Transcript
LUIZ CLAUDIO BENCK KEVIN WONG TAMARA CANDIDO
DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL CONCEITOS BÁSICOS APLICAÇÕES
Trabalho apresentado para avaliação na disciplina de Estatística e Métodos Numéricos do Curso de Administração de Empresas da Escola Superior de Engenharia e Gestão - ESEG. Prof. Alexandre Borges
SÃO PAULO 2008
AGRADECIMENTOS - A Deus pela vida, saúde e pelas oportunidades.
ii
SUMÁRIO DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL – CONCEITOS BÁSICOS ............................................. 5 PRINCIPAIS EXPRESSÕES MATEMÁTICAS ................................................................... 5 Probabilidade de falhas de um item, num dado intervalo de tempo "t" de operação. .................................... 5 Probabilidade a qual o equipamento não irá falhar para um dado período de tempo "t"de operação (Confiabilidade). ............................................................................................................................................. 5 Tempo Médio Entre falhas (MTTF)................................................................................................................. 5 Desvio Padrão................................................................................................................................................. 6 Significado dos parâmetros da Distribuição de Weibull................................................................................. 6 Observações relativas ao Fator de Forma " β "............................................................................................. 7
WEIBULL - CÁLCULO MATEMÁTICO............................................................................ 8 MODELO HIPOTÉTICO – BOMBAS EM OPERAÇÃO..................................................... 8 I- Cálculos:...................................................................................................................................................... 8 II Traço o gráfico da confiabilidade. .............................................................................................................. 8 III O custo de manutenção corretiva por intervenção (CCM) é de $600,00 e o custo de manutenção preventiva por intervenção (CPM) é de $250,00. Há um período ótimo para executar a manutenção preventiva? Em caso afirmativo, que período é este? ..................................................................................... 8 I-1 Para determinar “ t0 ”, há três métodos: .................................................................................................. 9 Para os itens I-2 e I-3.................................................................................................................................... 10 I-4 Determinação do coeficiente de correlação (r):...................................................................................... 12 I-5 Probabilidade de falha para um intervalo de funcionamento de 1350 horas em operação (t=1350 horas): ........................................................................................................................................................... 13 I-6 A confiabilidade em um intervalo do funcionamento de 1400 horas (t=1400 horas): ............................ 13 I-7 MTTF (tempo médio sem falha): ............................................................................................................. 13 I-8 Desvio Padrão: ........................................................................................................................................ 14 I-9 Coeficiente de variação: .......................................................................................................................... 14 Item II – Representação gráfica:................................................................................................................... 14 III - Intervalo de manutenção preventiva ...................................................................................................... 15
iii
INTRODUÇÃO
O objetivo do presente trabalho é apresentar as principais características da Distribuição de Weibull, seus parâmetros e aplicações. Também são desenvolvidos os cálculos relativos a um exemplo hipotético de testes de falhas em equipamentos de bombeamento. Devido ao reduzido material para consulta, ou pela sua pouca profundidade, tomamos por base o excelente material “Weibull Passo a Passo”, disponível em http://www.qualytek.com.br (em inglês) 1.
5
DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL – CONCEITOS BÁSICOS
Expressão semi-empírica desenvolvida por Ernest Hjalmar Wallodi Weibull (18871979), físico sueco, que em 1939 apresentou o modelo de planejamento estatístico sobre fadiga de material. Sua utilidade decorre do fato de permitir: •
representar falhas típicas de partida (mortalidade infantil), falhas aleatórias e falhas devido ao desgaste.
•
obter parâmetros significativos da configuração das falhas.
•
representação gráfica simples.
Um outro fato importante relacionado a distribuição de Weibull é que na presença de co-variáveis, tem-se um modelo de riscos proporcionais e de falha acelerada. A distribuição de Weibull é a única distribuição de probabilidade que pode ser escrita na forma de um modelo de riscos proporcionais3. PRINCIPAIS EXPRESSÕES MATEMÁTICAS Probabilidade de falhas de um item, num dado intervalo de tempo "t" de operação. β
t − t β 0 = 1 − exp − β F(t)⇒ Função Distribuição cumulativa
F (t ) = 1 − e
t −t − 0 η
Probabilidade a qual o equipamento não irá falhar para um dado período de tempo "t"de operação (Confiabilidade).
t − t β 0 R(t ) = 1 − F (t ) = exp − η
Tempo Médio Entre falhas (MTTF) TMEF = t0 + η .Γ(1 + β −1 )
6
Desvio Padrão
σ = η Γ(1 + 2β ) − Γ (1 − β ) −1
2
−1
1 2
" Γ " => Símbolo da Função Gama Significado dos parâmetros da Distribuição de Weibull •
" t0 " => Vida Mínima ou Confiabilidade Intrínseca (tempo de operação a partir do qual o equipamento passa a apresentar falhas, ou seja, intervalo de tempo que o equipamento não apresenta falhas).
•
" η " => Vida Característica ou Parâmetro de Escala (intervalo de tempo entre " t0 " e "t" no qual ocorrem 63,2% das falhas, restando, portanto, 36,8% de itens sem falhar).
•
" β " => Fator de Forma (indica a forma da curva e a característica das falhas).
• • •
" β < 1" mortalidade infantil " β = 1" falhas aleatórias (função exponencial negativa) " β > 1" falhas por desgaste
O parâmetro β é adimensional, enquanto η está na mesma escala dos dados3.
7
Observações relativas ao Fator de Forma " β " A escolha apropriada de " t0 ", " β " e " η " na Distribuição de Weibull podem ser usadas para representar uma larga faixa de distribuições, incluindo tanto distribuições randômicas (exponencial negativa) quanto distribuições aproximadamente normal. Embora a experiência tenha mostrado que a distribuição de Weibull possa ser usada para representar a grande maioria de modelos de falha, é essencial notar que é uma função semi-empírica, e pode não ser capaz de representar algumas distribuições particulares encontradas na prática. Com relação ao Fator de Forma " β ", temos que: •
Se " β = 1" (taxa de falha constante), pode ser uma indicação que modos de falhas múltiplos estão presentes ou que os dados coletados dos tempos para falhar são suspeitos. Este é freqüentemente o caso dos sistemas nos quais diferentes componentes têm diferentes idades, e o tempo individual de operação dos componentes não estão disponíveis. Uma taxa de falhas constante pode também indicar que as falhas são provocadas por agentes externos, tais como: uso inadequado do equipamento ou técnicas inadequadas de manutenção.
•
O modo de falhas por desgaste é caracterizado por " β > 1", mas podem ocorrer situações nas quais as falhas por desgaste ocorram depois de um tempo finito livre de falhas, e um valor de " β = 1" é obtido. Isto pode ocorrer quando uma amostragem contém uma proporção de itens imperfeitos, acarretando falhas antes de um tempo finito livre de falhas. Os parâmetros da Distribuição de Weibull dos modos de falhas por desgaste podem ser deduzidos se forem eliminados os itens imperfeitos e analisados os seus dados separadamente.
WEIBULL - CÁLCULO MATEMÁTICO
MODELO HIPOTÉTICO – BOMBAS EM OPERAÇÃO Cem bombas idênticas estão em operação continuamente até falharem. Anotados os tempos de falha de cada uma, obtemos a seguinte tabela: Tempo até falhar (horas) 1000 => 1100 1100 => 1200 1200 => 1300 1300 => 1400 1400 => 1500 1500 => 1600 1600 => 1700 1700 => 1800 1800 => 1900
Frequência observada 2 6 16 14 26 22 7 6 1
I- Cálculos: 1. O tempo livre de vida mínima ou da falha intrínseca " t0 "=> da confiabilidade " t0 ". 2. O parâmetro característico da vida ou da escala ( η ). 3. O parâmetro da forma ( β ) e falha característica. 4. O coeficiente de correlação ( r ). 5. A probabilidade de falha para um intervalo de funcionamento de 1350 horas. 6. A confiabilidade em um intervalo de funcionamento de 1400 horas. 7. MTTF (tempo médio sem falha). 8. O desvio padrão ( σ ). 9. O coeficiente de variação ( σ / µ ). II Traço o gráfico da confiabilidade. III O custo de manutenção corretiva por intervenção (CCM) é de $600,00 e o custo de manutenção preventiva por intervenção (CPM) é de $250,00. Há um período ótimo para executar a manutenção preventiva? Em caso afirmativo, que período é este?
9
Solução: Tempo até falhar (horas) 1000 => 1100 1100 => 1200 1200 => 1300 1300 => 1400 1400 => 1500 1500 => 1600 1600 => 1700 1700 => 1800 1800 => 1900 Total
Frequência Freq. Freq. Rel. observada Relativa Acumulada 2 0,02 0,02 6 0,06 0,08 16 0,16 0,24 14 0,14 0,38 26 0,26 0,64 22 0,22 0,86 7 0,07 0,93 6 0,06 0,99 1 0,01 1,00 100 1,00
I-1 Para determinar “ t0 ”, há três métodos:
•
Pela experimentação;
•
Gráfico;
•
Simulação computacional;
Experimentação: consiste em selecionar valores arbitrários a “ t0 ”. O valor que obtiver o melhor coeficiente de correlação, será o mais adequado.
Gráfico: através da utilização do gráfico que representa a Freqüência acumulada e do uso da fórmula abaixo.
10
Simulação computacional: diversos valores candidatos a “ t0 ” são testados, escolhese o que apresenta o melhor coeficiente de correlação. Em nosso caso, a melhor opção é “ t0 = 900 horas”.
Para os itens I-2 e I-3 Sabemos que a freqüência cumulativa de falha em uma distribuição de Weibull, é dada por:
Transformando a função para a forma Y=aX + b, obtemos:
Conseqüentemente, nós podemos construir a seguinte tabela:
t 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900
F(t) 0,02 0,08 0,24 0,38 0,64 0,86 0,93 0,99 1,00
Y=Ln{-Ln[1F(t)]} -3,9019 -2,4843 -1,2930 -0,7381 0,0214 0,6761 0,9780 1,5272 -----
X=ln(t-to) to=900h 5,2983 5,7038 5,9915 6,2146 6,3969 6,5511 6,6846 6,8024 6,9078
11
Agora, nós podemos aplicar a regressão linear para determinar o “ β ” e o “ η ”:
Tabela para facilitar os cálculos Ord. 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ
Yi
Xi
-3,9019 -2,4843 -1,2930 -0,7381 0,0214 0,6761 0,9780 1,5272 -5,2147
5,2983 5,7038 5,9915 6,2146 6,3969 6,5511 6,6846 6,8024 49,6432
Yi 2
15,2251 28,0722 6,1719 32,5331 1,6719 35,8976 0,5447 38,6214 0,0005 40,9207 0,4571 42,9167 0,9566 44,6840 2,3323 46,2726 27,3601 309,9183
Determinação do coeficiente angular ( β ):
n
a=β =
n
n
n.∑ X i .Yi − ∑ X i .∑ Yi i =1
i =1
i =1 2
n.∑ X i2 − ∑ X i i =1 i =1 n
n
8(−25, 6855) − 49, 6432(−5.2146) 8(309, 9183) − (49, 6432) 2 −205, 4840 + 258,8694 53,3854 = = 3, 5831 β= 2479,3464 − 2464, 4473 14,8991
β=
β =3,5831
X i2
X iYi -20,6737 -14,1701 -7,74717 -4,58681 0,137023 4,428913 6,53787 10,38848 -25,6855
12
Determinação do coeficiente angular (- β .Ln η ):
n
b = − β .Lnη =
∑Y i =1
i
n
− a.
∑X i =1
n = −0, 6518 − 22, 2347
n
i
=
5, 2146 49, 6432 − 3, 5831. 8 8
= −22,8865
Conseqüentemente:
− β .Lnη = −22,8865 3, 5831.Lnη = 22,8865 Lnη =
22,8865 = 6, 3873 3,5831
η = e6,3873 n = 594, 28 horas - Vida Característica ou Parâmetro de Escala (intervalo de tempo entre " t0 " e "t" no qual ocorrem 63,2% das falhas, restando, portanto, 36,8% de itens sem falhar).
I-4 Determinação do coeficiente de correlação (r):
13
I-5 Probabilidade de falha para um intervalo de funcionamento de 1350 horas em operação (t=1350 horas):
Assim, com t=1350, temos:
I-6 A confiabilidade em um intervalo do funcionamento de 1400 horas (t=1400 horas):
Assim, com t=1400, temos:
I-7 MTTF (tempo médio sem falha):
MTTF = 1435,35 HORAS
14
I-8 Desvio Padrão:
I-9 Coeficiente de variação:
Item II – Representação gráfica:
15
III - Intervalo de manutenção preventiva
Valores:
As seguintes equações serão usadas: # Existe um tempo finito para executar manutenção preventiva sistematicamente, quando:
Nós igualmente podemos usar o gráfico abaixo:
# Se a equação acima é verdadeira, o intervalo de tempo ótimo para executar a manutenção preventiva, é dado por:
16
Entrando com os valores, nós obtemos: Condição:
Intervalo ótimo:
T=1.257,12 horas
17
CONCLUSÃO
A Distribuição de Weibull tem sido usada extensivamente na engenharia de confiabilidade como modelo de tempo de falha para componentes e sistema elétricos e mecânicos4, e também para estimar a sobrevivência humana e de outros mamíferos, pássaros, rotíferos até insetos5. Com a escolha apropriada dos parâmetros " t0 ", " β " e " η " da Distribuição de Weibull, pode-se representar uma larga faixa de distribuições de modelos de falhas, podendo explicar a sua grande aplicação em vários campos, da engenharia às ciências biológicas.
REFERÊNCIAS
1 http://www.qualytek.com.br Acesso em 08/11/2008. 2 http://www.bobabernethy.com/bios_weibull.htm Acesso em 10/11/2008 3 SILVA, WALDIR S. J. Probabilidade de Cobertura dos Intervalos de Confiança Assintótico, p-Bootstrap e t-Bootstrap, Para Alguns Parâmetros da Distribui¸cão Weibull. Monografia de Conclusão de Curso – Centro de Ciências Exatas – Universidade Estadual de Maringá . Maringá – PR, 2005. 4 MONTGOMERY, DOUGLAS C. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2004. 5 http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S0301-80591997000300005&script=sci_arttext Acesso em 08/11/2008.
