Transcript
Cursos: Engenharia Agrícola, Engenharia da Produção, Matemática Disciplina: Cálculo Numérico Data: 9 de Agosto de 2005
Método de Eliminação de Gauss 1. Introdução A resolução de sistemas de equações lineares e o cálculo de determinantes são dois exemplos de problemas fundamentais da álgebra linear que foram estudados desde longa data. Leibnitz encontrou em 1693 a fórmula para o cálculo de determinantes, e em 1750 Cramer apresentou um método para resolver sistemas de equações lineares, conhecida desde então como a Regra de Cramer, primeira pedra na construção da álgebra linear e da teoria das matrizes. No inicio da evolução dos computadores digitais, o cálculo matricial recebeu a atenção merecida. John von Neumann e Alan Turing eram os pioneiros mundialmente famosos da ciência da computação, e introduziram contribuições notáveis para o desenvolvimento da álgebra linear computacional. Em 1947, von Neumann e Goldstein pesquisaram os efeitos dos erros de arredondamento na resolução de equações lineares. Um ano depois, Turing iniciou um método para decompor uma matriz num produto de uma matriz triangular inferior com uma matriz escalonada (conhecida como decomposição LU). Hoje, a álgebra linear computacional é uma área de muito interesse. Isto é devido ao fato que este campo está reconhecido agora como uma ferramenta absolutamente essencial em muitas das aplicações computacionais que requerem cálculos longos e difíceis de desenvolver manualmente, como por o exemplo: em gráficos de computador, em modelagem geométrica, em robótica, etc..
2. Objetivo Obter uma solução exata de um sistema de equações lineares da forma
AX = B ,
(1)
onde, A é uma matriz quadrada de ordem n, X e B são vetores coluna de ordem n x 1. 1. O método consiste em utilizar um número finito de transformações elementares e considerar elementos da diagonal principal (não nulos) chamados pivôs. 2. Se, por exemplo, a ii ≠ 0 , a linha do pivô é mantida e os outros elementos da i-ésima coluna ficam zerados. 3. O transformado de um elemento que não aparece na linha nem na coluna do pivô é igual a este elemento menos o produto contradiagonal dividido pelo pivô. 4. O processo repete-se escolhendo novos pivôs (não nulos) que não figurem na linha nem na coluna anteriores. 5. O processo termina quando já não é possível tomar novos pivôs. 6. Depois, inicia-se o processo de substituição para cima.
3. Exemplo Resolva o seguinte sistema de equações lineares
2 x + y − 3 z = −1 − x + 3 y + 2 z = 12
(2)
3x + y − 3z = 0 Podemos escrever este sistema linear na forma matricial:
[email protected]
Professor:
2 1 − 3 x − 1 − 1 3 2 y = 12 3 1 − 3 z 0
(3)
2 1 − 3 − 1 A = − 1 3 2 12 3 1 − 3 0
(4)
Passo 1: A Matriz Aumentada. Define-se primeiro a matriz aumentada:
As três primeiras colunas desta matriz coincidem com as colunas da matriz do sistema e a última coluna é a dos termos da direita do sistema de equações lineares (2).
Passo 2. Processo de eliminação Como a11 = 2 ≠ 0, este elemento será o nosso primeiro pivô. Define-se λ1 =
a 21 1 = − , e calculam-se os a11 2
outros elementos transformados da segunda linha segundo a regra 3 acima: ' a 22 = a 22 − λ1 a12 = 3 − (− 12 ) ⋅ 1 =
7 2
' a 23 = a 23 − λ1 a13 = 2 − (− 12 ) ⋅ (− 3) = ' a 24 = a 24 − λ1 a14 = 12 − (− 12 ) ⋅ (−1) =
De outra parte, define-se λ 2 =
1 2
(5) 23 2
a 31 3 = , e determinam-se ou outros elementos transformados da terceira a11 2
linha: ' a 32 = a 32 − λ 2 a12 = 1 − 32 ⋅ 1 = − 12 ' a 33 = a 33 − λ 2 a13 = −3 − 32 ⋅ (−3) = ' a 34 = a 34 − λ 2 a14 = 0 − 32 ⋅ (−1) =
3 2
(6)
3 2
Desta forma a nova matriz aumentada transformada após esta primeira fase de eliminação fica como
2 1 A' = 0 72 1 0 − 2
− 3 − 1 23 1 2 2 3 3 2 2
(7)
' Para a segunda fase de eliminação Gaussiana consideramos como pivô o elemento a 22 =
definimos λ 3 =
a a
' 32 1 22
=
− 12 7
2
=−
7 2
≠ 0. Agora,
1 . Assim, podemos determinar os elementos transformados na terceira 7
linha:
[email protected]
Professor:
" ' ' = a 33 − λ3 a 23 = 32 − (− 17 )⋅ 12 = a 33
11 7
" ' ' = a 34 − λ3 a 24 = 32 − (− 17 ) ⋅ 232 = a 34
(8)
22 7
A nova matriz aumentada fica após esta segunda fase de eliminação da forma seguinte:
2 1 − 3 − 1 7 23 1 A" = 0 2 2 2 22 0 0 117 7
(9)
Passo 3: Fase de substituição retrocedida Temos obtido o seguinte sistema equivalente de equações lineares:
2 x + y − 3 z = −1 7 2
y + 12 z =
23 2
z=
22 7
11 7
(10)
que é um sistema triangular, isto é a matriz do sistema é uma matriz triangular superior, que pode ser resolvido, facilmente, por substituição das variáveis. Da última equação de (10) temos
z=
22 11
7
=2,
7
e substituindo este valor na segunda equação de (10) obtemos, 7 2
y + 12 ⋅ 2 =
23 2
,
e resolvendo para y , fica
Finalmente, substituindo estes valores, z = 2, e
2 x + 3 − 3 ⋅ 2 = −1,
+-,/.021436587:98;=< • •
y=
23 2
−1 7 2
= 3.
y = 3 , na primeira equação de (10) temos,
e resolvendo para x, fica
x=
−1− 3 + 6 = 1. 2
O método de eliminação de Gauss consiste de duas fases:
Fase de eliminação: o objetivo é empregar transformações elementares na matriz aumentada, visando obter uma correspondente a um sistema triangular superior. Fase de substituição retrocedida: inicia-se resolvendo a última equação, cuja solução é substituída na penúltima e resolve-se na penúltima variável, e assim em forma consecutiva.
>8?@BADCBEAGFHA=IKJ2L/MON/PQRADSTN2UWV
Considerando como operações elementares somas, produtos e divisões entre os elementos da matriz aumentado o na fase de substituição retrocedida, a seguinte tabela reproduz o esforço computacional. Operações
X:Y8Z-[:\ eafWgdh6ikjlgdm wHx ydx z{a|:z 2T
[email protected]
Primeira Fase de eliminação
Segunda Fase de eliminação
Substituição retrocedida
n
o
p
]
}
^
~
_
Total
`a` aq q
Tempo unitário
db c ordr a:
Total
db bdc s8tus:vav
u:a Td
Professor: !"#$ % &$'&%&() *
4. Decomposição LU Definem-se duas matrizes triangulares: •
Matriz L ( de “ lower” ), triangular inferior cujos elementos diagonais são unidades e seus elementos abaixo da diagonal são os coeficientes λ1, λ2, λ3 definidos no processo de eliminação de Gauss.
1 L = λ1 λ 2 •
0 1
λ3
0 0 1
(11)
Matriz U ( do inglês “ upper”, superior), matriz triangular superior defini da pelo bloco das três primeiras colunas da última matriz aumentada A”. Em nosso exemplo podemos escrever L e U e proceder à multiplicação matricial LU obtendo:
1 1 − 2 3 2
0 0 1
0 1 −
1 7
L
2 0 0
1 7 2 0
− 3 2 1 − 3 1 = −1 3 2 = A 2 11 − 3 1 3 7
(12)
U
A matriz do sistema resulta sendo o produto de duas matrizes, uma triangular inferior e outra triangular superior.
5. Cálculo do Determinante O determinante do produto de duas matrizes quadradas é o produto dos determinantes det (L) • det (U) = det ( A)
(12)
7 11 = 11 . Isto é devido ao fato que o determinante de 2 7
mas det(L) = 1, e assim det(A) = det (U) = 2. .
qualquer matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal, o que pode ser comprovado em forma fácil.
6. Estratégia de Pivotamento Um sistema de operações pode ter um zero na diagonal e ainda possuir uma solução bem definida. Por exemplo, o sistema de equação. x2 = 1 x1 + x2 = 2 possui um zero na diagonal, mas a solução, x1 = 1 e x2 = 2, está bem definida. O problema pode ser resolvido reordenando as equações para obter o sistema.
[email protected]
Professor:
x1 + x2 = 2 x2 = 1 o que pode ser resolvido por meio da retrosubstituição, pois o sistema é agora triangular superior. Assim, o problema de um pivô nulo pode superar-se, isto quer dizer, processando abaixo da coluna pivotante até achar um elemento não nulo e trocando esta linha com a linha pivotal existente. Isto vai funcionar, mas há uma condição consideração adicional. Devido à que ocorrem problemas se um pivô é nulo, resulta razoável supor o que pode acontecer se o pivô é pequeno em comparação com os outros elementos da matriz, e tal é, de fato, neste caso. Assim é melhor antes de procurar o primeiro elemento não nulo, pesquisar a coluna inteira para determinar o elemento de módulo máximo e depois trocar as linhas, se for necessário, de modo que este elemento converte-se no pivô. Tal processo se chama Pivotamento Parcial, constituindo um passo fundamental na seleção de sistema de equações lineares. Existe também um processo de Pivotamento Completo segundo o qual localizamos o elemento de maior módulo na submatriz a ij para i, j ≥ k no sistema.
a11 x1 + a12 x 2 + ......................................... + a1n x n = b a 22 x 2 + ...................................... + a 2 n x n = b2 a kk x k + ............ + a kn x n = bk a k +1, n x k + ............ + a k +1, n x n = bk +1 a n, k x k + ............ + a n , n x n = bn depois do qual trocam-se a linha e a coluna para que este elemento ocupe a posição pivotal. Em termos de computação, isto resulta num alto esforço computacional e na pratica, pouco se precisa. Em geral, o mais conveniente é o pivotamento parcial. Caso não encontrar nenhum elemento diferente de zero na coluna pivotal, então a matriz é simgular, de modo que pode usar-se como uma prova de singularidade. Exemplo:
p1 p2 p3
→ → →
2 1 3 4 3 10 2 4 17
x 11 y = 28 z 31 Procura-se o elemento de módulo máximo na primeira coluna.
Primeiro Pivô 4 2 2
3 1 4
10 3 17
28 11 31
P1
0
- 0.5
-2
-3
P2
4
3
10
28
P3
0
25
12
17
Ou também
Foi “trocada” p 2 e p1. Eliminamos x1 diferentes do elemento privotal. O novo pivô é o maior elemento da segunda coluna diferente da linha pivotal anterior.
Segundo Pivô
[email protected]
Professor: ¡ ¢ £¡¤£¢£¥¦ §
P1
0
0
0.4
0.4
P2
4
3
10
28
P3
0
25
12
17
Agora temos a forma triangular superior. Para levar adiante a substituição retrocedida, trabalhamos com as linhas em ordem inversa, p 3 , p 2 , p1 :
x3 =
0.4 =1 0.4
Da linha p2 obtém-se.
x2 =
17 − 12 x 3 5 = =2 2 .5 2 .5
Da linha p2 obtêm-se:
x1 =
28 − 3 x 2 − 10 x3 28 − 6 − 10 12 = = =3 4 4 4
7. Escalonamento A estratégia dos pivôs pode ser mudada re-escalando as equações. Por exemplo, dado o sistema de equações seguinte: (*) x1 + x2 = 2 0,0001 x1 + 0,1 x2 = 1 o multiplicador é 0,0001. Mas, se multiplicamos a segunda equação por 100 000 resultará, x1 + x2 = 2 10 x1 + 10000 x2 = 100 000 Então deveriam ser trocadas as linhas, e o multiplicador será 0,1. Assim a estratégia de pivotamento foi alterada com o escalamento e, além disso, os cálculos realizados no processo de eliminação mudam, dando uma acumulação distinta dos erros de arredondamento. Até o momento não existe acordo sobre a “melhor” maneira de escalonamento de um sistema linear visando reduzir a acumulação de erros de arredondamento, mas um método muito empregado é chamado de “equilíbrio”. Nesta técnica, as equações são escalonadas de modo que os elementos máximos nas linhas e colunas da matriz A tenhan mais ou menos a mesma grandeza, e em geral, escolhe-se a unidade. Um balanço do sistema (*) seria assim, x1 + x2 = 2 0,001 x1 + x2 = 10.
[email protected]
Professor: ¨©ª«¬ ®¬¯®®°± ²
