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Matemática Financeira
Desconto Simples
4 Diego Oliveira www.number.890m.com
INTRODUÇÃO Esse é o quarto mini book sobre matemática financeira. Cada mini book possui um tema que é tratado de forma simples, rápida e completa. Aqui você encontrará exemplos resolvidos e um conteúdo bastante sucinto perfeito para interessados em aprender sobre Matemática Financeira, mas que não deseja passar por aprofundamentos (tais como demonstrações) desnecessárias.
DESCONTO SIMPLES Diego Oliveira1 | www.number.890m.com |
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Um t´ıtulo de cr´ edito ´e um documento que confere ao seu possuidor um direito de cr´edito a partir de uma data espec´ıfica. Os exemplos de t´ıtulos mais comuns s˜ao as duplicatas, notas promiss´ oria, letras de cˆambio, cheques e etc. O problema dos t´ıtulos ´e que nem sempre podemos resgata-lo (ou seja, tomar o cr´edito que ele confere) no momento em que necessitamos. Ent˜ao se uma pessoa possuir um t´ıtulo de cr´edito e a necessidade de resgata-lo antes da data espec´ıfica ter´a de efetuar um processo chamado de transferˆ encia da posse do t´ıtulo. Esse processo nada mais ´e do que a venda do t´ıtulo. Quando vendemos um t´ıtulo recebemos em troca o valor do t´ıtulo diminu´ıdo de um certo valor, que ´e o desconto. Portanto, o desconto ´e o abatimento que se faz quando o t´ıtulo de cr´edito ´e negociado antes do vencimento. Esse abatimento ´e feito em fun¸c˜ao da taxa de desconto e ´e chamado de desconto comercial2 ).
DESCONTO COMERCIAL Desconto comercial ou desconto por fora ou desconto banc´ario ou simplesmente desconto (D) ´e o abatimento efetuado sob o sistema de juros simples aplicado sobre o valor nominal (N ) em fun¸c˜ao de sua liquida¸c˜ao antecipada. O desconto comercial ´e amplamente utilizada no mercado, em opera¸c˜ oes de curto prazo. D = N dn onde: N ´e o valor nominal; d ´e a taxa de desconto; n ´e o per´ıodo de antecipa¸c˜ao do t´ıtulo. O Valor Nominal (N ) e o valor que o t´ıtulo tem se resgatado na data combinada.
Exemplo 1: Um cheque pr´e-datado de R$ 300,00 para daqui 53 dias ´e descontado comercialmente hoje `a taxa de 14% ao ano. Pergunta-se, qual o desconto concedido? 1 Licenciado
em Matem´ atica e especialista em Matem´ atica Financeira. motivo pelo qual chamamos o desconto de desconto comercial e n˜ ao simplesmente de desconto ocorre por que existe uma segunda forma de desconto chamado de desconto racional, entretanto esse desconto n˜ ao ´ e usado na pr´ atica existindo apenas teoricamente. Por esse motivo n˜ ao trataremos dele por aqui. 2O
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Solu¸ c˜ ao: Dados: N = 300,00 d = 14% a.a. = 0,14 n = 53 dias ou 53/360 ano. Usando a express˜ao para o c´alculo do desconto. D = N dn 53 ⇒ D = 300, 00 · 0, 14 · 360 ⇒ D = 6, 18 Ou seja, o valor pago pelo cheque foi de R$ 293,82.
VALOR ATUAL Chama-se Valor Atual (Va ), Valor L´ıquido ou Valor Descontado a diferen¸ca entre o valor nominal (N ) e o desconto concedido pela liquida¸c˜ao antecipada do t´ıtulo.
Va = N − D ⇒ Va = N − N dn ⇒ Va = N (1 − dn).
Exemplo 2: Calcule o desconto e o valor recebido pelo portador de um t´ıtulo de R$ 100,00 que foi resgatado um mˆes antes do vencimento na taxa de 10% a.m. Solu¸ c˜ ao: O desconto ser´a de R$ 10,00. D = 100, 00 ·
10 · 1 = 10, 00 100
J´a o valor recebido, ou valor descontado, ser´a de R$ 90,00. Va = N (1 − dn) 10 ⇒ Va = 100, 00 1 − ·1 100 ⇒ Va = 90, 00.
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TAXA EFETIVA Al´em do desconto que ´e feito em cima do valor nominal do t´ıtulo quando realizamos a transferˆencia de posse ´e comum que ainda seja cobrados impostos e taxas de servi¸co. Esses descontos por vezes s˜ao deduzidos por meio da taxa de desconto que passa a ser chamada de taxa de desconto efetiva.
Exemplo 3: Uma duplicata de R$ 5000,00 ´e descontada 100 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto ´e de 6% a.m., a taxa de de servi¸co cobrada pelo banco ´e de 2% e considerando ainda um imposto de 0,0042 % a.d., qual o valor l´ıquido e taxa efetiva mensal. Solu¸ c˜ ao Primeiro calculamos o desconto. D = 5000 ·
100 6 · = R$ 1.000,00 30 100
A taxa de servi¸co ´e cobrada sobre o valor nominal da duplicata. Taxa =
2 · 5000, 00 = R$ 100,00. 100
e o IOF tamb´em IOF =
0, 0042 · 5000, 00 · 100, 00 = R$ 21,00. 100
Ent˜ao, o valor que realmente ser´a entregue ´e o valor do t´ıtulo subtra´ıdo do desconto, da taxa de servi¸co e do IOF. 5.000, 00 − (1.000, 00 + 100, 00 + 21, 00) = R$ 3.879,00 Tomando esse valor como valor atual da duplicata ent˜ao:
Va = N (1 − dn) 3879 = 5000(1 − d · 100) d = 0, 22% a.d. ou 6, 73% a.m.
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DESCONTO EM MERCADORIAS At´e o momento falamos do desconto realizado sobre t´ıtulos de cr´edito, entretanto existe tamb´em o desconto realizado sobre mercadorias. Esse tipo de desconto ´e o mais comum, pois estamos cercado de promo¸c˜oes como: compre com 15%, 30% ou 50% de desconto em compras a vista. Ou mesmo, ”na compra com cart˜ao ganhe um desconto de 20,00 reais”, e etc. O valor atual de uma mercadora que sofreu um desconto pode ser obtido simplesmente fazendo n = 1 na f´ ormula, ou seja: Va = N (1 − d)
Exemplo 7: Uma m´aquina de lavar no valor de 500,00 reais sofreu um desconto de 18%. Um mˆes depois sofreu um novo desconto de 5%. Qual foi a percentagem total do desconto sobre o valor original? Solu¸ c˜ ao O valor atual da mercadoria ap´os o desconto de 18% ´e de 410,00 reais. 18 Va = 500, 00 1 − 100 ⇒ Va = 410, 00 Ap´ os um mˆes sofre um novo desconto de 5%, sobre esse novo valor, passando a valer agora 389,5 reais. 5 Va = 410, 00 1 − 100 ⇒ Va = 389, 5 Calculando agora d para esse valor final e com o valor nominal de R$ 500,00 do produto chegamos a solu¸c˜ao. 389, 5 = 500, 00 (1 − d) ⇒ d = 0, 221 Ou seja, o desconto total ´e de 22,1%.
FICANDO DE OLHO O leitor certamente j´a deve ter visto algum outdoor, folheto, cartaz, etc. com os dizeres ”desconto de 30%” ou qualquer outra percentagem. Quando n˜ao acom-
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panhamos o pre¸co de um produto podemos ser enganados por promo¸c˜oes como essas. Isso porque o produto pode sofrer (antes da promo¸c˜ao) um aumento s´ ubito de pre¸co para que durante a promo¸c˜ao volte ao seu valor original. Por exemplo, suponha uma camiseta de 10, reais. Agora imagine que antes de uma ”queima de estoque” a camiseta tenha sua etiqueta mudada para 20,00 reais. Finalmente durante a tal ”queima” ela seja novamente etiquetada a 20,00 reais, porem com desconto de 50%, assim o cliente sairia contente por acreditar que estaria fazendo um excelente neg´ ocio (por acreditar que adquiriu um produto pela metade do pre¸co) quando na verdade est´a pagando o valor original (sem desconto algum) pretendido pela loja. Embora anti ´etica esse tipo de a¸c˜ao ´e at´e comum no com´ercio e por mais triste que isso seja vocˆe deve compreender como isso ´e feito.
Exemplo 8: Um comerciante deseja realizar uma liquida¸c˜ao de 15%. De que valor um produto de R$ 150,00 deve ser aumentado para que depois do desconto anunciado o comerciante receba os mesmos R$ 150,00? Solu¸ c˜ ao Seja ent˜ao x o valor acrescentado aos 150,00 reais, para que ap´os o desconto de 15% tenha se o mesmo valor, ent˜ao o valor nominal (N ) deve ser igual a 150 + x. Va = N (1 − d) ⇒ Va = (150, 00 + x)(1 − d) Como ap´ os o desconto o valor da mercadoria deve permanece o mesmo, ent˜ao Va = 150, 00. 150, 00 = (150 + x)(1 − d) ⇒ 150, 00 = (150, 00 + x)(1 − d) = (150, 00 + x)(1 − 0, 15) ⇒ 150, 00 = (150, 00 + x) · 0, 85 ⇒ x ≈ 26, 47 Assim, para um desconto de 15% o aumento deve ser de R$ 26,47.
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Aulas particulares de
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