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LIMITES E DERIVADAS
2.8 A Derivada como uma Função Nesta seção apreenderemos sobre a derivada da função f.
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LIMITES E DERIVADAS
1. Equação
Na seção precedente consideramos a derivada de uma função f em um número fixo a:
f (a + h) − f (a) f '(a) = lim h→0 h Aqui, mudamos nosso ponto de vista e vamos variar o número a.
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A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO 2. Equação
Se substituirmos a na Equação 1 por uma variável x, obteremos
f (x + h) − f (x) f '(x) = lim h→0 h
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A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO
Dado qualquer número x para o qual esse limite exista, atribuímos a x o número f’(x). • Assim, podemos considerar f como uma nova função, chamada derivada de f’ e definida pela Equação 2. • Sabemos que o valor de f’ em x, f’ (x), pode ser interpretado geometricamente como a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x, f (x)).
A função f’ é denominada derivada de f, pois foi “derivada” a partir de f pela operação-limite na Equação 2. • O domínio de f é o conjunto {x|f’(x) existe} e pode ser menor que o domínio de f. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO
Exemplo 2
a.
Se f(x) = x3 - x, encontre uma fórmula para f’(x).
b.
Ilustre, comparando os gráficos de f e f’.
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A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO
Exemplo 2 a
Ao usar a Equação 2 para calcular uma derivada, devemos nos lembrar de que a variável é h e de que x é considerado temporariamente uma constante para os cálculos do limite.
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A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO
Exemplo 2 a
Assim, ⎡ ( x + h )3 − ( x + h ) ⎤ − ⎡ x 3 − x ⎤ ⎣ ⎦ f ( x + h) − f ( x ) ⎣ ⎦ f '( x) = lim = lim h →0 h →0 h h
x 3 + 3 x 2 h + 3 xh 2 + h3 − x − h − x 3 + x = lim h →0 h
3 x 2 + 3 xh 2 + h3 − h = lim = lim(3 x 2 + 3xh + h 2 − 1) h →0 h →0 h
= 3x 2 − 1 © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO
Exemplo 2 b
Vamos fazer os gráficos de f e f’ utilizando alguma ferramenta gráfica. • Observe que f’(x) = 0 quando f tem tangentes horizontais e que f (x) é positivo quando as tangentes têm inclinação positiva. • Assim, esses gráficos servem como verificação do trabalho feito em (a).
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A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO
Exemplo 3
Se f ( x) = x, encontre a derivada de f. Diga qual é o domínio de f. f '( x) = lim h →0
f ( x + h) − f ( x ) x+h − x = lim h →0 h h
⎛ x+h − x x+h + x ⎞ = lim ⎜⎜ ⋅ ⎟⎟ h →0 h x+h + x ⎠ ⎝ = lim h →0
=
h
(
( x + h) − x x+h + x
1 x+ x
=
)
= lim h →0
1 x+h + x
1 2 x
• Vemos que f’ (x) existe se x > 0; logo, o domínio de f’ é (0, ∞). Ele é menor que o domínio de f, que é [0, ∞). © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO
Vejamos se o resultado do Exemplo 3 é razoável observando os gráficos de f e f’ na Figura.
• Quando x estiver próximo de 0, x estará próximo de 0. • Então, f’(x) = 1/(2 x ) é muito grande. • Isso corresponde a retas tangentes íngremes próximas de (0, 0) na Figura 4(a) e a grandes valores de f’ (x) logo à direita de 0 na Figura 4(b). © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO
Quando x for grande, f’ (x) será muito pequena • Isso corresponde ao achatamento das retas tangentes no extremo direito do gráfico de f e à assíntota horizontal do gráfico de f’.
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A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO
Exemplo 4
1− x Encontre f’, se f ( x) = 2+ x 1 − ( x + h) 1 − x − f ( x + h) − f ( x) 2 + ( x + h) 2 + x f '( x ) = lim = lim h→ 0 h→ 0 h h
= lim
h→ 0
(1 − x − h )(2 + x ) − (1 − x )(2 + x + h ) h (2 + x + h )(2 + x )
(2 − x − 2 h − x 2 − xh ) − (2 − x + h − x 2 − xh ) = lim h→ 0 h (2 + x + h )(2 + x ) = lim
h→ 0
− 3h −3 3 = lim =− (2 + x ) 2 h (2 + x + h )(2 + x ) h → 0 (2 + x + h )(2 + x )
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OUTRAS NOTAÇÕES
Se usarmos a notação tradicional y = f(x) para indicar que a variável independente é x enquanto y é a variável dependente, então algumas notações alternativas para a derivada são as seguintes: dy df d f '( x) = y ' = = = f ( x) = Df ( x) = Dx f ( x) dx dx dx
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OTHER NOTATIONS
Os símbolos D e d/dx são chamados operadores diferenciais, pois indicam a operação de diferenciação, que é o processo de cálculo de uma derivada. O símbolo dy/dx, introduzido por Leibniz, não deve ser encarado como um quociente (por ora). • Trata-se simplesmente de um sinônimo para f’(x). • Todavia, essa notação é muito útil e proveitosa, especialmente quando usada em conjunto com a notação de incremento. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
OUTRAS NOTAÇÕES
Podemos reescrever a definição de derivada (Equação 2.7.6) como:
dy Δy = lim dx Δx →0 Δx
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OUTRAS NOTAÇÕES
Para indicar o valor de uma derivada dy/dx
na notação de Leibniz em um número específico a, usamos a notação
dy dx
ou x=a
dy ⎤ x=a ⎥ dx ⎦
que é um sinônimo para f’(a). © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
OUTRAS NOTAÇÕES
3. Definição
Uma função f é derivável ou diferenciável em a se f’ (a) existir. É derivável ou diferenciável em um intervalo aberto (a, b) [ou (a, ∞) ou (−∞, a) ou (−∞, ∞) ] se for diferenciável em cada número do intervalo.
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Exemplo 5
OUTRAS NOTAÇÕES
Onde a função f(x) = |x| é diferenciável? • Se x > 0, então |x| = x e podemos escolher h suficientemente pequeno para que x + h > 0 e portanto |x + h| = x + h. • Consequentemente, parax > 0, temos:
f '( x) = lim h →0
x+h − x h
= lim h →0
( x + h) − x h
h = lim = lim1 = 1 h →0 h h →0
• E f é diferenciável para qualquer x > 0.
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OUTRAS NOTAÇÕES
Exemplo 5
• Analogamente, para x < 0, temos |x| = -x e podemos escolher h suficientemente pequeno para que x + h < 0, e, assim, |x + h| = -(x + h). • Portanto, para x < 0, f '( x) = lim h →0
x+h − x h
−( x + h) − ( − x ) = lim h →0 h
−h = lim = lim(−1) = −1 h →0 h h →0 • E dessa forma f é diferenciável para qualquer x < 0.
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OUTRAS NOTAÇÕES
Exemplo 5
• Para x = 0, temos de averiguar
f (0 + h) − f (0) f '(0) = lim h →0 h |0+h|−|0| = lim h →0 h
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(se ele existir)
OUTRAS NOTAÇÕES
Exemplo 5
Vamos calcular os limites à esquerda e à direita:
e
0+h − 0 h h lim+ = lim+ = lim+ = lim+ 1 = 1 h →0 h →0 h h →0 h h →0 h 0+h − 0 h −h lim− = lim− = lim− = lim− (−1) = −1 h →0 h →0 h h →0 h h →0 h
• Uma vez que esses limites são diferentes, f’ (0) não existe. Logo, f é diferenciável para todo x, exceto 0. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
OUTRAS NOTAÇÕES
Exemplo 5
Uma fórmula para f’ é dada por:
⎧1 f '( x) = ⎨ ⎩−1
if x > 0 if x < 0
O gráfico está ilustrado na Figura:
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OUTRAS NOTAÇÕES
O fato de que ƒ (0) não existe está refletido geometricamente no fato de que a curva y = |x| não tem reta tangente em (0, 0). Tanto a continuidade como a diferenciabilidade são propriedades desejáveis em uma função. • O seguinte teorema mostra como essas propriedades estão relacionadas. © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
OUTRAS NOTAÇÕES
4. Teorema
Se f for diferenciável em a, então f é contínua em a. • Para demonstrar que f é contínua em a, temos de f ( x) = f (a) . mostrar que lim x →a • Fazemos isso mostrando que a diferença f(x) - f(a) tende a 0 quando x tende a a.
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OUTRAS NOTAÇÕES
Observação
A recíproca do Teorema 4 é falsa, isto é, há funções que são contínuas, mas não são diferenciáveis. • Por exemplo, a função f(x) = |x| é contínua em 0 pois
lim f ( x) = lim x = 0 = f (0) x →0
x →0
• Veja o Exemplo 7 na Seção 2.3. • Mas no Exemplo 5 mostramos que f não é diferenciável em 0.
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COMO PODE UMA FUNÇÃO NÃO SER DIFERENCIÁVEL?
Vimos que a função y = |x| do Exemplo 5 não é diferenciável em 0, e a Figura 5(a) mostra que em x = 0 a curva muda abruptamente de direção.
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COMO PODE UMA FUNÇÃO NÃO SER DIFERENCIÁVEL?
Em geral, se o gráfico de uma função f tiver uma “quina” ou uma “dobra”, então o gráfico de f não terá tangente nesse ponto e f não será diferenciável ali. • Ao tentar calcular f (a), vamos descobrir que os limites à esquerda e à direita são diferentes.
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DERIVADAS DE ORDEM MAIS ALTA
Se f for uma função diferenciável, então sua derivada f’ também é uma função, de modo que f’ pode ter sua própria derivada, denotada por (f’)’= f’’. Esta nova função f’’ é chamada de segunda derivada ou derivada de ordem dois de f. • Usando a notação de Leibniz, escrevemos a segunda derivada de y = f(x) como
d ⎛ dy ⎞ d 2 y ⎜ ⎟= 2 dx ⎝ dx ⎠ dx © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
DERIVADAS DE ORDEM MAIS ALTA
Em geral, podemos interpretar uma segunda derivada como uma taxa de variação de uma taxa de variação. • O exemplo mais familiar disso é a aceleração, que é definida desta maneira:
Se for a função posição de um objeto que se move em uma reta, sabemos que sua primeira derivada representa a velocidade y(t) do objeto como uma função do tempo: ds v(t ) = s '(t ) = dt © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
DERIVADAS DE ORDEM MAIS ALTA
Exemplo 6
A taxa instantânea de variação da velocidade com relação ao tempo é chamada aceleração a(t) do objeto. • Assim, a função aceleração é a derivada da função velocidade e, portanto, é a segunda derivada da função posição:
a (t ) = v '(t ) = s ''(t ) • Ou, na notação de Leibniz:
dv d 2 s a= = 2 dt dt © 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
DERIVADAS DE ORDEM MAIS ALTA
A terceira derivada (ou derivada de terceira ordem) é a derivada da segunda derivada: f’’’ = (f’’)’. • Assim, f’’’(x) pode ser interpretada como a inclinação da curva y = f’’(x) ou como a taxa de variação de f’’(x). • Se y = f(x), então as notações alternativas são:
d ⎛ d2y ⎞ d3y y ''' = f '''( x) = ⎜ 2 ⎟ = 3 dx ⎝ dx ⎠ dx
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DERIVADAS DE ORDEM MAIS ALTA
O processo pode continuar. • A quarta derivada f’’’’ usualmente denotada por f(4). • Em geral, a n-ésima derivada de f é denotada por f(n) e é obtida a partir de f derivado n vezes. • Se y = f(x), escrevemos:
y
(n)
= f
n
(n)
d y ( x) = n dx
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