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Eletrotécnica Básica
Eletrotécnica Básica 1. Resoluções de Circuitos em corrente contínua Definições: a) Bipolo – é qualquer dispositivo elétrico com dois terminais; Ex.: Resistor, indutor, capacitor, gerador, etc. Símbolo do bipolo:
b) Circuito Elétrico – é um conjunto de bipolos elétricos interligados;
c) Gerador de Tensão Contínua – é um dispositivo elétrico que impõe uma tensão entre seus terminais, qualquer que seja o valor da corrente.
V
Símbolo do Gerador de tensão contínua:
-
+
d) Gerador de Corrente Contínua – é um dispositivo que impõe uma corrente, qualquer que seja o valor da tensão aplicada aos terminais. Símbolo do Gerador de corrente contínua:
e) Associação de Bipolos em Série – é um conjunto de bipolos ligados de tal maneira que a corrente que passa por um bipolo, obrigatoriamente, passa pelos outros. B1
B2
B3
B4
1
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f) Associação de bipolos em paralelo – é um conjunto de bipolos ligados de tal maneira que a tensão aplicada a um é, obrigatoriamente, aplicada aos outros.
B1
B2
B3
B4
g) Ligação de Bipolos em Estrela – é um conjunto de três bipolos ligados de acordo com a figura abaixo
B1
B2
B3
h) Ligação de Bipolos em Triângulo (delta) – é um conjunto de três bipolos ligados conforme com a figura abaixo B1 B2
B3
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Leis dos circuitos: o processo de resolução de circuitos em corrente contínua baseia nas seguintes leis da Física:
I =
a) Lei de Ohm:
V R
ou
V = RI
b) 1ª Lei de Kirchhoff (lei das correntes): o somatório das correntes que convergem para um mesmo nó é igual a zero; (princípio: a energia não pode ser criada ou destruída) I5
I1
∑I
= 0
I3 + I5 – I1 – I2 – I4 = 0 I3
I3 + I5 = I1 + I2 + I4
I2 I4
c) 2ª Lei de Kirchhoff (lei das tensões): a soma algébrica das tensões ao longo de um caminho fechado é igual à soma algébrica das quedas de voltagem existentes nessa malha (princípio: a toda ação corresponde uma reação igual e contrária).
∑E
-
=
∑ RI
ou
∑E
−
∑ RI
= 0
-E1+E2+E3=I1R1–I2R2+I3r3-I4R4
+
+
+
-
+
-E1+E2+E3-I1R1+I2R2-I3r3+I4R4=0
-
+ +
-
+
-
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Análise de Malhas para resolução de circuitos Este processo é válido para circuitos planares (que podem ser representados num plano, sem cruzamentos de linha), contendo apenas bipolos lineares e sem geradores de corrente.
Exemplo 01:
1ª Malha (ABEF): 100 – 40 =5I1 + 5I1 + 10(I1 – I2) 2ª Malha (BCDE): 40 = 10I2 + 10(I2 – I1) 60 = 20I1 - 10I2 40 = -10I1 + 20I2
60 = 20I1 - 10I2 (x2)
80 = -20I1 + 40I2 140 = 30I2 I2 =140/30 = 4,67A
60 = 20I1 – 10 x 4,67 Î I1 = (60 + 46,7)/20 I1= 5,33A
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Exemplo 02:
Nó A: Nó B: Nó C: Malha Malha Malha
I4 = I1 + I2 = I3 + I1 = I5 + ADCEF: E1 BCD: E2 ABCD: -E6
I3 I6 I6 = I1R1 + I4R4 + I5R5 E6 = I2R2 + I6R6 - I5R5 = -I3R3 + I6R6 – I4R4 - I5R5
Aplicando as Leis de Kirchhoff podemos transformar circuitos ligados em “Y” em circuitos ligados em “Δ”
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“Δ” em “Y”
“Y” em “Δ”
R1R 2 R1 + R 2 + R 3
R1 =
RaRb + RbRc + RcRa Rc
R1R 3 Rb = R1 + R 2 + R 3
R2 =
RaRb + RbRc + RcRa Rb
R2 R3 R1 + R 2 + R 3
R3 =
RaRb + RbRc + RcRa Ra
Ra =
Rc =
Exemplo 03:
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2. Resoluções de Circuitos em corrente alternada A quase totalidade dos sistemas elétricos trabalha com correntes e tensões alternadas. Isto se deve ao fato de: a) Ser mais fácil o transporte da energia para lugares distantes; b) Ser econômica a transformação de níveis de tensão e de corrente, de acordo com a necessidade; c) Ser econômica a transformação de energia elétrica em energia mecânica e vice-versa;
Força Eletromotriz de um alternador elementar
φm = Fluxo Máximo encadeado com a espira ω = Velocidade angular da espira (rad/seg) α = ωt = ângulo formado pelo plano da espira com o plano perpendicular às linhas de fluxo 7
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φ = φm.cosωt dφ para uma espira dt dφ d(φm. cos ωt) e = −n = −n = ωnφm. sen ωt dt dt
e = −
mas: Em = ωnφm
então:
e = Em. sen ωt
Função periódica
y = f(t) é periódica se assumir o mesmo valor f(t) para instantes espaçados de T, 2T, 3T,... então y = f(t) = f(t+T) = f(t+2T) = ... = f(t+nT) T = período
Freqüência nº de períodos (ou ciclos) por segundos (Hertz ou Hz)
f =
1 T
ex.: para f = 60Hz ⇒ T = 1/60 = 0,01667 seg
Então ω =
2π = 2πf ⇒ e = Em. sen 2πft T
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Freqüências usuais: 50Hz (Europa, Paraguai) 60Hz (Brasil, USA) 25Hz (alguns sistemas de tração elétrica) 250 a 2700Hz (Telefonia comercial) 25 a 40 kHz (Sondagem submarina) ultra-som 30 kHz (telegrafia sem fio) 150 kHz (Radiodifusão – Ondas Longas) 500 a 1500 kHz (Radiodifusão – Ondas Médias - 200 a 600m) 30 MHz (Radiodifusão – Ondas Curtas até 10m) Fase e diferença de Fase
F(t) = A.sen(ωt+θ)
∴
(ωt+θ) = ângulo de Fase
e1 = Em1. sen(ωt + θ1) têm a e2 = Em2. sen(ωt − θ2) mesma freqüência, a diferença de fase ou defasagem entre elas
Se duas grandezas senoidais
em um dado instante será: (ωt + θ1) − (ωt + θ2) = θ1 − θ2 ex.:
e1 = 100. sen(ωt + 30°) e2 = 75. sen(ωt − 30°)
30 – (-30) = 60° Æ a senóide e1 passa pelos seus valores
zero e máximo com avanço de 60° sobre a senóide e2 9
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Quando duas ou mais grandezas alternadas têm a mesma fase elas se acham em concordância de fase ou simplesmente em fase Quando a Diferença de fase entre duas grandezas alternadas for
de
90°
elas
estão
em
quadratura
Quando a diferença de fase for de 180°, estão em oposição
Valor Médio A expressão que dá o valor médio de uma função é: Ymédio
1 = T
T
∫ f(t)dt
0
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para a senóide esse valor é nulo para um ciclo, e por isso é definido para um semi período. Assim o valor médio de i=Im.senα pode ser achado integrando a senóide de 0 a π. Im
édio
1 π
=
π
∫ Im . sen α.dα
=
0
Im Im 2. Im [− cos α]0π = (1 + 1) = = 0,637 Im π π π
Analogamente: Vmédio = 2.Vm = 0,637Vm π
Valor eficaz Energia transformada em calor por uma c.c. I em uma resistência R em t segundos: I2Rt
Energia transformada em calor pela corrente alternada i na mesma resistência é, a cada instante i2R Assim: I Rt = 2
T
∫ i R.dt ∴ I 2
=
0
1 I = 2π 2
2
I
Im 2 = 4π
2π
∫ Im
0
2
1
∫ i .dt. t 2
sendo T=2π (período)
0
Im 2 .sen α.dα = 2π 2
2π
⎡α − sen 2α ⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦0
analogamente: V =
T
2π
⎛ 1 − 1 cos2 α ⎞dα ⎟ 2 ⎠
∫ ⎜⎝ 2
0
Im 2 = ⇒ I = 2
Im 2 Im = = 0,707 Im 2 2
Vm = 0,707Vm 2
OBS.: os voltímetros e amperímetros de corrente alternada indicam os valores eficazes de corrente e tensão
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Representação vetorial das Grandezas Senoidais α = ωt radianos 0x=0A.senωt=Im.senωt
Vantagens: 1. O vetor mostra as duas características que definem a senóide: o ângulo de fase e o valor máximo; 2. A diferença de fase entre as duas grandezas alternadas pode ser representada vetorialmente. A figura ao lado nos mostra o vetor OB em avanço de θ graus sobre o vetor AO. Se OB
e
AO
representam
os
valores
máximos das voltagens e1 e e2, elas
O
serão expressas por:
e1 = OB.senωt
e2 = OA.sen(ωt-θ)
3. A soma ou a diferença de duas ou mais grandezas senoidais se reduz a uma composição de vetores. Im0 =
I2m1 + I2m2 + 2.Im1.Im2. cos(φ2 − φ1) 12
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tan φ0 =
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Im1. sen φ1 + Im2. sen φ2 Im1.cos φ1 + Im2.cos φ2
Parâmetros dos circuitos de C.A Resistência
Unidade: Ω(ohm) Carga Resistiva ou carga ôhmica
Indutância
Unidade: H (Henry) Carga Indutiva
Capacitância
Unidade: F (Farad) Carga Capacitiva
Lei de Ohm para os circuitos de C.A Consideremos uma bobina c/ resistência elétrica R e indutância L:
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R = ρ
A s
Passando-se uma corrente elétrica nessa bobina aparecerá um fluxo magnético φ dados por: φ = Li Se “i” é variável, “φ” também será! ⇒ aparecerá uma f.e.m. de auto indução dada por:
e =
dφ d(Li) di = = L dt dt dt
na figura anterior, temos então: v = Ri + L
di di ⇒ derivada da corrente elétrica em relação ∴ dt dt
ao tempo.
Uma bobina que tem uma resistência “R” e uma indutância “L” é representada conforme abaixo:
Se o circuito tem elevada resistência elétrica e indutância desprezível, o representamos apenas pela resistência, e dizemos que o circuito é puramente ôhmico ou puramente resistivo.
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Se ocorrer o inverso, isto é, se a resistência por desprezível em relação ao efeito da indutância, e dizemos que ele é puramente indutivo.
Ex.: enrolamento de máquinas elétricas, transformadores, etc.
Se forem considerados tanto a resistência quanto a indutância do circuito, então ele será denominado circuito indutivo ou circuito RL.
Circuito puramente Ôhmico 0
L = 0
v = Ri + L
R ≠ 0
di v ∴ v = Ri ∴ i = dt R
Supondo v = Vmax.senωt ⇒ i =
i =
Vmax. sen ωt R
Vmax sen ωt = Imax. sen ωt R
Quando a tensão for máxima, a corrente também será: 15
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v = Vmax. sen ωt ∴ i =
Vmax sen ωt = Imax. sen ωt R
Dizemos então que as duas senóides estão em fase entre si ou que a corrente e a voltagem então em fase num circuito puramente ôhmico. Imax =
Vmax Vmax Vef = 0,707.Imax = 0,707 ⇒ Ief = R R R
Conclusão: os circuitos puramente ôhmicos, quando alimentados por
corrente
alternada,
apresentam
o
mesmo
comportamento do que quando alimentados por corrente contínua. A freqüência das correntes alternadas não influencia os fenômenos que se processam no circuito.
Circuito puramente Indutivo 0
L ≠ 0
v = Ri + L
R ≈ 0
di di ∴ v = L dt dt
Nos circuitos puramente indutivos toda tensão aplicada aos seus terminais é equilibrada pela f.e.m. de auto-indução. Dado:
i = Imax. sen ωt ⇒ v = L
d(Imax. sen ωt) d(sen ωt) = L.Imax dt dt
cosθ = sen(θ+90°)
v = ωL.Imax. cos ωt
cos30° = sen(π/6 +90°)
v = ωL.Imax. sen(ωt + 90°)
0,866 = 0,866
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Isto é, essa voltagem é também alternada senoidal com valor máximo igual a ωLImax, defasada 90° em adiantamento em relação à corrente alternada do circuito.
Vmax = ωLIMax ⇒ 0,707 Vmax = 0,707 ωLIMax Vef = ωLIef ⇒ Vef = XLIef XL = ωL = 2πfL ⇒
Reatância indutiva (análoga à resistência) Unidade da reatância: Ω (Ohms)
Observamos que a reatância Indutiva é função da freqüência e da indutância:
f↑⇒X↑
L↑⇒X↑
Conclusão: Sempre que uma corrente alternada atravessa um circuito puramente indutivo (de reatância XL = 2πfL), tem-se uma queda de tensão dada por Vef = XL.Ief, defasada de 90° em adiantamento em relação à corrente.
Em
outras
palavras:
aplicando-se
uma
voltagem alternada senoidal aos terminais se um reatância XL de um circuito puramente indutivo, verificase a passagem de uma corrente elétrica de valor Ief =
Vef/XL ,defasada de 90° em atraso em relação à tensão. 17
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Exemplos: 1°) Um circuito puramente indutivo onde temos L=0,5H é alimentado por uma tensão cujo valor eficaz é 110v e cuja freqüência é 60Hz. Calcule o valor eficaz da corrente alternada que circula nesse circuito.
XL=2πfL = 2x3,14x60x0,5 = 188,4Ω Ief = Vef/XL = 110/188,4 = 0,584A Ief = 584mA
2°)
No
problema
anterior,
traçar
o
diagrama
vetorial
e
representação senoidal da tensão e corrente eficaz.
Ex.: v = 50.sen(30t + 90°) i = 10.sen30t
3°) Num circuito puramente ôhmico, aplicou-se uma voltagem dada por v=120.sen(314t). Se a resistência total do circuito mede 10Ω, calcule qual deverá ser a leitura de um amperímetro se corretamente inserido no circuito. 18
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Vef = 0,707.Vmax = 0,707x120 = 84,84V Ief = Vef/R = 84,84/10 = 8,484 A
Revisão de Números Complexos
j =
− 1 ⇒ j2 = −1
Z1 = 6
Z4 = -3 + j2
Z2 = 2 – j3
Z5 = -4 – j4
Z3 = j4
Z6 =
3 + j3
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Outras formas dos números complexos x cos θ = ∴ x = Z cos θ Z sen θ =
y ∴ y = Z sen θ Z
Z = x + jy = |Z|cosθ + j|Z|senθ = |Z|(cosθ +jsenθ) Tgθ = y/x y x argumento de Z
θ = arctg
Z =
x2 + y2
Módulo ou valor absoluto de Z
A fórmula de Euler, e±jθ = (cosθ ± jsenθ), possibilita outra forma para representação dos números complexos, chamada forma exponencial: Z = x ± jy = |Z|(cosθ ± jsenθ) = |Z|e±jθ
A forma polar ou de Steinmetz para um número complexo Z é bastante usada em análise de circuitos e escreve-se |Z|∠±θ onde “θ” aparece em graus
Esses quatro meios de se representar um número complexo estão resumidos a seguir. O emprego de um ou de outro depende da operação a ser efetuada. Forma retangular
Z = x ± jy
3 + j4
Forma Polar
Z = |Z|∠±θ
5∠53,13
Forma exponencial
Z = |Z|e
Forma trigonométrica
Z = |Z|(cosθ ±jsenθ)
±jθ
5ej53,13 5(cos53,13+jsen53,13)
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Conjugado de um número complexo O conjugado Z* de um número complexo Z = x + jy é o número complexo Z* = x – jy Ex.:
Z1 = 3 - j2
Z1* = 3 + j2
Z2 = -5 + j4
Z2* = -5 – j4
Z3 = -6 + j10
Z3* = -6 – j10
Na forma polar, o conjugado se Z = |Z|∠θ
é Z*= |Z|∠-θ
Na forma Z = |Z|[cos(θ) + jsen(θ)] o conjugado de Z é Z* = |Z|[cos(-θ) + jsen(-θ)]
Mas cos(θ)=cos(-θ) e sen(-θ) = -sen(θ), então Z* = |Z|[cos(θ) - jsen(θ)] ex.: Z = 7∠30°
Ù
Z* = 7∠-30°
Z = x + jy Z* = x - jy Z = |Z|ejθ Z* = |Z|e-jθ Z = |Z|∠θ Z* = |Z|∠-θ Z = |Z|(cosθ + jsenθ) Z* = |Z|(cosθ - jsenθ)
Z1=3 + j4 Ù Z1*=3 – j4 Z2=5∠143,1° Ù Z2*=5∠-143,1°
O conjugado Z* de um número complexo Z é sempre a imagem de “Z” em relação ao eixo real, como mostra a figura. 21
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Soma e diferença de números complexos Para somar ou subtrair dois números complexos, soma-se ou subtrai-se separadamente as partes reais e imaginárias dos números na forma retangular. Z1=5-j2
Z1+Z2=(5-3)+j(-2–8)=2–j10
Z2=-3–j8
Z1–Z2=[5–(-3)]+j[(-2)–(-8)]=8+j6
Multiplicação de números complexos O produto de dois números complexos, estando ambos na forma potencial ou na forma polar: Z1=|Z1|ejθ1=|Z1|∠θ1
Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|).ej(θ1+θ2)
Z2=|Z2|ejθ2=|Z2|∠θ2
Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|)∠θ1+θ2
O produto pode ser obtido na forma retangular, tratando-se os números complexos como se fossem binômios: Z1.Z2 = (x1+jy1)(x2+jy2) = x1x2 + jx1y2 + jy1x2 + j2 y1y2 = (x1x2 + y1y2) + j(x1y2 + y1x2)
ex. 01:
Z1 = 5ejπ/3 Z2 = 2e-jπ/6
ex. 02:
Z1 = 2∠30° Z2 = 5∠-45°
Z1Z2 = (5.2)ej(π/3-π/6) = 10ejπ/6
Z1Z2 = (5.2)∠[30+(-45)] Z1Z2 = 10∠-15°
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Divisão de números complexos Z1 ejθ1 Z1 j(θ1 − θ2) Z1 = = e Z2 Z2 Z2 ejθ2
⇒ forma exponencial
Z1 ∠θ1 Z1 Z1 = = ∠(θ1 − θ2) Z2 Z2 ∠θ2 Z2
⇒ forma polar
A divisão na forma retangular se faz multiplicando-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Z1 x1 + jy1 ⎛ x2 = ⎜ Z2 x2 + jy2 ⎝ x2
− −
jy2 ⎞ (x1x2 + y1y2) + j(y1x2 − y2x1) ⎟ = jy2 ⎠ x22 + y22
Exemplos: j
1) Z1=4e
jπ/3
jπ/6
, Z2=2e
π 3
π
j Z1 4e 6 ⇒ = = 2 e π Z2 j 2e 6
2) Z1=8∠-30°, Z2=2∠-60° ⇒ 3) Z1=4-j5, Z2=1+j2 ⇒
Z1 8∠ − 30 = = 4∠30° Z2 2∠ − 60
− 6 − j13 Z1 4 − j5 ⎛ 1 − j2 ⎞ = ⎜ ⎟ = Z2 1 + j2 ⎝ 1 − j2 ⎠ 5
Transformação: forma polar ⇒ forma retangular 50∠53,1°
= 50(cos53,1° + jsen53,1°) = 50x0,6 + j50x0,7997 = 30 + j40
100∠-120°
= 100.cos(-120) + 100.jsen(-120) = -100.cos(60) + 100.jsen(-120) = -100.0,5 + 100.(-0,866) = -50 - j86,6 23
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Circuito puramente Capacitivo Se v = Vmax.senωt q = Cv i =
d(Vmax. sen ωt) dq d(Cv) = = C dt dt dt
i = ω.C.Vmax.sen(ωt + 90°) i = Imax.sen(ωt + 90°)
Se Imax = ω.C.Vmax 0,707.Imax = 0,707.ω.C.Vmax Ief = ω.C.Vef
ou
Vef =
1 Ief ωC
∴
1 = XC ωC 1 = XC 2πfC
Reatância Capacitiva
A corrente num circuito puramente capacitivo está 90° adiantada em relação à tensão
f↑ ⇒ XL↑ ⇒ corrente↓ f↑ ⇒ XC↓ ⇒ corrente↑ Se f=0 ⇒ XC = ∞ ∴ capacitor não deixa passar corrente DC
OBS.:
num circuito indutivo:
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Circuito RL ou indutivo
Praticamente consiste de um circuito puramente ôhmico de resistência “R” em série com um circuito puramente indutivo de indutância “L” A corrente “i” ao atravessar a resistência “R”, provoca uma queda de tensão dada por VR=Ri em fase com a corrente “i”.
A corrente “i” ao atravessar a indutância “L”, determina uma queda de tensão indutiva Vx
=
XLi, defasada de 90° em
adiantamento sobre a corrente “i”.
A queda de tensão total atuante entre os terminais do circuito é dada pela soma vetorial de VR e VX: V = VR + VX ∴ V =
VR2 + VX2 = (Ri)2 + (XLi)2 =
V = i R 2 + X2L ⇒ V = iZ
∴
i2(R2 + X2L)
Z = impedância do circuito
Z é um número complexo da forma: Z= R+jXL = R+jωL
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Considerando-se “Z” numa representação gráfica, teremos: tgθ =
XL X ∴ θ = arctg L R R
Na forma polar podemos escrever:
Z = Z ∠θ Z =
Z =
R2 + (ωL)2∠arctg
R2 + X2L XL R
Circuito RC ou Capacitivo
Se “i” é igual a 1 ampere, teremos:
1 ⎞ Z = R − jXC = R − j⎛⎜ ⎟ ⎝ ωC ⎠ − Xc ⎞ 1 θ = arctg⎛⎜ ⎟ ⇒ XC = ωC ⎝ R ⎠ θ = arcsen
− XC Z
θ = arccos
R Z
− XC 1 ⎞ = Z ∠θ R + ⎛⎜ ⎟ ∠arctg R ⎝ ωC ⎠ 2
Na forma polar: Z =
2
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Outra forma da lei de Ohm:
E = (R+jX)I
E = ZI Z =
R2 + X2
Z = Z ∠θ
Z =
θ = arctg
X R
R2 + X2∠arctg
X R
Exemplos: 1) Um circuito RL série de R=20Ω e L=20mH tem uma impedância de módulo igual a 40 Ω. Determinar o ângulo de defasagem da corrente e tensão, bem como a freqüência do circuito.
Z = R+jXL = |Z|∠θ ⇒
40.cosθ + j40.senθ
Z = 20+jXL = 40∠θ
θ = arccos
20
/40 = arccos 1/2
θ = 60° XL = 40.sen60° = 40x0,866 ⇒ XL = 34,6Ω XL = 2πfL ⇒ f = XL/2πL ⇒ 34,6/(6,28 x 0,02) f = 34,6/0,1256 ⇒ f = 275,5Hz
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2) Um circuito série de R = 8Ω e L = 0,02H tem uma tensão aplicada de v = 283.sen(300t+90°). Achar a corrente “i”.
XL = ωL = 300x0,02 = 6Ω ⇒ Z = 8 +j6 Vef = 0,707 x 283
82 + 62 =
100 = 10
Vef = 200
θ = arctg 6/8 = 36,9°
V = 200∠90°
Z = 10∠36,9° I =
V 200∠90° = = 20∠53,1° Z 10∠36,9°
i = 20 2. sen(300t + 53,1°)
3) Dados v = 150.sen(5000t+45°) e i = 3sen(5000t-15°), construir os diagramas de fasores e da impedância e determinar as constantes do circuito (R e L)
v = 0,707x150∠45° = 106,05∠45° I = 0,707x3∠-15° = 2,12∠-15° V 106,05∠45° Z = = = 50∠60° = 50(cos 60 + j sen 60°) I 2,12∠ − 15° Z = 50(0,5 + j0,866) = 25 + j43,3 XL = 2πfL = ωL = 43,3 ∴L = 43,3/5000 ⇒ L = 8,66mH
R = 25Ω
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Circuito RL série
Conclusão: O circuito RL em série se comporta exatamente como um circuito RL que tenha resistência ôhmica igual a R = R1 + R2 e reatância indutiva XL = XL1 + XL2.
Assim sendo Z= Z1 + Z2 =(R1 + jXL1) + (R2 + jXL2) = (R1 + R2) + j(XL1 + XL2)
Ou na forma fasorial: Z = Z ∠θ =
(R1 + R 2)2 + (ωL1 + ωL2)2 ∠arctg
ωL1 + ωL2 R1 + R 2
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Circuito RC série
Conclusão: o circuito RC série se comporta exatamente como um circuito RC que tenha resistência ôhmica igual a R =R1 + R2 e reatância capacitiva XC = XC1 + XC2 =
1 1 + ωC1 ωC2
Assim teremos: Z = Z1 + Z2 = (R1 + jXC1) + (R2 + jXC2) ⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ = (R1 + R 2) + j(XC1 + XC2) = (R1 + R 2) + j⎜⎜ + C C ω ω ⎝ 1 2⎠
ou na forma fasorial:
Z = Z ∠θ =
⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ + (R1 + R 2)2 + ⎜⎜ ω ω C C ⎝ 1 2⎠
2
⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ + ω C ω C 2⎠ ∠arctg ⎝ 1 R1 + R 2
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Podemos então generalizar: V = V1 + V2 + V3 = Z1I + Z2I + Z3I V = I(Z1 + Z2 + Z3) = IZT ZT = Z 1 + Z 2 + Z3
Generalizando: ZT = Z1 + Z2 + Z3 + ...
Circuito Paralelo
IT = I1 + I2 + I3 =
⎛1 V V V 1 1⎞ 1 ⎟⎟ = + + = V⎜⎜ + + Z1 Z2 Z3 Z2 Z3 ⎠ ZT ⎝ Z1
1 1 1 1 = + + ZT Z1 Z2 Z3
generalizando 1 1 1 1 = + + + ... ZT Z1 Z2 Z3
O inverso da impedância de um circuito é chamada de Admitância, cujo símbolo é Y. Então no circuito acima teremos: IT = I1 + I2 + I3 = Y1V + Y2V + Y3V = V(Y1 + Y2 + Y3) I T = Y TV
∴
YT = Y1 + Y2 + Y3 31
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Num circuito paralelo podemos dizer que a corrente do circuito é igual ao produto da tensão total aplicada aos seus terminais pela admitância total equivalente. Portanto a Admitância equivalente de qualquer número de admitâncias em paralelo é igual a soma das admitâncias individuais. +jX ⇒ reatância indutiva (XL)
Z = R ± jX ∴
-jX ⇒ reatância capacitiva (-Xc)
Analogamente: G ⇒ Condutância
Y = G ± jB ∴
B ⇒ Susceptância +jB ⇒ Susceptância capacitiva (BC) -jB ⇒ Susceptância indutiva (-BL)
Unidades de Y, G e B ⇒ MHO ou
ou Ω-1
Como a corrente “I” pode estar adiantada, atrasada ou em fase com “V”, conseqüentemente, 3 casos podem ocorrer: 1° Caso
V = |V|∠θ V = |I|∠θ
Z =
I ∠θ V ∠θ = Y ∠0º = G = Z ∠0º = R Y = Y ∠ θ I ∠θ
A impedância do circuito é A admitância do circuito é uma resistência pura de uma condutância pura de “G” mhos “R” ohms 32
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2°Caso: O fasor corrente está atrasado de um ângulo θ em relação à tensão V = |V|∠φ I = |I|∠(φ-θ)
Z =
V ∠φ I ∠(φ − θ)
Z ∠θ = R + jXL Y =
I ∠(φ − θ) V ∠φ
Y ∠(−θ) = G − jBL
A impedância de um circuito com fasores “V” e “I” nesta situação consta de uma resistência e uma reatância indutiva em série A impedância do circuito consta de uma condutância e uma susceptância indutiva em paralelo
3°Caso: O fasor corrente está avançado de um ângulo θ em relação à tensão V = |V|∠φ I = |I|∠(φ+θ)
V ∠φ Z = I ∠(φ + θ)
Z ∠θ = R + jXL Y =
I ∠(φ + θ) V ∠φ
Y ∠(−θ) = G − jBL
A impedância do circuito consta de uma resistência e uma reatância capacitiva em série A impedância do circuito consta de uma condutância e uma susceptância capacitiva em paralelo
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Conversão Z - Y Forma polar: dado Z=5∠53,1° Y =
1 1 = = 0,2∠(−53,1°) Z 5∠53,1°
Forma Retangular: Y = 1/Z G + jB =
1 1 R − jX R − jX . = 2 = R + jX R + jX R − jX R + X2
G + jB =
R − X + j R 2 + X2 R2 + X2
R R 2 + X2 − X B = 2 R + X2
G =
Z = 1/Y 1 1 G − jB G − jB R + jX = . = 2 = G + jB G + jB G − jB G + B2 R + jX =
G − B j + G2 + B2 G2 + B2
G G2 + B2 − B X = 2 G + B2
R =
Exemplos: 1) Dado Z = 3 + j4, achar a admitância equivalente Y. 1 1 Y = = = 0,2∠(−53,1°) = 0,2[cos(−53,1) + j sen(−53,1)] Z 5∠53,1° Y = 0,12 – j0,16 G = 0,12MHOS B = -0,16MHOS outro método R 3 G = = = 0,12MHOS 9 + 16 R 2 + X2
(
B =
)
− X − 4 = = −0,16MHOS 2 2 9 + 16 R + X
(
)
Y = 0,12 - j0,16 34
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2) No circuito série abaixo, achar I e ZT. Mostrar que a soma das quedas de tensão é igual à tensão aplicada
ZT = Z1 + Z2 + Z3 = 4 + j3 – j6 ⇒ ZT = 4 – j3 ZT =
42 + 32 =
θ = arctg
25 = 5
− 3 = −36,9° 4
ZT = 4 – j3 = 5∠(-36,9°) Impedância Capacitiva
I =
V 100∠0° = = 20∠36,9° ZT 5∠(−36,9°)
V1 = IZ1 = 20∠36,9° x 4 = 80∠36,9° = 80(cos36,9°+jsen36,9°) = 64 + j48 V2 = IZ2 = 20∠36,9° x 3∠90° = 60∠126,9° = 60(cos126,9°+jsen126,9°) = -36 + j48 V3 = IZ3 = 20∠36,9° x 6∠90° = 120∠(-53,1°) = 120[cos(-53,1)+jsen(-53,1)] = 72 – j96 V = V1 + V2 + V3 = (64 + j48) + (-36 + j48) + (72 – j96) V = 100 + j0 = 100∠0°
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3) Achar a corrente total e a impedância total do circuito paralelo abaixo, traçando o diagrama de fasores:
Z1 = 10∠0° 4 = 5∠53,1° 3 − 6 Z3 = 82 + 62 ∠arct = 10∠(−36,9°) 8 V V V 50∠0 50∠0 50∠0 + + = + + IT = I1 + I2 + I3 = Z1 Z2 Z3 10∠0 5∠53,1 10∠(−36,9) = 5∠0 + 10∠(-53,1) + 5∠36,9 = 5 + 10[cos53,1 + jsen(-53,1)] + 5[cos36,9 + jsen36,9] = 5 + 10[0,60 - j0,80] + 5[0,80 + j0,60] = (5 + 6 + 4)+j(-8+3) = 15-j5 − 5⎞ = 152 + 52 ∠arctg⎛⎜ ⎟ = 15,81∠(−18,45) 15 ⎠ ⎝ V 50∠0° Logo: ZT = = = 3,16∠18,45° IT 15,81∠(−18,45°) ZT = 3,16(cos18,45 + jsen18,45) = 3 + j1 V 50∠0° V 50∠0° I1 = = I2 = = 5∠0° = = 10∠(−53,1°) Z1 10∠0° Z2 5∠53,1° V 50∠0° I3 = = = 5∠36,9° Z3 10∠(−36,9°) Z2 =
32 + 42 ∠arct
Fasores V e I
Soma dos Fasores
Circuito equivalente 36
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4) As duas impedâncias Z1 e Z2 da figura abaixo estão em série com uma fonte de tensão V = 100∠0°. Achar a tensão nos terminais de cada impedância e traçar o diagrama dos fasores de tensão.
Zeq = Z1 + Z2 = 10 + 4,47(cos63,4 + jsen63,4) Zeq = 10 + 2 + j4 = 12 + j4 Zeq =
I =
122 + 42 ∠arctg
4 = 12,65∠18,45 12
V 100∠0° = = 7,9∠(−18,45°) Zeq 12,65∠18,45
V1 = IZ1 = 7,9∠(-18,45)x10 = 79∠(-18,45) = 75 - j25 V2 = IZ2 = [7,9∠(-18,45)]x[4,47∠63,4] = 35,3∠(45) = 25 + j25 Verifica-se que: V1 + V2 = 75 - j25 + 25 + j25 = 100 +j0 = 100∠0°
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5) Calcular a impedância Z2 do circuito série da figura abaixo:
Zeq =
V 50∠45° = = 20∠60º I 2,5∠(−15°)
Zeq = 20(cos60° + jsen60°) = 10 + j17,3 Como Zeq = Z1 + Z2: 5 + j8 + Z2 = 10 + j17,3 ⇒ Z2 = 10 –5 + j17,3 – j8 Z2 = 5 + j9,3
6) Determinar a corrente em cada elemento do circuito sérieparalelo abaixo
5(j10) = 14 + j2 = 14,14∠8,14 5 + j10 V 100∠0° IT = = = 7,07∠(−8,14) Zeq 14,14∠8,14 5(j10) 5(j10) ZAB = ∴ VAB = ZAB.IT = x7,07∠(−8,14) 5 + j10 5 + j10 V ⎡ 5(j10) ⎤ I1 = AB = ⎢ x7,07∠(−8,14)⎥ j10 = 3,16∠(−71,54°) j10 ⎣5 + j10 ⎦ V ⎡ 5(j10) ⎤ I2 = AB = ⎢ x7,07∠(−8,14)⎥ 5 = 6,32∠(18,46°) 5 ⎣5 + j10 ⎦ Zeq = 10 +
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7) Achar a impedância equivalente e a corrente total do circuito paralelo abaixo
1xj j − 1 = 2 = j = −j0,2 j5xj 5 j5
Y1 =
1 = −j0,2 j5
Y2 =
1 = 0,05 − j0,0866 5 + j8,66
(5 − j8,66) 5 − j8,66 (5 − j8,66) = 2 = = 0,05 − j0,0866 2 100 (5 + j8,66)(5 − j8,66) 5 + 8,66
Y3 =
1 = 0,067 15
Y4 =
1 = j0,1 − j10
1xj j 1 = = j = j0,1 2 − j10xj 10 − j 10
Yeq = 0,117 – j0,1866 = 0,22∠(-58°) IT = V.Yeq =(150∠45°)[0,22∠(-58°)]=33∠(-13°) Zeq =
1 1 = = 4,55∠58° Yeq 0,22∠(−58°)
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8) Determinar a Impedância do circuito paralelo abaixo
Yeq =
IT 31,5∠24° = = 0,63∠ − 36° V 50∠60°
Yeq = 0,63(cos(-36°)+jsen(-36°) = 0,51 – j0,37
Como Yeq = Y1 + Y2 + Y3, então: 1 1 + ⇒ Y1 + 0,1 + (0,16 − j0,12) = 0,51 − j0,37 10 4 + j3 Y1 = 0,51 – j0,37 – 0,1 –0,16 +j0,12 = 0,25 – j0,25 Yeq = Y1 +
Y1 = Z1 =
0,252 + 0,252 ∠arctg 1 1 = = Y1 0,35∠ − 45
− 0,25 = 0,35∠(−45) 0,25
Z1 = 2,86∠45° = 2 + j2
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9) Dado o circuito série-paralelo (misto) abaixo, calcular Zeq.
YAB =
1 1 1 3 + j4 + + = 0,2 − j0,5 + 2 5 j2 3 − j4 3 + 42
YAB = 0,2 − j0,5 + 0,12 + j0,16 = 0,32 − j0,34
YAB =
⎛ − 0,34 ⎞ 0,322 + 0,342 ∠arctg⎜ ⎟ = 0,467∠(−46,7°) ⎝ 0,32 ⎠
ZAB =
1 1 = = 2,14∠46,7° = 1,47 + j1,56 YAB 0,467∠(−46,7)
Zeq = 2 +j5 + Zab = 2 + j5 + 1,47 + j1,56 Zeq = 3,47 + j6,56 = 7,42∠62,1°
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