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CE-065 Elementos Básicos de Estatística
Notas de Aulas
Curitiba – PR 07.03.2006
Universidade Federal do Paraná
Jorge Festa
Estas notas seguem de muito perto a bibliografia referenciada abaixo e que correspondem aos livros texto deste Curso, sugere-se a sua aquisição. As notas abordam o assunto relacionado com a disciplina, Elementos Básicos de Estatística, lecionado no curso de Estatística, da Universidade Federal do Paraná. Boulos, P. – Pré-cálculo, Makron Books do Brasil Editora Ltda, 4a. ed., 1999. Fernandez, P. J. – Introdução à Teoria das Probabilidades, Ed. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1973. Flemming, D. M., Gonçalves, M. B. – Cálculo A: Funções, Limites e Integração, 5a. ed., Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1992. Hoel, Port and Stone - Introdução à Teoria da Probabilidade, Ed. Interciência, 1975. Lipschutz, S., - Probabilidade, Col. Schaum , Makron Books do Brasil Editora Ltda., 4a. ed., 1972. Meyer, P.L. - Probabilidade, Aplicações à Estatística, Ed. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1973. Spiegel, Murray Ralph., (1977) Probabilidade e Estatística, São Paulo: McGraw-Hill do Brasil Thomas, G. B., Finney, Weir and Giordano – Cálculo, Pearson Addison Wesley, v.1, 2002.
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Sumário TEORIA DOS CONJUNTOS..............................................................................................................6 SÍMBOLOS ......................................................................................................................................6 SÍMBOLOS DAS OPERAÇÕES ........................................................................................................6 CONCEITOS DE CONJUNTOS .....................................................................................................6 CONJUNTOS NUMÉRICOS...........................................................................................................7 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N).........................................................................7 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z) ...........................................................................8 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) .......................................................................8 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS..........................................................................9 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)..................................................................................9 FUNÇÕES..........................................................................................................................................11 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO: ..............................................................................12 OBTENÇÃO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO: ......................................................................13 CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO CARTESIANO DE UMA FUNÇÃO........................................14 RAÍZES DE UMA FUNÇÃO ........................................................................................................15 PROPRIEDADES DE UMA FUNÇÃO.........................................................................................15 FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR.............................................................................................16 FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE ..............................................................18 FUNÇÃO COMPOSTA .................................................................................................................19 FUNÇÃO INVERSA......................................................................................................................20 FUNÇÃO DE 1º GRAU.....................................................................................................................22 VETORES..........................................................................................................................................32 RETA ORIENTADA - EIXO........................................................................................................32 SEGMENTO ORIENTADO ..........................................................................................................32 SEGMENTO NULO.......................................................................................................................32 SEGMENTOS OPOSTOS..............................................................................................................32 MEDIDA DE UM SEGMENTO ....................................................................................................32 DIREÇÃO E SENTIDO .................................................................................................................32 SEGMENTOS EQUIPOLENTES ..................................................................................................33 PROPRIEDADES DA EQUIPOLÊNCIA ..................................................................................33 VETOR ...........................................................................................................................................34 VETORES OPOSTOS....................................................................................................................34 VETOR UNITÁRIO.......................................................................................................................34 VERSOR.........................................................................................................................................35 VETORES COLINEARES.............................................................................................................35 VETORES COPLANARES ...........................................................................................................35 SOMA DE VETORES....................................................................................................................36 PROPRIEDADES DA SOMA DE VETORES...........................................................................36 DIFERENÇA DE VETORES.........................................................................................................37 PRODUTO DE UM ESCALAR POR UM VETOR...................................................................37 PROPRIEDADES DO PRODUTO DE ESCALAR POR VETOR ............................................37 MÓDULO DE UM VETOR...........................................................................................................37 VETOR UNITÁRIO.......................................................................................................................37 PRODUTO ESCALAR ..................................................................................................................38 PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR..........................................................................38 ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES ............................................................................................38 VETORES ORTOGONAIS............................................................................................................38 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS ....................................................................................................39 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS...................................................................................................42 4
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MATRIZES........................................................................................................................................50 SISTEMAS LINEARES ....................................................................................................................64 DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA......................................................................................85 RESUMO DAS ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS .....................................................................104 PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS, COM SEUS RESPECTIVOS GRÁFICOS DA FUNÇÃO DE MASSA .................................................................................................................106 PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS, COM SEUS RESPECTIVOS GRÁFICOS DA FUNÇÃO DENSIDADE ..............................................................................................................109
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TEORIA DOS CONJUNTOS Símbolos : pertence
: existe
: não pertence
: não existe
: está contido
: para todo (ou qualquer que seja)
: não está contido
: conjunto vazio
: contém
N: conjunto dos números naturais
: não contém
Z : conjunto dos números inteiros
/ : tal que
Q: conjunto dos números racionais
: implica que
Q'= I: conjunto irracionais
dos
números
: se, e somente se
R: conjunto dos números reais
Símbolos das operações : A intersecção B : A união B A - b: diferença de A com B a < b: a menor que b : a menor ou igual a b a > b: a maior que b : a maior ou igual a b :aeb : a ou b Conceitos de conjuntos Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou
.
Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja A B. Observações: •
Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja
;
•
O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja 6
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União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja:
Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:
Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja:
Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja:
Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2n subconjuntos de A. Conjuntos Numéricos Conjunto dos números naturais (N)
N={0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Um subconjunto importante de N é o conjunto N*: N*={1, 2, 3, 4, 5,...} Æ o zero foi excluído do conjunto N. 7
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Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, como mostra o gráfico abaixo:
Conjunto dos números inteiros (Z)
Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} O conjunto N é subconjunto de Z. Temos também outros subconjuntos de Z: Z* = Z-{0} Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...} Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...} Observe que Z+=N. Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o gráfico abaixo:
Conjunto dos números racionais (Q) Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador ∈ Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas. Exemplos:
5 3 3 Então : -2, − , − 1, , 1, , por exemplo, são números racionais. 4 5 2 −3 −6 −9 a) − 3 = = = 1 2 3 1 2 3 b) 1 = = = 1 2 3 Assim, podemos escrever:
Q = {x | x =
a , com a ∈ Z , b ∈ Z e b ≠ 0} b
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É interessante considerar a representação decimal de um número racional, que se obtém dividindo a por b. a b Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas: 1 5 75 = 0,5 − = −1, 25 = 3, 75 2 4 20 Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas: 1 6 7 = 0,333... = 0,857142857142... = 1,1666... 3 7 6 Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional. Conjunto dos números irracionais Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3: Um número irracional bastante conhecido é o número π=3,1415926535... 2 = 1, 4142135... 3 = 1, 7320508... Conjunto dos números reais (R) Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números reais como:
R=Q ∪ {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional} O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de R temos: R* = R-{0} R+ = conjunto dos números reais não negativos R_ = conjunto dos números reais não positivos Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo: 9
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Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ... • Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais: 5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...
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FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. O uso de funções pode ser encontrado em diversos assuntos. Por exemplo, na tabela de preços de uma loja, a cada produto corresponde um determinado preço. Outro exemplo seria o preço a ser pago numa conta de luz, que depende da quantidade de energia consumida. Observe, por exemplo, o diagrama das relações abaixo:
A relação acima não é uma função, pois existe o elemento 1 no conjunto A, que não está associado a nenhum elemento do conjunto B.
A relação acima também não é uma função, pois existe o elemento 4 no conjunto A, que está associado a mais de um elemento do conjunto B. Agora preste atenção no próximo exemplo:
A relação acima é uma função, pois todo elemento do conjunto A, está associado a somente um elemento do conjunto B.
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De um modo geral, dados dois conjuntos A e B, e uma relação entre eles, dizemos que essa relação é uma função de A em B se e somente se, para todo x A existe um único y B de modo que x se relacione com y. DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO: O domínio de uma função é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D = A. Se um elemento x A estiver associado a um elemento y B, dizemos que y é a imagem de x (indica-se y=f(x) e lê-se “y é igual a f de x”). Exemplo: se f é uma função de N em N (isto significa que o domínio e o contradomínio são os números naturais) definida por y=x+2. Então temos que: • A imagem de 1 através de f é 3, ou seja, f(1)=1+2=3; • A imagem de 2 através de f é 4, ou seja, f(2)=2+2=4; De modo geral, a imagem de x através de f é x+2, ou seja: f(x)=x+2. Numa função f de A em B, os elementos de B que são imagens dos elementos de A através da aplicação de f formam o conjunto imagem de f. Com base nos diagramas acima, concluímos que existem 2 condições para uma relação f seja uma função: 1ª) O domínio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja, todo elemento de A é ponto de partida de flecha. Se tivermos um elemento de A do qual não parta flecha, a relação não é função. 2ª) De cada elemento de A deve partir uma única flecha. Se de um elemento de A partir mais de uma flecha, a relação não é função. Observações: • Como x e y têm seus valores variando nos conjuntos A e B, recebem o nome de variáveis. • A variável x é chamada variável independente e a variável y, variável dependente, pois para obter o valor de y dependemos de um valor de x. • Uma função f fica definida quando são dados seu domínio (conjunto A), seu contradomínio (conjunto B) e a lei de associação y=f(x). EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1. Considere a função f: A Æ B representada pelo diagrama a seguir:
Determine: a) o domínio (D) de f; b) f(1), f(-3), f(3) e f(2); c) o conjunto imagem (Im) de f; d) a lei de associção 12
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Resolução: a) O domínio é igual ao conjunto de partida, ou seja, D=A. b) f(1)=1, f(-3)=9, f(3)=9 e f(2)=4. c) O conjunto imagem é formado por todas imagens dos elementos do domínio, portanto: Im = {1,4,9}. d) Como 12=1, (-3)2=9, 32=9 e 22=4, temos y=x2. 2. Dada a função f: R Æ R (ou seja, o domínio e o contradomínio são os números reais) definida por f(x)=x2-5x+6, calcule: a) f(2), f(3) e f(0); b) o valor de x cuja imagem vale 2. Resolução: a) f(2)= 22-5(2)+6 = 4-10+6 = 0 f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0 f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6 b) Calcular o valor de x cuja imagem vale 2 equivale a resolver a equação f(x)=2, ou seja, x2 5x + 6 = 2. Utilizando a fórmula de Bhaskara encontramos as raízes 1 e 4. Portanto os valores de x que têm imagem 2 são 1 e 4. OBTENÇÃO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO: O domínio é o subconjunto de R no quais todas as operações indicadas em y=f(x) são possíveis. Vamos ver alguns exemplos: 1) f ( x ) = 2x + 4 , como 2x − 4 só é possível em R se 2x − 4 ≥ 0 , ou seja, x ≥ 2 , então, D = {x ∈ R / x ≥ 2} .
5 , como x + 1 é denominador, ele não poderá ser nulo (pois não existe divisão por x +1 zero), portanto x + 1 ≠ 0 , ou seja, x ≠ −1 , então, D = {x ∈ R / x ≠ −1} . 3− x ≥ 0 x−2 , vamos analisar primeiro o numerador: como x − 2 está dentro da raiz, então 3) f (x) = 3− x devemos ter x − 2 ≥ 0 , ou seja, x ≥ 2 (condição 1). Agora vamos analisar o denominador: como 3 − x está dentro da raiz, devemos ter 3 − x ≥ 0 , mas além disso ele também está no denominador, portanto devemos ter 3 − x ≠ 0 . Juntando as duas condições devemos ter: 3 − x > 0 , ou seja, x < 3 (condição 2). Resolvendo o sistema formado pelas condições 1 e 2 temos: 2) f ( x ) =
Devemos considerar o intervalo que satisfaz as duas condições ao mesmo tempo. Portanto, D={x IR | 2 x < 3}.
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CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO CARTESIANO DE UMA FUNÇÃO Para construir o gráfico de uma função f, basta atribuir valores do domínio à variável x e, usando a sentença matemática que define a função, calcular os correspondentes valores da variável y. Por exemplo, vamos construir o gráfico da função definida por y=x/2. Escolhemos alguns valores para o domínio. Por exemplo D={2,4,6,8}, e agora calculamos os respectivos valores de y. Assim temos: x=2
y=2/2 = 1
Então montamos a seguinte tabela:
x=4
y=4/2 = 2
x
y
x=6
y=6/2 = 3
2
1
x=8
y=8/2 = 4
4
2
6
3
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Identificamos os pontos encontrados no plano cartesiano:
O gráfico da função será uma reta que passará pelos quatro pontos encontrados. Basta traçar a reta, e o gráfico estará construído. Obs: para desenhar o gráfico de uma reta são necessários apenas dois pontos. No exemplo acima escolhemos 4 pontos, mas bastaria escolher dois elementos do domínio, encontrar suas imagens, e logo após traçar a reta que passa por esses 2 pontos.
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RAÍZES DE UMA FUNÇÃO Dada uma função y=f(x), os valores, os valores de x para os quais f(x)=0 são chamados raízes de uma função. No gráfico cartesiano da função, as raízes são abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal. Observe o gráfico abaixo:
No gráfico acima temos: f(x1)=0, f(x2)=0 e f(x3)=0. Portanto x1, x2 e x3 são raízes da função. PROPRIEDADES DE UMA FUNÇÃO Essas são algumas propriedades que caracterizam uma função f:A B: 1. Função sobrejetora: Dizemos que uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio, isto é, se Im=B. Em outras palavras, não pode sobrar elementos no conjunto B sem receber flechas. 2. Função Injetora: A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto não pode haver nenhum elemento no conjunto B que receba duas flechas. Por exemplo, a função f:IR IR definida por f(x)=3x é injetora pois se x1 x2 então 3x1 3x2, portanto f(x1) f(x2). 3. Função Bijetora: Uma função é bijetora quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Por exemplo, a função f: IR IR definida por y=3x é injetora, como vimos no exemplo anterior. Ela também é sobrejetora, pois Im=B=IR. Logo, esta função é bijetora. Já a função f: IN IN definida por y=x+5 não é sobrejetora, pois Im={5,6,7,8,...} e o contradomínio CD=IN, mas é injetora, já que valores diferentes de x têm imagens distintas. Então essa função não é bijetora. Observe os diagramas abaixo:
• • •
Essa função é sobrejetora, pois não sobra elemento em B Essa função não é injetora, pois existem dois elementos com mesma imagem Essa função não é bijetora, pois não é injetora
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• • •
Essa função é injetora, pois elementos de B são “flechados” só uma vez. Essa função não é sobrejetora, pois existem elementos sobrando em B Essa função não é bijetora, pois não é sobrejetora
• • •
Essa função é injetora, pois elementos de B são “flechados” só uma vez. Essa função é sobrejetora, pois não existem elementos sobrando em B A função é bijetora, pois é injetora e sobrejetora
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FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR Dada uma função f: AÆB, dizemos que f é par se, e somente se, f(x)=f(-x) para todo x A. Ou seja: os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. O diagrama a seguir mostra um exemplo de função par:
Por exemplo, a função f: R Æ IR definida por f(x)=x2 é uma função par, pois f(x)=x2=(-x)2=f(-x). Podemos notar a paridade dessa função observando o seu gráfico:
Notamos, no gráfico, que existe uma simetria em relação ao eixo vertical. Elementos simétricos têm a mesma imagem. Os elementos 2 e –2, por exemplo, são simétricos e possuem a imagem 4. 16
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Por outro lado, dada uma função f: AÆB, dizemos que f é ímpar se, e somente se, f(-x)=-f(x) para todo x A. Ou seja: valores simétricos possuem imagens simétricas. O diagrama a seguir mostra um exemplo de função ímpar:
Por exemplo, a função f: RÆR definida por f(x)=x3 é uma função ímpar, pois f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x). Podemos notar que a função é ímpar observando o seu gráfico:
Notamos, no gráfico, que existe uma simetria em relação a origem 0. Elementos simétricos têm imagens simétricas. Os elementos 1 e –1, por exemplo, são simétricos e possuem imagens 1 e –1 (que também são simétricas). Obs: Uma função que não é par nem ímpar é chamada função sem paridade. EXERCÍCIO RESOLVIDO: 1. Classifique as funções abaixo em pares, ímpares ou sem paridade: 1. f(x)=2x f(-x)= 2(-x) = -2x Æ f(-x) = -f(x), portanto f é ímpar. b) f(x)=x2-1 f(-x)= (-x)2-1 = x2-1 Æ f(x)=f(-x), portanto f é par. c) f(x)=x2-5x+6 f(-x)= (-x)2-5(-x)+6 = x2+5x+6 Como f(x) ≠ f(-x), então f não é par. Temos também que –f(x) ≠ f(-x), logo f não é ímpar. Por não ser par nem ímpar, concluímos que f é função sem paridade.
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FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE Dada uma função f: AÆB, dizemos que f é crescente em algum conjunto A’ ⊂ A, se, e somente se, para quaisquer x1 ∈ A’ e x2 ∈ A’, com x1 x1+1 f(x1)f(x2). Por exemplo, a função f: R Æ R definida por f(x)= -x+1 é decrescente em R, pois x1 -x1>-x2 => -x1+1>-x2+1 => f(x1)>f(x2). Ou seja: quando os valores do domínio crescem, suas correspondentes imagens decrescem.
Esse é um exemplo de função crescente. Podemos notar no gráfico que à medida que os valores de x vão aumentando, suas imagens também vão aumentando.
Esse é um exemplo de função decrescente. Podemos notar no gráfico que à medida que os valores de x vão aumentando, suas imagens vão diminuindo.
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FUNÇÃO COMPOSTA Vamos analisar um exemplo para entender o que é uma função composta. Consideremos os conjuntos A={-2,-1,0,1,2}, B={-2,1,4,7,10} e C={3,0,15,48,99}, e as funções f:AÆB definida por f(x)=3x+4, e g:BÆC definida por g(y)=y2-1.
Como nos mostra o diagrama acima, para todo x ∈ A temos um único y ∈ B tal que y=3x+4, e para todo y ∈ B existe um único z ∈ C tal que z=y2-1, então concluímos que existe uma função h de A em C, definida por h(x)=z ou h(x)=9x2+24x+15, pois: h(x)=z Æ h(x)= y2-1 E sendo y=3x+4, então h(x)=(3x+4)2-1 Æ h(x)= 9x2+24x+15. A função h(x) é chamada função composta de g com f. Podemos indicá-la por gof (lemos “g composta com f”) ou g[f(x)] (lemos “g de f de x”). Vamos ver alguns exercícios para entender melhor a idéia de função composta. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1. Dadas as funções f(x)=x2-1 e g(x)=2x, calcule f[g(x)] e g[f(x)]. Resolução: f[g(x)] = f(2x) = (2x)2-1 = 4x2-1 g[f(x)] = g(x2-1) = 2(x2-1) = 2x2-2 2. Dadas as funções f(x)=5x e f[g(x)]=3x+2, calcule g(x). Resolução: Como f(x)=5x, então f[g(x)]= 5.g(x). Porém, f[g(x)]=3x+2; logo 5.g(x)=3x+2, e daí g(x)=(3x+2)/5 3. Dadas as funções f(x)=x2+1 e g(x)=3x-4, determine f[g(3)]. Resolução: g(3)=3.3-4=5 f[g(3)]= f(5)= 52+1 = 25+1= 26.
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FUNÇÃO INVERSA Consideremos os conjuntos A={0,2,4,6,8} e B={1,3,5,7,9} e a função f:A B definida por y=x+1. A função f está representada no diagrama abaixo:
A função f é uma função bijetora. A cada elemento x de A está associado um único elemento y de B, de modo que y=x+1. Porém, como f é bijetora, a cada elemento y de B está associado um único elemento x de A, de modo que x=y-1; portanto temos uma outra função g:B A, de modo que x=y-1 ou g(y)=y-1. Essa função está representada no diagrama abaixo:
Pelo que acabamos de ver, a função f leva x até y enquanto a função g leva y até x. A função g:BÆA recebe o nome de função inversa de f e é indicada por f-1. O domínio de f é o conjunto imagem de g, e o conjunto imagem de f é o domínio de g. Quando queremos, a partir da sentença y=f(x), obter a sentença de f-1(x), devemos dar os seguintes passos: 1º) Isolamos x na sentença y=f(x) 2º) Pelo fato de ser usual a letra x como símbolo da variável independente, trocamos x por y e y por x. Por exemplo, para obter a função inversa de f:IR IR definida por y=2x+1, devemos: 1º) isolar x em y=2x+1. Assim y=2x+1 y-1=2x x=(y-1)/2 2º) trocar x por y e y por x: y=(x-1)/2. Portanto a função inversa de f é: f-1(x)=(x-1)/2. Observação: Para que uma função f admita a inversa f-1 é necessário que ela seja bijetora. Se f não for bijetora, ela não possuirá inversa.
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EXERCÍCIO RESOLVIDO: x −1 Dada a função f (x) = , (x ≠ −2) , calcule f −1 (−1) . x+2 x −1 x −1 e devemos isolar x nessa igualdade, então: y = ⇒ Resolução: Sabemos que y = x+2 x+2 (1 + 2y) . (x + 2).y = x − 1 ⇒ x.y + 2.y = x − 1 ⇒ x.y − x = −1 − 2y ⇒ x(y − 1) = −(1 + 2y) ⇒ x = (1 − y) 1 + 2x 1 + 2x Trocando x por y e y por x, obtemos: y = ,ou seja f −1 (x) = , e o valor de f −1 (−1) é: 1− x 1− x 1 + 2(−1) 1 − 2 1 f −1 (−1) = = =− . 1 − (−1) 1 + 1 2
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Função de 1º grau Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, Marcamos os pontos (0, -1) e
x 0
e outro ponto é
.
no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
y -1 0
Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. Função de 1º grau Zero e Equação do 1º Grau Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x) = 0. Temos: ax + b = 0 f(x) = 0 Vejamos alguns exemplos: 22
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1.
Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
f(x) = 0 2x - 5 = 0 Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6: 3x + 6 = 0 x = -2 g(x) = 0 Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas: O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então: -2x + 10 = 0 x=5 h(x) = 0
Crescimento e decrescimento Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
x y
-3 -10
-2 -7
-1 -4
0 -1
1 2
2 5
3 8
Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente. Observamos novamente seu gráfico:
Regra geral: a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0); Justificativa: •
para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).
•
para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).
Função de 1º grau Sinal Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
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Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis: 1º) a > 0 (a função é crescente) y>0
ax + b > 0
x>
y>0 ax + b < 0 x< Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz
2º) a < 0 (a função é decrescente) y>0
ax + b > 0
x<
y>0
ax + b < 0
x<
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
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Função Quadrática Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: 1.
f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2.
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3.
f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4.
f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
5.
f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola. Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x: Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
x -3 -2 -1
y 6 2 0
0 1 2
0 2 6
Observação: Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que: • se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; • se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; Zero e Equação do 2º Grau Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
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Temos:
Observação A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber: • quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; • quando é zero, há só uma raiz real; • quando é negativo, não há raiz real. Função Quadrática Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são
. Veja os gráficos:
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Imagem O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a assumir. Há duas possibilidades: 1ª - quando a > 0,
0, é o conjunto dos valores que y pode
a>0
2ª quando a < 0,
a<0
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Função Quadrática Construção da Parábola É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte: 1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; 2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x; indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0); 3. O vértice V 4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola; 5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y. Sinal Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos. Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos: 1º - > 0 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
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quando a > 0 y>0 y<0
(x < x1 ou x > x2) x1 < x < x2
quando a < 0 y>0 x1 < x < x2 (x < x1 ou x > x2) y<0 Função Quadrática 2º -
=0
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quando a > 0
quando a < 0
Função Quadrática 2º -
<0
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quando a > 0
quando a < 0
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Vetores Reta Orientada - Eixo Uma reta r é orientada quando fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta.
Segmento orientado Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade.
Segmento Nulo Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem. Segmentos Opostos Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB. Medida de um Segmento Fixada uma unidade de comprimento, cada segmento orientado pode-se associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por . Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo é de 5 unidades de comprimento: = 5 u.c.
Observações a. Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero = . b. Direção e Sentido Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas: 32
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ou coincidentes
Observações a. Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção. b. Dois Segmentos orientados opostos têm sentidos contrários. Segmentos Equipolentes Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Se os segmentos orientados AB e CD não pertencem à mesma reta. Na segunda figura abaixo, para que AB seja equipolente a CD é necessário que AB//CD e AC/BD, isto é, ABCD deve ser um paralelogramo.
Observações a. Dois segmentos nulos são sempre equipolentes. b. A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD. I.
Propriedades da Equipolência AB ~ AB (reflexiva). 33
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II. III. IV.
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Se AB ~ CD, CD ~ AB (simétrica). Se AB ~ CD e CD ~ EF, AB ~ EF (transitiva). Dado o segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB ~ CD.
Vetor Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.
Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever: = {XY/XY ~ AB} onde XY é um segmento qualquer do conjunto. O vetor determinado por AB é indicado por
ou B - A ou
.
um mesmo vetor é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Conseqüentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos. são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o As características de um vetor módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, direção e o sentido de qualquer um de seus representantes. se indica por | | . O módulo de Vetores iguais Dois vetores
e
são iguais se, e somente se, AB ~ CD.
Vetor Nulo Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por
.
Vetores Opostos Dado um vetor
=
, o vetor
é o oposto de
e se indica por
ou por
.
Vetor Unitário Um vetor
é unitário se | | = 1. 34
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Versor Versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de Por exemplo, tomemos um vetor de módulo 3.
Os vetores
e
.
da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. No entanto, apenas
tem a mesma direção e o mesmo sentido de
. Portanto, este é o versor de
.
Vetores Colineares Dois vetores e são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: e são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.
Vetores Coplanares Se os vetores não nulos , e (não importa o número de vetores) possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano , diz-se que eles são coplanares.
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Dois vetores
e
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quaisquer são são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto
no espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes de que passa por este ponto. Três vetores poderão ou não ser coplanares.
,
e
são coplanares
,
e
não são coplanares
e
pertencendo a um plano p
Soma de vetores Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por: v + w = (a+c,b+d) Propriedades da soma de vetores I) Comutativa: Para todos os vetores u e v de R2: v+w=w+v II) Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R2: u + (v + w) = (u + v) + w III) Elemento neutro: Existe um vetor O=(0,0) em R2 tal que para todo vetor u de R2, se tem: O+u=u IV) Elemento oposto: Para cada vetor v de R2, existe um vetor -v em R2 tal que: 36
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v + (-v) = O Diferença de vetores Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por: v - w = (a-c,b-d) Produto de um escalar por um vetor Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v, como: c.v = (ca,cb) Propriedades do produto de escalar por vetor Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores: •
1v=v
•
(k c) v = k (c v) = c (k v)
•
k v = c v implica k = c, se v for não nulo
•
k (v+w) = k v + k w
•
(k + c)v = k v + c v
Módulo de um vetor O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:
Vetor unitário Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1. Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R2, que são dados por: i = (1,0) j = (0,1) Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:
Observação: Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos. Se c = 0 então u será o vetor nulo. Se 0 < c < 1 então u terá comprimento menor do que v. Se c > 1 então u terá comprimento maior do que v. Se c < 0 então u terá sentido oposto ao de v.
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Produto escalar Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por: u.v = a.c + b.d Exemplos: O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é: u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14 O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é: u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19 Propriedades do produto escalar Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar: v.w = w.v v.v = |v| |v| = |v|2 u.(v+w) = u.v + u.w (kv).w = v.(kw) = k(v.w) |kv| = |k| |v| |u.v| <= |u| |v| (desigualdade de Schwarz) |u+v| <= |u| + |v| (desigualdade triangular) Obs: <= significa menor ou igual Ângulo entre dois vetores O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma: u.v = |u| |v| cos(x) onde x é o ângulo formado entre u e v.
Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como:
desde que nenhum deles seja nulo. Vetores ortogonais Dois vetores u e v são ortogonais se: u.v = 0
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Progressões Aritméticas Progressão aritmética é uma seqüência numérica na qual, a partir do segundo, cada termo é igual à soma de seu antecessor com uma constante, denominada razão. (a + a ).n Soma de termos de uma P.A. finita: Sn = 1 n 2 Fórmula do termo geral de uma P.A.: a n = a1 + (n − 1).r Logo abaixo temos alguns exercícios de progressões aritméticas resolvidos. 1) Dada a P.A. (-19,-15,-11,...) calcule o seu enésimo termo.
Primeiramente encontramos a razão : r = a2 − a1 ⇒ r = −15 − (−19) ⇒ r = 4. Logo, o termo geral é : an = a1 + (n − 1).r ⇒ an = −19 + (n − 1).4 ⇒ an = −19 + 4n − 4 ⇒ an = 4n − 23 2) Interpole seis meios aritméticos entre –8 e 13.
No problema : a1 = −8, an = 13, n = 8 (pois 6 meios aritméticos serão interpolados entre os dois extremos, que são - 8 e 13. Logo, existem 8 termos na P.A.). Para interpolar os valores, devemos encontrar a razão : an = a1 + (n − 1).r ⇒ 13 = −8 + (8 − 1).r ⇒ 13 = −8 + 7r ⇒ 13 + 8 = 7 r ⇒ 21 ⇒ r = 3. 7 Encontrada a razão, basta interpolar os meios aritméticos : - 8, - 5, - 2, 1, 4, 7, 10, 13 7r = 21 ⇒ r =
3) Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80.
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a1 + a 2 + a3 = 12 2 a1 + a 2 2 + a3 2 = 80 Sabemos que a 2 = a1 + r e que a3 = a1 + 2r. Então substituimos no sistema acima : a1 + (a1 + r ) + (a1 + 2r ) = 12 3a1 + 3r = 12 ⇒ 2 ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 a1 + (a1 + r ) + (a1 + 2r ) = 80 a1 + a1 + 2a1 r + r + a1 + 4a1 r + 4r = 80 → 3a1 + 3r = 12 ⇒ 3a 2 + 6a r + 5r 2 = 80 1 1
a1 =
12 − 3r 3
→
a1 = 4 − r
Substituindo na segunda equação temos : 3(4 − r ) 2 + 6(4 − r )r + 5r 2 = 80 3(16 − 8r + r 2 ) + (24 − 6r )r + 5r 2 = 80 48 − 24r + 3r 2 + 24r − 6r 2 + 5r 2 = 80 48 + 2r 2 = 80 → 2r 2 = 80 − 48 → 2r 2 = 32 → r 2 = 16 → r = 16 → r = ±4 Agora encontramos o primeiro termo : 1) Para r = 4 : a1 = 4 - r → a 1 = 4 - 4 → a 1 = 0 P.A : (0,4,8) 1) Para r = −4 : a1 = 4 - r → a 1 = 4 - (-4) → a 1 = 8 P.A : (8,4,0) Resposta : (0,4,8) ou (8,4,0).
4) Calcule quantos números inteiros existem entre 13 e 247 que não são múltiplos de 3. Entre 13 e 247 existem 233 números. Para calcular quantos números NÃO são múltiplos de 3, nós devemos calcular primeiramente quantos números SÃO múltiplos de 3, e logo após subtrair o número total de números (233) pelo número de múltiplos, o que dará como resultado o número de NÃO múltiplos. Para calcular o número de múltiplos de 3 : a1 = 15 (pois é o primeiro múltiplo de 3 depois do 13) r = 3,
a n = 246 (pois é o último múltiplo de 3 antes do 247). Basta achar o n, que é o número de múltiplos :
a n = a1 + (n − 1).r → 246 = 15 + (n - 1)3 → 231 = 3n - 3 → n =
234 3
→ n = 78
Dos 233 números, 78 são múltiplos de 3, logo 155 não são múltiplos de 3.
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5) Encontre o valor de x para que a sequência (2x, x+1, 3x) seja uma progressão aritmética.
Para ser uma P.A. : a3 − a 2 = a 2 − a1 3x − ( x + 1) = ( x + 1) − 2 x 2x −1 = 1 − x 2x + x = 1 + 1
→
3x = 2
→
x=
2 3
6) Numa progressão aritmética em que a2+a7=a4+ak, o valor de k é:
(a1 + r ) + (a1 + 6r ) = (a1 + 3r ) + a k 2a1 + 7r = a1 + 3r + a k 2a1 − a1 + 7r − 3r = a k
→ a k = a1 + 4r
Logo k = 5, pois a5 = a1 + 4r. 7) Se Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (-90,-86,-82,...) então o menor valor de n para que se tenha Sn>0 é: r = 4 Pelo enunciado, obtemos os seguintes dados : a1 = −90 a = 94 (pois a S deve ser maior que zero) n n Basta encontrar o número de termos : a n = a1 + (n − 1).r 94 = −90 + (n − 1).4 94 + 90 = 4n − 4 184 + 4 = 4n → n =
188 → n = 47 4
8) A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Encontre o valor de n. r = 2 ; a1 = 2 ; S n = 132 a n = a1 + (n − 1).r → a n = 2 + (n − 1).2 → a n = 2 + 2n − 2 → a n = 2n Substituindo na fórmula da soma temos : (a1 + a n ).n ( 2 + 2n) n → 132 = → n 2 + n − 132 = 0 2 2 − 1 ± 1 + 4.1.132 − 1 ± 529 − 1 ± 23 n = −12 n= = = = ⇒ n = 11 2 2 2 n = 11 Sn =
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PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão. Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2. Cálculos do termo geral Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira: a2 a3 ... a20 ... an ... a1 2 19 n-1 a1 a1xq a1xq ... a1xq a1xq ... Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica. an = a1 x qn-1 Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então: an = 2 x (1/2)n-1 Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos: a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8 A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí. Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa. Soma dos n primeiros termos de uma PG Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue: Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an Multiplicando ambos os membros pela razão q vem: Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como: Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem: Sn . q = Sn - a1 + an . q Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:
Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja: 42
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Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) Temos:
Observe que neste caso a1 = 1. 5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:
Exemplo: Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100 O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:
Dessa equação encontramos como resposta x = 50.
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Binômio de Newton Introdução Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b². Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento: 4 3 3 (a + b) = (a + b) (a+b) = (a + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b) = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o a partir da anterior, ou seja, de . desenvolvimento da potência Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso. Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal. Coeficientes Binomiais Sendo n e p dois números naturais número n, o número
, chamamos de coeficiente binomial de classe p, do
, que indicamos por
(lê-se: n sobre p). Podemos escrever:
O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o denominador. Podemos escrever:
É também imediato que, para qualquer n natural, temos:
Exemplos:
Propriedades dos coeficientes binomiais e p + k = n então Se n, p, k 1ª)
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Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares. Exemplos:
Se n, p, k
e p
p-1
0 então
2ª) Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 1567). Exemplos:
Triângulo de Pascal
A disposição ordenada dos números binomiais, como na tabela ao lado, recebe o nome de Triângulo de Pascal
Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna. Por exemplo, os números binomiais
,
,
e
estão na linha 3 e os números binomiais
,
, , , ..., , ... estão na coluna 1. Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:
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Construção do triângulo de Pascal Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los: 1ª) Como
= 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.
= 1, o último elemento de cada linha é igual a 1. 2ª) Como 3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação de Stifel). Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:
Propriedade do triângulo de Pascal P1 Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.
De fato, esses binomiais são complementares. P2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é
. 46
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De modo geral temos:
P3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 1 + 4 + 10 + 20 = 35
P4 Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.
1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35
Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton Como vimos, a potência da forma Newton. Além disso: •
quando n = 0 temos
•
quando n = 1 temos
, em que a,
, é chamada binômio de
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quando n = 2 temos
•
quando n = 3 temos
•
quando n = 4 temos
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Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de Pascal. Então, podemos escrever também:
De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:
Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos. Fórmula do termo geral do binômio Observando os termos do desenvolvimento de (a + b)n, notamos que cada um deles é da forma
.
•
Quando p = 0 temos o 1º termo:
•
Quando p = 1 temos o 2º termo: 48
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•
Quando p = 2 temos o 3º termo:
•
Quando p = 3 temos o 4º termo:
• •
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Quando p = 4 temos o 5º termo: .............................................................................. Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode ser expresso por:
49
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Matrizes Introdução O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo. A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa: Química
Inglês
Literatura
Espanhol
A
8
7
9
8
B
6
6
7
6
C
4
8
5
9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela. Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:
Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3. Veja mais alguns exemplos: •
•
é uma matriz do tipo 2 x 3
é uma matriz do tipo 2 x 2
Notação geral Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:
50
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ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.
Na matriz
, temos:
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5. Matrizes Denominações especiais Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. • Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4. •
•
Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, do tipo 3 x 1
,
• •
Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas;
é do tipo 2 x 2, isto é, dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz quadrada de ordem 2. Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1. Veja:
51
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Observe a matriz a seguir:
a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1 a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1) • Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n. Por exemplo,
.
Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:
•
Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo: •
Assim, para uma matriz identidade
.
Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo: •
52
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Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m. Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At. Matrizes • Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,
sempre a ij = a ij. •
é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos
Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de .
A. Por exemplo,
Igualdade de matrizes Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:
. Operações envolvendo matrizes Adição , chamamos de soma dessas matrizes a matriz
Dadas as matrizes , tal que Cij = aij + bij , para todo
:
A+B=C Exemplos: • •
•
Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo. Propriedades 53
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Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição: a) comutativa: A + B = B + A b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C) c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0 Subtração , chamamos de diferença entre essas matrizes a soma
Dadas as matrizes de A com a matriz oposta de B:
A-B=A+(-B) Observe:
Multiplicação de um número real por uma matriz Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij: B = x.A Observe o seguinte exemplo:
Propriedades Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: a) associativa: x . (yA) = (xy) . A b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA = yA d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A Matrizes Multiplicação de matrizes O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos. Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B. Vamos multiplicar a matriz • 1ª linha e 1ª coluna
•
para entender como se obtém cada Cij:
1ª linha e 2ª coluna
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•
2ª linha e 1ª coluna
•
2ª linha e 2ª coluna
Assim, Observe que:
Portanto,
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.
.A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.
Vejamos outro exemplo com as matrizes
:
Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n): 55
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Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5 Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
•
Propriedades Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades: a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C ) b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n. Matriz inversa Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A-1 .
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Determinantes Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: • resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; • cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices; Determinante de 1ª ordem Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11: det M =Ia11I = a11 Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo. Por exemplo: •
M= [5]
det M = 5 ou I 5 I = 5
•
M = [-3]
det M = -3 ou I -3 I = -3
Determinante de 2ª ordem Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:
Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.
Menor complementar Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij . Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir: , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao a) Dada a matriz elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1:
57
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Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:
b) Sendo
•
, de ordem 3, temos:
•
Determinantes Cofator Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j . MCij . Veja: a) Dada
b) Sendo
, os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são:
, vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:
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Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, fixando
, temos:
é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, . em que Determinantes Regra de Sarrus O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.
Acompanhe como aplicamos essa regra para
.
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):
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3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):
Assim:
Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real. Determinante de ordem n > 3 Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus. Determinantes Propriedades dos determinantes Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades: P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo. Exemplo:
60
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P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. Exemplo:
P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo. Exemplo:
P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo. Exemplos:
P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas. Exemplo:
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:
Determinantes 61
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P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. Exemplo:
P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. Exemplos:
P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. Exemplo:
P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. Exemplos:
Determinantes
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P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por Exemplos:
P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n,
.
. Como:
Exemplo:
P12) Exemplo:
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Sistemas Lineares Equação linear Equação linear é toda equação da forma: a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b em que a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea). Veja alguns exemplos de equações lineares: •
3x - 2y + 4z = 7
•
-2x + 4z = 3t - y + 4
(homogênea)
•
As equações a seguir não são lineares: •
xy - 3z + t = 8
•
x2- 4y = 3t - 4
•
Sistema linear Um conjunto de equações lineares da forma:
é um sistema linear de m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema. Sistemas Lineares Matrizes associadas a um sistema linear A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes: • matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema. Em relação ao sistema:
a matriz incompleta é:
matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema. Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:
•
64
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Sistemas homogêneos Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:
Veja um exemplo:
A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais. Sistemas Lineares Classificação de um sistema quanto ao número de soluções , encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, Resolvendo o sistema dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única). , verificamos que os pares ordenados (0,8), No caso do sistema (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções). , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Para Portanto, o sistema é impossível (não tem solução). Resumindo, um sistema linear pode ser: a) possível e determinado (solução única); b) possível e indeterminado (infinitas soluções); c) impossível (não tem solução). Sistema normal Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Se m=n e det A 0, então o sistema é normal. Regra de Cramer Todo sistema normal tem uma única solução dada por:
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em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Discussão de um sistema linear Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: a) possível e determinado, se D=det A 0; caso em que a solução é única. Exemplo:
m=n=3
Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única. b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais. Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções. Exemplo:
D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0 Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções. Sistemas Lineares c) impossível, se D=0 e Dxi 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem solução. Exemplo:
Como D=0 e Dx 0, o sistema é impossível e não apresenta solução. Sistemas Equivalentes Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. Por exemplo, dados os sistemas:
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e verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2. Propriedades a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente. Por exemplo:
e S1 ~S2 b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:
IR*), obtemos um
S1 ~S2 c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:
Dado obtemos:
, substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II),
S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas. Sistemas Lineares Sistemas escalonados Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares. Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema: 67
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I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)
Exemplo 1: 1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes: • Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:
•
•
Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:
Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação: •
Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:
Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo. -2z=-6 z=3 Substituindo z=3 em (II): -7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1 Substituindo z=3 e y=-1 em (I): x + 2(-1) + 3= 3 x=2 Então, x=2, y=-1 e z=3 Sistemas Lineares
Exemplo 2: 1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação: •
Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:
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•
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Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -3 com a 3º equação:
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação: •
Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3º equação:
Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema é impossível. II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n)
Exemplo: 1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação: •
Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:
•
Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -1 com a 3º equação:
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação: •
Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por -3 com a 3º equação
O sistema está escalonado. Como m0 ,a>0 e a≠1
Na igualdade x = log a b obtemos : a= base do logaritmo b= logaritmando ou antilogaritmo x= logaritmo Exemplos : 1) log 2 32 = 5 pois 2 5 = 32 2) log 4 16 = 2 pois 4 2 = 16 3) log 5 1 = 0 pois 5 0 = 1
Consequências da definição Sendo b>0 ,a>0 e a≠1 e m um número real qualquer, temos a seguir algumas consequências da definição de logaritmo:
log a 1 = 0
log a a = 1
log a a m = m
a log a b = b
log a b = log a c ⇔ b = c
Propriedades operatórias dos logaritmos 1) Logaritmo do produto: log a ( x. y ) = log a x + log a y
(a>0, a≠1, x>0 e y>0) x log a = log a x − log a y y
2) Logaritmo do quociente:
3) Logaritmo da potência: log a x m = m. log a x
n
(a>0, a≠1, x>0 e y>0)
x =x m
(a>0, a≠1, x>0 e m ∈ℜ)
m n
Caso particular: como , temos: m n
log a x = log a x = n
m
m . log a x n
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Cologaritmo Chamamos de cologaritmo de um número positivo b numa base a (a>0, a≠1) e indicamos cologa b o logaritmo inverso desse número b na base a
colog a b = log a Como log a
1 b
(a>0, a≠1 e b>0)
1 = log a 1 − log a b = 0 − log a b = − log a b, podemos também escrever : b
colog a b = − log a b
Mudança de base Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a mudança de uma base a para uma outra base b usa-se:
log a x =
log b x log b a
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Limites Noção intuitiva de limite Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y: X
y = 2x + 1
x
y = 2x + 1
1,5
4
0,5
2
1,3
3,6
0,7
2,4
1,1
3,2
0,9
2,8
1,05
3,1
0,95
2,9
1,02
3,04
0,98
2,96
1,01
3,02
0,99
2,98
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja:
Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. De forma geral, escrevemos:
se, quando x se aproxima de a (x
a), f(x) se aproxima de b (f(x)
b).
Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:
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Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x 1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x 1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3. Escrevemos:
g(x) = Se g: IR IR e g(x) = x + 2, entanto, ambas têm o mesmo limite.
(x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x) f(x) em x = 1. No
Propriedades dos Limites 1ª) Exemplo:
2ª) Exemplo:
3ª) Exemplo:
4ª) Exemplo:
5ª) 78
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Exemplo:
6ª) Exemplo:
7ª) Exemplo:
8ª) Exemplo:
Limites Laterais Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos: Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a. Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos: Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a. O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas: •
Se
•
Se
Continuidade Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas: • • •
Propriedade das Funções contínuas Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então: • f(x) g(x) é contínua em a; • f(x) . g(x) é contínua em a; é contínua em a Limites envolvendo infinito •
.
79
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Conforme sabemos, a expressão x (x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real. Exemplo:
a)
, ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.
b)
, ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero.
c) , ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.
ou por valores
d) , ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y tende para menos infinito Limite de uma função polinomial para . Então:
Seja a função polinomial
Demonstração:
Mas:
Logo:
De forma análoga, para
, temos: 80
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Exemplos:
Limites trigonométricos
Demonstração: Para
, temos sen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:
Invertendo, temos:
Mas: • •
g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se
, então,
.
Logo, Limites exponenciais
Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional e cujo valor aproximado é 2,7182818. Veja a tabela com valores de x e de
. 81
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x
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1
2
3
10
100
1 000
10 000
100 000
2
2,25
2,3703
2,5937
2,7048
2,7169
2,7181
2,7182
Notamos que à medida que
.
De forma análoga, efetuando a substituição
, temos:
Ainda de forma mais geral, temos :
As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios deste tipo e evitam substituições algébricas.
Se Mas:
,então
.
0 , então u
0. Portanto:
Logo:
Como x
Generalizando a propriedade acima, temos
.
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ORIGEM DO CONCEITO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO O conceito de função que hoje pode parecer simples, é o resultado de uma lenta e longa evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilónios utilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com o seu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava claramente definido: as relações entre as variáveis surgiam de forma implícita e eram descritas verbalmente ou por um gráfico. Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande impulso, nomeadamente na sua aplicabilidade a outras ciências - os cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daqui todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a "criação" de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relacões entre variáveis. Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o " Problema da Tangente". Fermat resolveu esta dificuldade de uma maneira muito simples: para determinar uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a reta PQ secante à curva. Seguidamente fez deslizar Q ao longo da curva em direcção a P, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta tangente à curva no ponto P. Fermat notou que para certas funções, nos pontos onde a curva assumia valores extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido pela função num desses pontos P(x, f(x)) com o valor assumido no outro ponto Q(x+E, f(x+E)) próximo de P, a diferença entre f(x+E) e f(x) era muito pequena, quase nula, quando comparada com o valor de E, diferença das abcissas de Q e P. Assim, o problema de determinar extremos e de determinar tangentes a curvas passam a estar intimamente relacionados. Estas ideias constituiram o embrião do conceito de DERIVADA e levou Laplace a considerar Fermat "o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial". Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido. No séc.XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitésimal, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy para designar "a menor possível das diferenças em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como " Cálculo Diferencial ". Assim, embora só no século XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e o conceito de derivada, a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade aos mais diversos campos da Ciência.
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Derivadas A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0. A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos: y' , dy/dx ou f ' (x). A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por:
Algumas derivadas básicas Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x. a, b, c e n são constantes. Derivada de uma constante
Derivada da potência
Portanto:
Soma / Subtração
Produto por uma constante
Derivada do produto
Derivada da divisão
Potência de uma função
Derivada de uma função composta
Regra da cadeia 84
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A fórmula:
é conhecida como regra da cadeia. Ela pode ser escrita como:
Outra fórmula similar é a seguinte:
Derivada da função inversa A inversa da função y(x) é a função x(y):
Derivadas de funções trigonométricas e suas inversas
Derivadas de funções exponencial e logarítmica 85
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Derivada do logaritmo natural
Derivada do logaritmo em outras bases
Exponencial
Lembre-se da definição da função logarítmica com base a > 0:
Derivadas das funções hiperbólicas e suas inversas
Lembre-se das definições das funções trigonométricas: 86
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Derivadas de alta ordem Seja y = f(x). Temos: A segunda derivada é dada por:
A terceira derivada é dada por:
A enésima derivada é dada por:
Em alguns livros, a seguinte notação também é usada:
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Integrais Integrais indefinidas Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida. Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x). Exemplos: 1. Se f(x) =
, então
f'(x) = g(x) = x4 é
é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de .
2. 3. Se f(x) = x3, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3. 4. 5. Se f(x) = x3 + 4, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3 + 4. Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x3 quando x3+4 são integrais indefinidas para 3x2. A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x2 é x3+C, onde C é uma constante real. Propriedades das integrais indefinidas São imediatas as seguintes propriedades: 1ª. diferença das integrais.
, ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou
2ª. 3ª.
, ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando. , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.
Integração por substituição Seja expressão
.
Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou
, ou ainda, du = f'(x) dx, vem: ,
. admitindo que se conhece O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada. INTEGRAIS DEFINIDAS Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo: 88
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onde: • • •
a é o limite inferior de integração; b é o limite superior de integração; f(x) é o integrando. Se
Se
representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para
representa a área entre as curvas, para
Integrais
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A integral definida, nos exemplos vistos, representa uma área, o que ocorre em muitos casos, e é uma das formas de se apresentar a integral definida. De forma geral, para , a área limitada por f(x) e o eixo x, é dada por , que pode representar a soma das áreas de infinitos retângulos de largura e cuja altura é o valor da função num ponto do intervalo da base:
90
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Subdividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos através das abscissas x0=a, x1, x2,...,xn=b, obtemos os intervalos (a, x1), (x1, x2), ...., (xn-1, b). Em cada intervalo (xi-1, xi) tomemos um ponto arbitrário hi. Seja
De acordo com a figura, os retângulos formados têm área
Então, a soma da áreas de todos os retângulos é:
que nos fornece um valor aproximado da área considerada. Aumentando o número n de subintervalos
, tal que
tenda a zero
e o número n de
subintervalos tenda a infinito , temos as bases superiores dos retângulos e a curva praticamente se confundindo e, portanto, temos a área considerada. Simbolicamente, escrevemos:
Exemplo: Seja a área entre y = x e o eixo x, para
: 91
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Esta área é dada por:
Podemos notar que o processo do limite nos leva ao resultado procurado. Dividindo o intervalo [0, b] em n subintervalos, cada um terá largura
.
Sejam, então, os pontos Como f(x) = x, então
. .
CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA O método que temos para o cálculo da área ou da integral definida, no caso, é ainda muito complicado, conforme vimos no exemplo anterior, pois encontraremos somas bem piores. Para tal, consideremos a área das figuras quando movemos a extremidade direita: 92
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Se a área é dada por A(x), então A(a) = 0, pois não há área alguma. Já A(x) dá a área da figura 1, A(b), a área entre
ou seja:
ou seja, A(x) é uma das antiderivadas de f(x). Mas sabemos que se F(x) é antiderivada qualquer de f(x), então A(x) = F(x) + C. Fazendo x = a, temos: A(a) = F(a) + C = 0 (A(a) = 0) Logo, C = - F(a) e A(x) = F(x) - F(a). Portanto:
ou ainda,
Exemplos:
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Note que conseguimos uma forma de calcular integrais definidas e áreas sem calcular somas complicadas e usando apenas as antiderivadas. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
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Princípio do Cálculo de Integrais UMA VISÃO GERAL DOS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO Métodos de Abordagem dos Problemas de Integração •
Tecnologia - Os programas CAS, tais como Mathematica, Maple e Derive, são capazes de calcular integrais extremamente complicadas, e cada vez mais instalações modernas de pesquisa estão sendo equipadas com tais programas.
• •
Tabelas - Antes do desenvolvimento dos programas CAS, os cientistas dependiam enormemente de tabelas para o cálculo das difíceis integrais que surgem nas aplicações. Tais tabelas foram compiladas por muitos anos, incorporando habilidade e experiência de muita gente.
• •
Métodos de transformação - São métodos para converter integrais não-conhecidas em conhecidas. Eles incluem substituição u, manipulação algébrica do integrado, entre outros métodos.
Nenhum dos três métodos é perfeito; por exemplo, os programa CAS freqüentemente encontram integrais que não são capazes de integrar e produzem respostas que são, às vezes, excessivamente complicadas, tabelas não são exaustivas e podem não incluir uma integral de interesse,e os métodos de transformação dependem da engenhosidade humana,que pode não ser adequada a problemas difíceis. Uma Revisão das Fórmulas de Integração A seguir está uma lista das integrais básicas que encontramos até agora: CONSTANTES,POTÊNCIAS E EXPONENCIAIS 1. 2. 3. 4. 5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1. 2. 3. 4. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 1. 95
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2. 3. 4. FUNÇÕES ALGÉBRICAS (a>0) 1. 2. 3. 4. INTEGRAÇÃO POR PARTES Dedução da Fórmula para a Integração por Partes Se f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do produto,
Integrando ambos os lados, obtemos
ou ou Uma vez que a integral à direita irá produzir uma outra constante de integração, não há necessidade de manter o C nesta última equação; assim sendo, obtemos (1) a qual é chamada de fórmula de integração por partes. Usando esta fórmula, às vezes podemos tornar um problema de integração mais simples. Na prática, é usual reescrever (1) fazendo u=f(x), du=f '(x)dx , Isso dá lugar à seguinte forma alternativa para (1): (2) Exemplo Calcule Solução. Para aplicar (2), precisamos escrever a integral na forma Uma maneira de fazer isso é colocar 96
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para que, Deste modo,a partir de(2) Integração por Partes para Integrais Definidas Para integrais definidas, a fórmula correspondente a (2) é:
Exemplo Calcule Solução. Seja
Assim,
Mas
logo
Fórmulas de Redução A integração por partes pode ser usada para obter as fórmulas de redução para integrais. Estas fórmulas expressam uma integral com potência de função em termos de uma integral que envolve uma potência mais baixa daquela função. Por exemplo, se n for um inteiro positivo e n 2, então a integração por partes pode ser usada para obter as fórmulas de redução.
(2) Para ilustrar como essas fórmulas são obtidas,vamos deduzir a fórmula (2).
para que 97
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Transpondo o último termo para o lado esquerdo obtém-se da qual tem-se(2). Exemplo Calcule Solução. A partir de (2),com n=4
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS Integração de Potências de Seno e Co-seno Na seção fórmulas de redução,obtivemos as fórmulas
No caso onde n=2,estas fórmulas ficam
Podem-se obter formas alternativas para estas fórmulas de integração usando as identidades trigonométricas.
que provêm das fórmulas para o ângulo duplo Essas identidades dão lugar a
Integração de produtos de senos e co-senos Se m e n são inteiros positivos,então a integral 98
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pode ser calculada de diversas maneiras,dependendo de m e n serem pares ou ímpares Exemplo Calcule Solução.
Integração de Potências de Tangente e de Secante O procedimento para integração de potências de tangente e de secante segue paralelamente os do seno e co-seno.A idéia é usar as seguintes fórmulas de redução para reduzir o expoente do integrando até que a integral resultante possa ser calculada:
(1) (2) No caso onde n for ímpar,o expoente pode ser reduzido a um,nos deixando com o problema de integrar tg x ou sec x.Estas integrais são dadas por
A fórmula
A fórmula
pode ser obtida escrevendo-se
requer um truque.Escrevemos
As seguintes integrais ocorrem freqüentemente,e vale a pena destacar:
A fórmula(2)já foi vista,uma vez que a derivada de tgx é .A fórmula(1) pode ser obtida aplicando-se a fórmula de redução,com n=2,ou alternativamente,usando-se a identidade 99
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para escrever
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PROBABILIDADE A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório. Experimento Aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S. Exemplo: Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos: S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6} 1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}. 2.
Idem, o evento em que:
a) A ou B ocorrem; b) B e C ocorrem; c) Somente B ocorre. 3.
Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos
Resolução: 1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6}; Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5} Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}. 2.
(a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
(b) B e C = B ∩ C = {R3,R5} (c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C; B ∩ Ac ∩ Cc = {K3,K5,R2} 3.
A e C são mutuamente exclusivos, porque A ∩ C = ∅
4. Conceito de probabilidade Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50% Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência. 101
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Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:
Propriedades Importantes: 1. Se A e A’ são eventos complementares, então: P( A ) + P( A' ) = 1 2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre ∅ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).
Probabilidade Condicional Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada. Fórmula de Probabilidade Condicional P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1). Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1; P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2; P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1. Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Seja o espaço amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os seguintes eventos: A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30 B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29 Assim: P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87 Eventos independentes Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido. Fórmula da probabilidade dos eventos independentes: P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En) Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e respondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9. Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna. 102
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Probabilidade de ocorrer a união de eventos Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos: P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2).P(E1 e E2) De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2). Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos: P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En) Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco? Considerando os eventos: A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6 B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6 Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos: n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36 Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei? Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos: A: sair 8 e P(A) = 4/52 B: sair um rei e P(B) = 4/52 Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
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Resumo das Estatísticas Descritivas 1. Média 1 n x = ∑ xi n i =1 2. Mediana
n n i = menor inteiro + 1 , j = maior inteiro 2 2 (X [i] + X [j] ) Mediana = J 2 = Q 2 = , onde X [i ] e X [ j ] é a estatística de ordem. 2 3. Moda A moda é a observação com maior freqüência. 4. Média Geométrica
n x g = ∏ x i i =1
1 n
5. Variância 1 (x i − x )2 s2 = ∑ n−1 6. Desvio-padrão s = s2
7. Erro Padrão s sd = n 8. Mínimo Min = X [1] , o mínimo é a menor observação (se os valores forem ordenados ascendentemente). 9. Máximo Max = X [n] , o máximo é a maior observação (se os valores forem ordenados ascendentemente). 10.Amplitude R = Max −Min = X [n] − X [1] , a amplitude R é a diferença entre o Máximo e o Mínimo.
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11.Quartil Inferior n n i = menor inteiro + 1 , j = maior inteiro 4 4 (X [i] + X [j] ) J1 = Q 1 = , onde X [i ] e X [ j ] é a estatística de ordem. 2 12.Quartil Superior 3n 3n i = menor inteiro + 1 , j = maior inteiro 4 4 (X [i] + X [j] ) J3 = Q 3 = , onde X [i ] e X [ j ] é a estatística de ordem. 2 13.Intervalo Inter Quartil IQR = J3 - J1 = Q3 - Q1 14.Assimetria “Skewness” - (missing if s=0 or n<3) n
n∑ (x i − x )
3
i =1
(n − 1)(n − 2)s 3 15.Assimetria Padronizada “Standardized Skewness” - ~N(0, 1) for n>150 Skewness 6 n
16.Curtose (Kurtosis) (missing if s=0 or n<4) n
n(n + 1)∑ (x i − x ) i =1
4
(n − 1)(n − 2)(n − 3)s 4
3(n − 1) (n − 2)(n − 3) 2
−
17.Curtose Padronizada (Standardized Kurtosis) kurtosis 24 n
18.Coeficiente de Variação s CV = .100 x
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Principais Distribuições Discretas, com seus respectivos gráficos da função de massa
• Uniforme Discreta 1 N+1 N2 − 1 f ( x) = I {1,...,N} ( x), N = 1, 2,... ; µ X = ; σ 2X = . N 2 12
Discrete Uniform Distribution Lower limit,Upper limit
0.1
1,10
probability
0.08 0.06 0.04 0.02 0
0
2
4
6
8
10
x
• Bernoulli f ( x ) = p x q1− x I ( 0,1) ( x), 0 ≤ p ≤ 1, (q = 1 − p) ; µ X = p ; σ 2X = pq .
Bernoulli Distribution 0.6
Event prob. 0.4
0.5
probability
0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
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•
Binomial n f ( x) = p x q n− x I ( 0,1,...,n) ( x), 0 ≤ p ≤ 1, (q = 1 − p) ; µ X = np ; σ 2X = npq . x
Binomial Distribution 0.3
Event prob.,Trials 0.4,10
0.25
probability
0.2 0.15 0.1 0.05 0
0
2
4
6
8
10
x
• Hipergeométrica K M − K K K M−K M−n x n− x ; f ( x) = I ( 0,1,...,n) ( x); M = 1, ...; K = 0,...,M; n = 1,...,M ; µ X = n ; σ 2X = n M M M M −1 M n
Hypergeometric Distribution 0,3
Event prob.,Trials,Population 0,4,10,100
0,25
probability
0,2 0,15 0,1 0,05 0 0
1
2
3
4
5 x
6
7
8
9
10
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•
Poisson e − λ λx f ( x) = I ( 0,1,...) ( x); λ > 0 ; µ X = λ ; σ 2X = λ . x!
Poisson Distribution Mean
0.2
4
probability
0.16 0.12 0.08 0.04 0
0
3
6
9
12
15
x
• Geométrica f ( x ) = pq x I ( 0,1,...) ( x ); 0 < p ≤ 1; (q = 1 − p) ; µ X =
q q ; σ 2X = 2 . p p
Geometric Distribution Event prob.
0.4
0.4
probability
0.3
0.2
0.1
0
0
3
6
9
12
15
x
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• Binomial Negativa r + x − 1 r x rq rq p q I ( 0,1,...) ( x); 0 < p ≤ 1; r > 0; (q = 1 − p) ; µ X = ; σ 2X = 2 . f ( x) = p p x
Negative Binomial Distribution Event prob.,Successes
0.08
0.4,10
probability
0.06
0.04
0.02
0
0
10
20
30
40
50
60
x
Principais Distribuições Contínuas, com seus respectivos gráficos da função densidade
• Uniforme ou Retangular (b − a )2 . a+b 1 f ( x) = I[ a ,b ] ( x); − ∞ < a, b < ∞ , µ X = , σ 2X = 2 12 b−a
Uniform Distribution Lower limit,Upper limit
0.5
-1.0,1
density
0.4 0.3 0.2 0.1 0
-1
-0.6
-0.2
0.2
0.6
1
x
109
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• Normal 1 2 f ( x) = exp[ −(x − µ ) / 2σ 2 ] I ( −∞ ,∞ ) ( x), − ∞ < µ < ∞; σ > 0 , µ X = µ , σ 2X = σ 2 . σ 2π
Normal Distribution Mean,Std. dev.
0.4
0,1
density
0.3
0.2
0.1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
• Exponencial f ( x ) = λe − λx I ( 0,∞ ) ( x); λ > 0
Exponential Distribution Mean
0.2
5
density
0.16 0.12 0.08 0.04 0
0
5
10
15
20
25
30
x
110
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• Gamma λr r −1 − λx f ( x) = x e I ( 0,∞ ) ( x); λ > 0; r > 0 Γ(r )
Gamma Distribution Shape,Scale
1.5
2,4
density
1.2 0.9 0.6 0.3 0
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
x
• Beta
1 x a −1 (1 − x) b −1 I ( 0,1) ( x); a > 0; b > 0 B(a, b)
Beta Distribution Shape 1,Shape 1
2
1.25,2.75 1.6
density
f ( x) =
1.2 0.8 0.4 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
111
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• Cauchy
f ( x) =
1 I ( −∞ ,∞ ) ( x); − ∞ < α < ∞; β > 0 πβ{1 + [ (x − α ) / β] 2 }
Cauchy Distribution Mode,Scale
0,4
0,1
density
0,3
0,2
0,1
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
x
• Log Normal 1 2 f ( x) = exp[ −(log e x − µ ) / 2σ 2 ] I ( 0,∞ ) ( x); − ∞ < µ < ∞; σ > 0 xσ 2π
Lognormal Distribution (X 0.0001) 4
Mean,Std. dev. 2500,1500
density
3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6 x
0.8
1
(X 10000)
112
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• Dupla-exponencial x−α 1 I ( −∞ ,∞ ) ( x); − ∞ < α < ∞; β > 0 f ( x) = exp − β 2β
Laplace Distribution Mean,Scale
0.5
0,1
density
0.4 0.3 0.2 0.1 0
-5
-3
-1
1
3
5
x
• Weibull f ( x ) = abx b −1 exp[ −ax b ] I ( 0,∞ ) ( x); a > 0; b > 0
Weibull Distribution Shape,Scale
0.24
3,5
0.2
density
0.16 0.12 0.08 0.04 0
0
1
2
3
4
5
6
x
113
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• Logística F( x ) = [1 + e − ( x − α ) / β ] −1 I ( −∞ ,∞ ) ( x ); − ∞ < α < ∞; β > 0
Logistic Distribution Mean,Std. dev.
0.5
0,1
density
0.4 0.3 0.2 0.1 0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
• Pareto θx θ0 f ( x) = θ+1 I ( x 0 ,∞ ) ( x); x 0 > 0; θ > 0 x
Pareto Distribution Shape
10
10
density
8 6 4 2 0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x
114
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• Gumbel ou Valor extremo F( x ) = exp − e − ( x − α ) / β I ( −∞ ;,∞ ) ( x ); − ∞ < α < ∞; β > 0
(
)
Extreme Value Distribution 0,4
Mode,Scale 1,1
density
0,3
0,2
0,1
0 -4
-3
-2
• Distribuição t - Student´s Γ[(k + 1) / 2] 1 1 f ( x) = Γ(k / 2) kπ 1 + x 2 / k
(
)(
k +1) / 2
-1
0 x
1
2
3
4
I ( −∞ ,∞ ) ( x); k > 0
Student's t Distribution 0,4
Deg. of freedom 10 30
density
0,3 0,2 0,1
0 -6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
115
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• Distribuição F
Γ[(m + n) / 2] m f ( x) = Γ(m / 2)Γ(n / 2) n
x (m − 2 ) / 2
m/2
[1 + (m / n)x](m+ n ) / 2
I ( 0,∞ ) ( x); m, n = 1, 2, ...
F (variance ratio) Distribution Numerator d.f,Denomina
0.8
5,10
density
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
x
• Distribuição Qui-quadrado
1 1 f ( x) = Γ(k / 2) 2
k/2
x
k −1 2
e
( )
− 1 x 2
I ( 0,∞ ) ( x); k = 1, 2, ...
Chi-Square Distribution Deg. of freedom
0.1
10
density
0.08 0.06 0.04 0.02 0
0
10
20
30
40
x
116
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•
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Distribuição Triangular
f ( x) =
2( x − a) 2(b − x) , para a ≤ x ≤ c e f ( x) = , para c ≤ x ≤ b (b − a)(c − a) (b − a)(b − c )
Triangular Distribution Lower limit,Center point,
0.8
0,2,3
density
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
•
Distribuição Normal Bivariada
x − µ 2 x − µ 1 y − µ 2 1 1 − 2ρ f ( x, y ) = exp− 2 σ σ − 2 1 ρ 2πσ1σ 2 1 − ρ 2 1 1 σ 2 onde σ 1 > 0, σ 2 > 0, − 1 < ρ < 1, µ 1 ∈ ℜ, µ 2 ∈ ℜ 1
(
)
y − µ2 + σ2
2
Bivariate Normal
probability
1,6 1,2 0,8 0,4 0
-4
-3
-2
-1 X
0
1
2
3
4
4 23 1 0 Y -2 -1 -3 -4
117
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Jorge Festa
Tabela I - Distribuição Normal Padrão Acumulada 0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.50000
0.50399
0.50798
0.51197
0.51595
0.51994
0.52392
0.52790
0.53188
0.53586
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
0.53983 0.57926 0.61791 0.65542 0.69146 0.72575 0.75804 0.78814 0.81594 0.84134 0.86433 0.88493 0.90320 0.91924 0.93319 0.94520 0.95543 0.96407 0.97128 0.97725 0.98214 0.98610 0.98928 0.99180 0.99379 0.99534 0.99653 0.99744 0.99813 0.99865 0.99903 0.99931 0.99952 0.99966 0.99977 0.99984 0.99989 0.99993 0.99995
0.54380 0.58317 0.62172 0.65910 0.69497 0.72907 0.76115 0.79103 0.81859 0.84375 0.86650 0.88686 0.90490 0.92073 0.93448 0.94630 0.95637 0.96485 0.97193 0.97778 0.98257 0.98645 0.98956 0.99202 0.99396 0.99547 0.99664 0.99752 0.99819 0.99869 0.99906 0.99934 0.99953 0.99968 0.99978 0.99985 0.99990 0.99993 0.99995
0.54776 0.58706 0.62552 0.66276 0.69847 0.73237 0.76424 0.79389 0.82121 0.84614 0.86864 0.88877 0.90658 0.92220 0.93574 0.94738 0.95728 0.96562 0.97257 0.97831 0.98300 0.98679 0.98983 0.99224 0.99413 0.99560 0.99674 0.99760 0.99825 0.99874 0.99910 0.99936 0.99955 0.99969 0.99978 0.99985 0.99990 0.99993 0.99996
0.55172 0.59095 0.62930 0.66640 0.70194 0.73565 0.76730 0.79673 0.82381 0.84849 0.87076 0.89065 0.90824 0.92364 0.93699 0.94845 0.95818 0.96638 0.97320 0.97882 0.98341 0.98713 0.99010 0.99245 0.99430 0.99573 0.99683 0.99767 0.99831 0.99878 0.99913 0.99938 0.99957 0.99970 0.99979 0.99986 0.99990 0.99994 0.99996
0.55567 0.59483 0.63307 0.67003 0.70540 0.73891 0.77035 0.79955 0.82639 0.85083 0.87286 0.89251 0.90988 0.92507 0.93822 0.94950 0.95907 0.96712 0.97381 0.97932 0.98382 0.98745 0.99036 0.99266 0.99446 0.99585 0.99693 0.99774 0.99836 0.99882 0.99916 0.99940 0.99958 0.99971 0.99980 0.99986 0.99991 0.99994 0.99996
0.55962 0.59871 0.63683 0.67364 0.70884 0.74215 0.77337 0.80234 0.82894 0.85314 0.87493 0.89435 0.91149 0.92647 0.93943 0.95053 0.95994 0.96784 0.97441 0.97982 0.98422 0.98778 0.99061 0.99286 0.99461 0.99598 0.99702 0.99781 0.99841 0.99886 0.99918 0.99942 0.99960 0.99972 0.99981 0.99987 0.99991 0.99994 0.99996
0.56356 0.60257 0.64058 0.67724 0.71226 0.74537 0.77637 0.80511 0.83147 0.85543 0.87698 0.89617 0.91308 0.92785 0.94062 0.95154 0.96080 0.96856 0.97500 0.98030 0.98461 0.98809 0.99086 0.99305 0.99477 0.99609 0.99711 0.99788 0.99846 0.99889 0.99921 0.99944 0.99961 0.99973 0.99981 0.99987 0.99992 0.99994 0.99996
0.56749 0.60642 0.64431 0.68082 0.71566 0.74857 0.77935 0.80785 0.83398 0.85769 0.87900 0.89796 0.91466 0.92922 0.94179 0.95254 0.96164 0.96926 0.97558 0.98077 0.98500 0.98840 0.99111 0.99324 0.99492 0.99621 0.99720 0.99795 0.99851 0.99893 0.99924 0.99946 0.99962 0.99974 0.99982 0.99988 0.99992 0.99995 0.99996
0.57142 0.61026 0.64803 0.68439 0.71904 0.75175 0.78230 0.81057 0.83646 0.85993 0.88100 0.89973 0.91621 0.93056 0.94295 0.95352 0.96246 0.96995 0.97615 0.98124 0.98537 0.98870 0.99134 0.99343 0.99506 0.99632 0.99728 0.99801 0.99856 0.99896 0.99926 0.99948 0.99964 0.99975 0.99983 0.99988 0.99992 0.99995 0.99997
0.57535 0.61409 0.65173 0.68793 0.72240 0.75490 0.78524 0.81327 0.83891 0.86214 0.88298 0.90147 0.91774 0.93189 0.94408 0.95449 0.96327 0.97062 0.97670 0.98169 0.98574 0.98899 0.99158 0.99361 0.99520 0.99643 0.99736 0.99807 0.99861 0.99900 0.99929 0.99950 0.99965 0.99976 0.99983 0.99989 0.99992 0.99995 0.99997
Normal Distribution
Mean,Std. dev. 0,1
0,4
0,3
density
z
0,2 0,1
0 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
x
118
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Tabela II - Pontos Percentuais da Distribuição Qui-quadrado
0.995
0.990
0.975
0.950
0.900
0.500
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
1
0.00
0.00
0.00
0.00
0.02
0.45
2.71
3.84
5.02
6.63
7.88
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 150 200 300
0.01 0.07 0.21 0.41 0.68 0.99 1.34 1.73 2.16 2.60 3.07 3.57 4.07 4.60 5.14 5.70 6.26 6.84 7.43 8.03 8.64 9.26 9.89 10.52 11.16 11.81 12.46 13.12 13.79 20.71 27.99 35.53 43.28 51.17 59.20 67.33 109.14 152.24 240.66
0.02 0.11 0.30 0.55 0.87 1.24 1.65 2.09 2.56 3.05 3.57 4.11 4.66 5.23 5.81 6.41 7.01 7.63 8.26 8.90 9.54 10.20 10.86 11.52 12.20 12.88 13.56 14.26 14.95 22.16 29.71 37.48 45.44 53.54 61.75 70.06 112.67 156.43 245.97
0.05 0.22 0.48 0.83 1.24 1.69 2.18 2.70 3.25 3.82 4.40 5.01 5.63 6.26 6.91 7.56 8.23 8.91 9.59 10.28 10.98 11.69 12.40 13.12 13.84 14.57 15.31 16.05 16.79 24.43 32.36 40.48 48.76 57.15 65.65 74.22 117.98 162.73 253.91
0.10 0.35 0.71 1.15 1.64 2.17 2.73 3.33 3.94 4.57 5.23 5.89 6.57 7.26 7.96 8.67 9.39 10.12 10.85 11.59 12.34 13.09 13.85 14.61 15.38 16.15 16.93 17.71 18.49 26.51 34.76 43.19 51.74 60.39 69.13 77.93 122.69 168.28 260.88
0.21 0.58 1.06 1.61 2.20 2.83 3.49 4.17 4.87 5.58 6.30 7.04 7.79 8.55 9.31 10.09 10.86 11.65 12.44 13.24 14.04 14.85 15.66 16.47 17.29 18.11 18.94 19.77 20.60 29.05 37.69 46.46 55.33 64.28 73.29 82.36 128.28 174.84 269.07
1.39 2.37 3.36 4.35 5.35 6.35 7.34 8.34 9.34 10.34 11.34 12.34 13.34 14.34 15.34 16.34 17.34 18.34 19.34 20.34 21.34 22.34 23.34 24.34 25.34 26.34 27.34 28.34 29.34 39.34 49.33 59.33 69.33 79.33 89.33 99.33 149.33 199.33 299.33
4.61 6.25 7.78 9.24 10.64 12.02 13.36 14.68 15.99 17.28 18.55 19.81 21.06 22.31 23.54 24.77 25.99 27.20 28.41 29.62 30.81 32.01 33.20 34.38 35.56 36.74 37.92 39.09 40.26 51.81 63.17 74.40 85.53 96.58 107.57 118.50 172.58 226.02 331.79
5.99 7.81 9.49 11.07 12.59 14.07 15.51 16.92 18.31 19.68 21.03 22.36 23.68 25.00 26.30 27.59 28.87 30.14 31.41 32.67 33.92 35.17 36.42 37.65 38.89 40.11 41.34 42.56 43.77 55.76 67.50 79.08 90.53 101.88 113.15 124.34 179.58 233.99 341.40
7.38 9.35 11.14 12.83 14.45 16.01 17.53 19.02 20.48 21.92 23.34 24.74 26.12 27.49 28.85 30.19 31.53 32.85 34.17 35.48 36.78 38.08 39.36 40.65 41.92 43.19 44.46 45.72 46.98 59.34 71.42 83.30 95.02 106.63 118.14 129.56 185.80 241.06 349.87
9.21 11.34 13.28 15.09 16.81 18.48 20.09 21.67 23.21 24.73 26.22 27.69 29.14 30.58 32.00 33.41 34.81 36.19 37.57 38.93 40.29 41.64 42.98 44.31 45.64 46.96 48.28 49.59 50.89 63.69 76.15 88.38 100.43 112.33 124.12 135.81 193.21 249.45 359.91
10.60 12.84 14.86 16.75 18.55 20.28 21.95 23.59 25.19 26.76 28.30 29.82 31.32 32.80 34.27 35.72 37.16 38.58 40.00 41.40 42.80 44.18 45.56 46.93 48.29 49.65 50.99 52.34 53.67 66.77 79.49 91.95 104.21 116.32 128.30 140.17 198.36 255.26 366.84
Distribuição Qui Quadrado 0,1
Deg. of freedom 10
0,08 0,06 0,04 0,02 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
119
Universidade Federal do Paraná
Jorge Festa
Tabela III - Pontos Percentuais da Distribuição t
0.5000
0.4000
0.2500
0.1000
0.0500
0.0250
0.0100
1
0.000
0.325
1.000
3.078
6.314
12.706
31.821
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 150 200 100,000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.289 0.277 0.271 0.267 0.265 0.263 0.262 0.261 0.260 0.260 0.259 0.259 0.258 0.258 0.258 0.257 0.257 0.257 0.257 0.257 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.255 0.255 0.254 0.254 0.254 0.254 0.254 0.254 0.254 0.253
0.816 0.765 0.741 0.727 0.718 0.711 0.706 0.703 0.700 0.697 0.695 0.694 0.692 0.691 0.690 0.689 0.688 0.688 0.687 0.686 0.686 0.685 0.685 0.684 0.684 0.684 0.683 0.683 0.683 0.681 0.679 0.679 0.678 0.678 0.677 0.677 0.676 0.676 0.674
1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310 1.303 1.299 1.296 1.294 1.292 1.291 1.290 1.287 1.286 1.282
2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697 1.684 1.676 1.671 1.667 1.664 1.662 1.660 1.655 1.653 1.645
4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042 2.021 2.009 2.000 1.994 1.990 1.987 1.984 1.976 1.972 1.960
6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.457 2.423 2.403 2.390 2.381 2.374 2.368 2.364 2.351 2.345 2.326
0.0050
0.0025
0.0010
0.0005
63.656
127.321
318.289
636.578
9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750 2.704 2.678 2.660 2.648 2.639 2.632 2.626 2.609 2.601 2.576
14.089 7.453 5.598 4.773 4.317 4.029 3.833 3.690 3.581 3.497 3.428 3.372 3.326 3.286 3.252 3.222 3.197 3.174 3.153 3.135 3.119 3.104 3.091 3.078 3.067 3.057 3.047 3.038 3.030 2.971 2.937 2.915 2.899 2.887 2.878 2.871 2.849 2.838 2.807
22.328 10.214 7.173 5.894 5.208 4.785 4.501 4.297 4.144 4.025 3.930 3.852 3.787 3.733 3.686 3.646 3.610 3.579 3.552 3.527 3.505 3.485 3.467 3.450 3.435 3.421 3.408 3.396 3.385 3.307 3.261 3.232 3.211 3.195 3.183 3.174 3.145 3.131 3.090
31.600 12.924 8.610 6.869 5.959 5.408 5.041 4.781 4.587 4.437 4.318 4.221 4.140 4.073 4.015 3.965 3.922 3.883 3.850 3.819 3.792 3.768 3.745 3.725 3.707 3.689 3.674 3.660 3.646 3.551 3.496 3.460 3.435 3.416 3.402 3.390 3.357 3.340 3.291
Distribuição Student´s t 0,4
Deg. of freedom 10
0,3 0,2 0,1
0 -5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
120
Universidade Federal do Paraná
Jorge Festa
Tabela IV a - Pontos Percentuais da Distribuição F - área = 0,25
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
40
60
120
1
5.83
7.50
8.20
8.58
8.82
8.98
9.10
9.19
9.26
9.32
9.41
9.49
9.58
9.63
9.67
9.71
9.76
9.80
9.85
2.57 2.02 1.81 1.69 1.62 1.57 1.54 1.51 1.49 1.47 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 1.42 1.41 1.41 1.40 1.40 1.40 1.39 1.39 1.39 1.38 1.38 1.38 1.38 1.38 1.36 1.35 1.35 1.35 1.34 1.34 1.34 1.33 1.33 1.32
3.00 2.28 2.00 1.85 1.76 1.70 1.66 1.62 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 1.51 1.50 1.49 1.49 1.48 1.48 1.47 1.47 1.47 1.46 1.46 1.46 1.45 1.45 1.44 1.43 1.42 1.41 1.41 1.41 1.41 1.40 1.40 1.39
3.15 2.36 2.05 1.88 1.78 1.72 1.67 1.63 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 1.49 1.49 1.48 1.48 1.47 1.47 1.46 1.46 1.45 1.45 1.45 1.45 1.44 1.42 1.41 1.41 1.40 1.40 1.39 1.39 1.38 1.38 1.37
3.23 2.39 2.06 1.89 1.79 1.72 1.66 1.63 1.59 1.57 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 1.49 1.48 1.47 1.47 1.46 1.45 1.45 1.44 1.44 1.44 1.43 1.43 1.43 1.42 1.40 1.39 1.38 1.38 1.38 1.37 1.37 1.36 1.36 1.35
3.28 2.41 2.07 1.89 1.79 1.71 1.66 1.62 1.59 1.56 1.54 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 1.46 1.46 1.45 1.44 1.44 1.43 1.43 1.42 1.42 1.42 1.41 1.41 1.41 1.39 1.37 1.37 1.36 1.36 1.35 1.35 1.34 1.34 1.33
3.31 2.42 2.08 1.89 1.78 1.71 1.65 1.61 1.58 1.55 1.53 1.51 1.50 1.48 1.47 1.46 1.45 1.44 1.44 1.43 1.42 1.42 1.41 1.41 1.41 1.40 1.40 1.40 1.39 1.37 1.36 1.35 1.34 1.34 1.33 1.33 1.32 1.32 1.31
3.34 2.43 2.08 1.89 1.78 1.70 1.64 1.60 1.57 1.54 1.52 1.50 1.49 1.47 1.46 1.45 1.44 1.43 1.43 1.42 1.41 1.41 1.40 1.40 1.39 1.39 1.39 1.38 1.38 1.36 1.34 1.33 1.33 1.32 1.32 1.32 1.31 1.30 1.29
3.35 2.44 2.08 1.89 1.78 1.70 1.64 1.60 1.56 1.53 1.51 1.49 1.48 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 1.42 1.41 1.40 1.40 1.39 1.39 1.38 1.38 1.38 1.37 1.37 1.35 1.33 1.32 1.32 1.31 1.31 1.30 1.30 1.29 1.28
3.37 2.44 2.08 1.89 1.77 1.69 1.63 1.59 1.56 1.53 1.51 1.49 1.47 1.46 1.44 1.43 1.42 1.41 1.41 1.40 1.39 1.39 1.38 1.38 1.37 1.37 1.37 1.36 1.36 1.34 1.32 1.31 1.31 1.30 1.30 1.29 1.28 1.28 1.27
3.38 2.44 2.08 1.89 1.77 1.69 1.63 1.59 1.55 1.52 1.50 1.48 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 1.41 1.40 1.39 1.39 1.38 1.38 1.37 1.37 1.36 1.36 1.35 1.35 1.33 1.31 1.30 1.30 1.29 1.29 1.28 1.27 1.27 1.25
3.39 2.45 2.08 1.89 1.77 1.68 1.62 1.58 1.54 1.51 1.49 1.47 1.45 1.44 1.43 1.41 1.40 1.40 1.39 1.38 1.37 1.37 1.36 1.36 1.35 1.35 1.34 1.34 1.34 1.31 1.30 1.29 1.28 1.27 1.27 1.27 1.26 1.25 1.24
3.41 2.46 2.08 1.89 1.76 1.68 1.62 1.57 1.53 1.50 1.48 1.46 1.44 1.43 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.37 1.36 1.35 1.35 1.34 1.34 1.33 1.33 1.32 1.32 1.30 1.28 1.27 1.26 1.26 1.25 1.25 1.24 1.23 1.22
3.43 2.46 2.08 1.88 1.76 1.67 1.61 1.56 1.52 1.49 1.47 1.45 1.43 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34 1.34 1.33 1.33 1.32 1.32 1.31 1.31 1.30 1.28 1.26 1.25 1.24 1.23 1.23 1.23 1.21 1.21 1.19
3.43 2.46 2.08 1.88 1.75 1.67 1.60 1.56 1.52 1.49 1.46 1.44 1.42 1.41 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34 1.33 1.33 1.32 1.32 1.31 1.31 1.30 1.30 1.29 1.26 1.25 1.24 1.23 1.22 1.22 1.21 1.20 1.19 1.18
3.44 2.47 2.08 1.88 1.75 1.66 1.60 1.55 1.51 1.48 1.45 1.43 1.41 1.40 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34 1.33 1.32 1.32 1.31 1.31 1.30 1.30 1.29 1.29 1.28 1.25 1.23 1.22 1.21 1.21 1.20 1.20 1.19 1.18 1.16
3.45 2.47 2.08 1.88 1.75 1.66 1.59 1.54 1.51 1.47 1.45 1.42 1.41 1.39 1.37 1.36 1.35 1.34 1.33 1.32 1.31 1.31 1.30 1.29 1.29 1.28 1.28 1.27 1.27 1.24 1.22 1.21 1.20 1.19 1.19 1.18 1.17 1.16 1.14
3.46 2.47 2.08 1.87 1.74 1.65 1.59 1.54 1.50 1.47 1.44 1.42 1.40 1.38 1.36 1.35 1.34 1.33 1.32 1.31 1.30 1.30 1.29 1.28 1.28 1.27 1.27 1.26 1.26 1.22 1.20 1.19 1.18 1.17 1.17 1.16 1.15 1.14 1.12
3.47 2.47 2.08 1.87 1.74 1.65 1.58 1.53 1.49 1.46 1.43 1.41 1.39 1.37 1.35 1.34 1.33 1.32 1.31 1.30 1.29 1.28 1.28 1.27 1.26 1.26 1.25 1.25 1.24 1.21 1.19 1.17 1.16 1.15 1.15 1.14 1.12 1.11 1.08
3.48 2.47 2.08 1.87 1.74 1.65 1.58 1.53 1.48 1.45 1.42 1.40 1.38 1.36 1.34 1.33 1.32 1.30 1.29 1.28 1.28 1.27 1.26 1.25 1.25 1.24 1.24 1.23 1.23 1.19 1.16 1.15 1.13 1.12 1.12 1.11 1.09 1.07 1.00
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 150 200 100,000
100,000
Distribuição F 0,8
Numerator d.f,Denomina 5,10
0,6 0,4 0,2
0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
121
Universidade Federal do Paraná
Jorge Festa
Tabela IV b - Pontos Percentuais da Distribuição F - área = 0,10
1
1
2
3
4
5
6
7
1
39.9
49.5
53.6
55.8
57.2
58.2
58.9
59.4
59.9
60.2
60.7
61.2
61.7
62.0
62.3
62.5
8.53 5.54 4.54 4.06 3.78 3.59 3.46 3.36 3.29 3.23 3.18 3.14 3.10 3.07 3.05 3.03 3.01 2.99 2.97 2.96 2.95 2.94 2.93 2.92 2.91 2.90 2.89 2.89 2.88 2.84 2.81 2.79 2.78 2.77 2.76 2.76 2.74 2.73 2.71
9.00 5.46 4.32 3.78 3.46 3.26 3.11 3.01 2.92 2.86 2.81 2.76 2.73 2.70 2.67 2.64 2.62 2.61 2.59 2.57 2.56 2.55 2.54 2.53 2.52 2.51 2.50 2.50 2.49 2.44 2.41 2.39 2.38 2.37 2.36 2.36 2.34 2.33 2.30
9.16 5.39 4.19 3.62 3.29 3.07 2.92 2.81 2.73 2.66 2.61 2.56 2.52 2.49 2.46 2.44 2.42 2.40 2.38 2.36 2.35 2.34 2.33 2.32 2.31 2.30 2.29 2.28 2.28 2.23 2.20 2.18 2.16 2.15 2.15 2.14 2.12 2.11 2.08
9.24 5.34 4.11 3.52 3.18 2.96 2.81 2.69 2.61 2.54 2.48 2.43 2.39 2.36 2.33 2.31 2.29 2.27 2.25 2.23 2.22 2.21 2.19 2.18 2.17 2.17 2.16 2.15 2.14 2.09 2.06 2.04 2.03 2.02 2.01 2.00 1.98 1.97 1.94
9.29 5.31 4.05 3.45 3.11 2.88 2.73 2.61 2.52 2.45 2.39 2.35 2.31 2.27 2.24 2.22 2.20 2.18 2.16 2.14 2.13 2.11 2.10 2.09 2.08 2.07 2.06 2.06 2.05 2.00 1.97 1.95 1.93 1.92 1.91 1.91 1.89 1.88 1.85
9.33 5.28 4.01 3.40 3.05 2.83 2.67 2.55 2.46 2.39 2.33 2.28 2.24 2.21 2.18 2.15 2.13 2.11 2.09 2.08 2.06 2.05 2.04 2.02 2.01 2.00 2.00 1.99 1.98 1.93 1.90 1.87 1.86 1.85 1.84 1.83 1.81 1.80 1.77
9.35 5.27 3.98 3.37 3.01 2.78 2.62 2.51 2.41 2.34 2.28 2.23 2.19 2.16 2.13 2.10 2.08 2.06 2.04 2.02 2.01 1.99 1.98 1.97 1.96 1.95 1.94 1.93 1.93 1.87 1.84 1.82 1.80 1.79 1.78 1.78 1.76 1.75 1.72
9.37 5.25 3.95 3.34 2.98 2.75 2.59 2.47 2.38 2.30 2.24 2.20 2.15 2.12 2.09 2.06 2.04 2.02 2.00 1.98 1.97 1.95 1.94 1.93 1.92 1.91 1.90 1.89 1.88 1.83 1.80 1.77 1.76 1.75 1.74 1.73 1.71 1.70 1.67
9.38 5.24 3.94 3.32 2.96 2.72 2.56 2.44 2.35 2.27 2.21 2.16 2.12 2.09 2.06 2.03 2.00 1.98 1.96 1.95 1.93 1.92 1.91 1.89 1.88 1.87 1.87 1.86 1.85 1.79 1.76 1.74 1.72 1.71 1.70 1.69 1.67 1.66 1.63
9.39 5.23 3.92 3.30 2.94 2.70 2.54 2.42 2.32 2.25 2.19 2.14 2.10 2.06 2.03 2.00 1.98 1.96 1.94 1.92 1.90 1.89 1.88 1.87 1.86 1.85 1.84 1.83 1.82 1.76 1.73 1.71 1.69 1.68 1.67 1.66 1.64 1.63 1.60
9.41 5.22 3.90 3.27 2.90 2.67 2.50 2.38 2.28 2.21 2.15 2.10 2.05 2.02 1.99 1.96 1.93 1.91 1.89 1.87 1.86 1.84 1.83 1.82 1.81 1.80 1.79 1.78 1.77 1.71 1.68 1.66 1.64 1.63 1.62 1.61 1.59 1.58 1.55
9.42 5.20 3.87 3.24 2.87 2.63 2.46 2.34 2.24 2.17 2.10 2.05 2.01 1.97 1.94 1.91 1.89 1.86 1.84 1.83 1.81 1.80 1.78 1.77 1.76 1.75 1.74 1.73 1.72 1.66 1.63 1.60 1.59 1.57 1.56 1.56 1.53 1.52 1.49
9.44 5.18 3.84 3.21 2.84 2.59 2.42 2.30 2.20 2.12 2.06 2.01 1.96 1.92 1.89 1.86 1.84 1.81 1.79 1.78 1.76 1.74 1.73 1.72 1.71 1.70 1.69 1.68 1.67 1.61 1.57 1.54 1.53 1.51 1.50 1.49 1.47 1.46 1.42
9.45 5.18 3.83 3.19 2.82 2.58 2.40 2.28 2.18 2.10 2.04 1.98 1.94 1.90 1.87 1.84 1.81 1.79 1.77 1.75 1.73 1.72 1.70 1.69 1.68 1.67 1.66 1.65 1.64 1.57 1.54 1.51 1.49 1.48 1.47 1.46 1.43 1.42 1.38
9.46 5.17 3.82 3.17 2.80 2.56 2.38 2.25 2.16 2.08 2.01 1.96 1.91 1.87 1.84 1.81 1.78 1.76 1.74 1.72 1.70 1.69 1.67 1.66 1.65 1.64 1.63 1.62 1.61 1.54 1.50 1.48 1.46 1.44 1.43 1.42 1.40 1.38 1.34
9.47 5.16 3.80 3.16 2.78 2.54 2.36 2.23 2.13 2.05 1.99 1.93 1.89 1.85 1.81 1.78 1.75 1.73 1.71 1.69 1.67 1.66 1.64 1.63 1.61 1.60 1.59 1.58 1.57 1.51 1.46 1.44 1.42 1.40 1.39 1.38 1.35 1.34 1.30
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 150 200 100,000
8
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10
12
15
20
24
30
40
60
120
100,000
62.8
63.1
63.33
9.47 5.15 3.79 3.14 2.76 2.51 2.34 2.21 2.11 2.03 1.96 1.90 1.86 1.82 1.78 1.75 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 1.62 1.61 1.59 1.58 1.57 1.56 1.55 1.54 1.47 1.42 1.40 1.37 1.36 1.35 1.34 1.30 1.29 1.24
9.48 5.14 3.78 3.12 2.74 2.49 2.32 2.18 2.08 2.00 1.93 1.88 1.83 1.79 1.75 1.72 1.69 1.67 1.64 1.62 1.60 1.59 1.57 1.56 1.54 1.53 1.52 1.51 1.50 1.42 1.38 1.35 1.32 1.31 1.29 1.28 1.25 1.23 1.17
9.49 5.13 3.76 3.11 2.72 2.47 2.29 2.16 2.06 1.97 1.90 1.85 1.80 1.76 1.72 1.69 1.66 1.63 1.61 1.59 1.57 1.55 1.53 1.52 1.50 1.49 1.48 1.47 1.46 1.38 1.33 1.29 1.27 1.24 1.23 1.21 1.17 1.14 1.01
122
Universidade Federal do Paraná Tabela IV c - Pontos Percentuais da Distribuição F - área = 0,05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 161 199 216 225 230 234 237 239 241 2 18.5 19.0 19.2 19.2 19.3 19.3 19.4 19.4 19.4 3 10.1 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 28 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 29 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 50 4.03 3.18 2.79 2.56 2.40 2.29 2.20 2.13 2.07 60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 70 3.98 3.13 2.74 2.50 2.35 2.23 2.14 2.07 2.02 80 3.96 3.11 2.72 2.49 2.33 2.21 2.13 2.06 2.00 90 3.95 3.10 2.71 2.47 2.32 2.20 2.11 2.04 1.99 100 3.94 3.09 2.70 2.46 2.31 2.19 2.10 2.03 1.97 150 3.90 3.06 2.66 2.43 2.27 2.16 2.07 2.00 1.94 200 3.89 3.04 2.65 2.42 2.26 2.14 2.06 1.98 1.93 100,000 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88
Jorge Festa
10
12
15
20
24
30
40
60
120
100,000
242 19.4 8.79 5.96 4.74 4.06 3.64 3.35 3.14 2.98 2.85 2.75 2.67 2.60 2.54 2.49 2.45 2.41 2.38 2.35 2.32 2.30 2.27 2.25 2.24 2.22 2.20 2.19 2.18 2.16 2.08 2.03 1.99 1.97 1.95 1.94 1.93 1.89 1.88 1.83
244 19.4 8.74 5.91 4.68 4.00 3.57 3.28 3.07 2.91 2.79 2.69 2.60 2.53 2.48 2.42 2.38 2.34 2.31 2.28 2.25 2.23 2.20 2.18 2.16 2.15 2.13 2.12 2.10 2.09 2.00 1.95 1.92 1.89 1.88 1.86 1.85 1.82 1.80 1.75
246 19.4 8.70 5.86 4.62 3.94 3.51 3.22 3.01 2.85 2.72 2.62 2.53 2.46 2.40 2.35 2.31 2.27 2.23 2.20 2.18 2.15 2.13 2.11 2.09 2.07 2.06 2.04 2.03 2.01 1.92 1.87 1.84 1.81 1.79 1.78 1.77 1.73 1.72 1.67
248 19.4 8.66 5.80 4.56 3.87 3.44 3.15 2.94 2.77 2.65 2.54 2.46 2.39 2.33 2.28 2.23 2.19 2.16 2.12 2.10 2.07 2.05 2.03 2.01 1.99 1.97 1.96 1.94 1.93 1.84 1.78 1.75 1.72 1.70 1.69 1.68 1.64 1.62 1.57
249 19.5 8.64 5.77 4.53 3.84 3.41 3.12 2.90 2.74 2.61 2.51 2.42 2.35 2.29 2.24 2.19 2.15 2.11 2.08 2.05 2.03 2.01 1.98 1.96 1.95 1.93 1.91 1.90 1.89 1.79 1.74 1.70 1.67 1.65 1.64 1.63 1.59 1.57 1.52
250 19.5 8.62 5.75 4.50 3.81 3.38 3.08 2.86 2.70 2.57 2.47 2.38 2.31 2.25 2.19 2.15 2.11 2.07 2.04 2.01 1.98 1.96 1.94 1.92 1.90 1.88 1.87 1.85 1.84 1.74 1.69 1.65 1.62 1.60 1.59 1.57 1.54 1.52 1.46
251 19.5 8.59 5.72 4.46 3.77 3.34 3.04 2.83 2.66 2.53 2.43 2.34 2.27 2.20 2.15 2.10 2.06 2.03 1.99 1.96 1.94 1.91 1.89 1.87 1.85 1.84 1.82 1.81 1.79 1.69 1.63 1.59 1.57 1.54 1.53 1.52 1.48 1.46 1.39
252 19.5 8.57 5.69 4.43 3.74 3.30 3.01 2.79 2.62 2.49 2.38 2.30 2.22 2.16 2.11 2.06 2.02 1.98 1.95 1.92 1.89 1.86 1.84 1.82 1.80 1.79 1.77 1.75 1.74 1.64 1.58 1.53 1.50 1.48 1.46 1.45 1.41 1.39 1.32
253 19.5 8.55 5.66 4.40 3.70 3.27 2.97 2.75 2.58 2.45 2.34 2.25 2.18 2.11 2.06 2.01 1.97 1.93 1.90 1.87 1.84 1.81 1.79 1.77 1.75 1.73 1.71 1.70 1.68 1.58 1.51 1.47 1.44 1.41 1.39 1.38 1.33 1.30 1.22
254 19.5 8.53 5.63 4.37 3.67 3.23 2.93 2.71 2.54 2.40 2.30 2.21 2.13 2.07 2.01 1.96 1.92 1.88 1.84 1.81 1.78 1.76 1.73 1.71 1.69 1.67 1.65 1.64 1.62 1.51 1.44 1.39 1.35 1.32 1.30 1.28 1.22 1.19 1.01
123
Universidade Federal do Paraná
Jorge Festa
Tabela IV d - Pontos Percentuais da Distribuição F - área = ,025 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 648 799 864 900 922 937 948 957 963 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 150 200
38.5 17.4 12.2 10.0 8.81 8.07 7.57 7.21 6.94 6.72 6.55 6.41 6.30 6.20 6.12 6.04 5.98 5.92 5.87 5.83 5.79 5.75 5.72 5.69 5.66 5.63 5.61 5.59 5.57 5.42 5.34 5.29 5.25 5.22 5.20 5.18 5.13 5.10 5.02
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39.3 14.9 9.36 7.15 5.99 5.29 4.82 4.48 4.24 4.04 3.89 3.77 3.66 3.58 3.50 3.44 3.38 3.33 3.29 3.25 3.22 3.18 3.15 3.13 3.10 3.08 3.06 3.04 3.03 2.90 2.83 2.79 2.75 2.73 2.71 2.70 2.65 2.63 2.57
39.3 14.7 9.20 6.98 5.82 5.12 4.65 4.32 4.07 3.88 3.73 3.60 3.50 3.41 3.34 3.28 3.22 3.17 3.13 3.09 3.05 3.02 2.99 2.97 2.94 2.92 2.90 2.88 2.87 2.74 2.67 2.63 2.59 2.57 2.55 2.54 2.49 2.47 2.41
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10
12
15
20
24
30
969
977
985
993
997 1,001 1,006 1,010 1,014
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40
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60
39.5 14.0 8.36 6.12 4.96 4.25 3.78 3.45 3.20 3.00 2.85 2.72 2.61 2.52 2.45 2.38 2.32 2.27 2.22 2.18 2.14 2.11 2.08 2.05 2.03 2.00 1.98 1.96 1.94 1.80 1.72 1.67 1.63 1.60 1.58 1.56 1.50 1.47 1.39
120 100,000
39.5 13.9 8.31 6.07 4.90 4.20 3.73 3.39 3.14 2.94 2.79 2.66 2.55 2.46 2.38 2.32 2.26 2.20 2.16 2.11 2.08 2.04 2.01 1.98 1.95 1.93 1.91 1.89 1.87 1.72 1.64 1.58 1.54 1.51 1.48 1.46 1.40 1.37 1.27
1,018.3 39.50 13.90 8.26 6.02 4.85 4.14 3.67 3.33 3.08 2.88 2.73 2.60 2.49 2.40 2.32 2.25 2.19 2.13 2.09 2.04 2.00 1.97 1.94 1.91 1.88 1.85 1.83 1.81 1.79 1.64 1.55 1.48 1.44 1.40 1.37 1.35 1.27 1.23 1.01
100,000
124
Universidade Federal do Paraná Tabela IV e - Pontos Percentuais da Distribuição F - área = ,010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4,05 4,99 5,40 5,62 5,76 5,85 5,92 5,98 6,02 2 9 4 4 4 9 8 1 2 2 98.5 99.0 99.2 99.3 99.3 99.3 99.4 99.4 99.4 3 34.1 30.8 29.5 28.7 28.2 27.9 27.7 27.5 27.3 4 21.2 18.0 16.7 16.0 15.5 15.2 15.0 14.8 14.7 5 16.3 13.3 12.1 11.4 11.0 10.7 10.5 10.3 10.2 6 13.7 10.9 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7 12.2 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 8 11.3 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 9 10.6 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 10 10.0 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 13 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 17 8.40 6.11 5.19 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 19 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 20 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 27 7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 28 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 29 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 50 7.17 5.06 4.20 3.72 3.41 3.19 3.02 2.89 2.78 60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 70 7.01 4.92 4.07 3.60 3.29 3.07 2.91 2.78 2.67 80 6.96 4.88 4.04 3.56 3.26 3.04 2.87 2.74 2.64 90 6.93 4.85 4.01 3.53 3.23 3.01 2.84 2.72 2.61 100 6.90 4.82 3.98 3.51 3.21 2.99 2.82 2.69 2.59 150 6.81 4.75 3.91 3.45 3.14 2.92 2.76 2.63 2.53 200 6.76 4.71 3.88 3.41 3.11 2.89 2.73 2.60 2.50 100,000 6.64 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41
Jorge Festa 10 6,05 6 99.4 27.2 14.5 10.1 7.87 6.62 5.81 5.26 4.85 4.54 4.30 4.10 3.94 3.80 3.69 3.59 3.51 3.43 3.37 3.31 3.26 3.21 3.17 3.13 3.09 3.06 3.03 3.00 2.98 2.80 2.70 2.63 2.59 2.55 2.52 2.50 2.44 2.41 2.32
12 6,10 7 99.4 27.1 14.4 9.89 7.72 6.47 5.67 5.11 4.71 4.40 4.16 3.96 3.80 3.67 3.55 3.46 3.37 3.30 3.23 3.17 3.12 3.07 3.03 2.99 2.96 2.93 2.90 2.87 2.84 2.66 2.56 2.50 2.45 2.42 2.39 2.37 2.31 2.27 2.18
15 6,15 7 99.4 26.9 14.2 9.72 7.56 6.31 5.52 4.96 4.56 4.25 4.01 3.82 3.66 3.52 3.41 3.31 3.23 3.15 3.09 3.03 2.98 2.93 2.89 2.85 2.81 2.78 2.75 2.73 2.70 2.52 2.42 2.35 2.31 2.27 2.24 2.22 2.16 2.13 2.04
20 6,20 9 99.4 26.7 14.0 9.55 7.40 6.16 5.36 4.81 4.41 4.10 3.86 3.66 3.51 3.37 3.26 3.16 3.08 3.00 2.94 2.88 2.83 2.78 2.74 2.70 2.66 2.63 2.60 2.57 2.55 2.37 2.27 2.20 2.15 2.12 2.09 2.07 2.00 1.97 1.88
24 6,23 4 99.5 26.6 13.9 9.47 7.31 6.07 5.28 4.73 4.33 4.02 3.78 3.59 3.43 3.29 3.18 3.08 3.00 2.92 2.86 2.80 2.75 2.70 2.66 2.62 2.58 2.55 2.52 2.49 2.47 2.29 2.18 2.12 2.07 2.03 2.00 1.98 1.92 1.89 1.79
30 6,26 0 99.5 26.5 13.8 9.38 7.23 5.99 5.20 4.65 4.25 3.94 3.70 3.51 3.35 3.21 3.10 3.00 2.92 2.84 2.78 2.72 2.67 2.62 2.58 2.54 2.50 2.47 2.44 2.41 2.39 2.20 2.10 2.03 1.98 1.94 1.92 1.89 1.83 1.79 1.70
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60 6,31 3 99.5 26.3 13.7 9.20 7.06 5.82 5.03 4.48 4.08 3.78 3.54 3.34 3.18 3.05 2.93 2.83 2.75 2.67 2.61 2.55 2.50 2.45 2.40 2.36 2.33 2.29 2.26 2.23 2.21 2.02 1.91 1.84 1.78 1.75 1.72 1.69 1.62 1.58 1.47
120 6,34 0 99.5 26.2 13.6 9.11 6.97 5.74 4.95 4.40 4.00 3.69 3.45 3.25 3.09 2.96 2.84 2.75 2.66 2.58 2.52 2.46 2.40 2.35 2.31 2.27 2.23 2.20 2.17 2.14 2.11 1.92 1.80 1.73 1.67 1.63 1.60 1.57 1.49 1.45 1.32
100,000 6,366 99.50 26.13 13.46 9.02 6.88 5.65 4.86 4.31 3.91 3.60 3.36 3.17 3.00 2.87 2.75 2.65 2.57 2.49 2.42 2.36 2.31 2.26 2.21 2.17 2.13 2.10 2.06 2.03 2.01 1.80 1.68 1.60 1.54 1.49 1.46 1.43 1.33 1.28 1.01
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