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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO ´ CEA 720 - ATERRAMENTOS ELETRICOS ˜ 1 AVALIAC ¸ AO ´ DESCARGAS ATMOSFERICAS E INSTRUMENTOS DE ˜ MEDIC ¸ AO Douglas do Amaral Monteiro
[email protected] Luca Lo Vullo
[email protected]
18 de maior de 2016
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Aterramentos El´etricos
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˜ TEORICA ´ REVISAO
1 1.1
Lei de Coulomb
A lei de Coulomb expressa a magnitude e a dire¸c˜ao da for¸ca que a carga Q1 exerce sobre a outra carga Q2. A f´ ormula que resume isso pode ser dada por 1 Q1 Q2 ~aR F~ = ~ 4π R onde ~aR representa o vetor unit´ ario que aponta na dire¸c˜ao de Q1 para Q2 . Ent˜ ao, a magnitude dessa for¸ca depende do quadrado da distˆancia entre as duas cargas. A dire¸c˜ ao depende da polaridade das cargas. Se Q1 e Q2 tem mesma polaridade, Q1 va repelir Q2 . Se Q1 e Q2 tem diferente polaridade, Q1 va a atrair Q2 .
Figura 1 – Ilustra¸ca ˜o de um campo gradiente
Quando s˜ ao presentes cargas m´ ultiplas o princ´ıpio da superposi¸c˜ao aplica-se com a lei de Coulomb. Qj X Qi Rij F~ = 2 4π Rij i6=j
onde a for¸ca exercida sobre uma das cargas ´e a soma vetorial de for¸cas exercidas sobre a carga por todas as outras acusa¸c˜ oes.
1.2
Campo El´ etrico
Se uma carga q ´e colocada em proximidade de uma carga Q, podemos utilizar a lei de Coulomb para determinar a for¸ca que Q exerce sobre q. Podemos imaginar um campo vetorial, o campo el´etrico, existente em torno Q independente de q. Multiplicando q vezes E daria a for¸ca que Q exerce sobre q.
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Para obter a express˜ ao do campo el´etrico vamos a utilizar um exemplo de problema: O c´alculo do campo el´etrico a uma distˆ ancia r longe de uma infinitamente longa linha de carga. As contribui¸c˜ oes para o campo de dE infinit´esimo segmentos acima e abaixo de z = 0. Os componentes z do campo E no ponto r apontam em sentidos opostos e se anulam. Os componentes radiais apontam na dire¸c˜ ao r e se adicionam.
dEr =
λrdz λdzcos(θ) = 2 2 4π(r + z ) 4π(r2 + z 2 )
Logo, dE =
2λrdz 3
4π(r2 + z 2 ) 2
Figura 2 – Campo eletrico de uma carga Q a um ponto x
Para determinar o campo de total que deve incluir todos os segmentos de z = 0 at´e ao infinito. Integramos a express˜ ao para dE de 0 a infinito: dET =
2π
λrdz R∞ dz 0
ET =
1.3 1.3.1
3
(r 2 +z 2 ) 2
λ 2πr
Lei de Gauss Forma Integral
Consideramos uma carga completamente cercada e fechada por uma superf´ıcie S. O vector r ponta fora de q, n ´e um vetor unit´ ario normal ao pequeno incremento de ´area dA. Avaliamos agora o seguinte integral de superf´ıcie: I
~ • ~ndA ~= Q E 4π
I
~r~ndA r2
Isso pode ser um integral dif´ıcil de avaliar por uma superf´ıcie de forma arbitr´aria. No entanto, podemos notar em primeiro lugar que o integral de superf´ıcie pode ser reescrito como um integral do angulo s´ ˆ olido atrav´es de uma superf´ıcie fechada: I
~ • ~ndA ~= Q E 4π
2
I dΩ
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O incremento do ˆ angulo s´ olido dω ´e realmente apenas uma vers˜ao 3 − dimensional de um incre´ relativamente f´acil demostrar que o integral de angulo s´olido atrav´es de uma mento do angulo d. E superf´ıcie ´e 4π. Consideramos uma esfera: I dΩ =
4πr2 → r2
I dΩ = 4π
Figura 3 – Lei de Gauss
Retomando a integral de superf´ıcie do campo el´etrico: I
~ • ~ndA ~= Q E 4π
I
Q4π dΩ = ⇒ 4π
I
~ • ~ndA ~=Q E
A integral de superf´ıcie do campo el´etrico sobre uma superf´ıcie que encerra uma carga q ´e a carga Q dividida por - a forma integral da lei de Gauss. A forma da superf´ıcie ´e irrelevante caso saiba-se, de antecipa¸c˜ ao, o valor de carga existente em seu interior. Para c´alculos da carga interna a uma superf´ıcie ´e extremamente desej´ avel que haja simetria na forma da superf´ıcie escolhida.
1.3.2
Forma Diferencial
Voltamos para a forma integral da Lei de Gauss. Pelo Teorema da Divergˆencia, temos que a Integral do fluxo sobre uma superf´ıcie fechada de um campo vetorial F ´e a integral da divergˆencia do volume dessa superf´ıcie: ZZ
~ • dA ~= E
ZZZ
S
~ · EdV ~ ∇
V
Uma superf´ıcie S cont´em um volume V. Podemos usar o teorema da divergˆencia para escrever o integral de superf´ıcie do campo el´etrico como um integral de volume do produto escalar do campo el´etrico. A carga fechada pela superf´ıcie ´e apenas o integral de volume da densidade de carga de volume. Combinando estas duas express˜oes, ent˜ao ZZZ
~ · EdV ~ ∇ =
ZZZ ρv dV
V
V
ZZZ
ZZZ
~ · EdV ~ ∇ −
V
ρv dV = 0 V
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ZZZ
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~ ·E ~ − ρv )dV = 0 (∇
V
A fim de que os dois integrais de volume sejam iguais para um volume arbitr´ario, os termos dentro dos integrais deve ser idˆenticos. Logo, ~ ·E ~ − ρv ) = 0 ⇒ ∇ ~ ·E ~ = ρv (∇ Finalmente, ~ ·E ~ =q ∇
1.4
Potencial El´ etrico
Para entender corretamente este conceito, ´e necess´ario ter familiaridade com outros dois conceitos fundamentais, ligados a este: o conceito de fun¸c˜ao escalar e o de gradiente. Destes dois conceitos, podemos estabelecer o conceito de gradiente de fun¸c˜ao escalar, muito importante para o estudo do potencial el´etrico. A fun¸c˜ ao escalar pode ser definida como uma senten¸ca matem´atica que recebe valores dependentes (geralmente coordenadas) e retornam um valor espec´ıfico associado a estes dados de entrada. Por ´ sabido que a densidade do ar, D, na atmosfera diminui em exemplo, imagine a atmosfera terrestre. E fun¸c˜ ao da altitude, ou seja depende da distˆancia d da superficial. A esse altitude, pode-se associar uma coordenada tal que com o computo de seus dados seja poss´ıvel determinado valor de densidade. Em outra palavras, uma fun¸c˜ ao escalar, composta de valores de entrada x, y e z, ou seja, a posi¸c˜ ao, pode ser definida de tal forma que seja poss´ıvel encontrar o valor da densidade, D, nesse ponto. Matematicamente, temos
D = ρ = f (x, y, x)
Como exemplo, vamos assumir que a densidade atmosf´erica varie apenas com a altura, esta representada unicamente pela coordenada z. A fun¸c˜ao escalar que representa a densidade atmosf´erica ser´ a D(x, y, x) = z Se for tomada a derivada parcial dessa fun¸c˜ao, com rela¸c˜ao a x, y e z, obteremos a quantidade de varia¸c˜ ao da densidade respectiva a cada coordenada, ou seja, o resultado ser´a um vetor coordenado. A dire¸c˜ ao da soma dessas componentes, ou seja, o vetor resultante, apontar´a na dire¸c˜ao de maior varia¸c˜ ao da fun¸c˜ ao. A este campo vetorial damos o nome de campo gradiente. Observe o car´ ater vetorial do gradiente.
∇D =
∂D ∂D ∂D ax + ay + az ∂x ∂y ∂z
Para a nossa fun¸c˜ ao exempto, D = z, o campo gradiente resultante seria
∇D = 0ax + 0ay + 1az ∇D = 1az onde a magnitude do vetor resultante indica a m´axima taxa de varia¸c˜ao da densidade e o vetor unit´ ario a dire¸c˜ ao em que essa taxa varia. 4
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Figura 4 – Ilustra¸ca ˜o de um campo gradiente
Com estes dois conceitos definidos, pode-se compreender melhor o potencial el´etrico. Atrav´es de experiˆencias ao longo da hist´ oria foi permitido observar que o campo el´etrico ´e um campo conservativo, ou seja, que o trabalho exercido para movimentar qualquer carga ao longo de um caminho fechado sob a¸ca˜o desse campo ´e zero, ou seja, I W =
~ =0 F~ • dL
Sabemos que todo campo conservativo F~ possui fun¸c˜ao potencial f tal que o seu gradiente seja a pr´ opria fun¸c˜ ao f . Logo, podemos afirmar que o campo el´etrico possui fun¸c˜ao potencial, que chamaremos de V . Esta ´e uma caracter´ıstica particularmente u ´til, visto que podemos calcular o trabalho realizado para deslocar uma carga de um ponto a a um ponto b apenas conhecendo os pontos inicial e final do caminho, pois
Z W = Vab =
b
~ • dL ~ = V (b) − V (a) E
a
~ a Dados dois pontos, ~r1 e ~r2 distantes ~r um do outro, sujeitos a a¸c˜ao de um campo el´etrico E, diferen¸ca de potencial entre ambos pode ser encontrada por,
Z
~ r2
V =−
~ • dL ~ E
~ r1
Como ~ = E
Q ~ar 4π0 r2
O potencial fica Z
~ r2
Q ~a • [dr ~ar + rdθ ~aθ + rsenθ ~aφ ] 2 r 4π 0 |r| ~ r1 Z ~r2 Q Q Vab = − ⇒ Vab = 2 4π |r| 4π 0 0 r ~ r1
Vab = −
Esta ´e a fun¸c˜ ao potencial do campo el´etrico, para a referencia, V (b), no infinito, sendo zero. Dizer que esta ´e a fun¸c˜ ao potencial do campo el´etrico equivale a afirmar que o gradiente dessa fun¸c˜ ao potencial ´e o pr´ oprio campo el´etrico E. A express˜ao acima foi calculada para o caso em que temos apenas uma u ´nica carga pontual. Caso seja necess´ario calcular o potencial el´etrico em um ponto P, devido a um conjunto de cargas, pelo principio da superposi¸c˜ao, apenas deve-se somar a contribui¸c˜ ao individual de cada uma. Abaixo est˜ ao as express˜oes para superf´ıcies e volumes de cargas. 5
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• Conjunto de cargas
Figura 5 – Conjunto de Cargas
V (r) =
1 X qi 4π0 i |~r − ~ri |
• Superf´ıcie
Figura 6 – Superf´ıcie de cargas
1 V (r) = 4π0
Z S
σ(~r0 ) dA |~r − ~r0 |
• Volume
Figura 7 – Conjunto de Cargas
1 V (r) = 4π0
6
Z S
ρ(~r0 ) dV |~r − ~r0 |
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1.5
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Equa¸c˜ oes de Poisson e Laplace
Atrav´es das rela¸c˜ oes da Lei de Gauss do campo el´etrico na forma diferencial e do campo el´etrico, expresso como o gradiente da fun¸ca˜o potencial, podemos chegar `a equa¸c˜ao de Poisson e desta, ` a ~ = E, ~ ent˜ao ~ ·E ~ = ρ e que ∇V equa¸c˜ ao de Laplace. Temos que ∇ 0 ~ · (−∇V ~ )= ρ ∇ 0 ~ · ∇F ~ =∇ ~ 2 F , logo Matematicamente, sabe-se que ∇ ~ 2V = − ρ ∇ 0
Para o caso em que n˜ ao h´ a carga no espa¸co, temos a equa¸c˜ao de Laplace ~ 2V = 0 ∇
2 2.1
˜ APLICAC ¸ OES Instrumentos de Medi¸c˜ ao para Descargas Atmosf´ ericas
Existem dois tipos b´ asicos de instrumentos de medi¸c˜ao: os de medi¸c˜ao lenta e medi¸c˜ao r´ apida. Nesta se¸c˜ ao ser˜ ao abordados exemplos de cada caso.
2.1.1
Electric Field Mill
Funcionamento Usado para medir campos el´etricos est´aticos e que variam lentamente no tempo. Referindo-se ` a figura; Os sensores s˜ ao cobertos por uma placa ligada `a terra em rota¸c˜ao. A placa rotativa ´e entalhada de modo que os sensores s˜ ao periodicamente expostos e cobertos (blindados) do campo el´ectrico do ambiente. A figura a seguir mostra as correntes fluindo para dentro e para fora da placa do sensor em resposta a um campo E incidente.
Figura 8 – Electric Field Mill
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A placa do sensor ´e coberta no ponto 1. No ponto 2, o sensor ´e descoberto e assumimos o campo ambiental ponta para cima (em dire¸c˜ao a carga negativa na parte inferior de uma tempestade talvez). A carga positiva flui at´e a placa do sensor. A corrente flui a partir do sensor no ponto 3, porque o sensor foi coberto e protegido do campo E. Pontos 4 e 5 s˜ao semelhantes, exceto a polaridade do campo E foi alterada. Observe os sinais de corrente em pontos 2 e 5 s˜ao os mesmos, embora as polaridades de campo s˜ ao invertidos. A fim de determinar a polaridade do campo E incidente, tem de se observar quando o sensor ´e coberto e descoberto. ´ uma quest˜ E ao relativamente simples relacionar a amplitude da corrente de sinal a intensidade do campo E incidente. Na superf´ıcie de um condutor: E=
σ
AE = Aσ = Q I=
dQ dA dE = E + E dt dt dt
Se integra a corrente (ligando o sensor atrav´es de um capacitor para a terra) se obt´em uma tens˜ ao de sa´ıda que ´e proporcional ` a E: Z EA 1 Idt = V = C C
Detec¸ c˜ ao e Resultados Olhamos para alguns registros de campo E t´ıpicos obtidos com um Electric field mill. Os dados s˜ ao provenientes da Kennedy Space Center field mill network. O primeiro registro ´e interessante porque mostra a transi¸c˜ ao da claro a tempesta de campos el´etricos.
Figura 9 – Resultados de medi¸co ˜es em dia tempestivo
No in´ıcio do registro os campos s˜ao cerca de 200 V / m. O campo cruza zero em cerca de 20:39:00 GMT e aumenta em amplitude, eventualmente, atingindo cerca de -2500 V / m. As transi¸c˜oes abruptas s˜ ao causadas por um raio. Observe que o eixo vertical ´e rotulado gradiente de potencial em vez de campo el´ectrico. Isso traz uma situa¸c˜ao confusa em rela¸c˜ao polaridades do campo el´etrico que tem de estar ciente.
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Figura 10 – Campo eletrico de uma carga Q a um ponto x
A figura ` a esquerda corretamente mostra o campo E apontando para baixo em dire¸c˜ao a carga negativa na superf´ıcie da terra durante o tempo claro. O campo E inverte a dire¸c˜ao durante um temporal. O principal centro de carga negativa na nuvem faz acumular a carga positiva no ch˜ ao durante a tempestade. Os campo E ponta para cima. Um f´ısico iria considerar o campo durante bom tempo ser polaridade negativa porque aponta para baixo e chamaria o campo durante tempestade positivo. Algu´em da atmospheric electricity community pode se referir ao campo durante bom tempo como positivo e chamaria o campo durante mau tempo negativo. Esta ´e uma fonte de confus˜ao. Hoje eletricistas atmosf´ericos quer simplesmente usar a conven¸c˜ao f´ısica ou referir-se ao gradiente de potencial, em vez de o campo el´etrico. Com bom tempo um campo E negativo (conven¸c˜ao f´ısica) e um gradiente de potencial positivo s˜ao coerentes.
2.1.2
Flat Plate Antenna
Funcionamento Para os casos em que h´ a a necessidade de se fazer a medi¸c˜ao da brusca varia¸c˜ao do campo el´etrico, geralmente, fato decorrido de uma descarga el´etrica, um aparelho muito utilizado ´e o Flat Plate Antenna. Este dispositivo funciona de forma semelhante ao Electric Field Mill com a diferen¸ca de n˜ ao haver a necessidade de obstru¸c˜ ao dos detectores periodicamente. A figura abaixo mostra a configura¸c˜ ao b´ asica deste instrumento.
Figura 11 – Flat plate antenna
´ importante salientar que o aparelho deve estar nivelado com o solo, a fim de se evitar que E o campo el´etrico na sua superf´ıcie sofra algum tipo de intensifica¸c˜ao em fun¸c˜ao da altura. Caso o aparelho estivesse a uma certa altura, seria necess´ario calcular o fator de intensifica¸c˜ao, que seria considerado nos c´ alculos da medi¸c˜ ao. A forma utilizada por este equipamento para efetuar a medi¸c˜ ao do campo el´etrico atmosf´erico se faz atrav´es do acoplamento de um capacitor C, medindo-se o valor da tens˜ ao sobre este, atrav´es da integra¸c˜ao da corrente.
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E=
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σ σ → EA = A → 0 EA = Q 0 0
Diferenciando ambos os lados em rela¸c˜ao ao tempo dQ = 0 A dE
Como sabe-se que I =
dQ dt ,
ent˜ ao I dt = 0 A dE
Integrando em ambos os lados, Z
Z I dt =
Finalmente, sabe-se que V =
1 C
R
0 A dE
Idt, portanto Z Z 1 1 I dt = 0 A dE C C V =
0 AE C
De posse deste valor de tens˜ ao ´e poss´ıvel saber o valor do campo el´etrico. Entretanto, h´a alguns problemas. Dependendo da distˆ ancia da ocorrˆencia da corrente de retorno, o sinal a ser detectado pode ser muito pequeno, n˜ ao sendo poss´ıvel visualizar a ocorrˆencia de varia¸c˜ao em um oscilosc´ opio. Por exemplo, para uma distˆ ancia de 100 km, o campo el´etrico na superf´ıcie ´e sabido ser da ordem de 10 V/m. Para esta intensidade de campo, qual devera ser o valor de capacitor de forma obter o valor de 1V de tens˜ ao no oscilosc´ opio? Abaixo seguem os c´alculos.
C=
0 AE 8.85 10− 12 (0.2)10 = V 1 C = 20 pF
Como a impedˆ ancia de entrada de um oscilosc´opio gira em torno de 1 MΩ a constante de tempo (R.C) do circuito formado pelo capacitor e a resistˆencia do instrumento medidor torna-se criticamente pequena, cerca de 20 µs. O problema inverso ocorre para distˆancias consideravelmente pr´oximas, entre o instrumento e o local da corrente de retorno. Para cerca de 100 m, o campo el´etrico superficial ´e da ordem de 10 kV/m. Nesse caso, a varia¸c˜ ao do campo el´etrico ´e grande o suficiente para gerar um sinal relativamente adequado, n˜ ao sendo necess´ ario nenhum ganho extra para detect´a-lo no oscilosc´opio, devido ao seu significativo aumento na constante de tempo. Entretanto, para casos em que a distˆancia ´e pode ser necess´ ario ter uma ´ area superficial menor da antena ou aumentar o valor do capacitor de forma tal que o sinal de sa´ıda n˜ ao se torne excessivamente elevado, n˜ao sendo poss´ıvel assim a sua caracteriza¸c˜ ao.
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Figura 12 – AmpOp utilizado para casar as impedˆ ancias de entrada e sa´ıda do circuito
Uma solu¸c˜ ao comum para este problema, em que a impedˆancia do equipamento auxiliar influencia diretamente na constante de tempo do circuito, ´e comum a utiliza¸c˜ao de um buffer, um tipo especial de amplificador operacional. Este dispositivo extra ter´a a fun¸c˜ao de casar as impedˆancias de entrada e sa´ıda, afim de que a constante de tempo do circuito dependa apenas do valores R e C preestabelecidos.
2.1.3
Esfera Condutora em Campo El´ etrico Uniforme
Consideramos a distor¸c˜ ao de um campo el´ectrico inicialmente Eo uniforme pela presen¸ca de uma esfera condutora n˜ ao carregada. A esfera distorce o campo de tal forma que as linhas de campo s˜ ao em todos os lugares normal ` a superf´ıcie do condutor. Escolhendo a origem do nosso sistema de coordenadas, no centro da esfera,usamos coordenadas polares esf´ericas, h´a uma simetria azimutal, de modo que o potencial e o campo el´etrico dependem somente de r e q.
Figura 13 – Linhas equipotenciais de uma esfera condutora sob a¸ca ˜o de um campo externo E. Imagem gerada com o Computable Documment Format (CDF)
Podemos proceder para resolver a equa¸c˜ao de Laplace para o potencial, Φ, sujeita `as condi¸c˜ oes de contorno que s˜ ao: 1 δΦ =0 r δΘ δΦ Er = − =0 δr
Eθ = −
em que r = a em que r → ∞
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Em coordenadas esf´ericas: Div 2 Φ = 0
Assume forma: 1 δ 2 δΦ 1 δ δΦ [r ]+ 2 [sin θ ] = 0 2 r δr δr r sin θ δθ δθ δ 2 δΦ 1 δ δΦ [r ]+ [sin θ ] = 0 δr δr sin θ δθ δθ
Assumindo que as vari´ aveis s˜ ao separ´aveis, procuramos uma solu¸c˜ao geral da forma: Φ(r, θ) = R(r)T (θ)
Tentamos uma fun¸c˜ ao T (θ) da forma: T (θ) = cos θ Φ(r) = R(r) cos θ
Agora, inserimos isso em nossa equa¸c˜ao diferencial original, encontramos: cos θ
R d d 2 dR [r ]+ [sin2 θ] = 0 dr dr sin θ dθ r2
dR d2 R + 2r − 2R = 0 dr dr
Agora, vamos tentar uma solu¸c˜ ao para a equa¸c˜ao R da forma: R(r) = Krn
Quando substitu´ımos este na equa¸c˜ao diferencial obtemos: [n(n − 1) + 2n − 2]Krn = 0 n2 + n − 2 = 0 n = 1, n = −2
Agora uma solu¸c˜ ao geral ser´ a da forma: R(r) = Ar + Φ(r, θ) = (Ar +
B , e r2
B ) cos θ + cos t r2
onde A e B devem ser determinadas a partir das condi¸c˜oes de fronteira. 12
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Agora, Er = −
δΦ 2B = −(A − 3 ) cos θ δr r
Aplicando a condi¸c˜ ao de contorno como r vai para o infinito: Er(r→∞) = E0 cos θ −A cos θ = E0 cos θ A = E0
e aplicando a outra condi¸c˜ ao de contorno: (E0 +
B ) sin θ = 0 a3
B = E0 a3
A nossa fun¸c˜ ao potencial ´e agora: Φ = Φ0 + (−r +
a3 )E0 cos θ r2
r≥a
r≤a
Φ = Φ0
Com este Φ nossos componentes de campo el´ectrico s˜ao os seguintes: 2a3 δΦ = (1 + 3 )E0 cos θ δr r
r≥a
1 δΦ a3 = −( 3 )E − 0 sin θ r δΘ r
r≥a
Er = − Eθ = −
Figura 14 – Esfera condutora sob a¸ca ˜o de campo externo E. Imagem gerada com o Computable Documment Format (CDF)
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A densidade de carga de superf´ıcie ´e: σ(θ) = Er(r=a) = 3E0 cos θ Este valor d´ a uma ideia aproximada de como o campo ´e alterado na vizinhan¸ca da esfera. As linhas de campo E deve cruzar a esfera perpendicularmente. O campo ´e amplificado por um fator igual a trˆes, nas partes superior e inferior da esfera.
2.1.4
Intensifica¸ c˜ ao de Campos - ”O Poder das Pontas”
Mais conhecido informalmente como ”Poder das Pontas”, o efeito de intensifica¸c˜ao do campo el´etrico, em regi˜ oes com raio de curvatura muito grande, ´e de singular importˆancia para entender o comportamento condutivo de barras de aterramento ou mesmo nos projetos de prote¸c˜ao contra descargas el´etricas, onde um campo el´etrico de alta intensidade em determinados locais pode ser desej´ avel. Sabe-se que uma esfera carregada uniformemente possui campo el´etrico resultante tal que este ´e perpendicular ` a sua superf´ıcie, dependente somente da distancia r do ponto. O potencial el´etrico na regi˜ ao externa ` a esfera produzir´ a superf´ıcies equipotenciais no mesmo formato da esfera, tal como mostrado na Figura 7, abaixo (2D). Quanto mais pr´oximo da esfera, maior o valor do campo el´etrico (Figura 8).
Figura 15 – Linhas de potencial de uma esfera uniformemente carregada
Como mostrado na se¸c˜ ao anterior, para o caso em que uma esfera nao inicialmente carregada ´e posta sob a a¸c˜ ao de um campo el´etrico externo, o campo el´etrico torna-se mais elevado no topo de fundo da esfera, fazendo com que as linhas de potencial se tornam mais pr´oximas nessa regi˜ao. Este efeito pode ser melhor explicado atrav´es da analise de duas esferas de raios a e b, de cargas Q e q, respectivamente, sendo a >> b. Calculando o potencial de cada esfera, chega-se as express˜oes Va =
Q 4π0 a
Vb =
q 4π0 b
e
Conectando as esferas, de forma que ambas estejam sob o mesmo potencial (e desprezando a reorganiza¸c˜ ao de cargas) obtemos Va = Vb =
Q q = 4π0 a 4π0 b
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Va = Vb =
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Q q = a b
Como sabemos, as densidades de cargas superficiais s˜ao dadas por σa Aa = Q e σb Ab = q, onde Aa = 4πa2 e Ab = 4πb2 logo, σ a Aa σ b Ab σa 4πa2 σb 4 πb2 = ⇒ = a b a b σa a = σb b σb σa = b a
De onde temos que σ = 0 E, portanto 0 E a 0 Eb = b a
⇒
Ea Eb = b a
Finalmente, Eb a = Ea b O campo el´etrico na esfera menor ´e ab vezes maior que da esfera de raio a. Este ´e um efeito de fundamental importˆ ancia para algumas aplica¸c˜oes, e sobre tudo, e deve ser considerado na eletriza¸c˜ ao de corpos met´ alicos. A figura abaixo mostra um mapping da intensidade do campo el´etrico em torno de uma estrutura esferoidal.
Figura 16 – Campo el´etrico e linhas de potencial nas proximidades da superficie de um objeto esferoidal. Imagem gerada com o Computable Documment Format (CDF).
Assim, podemos concluir que quando se deseja manter um objeto met´alico eletrizado, deve-se observa a forma se sua superf´ıcie, evitando partes ponte agudas. Estas partes, por terem um elevado valor de campo el´etrico tendem a descarregar o objeto mais facilmente atrav´es da ruptura diel´etrica
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do ar, que ocorre quando o potencial el´etrico da superf´ıcie supera o ar ao seu redor, ocasionado fa´ıscas el´etricas. Casos em que ´e desej´ avel que haja campo el´etrico intenso devido ao poder das pontas s˜ ao vistos comumente em projetos de sistemas de prote¸c˜ao contra descargas atmosf´ericas (SPDA), onde ´e de extrema importˆ ancia que o eletrodo de capta¸c˜ao (”para-raio”) seja capaz de gerar um campo el´etrico em sua ponta de tal forma que capaz de ”atrair”uma descarga nuvem-solo.
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Conclus˜ ao
Neste estudo, pode-se concluir a grande importˆancia existente em conhecer princ´ıpios eletromagn´eticos, especialmente no contexto atmosf´erico. Atrav´es de instrumentos de medi¸c˜ao relativamente simples ´e poss´ıvel conhecer o valor do campo ele trico pr´oximo a superf´ıcie, e com isso, fazer analises mais pertinentes da influencia da varia¸c˜ao de tais campos na sociedade. Por exemplo, com a detec¸ca˜o de varia¸c˜ ao do campo ao longo de algumas horas ´e poss´ıvel prever poss´ıveis acontecimentos estereol´ ogicos, como tempestades, que geralmente vem acompanhadas de trovadas. Estas ocorrˆencias podem ser um fator fundamental no planejamento do funcionamento de empresas e aeroportos, em que tal situa¸c˜ ao podem trazer riscos considerados aos voos.
Referˆ encias [1] VISACRO F., S. Descargas atmosf´ericas: uma abordagem de engenharia. 1a edi¸c˜ao. Belo Horizonte: Artliber Editora, 2005. 272 p. [2] http://www.atmo.arizona.edu/students/courselinks/spring13/atmo589/ATMO489 online/, acessado em 15 de maio de 2016. [3] FEYNMAN, R., P.; LEIGHTON, R., B.; SANDS, M. Lectures on Physics. v. 2. AddisonWesley, Publishing Company, 1964. [4] BRESSAN, G.; GENNARO, V.; GIAIOTTI, D., B.; STEL, F. GroundMeasurements of the Earth Eletric Field. Friulian Journal of Science , 2004 [5] http://demonstrations.wolfram.com/SpheroidalProtrusionInAUniformElectricField/, acessado em 14 de maio de 2016. [6] http://demonstrations.wolfram.com/DielectricSphereInAUniformElectricField/, acessado em 14 de maio de 2016.
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