Eletromagnetismo

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Lei de Coulomb e Campo Elétrico Lei de Coulomb A primeira investigação quantitativa sobre a lei da força entre corpos carregados foi efetuada por Charles Augustin de Coulomb em 1784, utilizando uma balança de torção, para a medida de forças gravitacionais. Coulomb descobriu que a força de atração ou repulsão entre duas cargas puntiformes, isto é, corpos carregados cujas dimensões são pequenas comparadas coma distancia r entre eles, é inversamente proporcional ao quadrado dessa distancia. A força também depende da quantidade de carga em cada corpo. A carga efetiva de um corpo poderia ser descrita em termos do numero de elétrons ou prótons em excesso no corpo. Na pratica, porem, a carga de um corpo é expressa em termos de uma unidade muito maior que a carga individual de um elétron ou de um próton. Na época de Coulomb, nenhuma unidade de carga havia ainda sido definida, nem tampouco um método para comparação de uma dada carga com uma unidade. Apesar disso, Coulomb inventou um método engenhoso para mostrar de que maneira a força exercida sobre ou por um corpo eletrizado dependia de sua carga. Ele raciocinou que se uma esfera condutora carregada fosse colocada em contato com uma segunda esfera idêntica, inicialmente descarregada, a carga da primeira, deveria por simetria, ser distribuída equivalente entre os condutores. Os resultados de suas experiências foram consideradas com a conclusão de que a força entre duas cargas puntiformes, q e q', é proporcional ao produto dessas cargas. Portanto: F= qq'r2, F=k qq'r2, onde k é uma constante de proporcionalidade cujo valor depende das unidades em que F, q, q' e r são expressas. A equação em questão é a expressão matemática da lei de Coulomb: a força de atração ou repulsão entre duas cargas puntiformes é diretamente proporcional ao produto das cargas inversamente proporcional ao quadrado da distancia entre elas. Campo Elétrico A figura (1) representa dois corpos carregados positivamente, A e B, entre os quais existe uma força eletrica de repulsão, F. Do mesmo modo que a força de atração gravitacional, essa força é do tipo de ação de distancia, fazendo-se sentir sem que exista qualquer conexão material entre A e B. Não se sabe por que isso é possível; é um fato experimental que corpos carregados comportam-se desta maneira. Entretanto, é conveniente imaginar cada uma dessas cargas como se estivesse modificando o estado de coisas no espaço circudante, de modo que esse estado se torna diferente do que era na ausência desses corpos. Assim, removamos o corpo B. O ponto P, figura (2), é o ponto do espaço onde B se achava anteriormente. Diz-se que o corpo carregado A produz ou cria um campo elétrico no ponto P e se o corpo carregado B for agora recolocado em P, considera-se que a força é exercida sobre B pelo campo e não diretamente pelo corpo A. como o corpo B sofreria a ação de uma força em qualquer ponto do espaço em torno de A, existe um campo elétrico em todo o espaço em torno de A. Pode-se, igualmente, considerar o corpo B como produzindo um campo e que é este ultimo que exerce a força sobre o corpo A. A verificação experimental da existência de um campo elétrico em um ponto qualquer consiste simplesmente em colocar um corpo carregado, chamado carga de prova nesse ponto. Se uma força for exercida sobre a carga de prova, então existe um campo elétrico nesse ponto. Sendo força uma grandeza vetorial, o campo elétrico é um campo vetorial, cujas propriedades são determinadas quando tanto a intensidade como a direção e o sentido de uma força elétrica são especificadas. Definimos campo elétrico E em um ponto como o quociente entre a força F que outra sobre uma carga de prova positiva, q', situada nesse ponto e essa carga, assim: E=Fq', e a direção de E é a de F. Segue-se que F=q'E, de maneira que a força sobre uma carga negativa, como o elétron, tem sentido oposto ao do campo elétrico. Lei de Gauss e Fluxo Elétrico Karl Friedrich Gauss foi um cientista e matemático alemão, que fez muitas contribuições à Fisica experimental e teórica. A relação conhecida como lei de Gauss é o enunciado de uma importante propriedade dos campos eletrostáticos. Consideremos, primeiramente, o campo de uma carga isolada puntiforme e positiva q, figura (32.10 a). a carga acha-se envolta por uma superfície fechada de forma arbitraria. O campo elétrico E, em um ponto qualquer da superfície, está dirigido radialmente para fora, em relação à carga q e seu valor é E = kq/r2. Sobre uma área dA, suficientemente pequena, dessa superfície, o campo pode ser considerado uniforme, isto é, tendo o mesmo valor e orientação. A componente de E normal à superfície, En é E cos θ, onde θ é o ângulo entre E e a normal externa à superfície. O produto de En pela área dA é En dA=E cosθ dA=Kq dA cosθr2. Entretanto, vemos pela figura (32.10 b), que o produto dA cosθ é a projeção da área dA no plano perpendicular a r e que o quociente dA cosθr2 é igual ao ângulo solido dω, subtentido pela área dA, na posição da carga q. EndA=kq dω Integramos, agora, ambos os membros da equação acima sobre toda a área fechada, como indicado pelo símbolo §: EndA=kqdω Independentemente da forma e do tamanho da superfície fechada, § dω é o ângulo solido total em torno da carga q, sendo igual a 4π Sr. Portanto, EndA=4πkq O lado esquerdo da equação acima, obtido multiplicando-se a componente normal de E na superfície por um elemento de área da superfície e somando esses produtos sobre toda a superfície, é chamado de integral de superfície de E sobre a superfície. A equação acima diz que a integral de superfície é proporcional à carga encerrada, q, independentemente da forma ou do tamanho da superfície ou da localização da carga q no seu interior. Se a carga puntiforme na figura (32.10) fosse negativa, o campo E seria dirigido radialmente para dentro, o ângulo θ seria maior que 180º, seu co-seno seria negativo, En seria negativo e a integral de superfície seria negativa. Mas como q também seria negativa, concluímos que a forma da equação acima é correta, qualquer que seja o sinal da carga q. Se uma carga puntiforme estiver do lado de fora da superfície fechada, o campo da carga estará dirigido para fora em alguns pontos da superfície e para dentro em outros. Não é difícil mostrar que as contribuições positivas e negativas à integral de superfície se cancelam exatamente, resultando uma integral de superfície nula. Mas a carga no interior da superfície fechada é também nula. Portanto, a equação acima aplica-se, quer seja a carga interna positivamente, negativa ou nula. Finalmente, consideremos uma superfície fechada no campo de uma distribuição qualquer de cargas. Estas podem sempre ser subdivididas, imaginariamente, em cargas puntiformes. Escrevemos a equação acima para cada carga puntiforme e somamos sobre todas as cargas. A soma das integrais torna-se a integral de superfície do campo resultante e a carga q resulta em Σq, a soma algébrica de todas as cargas situadas no interior da superfície fechada. Logo, no caso geral, En dA=4πkΣq Esta equação expressa o significado da lei de Gauss: A integral de superfície da componente normal de E sobre qualquer superfície fechada em um campo eletrostático é igual a 4πk vezes a carga total existente no interior da superfície. A notação pode ser duplamente simplificada. Primeiramente, define-se o vetor área dA como o vetor cujo valor é dA e cuja orientação é a da normal exterior a dA. O produto En dA=EcosθdA pode, pois, ser escrito como um produto escalar dos vetores E e dA: En dA=E .dA A segunda simplificação consiste em evitar a utilização do fator 4π, definindo uma nova constante ε0 através da relação 1ε0 =4πk, 'ε0 =14πk A lei de Gauss pode, agora, ser escrita de modo mais compacto: E .dA=qε0 q=ε0 E .dA Pode-se introduzir neste ponto um novo conceito. A integral de superfície de E sobre uma superfície é chamada fluxo de E através da superfície e é representado por Ψ. Isto é, ψ=E .dA o termo fluxo, que significa vazão, é proveniente da hidrodinâmica, onde uma integral semelhante dá a vazão total de fluido através de uma superfície. A lei de Gauss pode, então, ser enunciada assim: o produto de ε0 pelo fluxo de E para fora de uma superfície fechada é igual à carga total no interior da superfície. Energia e Potencial Elétrico A força exercida por um campo elétrico E sobre uma carga puntiforme q' é igual a q'E e o trabalho dessa força, quando a carga se move ao longo de uma trajetória qualquer entre o ponto a e o ponto b, é W=abF.ds=q'abE.ds Na seção anterior, que a ultima integral é a mesma qualquer que seja o trajeto entre a e b e, portanto, o trabalho da força elétrica é também o mesmo ao longo de qualquer caminho, isto é, é independente da trajetória. A força elétrica é, pois, conservativa e, quando a força tem essa propriedade, é possível associar-lhe uma energia potencial. O trabalho da força é igual ao negativo da diferença de energia potencial da partícula entre o ponto final e o ponto inicial. Portanto, se (Ep)a e (Ep)b são as energias potenciais da carga q' nos pontos a e b, Epb-Epa= -W= -q'abE.ds ou Epa-Epb= q'abE.ds Materiais Condutores Dielétricos De acordo com a teoria atômica clássica, os átomos são constituídos de um núcleo formado por prótons e nêutrons, orbitados por elétrons carregados negativamente. À medida que se fornece energia a um elétron, este passa para uma órbita mais afastada. Em alguns materiais, o elétron (ou elétrons) que está na órbita externa está frouxamente ligado ao átomo, e migra facilmente de um átomo para outro, quando sofre a ação de um campo elétrico. Estes elétrons recebem o nome de cargas verdadeiras. Materiais que possuem este tipo de comportamento recebem o nome de condutores. Em outros tipos de materiais, porém, os elétrons estão de tal maneira presos ao átomo, que não podem ser libertados pela aplicação de campos elétricos de pequena intensidade. Estes materiais recebem o nome de dielétricos ou isolantes. Entretanto, quando um dielétrico é submetido a um campo elétrico, ocorre uma polarização, ou seja, um deslocamento do elétron em relação à sua posição de equilíbrio. As cargas induzidas em um isolante recebem o nome de cargas de polarização. Outro grupo de materiais apresenta um comportamento intermediário entre condutores e isolantes. São os chamados semicondutores. Sob certas condições podem agir como isolantes, mas com a aplicação de calor ou de campo elétrico suficientemente fortes, se comportam como condutores. A mobilidade das partículas, μp é uma função da temperatura e o seu aumento apresenta conseqüências diferentes, no comportamento dos materiais condutores, isolantes e semicondutores. Em um condutor metálico, por exemplo, o movimento vibratório aumenta com o aumento da temperatura. Conseqüentemente, há uma diminuição na velocidade de arraste, devido às colisões desordenadas que ocorrem no interior do material. Por outro lado, nos materiais isolantes e semicondutores, o aumento da temperatura favorece o aumento do movimento vibratório, que contribui com o aumento da mobilidade das partículas, em função do campo elétrico aplicado. Embora os materiais condutores não possam armazenar energia em seu interior, os materiais dielétricos, podem. Isso é possível porque ao se aplicar um campo elétrico externo em um dielétrico não ocorre a movimentação de cargas livres, mas um deslocamento nas posições relativas das cargas negativas (elétrons) e positivas, dando origem às cargas polarizadas. Esse armazenamento de energia potencial ocorre contra as forças moleculares e atômicas normais do átomo. O mecanismo real de deslocamento varia conforme o tipo de dielétrico. Alguns tipos de dielétricos são constituídos por moléculas ditas polarizadas (por exemplo, a água), que possuem um deslocamento permanente entre os centros geométricos das cargas positiva e negativa. Cada par de cargas age como um dipolo; um conjunto formado por uma carga positiva e uma carga negativa, separadas por uma distância d. Normalmente esses dipolos estão orientados e dispostos aleatoriamente no interior do material. Quando um campo elétrico externo é aplicado, eles se alinham em sua direção. Em outros tipos de materiais este arranjo em dipolos não existe antes do campo elétrico ser aplicado. As cargas positivas e negativas deslocam-se com a aplicação do campo elétrico, e alinham-se em sua direção. Equações de Poisson e Laplace Em matemática, a equação de Poisson é uma equação de derivadas parciais com uma ampla utilidade em electrostática, engenharia mecânica e física teórica.O seu nome é derivado do matemático, geómetro e físico francês Siméon-Denis Poisson. A equação de Poisson define-se como: (2) (1): A expressão obtida anteriormente, é solução da Eq. de Poisson em uma região ilimitada. De fato: É fácil mostrar que, . Para determinar o resultado da última relação, consideremos a lei de Gauss: Carga puntiforme: que é a equação de Poisson. TEOREMA DE GREEN - EXPRESSÃO INTEGRAL PARA O POTENCIAL Caso Geral : R : Região de interesse : Superfície que limita R Cargas externas a R impõem certas condições na fronteira : Problema : Obter , dados e condições para sobre Problema : Obter , dados e condições para sobre . Para Resolver Usa identidades de Green que seguem do teorema da divergência: Seja um ponto interior a R, e a escolha de funções, t.q.: , Usa 2a Identidade, obtém : Resulta : Distribuições localizadas, , Teorema da Unicidade Dado , a Eq. de Poisson possui solução única nas seguintes situações: (i) é especificado - Dirichlet (ii) é especificado – Neumann (iii) e em regiões suplementares da superfície. Campos Magnéticos, Leis de Biot-Savart, Lei de Maxwell Campos Magnético Um campo magnético é o campo produzido por um ímã ou por cargas elétricas em movimento. O campo magnético de materiais ferromagnéticos é causado pelo spin de partículas sub-atómicas. Definição Um campo magnético é influência de cargas elétricas em movimento e ímãs permanentes. Pode-se afirmar que as ligações químicas são produtos de desequilíbrios nos campos magnéticos, e não elétricos. Um campo magnético pode ser descrito pela Lei de Biot-Savart: no qual: V é o vetor velocidade da carga elétrica, medido em metros por segundo, X indica o produto vetorial, C é a velocidade da luz no vácuo, medida em metros por segundo, E é o vetor campo elétrico, medido em newtons por coulomb ou volts por metro, D é o vetor deslocamento elétrico, μ é a permeabilidade magnética. Quando uma carga elétrica que se move em um campo magnético uniforme B com velocidade v, a carga fica sujeita à ação da força magnética Fm, que tem direção perpendicular a v e a B. A força magnética é proporcional ao campo B, à carga q e à componente da velocidade v na direção perpendicular a B: Se a carga elétrica móvel for negativa, a força magnética F terá sentido oposto. A força magnética Fm altera a direção da velocidade, pois F sempre é perpendicular à velocidade, ou seja, é uma força centrípeta. Portanto, quando uma carga elétrica q está sob ação exclusiva de uma campo magnético, ela realiza um movimento circular uniforme, sua energia cinética permanece constante e o trabalho da força magnética é nulo. Empregos do eletromagnetismo As bobinas estão por trás do funcionamento da maioria dos motores, gerando energia em larga escala, pois tal é formada por espiras que são percorridas por corrente elétrica e formam pólos magnéticos, tal sistema é usado também nas usinas hidroelétricas e elevadores. Além de serem usados no armazenamento de dados, a bobina capta as variações dos campos magnéticos N e S, nos discos magnéticos e o chip 5 interpreta como sinais binários 0 e 1. Linhas de campo magnético gerado por condutor retilíneo As linhas de campo magnético geradas por um condutor retilíneo percorrido por corrente elétrica são circunferências concêntricas ao fio, contidas num plano perpendicular ao condutor e com centro no condutor. O sentido dessas linhas pode ser determinado por uma regra prática, chamada de regra da mão direita, pela qual se determina o sentido do campo magnetico B (ver nomenclatura vetorial). A tangente a essas linhas em cada ponto indica a direção do vetor campo magnético. A regra: Segure o fio condutor com a mão direita, alinhando o polegar com o sentido longitudinal do fio, no mesmo sentido da corrente elétrica que percorre esse fio. Pronto, o polegar indica a direção da corrente elétrica no fio e os dedos indicam o sentido das linhas de campo magnetico, que serão círculos concentricos (não confunda com espiral). Lei de Ampère-Maxwell Lei de Ampère é a lei que relaciona o campo magnético sobre um laço com a corrente elétrica que passa através do laço. É o equivalente magnético da lei de Gauss; foi proposta originalmente por André-Marie Ampère e modificada por James Clerk Maxwell (por isso é chamada também de lei de Ampère-Maxwell). Pode-se calcular o campo magnético resultante em um ponto devido a qualquer distribuição de correntes através da lei de Biot-Savart. Entretanto, se essa distribuição apresentar um certo grau de simetria, é possível aplicar a Lei de Ampère para determinar o campo magnético com um esforço consideravelmente menor. A Lei de Ampère pode ser expressa matematicamente por: O círculo no símbolo da integral significa que o produto escalar deve ser integrado ao redor de um laço, chamado laço de Ampère. Onde definimos que: Força, Torque e Materiais Magnéticos Mostra-se na figua abaixo uma espira retangular de fio cujos lados tem comprimentos a e b. a normal ao plano da espira faz um ângulo α com a direção de uma indução magnética uniforme B e pela espira passa uma corrente I. A força dF sobre o elemento dζ é igual a I(dζ x B), sua direção é paralela ao eixo dos x e seu sentido, para a direita. O modulo da força total F sobre o lado de comprimento a é F = IaB Essa força está, na realidade, distribuída ao longo de todo esse comprimento desse lado; o vetor F é a força resultante. Uma força de mesmo modulo mas de sentido oposto age sobre o lado oposto. As forças sobre os lados de comprimento b, representados pelos vetores F', tem módulos IbB cos α. As linhas de ação dessas duas forças estão ao longo do eixo dos y. A força resultante sobre a espira é evidentemente nula. As forças sobre os lados de comprimento a, contudo, não tem mesma linha de ação e constituem um binário de torque Γ = Fb sen α = Iabβ sen α Mas ab é a area A da espira, de modo que Γ = IAB sen α ou, sob forma vetorial, Γ = I(A x B) onde A é o vetor área da espira. O vetor torque Γ tem a direção e o sentido do produto vetorial A x B apontando ao longo do eixo positivo dos y. Não é necessário que a espira seja retangular; a equação acima, fornece o torque que uma espira plana de área A de qualquer formato. O produto IA é chamado momento magnético m da espira. Assim, o resultado obtido acima pode ser expresso por uma equação simples, Γ=m xB, O efeito do torque Γ é girar a espira para a sua posição de equilíbrio, que fica no plano xy, na qual o valor momento magnético m tem a mesma direção que a indução magnética B. Um fio enrrolado de forma helicoidal, que se pode obter enrolando-o em torno da superfície de um cilindro, é chamado solenóide. Se os enrolamentos forem bem próximos, o solenóide pode ser aproximado por varias espiras circular situadas em planos perpendiculares ao eixo longo. O torque total sobre um solenóide situado em um campo magnético é simplesmente a soma dos torques sobre cada uma das espiras. Assim, para um solenóide de N espiras em um campo uniforme de indução magnética β, Γ=NIAB sen α onde α é o ângulo entre o eixo do solenóide e a direção do campo. O torque será maximo quando o campo magnético for paralelo ao plano das espiras individuais ou perpendicular ao eixo que fica ao longo do comprimento do solenóide. O efeito desse torque, se o solenóide puder girar livremente, é girá-lo para uma posição em que cada espira fique perpendicular ao campo e o eixo do solenóide, paralelo ao campo. Vetor de Poynting, Indução de Faraday. Vetor de Poynting Consideramos que a energia é transportada pelas cargas circulares, as quais adquirem energia potencial numa fonte e a cedem a outras partes do circuito. Outro ponto de vista muito útil é o de que a energia é transportadas não pelas cargas em movimento, mas pelo campo eletromagnético e a elas associado. De fato, quando consideramos o fluxo da energia do sol, um aquecedor radiante ou uma antena de radio, onde a energia deve ser transportada por ondas eletromagnéticas sem qualquer movimento de partículas carregadas, esse parece ser um ponto de visita necessário a ser adotado. Consideremos a linha de transmissão de placas paralelas, a potencia fornecida à linha é P=VI, V = Eζ, I = Hw, De modo que P = VI = (EH) (ζw) O produto ζw é igual a área transversal A do campo eletromagnético entre as placas, de modo que PA=EH Essa equação pode ser interpretada como significado que a energia é transportada ao longo da linha por meio do campo eletromagnético e que o fluxo de energia através de qualquer seção transversal do campo, por unidade de área e de tempo, é igual ao produto EH. Esse ponto de vista foi sugerido por Poynting e o vetor Poynting S é definido como o produto vetorial de E por H: S = E x H Indução de Faraday A lei de Faraday-Neumann-Lenz, ou lei da indução eletromagnética, é uma lei da fisica que quantifica a indução eletromagnética, que é o efeito da produção de corrente elétrica em um circuito colocado sob efeito de um campo magnético variável ou por um circuito em movimento em um campo magnético constante. É a base do funcionamento dos alternadores, dínamos e transformadores. Tal lei é derivada da união de diversos princípios. A lei da indução de Faraday, elaborada por Michael Faraday a partir de 1831, afirma que a corrente elétrica induzida em um circuito fechado por um campo magnético, é proporcional ao número de linhas do fluxo que atravessa a área envolvida do circuito, na unidade de tempo. Sendo E o campo elétrico induzido, ds é um elemento infinitesimal do circuito e dΦB/dt é a variação do fluxo magnético. Uma maneira alternativa de se representar é na forma da diferença na função do campo magnético B: Portanto: e a lei, expressa matematicamente na forma elaborada por Franz Ermst Neumann em 1845 em termos da força eletromotriz, é: A lei de Faraday-Lenz enuncia que a força eletromotriz induzida num circuito elétrico é igual a variação do fluxo magnético conectado ao circuito. É importante notar que um campo magnético constante não dá origem ao fenômeno da indução. Por esta razão, não é possível colocar um magneto no interior de um solenóide e obter energia elétrica. É necessário que o magneto ou o solenóide movam-se, consumindo energia mecânica. Por esse motivo que um transformador só funciona com corrente alternada. A lei é de natureza relativística, portanto o seu efeito é resultado do movimento do circuito em relação ao campo magnético. A contribuição fundamental de Heinrich Lens foi a direção da força eletromotriz (o sinal negativo na fórmula). A corrente induzida no circuito é de fato gerada por um campo magnético, e a lei de Lenz afirma que o sentido da corrente é o oposto da variação do campo magnético que a gera. Se o campo magnético concatenado ao circuito está diminuindo, o campo magnético gerado pela corrente induzida irá na mesma direção do campo original (se opõem a diminuição), se, pelo contrário, o campo magnético concatenado está aumentando, o campo magnético gerado irá em direção oposta ao original (se opõem ao aumento). Esta última análise é compatível com o princípio da conservação de energia. Se o circuito é aberto e não há fluxo de corrente, não há dissipação de energia pelo efeito Joule. Por este motivo não há uma força de reação à variação do campo magnético e o movimento do magneto ou do circuito não realiza trabalho (força nula x movimento = zero). Se ao contrário, existir corrente circulando no circuito (com dissipação de energia), a variação do campo magnético resultará numa resistência que demandará a realização de trabalho. Com base neste princípio um gerador consome tanto mais energia mecânica quanto mais energia elétrica ele produz (sem considerar a energia perdida por atrito e pelo efeito Joule). Referências Bibliografias: HAYT, William Buck, John A; SAPIENZA, Antonio Romeiro. Eletromagnetismo. Rio de Janeiro: LTC, MORETTO, Vasco Pedro. Eletricidade e eletromagnetismo: física hoje. 3. ed. São Paulo: Ática, http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Poisson http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Amp%C3%A8re http://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico http://www.nomergcpf.xpg.com.br/ee982/aula03.html