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Caderno de Exerc´ıcios
Diego Alves Oliveira
Exerc´ıcios Resolvidos: Deriva¸c˜ao por Limite Contato:
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Atualizado em 06/03/2016 Como calcular? Utilizamos duas f´ ormulas
f (x + h) − f (x) f (x) = lim (1) h→0 h f (x) − f (a) (2) f 0 (a) = lim x→a x−a 0
Onde (1) fornece a derivada da fun¸c˜ao e (2) o valor da derivada no ponto a.
Exemplo 1: Calcule a derivada de f (x) =
1 3 x− . 2 5
Solu¸ c˜ ao: O que desejamos ´e determinar uma fun¸c˜ao f 0 (x), portanto utilizaremos a f´ormula 1.
(1/2)(x + h) − (3/5) − f 0 (x) = lim h→0 h
Logo f 0 (x) =
1 3 1 x− h 2 5 = 2 = 1 h 2
1 2
Exemplo 2: Calcule a derivada de f(x) = 5x2 − 3x + 7. Solu¸ c˜ ao: O que desejamos ´e determinar uma fun¸c˜ao f 0 (x), portanto utilizaremos a f´ormula 1.
f 0 (x) = lim
h→0
5(x + h)2 − 3(x + h) + 7 − (5x2 − 3x + 7) h
f 0 (x) = lim (10x + 5h − 3) = 10x − 3 h→0
1
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Exemplo 3: Calcule a derivada de f(x) = cos(3x). Solu¸ c˜ ao: f 0 (x) = lim
h→0
cos(3(x + h)) − cos(3x) h
0
f (x) = lim
h→0
cos(3x + 3h) − cos(3x) h
Como cos(A+B) = cos(A)cos(B) − sen(A)sen(B).
0
cos(3x)cos(3h) − sen(3x)sen(3h) − cos(3x) h
f (x) = lim
h→0
f 0 (x) = lim
h→0
0
f (x) = lim
h→0
f 0 (x) = lim
h→0
cos(3x)(cos(3h) − 1) − sen(3x)sen(3h) h
cos(3x)(cos(3h) − 1) sen(3x)sen(3h) − lim h→0 h h
sen(3h) cos(3h − 1) · 3cos(3x) − lim · 3sen(3x) h→0 3h 3h
f 0 (x) = 0 · 3cos(3x) − 1 · 3sen(3x) f 0 (x) = −3sen(3x)
Exemplo 4: Calcule a derivada de f 0 (2) sendo f(x) = x2 –3x + 4. Solu¸ c˜ ao: Diferente dos outros exerc´ıcios at´e agora o que desejamos aqui ´e apenas o valor de f 0 (2). Assim usaremos a f´ ormula (2).
f 0 (2) = lim
h→2
0
f (2) = lim
h→2
(x2 − 3x + 4) − (22 − 3(2) + 4) x−2
x2 − 3x + 2 x−3
f 0 (2) = lim
h→2
= lim
h→2
(x − 2)(x − 1) x− 2
2
(x − 2)(x − 1) x−2
= lim (x − 1) h→2
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f 0 (2) = 2 − 1 = 1
Exemplo 5: Encontre a derivada da fun¸c˜ao f (x) = 4 −
√
x + 3.
Solu¸ c˜ ao: lim
4−
p
h→0
√ = lim
(x + h) + 3 − 4 − h
x+3−
h→0
√
√
x+3
!
! p (x + h) + 3 h
! p p √ (x + h) + 3 x + 3 + (x + h) + 3 p = lim ·√ h→0 h x + 3 + (x + h) + 3 √ 2 2 p − x + 3 (x + h) + 3 = lim √ p h→0 h x + 3 + (x + h) + 3 x+3−
x + 3 − (x + h) − 3 = lim √ p h→0 h x + 3 + (x + h) + 3 x + 3 − x − h − 3 = lim √ p h→0 h x + 3 + (x + h) + 3
= lim − √ h→0 h x+3+
h p
(x + h) + 3
1 = lim − √ p h→0 x + 3 + (x + h) + 3 = − √
x+3+
1 p
1 1 =− √ =− √ √ x + 3 + x + 3 2 x +3 (x + 0) + 3
Exemplo 6: Encontre a derivada da fun¸c˜ao f (x) = Solu¸ c˜ ao:
3
x+1 . 2−x
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(x + h) + 1 x + 1 − 2 − (x + h) 2 − x lim h→0 h
(x + h) + 1 x+1 = lim − h→0 h(2 − x + h) h(2 − x) h2 (2 + 1) = lim h→0 h2 (2 − x − h)(2 − x) =
3 (2 − x − 0)(2 − x)
=
3 (2 − x)2
Exemplo 7: Encontre o valor da derivada de f (x) = 2x2 + 1 no ponto x = 3. Solu¸ c˜ ao: Utilizando a f´ ormula (2): 2 2x + 1 − (2(3)2 + 1) lim x→3 x−3 2 (x − 3)(2x + 6) 2x − 18 = lim = lim (2x + 6) = 2(3) + 6 = 12 = lim x→3 x→3 x→3 x−3 x−3
Exemplo 8: Calcule o valor da derivada de f (x) =
x3 + 4 no ponto x = 5. x2 − 5
Solu¸ c˜ ao: Utilizando a f´ ormula (2): 3 x + 4 53 + 4 x2 − 5 − 52 − 5 lim x→5 x−5
3 x + 4 6.45(x2 − 5) x3 + 4 − x2 − 5 − 6.45 2 (x2 − 5) = lim x − 5 = lim x→5 x→5 x−5 x−5
= lim
x→5
x3 + 4 − 6.45x2 + 32.25 (x − 5)(x2 − 5)
= lim
x→5
x3 − 6.45x2 + 36.25 (x − 5)(x2 − 5)
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(x − 5)(x2 − 1.45x − 7.25) (x − 5)(x2 − 5)
x2 − 1.45x − 7.25 x2 − 5
= lim
x→5
= lim
x→5
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=
(5)2 − 1.45(5) − 7.25 10.5 = = 0.525 2 (5) − 5 20
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao. Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com 5
