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Prof. Beatriz Bronislava Lipinski Eletromagnetismo II - Notas de Aula
Curitiba, Pr 2008
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Capítulo 1 O Campo Magnético Estacionário Em 1823, Ampère sugeriu que o magnetismo natural era devido a pequenas correntes fechadas no interior da matéria. Atualmente, identificamos essas pequenas correntes com o movimento dos elétrons no interior dos átomos. Um elétron que gira ao redor do núcleo equivale a uma corrente que produz os mesmos efeitos magnéticos que um pequeno imã. Por outro lado, os elétrons giram sobre si mesmos produzindo efeitos magnéticos adicionais. Resumindo: a corrente que passa por um condutor produz um campo magnético a sua volta. Estudaremos aqui, a lei de relação entre a corrente que passa por um condutor (causa) e o campo ~ pode ser originado de duas maneiras: magnético criado (efeito). O campo magnético H a. Por corrente elétrica; b. Por imã permanente (polo magnético). Podemos imaginar que em qualquer material existem muitos imãs de tamanho atômico. Na maioria dos casos, nestes pequenos imãs os dipolos magnéticos estão orientados ao acaso e seus efeitos se cancelam. Entretanto, em certas substâncias, estes dipolos magnéticos estão orientados no mesmo sentido. Neste caso, os efeitos de cada dipolo magnético se somam, formando um imã natural.
Lei de Biot Savart Até aqui nos preocupamos em tentar descrever as forças sobre as cargas e correntes que são postas em campos magnéticos produzidos externamente. Ao fazer isto, não consideramos que tipo de campo magnético é produzido por correntes ou pelas próprias cargas em movimento e assim, ainda não abordamos o problema de descrever e explicar os resultados das experiências de Oersted, o qual será discutido a seguir. Vamos ver, então, como se origina campo magnético através da corrente elétrica. O campo mag~ é um vetor, isto é, possui módulo, direção e sentido. nético H
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Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 1: O Campo Magnético Estacionário
Durante o século XVIII muitos cientistas tentaram encontrar uma conexão entre a eletricidade e o magnetismo. Observaram que cargas elétricas estacionárias e imãs não provocavam qualquer influência um no outro. Mas em 1820, Hans Christian Oersted (1777-1851) mostrou que uma bússola sofria deflexão quando era colocada perto de um fio percorrido por uma corrente. Por outro lado era conhecido que campos magnéticos produzem deflexão em bússola, o que levou Oersted a concluir que correntes elétricas induzem campos magnéticos. Com isto ele havia encontrado, então, uma conexão entre eletricidade e o magnetismo. Ele observou também, que os campos magnéticos produzidos por correntes elétricas, em um fio retilíneo, tinham Figura 1.1: a forma de círculos concêntricos como mostra a figura 1.1(a). O sentido destas linhas é indicado pelo norte da bússola. Uma outra forma de se determinar o sentido das linhas de B é usar a regra da mão direita, a qual é mostrada esquematicamente na figura 1.1(b). No estudo da eletrostática, observamos que a lei de Coulomb, descrevendo o campo elétrico de cargas puntiformes foi simplesmente o modo pelo qual as observações experimentais relativas à forças eletrostáticas em corpos carregados poderiam ser melhor resumidas. A situação é a mesma em relação a campos magnéticos produzidos por correntes estacionárias. Não há meio de se deduzir uma expressão para estes campos; tudo o que podemos fazer é observar as forças magnéticas criadas por correntes reais experimentalmente e então tentar achar uma expressão matemática para o campo magnético que esteja de acordo com os resultados de todas as observações. Foi justamente desta maneira que a lei de Biot-Savart, a qual dá o campo magnético criado pelo fluxo de corrente em um condutor, foi descoberta. A lei de Biot-Savart diz-nos que o elemento de indução ~ associado a uma corrente I em um segmento de um fio condutor descrito por dL ~ é: magnética dH ~ e ao vetor posição R ~ do segmento do condutor dirigido em uma direção perpendicular ao dL ao ponto P , no qual o campo está sendo medido; ~ do segmento e à corrente I que ele carrega; diretamente proporcional ao comprimento dL
inversamente proporcional em módulo ao quadrado da distância R entre o elemento de corrente e o ponto P . ~ e R. proporcional ao seno do ângulo θ entre os vetores dL A lei de Biot-Savart pode, então, ser expressa pela equação:
(1.1)
~ = dH
~ ×a IdL ˆR 2 4πR
⇒
~ ×R ~ IdL . 4πR3
A figura 1.2 revela a geometria do problema clássico geral: a intensidade de campo magnético ~ 2 , produzida por um elemento diferencial de corente localizada no ponto 1, I1 dL ~ 1. A no ponto 2, dH ~ 2 é para dentro desta página. direção de dH 2
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Figura 1.2: Na forma integral, a lei de Biot-Savart é dada por: (1.2)
~ = H
I
~ ×a IdL ˆR 2 4πR
⇒
I
~ ×R ~ IdL , 4πR3
nesta, deve-se levar em conta que a corrente total que atravessa qualquer superfície fechada é nula; esta corrente fluindo em torno de um caminho fechado é a fonte de campo magnético que deve ser considerada. Relembrando: este resultado é consequência direta da equação da continuidade: v ∇ · J~ = − ∂ρ = 0, significando que a densidade de corrente é estacionária numa superfície fechada ∂t (não varia no tempo). Esta lei é ferramenta básica para cálculo de campo magnético criado num ponto, devido a uma distribuição de corrente. Mas é válida somente em meios uniformes (com mesma permeabilidade ~ tem, no SI, unidades de ampères por metro (A/m) magnética). A intensidade do campo magnético H A/m = 79, 58 A/m. e, no sistema cgs, unidades de Oersted (Oe): 1Oe = 1000 4π Exemplo 1: Campo magnético devido a um condutor longo retilíneo. Determine o campo mag~ num ponto P distante r metros de um condutor infinitamente longo, percorrido por uma nético H corrente de I ampères. A seguir, calcule o campo a uma distância de 10 cm do condutor quando ele for percorrido por uma corrente de 0, 1 A.
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Dois condutores paralelos Como já foi visto, correntes geram campos magnéticos e, veremos que fluxos magnéticos exercem forças sobre cargas em movimento. Então dois condutores paralelos, com corrente experimentam uma dada for¸ca de atração ou repulsão, segundo os sentidos das correntes. Dois condutores paralelos conduzindo correntes no mesmo sentido. Pela regra da mão direita, observa-se que os campo magnéticos dos dois condutores se subtraem no espaço situado entre os condutores, e se soma fora dos condutores. Dois condutores paralelos conduzindo correntes em sentidos opostos. Pela regra da mão direita, observa-se que os campo magnéticos dos dois condutores se somam no espaço situado entre os condutores, e se subtrai fora dos condutores. Considerando que não existam materiais ferromagnéticos nas proximidades, pode-se calcular o campo somando vetorialmente os campos criados por cada corrente. Exemplo 2: Dois fios retilíneos paralelos estão afastados de d = 40 cm, e são percorridos por correntes I1 = 100 A e I2 = 60 A, em sentidos opostos. Encontrar a distância x de um ponto P ao primeiro condutor, onde o campo magnético total seja nulo.
Exemplo 3: Uma espira circular, de raio r, é percorrida pela corrente I. Obter a equação do campo magnético no centro da mesma.
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Exemplo 4: Campo magnético de uma espira circular. Neste exemplo, calcularemos o valor do campo magnético em um ponto genérico P , situado no eixo de uma espira circular percorrida por uma corrente constante I, conforme esquema da figura abaixo.
Exemplo 5: As bobinas de Helmholtz são duas bobinas circulares coaxiais, onde seus raios R são iguais à distância d entre elas, isto é: R = d. Elas são muito conhecidas pelo fato de que o campo magnético é uniforme ao longo do seu eixo. Calcule a amplitude do campo ao longo do eixo das bobinas.
Sugestão de estudo: Eletromagnetismo - Hayt & Buck, 6ª Edição: Capítulo 8, Seção 8.1. Resolver os exercícios E8.1 e E8.2, página 136. 5
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Lei circuital de Ampère A lei de Ampère, que é uma das leis mais importantes do eletromagnetismo, é a conhecida regra da mão direita, expressa de uma forma matemática vetorial: a lei circuital de Ampère. Oersted descobriu que uma corrente elétrica produz um campo magnético, e que para o caso de um fio retilíneo, as linhas de campo são círculos em planos perpendiculares ao fio. O sentido do campo é dado pela regra da mão direita: com o polegar no sentido da corrente, os outros dedos dobrados apontam no sentido ~ A intensidade é dada pela distribuição de campo e fluxo magnético no sistema. Assim, a de H. ~ em um percurso fechado, é igual à soma algébrica das correntes nela¸ dadas circulação do vetor H, pelo percurso: (1.3)
I
~ · dL ~ =I H
⇒
Z Z
~ = I. J~ · dS
~ e corrente é dada por uma integral de linha, Com esta expressão matemática, a relação campo H que é calculada através de uma curva fechada chamada curva amperiana. A corrente I é a corrente ~ é o caminho de integração, que escolhemos ao redor do fio. líquida englobada pela curva e onde dL Cabe salientar que fora das leis de Biot-Savart ou Ampère não há nenhum meio analítico de deter~ em função de J. ~ Somente os métodos numéricos, relativamente modernos, podem minar o campo H ~ em um bom número de casos, sem que tenhamos ainda meios de solucionar todos os determinar H problemas existentes. Exemplo 6: Campo magnético de um solenóide. Forma-se um campo magnético ao redor de uma bobina de fio de cobre, chamada solenóide, cujo comprimento é muito maior do que o seu raio, e consideraremos o solenóide infinito. Usando argumentos de simetria, mostre que os campos entre os fios e na parte externa do solenóide são nulos e que, no interior do solenóide o campo tem o sentido indicado pela regra da mão direita.
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Exemplo 7: Campo de um toróide. No interior do toróide da figura abaixo, aplique a lei de Ampère, resolva a integral na linha amperiana circular de raio r e Calcule H.
Exemplo 8: Campo magnético dentro de um fio. Consideremos o fio condutor como um cilindro infinito, de raio R, transportando uma corrente I0 , com densidade uniforme. Calcule o campo no interior do fio.
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~ Rotacional de H ~ Agora vamos discutir resumidamente o significado físico do operador rotacional aplicado a H. Para fazermos isso, usaremos a concepção do medidor do rotacional ou das pazinhas girantes. Imagine uma correnteza de água através uma de seção transversal na direção z. Considera-se a velocidade ~v da água independente da altura mas aumentando uniformemente desde o valor zero das extremidades até um valor máximo de v0 localizado no centro da corrente de água. Agora, vamos considerar o menor atrito que nas pás, desconsiderando a influência na velocidade da água e intoduzir na água uma seta vertical, isto é, paralela ao eixo x. A pá vai girar na direção anti-horária, do lado direito para o centro. Além disso, partindo de que a velocidade diferencial é independente de y, a pá vai girar com uma taxa parecida, independentemente de y. Na exata metade da correnteza, não haverá giro da pazinha para nenhum dos dois lados já que a velocidade é a mesma para ambos. Agora, se nós examinarmos o gráfico de vx e compará-lo com o movimento da pazinha, o significado físico do rotacional fica aparente. Isso significa a capacidade do vetor campo para a rotação da pazinha. Se nós inserirmos a pazinha horizontalmente, isto é, junto do eixo z ou junto ao eixo y ou em qualquer outra direção paralela ao plano yz, ela não vai girar desde o fundo até a superficie, pois estão com a mesma força, assim mostra-se que o rotacional para esse campo não tem uma componente horizontal. O rotacional não faz nada com a curvatura ou com a corrente rotacional como o nome talvez lembre. Podemos obter a forma pontual da lei circuital de Ampère, aplicando-a ao perímetro de um elemento diferencial de área e encontrando o seu rotacional. Escolhemos as coordenadas cartesianas e um caminho fechado incremental de lados ∆x e ∆y, como mostra a figura ao lado. Considere que uma corrente ~ de referência no elétrica qualquer gere um campo magnético H 0 ~ 0 = H 0a ˆy + Hz0 a ˆz . centro do retângulo, dado por H x ˆx + Hy a ~ neste caminho é, aproxiA integral de linha fechada de H ~ ·∆L ~ em cada lado. madamente, a soma dos quatro valores de H A direção de percurso escolhida, dada na figura, corresponde a uma corrente elétrica na direção a ˆz . A primeira contribuição é: ~ · ∆L) ~ 1−2 = H 1−2 ∆y. (H y O valor de Hy nesta região pode ser avaliada como a soma do valor de referência Hy0 , no centro do retângulo e a sua taxa de variação em x pela distância ∆x : 2 Hy1−2 = Hy0 +
∆x ∂Hy . Assim: 2 ∂x !
~ · ∆L) ~ 1−2 (H
1 ∂Hy = Hy0 + ∆x ∆y. 2 ∂x
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Ao longo da aresta 2 − 3: !
~ · ∆L) ~ 2−3 (H
1 ∂Hx ∆y ∆x. = Hx2−3 (−∆x) = − Hx0 + 2 ∂y
Para a aresta 3 − 4: !
~ · ∆L) ~ (H
3−4
=
Hy3−4 (−∆y)
=−
Hy0
1 ∂Hy + (−∆x) ∆y. 2 ∂x
Para a última aresta: !
~ · ∆L) ~ 4−1 (H
1 ∂Hx (−∆y) ∆x. Então: = Hx4−1 (∆x) = Hx0 + 2 ∂y I
!
~ · ∆L ~ = H
∂Hy ∂Hx − ∆x∆y. ∂x ∂y
~ a corrente envolvida é ∆I = Jz ∆x∆y: Assumindo uma densidade de corrente genérica J, I
!
∂Hy ∂Hx − ∆x∆y = Jz ∆x∆y, ∂x ∂y
~ · ∆L ~ = H H
ou:
~ · ∆L ~ H ∂Hy ∂Hx = − = Jz . ∆x∆y ∂x ∂y
A maior aproximação possível para esta expressão está no limite ∆x, ∆y → 0: H
lim
∆x,∆y→0
~ · ∆L ~ H ∂Hy ∂Hx = − = Jz . ∆x∆y ∂x ∂y
Se escolhermos um caminho fechado de forma que a corrente esteja na direção a ˆx , temos: H
lim
∆y,∆z→0
~ · ∆L ~ H ∂Hz ∂Hy = − = Jx , ∆y∆z ∂y ∂z
e para um camnho fechado de forma que a corrente esteja na direção ay : H
lim
∆z,∆x→0
~ · ∆L ~ H ∂Hx ∂Hz = − = Jy . ∆z∆x ∂z ∂x
Como J~ = Jx a ˆx + Jy a ˆ y + Jz a ˆz , temos a forma pontual da lei circuital de Ampère: !
J~ =
!
!
∂Hz ∂Hy ∂Hx ∂Hz ∂Hy ∂Hx ~ =∇ ~ × H. ~ − a ˆx + − a ˆy + − a ˆz = rot H ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
~ ×H ~ = J, ~ aplicada acondições não variantes no tempo. Acima está a terceira Equação de Maxwell: ∇
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Em coordenadas cilíndricas: !
~ ×H ~ = ∇
!
!
∂Hρ ∂Hz 1 ∂(ρHφ ) 1 ∂Hρ 1 ∂Hz ∂Hφ − a ˆρ + − a ˆφ + − a ˆz . ρ ∂φ ∂z ∂z ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂φ
Em coordenadas esféricas: ~ H ~ = 1 ∇× r sin θ
!
∂(Hφ sin θ) ∂Hθ 1 − a ˆr + ∂θ ∂φ r
!
1 ∂Hr ∂(rHφ ) 1 − a ˆθ + sin θ ∂φ ∂r r
!
∂(rHθ ) ∂Hr − a ˆφ . ∂r ∂θ
H ~ · dL ~ = I é muito importante e justifica o fato desta dar O significado físico da integral H origem a um rotacional. Esta integral é calculada sobre uma linha fechada, definindo uma circulação de “alguma coisa”, que vem a ser a corrente total que atravessa a área delimitada pela curva fechada. O rotacional gerado nos fornece os domínios de direções e sentidos do campo magnético gerado por H ~ · dL ~ é nula (como visto esta corrente. Em analogia com o campo eletrostático, a integral de linha E no semestre passado!), significando que não há circulação de campo elétrico em torno co caminho fechado de integração. Em outras palavras, nenhum trabalho é realizado ao se deslocar uma carga elétrica de um ponto a outro sobre este caminho fechado. Para o campo magnetostático, há trabalho realizado pois a circulação de campo magnético não é nula. Esta circulação dá origem a um fluxo de cargas, caracterizando uma corrente elétrica.
~ = 0, 2z 2 a Exemplo 9: Na região z > 0 do espaço há um campo magnético dado por H ˆx , sendo H ~ ~ nulo, como na figura. Calcule a integral H · dL ao longo do quadrado fechado de lado d, centrado em 0, 0, z1 no plano y = 0, onde z1 > 2d.
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Teorema de Stokes A segunda Equação de Maxwell é a forma pontual da lei circuital de Ampère e define o campo magnetostático gerado a partir de uma densidade de corrente. É possível, através de argumentos simples, deduzir que o contrário também é verdadeiro: a variação de campo magnético gera uma densidade de corrente elétrica. Este é o princípio de funcionamento de um eletroimã, por exemplo. Considere uma superfície S dividida em elementos infinitesimais de área, ∆S. Aplicando a definição de rotacional a um destes elementos de área, temos: ~ · dL ~ ∆S H ~ × H) ~ N ⇒ (∇ ~ × H) ~ ·a = (∇ ˆN , ∆S ~ normla à superfície, dada pela regra da mão direita. O na qual o índice N indica a componente de H ~ ∆S indica o perímetro da área ∆S. caminho fechado dL H
(1.4)
Após simples manipulação: (1.5)
I
~ · dL ~ ∆S = (∇ ~ × H) ~ ·a H ˆN ∆S
⇒
~ × H) ~ · ∆S. ~ (∇
Como estamos interessados em determinar a circulação total de campo em torno do perímetro de ∆S, integramos em S: (1.6)
I
~ · dL ~ ∆S = H
Z
~ × H) ~ · dS, ~ (∇
S
~ sendo o perímetro de S. com dL Esta última equação é conhecida como o Teorema de Stokes e é capaz de transformar um problema envolvendo uma integral de linha em um problema de integração de superfície. Esta identidade é valida para qualquer campo vetorial. Exemplo 10: Considere a região superficial de uma esfera, delimitada por r = 4, 0 ≤ θ ≤ 0, 1π ~ = 6r sin φˆ e 0 ≤ φ ≤ 0, 3π. Se o campo no local é dado por H ar + 18r sin θ cos φˆ aφ . Calcule os dois membros doTeorema de Stokes.
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Fluxo magnético e Densidade de fluxo magnético ~ pode ser produzido por uma corrente elétrica ou por uma magnetização O campo magnético H ~ do momento de dipolo molecular. A magnetização é uma característica intrínseca de resultante, M cada material, e está relacionada com a estrutura atômica e molecular. Magnetização: Toda matéria exibe propriedades magnéticas. Até mesmo substâncias como cobre e alumínio, que normalmente são livres de propriedades magnéticas, são afetadas pela presença de um campo magnético produzido por qualquer polo de um imã de barra. Dependendo se há uma atração ou repulsão pelo polo de um ímã, a matéria é classificada como sendo paramagnética ou diamagnética, respectivamente. Alguns materiais, notavelmente o ferro, mostram uma atração muito grande para o polo de uma barra permanente de ímã; materiais deste tipo são chamados ferromagnéticos. Os átomos têm momentos de dipolo magnético em virtude do movimento orbital dos respectivos elétrons. Além disso, cada elétron tem um momento de dipolo magnético intrínseco associado ao seu spin. O momento magnético de um átomo depende da disposição dos elétrons no seu interior. Esta magnetização pode ser puramente devido à interação do campo aplicado com a matéria, conforme ocorre com os materiais diamagnéticos e paramagnéticos ou pode já existir mesmo na ausência do campo externo, conforme ocorre com os materiais ferromagnéticos. O diamagnetismo ocorre em todos os materiais, pois todas as moléculas exibem um momento de dipolo magnético induzido e antiparalelo ao campo magnético aplicado em virtude da deformação da distribuição da corrente eletrônica. A sua magnetização tende a enfraquecer o campo externo. Geralmente o efeito diamagnético nos materiais é mascarado pelo comportamento paramagnético e ferromagnético. O paramagnetismo resulta da tendência dos momentos magnéticos moleculares alinharem-se com o campo magnético aplicado, reforçando o campo aplicado. Esses materiais diamagnéticos e paramagnéticos têm uma susceptibilidade, em módulo, muito menor que um (χ << 1). Quando colocarmos um material qualquer num campo magnético uniforme, geralmente no ar, pode ocorrer três fenômenos distintos: 1. Afastamento - o fluxo passará preferencialmente pelo ar, que é um meio mais permeável. Isso faz com que apareça uma força que tenderá a repelir o corpo do polo Norte da fonte geradora de campo. Chama-se diamagnético ao material que apresenta esta propriedade. 2. Estático - as linhas de fluxo não se alteram, e continuarão a passar pelo materiam como se nada tivesse acontecido. Consequentemente, não existe força atuando sobre o material, que é denominado paramagnético. 3. Aproximação - as linhas se concentram no material, como aconteceu com o campo elétrico. Com isto surge uma força que tende atrair fortemente o material do polo Norte. Chamam-se ferromagnéticos a estes materiais. 12
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Baseando-se neste princípio, dividiram-se os materiais em: paramagnético, diamagnético e ferromagnético. Como não temos por objetivo, realizar o estudo microscópico destes materiais, veremos apenas os princípios que norteiam a magnetização e a permeabilidade magnética. Paramagnetismo O paramagnetismo ocorre nas substâncias cujos átomos têm momentos magnéticos permanentes e interagem uns com os outros apenas de modo fraco. Quando não há campo magnético externo, estes momentos magnéticos estão orientados ao acaso. Na presença de um campo magnético externo, os momentos tendem a alinhar-se com o campo, mas esta tendência é contrariada pelo fato dos momentos ficarem orientados ao acaso em virtude da agitação térmica. A fração dos momentos que se orienta paralelamente ao campo depende da intensidade do campo e da temperatura. Em temperaturas muito baixas e em campos externos elevados, quase todos os momentos estão paralelos ao campo. A energia potencial do momento magnético num campo magnético externo é mínima quando o momento é paralelo ao campo e máxima quando está antiparalela ao campo. Diamagnetismo Foi descoberto por Faraday, quando verificou que um pedaço de bismuto era repelido pelos polos de um imã, o que indicava que o campo externo do imã provocava um dipolo magnético no bismuto em direção oposta à do campo. O efeito diamagnético não depende da temperatura. O alinhamento dos momentos permanentes diminui com o aumento da temperatura para as substâncias paramagnéticas e ferromagnéticas. Todos os materiais são diamagnéticos em temperaturas suficientemente elevadas. Ferromagnetismo Ocorre no ferro, no cobalto e no níquel, puros e em ligas destes metais uns com os outros e com alguns outros elementos, e em algumas poucas substâncias mais. Nestas substâncias um pequeno campo magnético externo pode provocar um grande grau de ordenação dos momentos de dipolo magnético dos átomos, o que em certos casos, pode persistir mesmo na ausência de campo externo magnetizador. Isto ocorre em virtude de os momentos de dipolo magnético dos ´atomos destas substâncias exercerem fortes forças sobre seus vizinhos, de modo que numa pequena região do espaço os momentos estão alinhados entre si, mesmo sem campo externo. Em temperaturas acima da temperatura crítica, denominada temperatura Curie, estas forças desaparecem, e os materiais ferromagnéticos tornam-se paramagnéticos. A região do espaço sobre a qual os momentos de dipolos magnéticos estão alinhados é denominado um domínio magnético. A dimensão do domínio é, usualmente microscópica. Dentro de um domínio todos os momentos magnéticos estão alinhados, mas a direção do alinhamento varia de domínio para domínio, de modo que o momento magnético líquido de uma amostra macroscópica do material é nulo no estado normal. 13
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Spin e momento angular Rigorosamente, núcleos não apresentam spin, mas sim momento angular (exceção feita somente ao núcleo do isótopo 1 do hidrogênio, que é constituído de um único próton). Embora o spin possa ser considerado um momento angular, por terem ambos as mesmas unidades e serem tratados por um formalismo matemático e físico semelhante, nem sempre o oposto ocorre. O spin é intrínseco, ao passo que objetos compostos têm momento angular extrínseco. Contudo, motivos históricos e continuado costume levaram à esse abuso de linguagem, tolerado e talvez tolerável em textos não rigorosos. O conceito de spin surgiu da necessidade de se explicar os resultados até então impensados na experiência de Stern-Gerlach na década de 1920. Nessa experiência, um feixe colimado de átomos de prata, oriundos de um forno a alta temperatura, atravessavam um campo magnético altamente nãouniforme. Tal experimento era destinado a medir a distribuição dos momentos magnéticos, devidos principalmente aos elétrons. Como os átomos, na temperatura em que estavam emergindo do forno, estavam no seu estado fundamental 1S0 , deveriam sofrer desvios nulos na presença do campo magnético não-uniforme. A distribuição esperada era da perda da coerência espacial do feixe durante o seu tempo de vôo, do forno de origem até o alvo. Tal não sucedeu, contudo. O resultado obtido foram duas manchas de depósito de prata sobre o alvo, indicando que o feixe se dividira em dois durante o percurso. Isso indicou que os átomos de prata do feixe ainda tinham um grau de liberdade de momento angular, mas que não era o momento angular orbital dos elétrons no átomo, mas sim um momento angular intrínseco destas partículas. A esse “momento angular intrínseco” deu-se o nome de spin (significando giro em Português). Em 1924, Wolfgang Pauli postulou que os núcleos se comportariam como minúsculos imãs. Mais tarde, experimentos similares, porém mais sofisticados, aos do Stern-Gerlach determinaram momentos magnéticos nucleares de várias espécies. Considere uma espira de raio R percorrida por corrente I. Se R é pequeno em relação a x, 2 . podemos escrever H = I 2πR 4πx3 2m Definindo a quantidade IπR2 como o momento de dipolo magnético, m, temos H = 4πx 3. Através da analogia com o dipolo elétrico, podemos escrever as componentes normal e tangecial cos α sin α ~ de H: HN = 2m e HT = m4πR 3 . 4πR3 Dipolo e carga magnética Geralmente um imã minúsculo de microscópico para dimensões subatômicas, equivalente a um fluxo de carga elétrica ao redor de uma esfera. Elétrons que circulam ao redor de núcleos atômicos, de seus próprios eixos, e de núcleos atômicos carregados positivamente são todos dipolos magnéticos. A soma destes efeitos pode se cancelar, de forma que um determinado tipo de átomo pode não ser um dipolo magnético. Se eles não se cancelam completamente, o átomo é um dipolo magnético permanente, como são, por exemplo, os átomos de ferro. Muitos milhões de átomos de ferro, espon14
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taneamente, se mantém no mesmo alinhamento para formar um domínio ferromagnético, constituindo também um dipolo magnético. As agulhas de bússolas magnéticas e imãs de barra são exemplos de dipolos magnéticos macroscópicos. Quando um dipolo magnético é considerado como uma corrente arredondada, a magnitude do momento de dipolo é proporcional a corrente, multiplicado pelo tamanho da área inclusa. A direção do momento de dipolo, que pode ser representado matematicamente como um vetor, é perpendicularmente afastada do lado da superfície que gira fluxo de carga positiva no sentido anti-horário. Considerando a volta da corrente como um imã minúsculo, este vetor corresponde à direção do polo sul ao polo norte. Quando estão livres para girar, os dipolos se alinham de forma que seus momentos apontem, predominantemente, na direção do campo magnético externo. Os momentos magnéticos do núcleo e do elétron são quantizados, o que significa que eles podem somente ser orientados no espaço em certos ângulos discretos em respeito à direção do campo externo. Momentos de dipolo magnéticos têm dimensões de corrente vezes a área ou energia dividido por densidade de fluxo magnético. No sistema metro-quilograma-segundo-ampère e SI, a unidade específica para momento de dipolo é ampère vezes metro quadrado. Vetor magnetização ~ que é um vetor representativo de Para os trabalhos práticos, lida-se com o vetor magnetização M todos os vetores m ~ sobre um volume V . Cada corrente atômica é um pequeno circuito fechado de dimensões atômicas, e pode ser descrito como um dipolo magnético. Seja m ~ i o momento magnético ~ do átomo de índice i. Definiremos agora uma quantidade vetorial macroscópica, a magnetização M (momento de dipolo magnético por unidade de volume). Somaremos, vetorialmente sobre todos os momentos de dipolo num pequeno elemento de volume ∆V e dividiremos o resultado por ∆V : (1.7)
~ = lim M
∆V →0
1 X m ~ i. ∆V i
~ é A/m, a mesma unidade do campo magnético. Podemos admitir que a magneA unidade de M ~ (x, y, z) no sistema cartesiano. tização seja uma função das coordenadas, como por exemplo M Exemplo 11: A magnetização de saturação do ferro é 1, 7.106 A/m, e sua densidade é 7970 kg/m3 . Sabendo que o número de Avogadro vale 6, 025.1026 kg − atomo, e a massa atômica relativa do ferro é 56, calcular o momento magnético de cada átomo de ferro, em Am2 .
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Indução e permeabilidade magnética Coloquemos uma barra de ferro desmagnetizada dentro de um campo magnético uniforme. Observase o surgimento de polos, imantando a barra de ferro. Esta imantação gera uma magnetização, que se soma ao campo magnético externo aplicado. O novo campo magnético resultante se denomina indução magnética, ou densidade de fluxo, ou simplesmente indução e se denota pelo símbolo ~ Sua unidade no sistema internacional é o Tesla (T ). Para que ocorra a conservação da enB. ergia, precisaremos de uma constante, que será denominada permeabilidade magnética no vácuo ~ é dada por: µ0 = 4π × 10−7 T m/A. A indução magnética B (1.8)
~ = µo (H ~ +M ~ ). B
~ é, frequentemente, No caso do ferro e de outros materiais ferromagnéticos, a magnetização M ~ por um fator de vários milhares ou até mais. muito maior que a intensidade magnética H
A grandeza µo significa a medida do quanto o meio é deformável quando imerso em um campo magnético e é necessário na equação anterior para tornar as unidades compatíveis com o SI. A ~ é o weber por metro quadrado, W b/m2 (1W b = 1V s), ou o tesla (T ), e a unidade no SI para B ~ eM ~ é o ampère por metro (A/m). A unidade cgs para B ~ é o gauss (G) e unidade do SI para H ~ = µ0 H, ~ definido como a permeabilidade magnética do vácuo. 1 T = 104 G. No vácuo, temos que B B , como sendo a permeabilidade magnética deste Para qualquer outro material, podemos definir µ = H material. Ainda podemos definir a permeabilidade magnética relativa: µ = µµ0 . utilizando a grandeza ~ = µ0 (1 + χH). ~ susceptibilidade magnética, podemos ainda escrever µ = µ0 (1 + χ), e B H ~ ·dS ~ = Q , a integral para o cmapo magnético também é Em analogia com a lei de Gauss, Ψ = E ε0 válida. Porém, até os dias de hoje, não há qualquer comprovação da exixtência de uma fonte genérica de campo magnético, que seja análoga à carga elétrica. Esta “carga magnética” não existe de fato, pois as fontes de campo magnético são descritas pela presença de materiaia magnéticos ou magnetizados, H ~ · dS ~ = 0. Aplicando o terorema que possuem características particulares e extensíveis. Então, B da divergência, encontramos:
(1.9)
~ = 0. ~ ·B ∇
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Esta última equação é a quarta equação de Maxwell, que se aplica a campos magnéticos estacionários. Agora já conhecemos todas as equações de Maxwell na sua forma diferencial (ou pontual), para campos elétricos e magnéticos estacionários:
(1.12)
~ ·E ~ = ρv ∇ ε0 ~ ×E ~ =0 ∇ ~ ×H ~ = J~ ∇
(1.13)
~ ·B ~ =0 ∇
(1.10) (1.11)
⇒
Lei de Gauss;
⇒
Lei de Faraday;
⇒
Lei de Ampère;
⇒
Lei de Gauss.
Eis as mesmas equações na forma integral: (1.14)
I S
(1.15) (1.16)
I
Z ~ · dS ~= Q = ρv dv E εI 0 V ~ · dL ~ =0 E
⇒
Lei de Gauss;
⇒
Lei de Faraday;
~ J~ · dS
⇒
Lei de Ampère;
~ · dS ~=0 B
⇒
Lei de Gauss.
~ · dL ~ =I= H
Z S
(1.17)
I S
EXERCÍCIOS AVALIATIVOS 1 1. Quais são as principais diferenças entre os campos elétrico e magnético? 2. Imagine que você esteja sentado numa sala com as costas voltadas para a parede, da qual emerge um feixe de elétrons que se move horizontalmente na direção da parede em frente. Se o feixe de elétrons for desviado para a sua direita, qual serão a direção e o sentido do campo magnético existente na sala? 3. Interprete fisicamente os gráficos abaixo.
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Potencial Vetor Magnético ~ ·B ~ = 0, estabelece que o fluxo magnético através A lei de Gauss para o campo magnético, ∇ de uma superfície fechada é nulo. Isso significa que não existe monopolo magnético. Quando o divergente de um cmpo vetorial é nulo, este campo pode ser escrito como sendo o rotacional de outro campo vetorial: ~ ·∇ ~ ×A ~=0 ∇
⇒
~ =∇ ~ × A. ~ B
~ é dito potencial vetor magnético, do qual pode-se extrair o campo magnético O campo vetorial A através do operador diferencial rotacional. Aplicando a lei de Biot-Savart a esta expressão, obtemos como resultado a expressão: ~= A
(1.18)
I
~ µ0 IdL . 4πR
Exemplo 12: Mostre que o campo magnético diferencial gerado por um elemento diferencial de um fio muito longo, percorrido por uma corrente I, orientada no sentido positivo do eixo z é dado por ~ = √Idzρ a ˆ . dH 2 2 3 φ 4π
(ρ +z )
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Potencial Escalar Magnético ~ B ~ = µ0 J. ~ Se a densidade de corrente J~ é nula, temos: ∇× ~ B ~ = 0. Pela lei de Ampère, temos ∇× ~ × (∇ ~ · φ) = 0, na qual Φ é um campo escalar. Em outras Esta última pode ser escrita como ∇ palavras,podemos dizer sem perda de informação, que quando o rotacional de um campo vetorial é nulo, este campo pode ser escrito como o gradiente de um campo escalar. Assim, o campo magnético numa região em que J~ = 0 pode ser escreito como: (1.19)
~ = −µ0 ∇ϕ, B
~ ·B ~ = 0, na qual ϕ é dito potencial escalar magnético. Da lei de Gauss para o magnetismo, temos ∇ temos: (1.20)
~ · (−µ0 ∇ϕ) = 0 ∇
⇒
∇2 ϕ = 0.
Exemplo 13: Sabendo que o campo magnético produzido por um dipolo magnético vale i h 3(m·~ ~ r)~ r µ0 m·~ ~ r m ~ ~ , mostre que ϕ = 4πr − B(~r) = 4π 5 3 3 representa o potencial escalar magnético para o r r dipolo magnético.
Orientação de estudo: Eletromagnetismo - Hayt & Buck, 6ª Edição: Capítulo 8, Seções 8.6 e 8.7. Fazer uma leitura crítica e resolver os exercícios E8.8 e E8.9, da página 153.
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Capítulo 2 Forças Magnéticas, Materiais e Indutância Até agora, tratamos de problemas que só podiam ser resolvidos a partir do conhecimento da configuração da corrente elétrica que gera o campo magnético. Ou seja: se a distribuição de corrente é ~ B ~ eA ~ em cada ponto do espaço de campo magnético não-nulo. conhecida, podemos determinar H, Uma outra forma de analisar o fenômeno magnetostático, é estudar as forças e os torques que o cmpo magnético exerce sobre cargas de prova. O primeiro passo, é definir a força magnética gerada por uma carga em movimento.
Força sobre uma carga em movimento Lembrando um pouco de Eletromagnetismo I, a força que atua sobre uma carga elétrica estacionária vale ~ F~ = q E. Quando colocamos esta carga em movimento, além da presença de campo elétrico, também detectamos a presença de um fluxo magnético (ou indução magnética), devido à presença de uma corrente elétrica. Neste enunciado, encontramos a explicação ao funcionamento dos motores elétricos, e entendemos a indução magnética. Quando uma carga elétrica q se desloca com velocidade ~v , ela gera ~ um fluxo de campo elétrico e também, um fluxo de campo magnético, com indução magnética B e, sobre ela, atua uma força F~ , que depende do vetor indução magnética e do vetor campo elétrico, gerado pela própria carga que se move. Esta é a chamada força de Lorentz: ~ + ~v × B), ~ F~ = q(E ~ Analisando esta equação, também sendo a força perpendicular ao plano ocupado por ~v e B. podemos ver facilmente que os campos elétrico e magnético, gerados por uma carga em movimento, ~ são ortogonais, o módulo de F~ é dado são sempre perpendiculares entre si. Quando os vetores ~v e B por F = qvB. Lembrando um pouquinho da Física II, a velocidade dos portadores de carga (elétrons) é medida pela corrente elétrica I no condutor. A carga de elétrons num condutor, cuja área da seção 20
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Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 2: Forças Magnéticas, Materiais e Indutância
reta é A e cujo comprimento é L, pode ser expressa como qv = IL. Então, temos que o módulo força que age sobre as cargas pode ser dada por: F = BIL. Ilustração: a) Uma carga pontual de 20 nC está parada em certa região do espaço. Determine a força que atua ˆ ~ = −3ˆi + 4ˆj + 6k. sobre ela quando está imersa numa região de campo elétrico E b) A mesma carga de 20 nC é colocada em movimento com uma velocidade ~v = (3, 2ˆi − 4ˆj + ˆ × 105 m/s, devido à presença de um campo magnético B ˆ Determine a força ~ = 2ˆi − 5ˆj + 3k. 1, 6k) que atua sobre ela devido a este campo magnético. c) Continuando na situação do item b: qual é a força total que atua sobre esta carga em movimento, devido ao conjunto dos campos elétrico e magnético presentes nesta região?
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Força sobre um elemento diferencial de corrente Tomando um elemento diferencial de carga, dq, podemos definir um elemento de força dF~ : ~ dF~ = dq~v × B. O elemento de de carga dq envolve um grande número de elétrons envolvidos num pequeno volume diferencial dV , cujas dimensões devem ser muito maiores que a separação média entre os elétrons. Então, a força total é meramente a força resultante (a soma de todas as forças) que agem sobre cada um dos elétrons. Este é um problema de muitos corpos, pois as forças agem individualmente sobre cada elétron. Porém, se considerarmos que estes elétrons são elétrons livres que se movem na superfície de um condutor, podemos desconsiderar o problema de muitos corpos e, sem perda de generalidade, tratar esta força resultante como uma única força agindo sobre o condutor. Efeito Hall Os elétrons livres de um condutor movem-se entre as cargas positivas fixas dos átomos do material que o formam (os núcleos atômicos). Quando colocamos este consutor em uma região de campo magnético externo não-nulo, o movimento eletrônico é levemente deslocado, pois há uma força magnética externa agindo sobre eles. Porém, a força coulombiana entre estes elétrons e os núcleos atômicos, que é muito mais forte que esta força magnética externa, se opõe a tal desvio. Há então uma força resultante, com a mesma direção que a da força coulombiana atrativa entre os elétrons livres e os núcleos, cujo módulo é muito próximo da própria força coulombiana. Em outras palavras, a força magnética externa não é páreo para a força coulombiana atrativa entre os elétrons livres e os núcleos do condutor. Mas de alguma forma, ela está lá e causa um efeito global sobre o condutor: esta força magnética acaba por ser transferida à rede cristalina do condutor, causando-lhe uma vibração que provoca mudanças nas distâncias entre os elétrons livres. O resultado disso, é uma distribuição de cargas não-homogênea sobre a superfície do condutor. Uma distribuição de cargas não-uniforme causa uma diferença de potencial entre dois pontos distintos na superfície do condutor. Esta ddp é conhecida como tensão de Hall e o o efeito em si, é dito efeito Hall. Considere o condutor da figura abaixo, no qual os portadores de carga têm velocidade de arrasto ~ a força devido a B ~ provoca ~va . Quando este condutor é submetido a um campo magnético externo, B, um desvio no movimento inicial dos seus portadores de carga. Se o condutor conduz uma corrente I da esquerda para a direita, devido ao movimento de portadores de carga positiva, existe um campo ~ na direção x, orientado no sentido negativo. Os portadores de carga positiva ficam magnético B 22
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~ que aponta para cima, na direção do eixo z. sujeitos a uma força magnética dada por F~ = q~va × B, Essa força faz com que os portadores se desloquem para o ponto A da figura, que se torna positivo, com um potencial elétrico maior do que no ponto B, situado na parte de baixo do condutor. A existência desta ddp provoca o surgimento de um campo elétrico entre os pontos A e B, orientado para baixo, na direção z. Este campo el[etrico passa a atuar sobre os portadores de carga, fazendo agir sobre eles uma força orientada no sentido negativo de z. Quanto mais cargas são levadas ao ponto A devido à força magnética, maior fica a ddp entre as faces do condutor, o cmapo elétrico torna-se cada vez maior, até igualar-se à força magnética. Neste momento, os portadores param de se acumular no ponto A e voltam a mover-se apenas na direção y. A condição de equilíbrio ocorre quando a força de Lorentz se anula: ~ z + q~va × B ~ =0 F~L = q E
⇒
~ z = −~va × B. ~ E
Como estas grandezas são perpendiculares, podemos tomar o módulo desta equação: Ez = va B. A ddp entre os pontos A e B é a tensão de Hall, VH , relacionada ao cmapo elétrico através da lei de Coulomb: VH = Ez Z
⇒
VH = Zva B.
Se considerarmos a densidade de cargas ρ = NVq , na qual N é o número de partículas em V e n= N é o número de portadores por unidade de volume, temos: V I = nqAva , na qual A é a área pela qual a corrente flui, A = XZ. Então: va = VH = ZB
I nqXZ
⇒
VH =
I nqXZ
,
IB 1 . Definido o coeficeinte Hall, RH = : nqX nq
VH = RH
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IB . X
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Força que age sobre um fio que conduz corrente ~ para um fio condutor sobre o qual flui uma corrente Partindo da força de Lorentz, F~ = q~v × B, I ao longo do seu comprimento, podemos escrever a força elementar que atua sobre cada um dos portadores: ˆ × B, ~ dF~ = qva dL
na qual: |~v | = va =
~ dL . dt
Existe, então, um número N de portadores de carga por unidade de volume. Para um elemento infinitesimal de volume, temos: dV = AdL, com A sendo a área da secção reta do fio. Então a densidade de portadores é: N=
n V
⇒
n = NV
⇒
dn = N AdL .
Assim, a força que age sobre todo o segmento dL do fio é dndF~ : ~ ×B ~. dF~ = N qAva dL Sendo ρ = N q a densidade volumétrica de cargas, obtemos: ~ ×B ~ dF~ = ρAva dL
na qual: I = ρAva . Então:
~ ×B ~, dF~ = IdL que representa a força total sobre todos os portadores de carga em dL. Se dividirmos esta expressão por dL, obtemos a força por unidade de comprimento: ~ dF~ dL ~ =I ×B dL dL
⇒
dF~ ˆ×B ~. = IdL dL
Ilustração: Um fio é percorrido por uma corrente I. Um pedaço do fio, de comprimento L está submetido a ~ uniforme, como mostra a figura. Determine a força magnética que um campo magnético externo B age sobre o fio e a força magnética por unidade de comprimento.
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Força entre elementos diferenciais de corrente O campo magnético em um ponto P2 do espaço, devido a um elemento de corrente posicionado no ponto P1 é dado por: ~2 = dH
I1 ~1 × a dL ˆR12 , 2 4πR12
ˆ2 × B ~ 2 , no ponto P2 , temos: se substituirmos a força diferencial, que é dada por dF~2 = I2 dL d(dF~2 ) = µ0
I1 I2 ~ ~1 × a dL2 × (dL ˆR12 ). 2 4πR12
Esta é a expressão que calcula o elemento de força infinitesimal entre dois elementos de corrente infinitesimais. Ilustração: Considere duas correntes, I1 = 3 A, no sentido negativo do eixo y e I2 = 4 A, no sentido negativo do eixo z. Determine a força entre pontos P1 (5, 2, 1) e P2 (1, 8, 5).
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Força e torque em circuito fechado A força de um dipolo magnético, chamado de momento de dipolo magnético, pode ser imaginado como uma medida da habilidade de um dipolo de se alinhar quando submetido a um campo magnético externo. Em um campo magnético uniforme, a magnitude do momento de dipolo é proporcional a soma de torque no dipolo, a qual ocorre quando o dipolo está em ângulos certos para o campo magnético. O momento de dipolo magnético, frequentemente chamado de momento magnético, pode ser definido como o máximo de quantia de torque causado por força magnética, nas proximidades de campo magnético no vácuo. Imagine uma espira, de uma volta, no plano z = 0, com largura W ao ~ longo do eixo x e comprimento l ao longo do eixo y, imersa em uma região de indução magnética B, uniforme e orientado na direção do eixo x. A espira é percorrida pela corrente I no sentido horário. As únicas forças aparecem nos lados da espira, e têm módulo F = BIL. O torque relativo a cada “braço” é dado por: ~Γ = F~ × R ~
~Γ = BILW sin γ,
⇒
~ na qual S na qual, define-se m = ILW como o módulo do momento de dipolo magnético m ~ = I S, é a área da espira. Então: ~Γ = m ~ ~ ×B
⇒
~Γ = I S ~ × B. ~
H ~ × dL. ~ Se B ~ for Para um circuito fechado qualquer, a forá fica melhor definida como F~ = −I B H ~ × dL. ~ Já sabemos do cálculo vetorial que esta última integral uniforme,temos a integral F~ = −I B é nula. Então a força sobre o circuto fechado é nula. Porém, este não é o resultado final. A força sobre um elemento de corrente pode ser nula, mas se o campo não for uniforme, podem existir regiões do circuitos com diferentes densidades lineares e até mesmo volumétricas de corrente, garantindo que haja uma força não-nula sobre o circuito. Se tomarmos no circuito, dois elementos diferenciais de corrente, podemos verificar que, mesmo qua a força devido a cada um deles seja nula, o torque total ~ × F~ para cada elemento de corrente. O torque total, é diferente de zero. O torque é dado por: ~Γ = R ~ 1 × F~1 + R ~ 2 × F~2 , como as forças são nulas, a resultante dos dois elementos de corrente será: ~Γ = R sua soma também é nula, então: F~1 + F~2 = 0. Obtemos, então:
~Γ = R ~ 1 × F~1 − R ~ 2 × F~1
⇒
~Γ = (R ~1 − R ~ 2 ) × F~1
⇒
~Γ = R ~ 21 × F~1 .
~ 21 liga o ponto de aplicação da força F2 ao ponto de aplicação da força F1 , portanto, O vetor R ~1 e R ~ 2 . Portanto, o torque independe da escolha de uma origem. independe da origem dos vetores R O elemento diferencial de torque é dado por: ~ d~Γ = dm ~ × B.
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Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 2: Forças Magnéticas, Materiais e Indutância
Ilustração: Considere uma espira retangular de dimensões 1 × 2 m no plano xy, imersa numa região de ~ 0 = −0, 6ˆi + 0, 8ˆ indução magnética B z T . uma corrente I = 4 mA circula pela espira no sentido anti-horário. Determine o torque sobre a espira.
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Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 2: Forças Magnéticas, Materiais e Indutância
Condições de fronteira magnéticas A figura abaixo mostra a fronteira entre dois materiais magnéticos diferentes, de permeabilidades magnéticas µ1 e µ2 . Os materiais são isotrópicos e homogêneos.
Primeira condição de fronteira: Aplicando a lei de Gauss sobre a superfície gaussiana cilíndrica, temos: I
~ · dS ~ =0, B
S
somente as faces do topo e da base do cilindro contribuem com a integral, pois a área lateral tem vetor normal perpendicular ao vetor indução magnética, de forma que o produto interno entre eles é nulo. Então, obtemos: BN 1 ∆S − BN 2 ∆S = 0 HN 2 =
⇒
BN 1 = BN 2 . Assim, temos:
µ1 HN 1 . Para a magnetização, temos: µ2
MN 2 =
χ2 µ1 MN 1 . χ1 µ2
Segunda condição de fronteira: Aplicando a lei circuital de Ampère no caminho retangular da figura, observamos que os lados ~ Assim temos: menores do retângulo não contribuem com a integral pois são perpendiculares a H. I
~ · dL ~ =I H
⇒
Ht1 ∆L − Ht2 ∆L = K∆L,
na qual:
~ é definido como uma densidade de corrente linear de módulo K, conduzida pela superfície. Então: K
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Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 2: Forças Magnéticas, Materiais e Indutância
Ht1 − Ht2 = K ,
~ t1 − H ~ t2 ) = a ~ . com: (H ˆN 12 × K
~ obtemos: Para a componente tangencial de B, Bt1 Bt2 − = K, µ1 µ2
Mt2 =
e para a magnetização:
χ2 Mt1 − χ2 K. χ1
Ilustração: Suponha que µ1 = 4 µH/m, na região 1 com z > 0 e que µ2 = 7 µH/m na região 2 onde z < 0. Admita uma densidade de corrente linear na fronteira (z = 0) entre estes dois materiais, dada por ˆ mT , qual é ~ = 80ˆi A/m. Se houver uma indução magnética na região de valor B ~ 1 = (2ˆi − 3ˆj + k) K o valor da indução magnética na região 2?
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Indutância e Indutância mútua Já vimos que o capacitor é um dispositivo apropriado para gerar um campo elétrico e que uma corrente elétrica cria um campo magnético. Em particular, calculamos o campo magnético de um solenóide. Este dispositivo está para o magnetismo, assim como o capacitor está para a eletricidade. Há uma completa analogia entre os dois dispositivos. Assim, correspondendo à capacitância de um capacitor, podemos definir a indutância (ou auto-indutância), L: L=
NΦ , I
sendo N o número de espiras do solenóide, Φ o fluxo de campo magnético total na bobina e I a corrente que passa pelo solenóide. Esta expressão é válida para meios magnéticos lineares, nos quais o fluxo de campo é proporcional à corrente. A unidade de indutância é o H = henry, equivalente a um weber-espira por ampère. Indutância em um cabo coaxial: Considere o cabo coaxial de raio interno a e raio externo b da figura abaixo, com o eixo principal ao longo do eixo z.
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Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 2: Forças Magnéticas, Materiais e Indutância
Indutância em uma bobina toroidal de N espiras: Se considerarmos uma bobina toroidal, com um enrolamento de N espiras, cujas voltas têm uma separação da ordem da espessura do filamento, podemos obter a indutância utilizando o mesmo procedimento acima: Bθ =
µ0 N I , 2πρ
Φ=
µ0 N IS , 2πρ0
L=
µ0 N 2 IS , 2πρ0
nas quais S é a área da secção reta do toróide. Porém, se a separação entre as espiras for grande em relação à espessura do filamento enrolado, cada espira terá a sua própria indutância agindo sobre as demais espiras e, a indutância total não poderá mais ser tomada como o produto da indutância de uma espira pelo raio médio das espiras, como feito acima. Neste caso, estamos diante do fenômeno de indutância mútua, onde cada espira age sobre a outra simultaneamente e devemos olhar a indutância de cada espira separadamente. A indutância total é dada pela soma discreta das indutâncias de cada espira: L=
Φ1 + Φ2 + ... + Φi . I
É óbvio que esta conta não é trivial! Na maioria dos casos, é necessário recorrer a dados experimentais e grandezas empíricas de caracterização do dispositivo, como os fatores de enrolamento e suas dimensões. Uma forma aproximada de calcular a indutância mútua de um dispositivos como estes, é partir das medidas de energia produzida pela corrente que flui pelos dispositivos: L=
2WH , I2
na qual WH é a energia magnética produzida pela corrente I que flui no filamento do dispositivo. A expressão de WH só poderá ser deduzida a partir das equações de Maxwell completas (com variação temporal), as quais viremos mais à frente. Por enquanto, vamos aceitar a sua forma como um comparativo com a, já deduzida, expressão para a energia elétrica armazenada em um capacitor: WE =
1 Z ~ · Edv ~ D 2 vol
*
WH ==
1 Z ~ · Hdv ~ . B 2 vol
~ = µH, ~ obtemos: Se lembrarmos que B WH =
1 Z µH 2 dv 2 vol
ou WH = 31
1 Z B2 dv . 2 vol µ
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Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 2: Forças Magnéticas, Materiais e Indutância
Então a indutância mútua pode ser expressa como: R
L=
vol
~ · Hdv ~ B . I2
Orientação de estudo: Eletromagnetismo - Hayt & Buck, 6ª Edição: Capítulo 9, Seções 9.9 e 9.10. Fazer uma leitura crítica e resolver os exercícios E9.11 da página 181 e E9.12 e E9.13 da página 185.
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EXERCÍCIOS AVALIATIVOS 2 1) Considere uma carga elétrica Q = 18 nC movendo-se num condutor com velocidade de ˆ Calcule o módulo da força que age sobre a 5.106 m/s na direção ~av = 0, 04ˆi − 0, 05ˆj + 0, 2k. ˆ mT e E ˆ kV /m. ~ = (−3ˆi + 4ˆj + 6k) ~ = (−3ˆi + 4ˆj + 6k) carga devido aos campos B 2) Determine a auto-indutância de um cabo coaxial de 3, 5 m de comprimento e raios 0, 8 mm e 4 mm, preenchido com um material cuja permeabilidade relativa vale 50. 3) Considere o enrolamento de 500 espiras ao redor de uma bobina toroidal, de área transveral 6, 25 cm2 . Se o raio médio do toróide é 2 cm, determine a sua auto-indutância.
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Capítulo 3 Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell Lei de Faraday Agora, vamos começar a falar sobre o que chamamos propriamente de
Eletromagnetismo = Eletro + magnetismo ou seja, a interação entre os campos elétrico e magnético de um sistema. Um pouco de história sempre é bom para valorizarmos o trabalho dos cientistas pioneiros, que tanto contribuiram para a renovação tecnológica da qual disfrutamos hoje. No decorrer da vida, Michael Faraday (1791-1867) aprendeu a pesquisar num laboratório de química. Ele aprendeu igualmente a sobreviver aos insultos decorrentes da sua condição de encadernador assalariado, aspirante à integração no mundo da alta sociedade que dominava a ciência. Na França daquela época foi confirmada, por Ampère e um colega, a espantosa notícia que a corrente elétrica que circula em um enrolamento espiral também se comportava como um ímã, atraindo pequenos pedaços de ferro. Por essa razão, sua descoberta foi batizada de eletroímã. No decorrer dos dois séculos anteriores, os filósofos naturalistas tinham descoberto várias semelhanças entre a eletricidade e o magnetismo. O francês Charles-Augustin Coulomb descobrira que ambas as forças tinham propriedades semelhantes, por diminuírem de intensidade com a distância, exatamente da mesma forma. O alemão Otto von Guericke descobrira que ambas as forças tinham duas faces, por serem capazes de atrair alguns objetos e de repelir outros. Desta feita, refletia Faraday incredulamente, Orsted, Ampère e Arago tinham chegado mais longe, revelando algo mais profundo sobre as duas forças. A sua espantosa descoberta levantava a possibilidade de que a eletricidade e o magnetismo pudessem ser de alguma forma intermutáveis. No entanto, se a eletricidade podia se comportar como um ímã, faltava-se provar que o contrário também era verdadeiro: O magnetismo poderia se comportar como a eletricidade? Dito de outra forma: poderia um ímã produzir eletricidade? Subitamente, encontrar uma resposta para essa pergunta tomou-se o Santo Gral da ciência do século XIX. Faraday observou que o magnetismo produzido pela corrente elétrica exercia sempre a mesma influência sobre uma bússola magnética: imaginando a bússola deitada sobre uma mesa e a corrente 34
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Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 3: Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell
elétrica a fluir do chão em direção ao teto, a agulha da bússola girava sempre no sentido, inverso ao dos ponteiros do relógio, e nunca ao contrário. Não sabia o que isto significava, mas após ter apresentado o artigo sobre a história da eletricidade e do magnetismo aos Annals of Phylosophy, decidiu averiguar a questão. À medida que se concentrava, começou a esboçar-se uma imagem mental que explicava a experiência original de Orsted. Tal como uma corrente ascendente de ar se transforma por vezes num tornado, especulou se uma corrente ascendente de eletricidade podia produzir redemoinhos de magnetismo, provocando um ligeiro movimento a qualquer agulha magnética que se encontrasse nas proximidades. Faraday percebeu que esta imagem tinha mais de palpite do que de propriamente teoria, mas havia uma maneira de a testar: se a corrente elétrica produzia de fato um tornado magnético, então os seus ventos rotativos fariam girar continuamente quaisquer objetos magnéticos que se encontrassem nas proximidades, e não apenas de forma ligeira, como acontecia com a agulha magnética de Orsted. A questão era saber como fazer isso acontecer. Após semanas de experimentação, a resposta surgiu. Primeiro, ele pegou um ímã em forma de barra e alinhou-o com a vertical. Nessa posição, colocou-o num recipiente com mercúrio, de modo que o ímã passou a flutuar em pé, como uma pequena bóia. Em seguida colocou um fio condutor no centro do recipiente e fez passar através deste uma corrente elétrica em direção ao teto. Como resultado, algo notável aconteceu: o ímã-bóia começou a rodar em tomo do condutor, tal como se fosse arrastado por uma corrente invisível, no sentido anti-horário. Com esta simples experiência, Faraday matou dois coelhos com uma só cajadada. Confirmou a sua teoria do tornado magnético e no processo criou o primeiro motor elétrico do mundo. Futuramente, os engenheiros encarregar-se-iam de aperfeiçoar a tosca engenhoca concebida por Faraday, criando motores elétricos que acabariam por bater em potência os motores de vapor que propulsionavam a revolução industrial. Mesmo a um século de distância, com motores elétricos a serem produzidos em todos os tamanhos e feitios, o princípio que os força a girar ainda é o do campo de forças magnéticas em forma de tornado, reconhecido pela primeira vez pelo prodígio da classe trabalhadora inglesa. A sua fama disparou, tal como sucedeu à altura das pilhas voltaicas: para obter eletricidade em quantidade suficiente para alimentar motores elétricos com potências significativas, os cientistas viram-se forçados a construir baterias de dimensões tais que ocupavam divisões inteiras. No laboratório, o despretensioso Faraday trabalhava agora mais arduamente do que nunca para encontrar a resposta a uma questão que o intrigava desde a descoberta do motor elétrico. Se a eletricidade podia produzir magnetismo, porque não seria o inverso verdadeiro? Porque o magnetismo não poderia produzir eletricidade? Muitos cientistas se puseram à mesma questão, mas não conseguiram encontrar uma resposta. Nem mesmo Orsted teve sucesso, apesar de ter trabalhado dia e noite para descobrir o complemento lógico da sua descoberta original. A 29 de Agosto de 1831, Faraday encontrou o filão. Começou a enrolar um comprido fio metálico em torno de um segmento de um anel de ferro e em seguida, fez o mesmo em torno do outro segmento do anel. Se os fios metálicos fossem ligaduras, o braço circular do anel aparentaria possuir feridas em dois pontos opostos. Como sempre, o plano de ação de Faraday era bastante simples: faria passar uma corrente elétrica pela primeira ligadura de fio, produzindo um vento magnético que percorreria todo o anel. Se a dita tempestade 35
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magnética produzisse uma corrente elétrica na outra ligadura de fio, Faraday teria encontrado aquilo que todos procuravam: o magnetismo teria criado eletricidade. Se tal coisa acontecesse, antevia Faraday, provavelmente a corrente elétrica produzida seria extremamente débil e por isso nunca havia sido detectada. Assim, ligou o segundo segmento a um amperímetro capaz de detectar o menor vestígio possível de corrente elétrica. Agora era tudo ou nada. Ao eletrificar o primeiro enrolamento através de uma pilha voltaica, olhou esperançoso para o amperímetro. O ponteiro moveu-se! “Oscilou e voltou à posição de repouso”, escreveu histérica e históricamente no registro. Durante uns momentos, Faraday olhou estupefato para o ponteiro. Voltaria ele a mover-se? Após alguns minutos de espera vã, desistiu. Todavia, ao desligar a pilha ficou surpreendido ao observar “mais uma vez uma perturbação no amperímetro”. Durante o resto da noite, Faraday continuou a ligar e a desligar o anel da pilha. A de cada vez que o fazia, o ponteiro do amperímetro movia-se em espasmos. Finalmente fez-se luz no seu espírito e nesse momento sentiuse como o jovem que saltara de alegria numa véspera de Natal, quase vinte anos antes. A corrente elétrica no primeiro enrolamento produzia um tornado magnético que, por sua vez, produzia uma corrente elétrica no outro enrolamento. Mas isso acontecia apenas quando a intensidade do tornado aumentava ou diminuía. Estavam explicados os saltos do ponteiro: de cada vez que Faraday ligava/desligava a pilha, o tornado magnético surgia/desaparecia, produzindo o efeito. Entre esses dois momentos, desde que os ventos magnéticos se mantivessem estáveis ao longo do anel de ferro, nada acontecia. Durante os meses seguintes, Faraday passou em revista e refinou o equipamento, chegando sempre às mesmas conclusões que confirmavam a descoberta original. Em 1831, finalmente, Faraday - o prodígio da Royal Institution, então com 40 anos de idade, resumia a sua descoberta histórica numa única frase: “Sempre que uma força magnética aumenta ou diminui, produz eletricidade. Quanto mais depressa se dá esse aumento ou diminuição, mais eletricidade se produz.” Embora a eletricidade e o magnetismo se pudessem afirmar individualmente, na verdade estavam inexplicavelmente associados, surgindo sempre um onde quer que o outro estivesse presente. Seria por este motivo que a ciência acabaria por batizar esta bizarra relação de forças com um único epíteto híbrido: eletromagnetismo. Com esta nova forma de encarar a eletricidade e o magnetismo, Faraday e os seus sucessores concretizaram finalmente uma parte do antigo sonho científico da unificação das forças da natureza. O trabalho de unificação dos fenômenos elétricos e magnéticos ficou a cargo de James Clerk Maxwell, anos após a publicação dos trabalhos de Faraday, que obteve convergência total em quatro únicas equações, que levam o seu nome. Nas equações completas de Maxwell, leva-se em conta as variações temporais dos campos elétricos e magnéticos, estabelecendo a relação entre eles: “Um campo elétrico produz um campo magnético e um campo magnético variável produz um campo elétrico.”
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Equivale a dizer que uma corrente elétrica gera um campo magnético e um campo magnético variável produz uma corrente elétrica. Após este breve histórico, começaremos apresentando outro tipo de campo elétrico: o campo elétrico induzido ou força eletromotriz induzida - fem. Uma força eleromotriz é uma tensão que surge a partir de condutores que se movem em um campo magnético, ou a partir de campos magnéticos variantes e é regida pela lei de Faraday (lei de indução de Faraday), mais conhecida como: I dΦ d Z ~ ~ ~ ~ f em = V = − = E · dL = − B · dS, dt dt S
na qual dΦ é a variação do fluxo magnético no tempo. O valor desta derivada pode ser não-nula em dt três situações: 1) no caso de um fluxo variável no tempo através de um caminho fechado estacionário e 2) no caso de um movimento relativo entre um fluxo estacionário e um caminho fechado. 3) no caso de uma combinação entre as duas primeiras. O sinal negativo indica que a f em-induzida flui no sentido inverso do fluxo de corrente original. Haverá, portanto, uma redução no fluxo de corrente original ⇒ lei de Lenz. Em 1832, o jovem físico escocês Maxwell publicou a sua obra de referência Tratado da eletricidade e Magnetismo, na qual traduziu a simples afirmação de Faraday numa equação matemática. Maxwell empregou a letra B para designar o magnetismo e a letra E para designar a eletricidade. Em∂ para representar a expressão “a taxa de crescimento ou diminuição pregou igualmente o símbolo − ∂t ~ para designar “o valor de ...”. Assim sendo, a descoberta de Faraday resumiade ...” e o símbolo ∇× se à seguinte equação: ~ ~ ×E ~ = − ∂B ∇ ∂t . Isto é, a quantidade de eletricidade produzida pelo magnetismo era igual à taxa de aumento ou diminuição da força causadora. Um campo magnético que varia rapidamente produz uma grande quantidade de eletricidade, enquanto que um campo magnético que registra variações lentas produz uma ínfima corrente elétrica. Se o campo magnético se mantiver constante no tempo, não há produção de eletricidade. Embora tenha se expressado numa linguagem considerada pouco elegante pela ciência, Faraday olhara para o mundo com olhos de poeta: tinha visto a simplicidade onde existia complexidade. Juntamente com Orsted, mostrou que a eletricidade podia gerar magnetismo e que o magnetismo podia gerar eletricidade, uma relação genética tão incestuosa como nenhuma outra existente na natureza. Quando um condutor se movimenta num fluxo magnético, surge um campo elétrico induzido devido ao movimento, que é dado por: (3.1)
(3.2)
~ = ~v × B ~, E
~ o vetor indução magnética. Assim, o campo elétrico na qual ~v é a velocidade do condutor e B, induzido tem duas componentes: 37
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(a) a componente devido à variação temporal do campo magnético, dado pela equação 3.1. Aplicando o teorema de Stokes a esta equação, encontramos a tensão induzida: I ~ ∂B ~ ~ · dL ~, · dS = − E ∂t
Z S
que também representa a lei de Lenz. (b) a componente devido ao movimento do condutor no espaço, dado pela equação 3.2, que é a tensão Z
~ · dL ~ = E
Z
~ · dL ~. (~v × B)
A tensão induzida é a soma das duas contribuições: V =
Z
~ · dL ~ − E
L
Z S
~ ∂B ~. · dS ∂t
A forma diferencial (ou pontual) desta equação é: ~ ~ × E) ~ = − ∂B . (∇ ∂t As duas últimas são as formas integral e diferencial de uma das quatro equções de Maxwell. Se ~ não varia com o tempo, elas se reduzem às equações eletrostáticas: observarmos bem: quando B H ~ · dL ~ = 0 e ∇ ~ ×E ~ = 0. E Exemplo: Uma espira retangular de lados a e b, posicionada no plano do papel, está imersa numa região ~ saindo perpendicularmente ao plano, como mostra a figura. A espira gira de campo magnético B, com uma velocidade angular ω ~ . Determine a força eletromotriz induzida e o sentido da corrente no circuito. Calcule também o valor da corrente induzida em função da resistência elétrica, R, da espira.
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Correntes de deslocamento Agora vamos analisar o que acontece quando um campo elétrico varia no tempo. Partimos da lei H ~ · dL ~ = I, que afirma que a integral de linha de H ~ sobre qualquer caminho circuital de Ampère, H ~ corresponde à corrente elétrica que circula por este caminho. Lembre-se: o sentido da fechado dL corrente é dado pela regra da mão direita. Aplicando o teorema de Stokes à integral acima, temos: I
~ · dL ~ = H
Z
~ × H) ~ · dS ~ = I = (∇
Z
S
~ J~ · dS.
S
~ × H) ~ = J. ~ Além disso: aplicando o teorema da divergência a R J~ · dS, ~ temos: Então: (∇ S I =
Z
~ = J~ · dS
S
Z
~ · J) ~ dv = − (∇
V
dQ , dt
na qual a derivada de Q em relação a t representa a taxa de decaimento do fluxo de portadores de carga positiva (corrente convencional) para fora da superfície limitada por S, sendo Q a carga total envolvida pela superfície fechada, definida pela integral de volume. Ou seja: a densidade volumétrica de carga, ρv = dQ / dv, então: Z V
~ · J) ~ dv = − d (∇ dt
Z
ρv dv,
a qual, para superfícies constantes no tempo, fica simplesmente: Z
~ · J) ~ dv = − (∇
V
Z
∂ρv dv, ∂t
e obtemos, então a Equação da Continuidade: ~ · J~ = − ∂ρv . ∇ ∂t ~ Se lembrarmos das aulas anteriores .... em uma delas tomamos o divergente do rotacional de H: ~ · (∇ ~ × H) ~ = ∇ ~ · J~ = 0. ∇ Se compararmos as duas últimas equações, percebemos que há algo de conflitante entre as duas. O caso em que ∂ρv / ∂v = 0 é uma limitação irreal. Portanto, há a necessidade de realizar uma correção para o caso dos campos variantes no tempo. Essa correção se faz adicionando um campo ~ à densidade de corrente J. ~ Assim: vetorial G ~ ×H ~ = J~ + G, ~ ∇ tomando o divergente desta: 39
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~ · (∇ ~ × H) ~ = ∇ ~ · J~ + ∇ ~ ·G ~ = 0, ∇ sendo, necessariamente: ~ ·G ~ = ∂ρv . ∇ ∂t É importante lembrar que a primeira equação da eletrostática, a lei de Gauss, relaciona o vetor ~ à densidade volumétrica de carga, ρv : densidade de fluxo elétrico, D, I
~ · dS ~ = Q, ε0 E
~ ·D ~ = ρv , ∇
~ = ε0 E, ~ D
de forma que podemos escrever: ~ ~ ·G ~ = ∂ (∇ ~ · D) ~ = ∇ ~ · ∂D , ∇ ∂t ∂t Assim: ~ ~ = ∂D , G ∂t e chegamos à relação final da lei circuital de Ampère na forma diferencial (ou pontual): ~ ~ ×H ~ = J~ + ∂ D . ∇ ∂t ~ / ∂t, tem dimensão de densidade de corrente e foi denominado O último termo desta equação, ∂ D por Maxwell, de densidade de corrente de deslocamento, usualmente denotado por J~d e é consequên~ Então: cia de uma variação temporal da corrente de deslocamento, D. ~ ×H ~ = J~ + J~d . ∇ ~ pode se referir a uma densidade de Devemos lembrar ainda que, a densidade de corrente, J, ~ consequência do movimento de cargas em uma região de densidade corrente de condução, J~ = σ E, líquida nula de cargas, ou à densidade de corrente de convecção, J~ = ρv dv, que é resultado da variação da densidade de cargas no volume. Em um meio não-condutor (σ = 0), no qual nenhuma densidade volumétrica de cargas esteja presente, J~ = 0 e tem-se: ~ ~ ×H ~ = ∂D ∇ ∂t
e
~ ~ ×E ~ = ∂B , ∇ ∂t
~ eH ~ e entre os vetores D ~ e B. ~ nas quais pode-se observar a simetria entre os vetores E
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Forma diferencial das Equações de Maxwell Agora já temos condições de tabelar as quatro equações de Maxwell, levando em conta as variações temporais dos campos elétrico e magnético. A lei de Gauss, tanto para o campo elétrico quanto para o campo magnético, permanecem inalteradas pois nela, leva-se em conta somente as variações espaciais dos referidos campos. As equações abaixo são capazes de descrever quaisquer fenômenos eletromagnéticos. ~ ×E ~ = − ∂ B~ ∇ ∂t ~ ×H ~ = J~ + ∂ D~ ∇ ∂t ~ ·D ~ = ρv ∇ ~ ·B ~ =0 ∇
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Lei de Faraday Lei de Ampère-Maxwell Lei de Gauss para a eletrostática Lei de Gauss para a magnetostática
A segunda equação esconde a informação sobre a densidade volumétrica de carga, ρv , que pode ser uma fonte de linhas de fluxo elétrico, se ρV > 0 ou um sorvedouro de linhas de campo elétrico, se ρv < 0. Assim, não se pode mais dizer que todas as linhas de fluxo começam ou terminam em ~ eE ~ podem ter circulações se houver um campo uma carga, pois a primeira equação mostra que D magnético variante no tempo estiver presente. Portanto, as linhsa de fluxo elétrico podem formar espiras fechadas. ~ é nulo, indicando a inexistência de A quarta equação de Maxwell mostra que o divergente de B ~ é cargas magnéticas isoladas: não existem monopolos magnéticos. Portanto, o fluxo magnético B sempre encontrado em percursos fechados, nunca divergindo ou convergindo para uma fonte pontual, como é possível para o fluxo elétrico. O conjunto das quatro equações formam a base de toda a teoria eletromagnética. Elas são equações diferenciais parciais e relacionam os campos elétrico e magnético um com o outro e cada ~ As um com suas fontes: a densidade volumétrica de cargas, ρv e a densidade de corrente elétrica, J. denominações dos quatro campos relacionados nas equações de Maxwell e suas unidades estão na tabela abaixo: ~ D ~ E ~ B ~ H
⇒ Densidade de fluxo elétrico ou vetor deslocamento ⇒ Intensidade de campo elétrico ⇒ Densidade de fluxo magnético ou vetor indução magnética ⇒ Intensidade de campo magnético
⇒ C/m2 ⇒ V /m ⇒ W b/m2 ⇒ A/m
Para chegarmos às quatro equações de Maxwell, utilizamos outras equações, as quais chamamos ~ com E ~ eB ~ com H: ~ Equações Auxiliares ou Constitutivas, que relacionam o campo D ~ = εE ~ D
e
~ = µH ~ , B
além destas, outras equações são relevantes: as equações que relacionam a densidade de corrente ~ e a que relaciona a densidade de corrente de de condução, J~ à intensidade de campo elétrico, E convecção, J~ à densidade volumétrica de cargas, ρv : 41
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~ J~ = σ E
e
J~ = ρv~v .
Nas relações acima, as grandezas ε, µ e σ representam a permissividade elétrica do material, a permeabilidade magnética do meio e a condutividade elétrica do material, respectivamente. Outros detalhes que devemos lembrar é que, como visto na discipilna de Eletromagnetismo I, certos materiais podem sofrer um efeito relevante de polarização elétrica, representado pelo vetor polarização, P~ . E, como visto em aulas anteriores, certos materiais podem sofrer um efeito relevante de magnetização, ~ . nestes casos é necessário somar essas contribuições: representado pelo vetor magnetização, M ~ = εE ~ + P~ D
~ = µ(H ~ +M ~), B
e
lembrando que a polarização elétrica pode ser entendida como a soma dos momentos de dipolo elétrico por unidade de volume e, a magnetização é a soma dos momentos magnéticos dos portadores de carga negativa do material por unidade de volume. O vetor polarização depende de uma grandeza que caracteriza o material dielétrico, χe , a susceptibilidade elétrica do dielétrico, que mede o quanto o dielétrico é sensível a um campo elétrico. O vetor magnetização do material depende a susceptibilidade magnética, χm , que mede o quanto o material é sensível a um campo magnético: ~ P~ = χe ε0 E
e
~ = χm H ~ . M
Definimos também, grandezas relativas: a constante dielétrica do dielétrico, εr = εε0 e a permeabilidade magnética relativa, µr = µµ0 . Definimos ainda, as relações entre ε e χe e µ e χm : εr = 1 + χ e =
ε ε0
e
µr = 1 + χ m =
µ . µ0
Na tabela abaixo encontra-se uma lista das grandezas relacionadas aos vetores polarização elétrica e magnetização: P~ ε ε0 εr χe ~ M µ µ0 µr χm
vetor polarização permissividade elétrica do material permissividade elétrica do vácuo permissividade relativa susceptibilidade elétrica vetor magnetização permeabilidade magnética do material permeabilidade magnética do vácuo permeabilidade relativa susceptibilidade magnética
C/m2 V /m 8, 85.10−12 F/m adimensional adimensional A/m2 H/m 1, 26.10−6 H/m adimensional adimensional
A última equação, que não podemos esquecer, é a força de Lorentz:
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~ + ~v × B) ~ . F~ = q(E
Forma integral das Equações de Maxwell As formas integrais das equações de Maxwell são usualmente mais fáceis de serem reconhecidas em termos das leis experimentais, a partir das quais elas foram obtidas pela generalização do processo. Experimentos exploram grandezas físicas macroscópicas e portanto, os seus resultados são melhor expressos em termos de relações integrais. ~ · dL ~ = − R ∂ B~ · dS ~ E S ∂t H R ~ · dL ~ = ~ ~ R H S J · dS + S H ~ · dS ~ = εH E ~ · dS ~=q D H ~ · dS ~=0 B H
~ ∂D ∂t
~ =I +R · dS S
~ ∂D ∂t
~ · dS
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Lei de Faraday Lei de Ampère-Maxwell Lei de Gauss para a eletrostática Lei de Gauss para a magnetostática
Forma harmônica das Equações de Maxwell ~ ~ Até agora assumimos que a dependência temporal dos campos eletromagnéticos, (E(t), D(t), ~ ~ H(t) e B(t)) é arbitrária. A partir de agora assumiremos que estes campos variam harmonicamente com o tmpo. Ou seja: a dependência temporal destes campos se dá por forma de ondas senoidais periódicas no tempo. esta aproximação tem muita aplicação prática no estudo de ondas eletromagnéticas, como emissão e transmissão de ondas de rádio, tv, banda larga, telefonia fixa e celular, etc, além de poder ser estendida para a maioria das formas de ondas, através da transformada de Fourier. Funções senoidais e cossenoidais são expressas como fasores. √ Um fasor é um número complexo, z = x + iy, com i = −1. utilizando a fórmula de Euler, podemos escrever: z = x + iy = reiφ = r(cos φ + i sin φ) ,
sendo:
r = |z| =
q
x2 + y 2
e:
tan φ =
y , x
x é dito parte real e y, a parte imaginária, r é a magnitude e φ, a fase do fasor z. a representação de z na forma retangular, z = x + iy e na forma polar, z = reiφ estão ilustradas na figura. A soma e a subtração de fasores são mais facilmente efetuadas na forma retangular, enquanto que o produto e o quociente de fasores são melhores efetuados na forma polar. Para introduzir a dependência temporal, utilizamos a relação: φ = ωt + θ ,
reiφ = rei(θ+ωt)
⇒
reiφ = reiθ eiωt) ,
sendo θ uma função qualquer do tempo ou das coordenadas espaciais, podendo ser constante e ω representa a velocidade angular, dada em rad/s. As partes real e imaginária de z são dadas por: 43
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Re(reiφ ) = r cos (ωt + θ)
Im(reiφ ) = r sin (ωt + θ) .
e
Podemos ilustrar a utilização de fasores com um exemplo simples: Considere que, a corrente senoidal dada por I1 (t) = I0 cos(ωt + θ) é igual à parte real da corrente I2 (t) = I0 eiφ = I0 eiθ eiωt . O termo complexo é dito fasor corrente, IS = I0 eiθ . O subíndice S serve para indicar a forma fasorial de I(t). ~ y, z, t) é um De maneira geral, uim fasor pode ser um escalar ou uma vetor. Se um vetor A(x, ~éA ~ S (x, y, z) e a relação entre as duas grandezas campo harmônico no tempo, a forma fasorial de A fica dada por: ~ = Re(A ~ S eiωt ) . A ~ = A0 cos (ωt − βx)ˆ ~ como: Por exemplo: Se A ay , podemos escrever o vetor A ~ = Re(A ~ S eiωt ) = Re[(A0 e−iβx a A ˆy )eiωt ] , ~ sendo A0 e−iβx a ˆy a forma fasorial de A. ~ e relação ao A diferenciação de fasores é bem simles. Para o exemplo anterior, a derivada de A tempo é: ~ ∂ ∂A ~ S eiωt ) = Re(iω A ~ S eiωt ) , = Re(A ∂t ∂t ou seja: para encontrar a derivada temporal de uma grandeza instantânea basta multiplicar sua forma fasorial por iω e a operação derivada fica equivalente à: ~ ∂A ∂t
~S , iω A
→
e a integração corresponde à: Z
~ A∂t
→
~S A . iω
~ y, z, t) e a forma fasorial A ~ S (x, y, t): Observe atentamente a diferença entre a forma instantânea A(x, a primeira é real e dependente do tempo, enquanto que a segunda é complexa e invariante no tempo. ~ Aplicando o conceito de fasor às equações de Maxwell para campos variantes no tempo, E(x, y, z, t), ~ ~ ~ y, z, t) e ρv (x, y, z, t), obtemos: D(x, y, z, t), B(x, y, z, t), J(x,
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~ ·D ~ S = ρvs ∇ ~ ·B ~S = 0 ∇ ~ ×E ~ S = −iω B ~S ∇ ~ ×H ~ S = J~S + iω D ~S ∇
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 3: Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell
~ S · dS ~ = R ρvS dv D H ~ S · dS ~=0 B H ~ S · dL ~ = −iω R B ~ S · dS ~ E H R ~ S · dL ~ = (J~S + iω D ~ S ) · dS ~ H H
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Gauss - eletrostática Gauss - magnetostática Faraday Ampère-Maxwell
Ilustração: 1) Expresse o campo elétrico Ey = 100 cos(108 t − 0, 5z + 30o ) V /m como um fasor.
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Capítulo 4 Onda Plana Uniforme Uma das principais aplicações das equações de Maxwell é o estudo da propagação de ondas eletromagnéticas (EM). A existência deste tipo de onda é prevista pelas equações de Maxwell e foi, inicialmente, estudada por Henrich Hertz, que após muitos cálculos e experimentos conseguiu gerar e detectar ondas de rádio. Ondas são um meio de transportar energia ou informação. Existem ondas mecânicas, de impacto e eletromagnéticas. Um exemplo de onda mecânica é o som. Este tipo de onda só se propaga em meios materiais. Uma onda de impacto (ou de choque) é uma onda sônica pulsada, de frequências acima da frequência audível e também precisa de meios materiais para se propagar. Um exemplo (aterrorizador, por sinal), são as ondas de choque provocadas por grandes explosões, como de uma bomba atômica. Ondas eletromagnéticas (EM) não necessitam de meios materiais para se propagarem, podendo se propagar no vácuo. O exemplo mais cotidiano de onda EM é a luz visível. Porém, existem muito mais ondas EM se espalhando pelo espaço e ao nosso redor, formando um imenso espectro de ondas eletromagnéticas: o espectro eletromagnético!. Cada onda EM é caracterizada pela sua frequência, ν e pelo seu comprimento de onda, λ. O módulo da velocidade, v, de qualquer onda EM num meio qualquer é dado por v = νλ e no vácuo (ou no ar) este valor é sempre o mesmo: c = 3.108 m/s, a velocidade da luz. Então: c = νλ, para qualquer onda que se propaga no vácuo. Assim, todas as ondas eletromagnéticas são “luzes”! Porém, a sensibilidade visual do ser humano só nos permite enxergar uma pequena faixa destas “luzes”, chamada de espectro visível.
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Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 4: Onda Plana Uniforme
Praticamente toda a troca de energia entre a Terra e o resto do Universo ocorre por radiação (propagação de ondas EM), que é a única que pode atravessar o relativo vazio do espaço. O sistema Terra-atmosfera está constantemente absorvendo radiação solar e emitindo sua própria radiação para o espaço. Numa média de longo prazo, as taxas de absorção e emissão são aproximadamente iguais, de modo que o sistema está muito próximo ao equilíbrio radiativo. A radiação também tem papel importante na transferência de calor entre a superfície da Terra e a atmosfera e entre diferentes camadas da atmosfera. Todas as formas de ondas EM compartilham de três características fundamentais: • são irradiadas a partir de uma fonte (uma antena, por exemplo), sem a necessidade de um meio de propagação; • se propagam em altas velocidades, no vácuo: c = 3.108 m/s; • apresentam propriedades ondulatórias. A velocidade de propagação de uma onda EM, que se propaga em um meio diferente, é diferente! Mudou o meio, muda a velocidade de propagação. Até agora, estudamos separadamente, fenômenos elétricos e magnéticos em meios condutores e isolantes, pois o nosso interesse é estudas os fenômenos físicos nos materiais que utilizamos para confeccionar nossos dispositivos tecnológicos. Porém, ainda não estudamos os efeitos que aparecem nesses materiais, quando analisamos a associação dos fenômenos eléricos e magnéticos sobre eles. As ondas EM interagem com o meio material no qual ela se
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Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 4: Onda Plana Uniforme
propaga! Por isso, a velocidade de propagação de uma onda EM muda, de acordo com o material no qual ela se propaga! Qualquer fenômeno eletromagnético pode ser descrito a partir das equações de Maxwell, pois são fenômenos que envolvem ondas EM que se propagam em um determinado meio. Assim, o objetivo deste capítulo é resolver as equações de Maxwell para ondas EM que se propagam nos seguintes meios materiais: Meio de propagação Condutividade Permissividade Permeabilidade espaço livre σ=0 ε = ε0 µ = µ0 dielétricos sem perdas σ≈0 ε = ε0 εr µ = µ0 µr dielétricos com perdas σ 6= 0 ε = ε0 εr µ = µ0 µr bons condutores σ≈∞ ε = ε0 εr µ = µ0 µr
Propagação de ondas no espaço livre A seguir, trabalharemos com campos magnéticos e elétricos variáveis no tempo, que gerar ondas eletromagnéticas. Para demonstrar que as equações de Maxwell levam, inevitavelmente, a ondas eletromagnéticas, é necessário fazer uso das equações de Maxwell na forma diferencial. Começaremos com a propagação da onda eletromagnética no vácuo. Limitaremos a este caso particular devido as dificuldades matemáticas para resolver um sistema de equações de onda. Devido ao fato de não existirem cargas elétricas ou correntes elétricas no vácuo, as equações de Maxwell assumem a seguinte forma: ~ ×E ~ = − ∂ B~ ∇ ∂t ~ ·E ~ =0 ∇
~ ×B ~ = µ0 ε0 ∂ E~ ∇ ∂t ~ ·B ~ =0 ∇
A partir das leis de Faraday e de Ampère, podemos deduzir as equações de onda: ~ = µ 0 ε0 ∇2 E
~ ∂ 2E ∂t2
e
Faça estas deduções junto com o professor!
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~ = µ 0 ε0 ∇2 B
~ ∂ 2B . ∂t2
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Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 4: Onda Plana Uniforme
Na forma cartesiana:
~ = ∇2 E
2~ ∂ Ex 2 ∂x 2 ~y ∂ E
∂x2 ∂ 2 E~ z ∂x2
~ = ∇2 B
2~ ∂ Bx 2 ∂x 2 ~y ∂ B
∂x2 ~z ∂2B ∂x2
~x ∂2E ∂y 2 ~y ∂2E ∂y 2 ~z ∂2E ∂y 2
+ + +
+ + +
~x ∂2B ∂y 2 ~y ∂2B ∂y 2 ~z ∂2B ∂y 2
+ + +
+ + +
~x ∂2E ∂z 2 ~y ∂2E ∂z 2 ~z ∂2E ∂z 2 ~x ∂2B ∂z 2 ~y ∂2B ∂z 2 ~z ∂2B ∂z 2
2
~
2
~
= µ0 ε0 ∂∂tE2 = µ0 ε0 ∂∂tE2 =
e
2~ µ0 ε0 ∂∂tE2
2
~
2
~
= µ0 ε0 ∂∂tB2 = µ0 ε0 ∂∂tB2
.
~ ∂2B
= µ0 ε0 ∂t2
A quantidade µε tem o valor do inverso do quadrado da velocidade de propagação da onda no meio. Ou seja: 1 v=√ . µε No vácuo, a onda se propaga com a velocidade da luz, c: c2 =
1 , µ 0 ε0
então podemos escrever as equações de onda no vácuo como: ~ 1 ∂ 2E ~ =0 − ∇2 E c2 ∂t2
e
~ 1 ∂ 2B ~ =0. − ∇2 B c2 ∂t2
Para simplificar o estudo do sistema de equações acima, restringiremos a um caso particular, cuja solução seja relativamente simples. Isto não invalidará os resultados obtidos pois suas soluções valem para qualquer caso. Vamos supor que é possível estabelecer campos elétricos e magnéticos que satisfaçam as condições: campo elétrico uniforme que tenha apenas uma componente na direção y e campo magnético uniforme apontando na direção x, para uma onda EM que se propaga na direção z. Ou seja, E(y, t) e B(x, t), dependentes do tempo e de apenas uma coordenada espacial. Então, temos os campos: ~ =< 0, Ey , 0 > E
e
~ =< Bx , 0, 0 > . B
Substituindo esses campo nas equações, obtemos: 1 ∂ 2 Ey ∂ 2 Ey = ∂z 2 c2 ∂t2
e
∂ 2 Bx 1 ∂ 2 Bx = . ∂z 2 c2 ∂t2
O par de soluções sugeridas para este problema é: Ey = E0 sin (k0 z − ωt) e Bx = B0 sin (k0 z − ωt). A partir destas soluções, podemos chegar numa conclusão muito interessante e importante: a conclusão a que Maxwell chegou e que espantou toda a comunidade científica da época: qualquer onda EM no vácuo se propaga com a velocidade da luz!!
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Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 4: Onda Plana Uniforme
Faça as contas junto com o professor e verifique a descoberta de Maxwell, que o permitiu unificar a óptica com o eletromagnetismo:
Exercícios: ~ S = −k02 E ~ S , com k0 = ω √µ0 ε0 sendo o número de onda no espaço livre, é 1) A equação ∇2 E conhecida como equação vetorial de Helmholtz e representa a forma harmônica da equação de onda para o campo elétrico no espaço livre. Mostre que ExS = Aei(k0 z+φ) é uma solução desta equação. ~ t) = 200 sin 0, 2z cos 108 tˆi + 500 cos (0, 2z + 50o ) sin 108 tˆj V /m, calcule: 2) Dado o campo E(z, ~ em P (0; 2; 0, 6) com t = 25 ns; a) E ~ em P (0; 2; 0, 6) com t = 25 ns; b) |E| c) ES em P (0; 2; 0, 6). ~ no espaço livre é dado por H(x, ~ 3) Um campo H t) = 10 cos 108 t − kxˆ ay A/m. Determine: a) k; b) λ; c) ν; ~ d) E(x, t) em P (0, 1; 0, 2; 0, 3) em t = 1 ns. ~ S = (40 − i30o )ei20z a 4) Dado E ˆx V /m. Determine: a) k; b) ω; c) ν; d) λ. 5) Uma onda plana uniforme, de 150 M Hz, ~ HS = (4 + i10)(2ˆ ax + iˆ ay )e−ikz A/m. Determine: a) ω; b) λ; c) k; ~ d) H(z, t) para z = 20 cm com t = 1 ns. 50
no espaço livre,
é descrita por
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EXERCÍCIOS AVALIATIVOS 3 1) Na figura abaixo, B = 0, 2 cos 120πt T . Considere que o condutor que une as duas extremidades do resistor é perfeito. Pode-se admitir que o campo magnético produzido por I(t) é desprezível. Determine: a) Vab (t); b) I(t).
~ = (0, 5ˆ 2) Dado o campo B ax +0, 6ˆ ay −0, 3ˆ az ) cos 5000t T e uma espira quadrada filamentar com seus vértices em (2, 3, 0), (2, −3, 0), (−2, 3, 0) e (−2, −3, 0), determine a função que dá a variação da corrente no tempo, I(t), que flui na direção a ˆφ , se a resistência total da espira é 400 kΩ.
3) Considere a região definida por |x| < 1, |y| < 1 e |z| < 1. Seja εr = 5, µr = 4 e σ = 0. Se J~d = 20 cos (1, 5 × 108 t − bx)ˆ ay µA/m2 , determine: ~ e E; ~ a) D ~ e H; ~ b) B ~ ×H ~ = J~d + J; ~ c) ∇ d) b.
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Propagação de ondas em dielétricos Um dielétrico com perdas é um meio no qual ondas EM perdem energia à medida que se propagam, devido à condutividade do meio. Em outras palavras, um dielétrico com perdas é um meio parcialmente condutor, que pode ser um dielétrico imperfeito ou um condutor imperfeito, para o qual σ 6= 0. Considere um dielétrico com perdas, linear, isotrópico, homogêneo e livre de cargas (ρv = 0). A forma diferencial harmônica das equações de Maxwell reduzem-se à: ~ ·E ~S = 0 , ∇ ~ ·H ~S = 0 , ∇ ~ ×E ~ S = −iωµH ~S , ∇ ~ ×H ~ S = (σ + iωε)E ~S . ∇ Podemos obter a equação de onda para a onda EM que se propaga neste meio, aplicando o operador rotacional em ambos os membros da lei de Faraday: ~ ×∇ ~ ×E ~ S = −iωµ∇ ~ ×H ~S , ∇ ~ ×∇ ~ ×A ~ = ∇( ~ ∇ ~ · A) ~ − ∇2 A ~ e com o auxílio da quarta equação utilizando a identidade vetorial ∇ de Maxwell, obtemos: ~ ∇ ~ ·E ~ S ) − ∇2 E ~ S = −iωµ(σ + iωε)E ~S , ∇( que pode ser simplificada, utilizando a primeira equação de Maxwell: ~ S − γ 2E ~S = 0 ∇2 E
com
γ 2 = iωµ(σ + iωε) .
~ S: utilizando um procedimento similar, obtemos a equação de onda para H ~ S − γ 2H ~S = 0 . ∇2 H As duas equações de onda acima são as chamadas equações vetoriais homogêneas de Helmholtz ou equações vetoriais de onda, nas quais γ é dito constante de propagação (por metro) e é uma grandeza complexa, podendo ser escrita como: γ = α + iβ , nas quais as constantes α e β são encontradas a partir da parte real de γ 2 :
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Re(γ 2 ) = (α + iβ)2 = α2 − β 2 = −ω 2 µε . Por outro lado, o módulo de γ 2 é dado por √ |γ 2 | = β 2 + α2 = ωµ σ 2 + ω 2 ε2 . Combinando as duas últimas equações, chegamos aos valores finais de α e β:
α=
v s u u µε u 1+ t
2
σ ωε
2
− 1
e
β=
v s u u µε u ωt 1 +
2
σ ωε
2
+ 1 .
A solução para as equações de onda podem ser encontradas de forma mais simples, se considerarmos uma onda que se propaga na direção +ˆ az , com campo elétrico somente na direção a ˆx . Então: ~ S = ExS (z)ˆ ~v = vz a ˆz e E ax . Substituindo estas na equação de onda, temos: ~ 2 − γ 2 )ExS (z) = (∇
∂ExS (z) ∂ExS (z) ∂ExS (z) + + − γ 2 ExS (z) = 0 , 2 2 2 ∂x ∂y ∂z
como o campo varia apenas na coordenada z, as duas primeiras derivadas são nulas e resta apenas: d2 ExS (z) − γ 2 ExS (z) = 0 , dz 2 que é uma equação diferencial, homogênea e linear, cuja solução possui a forma: ExS = E0 e−γz + E00 eγz , sendo E0 e E00 , constantes a determinar. Para grandes distâncias, z → ∞, o campo deve ser finito, ~ pode ser obtida tomando-sa a parte real da equação portanto: E00 = 0. A forma instantânea de E acima: ~ t) = Re[ExS (z)eiωt a E(z, ˆx ] = Re[E0 e−αz ei(ωt−βz) a ˆx ] , ou, de forma equivalente: ~ t) = E0 e−αz cos (ωt − βz)ˆ E(z, ax . Através do mesmo procedimento, encontramos a expressão para o campo magnético: ~ H(z, t) = Re[Hx S(z)eiωt a ˆy ] = R[H0 e−αz ei(ωt−βz) a ˆy ] , estando H0 relacionado com E0 por meio da impedância intrínseca do meio, η, medida em ohms: 53
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η=
E0 . H0
A impedância intrínseca do meio é uma grandeza complexa dada por: s
η= q
µ ε
|η| = 2 1/4 σ 1 + ωε
iωµ = |η|eiθη , σ + iωε
e
tan (2θη ) =
σ ωε
sendo:
para
0 ≤ θη ≤ 45o .
~ A forma final de H(z, t) é: E0 −αz ~ H(z, t) = e cos (ωt − βz − θη )ˆ ay . |η| ~ t) e H(z, ~ Comparando as expressões finais para E(z, t), observa-se que os campos elétrico e magnético são ortogonais: enquanto um deles oscila perpendicularmente ao eixo x, o outro oscila perpendicularmente ao eixo y, enquanto os dois se propagam na direção z. Além disso, pode-se observar que a amplitude decresce por meio de um fator e−αz . Por esta razão, a constante α é chamada de constante de atenuação (ou fator de atenuação) do meio e, para α > 0, representa uma medida da taxa de decaimento espacial da onda no meio. A unidade de α é o decibéis por metro (dB/m). Uma atenuação de 1 dB/m corresponde a uma redução de e−1 ≈ 37% do valor original. Outra unidade utilizada para α é o nepers por metro (N p/m). A relação de conversão entre as duas unidades é: 1 N p = 20 log10 e = 8, 686 dB . No espaço livre, α = 0, portanto a onda não é atenuada enquanto se propaga, mantendo a sua amplitude. A atenuação da onda no meio dielétrico com perdas é mostrada na figura abaixo:
A constante β é a medida do deslocamento de fase por unidade de comprimento e é chamada de 54
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constante de fase ou número de onda. Pode ser espressa através da velocidade da onda, u, e também através do comprimento de onda, λ: u=
ω β
λ=
ou
2π . β
Pode-se perceber também, através destas expressões finais, que os campos elétrico e magnético estão sempre defasados, para qualquer instante de tempo, por um ângulo θη . Esta diferença de fase se dá devido à impedância intrínseca complexa do meio η. Então, o campo ~ t) está sempre adiantado por um ângulo θη em relação elétrico E(z, ~ ao campo magnético H(z, t). A razão entre as densidades de corrente de condução J~s e de deslocamento J~ds em um meio dielétrico com perdas é dada pela tangente de θ: ~S| |σ E σ |J~s | = = = tan θ , ~S| ωε |J~ds | |iωεE sendo θ = 2θη e, tan θ a tangente de perdas e θ o ângulo de perdas do meio. Embora não haja uma fronteira bem definida entre bons condutores e dielétricos com perdas, a grandeza tan θ, ou o próprio θ, podem ser utilizados para quantificar as perdas de energia em qualquer meio. Um bom dielétrico (sem perdas ou perfeito) se tan θ for muito pequeno, o que significa σ >> ωε. Do ponto de vista da propagação de onda, o comportamento característico de um meio depende dos seus parâmetros constitutivos, σ, ε e µ, além de depender da frequência de operação. Um meio que se comporta como um bom condutor em baixas frequências pode ser um bom dielétrico em altas frequências. Da última equação de Maxwell, após alguns arranjos, obtem-se: ~ S = iωεc E ~s , ~ ×H ~ S = (σ + iωε)E ~ S = iωε 1 − iσ E ∇ ωε
sendo εc a permissividade complexa do meio, dada por: iσ εc = ε 1 − = ε0 − iε00 ωε
de forma que a razão entre ε0 e ε00 seja a tangente de perdas do meio: ε0 σ tan θ = 00 = . ε ωε Para o limite em que por:
ε00 r ε0r
<< 1, os coeficientes α e β da constante de propagação, γ, são dados
ωε00 α≈ r 2
s
µ 0 ε0 ε0r
e
55
q
β ≈ ω µ0 ε0 ε0r .
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Exercícios: 1) Considere uma onda plana de 1 M Hz propagando-se em água doce (µr = 1 e ε0r = ε0 = 81). Perceba que, neste caso, ε00 = 0. Isso significa que as perdas de energia são muito pequenas! Se o ~ =E ~ x = 0, 1 cos (ωt − βz)ˆ campo elétrico é dado por E ax V /m, determine: a) ω; b) β; c) λ; d) |~v |; e) η; ~ x; f) E ~ y. g) H
2) Um sinal de radar de 10 GHz pode ser representado por uma onda plana uniforme, se considerarmos uma região de propagação suficientemente pequena. Calcule o comprimento de onda e a atenuação, em nepers/metro, se esta onda se propaga em material cujas características contitutivas são dadas por: a) ε0r = 1 e ε00r = 0; b) ε0r = 1, 04 e ε00r = 9.10−4 ; c) ε0r = 2, 5 e ε00r = 7, 2
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Vetor de Poynting e potência em ondas EM Para se calcular a potência em uma onda plana uniforme, é necessário desenvolver um teorema para o campo eletromagnético, conhecido como teorema de Poynting, postulado em 1884 pelo físico inglês John H. Poynting. Começamos com o produto escalar entre o campo elétrico e a equação de Ampère:
~ ~ ×H ~ = J~ + ∂ D · E, ~ ∇ ∂t ~ ~ ·∇ ~ ×H ~ =E ~ · J~ + E ~ · ∂D . E ∂t ~ · (E ~ × H) ~ = −E ~ ·∇ ~ ×H ~ +H ~ ·∇ ~ × E, ~ obtemos: Utilizando a identidade vetorial ∇ ~ ~ ·∇ ~ ×E ~ −∇ ~ · (E ~ × H) ~ = J~ · E ~ +E ~ · ∂D , H ∂t ~ ×E ~ = − ∂ B~ , temos: e, utilizando a lei de Faraday: ∇ ∂t ~ · −H
~ ~ ∂B ~ · (E ~ × H) ~ = J~ · E ~ +E ~ · ∂D −∇ ∂t ∂t
~ · (E ~ × H) ~ = J~ · E ~ + εE ~· −∇ 2 ~ ~ · ∂ E = ε ∂E = ∂ εE ∂t 2 ∂t ∂t
εE 2 2
!
e
ou:
~ ~ ∂E ~ · ∂H + µH mas: ∂t ∂t ! 2 ~ ∂ H ∂ µH ~ · µH = ∂t ∂t 2
~ E ~ × H) ~ = J~ · E ~+ ∂ −∇( ∂t
εE 2 µH 2 + 2 2
, assim:
!
.
Finalmente, integramos através do volume: −
Z
∂ Z ~ ~ ~ ~ ~ ∇(E × H)dv = (J · E)dv + ∂t vol vol Z
vol
εE 2 µH 2 + 2 2
!
,
aplicando o teorema da divergência: −
I S
∂ Z ~ ~ ~ ~ ~ (E × H) · dS = (J · E)dv + ∂t vol vol Z
εE 2 µH 2 + 2 2
!
,
na qual: Z
~ (J~ · E)dv
⇒
Potência ôhmica total instantânea, dissipada no volume
e
vol
Z vol
εE 2 µH 2 + 2 2
!
⇒
Energia total, armazenada pelos campos elétrico e magnético. 57
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A potência dissipada é positiva se ela estiver sendo entregue para a fonte e negativa se estiver sendo entregue pela fonte. A derivada em relação ao tempo no termo de energia significa a taxa de acréscimo da energia dentro do volume. A soma destes dois termos é a potência total que flui para dentro do volume. A potência total que flui para fora do mesmo volume é: I
~ × H) ~ · dS ~ (E
S
~ ×H ~ é dito Vetor de cuja integração é feita sobre a superfície que envolve o volume. O produto E ~ Poynting, P: ~ =E ~ ×H ~ , P interpretado como a densidade de potência instantânea, medida em watt por metro quadrado (W/m2 ). ~ indica a direção do fluxo de potência instantânea em um ponto. Se considerarmos A direção de P ~ = Ex0 cos (ωt − βz) e H ~ = Ex0 cos (ωt − βz), temos: uma onda EM na qual E η ~ z = Ex0 cos2 (ωt − βz) . P η ~ z ao longo de um ciclo completo, dividida a potência média instantânea é dada pela integração de P pleo período: 2 ~ z,med = 1 Ex0 W/m2 e P 2 η a potência média instantânea que flui através de uma superfície S normal ao eixo z é: 2 ~ z,med = 1 Ex0 S W . P 2 η
No caso de dielétricos com perdas, temos: 2 ~ z,med = 1 Ex0 e−2αz cos (θη ) W/m2 P 2 η
~ z,med = eP
2 1 Ex0 S e−2αz cos (θη ) W . 2 η
~ e H, ~ temos: Utilizando as formas fasoriais de E ~ z,med = 1 Re(E ~S × H ~ S∗ ) W/m2 P 2 ~ S = Ex0 e−iβz a E ˆx
e
Exercício: Calcule: ~ r, t) se ES = 400e−i2x a a) P(~ ˆy V /m no espaço livre. ~ em t = 0 para ~r = (0, 5, 10). b) P
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sendo:
~ ∗ = Ex0 eiθ eiβz a H ˆy . S |η|
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Propagação de ondas em bons condutores σ Um bom condutor é um material de alta perda e e definido pela quantidade ωε > 100. São ~ materiais de alta condutividade, onde a corrente de deslocamento, Jd , passa a ser desprezivel se ~ Assim, a constante de propagação em materiais condutores comparada a corrente de condução, J. pode ser aproximada por:
γ ≈ iω como
σ ωε
q
µε0
r
1−i
σ , ωε
> 100, podemos simplificar para: γ ≈ iω
q
µε0
r
−i
q σ = iω −iωµσ , ωε
√ com α = β = πνµσ. As constantes de atenuação e de fase são iguais e muito grandes. A onda é atenuada rapidamente, de modo que a propagação em materiais condutores somente pode existir em curtíssimas distâncias, especialmente em altas freqüências. Como as ondas em altas frequências penetram muito pouco em condutores, é bastante comum utilizar a aproximação de condutor perfeito para materiais condutores. Assim, podemos escrever: ~ = Ex0 e−z E
√
πµνσ
√ cos (ωt − z πνµσ)ˆ ax ,
para uma onda que se propaga na direção z, cujo campo elétrico vibra na direção x. Se a corrente de deslocamento pode ser desconsiderada, a corrente de condução pode ser escrita como: ~ = σEx0 e−z J~ = σ E
√
πµνσ
√ cos (ωt − z πνµσ)ˆ ax .
Se observarmos esta última equação, percebemos um decréscimo exponencial na densidade de corrente de condução e na intensidade de campo elétrico e função do comprimento característico de penetração da onda no meio. para z = 0, o fator exponencial é unitário, decresenco para e−1 ≈ 0, 368 1 quando z = √πνµσ . Esta distância é dita profundidade depenetração (ou profundidade peculiar): 1 1 1 δ=√ = = . πνµσ α β Para se ter uma idéia da magnitude da profundidade de penetração da onda, podemos considerar o cobre como exemplo: 0, 066 δCu = √ , ν para uma onda com frequência 60 Hz: δCu = 8, 53 mm. Ou seja: para cada distância de 8, 53 mm de
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propagação dentro do condutor de cobre, a densidade de potência da onda atenua (0, 368)2 ≈ 0, 135. Para uma onda de 10000 M Hz, faixa de microondas, δCu ≈ 6, 61.10−4 mm. Esta pequena profundidade do efeito peculiar em frequências da ordem de microondas mostra que somente a superfície do condutor é importante. Um bulk de cobre de dimensões na ordem de centímetros, torna-se um despedício, quando a onda que interage com ele é da ordem de microondas, pois ela se estinguirá na sua superfície. Este pedaço de cobre não é um bom condutor para ondas na ordem de microondas. Por outro lado, um pedaço coberto com uma película de cobre de 0, 000100 de espessura é um excelente condutor nestas frequências. O comprimento de onda dentro do material é dado por: α=β=
1 √ = πνµσ , δ
então:
2π e λ = 2πδ . λ A velocidade de propagação da onda dentro do material é dada por: β=
vp =
ω = ωδ . β
A expressão para a impedância intrínseca de um bom condutor é dada por: s
η=
0
iωµ , σ + iωε
como σ >> ωε0 , temos: s
η=
iωµ , σ
que pode ser escrita como: 1 1 +i . σδ σδ Assim, o campo magnético associado pode ser escrito como: η=
z z π ~ = σδE √ x0 e− δ cos ωt − − H a ˆy , δ 4 2
e a potência média: 2z 1 2 σδEx0 e− δ . 4 Se aplicarmos este desenvolvimento a um fio condutor de secção reta circular de raio a e comprimento L, desde que a >> δ, temos uma resistência dada por:
Pz,med =
R=
L . σSδ
Para um fio de cobre (σ = 5, 8.107 ) com L = 1 km e a = 1 mm, sendo atingida por uma onda
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incidente de 1 M Hz, temos que δ = 0, 0066 mm e a >> δ, então: R=
1000 = 41, 5 Ω . (2π0, 001)(5, 8.107 )(0, 066.10−3 )
Exercício: As dimensões de uma certa linha de transmissão coaxial são a = 0, 8 mm e b = 4 mm. O condutor externo tem uma espessura de 0, 6 mm e σ = 1, 6.107 S/m. Determine: a) A resistência por unidade de comprimento, na frequência de operação de 2, 4 GHz. b) A condutância e a indutância por unidade de comprimento.
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Polarização de ondas Até agora, descrevemos o modelo de ondas planas considerando que os campos elétrico e magnético estão fixos em direções ortogonais entre si. Este modelo é capaz de descrever quase que a totalidade dos fenômenos eletromagnéticos associados à tecnologia de da informação, que utilizamos no nosso dia-à-dia. Porém, quando tratamos de problemas que envolvem a propagação de ondas em meios dielétricos, os campo elétrico e magnético podem não ser ortogonais entre si. Uma maneira de representar esta situação é escrever estes campos com duas componentes no plano ortogonal à direção de propagação. Considere uma onda plana se propagando em um meio dielétrico com perdas, de forma que ~ S = (Ex0 a ~ S = (Hx0 a ~v = vz a ˆz , E ˆx + Ey0 a ˆy )e−αz e−iβz e H ˆx + Hy0 a ˆy )e−αz e−iβz . Assim, os campos elétrico e magnético continuam sendo ortogonais entre si, formando um plano ortogonal à direção de propagação z, porém orientados fora dos eixos x e y da base ortonormal cartesiana. ~ ×H ~ e está na direção positiva de z, se A direção do fluxo de potência é dado pelo produto E ˆx . Hx0 a ˆx = − Eηx0 a A densidade de fluxo de potência é dada por: Pz,med = (
Pz,med
1 ~S × H ~ ∗} , Re{E S 2
)
1 1 = Re ∗ {|Ex0 |2 + |Hx0 |2 }e−2αz a ˆz W/m2 , 2 η
A polarização da onda é definida como a orientação do seu campo vetorial elétrico dentro do material, em função do tempo e em relação a uma posição fixa no espaço. A idéia que estudamos anteriormente, com os campos elétrico e magnético se propagando em uma única direção, corresponde ao conceito de onda linearmente polarizada: o campo elétrico polarizado na direção x e o campo magnético polarizado na direção y, por exemplo. O caso que estudamos agora, corresponde a uma onda plana não-polarizada, ou seja: a direção dos campos são fixadas em uma direção qualquer do plano xy. Porém, como os campos são vetoriais, é plenamente possível decompor as suas direções de acordo com uma base ortonormal cartesiana. Por isso o modelo de onda plana linearmente polarizada é capaz de descrever a maior parte dos fenômenos eletromagnéticos que conhecemos. Se considerarmos um efeito de diferença de fase φ < π/2 entre as componentes Ex0 e Ey0 do campo elétrico, o campo total, na sua forma fasorial, pode seer escrito como: ~ S = (Ex0 a E ˆx + Ey0 eiφ a ˆy )e−iβz
e na forma instantânea como:
~ t) = Ex0 cos (ωt − βz)ˆ E(z, ax + Ey0 cos (ωt − βz + φ)ˆ ay . Neste caso, a variação temporal das componentes dos vetores campo elétrico e campo magnético descrevem uma elipse no plano xy e dizemos que a onda está polarizada elipticamente. Este é, de fato, o estado mais geral da polarização de uma onda. A polarização linear é um caso de polarização
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Eletromagnetismo II - Notas de Aula Capítulo 4: Onda Plana Uniforme
elíptica na qual a diferença de fase φ é nula. Outro caso especial de polarização é quando existe uma diferença de fase φ = ±π/2, quando variação temporal das componentes dos campos descrevem uma circunferência no plano xy. Se φ = π/2, o campo rotaciona circularmente no sentido horário. Dizemos, então, que está onda é polarizada circularmente à esquerda; se φ = −π/2, o campo rotaciona circularmente no sentido anti-horário. Dizemos, então, que está onda é polarizada circularmente à direita. Quando a onda se propaga no sentido positivo de z, podemos escrever o campo elétrico como: ~ S = E0 (ˆ E ax ± iˆ ay )e−iβz , na qual o sinal positivo está associado à polarização circular à esquerda e o sinal negativo, à polarização circular à direita. Quando a onda se propaga no sentido negativo de z, podemos escrever o campo elétrico como: ~ S = E0 (ˆ E ax ± iˆ ay )eiβz , na qual o sinal positivo está associado à polarização circular à direita e o sinal negativo, à polarização circular à esquerda. Esta mesma convenção é utilizada para classificar a polarização elíptica. Uma das aplicações mais óbvias da utilização de ondas circularmente polarizadas está na emissão/recepção de sinais de rádio, televisão e telecomunicações em geral, devido ao fato que, a recepção de uma onda como esta se torna mais fácil pois não depende da direção da antena. Uma antena de dipolo necessita que o seu dipolo esteja orientado na direção do campo elétrico do sinal que está sendo recebido. Se a onda recebida for circularmente polarizada, esta condição se torna dispensável. EXERCÍCIOS AVALIATIVOS 4 1) A maioria dos aparelhos de microondas operam na frequência de 2, 45 GHz. Suponha que uma onda como esta passa a se propagar no aço inoxidável, cujo σ = 1, 2.106 S/m e µr = 500. Calcule a profundidade de penatração da onda. 2) Considere uma onda polarizada circularmente à esquerda no espaço livre, que se propaga progressivamente na direção z. ~ S e determine uma expressão para H ~ S. a) Utilize a expressão para E b) Determine uma expressão para a densidade de potência média da onda, Pz,med em W/m2 . ~ S = 15e−iβz a 3) Dada uma onda em que E ˆx + 18e−iβz eiφ a ˆy V /m, calcule: ~ a) H. b) Pz,med .
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Capítulo 5 Fundamentos de Antenas e Guias de Ondas Um guia de onda (GO), em geral, é uma estrutura metálica cilíndrica oca, com secção transversal geralmente constante (guia uniforme) e com um dielétrico interno homogêneo (normalmente ar ou gás inerte). Os tipos de GO’s são classificados de acordo com o formato da sua secção transversal: • guia cilíndrico retangular (GOCR); • guia cilíndrico circular (GOCC); • guia elíptico (GOE); • guia com ressalto (GOR - ou “ridged”, possui saliências). Os GO’s são os elementos preferidos para a transmissão e processamento de ondas eletromagnéticas de alta frequência ou de potência elevada (como as microondas, por exemplo). Estes dispositivos oferecem menor perda de energia por unidade de comprimento, tanto para condutores quanto para dielétricos. A perda por radiação também é menor. As GO’s mais utilizadas são as GOCR e as GOCC. Os GO’s podem ser utilizados em microondas, por exemplo, para a transmissão de energia, ou na fabricação de junções com múltiplas portas, ou ainda na fabricação de uma infinidade de dispositivos práticos como acopladores, defasadores, atenuadores, isoladores, circuladores, filtros, chaves, etc. A análise de um GO é feita à partir das Equações de Maxwell, escritas no sistema de coordenadas adequado para a simetria do GO em estudo, com condições de contorno (CC) que indexam o comportamento da onda eletromagnética nas paredes do GO. No caso ideal, em que considera-se que as paredes são condutores perfeitos, a componente tangencial do vetor campo elétrico da onda se anula (condições de contorno para o campo elétrico em condutores, visto em Eletromagnetismo I). Cada configuração espacial de campo satisfaz CC específicas, que caracterizam o modo de propagação possível da onda no GO considerado. Uma análise de todos os modos possíveis nos GO’s metálicos usuais revela que existem apenas duas famílias fundamentais:
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• Modos TE (ou tipo H): ocorrem quando a única componente longitudinal é a do campo magnético, estando todo o campo elétrico no plano transversal à propagação. Supondo que a onda ~ z 6= 0 e E ~ z = 0; se propaga na direção z, tem-se: H ~z = ~ z = 0. • Modos TM (ou tipo E): neste caso, tem-se: E 6 0eH Se, em alguma situação particular, os modos TE e TM, isoladamente não satisfizerem as CC do GO, uma combinação linear dos dois modos dará a solução geral e completa do problema. Esses ~ z 6= 0 e E ~ z 6= 0, são chamados modos híbridos e costumam ser denotados modos combinados, com H ~z = 0 e E ~ z = 0 de propagação não ocorre nos GO’s metálicos por EH ou HE. O modo TEM, com H usualmente utilizados. Os modos híbridos são muito comuns na propagação via fibras ópticas. A propagação dentro de um GO se faz, principalmente, via reflexões múltiplas nas paredes metálicas (tubos metálicos) ou nas superfícies de separação dos diferentes dielétricos no interior do GO (fibras ópticas). Quando um sinal é transmitido através de vários módulos simultaneamente e com a mesma frequência (sinal monocromático ou monofrequencial), a diferença nas velocidades de propagação de cada modo produz uma distorção, chamada de dispersão intermodal ou monocromática, no sinal de saída do GO. Quando o sinal tem várias frequências (sinal policromático ou multifrequencial), a distorção ocorrida é dita dispersão cromática ou policromática. A presença ou ausência de um modo particular em um GO depende, entre outros fatores, dos dispositivos acoplados, que impoem CC particulares às extremidades do GO (fonte e carga), além de depender da frequência da operação utilizada.
Equações de onda ~ r, t) e seu campo magnético instantâAs equações de onda para o campo elétrico instantâneo, E(~ ~ r, t), são obtidas à partir das equações de Maxwell variantes no tempo. As equações neo associado, H(~ de onda para um meio sem perdas, σd = 0 (corrente de deslocamento nula), são escritas abaixo: ~ − µε ∇2 E
~ ∂ 2E =0 ∂t2
e
~ − µε ∇2 H
~ ∂ 2H =0, ∂t2
que são resolvidas analiticamente de acordo com as CC particulares de cada GO.
GO retangulares A geometria de um GO retangular é mostrada na figura abaixo. Para resolver as equações de onda ~ eH ~ são proporcionais a para o problema geral, admite-se as hipóteses de que as componentes de E eiωt−βz , com β = α + iγ e J~ = σ = 0. Então temos: 1 Hx = − 2 βc
"
∂Hz ∂Ez β − iωε ∂x ∂y
#
e
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1 Hy = − 2 βc
"
∂Hz ∂Ez β + iωε ∂y ∂x
#
;
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1 Ex = − 2 βc
"
∂Ez ∂Hz β + iωµ ∂x ∂y
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#
1 EΦ = − 2 βc
e
"
∂Ez ∂Hz β − iωµ ∂y ∂x
#
,
nas quais βc é o número de onda de corte: γ = 0. As componentes Ez e Hz podem ser calculadas à aprtir das CC nas paredes do GO: ∂ 2 Ez ∂ 2 Ez + + γ 2 EZ = −ω 2 µεEz ∂x2 ∂y 2
∂ 2 Hz ∂ 2 Hz + + γ 2 HZ = −ω 2 µεHz , ∂x2 ∂y 2
e
sendo que uma delas deve ser nula: Ez = 0, Hz 6= 0 para TE ou Ez 6= 0, Hz = 0 para TM. Os modos TM são dados pela condição Hz = 0, o que suplanta a solução geral da equação para Ez : Ez = [c1 sin (Ax) + c2 cos (Ax)][c3 sin (By) + c4 cos (By)] e−βz , com CC: Etangencial = 0, portanto: Ez = 0 para x = 0, a e y = 0, b. Tem-se então: mπ nπ Ez = C sin x sin y e−βz a b
com m, n ∈ Z + , C = c1 c3 e as constantes A, B, c1,2,3,4 são escolhidas de acordo com a CC para cada problema particular. Os modos TE são dados pela condição Ez = 0, o que suplanta a solução geral da equação para Hz : Hz = [c1 sin (Ax) + c2 cos (Ax)][c3 sin (By) + c4 cos (By)] e−βz , com CC: Etangencial = 0, portanto: Ex = Ex = Ez 0 para x = 0, a e y = 0, b. Tem-se então:
Hz = C cos
mπ nπ x cos y e−βz a b
com m, n ∈ Z + , C = c1 c3 e as constantes A, B, c1,2,3,4 são escolhidas de acordo com a CC para cada problema particular. Cada par de valores m, n define um modo. O número de modos depende do formato do GO, da frequência da onda que se propaga dentro dele e das suas dimensões elétricas e espaciais. Portanto, 66
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cada onda eletromagnética que se propaga num GO específico, vários modos TM e TE podem coexistir e são classificados pelos índices m, n: TMmn e TEmn . A figura abaixo mostra um mapeamento das linhas de campo para os modos mais relevantes.
GO circulares A geometria de um GO circular é mostrada na figura abaixo. Para resolver as equações de onda ~ eH ~ são proporcionais a para o problema geral, admite-se as hipóteses de que as componentes de E eiωt−βz , com β = α + iγ e J~ = σ = 0. Utilizando coordenadas cilíndricas, temos:
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1 Hr = − 2 βc
"
1 Er = − 2 βc
"
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∂Hz iωε ∂Ez β − ∂r r ∂Φ
#
∂Ez iωµ ∂Hz β + ∂r r ∂Φ
#
"
e
1 HΦ = − 2 βc
β ∂Hz ∂Ez + iωε r ∂Φ ∂r
#
"
e
1 EΦ = − 2 βc
β ∂Ez ∂Hz − iωµ r ∂Φ ∂r
#
;
,
nas quais βc é o número de onda de corte: γ = 0. As componentes Ez e Hz podem ser calculadas à aprtir das CC nas paredes do GO: ∂ 2 Ez ∂ 2 Ez + + γ 2 EZ = −ω 2 µεEz ∂x2 ∂y 2
e
∂ 2 Hz ∂ 2 Hz + + γ 2 HZ = −ω 2 µεHz , ∂x2 ∂y 2
sendo que uma delas deve ser nula: Ez = 0, Hz 6= 0 para TE ou Ez 6= 0, Hz = 0 para TM. Estas equações não têm solução analítica. Para resolvê-las, utilizam-se as funções de Bessel, que constituem um método numérico de solução por expansão serial. Os modos TE e TM para estes guias dependerão da ordem dos polinômios de Bessel, utilizados na aproximação. Em resumo: a solução das equações de onda para uma guia circular vai depender muito fortemente das condições iniciais, associadas à escolha correta do método de aproximação, que dependerá dos objetivos préestabelecidos para o guia. A figura abaixo mostra as linhas de campo para os primeiros modos TE e TM de um guia circular. Nos guias circulares as perdas de energia são menores em comparação com as perdas de energia nos guias retangulares. Porém, a polarização da onda num guia circular pode girar involuntariamente, podendo ocasionar uma leitura enganosa ou ruidosa da informação tansmitida. Nos guias retangulares, o polarização é fixa numa única direção, mantendo a integridade da informação transmitida.
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Exercício: Determine quantos e quais são os modos que se propagam em um GOCR de dimensões a = 3 cm e b = 1, 5 cm ao receber uma onda eletomagnética de ν = 24 GHz.
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Noções básicas sobre antenas As antenas são dispositivos destinados a transmitir ou receber ondas de rádio. Quando ligadas a um transmissor (de rádio, TV, radar, etc.) convertem os sinais elétricos em ondas eletromagnéticas. Quando ligadas a um receptor, captam essas ondas e as convertem em sinais elétricos que são amplificados e decodificados pelo aparelho receptor (de rádio, televisão, radar, etc). O transmissor produz o sinal na forma de corrente alternada, ou seja, com rápida oscilação, indo e vindo ao longo de seu condutor. A freqüência da oscilação pode ir desde milhares de vezes por segundo até milhões de vezes por segundo, e é medida em quilohertz ou megahertz. Ao oscilar na antena de transmissão, a corrente produz uma onda eletromagnética em sua volta, que se irradia pelo ar. Quando atinge uma antena receptora, a onda eletromagnética induz nela uma pequena corrente elétrica que se alterna para a frente e para trás ao longo da antena, acompanhando as oscilações da onda. Essa corrente é muito mais fraca do que a presente na antena transmissora, mas pode ser amplificada pelo aparelho receptor. A atmosfera encontra-se repleta de ondas eletromagnéticas de várias freqüências, e todas elas atingem as antenas receptoras. Contudo, cada aparelho receptor possui meios próprios para selecionar uma faixa estreita de freqüência, podendo sintonizar um sinal em particular. Ao ser sintonizado numa certa faixa de freqüência, o receptor só responde aos sinais dessa faixa determinada, excluindo as demais.
Cada freqüência está associada a um comprimento de onda. Quanto mais alta a freqüência, menor é o comprimento de onda (o produto das duas é sempre igual a velocidade da luz). A eficiência de uma antena depende da relação correta ente seu comprimento físico e o comprimento de onda do sinal que transmite ou recebe. O ideal é que as antenas tenham exatamente a metade, ou um quarto, do comprimento de onda que recebem ou transmitem. Os princípios que regem o funcionamento 70
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das antenas receptoras ou transmissoras são idênticos. As antenas de transmissão podem estar em posição horizontal ou vertical, mas requerem que as antenas receptoras de suas emissões observem o mesmo posicionamento. As montadas verticalmente causam pouco efeito nas receptoras horizontais (e vice-versa).
Os sinais radiofônicos de ondas médias e longas seguem a curvatura da Terra, chegando a se propagar por centenas e até milhares de quilômetros com relativamente pouca perda de potência. Por outro lado, os comprimentos de onda menores, como as de freqüência VHF ou UHF, usados para transmissão de alta fidelidade, estereofonia ou televisão, propagam-se de maneira similar a um feixe luminoso, limitando seu alcance até a linha do horizonte. Qualquer que seja a tecnologia da antena, ela adotará alguns conceitos básicos, válidos para seu projeto e instalação. Estes conceitos são bastante teóricos, mas a aplicação é imediata e fundamental, como se verá nos próximos capítulos. Cita-se acima de tudo, o princípio da reciprocidade: uma antena funciona exatamente da mesma maneira como receptora ou como transmissora. Assim, as sofisticadas teorias desenvolvidas para a transmissão poderão nos ajudar a entender, projetar e instalar uma antena receptora. Como já vimos em aulas anteriores, a antena receptora deve ter a mesma polarização da onda eletromagnética. As transmissões ondas médias AM têm polarização vertical. Televisão VHF e UHF é polarização horizontal. Mas para transmissões até 30 MHz a polarização não é importante, pois este tipo de onda é refletido na ionosfera, onde sofre refração e tem sua polarização completamente atrapalhada. Transmissões via satélite para antenas parabólicas usam alternância de polarização para separação de canais contíguos. A antena de dipolo Campos eletromagnéticos irradiam a partir de distribuições de corrente. Considere um filamento de corrente (de seção transversa infinitamente pequena) como uma fonte, posicionada dentro de um meio infinito sem perda. O filamento é tomado como um comprimento diferencial. Ou seja: o 71
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comprimento do filamento é muito pequeno quando comparado com o comprimento de onda. Em geral, basta que o comprimento do filamento seja menor que um quarto do comprimento de onda. Considere o elemento diferencial da figura abaixo, orientado ao longo do eixo z. O sentido positivo da corrente é tomado na direção a ˆz .
Se admitirmos uma corrente uniforme I0 cos (ωt), desconsiderando os efeitos de borda, o potencial vetor magnético de retardo é dado por: ~= A
Z
~ µIdL . 4πR
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Quando uma única frequência é utilizada para excitar a antena, com v sendo a velocidade de fase nesta frequência, temos: ~ = µId a A ˆz com: 4πR I = I0 cos (ωt), com o potencial sofrendo um retardo dado R/v, então:
I = I0 cos ω t −
R v
IS = I0 e−iωR/v .
ou, na forma fasorial:
Então:
µI0 d −iωR/v e , 4πR a qual escrita em coordenadas esféricas, (ρ, φ, θ): Azs =
Ars =
µI0 d cos (θ) e−iωr/v 4πr
e
Aθs = −
µI0 d sin (θ) e−iωr/v . 4πr
Assim, o campo magnético em qualquer ponto P é dado por: ~ S = µH ~S = ∇ ~ ×A ~S . B Fazendo o rotacional indicado, encontramos: HφS =
1 ∂ 1 ∂ArS (rAθS ) − µr ∂r µr ∂θ
e
HrS = HθS = 0 ,
I0 d 1 2π = sin (θ)e−i2πr/λ i + 2 4π λr r
HφS
.
~ ×H ~ S = iωE ~S: O campo elétrico pode ser encontrado através da expressão ∇ ErS
EθS
ηI0 d λ 1 cos (θ)e−i2πr/λ + = 2π i2πr3 r2
!
λ 1 2π ηI0 d sin (θ)e−i2πr/λ + 2 +i = 3 2π i2πr r λr
e: !
,
q √ com ω = 2πν, νλ = v, v µε = 1 e η = µ/ε. Se observarmos as expressões acima, percebemos que os campos magnético e elétrico vão a infinito nos pontos muitos próximos do elemento de corrente.
Exercício: Uma antena dipolo no espaço livre tem uma distribuição de corrente linear. Se o comprimento d é 0, 02λ, que valor de I0 é necessário para: a) fornecer um campo irradiado de amplitude 100 mV /m na distância de 1 mi em θ = 90o ? b) irradiar uma potência total de 1 W ? 73
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Exercícios: ~ = 300ˆ 1) Dado o campo H az cos (3.108 t − y) A/m no espaço livre, determine a f em desenvolvida na direção a ˆφ em torno do caminho fechado cujos vértices ocupam as posições (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0) e (0, 1, 0). 2) Uma espira quadrada filamentar tem 25 cm de lado e resistência de 125 Ω/m e está situada no plano z = 0, com vétices em (0, 0, 0), (0.25, 0, 0), (0.25, 0.25, 0) e (0, 0.25, 0), no instante ~ = t = 0. A espira se move com velocidade ~v = 50ˆ ay m/s, imersa num campo magnético B 8 cos (1, 5.108 t − 0, 5x)ˆ az µT . Encontre uma função do tempo que expresse a potência ôhmica que é entregue à espira. 3) Numa região onde µr = εr = 1 e σ = 0, os potenciais são dados por V = x(z − ct) V e √ ~ =x z −t a ˆz W b/m, com c µ0 ε0 = 1. A c ~ × ~a = −µε ∂V . a) Mostre que ∇ ∂t ~ ~ ~ ~ b) Determine B, H, E e D. c) Mostre que estes resultados satisfazem as equações de Maxwell para J~ = ρv = 0. ~ t) = 1800 cos (107 πt − βz)ˆ ~ 4) Dados os campos E(z, ax V /m e H(z, t) = 3, 8 cos (107 πt − βz)ˆ ay A/m, que representam uma onda plana uniforme se propagando aom uma velocidade ~v = 1, 4.108 a ˆz m/s, em um dielétrico perfeito. Determine β, λ, η, µr e εr . 5) Um condutor tubular oco é constituído de um tipo de latão que possui condutvidade σ = 1, 2.107 S/m. Os raios interno e externo são 9 mm e 10 mm. Calcule a resistência por metro de comprimento para ondas de frequências: a) ν = 20 M Hz e b) ν = 2 GHz. ~ S = [10e−iβx a 6) Uma onda plana uniforme no espaço livre possui um campo elétrico dado por E ˆz + 15e−iβx a ˆy ] V /m. a) Descreva a polarização da onda. ~ S. b) Calcule H c) Determine a densidade de potência média da onda em W/m2 .
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