Dinâmica E Leis De Newton

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CAMPUS REGIONAL DE UMUARAMA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA Professor: Fábio Costa A Dinâmica é à parte da Mecânica que estuda o movimento dos corpos e as causas que o provocaram. Seus pilares são as três leis de Newton para o movimento (Lei da Inércia (Primeira Lei de Newton), Princípio fundamental da dinâmica (Segunda Lei de Newton) e a Lei da ação e reação (Terceira Lei de Newton)). Para o estudo da dinâmica é de fundamental importância conhecer o conceito de Força, o que uma força pode causar a um objeto ou corpo, e as suas formas de ação. Todos nós temos uma noção intuitiva de força, ligada ao esforço muscular exercido pra efetuar uma tarefa qualquer, por exemplo, para chutar uma bola, ou para levantar uma caixa do chão, etc. Porém, em Física, os corpos ou partículas não possuem força, pois, 3) Uma pessoa sentada em uma cadeira não produz movimento, mas nem por isso deixa de ser exercida uma força sobre o conjunto (cadeira e pessoa) pela força gravitacional da Terra. É possível notar aqui que a força produz o equilíbrio do conjunto (cadeira + pessoa). 4) Uma mola ao ser esticada deforma suas espirais e aumenta o seu tamanho. É possível notar aqui que a força produz deformação e também o movimento da mola, pois ela aumenta o tamanho. 5) Um goleiro, ao encaixar a bola em seu peito e prendê-la em seus braços, evitando um gol, cessa o movimento da bola. É possível notar aqui que a força produz o equilíbrio na bola. Força é o resultado da interação entre dois ou mais corpos. Mediante os exemplos acima, conclui-se que uma força pode causar variações na velocidade de um corpo, deformações, equilíbrio, ou ainda, todos os três fenômenos. Para facilitar a compreensão do que uma força pode causar, analisemos os seguintes exemplos: 1) Ao chutar uma bola, o pé faz sobre ela uma força que além de deformá-la inicia-lhe o movimento. É possível notar aqui que a força produz o movimento da bola e também que a deforma. 2) Quando um objeto é abandonado de uma certa altura, cai com movimento acelerado devido à força de atração da Terra. É possível notar aqui que a força produz o movimento do objeto. Quanto à forma de ação, as forças são classificadas em: (a) Forças de Contato: quando as superfícies dos corpos que interagem se tocam, isto é, há um contato físico entre os corpos ou partículas para que haja força. Nesta categoria teremos: força normal (N); força de tração (T); força de atrito (Fat). Exemplos: um livro sobre uma mesa, produz uma força normal devido à força de compressão que o livro produz na mesa ao ser atraído pela Terra (vale ressaltar que a força normal não é o par de forças açãoreação da força peso para o livro, ela surge devido à compressão que o livro produz na mesa); um carro sendo rebocado por um outro carro, através de uma corda atada a ambos; etc. (b) Força de campo ou de ação à distância: ocorre quando os corpos estão separados por uma distância determinada, não havendo a necessidade do contato físico. Nesta categoria teremos: força gravitacional; força eletromagnética e força elástica. Exemplos: um prego ao ser atraído por um imã; uma fruta que se desprende do galho e cai devido à força de atração da Terra; etc. A força é uma grandeza vetorial, portanto, possui módulo, direção e sentido. Assim, em um mesmo corpo ou partícula podem agir inúmeras forças, com módulos, direções e sentidos diferentes, logo, o sistema de forças que atuam no corpo, poderá ser representado por uma única força, chamada de Força Resultante (FR), cujo módulo corresponde à soma de todas as forças que atuam na partícula, a direção e o sentido da força resultante corresponderá exatamente à direção e ao sentido que a partícula terá sob a ação de todas as forças que nela estão agindo. Sua unidade de medida será definida posteriormente, mas para fins de conhecimento, é o newton, simbolizado por N. Na figura abaixo estão representados cinco forças de diferentes intensidades, direções e sentidos, atuando em um corpo de massa m, esta ilustração representa o sistema de forças que atuam em um corpo. A partir do sistema de forças que atuam em um corpo é possível obter a força resultante FR que representa a soma de todas as forças que atuam no corpo, obtendo assim, uma força com módulo único, direção e sentido que a partícula terá sob a ação de todas as forças nela aplicadas. Observe a figura da representação da força resultante do sistema de forças que atua em um corpo F R = F 1 + F 2 + F 3 + F4 + F5 Como obter o módulo da Força resultante (FR) Observe que ao escrever a equação, as letras F que representam as forças estão em negrito, indicando que são grandezas vetoriais, porém, ao se substituir os números que representam as forças F1 e F2, ou seja, os módulos de F1 e F2, a força resultante também perde o negrito, pois será o módulo desta força. O negrito é o mesmo que a seta em cima da letra que representa o vetor força. a) Se as forças atuantes no corpo tiverem mesma direção e mesmo sentido (o ângulo entre elas será de 0º) É suficiente somar as forças F1 e F2, logo, FR = F1 + F2 Exemplo: seja F1 = 5N e F2 = 12N, então, o módulo da força resultante será, FR = F1 + F2 FR = 5 + 12 FR = 17N b) Se as forças atuantes no corpo tiverem mesma direção, porém sentidos opostos (o ângulo entre elas é de 180º) É suficiente somar as forças F1 e F2, logo, FR = F1 + F2 Exemplo: seja F1 = 10N e F2 = 3N, então, o módulo da força resultante será, FR = F1 + F2 FR = 10 + (– 3) FR = 10 – 3 FR = 7N É importante notar que estaremos utilizando um sistema de eixos ortogonais x e y com origem no corpo, assim, no item b acima, a força F2 está localizada na parte negativa do eixo x, por isso que ao somar adquire o sinal negativo, pois é dado o módulo da força F2. c) Se as forças atuantes no corpo forem perpendiculares, isto é formarem um ângulo de 90º entre si É suficiente aplicar o Teorema de Pitágoras às forças F1 e F2, logo, FR2 = F12 + F22 Exemplo: seja F1 = 8N e F2 = 6N, então, o módulo da força resultante será, FR2 = F12 + F22 FR2 = 82 + 62 FR2 = 64 + 36 FR2 = 100 FR = 100 FR = 10N d) Se as forças atuantes no corpo formarem um ângulo θ qualquer compreendido entre 0 e 90º, mas diferente de 0 e de 90º É suficiente aplicar a Lei dos Co-senos às forças F1 e F2, logo, FR2 = F12 + F22 + 2 F1 F2 cos θ Exemplo: seja F1 = 5N, F2 = 3N e θ = 60º, então, o módulo da força resultante será, FR2 = F12 + F22 + 2 F1 F2 cos θ FR2 = 52 + 32 + 2 . 5 . 3 . cos 60º FR2 = 25 + 9 + 30 . 0,5 FR2 = 34 + 15 FR2 = 49 FR = 49 FR = 7N Decomposição de Forças resultante, em geral, estas situações ocorrem quando existe uma força F que forma um ângulo θ qualquer com a horizontal (ou com a vertical), sendo que nesta direção (horizontal ou vertical) não existem outras forças atuando, conforme ilustra a figura ao lado. Para resolver este tipo de problema devemse escrever os eixos x e y com origem no corpo onde a força está atuando e decompor a força F nos eixos x e y. Construção dos eixos x e y sobre a partícula que atua a força F. Utilizando a trigonometria no triângulo retângulo formado na figura é possível observar que a hipotenusa do triângulo é a força F, o cateto oposto ao ângulo θ é a força Fy e o cateto adjacente ao ângulo θ é a força Fx, assim, teremos: Triângulo retângulo formado após a decomposição da força F nos eixos x e y. Do triângulo retângulo podemos escrever: sen θ = FY F e cos θ = X F F Isolando FY e FX, obteremos as forças em cada um dos respectivos eixos, y e x, logo Em x: Fx = F cos θ Em y: Fy = F sen θ Muitas situações exigem que a força seja decomposta nos eixos x e y para se obter a força Exemplo: Uma força F = 5N atua em um corpo formando um ângulo de 30º, com a horizontal, conforme a figura abaixo, encontre suas componentes nos eixo x e y. f) g) Solução: com base nas figuras de construção dos eixos e do triângulo retângulo, temos que a componente da força F serão: Em x Em y Fx = F cos θ Fy = F sen θ Fx = 5 cos 30º Fy = 5 sen 30º Fx = 5 . 0,8 Fy = 5 . 0,5 Fy = 2,5N Fx = 4N Exercícios Encontre o módulo da força resultante nos seguintes casos a) b) c) d) e) h) Equilíbrio de um corpo Com base no conceito de força resultante, como sendo uma única força que é capaz de produzir na partícula o mesmo efeito que todas as forças aplicadas a ela, é possível introduzir o conceito de equilíbrio. Uma partícula está em equilíbrio quando a resultante das forças que agem sobre ela é nula, isto é, FR = 0. Assim, teremos duas situações de equilíbrio: a) Equilíbrio estático – ocorre quando a partícula estiver em repouso, ou seja, quando a força resultante sobre a partícula é nula e a velocidade da partícula também é nula. FR = 0 e v = 0 b) Equilíbrio dinâmico – ocorre quando a partícula se movimenta em linha reta e com velocidade constante e diferente de zero (MRU) e quando a força resultante sobre a partícula é nula. FR = 0 e v = constante ≠ 0 Leis de Newton Primeira Lei de Newton (Lei da Inércia) Consideremos um corpo não submetido à ação de nenhuma força; nesta condição esse corpo não sofre variação de velocidade. Isto significa que, se ele está parado, permanece parado, e se está em movimento, permanece em movimento e sua velocidade se mantém constante. Tal princípio, formulado pela primeira vez por Galileu Galilei e depois confirmado por Isaac Newton, é conhecido como primeiro princípio ou primeira lei da Dinâmica (primeira lei de Newton) ou princípio da inércia. Podemos interpretar se enunciado da seguinte maneira: todos os corpos são “preguiçosos” e não desejam modificar seu estado de movimento: se estão em movimento, querem continuar em movimento; se estão parados, não desejam mover-se. Essa “preguiça” é chamada de inércia e é característica de todos os corpos dotados de massa. O princípio da inércia pode ser observado no movimento de um ônibus. Quando o ônibus “arranca” a partir do repouso, os passageiros tendem a deslocar-se para trás, resistindo ao movimento. Da mesma forma, quando o ônibus já em movimento freia, os passageiros deslocam-se para frente, tendendo a continuar com a velocidade que possuíam. Para Galileu, o natural era o movimento e não o repouso como afirmava Aristóteles. Ao observar o movimento de um corpo, sua questão era “por que pára” e não “por que se move”. A afirmação de que um corpo parado permanece parado se sobre ele não agir nenhuma força pode facilmente ser compreendida em nossa vida prática (um corpo não se move por si só, é necessário aplicar-lhe uma força). Já a afirmação de que um corpo em movimento mantém velocidade constante se não atuarem forças sobre ele é menos intuitiva. Com efeito, um corpo em movimento não permanece sempre em movimento: depois de certo tempo mais ou menos longo o corpo pára. Uma bolinha jogada sobre um plano horizontal pára após percorrer poucos metros, mesmo que aparentemente sobre ela não aja nenhuma força. Na realidade existe uma força de freamento indicada genericamente com o nome de atrito, que estudaremos mais adiante. Porém, no caso de essas forças freantes ao existirem ou serem reduzidas ao mínimo, o princípio da inércia é verificado plenamente. Por exemplo, uma nave espacial que se move no espaço interplanetário não encontra atrito; por isso não tem necessidade de motor e, pelo princípio da inércia, continua a mover-se em linha reta com a velocidade com a qual foi lançada inicialmente. Os referenciais em que o princípio da inércia se verifica são chamados de referenciais inerciais. Tais referenciais são fixos em relação às estrelas distantes ou se movem com velocidade constante em relação a elas, isto é, possuem aceleração vetorial nula. Para movimentos de pequena duração (menor que 24 horas), podemos desprezar os efeitos de rotação da Terra e considerar sua velocidade como constante durante o movimento de translação. Nessas condições a Terra pode ser considerada um referencial inercial. Segunda Lei de Newton (Princípio Fundamental da Dinâmica) Para enunciar a segunda lei de Newton devemos ter em mente o conceito de massa de um corpo. A massa é a medida da matéria que compõe o corpo, obtida por comparação com um objeto padrão através da balança de braços iguais. Podemos associar a massa de um corpo à sua inércia, assim, a massa de um corpo será a medida numérica da inércia deste corpo, pois por experiência própria, sabemos que os corpos que apresentam maior inércia são aqueles que apresentam maior massa, por exemplo, é mais fácil empurrar um carrinho de supermercado vazio do que um cheio de compras. No sistema internacional de unidades (SI) a unidade de massa é o quilograma (kg), o qual possui múltiplos (tonelada (t) = 1000 kg; etc) e submúltiplos (grama (g) = 0,001 kg; etc). O princípio fundamental da Dinâmica ou segunda lei de Newton estabelece uma proporcionalidade entre a força aplicada a um corpo (causa) e variação de velocidade produzida no corpo (efeito). Para enunciar este princípio, Isaac Newton partiu da definição de quantidade de movimento de um corpo. De modo simples, a quantidade de movimento de um corpo (Q) pode ser expressa matematicamente como sendo o produto da massa do corpo (m) pela velocidade do corpo (v): Q=m.v É através dela que se explica o porquê é mais fácil parar uma bicicleta em movimento do que um caminhão, também movimento, se ambos tiverem a mesma velocidade. Assim, partindo da equação da quantidade de movimento e fazendo essa quantidade de movimento ser tão pequena quanto se queira, isto é, derivando ela em relação ao tempo, Isaac Newton chegou a uma relação entre a força aplicada a um corpo e a variação de velocidade produzida neste corpo, observe: Partindo da equação Aplicando a derivada temporal Q=m.v O segundo membro da equação anterior é resolvido aplicando a regra da cadeia ao produto m . v Como a massa se mantém constante, e derivada de constante é nula Finalmente, obtemos a segunda lei de Newton Lembrando que a = dv , podemos escrever dt A segunda Lei de Newton foi enunciada da dQ dv forma , a equação muito conhecida =m dt dt (F = m . a), não pertence a Isaac Newton, mas sim ao matemático e físico suíço Leonhard Paul Euler, o qual introduziu o conceito de que a derivada de temporal da quantidade de movimento é a força   aplicada no corpo  F = FR = m . a Exemplo: Em um corpo de massa igual a 10 kg, estão aplicadas três forças, conforme a figura, onde F1 = 2N, F2 = 3N e F3 = 7N. Encontre a aceleração desenvolvida pelo corpo. F1 Solução: basta aplicar a equação FR = m . a, assim FR = m . a F1 + F2 + F3 = 10 a – 2 – 3 + 7 = 10 a – 5 + 7 = 10 a 2 = 10 a a= dQ . dt  Para um corpo no qual autuam várias forças, utilizamos a notação da força resultante (FR), onde m é a massa do corpo e a é a aceleração adquirida pelo corpo ao lhe ser aplicado forças eternas, assim, matematicamente, teremos: F2 d d (Q) = (m . v ) dt dt dQ dm dv =v +m dt dt dt dQ dv = v .0 + m dt dt dQ dv =m dt dt dQ = m .a dt F3 10 2 a = 5 m/s2 Terceira Lei de Newton (Ação e reação) Quando dois corpos interagem aparece um par de forças como resultado da ação que um corpo exerce sobre o outro. Essas forças são comumente chamadas de ação e reação. As forças sempre agirão em pares, uma destas forças corresponderá à força de ação e atuará em um dos corpos que está interagindo, e a outra força, chamada de reação, atuará no segundo corpo que participa da interação, portanto, as forças de ação-reação atuarão em corpos diferentes e jamais se cancelarão. A terceira lei de Newton pode ser enunciada da seguinte maneira: Quando um corpo A aplica uma força em um corpo B, o corpo B também aplicará no corpo A, uma força de igual intensidade e direção, porém de sentido contrário. De modo simples, a toda ação corresponde uma reação, com a mesma intensidade, mesma direção e sentidos contrários. Considere dois patinadores, A e B. Se A exercer uma força FA em B, este, simultaneamente, reage e exercerá uma força FB em A. Assim teremos, pela terceira lei de Newton que a intensidade é a mesma ( | FA | = | FB | ), a direção é a mesma (horizontal) e o sentido é oposto (FA = – FB) (O sinal negativo apenas indica que as forças têm sentidos opostos). Como conseqüência dessa interação, A e B vão se movimentar em sentidos contrários. Apesar de as forças de ação e reação apresentarem a mesma intensidade, os efeitos produzidos por elas dependerão da massa e das características de cada corpo. Outro fator importante, é quando não ocorre movimento em uma direção específica, porém, existem forças atuando nesta direção, como muitas vezes, ocorrem com as forças peso e normal, na direção vertical, e o movimento do corpo se dá na horizontal, as forças apenas se equilibram, jamais se cancelam. Os principais pares de forças são: força peso; força normal; força de tração. Força Peso (P) É uma força que surge da interação de um objeto com um grande corpo (por exemplos, os corpos celestes: planeta, satélite natural (lua), etc). Quando o grande corpo atrai o objeto de massa m para si, este objeto sofrerá uma aceleração constante e igual à aceleração da gravidade local, g, assim, baseado na equação fundamental da dinâmica (F = m a), é possível escrever uma equação para o cálculo da força peso P=m.g Onde P é a força peso, m é a massa do objeto e g é a aceleração da gravidade do local onde se encontra o objeto. Por exemplo, na Terra, a aceleração da gravidade é de aproximadamente 9,8 m/s2, conhecida por g, se um corpo de massa igual a 100 kg é atraído pela Terra, a força de atração será chamada de força peso e valerá: P=m.g P = 100 kg . 9,8 m/s2 P = 980 kg . m/s2 P = 980 N Se este mesmo corpo fosse levado para a Lua, onde a aceleração da gravidade é de aproximadamente 1,6 m/s2, a força peso (ou simplesmente, peso) do objeto mudaria, e valeria: P=m.g P = 100 kg . 1,6 m/s2 P = 160 kg . m/s2 P = 160 N Note que a massa não muda ao ser levada de um local para outro, mas o peso de um objeto sim, pois ele depende da aceleração da gravidade do local onde se encontra. Apenas para ilustrar os pares de força peso agindo, imagine uma laranja de 50 g (ou 0,05 kg) se desprender do galho e cair no solo. m P –P A Terra, atrairá a laranja para si, e a força dessa atração dependerá da massa da laranja (m = 0,05 kg) e da aceleração da gravidade da Terra, naquele local (g = 9,8 m/s2), portanto, a força de atração será de 0,49N, observe P=m.g P = 0,05 . 9,8 P = 0,49 N Essa força de atração P ao ser desenhada, terá por origem a laranja, e estará direcionada para o centro da Terra, com a seta (extremidade) voltada para o centro da Terra. Porém, a laranja também atrairá a Terra para si, com uma força igual em módulo e direção, mas de sentido contrário, assim, –P = m . g –P = 0,05 . (– 9,8) –P = – 0,49 N P = 0,49 N Essa força de atração P, com sinal negativo, ao ser desenhado, terá por origem o centro da Terra, e estará direcionada para a laranja, com a seta (ou extremidade) voltada para a laranja. Observe que as duas forças peso descritas acima constituem o par de forças ação-reação, isto quer dizer que se a força de ação for uma força peso, seu par de forças de reação também será uma força peso, e a ação estará em um dos corpos (laranja), enquanto que a reação estará no outro (Terra), porém, essa força de ação e reação é devido ao referencial adotado. A laranja atinge o solo, porque sua massa ao ser comparada com a massa da Terra, é muito pequena, e é esse o motivo pelo qual a Terra não sobe ao encontro da laranja. Força Normal (N) Todo corpo em repouso, apoiado em uma superfície, aplica sobre esta superfície uma força de compressão, de intensidade igual ao peso do corpo, denotada por –N. A superfície de apoio exerce no corpo uma força, chamada de força de reação normal, denotada por N, cuja direção é perpendicular (forma ângulo de 90º) à linha que tangencia as superfícies no ponto de apoio. A força normal só ocorre entre superfícies sólidas que se comprimem, cessada a compressão, a força de reação normal também cessa. Por exemplo, ao segurar uma bola na mão, aparecerá uma força de compressão na mão (–N) causada pela bola, e na bola aparecerá uma força de reação normal N, causada pela mão. Se você atirar a bola para cima, no exato momento que a bola sair da sua mão, acabará a força de compressão, e por conseqüência, na bola também cessará a força de reação normal. Assim, para o nosso caso específico, os pares de força ação-reação, são N e –N. É de extrema importância compreender que se um objeto está apoiado em alguma superfície, às forças que atuam sobre o objeto na direção vertical (eixo y) serão: a força peso (do objeto) P e a força de reação normal N, porém, de forma alguma, estas duas forças constituem um par de forças açãoreação, pois elas possuem seus pares atuando em outros corpos, no caso da força peso, seu par –P está na Terra e para a força normal, seu par –N está na superfície de apoio. Estas duas forças (P e N) não se anulam, o que ocorre é que não há movimento na vertical, portanto, a resultante das forças na direção vertical será nula (FR = 0), isso apenas indica, que as forças se equilibraram, fazendo com que a força normal tenha intensidade igual ao peso do objeto, observe: FR = P – N 0=P–N N=P O fato de as forças apenas se equilibrarem ao invés de se anularem pode ser percebido quando se trafega em uma estrada de terra bruta, se você estiver com um carro, poderá observar mais facilmente, que o carro deixa marcas das rodas no solo, essa marca, ocorre porque o carro possui massa e, é atraído pela Terra, surgindo assim a força peso para o carro, e ao mesmo tempo, suas rodas estão em contato com o solo, o que causa uma compressão no solo, fazendo surgir a força normal para o carro. Porém, o carro se movimenta somente na horizontal, por isso as forças que atuam na direção vertical se equilibram para que possa ocorrer o movimento do carro. Se as forças se anulassem, jamais seria possível perceber as marcas deixadas no solo durante o movimento do carro. Na figura abaixo é possível observar o par de forças normal agindo sobre o corpo apoiado em uma mesa. Força de tração (T) Ao se esticar um fio ideal (fio inextensível e de massa desprezível), em suas extremidades surgirão forças de mesma intensidade, chamadas de forças de tração, denotada por T. Na figura abaixo é possível observar o par de forças de tração agindo sobre o fio. Unidades de intensidade de força Em Dinâmica usaremos exclusivamente o Sistema Internacional de Unidade (SI), que tem, para unidade de intensidade de força, o newton, cujo símbolo é N. Observe que, de acordo com as regras de escrita do SI, a unidade "newton" se escreve com letra minúscula, embora venha do nome próprio "Newton". Um newton é definido a partir da equação F = m a , como sendo a intensidade de força necessária para produzir em um corpo de massa igual a um quilograma (1 kg) uma aceleração de um metro por segundo ao quadrado (1 m/s2): 1 N = 1 kg.1 m s 2 ⇔ N = kg . m . s2 Para se ter uma noção do seu valor, saiba que um newton (1N) é aproximadamente a intensidade de força necessária para erguer um copo de café com 100ml (terá aproximadamente massa igual a 100g) e 100N é a intensidade de força necessária para erguer dois pacotes de arroz com 5kg de massa cada um. Por razões históricas, às vezes aparece uma outra unidade de força, que não pertence ao SI: é o quilograma-força, cujo símbolo é kgf. Esta unidade de força é muito utilizada em engenharia, e é definida a partir da equação P = m g , da seguinte maneira: um quilograma-força (1kgf) é a intensidade da força-peso de um corpo de massa igual a 1 kg, próximo à superfície terrestre, assim, 1 kgf = 9,8 N . Para transformar de quilograma-forma para newton, ou vice versa, é suficiente utilizar uma regra de três simples, por exemplo, para se levantar dois pacotes de arroz de 5kg de massa cada um, é necessário aproximadamente 100N, quantos quilograma-força seriam necessários? 1kgf → 9,8 N x → 100 N 9,8 N . x = 1kgf .100 N 100 N . kgf 100kgf x= = = 10kgf 10 N 10 Aplicações da Segunda Lei de Newton A seguir serão apresentados alguns casos de aplicações da Segunda Lei de Newton, considerados mais importantes para o estudo da Dinâmica. Nos desenhos abaixo, a linha reta com linhas em diagonais abaixo ou acima dela indica que é uma superfície qualquer de apoio para o corpo que se deve analisar o movimento. Primeiro caso: um corpo de massa m apoiado em uma superfície. O primeiro passo para resolver este tipo de questão é construir o diagrama de corpo livre, isso é, o desenho das forças que atuam no corpo que se deve analisar o movimento, neste caso, no corpo de massa m, traçamos os eixos x e y sobre o corpo e desenhamos as forças que atuam no corpo sobre os eixos traçados, assim, na direção horizontal, atuará a força F (no sentido positivo do eixo x), e na direção vertical atuarão as forças P (no sentido negativo do eixo y) e N (no sentido positivo do eixo y), a origem dos eixos x e y é exatamente o centro do corpo. De acordo com a figura acima, para o corpo de massa m teremos as seguintes forças: Na direção vertical Na direção horizontal (eixo y) (eixo x) A resultante das forças A resultante das forças será dada por será dada por FR = P − N FR = F N a vertical não há movimento, portanto, o corpo está em equilíbrio, logo, portanto, FR = m . a FR = 0 0 = P−N P=N m. g = N Exemplo: Seja F = 12N a força que atua no sistema conforme a figura acima, e m = 10kg a massa do corpo. Encontre a aceleração adquirida pelo corpo, e a intensidade da força normal. Solução: Na direção vertical (eixo y) A resultante das forças será dada por FR = P − N FR = 0 0 = P−N P=N m. g = N 10 . 9,8 = N N = 98N Na direção horizontal (eixo x) A resultante das forças será dada por FR = F portanto, FR = m . a 12 = 10 . a 12 a= 10 a = 1,2m / s 2 Segundo caso: dois corpos A e B, de massas, respectivamente, iguais à mA e mB, unidos por um fio ideal, e uma força horizontal aplicada ao corpo A. O diagrama de corpo livre deverá ser feito para cada um dos corpos A e B, logo Corpo A Na direção vertical Na direção horizontal (eixo y) (eixo x) É Análogo ao primeiro A resultante das forças será dada por caso, FR = 0 FR = PA − N A 0 = PA − N A PA = N A FR = F − TAB Porém, FR = m A . a , logo mA . a = F − TAB Corpo B Na direção vertical Na direção horizontal (eixo y) (eixo x) É Análogo ao primeiro A resultante das forças será dada por caso, FR = 0 FR = PB − N B 0 = PB − N B PB = N B FR = TBA Porém, FR = mB . a , logo mB . a = TBA Para obter a força resultante do sistema formado pelos corpos A e B devemos somar as equações encontradas para eles na direção horizontal, é importante notar que | TAB |=| TBA | (módulo das forças tração é o mesmo), elas têm mesma direção e sentidos opostos, logo, ao somar o segundo membro do sistema de equações as forças de tração se equilibram m . a = F − TAB + A  mB . a = TBA mA . a + mB . a = F − TAB + TBA ( m A + mB ) . a = F ou F = ( m A + mB ) . a Exemplo: seja mA = 10Kg, mB = 5kg, a = 2m/s2, obter a força aplicada ao corpo A que desencadeia o movimento dos corpos A e B, dispostos conforme a figura anterior. Obter também a intensidade da força normal para A e B e da força de tração. Solução: Corpo A Na direção vertical Na direção horizontal (eixo y) (eixo x) A resultante das forças FR = 0 será dada por FR = PA − N A 0 = PA − N A PA = N A mA . g = NA 10 . 9,8 = NA NA = 98N Na direção vertical (eixo y) FR = 0 FR = PB − N B 0 = PB − N B PB = N B mB . g = NB 5 . 9,8 = NB NB = 49N FR = F − TAB Porém, FR = m A . a , logo mA . a = F − TAB 10 . 2 = F – TAB 20 = F – TAB Corpo B Na direção horizontal (eixo x) A resultante das forças será dada por FR = TBA Porém, FR = mB . a , logo mB . a = TBA 5 . 2 = TBA 10 = TBA A intensidade da força de tração é T = 10N. Para obter a força resultante do sistema formado pelos corpos A e B devemos somar as equações encontradas para eles na direção horizontal, é importante notar que | TAB |=| TBA | (módulo das forças tração é o mesmo), elas têm mesma direção e sentidos opostos, logo, ao somar o segundo membro do sistema de equações as forças de tração se equilibram Na direção vertical (eixo y) 20 = F − TAB +  10 = TBA 30 = F − TAB + TBA 30 = F FR = 0 FR = PA − N A 0 = PA − N A PA = N A F = 30N Terceiro caso: O sistema é composto por dois corpos, A e B, de massas, respectivamente, iguais à mA e mB, sendo que o corpo A terá movimento na horizontal, e o corpo B, movimento na vertical. Os corpos estão presos a um fio ideal que passa por uma polia (roldana). Para resolver este caso é preciso observar em que sentido se dará o movimento do sistema. As forças aplicadas no corpo apoiado na superfície (corpo A) são as forças peso (PA), força normal (NA) e a força de tração (TAB), assim, a resolução para o corpo A é análoga a do segundo caso. O corpo B terá as forças peso (PB) e a força de tração (TBA) agindo sobre ele. Pelo fato das forças de tração TAB e TBA terem mesma intensidade, vou indicá-la apenas por T, na resolução. Considerando que a massa do corpo B é maior que a massa do corpo A, o sentido do movimento se dará da esquerda para a direita para o corpo A e de cima para baixo para o corpo B, conforme indica o sentido da aceleração do sistema, na figura abaixo. Na direção vertical (eixo y) FR = PB − T mB . a = PB − T Corpo A Na direção horizontal (eixo x) FR = mA . a T = mA . a Corpo B Na direção horizontal (eixo x) FR = 0 Para o corpo A é possível obter a intensidade da força normal através de PA = N A ou N A = m A . g . A intensidade da força de tração, nesse caso, obtêmse imediatamente através da equação T = m A . a . Para obter a força resultante que atua no sistema  T = mA . a + PB − T = mB . a T + PB − T = m A . a + mB . a PB = (mA + mB ) . a Exemplo: Baseando na primeira figura do terceiro caso, e considerando que mA = 8 kg e mB = 20 kg, encontre a aceleração do sistema, a intensidade da força normal para o corpo A, e a força de tração no fio. Solução: Corpo A Na direção vertical Na direção horizontal (eixo y) (eixo x) FR = 0 FR = PA − N A 0 = PA − N A PA = N A FR = mA . a T = mA . a FR = PB − T mB . a = PB − T FR = 0 T=8a A intensidade da força de tração, depois de N A = mA . g encontrada a NA = 8 . 9,8 aceleração será NA = 78,4N T=8a T=8.7 T = 56N Corpo B Na direção vertical Na direção horizontal (eixo y) (eixo x) PB – T = 20 a Para obter a força resultante que atua no sistema T = 8a  +  PB − T = 20a T + PB − T = 8a + 20a PB = 28a mB . g = 28 a 20 . 9,8 = 28 a 196 = 28 a 196 28 a = 7m / s 2 a= Quarto caso: a Máquina de Atwood consiste de uma polia (roldana, carretilha, etc) fixa ao teto através de um fio e por ela passa um fio que liga dois ou mais corpos que se moverão na vertical, conforme figura abaixo. Corpo B Na direção vertical Na direção horizontal (eixo y) (eixo x) O movimento se dará FR = 0 em sentido do corpo B pois não há para baixo, como TA e movimento nessa TB possuem mesmo direção módulo, mesma direção e sentidos contrários, inçarei apenas por T, logo FR = mB . a PB − T = mB . a Para obter a força resultante que atua no sistema T − PA = m A . a + PB − T = mB . a T − PA + PB − T = mA . a + mB . a PB − PA = (m A + mB ) . a Para a polia, podemos encontrar a força de tração T´ que a prende une com a superfície de apoio, usando a equação T´ = 2 T Neste caso, o diagrama do corpo livre deverá ser feito para os corpos A e B, e também para a polia, logo Corpo A Na direção vertical Na direção horizontal (eixo y) (eixo x) O movimento se dará FR = 0 em sentido do corpo B pois não há para baixo, como TA e movimento nessa TB possuem mesmo direção módulo, mesma direção e sentidos contrários, inçarei apenas por T, logo FR = m A . a T − PA = mA . a Exemplo: Baseando na primeira figura do quarto caso, e considerando que mA = 4 kg e mB = 10 kg, encontre a aceleração do sistema, a intensidade da força de tração no fio que une os corpos A e B e a intensidade da força de tração no fio que une a polia a superfície de apoio. Solução: Corpo A Na direção vertical Na direção horizontal (eixo y) (eixo x) FR = mA . a T − PA = mA . a T − m A . g = mA . a T − 4 . 9,8 = 4 . a T − 39,2 = 4a Na direção vertical (eixo y) FR = mB . a PB − T = mB . a mB . g − T = mB . a 10 . 9,8 − T = 10 . a 98 − T = 10a FR = 0 pois não há movimento nessa direção Corpo B Na direção horizontal (eixo x) FR = 0 pois não há movimento nessa direção Para obter a força resultante que atua no sistema T − 39,2 = 4a +  98 − T = 10a T − 39,2 + 98 − T = 4a + 10a 58,8 = 14a 58,8 a= 14 a = 4,2m / s 2 Para a polia, podemos encontrar a força de tração T´ que a prende une com a superfície de apoio, usando a equação T´ = 2 T Assim, utilizando qualquer uma das equações abaixo, e o valor de aceleração obtido acima (a = 4,2 m/s2) poderemos obter a força de tração Corpo A Corpo B T − 39,2 = 4a T − 39,2 = 4 . 4,2 T − 39,2 = 16,8 T = 16,8 + 39,2 T = 56 N 98 − T = 10a 98 − T = 10 . 4,2 98 − T = 42 − T = 42 − 98 T = 98 − 42 T = 56 N Portanto, para a polia teremos T´ = 2 T T´ = 2 . 56 T´ = 112N Quinto caso: dois corpos movendo-se juntos, apoiados em uma superfície horizontal e em contato um com o outro, conforme a figura abaixo. F A B O diagrama de corpo livre neste caso ficará com uma força f, que surge entre os corpos A e B, sendo fAB a força que o corpo A exerce sobre o corpo B e fBA a força que o corpo B exerce sobre o corpo A. As forças fAB e fBA possuem mesmo módulo, mesma direção e sentidos contrários, portanto serão denotadas apenas por f. Na direção vertical (eixo y) FR = 0 FR = PA − N A 0 = PA − N A PA = N A Na direção vertical (eixo y) FR = 0 FR = PB − N B 0 = PB − N B PB = N B Corpo A Na direção horizontal (eixo x) FR = mA . a F − f = mA . a Corpo B Na direção horizontal (eixo x) FR = mB . a f = mB . a Para obter a força resultante que atua no sistema F − f = m A . a +  f = mB . a F − f + f = m A . a + mB . a F = (mA + mB ) . a Exemplo: Baseando na primeira figura do quinto caso, e considerando que mA = 10 kg e mB = 5 kg, F = 30N, encontre a aceleração do sistema e a intensidade da força que o corpo A aplica no corpo B. Solução: Corpo A Na direção vertical Na direção horizontal (eixo y) (eixo x) FR = 0 FR = PA − N A 0 = PA − N A PA = N A N A = mA . g N A = 10 .9,8 N A = 98 N FR = mA . a F − f = mA . a 30 − f = 10 . a Na direção vertical (eixo y) FR = 0 FR = PB − N B 0 = PB − N B PB = N B N B = mB . g N B = 5 . 9,8 N B = 49 N Corpo B Na direção horizontal (eixo x) FR = mB . a f = mB . a f = 5.a Para se obter a resultante das forças que atuam no corpo é necessário traçar os eixos x e y sobre o centro do corpo apoiado, o eixo x deverá ser perpendicular à superfície de apoio e o eixo y estará exatamente na mesma linha que a força normal N. Para obter a força resultante que atua no sistema 30 − f = 10a +  f = 5a 30 − f + f = 10a + 5a 30 = 15a 30 a= 15 a = 2m / s 2 Para obter a intensidade da força que o corpo A aplica em B ou vice-versa, temos Corpo A Corpo B 30 − f = 10 . a 30 − f = 10 . 2 30 − f = 20 − f = 20 − 30 − f = −10 f = 10 N Finalmente decompõe-se a força peso P nos eixos x e y, logo,, teremos PX e PY, nos respectivos eixos, x e y. f = 5.a f = 5.2 f = 10 N Sexto caso: Ao considerar um corpo de massa m, apoiado sobre um plano inclinado que forma um ângulo θ com a horizontal, Para melhor visualização, podemos girar o sistema cartesiano (plano xy), de modo a tornar o eixo x coincidindo com a horizontal. surgirão duas forças no corpo: o peso P, vertical para baixo, e a normal N, perpendicular ao plano inclinado e para cima. Estas forças são desenhadas com origem no centro do corpo. O objetivo de decompor a força peso P nos eixos cartesianos x e y é justificado ao se compor um triângulo retângulo conforme a figura abaixo, para expressar as matematicamente as forças PX e PY, em termos das relações trigonométricas do triângulo retângulo (seno, co-seno). cateto oposto hipotenusa P sen θ = X P PX = P . sen θ sen θ = cos θ = cateto adjacente hipotenusa cos θ = PY P PY = P . cosθ Para aplicar a equação de Euler para o Princípio Fundamental da Dinâmica (FR = m . a), no corpo que se move em plano inclinado é necessário decompor o movimento em horizontal e vertical, logo Na direção vertical (eixo y) Da figura acima, quando os eixos cartesianos foram girados, é possível notar que na vertical atuam as forças: PY e N, porém o corpo não terá movimento no eixo y, logo FR = 0 PY – N = 0 N = PY Na direção horizontal (eixo x) Da figura acima, quando os eixos cartesianos foram girados, é possível notar que na horizontal só existe a força PX atuando, logo FR = m . a PX = m . a Exemplo: utilizando a primeira figura do sexto caso, considere θ = 30º , g = 10m/s2 e m = 20 kg para obter a intensidade da força resultante que atua sobre o corpo durante seu movimento de descida no plano inclinado, e da força normal que atua no corpo. Solução: cateto oposto hipotenusa P sen 30º = X P PX = P . sen 30º PX = m . g . sen 30º PX = 20 .10 . 0,5 PX =100 N sen θ = Na direção vertical (eixo y) FR = 0 PY – N = 0 N = PY N = 174N cos θ = cateto adjacente hipotenusa cos 30º = PY P PY = P . cos 30º PY = m .g . cos 30º PY = 20 .10 . 0,87 PY = 174 N Na direção horizontal (eixo x) FR = m . a PX = m . a PX = 100N Sétimo caso: elevador em movimento, produz peso aparente. Quando o elevador estiver parado, ou quando estiver se movimentando em linha reta e com velocidade uniforme, não nula, teremos FR = 0 P–N=0 N=P Quando o elevador sobe com movimento retardado ou desce com movimento acelerado, a sensação é de estar um pouco mais leve, logo FR = m . a P–N=m.a Quando o elevador sobe com movimento acelerado ou desce com movimento retardado, a sensação é de estar mais pesado, logo FR = m . a N–P=m.a Quando o elevador desce sob a ação da gravidade, isto é, em queda livre devido ao rompimento do cabo, a aceleração é a própria aceleração da gravidade, a sensação é de ausência de peso, que é chamado de estado de imponderabilidade, logo FR = m . a P–N=m.g m.g–N=m.g –N=m.g–m.g –N=0 N=0 Exemplo: uma criança de massa igual a 40 kg encontra-se no interior de um elevador, que contém uma balança em seu piso. Use g = 10m/s2 para encontrar o valor da intensidade da força normal em cada um dos casos a seguir: (a) quando o elevador estiver parado ou em movimento retilíneo uniforme; (b) quando o elevador sobe com aceleração igual a 2m/s2; (c) quando o elevador desce com aceleração igual a 2m/s2; (d) quando o elevador sobre freando com aceleração igual a 2m/s2; (e) quando o elevador desce freando com aceleração igual a 2m/s2; (f) quando os cabos do acelerador se rompem. Solução: (a) quando o elevador estiver parado ou em movimento retilíneo uniforme; FR = 0 P–N=0 N=P N=m.g N = 40 . 10 N = 400N (b) quando o elevador sobe com aceleração igual a 2m/s2; FR = m . a N–P=m.a N–m.g=m.a N – 40 . 10 = 40 . 2 N – 400 = 80 N = 80 + 400 N = 480N (c) quando o elevador desce com aceleração igual a 2m/s2; FR = m . a P–N=m.a m.g–N=m.a 40 . 10 – N = 40 . 2 400 – N = 80 – N = 80 – 400 – N = –320 N = 320N (d) quando o elevador sobre freando com aceleração igual a 2m/s2; FR = m . a P–N=m.a m.g–N=m.a 40 . 10 – N = 40 . 2 400 – N = 80 – N = 80 – 400 – N = –320 N = 320N (e) quando o elevador desce freando com aceleração igual a 2m/s2; FR = m . a N–P=m.a N–m.g=m.a N – 40 . 10 = 40 . 2 N – 400 = 80 N = 80 + 400 N = 480N (f) quando os cabos do acelerador se rompem. FR = m . a P–N=m.g m.g–N=m.g 40 . 10 – N = 40 . 10 400 – N = 400 – N = 400 – 400 –N=0 N=0 Força de atrito (Fat) Até agora, para calcularmos a força, ou aceleração de um corpo, consideramos que as superfícies por onde este se deslocava, não exercia nenhuma força contrária ao movimento, ou seja, quando aplicada uma força, este se deslocaria sem parar. Mas sabemos que este é um caso idealizado. Por mais lisa que uma superfície seja, ela nunca será totalmente livre de atrito. Sempre que aplicarmos uma força a um corpo, sobre uma superfície, este acabará parando, devido à força de atrito ( Fat ) que se opõe ao movimento do corpo. A força de atrito é caracterizada por: (a) se opor ao movimento; (b) depender da natureza e da rugosidade da superfície (coeficiente de atrito); (c) ser proporcional à força normal exercida sobre o corpo em estudo; (d) transformar a energia cinética do corpo em outro tipo de energia (energia térmica, energia sonora, energia luminosa, etc) que é liberada ao meio. Na expressão matemática para o cálculo da força de atrito aparecem os termos µ que é o coeficiente de atrito e é adimensional (não tem dimensões, conseqüentemente não tem unidade de medida) e N que é a Força normal, dada em newton, logo, a força de atrito também será dada em newton, portanto, podemos escrevê-la matematicamente como segue: força paralela ao plano capaz de fazer o corpo entrar em movimento e manter-se em movimento retilíneo uniforme. Solução: Para que o corpo se mova será necessário aplicar uma força F, assim, se admitirmos a direção e o sentido da força F aplicada conforme ilustrado na figura ao lado, teremos Fat = µ . N Quando empurramos um carro, é fácil observar que até o carro entrar em movimento é necessário que se aplique uma força maior do que a força necessária quando o carro já está se movimentando. Isto acontece pois existem dois tipos de atrito: o estático e o dinâmico (ou cinético). Atrito Estático É aquele que atua enquanto não há movimento dos corpos. A força de atrito estático máxima é igual à força mínima necessária para iniciar o movimento de um corpo. Quando um corpo não está em movimento a força de atrito deve ser maior que a força aplicada, neste caso, é usado no cálculo um coeficiente de atrito estático: µ e . Então: Fat e = µ e . N Atrito Dinâmico ou Cinético É aquele que atua quando há movimento dos corpos. Quando a força de atrito estático for ultrapassada pela força aplicada ao corpo, este entrará em movimento, e passaremos a considerar sua força de atrito dinâmico. A força de atrito dinâmico é sempre menor que a força aplicada, no seu cálculo é utilizado o coeficiente de atrito cinético: µ d ou µc . Então: Fat d = µ d . N Exemplo: Um corpo de peso igual a 200N está em repouso sobre uma superfície horizontal onde os coeficientes de atrito estático e dinâmico valem, respectivamente, 0,4 e 0,3. Calcular a intensidade da Direção vertical Não há movimento, portanto, P e N se equilibram, logo: FR = 0 P–N=0 N=P N = 200N Direção horizontal Enquanto a força F aplicada for menor que a força de atrito estático, o corpo não terá movimento horizontal, assim, para encontrar a intensidade da força paralela ao plano capaz de fazer o corpo entrar em movimento é suficiente calcular a força de atrito estático. Fat e = µ e . N F at e = 0,4 . 200 F at e = 80 N Portanto F > 80 N . Quando a força aplicada for superior a 80N então o corpo entrará em movimento e a força de atrito atuante será à força de atrito dinâmico ou cinético, logo Fat d = µ d . N F at d = 0,3. 200 F at d = 60 N Depois que o corpo adquire movimento, para manter-se em movimento retilíneo uniforme, isto é, com aceleração nula (a = 0), teremos: FR = m . a F – Fatd = m . a F – Fatd = m . 0 F – Fatd = 0 F = Fatd F = 60N