ 100,00 de salário mínimo em 2001, aumentaram R$ 207,95. Além dos problemas proporcionais, existem aqueles também que conhecemos como inversamente proporcionais, isto é, aqueles nos quais, ao invés de os dados crescerem proporcionalmente, um cresce e outro decresce em proporção. Vamos dar um exemplo. Marina havia escolhido um azulejo em formato quadrado para preencher as paredes de seu banheiro. Havia encomendado 50 caixas para o serviço. No entanto, soube que não estavam mais sendo fabricados os azulejos que queria. Em vez disso, teria de se conformar com azulejos de 10 cm. De quantas caixas ela precisaria agora? Marina tentou resolver o problema com regra de três simples. Colocou os dados em duas colunas e fez o cálculo:
salário mínimo 151 510
Para calcular isso, você precisa fazer primeiro uma multiplicação cruzada: 1,25 x
151 510
1,25 510 = 151 x 637,5 = 151x x = 637,5 : 151 x = R$ 4,22
tamanho do azulejo 20 10
Se, em 2010, a passagem de ônibus em Paranguaçu da Serra era de R$ 3,00, verificamos que o aumento da tarifa foi abaixo do aumento do salário mínimo. O valor de R$ 4,22 representa o preço que a passagem custaria se salário e passagem aumentassem na mesma proporção.
20 x = 10 50 x = 500 : 20 x = 25 Ela logo percebeu que havia cometido um erro, pois teria de comprar menos se usasse azulejos menores. Logicamente, quando o tamanho do azulejo diminui, o número de caixas deveria aumentar proporcionalmente. Por isso, dizemos ser ele um problema inversamente proporcional. Em vez de multiplicar em cruz, você multiplicará paralelamente.
A regra de três também pode ser usada como uma ferramenta útil para calcular porcentagens, que usam sempre a base 100. Calculamos o aumento percentual do salário mínimo entre 2001 e 2009 assim: salário mínimo 151 465
caixas necessárias 50 x
percentual 100 x
tamanho do azulejo 20 10
151 x = 465 100 151x = 46.500 x = 46.500 : 151 x = 307,95
caixas necessárias 50 x
20 50 = 10 x x = 1.000 : 10 x = 100 Assim, ela descobriu que deveria usar o dobro de caixas comprando azulejos menores, que é o número correto.
Nessa relação, você determinou que, se o salário mínimo de 2001 equivalia a 100%, o de 2009 equivalerá 154
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Para fazer comparações entre números e valores, você pode estabelecer as proporções entre eles.
A regra de três é uma ferramenta simples para fazer comparações, que resolve boa parte dos problemas matemáticos que encontramos no dia a dia. Para executá-la, você precisa de três fatores conhecidos (como o salário mínimo em dois anos diferentes e o preço da passagem de ônibus no primeiro) e uma incógnita (como o possível preço futuro da passagem de ônibus). Faça uma multiplicação cruzada, isole a variável e divida.
Razão é a divisão feita para comparar a quantidade de uma coisa com a de outra coisa. Por exemplo, a quantidade de homens e a de mulheres numa festa.
Proporção é a divisão feita para comparar a quantidade de um elemento dentro do total. Por exemplo, a quantidade de mulheres dentro do total de participantes de uma festa.
1. Pelo tamanho dos lados: Equilátero: todos os seus lados possuem medidas iguais. Isósceles: dois de seus lados têm a mesma medida. Escaleno: todos os lados têm medidas diferentes.
Percentual é a proporção baseada no número 100, onde 100 é equivalente ao número total, e o percentual calculado é o número derivado, ou parcial. Pode ser descrito como um decimal entre 0 e 1 ou na forma tradicional, um número que é 100 vezes o valor desse decimal.
2. Pelos ângulos: Triângulo retângulo: como sugere o nome, apresenta um ângulo reto. Triângulo acutângulo: todos os ângulos internos são ângulos agudos. Triângulo obtusângulo: tem um ângulo obtuso.
O ponto, a reta e o plano são os conceitos geométricos primitivos. Essas e outras noções fundamentais da geometria foram sintetizadas pelo matemático Euclides, no terceiro século antes de Cristo, por meio de axiomas — verdades matemáticas aceitas sem contestação. A reta está presente em muitos dos outros conceitos da geometria, em uma, duas ou três dimensões. Um plano contém infinitas retas. Devidamente posicionadas, as retas podem formar figuras. A reta é um conceito abstrato, de comprimento infinito e que não tem largura nem altura.
Um segmento de reta começa em um ponto definido e termina em outro ponto definido. A menor distância entre dois pontos é o segmento de reta que os une.
Em duas retas concorrentes, os ângulos formados pelo encontro são chamados de suplementares quando adjacentes um ao outro, e complementares se opostos. Os ângulos complementares são sempre iguais.
A soma de dois ângulos suplementares é sempre 180 graus. A soma de todos os ângulos é 360 graus.
O Teorema de Tales permitiu calcular alturas inacessíveis, considerando a proporcionalidade de triângulos semelhantes. Isso pode ser obtido por meio de uma regra de três simples.
Triângulos são polígonos formados por três lados e cujos ângulos internos sempre somam 180º. Podem ser classificados de duas maneiras.
Áreas de triângulos podem ser calculadas por meio da fórmula:
Teorema de Pitágoras é o nome dado à proposição utilizada desde a Grécia antiga para calcular a hipotenusa: o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos. Assim, para a hipotenusa e catetos e , temos: .
Triângulos são semelhantes quando possuem os três ângulos iguais. Os lados de triângulos semelhantes são proporcionais e podem ser calculados por meio da regra de três.
*ATENÇÃO, ESTUDANTE!* Para complementar o estudo deste Módulo, utilize seu LIVRO DIDÁTICO. ________________________________________________ *Anotações*
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representando menos pessoas que o número proporcional à população. Com Tiririca aconteceria o contrário: 3,4 de cada 4,4 votos seriam desperdiçados, e teríamos 1,35 milhão de pessoas representadas por apenas um deputado. Para resolver esse dilema, a lei eleitoral prevê que a “sobra” de votos seja passada aos candidatos mais votados da coligação partidária do candidato vencedor. Foi assim que os três deputados mencionados no início do texto, todos com menos de 100.000 votos, foram eleitos. Pela lógica do sistema brasileiro, eles representam não só quem votou neles, mas também os que votaram em Tiririca, que então tem 4 votos no Congresso — o dele e o dos candidatos a quem “puxou”. Além disso, os votos dos candidatos que não conseguiram se eleger são repassados “para cima”, aos candidatos com mais chances na coligação partidária. O sistema proporcional tem seu mérito ao permitir que os votos em um único candidato tenham o valor de mais de um voto no Congresso, respeitando a proporção do eleitorado. Mas é alvo de muitas críticas. Ao eleitor médio, o processo pode ser obscuro: é improvável que quem tenha feito o voto de protesto ou simpatia no humorista Tiririca estivesse interessado em eleger (ou sequer consciente de que elegeria) os demais candidatos. Em algumas eleições, ninguém atinge sozinho o quociente eleitoral, e o candidato mais votado de um estado pode nem sequer ser eleito, se sua coligação não atingir o quociente.
*********** ATIVIDADES *********** Texto para as questões de 1 a 3.
Carona eleitoral No sistema proporcional, candidatos pouco votados podem se eleger com a “sobra” dos votos dados aos candidatos mais populares da coligação partidária
Você sabe quem é Vanderlei Siraque? Otoniel Lima? Delegado Protógenes? E Tiririca, você sabe quem é? Todos são deputados federais eleitos por São Paulo em 2010, mas os três primeiros não ganharam por si próprios votos suficientes para ocupar a cadeira. Eles foram eleitos graças a votos dados a Tiririca. E não há nada de anormal nisso: é assim que funciona o sistema eleitoral brasileiro, que adota o voto proporcional para eleições legislativas.
Superinteressante, abr. 2011.
.1. (AED-SP) Qual a proporção entre os votos de Tiririca e o quociente eleitoral de São Paulo?
© EDITORA ABRIL
O excelentíssimo: Tiririca foi o deputado federal mais votado nas eleições de 2010 e levou para o Congresso mais três candidatos
___________________________________________________ ___________________________________________________
Para cada estado, há um número de deputados federais calculado pelo total de votos válidos — isto é, descontados os brancos e os nulos —, com um limite mínimo de 8 e máximo de 70. São Paulo, o maior estado em número de eleitores, tem direito a 70 vagas. O número de votos válidos no estado na eleição de 2010 foi de 21.317.327. Assim, cada deputado equivale a 304.533 votos. Isso é chamado quociente eleitoral, o número de votos que diz quantos eleitores são representados para cada deputado em um estado. Se a eleição para deputado fosse majoritária, como é para presidente, prefeito, governador e senador, seriam eleitos os 70 deputados mais votados em São Paulo. Acontece que Tiririca recebeu 1,35 milhão de votos, isto é, 4,4 vezes mais que o quociente eleitoral. Dessa maneira, se pegássemos a lista dos mais votados até o número 70, alguns seriam eleitos com menos que o quociente eleitoral, isto é, seriam deputados
___________________________________________________
.2. (AED-SP) Cite uma vantagem do sistema proporcional. ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________
.3. (AED-SP) Cite uma falha do sistema proporcional. ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ 156
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Uma representação possível para essa segunda situação é
.4. (ENEM-MEC) Observe as dicas para calcular a quantidade certa de alimentos e bebidas para as festas de fim de ano: •
Para o prato principal, estime 250 gramas de carne para cada pessoa.
•
Um copo americano cheio de arroz rende o suficiente para quatro pessoas.
•
Para a farofa, calcule quatro colheres de sopa por convidado.
•
Uma garrafa de vinho serve seis pessoas.
•
Uma garrafa de cerveja serve duas.
•
Uma garrafa de espumante serve três convidados.
(A)
(B)
(C)
Quem organiza festas faz esses cálculos em cima do total de convidados, independente do gosto de cada um.
(D)
Quantidade certa de alimentos e bebidas evita o desperdício da ceia. Jornal Hoje, 17/12/2010 (adaptado).
(E)
Um anfitrião decidiu seguir essas dicas ao se preparar para receber 30 convidados para a ceia de Natal. Para seguir essas orientações à risca, o anfitrião deverá dispor de
.6. (ENEM-MEC)
(A) 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante. (B) 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante. (C) 75 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante. (D) 7,5 kg de carne, 7 copos americanos de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante. (E) 7,5 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.
A resistência elétrica e as dimensões do condutor A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre: •
resistência (R) e comprimento ( ), dada a mesma secção transversal (A);
•
resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o mesmo comprimento ( ) e
•
comprimento ( ) e área da secção transversal (A), dada a mesma resistência (R). Considerando os resistores como fios, pode-se
exemplificar o estudo das grandezas que influem na
.5. (ENEM-MEC)
resistência elétrica utilizando as figuras seguintes.
Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com conceitos e explicações, conforme a figura seguinte.
Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço dela.
Disponível em: http://www.efeitojoule.com. Acesso em: 20/4/2010 (adaptado).
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As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento ( ), resistência (R) e área da secção transversal (A), e entre comprimento ( ) e área da secção transversal (A) são, respectivamente, (A) (B) (C) (D) (E)
Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem dentro de Júpiter? (A) (B) (C) (D) (E)
direta, direta e direta. direta, direta e inversa. direta, inversa e direta. inversa, direta e direta. inversa, direta e inversa.
406. 1.334. 4.002. 9.338. 28.014.
.9. (ENEM-MEC) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.
.7. (ENEM-MEC) O jornal de certa cidade publicou em uma página inteira a seguinte divulgação de seu caderno de classificados.
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é (A) (B) (C) (D) (E)
1,16 metros. 3,0 metros. 5,4 metros. 5,6 metros. 7,04 metros.
.10. (ENEM-MEC) Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00. Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria
Para que a propaganda seja fidedigna à porcentagem da área que aparece na divulgação, a medida do lado do retângulo que representa os 4%, deve ser de aproximadamente (A) (B) (C) (D) (E)
(A) (B) (C) (D) (E)
1 mm. 10 mm. 17 mm. 160 mm. 167 mm.
manter sua proposta. oferecer 4 máquinas a mais. oferecer 6 trabalhadores a mais. aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias. reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.
________________________________________________
.8. (ENEM-MEC)
*Anotações*
A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos. Veja, ano 41, n.º 25, 25/6/2008 (adaptado).
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.11. (ENEM-MEC)
.12. (ENEM-MEC)
A fotografia mostra uma turista aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.
Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília-DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.
Fotografia obtida da internet.
SIQUEIRA, S. Brasil Regiões. Disponível em: www.santiagosiqueira.pro.br. Acesso em: 28/7/2009 (adaptado).
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135º no sentido horário com a rota Brasília-Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em
Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que a medida do queixo até o alto da cabeça da turista é igual a 2/3 da medida do queixo da esfinge até o alto da sua cabeça. Considere que essas medidas na realidade são representadas por d e d’, respectivamente, que a distância da esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano horizontal do queixo da turista e da esfinge, é representada por b, e que a distância da turista à mesma lente, por a.
(A) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba. (B) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. (C) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. (D) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. (E) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
A razão entre b e a será dada por (A)
(D)
(B)
(E)
________________________________________________ *Anotações*
(C) 159
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.13. (OBMEP-MEC)
.16. (ENEM-MEC)
Uma tira de papel retangular, branca de um lado e cinza do outro, foi dobrada como na figura. Qual é a medida do ângulo ? (A) (B) (C) (D) (E)
110º. 115º. 120º. 125º. 130º.
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a
.14. (OBMEP-MEC) A
figura
mostra
quadrado diagonais que
com e
unem
(A) (B) (C) (D) (E)
um suas
segmentos os
pontos
1,8 m. 1,9 m. 2,0 m. 2,1 m. 2,2 m.
médios de seus lados. A
área
em
.17. (ENEM-MEC)
preto
Em canteiros de obras de construção civil, é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.
corresponde a que fração da área do quadrado? (A)
(C)
(B)
(D)
(E)
.15. (OBMEP-MEC) A figura mostra dois trechos de 300 km cada um percorridos por um avião. O primeiro trecho faz um ângulo de 18º com a direção norte e o segundo, um ângulo de 44º, também com a direção norte. Se o avião tivesse percorrido o trecho assinalado em pontilhado, qual seria o ângulo desse trecho com a direção norte? (A) (B) (C) (D) (E)
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calçada corresponde (A) (B) (C) (D) (E)
12º. 13º. 14º. 15º. 16º. 160
à mesma área do triângulo AMC. à mesma área do triângulo BNC. à metade da área formada pelo triângulo ABC. ao dobro da área do triângulo MNC. ao triplo da área do triângulo MNC.
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.18. (UEL-PR)
.20. (UNESP)
Os primeiros relógios baseavam-se no aparente
Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada
no
na parede de sua casa. Um expert em Matemática,
deslocamento da sombra projetada sobre a superfície de
Roberto notou que o topo da escada ficou a uma altura
um corpo iluminado pelo astro. Considere que: a Terra é
de aproximadamente
esférica e seu período de rotação é de 24 horas no
a base da escada escorregou
sentido oeste-leste; o tempo gasto a cada 15º de rotação
num entalhe na parede, o que o salvou de um tombo pior
é de 1 hora; o triângulo Brasília/centro da Terra/Lusaka
e uma passagem no hospital. Refeito do susto, Roberto
(Zâmbia) forma, em seu vértice central, um ângulo de
reparou que, após deslizar, a escada passou a fazer um
75º.
ângulo de
movimento
do
Sol
na
abóboda
celeste
e
. Enquanto subia os degraus, para trás, parando
com a horizontal. Pode-se afirmar que o
comprimento da escada é de: (A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
________________________________________________ *Anotações*
A hora marcada em Lusaka, num relógio solar, quando o Sol está a pino em Brasília é: (A) 5 horas. (B) 9 horas. (C) 12 horas. (D) 17 horas. (E) 21 horas.
.19. (FAAP-SP)
Uma luminária está suspensa por dois fios presos ao teto. Sabendo-se que o perímetro da figura geométrica resultante é 124 cm, a distância da luminária ao teto é: (A) 30 cm. (B) 20 cm. (C) 50 cm. (D) 24 cm. (E) 10 cm. 161
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*MÓDULO 3*
Geometria – Polígonos regulares Muitos lados, com alguma coisa em comum Chamamos de polígonos a toda forma geométrica plana de contorno fechado, constituído de segmentos de retas que não se cruzam. Já estudamos um caso particular de polígono, o mais simples dele, que é o triângulo. Não existem polígonos com menos de três lados, pois é preciso no mínimo três linhas retas para fechar um contorno. Todo polígono tem os seguintes elementos:
Lado: é o nome dado a cada segmento de reta.
Vértice: é o ponto de encontro entre dois segmentos consecutivos (lados).
Observe que, em um polígono, o número de lados é igual ao número de vértices, e podemos calcular a quantidade de diagonais pela expressão:
onde
Ângulos internos: é o ângulo da parte interna da região formada por dois lados consecutivos.
Ângulo externo: é o ângulo exterior a cada ângulo interno.
Diagonal: segmento de reta que liga cada vértice a todos os outros, exceto seus vizinhos consecutivos.
é o número de lados do polígono.
Para conhecer a soma dos ângulos internos de um polígono, podemos reparti-lo em diversos triângulos. Como cada vértice está conectado a dois outros vértices, o número de triângulos obtidos é igual ao número de lados ( ) menos 2.
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, basta fazermos: (n – 2) 180º. No caso do hexágono demonstrado temos (6 – 2) 180º, ou 720º.
ALGUNS NOMES DE POLÍGONOS Nome Número de lados triângulo 3 quadrilátero 4 pentágono 5 hexágono 6 heptágono 7 octógono 8 eneágono 9
Forma: um polígono pode ser côncavo ou convexo.
Convexo: quando qualquer segmento de reta que você desenhe dentro do polígono, se tiver as duas extremidades dentro dele, também fica inteiro do lado de dentro. Isto é, não dá para começar uma linha reta do polígono e ela ficar com uma parte para fora.
Côncavo: é possível desenhar um segmento de reta começando e terminando dentro do polígono, mas que tem uma parte para fora. O polígono é “afundado”. 162
Polígonos são figuras planas formadas por uma região cercada por linhas retas, dando origem a um número de ângulos igual ao de lados e vértices.
Ângulos externos são os ângulos medidos do lado de fora da figura, estendendo-se a reta de um lado adjacente. A soma de um grupo de ângulos externos de um polígono é sempre 360 graus.
Polígonos podem ser convexos ou côncavos. Eles são côncavos quando um de seus vértices está na parte interna da figura. No convexo, todo segmento de reta, cujas extremidades se encontrem no interior do polígono, está totalmente contido no polígono.
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Polígonos podem ser divididos em triângulos, e essa é uma forma de calcular sua área. O número de triângulos em que podem ser divididos a partir de um vértice é igual ao de lados menos 2. Polígonos regulares têm lados e ângulos iguais. Eles podem ser inscritos em um círculo, ou ter um círculo inscrito nos seus lados internos. Quadriláteros são polígonos de quatro lados. Eles podem ser quadrados, retângulos, paralelogramos, trapézios ou losangos, ou ter formas irregulares.
Um retângulo é um paralelogramo com ângulos retos, mas nem todo paralelogramo é um retângulo.
Um quadrado é um retângulo de lados iguais e também um losango de ângulos retos, mas nem todo retângulo ou losango é um quadrado.
A área do paralelogramo, do retângulo e do losango é dada por base vezes altura. A área do quadrado é igual à altura ao quadrado.
A área do trapézio é dada por base menor mais base maior vezes altura, dividido por dois:
Para se obter a área de quadriláteros de ângulos e lados irregulares, deve-se dividi-los em triângulos.
Números naturais são todos aqueles sem casas decimais e maiores que zero, sem incluir o zero.
Números inteiros são todos os números sem casas decimais, incluindo o zero e inteiros negativos. Todo número natural é inteiro, mas nem todo inteiro é natural.
A intersecção na reta real pode resultar em um conjunto vazio.
A união na reta real resulta num sistema de inequações.
Inequação é uma forma de expressar um subconjunto dos números reais, por meio dos operadores , , ou .
Sequências são sucessões de números que obedecem a determinadas regras. Podem ser numéricas, não numéricas e genéricas.
Conjuntos são agrupamentos lógicos de elementos, podendo ser numéricos ou não.
O operador significa que um elemento pertence a algum conjunto. Quando aparece cortado, como , significa “não pertence”.
O operador significa que um conjunto contém outro conjunto. O operador funciona na direção inversa, querendo dizer que o primeiro conjunto está contido no segundo. significa que o conjunto contém o outro ou é igual a ele.
União de conjuntos, representada pelo operador , significa a soma de todos os elementos de dois conjuntos.
Não confunda o operador de união com conjunto universo, que une todos os conjuntos mostrados e é representado pela letra U.
Intersecção de conjuntos, representada pelo operador , significa o subconjunto que é obtido pelos itens que eles têm em comum.
Diagrama de Venn é uma forma de representar conjuntos por meio de círculos, com as intersecções representadas pela intersecção dos círculos.
Números racionais são o resultado da divisão de dois
números
inteiros.
Por
isso,
podem
ser
expressos por meio de fração. Podem resultar em dízimas periódicas, números com infinitas casas decimais, mas partes previsíveis, como
*ATENÇÃO, ESTUDANTE!* Para complementar o estudo deste Módulo, utilize seu LIVRO DIDÁTICO.
Todo número inteiro é racional, mas nem todo racional é inteiro.
Números irracionais, como e , não podem ser expressos por frações e têm infinitas casas decimais, que não são periódicas. Na prática, é impossível expressar esses números com exatidão. Todos os números irracionais não são nem inteiros nem racionais.
Números reais são o conjunto de todos os números racionais e irracionais; portanto, todos os números inteiros e naturais também.
A reta dos números reais é uma forma de expressar subconjuntos dos números reais.
________________________________________________ *Anotações*
163
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Os engenheiros logo perceberam que um prédio horizontal com essas dimensões seria altamente inconveniente para os funcionários. A área da superfície ocupada pelo prédio é de 116.000 m2. Se ele fosse um quadrado, teria 340 metros de lado, o que significa que os funcionários teriam de andar 680 metros para chegar de uma ponta a outra, andando por dois lados. Além disso, a área destinada à construção era cercada por estradas, formando um pentágono irregular. A primeira ideia foi ocupar esse formato irregular, mas isso foi considerado muito antiestético. Surgiu então a ideia de um pentágono regular, formado por prédios distribuídos de forma concêntrica em cinco níveis, e uma praça no meio. Cada lado mede 281 metros, e o número de andares é maior que o do projeto inicial — são sete andares, cinco aéreos e dois subsolos. Assim, andar para qualquer lugar do prédio exige uma caminhada de 562 metros, ou 453 pela diagonal, através da praça. Ainda é uma distância razoável, mas menor do que a do prédio quadrado. A forma do Pentágono mostrou-se providencial no ataque sofrido em 11 de setembro de 2001. Uma ala foi atingida por um avião, causando a morte de 125 funcionários e a destruição desse lado. As outras quatro alas não foram atingidas. Os americanos também tiveram sorte: em razão de reformas que ocorriam na época, apenas 800 dos 4.500 funcionários que trabalhavam na ala se encontravam lá naquele dia. Se fosse um prédio de formato convencional e sem vão central, como as torres gêmeas, o estrago poderia ter sido muito maior.
*********** ATIVIDADES *********** Texto para as questões de 1 a 3.
Como surgiu o Pentágono A sede do Departamento de Defesa dos Estados Unidos ganhou seu formato por causa das condições na Segunda Guerra
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O Pentágono visto do alto: seu formato ajudou a reduzir os danos durante o ataque terrorista de setembro de 2001
O Pentágono é a sede do Departamento de Defesa dos Estados Unidos. É lá que são tomadas as decisões estratégicas militares do país. Com aproximadamente 26.000 funcionários e 344.000 m2 de área interna, é também o maior prédio de escritórios do mundo. A forma peculiar do prédio surgiu das condições de sua construção. Em 1941, quando a Alemanha de Adolf Hitler havia conquistado a maioria da França e atacava a União Soviética, os Estados Unidos perceberam que não conseguiriam evitar sua entrada na Segunda Guerra Mundial, conforme vinham tentando até então. A passagem pela Primeira Guerra Mundial não havia deixado boa memória no povo norte-americano, que achava a guerra um problema dos europeus, da qual deveria estar de fora. Sob o comando do presidente Franklin Delano Roosevelt, o país começou a se armar. Como parte da reorganização, os EUA precisavam então de uma nova sede para a alta cúpula do Exército. Os militares passaram especificações para um prédio colossal, que deveria ser capaz de abrigar 40.000 funcionários. Isso significa mais ou menos o dobro do que o Empire State, maior prédio do mundo na época, era capaz de abrigar. Apesar das pretensões arquitetônicas dos generais, por causa do próprio esforço de guerra, a ordem era economizar aço, insumo necessário para fazer tanques, navios e aviões. Assim, decidiu-se que o prédio poderia ter no máximo quatro andares, de forma a economizar em estruturas de sustentação.
Mundo Estranho, jun. 2009 (adaptado).
.1. (AED-SP) Qual era a situação política dos Estados Unidos durante a construção do Pentágono? ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________
.2. (AED-SP) Por que havia uma limitação na altura do prédio? ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________
.3. (AED-SP) Por que o Pentágono não é retângulo nem quadrado, como um prédio convencional? ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ 164
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Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2 cm, então a área da figura 3, que representa uma “casinha”, é igual a
.4. (ENEM-MEC) Suponha que, na escultura do artista Emanoel Araújo, mostrada na figura a seguir, todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, com bases triangulares, e que as faces laterais do poliedro II são perpendiculares à sua própria face superior, que, por sua vez, é um triângulo congruente ao triângulo base dos prismas. Além disso, considere que os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II.
(A) (B) (C) (D) (E)
4 cm2. 8 cm2. 12 cm2. 14 cm2. 16 cm2.
.6. (ENEM-MEC) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras: FIGURA 1
FIGURA 2
Disponível em: www.escritosriodearte.com.br. Acesso em: 28/7/2009.
Ladrilhos retangulares pavimentando o plano
Imagine um plano paralelo à face do prisma I, mas que passe pelo ponto P pertencente à aresta do poliedro II, indicado na figura. A interseção desse plano imaginário com a escultura contém (A) dois triângulos congruentes com correspondentes paralelos. (B) dois retângulos congruentes e com correspondentes paralelos. (C) dois trapézios congruentes com correspondentes perpendiculares. (D) dois paralelogramos congruentes com correspondentes paralelos. (E) dois quadriláteros congruentes com correspondentes perpendiculares.
Heptágonos regulares não pavimentam o plano (há falhas ou superposição)
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos.
lados lados
Nome
lados
Figura
Triângulo
Quadrado
Pentágono
60°
90°
108°
Hexágono
Octógono
Eneágono
120°
135°
140°
lados Ângulo interno
lados
Nome
Figura
.5. (ENEM-MEC) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.
Ângulo interno
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um (A) triângulo. (B) quadrado. (C) pentágono.
(D) hexágono. (E) eneágono.
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Os sólidos são fabricados nas formas de
.7. (ENEM-MEC) Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por quatro irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de mesma área. Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para que fossem analisadas pelos demais herdeiros.
I.
um cone reto de altura 1 cm e raio da base 1,5 cm.
II.
um cubo de aresta 2 cm.
III.
uma esfera de raio 1,5 cm.
IV.
um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2 cm, 3 cm e 4 cm.
V.
um cilindro reto de altura 3 cm e raio da base 1 cm.
O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela abertura dessa caixa, só poderia colocar os sólidos dos tipos (A) I, II e III. (B) I, II e V. (C) I, II, IV e V. As ruas A e B são paralelas. As ruas C e D são paralelas.
.9. (FUVEST-SP) A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a
Dos esquemas abaixo, onde lados de mesma medida têm símbolos iguais, o único em que os quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é: (A)
(D)
(B)
(E)
(D) II, III, IV e V. (E) III, IV e V.
(C)
(A)
(C)
(B)
(D)
(E)
.10. (ENEM-MEC) No calendário utilizado atualmente, os anos são numerados em uma escala sem o zero, isto é, não existe o ano zero. A era cristã se inicia no ano 1 depois de Cristo (d.C.) e designa-se o ano anterior a esse como ano 1 antes de Cristo (a.C.). Por essa razão, o primeiro século ou intervalo de 100 anos da era cristã terminou no dia 31 de dezembro do ano 100 d.C., quando haviam decorrido os primeiros 100 anos após o início da era. O século II começou no dia 1 de janeiro do ano 101 d.C., e assim sucessivamente. Como não existe o ano zero, o intervalo entre os anos 50 a.C. e 50 d.C., por exemplo, é de 100 anos. Outra forma de representar anos é utilizando-se números inteiros, como fazem os astrônomos. Para eles, o ano 1 a.C. corresponde ao ano 0, o ano 2 a.C. ao ano −1, e assim sucessivamente. Os anos depois de Cristo são representados pelos números inteiros positivos, fazendo corresponder o número 1 ao ano 1 d.C.
.8. (ENEM-MEC) Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto de uma caixa que deverá conter cinco pequenos sólidos, colocados na caixa por uma abertura em sua tampa. A figura representa a planificação da caixa, com as medidas dadas em centímetros.
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Considerando o intervalo de 3 a.C. a 2 d.C., o quadro que relaciona as duas contagens descritas no texto é: (A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Calendário atual Cômputo dos astrônomos Calendário atual Cômputo dos astrônomos Calendário atual Cômputo dos astrônomos Calendário atual Cômputo dos astrônomos Calendário atual Cômputo dos astrônomos
3 a.C.
2 a.C.
1 a.C.
1 d.C.
2 d.C.
–1
0
1
2
3
3 a.C.
2 a.C.
1 a.C.
1 d.C.
2 d.C.
–2
–1
0
1
2
3 a.C.
2 a.C.
1 a.C.
1 d.C.
2 d.C.
–2
–1
1
2
3
3 a.C.
2 a.C.
1 a.C.
1 d.C.
2 d.C.
–3
–2
–1
1
2
3 a.C.
2 a.C.
1 a.C.
1 d.C.
2 d.C.
–3
–2
–1
0
1
.13. (INEP-MEC) Quatro unidades do produto A, com “peso” de 1 kg, custam 480 reais. Sete unidades do produto B, “pesando” 1 kg, custam 300 reais. Sabendo-se que 10 unidades do produto A e x unidades do produto B, juntas, “pesam” no mínimo 5 kg e não ultrapassam 2.000 reais, então o número x é (A) primo. (B) divisível por 7. (C) divisível por 5.
.14. (FUVEST-SP) Por recomendação médica, uma pessoa deve fazer, durante um curto período, dieta alimentar que lhe garanta um mínimo diário de 7 miligramas de vitamina A e 60 microgramas de vitamina D, alimentando-se exclusivamente de um iogurte especial e de uma mistura de cereais, acomodada em pacotes. Cada litro do iogurte fornece 1 miligrama de vitamina A e 20 microgramas de vitamina D. Cada pacote de cereais fornece 3 miligramas de vitamina A e 15 microgramas de vitamina D. Consumindo x litros de iogurte e y pacotes de cereais diariamente, a pessoa terá certeza de estar cumprindo a dieta se
.11. (ENEM-MEC) O dono de uma oficina mecânica precisa de um pistão das partes de um motor, de 68 mm de diâmetro, para o conserto de um carro. Para conseguir um, esse dono vai até um ferro-velho e lá encontra pistões com diâmetros iguais a 68,21 mm; 68,102 mm; 68,001 mm; 68,02 mm e 68,012 mm. Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da oficina terá de adquirir aquele que tenha o diâmetro mais próximo do que precisa.
(A) (B) (C) (D) (E)
Nas eleições do dia 1.º de outubro passado, dos eleitores que compareceram às urnas em uma determinada cidade, 29% deles votaram, para prefeito, no candidato U, 36% no candidato V, 25% no candidato W e os 20.000 eleitores restantes votaram em branco ou anularam seus votos. Com base nesses dados, pode-se afirmar que o número de eleitores que votou no candidato V foi:
(D) 68,012 mm. (E) 68,001 mm.
.12. (INEP-MEC) Em uma venda existem seis depósitos com capacidade de 15, 16, 18, 19, 20 e 31 litros, respectivamente. Um dos depósitos está cheio de nata e os outros estão cheios de leite ou de chocolate líquido. Se o volume de leite é o dobro do de chocolate líquido, a soma dos volumes de chocolate líquido e de nata existentes na venda é (A) 49 litros. (B) 51 litros. (C) 53 litros.
. . . . .
.15. (UFSCar-SP)
Nessa condição, o dono da oficina deverá comprar o pistão de diâmetro (A) 68,21 mm. (B) 68,102 mm. (C) 68,02 mm.
(D) múltiplo de 6. (E) múltiplo de 4.
(A) (B) (C) (D) (E)
(D) 65 litros. (E) 70 litros.
50.000. 58.000. 72.000. 180.000. 200.000.
.16. (UDESC) O que os brasileiros andam lendo? O brasileiro lê, em média, 4,7 livros por ano. Este é um dos principais resultados da pesquisa Retratos da Leitura no Brasil, encomendada pelo Instituto Pró-Livro ao Ibope Inteligência, que também pesquisou o comportamento do leitor brasileiro, as preferências e as motivações dos leitores, bem como os canais e a forma de acesso aos livros.
________________________________________________ *Anotações*
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que não apresentaram pesquisados é: (A) (B) (C) (D) (E)
nenhum
dos
sintomas
1.529. 2.078. 1.827. 1.951. 1.929.
.18. (UFT-TO) Em uma população de 400 pessoas foram realizados exames para detectar a anemia e exames para detectar a verminose. Dos resultados obtidos observou-se que: Fonte: Associação Brasileira de Encadernação e Restauro (adaptado).
Supõe-se que, em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, cujo objetivo era verificar o que elas estão lendo, obtiveram-se os seguintes resultados: 100 pessoas leem somente revistas, 300 pessoas leem somente livros e 150 pessoas leem somente jornais. Supõe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 leem livros e revistas, 50 leem jornais e revistas, 60 leem livros e jornais e 40 leem revistas, jornais e livros.
Apenas 40 pessoas leem pelo menos um dos três meios de comunicação citados.
II.
Quarenta pessoas leem somente revistas e livros, e não leem jornais.
III.
Apenas 440 pessoas leem revistas ou livros.
50% das pessoas que possuem verminose possuem também anemia.
220 pessoas não possuem nem verminose nem anemia.
(A) (B) (C) (D) (E)
30%. 27%. 25%. 32%. 35%.
.19. (INSPER-SP) No diagrama abaixo, U representa o conjunto de todos os alunos de uma escola. Estão também representados os seguintes subconjuntos de U: Q: alunos da escola que gostam de quiabo;
Assinale a alternativa correta. (A) (B) (C) (D) (E)
80% das pessoas que possuem anemia possuem também verminose.
Das 400 pessoas, a porcentagem correspondente ao número de pessoas que possuem anemia é:
Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações: I.
D: alunos da escola com mais de dezesseis anos de idade;
Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras. Somente a afirmativa II é verdadeira. Somente a afirmativa I é verdadeira.
P: alunos da escola que gostam do professor Pedro; M: alunos da escola que gostam de Matemática.
.17. (UFPel-RS) Um levantamento epidemiológico foi realizado em cinco praias paulistas frequentadas por grande número de famílias com crianças menores de 10 anos. Os principais aspectos do estudo foram relacionar a incidência de doenças gastrintestinais em banhistas com os índices de contaminação fecal das praias do litoral paulista. A pesquisa, feita com 2.100 pessoas, teve por objetivo detectar o número de pessoas com sintomas de vômitos (V), diarreia (D) e febre (F), conforme o quadro abaixo. D
F
V
DeV
DeF
FeV
D, V e F
127
136
137
46
52
51
22
Em todas as regiões do diagrama, identificadas com um número de 1 a 8, há pelo menos um aluno representado. Então, é correto concluir que: (A) se um aluno gosta de quiabo, então ele não tem mais do que dezesseis anos. (B) pelo menos um aluno que gosta de Matemática tem mais do que dezesseis anos e gosta de quiabo. (C) se um aluno gosta do professor Pedro, então ele gosta de Matemática. (D) todo aluno que gosta de Matemática e tem mais do que dezesseis anos gosta do professor Pedro. (E) se um aluno com mais de dezesseis anos não gosta do professor Pedro, então ele não gosta de quiabo.
Revista Discutindo Ciência, ano 1, n.º 1 (adaptado).
Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar que o número de pessoas entrevistadas 168
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a variação da quantidade de álcool (em gramas por litro) no sangue, em função do tempo após a ingestão, em duas pessoas do mesmo sexo e mesmo peso que beberam três latas de cerveja cada uma, sendo que uma comeu antes de beber e a outra não:
*MÓDULO 4*
Álgebra – Funções Noção intuitiva Diariamente, e provavelmente sem perceber, exploramos de modo intuitivo a noção de função — que, muitas vezes, é usada ao relacionarmos duas variáveis. Por exemplo, ao irem almoçar em um restaurante por quilo, as pessoas calculam a variação do preço da comida de acordo com a quantidade servida. Veja: Quantidade 100 g 200 g 500 g 1.000 g (1 kg) x
Preço a pagar R$ 02,00 R$ 04,00 R$ 10,00 R$ 20,00 0,02 x
Observe que o preço a pagar é dado em função da quantidade em gramas de comida servida. Isto é, depende da quantidade comprada. Preço a pagar = R$ 2,00 vezes cada 100 gramas de comida servida p = 0,02x
Pela análise do gráfico, vemos que:
A função segue uma lei, da qual surgem fórmulas matemáticas adequadas para cada caso. Para chegar a ela, observe a tabela que relaciona a medida do lado de um quadrado (a) e o seu perímetro (p).
Medida do lado (a) 1 2 2,5 a
1)
A quantidade de álcool no sangue aumentou progressivamente durante as duas primeiras horas após a ingestão na pessoa que bebeu depois de comer (linha preta) e durante a primeira hora e meia no caso da pessoa que bebeu em jejum (linha cinza).
2)
A quantidade de álcool no sangue diminuiu progressivamente duas horas depois da ingestão na pessoa que bebeu após comer (linha preta) e depois de cerca de uma hora e meia após a ingestão na pessoa que bebeu em jejum (linha cinza).
3)
A variação da quantidade de álcool no sangue foi menor na pessoa que bebeu após comer do que na pessoa que bebeu em jejum.
4)
Observando o gráfico, é possível afirmar, por exemplo, que: duas horas após a ingestão, o nível de álcool no sangue da pessoa que havia comido era de cerca de 0,7 g/L, e na pessoa que bebeu em jejum esse nível era de 0,9 g/L durante as mesmas duas horas após a ingestão.
Função é qualquer relação em que, para cada valor atribuído a , existe um único valor .
No plano cartesiano, corresponde ao eixo horizontal (eixo das abscissas) e , ao eixo vertical (eixo das ordenadas). Os valores de variam de acordo com os valores de .
Valor numérico de uma função é o número obtido ao atribuirmos um número à variável independente . Por exemplo:
Perímetro (p) 4 8 10 4a
O perímetro do quadrado é dado em função da medida do seu lado; isto é, o perímetro depende da medida do lado. A cada valor dado para a medida do lado, corresponde um único valor para o perímetro. Perímetro = 4 vezes a medida do lado, ou p = 4 a. Nessa função, como depende da medida do lado, o perímetro é a variável dependente, enquanto a medida do lado é chamada de variável independente. Com frequência, em reportagens de revistas, jornais e internet, encontramos gráficos e tabelas que ilustram uma determinada situação. Em geral, eles representam funções. Veja, por exemplo, o gráfico abaixo, que retrata
, se
, o valor numérico de
. 169
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Funções com mais de uma sentença dão mais de uma “pista” sobre o valor da variável. Por exemplo:
.
Uma raiz (ou um zero) de uma função elemento no domínio de tal que:
Soma dos termos da PG:
Soma dos termos da PG infinita:
Soma dos termos de uma PA finita:
é um
.
Na representação gráfica, os zeros da função são os pontos do gráfico que interceptam (cortam) ou intersectam o eixo . Em , é a variável independente e é a variável dependente.
*ATENÇÃO, ESTUDANTE!* Para complementar o estudo deste Módulo, utilize seu LIVRO DIDÁTICO.
Função do 1.º grau é toda função definida por , com ; , e pertencem ao conjunto dos reais. A representação gráfica dessa função no plano cartesiano é uma reta.
*********** ATIVIDADES ***********
Sequências são sucessões de números que obedecem a determinadas regras. Podem ser numéricas, não numéricas e genéricas.
Progressão aritmética é um tipo de sequência em que a diferença entre um termo e seu sucessor é sempre a mesma. Ou seja: cada novo passo tem o mesmo tamanho do passo anterior. Uma progressão aritmética cresce assim:
Progressão geométrica é a sequência em que a razão entre um termo e o seu sucessor é sempre o mesmo quociente. Ou seja: dividindo o sucessor pelo termo anterior, em qualquer ponto da progressão, o quociente sempre será o mesmo. Uma progressão geométrica cresce assim:
Razão é o termo constante das progressões. Na progressão aritmética, é representada pela letra . Na geométrica, pela letra .
Quando a razão de uma progressão aritmética é negativa, ela decresce em vez de crescer.
Quando a razão de uma progressão geométrica é negativa, ela alterna entre termos positivos e negativos. Quando é igual a 1, ela é constante. Quando se situa entre 0 e 1, ela é decrescente.
Uma PG infinita pode ter a soma de seus termos determinada, se ela for decrescente.
O termo geral da PG permite determinar qualquer termo da PG conhecendo-se apenas o primeiro termo e a razão da progressão geométrica, com a fórmula:
.1. (ENEM-MEC) Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado. número de bolas (x) 5 10 15
nível da água (y) 6,35 cm 6,70 cm 7,05 cm Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13/1/2009 (adaptado).
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)? (A) y = 30x. (B) y = 25x + 20,2. (C) y = 1,27x.
sendo: razão;
termo geral; número de termos.
(D) y = 0,7x.
primeiro termo;
(E) y = 0,07x + 6. 170
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.2. (ENEM-MEC)
.3. (ENEM-MEC)
Muitas vezes o objetivo de um remédio é aumentar a
Paulo emprestou R$ 5.000,00 a um amigo, a uma
quantidade de uma ou mais substâncias já existentes no
taxa de juros simples de 3% ao mês. Considere x o
corpo do indivíduo para melhorar as defesas do
número de meses do empréstimo e M(x) o montante a
organismo.
Depois
de
alcançar
o
objetivo,
essa
ser devolvido para Paulo no final de x meses.
quantidade deve voltar ao normal.
Nessas condições, a representação gráfica correta para
Se uma determinada pessoa ingere um medicamento
M(x) é:
para aumentar a concentração da substância A em seu organismo, a quantidade dessa substância no organismo
(A)
(D)
(B)
(E)
da pessoa, em relação ao tempo, pode ser mais bem representada pelo gráfico: (A)
(B)
(D)
(E)
(C) (C)
.4. (ENEM-MEC)
________________________________________________
Uma
*Anotações*
empresa
produz
jogos
pedagógicos
para
computadores, com custos fixos de R$ 1.000,00 e custos variáveis de R$ 100,00 por unidade de jogo produzida. Desse modo, o custo total para x jogos produzidos é dado por C(x) = 1 + 0,1x (em R$ 1.000,00). A gerência da empresa determina que o preço de venda do produto seja de R$ 700,00. Com isso a receita bruta para x jogos produzidos é dada por R(x) = 0,7x (em R$ 1.000,00). O lucro líquido, obtido pela venda de x unidades de jogos, é calculado pela diferença entre a receita bruta e os custos totais. O gráfico que modela corretamente o lucro líquido dessa empresa, quando são produzidos x jogos, é: 171
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(A)
De acordo com o gráfico, em 2009, o número de empregos gerados pelo turismo será superior a
(D)
(A) (B) (C) (D) (E)
602.900 no cenário previsível. 660.000 no cenário otimista. 316.000 e inferior a 416.000 no cenário previsível. 235.700 e inferior a 353.800 no cenário pessimista. 516.000 e inferior a 616.000 no cenário otimista.
.6. (ENEM-MEC)
(B)
A figura abaixo representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008.
(E)
(C) Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então (A) (B) (C) (D) (E)
M(x) = 500 + 0,4x. M(x) = 500 + 10x. M(x) = 510 + 0,4x. M(x) = 510 + 40x. M(x) = 500 + 10,4x.
.7. (ENEM-MEC) As condições de saúde e a qualidade de vida de uma população humana estão diretamente relacionadas com a disponibilidade de alimentos e a renda familiar. O gráfico I mostra dados da produção brasileira de arroz, feijão, milho, soja e trigo e do crescimento populacional, no período compreendido entre 1997 e 2003. O gráfico II mostra a distribuição da renda familiar no Brasil, no ano de 2003.
.5. (ENEM-MEC) A importância do desenvolvimento da atividade turística no Brasil relaciona-se especialmente com os possíveis efeitos na redução da pobreza e das desigualdades por meio da geração de novos postos de trabalho e da contribuição para o desenvolvimento sustentável regional. No gráfico são mostrados três cenários — pessimista, previsível, otimista — a respeito da geração de empregos pelo desenvolvimento de atividades turísticas.
Gráfico I: Produção de grãos e população brasileira entre 1997 e 2003
Fonte: IBGE.
172
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Texto para as questões de 8 a 10.
Gráfico II: Distribuição da renda da população em 2003
Filósofo matemático Vários conceitos elaborados por Bertrand Russell estão presentes nos testes de Matemática
Fonte: IBGE.
Considere que três debatedores, discutindo as causas da fome no Brasil, chegaram às seguintes conclusões:
Debatedor 1 – O Brasil não produz alimento suficiente para alimentar sua população. Como a renda média do brasileiro é baixa, o País não consegue importar a quantidade necessária de alimentos e isso é a causa principal da fome.
Debatedor 2 – O Brasil produz alimentos em quantidade suficiente para alimentar toda a sua população. A causa principal da fome, no Brasil, é a má distribuição de renda.
Debatedor 3 – A exportação da produção agrícola brasileira, a partir da inserção do País no mercado internacional, é a causa majoritária da subnutrição no País.
ADRIANA KOMURA
O britânico Bertrand Russell, que atuou em diversas áreas de conhecimento. Em dois livros, ele apresentou conceitos matemáticos importantes
O britânico Bertrand Russell (1872-1970) viveu e escreveu muito. Nascido numa família nobre, seu avô paterno foi primeiro-ministro durante o reinado da rainha Vitória, entre 1840 e 1860. Russell foi um dos principais criadores de uma das duas correntes filosóficas mais importantes do século XX: a Filosofia Analítica, que considera o trabalho do filósofo similar ao do cientista, tratando Matemática, Lógica, Filosofia e Ciência como parte de um mesmo campo do conhecimento. Isso contrasta com a outra escola filosófica influente, a Filosofia Continental, cujas bases foram lançadas pelo alemão Edmund Husserl (1859-1938), bastante crítica do método científico. Russell começou a expor suas ideias originais sobre Matemática e Filosofia em seus livros Principia Mathematica (três volumes em coautoria com Alfred North Whitehead, publicados em 1910, 1912 e 1913). Esses livros tanto serviram de base à escola filosófica que ajudava a criar quanto foram em si contribuições importantes para a Matemática. Russell ajudou a desenvolver a teoria dos conjuntos, iniciada alguns anos antes pelo matemático Georg Cantor (1845-1918), provando por meio de um paradoxo que ela precisava ser refinada. Numa época de especialistas, Russell era um polímata, um “homem da Renascença” como Leonardo Da Vinci, alguém que se mostra competente em diversos campos do conhecimento. Além de cientista e
Considerando que são necessários, em média, 250 kg de alimentos para alimentar uma pessoa durante um ano, os dados dos gráficos I e II, relativos ao ano de 2003, corroboram apenas a tese do(s) debatedor(es) (A) (B) (C) (D) (E)
1. 2. 3. 1 e 3. 2 e 3.
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matemático, escreveu sobre História e teve grande influência como pensador político — que ele fazia questão de lembrar que não era a mesma coisa que seus escritos filosóficos, que são áridos ao leitor comum, mais adequados a um filósofo treinado, e muitas vezes misturam Filosofia à Matemática, dando trabalho até mesmo aos filósofos. Sobre seus textos mais acessíveis, alguns inimigos intelectuais de Russell o chamaram de “jornalista” — vindo de um filósofo, isso costuma ser uma acusação de superficialidade. Enquanto pensador político, ele foi defensor da igualdade racial, da liberdade sexual, da democracia e do desarmamento nuclear. Foi sempre um pacifista, mas no que chamava de “pacifismo relativo”, considerando que a guerra era sempre um grande mal, mas que guerras eram um mal menor se comparadas às consequências de uma paz a qualquer custo. Ele acabou apoiando a guerra contra Hitler, após hesitar nos primeiros anos, por considerar que o líder nazista levaria a ainda mais guerras se fosse deixado em paz. Defensor inicial do socialismo, Russell se interessou pelo sistema soviético, mas, ao conhecer Lênin pessoalmente, em 1920, ficou chocado com o que chamou de “impiedade diabólica” do líder soviético. A partir daí, tornou-se um crítico do marxismo, que chamou de dogmático, mas pendeu para o lado dos soviéticos na Crise dos Mísseis de Cuba, em 1962, além de se opor à Guerra do Vietnã (1959-1975). As progressões aritméticas e geométricas são sequências lógicas, cuja natureza foi mais bem desvendada a partir de estudos de matemáticos como Russell.
.11. (ENEM-MEC) Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.
1**2**2**1**2**2**1 1**2**1**2**1**2**1 1**1**2**3**2**1**1 1**2**3**4**3**2**1 Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9.ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo? (A) (B) (C) (D) (E)
9. 45. 64. 81. 285.
.12. (ENEM-MEC) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) — objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares.
Superinteressante, jun. 2010.
.8. (AED-SP) Bertrand Russell é chamado no texto de “homem da Renascença”. Por quê? ___________________________________________________
O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos:
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1.
comece com um triângulo equilátero (figura 1);
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2.
construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias;
3.
posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;
4.
repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).
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.9. (AED-SP) Quando Russell se desiludiu do socialismo soviético? Por quê? ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________
.10. (AED-SP) Quando Russell fez sua contribuição para a Matemática? ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ 174
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De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é:
(A)
(D)
(B)
(E)
Utilizando o processo descrito acima, pode-se produzir um exemplar de cordel com 32 páginas de 10,5 cm x 15,5 cm, com o menor gasto possível de material, utilizando uma única folha de (A) (B) (C) (D) (E)
84 cm x 62 cm. 84 cm x 124 cm. 42 cm x 31 cm. 42 cm x 62 cm. 21 cm x 31 cm.
.15. (ENEM-MEC) Uma pessoa decidiu depositar moedas de 1, 5, 10, 25 e 50 centavos em um cofre durante certo tempo. Todo dia da semana ela depositava uma única moeda, sempre nesta ordem: 1, 5, 10, 25, 50, e, novamente, 1, 5, 10, 25, 50, assim sucessivamente.
(C)
Se a primeira moeda foi depositada em uma segunda-feira, então essa pessoa conseguiu a quantia exata de R$ 95,05 após depositar a moeda de
.13. (ENEM-MEC) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura.
(A) (B) (C) (D) (E)
.16. (ENEM-MEC) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.
Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser: (A) (B) (C) (D) (E)
1 centavo no 679.º dia, que caiu numa segunda-feira. 5 centavos no 186.º dia, que caiu numa quinta-feira. 10 centavos no 188.º dia, que caiu numa quinta-feira. 25 centavos no 524.º dia, que caiu num sábado. 50 centavos no 535.º dia, que caiu numa quinta-feira.
144. 180. 210. 225. 240.
.14. (ENEM-MEC) Na literatura de cordel, os textos são impressos, em geral, com 8, 16, 24 ou 32 páginas de formato 10,5 cm x 15,5 cm. As razões históricas que explicam tal fato estão relacionadas à forma artesanal como são montadas as publicações e ao melhor aproveitamento possível do papel disponível. Considere, abaixo, a confecção de um texto de cordel com 8 páginas (4 folhas):
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura? (A) (B) (C) (D) (E)
C = 4Q. C = 3Q + 1. C = 4Q – 1. C = Q + 3. C = 4Q – 2.
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.17. (UNESP) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira, que rende 1% de juros ao mês, já descontados o imposto de renda e as taxas bancárias recorrentes. Se desejo me aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em reais, que devo disponibilizar mensalmente é: (A) (B) (C) (D) (E)
290,00. 286,00. 282,00. 278,00. 274,00.
Dado: 1,01361
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.18. (UNICAMP-SP) Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir, em que cada figura é formada por um conjunto de palitos de fósforo.
FIGURA 1
FIGURA 2
FIGURA 3
Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Nesse caso, o número de fósforos necessários para que seja possível exibir todas as primeiras 50 figuras ao mesmo tempo é igual a (A) (B) (C) (D) (E)
200. 1.000. 2.000. 10.000. 20.000.
.19. (PUC-RS) Devido à epidemia de gripe do último inverno, foram suspensos alguns concertos em lugares fechados. Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos, como parques ou praças. Para uma apresentação, precisou-se compor uma plateia com 8 filas, de tal forma que na primeira fila houvesse 10 cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18 cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras foi: (A) (B) (C) (D) (E)
384. 192. 168. 92. 80. 176
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