Transcript
Elementos de Matem´atica Roteiro no.1 para as atividades did´aticas de 2007 Vers˜ao compilada no dia 27 de Abril de 2007.
Departamento de Matem´atica - UEL
Prof. Ulysses Sodr´e E-mail:
[email protected] Matem´atica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
Resumo: Notas de aulas constru´ıdas com materiais utilizados em nossas aulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam um roteiro para as aulas e n˜ ao espero que estas notas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em portuguˆ es, h´ a pouco material de dom´ınio p´ ublico, mas em inglˆ es existem diversos materiais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos que o leitor fa¸ca pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos.
Mensagem: ‘Ora, a f´ e ´ e o firme fundamento das coisas que se esperam e a prova das coisas que n˜ ao se vˆ eem. Porque por ela os antigos alcan¸caram bom testemunho. Pela f´ e entendemos que os mundos foram criados pela palavra de Deus; de modo que o vis´ıvel n˜ ao foi feito daquilo que se vˆ e.’ A B´ıblia Sagrada, Hebreus 11:1-3
Conte´ udo 1 Para quem estuda Matem´ atica 1.1
1
Conversa com o aluno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2 Elementos de L´ ogica e Conjuntos
2
2.1
Proposi¸c˜oes (ou Senten¸cas) l´ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
Tautologias e Equivalˆencia L´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Conjuntos definidos por proposi¸c˜oes l´ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.4
Opera¸c˜oes com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.5
Quantificadores L´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.6
Nega¸c˜ao de proposi¸c˜oes com quantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.7
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.8
Maior quantidade de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.9
Proposi¸c˜oes com valores l´ogicos num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.10 Trabalhos que ser˜ao constru´ıdos pelos alunos . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Bibliografia
26
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
Cap´ıtulo 1 Para quem estuda Matem´ atica 1.1
Conversa com o aluno
´ O Prof. Geraldo Avila [3] mostra uma estrat´egia para estudar Matem´atica: Ningu´em aprende Matem´atica ouvindo o professor em sala de aula, por mais organizadas e claras que sejam as suas prele¸c˜oes, por mais que se entenda tudo o que ele explica. Isso ajuda muito, mas ´e preciso estudar por conta pr´opria logo ap´os as aulas, antes que o benef´ıcio delas desapare¸ca com o tempo. Portanto, vocˆe, leitor, n˜ao vai aprender Matem´atica porque assiste aulas, mas por que estuda. E esse estudo exige muita disciplina e concentra¸c˜ao: estuda-se sentado `a mesa, com l´apis e papel `a m˜ao, prontos para o seu uso a todo momento. Vocˆe tem de interromper a leitura com freq¨uˆencia, para ensaiar a sua parte: fazer um gr´afico ou diagrama, escrever alguma coisa ou simplesmente rabiscar uma figura que ajude a seguir o racioc´ınio do livro, sugerir ou testar uma id´eia; escrever uma f´ormula, resolver uma equa¸c˜ao ou fazer um c´alculo que verifique se alguma afirma¸c˜ao do livro est´a mesma correta. Por isso mesmo, n˜ao espere que o livro seja completo, sem lacunas a serem preenchidas pelo leitor; do contr´ario, esse leitor ser´a induzido a uma situa¸c˜ao passiva, quando o mais importante ´e desenvolver as habilidades para o trabalho independente, despertando a capacidade de iniciativa individual e a criatividade. Vocˆe estar´a fazendo progresso realmente significativo quando sentir que est´a conseguindo aprender sozinho, sem ajuda do professor; quando sentir que est´a realmente ‘aprendendo a aprender...’. Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
Cap´ıtulo 2 Elementos de L´ ogica e Conjuntos ‘Tu, por´ em, permanece naquilo que aprendeste, e de que foste inteirado, sabendo de quem o tens aprendido, e que desde a infˆ ancia sabes as sagradas letras, que podem fazer-te s´ abio para a salva¸c˜ ao, pela que h´ a em Cristo Jesus. Toda Escritura ´ e divinamente inspirada e proveitosa para ensinar, para repreender, para corrigir, para instruir em justi¸ca; para que o homem de Deus seja perfeito, e perfeitamente preparado para toda boa obra.’ A B´ıblia Sagrada, II Tim´ oteo 3:14-17
2.1
Proposi¸c˜ oes (ou Senten¸cas) l´ ogicas
Nesta se¸c˜ao, n´os tratamos sobre proposi¸c˜oes (ou senten¸cas) l´ogicas, suas validades e falsidades, al´em do modo de combinar ou ligar proposi¸c˜oes para produzir novas proposi¸c˜oes. Primeiro, vamos apresentar uma defini¸c˜ao de proposi¸c˜ao l´ogica. Defini¸c˜ ao 1 (Proposi¸c˜ao). Uma proposi¸c˜ao (ou senten¸ca ou frase) ´e um conjunto de palavras ou s´ımbolos que exprimem uma afirma¸c˜ao de modo completo. Defini¸c˜ ao 2 (Proposi¸c˜ao l´ogica). Uma proposi¸c˜ao (ou senten¸ca ou frase) l´ogica ´e uma express˜ao que ´e verdadeira ou falsa. A L´ogica Matem´atica (bivalente) est´a apoiada em dois princ´ıpios: 1. Princ´ıpio da n˜ao contradi¸c˜ao: Uma proposi¸c˜ao n˜ao pode ser ao mesmo tempo, verdadeira e falsa. Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
˜ ´ 2.1. PROPOSIC ¸ OES (OU SENTENC ¸ AS) LOGICAS
3
2. Princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo: Toda proposi¸c˜ao, ou ´e verdadeira ou ´e falsa, mas n˜ao pode ser uma terceira situa¸c˜ao. Observa¸c˜ ao 1. Jan Lukasiewicz (1920) estudou a L´ogica trivalente, admitindo a existˆencia de trˆes situa¸c˜oes: Verdadeiro , falso ou ´e poss´ıvel . Detalhes sobre isto podem ser encontrados na p´agina 92 do livro “Introdu¸c˜ao `a L´ogica Matem´atica” de Benedito Castrucci, GEEM, S˜ao Paulo, 1973. O paranaense Newton C. A. Costa tamb´em estudou o assunto. Exemplo 1. Proposi¸c˜oes. 1. A proposi¸c˜ao 2+2=4 ´e verdadeira. 2. A proposi¸c˜ao π ´e um n´umero racional ´e falsa. N˜ao ´e fun¸c˜ao da L´ogica decidir se uma particular proposi¸c˜ao ´e verdadeira ou falsa, pois existem proposi¸c˜oes cuja validade ou falsidade ainda n˜ao tenha sido estabelecida at´e hoje, como: Teorema 1 (Conjectura de Goldbach). Todo n´umero par maior do que 2 ´e a soma de dois n´umeros primos. Existe um defeito em nossa defini¸c˜ao, pois nem sempre ´e f´acil determinar se uma senten¸ca ´e uma senten¸ca l´ogica ou n˜ao. Por exemplo, considere a senten¸ca Eu estou mentindo, n˜ao estou? . O que vocˆe pensa desta senten¸ca? Existem senten¸cas que s˜ao proposi¸c˜oes l´ogicas, do ponto de vista da nossa defini¸c˜ao. Defini¸c˜ ao 3 (Conectivos). Conectivos s˜ao palavras ou grupos de palavras usadas para juntar duas senten¸cas. Conectivo Significado Conjun¸c˜ao e Disjun¸c˜ao ou Nega¸c˜ao n˜ao Condicional se ... ent˜ao Bicondicional se, e somente se,
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
˜ ´ 2.1. PROPOSIC ¸ OES (OU SENTENC ¸ AS) LOGICAS
4
Na seq¨uˆencia, iremos discutir modos de ligar proposi¸c˜oes l´ogicas com conectivos para formar novas proposi¸c˜oes l´ogicas. Defini¸c˜ ao 4 (Novas proposi¸c˜oes l´ogicas). Se p e q s˜ao proposi¸c˜oes l´ogicas, definiremos cinco novas proposi¸c˜oes l´ogicas: Nome da nova proposi¸c˜ao Nota¸c˜ao em L´ogica Conjun¸c˜ao de p e q p∧q Disjun¸c˜ao de p e q p∨q Nega¸c˜ao de p ¬p Condicional entre p e q p→q Bicondicional entre p e q p ←→ q
Significado peq p ou q n˜ao p p implica q p equivale a q
Defini¸c˜ ao 5 (Validade da Conjun¸c˜ao). A conjun¸c˜ao entre p e q, denotada por p ∧ q (lˆe-se: p e q) ´e verdadeira se as duas proposi¸c˜oes p e q s˜ao ambas verdadeiras e ´e falsa nas outras situa¸c˜oes. Exemplo 2. Conjun¸c˜ao. 1. A proposi¸c˜ao 2+2=4 e 2+3=5 ´e verdadeira. 2. A proposi¸c˜ao 2+2=4 e π ´e um n´umero racional ´e falsa. Observa¸c˜ ao 2 (Tabela-Verdade da Conjun¸c˜ao). Reunimos em uma tabela, todas as informa¸c˜oes relacionando afirma¸c˜oes Verdadeiras e Falsas sobre a conjun¸c˜ao: p q p∧q V V V V F F F V F F F F Defini¸c˜ ao 6 (Validade da Disjun¸c˜ao). A disjun¸c˜ao entre p e q, denotada por p ∨ q (lˆe-se: p ou q) ´e verdadeira se pelo menos uma das proposi¸c˜oes p ou q ´e verdadeira, e ´e falsa nos outros casos. Exemplo 3. Disjun¸c˜ao. 1. A proposi¸c˜ao 2+2=2 ou 1+3=5 ´e falsa. 2. A proposi¸c˜ao 2+2=4 ou π ´e um n´umero racional ´e verdadeira.
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
˜ ´ 2.1. PROPOSIC ¸ OES (OU SENTENC ¸ AS) LOGICAS
5
Observa¸c˜ ao 3 (Tabela-Verdade da Disjun¸c˜ao). Reunimos em uma tabela, todas as informa¸c˜oes relacionando afirma¸c˜oes Verdadeiras e Falsas sobre a disjun¸c˜ao: p q p∨q V V V V F V F V V F F F Observa¸c˜ ao 4 (Demonstrar uma disjun¸c˜ao). Para demonstrar que uma proposi¸c˜ao p ∨ q ´e verdadeira, vamos assumir que a proposi¸c˜ao p ´e falsa e usar este fato para deduzir que a proposi¸c˜ao q ´e verdadeira. Se a proposi¸c˜ao p ´e verdadeira, o nosso argumento j´a est´a correto, n˜ao importa se a proposi¸c˜ao q ´e verdadeira ou falsa. Defini¸c˜ ao 7 (Validade da Nega¸c˜ao). A nega¸c˜ao de p, denotada por ¬p (lˆe-se: n˜ao p) ´e verdadeira se a proposi¸c˜ao p ´e falsa, e ´e falsa se a proposi¸c˜ao p ´e verdadeira. Exemplo 4. Nega¸c˜ao. 1. A nega¸c˜ao da proposi¸c˜ao 2+2=4 ´e a proposi¸c˜ao 2 + 2 6= 4 . 2. A nega¸c˜ao da proposi¸c˜ao π ´e um racional ´e a proposi¸c˜ao π ´e um irracional . Observa¸c˜ ao 5 (Tabela-Verdade da Nega¸c˜ao). Reunimos em uma tabela, todas as informa¸c˜oes relacionando afirma¸c˜oes Verdadeiras e Falsas sobre a nega¸c˜ao: p ¬p V F F V Defini¸c˜ ao 8 (Validade da Condicional). A condicional entre p e q, denotada por p → q (lˆe-se: se p, ent˜ao q) ´e verdadeira se a proposi¸c˜ao p ´e falsa ou se a proposi¸c˜ao q ´e verdadeira ou ambas, e ´e falsa nas outras situa¸c˜oes. Observa¸c˜ ao 6 (Tabela-Verdade da Condicional). Reunimos em uma tabela, todas as informa¸c˜oes relacionando afirma¸c˜oes Verdadeiras e Falsas sobre a
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
˜ ´ 2.1. PROPOSIC ¸ OES (OU SENTENC ¸ AS) LOGICAS
6
condicional: p V V F F
q p→q V V F F V V F V
Observa¸c˜ ao 7 (Senten¸ca falsa). Uma proposi¸c˜ao p → q ´e falsa se a proposi¸c˜ao p ´e verdadeira e a proposi¸c˜ao q ´e falsa. Isto significa que construindo uma conclus˜ao falsa de uma hip´otese verdadeira, o nosso argumento ser´a falso. Por outro lado, se a nossa hip´otese ´e falsa ou se a nossa conclus˜ao ´e verdadeira, ent˜ao o nosso argumento ainda pode ser aceito. Exemplo 5. Senten¸cas falsas. 1. A proposi¸c˜ao Se 2+2=4, ent˜ao π ´e um n´umero racional ´e falsa. 2. A proposi¸c˜ao Se 2+2=2, ent˜ao 1+3=5 ´e verdadeira, pois a proposi¸c˜ao 2+2=2 ´e falsa. 3. A proposi¸c˜ao Se π ´e um n´umero racional, ent˜ao 2+2=4 ´e verdadeira. Defini¸c˜ ao 9 (Validade da Bicondicional). A bicondicional entre p e q, denotada por p ←→ q (lˆe-se: p se e somente se q) ´e verdadeira se as proposi¸c˜oes p e q s˜ao ambas verdadeiras ou ambas s˜ao falsas, e ´e falsa nos outros casos. Exemplo 6. Bicondicionais. 1. A proposi¸c˜ao 2+2=4 se, e somente se, π ´e um n´umero irracional ´e verdadeira. 2. A proposi¸c˜ao 2+2=4 se, e somente se, π ´e um n´umero racional ´e falsa. Observa¸c˜ ao 8 (Tabela-Verdade da Bicondicional). Reunimos em uma tabela, todas as informa¸c˜oes relacionando afirma¸c˜oes Verdadeiras e Falsas sobre a bicondicional: p q p ←→ q V V V V F F F V F F F V
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
ˆ ´ 2.2. TAUTOLOGIAS E EQUIVALENCIA LOGICA
7
Observa¸c˜ ao 9 (Tabela-Verdade das cinco novas proposi¸c˜oes). Reunimos em uma tabela, as afirma¸c˜oes Verdadeiras e Falsas sobre as cinco novas proposi¸c˜oes l´ogicas, usando a letra V para a palavra Verdadeiro e a letra F para a palavra Falso. p V V F F
q p∧q p∨q V V V F F V V F V F F F
¬p p → q p ←→ q F V V F F F V V F V V V
Observa¸c˜ ao 10 (Sobre a palavra ou). Em L´ogica, a palavra ou pode ser entendida como uma coisa, ou outra coisa ou ambas as coisas. Se vocˆe perguntar a alguma pessoa se ela gosta de chocolate ou de caf´e, n˜ao se surpreenda com a resposta pois ela pode gostar dos dois!
2.2
Tautologias e Equivalˆ encia L´ ogica
Defini¸c˜ ao 10 (Tautologia). Uma tautologia ´e uma proposi¸c˜ao cujo valor l´ogico ´e sempre verdadeiro. Observa¸c˜ ao 11 (Sobre tautologia). Com o conceito de tautologia, podemos generalizar as defini¸c˜oes de conjun¸c˜ao ou disjun¸c˜ao para proposi¸c˜oes com mais do que duas proposi¸c˜oes, e assim podemos escrever, p ∧ q ∧ r ou p ∨ q ∨ r sem nos preocuparmos com os parˆenteses. Observa¸c˜ ao 12 (Setas duplas). Usamos a seta dupla u ⇐⇒ v para indicar que uma condicional da forma u ←→ v ´e uma Tautologia. Como exemplo: 1. (p ∧ q) ∧ r ⇐⇒ p ∧ (q ∧ r). 2. (p ∨ q) ∨ r ⇐⇒ p ∨ (q ∨ r). 3. (p ←→ q) ⇐⇒ (p → q) ∧ (q → p) Defini¸c˜ ao 11 (Contradi¸c˜ao). Uma contradi¸c˜ao ´e uma proposi¸c˜ao cujo valor l´ogico ´e sempre falso.
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
ˆ ´ 2.2. TAUTOLOGIAS E EQUIVALENCIA LOGICA
8
Exemplo 7 (Tabela-Verdade de uma proposi¸c˜ao composta). Construiremos a Tabela-Verdade de uma proposi¸c˜ao composta como (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q), utilizando novas vari´aveis u, v e w, para simplificar esta proposi¸c˜ao `a forma u ∧ w, onde: u : (p ∨ q)
v : (p ∧ q)
w : ¬v
1. Tabela-Verdade de u: (p ∨ q), q u:p∨q V V F V V V F F
p V V F F 2. Tabela-Verdade de v: (p ∧ q),
q v :p∧q V V F F V F F F
p V V F F 3. Tabela-Verdade de w: ¬v.
v w : ¬v V F F V F V F V 4. Tabela-Verdade de u ∧ w: u V V V F
w u∧w F F V V V V V F
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
ˆ ´ 2.2. TAUTOLOGIAS E EQUIVALENCIA LOGICA
9
Como temos uma grande quantidade de informa¸c˜oes, ´e comum reunir a TabelaVerdade final de u ∧ w com todas as opera¸c˜oes, tomando a forma: p V V F F
q p ∨ q p ∧ q ¬(p ∧ q) (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) V V V F F F V F V V V V F V V F F F V F
Exemplo 8 (Algumas condicionais). Implica¸c˜oes. 1. Se p ´e verdadeira e q ´e verdadeira, ent˜ao p ∧ q ´e verdadeira. 2. Se p ´e verdadeira ou q ´e verdadeira, ent˜ao p ∨ q ´e verdadeira. 3. Se p ´e verdadeira e p → q ´e verdadeira, ent˜ao q ´e verdadeira. 4. Se ¬p ´e verdadeira e p ∨ q ´e verdadeira, ent˜ao q ´e verdadeira. 5. Se ¬q ´e verdadeira e p → q ´e verdadeira, ent˜ao ¬p ´e verdadeira. 6. Se p ∨ q ´e verdadeira e p → r ´e verdadeira e q → r ´e verdadeira, ent˜ao r ´e verdadeira. 7. Se p → q ´e verdadeira e q → r ´e verdadeira, ent˜ao p → r ´e verdadeira. 8. Se p ´e verdadeira, p → q ´e verdadeira e q → r ´e verdadeira, ent˜ao r ´e verdadeira. Exemplo 9 (Algumas bicondicionais). Tautologias: 1. (p ∧ (q ∧ r)) ⇐⇒ ((p ∧ q) ∧ r). 2. (p ∧ q) ⇐⇒ (q ∧ p). 3. (p ∨ (q ∨ r)) ⇐⇒ ((p ∨ q) ∨ r). 4. (p ∨ q) ⇐⇒ (q ∨ p). 5. p ∨ ¬p. 6. (p → q) ⇐⇒ (¬q → ¬p). 7. (p → q) ⇐⇒ (¬p ∨ q). Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
ˆ ´ 2.2. TAUTOLOGIAS E EQUIVALENCIA LOGICA
10
8. ¬(p ←→ q) ⇐⇒ ((p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q). Teorema 2 (Leis distributivas). Se p, q e r s˜ao proposi¸c˜oes l´ogicas, as seguintes proposi¸c˜oes s˜ao tautologias muito usadas em Matem´atica. 1. (p ∧ (q ∨ r)) ⇐⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) 2. (p ∨ (q ∧ r)) ⇐⇒ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) Demonstra¸c˜ao da Primeira Lei distributiva. Vamos supor que a proposi¸c˜ao (p ∧ (q ∨ r)) seja verdadeira. Ent˜ao, as duas proposi¸c˜oes p e q ∨ r s˜ao verdadeiras. Como q ∨ r ´e verdadeira, pelo menos uma das proposi¸c˜oes, q ou r deve ser verdadeira. Se a verdadeira for q, ent˜ao segue que p e q s˜ao verdadeiras e assim segue que p ∧ q ´e verdadeira, logo p ∧ q ou p ∧ r ´e verdadeira, assim ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) ´e verdadeira. Reciprocamente, vamos supor que ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira. Assim, pelo menos uma das proposi¸c˜oes p ∧ q ou p ∧ r ´e verdadeira. Se a verdadeira for p ∧ q, ent˜ao as duas proposi¸c˜oes p e q s˜ao verdadeiras, logo Q ´e verdadeira e segue que q ∨ r ´e verdadeira e temos que p ∧ (q ∨ r) ´e verdadeira. Agora consideremos que as duas proposi¸c˜oes ((p∧q)∨(p∧r)) e p∧(q ∨r) s˜ao ambas verdadeiras ou ambas falsas, pois a verdade de uma implica a verdade da outra. Segue que a bicondicional (p ∧ (q ∨ r)) ←→ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) ´e uma tautologia. Demonstra¸c˜ao da Segunda Lei distributiva. Exerc´ıcio para casa. Todas estas tautologias podem ser demonstradas atrav´es de suas TabelasVerdade. Sugiro que use esta metodologia para as pr´oximas demonstra¸c˜oes. Teorema 3 (Leis de Augustus de Morgan). Se p e q s˜ao proposi¸c˜oes l´ogicas, as seguintes proposi¸c˜oes s˜ao tautologias: 1. ¬(p ∧ q) ←→ (¬p ∨ ¬q). 2. ¬(p ∨ q) ←→ (¬p ∧ ¬q).
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
ˆ ´ 2.2. TAUTOLOGIAS E EQUIVALENCIA LOGICA
11
Teorema 4 (Leis de inferˆencia). Se p, q e r s˜ao proposi¸c˜oes l´ogicas, as seguintes proposi¸c˜oes s˜ao tautologias: 1. Modus Ponens: (p ∧ (p → q)) → q. 2. Modus Tollens: ((p → q) ∧ ¬q) → ¬p. 3. Lei de silogismo: ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r). Defini¸c˜ ao 12 (Senten¸cas equivalentes). Diz-se que duas proposi¸c˜oes p e q s˜ao logicamente equivalentes se a proposi¸c˜ao p ←→ q ´e uma tautologia. Isto significa que as duas senten¸cas l´ogicas representam o mesmo objeto do ponto de vista da L´ogica. Exemplo 10. Senten¸cas equivalentes. 1. As proposi¸c˜oes (p → q) e (¬q → ¬p) s˜ao logicamente equivalentes, sendo que a proposi¸c˜ao (¬q → ¬p) recebe o nome de contrapositiva da proposi¸c˜ao (p → q). 2. As proposi¸c˜oes p → q e q → p n˜ao s˜ao logicamente equivalentes, sendo que a proposi¸c˜ao (q → p) ´e denominada a rec´ıproca da proposi¸c˜ao (p → q). Exemplo 11. Quatro importantes equivalˆencias l´ogicas. Usando as tabelasverdade, mostrar que as quatro proposi¸c˜oes l´ogicas abaixo s˜ao equivalentes: 1. p → q 2. (¬q) → (¬p) 3. (¬q) ∧ p ⇒ F ( Afirma¸c˜ ao absurda) 4. (¬p) ∨ q ⇒ V ( Afirma¸c˜ ao verdadeira) Exerc´ıcio: Demonstrar que 1. Idempotˆencia da conjun¸c˜ao: p ∨ p ⇐⇒ p 2. Idempotˆencia da disjun¸c˜ao: p ∧ p ⇐⇒ p
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
ˆ ´ 2.2. TAUTOLOGIAS E EQUIVALENCIA LOGICA
12
3. Associatividade da conjun¸c˜ao: (p ∧ q) ∧ r ⇐⇒ p ∧ (q ∧ r) 4. Associatividade da disjun¸c˜ao: (p ∨ q) ∨ r ⇐⇒ p ∨ (q ∨ r) 5. Identidade da conjun¸c˜ao com a verdade: p ∧ V ⇐⇒ p 6. Identidade da conjun¸c˜ao com a falsidade: p ∧ F ⇐⇒ F 7. Identidade da disjun¸c˜ao com a verdade: p ∨ V ⇐⇒ V 8. Identidade da disjun¸c˜ao com a falsidade: p ∨ F ⇐⇒ p 9. Complementar com a conjun¸c˜ao: p ∧ ¬p ⇐⇒ F 10. Complementar com a disjun¸c˜ao: p ∨ ¬p ⇐⇒ V 11. Complementar da verdade: ¬V ⇐⇒ F 12. Complementar da falsidade: ¬F ⇐⇒ V 13. Nega¸c˜ao da nega¸c˜ao: ¬(¬p) ⇐⇒ p Observa¸c˜ ao 13 (Setas simples e duplas). Algumas vezes usamos setas simples como ←→ em bicondicionais, mas usamos setas duplas ⇐⇒ para mostrar que a proposi¸c˜ao da esquerda ´e logocamente equivalente `a proposi¸c˜ao da direita. Exemplo 12. Algumas equivalˆencias l´ogicas. 1. p ∨ [q ∧ (¬q)] ⇐⇒ p Significando que “p ∨ [q ∧ (¬q)]” equivale a “p” 2. p ∧ [q ∨ (¬q)] ⇐⇒ p 3. p → q ⇐⇒ (¬p) ∨ q 4. ¬(p → q) ⇐⇒ p ∧ (¬q) 5. (p ↔ q) ⇐⇒ (p → q) ∧ (q → p) Significando que “p ↔ q” equivale a “(p → q) ∧ (q → p)” 6. (p ↔ q) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ [(¬p) ∧ (¬q)] 7. p → (q → r) ⇐⇒ (p ∧ q) → r 8. p → q ⇐⇒ (¬q) → (¬p)
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
˜ ´ 2.3. CONJUNTOS DEFINIDOS POR PROPOSIC ¸ OES LOGICAS
2.3
13
Conjuntos definidos por proposi¸c˜ oes l´ ogicas
Comumente surgem proposi¸c˜oes como x ´e par com uma ou mais vari´aveis, que s˜ao denominadas fun¸c˜oes sentenciais ou fun¸c˜oes proposicionais ou simplesmente proposi¸c˜oes l´ogicas. Vamos nos fixar no exemplo: x ´e par . Esta proposi¸c˜ao ´e verdadeira para alguns valores de x e falsa para outros. V´arias perguntas aparecem: 1. Quais s˜ao os valores permitidos para x? 2. A proposi¸c˜ao ´e verdadeira para todos estes valores de x citados? 3. A proposi¸c˜ao ´e verdadeira para alguns valores de x citados? Para responder `a primeira pergunta, n´os necessitamos conhecer o universo U em que estamos trabalhando, mas para trabalhar com este conceito, necessitamos entender qual ´e o significado da palavra conjunto. Entendemos a palavra conjunto como uma palavra cujo sentido ´e conhecido por todos. Algumas vezes, n´os usamos a palavra sinˆonima classe ou cole¸c˜ ao. No entanto, tais palavras aparecem nos livros, tendo significados diferentes. Pelo que se vˆe, conjunto ´e um conceito abstrato que deve ser aceito por todos como algo comum do seu cotidiano. O importante sobre um conjunto n˜ao ´e ´ um conjunto mas ´e o que o conjunto conte ´m, ou seja, o que e quais s˜ao os seus elementos? Ser´a que existe algum elemento? Se P ´e um conjunto e x ´e um elemento de P, n´os escrevemos x ∈ P para entender que x pertence ao conjunto P . O s´ımbolo ∈ ´e um s´ımbolo de pertinˆencia. Um conjunto ´e usualmente descrito em uma das seguintes formas. Por: 1. enumera¸c˜ao: {1, 2, 3} denota o conjunto com os n´umeros 1, 2 e 3 e nada mais. 2. descri¸c˜ao ou propriedade com uma proposi¸c˜ao p(x): Aqui usamos um conjunto universo U que cont´em todos os elementos x do conjunto. Assim, N´os escrevemos P = {x : x ∈ U e p(x) ´e verdadeira} ou simplesmente P = {x : p(x)}. Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
˜ 2.4. OPERAC ¸ OES COM CONJUNTOS
14
O conjunto que n˜ao tem elementos ´e o conjunto vazio, denotado por ∅. Exemplo 13. Alguns conjuntos importantes. 1. N = {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, n + 1, ...} ´e o conjunto dos n´umeros naturais. 2. Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} ´e o conjunto dos n´umeros inteiros. 3. {x : x ∈ N e − 2 < x < 2} = {1}. 4. {x : x ∈ Z e − 2 < x < 2} = {−1, 0, 1}. 5. {x : x ∈ N e − 1 < x < 1} = ∅.
2.4
Opera¸c˜ oes com conjuntos
Se P ´e um conjunto descrito pela proposi¸c˜ao p = p(x), isto ´e, P = {x : p(x)} e Q ´e um conjunto descrito pela proposi¸c˜ao q = q(x), isto ´e Q = {x : q(x)}, sendo P e Q conjuntos relativos a um certo universo U, definimos novos conjuntos: Interse¸c˜ao Reuni˜ao Complementar Diferen¸ca
P ∩Q P ∪Q Pc P −Q
= {x : p(x) ∧ q(x)} = {x : p(x) ∨ q(x)} = {x : ¬p(x)} = {x : p(x) ∧ ¬q(x)}
Com as defini¸c˜oes acima, n˜ao ´e dif´ıcil mostrar que 1. P ∩ Q = {x : x ∈ P e x ∈ Q}, 2. P ∪ Q = {x : x ∈ P ou x ∈ Q}, 3. P c = {x : x ∈ / P }, 4. P − Q = {x : x ∈ P e x ∈ / Q}. Defini¸c˜ ao 13 (Subconjunto). Um conjunto P ´e um subconjunto do conjunto Q, denotado por P ⊆ Q ou por Q ⊇ P , se todo elemento de P tamb´em ´e um elemento de Q.
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
˜ 2.4. OPERAC ¸ OES COM CONJUNTOS
15
Observa¸c˜ ao 14. Se P = {x : p(x)} e Q = {x : q(x)} em um universo U, ent˜ao P ⊆ Q se, e somente se, a proposi¸c˜ao l´ogica p(x) → q(x) ´e verdadeira para todo x ∈ U. Defini¸c˜ ao 14 (Conjuntos iguais). Dois conjuntos P e Q s˜ao iguais, denotado por P = Q, se eles contˆem os mesmos elementos, isto ´e, se cada conjunto ´e um subconjunto do outro conjunto, isto ´e, se P ⊆ Q e Q ⊆ P . Defini¸c˜ ao 15 (Conjuntos disjuntos). Dois conjuntos A e B s˜ao disjuntos se, A ∩ B = ∅. Defini¸c˜ ao 16 (Subconjunto pr´oprio). Dizemos que P ´e um subconjunto pr´oprio de Q, denotado por P ⊂ Q ou por Q ⊃ P , se P ⊆ Q mas P 6= Q. Os resultados sobre Conjuntos s˜ao demonstrados a partir de seus an´alogos em L´ogica. Teorema 5 (Leis distributivas). Se P , Q e R s˜ao conjuntos, ent˜ao 1. P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R), 2. P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R). Demonstra¸c˜ao da Primeira lei distributiva para conjuntos. Faremos uso da Primeira lei Distributiva para proposi¸c˜oes l´ogicas. Se as proposi¸c˜oes p = p(x), q = q(x) e r = r(x) est˜ao respectivamente relacionadas aos conjuntos P , Q e R com respeito a um dado universo U, ent˜ao P = {x : p(x)}, Q = {x : q(x)} e R = {x : r(x)}. Assim, temos dois conjuntos P ∩ (Q ∪ R) = {x : p(x) ∧ (q(x) ∨ r(x))} (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) = {x : (p(x) ∧ q(x)) ∨ (p(x) ∧ r(x))} Se x ∈ P ∩ (Q ∪ R), ent˜ao p(x) ∧ (q(x) ∨ r(x)) ´e verdadeira. Pela primeira lei distributiva para fun¸c˜oes sentenciais, a equivalˆencia l´ogica (p(x) ∧ (q(x) ∨ r(x))) ←→ ((p(x) ∧ q(x)) ∨ (p(x) ∧ r(x))) ´e uma tautologia.
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
˜ 2.4. OPERAC ¸ OES COM CONJUNTOS
16
Assim, (p(x)∧q(x))∨(p(x)∧r(x)) ´e verdadeira, tal que x ∈ (P ∩Q)∪(P ∩R). Isto d´a P ∩ (Q ∪ R) ⊂ (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) (2.1) Se x ∈ (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R). Ent˜ao (p(x) ∧ q(x)) ∨ (p(x) ∧ r(x)) ´e verdadeira. Segue da primeira lei distributiva para fun¸c˜oes sentenciais que p(x) ∧ (q(x) ∨ r(x)) ´e verdadeira, tal que x ∈ P ∩ (Q ∪ R). E segue outro um resultado: (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) ⊂ P ∩ (Q ∩ R)
(2.2)
A demonstra¸c˜ao segue das duas inclus˜oes (2.1) e (2.2). Teorema 6 (Leis de De Morgan). Se P e Q s˜ao conjuntos em um universo U, ent˜ao 1. (P ∩ Q)c = P c ∪ Qc , 2. (P ∪ Q)c = P c ∩ Qc . Teorema 7. Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, valem as seguintes propriedades 1. ∅ ⊂ A 2. A ⊂ U 3. A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B 4. A ∩ B ⊂ B ⊂ A ∪ B Teorema 8. Se A e B s˜ao conjuntos, demonstre que s˜ao equivalentes as afirma¸c˜oes: 1. A ⊂ B 2. A = A ∩ B 3. B = A ∪ B Teorema 9. Se S ⊂ U, ent˜ao U − S = U ∩ S c . Teorema 10 (Propriedades da reuni˜ao e da interse¸c˜ao). Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, valem as seguintes propriedades:
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
´ 2.5. QUANTIFICADORES LOGICOS
17
1. A ∪ ∅ = A
6. A ∩ ∅ = ∅
2. A ∪ U = U
7. A ∩ U = A
3. A ∪ A = A
8. A ∩ A = A
4. A ∪ B = B ∪ A
9. A ∩ B = B ∩ A
5. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
10. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Exerc´ıcio: Definir a reuni˜ao, a interse¸c˜ao e as leis de De Morgan para trˆes conjuntos.
2.5
Quantificadores L´ ogicos
Vamos voltar ao exemplo x ´e par tratado no in´ıcio da Se¸c˜ao 2.3, e restringir a nossa aten¸c˜ao aos valores de x pertencentes ao conjunto Z de todos os n´umeros inteiros. Assim: 1. A proposi¸c˜ao x ´e par ´e verdadeira apenas para alguns valores de x ∈ Z. 2. A proposi¸c˜ao Alguns elementos x em Z s˜ao pares ´e verdadeira. 3. A proposi¸c˜ao Todos os elementos x em Z s˜ao pares ´e falsa. Em geral, usamos uma fun¸c˜ao proposicional da forma p = p(x), em que a vari´avel x est´a em algum conjunto X muito bem estabelecido. Defini¸c˜ ao 17 (Quantificadores). Os s´ımbolos ∀ (para todo) e ∃ (existe um) s˜ao, respectivamente, denominados quantificadores universal e existencial. Observa¸c˜ ao 15 (Sobre quantificadores). Os s´ımbolos ∀ (para todo) e ∃ (existe um) devem ser usados sempre antes da afirma¸c˜ao l´ogica! Caso necessite usar ap´os a afirma¸c˜ao, use palavras nos lugares dos s´ımbolos. Assim, podemos considerar as duas proposi¸c˜oes abaixo, escritas nas suas respectivas formas simplificadas:
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
˜ DE PROPOSIC ˜ 2.6. NEGAC ¸ AO ¸ OES COM QUANTIFICADORES
18
1. Qualquer que seja x ∈ X, p = p(x) ´e verdadeira, denotada em s´ımbolos por: ∀x ∈ X : p(x) 2. Existe um x ∈ X tal que p = p(x) ´e verdadeira, denotada em s´ımbolos por: ∃x ∈ X : p(x) Observa¸c˜ ao 16 (Vari´avel muda). A vari´avel x na proposi¸c˜ao ∀x : p(x) ´e uma vari´avel muda, significando que a letra x pode ser trocada por qualquer outra letra. Assim, n˜ao h´a diferen¸ca l´ogica entre a proposi¸c˜ao ∀x : p(x) e a proposi¸c˜ao ∀y : p(y) ou a proposi¸c˜ao ∀z : p(z). Exemplo 14. Algumas frases e as suas respectivas simplifica¸c˜oes: Para cada x real, x2 ´e n˜ao negativo Existe um n´umero real tal que x2 = 4 Para cada x real, existe y real tal que x+y =0 Para quaisquer n´umeros reais x e a, vale a identidade (produto not´avel) x2 − a2 ≡ (x − a)(x + a) Para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que se |x−a| < δ ent˜ao |f (x)−f (a)| < ε (Lagrange): Todo n´umero natural ´e a soma dos quadrados de quatro inteiros (Goldbach): Todo n´umero par natural maior do que 2 ´e a soma de dois n´umeros primos
∀x ∈ R, x2 ≥ 0 ∃x ∈ R : x2 = 4 ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : x + y = 0 ∀x, a ∈ R : x2 − a2 ≡ (x − a)(x + a)
∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε ∀n ∈ N, ∃a, b, c, d ∈ Z : n = a2 + b2 + c2 + d2 ∀n ∈ N − {1}, ∃p, q primos : 2n = p+q
N˜ao se sabe at´e o momento se a conjectura de Goldbach ´e verdadeira ou falsa. Este ´e um problema ainda sem solu¸c˜ao na Matem´atica.
2.6
Nega¸c˜ ao de proposi¸c˜ oes com quantificadores
Desenvolveremos uma regra para negar proposi¸c˜oes com quantificadores. Ao afirmarmos que: Todos os alunos s˜ao feios , talvez vocˆe n˜ao goste. Parece Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
˜ DE PROPOSIC ˜ 2.6. NEGAC ¸ AO ¸ OES COM QUANTIFICADORES
19
que negar uma proposi¸c˜ao ∀x : p(x) ´e afirmar que ∃x : ¬p(x), isto ´e, existe algu´em que n˜ao ´e feio! Existe um outro modo de entender isto. Seja U o universo e todos os valores de x para os quais vale a proposi¸c˜ao l´ogica p = p(x), assim definimos o conjunto P = {x : p(x)}. Se a proposi¸c˜ao ∀x : p(x) ´e verdadeira, ent˜ao P = U , assim P c = U c = ∅, mas como P c = {x : ¬p(x)}, assim, se a proposi¸c˜ao ∃x : ¬p(x) fosse verdadeira seguiria que P c 6= ∅, logo, (P c )c 6= U c = ∅, garantindo que P 6= ∅, o que seria uma contradi¸c˜ao. Por outro lado, se a proposi¸c˜ao ∀x : p(x) ´e falsa, ent˜ao P 6= U , logo P c 6= ∅ e segue que a proposi¸c˜ao ∃x : ¬p(x) ´e verdadeira. Vamos acalmar o pessoal: Nem todos os alunos s˜ao feios . Vocˆe ainda reclamar´a, pois talvez nenhum de vocˆes seja feio. Ent˜ao, ´e natural suspeitar que a nega¸c˜ao de uma proposi¸c˜ao ∃x : p(x) seja a proposi¸c˜ao ∀x : p(x). Para resumir a forma de negar uma proposi¸c˜ao, n´os devemos simplesmente: ˜o mudar o quantificador para o outro tipo e negar proposic ¸a p = p(x). Suponhamos que exista uma proposi¸c˜ao bem complicada. Vamos aplicar ponto a ponto a nossa simples regra. Por exemplo: ¬[∀x, ∃y, ∀z, ∀w : p(x, y, z, w)] ´e equivalente a ∃x : ¬[∃y, ∀z, ∀w : p(x, y, z, w)] que ´e equivalente a ∃x, ∀y : ¬[∀z, ∀w : p(x, y, z, w)] que equivale a ∃x, ∀y, ∃z : ¬[∀w : p(x, y, z, w)] que tamb´em ´e equivalente a ∃x, ∀y, ∃z, ∃w : ¬p(x, y, z, w) A regra criada ´e a seguinte. Devemos: Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
2.7. EXERC´ıCIOS
20
´veis em sua ordem original, 1. Manter as varia 2. Trocar os quantificadores e ˜o. 3. Negar a proposic ¸a Exemplo: A nega¸c˜ao da conjectura de Goldbach pode ser escrita como ∃n ∈ N − {1}, ∀p, q n´ umeros primos : 2n 6= p + q significando que existe um n´umero natural par maior do que 2 que n˜ao ´e a soma de dois n´umeros primos. Para mostrar que a conjectura de Goldbach n˜ao funciona, basta apresentar um contraexemplo, isto ´e, os objetos satisfazendo aos conjuntos mas n˜ao atendendo a conclus˜ao.
2.7
Exerc´ıcios
1. Usando Tabelas-Verdade ou outro tipo de demonstra¸c˜ao, verificar que cada uma das seguintes proposi¸c˜oes ´e uma tautologia: (a) p → (p ∨ q) (b) p → (q → p) (c) (p → q) ←→ (¬q → ¬p)
(d) ((p ∧ ¬q) → q) → (p → q) (e) (p ∨ (p ∧ q)) ←→ p
2. Decidir (e justificar) se cada afirma¸c˜ao ´e uma tautologia: (a) (p ∨ q) → (q → (p ∧ q)) (b) ((p ∨ q) ∧ r) ←→ (p ∨ (q ∧ r)) (c) (p ∧ q) → (p → q) (d) (p → ¬(q → r)) ↔ (¬(p → q)∨(p → ¬r)) (e) p → (q ∧ (r ∨ s)) (f) ¬[(p ∧ q) ∨ r] ←→ ((¬p ∨ ¬q) ∧ ¬r) (g) (p ∧ (q ∨ (r ∧ s))) ←→ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r ∧ s)) (h) ((p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) (i) (p ∧ q ∧ r) ←→ (s ∨ t) (j) (¬[p → q]) ←→ (¬p → ¬q) Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
2.7. EXERC´ıCIOS
21
(k) ((r ∨ s) → (p ∧ q)) → (p → (q → (r ∨ s))) (l) (¬[p → q] ∧ (r ←→ s)) → (t → u) (m) (p → q) → (q → p) 3. Para cada afirma¸c˜ao, decidir se ela ´e verdadeira ou falsa, justificando a sua asser¸c˜ao: (a) Se p ´e verdadeira e q ´e falsa, ent˜ao p ∧ q ´e verdadeira. (b) Se p ´e verdadeira, q ´e falsa e r ´e falsa, ent˜ao p ∨ (q ∧ r) ´e verdadeira. (c) A proposi¸c˜ao (p ←→ q) ←→ (q ←→ p) ´e uma tautologia. (d) As proposi¸c˜oes p ∧ (q ∨ r) e (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) s˜ao logicamente equivalentes. 4. Listar os elementos de cada um dos conjuntos: (a) {x ∈ N : x < 45}
(d) {x ∈ Q : x2 + 4 = 6}
(b) {x ∈ Z : x < 45}
(e) {x ∈ Z : x4 = 1}
(c) {x ∈ R : x2 + 2x = 0}
(f) {x ∈ N : x4 = 1}
5. Qual ´e o n´umero de elementos de cada conjunto abaixo? Tais conjuntos s˜ao diferentes? (a) ∅
(b) {∅}
(c) {{∅}}
(d) {∅, {∅}} (e) {∅, ∅}
6. Sejam U = {a, b, c, d}, P = {a, b} e Q = {a, c, d}. Escrever os seguinte conjuntos: (a) P ∪ Q
(b) P ∩ Q
(c) P c
(d) Qc
7. Sejam U = R, A = {x ∈ R : x > 0}, B = {x ∈ R : x > 1} e C = {x ∈ R : x < 2}. Obter cada um dos seguintes conjuntos: (a) A ∪ B (b) A ∪ C (c) B ∪ C (d) A ∩ B (e) A ∩ C (f) B ∩ C (g) A−B (h) B −C (i) A − C (j) Ac (k) B c (l) C c 8. Listar todos os subconjuntos do conjunto {1, 2, 3}. Quantos subconjuntos existem? 9. Sejam A, B, C e D conjuntos tal que A ∪ B = C ∪ D tal que A ∩ B = ∅ = C ∩ D. (a) Usando exemplos, mostrar que A ∩ C e B ∩ D podem ser vazios. Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
2.7. EXERC´ıCIOS
22
(b) Mostrar que se C ⊂ A, ent˜ao B ⊂ D. 10. Suponha que P , Q e R s˜ao subconjuntos do conjunto N dos n´umeros naturais. Para cada ´ıtem, analise se ´e verdadeira ou falsa a afirma¸c˜ao, justificando a sua asser¸c˜ao pelo estudo de proposi¸c˜oes similares que existem em L´ogica: (a) P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R). (b) P ⊂ Q se, e somente se, Q ⊂ P . (c) Se P ⊂ Q e Q ⊂ R, ent˜ao P ⊂ R. 11. Para cada proposi¸c˜ao, crie uma proposi¸c˜ao com palavras, fa¸ca a nega¸c˜ao da proposi¸c˜ao criada e escreva se a proposi¸c˜ao ou a nega¸c˜ao da proposi¸c˜ao ´e verdadeira: (a) ∀z ∈ N : z 2 ∈ N . (b) ∀x ∈ Z, ∀y ∈ Z, ∃z ∈ z : z 2 = x2 + y 2 . (c) ∀x ∈ Z : (x > y) → (x 6= y). (d) ∀x, y, z ∈ R, ∃w ∈ R : x2 + y 2 + z 2 = 8w. 12. Para cada proposi¸c˜ao abaixo, escrever uma proposi¸c˜ao l´ogica correspondente e a nega¸c˜ao desta proposi¸c˜ao. Analisar se a proposi¸c˜ao que vocˆe criou ou a nega¸c˜ao desta proposi¸c˜ao ´e verdadeira. (a) Dados quaisquer inteiros, existe uma maior inteiro. (b) Existe um inteiro maior do que todos os outros inteiros. (c) Todo n´umero par ´e a soma de dois n´umeros ´ımpares. (d) Todo n´umero ´ımpar ´e a soma de dois n´umeros pares. (e) A distˆancia entre quaisquer dois n´umeros complexos ´e positiva. (f) Todo n´umero natural que ´e divis´ıvel por 2 e tamb´em por 3 ´e divis´ıvel por 6. (Nota¸c˜ao: Escrever x|y se x divide y.) (g) Todo n´umero inteiro ´e a soma dos quadrados e dois n´umeros inteiros. (h) N˜ao existe um maior n´umero natural. 13. Seja p = p(x, y) uma fun¸c˜ao proposicional com as vari´aveis x e y. Discutir se cada afirma¸c˜ao ´e verdadeira do ponto de vista da L´ogica. (a) (∃x, ∀y : p(x, y)) → (∀y, ∃x : p(x, y)) Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
2.8. MAIOR QUANTIDADE DE CONJUNTOS
23
(b) (∀y, ∃x : p(x, y)) → (∃x, ∀y : p(x, y)) Observa¸c˜ ao 17. Boa parte deste material recebeu a inser¸c˜ao de m´odulos de nossas notas de aulas e foi adaptado de DISCRETE MATHEMATICS, WWL CHEN, 1982, 2003, onde se lˆe: This chapter originates from material used by the author at Imperial College, University of London, between 1981 and 1990. It is available free to all individuals, on the understanding that it is not to be used for financial gains, and may be downloaded and/or photocopied, with or without permission from the author. However, this document may not be kept on any information storage and retrieval system without permission from the author, unless such system is not accessible to any individuals other than its owners.
2.8
Maior quantidade de conjuntos
Observa¸c˜ ao 18 (N´umero finito ou infinito de conjuntos). As propriedades apresentadas para dois conjuntos tamb´em s˜ao v´alidas para um n´umero finito de conjuntos, mas nem sempre s˜ao verdadeiras para um n´umero infinito de conjuntos. Seja a cole¸c˜ao de conjuntos {Ai }i∈M , onde M = {1, 2, 3, ..., m}. A reuni˜ao dos conjuntos Ai ´e o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos Ai : m [ Ai = {x : x ∈ Ai para algum i ∈ M } i=1
A interse¸c˜ao dos conjuntos Ai ´e o conjunto dos elementos que pertencem a todos os Ai : m \ Ai = {x : x ∈ Ai para todo i ∈ M } i=1
Nas defini¸c˜oes acima, se o conjunto M for substitu´ıdo pelo conjunto N = {1, 2, 3, 4, ...} e a letra m for substitu´ıda pelo s´ımbolo ∞, a reuni˜ao e a interse¸c˜ao ser˜ao indicadas por: ∞ [
Ai = {x : x ∈ Ai para algum i ∈ N }
i=1
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
˜ ´ ´ 2.9. PROPOSIC ¸ OES COM VALORES LOGICOS NUMERICOS
∞ \
24
Ai = {x : x ∈ Ai para todo i ∈ N }
i=1
Exerc´ıcio: Qual ´e a diferen¸ca entre: identidade e igualdade?
2.9
Proposi¸c˜ oes com valores l´ ogicos num´ ericos
Na sequˆencia, substituiremos os valores l´ogicos F e V das proposi¸c˜oes p e q pelos valores num´ericos 0 e 1, para gerar novas proposi¸c˜oes com o uso de computadores. Defini¸c˜ ao 18 (M´ınimo e M´aximo entre dois n´umeros inteiros). Se p e q s˜ao n´umeros inteiros, definimos o m´ınimo (respectivamente, m´aximo) entre p e q, denotado por min(p, q) (respectivamente max(p, q)), atrav´es de p se p ≤ q q se p ≤ q min(p, q) = max(p, q) = q se q < p p se q < p Defini¸c˜ ao 19 (Tabelas-verdade com valores num´ericos). Sejam p e q duas proposi¸c˜oes l´ogicas, que assumem o valor l´ogico 0 se a proposi¸c˜ao ´e falsa e o valor l´ogico 1 se a proposi¸c˜ao ´e verdadeira. A partir de tais valores l´ogicos num´ericos de p e q, podemos definir as proposi¸c˜oes: Nome da proposi¸c˜ao Nota¸c˜ao Defini¸c˜ao com valores num´ericos Conjun¸c˜ao de p e q p∧q min(p, q) Disjun¸c˜ao de p e q p∨q max(p, q) Nega¸c˜ao de p ¬p 1−p Condicional entre p e q p→q max(1 − p, q) Bicondicional entre p e q p ←→ q max(min(p, q), min(1 − p, 1 − q)) Exemplo 15 (Tabelas-verdade com valores num´ericos). Sejam as proposi¸c˜oes p e q, que assumem valores l´ogicos verdadeiros (1) ou falsos (0). P1
P2
Conjun¸c˜ao
Disjun¸c˜ao
Nega¸c˜ao
Implica¸c˜ao
Equivalˆencia
p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
min(p,q)
max(p,q)
1-p
max(1-p,q)
max(min(p,q),min(1-p,1-q))
1 0 0 0
1 1 1 0
0 0 1 1
1 0 1 1
1 0 0 1
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
˜ CONSTRU´ıDOS PELOS ALUNOS 2.10. TRABALHOS QUE SERAO
2.10
25
Trabalhos que ser˜ ao constru´ıdos pelos alunos
1. Exemplos pr´aticos de proposi¸c˜oes compostas. Apresentar situa¸c˜oes com frases da vida e tamb´em da Matem´atica onde aparecem tais proposi¸c˜oes. 2. Uso da L´ogica para desenvolver o racioc´ınio l´ogico. Identificar situa¸c˜oes como as dos livros: “Alice no Pa´ıs das Maravilhas” de Lewis Carrol ou “A Dama ou o Tigre?”, “Alice no Pa´ıs dos Enigmas”, “O Enigma de Sherezade” de Raymond Smullyan, editadas no Brasil por Jorge Zahar, para resolver problemas de racioc´ınio usando L´ogica Matem´atica. 3. T´ecnicas Dedutivas em geral. Estudar e apresentar situa¸c˜oes em que s˜ao necess´arias as t´ecnicas dedutivas para demonstrar proposi¸c˜oes l´ogicas. Exibir aplica¸c˜oes das t´ecnicas dedutivas, em resultados simples da aritm´etica dos n´umeros inteiros, racionais e irracionais e tamb´em em conte´udos contidos neste programa. Estudar a equivalˆencia das t´ecnicas de demonstra¸c˜oes (direta, contrapositiva e por absurdo) usando a tabela verdade 4. Demonstra¸c˜ao direta. Dar exemplos de situa¸c˜oes com demonstra¸c˜oes l´ogicas diretas. 5. Demonstra¸c˜ao pela contrapositiva. Dar exemplos de situa¸c˜oes que necessitam ser demonstradas pela contrapositiva. 6. Demonstra¸c˜ao por absurdo. Dar exemplos de situa¸c˜oes que necessitam que as demonstra¸c˜oes sejam realizadas “por absurdo”. 7. Demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao matem´atica. Apresentar situa¸c˜oes em que a indu¸c˜ao matem´atica n˜ao ´e v´alida. Apresentar situa¸c˜oes onde a indu¸c˜ao matem´atica ´e necess´aria. 8. Para entender como a L´ogica ´e usada em jogos, estude quebra-cabe¸cas como: quadrado m´agico, Sudoku e Kakuro, jogos de tabuleiro como: Jogo de damas e Xadrez, e, jogos de computador como o Freecell.
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
Bibliografia [1] E. Alencar Filho. Inicia¸c˜ao `a L´ogica Matem´atica. Nobel. S.Paulo. 1969. [2] M. Amoroso Costa. As id´eias Fundamentais da Matem´atica e outros ensaios. Editora Conv´ıvio e EDUSP. S.Paulo. 1981. ´ [3] G. Avila. An´alise Matem´atica para Licenciatura. Edgard Bl¨ucher. S˜ao Paulo. 2001. ´ [4] F. Ayres Jr. Algebra Moderna. McGraw-Hill do Brasil. S. Paulo. 1971. [5] R. M. Barbosa. Elementos de L´ogica aplicada ao ensino secund´ario. Livraria Nobel. S.Paulo. 1970. [6] C. B. Boyer. Hist´oria da Matem´atica. Edgard Bl¨ucher. S.Paulo. 1974. [7] B. Castrucci. Introdu¸c˜ao `a L´ogica Matem´atica. Nobel. S˜ao Paulo. 1973. ´ [8] A. G. Kurosh. Curso de Algebra Superior. Editorial Mir. Moscu. 1968. [9] L. H. Jacy Monteiro. Inicia¸c˜ao `as Estruturas Alg´ebricas. Nobel. S.Paulo, 1968. [10] S. Lipschutz. Teoria dos Conjuntos. Ao Livro T´ecnico. Rio. 1967. [11] U. Sodr´ e. An´alise na reta (Notas de aulas), Dep. de Matem´atica, Univ. Estadual de Londrina, 1982, 1999, 2001, 2005, 2006. [12] U. Sodr´ e. LATEX B´asico com o TeXnicCenter, Tutorial para construir trabalhos de Matem´atica. Dep. de Matem´atica. UEL. Londrina-PR. 2005. [13] P. Suppes e S. Hill. Introduccion a la l´ogica matem´atica Editorial Revert´e. Barcelona. 1963. [14] Universidade Federal do Rio de Janeiro. Um Guia em Matem´atica. Rio. 1969.
Elementos de Matem´ atica - No. 1 - Ulysses Sodr´ e - Matem´ atica - UEL - 2007
