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CENTRO EDUCACIONAL DA FUNDAÇÃO SALVADOR ARENA FACULDADE DE TECNOLOGIA TERMOMECÂNICA
CINTHIA SHINODA BRUNO PAGANI TALITHA MELO DOS SANTOS VÍTOR TORRES FREIRE
Determinação de área e volume: Embalagem de refrigerante e suas características
Cálculo II Prof. Dr. Daniel de Oliveira ESA – 2
São Bernardo do Campo 2012
01 Introdução Sólido de revolução é todo aquele que foi gerado pela revolução (rotação) de uma figura plana ao redor de um eixo. A reta ao redor da qual a região gira, é chamada de eixo de revolução. Esses são alguns exemplos de sólido de revolução:
Cone: rotação de um triângulo; Cilindro: rotação de um retângulo; Esfera: rotação de um círculo;
A determinação da área e do volume destes sólidos pode ser encontrado por integração com limites definidos, sendo uma das principais aplicações do cálculo, em áreas da indústria como desenvolvimento de embalagens, marketing e propaganda e economia e otimização de recursos.
Politereftalato de etileno (PET) As embalagens rígidas obtidas a partir do PET são tradicionalmente as garrafas com uma capacidade compreendida entre 0,5 e 2 litros e que se destinam a receber bebidas gasosas carbonatadas. Elas são fabricadas por um processo de sopro-biorientado, técnica que permite aumentar a tenacidade do material e, por conseguinte,
promover
uma
maior
resistência
contra
ruptura,
baixar
a
permeabilidade de CO2 e, portanto, aumentar o período de validade da bebida, além de obter garrafas com um brilho excelente.
Propriedades Densidade Resistência à tensão Alongamento até a ruptura Módulo de elasticidade sob tração Resistência ao impacto Temperatura de fusão de cristais Temperatura máxima de uso: Curta duração Longa duração Coeficiente de condutividade térmica Capacidade térmica específica Coeficiente de expansão térmica
Unidade
Método
VALOR
g/cm³ MPa % MPa kJ/m² ºC
ASTM 53479 53455 53455 53457 53453 53736
1,27 81 70 2800 s/ruptura 255
ºC ºC W/(m.k) J/(g.K) 10-5/K
-
180 100 0,24 1,1 7-8
O PET é resultante da condensação de um diol (o etilenoglicol) e um ácido dicarboxílico (o ácido tereftálico), ocorrendo a transesterificação em torno de 190200°C, com excesso de glicol e com a presença de óxido de chumbo. Separa-se o metanol, formando-se assim o poliéster por aquecimento no vazio e com temperatura de 280°C durante 5-6 horas:
Características do produto O refrigerante, segundo o Ministério da Agricultura, é uma bebida gaseificada, obtida pela dissolução de suco ou extrato vegetal em água potável adicionada de açúcares, devendo, obrigatoriamente, conter gás carbônico industrialmente puro (OLIVEIRA, 2006). A aparente simplicidade do produto abriga complexas formulações, manufatura, controle de qualidade, embalagem, tecnologias de inspeção e envase, movimentação de carga, entre outros. Tornando-se um mercado exigente e competitivo. No Brasil, a primeira fábrica foi instalada pela Companhia Antarctica Paulista, em maio de 1921. Sendo atualmente os sabores mais comumente encontrados os de laranja, de cola, de guaraná, de limão e de uva. As características sensoriais e físico-químicas deverão estar em consonância com a composição do produto. Os sucos e extratos utilizados na produção de refrigerantes têm sua especificação e quantidade mínima a ser adicionada definida pela legislação. Os refrigerantes deverão apresentar componentes principais e secundários próprios do suco ou extratos vegetais, ou de parte dos vegetais (VENTURINI, 2010). Para manter a qualidade do produto final a embalagem deve apresentar características como baixa permeabilidade a gases como CO2, vapor de água e O2, ser atóxico e não influir nas propriedades sensoriais. Assim, no caso do PET essas características são atendidas, mesmo não sendo as melhores possíveis, mas apresenta em contrapartida benefícios como leveza, facilidade de transporte e baixo custo.
02 Determinação das funções matemáticas da embalagem Embalagem escolhida: PET 600 mL para refrigerante sabor laranja (marca Fanta):
Exemplos do formato da embalagem escolhida Seguindo a metodologia de BELTRÃO (2012), para a determinação da função matemática que compõe a embalagem, lavou-se o recipiente, cortando-o com auxílio de tesouras e serras exatamente na metade. Com uma das partes traçou-se em papel milimetrado o perfil, como mostrado nas imagens a seguir:
Em seguida, foram traçados dois eixos ao redor do desenho da embalagem, para que formasse um gráfico com o perfil, de forma tal que se pudesse transformar cada ponto da embalagem em um conjunto de coordenadas (pontos x, y). 4 3 2 1 0 0
5
10
15
20
25
Em seguida, com a opção Exibir >> Planilha do programa Geogebra adicionou-se estas coordenadas, exibindo na tela um gráfico que corresponde ao perfil da embalagem: Para a determinação da área e do volume da embalagem é necessário possuir a equação que compõe este gráfico, para isto utilizou-se a opção Exibir >> Planilha >> Análise Bivariada até que se encontrasse uma linha de tendência que melhor correspondesse ao gráfico, neste caso, a melhor função correspondente ao gráfico foi uma equação polinominal de 9º grau:
y = 0x⁹ + 0x⁸ - 0x⁷ + 0,0016x⁶ - 0,026x⁵ + 0,25x⁴ - 1,42x³ + 4,21x² - 5,02x + 3,15
Como visto, embora seja a equação que mais se aproxima do perfil do gráfico esta equação não corresponde de forma ideal em todos os pontos da embalagem, portanto, para tornar o cálculo mais simples e preciso, dividiu-se o perfil da embalagem em quatro partes diferentes, cada qual com sua própria equação. 2,5
3,5 3
2
2,5 1,5
2
1
1,5 1
0,5
0,5
0
0 0
1
2
3
0
2
4
6
Equações 1 e 2, respectivamente.
8
10
12
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0 0
5
10
15
20
25
21
21,5
22
22,5
23
Equações 3 e 4, respectivamente. Dessa forma, e seguindo o mesmo princípio de determinar a linha de tendência que melhor corresponda ao gráfico, determinaram-se as quatro equações que compõe o design da garrafa como um todo. As equações são as seguintes: Equação (1):
y = 1,08x² – 2,43x + 2,53
Equação (2):
y = 2,55 + 0,48 sen (0,88x – 2,4)
Equação (3):
y=3
Equação (4):
y = – 0,6 x² + 25,9x – 276,50
Uma vez determinada as equações que regem cada parte do desenho da embalagem pode-se então calcular a área dessas funções e o volume de cada uma delas, sendo a soma das áreas e dos volumes igual ao valor da área e do volume da embalagem inteira.
03 Determinação da área das funções A área de uma função matemática define-se como a área sob a curva desta função, de um determinado ponto a outro ponto, sendo estes pontos os limites. O valor numérico desta área corresponde à integral desta equação, com os limites de início e fim. Para cada equação do gráfico utilizou-se a respectiva linha de tendência encontrada pelo Geogebra, calculando-se a sua integral sendo os limites de cada equação os mesmos pontos que correspondem ao início e fim de tal parte do desenho, podendo ser visualizados no gráfico.
Equação (1): y = 1,08x² – 2,43x + 2,53
A1 =
–
A1 = 1,52 uA
Equação (2): y = 2,55 + 0,48 sen (0,88x – 2,4)
A2 = A2 = 23,10 uA
Equação (3): y = 3
A3 = A3 = 30 uA
Equação (4): y = – 0,6 x² + 25,9x – 276,50
A3 = A3 = 2,85 uA
A soma das áreas, e portanto a área da equação total da embalagem é: AT = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 AT = (1,52 + 23,10 + 30 + 2,85) uA
AT = 57,47 uA A
área
encontrada
desta
forma
deve
corresponder
também,
aproximadamente, a área encontrada a partir da equação de 9º grau, obtida pela primeira linha de tendência, e de fato:
y = 0x⁹ + 0x⁸ - 0x⁷ + 0,0016x⁶ - 0,026x⁵ + 0,25x⁴ - 1,42x³ + 4,21x² - 5,02x + 3,15
A= A = 58,39 uA
Também é possível saber a área de uma função pelo Geogebra , a partir da opção Inspetor de Função >> Área. Os resultados encontrados pelo cálculo corresponderam às informadas pelo programa.
04 Determinação do volume da embalagem O volume de uma função é encontrado pela seguinte relação:
V= Continuando o cálculo com as mesmas quatro equações chega-se em: Equação (1): y = 1,08x² – 2,43x + 2,53 Volume:
V1 =
–
V1 = (0,23x5 – 1,31x4 + 3,79x³ – 6,14x² + 6,4x) |
2
0,9
V1 = 6,84 uV
Equação (2): y = 2,55 + 0,48 sen (0,88x – 2,4) Volume:
V2 =
–
V2 = [(2,55 + 0,48 sen (0,88x – 2,4)]² | V2 = 188,99 uV
11 2
Equação (3): y = 3 Volume:
V3 = V3 = 21,5
V3 = (9x) |
11
V3 = 296,88 uV
Equação (4): y = – 0,6 x² + 25,9x – 276,50
V4 =
–
–
V4 = (– 0,6 x² + 25,9x – 276,50) |
22,5 21,5
V4 = 25,59 uV
Dessa forma: VT = V1 + V2 + V3 + V4 VT = (6,84 + 188,99 + 296,88 + 25,59) uV
VT = 518,30 uV
05 Conclusões
A partir dos cálculos efetuados e das observações feitas a partir da literatura, pode-se concluir muitos dados sobre o estudo aplicado da integração de funções com limites definidos. Primeiramente o grupo observa que o método utilizado, embora rudimentar, é eficiente ao determinar a área das funções que compõem a embalagem e o volume encontrado a partir da rotação destas funções. Em segundo lugar, o grupo avalia que os valores encontrados (A = 57,47 cm² e V = 518,30 cm³ - já que ambos os gráficos foram medidos em centímetros) estão corretos, embora estejam até certo grau, imprecisos. As principais fontes de erro encontradas pelo grupo são o arredondamento dos valores das equações, erros durante o desenho do gráfico, imprecisão do corte da garrafa e irregularidades da superfície, que de uma forma ou de outra interferiram no cálculo final. Ademais, é interessante notar que o volume encontrado (aproximadamente 518 mL, não correspondem ao informado pelo rótulo, que indica o volume da garrafa como de 600 mL), a explicação para isso reside no fato da necessidade prevista em lei da presença de um headspace, ou seja, um espaço vazio entre a superfície do líquido e a tampa, muito importante para, por exemplo, produtos gaseificados como o refrigerante. Assim, o espaço do gargalo não computado para efeitos de cálculo durante a produção do gráfico deve conter os aproximados 80 cm³ destinados ao headspace da garrafa, totalizando então 600 cm³.
06 Referências BELTRÃO, M. E. P. Ensino de Cálculo pela modelagem matemática e aplicações – teoria e prática. 322 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2009. Disponível em: . Acesso em: 03 out. 2012.
CASTRO, A. G. de.; POUZADA, A. S. Embalagens para a indústria alimentar. 1ª edição. Lisboa: Ed. Instituo Piaget, 2003.
MESTRINER, F. Design de embalagem – curso básico. 2ª edição. São Paulo: Ed. Pearson Makron Books, 2002.
OLIVEIRA, L. M. de. Requisitos de proteção de produtos em embalagens plásticas rígidas. 1ª edição. Campinas: Ed. Cetea, 2006.
VENTURINI FILHO, W. G. V. Tecnologia de bebidas. 1ª edição. São Paulo: Ed. Edgard Blücher, 2010.
Sites: http://www.mvcr.pt/catalogos/PET%20-%20PROPRIEDADES.pdf http://www.wolframalpha.com/
