Derivadas Das Funções Elementares

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Matemática Superior - UVB Aula 05 Derivadas das Funções Elementares Objetivos da Aula • Apresentar as técnicas de derivação elementares, cuja utilização direta otimiza e simplifica o cálculo da derivada de uma função. • Aplicar o cálculo de derivadas na resolução de problemas. Vimos na aula anterior que as derivadas são interpretadas como as inclinações e as taxas de variação, vimos também como estimar derivadas de funções dadas pelas tabelas de valores. Desta forma, faremos a seguinte definição. Definição de Derivada de uma Função A derivada de uma função f é a função f‘ (lê-se f linha de x), tal que seu valor em todo x do domínio de f se dado por f ' ( x) = lim ∆x  0 f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x se este limite existe. A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos: y’ , dy/dx ou f ‘ (x). Faculdade On-line UVB 24 Matemática Superior - UVB Usamos a definição de uma só derivada para calcular as derivadas de funções definidas pelas fórmulas, mas seria tedioso se sempre usássemos a definição; então, mostraremos regras para encontrar derivadas sem ter que usar diretamente a definição. 1. Derivada de uma Função Constante Vamos iniciar com a função constante f(x) = c. O gráfico dessa função é a reta horizontal y = c, cuja inclinação é 0 (zero); logo, devemos ter f’(x) = 0, como mostra a figura abaixo. Veja uma prova formal da definição de uma derivada: f ' (x ) = lim h →0 f (x + h )− f (x ) c−c = lim = lim 0 = 0 h →0 h →0 h h y y=c c inclinação = 0 x 0 O gráfico de f(x) = c é a reta y = c; assim f’(x) = 0. Vamos agora escrever essa regra na notação de Leibniz. d/dx(c) = 0 (sendo ”c”, uma constante). Exemplos: 1º) Se f(x) = 32, então f ' (x ) = d (32 ) = 0 dx 2º) Se f(x) = -7, então d f ' (x ) = (−7) = 0 dx Faculdade On-line UVB 25 Matemática Superior - UVB Função Potência Vamos olhar a função f(x) = x n, onde n é um inteiro positivo. Se n = 1, o gráfico f(x) = x é a reta y = x, cuja inclinação é 1 (veja a figura abaixo). y c y=x inclinação = 1 0 x O gráfico de f(x) = x é a reta y = x; assim f’(x) = 1. Logo d/dc (c) = 0 ou f’(x) = 1 Derivada da Função Potência ou Regra da Potência Se n é qualquer número real, e se f(x) = xn, então . PRIMEIRA PROVA: x n – a n = (x - a) . (x n-1 + x n – 2 + ... + xa n – 2 + a n - 1) pode ser simplesmente verificada multiplicando-se o lado direito (ou somando-se o segundo fator como uma séria geométrica). Faculdade On-line UVB 26 Matemática Superior - UVB f (x )− f (a ) xn − an f ' (a ) = lim = lim x →a x →a x−a x−a ( f ' (a ) = lim x n -1 + x n - 2 a +  + xa n - 2 + a n -1 x →a ) f ' (a ) = a n -1 + a n - 2 a +  + aa n - 2 + a n -1 f ' (a ) = na n -1 SEGUNDA PROVA (usaremos h = Dx para facilitar a compreensão do cálculo) n n f ' (x ) = lim h →0 f (x + h )− f (x ) (x + h ) − x = lim h →0 h h Para achar a derivada de x 4desenvolvemos (x + h) 4. Aqui precisamos desenvolver (x +h) n, usamos o teorema Binomial para fazer isto: n(n − 1) n - 2 2  n n -1 n -1 n n  x + nx h + 2 x h +  + nxh + h  − x   f ' (x ) = lim h →0 h n(n − 1) n - 2 2  n -1  x h +  + nxh n -1 + h n  nx h + 2   f ' (x ) = lim h →0 h n(n − 1) n - 2  n -1 n -2 n -1  nx h + x h +  + nxh + h   2   f ' (x ) = lim h →0 h f ' (x ) = nx n -1 Faculdade On-line UVB 27 Matemática Superior - UVB porque todo o termo, exceto o primeiro, tem h como um fator, conseqüentemente tende a 0 (zero). Vamos analisar a regra da potência para o caso especial n = 2. Se f(x) = x 2, então: f ' (x ) = f (x + h )− f (x ) d 2 x = lim h →0 dx h ( ) f ' (x ) = lim h →0 f ' (x ) = lim h →0 (x + h )2 − x 2 h x 2 + 2 xh + h 2 − x 2 h 2 xh + h 2 = lim 2 xh + h 2 = 2 x h →0 h →0 h f ' (x ) = lim ( ) Exemplos: 1º) a) Se f(x) = x, então d (x ) = 1⋅ x 1−1 = x 0 = 1 f ' (x ) = dx b) Se f(x) = x 8, então d 8 ( f ' (x ) = x )= 8x 7 dx c) Se f(x) = x 5/2, então 5 d 5/2 ( f ' (x ) = x )= x 3 / 2 2 dx Faculdade On-line UVB 28 Matemática Superior - UVB d) f(x) = x x na forma x 1/2, obtemos Reescrevendo f ' (x ) = e) g(x) = 3 R d 1/2 1 1 1 x = x -1/2 = 1/2 = dx 2 2x 2 x ( ) 1 x eescrevendo 1 3 g ' (x ) = x na forma x -1/3 , obtemos d -1/3 1 - 4/3 1 1 x = x = 4/3 = dx 3 3x 3 3 x4 ( ) ou 1 3 3 x4 2º) Ache uma equação da reta tangente à curva y = x x no ponto (1,1). Ilustre fazendo o gráfico da curva e sua reta tangente. Solução 1/2 3/2 A derivada de f (x ) = x x = xx = x é f ' (x ) = 3 (3/2 )−1 3 1/2 3 x = x = x 2 2 2 Logo a inclinação da reta tangente em (1,1) é f ' (x ) = 3 . Portanto, uma 2 equação da reta tangente é y −1 = 3 (x − 1) ou 2 y= 3 1 x− . 2 2 Faculdade On-line UVB 29 Matemática Superior - UVB Este é o gráfico da curva e sua reta tangente. 3 y=x x y=3x-1 2 2 -1 3 -1 3. Regra do Múltiplo Constante Quando novas funções são formadas a partir das antigas funções por adição, subtração, multiplicação ou divisão, suas derivadas podem ser calculadas em termos das derivadas das antigas funções. Em particular, a fórmula a seguir nos diz que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Seja uma função diferenciável ou derivável, onde n é qualquer número real e c for uma constante, então f ' ( x) = d d [cf (x )] = c f (x ) = c(nx n −1 ) = cnx n −1 dx dx Representação Constante Geométrica da Regra do Múltiplo A multiplicação por c = 2 estica o gráfico verticalmente por um fator de 2. Faculdade On-line UVB 30 Matemática Superior - UVB Todas as subidas têm de ser dobradas, mas a corrida continua a mesma. Logo as inclinações ficam dobradas também. y y = 2 f(x) y = f(x) x 0 PROVA: Se g(x) = cf(x), então g ' (x ) = lim h →0 g (x + h )− g (x ) cf (x + h )− cf (x ) = lim h →0 h f (x + h )− f (x )  f (x + h )− f (x ) = lim c  = c lim = cf ' (x )  h →0 h →0 h   EXEMPLOS: 1º) Se f(x) = - x, então f ' (x ) = d (− x ) = d [(− 1)⋅ x]= (− 1) d (x ) = −1⋅ (1) = − 1 dx dx dx 2º) Se f(x) = 5x 3, então f ' (x ) = 3º) Se f (x ) = f ' (x ) = 3 x d d 3 5x 3 = 5 x = 5 ⋅ 3 x 2 = 15 x dx dx ( ) ( ) ( ) , então 3 d  1  3x 1 / 2 = 3 ⋅  − x −3 / 2  = − 3 / 2 dx 2x  2  ( ) Faculdade On-line UVB 31 Matemática Superior - UVB 4. Regra da Soma Se f e g são funções e h é a função definida por h(x) = f(x) + g(x), e se f’(x) e g’(x) existem, ou seja são diferenciáveis, então h' ( x ) = f ' ( x ) + g ' ( x ) ou d [f (x )+ g (x )]= d [f (x )]+ d [g (x )] dx dx dx A derivada da soma (diferença) de duas funções diferenciáveis é igual à soma (diferença) de duas derivadas. Este resultado pode ser estendido para soma e diferença de um número finito qualquer de funções diferenciáveis. Vamos verificar a regra para a soma de duas funções. PROVA: Seja s(x) = f(x) + g(x), então s ' (x ) = lim h →0 s (x + h )− s (x ) h [ f (x + h )+ g (x + h )] − [ f (x )+ g (x )] h →0 h s ' (x ) = lim s ' (x ) = lim h →0 [ f (x + h )− f (x )] + [ g (x + h )− g (x )] h [ f (x + h )− f (x )] [ g (x + h )− g (x )] + lim = f ' (x )+ g ' (x ) h →0 h →0 h h s ' (x ) = lim A regra da soma pode ser estendida para a soma de qualquer número de funções. Por exemplo, usando este teorema duas vezes, obtemos (f + g + h)’ = [(f + g) + h]’ = (f + g)’ = h´= f’ + g’ + h’ Faculdade On-line UVB 32 Matemática Superior - UVB Escrevendo f – g como f + (- 1)g e aplicando a Regra da Soma e a Regra do Múltiplo Constante, obtemos a seguinte fórmula 5·Regra da Diferença Se f e g forem ambas diferenciáveis, então ou As três regras podem ser combinadas com a Regra da Potência para diferenciar qualquer polinômio. Exemplos: 1º) f ( x) = x8 + 12 x 5 − 4 x 4 + 10 x 3 − 6 x + 5 f ' ( x) = 8 x8 −1 + 12 (5 x 5 −1 ) − 4(4 x 4 −1 ) + 10 (3 x 3−1 ) − 6(1x1−1 ) + 0 f ' ( x) = 8 x 7 + 12 (5 x 4 ) − 4(4 x 4 ) + 10 (3 x 2 ) − 6(1) + 0 f ' ( x) = 8 x 7 + 60 x 4 − 16 x 3 + 30 x 2 − 6 2º) g (t ) = t2 5 + 5 t3 g ' (t ) = 1 d 1 2 −3   t + 5t  (Reescrevendo 3 como t -3) dx  5 t  g ' (t ) = g ' (t ) = 2t 5 − 75 5t 4 (Reescrevendo t -4 como 2 t − 15t − 4 5 1 e simplificando) t4 Faculdade On-line UVB 33 Matemática Superior - UVB 3º) Seja f(x) = 3x² + 2x. Determine: (a) f ’(-2) e (b) f ’(4) f ' ( x) = 3(2 x 2 −1 ) + 2 = a) f’(- 2) = 6(- 2) + 2 = -10 6x + 2 b) f’(4) = 6(4) + 2 = 26 4º) Ache os pontos sobre a curva y = x 4 – 6x 2 + 4 onde a reta tangente é horizontal. Solução As tangentes horizontais ocorrem quando a derivada é zero. Temos dy d 4 d 2 d = x −6 x + (4 ) = 4 x 3 − 12 x + 0 = 4 x ⋅ (x 2 − 3) dx dx dx dx ( ) ( ) Assim dy/dx = 0 se x = 0 ou x 2 – 3 = 0, isto é, x = ± 3. Logo, a curva dada tem tangentes horizontais quando x = 0, 3 e . Os 3pontos correspondentes são (0,4), ( 3 ,-5) e (- 3 ,-5). Veja a figura abaixo y (0,4) x (- 3 ,- 5 ) ( 3 ,- 5 ) Faculdade On-line UVB 34 Matemática Superior - UVB REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Thomson, 2001. FLAMMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1992 LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra,1988. STEWART, James. Cálculo Volume I. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. Faculdade On-line UVB 35