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APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I
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DIVERGÊNCIA DO FLUXO ELÉTRICO E TEOREMA DA DIVERGÊNCIA
3
3.1 - A LEI DE GAUSS APLICADA A UM ELEMENTO DIFERENCIAL DE VOLUME
Vimos que a Lei de Gauss permite estudar o comportamento do campo elétrico devido a certas distribuições especiais de carga. Entretanto, para ser utilizada, a Lei de Gauss exige que a simetria do problema seja conhecida, de forma a resultar que a componente normal do vetor densidade de fluxo elétrico em qualquer ponto da superfície gaussiana seja ou constante ou nula. Neste capítulo pretendemos considerar a aplicação da Lei de Gauss a problemas que não possuem nenhum tipo de simetria. Suponhamos um volume incremental ∆v extremamente pequeno, porém finito. Se assumirmos uma densidade de carga uniforme neste incremento de volume, a carga ∆Q será o produto da densidade de carga ρ pelo volume ∆v. Pela Lei de Gauss, podemos escrever:
∫
r r D.dS = ∆Q= ρ∆V
(3.1)
Dz + (∂Dz/∂z)∆z
z
Dx
∆z
P Dy
Dy + (∂Dy/∂y)∆y
∆x ∆y y
Dx + (∂Dx/∂x)∆x
x
Dz
Fig. 3.1 - Volume incremental em torno do ponto P. Vamos agora desenvolver a integral de superfície da equação acima, sobre uma superfície gaussiana elementar que engloba o volume ∆v. Este volume está representado na figura 3.1, e é formado pelas superfícies incrementais ∆x.∆y, ∆y.∆z, e ∆z.∆x. Considere um ponto P(x,y,z) envolvido pela superfície gaussiana formada pelas superfícies incrementais r . A expressão para D no ponto P‚ em coordenadas cartesianas é: r D = D x 0 .a$ x + D y 0 .a$ y + D z0 . a$ z
(3.2)
A integral sobre a superfície fechada é dividida em seis integrais, uma sobre cada lado do volume ∆v.
r r
∫ D.dS= ∫
frente
+
∫
atrás
+
∫
esq.
∫
+
dir.
+
∫
topo
∫
+
base
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(3.3)
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Para a primeira delas:
∫
frente
r r r ) ≅ D frente.∆S frente = Dfrente .∆y.∆z.a x = Dx (frente) .∆y.∆ z
(3.4)
r (Dx é a componente de D normal ao plano yz). Aproximando o resultado Dx(frente).∆y.∆z pelos dois primeiros termos da expansão em série de Taylor: 1 ∂ (4.5) D x( frente) ∆y∆ z = Dx 0 ∆y∆z + . (Dx ∆y∆z )∆x 2 ∂x Portanto: ∆x ∂D x = D x0 + . . ∆y. ∆z 2 ∂x
∫
frente
Consideremos agora a integral
∫
atrás
∫
:
∫
r r ∆ x ∂D = D x( atrás ) .∆S≅ − Dx 0 + . x ∆y∆z 2 ∂x
atrás
(3.6)
r v r ) 1 ∂ = D x ( atrás ) .∆ S = D x ( atrás ) ∆ y∆ z ( − a x ) = − D x 0 ∆ y ∆ z + . (D x ∆y ∆ z )∆ x 2 ∂x
atrás
(3.8)
(porque o vetor unitário âx em ∆s tem agora direção negativa). Combinando as duas integrais:
∫
∫
+
frente
≅
atrás
∂D x . ∆x. ∆y. ∆z ∂x
(3.9)
Utilizando o mesmo raciocínio para as outras integrais:
∫
dir .
∫
topo
+
∫
+
∫
esq.
base
≅
≅
∂Dy . ∆x. ∆ y. ∆z ∂y ∂D z ∂z
. ∆x. ∆y. ∆z
(3.10)
(3.11)
Assim:
∫
r r ∂D ∂Dy ∂Dz D. dS ≅ x + + . ∆v ∂x ∂y ∂z
(3.12)
A expressão acima diz que o fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada muito pequena é igual ao produto entre o volume compreendido por essa superfície e a soma das derivadas parciais das r componentes do vetor D em relação às suas próprias direções. Igualando-se as equações 3.1 e 3.12, e em seguida dividindo todos os termos por ∆v, tem-se:
r r
∫ D.dS = ∂D ∆V
∂ Dy ∂D z ∆Q + + = =ρ ∂x ∂y ∂z ∆V x
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(3.13)
APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I Passando ao limite, com ∆v tendendo a zero: r r D. dS lim
∆v → 0
∫
∆v
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(3.14)
∂D y ∂D x ∂D z = + + =ρ ∂x ∂y ∂z
3.2 - DIVERGÊNCIA A operação indicada pelo primeiro membro da equação 3.14 não é pertinente apenas ao fenômeno ora em estudo. Surge tantas vezes no estudo de outras grandezas físicas descritas por campos vetoriais, que cientistas e matemáticos do século passado resolveram batizá-la com um nome especial: Divergência. Matematicamente:
r divA =
Conceito
∫
lim ∆v → 0
r r A. dS
(3.15)
∆v
r
A divergência do vetor densidade de fluxo A (que representa um fenômeno físico qualquer) é a variação do fluxo através da superfície fechada de um pequeno volume que tende a zero
A divergência é uma operação matemática sobre um vetor, definida como sendo a soma das derivadas parciais das componentes do vetor, cada uma em relação à sua própria direção. Apesar de ser uma operação sobre um vetor, o resultado é um escalar. A partir da definição da divergência e da equação 3.14, podemos definir a 1ª equação de Maxwell:
r div. D = ρ
(3.16)
A equação 3.16 estabelece que o fluxo elétrico por unidade de volume deixando um volume infinitesimal é igual à densidade volumétrica de carga neste ponto. Esta equação também é conhecida como a forma diferencial da Lei de Gauss, por que é expressa como sendo a soma de derivadas parciais. 3.3 - O OPERADOR ∇ (nabla) E O TEOREMA DA DIVERGÊNCIA O operador ∇ é definido como sendo o operador vetorial diferencial:
∇ =
∂ ∂ ∂ . a$ x + . a$ y + . a$ z ∂x ∂y ∂z
r Realizando o produto escalar ∇. D , tem-se: r ∂ ∂ ∂ ∇. D = . a$ x + . a$ y + . a$ z . D x. a$ x + Dy. a$ y + Dz . a$ z ∂x ∂y ∂z
(
(3.17)
)
(3.18)
Lembrando que o produto escalar entre vetores unitários ortogonais é nulo, o resultado será:
r ∂Dx ∂Dy ∂Dz ∇. D = + + ∂x ∂y ∂z
(3.19)
ou ainda por (3.14):
r ∇. D = ρ
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(3.20)
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O operador ∇ não é utilizado somente em operações de divergência, mas também em outras operações r vetoriais. Ele é definido somente em coordenadas cartesianas. A princípio, a expressão ∇. D serviria r apenas para se calcular as derivadas parciais do divergente do vetor D em coordenadas r cartesianas. Entretanto, a expressão ∇. D como sendo a divergência do vetor densidade de fluxo elétrico é consagrada, e pode ser utilizada mesmo quando o vetor é definido em outros sistemas de referência. Por exemplo, em coordenadas cilíndricas:
r 1 ∂ (rD ) 1 ∂ Dφ ∂D r z ∇.D= + + r ∂r r ∂φ ∂z
(3.21)
(
(3.22)
e em coordenadas esféricas:
)
r 1 ∂ 2 ∂D φ 1 ∂ ∇.D= 2 r Dr + (D θ sen θ ) + 1 ∂ r r sen θ ∂θ r sen θ ∂φ r
Entretanto, deve-se lembrar, porém, que ∇ não possui uma forma especifica para estes tipos de sistemas de coordenadas. Finalmente, vamos associar a divergência à Lei de Lembrando que:
r
Gauss, para obter o teorema da divergência.
r
∫ D. dS = ∫
vol
e
ρ. dv
r ∇. D = ρ
podendo escrever:
∫
r r D. dS =
r
∫ ( ∇. D)dv
(3.23)
vol
A equação 3.23 é o Teorema da Divergência (ou teorema de Gauss, para diferenciar da Lei de Gauss) e estabelece que a integral da componente normal de qualquer campo vetorial sobre uma superfície fechada é igual à integral da divergência deste campo através do volume envolvido por essa superfície fechada. Uma maneira simples de se entender fisicamente o teorema da divergência é através da figura 3.2. Um volume v, limitado por uma superfície fechada S é subdividido em pequenos volumes incrementais, ou células. O fluxo que diverge de cada célula converge para as células vizinhas, a não ser que a célula possua um de seus lados sobre a superfície S. Então a soma da divergência da densidade de fluxo de todas as células será igual à soma do fluxo liquido sobre a superfície fechada.
Fig. 3.2 - Volume v subdividido em volumes incrementais
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Exemplo 3.1 Calcular os dois lados do teorema da divergência, para uma densidade de fluxo elétrico r 2 2 D = xy .a$ x + yx . a$ y , em um cubo de arestas igual a 2 unidades. Solução
r
r O vetor D possui componentes nas direções x e y. Portanto, a princípio, a integral de superfície deve ser calculada sobre 4 lados do cubo: r
r
∫ D. dS = ∫
frente
∫
=
frente
∫
=
∫
=
atrás
esq.
∫
dir .
2
∫∫ 0
2
∫∫
=
0
2
0
0
2
2
∫∫ 0
∫∫ 0
∫
atrás
+
∫
esq .
+
2. y2 . a$ xdy. dz. a$ x =
2
0. y2 . a$ x. dy. dz. ( − a$ x ) = 0
0
2. x2 . a$ y. dx. dz. a$ y =
r ∂Dy ∂Dz ∂D x ∇. D = + + ∂x ∂y ∂z
r ∇. D = x2 + y2
dir
32 3
32 3
64 3
Para o outro lado:
∫
0. x 2 . a$ y . dx. dz. ( − a$ y ) = 0
0
2
2
+
r
∫ D. dS =
Vamos colocar a origem do sistema de coordenadas cartesianas em um dos vértices.
∫ ( ∇. D) dv = ∫ ∫ ∫ (x r
2
vol
0
2
0
2
∫ (∇. D)dv = 2∫ ∫ (x r
2
vol
0
v = 4
∫
2
0
)
+ y2 dx. dy. dz
2
0
2
x2dx +
r
)
+ y2 dy. dx
2
0
∫
2
0
y2dy
64 ∫ ( ∇. D) dv = 3 vol
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EXERCÍCIOS
r r 1) - Dado A = ( 3x 2 + y ). a$ x + ( x − y 2 ). a$ y calcule ∇. A . 2) -Obtenha a divergência em coordenadas esféricas. Use um volume infinitesimal com arestas ∆r, r∆θ e rsenθ∆φ. 3) - Dipolo Elétrico, ou simplesmente dipolo, é o nome dado ao conjunto de duas cargas pontuais de igual magnitude e sinais opostos, separadas por um distância pequena se comparada com a distância ao ponto P onde se deseja conhecer o campo elétrico. O ponto P é descrito em coordenadas esféricas (figura 1), por r, θ e φ = 90 graus, em vista da simetria azimutal. As cargas positivas e negativas estão separadas por d m, e localizadas em (0,0,d/2) m e (0,0,-d/2) m. O campo r Qd no ponto P é E = ( 2 cos θ. a$ r + sen θ. a$ θ ) . Mostre que a divergência deste campo é nula. 4πε 0 r 3
r 4) - Para a região 0 < r ≤ 2 m (coordenadas cilíndricas), D = ( 4r −1 + 2e −0,5r + 4r −1e−0,5r ) a$ r , e para r > r 2m, D = ( 2,057 r −1). a$ r . Pede-se obter a densidade de cargas ρ para ambas as regiões. r 3 5) - Dado D = (10 r 4 ). a$ r em coordenadas cilíndricas, calcule cada um dos lados do teorema da divergência, para o volume limitado por r = 3 m, z = 2 m e z = 12 m.
r
6) - Dado D =10 sen ?.aˆ r + 2 cos ? .aˆ ? , pede-se calcular ambos os lados do teorema da divergência, para o volume limitado pela casca r = 3 m.
r 7) - Uma linha uniforme de cargas de densidade ρ l pertence ao eixo z. (a) Mostre que ∇. D = 0 em qualquer lugar, exceto na linha de cargas. (b) substitua a linha de cargas por uma densidade volumétrica de cargas ρ 0 em 0 ≤ r ≤ r0 m. Relacione ρ l com ρ 0 modo que a carga por unidade de r comprimento seja a mesma. Determine então ∇. D em toda parte.
y P
R1 θ
r R2
Q d
x
-Q figura 1 - figura do problema 3
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