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Determinantes
Definição 1. Se A é uma matriz n ( n, diz-se que um produto de n entradas
de A, tais que não há duas de mesma linha ou mesma coluna de A, é um
produto elementar da matriz A.
Seja
com seus respectivos produtos elementares.
"Produto "Inversões "Par ou Impar "Prod. Elem. c/ "
"Elementar " " "sinal "
"a1 b2 c3 "0 "par "a1 b2 c3 "
"a1 b3 c2 "1 "impar "(a1 b3 c2 "
"a2 b1 c3 "1 "impar "(a2 b1 c3 "
"a2 b3 c1 "2 "par "a2 b3 c1 "
"a3 b1 c2 "2 "par "a3 b1 c2 "
"a3 b2 c1 "3 "impar "(a3 b2 c1 "
Definição 2. Se A é uma matriz n ( n, define-se o determinante de A (det A)
como o número real obtido da soma de todos os produtos elementares com
sinal de A.
Corolário da Definição. O calculo do determinante de uma matriz n ( n
envolve uma soma de n( parcelas, onde cada parcela é formada por um produto
de n fatores.
Além disso o conhecimento da estrutura aritmética do cálculo do
determinante torna muito simples a compreensão de suas propriedades. Como
segue.
Propriedades dos Determinantes.
O estudo das propriedades, entre outras vantagens, proporciona um atalho
para a obtenção dos determinantes, considerando o grande volume de
operações necessárias para sua obtenção.
As demonstrações feitas para matrizes 3 x 3 podem ser generalizadas para o
caso n ( n.
Serão usadas as seguintes convenções simbólicas:
Assim as linhas da matriz são "vistas" como vetores
Propriedade 1. O determinante muda de sinal quando se trocam as posições de
duas quaisquer de suas linhas. Em símbolos, tem-se:
det (u, v, w) = ( det (v, u, w)
Demonstração
A passagem de det (u, v, w) para (v, u, w) faz-se trocando em cada parcela
os índices 1 e 2 de posição e deixando 3 fixo. Isto acarreta a passagem da
permutação de par para impar e vice-versa, pois acrescentará uma unidade de
inversão a permutação. Assim det (u, v, w) = ( det (v, u, w)
É evidente que o resultado é válido para quaisquer duas inversões.
Propriedade 2. Se uma matriz tem duas linhas iguais, seu determinante é
igual a zero. Logo
det (u, u, w) = det (v, v, w) = det (u, w, w) = 0
Demonstração
Se uma matriz tem duas linhas iguais, então trocando-se a posição destas
duas linhas (o que mantém a mesma matriz) , pela propriedade 1 seu
determinante deveria mudar de sinal, como a matriz não mudou também não
mudou seu determinante, daí tem-se:
det (u, u, w) = ( det (u, u, w) ( det (u, u, w) = 0
o mesmo argumento se aplica nos demais casos.
Propriedade 3. Se multiplicarmos uma linha da matriz por um escalar, o
determinante fica multiplicado por aquele número. Assim tem-se:
det((u,v,w) = det(u, (v, w) = det(u, v, (w) = ( det(u, v, w)
Demonstração
Este fato decorre imediatamente da definição, pois cada parcela do
determinante possui um fator de cada linha. Dessa forma se um escalar foi
multiplicado por uma determinada linha ele aparecerá uma vez em cada
parcela, sendo passível de ser colocado em evidência.
Corolário da Propriedade 3. Seja e ( ( (
(A = det((u, (v, (w) = (det(u, (v, ( w) = (2det(u, v, (w) = (3 det(u, v, w)
Propriedade 4. Se uma linha da matriz é soma de duas parcelas, seu
determinante é soma de outros dois, em cada um dos quais aquela linha é
substituída por uma das parcelas. Assim tem-se:
det(u+u', v, w) = det(u, v, w) + det(u', v, w)
Demonstração
Sejam os determinantes:
Logo det(u+u', v, w) = det(u, v, w) + det(u', v, w).
Propriedade 5. Se uma linha é combinação linear das outras duas, o
determinante dessa matriz é zero. Em símbolo tem-se:
det((v+(w, v, w) = det(u, (u+(w, w) = det(u, v, (u+(v) = 0
Demonstração
Considerando apenas o caso da 1a linha como combinação das outras (os
outros são análogos):
Propriedade 6. Tem-se det(u, v, w) = 0 se, e somente se, os vetores u, v, e
w são linearmente dependentes, ou seja, um deles é combinação linear dos
demais.
Demonstração
Decorre de imediato da propriedade 5
Propriedade 7. O determinante não se altera se substituirmos uma de suas
linhas pela soma dela com um múltiplo de outra. Em símbolos tem-se:
det(u, v, w) = det(u + (v, v, w)
Demonstração
Propriedade 8. O determinante não se altera quando se trocam as linhas
pelas colunas e vice-versa.
Demonstração
Decorre de imediato da definição, já que cada fator das parcelas deve ser
escolhido de modo que não repita linha ou coluna.
Propriedade 9. O determinante de um produto de matrizes é o produto dos
determinantes das matrizes.
Demonstração
No mathematica.
Corolário da Propriedade 9. Se A é uma matriz quadrada e inversível então
Demonstração
Dado A por hipótese , aplicando a proppriedade 9 , teremos:
Propriedade 10. O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto
dos elementos da diagonal principal.
Demonstração
Por Indução
Seja M uma matriz triangular inferior de ordem n(igual para superior)
i) é verdade o teorema para n = 2.
ii) considerando verdade o teorema para ordem n – 1, prova-se verdade para
n, de fato:
fazendo a expansão de Laplace by first row, temos:
Teorema 3. (Laplace) Seja A uma matriz quadrada n x n , então o det A será
dado pelo produto ordenado dos elementos de uma fila qualquer pelos seus
respectivos cofatores. Onde o cofator do ij-ésimo elemento de A é: Cof ai j
= (-1) i + j det B, em que B é a matriz que se obtém de A eliminando sua i-
ésima linha e j-ésima coluna.
Determinantes de Matrizes Elementares
De acordo c/ a propriedade 10 det(In) = 1 , para todo n.
Teorema 2. Seja E uma matriz elementar n x n.
a) Se E é obtida pela troca de duas linhas em In, então pela propriedade 1
tem-se que det E = -1.
b) Se E é obtida por multiplicação de uma linha de In por k, então pela
propriedade 3 tem-se que det E = k
c) Se E é obtida pela soma de um múltiplo de uma linha de In com outra
linha, então tem-se pela propriedade 7 que det E = 1.
Teorema 3. Uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, det A 0.
Demonstração
Primeiro mostra-se que se det A 0 se, e só se, det R 0, onde R é a
matriz reduzida por linhas de A. Para isto considera-se que o produto de
matrizes elementares Ek ... E2 E1 transformam A em R, assim tem-se:
Ek ... E2 E1 A = R
Aplicando det nos dois membros e em seguida a propriedade 9 tem-se:
det(Ek)...det(E2)det(E1)det(A) = det(R)
como o det das matrizes elementares é 0 , então det A 0 ( det R 0.
(
Agora admitindo que A é inversível , então R = I, portanto det R 0 e
consequentemente det A 0.
(
Reciprocamente se det A 0, então det R 0 , então R = I ,
consequentemente A é inversivel.
Teorema 4. Se A é uma matriz quadrada tal que o det A = 0, então A não é
inversivel.
Demonstração
Suponha por absurdo, que A seja inversivel, ou seja ( A-1 tal que A.A-1 =
I, aplicando Det nos dois lados da igualdade temos det (A.A-1) = det I ,
pelo teo. De Binet temos: detA. det A-1 = 1, mas por hipótese det A = 0,
logo 0. det A-1 = 1 ou seja 0=1, que é um absurdo, logo A-1 não existe
então A não é inversivel.
Propriedade 10. (Teorema de Cauchy) A soma dos produtos dos elementos de
uma fila qualquer de uma matriz A, ordenadamente, pelos cofatores dos
elementos de uma fila paralela, é igual a zero.
Demonstração
Seja , substituindo a q-ésima linha pela p-ésima , obteremos:
, como A' tem duas linhas iguais, a propriedade 3.6 nos
garante que Det A'= 0.
Desenvolvendo o Det A' pela q-ésima linha (ap1, ap2,.....,apn), teremos:
Det A'= ap1. cof aq1 + ap2. cof aq2 + …+ apn. Cof aqn = 0
Definição 3. Dada uma matriz A, quadrada de ordem n>1, vamos definir matriz
adjunta de A (escrevemos ), como a transposta da matriz que se obtem
de A, substituindo cada elemento, pelo seu respectivo cofator.
Teorema 5. Se uma matriz quadrada é tal que det A ( 0, então A é inversivel
e sua matriz pode ser obtida por:
.
Demonstração
Como A.A-1 = In e então (I)
Considerando:
Substituindo essas matrizes em I, teremos:
=
=, então
Redução da Ordem de um determinante (Regra de Chió).
Uso da propriedade 7 e o teorema de Laplace.
Apêndice A – Indução Matemática
O principio da Indução é um eficiente instrumento para demonstração de
fatos referentes
aos números naturais. Uma melhor compreensão deste principio se adquire com
uma visão mais ampla sobre os números naturais.
Deve-se a Giussepe Peano (1858-1932) a constatação de que se pode elaborar
toda a teoria dos números naturais a partir de quatro fatos básicos,
conhecidos atualmente com axiomas de Peano.
Axiomas de Peano
1 – Existe uma função s: ( (, que associa a cada n(( um elemento s(n) ((,
chamado o sucessor de n.
2 – A função s: ( ( é injetiva.
3 – Existe um único elemento 1 no conjunto (, tal que 1 s(n) para todo
n((.
4 – Se um subconjunto X(( é tal que 1( X, e se n(X s(n)(X, então X = (.
O quarto axioma de Peano é conhecido como axioma da indução. Informalmente
ele significa que todo número natural pode ser obtido a partir de 1 por
meio de repetidas aplicações da operação de tomar o sucessor.
Numa reformulação mais formal poderia ser: Um subconjunto X(( chama-se
indutivo quando s(X)( X.
O papel fundamental do axioma da indução na teoria dos números naturais,
resulta do fato de que ele pode ser visto como método de demonstração,
chamado método de Indução Finita ou Principio da Indução Finita.
Principio da Indução: Seja P uma propriedade referente a números naturais.
Se 1 goza de P e se, além disso, o fato do natural n gozar de P implica que
seu sucessor s(n) também goza, Então todos os naturais gozam da propriedade
P.
Principio de Indução Matemática:
Seja S(n) uma afirmação sobre o inteiro positivo n. Se:
i) S(1) é verdadeira e
ii) para todo k 1 a validade de S(k) implica a validade de S(k+1),
então S(n) é verdadeira para todo n 1.
Observações:
1 – A verificação de S(1) chama-se passo básico. A hipótese de que S(k) é
verdadeira chama-se hipótese de indução. O uso da hipótese de indução para
provar S(k+1) chama-se passo de indução.
2 – A Indução Matemática é chamada de princípio do dominó, pois seu
procedimento é análogo ao de mostrar que uma fileira de dominós será
derrubada se (i) o primeiro for derrubado (passo básico) e que (ii) a
derrubada de qualquer dominó (hipótese de indução) acarretará a derrubada
do dominó seguinte (passo de indução).
Exemplo 1:Sejam as seguintes somas:
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Como estas somas são quadrados perfeitos(n2) parece razoável conjecturar
que:
1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 para todo n >= 1
Nada garante que esta fórmula valerá para todo n (pois é uma conjectura).
Para obter esta garantia a fórmula acima deve ser demonstrada. E o método
adequado para executar esta prova é a indução matemática.
Exemplo 2: Considere o polinômio p(n) = n2 – n + 41 e a afirmação " o valor
de p(n) é sempre primo para n = 0, 1, 2, ...". Embora seja verdadeiro para
n = 0, 1, 2, ..., 40, temos que p(41) = 412.
Exemplo 3: Considere o polinômio q(n) = n2 – 79n + 1601 fornece primos para
n = 1, 2, ... Esta afirmação só é válida para n = 1, 2, ..., 79, pois q(80)
= 1681 que não é primo.
Exemplo 4: Use a indução matemática para demonstrar que:
1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 para todo n >= 1
i) para n = 1 ( 1 = 1 (verificado o passo básico)
ii) suponha que a fórmula é verdadeira para k >= 1, assim tem-se:
1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2 (é verdade)
Deve-se mostrar agora que a fórmula será verdade para n = k + 1. De fato:
1 + 3 + 5 + ... + (2(k+1) – 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k+1) = 1 + 3 + 5 + ...
+ (2k-1) + (2k+1) = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2.
Exemplo 4: Mostre que:
Solução
i) A fórmula é verdadeira para n = 1, pois
ii) supondo verdade temos que mostrar que
, de fato:
-----------------------
det(u, v, w)
det(u', v, w)
