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9 – Dinâmica da Rotação
9.1 – Torque (ou momento de uma força)
A relação básica de toda a dinâmica é (ou, no caso em que
a massa é constante). Esta forma é particularmente apropriada à dinâmica do
ponto material. Para a rotação, contudo, será mais conveniente exprimir a
2a lei em termos de grandezas relativas ao movimento de rotação.
Do ponto de vista cinemático, a descrição do movimento de rotação de
um corpo rígido em torno de um eixo fixo se reduz à descrição do movimento
circular de um ponto do corpo numa seção transversal. Como só há 1
grau de liberdade, o ângulo de rotação em torno do eixo, pode-se
estabelecer uma analogia entre esse movimento e o movimento de translação
unidimensional. A Tabela 9.1 mostra a correspondência entre grandezas
lineares e angulares.
Tabela 9.1 – Correspondência entre grandezas lineares e angulares.
"Movimento retilíneo "Rotação em torno de um eixo fixo "
"Deslocamento linear = " Ângulo de rotação = "
"Velocidade linear: "Velocidade angular: "
"Aceleração linear: "Aceleração angular: "
Para estudar a dinâmica das rotações pode-se utilizar essa analogia a
fim de procurar uma grandeza que desempenhe um papel análogo da força.
Seja uma barra que possa girar em torno de um eixo fixo, sem atrito,
passando perpendicularmente através da mesma, próximo a uma das
extremidades (Fig.1). Para eliminar os efeitos do atrito e da gravidade,
considera-se que a barra está apoiada sobre uma superfície lisa horizontal.
Aplicando uma força no ponto a barra girará, isto é, será
acelerada, partindo do repouso ao girar em torno do ponto do eixo.
Aplicando a mesma força no ponto a barra será novamente
acelerada em rotação, mas esta aceleração será maior que a anterior.
Evidentemente, não é só a força aplicada que determina a aceleração
angular. É certo que, aumentando o módulo da força aumentará a
aceleração angular, mas também, com a mesma força, pode-se aumentar a
aceleração angular simplesmente mudando o seu ponto de aplicação.
Figura 1 – Uma barra articulada em e livre para girar no plano do
papel.
Aplicando, agora, uma segunda força como indicada na Fig.1, de
mesmo módulo de e o mesmo ponto de aplicação Tal força, cuja
linha de ação passa pelo eixo de rotação, não causará movimento angular.
Evidentemente a direção da força tem importância na determinação da
aceleração angular que ela dá ao corpo.
Com o fim de sugerir uma analogia para a massa seja uma barra
constituída de partes iguais de madeira e aço, como na Fig.2.
Figura 2 – Uma barra, metade da qual é de madeira, a outra é de aço. A
barra de cima está articulada na extremidade de madeira em e na barra
de baixo a articulação é feita na extremidade de aço em
Seja uma força aplicada no ponto no caso em que a barra
está articulada na extremidade de madeira em Tem-se, então, uma
aceleração angular bem definida. A seguir a barra é invertida e a
articulação é feita na extremidade de aço em Neste caso, a mesma
força aplicada agora no ponto irá produzir uma aceleração
angular maior que a anterior. A massa total da barra não foi alterada pela
escolha do eixo de rotação e a força aplicada tem em ambos os casos, a
mesma intensidade direção, sentido e ponto de aplicação com relação ao
eixo. Contudo, as acelerações angulares produzidas foram diferentes. E
unicamente foi alterada a distribuição da massa em relação ao eixo de
rotação.
Se uma força atuar sobre um ponto material cuja posição
em relação à origem é dada pelo vetor posição o torque (ou
momento da força) em relação à origem é definido como:
" "(1) "
O torque é uma grandeza vetorial. Seu módulo é dado por
" "(2) "
onde é o ângulo entre e sua direção é perpendicular ao
plano formado por e com o sentido dado pela regra do produto
vetorial de dois vetores.
Das Eqs. 1 e 2 nota-se que o torque produzido por uma força depende,
não somente da sua intensidade, do seu sentido e da sua direção, mas também
do ponto de aplicação da força em relação à origem. Em particular quando
atua na origem, é zero, de modo que o torque em relação à
origem é nulo.
9.2 – Ampliação de uma força (vantagem mecânica)
Sem a haste da maçaneta de uma porta, sem o botão do rádio ou sem a
borboleta da válvula do registro do botijão de gás, ficam difíceis ações
tão corriqueiras como abrir uma porta, ligar um rádio ou trocar o botijão.
Se a borboleta da válvula do registro do botijão de gás quebrou, pode-
se resolver o problema usando um alicate ou grifo, pois com estas
ferramentas a força que se faz com a mão deixa de ser feita diretamente no
eixo de rotação, o que se traduz na prática por uma facilidade maior em
desparafusar a válvula. Algumas tarefas, como trocar pneus ou tirar um
parafuso, estariam impossibilitadas de serem realizadas se não tivéssemos
um meio de ampliar nossa força.
Estas situações e muitas outras permitem agrupar as ferramentas,
maçanetas, torneiras, saca-rolhas, etc., numa classe de instrumentos, cuja
função é ampliar a força que aplicamos e, desta maneira, facilitar a
realização de determinadas tarefas.
Ao fazermos força para girar uma maçaneta, tanto ela como seu eixo
realizam o mesmo giro. Se entendermos que o valor do torque necessário para
girar a maçaneta é sempre o mesmo, independente do local onde a força é
aplicada, fica mais fácil interpretar porque estes mecanismos ampliam
forças.
Quando a força é feita próxima ao eixo de rotação, ela deve ser maior
do que quando feita na extremidade da haste da maçaneta, pois na primeira
situação o braço da força é pequeno, enquanto na segunda o braço é maior.
Então quanto menos força quisermos fazer, maior deverá ser o braço desta
força e contrariamente, quanto menor o braço da força, maior deverá ser seu
valor para produzir o mesmo torque.
A chave de boca ilustrada na Fig.3 tem, como outras ferramentas
semelhantes, a vantagem de diminuir a intensidade da força que precisamos
fazer para soltar ou apertar uma porca, pois afasta o ponto de aplicação da
força do eixo de rotação.
Figura 3 – Chave de boca.
Supondo que fosse possível soltar a porca usando somente as mãos, e
que toda a força fosse aplicada sobre um dos seus lados (ponto A). Sendo
assim esta força tem um braço correspondente à distância entre o
centro da porca (eixo de rotação) e um de seus lados. Nesse caso, o torque
em relação ao eixo que passa pelo centro da porca, é dado por:
Usando a ferramenta, a força será feita no seu cabo, com intensidade menor
que a da situação anterior porque o braço desta força corresponde
agora à distância entre o centro da porca e a extremidade da chave. O
torque desta força em relação ao centro da porca será então, dado por:
Admitindo que das duas maneiras conseguíssemos mover a mesma porca,
estes torques teriam a mesma intensidade e pode-se escrever:
A razão entre a força que se consegue na porca e a que fazemos é
denominada vantagem-mecânica (). Neste caso, a razão entre os braços
das forças fornece a vantagem da ferramenta, ou seja, o quanto foi ampliada
a força que fizemos no cabo.
O alicate, assim como a tesoura, é uma associação de duas alavancas.
Quando dobramos ou cortamos um pedaço de fio com um alicate, a força feita
no cabo é transferida e ampliada na extremidade contrária.
9.3 – Momento angular de um ponto material
Além da força o outro conceito fundamental na dinâmica de uma
partícula é o do momento linear relacionado com pela 2a lei de
Newton
" " "
" "(3) "
Na dinâmica de rotação de uma partícula em torno de um ponto o
análogo de é o torque onde Como o momento da
partícula está relacionado com pela Eq.3, obtém-se, multiplicando
vetorialmente por ambos os membros
" " "
" "(4) "
Como a fórmula de derivação de um produto se aplica igualmente ao
produto vetorial (desde que não se inverta a ordem dos vetores), então,
" " "
" " "
" "(5) "
Logo, a Eq.4 fica,
" " "
" "(6) "
onde
" "(7) "
é o que se chama de momento angular de uma partícula em relação ao ponto
9.4 – Energia cinética de rotação e momento de inércia
Cada ponto material num corpo em rotação tem certa quantidade de
energia cinética. Um ponto material de massa a uma distância do
eixo de rotação tem uma velocidade sendo a velocidade angular
do ponto em torno do eixo de rotação; logo, sua energia cinética é
A energia cinética total do corpo é a soma das energias cinéticas de todos
os seus pontos. Se o corpo for rígido, será constante e igual para
todos os pontos. O raio pode ser diferente para pontos diferentes.
Logo, a energia cinética total do corpo que gira pode ser escrita:
" " "
" "(8) "
O termo é a soma dos produtos das massas dos pontos materiais pelos
quadrados de suas respectivas distâncias ao eixo de rotação. Denominando
esta quantidade por então
" "(9) "
é chamada de inércia devida à rotação ou momento de inércia do corpo em
relação ao eixo de rotação considerado. Deve-se notar que o momento de
inércia de um corpo depende (1) da forma do corpo, (2) da distância
ortogonal do eixo ao centro de massa do corpo e (3) da orientação do corpo
em relação ao eixo.
Em termos de momento de inércia pode-se escrever agora a energia
cinética do corpo em rotação:
" " "
" "(10) "
Deve-se entender que a energia cinética de rotação, dada pela Eq.10,
é simplesmente a soma da energia cinética de translação de todas as partes
do corpo e não um novo tipo de energia. A energia cinética de rotação é
simplesmente uma maneira conveniente de exprimir a energia cinética de um
corpo rígido que está girando.
Para um corpo que não é composto de massas puntiformes discretas, mas
sim de matéria distribuída continuamente, o processo de soma em
transforma-se num processo de integração:
" "(11) "
onde a integral é calculada ao longo do corpo.
A Fig.4a mostra os momentos de inércia de um aro, primeiro em torno
de qualquer diâmetro e depois em torno de qualquer tangente, enquanto que a
Fig.4b mostra os momentos de inércia de uma esfera sólida (maciça) e de uma
esfera oca em torno de qualquer diâmetro.
Conhecendo-se o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo
qualquer que passe pelo seu centro de massa, pode-se determinar o momento
de inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo ao primeiro, pelo
teorema dos eixos paralelos (também conhecido como Teorema de Huygens-
Steiner):
" "(12) "
Sendo a massa do corpo e a distância perpendicular entre os
eixos (paralelos). Esse teorema pode ser enunciado da seguinte forma:
O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo qualquer é igual
ao momento de inércia que ele teria em relação a esse eixo (), se toda
sua massa estivesse concentrada em seu centro de massa mais o seu momento
de inércia em relação a um eixo passando pelo seu centro de massa ().
Figura 4 – Momentos de inércia (a) de um aro e (b) de uma esfera.
9.5 – Momento angular de um sistema de pontos materiais
Determina-se o momento angular total de um sistema constituído de
muitos pontos materiais, em relação a uma origem, somando-se vetorialmente
os momentos angulares de todos esses pontos materiais, considerados
isoladamente, em relação a essa mesma origem:
" " "
" "(13) "
O momento angular de um sistema de pontos materiais em relação a um
ponto fixo pode variar com o tempo. Para essa variação admitem-se duas
causas: (a) torques aplicados aos pontos materiais do sistema por forças
internas entre estes; (b) torques aplicados aos pontos materiais do sistema
por forças externas.
Se a 3a lei de Newton é rigorosamente certa, isto é, se as forças
entre dois pontos materiais quaisquer não apenas são iguais e opostas, mas
também atuam ao longo da reta definida pelos mesmos, o conjugado interno
total é nulo, pois o torque produzido por cada par de forças de ação e
reação é nulo. Assim, a primeira causa não contribui para a variação do
momento angular total. Portanto, para um ponto de referência fixo apenas o
segundo motivo permanece, e pode-se escrever
" " "
" "(14) "
em que representa a soma de todos os torques externos que agem no
sistema.
A Eq.14 é uma generalização da Eq.6 para muitos pontos materiais.
Quando se tem apenas um ponto material, não há, evidentemente, forças ou
conjugados internos.
Sendo onde é o momento de inércia do corpo e a soma
dos torques (externos) aplicados a este, ambos em relação ao mesmo ponto.
Comparando-se com a Eq.14, obtém-se
Mas e, se é constante,
e, portanto,
ou
" "(15) "
Assim, o momento angular de um corpo rígido é o produto do momento de
inércia do corpo pela sua velocidade angular.
9.6 – Dinâmica da rotação de um corpo rígido
Figura 5 – Um corpo rígido articulado em
Seja um corpo rígido que gire ao redor de um eixo fixo, que passe por
(Fig.5) perpendicularmente ao plano da figura. É necessário
considerar apenas as forças existentes neste plano, porque as que são
paralelas ao eixo não podem causar rotação em torno do mesmo. Supondo uma
força externa no plano, agindo sobre o corpo no ponto Observando
o corpo durante um tempo infinitesimal o ponto mover-se-á de uma
distância infinitesimal segundo uma trajetória circular de raio
e o corpo girará de um ângulo infinitesimal sendo
O trabalho realizado pela força, durante esta pequena rotação, é
onde é o componente de na direção de
Por seu turno, o termo é o módulo do torque instantâneo,
exercido por sobre o corpo rígido, em relação ao eixo que passa por
de modo que
" "(16) "
Esta expressão diferencial do trabalho realizado na rotação (em relação a
um eixo fixo) é equivalente à expressão para o trabalho realizado na
translação.
Para obter a taxa com que se realiza trabalho no movimento de rotação
(ao redor de um eixo fixo), deve-se dividir ambos os membros da Eq.16 pelo
intervalo infinitesimal de tempo durante o qual o corpo se move de um
ângulo obtendo
" " "
" "(17) "
A Eq.17 é, na rotação, a equivalente de para o movimento de
translação.
Aplicando várias forças etc., sobre o corpo, no plano
normal a seu eixo de rotação, o trabalho realizado por essas forças sobre o
corpo, durante uma pequena rotação será
" "(18) "
expressões nas quais é igual a que é o deslocamento do ponto de
aplicação de e é o ângulo entre e etc., e onde
é, agora, o torque resultante em relação ao eixo que passa por
Ao calcular este somatório, cada torque será considerado positivo ou
negativo segundo o sentido em que, por si só, tenderia a fazer o corpo
girar em torno de seu eixo. Arbitrariamente, o torque é tomado como
positivo se o efeito do mesmo produzir uma rotação no sentido anti-horário
e, negativo, se produzir uma rotação no sentido horário.
Não existe movimento interno dos pontos materiais dentro de um corpo
verdadeiramente rígido. Os pontos sempre conservam posições relativas fixas
entre si e movem-se somente em conjunto com o corpo. Logo, não há
dissipação de energia dentro de um corpo verdadeiramente rígido. Portanto,
pode-se igualar a taxa com que se realiza trabalho sobre o corpo àquela com
que varia sua energia cinética. A taxa com que se realiza trabalho sobre o
corpo é dado pela Eq.17, e a rapidez com que varia a energia cinética de um
corpo rígido é dada por
Mas é constante porque o corpo é rígido e o eixo está fixo. Logo
" " "
" "(19) "
Igualando as Eqs.18 e 19, obtém-se
" "(20) "
A Eq.20 é equivalente à da 2a lei do movimento, para o
movimento de rotação de um corpo rígido. Aqui a soma dos torques é
análoga à soma das forças o momento de inércia é análogo à
massa e a aceleração angular é análoga à aceleração linear
9.7 – Movimento combinado de translação e de rotação de um corpo rígido
Até aqui foi considerado apenas a situação de corpos que giram em
torno de algum eixo fixo. Contudo, quando uma bicicleta se move em linha
reta, o centro de cada uma das rodas se desloca para frente executando um
movimento de translação pura. Entretanto, um ponto qualquer localizado no
aro da roda segue uma trajetória mais complexa denominada ciclóide. Nesta
seção será analisado o rolamento de uma roda considerando-o, primeiramente,
como a combinação de uma translação pura com uma rotação pura e, em
seguida, apenas como rotação.
No caso da roda de uma bicicleta que passa a uma velocidade constante,
rolando suavemente, sem deslizar. O centro de massa da roda move-se para
frente a uma velocidade constante O ponto onde a roda e o chão
estão em contato, também se move para frente com velocidade de modo
que ele está sempre situado diretamente abaixo do centro de massa.
A Fig.6 mostra o movimento de rolamento de uma roda é uma combinação
de dois movimentos: um puramente translacional e outro puramente
rotacional. A Fig.6a mostra o movimento puramente rotacional (como se o
eixo de rotação que passa pelo centro estivesse estacionário): todos os
pontos da roda giram em torno do centro com velocidade angular Todos
os pontos situados na borda externa da roda têm velocidade linear A
Fig.6b mostra o movimento puramente translacional (como se a roda não
estivesse rolando): cada ponto da roda se move para a direita com
velocidade
A combinação das Figs.6a e 6b dá origem à Fig.6c, que mostra o
movimento de rolamento real executado pela roda. Observa-se que, nesta
combinação de movimentos, a parte inferior da roda (no ponto ) está
estacionária, enquanto a parte superior (no ponto ) se move a uma
velocidade igual a mais rapidamente que qualquer outra parte da roda.
Figura 6 – O rolamento de uma roda, visto como uma combinação de um
movimento puramente rotacional com outro puramente translacional. (a) O
movimento puramente rotacional: todos os pontos da roda movem-se com a
mesma velocidade angular Todos os pontos que estão sobre a borda
externa da roda movem-se com a mesma velocidade linear As velocidades
lineares de dois destes pontos, no topo () e na base () da
roda, são mostrados na figura. (b) O movimento puramente translacional:
todos os pontos da roda movem-se para a direita com a mesma velocidade
linear idêntica à do centro da roda. (c) O movimento de rolamento da
roda é a combinação de (a) e (b).
A Figura 7 sugere um outro modo de analisar o rolamento de uma roda
considerando-o, agora, como sendo uma rotação pura em torno de um eixo que
passa pelo ponto em que ele toca o solo, durante todo o tempo em que se
move, ou seja, um eixo que passa pelo ponto na Fig.6c e que é
perpendicular ao plano da figura. Os vetores mostrados na Fig.7 representam
as velocidades instantâneas de vários pontos da roda durante o rolamento.
Pergunta. Para um observador estacionário, qual é o valor da velocidade
angular da roda da bicicleta, em torno desse novo eixo?
Resposta. A mesma velocidade angular que o ciclista atribui à roda,
ao observá-la em rotação pura em torno de um eixo que passa pelo seu centro
de massa.
Figura 7 – Um corpo rolando pode, em qualquer instante, ser tratado como se
estivesse girando em torno de seu ponto de contato
Usando esta resposta para calcular a velocidade linear do topo da
roda, do ponto de vista de um observador estacionário. Sendo o raio
da roda, o topo está situado numa distância do eixo que passa por
na Fig.7, de modo que a sua velocidade linear deve ser
" "(21) "
o que concorda inteiramente com a Fig.6c.
A Energia Cinética. Calculando agora a energia cinética da roda, medida
pelo observador estacionário, supondo que a roda sem escorregar em uma
superfície horizontal, como na Fig.7. Em qualquer instante, a parte
inferior da roda, estará em repouso na superfície, já que não escorrega. O
eixo perpendicular à figura, que passa pelo ponto de contato chama-se
eixo instantâneo de rotação. Nesse instante, a velocidade linear de cada
ponto da roda está dirigida perpendicularmente à linha que une ao
ponto e sua intensidade é proporcional a essa distância. Isto é equivalente
a dizer que a roda está girando em torno de um eixo fixo que passa por
com certa velocidade angular nesse instante. Logo, o movimento
da roda num dado instante é equivalente a uma rotação pura. Portanto, a
energia cinética total pode ser escrita
" " "
" "(21) "
sendo o momento de inércia com respeito ao eixo que passa por
Aplicando agora o teorema dos eixos paralelos,
onde é o momento de inércia da roda de massa e raio com
relação a um eixo que passa pelo centro de massa. A Eq.21 transforma-se
agora em
" " "
" "(22) "
A quantidade é a velocidade com a qual o centro de massa da roda move-
se com relação ao ponto fixo Seja Então a Eq.22 transforma-se
em
" " "
" "(23) "
O primeiro termo na Eq.23, obtida para um movimento de rotação
puro, representa a energia cinética que teria a roda se estivesse apenas
girando em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa, sem
movimento de translação; e o segundo é a energia cinética que teria a
roda se estivesse em movimento de translação com a velocidade de seu centro
de massa e sem girar. Deve-se notar que já não se faz referência alguma ao
eixo instantâneo de rotação. De fato, a Eq.23 aplica-se a um corpo qualquer
que se mova e gire em torno de um eixo perpendicular a seu movimento, quer
esteja rolando ou não, em uma superfície.
Os efeitos combinados da translação do centro de massa e de rotação
em torno de um eixo que passe pelo centro de massa são equivalentes a uma
rotação pura, com a mesma velocidade angular, em torno de um eixo que passe
pelo ponto de contato do corpo que rola.
9.8 – Conservação do momento angular
Se a resultante dos torques externos em relação a um ponto fixo se
anula (), então da Eq.9
" " "
" "(24) "
Quando a resultante dos torques externos aplicados a um sistema é
nulo o vetor momento angular total do sistema permanece constante. Este é o
princípio da conservação do momento angular.
Para um sistema de pontos materiais, o momento angular total,
em relação a um ponto é:
Assim, quando o momento angular total é constante, tem-se
" "(25) "
em que é um vetor constante. Os momentos angulares de cada ponto
material podem variar, mas a sua soma permanece constante na ausência de
torques externos.
O momento angular é uma grandeza vetorial, de modo que a Eq.25 é
equivalente a 3 outras escalares, uma relativa a cada um dos eixos
coordenados, passando pelo ponto de referência. A conservação do momento
angular fornece, pois, 3 condições ao movimento do sistema a que se aplica.
Se o sistema de pontos materiais é um corpo rígido, seu momento
angular é dado pela Eq.10, e a Eq.25 da conservação do momento angular,
torna-se
" "(26) "
Isto é, o momento angular de um corpo rígido, em relação a um eixo,
permanece constante quando os torques externos aplicados, tomados em
relação ao mesmo eixo, são nulos.
