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Derivada de uma Função Acréscimo da variável independente Dados
e
denominam incremento da variável
à diferença:
Acréscimo de uma função Seja
contínua. Dados e podem-se obter e chama-se acréscimo ou variação da função
Como , então: Graficamente:
. À diferença
Razão Incremental O quociente da variação da função pelo incremento da variável independente é chamado razão incremental.
Trocando
por
(fixo momentaneamente), temos:
Observe que a razão incremental é o coeficiente angular ( secante , que passa por e .
) da reta
Derivada de uma função num ponto x Seja
contínua. Calculamos a razão incremental
. O limite da razão
incrementar para o acréscimo tendendo a zero é definido como a derivada da função . Ela pode ser indicada como:
Então: ou
Quando
, a reta secante tende para a reta tangente ,
e
. Geometricamente
mede a inclinação da reta tangente à curva
.
Exemplo Sendo C uma constante e
Propriedades 1. 2. 3. 4. 5.
, calcular pela definição
.
no ponto
Significado Geométrico da Derivada
inclinação da tangente T no ponto P N = reta normal ao gráfico de
no ponto P
Exemplo Obter as equações das retas normal e tangente ao gráfico da função nos pontos e . e No ponto (2,0)
No ponto (-1,3)
Derivadas de Ordem Superior Derivada primeira
Derivada segunda
Derivada terceira
Derivada enésima
Exemplos 1. Calcular a)
:
b)
Regra da Cadeia Se
e
e as derivadas
composta definida por
Para derivar
existem, ambas, então a função
tem derivada dada por:
podemos expandir a função e depois derivar, ou seja:
Se quisermos derivar a função regra da cadeia. Assim:
e
só conseguiremos resolver através da
Exemplos 1.
2.
Derivada das Funções Trigonométricas Propriedades
Exemplos 1. Calcular as derivadas: a)
b)
c)
d)
Derivada da Função Inversa Vimos à regra da cadeia para a composição de duas funções
Para a função inversa
e
:
Portanto: ou
Derivada da Função Exponencial e Logarítmica Propriedade
Exemplos 1. Derivar: a)
b)
c)
d)
Derivadas de Funções na Forma Implícita Considere a expressão:
Podemos isolar y em função de x:
Ficam definidas duas funções:
Diz-se que e explícita (y em função de x), enquanto Seja
. Usando a Regra da Cadeia, onde
Ou seja, derivada de Logo:
, com relação a x é
são funções na forma é uma função na forma implícita.
Exemplos 1. Calcular a)
para as funções abaixo:
b)
c)
2. Encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva no ponto
.
Derivando com relação a , temos:
No ponto
Reta tangente T
Reta Normal N
Diferenciais de uma Função Dada uma função
Onde
. Define-se diferencial de
é o acréscimo da variável independente
como:
e
é o diferencial de .
Define-se então a diferencial da variável dependente como:
Lembrando o significado geométrico da derivada, temos:
Exemplo 1. Obter um valor aproximado para
.
Escolhendo
2. Obter um valor aproximado para
.
Aplicações de Derivada Máximos e Mínimos de uma função Considere a função cujo gráfico é:
é crescente nos intervalos é decrescente nos intervalos é constante no intervalo
Se
é constante,
Exemplos Determinar os intervalos em que a função decrescente.
se
é crescente
se
é decrescente
é crescente e onde é
1. Determinar os intervalos em que a função onde é decrescente.
se
é crescente
se
é decrescente
é crescente e
Máximos e Mínimos Relativos ou Locais Seja
definida no domínio D.
Resultado Se
existe e é contínua, então num ponto de máximo ou de mínimo local temos . Esse ponto é chamado ponto crítico de .
Estudo do Sinal da Derivada Segunda Para se caracterizar máximos e mínimos locais é necessário uma análise do sinal da derivada segunda da função .
Observe que para
temos
temos
é decrescente e portanto sua derivada
. Logo
. Para
temos
e para .
Conclusão Dada uma função
:
a) Calcular a derivada primeira b) Obter os pontos críticos
.
para os quais
.
c) Calcular a derivada segunda: Se temos que é ponto de máximo relativo. Se
temos que
é ponto de mínimo relativo.
Exemplos: 1. Determinar os pontos de máximos e mínimos locais da função Pontos críticos é o ponto de máximo relativo é o valor máximo relativo de
.
2. Determinar os pontos de máximos e mínimos locais da função .
é abcissa do ponto de máximo relativo máximo relativo.
é o valor de
.
é abcissa do ponto de máximo relativo
é o valor de
mínimo relativo.
Estudo da Concavidade de uma Função A concavidade de uma curva
é identificada pelo sinal da derivada segunda.
Se
num intervalo do domínio D temos concavidade voltada para cima.
Se
num intervalo do domínio D temos concavidade voltada para baixo.
Um ponto do gráfico de
onde há mudança no sinal da derivada segunda
chamado ponto de inflexão
.
Exemplo 1. Seja
. Determine:
a) O intervalo onde é crescente e onde é decrescente. b) Pontos de máximo e mínimo relativos. c) Pontos de inflexão.
a) Estudo do sinal:
para para
ou
f crescente f decrescente
é
b)
c) Inflexão: passa de negativo para positivo:
Máximos e Mínimos Absolutos Se pontos 1. 2.
é contínua e definida num intervalo fechado [a,b] então existem e tais que: é ponto de mínimo absoluto de é ponto de máximo absoluto de
Para se obter os pontos de mínimo e máximo absoluto determina-se inicialmente os pontos de mínimo e máximo relativos. Compara-se esses valores com os da função no extremo do intervalo.
Exemplo Seja
no intervalo
.
Pontos de máximo e mínimo relativos:
como função Calculando
então
é ponto de máximo local e o valor máximo da
. nos extremos
Por comparação absoluto.
e
é ponto de máximo absoluto e
é ponto de mínimo
