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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO – UFES DEE - DEPARTAMENTO DE ESTRUTIURAS E EDIFICAÇÕES
TRABALHO DE CONCRETO II (Dimensionamento de Pilares)
Alunos: Cláudio R. Ceotto Valéria A. Merlo
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Dimensionamento de Pilares
Introdução Pilares são “elementos lineares de eixo retos, usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes” (NBR 6118/2003). O dimensionamento dos pilares é feito em função dos esforços externos solicitantes de cálculo, que compreendem os esforços normais (Nd), os momentos fletores (Mdx e Mdy) e os esforços cortantes (Vdx e Vdy) no caso de ação horizontal. Para avaliarmos os momentos de 2º ordem usaremos o método do pilar padrão com curvatura aproximada.
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Dimensionamento de Pilares
Carregamento no Pilar Intermediário
Pavimento Carga(KN) 8º
7º
6º
5º
4º
3º
2º
1º
Térreo
294,00 4,07 298,07 718,07 7,75 725,82 1145,82 7,75 1153,57 1573,57 7,75 1581,32 2001,32 17,44 2018,76 2438,76 17,44 2456,19 2876,19 17,44 2893,63 3313,63 17,44 3331,07 3751,07 30,00 3781,07
Pilar Intermediário Pré-Dimensionamento Aréa (cm²)
Aréa Adotada (cm²)
329,28
15x35=525
804,24
25x40=1000
1283,32
25x40=1000
1762,40
25x40=1000
2241,48
25x90=2250
2731,41
25x90=2250
3221,34
25x90=2250
3711,27
25x90=2250
4201,20
25x120=3000
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Dimensionamento de Pilares
Cálculo dos Pilares Intermediários – P7 Carregamento nos Pilares P7, por andar
Oitavo Pavimento No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0.
Y X
hy= 15cm, hx= 35cm. Ac= 525 cm ² lex= ley= 310cm Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 298,07 = 417,30 KN Índice de Esbeltez
λx =
3,46× 310 = 30,65 35
λy =
3,46 × 310 = 71,51 15
Momento Fletor M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h ) Em x: M 1d , min x = 417,30 × (1,5 + 0,03 × 35) = 1064,11KN .cm e1x = 2,55cm Em y: M 1d , min y = 417,30 × (1,5 + 0,03 × 15) = 813,73KN .cm e1x = 1,95cm
Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
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Dimensionamento de Pilares
sendo αb = 1 , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura.
λ1, x = λ1, y = 25 ≤ 35 λ1, x = λ1, y = 35 Então: λx = 30,65 < λ1, x , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 71,51 > λ1, y , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. Momento de 2º Ordem Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
le 2 M 1, dA Md , tot = αb × M 1d , A + Nd × ≥ 10r M 1d , min
ν =
Nd = Ac × fcd
417,3 × 103 = 0,74 25 × 106 0,0525 × 1,4
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h 1 = 2,68 × 10− 4 cm ≤ 3,33 × 10− 4 cm r Excentricidade de 2º ordem na direção y;
le 2 1 3102 × = × 2,68 × 10− 4 = 2,58cm 10 r 10 Então temos; e2 y =
Em x; Md , tot , x = M 1d , min, x = 1064,11KN .cm Em y;
3102 Md , tot , y = 1 × 871,21 + 417,3 × × 2,68 × 10− 4 = 1890,13KN .cm 10 Em x;
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Dimensionamento de Pilares
Mdtotx 1064,11 = = 0,03 hx × Ac × fcd 35 × 525 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=zero
µ=
Em y;
Mdtoty 1890,13 = = 0,13 hy × Ac × fcd 15 × 525 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,25
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,25 × 525 × 500 1,15
25 1,4
= 5,39cm 2
Detalhamento Armadura mínima
As, min =
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 2,10cm 2 As = 5,39 ≥ As min
12Φ8mm (6,0cm²) A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 1,14% < 4%, ok Ac
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
φl = 2mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm
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Dimensionamento de Pilares
20mm s max ≤ 15mm = t = 10cm 12 × 8
Espaçamento horizontal
eh =
35 − [2 × (2 + 0,50 ) + 6 × 0,8] 0,8 + = 5,44cm 5 2
Sétimo Pavimento No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0. Y X
hy= 25cm, hx= 40cm. Ac= 1000 cm ² lex= ley= 310cm Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 725,82 = 1016,15KN Índice de Esbeltez
λx =
3,46× 310 = 26,82 40
λy =
3,46 × 310 = 42,90 25
Momento Fletor M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h ) Em x: M 1d , min x = 1016,15 × (1,5 + 0,03 × 40 ) = 2743,60 KN .cm e1x = 2,70cm Em y: M 1d , min y = 1016,15 × (1,5 + 0,03 × 25) = 2286,33813,73KN .cm
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Dimensionamento de Pilares
e1x = 2,25cm Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
sendo αb = 1 , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura.
λ1, x = λ1, y = 25 ≤ 35 λ1, x = λ1, y = 35 Então: λx = 26,82 < λ1, x , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 42,90 > λ1, y , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. Momento de 2º Ordem Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
Md , tot = αb × M 1d , A + Nd ×
ν =
Nd = Ac × fcd
le 2 M 1, dA ≥ 10r M 1d , min
1016,15 × 103 = 0,57 25 × 106 0,1000 × 1,4
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h 1 = 1,87 × 10− 4 cm ≤ 2,00 × 10− 4 cm r Excentricidade de 2º ordem na direção y;
le 2 1 3102 × = × 1,87 × 10− 4 = 1,8cm 10 r 10 Então temos; e2 y =
Em x; Md , tot , x = M 1d , min, x = 2743,60 KN .cm Em y;
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Dimensionamento de Pilares
Md , tot , y = 1 × 2286,38 + 1016,15 ×
3102 × 1,87 × 10− 4 = 4113,24 KN .cm 10
Em x;
2743,60 Mdtotx = = 0,04 hx × Ac × fcd 40 × 1000 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=zero
µ=
Em y;
4113,24 Mdtoty = = 0,09 hy × Ac × fcd 25 × 1000 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,01
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,01 × 1000 × 500 1,15
25 1,4
= 0,41cm 2
Detalhamento Armadura mínima
As, min =
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 4,0cm 2
8Φ8mm (4,0cm²) A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 0,4% < 4%, ok Ac
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
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Dimensionamento de Pilares
φl = 2mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm 20mm s max ≤ 25mm = t = 10cm 12 × 8
Espaçamento horizontal
eh =
40 − [2 × (2 + 0,50) + 4 × 0,8] 0,8 + = 11,00cm 3 2
Sexto Pavimento No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0. Y X
hy= 25cm, hx= 40cm. Ac= 1000 cm ² lex= ley= 310cm Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 1153,57 = 1615,00 KN Índice de Esbeltez
λx =
3,46× 310 = 26,82 40
λy =
3,46 × 310 = 42,90 25
Momento Fletor M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h )
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Dimensionamento de Pilares
Em x: M 1d , min x = 1615 × (1,5 + 0,03 × 40 ) = 4360,50 KN .cm e1x = 2,70cm Em y: M 1d , min y = 1615 × (1,5 + 0,03 × 25) = 3633,75 KN .cm e1x = 2,25cm Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
sendo αb = 1 , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura.
λ1, x = λ1, y = 25 ≤ 35 λ1, x = λ1, y = 35 Então: λx = 26,82 < λ1, x , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 42,90 > λ1, y , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y.
Momento de 2º Ordem Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
Md , tot = αb × M 1d , A + Nd × Nd ν = = Ac × fcd
le 2 M 1, dA ≥ 10r M 1d , min
1615 × 103 = 0,90 25 × 106 0,1000 × 1,4
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h 1 = 1,42 × 10− 4 cm ≤ 2,00 × 10− 4 cm r Excentricidade de 2º ordem na direção y;
e2 y =
le 2 1 3102 × = × 1,42 × 10− 4 = 1,37cm 10 r 10 Página:11/75
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Dimensionamento de Pilares
Então temos; Em x; Md , tot , x = M 1d , min, x = 4360,50 KN .cm Em y;
3102 Md , tot , y = 1 × 3633,75 + 1615 × × 1,42 × 10− 4 = 5843,96 KN .cm 10 Em x;
4360,50 Mdtotx = = 0,061 hx × Ac × fcd 40 × 1000 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,15
µ=
Em y;
5843,96 Mdtoty = = 0,13 hy × Ac × fcd 25 × 1000 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,52
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,52 × 1000 × 500 1,15
25 1,4
= 21,36cm 2
Detalhamento Armadura mínima
As, min =
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 4,0cm 2
12Φ16mm (24cm²) A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 2,4% < 4%, ok Ac
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Dimensionamento de Pilares
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
φl = 4mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm 20mm s max ≤ 25mm = t = 20cm 12 × 16
Espaçamento horizontal
eh =
40 − [2 × (2 + 0,50) + 6 × 1,6] 1,6 + = 5,88cm 5 2
Quinto Pavimento No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0. Y X
hy= 25cm, hx= 40cm. Ac= 1000 cm ² lex= ley= 310cm Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 1573,57 = 2203,00 KN Índice de Esbeltez
λx =
3,46× 310 = 26,82 40 Página:13/75
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λy =
Dimensionamento de Pilares
3,46 × 310 = 42,90 25
Momento Fletor M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h ) Em x: M 1d , min x = 2203 × (1,5 + 0,03 × 40 ) = 5948,10 KN .cm e1x = 2,70cm Em y: M 1d , min y = 2203 × (1,5 + 0,03 × 25) = 4956,75 KN .cm e1x = 2,25cm
Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
sendo αb = 1 , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura.
λ1, x = λ1, y = 25 ≤ 35 λ1, x = λ1, y = 35 Então: λx = 26,82 < λ1, x , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 42,90 > λ1, y , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y.
Momento de 2º Ordem Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
le 2 M 1, dA Md , tot = αb × M 1d , A + Nd × ≥ 10r M 1d , min
ν =
Nd = Ac × fcd
2203 × 103 = 1,23 25 × 106 0,1000 × 1,4
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h
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Dimensionamento de Pilares
1 = 1,15 × 10− 4 cm ≤ 2,00 × 10− 4 cm r Excentricidade de 2º ordem na direção y;
le 2 1 3102 × = × 1,15 × 10− 4 = 1,11cm 10 r 10 Então temos; e2 y =
Em x; Md , tot , x = M 1d , min, x = 5948,10 KN .cm Em y;
Md , tot , y = 1 × 4956,75 + 2203 ×
3102 × 1,15 × 10− 4 = 7399,04 KN .cm 10
Em x;
Mdtotx 5948,10 = = 0,083 hx × Ac × fcd 40 × 1000 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,60
µ=
Em y;
Mdtoty 7399,04 = = 0,17 hy × Ac × fcd 25 × 1000 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,82
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,82 × 1000 × 500 1,15
25 1,4
= 33,68cm 2
Detalhamento Armadura mínima
As, min =
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 4,0cm 2
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
18Φ16mm (36cm²) A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 3,6% < 4%, ok Ac
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
φl = 4mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm 20mm s max ≤ 25mm = t = 20cm 12 × 16
Espaçamento horizontal
eh =
40 − [2 × (2 + 0,50) + 9 × 2] 1,6 + = 2,93cm 8 2
Quarto Pavimento No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0. Y X
hy= 25cm, hx= 90cm. Ac= 2250 cm ² lex= ley= 310cm Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 2018,76 = 2826,26 KN
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Índice de Esbeltez
λx =
3,46× 310 = 11,92 90
λy =
3,46 × 310 = 42,90 25
Momento Fletor M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h ) Em x: M 1d , min x = 2826,26 × (1,5 + 0,03 × 90 ) = 11870,31KN .cm e1x = 4,2cm Em y: M 1d , min y = 2826,26 × (1,5 + 0,03 × 25) = 6359,09 KN .cm e1x = 2,25cm
Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
sendo αb = 1 , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura.
λ1, x = λ1, y = 25 ≤ 35 λ1, x = λ1, y = 35 Então: λx = 11,92 < λ1, x , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 42,90 > λ1, y , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y.
Momento de 2º Ordem Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
Md , tot = αb × M 1d , A + Nd × Nd ν = = Ac × fcd
le 2 M 1, dA ≥ 10r M 1d , min
2826,26 × 103 = 0,70 25 × 106 0,2250 × 1,4
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h 1 = 1,66 × 10− 4 cm ≤ 2,00 × 10− 4 cm r Excentricidade de 2º ordem na direção y;
le 2 1 3102 × = × 1,66 × 10− 4 = 1,60cm 10 r 10 Então temos; e2 y =
Em x; Md , tot , x = M 1d , min, x = 11870,31KN .cm Em y;
Md , tot , y = 1 × 6359,09 + 2826,26 ×
3102 × 1,60 × 10− 4 = 10872,94 KN .cm 10
Em x;
Mdtotx 11870,31 = = 0,033 hx × Ac × fcd 90 × 2250 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=zero
µ=
Em y;
Mdtoty 10872,94 = = 0,11 hy × Ac × fcd 25 × 2250 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,23
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,23 × 2250 × 500 1,15
25 1,4
= 21,25cm 2
Detalhamento Armadura mínima
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Estruturas de Concreto II As, min =
Dimensionamento de Pilares
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 9,0cm 2
18Φ12,5mm (22,50cm²) A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 1% < 4%, ok Ac
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
φl = 3,13mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm 20mm s max ≤ 25mm = t = 15cm 12 × 12,5
Espaçamento horizontal
eh =
90 − [2 × (2 + 0,50) + 9 × 2] 1,25 + = 9,00cm 8 2
Terceiro Pavimento No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0. Y X
hy= 25cm, hx= 90cm. Ac= 2250 cm ² lex= ley= 310cm
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 2456,19 = 3438,67 KN
Índice de Esbeltez
λx =
3,46× 310 = 11,92 90
λy =
3,46 × 310 = 42,90 25
Momento Fletor M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h ) Em x: M 1d , min x = 3438,67 × (1,5 + 0,03 × 90 ) = 14442,40 KN .cm e1x = 4,2cm Em y: M 1d , min y = 3438,67 × (1,5 + 0,03 × 25) = 7737,00 KN .cm e1x = 2,25cm
Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
sendo αb = 1 , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura.
λ1, x = λ1, y = 25 ≤ 35 λ1, x = λ1, y = 35 Então: λx = 11,92 < λ1, x , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 42,90 > λ1, y , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y.
Momento de 2º Ordem Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
Md , tot = αb × M 1d , A + Nd ×
le 2 M 1, dA ≥ 10r M 1d , min
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ν =
Nd = Ac × fcd
Dimensionamento de Pilares
3438,67 × 103 = 0,86 25 × 106 0,2250 × 1,4
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h 1 = 1,48 × 10− 4 cm ≤ 2,00 × 10− 4 cm r Excentricidade de 2º ordem na direção y;
le 2 1 3102 × = × 1,48 × 10− 4 = 1,42cm 10 r 10 Então temos; e2 y =
Em x; Md , tot , x = M 1d , min, x = 14442,40 KN .cm Em y;
Md , tot , y = 1 × 7737 + 3438,67 ×
3102 × 1,48 × 10− 4 = 12611,53KN .cm 10
Em x;
Mdtotx 14442,40 = = 0,04 hx × Ac × fcd 90 × 2250 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,09
µ=
Em y;
Mdtoty 12611,53 = = 0,13 hy × Ac × fcd 25 × 2250 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,47
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,47 × 2250 × 500 1,15
25 1,4
= 41,70cm 2
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Detalhamento Armadura mínima
As, min =
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 9,0cm 2
14Φ20mm (44,10cm²) A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 1,96% < 4%, ok Ac
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
φl = 5mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm 20mm s max ≤ 25mm = t = 20cm 12 × 20
Espaçamento horizontal
eh =
90 − [2 × (2 + 0,50) + 7 × 2] 2,0 + = 12,83cm 6 2
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Segundo Pavimento No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0. Y X
hy= 25cm, hx= 90cm. Ac= 2250 cm ² lex= ley= 310cm Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 2893,63 = 4051,08KN Índice de Esbeltez
λx =
3,46× 310 = 11,92 90
λy =
3,46 × 310 = 42,90 25
Momento Fletor M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h ) Em x: M 1d , min x = 4051,08 × (1,5 + 0,03 × 90 ) = 17014,54 KN .cm e1x = 4,2cm Em y: M 1d , min y = 4051,08 × (1,5 + 0,03 × 25) = 9114,94 KN .cm e1x = 2,25cm
Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
sendo αb = 1 , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura.
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
λ1, x = λ1, y = 25 ≤ 35 λ1, x = λ1, y = 35 Então: λx = 11,92 < λ1, x , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 42,90 > λ1, y , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y.
Momento de 2º Ordem Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
Md , tot = αb × M 1d , A + Nd × Nd ν = = Ac × fcd
le 2 M 1, dA ≥ 10r M 1d , min
4051,08 × 103 = 1,01 25 × 106 0,2250 × 1,4
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h 1 = 1,33 × 10− 4 cm ≤ 2,00 × 10− 4 cm r Excentricidade de 2º ordem na direção y;
le 2 1 3102 × = × 1,33 × 10− 4 = 1,27cm e2 y = 10 r 10 Então temos; Em x; Md , tot , x = M 1d , min, x = 17014,54 KN .cm Em y;
3102 Md , tot , y = 1 × 9114,94 + 4051,08 × × 1,33 × 10− 4 = 14277,26 KN .cm 10 Em x;
Mdtotx 17014,54 = = 0,05 hx × Ac × fcd 90 × 2250 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,31
µ=
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Em y;
Mdtoty 14277,26 = = 0,14 hy × Ac × fcd 25 × 2250 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,63
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,63 × 2250 × 500 1,15
25 1,4
= 58,22cm 2
Detalhamento Armadura mínima
As, min =
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 9,0cm 2
20Φ20mm (63,00cm²) A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 2,8% < 4%, ok Ac
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
φl = 5mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm 20mm s max ≤ 25mm = t = 20cm 12 × 20
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Espaçamento horizontal
eh =
90 − [2 × (2 + 0,50) + 10 × 2] 2,0 + = 8,22cm 9 2
Primeiro Pavimento No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0. Y X
hy= 25cm, hx= 90cm. Ac= 2250 cm ² lex= ley= 310cm Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 3331,07 = 4663,50 KN Índice de Esbeltez
λx =
3,46× 310 = 11,92 90
λy =
3,46 × 310 = 42,90 25
Momento Fletor M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h ) Em x: M 1d , min x = 4663,50 × (1,5 + 0,03 × 90 ) = 19586,69 KN .cm e1x = 4,2cm Em y: M 1d , min y = 4663,50 × (1,5 + 0,03 × 25) = 10492,87 KN .cm e1x = 2,25cm
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
sendo αb = 1 , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura.
λ1, x = λ1, y = 25 ≤ 35 λ1, x = λ1, y = 35 Então: λx = 11,92 < λ1, x , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 42,90 > λ1, y , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y.
Momento de 2º Ordem Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
Md , tot = αb × M 1d , A + Nd ×
ν =
Nd = Ac × fcd
le 2 M 1, dA ≥ 10r M 1d , min
4663,50 × 103 = 1,16 25 × 106 0,2250 × 1,4
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h 1 = 1,20 × 10− 4 cm ≤ 2,00 × 10− 4 cm r Excentricidade de 2º ordem na direção y;
le 2 1 3102 × = × 1,20 × 10− 4 = 1,16cm 10 r 10 Então temos; e2 y =
Em x; Md , tot , x = M 1d , min, x = 19586,69 KN .cm Em y;
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Md , tot , y = 1 × 10492,87 + 4663,50 ×
3102 × 1,20 × 10− 4 = 15890,16 KN .cm 10
Em x;
Mdtotx 19586,69 = = 0,054 hx × Ac × fcd 90 × 2250 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,44
µ=
Em y;
Mdtoty 15890,16 = = 0,16 hy × Ac × fcd 25 × 2250 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,88
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,88 × 2250 × 500 1,15
25 1,4
= 81,32cm 2
Detalhamento Armadura mínima
As, min =
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 9,0cm 2
26Φ20mm (81,90cm²) A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 3,64% < 4%, ok Ac
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
φl = 5mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm 20mm s max ≤ 25mm = t = 20cm 12 × 20
Espaçamento horizontal
eh =
90 − [2 × (2 + 0,50) + 13 × 2] 2,0 + = 5,92cm 12 2
Pavimento Térreo No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: Ma=Mb=0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,a=0 e e1=0. Y X
hy= 25cm, hx= 120cm. Ac= 3000 cm ² lex= ley= 400cm Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 3781,07 = 5293,50 KN
Índice de Esbeltez
λx =
3,46× 400 = 11,53 120
λy =
3,46 × 400 = 55,36 25
Momento Fletor M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h ) Em x:
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
M 1d , min x = 5293,5 × (1,5 + 0,03 × 120 ) = 26996,84 KN .cm e1x = 5,1cm Em y: M 1d , min y = 5293,5 × (1,5 + 0,03 × 25) = 11910,37 KN .cm e1x = 2,25cm
Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
sendo αb = 1 , para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura.
λ1, x = λ1, y = 25 ≤ 35 λ1, x = λ1, y = 35 Então: λx = 11,53 < λ1, x , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 55,36 > λ1, y , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y.
Momento de 2º Ordem Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
le 2 M 1, dA ≥ Md , tot = αb × M 1d , A + Nd × 10r M 1d , min
ν =
Nd = Ac × fcd
5293,50 × 103 = 0,99 25 × 106 0,3000 × 1,4
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h 1 = 1,34 × 10− 4 cm ≤ 2,00 × 10− 4 cm r Excentricidade de 2º ordem na direção y;
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
le 2 1 4002 × = × 1,34 × 10− 4 = 2,15cm 10 r 10 Então temos; e2 y =
Em x; Md , tot , x = M 1d , min, x = 26996,84 KN .cm Em y;
Md , tot , y = 1 × 11910,37 + 5293,50 ×
4002 × 1,34 × 10− 4 = 23293,32 KN .cm 10
Em x;
Mdtotx 26996,84 = = 0,04 hx × Ac × fcd 120 × 3000 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,27
µ=
Em y;
Mdtoty 23293,32 = = 0,17 hy × Ac × fcd 25 × 3000 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,78
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,78 × 3000 × 500 1,15
25 1,4
= 96,11cm 2
Detalhamento Armadura mínima
As, min =
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 12,0cm 2
32Φ20mm (100.8cm²) Página:31/75
Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 3,36% < 4%, ok Ac
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
φl = 5mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm 20mm s max ≤ 25mm = t = 20cm 12 × 20
Espaçamento horizontal
eh =
120 − [2 × (2 + 0,50) + 16 × 2] 2,0 + = 6,53cm 15 2
Cálculo dos Pilares Extremidade – P8 Nos pilares intermediários teremos que considerar as cargas que vem da laje e da viga que chega no pilar P8.
Da Laje; Q = 8,39 KN / m 2 19,62 m ² área de influência da viga VC6;
carregamento da laje que passa a viga = 8,39x19,62/9,2=17,89KN/m
Da Viga; Seção 12cmx50cm PP=0,12x0,50x25=1,5KN/m
Paredes= 13x0,15x3,10=6,045KN/m Q = 17,89 + 6,045 + 1,5 = 25,44 KN / m 2
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Carregamento nos Pilares P8, por andar
Pilar Extremidade Pavimento Carga(KN) 8º
7º
6º
5º
4º
3º
2º
1º
Térreo
154,00 2,33 156,33 376,33 5,81 382,14 602,14 5,81 607,95 827,95 5,81 833,76 1053,76 5,81 1059,58 1279,58 11,63 1291,20 1511,20 11,63 1522,83 1742,83 11,63 1754,45 1974,45 15,00 1989,45
Pré-Dimensionamento Área (cm²)
Área Adotada (cm²)
Hx
Hy
172,48
300
20
15
421,484
750
30
25
674,394
750
30
25
927,304
750
30
25
1180,214
750
30
25
1433,124
1500
60
25
1692,544
1500
60
25
1951,964
1500
60
25
2211,384
1500
60
25
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Do Oitavo Pavimento No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 sobre o pilar.
Y X
hy= 15cm, hx= 20m. Ac= 300 cm ² lex= ley= 310cm Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 156,33 = 218,86 KN Índice de Esbeltez
λx =
3,46 × 310 = 53,63 20
λy =
3,46 × 310 = 71,50 15
Excentricidade de 1º ordem
Mxd Nd Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. e1x =
Mk , inf = Mk , sup = Mk , eng =
rpilar rp ,sup + rviga + rp ,inf
Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura.
rpilar = rp ,sup = rp ,inf
15 × 203 I pilat = = 12 = 32,26cm3 lex 310
A rigidez da viga VC6 (12x50cm) e com vão de 5,40m. 12 × 503 I viga = = 125000cm 4 12
Página:34/75
Estruturas de Concreto II rviga =
I viga l
=
Dimensionamento de Pilares
125000 = 231,48cm3 540
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 25,44KN/m
25,44KN/m P7
P8
5,40m
Meng =
q × l2 = 6181,92 KN .cm 12
M k ,inf = M k ,sup = 6181,92 ×
32,26 = 673,71KN .cm 32,26 + 231,48 + 32,26
673,71 Md , topo = − Md , base = 1,4 673,71 + = 1414,79 KNcm 2 e1x =
1414,79 = 6,46cm 218,86
Momento Fletor Mínimo M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h ) Em x: M 1d , min x = 218,86 × (1,5 + 0,03 × 20 ) = 459,61KN .cm
Em y: M 1d , min y = 218,86 × (1,5 + 0,03 × 15) = 426,78 KN .cm Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Em X: A excentricidade de 1º ordem e1 na direção x é 6,46cm. Os momentos fletores de 1º ordem na direção x são M 1dA, x = − M 1d , B , x = 1414,79 KNcm , maiores que o momento fletor mínimo nesta direção, que leva o calculo de αb .
− 1414,79 = 0,2 < 0,4 1414,79
αb = 0,6 + 0,4 × αb = 0,4
λ1, x =
25 + 12,5 × 0,4
6,46 20 = 72,60 > 35
λ1, x = 72,60
Em Y: Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto e1=0 e αb =1.
λ1, y =
25 + 12,5 × 1
0 25 = 25 < 35
λ1, y = 35
Então: λx = 53,63 < 72,60 , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 71,5 > 35 , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. Momento Fletores Totais Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
le 2 M 1, dA Md , tot = αb × M 1d , A + Nd × ≥ 10r M 1d , min
ν =
Nd = Ac × fcd
218,86 × 103 = 0,68 25 × 106 0,0300 × 1,4
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h 1 0,005 = = 2,82 × 10− 4 cm ≤ 3,33 × 10− 4 cm r 15(0,68 + 0,5) Fazendo M 1d , A = M 1d , min em cada direção, tem o momento total maximo.
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Em X; M d ,totox = 1414,79 KNcm Em Y;
M d ,toty = 1 × 426,78 + 218,86 ×
3102 × 2,82 × 10− 4 = 1020,47 KNcm 10
Em x;
Mdtotx 1414,79 = = 0,13 hx × Ac × fcd 20 × 300 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,13
µ=
Em y;
Mdtoty 1020,47 = = 0,13 hy × Ac × fcd 15 × 300 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,28
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,28 × 300 × 500 1,15
25 1,4
= 3,45cm 2
Detalhamento Armadura mínima
As, min =
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 1,2cm 2 As = 3,45 ≥ As min
12Φ6,3mm (3,72cm²) A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 1,24% < 4%, ok Ac Página:37/75
Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
φl = 3,2mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm 20mm s max ≤ 15mm = t = 8cm 12 × 6,3
Espaçamento horizontal
eh =
20 − [2 × (2 + 0,5) + 6 × 0,63] 0,63 + = 2,56cm 5 2
Do Sétimo Pavimento No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 sobre o pilar.
Y X
hy= 25cm, hx= 30m. Ac= 750 cm ² lex= ley= 310cm Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 382,14 = 535,00 KN Índice de Esbeltez
λx =
3,46 × 310 = 35,75 30
λy =
3,46 × 310 = 42,90 25
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Excentricidade de 1º ordem
Mxd Nd Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. e1x =
Mk , inf = Mk , sup = Mk , eng =
rpilar rp ,sup + rviga + rp ,inf
Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura.
rpilar = rp ,sup = rp ,inf
25 × 303 I pilat = = 12 = 181,45cm3 lex 310
A rigidez da viga VC6 (12x50cm) e com vão de 5,40m. 12 × 503 I viga = = 125000cm 4 12
rviga =
I viga l
=
125000 = 231,48cm3 540
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 25,44KN/m
25,44KN/m P7
P8
5,40m
Meng =
q × l2 = 6181,92 KN .cm 12
M k ,inf = M k ,sup = 6181,92 ×
181,45 = 1887,19 KN .cm 181,45 + 231,48 + 181,45
1887,19 Md , topo = − Md , base = 1,41887,19 + = 3963,11KNcm 2
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Estruturas de Concreto II e1x =
Dimensionamento de Pilares
3963,11 = 7,41cm 535,00
Momento Fletor Mínimo M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h ) Em x: M 1d , min x = 535,00 × (1,5 + 0,03 × 30 ) = 1283,99 KN .cm
Em y: M 1d , min y = 535,00 × (1,5 + 0,03 × 25) = 1203,74 KN .cm Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
Em X: A excentricidade de 1º ordem e1 na direção x é 7,41. Os momentos fletores de 1º ordem na direção x são M 1dA, x = − M 1d , B , x = 3963,11KNcm , maiores que o momento fletor mínimo nesta direção, que leva o calculo de αb .
− 3963,11 = 0,2 < 0,4 3963,11
αb = 0,6 + 0,4 × αb = 0,4
λ1, x =
25 + 12,5 × 0,4
7,41 30 = 70,22 > 35
λ1, x = 70,22
Em Y: Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto e1=0 e αb =1.
λ1, y =
25 + 12,5 × 1
0 25 = 25 < 35
λ1, y = 35
Então: λx = 35,75 < 70,22 , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 42,90 > 35 , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. Momento Fletores Totais Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Md , tot = αb × M 1d , A + Nd ×
ν =
Nd = Ac × fcd
le 2 M 1, dA ≥ 10r M 1d , min
535,00 × 103 = 0,40 25 × 106 0,0750 × 1,4
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h 1 0,005 = = 2,22 × 10− 4 cm ≤ 2,5 × 10− 4 cm r 25(0,40 + 0,5) Fazendo M 1d , A = M 1d , min em cada direção, tem o momento total maximo. Em X; M d ,totox = 3963,11KNcm Em Y;
M d ,toty = 1 × 1203,74 + 535,00 ×
3102 × 2,22 × 10− 4 = 2346,94 KNcm 10
Em x;
Mdtotx 3963,11 = = 0,10 hx × Ac × fcd 30 × 750 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,0
µ=
Em y;
Mdtoty 2346,94 = = 0,07 hy × Ac × fcd 25 × 750 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,0
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,0 × 750 × 500 1,15
25 1,4
= 0,0cm2
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Detalhamento Armadura mínima
As, min =
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 3,0cm2 As = 0,0 ≤ As min
10Φ6,3mm (3,0 cm²) A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 0,4% < 4%, ok Ac
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
φl = 3,2mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm 20mm s max ≤ 25mm = t = 8cm 12 × 6,3
Espaçamento horizontal
eh =
30 − [2 × (2 + 0,5) + 5 × 0,63] 0,63 + = 5,78cm 4 2
Do Sexto Pavimento No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 sobre o pilar.
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Y X
hy= 25cm, hx= 30m. Ac= 750 cm ² lex= ley= 310cm Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 607,95 = 851,13KN Índice de Esbeltez
λx =
3,46 × 310 = 35,75 30
λy =
3,46 × 310 = 42,90 25
Excentricidade de 1º ordem
Mxd Nd Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. e1x =
Mk , inf = Mk , sup = Mk , eng =
rpilar rp ,sup + rviga + rp ,inf
Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura.
rpilar = rp ,sup = rp ,inf
25 × 303 I pilat = = 12 = 181,45cm3 lex 310
A rigidez da viga VC6 (12x50cm) e com vão de 5,40m. 12 × 503 I viga = = 125000cm4 12
rviga =
I viga l
=
125000 = 231,48cm3 540
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 25,44KN/m
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
25,44KN/m P7
P8
5,40m q × l2 Meng = = 6181,92 KN .cm 12
M k ,inf = M k ,sup = 6181,92 ×
181,45 = 1887,19 KN .cm 181,45 + 231,48 + 181,45
1887,19 Md , topo = − Md , base = 1,41887,19 + = 3963,11KNcm 2 e1x =
3963,11 = 4,66cm 851,13
Momento Fletor Mínimo M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h ) Em x: M 1d , min x = 851,13 × (1,5 + 0,03 × 30) = 2042,71KN .cm
Em y: M 1d , min y = 851,13 × (1,5 + 0,03 × 25) = 1915,04 KN .cm Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
Em X: A excentricidade de 1º ordem e1 na direção x é 4,66. Os momentos fletores de 1º ordem na direção x são M 1dA, x = − M 1d , B , x = 3963,11KNcm , maiores que o momento fletor mínimo nesta direção, que leva o calculo de αb .
Página:44/75
Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
− 3963,11 = 0,2 < 0,4 3963,11
αb = 0,6 + 0,4 × αb = 0,4
λ1, x =
25 + 12,5 × 0,4
4,66 30 = 67,35 > 35
λ1, x = 67,35
Em Y: Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto e1=0 e αb =1.
λ1, y =
25 + 12,5 × 1
0 25 = 25 < 35
λ1, y = 35
Então: λx = 35,75 < 67,35 , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 42,90 > 35 , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. Momento Fletores Totais Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
Md , tot = αb × M 1d , A + Nd ×
ν =
Nd = Ac × fcd
le 2 M 1, dA ≥ 10r M 1d , min
851,13 × 103 = 0,64 25 × 106 0,0750 × 1,4
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h 1 0,005 = = 1,76 × 10− 4 cm ≤ 2,0 × 10− 4 cm r 25(0,64 + 0,5) Fazendo M 1d , A = M 1d , min em cada direção, tem o momento total maximo. Em X; M d ,totox = 3963,11KNcm Em Y;
Página:45/75
Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
M d ,toty = 1 × 1915,04 + 851,13 ×
3102 × 1,76 × 10− 4 = 3355,69 KNcm 10
Em x;
Mdtotx 3963,11 = = 0,10 hx × Ac × fcd 30 × 750 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,06
µ=
Em y;
Mdtoty 3355,69 = = 0,10 hy × Ac × fcd 25 × 750 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,12
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,12 × 750 × 500 1,15
25 1,4
= 3,70cm 2
Detalhamento Armadura mínima
As, min =
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 3,0cm2 As = 3,7 ≥ As min
14Φ6,3mm (4,05 cm²) A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 0,54% < 4%, ok Ac
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
φl = 3,2mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm 20mm s max ≤ 25mm = t = 8cm 12 × 6,3
Espaçamento horizontal
eh =
30 − [2 × (2 + 0,5) + 7 × 0,63] 0,63 + = 3,75cm 6 2
DoQuinto Pavimento No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 sobre o pilar.
Y X
hy= 25cm, hx= 30m. Ac= 750 cm ² lex= ley= 310cm Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 833,76 = 1167,26 KN Índice de Esbeltez
λx =
3,46 × 310 = 35,75 30
λy =
3,46 × 310 = 42,90 25
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Excentricidade de 1º ordem
Mxd Nd Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. e1x =
Mk , inf = Mk , sup = Mk , eng =
rpilar rp ,sup + rviga + rp ,inf
Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura.
rpilar = rp ,sup = rp ,inf
25 × 303 I pilat = = 12 = 181,45cm3 lex 310
A rigidez da viga VC6 (12x50cm) e com vão de 5,40m. 12 × 503 I viga = = 125000cm4 12
rviga =
I viga l
=
125000 = 231,48cm3 540
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 25,44KN/m
25,44KN/m P7
P8
5,40m
Meng =
q × l2 = 6181,92 KN .cm 12
M k ,inf = M k ,sup = 6181,92 ×
181,45 = 1887,19 KN .cm 181,45 + 231,48 + 181,45
1887,19 Md , topo = − Md , base = 1,41887,19 + = 3963,11KNcm 2
Página:48/75
Estruturas de Concreto II e1x =
Dimensionamento de Pilares
3963,11 = 3,40cm 1167,26
Momento Fletor Mínimo M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h ) Em x: M 1d , min x = 1167,26 × (1,5 + 0,03 × 30 ) = 3963,11KN .cm
Em y: M 1d , min y = 1167,26 × (1,5 + 0,03 × 25) = 4262,06 KN .cm Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
Em X: A excentricidade de 1º ordem e1 na direção x é 3,40. Os momentos fletores de 1º ordem na direção x são M 1dA, x = − M 1d , B , x = 3963,11KNcm , maiores que o momento fletor mínimo nesta direção, que leva o calculo de αb .
− 3963,11 = 0,2 < 0,4 3963,11
αb = 0,6 + 0,4 × αb = 0,4
λ1, x =
25 + 12,5 × 0,4
3,40 30 = 66,04 > 35
λ1, x = 66,04
Em Y: Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto e1=0 e αb =1.
λ1, y =
25 + 12,5 × 1
0 25 = 25 < 35
λ1, y = 35
Então: λx = 35,75 < 66,04 , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 42,90 > 35 , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. Momento Fletores Totais Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
Página:49/75
Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Md , tot = αb × M 1d , A + Nd ×
ν =
Nd = Ac × fcd
le 2 M 1, dA ≥ 10r M 1d , min
1167,26 × 103 = 0,87 25 × 106 0,0750 × 1,4
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h 1 0,005 = = 1,46 × 10− 4 cm ≤ 2,0 × 10− 4 cm r 25(0,87 + 0,5) Fazendo M 1d , A = M 1d , min em cada direção, tem o momento total maximo. Em X; M d ,totox = 3963,11KNcm Em Y;
M d ,toty = 1 × 2626,34 + 1167,26 ×
3102 × 1,46 × 10− 4 = 4262,06 KNcm 10
Em x;
Mdtotx 3963,11 = = 0,10 hx × Ac × fcd 30 × 750 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,27
µ=
Em y;
Mdtoty 4262,06 = = 0,13 hy × Ac × fcd 25 × 750 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,48
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,48 × 750 × 500 1,15
25 1,4
= 14,79cm2
Página:50/75
Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Detalhamento Armadura mínima
As, min =
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 3,0cm2 As = 14,79 ≥ As min
12Φ12,50mm (15,00cm²) A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 2,00% < 4%, ok Ac
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
φl = 3,2mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm 20mm s max ≤ 25mm = t = 15cm 12 × 1,25
Espaçamento horizontal
eh =
30 − [2 × (2 + 0,5) + 6 × 1,25] 1,25 + = 4,13cm 5 2
Do Quarto Pavimento No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 sobre o pilar.
Página:51/75
Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Y
X
hy= 25cm, hx= 30m. Ac= 750 cm ² lex= ley= 310cm Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 1059,58 = 1483,41KN Índice de Esbeltez
λx =
3,46 × 310 = 35,75 30
λy =
3,46 × 310 = 42,90 25
Excentricidade de 1º ordem
Mxd Nd Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. e1x =
Mk , inf = Mk , sup = Mk , eng =
rpilar rp ,sup + rviga + rp ,inf
Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura.
rpilar = rp ,sup = rp ,inf
25 × 303 I pilat = = 12 = 181,45cm3 lex 310
A rigidez da viga VC6 (12x50cm) e com vão de 5,40m. 12 × 503 I viga = = 125000cm4 12
rviga =
I viga l
=
125000 = 231,48cm3 540
Página:52/75
Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 25,44KN/m
25,44KN/m P7
P8
5,40m q × l2 Meng = = 6181,92 KN .cm 12
M k ,inf = M k ,sup = 6181,92 ×
181,45 = 1887,19 KN .cm 181,45 + 231,48 + 181,45
1887,19 Md , topo = − Md , base = 1,41887,19 + = 3963,11KNcm 2 e1x =
3963,11 = 2,67cm 1483,41
Momento Fletor Mínimo M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h ) Em x: M 1d , min x = 1483,41 × (1,5 + 0,03 × 30 ) = 3560,19 KN .cm
Em y: M 1d , min y = 1483,41 × (1,5 + 0,03 × 25) = 3337,68 KN .cm Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
Em X: A excentricidade de 1º ordem e1 na direção x é 2,67. Os momentos fletores de 1º ordem na direção x são M 1dA, x = − M 1d , B , x = 3963,11KNcm , maiores que o momento fletor mínimo nesta direção, que leva o calculo de αb .
Página:53/75
Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
− 3963,11 = 0,2 < 0,4 3963,11
αb = 0,6 + 0,4 × αb = 0,4
λ1, x =
25 + 12,5 × 0,4
2,67 30 = 65,28 > 35
λ1, x = 65,28
Em Y: Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto e1=0 e αb =1.
λ1, y =
25 + 12,5 × 1
0 25 = 25 < 35
λ1, y = 35
Então: λx = 35,75 < 65,28 , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 42,90 > 35 , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. Momento Fletores Totais Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
Md , tot = αb × M 1d , A + Nd ×
ν =
Nd = Ac × fcd
le 2 M 1, dA ≥ 10r M 1d , min
1483,41 × 103 = 1,11 25 × 106 0,0750 × 1,4
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h 1 0,005 = = 1,24 × 10− 4 cm ≤ 2,0 × 10− 4 cm r 25(1,11 + 0,5) Fazendo M 1d , A = M 1d , min em cada direção, tem o momento total maximo. Em X; M d ,totox = 3963,11KNcm Em Y;
Página:54/75
Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
M d ,toty = 1 × 3337,68 + 1483,41 ×
3102 × 1,24 × 10− 4 = 5111,19 KNcm 10
Em x;
Mdtotx 3963,11 = = 0,10 hx × Ac × fcd 30 × 750 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,50
µ=
Em y;
Mdtoty 5111,19 = = 0,13 hy × Ac × fcd 25 × 750 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,76
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,76 × 750 × 500 1,15
25 1,4
= 23,41cm2
Detalhamento Armadura mínima
As, min =
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 3,0cm2 As = 23,41 ≥ As min
12Φ16,00mm (24,00cm²) A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 3,20% < 4%, ok Ac
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
Página:55/75
Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
φl = 4,0mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm 20mm s max ≤ 25mm = t = 19cm 12 × 1,6
Espaçamento horizontal
eh =
30 − [2 × (2 + 0,5) + 6 × 1,6] 1,6 + = 3,88cm 5 2
Do Terceiro Pavimento No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 sobre o pilar.
Y X
hy= 25cm, hx= 60m. Ac= 15000 cm ² lex= ley= 310cm Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 1291,2 = 1807,68KN Índice de Esbeltez
λx =
3,46 × 310 = 17,88 60
λy =
3,46 × 310 = 42,90 25
Página:56/75
Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Excentricidade de 1º ordem
Mxd Nd Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. e1x =
Mk , inf = Mk , sup = Mk , eng =
rpilar rp ,sup + rviga + rp ,inf
Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura.
rpilar = rp , sup = rp , inf
25 × 603 I pilat 12 = = = 1451,61cm3 lex 310
A rigidez da viga VC6 (12x50cm) e com vão de 5,40m. 12 × 503 I viga = = 125000cm4 12
rviga =
I viga l
=
125000 = 231,48cm3 540
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 25,44KN/m
25,44KN/m P7
P8
5,40m
Meng =
q × l2 = 6181,92 KN .cm 12
M k ,inf = M k ,sup = 6181,92 ×
1451,61 = 2862,71KN .cm 1451,61 + 231,48 + 1451,61
2862,71 Md , topo = − Md , base = 1,4 2862,71 + = 6011,69 KNcm 2
Página:57/75
Estruturas de Concreto II e1x =
Dimensionamento de Pilares
6011,69 = 3,33cm 1807,68
Momento Fletor Mínimo M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h ) Em x: M 1d , min x = 1807,68 × (1,5 + 0,03 × 60 ) = 5965,34 KN .cm
Em y: M 1d , min y = 1807,68 × (1,5 + 0,03 × 25) = 4067,28 KN .cm Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
Em X: A excentricidade de 1º ordem e1 na direção x é 3,33. Os momentos fletores de 1º ordem na direção x são M 1dA, x = − M 1d , B , x = 6011,69 KNcm , maiores que o momento fletor mínimo nesta direção, que leva o calculo de αb .
− 6011,69 = 0,2 < 0,4 6011,69
αb = 0,6 + 0,4 × αb = 0,4
λ1, x =
25 + 12,5 × 0,4
3,33 60 = 64,23 > 35
λ1, x = 64,23
Em Y: Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto e1=0 e αb =1.
λ1, y =
25 + 12,5 × 1
0 25 = 25 < 35
λ1, y = 35
Então: λx = 17,88 < 65,28 , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 42,90 > 35 , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. Momento Fletores Totais Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Md , tot = αb × M 1d , A + Nd ×
ν =
Nd = Ac × fcd
le 2 M 1, dA ≥ 10r M 1d , min
1807,68 × 103 = 0,67 25 × 106 0,1500 × 1,4
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h 1 0,005 = = 1,70 × 10− 4 cm ≤ 2,0 × 10− 4 cm r 25(0,67 + 0,5) Fazendo M 1d , A = M 1d , min em cada direção, tem o momento total maximo. Em X; M d ,totox = 6011,69 KNcm Em Y;
M d ,toty = 1 × 4067,28 + 1807,68 ×
3102 × 1,70 × 10− 4 = 7024,52 KNcm 10
Em x;
Mdtotx 6011,69 = = 0,04 hx × Ac × fcd 60 × 1500 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,00
µ=
Em y;
Mdtoty 7024,52 = = 0,10 hy × Ac × fcd 25 × 1500 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,16
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,16 × 1500 × 500 1,15
25 1,4
= 9,86cm2
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Detalhamento Armadura mínima
As, min =
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 6,23cm2 As = 9,86 ≥ As min
20Φ8,00mm (10,00cm²) A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 0,67% < 4%, ok Ac
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
φl = 3,2mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm 20mm s max ≤ 25mm = t = 10cm 12 × 0,8
Espaçamento horizontal
eh =
60 − [2 × (2 + 0,5) + 10 × 0,8] 0,8 + = 5,62cm 9 2
Do Segundo Pavimento No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 sobre o pilar.
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Y
X
hy= 25cm, hx= 60m. Ac= 1500 cm ² lex= ley= 310cm Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 1522,83 = 2131,96 KN Índice de Esbeltez
λx =
3,46 × 310 = 17,88 60
λy =
3,46 × 310 = 42,90 25
Excentricidade de 1º ordem
Mxd Nd Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. e1x =
Mk , inf = Mk , sup = Mk , eng =
rpilar rp ,sup + rviga + rp ,inf
Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura.
rpilar = rp , sup = rp , inf
25 × 603 I pilat 12 = = = 1451,61cm3 lex 310
A rigidez da viga VC6 (12x50cm) e com vão de 5,40m. 12 × 503 I viga = = 125000cm4 12
rviga =
I viga l
=
125000 = 231,48cm3 540
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 25,44KN/m
25,44KN/m P7
P8
5,40m q × l2 Meng = = 6181,92 KN .cm 12
M k ,inf = M k ,sup = 6181,92 ×
1451,61 = 2862,71KN .cm 1451,61 + 231,48 + 1451,61
2862,71 Md , topo = − Md , base = 1,4 2862,71 + = 6011,69 KNcm 2 e1x =
6011,69 = 2,82cm 2131,96
Momento Fletor Mínimo M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h ) Em x: M 1d , min x = 2131,96 × (1,5 + 0,03 × 60 ) = 7035,47 KN .cm
Em y: M 1d , min y = 2131,96 × (1,5 + 0,03 × 25) = 4796,91KN .cm Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
Em X: A excentricidade de 1º ordem e1 na direção x é 2,82. Os momentos fletores de 1º ordem na direção x são M 1dA, x = − M 1d , B , x = 6011,69 KNcm , maiores que o momento fletor mínimo nesta direção, que leva o calculo de αb .
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
− 6011,69 = 0,2 < 0,4 6011,69
αb = 0,6 + 0,4 × αb = 0,4
λ1, x =
25 + 12,5 × 0,4
2,82 60 = 63,97 > 35
λ1, x = 63,97
Em Y: Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto e1=0 e αb =1.
λ1, y =
25 + 12,5 × 1
0 25 = 25 < 35
λ1, y = 35
Então: λx = 17,88 < 63,97 , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 42,90 > 35 , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. Momento Fletores Totais Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
Md , tot = αb × M 1d , A + Nd ×
ν =
Nd = Ac × fcd
le 2 M 1, dA ≥ 10r M 1d , min
2131,96 × 103 = 0,80 25 × 106 0,1500 × 1,4
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h 1 0,005 = = 1,54 × 10− 4 cm ≤ 2,0 × 10− 4 cm r 25(0,80 + 0,5) Fazendo M 1d , A = M 1d , min em cada direção, tem o momento total maximo. Em X; M d ,totox = 7035,47 KNcm Em Y;
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
M d ,toty = 1 × 4796,91 + 2131,96 ×
3102 × 1,54 × 10− 4 = 7958,83KNcm 10
Em x;
Mdtotx 7035,47 = = 0,04 hx × Ac × fcd 60 × 1500 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,05
µ=
Em y;
Mdtoty 7958,83 = = 0,12 hy × Ac × fcd 25 × 1500 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0, 37
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,37 × 1500 × 500 1,15
25 1,4
= 22,79cm2
Detalhamento Armadura mínima
As, min =
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 7,35cm2 As = 22,79 ≥ As min
20Φ12,50mm (25,00cm²) A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 1,67% < 4%, ok Ac
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
φl = 3,2mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm 20mm s max ≤ 25mm = t = 15cm 12 × 1,25
Espaçamento horizontal
eh =
60 − [2 × (2 + 0,5) + 10 × 1,25] 1,25 + = 5,35cm 9 2
Do Primeiro Pavimento No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 sobre o pilar.
Y X
hy= 25cm, hx= 60m. Ac= 1500 cm ² lex= ley= 310cm Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 1754,45 = 2456,23KN Índice de Esbeltez
λx =
3,46 × 310 = 17,88 60
λy =
3,46 × 310 = 42,90 25
Excentricidade de 1º ordem
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Mxd Nd Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. e1x =
Mk , inf = Mk , sup = Mk , eng =
rpilar rp ,sup + rviga + rp ,inf
Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura.
rpilar = rp , sup = rp , inf
25 × 603 I pilat 12 = = = 1451,61cm3 lex 310
A rigidez da viga VC6 (12x50cm) e com vão de 5,40m. 12 × 503 I viga = = 125000cm4 12
rviga =
I viga l
=
125000 = 231,48cm3 540
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 25,44KN/m
25,44KN/m P7
P8
5,40m
Meng =
q × l2 = 6181,92 KN .cm 12
M k ,inf = M k ,sup = 6181,92 ×
1451,61 = 2862,71KN .cm 1451,61 + 231,48 + 1451,61
2862,71 Md , topo = − Md , base = 1,4 2862,71 + = 6011,69 KNcm 2 e1x =
6011,69 = 2,45cm 2456,23
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Momento Fletor Mínimo M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h ) Em x: M 1d , min x = 2456,23 × (1,5 + 0,03 × 60 ) = 8105,56 KN .cm
Em y: M 1d , min y = 2456,23 × (1,5 + 0,03 × 25) = 5526,52 KN .cm Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
Em X: A excentricidade de 1º ordem e1 na direção x é 2,45. Os momentos fletores de 1º ordem na direção x são M 1dA, x = − M 1d , B , x = 6011,69 KNcm , maiores que o momento fletor mínimo nesta direção, que leva o calculo de αb .
− 6011,69 = 0,2 < 0,4 6011,69
αb = 0,6 + 0,4 × αb = 0,4
λ1, x =
25 + 12,5 × 0,4
2,45 60 = 63,77 > 35
λ1, x = 63,77
Em Y: Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto e1=0 e αb =1.
λ1, y =
25 + 12,5 × 1
0 25 = 25 < 35
λ1, y = 35
Então: λx = 17,88 < 63,77 , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 42,90 > 35 , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. Momento Fletores Totais Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
Md , tot = αb × M 1d , A + Nd ×
le 2 M 1, dA ≥ 10r M 1d , min
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Estruturas de Concreto II
ν =
Nd = Ac × fcd
Dimensionamento de Pilares
2456,23 × 103 = 0,92 25 × 106 0,1500 × 1,4
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h 1 0,005 = = 1,41 × 10− 4 cm ≤ 2,0 × 10− 4 cm r 25(0,92 + 0,5) Fazendo M 1d , A = M 1d , min em cada direção, tem o momento total maximo. Em X; M d ,totox = 8105,56 KNcm Em Y;
M d ,toty = 1 × 5526,52 + 2456,23 ×
3102 × 1,41 × 10− 4 = 8858,13KNcm 10
Em x;
Mdtotx 8105,56 = = 0,05 hx × Ac × fcd 60 × 1500 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,17
µ=
Em y;
Mdtoty 8858,13 = = 0,12 hy × Ac × fcd 25 × 1500 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0, 48
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,48 × 1500 × 500 1,15
25 1,4
= 29,57cm2
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Detalhamento Armadura mínima
As, min =
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 8,47cm2 As = 29,57 ≥ As min
18Φ16,00mm (36,00cm²) A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 2,4% < 4%, ok Ac
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
φl = 4mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm 20mm s max ≤ 25mm = t = 19cm 12 × 1,6
Espaçamento horizontal
eh =
60 − [2 × (2 + 0,5) + 9 × 1,6] 1,6 + = 5,88cm 8 2
Do Térreo No pilar de extremidade, alem da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar na direção x, em função de existir a viga VC6 sobre o pilar.
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Y
X
hy= 25cm, hx= 60m. Ac= 1500 cm ² lex= ley= 400cm Força Normal de Cálculo
Nd = γ × Nk = 1,4 × 1989,45 = 2785,23KN Índice de Esbeltez
λx =
3,46 × 400 = 23,07 60
λy =
3,46 × 400 = 55,36 25
Excentricidade de 1º ordem
Mxd Nd Mxd= momento fletor de ligação entre a viga VC6 e o pilar P8, na direção x. e1x =
Mk , inf = Mk , sup = Mk , eng =
rpilar rp ,sup + rviga + rp ,inf
Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo de sua altura.
rpilar = rp ,sup = rp ,inf
25 × 603 I pilat 12 = = = 1125,00cm3 lex 400
A rigidez da viga VC6 (12x50cm) e com vão de 5,40m. 12 × 503 I viga = = 125000cm4 12
rviga =
I viga l
=
125000 = 231,48cm3 540
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
Para o momento de engastamento perfeito da viga no pilar será usada a carga de 25,44KN/m
25,44KN/m P7
P8
5,40m q × l2 Meng = = 6181,92 KN .cm 12
M k ,inf = M k ,sup = 6181,92 ×
1125,00 = 2802,62 KN .cm 1125,00 + 231,48 + 1125,00
2802,62 Md , topo = − Md , base = 1,4 2802,62 + = 5885,51KNcm 2 e1x =
5885,51 = 2,11cm 2785,23
Momento Fletor Mínimo M 1d , min = Nd × (1,5 + 0,03h ) Em x: M 1d , min x = 2785,23 × (1,5 + 0,03 × 60 ) = 9191,26 KN .cm
Em y: M 1d , min y = 2785,23 × (1,5 + 0,03 × 25) = 6266,77 KN .cm Esbeltez Limite
λ1 =
25 + 12,5 ×
αb
e1 h
com 35 ≤ λ1 ≤ 90
Em X: A excentricidade de 1º ordem e1 na direção x é 2,11. Os momentos fletores de 1º ordem na direção x são M 1dA, x = − M 1d , B , x = 5885,51KNcm , maiores que o momento fletor mínimo nesta direção, que leva o calculo de αb .
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
− 5885,51 = 0,2 < 0,4 5885,51
αb = 0,6 + 0,4 × αb = 0,4
λ1, x =
25 + 12,5 × 0,4
2,11 60 = 63,60 > 35
λ1, x = 63,60
Em Y: Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1º ordem, portanto e1=0 e αb =1.
λ1, y =
25 + 12,5 × 1
0 25 = 25 < 35
λ1, y = 35
Então: λx = 23,07 < 63,60 , não são considerados os efeitos de 2º ordem na direção x; λy = 55,36 > 35 , são considerados os efeitos de 2º ordem na direção y. Momento Fletores Totais Será avaliado pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada.
Md , tot = αb × M 1d , A + Nd ×
ν =
Nd = Ac × fcd
le 2 M 1, dA ≥ 10r M 1d , min
2785,23 × 103 = 1,04 25 × 106 0,1500 × 1,4
Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2º ordem;
1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h 1 0,005 = = 1,30 × 10− 4 cm ≤ 2,0 × 10− 4 cm r 25(1,04 + 0,5) Fazendo M 1d , A = M 1d , min em cada direção, tem o momento total maximo. Em X; M d ,totox = 9191,26 KNcm Em Y;
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
M d ,toty = 1 × 6266,77 + 2785,23 ×
4002 × 1,30 × 10− 4 = 12054,94 KNcm 10
Em x;
Mdtotx 9191,26 = = 0,06 hx × Ac × fcd 60 × 1500 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,33
µ=
Em y;
Mdtoty 12054,94 = = 0,18 hy × Ac × fcd 25 × 1500 × 2,5 1,4 No ábaco determinamos o valor de w=0,92
µ=
Área de Aço
As =
w × Ac × fcd = fyd
0,92 × 1500 × 500 1,15
25 1,4
= 56,68cm 2
Detalhamento Armadura mínima
As, min =
0,15 × Nd ≥ 0,004 Ac fyd
As, min = 9,6cm2 As = 56,68 ≥ As min
18Φ20,00mm (56,70cm²) A taxa de armadura
ρ=
As × 100 = 3,78% < 4%, ok Ac
Diâmetro do estribo (Φt) e espaçamento(t) dos estribos;
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares
φl = 5mm φt ≥ 4 = 5mm 5mm 20φt = 10cm 20mm s max ≤ 25mm = t = 20cm 12 × 20
Espaçamento horizontal
60 − [2 × (2 + 0,5) + 9 × 2,0] 2,0 + = 5,625cm 8 2
QUADRO DE FERROS COMPRIMENTO AÇO
CA-50
eh =
Nº N2 N3 N9 N13 N14 N15 N18 N19 N16 N17 N12 N7 N8 N10 N11 N1 N4 N5 N6
Ф 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 6.3 6.3 8.0 12.5 12.5 16.0 16.0 20.0 20.0 20.0 20.0
QUANT. 110 931 79 31 89 99 39 62 32 4 40 44 8 44 12 42 8 48 12
UNIT. 228 36 128 98 168 118 76 26 310 370 310 310 370 310 370 400 460 310 370
TOTAL(m) 250,8 335,16 101,12 30,38 149,52 116,82 29,64 16,12 99,2 14,8 124 136,4 29,6 136,4 44,4 168 36,8 148,8 44,4
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Estruturas de Concreto II
Dimensionamento de Pilares RESUMO
CA - 50
AÇO
Ф 5.0 6.3 8.0 12.5 16,00 20,00
C. TOTAL (m) 1029,56 114,00 124,00 166,00 180,80 398,00 Total em (Kg)
Volume de Concreto (m³) IC (Kg/m³)
PESO (Kg) 164,73 28,50 49,60 166,00 289,28 995,00 1693,11
8,1 209,03
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