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1. Introdução.
O conceito de função que hoje pode parecer simples é o resultado de uma lenta e longa evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilônicos utilizaram tabelas de quadrado e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com seu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava claramente definido. Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande impulso a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar e determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. Por outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a “criação” de novas curvas, imagens geométricas de funções já definidas por relações entre variáveis. Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto, para determinar uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a reta PQ secante à curva, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta tangente à curva no ponto P. Estas idéias constituíram o embrião do conceito de derivada e levou Laplace a considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido. Só no séc. XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e o conceito de derivada, a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade aos mais diversos campos da ciência.
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2. A Reta Tangente e a Derivada. 2.1 – Reta Tangente. Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. Limites do tipo ( )– ( ) −
lim →
ocorrem de modo natural tanto na geometria como na física. Consideremos, por exemplo, o problema de definir a reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). Evidentemente, tal reta deve passar pelo ponto (p, f(p)); assim a reta tangente fica determinada se dissermos qual deve ser seu coeficiente angular. Consideremos, então, a reta que passa pelos pontos (p, f(p)) e (x, f(x), conforme figura 2.1.
y
f
sx f (x) f(x) - f(p)
f(p) x-p
x Figura 2.1 – Reta Secante ao gráfico de .
Coeficiente angular de
=
( )
( )
∙
Quando x tende a p, o coeficiente angular de ′(
) = lim →
tende a f’(p), onde ( )– ( ) ∙ −
Observe que f’(p) (leia: f linha de p) é apenas uma notação para indicar o valor do limite acima. Assim à medida que x vai se aproximando de p, a reta vai tendendo para a posição da reta T da equação − ( )=
′(
)( − ).
(1)
3
y
f
T
p
x
x
Figura 2.2 – Reta Tangente ao gráfico de .
É natural, então, definir a reta tangente em (p, f(p)) como sendo a reta de equação (1). Suponhamos, agora, que s=f(t) seja a equação horária do movimento de uma partícula vinculada a uma reta orientada na qual se escolheu uma origem. Isto significa dizer que a função f fornece a cada instante a abscissa ocupada pela partícula na reta. A velocidade média ( ) ( ) da partícula entre os instantes e t é definida pelo quociente ∙ A velocidade (instantânea) da partícula no instante v(t ) = lim →
é definida como sendo o limite
( )– ( ) ∙ −
Esses exemplos são suficientes para levar-nos a estudar de modo puramente abstrato as propriedades do limite lim →
( )– ( ) ∙ −
2.2 - Derivada de uma Função. Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. O limite lim →
( )– ( ) −
quando existe e é finito, denomina-se derivada de f em p e indica-se por f’ (p) (leia: f linha de p).
Assim, ( )– ( ) ∙ → − Se f admite derivada em p, então diremos que f é derivável ou diferenciável em p. Dizemos que f é derivável ou diferenciável em A ⊂ se f for derivável em cada p ∈ A. Diremos simplesmente, que f é uma função derivável ou diferenciável se f for derivável em cada ponto de seu domínio. ′(
) = lim
4
Observação: Segue das propriedades dos limites que lim →
( )– ( ) ( + ℎ) − = lim → − ℎ
( )
∙
Assim, ( ) = lim →
( )– ( ) −
′
( ) = lim →
( + ℎ) − ℎ
( )
∙
Conforme vimos na introdução a reta de equação − ( ) = ′ ( )( − )é, por definição,a reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). Assim, a derivada de f em p, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p. Exemplos. 1 - Seja f(x) =
. Calcule:
a) f’ (1) b) f’ (x) c) f’ (-3) Solução: ) f ′ (1) = lim →
( )– (1) = lim → −1
Assim, f’(1) = 2. (A derivada de f(x) = ) ′( ) = lim →
Como ( + ℎ) − ℎ
=
−1 = lim( → −1
+ 1) = 2.
, em p=1, é igual a 2.).
( + ℎ )– ( ) ( + ℎ) − = lim → ℎ ℎ
∙
2 ℎ+ ℎ = 2 + ℎ, ℎ ≠ 0 ℎ
Segue que ′( ) = lim(2 + ℎ ) = 2 . →
Portanto, f(x) = ⟹ f’(x)=2x. Observe que f’(x) = 2x é uma fórmula que nos fornece a derivada de f(x) = x real. )Segue de ( )que f’(-3) = 2 (-3) = -6.
, em todo
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2 - Seja f(x) =
. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto:
a) (1, f(1)).
b) (-1, f(-1)).
Solução: a) A equação da reta tangente em (1, f(1)) é y – f(1) = f’ (1) (x –1)
( 1) = 1 = 1 ( ) = 2 (exemplo 1, item b) ⇒
(1) = 2
Substituindo em (1), vem y– 1 = 2(x – 1) ou y = 2x –1. Assim y = 2x –1 é a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) =
, no ponto (1 ,
f(1)). b) A equação da reta tangente em (−1, f(−1)) é y – f(−1) = f’(−1) (x-(−1)) ou y – f(−1) = f’(−1) (x+ 1) f(−1) = (−1) = 1 f’(p) = 2p ⟹f’ (−1) − 1 = −2( + 1)
substituindo esses valores na equação vem = −2 − 1 Que é a equação da reta tangente pedida. y
y = 2x - 1 (1, f(1))
-1
1
x
y = - 2x - 1 Figura 2.3 – gráfico das retas tangentes de nos pontos (1, (1)) e (−1, ( (−1)).
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3 - Seja f(x) = k uma função constante. Mostre que f’(x) = 0 para todo o x. (A derivada de uma constante é zero). Solução: ′(
) = lim →
( + ℎ )– ( ) . ℎ
Como f(x) = k para todo x, resulta f (x + h) = k para todo x e todo h, assim ′(
− ℎ
) = lim →
= lim 0 = 0. →
4 – Calcule a derivada de f(x) = e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y = no ponto x = -1. Qual é a equação da reta tangente nesse ponto? Solução: A inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (c, f(x)) é dada por acordo com a definição de derivada, ′(
′
) = lim →
( ) = lim
(
→
( )=3
= f’(c). De
( + ℎ )– ( ) ( + ℎ) − = lim → ℎ ℎ +3
ℎ + 3 ℎ +ℎ )− ℎ
= lim (3
+3 ℎ+ℎ )
→
∙
Nesse caso, a inclinação da reta tangente à curva y = 3(−1) = 3.
no ponto x = -1 é f’ (-1) =
Para determinar a equação da reta tangente, precisamos também da coordenada y do ponto de tangencia, y=(−1) = -1. Assim, a reta tangente passa pelo ponto (-1, -1) com inclinação três. Usando a forma ponto-inclinação da equação de uma reta, temos: − (−1) = 3 [ − (−1)] y =3x + 2. =
( + ℎ) − ( ) ⇒ ( +ℎ− )
=
( + ℎ) − ℎ
( )
∙
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5 - Encontre a equação da reta normal à curva y =√ − 3 que seja paralela à reta 6x + 3y – 4 = 0. Solução: Seja a reta dada. Para encontrarmos a declividade de, escrevermos sua equação na forma +
reduzida, que é y =−
. Portanto, a declividade de
é −2, e a declividade da reta
normal procurada também é −2, pois suas retas são paralelas. Para encontrarmos a declividade da reta tangente à curva dada em qualquer ( , aplicamos a fórmula (
( ) = lim Δ →
),
+Δ )− ( ) Δ
Com f(x) = √ − 3 obtemos +Δ −3− Δ
( ) = lim Δ →
−3
∙
Para calcularmos esse limite, racionalizamos o numerador. +Δ −3−
( ) = lim Δ →
( ) = lim Δ →
Δ (
−3 ( +Δ −3+
Δ Δ (
+Δ −3+
+Δ −3+
−3
− 3)
− 3)
∙
Dividindo numerador e denominador por Δ , desde Δ ≠ 0, obtemos 1
( ) = lim Δ →
( )=
+Δ −3+ 1
2
−3
−3
∙
Conforme mostramos acima, a declividade da reta procurada é -2. Assim, resolvemos a equação −2 − 3 = -2 resultando = 4. Portanto, A reta procurada é a reta que passa pelo ponto (4, 1) sobre a curva e tem uma declividade –2. Usando a forma ponto-declividade da equação da reta obtemos y –1 = −2(x−4) ou 2x + y −9 = 0. Veja a figura 2.4, que mostra um esboço da curva junto com a reta normal PN em (4, 1) e a reta tangente PT em (4,1).
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N y
T 90° P(4,1)
X
Figura 2.4 – Gráfico da Reta Normal a curva
= √ − 3.
6 - Calcule a derivada de ( ) = √ e use o resultado para determinar a equação da reta tangente à curva y = √ no ponto x = 4. Solução: A derivada de
= √ em relação à x é dada por:
√ = lim
( + ℎ) − ( ) √ +ℎ−√ = lim → ℎ ℎ
√ = lim
√ + ℎ − √ (√ + ℎ + √ ) ℎ(√ + ℎ + √ )
→
→
√ = lim →
√ = lim →
+ℎ− ℎ(√ + ℎ + √ ) 1 √ +ℎ+√
=
= lim →
1 2√
ℎ ℎ(√ + ℎ + √ )
∙
Para x = 4, a coordenada correspondente y no gráfico de y = √ é y = √4 = 2; então, o ponto de tangência é P(4, 2). Como f’(x) = 1/2√ , a inclinação da reta tangente à curva de f(x) no ponto P (4, 2) é dado por f’(4) =
√
=
. Usando a forma ponto-inclinação da
equação de uma reta, descobrimos que a equação da reta tangente no ponto Pé
− 2 = ( − 4) ou
=
+ 1.
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7 - Seja ( ) = ( ) = √ . Calcule f’(2). Solução: ′(
2) = lim →
( )– (2) √ − √2 = lim ∙ → −2 −2
Assim, ′(
2) = lim →
1 1 √ − √2 = lim = ∙ → √ + √2 2√2 √ − √2 (√ + √2)
Isto é, ′(
2) =
1 2√2
∙
3. Regras de Derivação. 3.1. Derivada da Função Constante. Se c é um número constante e é a função constante definida por ( ) = , então f é diferenciável para todo número e ’ é a função definida por ’( ) = 0. Prova: ′(
) = lim Δ →
( +Δ )− ( ) − = lim = lim 0 = 0. Δ → Δ → Δ Δ
Exemplos. 1 - Seja f uma função constante definida pela equação ’( ) = 5 +
. Calcule ’.
Solução: Pela regra da Constante, ’ é a função definida pela equação ’( ) = 0.
2 - Calcule
5 + √3 .
Solução: Pela regra da Constante,
(5 + √3) = 0.
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3.2. Derivada da Função Potência. Seja n um número inteiro maior que 1 e seja f a função definida por ( ) = f é diferenciável para todo número e ’ é a função definida por ′(
)=
’’. Então
.
Prova: A prova se processa por indução matemática, iniciando com n = 2. Para n = 2 temos, pelas regras do produto e da identidade, ′(
)=
( ′(
)= )=
( . ) = .( +
=2 =2
)+(
)
;
Assim o teorema é válido quando n = 2. Agora, assumindo que n é maior que 2 e que o teorema seja válido para expoentes menores que n, os Teoremas 4 e 2 implicam que ′(
)=
′(
)=
(
)=
(
. )=
+ [( − 1)
( )=
].
.( =
)+( + ( − 1)
.
Exemplos. 1 - Seja ( ) = 4 √
encontre ’( ).
Solução: ( )=4 ( )=4. ( )=
8 3
=
8 3
2 - Seja ℎ( ) = √2
=
8 3√
∙
− 4 + 5, encontre h’(x).
Solução: ℎ( ) = (2
− 4 + 5)
1 ℎ ( ) = (2 2 ℎ( )=
− 4 + 5) (6 3
√2
−2 −4 +5
∙
− 4)
).
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3.3. Derivada da Soma. Sejam f e g funções diferenciáveis em um número x, e seja h = f + g. Então h é diferenciável em e ℎ( )=
( )+
( ).
Prova: ℎ(
ℎ ( ) = lim
+ ∆ )– ℎ( ) ∆
∆ →
ℎ(
) = lim
ℎ(
) = lim
ℎ(
) = lim
ℎ(
) = lim
[ (
+Δ )+ (
∆ →
(
+Δ )− ( )+ ( ∆
∆ →
(
(
∆ →
+Δ )− ( )
+ Δ ) − ( ) g(x + Δx) − g(x ) + ∆ Δx
∆ →
ℎ( )=
+ Δ )] − [ ( ) + ( )] ∆
+Δ )− ( ) + lim → Δ
( )+
(
+Δ )− ( ) Δ
( ).
Exemplos. 1 - Seja ( ) = 3
+8x+5. Calcule a derivada.
Solução: ( ) = 3(4
) + 8.1 + 0
( ) = 12
+ 8.
2 – Seja ( ) = 7
−2
( ).
+ 8 + 5,
Solução: ( )= = 28
(7 −6
−2 +8.
+ 8 + 5) =
(7
)+
(−2
)+
(8 ) +
( 5) =
12
3.5. Derivada da Função Produto. Sejam f e g funções ambas diferenciáveis em um número também é diferenciável em e ℎ ( ) = ( ).
( )+
, e seja ℎ =
∙ g. Então h
( ). ( ).
Prova: ℎ(
ℎ ( ) = lim
+ ∆ ) − ℎ( ) ∆
∆ →
(
ℎ ( ) = lim
+ ∆ ). (
+ ∆ ) − ( ). ( ). ∆
∆ →
Usaremos agora um curioso, mas eficiente artifício algébrico – a expressão ( + ∆ ). ( ) é subtraída do numerador e depois adicionada de novo (o que, é claro, mantém o valor do numerador sem alteração).
O resultado é
ℎ( )= ( = lim
+ ∆ ). (
+∆ )− (
∆ →
ℎ(
) = lim ∆ →
ℎ ( ) = lim →
(
+ ∆ ). ( ) + ( ∆
+ ∆ ) − ( + ∆ ). ( ) ∆ f(x + Δx). g(x ) − f(x ). g(x ) + Δx (
ℎ ( ) = lim ∆ →
+ Δ ). (
+∆ )
(
(
+ Δ ) − ( ) f(x + Δx) − f(x ) + g(x ) ∆ Δx
+ ∆ ) ∙ lim ∆ →
g(x + Δx) − g(x ) f(x + ∆x) − f(x ) + lim ∆ → Δx ∆x
∙ lim g(x ) ∆ →
ℎ(
) = lim ( →
+ ∆ ). ( ) − ( ). ( )
+Δ ) .
( )+
( )
lim
∆ →
( ) ∙
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Desde que, f é diferenciável em
ela é contínua em
.
Assim, lim (
∆ →
+ ∆ ) = lim ( ) = ( ) →
Também desde que g( ) é uma constante, ( )= ( )
lim
∆ →
Segue que, ℎ ( ) = ( ). g (x ) + f (x ). g(x ).
Exemplos. [(3
1 - Calcule
+ 1)(7
+ )] pelo uso da regra da multiplicação.
Solução: [(3
+ 1)(7
+ )] = (3
= (3
+ 1)(21
= (63
+ 24
+ 1) + (42
= 105
+ 30
+ 1.
+ 1)[
+ 1) + (6 )(7 +6
(7
+ )] + [
(3
+ 1)](7
+ )
+ ) )
2 - Suponha que f e g são funções diferenciáveis no número 2 e que f (2) = 1, g(2) = 10, f’(2) = e g’(2) = 3. Se h= f . g, calcule h’ (2). Solução: ℎ(
( ).
( )+
Então: ℎ (2) = (2). Ou
( ). ( )
(2) +
ℎ (2) = (1)(3) +
(2). (2)
(10) = 8.
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3.4. Derivada do Quociente. e suponha que ( ) ≠ 0.
Sejam f e g funções ambas diferenciáveis em um numero Então, se ℎ =
segue que h é diferenciável em
( ).
ℎ( )=
e
( ) − ( ). [( )]
( )
∙
Prova: Note que h = f(1/g); assim pelas regras do produto e da inversa aritmética, ℎ ( ) = ( ). ℎ( )=
− ( ) + [ ( )]
− ( ). ( ) + [ ( )]
ℎ( ) =
( ).
1 ( )
( ).
( ). ( ) [ ( )]
( ) − ( ). [ ( )]
( ) .
Exemplos. 1 - Sendo ( ) =
∙ Calcule ’( ).
Solução: ( )= ( )=
− 5 + 3). (2.4 − 0) − (2 − 3)(2 − 5) ( − 5 + 3) − 5 + 3)(8 ) − (2 − 3)(2 − 5) ∙ ( − 5 + 3)
( (
2 - Calcule ’( ) da função
=
∙
Solução: ( )=
( )=
( )=
(
)′(
2 (
+ 7) − ( ( + 7) + 7) − (3 ( + 7)
14 − ∙ ( + 7)
+ 7)′
)
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4. Derivada da função composta (Regra da Cadeia). Suponhamos que = ( + 5 ) e que desejamos determinar dy/dx. Uma saída é expandir ( + 5 ) e então diferenciarmos o polinômio resultante. Assim, =(
+5 ) =
+ 15
+ 75
+ 125
=6
, então
+ 75
+ 300
+ 375
.
Outro método é fazermos, =
+ 5 , tal que
=
, dy/Du = 3
, du/dx = 2 + 5 .
Então, =
=3
(2 + 5) = 3(
+ 5 ) (2 + 5) = 6
+ 75
+ 300
+ 375
.
O último cálculo produziu a resposta certa, mas existe um detalhe nele. As expressões são apenas símbolos para as derivadas nas quais os “numeradores” e “denominadores” ainda não tiveram nenhum significado quando vistos separadamente, logo não estávamos realmente seguros em supor que
=
. De fato, a legitimidade desse cálculo é garantida
por uma das mais importantes regras de diferenciação em cálculo – a regra da cadeia.
4.1 - A regra da cadeia. Se y é uma função diferenciável de u e se u é uma função diferençável de x, então y é uma função diferenciável de x e =
∙
É claro, a regra da cadeia pode ser escrita na notação de operador como =(
)(
).
Se fizermos y = f(u), onde u é uma função de x, faremos ( )=
( )
.
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Exemplos. (
1 - Calcule
+5 )
.
Solução: Aqui (
=
+ 5 e n = 100, assim
+5 )
= 100(
2 - Se ( ) =
(
)
(
+5 )
+ 5 ) = 100(
+ 5 ) (2 + 5).
( ).
, calcule
Solução: Aqui ( ) = (3 − 1) , então ( )=
( )=
(3 − 1)
= (−4)(3 −1)
( ) = (−4)(3 −1) (3) = −12(3 − 1)
3 - Calcule
(3 − 1)
.
.
Solução: 3 +7
= 10
3 +7
3 +7
= 10
3 +7
3 +7
=
4 - Calcule
3 +7 (
(3 ) (210 − 30 ( + 7)
( )
( ) = (2
+ 7)(3) − (3 )(2 ) ( + 7) )
∙
− 5 + 1) .
Solução: ( ) = −7(2
− 5 + 1) (4 − 5) =
35 − 28 ∙ (2 − 5 + 1)
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[(
5 - Calcule
+ 6 ) (1 − 3 ) ].
Solução: [(
+ 6 ) (1 − 3 ) ] = [
(
[(
+ 6 ) (1 − 3 ) ] = [10( +(
+ 6 ) ](1 − 3 ) + (
+6 ) [
(1 − 3 ) ]
+ 6 ) (2 + 6)](1 − 3 ) + + 6 ) [4(1 − 3 ) (−3)]
[(
+ 6 ) (1 − 3 ) ] = (
+ 6 ) (1 − 3 ) [10(2 + 6)(1 − 3 ) − 12(
[(
+ 6 ) (1 − 3 ) ] = (
+ 6 ) (1 − 3 ) (−72
+ 6 )]
− 232 + 60).
No cálculo de derivadas algumas vezes é necessário usar a regra da cadeia repetidamente. Por exemplo, se y é uma função de v, v é uma função de u, e u é função de x,
Então, =
6 - Seja
=
e
=( 1+
=
, e daí
.
) . Use o fato de que
√ =
e a regra da cadeia para determinar
√
. Solução: Seja
=1+
,
=√
=
, tal que
= (√ ) = (1 +
) .
Assim, = 7 - Calcule
= (3
)
1 2√
[1 + (1 +
(2 ) = 3(√ )
√
=3 √ =3
) ] .
Solução: Usando a regra da cadeia repetidamente, temos [1 + (1 +
) ] = 7[1 + (1 +
) ]
[1 + (1 +
) ] = 7[1 + (1 +
) ] [6(1 +
)
[1 + (1 +
) ] = 7[1 + (1 +
) ] 6(1 +
) (5
[1 + (1 +
) ] = 210
[1 + (1 +
[1 + (1 +
) ] (1 +
) ] (1 +
) .
)
)]
1+
.
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A regra da cadeia é realmente uma regra para a diferenciação da composta f ° g de duas funções. Para ver isso, seja y = f(u) e u = g(x), tal que = ( ) = [ ( )] = ( ° )( ).
=
Desta forma, pela regra da cadeia,
=
( ) ( ) = ′[ ( )] ( ).
Denotando a composta f ° g por h, podemos escrever a regra da cadeia como a seguir:
Se h = f ° g, então h’(x) = (f ° g)’(x) = f’[ ( )] ( ).
Aqui, é claro, estamos assumindo que g é diferenciável no número x e f é diferenciável no número g(x). 8 - Seja ( ) = 4
+ − √2 , ( ) =
−
. Calcule (f ° g)’ (x).
Solução: ( )=4
( )=2
−4
+ 1 ; assim, pela regra da cadeia
( ° )( )=
[ ( )] ′( ) = 4[ ( )]
( ° )( )=4
1 4
−
2 3
+
( )
− √2 .
5. Derivada da Função Inversa. Seja = ( ) uma função que admite inversa seja, ( )= , Aplicando a regra da cadeia, temos (
)( )=
1 ( )
(
)( )=
1 ∙ ( )
Portanto,
Desde que
( ) ≠ 0.
=
( ). Como
=
, ou
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Exemplos. 1 – Seja = ( ) = 5 . Obtenha ( regra da derivada inversa.
) (40) ( ) invertendo a função, e ( ) utilizando a
Solução: =5
(a)
⟹
( )=
=
=
.
Logo, (
)( )=
1 3 5
1 1 . = 5 15 5
.
Portanto, = 40
(b) (
) (40) =
2 – Seja ( ) =
=5
⟹
( ) = 15
= 2. Como
, usando a regra da função teremos
1 1 = ∙ (2) 60
para
> 0. Determine (
) ( ).
Solução: Já que é definida e diferenciavél no intervalo aberto (0, ∞), e como ( ) = 2 ≠ 0 para todos os valores de no intervalo, segue do teorema da função inversa que é inversivél, é diferenciável e ( Válido para todo ( ) = √ . Então (
1
)( )=
[
no domínio de )( )=
( )
( )
=
1 2
( )
∙
. Desde que ( ) =
simplismente significa que
para √ =
> 0, segue que √
.
20
6. Derivada da Função Exponencial. 6.1. Derivada da Função Exponencial Composta. Exemplos. 1 - Determine a derivada da função ( ) =
∙
Solução: De acordo com a regra do quociente, ( )=(
+ 1)(−3
) − (2 )
−3( + 1) − 2 ( − 1)
( )=
− (2 ) −3 − 2 − 3 ∙ ( + 1)
=
2 - Determine a derivada da função ( ) =
.
Solução: De acordo com a regra da cadeia,
( )=
3 - Determine a derivada da função ( ) =
(
+ 1) = 2
.
.
Solução: De acordo com a regra do produto, ( )=
(
)+
( ) = (2
)+
(1) = (2 + 1)
.
6.2. Derivada da Função Exponencial Logarítmica. Exemplos. 1 - Determine a derivada da função
( ) = ln .
Solução: Combinando a regra do produto com a expressão da derivada de ln x, temos ( )=
1 + ln 2
= 1 + ln .
21
2 - Determine a derivada da função. √
( )=
∙
Solução: Como √
=
, temos, de acordo com a regra da potência para logaritmos
( )=
√
=
2 =3
∙
Aplicando a regra do quociente para derivadas, obtemos: 3 2
( )=
(
2 ( )= 3
) −( ( ) 1
−4
2 1−4 3
( )=
)′
∙
3 - Determine a derivada da função ( ) = ( + ln ) . Solução:
( )=
A função tem forma derivadas, obtemos:
, onde u = t + ln t aplicando a regra da potência para
3 2
( )=
=
( )=
= ( +
( )=
=
) aplicando a regra da potência para derivadas, obtemos:
3 2
( )=
3 ( + 2
)
( )=
3 ( + 2
)
( + 1+
1
) .
22
7. Derivada das Funções trigonométricas. Antes de calcular as derivadas das funções trigonométricas, observemos que lim
cos − 1
→
lim
cos − 1
cos − 1
− (cos + 1)
= lim
−
= −1 ∙
0 1+1
→
cos − 1
→
lim
= lim →
→
lim
−1 (cos + 1)
→
→
lim
= lim
cos − 1
→
∙
cos + 1
= 0.
7.1. Derivada da Função Seno. O quociente de Newton da função sen x é ( + ℎ) − ℎ
∙
Para calcular seu limite, desenvolvemos sen (x+h) usando a fórmula do seno da soma de dois arcos. Então temos,
ℎ→0
( + ℎ) − ℎ
= lim
ℎ→0
( + ℎ) − ℎ
= lim
ℎ→0
( + ℎ) − ℎ
= lim
ℎ→0
( + ℎ) − ℎ
=
ℎ→0
( + ℎ) − ℎ
= cos .
Logo, (
) = cos .
∙ cos ℎ +
→
→
ℎ . cos − ℎ
→
∙ (cos ℎ − 1) + sen ℎ ∙ ℎ cos ℎ − 1 + ℎ ∙0+1∙
ℎ ℎ
∙ cos
23
Exemplos. =
1 - Determine a derivada da função =
Solução: =
,
(
).
.
=
= cos . 2 = 2 . cos(
).
( )
=
2 – Determine a derivada da função
( )
∙
Solução: (
’( ) =
(3
’( ) =
−
(
+ +
3
)′
)
3
’( ) = ’( ) =
)
+
+
(
+
∙
3 – Calcule a derivada da função h(x) = h’(x )= (
)
(3 ) + 3
h’(x) = 3 h’(x) = 3
(3 ) +
[
[
(3 )]′ (3 )
(3 ) + cos (3 )].
7.2. Derivada da Função Cosseno. Se y = cos x, então y’ = − sen x. Prova: Seja y = = lim ∆ →
aplicando a definição cos( + ∆ ) − cos ∆
)
∙
(3 ).
24
aplicaremos a fórmula trigonométrica: Cos p – cos q = − 2 sen
. sen
∙
Então,
= lim
+∆ + . 2 ∆
−2
∆ →
2 +∆ 2
y = lim −2 ∆ →
∆ /2 ∆ 2. 2
. lim ∆ →
1 . .1 2
= −2. =−
+∆ − 2
.
Exemplos. = cos (1/x).
1 - Determinar a derivada da função =
Solução:
.
y= cos u, u = (1/x) y’ = (− sen u ) . u’ y’ = [− y’ =
(1/ )]. −1/
sen (1/x).
2 – Determinar a derivada da função
= cos (1/x).
Solução: y= cos u, u = (1/x) y’ = (− sen u ) . u’ y’ = [− y’ =
(1/ )]. −1/
sen (1/x).
=
.
25
( − ). ℓ ( ) , no ponto
=2
3 - Determine a derivada da função Solução: ( ) = 2 cos( − ) . ℓ
;
=
( ) = 2[(cos ( − )) . ℓ
+ cos( − ) . (ℓ
( )=2 −
+ cos( − ) .
( − ). ℓ
( ) = 2 −ℓ
.
( − )+
( ) = 2 −ℓ
.
( − )+
( ) =2 0+
1
=
2
1 1
. cos ( − ) . cos ( − )
∙
7.3. Derivada da Função Tangente. Usando a relação t g = (
)’ =
(
)’ =
(
)’ =
(
)’ =
(
)’ =
.
− +
1 .
Logo, (
)’ =
.
1
obtemos
. (−
)
)′]
= .
26
Exemplos. 1 – Calcule a derivada da função ( ) =
ℓ ( )
∙
Solução: (
( )=
( )=
− 2 ). (5
− 2) . ℓ (ℓ
(5
− 2) ℓ
/
2 – Calcule
( (ℓ =
se
(
−
−2 )∙
) −2 )− )
(
−2 )
4 .
Solução: Como
4 =(
=
= 3(
4 ) , a regra da potência dá
4 ) ∙
4 . =4 ,
Pela fórmula (1) com 4 =(
4 )(4),
E, juntando os vários pedaços, obtemos = 12
4
4 .
7.4. Derivada da Função Cotangente. =
Usando a relação Obtemos, . (−
(
)’ =
(
)’ =
(
)’ =
(
)’ = −
−
)−
−
−1 .
Logo,
(
)’ = −
.
.
∙
1
27
Exemplos. ⁄
1 - Calcule
(1 − 3 ).
se =
Solução: Pela fórmula =− com
= 1−3 , (1 − 3 ). (−3) = 3
=−
(1 − 3 ).
7.5. Derivada da Função Secante. A partir de sec
=
obtemos
. 0 − 1 . (−
(
)’ =
(
)’ =
(
)’ =
(
)’ =
.
.
)’ =
.
.
)
1
.
Logo, (
Exemplos. 1 - Determinar a derivada da função
= sec (
+ 3 + 7).
Solução: =
,
’ = ’ = [
= .
(
’ = (2 + 3)
+3 +7 . ’
+ 3 + 7) . (
(
+ 3 + 7)]. (2 + 3)
+ 3 + 7).
(
+ 3 + 7)
28
7.6. Derivada da Função Cossecante. De
=
vem,
.0 − 1 .
(
)’ =
(
)’ = −
(
)’ = −
.
(
)’ = −
.
1 .
Logo, (
)’ = −
.
.
Exemplos =
1 - Dada a função
. Calcule sua derivada.
Solução: =
,
’ = −
.
. ’ +1 . −1
’ = − ’ =
+1 . −1
=
2 . ( − 1)
2 – Dada
+1 −1 +1 . −1
(−6 ). Calcule
=4
.
−2 ( − 1) +1 . −1
⁄
Solução: = 4. (− = 24
(−6 ). (−6 ).
(−6 ). (−6)) (−6 ).
.
29
8. Derivada das Funções trigonométricas Inversas. 8.1. Derivada arc seno. A função arc seno é, a inversa da função seno. Para que a função seno se tornasse inversível, tomamos o intervalo −
,
para seu domínio e [−1 , 1] para contradomínio.
Assim a função arc seno x é a inversa da função f : −
→ [−1 , 1] dada por y = f (x) =
,
sen x. Usemos então, a letra y para indicar a variável da inversa de f que é a função g(y) = arc seno . Assim, desde que ’( ) =
∈
−
,
, temos
1 ( )
( )= ( )=
≠ 0 ,ou seja ,
1 cos
∙ =
Como
, temos cos
= ± 1−
> 0 , o que exige cos
devemos ter
=
1−
. Sabendo que
∈
−
,
,
. Conseqüentemente ’( ) =
ou (
)’ =
. Usando novamente a letra x para representar a variável da função
arco-seno, temos (
)=
1
∙
√ −
Exemplos. 1 – Dada
=
encontre
.
Solução: Aplicando a fórmula
(
)= =
, obtemos
√
1 1−(
)
(2 ) =
2 √1 −
∙
30
8.2. Derivada arc cosseno. Relembrando: a função f: [0,
]→ [−1 , 1] dada por y = f(x) = cos x é a inversa da
função g(y) = arc cos y.
Logo, desde que f’(x) = −sem x ≠ 0 , ou seja , x ∈ (0 , ),
Temos, 1 ( )
’( ) = ( )=
1
∙
−
=
Como =
, temos
1−
, e sabendo que
∈ [0 , ] , temos,
. ( )=
Assim,
= ± 1−
, ou (arc cos y)’= −
∙
E usando novamente a letra x para indicar a variável da função arc cos, temos (arc cos x)’ = −
∙
√
Exemplos. 1 – Dada ( ) =
√ , encontre
Solução: ( )= =− =−
=−
1
.
√1 − 1
2√ . √1 − 1 2√ −
∙
1 2√
.
31
8.3. Derivada arc tangente. Como a função f: −
,
→ ℝ dada por y = f(x) = tg x é a inversa de g(y) = acr tg y ,
temos, ’( ) = ’( ) =
1 ( ) 1
. Como
=
,
Temos, =1+ =1+
.
Logo, ’( ) =
, ou (
)’ =
)’ =
, ou , ainda ,(arc
∙
Exemplos. 1 – Dada ln( + ) =
encontre
.
Solução: Derivando, implicitamente, os dois membros da equação dada em relação a , obtemos
1 (1 + +
1
)
∙
−
∙
1+
Ou 1+ +
=
− +
∙
Ou +
+(
+
)
=
+
−(
Ou =
− 2 +
+
∙
+
)
.
32
8.4. Derivada arc cotangente. : (0 , ) → ℝ dada por
A função .
=
( ) =
é a inversa de
Logo, 1 ( )
’( ) = ’( ) =
∙ De
=
= 1+
, vem
.
Portanto, ’( ) = − (
ou (
)’ = −
1 1+
)’ = −
ou, ainda,
encontre
.
∙
Exemplos. 1 – Dada
=
Solução: = 3
1 + 3
=3
1 3 − 3 9+
∙
−1 1 1+ 9
∙
1 3
∙
8.5. Derivada arc secante. Como
=
, temos
Logo, (
)’ =
(
)’ = −
1 1 1−
1
.
1
=
∙
( ) =
33
(
1
)’ = −
1− (
)’ =
(
)’ =
(
)’ =
. −
1
1
1 −1 1 √
−1 | | 1
| |.√
∙
−1
8.6 Derivada arc cossecante. =
Como
, temos a
Assim, (
)’ =
(
)’ =
1 1 1−
(
)’ = −
(
)’ = −
(
)’ = −
1
. −
1 1
−1 1 √
−1 | | 1
| | .√
−1
∙
=
∙
34
9. Derivadas Sucessivas ou de Ordem Superior. De um modo geral, se é uma função diferenciável em algum intervalo aberto, então a derivada de é novamente uma função definida neste intervalo aberto e podemos perguntar se é diferenciável no intervalo. Se o for, então sua derivada( ) é escrita, por simplicidade, como "(leia-se “ duas linhas”). Denominamos " de derivada de segunda ordem, ou simplesmente de derivada segunda da função . Por exemplo, se uma partícula se move ao longo de uma reta orientada de acordo com a lei de movimentos = ( ), então são representados na notação simplificada. =
( ),
( ) = "( ).
=
Não existe nada que prove, ao se tomar, sucessivamente, derivadas de uma função tantas vezes quantas forem necessárias, que as funções derivadas permaneçam diferenciáveis em cada estagio. Desta forma, se e uma função e se , "são diferenciáveis num intervalo aberto, nós podemos formar a derivada de terceira ordem, ou derivada terceira, = ( ) ; se, tambem é diferenciável no intervalo, podemos obter a derivada de quarta ordem, ou derivada qurta, = ( ) , e assim por diante. Se pode ser sucessivamente diferenciavel vezes desta forma, dizemos que é vezes diferenciável. Visto que
( )
e uma função constante,todas as derivadas subseqüentes são nulas,
isto é, ( )(
)=0
para
≥ 5.
Assim como para a derivada primeira, nós freqüentemente ignoramos deliberadamente a distinção entre a função derivada de ordem -ésima ( ) ( )e o valor desta função ( ) no ponto x, e ambas são referidas como “a -ésima derivada”. A notação operacional para derivadas de ordem superior é auto-explicativa; sem dúvida, D ( ) significa ( ) ( ). A correspondente notação de Leibniz é induzida como se segue: Se = ( ) tal que
=
( )=
( ),
Então a segunda derivada é dada por
=
( )=
O símbolo
( ). ⁄
para a derivada segunda é incômodo. O tratamento algébrico
formal, como se fosse fração real, converte-se
em (
)
. Os parênteses do denominador
são, na prática, omitidos, e a derivada segunda é escrita como
. Notação análoga é
empregada no das derivadas de ordem superior com se constata pela tabela 1.
35
= ( )
Notação simplificada =
1. derivada primeira
Operador
Leibniz
( )
=
( ) =
( ) =
2. derivada segunda
(
3. derivada terceira
⋮
=
) =
=
(
( )
(
( )
⋮
)=
)=
=
=
( )
)
=
.derivada -ésima
=
( )
=
( )
( )
⋮ (
( )
⋮
( )
=
( )
( )
(
)=
=
( ) =
( )
Tabela 9.1 – Tabela de derivadas de ordem .
Exemplos. 1 – encontre todas as derivadas de ordem superior da função polinomial 8 + 3 − 2 + 4. Solução: ( ) = 60 ( ) = 180
− 24
+ 6 − 2,
− 48 + 6,
( ) = 360 − 48, ( )= ( )=
( )= ( )=
( )
( ) = 360,
( ) = 0.
( ) = 15
−
36
= 2
2 – Se
+
, ache:
.
(a)
(b)
.
(c)
.
Solução: (a)
=
2
(b)
=
4 −
(c)
=
4+
3 – Seja ( ) =
+
=4 + = −
∙
. Ache:
(0).
(a)
=4 −
(b)
(1).
Solução: ( )=
(3 + 2)(2) − (2 − 1)(3) 7 = ∙ (3 + 2) (3 + 2)
e ( )=
7 (3 + 2)
=7
[(3 + 2) ] = −14(3 + 2)
Portanto, ( ) (0) =
7 7 = [3(0) + 2] 4
( )
(1) =
−42 −42 = [3(1) + 2] 125
( )
(0) =
−42 −42 21 = =− ∙ [3(0) + 2] 8 4
( 3 + 2) =
−42 ∙ ( 3 + 2)
37
10. Diferenciação Implícita. Exemplos. 1 – Dada ( + ) − ( + ) =
+
.
encontre
Solução: Diferenciando implicitamente em relação a , temos 2( + )(2 + 2 ) (2 − 2 ) = 4 +4 ∙ do qual obtemos, 2 + 2 + (2 + 2 ) (4 − 4 − −
=
)=4
− 2 + 2 + (2 − 2 )
=4
−2 +2 +
+4
−4
∙
2 – Encontre a equação da reta tangente à curva
+
= 9 no ponto (1, 2).
Solução: Diferenciando implicitamente em relação a , obtemos 3
+3
∙
=0
Portando, =− Portanto, no ponto (1, 2),
= − . Então a equação da reta tangente é: 1 − 2 = − ( − 1) 4
3 – Dada a equação + = 9, encontre: (a) por diferenciação implícita; (b) duas funções definidas pela equação; (c) a derivada de cada uma das funções obtidas na parte (b) por diferenciação implícita; (d) verifique se o resultado obtido na parte (a) concorda com os resultados obtidos na parte (c). Solução: (1) Diferenciando implicitamente, encontramos 2 + 2 (2) Resolvendo a equação dada para , obtemos = √9 −
e
= −√9 −
.
= 0 e assim
=− ∙
38
Seja
a função para a qual ( )=
a função para a qual ( ) = −√9 −
(3) Como
( ) = (9 −
9−
.
.
) usando a regra da cadeia obtemos
1 ( ) = (9 − 2
)
(−2 ) = −
√9 −
∙
Analogamente, obtemos ( )=
(4) Para
=
( ) onde
( ) = √9 −
√9 −
, temos da parte (3)
( )=−
√9 −
=− ∙
√9 −
Que é coerente com a resposta n aparte (1). Para da parte (3) ( )=
∙
=−
Que também está de acordo com a resposta (1).
=
( ), onde
−√9 −
( ) = −√9 −
=− ∙
, temos
39
11. Teorema de L`Hospital. As regras de L`Hospital, que vamos enunciar a seguir, aplicam-se a cálculos de limite que apresentam indeterminações do tipo
∙
e
11.1 - 1ª Regra de L`Hospital: Sejam e derivaveis em ]p - r , p[ e em ]p , p + r[ ( r > 0), com g`(x) ≠ 0 para 0 < I x - p I < r. Nestas condições, se
lim ( ) = 0, lim →
lim →
( ) ( ) existir( inito ou in inito), então lim existirá e ( ) → ( )
lim →
→
( ) = 0.
→
( ) ( )
=
lim →
′( ) ∙ ′( )
Observamos que a primeira regra de L`Hospital continua valida se substituirmos “ x ” ou “ x → “ ou “ x → ±∞” .
11.2- 2ª Rregra de L`Hospital: Sejam e
deriváveis em ] m, p [ , com g’ (x) ≠ 0 em ] m, p [ . Nestas condições, se
lim →
lim →
( ) = +∞ ,
lim →
′( ) existir ( inito ou in inito) então lim → ′( )
lim →
( ) = lim → ( )
( ) = +∞
( ) existirá e ( ) ′( ) ∙ ′( )
Observamos que a 2ª regra de L`Hospital continua válida se substituirmos “ → “ por “ → ” ou por “x→p ” ou por “x→± ∞” . A regra permanece válida se substituirmos um dos símbolos +∞, ou -∞.
40
Exemplos.
− 6
− Calcule lim
+ 8 − 1
→
− 3
∙
Solução: − 6
lim
+ 8 − 1
→
− 3
=
0 . 0
Temos, lim
(
− 6 (
→
+ 8 − 3)′ 5 = lim → – 1) ′
− 18 4
+ 8
=
−5 ∙ 4
Pela 1ª regra de L`Hospital lim
−6
→
+8 −3 ( = lim → −1
− 6 (
+ 8 − 3)′ 5 = − ∙ – 1)′ 4
Ou seja, lim
−6
→
+8 −3 5 = − ∙ −1 4
− calcule lim →
=
∞ . ∞
Solução: Pela 2ª regra de L`Hospital, lim →
= lim →
Assim, lim →
= +∞ .
( )′ = lim ( )′ →
= +∞ .
41
− Calcule lim →
ln
= [0 . (−∞)].
Solução: Note que é uma indeterminação que poderá ser colocada na forma interessante aqui passá-la para a forma lim →
ln
ln lim 1 →
= lim →
→
ln −∞ = . 1 ∞
1 (ln )′ = lim = lim = lim (− ) = 0 1 1 → → → ′ −
Ou seja, lim
, que nos permitirá eliminar o ln x.
ln = 0 .
ou
∙ É mais
42
12. Diferencial. Até então, a derivada
= ( ) foi vista como uma simples
de uma função real
notação. Interpretaremos, a partir da definição de diferencial, a derivada como um quociente de acréscimo. 12.1 - [Acréscimos e decrescimento] Um acréscimo (decréscimo) é feito a um valor x se somarmos (subtrairmos) um valor ∆ ∈ ℝ∗ . 12.2 – [Diferencial da variável Independente] Seja = ( ) uma função derivável. O diferencial de , denotado por , é o valor do acréscimo ∆ , isto é, =∆ . 12.3 – [Diferencial de Variável Independente] O diferencial de , denotado por acréscimo na ordenada da régua tangente , correspondente ao acréscimo em .
Figura 12.1 – Interpretação Geométrica da Derivada Considere a reta tangente ao gráfico da função de inclinação de .
.
= ( ) no ponto . Seja
De acordo com a figura 12.1, podemos observar que
=
, éo
( ). Mas,
o ângulo
( )=
( ), pois esta é a interpretação geométrica da derivada. Logo, =
( ).
O acréscimo pode ser visto como uma aproximação para ∆ . Esta aproximação é tanto melhor quanto for o valor de → 0, então ∆ − → 0. Segue que podemos considerar ∆ = ( + ) − ( ), ( +
≈ ∆ se for suficientemente pequeno. Como ( + ) ≈ ( ) ∙ . Segue que ) ≈ ( )+
( )∙
.
43
Exemplos. 1 – Encontre aproximadamente o volume de uma concha esférica cujo raio interior é 4 cm e cuja espessura é
cm.
Solução: Consideremos o volume da concha esférica como o incremento do volume de uma esfera. Sejam, = Ao número de centímetros no raio de uma esfera; = Ao número de centímetros cúbicos no volume de uma esfera; ∆ = Ao número de centímetros cúbicos de uma concha esférica. =
4 3
.
Logo, =4 Substituindo
=4
=
.
nas expressões anteriores, Obtemos = 4 ( 4)
1 =4 16
Portanto, ∆V ≈ 4π, e concluímos que o volume da concha esférica é aproximadamente 4π cm . 2 – o raio de uma esfera de aço mede 1,5 centímetros e sabe-se que o erro cometido na sua medição não excede 0,1 centímetros. O volume da esfera e calculado a partir da medida de seu raio usando-se a fórmula = 4 3 . Estime o erro possível no calculo de seu volume. Solução: O valor real do raio é 1,5 + ∆ , onde ∆ é o erro de medida. Sabemos que |∆ | ≤ 0,1. o valor verdadeiro o volume é4 3 (1,5 + ∆ ) , enquanto o valor do volume do raio calculado medido é 4 3 (1,5) . A diferença∆ = 4 3 (1,5 + ∆ ) − 4 3 (1,5) , representa o erro no cálculo do volume. Colocamos = ∆ e estimamos ∆ por como se segue. Observe que = Conseqüentemente,
4 3
=4
.
44
∆ ≈
=
=
∆ = 4 (1,5) ∆ = 9 ∆ .
∆ =4
Portanto, |∆ | ≈ |9 ∆ | = 9 |∆ | ≤ 9 (0,1) = 0,9 , e então o erro possível é limitado em valor absoluto por cerca de 0,9 ≈ 2,8 . 3 – Use diferenciais para achar o volume aproximado de uma camada cilíndrica circular de 6 cm de altura cujo raio interno mede 2 centímetros e cuja espessura e de 1 10 í . Solução: O volume de um cilindro circular reto é igual à sua altura vezes a sua área da base. Se V . denota o volume de um cilindro (sólido) de altura 6 centímetros e raio r, então = 6 .A diferença∆ no volume desses dois cilindros é o volume procurado da camada. Fazemos =
e usamos a aproximação ∆ ≈
=
=
(6
)
= 12
12 = 12 (2) 1 10 = . 5 ≈ 7,5 centímetros cúbicos.
Assim, o volume da camada é aproximadamente 13. Taxa de Variação.
Suponhamos que uma partícula se desloca sobre o eixo com função posição = ( ). Isto significa dizer que a função fornece a cada instante a posição ocupada pela partícula na reta. A velocidade média da partícula entre os instantes e + ∆ é definida pelo quociente entre
(
∆ )
( )
, onde ∆ = ( + ∆ ) − ( ) é o deslocamento da partícula no
∆
instante e + ∆ . A velocidade da partícula no instante (caso exista) de em , isto é: ( )=
=
é definida como sendo a derivada
( ).
Assim, pela definição de derivada, ( ) = lim ∆ →
( +∆ )− ( ) ∙ ∆
A aceleração no instante é definida como sendo a derivada em da função ( ) = Pela definição de derivada, ( ) = lim ∆ →
O quociente
(
∆ ) ∆
( )
( +∆ )− ( ) ∙ ∆
é a aceleração média entre os instantes
+∆ .
=
∙
45
Exemplos.
1 – Uma escada de 5 metros de altura está apoiada numa parede vertical. Se a base da escada é arrastada horizontalmente da parede a 3 m/seg, a que velocidade desliza a parte superior da escada ao longo da parede, quando a base se encontre a 3 m da parede?
Solução: Seja, = Ao número de segundos transcorridos desde que a escada começou a deslizar na parede. = Ao número de metros desde o piso até a parte superior da escada em t seg. = Ao número de metros desde a base da escada à parede em t seg. Como a base da escada é arrastada horizontalmente da parede a 3 m/seg. encontrar quando = 3.
= 3. Queremos
Do teorema de Pitágoras, temos = 25 −
(1)
Como e obtemos
são funções de , derivamos ambos os membros da eq. (1) em relação a
2
= −2
.
Dando-nos =−
(2)
Quando ]
=−
= 3, segue da eq. (1) que
= 4. Como
= 3, temos de (2)
3 9 ∙3=− ∙ 4 4
Portanto, a parte superior da escada está deslizando na parede à taxa de 2
m/seg,
quando a base está a 3 m da parede. ( O significado do sinal menos é que decresce quando cresce.
46
2 – Dois carros, um dirigindo-se para o leste à taxa de 72 km/h e o outro para o sul à taxa de 54 km/h estão viajando em direção ao cruzamento de duas rodovias. A que taxa os carros se aproximam um do outro, no instante em que o primeiro estiver a 400 m e o segundo estiver a 300 m do cruzamento? Solução: Seja, = Ao número de metros que o primeiro carro está distante de P em seg. = Ao número de metros que o segundo carro está distante de P em seg. = Ao número de metros que indica a distancia entre os dois carros em Desde que o primeiro carro se aproxima de P à taxa de72km/h = 72 que
decresce quando t cresce, temo0s conseqüentemente
54 km/h = 54 ∙
quando
/
= 20m/seg e
= −20. Analogamente, como
= −15.
m/s = 15 m/s,
Queremos encontrar
.
= 400
= 300.
Do teorema de Pitágoras, temos =
+
(3)
Derivando os dois membros da eq. (3) em relação a t, obtemos 2
=2
+2
.
E assim, =
∙
Quando substituindo-se ]
=
(4)
= 400 = 300, com base na eq. (3) temos que = 500. na eq. (4) = −20, = −15, = 400, = 300 = 500 obtemos
(400)(20) + (300)(−15) = −25. 500
Portanto, no instante em questão os carros aproximam-se um do outro à taxa de -25 m/seg.
47
3 – Um empresário calcula que quando unidades de um certo produto são fabricadas,a receita bruta associada ao produto é dada por ( ) = 0,5 + 3 - 2 milhares de reais.qual é a taxa de variação da receita com o nível de produção quando 3 unidades estão sendo fabricadas? Para esse nível de produção, a receita aumenta ou diminui com o aumento da produção? Solução: Como representa o numero de unidades fabricadas, temos necessariamente quociente – diferença de ( ) é
≥ 0. O
( + ℎ) − ( ) = ℎ = =
[0,5(
+ 2 ℎ + ℎ ) + 3( + ℎ) − 2] − [0,5 ℎ
ℎ + 0.5ℎ + 3ℎ = ℎ
+ 3 − 2]
=
+ 0,5ℎ + 3.
14 – Intervalos de Crescimento e Decrescimento. 14.1 – Teorema. Seja (a, b). (i) (ii)
uma função definida no intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto
Se Se
( ) > 0, para todo ∈ ( , ), então é crescente em [ , ]; ( ) > 0, para todo ∈ ( , ), então é decrescente em [ , ];
Em ambos os casos
é dita monótona.
14.2 – Interpretação geométrica. Observe na figura 14.1, que quando a inclinação da reta tangente for positiva, a função será crescente e quando a inclinação da reta for negativa, a função será decrescente. Como ( ) é a inclinação da reta tangente à curva = ( ), é crescente quando ( ) < 0.
Figura 14.1 – Representação Gráfica da inclinação da reta Tangente.
48
Exemplos. 1 – A função ∀ ∈ ℝ;
( )=
é crescente em ℝ, pois sua derivada é
Figura 14.2 – gráfico da função ( ) =
( )=3
≥ 0,
.
2 – A função ( ) = é decrescente em qualquer intervalo que não contenha o zero, pois sua derivada é
( )=−
< 0, ∀
∈ ℝ∗.
Figura 14.3 – Gráfico da função ( ) = ∙
15. Máximos e Mínimos. Freqüentemente nos interessamos por uma função definida num dado intervalo e queremos encontrar o maior ou o menor valor da função no intervalo. Discutiremos esta questão a seguir.
49
15.1 – Definições: Sejam :
→ ℝ uma função e
∈ . Dizemos que
é ponto de:
15.1.1 – Máximo relativo. Se existir um intervalo aberto contendo
tal que
( ) ≤ ( ), ∀
∈
∩ .
15.1.2 – Máximo absoluto. Se ( ) ≤ ( ), ∀
∈ ;
15.1.3 – Mínimo Relativo. Se existir um intervalo aberto contendo
tal que
( ) ≥ ( ), ∀
∈
∩ .
15.1.4 – Mínimo absoluto. Se ( ) ≥ ( ), ∀
∈ .
Figura 15.1 – Gráfico de uma Função , contendo Máximo e Mínimo local.
A figura 15.1, mostra o esboço de parte do gráfico de uma função, tendo um valor mínimo local em = e um valor máximo local em = .
Em geral, um ponto de máximo ou de mínimo é chamado de ponto extremo.
50
Exemplos. 1 – Dada ( ) = 2 encontre os extremos. Solução: em [1,4).
A figura 15.1, apresenta um esboço do gráfico de
A função tem um valor mínimo absoluto de 2 em [1,4). Não existe um valor máximoabsoluto de em [1, 4), pois lim ( ) = 8, →
Mas ( ) é sempre menor que 8 no intervalo dado. Absolutos de
no intervalo [1, 4) se existirem. y 8
2
4
1
Figura 15.2 – gráfico de 2 - Dada ( ) = −
x
em [1,4).
encontre os extremos absolutos de
em (−3, 2] se existirem.
Solução: A figura 15.3, mostra um esboço do gráfico de
em (-3, 2].
A função tem um valor máximo absoluto de 0 em (−3, 2]. Não existe valor mínimo absoluto de em(−3,2], pois lim ( ) = −9, →
mas ( ) é sempre menor que −9 no intervalo dado. y -3
2
o
x
-4
-9
Figura 15.3 – Gráfico de
em (-3, 2]
51
3 - Dada ( ) =
+1 −6 +7
<1 1≤
encontre os extremos absolutos de
em [−5,4]
se existirem. Solução: em [−5, 4].
A figura 15.4, mostra um esboço do gráfico de
O valor máximo absoluto de em [−5,4] ocorre em 1 e (1) = 2; o valor mínimo absoluto de em [−5,4] ocorre em −5, e (−5) = −4. Note que tem um valor máximo relativo em 1 e um valor mínimo relativo em 3. Note também que 1 é um numero crítico de , pois ′ não existe em 1, e 3 é um numero crítico de , pois (3) = 0.
y
x
o
Figura 15.4 – Gráfico da Função
em [-5, 4]
4 - A função ( ) = 3 − 12 tem um máximo relativo em (−2,2) tal que (0) ≥ ( ) para todo ∈ (−2,2).
= 0, pois existe o intervalo
Em = −√2 = +√2, a função dada tem mínimos relativos, pois (−√2) ≤ ( ) para todo ∈ (−2,0) (√2) ≤ ( ) para todo ∈ (0,2), conforme figura 15.5. Y
-2 - 2
2
2 X
-12
Figura 15.5 – Gráfico da Função ( ) = 3
− 12
.
52
15.2 – Teorema de Weirstrass. Se f for continua em [a, b], então existirão f( ) para todo x em [a,b].
e
em [a, b] tais que f( ) ≤ f(x) ≤
Demonstração: Sendo f continua em [a, b], f será limitada em [a, b], daí o conjunto A = {f(x) / x Є [a,b]} admitirá supremo e ínfimo. Sejam, M = Sup {f(x) / x Є [a, b]}. m = Inf {f(x) / x Є [a, b]}.
Assim, para todo x em [a, b], m ≤ f(x) ≤ M. Provaremos, a seguir, que M = f( ) para algum para todo x em [a, b], a função g(x) =
( )
em [a, b]. Se tivéssemos f(x) < M
, x Є [a,b] ( veja observação na outra página).
Seria continua em [a, b], mas não limitada em [a, b] que é uma contradição (Se g fosse limitada em [a, b], então existiria um β > 0 tal que para todo x em [a, b] 0<=
( )
<β
e, portanto, para todo x em [a, b], f(x) < M E assim, M não seria supremo de A). Segue que f(x) < M para todo x em [a, b] não pode ocorrer, logo devemos ter M = f( ) para algum em [a, b]. Com raciocínio análogo, prova -se que f( ) = m para algum , em [a, b]. Observação: A idéia que nos levou a construir tal função g foi a seguinte: Sendo M o supremo dos f(x), por menor que seja r > 0, existirá x tal que M – r < f(x) < M; assim, a diferença M – f(x) poderá se tornar tão pequena quanto se queira e, portanto, g(x) poderá se tornar tão grande quanto se queira.
53
15.3 – Teorema de Fermat. Seja : → ℝ uma função derivável, um intervalo e 1. 2. 3.
Então
∈ tal que:
é um ponto de máximo ou de mínimo local; é um dos extremos do intervalo , isto é, se = [ , ], então é derivável em ;
≠
≠ ;
( ) = 0.
15.3.1 – Definição. O ponto pertencente ao domínio de chamado de ponto crítico de .
tal que
( )=0
( ) não existe, é
Portanto, uma condição necessária para a existência de um extremo relativo em um ponto é que seja um ponto crítico de .
15.4 – Teorema (Critério da primeira derivada). Seja ∶ [ , ] → ℝ é uma função contínua e derivável em (a, b) exceto possivelmente em ∈ ( , ). I. II.
Se ( ) > 0, ∀ de . Se ( ) < 0, ∀ de .
<
( ) < 0, ∀
> , então c é um ponto de máximo local
<
( ) > 0, ∀
> , então c é um ponto de mínimo local
Esse teste estabelece essencialmente que se for contínua em c e ( ) mudar de sinal positivo para negativo quando cresce através de c, então será um valor máximo relativo em c, e se ( ) mudar o sinal de negativo para positivo enquanto x cresce através de c, então terá um valor mínimo relativo em c. Observe a Figura 15.6, ela mostra que, numa vizinhança de um ponto c de máximo local, as retas tangentes a curva passam de coeficiente angular positivo (à esquerda de c) para negativo (à direita de c). E o coeficiente angular é justamente a derivada de . Enquanto que, na 15.7, temos uma vizinhança de um ponto c de mínimo local, onde as retas tangentes à curva passam de coeficiente angular negativo (à esquerda de c) para (à direita de c). Note que em ambos os casos ( ) existe e é igual a zero.
54
Figura 15.6
Figura 15.7
Resumidamente, este teste estabelece essencialmente que se for contínua em c e ( ) mudar de sinal positivo para negativo quando cresce através de c, e se ′( ) mudar o sinal de negativo para positivo enquanto cresce através de c, então terá um valor mínimo relativo em c.
Exemplos. 1 – A função ( ) = ( − 2) , esboçada na Figura 15.8, mostra, que mesmo tendo um ( ) > 0 quando > 2 ou seja, não tem um ponto crítico, nesse caso em =2 extremo relativo em 2.
Figura 15.8
55
2 – A figura15.9, mostra um esboço de gráfico de uma função , que tem um valor máximo relativo num número c mas ( ) não existe, contudo ( ) > 0 quando < ( )<0 quando > .
Figura 15.9 Em suma, para determinar os extremos relativos de : (1) Ache ( ); (2) Ache os números críticos de ( ), isto é, os valores de para os quais ( ) não existe; (3) Aplique o teste da derivada primeira
para os quais
( ) = 0, ou
3 – Dada ( ) = − 12 + 9 + 1 ache os extremos relativos de , aplicando teste da derivada primeira. Determine os valores de nos quais ocorrem extremos relativos, bem como os intervalos nos quais é crescente e aqueles onde é decrescente. Faça um esboço do gráfico. Solução: Temos que ( ) = 3 − 12 + 9 e ( ) existe para todos os valores de por se tratar de um polinômio. Portanto, resolve-se a equação ( ) = 0, ou seja, 3 − 12 + 9 = 3( − 3)( − 1) = 0. Segue que: = 3 = 1 são números críticos de . Pra determinar se possui extremos relativos nesses números, aplicaremos o teste da primeira derivada, conforme o tabela 15.1, e Figura 15.10.
Tabela 15.1
Figura 15.10
56
15.5 – outro teste para o cálculo de máximos e mínimos. Com o teste da primeira derivada, podemos determinar se uma função tem valor máximo ou mínimo relativo num número crítico c, verificando o sinal de ′ em números contidos em intervalos à direita e à esquerda de c. Veremos a seguir, outro teste para extremos relativos envolvendo somente o número crítico c.
15.5.1 – critério da segunda derivada. Sejam : [ , ] → ℝ uma função contínua e derivável até segunda ordem em ( , ), com derivadas ′′ também contínuas em e c ∈ tal que ( ) = 0.
=
Então, (1) Se (2) Se
( ) < 0, c é ponto de máximo local; ( ) > 0, c é ponto de mínimo lolcal.
Percebe-se, facilmente, nas Figuras, que exibiremos a seguir, que o teste falha quando f (c) = 0, nada se pode concluir quanto aos extremos relativos. Deve-se, portanto, utilizar somente o teste da derivada primeira.
Figura 15.11
Figura 15.12
Figura 15.13
Considerando as funções = , = − e = , notemos que cada uma delas possui a segunda derivada nula em = 0. Em = 0, a função = possui um mínimo relativo, e = − possui um máximo relativo, no entento, para y = x não tem máximo e nem mínimo relativo.
57
15.6 – Teorema de Lagrange. Se ∶ [ , ] → ℝ é uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existe pelo menos um ponto ∈ ( , ) tal que ( )− ( ) = −
( ).
15.6.1 – Interpretação geométrica do Teorema de Lagrange. Num esboço do gráfico da função , conforme Figura 15.14,
( )
( )
é a inclinação do
segmento de reta que liga os pontos A( , ( )) e B( , ( )). O Teorema de Lagrange afirma que existe um ponto sobre a curva entre A e B, onde a reta tangente é paralela à reta secante ( )=
por A e B, ou seja, existe um ∈ ( , ) tal que
( )
( )
=
( ).
Figura 15.14
16. Concavidade e ponto de inflexão. Seja derivável no intervalo e seja gráfico de é − ( )=
( )( − ) ou
= ( )+
um ponto de . A reta tangente em ( , ( )) ao ( )( − ).
Deste modo, a reta tangente em ( , ( )) é o gráfico da função T dada por ( ) = ( )+
( )( − ).
58
Definições. 1 – Dizemos que tem a concavidade para cima no intervalo aberto , conforme as Figuras 16.1 e 16.2, se quaisquer que sejam e em , com ≠ . y
f
f
y
T
P
X
x
x
Figura 16.1
2 – Dizemos que
Figura 16.2
tem a concavidade para baixo no intervalo se
( ) < ( ).
Quaisquer que sejam
e
em , com
≠ .
3 – Sejam uma função e ∈ , com contínua em . Dizemos que é ponto de inflexão de se existirem números reais e , com ∈ ] , [ ⊂ , tal que tenha concavidade de nomes contrários em ]a, p[ e em ]p, b[, como podemos perceber nas Figuras 16.3 e 16.4. Y
f p
Figura 16.3
Figura 16.4
X
59
Teorema. Seja
uma função que admita derivada até a 2ª ordem no intervalo aberto .
(i) (ii)
Se Se
( ) > 0 em , então ( ) < 0 em , então
terá a concavidade voltada para cima em . terá a concavidade voltada para baixo em I.
Exemplos. 1 – Seja inflexão.
( )=
. Estude
com relação à concavidade e determine os pontos de
Solução: ( )=− ( )=(
Como
> 0 para todo , o sinal de
− 1)
∙ ∙
( ) é o mesmo que o de
Figura 16.5 ( ) > 0 em ] − ∞, −1[ e em ]1, +∞[. ( ) < 0 em ] − 1, 1[. Então, conforme a Figura 16.5, tem a concavidade voltada para cima em ] − ∞, −1[ e em ]1, +∞[ ; tem a concavidade voltada para baixo em ] − 1,1[ ; Pontos de inflexão: −1 1.
− 1.
60
2 – Dada a função de inida por ( ) = − 6 + 9 + 1 ache o ponto de inflexão do gráfico de , caso tenha, e determine onde o gráfico é côncavo e convexo. Solução: ( ) = 6 − 12. ( ) existe, para todos valores Temos que ( ) = 3 − 12 + 9 e de . ( ) = 0 ⟺ 6 − 12 = 0 ⇔ = 2. Para determinar se existe ou não um ponto de inflexão em = 2, precisa verificar se ( ) muda de sinal; ao mesmo tempo, determinamos a concavidade do gráfico para respectivos intervalos, conforme Tabela 16.1 e Figura 16.6.
Tabela 16.1
Figura 16.6
3 – Dada ( ) = − 5 − 3 verifique que a hipótese do teorema do valor é satisfeita para = 1 = 3. Então, encontre todos os números no intervalo aberto (1,3) tais que ( )=
(3) − (1) ∙ 3−1
Solução: Como é uma função polinomial, é continua e derivável para todos os valores de . Portanto, a hipótese do teorema do valor médio é satisfeita para qualquer . ( )=3 (1) = −7
− 10 − 3 (3) = −27
Logo, (3) − (1) −27 − (−7) = = −10. 3−1 2 Determinando
( ) = −10, obtemos 3
− 10 − 3 = −10
Ou 3
− 10 + 7 = 0
61
Ou (3 − 7)( − 1) = 0 Que resulta: =
7 3
= 1.
Como 1 não pertence ao intervalo aberto (1,3), o único valor possível para 7 ∙ 3
é
4 – Dada ( ) = ⁄ trace um esboço do gráfico de . Mostre que não existe número intervalo aberto (−2,2) tal que
no
( )=
(2) − (−2) ∙ 2 − (−2)
Que condição da hipótese do teorema do valor médio não é verificada para −2 =2? Solução: Um esboço do gráfico de
é mostrado na figura 16.7. y
1
-2
-1
0
2
1
x
Figura 16.7 – Gráfico da Função ( ) =
( )=
2 3
⁄
Portanto, ( )=
2 3
⁄
.
.
quando
=
62
(2) − (−2) 4 = 2 − (−2) Não existe número para o qual 2⁄3
⁄
⁄
−4 4
⁄
= 0.
= 0.
A função é continua no intervalo fechado [−2,2]. Contudo, não é derivável no intervalo aberto (−2,2), pois (0) não existe. Portanto, a condição (ii) da hipótese do teorema de valor médio não é verificada para quando = −2 = 2.
17. Assíntotas. 17.1 – Assíntotas Horizontais. =
A reta ( ) lim
é uma assíntota horizontal de do gráfico de uma função
( )= .
→
Ou ( )= .
lim →
Exemplos. 1 – As reta =
√
+2
=1e
= −1 são assíntotas horizontais do gráfico de
∙
Porque, lim →
√
+2
=1
lim →
√
+2
= −1.
Y 1
X -1
Figura 17.1 – Gráfico da Função
=√
∙
= ( ) se ocorrer:
63
2 – A reta =
= 1 é uma assíntota horizontal da função
−1 , pois 1+
lim →
−1 = 1. 1+
=
Figura 17.2 – Gráfico da função
∙
17.2 – Assíntotas Verticais. A reta = é uma assíntota vertical do gráfico de uma função pelo menos uma das situações: ( ) lim →
( ) = +∞ ( ) = −∞
( ) lim →
( ) lim (
) lim →
→
( ) = +∞ ( ) = −∞
Exemplos. 1 - A reta lim →
= 0 é uma assíntota vertical da função
= ln ( ), pois
( ) = −∞.
Figura 17.3 –
=
.
= ( ) se ocorrer
64
2 – Reta lim →
= 1 é uma assíntota vertical de função
=
(
)
, pois
1 = +∞ ∙ ( − 1)
Figura 17.4 – Gráfico da
=(
)
∙
17.3 – Assíntotas Oblíquas. A reta
=
+ é uma assíntota oblíqua do gráfico de uma função
( ) lim [ ( ) − (
+ )] = 0 ou
( ) lim [ ( ) − (
+ )] = 0
→
→
= ( ), se ocorrer:
É possível se mostrar que = lim →
( )
.
E uma vez determinado o k, que = lim [ ( ) − →
].
(1) Substituindo-se → −∞, obtem-se, analogamente, as expressões de k e de b para outra possível assíntota oblíqua. (2) Em ambos os caso, se não existir um dos limites acima de inidas para k e b, não existe a assíntota oblíqua. (3) As assíntotas horizontais são casos particulares das assíntotas oblíquas, ocorrendo quando = 0. (4) Uma função pode ter no máximo duas assíntotas oblíquas, incluindo as horizontais.
65
18. Esboço Gráfico de Funções. Para obtermos o esboço gráfico de uma função, devemos seguir os seguintes passos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Determinar o domínio de . Calcular os pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados; Determinar os pontos; Determinar os pontos de Máximos e Mínimos; Estudar a concavidade; Determinar os pontos de inflexão; Determinar as assíntotas; Esboçar o gráfico.
Exemplos. 1 - Esboçar o gráfico da função ( ) = (
− 1) .
Solução: ( ) = ℝ; 1) Domínio: 2) Intersecções com os eixos coordenados: se = 0, então = −1 e, se = 0 então ( ) ( ) ( ) ± 1; a curva passa pelos pontos 1, 0 , −1, 0 e 0, −1 . 3) Pontos críticos de : ( ) = 6 ( − 1 ) . Logo, resolvendo a equação ( ) = 0, obtemos = 0, = 1 e = −1, que são os pontos crítico de . 4) Máximos e mínimos relativos de : ( ) = 6( − 1)(5 − 1). Logo, (0) > 0 e 0 é o ponto mínimo relativo de . (±1) = 0 e o teste da segunda derivada não nos diz nada. Usando, então, o teste da primeira derivada para analisar a mudança de sinal temos: ( ) < 0, para > 0, então = 1 não é ponto extremo de . 5) Concavidade
( ) = 6(
− 1)(5
( ) > 0 se
∈ (−∞, −1) ∪ −
( ) < 0 se
∈ −1, −
√
∪
− 1) = 0 implica que
√
√
,
√
=±
√
∙
∪ (1, +∞).
.
Conclusão: : tem C.V.C. nos intervalos (−∞, −1), − tem C.V.B. nos intervalos −1, −
= ±1 e
√
e
√
√
,
√
e (1,+∞).
,1 .
6) Ponto de inflexão: As abscissas dos pontos de inflexão de 7) Assíntotas de : A curva não possui assíntotas; 8) Esboço do gráfico de .
são
= ±1 e
±
√
.
66
Figura 18.1 – Gráfico da Função ( ) = (
2 – Esboçar o grá ico da função ( ) = −7 + 12 − 3
−2
− 1) .
.
Solução: ( ) = ℝ; 1) Domínio: 2) Intersecção com os eixos coordenados: = 0, então = −7 = 0, = 1 −7 = 2; ′( ) 3) í : = 12 − 6 − 6 . , − ′( ) çã = 0, í = −2, = 1 . ′′ ( ) ′′ ( ) 4) á í : = −6 − 12 . , 1 <0 1 é
á
. :
5) ′′ (
) < 0 se
′′ (
′′(
2) > 0
2 é ponto de mínimo.
) = −6 − 12 = 0
=− .
′′ (
)>0
<−
>− .
Conclusão: o grá ico de
tem C. V. C. em −∞, −
e tem C. V. B. Em − , +∞ .
6) Ponto de in lexão: A abscissa do ponto de in lexão de
é − .
7) Assíntotas de : A curva não possui assíntotas. 8) Esboço do gráfico de .
Figura 18.2 – Gráfico da Funçãof(x) = −7 + 12x + 3x − 2x .
67
19. Problemas de Otimização Envolvendo máximos e Mínimos. Exemplos. 1 - No planejamento de uma lanchonete foi estimado que se existem lugares para 40 a 80 pessoas o lucro semanal será de R$ 70,00 por lugar,contudo a capacidade de assentos esta acima de 80 lugares,o lucro semanal em cada lugar será reduzido em 50 centavos pelo numero de lugares excedentes.qual devera ser a capacidade de assentos para se obter o maior lucro semanal?
Solução: Sejam x= o numero de lugares que a lanchonete comporta; P= o numero de cruzeiros no lucro total semanal, O valor de p depende de x e é obtido ao multiplicarmos x pelo numero de cruzeiros obtido no lucro por lugar. Quando 40 ≤ ≤ 80, o lucro por lugar é $ 70,00 e por tanto = 70 .contudo,quando > 80 o lucro de cruzeiros por lugar é [ 70 – 0,5( – 80 )],ou seja,
=
[70 – 0,5( – 80 )] = 100 – 0,5
( )=
70 110 − 0,5
. Assim, temos
40 ≤ 80 ≤
≤ 80 ≤ 220
O extremo superior de 220 para é obtido notando que 110 – 0,5 220 e 110 − 0,5 é negativo para > 220.
=0 quando
=
Embora x seja um inteiro, por definição, para termos uma função continua devemos tomar x para todos os valores reais no intervalo [40, 220]. Notemos que p é continua em 80, pois lim →
( ) = lim 70 = 5.600. →
e lim
→
( ) = lim (110 − 0,5 ) = 5.600. →
De onde resulta que lim ( ) = 5.600 = (80). →
68
Logo, é continua no intervalo fechado [ 40, 220] e o teorema do valor extremo garante a existência de um valor Máximo absoluto de neste intervalo. Quando 40 < x < 80, p’(x) = 70 e ′(80) = 30. Determinando ’( ) = 0, Temos, 110 –
= 0
= 110. Logo, os números críticos de p são 80 e 110. Calculamos ( ) nos extremos do intervalo [40, 220] e nos números críticos, temos (40) = 320, (80) = 5.600, (110) = 6050 (220) = 0. Então, o valor Maximo absoluto de p é 6050 e o corre quando x = 110. A capacidade de assentos deve ser de 110 lugares, que da um lucro semanal total de $ 6050,00. 2 – Um fabricante deseja construir caixas de papelão sem tampa e de base regular, dispondo de um pedaço retangular de papelão com 8 cm de lado e 15cm de comprimento.Para tanto, deve-se tirar de cada canto quadrados iguais,em seguida viram-se os lados para cima.determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume Maximo. Solução:
A altura da caixa é x; a largura é (8 – 2x) e o comprimento é (15 – 2x), observando que 0 < x < 4. Logo, devemos maximizar: V(x) = x (8 – 2x)(15 – 2x) = 4
- 46
+ 120x.
Derivando-se e igualando a zero: V’( ) = 12
Obtemos
= 6 ou
- 92 + 120 = ( − 6)(12 − 20) = 0,
= . Mas, 6 <∉ (0,4); então,
logo, estudando o sinal de V’,
é o ponto Maximo. Então
=
é o único ponto critico de v. 1,6
v= 90,74
.
69
19.3 – Um tanque sem tampa em forma de cone é feito com material plástico, tem capacidade de 1.000 . Determine as dimensões do tanque que minimiza a quantidade do plástico usada na sua fabricação. Solução: A área do cone √ + ℎ , em que a última igualdade usamos o teorema de Pitágoras. Por outro lado, o volume do tanque é de 1.000 logo, 1.000= Eℎ =
.
=
r h.
. Substituindo ℎ na expressão da área. Temos:
= Como antes minimizaremos
=(
+
3.000
∙
) . Logo: ( )=
+
Em que = (3.000) . Derivando-se e igualando a zero, obtemos que 8,733 ℎ é aproximadamente, 12,407 . Conseqüentemente,
é aproximadamente, 418,8077
.
é aproximadamente,
