Derivada

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Capítulo 3 DERIVADAS A derivada de uma função é considerada a ferramenta mais importante do cálculo diferencial. Essa popularidade é resultado das inúmeras aplicações dessa poderosa ferramenta. Por exemplo, o desenvolvimento de novos aparelhos e o aperfeiçoamento dos já existentes, de alguma forma, depende do conhecimento da derivada de uma função. É interessante saber que a derivada nasceu de uma idéia bem simples: o cálculo do coeficiente angular de uma reta usando limites. CONCEITO DE DERIVADA Antes de formalizar a definição de derivada, vamos começar com um exemplo numérico. EXEMPLO Considere a seguinte função: f (x) = x 2 Primeiramente, vamos escolher dois valores de x: x 0 = 1 e x1 = 2 Os valores de y correspondentes a esses pontos são: y 0 = f (1) = 12 = 1 e y1 = f (2) = 2 2 = 4 Então, a curva da função passa pelos pontos: P = ( x 0 , y 0 ) = (1,1) Q = ( x 1 , y1 ) = (2,4) Podemos traçar uma reta que passa por P e Q cujo coeficiente angular é dado por: ∆y y1 − y 0 4 − 1 3 m= = = = =3 ∆x x 1 − x 0 2 − 1 1 O denominador do coeficiente angular é igual a: ∆x = x 1 − x 0 = 1 Graficamente, podemos enxergar melhor essa situação: Agora vamos fazer: x1 = 1,1 Então: y1 = f (1,1) = 1,12 = 1,21 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS Portanto, o ponto Q tem as seguintes coordenadas: Q = ( x 1 , y1 ) = (1,1 , 1,21) O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por: ∆y y1 − y 0 1,21 − 1 0,21 m= = = = = 2,1 ∆x x 1 − x 0 1,1 − 1 0,1 Sendo que: ∆x = x 1 − x 0 = 1,1 − 1 = 0,1 Novamente, vamos fazer: x 1 = 1,01 Então: y1 = f (1,01) = 1,012 = 1,0201 As coordenadas do ponto Q são iguais a: Q = ( x 1 , y1 ) = (1,1 , 1,0201) O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por: ∆y y1 − y 0 1,0201 − 1 0,0201 m= = = = = 2,01 ∆x x 1 − x 0 1,01 − 1 0,01 Sendo que: ∆x = x 1 − x 0 = 1,01 − 1 = 0,01 Vamos colocar todos os resultados obtidos na seguinte tabela: ∆x 1 0,1 0,01 ... 0 m 3 2,1 2,01 ... 2 À medida que ∆x se aproxima de zero, o ponto Q se aproximará cada vez mais de P e a reta que corta a função passará a tangenciá-la. O coeficiente angular da reta tangente a f(x) é igual a 2. A situação, quando ∆x tende a zero, pode ser vista no gráfico abaixo: Note que esse é um processo limite dado por: ∆y m = lim ∆x →0 ∆x Onde m é o coeficiente angular da reta tangente a f(x). Vamos formalizar o conceito de derivada comparando com o exemplo numérico mostrado. PÁGINA 2 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS Definimos a derivada de uma função f(x) pelo seguinte limite: f ( x + ∆x ) − f ( x ) lim ∆x →0 ∆x Vamos mostrar, de uma forma genérica, o significado dessa expressão. Começamos colocando no gráfico os pontos P e Q: Note que podemos traçar uma reta que passa por P e Q. O coeficiente angular dessa reta é dado por: ∆y y1 − y 0 f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) m= = = = ∆x x 1 − x 0 ( x + ∆x ) − x ∆x À medida que ∆x tende a zero, o ponto Q se aproxima cada vez mais de P: ∆x→0 No limite, quando ∆x tende a zero, a reta tangenciará a função no ponto P. O coeficiente angular dessa reta é então conhecido como derivada da função: f ( x + ∆x ) − f ( x ) Derivada = lim ∆x →0 ∆x Alguns autores costumam calcular a derivada através da fórmula equivalente: f (x + h) − f (x) Derivada = lim h →0 h A representação de derivada é feita colocando-se um apóstrofo após o símbolo f em f(x): f ′( x ) Então: f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ′( x ) = lim ∆x →0 ∆x PÁGINA 3 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS Pela definição, notamos que a derivada depende do valor de x. Isso significa que podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente à função f(x) para qualquer valor de x escolhido. No capítulo 1, vimos que o coeficiente angular de uma reta fornece a taxa de variação da variável y em relação à variável x (por exemplo, graus Celsius por hora ou milhões por ano). Portanto, a derivada mede a taxa de variação da função f(x) num determinado ponto x, ou seja, quanto maior o valor da derivada em x então mais inclinada será a função f(x) nesse ponto. Vamos verificar essa afirmação através do seguinte gráfico: Podemos perceber que a reta r tem inclinação menor que a reta s. Nesse caso, a derivada em x1 é menor que a derivada em x2. O resultado é que a função f(x) em x2 é mais inclinada que em x1. ENCONTRANDO A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO Vamos aplicar o limite que define a derivada para estabelecermos as regras de derivação de algumas funções. • f (x) = 5 f ( x + ∆x ) = 5 (para qualquer valor de x, a função será sempre igual a 5) f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ′( x ) = lim ∆x →0 ∆x 5−5 f ′( x ) = lim =0 ∆x →0 ∆x Resumo: A derivada de uma função constante é igual a zero. • f ( x ) = 5x f ( x + ∆x ) = 5( x + ∆x ) = 5x + 5∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ′( x ) = lim ∆x →0 ∆x 5x + 5∆x − 5x f ′( x ) = lim ∆x →0 ∆x 5∆x f ′( x ) = lim = lim 5 = 5 ∆x →0 ∆x ∆x →0 Resumo: A derivada de uma função linear é igual ao seu coeficiente angular. PÁGINA 4 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS • f ( x ) = 5x 2 f ( x + ∆x ) = 5( x + ∆x ) 2 = 5( x 2 + 2x∆x + ∆x 2 ) = 5x 2 + 10 x∆x + 5∆x 2 f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ′( x ) = lim ∆x →0 ∆x 2 5x + 10 x∆x + 5∆x 2 − 5x 2 f ′( x ) = lim ∆x →0 ∆x ∆x (10 x + 5∆x ) 10x∆x + 5∆x 2 f ′( x ) = lim = lim ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x f ′( x ) = lim (10x + 5∆x ) = 10x ∆x → 0 f ′( x ) = 5 ⋅ (2 ⋅ x ) Resumo: A derivada de uma função quadrática é igual à sua constante (5) multiplicada pelo valor do expoente (2) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade. • f ( x ) = 5x 3 f ( x + ∆x ) = 5( x + ∆x ) 3 = 5( x 3 + 3x 2 ∆x + 3x∆x 2 + ∆x 3 ) f ( x + ∆x ) = 5x 3 + 15x 2 ∆x + 15x∆x 2 + 5∆x 3 f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ′( x ) = lim ∆x →0 ∆x 3 5x + 15x 2 ∆x + 15x∆x 2 + 5∆x 3 − 5x 3 f ′( x ) = lim ∆x →0 ∆x 2 2 ∆x (15x 2 + 15x∆x + 5∆x 2 ) 15x ∆x + 15x∆x + 5∆x 3 f ′( x ) = lim = lim ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x 2 2 2 f ′( x ) = lim (15x + 15x∆x + 5∆x ) = 15x ∆x →0 f ′( x ) = 5 ⋅ (3 ⋅ x 2 ) Resumo: A derivada de uma função cúbica é igual à sua constante (5) multiplicada pelo valor do expoente (3) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade. A regra geral para o caso de funções com potências de x é dada por: f (x) = k ⋅ x n f ′( x ) = k ⋅ n ⋅ x n −1 EXEMPLO Calcular a derivada da função: f ( x ) = 10x 5 SOLUÇÃO Pela regra geral: f ′( x ) = 10 ⋅ 5 ⋅ x 5−1 = 50x 4 PÁGINA 5 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS Outras funções podem ser enquadradas na forma geral mostrada anteriormente. Por exemplo: • f (x) = 2 x Primeiramente, vamos modificar essa função: 1 x2 f (x) = x = Aplicando a regra da derivada vista anteriormente: f ′( x ) = k ⋅ n ⋅ x n −1 2 1 1 1 −1 1 1 1 − 1 1 f ′( x ) = 1⋅ ⋅ x 2 = ⋅ x 2 = ⋅ 1 = 2 2 2 2 2⋅ x x2 Resumo: A derivada da função raiz quadrada é formada colocando 1 no numerador, 2 (índice da raiz) no denominador, seguido da raiz quadrada de x. • f (x) = 3 x Primeiramente, vamos modificar essa função: 1 f (x) = 3 x 1 = x 3 Aplicando a regra da derivada: f ′( x ) = k ⋅ n ⋅ x n −1 1 2 −1 1 1 − 1 1 1 f ′( x ) = 1 ⋅ ⋅ x 3 = ⋅ x 3 = ⋅ 2 = 3 3 3 3⋅ 3 x2 x3 Resumo: A derivada da função raiz cúbica é formada colocando 1 no numerador, 3 (índice da raiz) no denominador, seguido da raiz cúbica de x elevado à potência 2. • f (x) = 4 x 3 Primeiramente, vamos modificar essa função: 3 x4 f (x) = x = Aplicando a regra da derivada: f ′( x ) = k ⋅ n ⋅ x n −1 4 3 3 1 −1 3 3 − 3 1 3 f ′( x ) = 1⋅ ⋅ x 4 = ⋅ x 4 = ⋅ 1 = 4 4 4 4 ⋅ 4 x1 x4 Resumo: A derivada da função é formada colocando 3 no numerador (potência de x dentro da raiz), 4 (índice da raiz) no denominador seguido da raiz quarta de x elevado à potência 1. A regra geral para o caso de funções raiz é dada por: q f ( x ) = k ⋅ x p , com q>p k⋅p f ′( x ) = q q ⋅ x q −p PÁGINA 6 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS EXEMPLO Encontrar a derivada da função: f (x) = 5 ⋅ 5 x 2 SOLUÇÃO Aplicando a regra para funções raiz: 5⋅2 10 f ′( x ) = = 5 5− 2 5⋅ x 5 ⋅ 5 x3 1 x Primeiramente, vamos modificar essa função: 1 f ( x ) = 1 = x −1 x Aplicando a regra da derivada: f ′( x ) = k ⋅ n ⋅ x n −1 1 f ′( x ) = 1 ⋅ (−1) ⋅ x −1−1 = −1 ⋅ x − 2 = − 2 x Resumo: A derivada da função é formada colocando -1 no numerador, seguido de x elevado à potência 2 no denominador. • f (x) = • f (x) = 1 • f (x) = 1 x2 Primeiramente, vamos modificar essa função: 1 f (x) = 2 = x −2 x Aplicando a regra da derivada: f ′( x ) = k ⋅ n ⋅ x n −1 2 f ′( x ) = 1 ⋅ (−2) ⋅ x − 2−1 = −2 ⋅ x −3 = − 3 x Resumo: A derivada da função é formada colocando -2 no numerador, seguido de x elevado à potência 3 no denominador. x3 Primeiramente, vamos modificar essa função: 1 f ( x ) = 3 = x −3 x Aplicando a regra da derivada: f ′( x ) = k ⋅ n ⋅ x n −1 3 f ′( x ) = 1 ⋅ (−3) ⋅ x −3−1 = −3 ⋅ x − 4 = − 4 x Resumo: A derivada da função é formada colocando -3 no numerador, seguido de x elevado à potência 4 no denominador. PÁGINA 7 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS A regra geral esse tipo de função é dada por: 1 f (x) = k ⋅ n x k ⋅ (−n ) f ′( x ) = n +1 x EXEMPLO Encontrar a derivada da função: 3 f (x) = 4 x SOLUÇÃO Aplicando a regra estabelecida: 3 ⋅ (−4) 12 f ′( x ) = 4+1 = − 5 x x EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE Sabemos calcular o coeficiente angular da reta tangente a f(x). Nesse ponto, vamos encontrar a equação que define a reta tangente a f(x). EXEMPLO Encontrar a equação da reta tangente a f ( x ) = x 2 no ponto x 0 = 3 . SOLUÇÃO O coeficiente angular da reta tangente à função f ( x ) = x 2 é dada por: f ′( x ) = 2x No ponto x 0 = 3 , o valor do coeficiente angular é igual a: f ′( x 0 ) = f ′(3) = 2 ⋅ 3 = 6 Se quisermos saber a equação dessa reta basta saber em que ponto ela passa. No caso, quando x 0 = 3 : y 0 = f ( x 0 ) = f (3) = 3 2 = 9 Então, a reta tangente passa pelo ponto P: P = ( x 0 , y 0 ) = (3,9) Logo, a equação procurada é dada por: ( y − y 0 ) = m ⋅ (x − x 0 ) ( y − y 0 ) = f ′( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) ( y − 9) = 6 ⋅ ( x − 3) y = 6x − 9 O resultado é mostrado no gráfico ao lado. f(x)=x2 y=6x-9 É importante notar que o sinal do coeficiente angular indica se a função é crescente ou decrescente em determinados intervalos. No exemplo anterior, quando x>0, a derivada será sempre positiva o que quer dizer que a função será sempre crescente nesse intervalo. Por outro lado, quando x<0, a derivada será sempre negativa o que quer dizer que a função será sempre decrescente nesse intervalo. PÁGINA 8 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS O gráfico abaixo expressa bem o que afirmamos anteriormente: DERIVADAS DE OUTRAS FUNÇÕES Derivadas de outras funções podem ser demonstradas através de limites. A tabela a seguir mostra o resultado desse cálculo. Função f ( x ) = sen ( x ) f ( x ) = cos( x ) f ( x ) = tg ( x ) Derivada f ′( x ) = cos( x ) f ′( x ) = −sen ( x ) f ′( x ) = sec 2 ( x ) f (x) = e x f ′( x ) = e x f (x ) = a x f ′( x ) = a x ln a 1 f ′( x ) = x f ( x ) = ln x EXEMPLO Provar que, se f ( x ) = e x então f ′( x ) = e x . SOLUÇÃO Primeiramente, devemos calcular: f ( x + ∆x ) = e x + ∆x = e x ⋅ e ∆x A derivada da função é dada pelo seguinte limite: f ( x + ∆x ) − f ( x ) e x (e ∆x − 1) e ∆x − 1 f ′( x ) = lim = lim = e x ⋅ lim ∆x →0 ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x ∆x Para resolver esse limite, vamos fazer: u = e ∆x − 1 ⇒ ∆x = ln(1 + u ) Pela equação anterior, podemos concluir que: u → 0 quando ∆x → 0 Substituindo no limite: e ∆x − 1 u 1 1 lim = lim = lim = 1 1 ∆x →0 ∆x u →0 ln(1 + u ) u →0 u ln(1 + u ) lim ln(1 + u ) u u →0 lim ∆x →0 e ∆x −1 = ∆x 1  ln  lim (1 + u →0 1 u) u    = 1 =1 ln e Então: f ′( x ) = e x PÁGINA 9 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PROPRIEDADES DA DERIVADA A derivada de uma função apresenta as seguintes propriedades: (a) [k ⋅ f ( x )]′ = k ⋅ f ′( x ) (b) [f ( x ) + g( x )]′ = f ′( x ) + g ′( x ) (c) [f ( x ) ⋅ g ( x )]′ = f ′( x ) ⋅ g( x ) + f ( x ) ⋅ g ′( x ) ′  f (x)  f ′( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ′( x ) = , desde que g(x)≠0 (d)   [g(x )]2  g( x )  EXEMPLO Calcular as derivadas: 1) f ( x ) = 3x 2 , então f ′( x ) = 3 ⋅ ( x 2 )′ = 3 ⋅ (2x ) = 6 x 2) f ( x ) = 3 cos(x ) , então f ′( x ) = 3 ⋅ [cos(x )]′ = 3 ⋅ [−sen ( x )]′ = −3sen ( x ) 3) f ( x ) = x 3 + 2x 2 , então f ′( x ) = ( x 3 )′ + 2 ⋅ ( x 2 )′ = 3x 2 + 4 x 4) f ( x ) = x 3 ⋅ cos(x ) , então f ′( x ) = ( x 3 )′ ⋅ cos(x ) + x 3 ⋅ [cos(x )]′ f ′( x ) = 3x 2 ⋅ cos(x ) + x 3 ⋅ [−sen ( x )] = 3x 2 ⋅ cos(x ) − x 3 ⋅ sen ( x ) 5) f ( x ) = ( x 3 )′ ⋅ cos(x ) − x 3 ⋅ [cos(x )]′ x3 , então f ′( x ) = cos(x ) [cos(x )] 2 f ′( x ) = 3x 2 ⋅ cos(x ) − x 3 ⋅ [−sen( x )] cos 2 ( x ) = 3x 2 ⋅ cos(x ) + x 3 ⋅ sen( x ) cos 2 ( x ) DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR A UM Até o momento, aprendemos apenas a calcular a primeira derivada (também chamada de derivada de primeira ordem). Vamos definir agora as derivadas de ordem superior a um. A segunda derivada é expressa por: f ′′( x ) = [f ′( x )]′ Para obtermos a segunda derivada da função, basta derivarmos a primeira derivada. EXEMPLO Encontrar a segunda derivada da função: f (x) = x 3 SOLUÇÃO A primeira derivada é dada por: f ′( x ) = 3x 2 Então, a segunda derivada é igual a: f ′′( x ) = 3 ⋅ (2 x ) = 6x Definimos as derivadas de ordem três, quatro, cinco e a derivada de ordem n da seguinte forma: f ′′′( x ) = [f ′′( x )]′ f (iv) ( x ) = [f ′′′( x )]′ PÁGINA 10 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS f ( v ) ( x ) = [f (iv ) ( x )]′ f ( n ) ( x ) = [f ( n −1) ( x )]′ Conforme a última fórmula, se quisermos obter a décima derivada de uma função, então, precisamos encontrar todas as derivadas de ordem inferior a dez. EXEMPLO Encontrar a quinta derivada da função: f ( x ) = x 10 SOLUÇÃO A primeira derivada é dada por: f ′( x ) = [f ( x )]′ = 10x 9 A segunda derivada é igual a: f ′′( x ) = [f ′( x )]′ = 10 ⋅ (9 x 8 ) = 90x 8 A terceira derivada é igual a: f ′′′( x ) = [f ′′( x )]′ = 90 ⋅ (8x 7 ) = 720x 7 A quarta derivada é igual a: f (iv) ( x ) = [f ′′′( x )]′ = 720 ⋅ (7 x 6 ) = 5040x 6 Finalmente, a quinta derivada é igual a: f ( v) ( x ) = [f (iv) ( x )]′ = 5040 ⋅ (6x 5 ) = 30240x 5 NOTAÇÃO PARA DERIVADAS Chamamos de notação à maneira que representamos uma idéia matemática. Por exemplo, a notação de uma função é feita de uma das seguintes formas: f(x) ou y EXEMPLO A notação de primeira derivada é dada por uma das formas abaixo: dy f ′( x ) , y ′ , y& ou dx A última forma é a mais importante e significa a primeira derivada de y em relação a x. A segunda derivada pode ser representada por uma das formas abaixo: d2y ′ ′ ′ ′ f ( x ) , y , &y& ou dx 2 A notação da terceira derivada é dada por uma das seguintes formas: d3y f ′′′( x ) , y ′′′ , &y&& ou dx 3 E assim sucessivamente, até a n-ésima derivada: dn y f ( n ) ( x ) , y ( n ) ou dx n REGRA DA CADEIA A derivada de uma função composta é conhecida como regra da cadeia, ou seja, desejamos conhecer a derivada de funções do tipo: y = f (g( x )) PÁGINA 11 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS Nesse caso, vamos fazer: u = g(x ) Então a função inicial se torna: y = f (u ) A derivada de y em relação a x é dada por: dy dy du dy du = ⋅ = ⋅ dx dx du du dx Essa expressão é conhecida como regra da cadeia. Podemos escrever a regra da cadeia de uma forma mais simples: dy = y ′(u ) ⋅ u ′( x ) dx EXEMPLO Encontrar a derivada de y em relação a x da função: y = sen(x 2 ) SOLUÇÃO Podemos notar que a função g ( x ) = x 2 está dentro da função seno. Devemos fazer então: u = x2 A função y se torna: y = sen(u ) A derivada de y em relação a u é igual a: y ′(u ) = cos( u ) A derivada de u em relação a x é igual a: u ′( x ) = 2 x Então a derivada de y em relação a x é dada por: dy = y ′(u ) ⋅ u ′( x ) dx dy = cos(u ) ⋅ 2 x dx Substituindo u por x2 na equação anterior: dy = cos(x 2 ) ⋅ 2x dx EXEMPLO Encontrar a derivada de y em relação a x da função abaixo: y = ( x 3 + x 2 + 2x ) 2 SOLUÇÃO Note que a função g ( x ) = x 3 + x 2 + 2x está dentro da função quadrática. Devemos fazer: u = x 3 + x 2 + 2x A função y se torna então: y = u2 A derivada de y em relação a u é igual a: y ′(u ) = 2u PÁGINA 12 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS A derivada de u em relação a x é igual a: u ′( x ) = 3x 2 + 2x + 2 Então a derivada de y em relação a x é dada por: dy = y ′(u ) ⋅ u ′( x ) dx dy = 2u ⋅ (3x 2 + 2 x + 2) dx Substituindo a expressão de u na equação anterior: dy = 2( x 3 + x 2 + 2 x ) ⋅ (3x 2 + 2x + 2) dx Podemos generalizar a regra da cadeia através da seguinte fórmula: df df dy dy df1 df 2 = ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ n −1 ⋅ n dx df1 df 2 df 3 df n dx Ou na forma mais simples: dy = y ′(f1 ) ⋅ f1′ (f 2 ) ⋅ f 2′ (f 3 ) ⋅ ... ⋅ f n′ −1 (f n ) ⋅ f n′ ( x ) dx EXEMPLO Encontrar a derivada de y em relação a x da função abaixo: y = sen (ln(x 3 )) SOLUÇÃO Para resolver o problema, devemos fazer: f2 = x3 A função y se tornará então: y = sen(ln(f 2 )) Agora fazemos: f1 = ln(f 2 ) Isso torna a função y igual a: y = sen (f1 ) Começaremos calculando a derivada de f2 em relação a x: f 2′ ( x ) = 3x 2 Em seguida, vamos calcular a derivada de f1 em relação a f2: f1′ (f 2 ) = 1 1 = 3 f2 x O cálculo da derivada de y em função de f1 fornece: y ′(f1 ) = cos(f1 ) = cos(ln(f 2 )) = cos(ln(x 3 )) A derivada de y em relação a x é dada pela regra da cadeia: dy = y ′(f1 ) ⋅ f1′ (f 2 ) ⋅ f 2′ ( x ) dx dy 1 = cos(ln(x 3 )) ⋅ 3 ⋅ 3x 2 dx x Finalmente, a derivada de y em relação a x é dada por: dy 3 ⋅ cos(ln(x 3 )) = dx x PÁGINA 13 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS APLICAÇÕES DA REGRA DA CADEIA No capítulo 1, mostramos que a curva de Gauss é dada pela seguinte função: 1 f (x) = 1  x −µ  − ⋅ 2  σ  2 ⋅e σ 2π Observando f(x) atentamente, podemos identificar uma composição de três funções. Portanto, para calcularmos a primeira derivada devemos fazer uso da regra da cadeia: df df du dg = ⋅ ⋅ = f ′(u ) ⋅ u ′(g) ⋅ g ′( x ) dx du dg dx Primeiramente, devemos fazer: x −µ g= σ A função f se tornará então: f = 1 1 − g2 ⋅e 2 σ 2π Agora fazemos: 1 u = − g2 2 Isso torna a função f igual a: 1 f= ⋅ eu σ 2π Começaremos calculando a derivada de g em relação a x: g ′( x ) = 1 σ Lembre-se que o parâmetro µ que aparece em g é constante e a sua derivada é nula. Em seguida, vamos calcular a derivada de u em relação a g: u ′(g) = −g O cálculo da derivada de f em função de u fornece: f ′(u ) =  d  1 1 d u 1  ⋅ e u  = ⋅ (e ) = ⋅ eu du  σ 2π du σ 2π  σ 2π 1 Note que o parâmetro é constante, portanto, devemos derivar apenas a função σ 2π exponencial. A derivada de f em relação a x é dada pela regra da cadeia: df = f ′(u ) ⋅ u ′(g) ⋅ g ′( x ) dx df 1 1 = ⋅ e u ⋅ ( −g ) ⋅ dx σ 2π σ Substituindo os valores de u e g: 1  x −µ  2 −   df 1 x −µ 1 =− ⋅ e 2 σ  ⋅  ⋅ dx σ 2π  σ  σ A derivada de f(x) será usada posteriormente para mostrar onde se localiza o ponto de máximo dessa função. Esse resultado é importante, pois nos informa qual é a ocorrência que tem a maior probabilidade de acontecer. Por exemplo, em uma distribuição de alturas dos alunos de uma escola, qual será a altura mais provável de ser encontrada ? PÁGINA 14 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS DERIVADA DE FUNÇÃO INVERSA Vamos dividir por dy o numerador e o denominador da derivada dy : dx dy dy ÷ dy = dx dx ÷ dy Para encontrar a derivada de uma função inversa, basta aplicar a seguinte regra: dy 1 = dx dx dy EXEMPLO Encontrar a derivada da função abaixo: y = arcsen ( x ) SOLUÇÃO A função inversa de y é dada por: sen ( y) = x Derivando a expressão anterior: dx = cos( y) dy Então, a derivada de y em relação a x é igual a: dy 1 = dx cos y O segundo membro não pode ficar em função de y. Podemos eliminar a dependência de y através da relação trigonométrica fundamental: sen 2 y + cos 2 y = 1 cos 2 y = 1 − sen 2 y cos y = 1 − sen 2 y = 1 − x 2 Substituindo na expressão da derivada: dy 1 = dx 1− x2 Resumo: a derivada da função arco-seno é igual a 1 1− x2 . EXEMPLO Encontrar a derivada da função abaixo: y = ln x SOLUÇÃO A função inversa de y é dada por: ey = x Derivando a expressão anterior: dx = ey dy PÁGINA 15 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS Então, a derivada de y em relação a x é igual a: dy 1 = dx e y O segundo membro não pode ficar em função de y. Podemos eliminar a dependência de y sabendo que: ey = x Então: dy 1 = dx x 1 Resumo: a derivada da função logaritmo neperiano de x é igual a . x Através desse método, podemos encontrar as seguintes derivadas: Função f ( x ) = ar cos( x ) f ( x ) = arctg( x ) f (x) = x Derivada 1 f ′( x ) = − 1− x2 1 f ′( x ) = 1+ x2 1 f ′( x ) = 2 x DERIVADA DE FUNÇÃO IMPLÍCITA Quando existirem somente ocorrências da variável x no segundo membro da equação de uma função, então dizemos que a função é explícita. Esse tipo de função possui a seguinte representação: y = f (x) EXEMPLO São funções explícitas: y = 5x 2 − 2 y = cos(x ) Note que a variável x aparece apenas no segundo membro em todas as funções dadas. Por outro lado, dizemos que uma função é implícita quando estiver na forma: f ( x , y) = 0 A derivada desse tipo de função é feita usando as regras e as propriedades das derivadas de funções explícitas. EXEMPLO Encontre a derivada da seguinte função implícita: y2 + x 2 + 2 = 0 SOLUÇÃO Tomando a derivada em relação a x nos dois membros: d 2 d ( y + x 2 + 2) = ( 0) dx dx PÁGINA 16 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS Podemos aplicar a propriedade da derivada da soma para encontrar: d 2 d 2 d d (y ) + (x ) + ( 2) = (0) dx dx dx dx Fazendo u = y 2 , podemos calcular a derivada do primeiro termo através da regra da cadeia: du du dy = ⋅ dx dy dx d 2 dy (y ) = 2y ⋅ dx dx 2 Chamando u = x , podemos calcular a derivada do segundo termo: du = 2x dx d 2 ( x ) = 2x dx As derivadas do terceiro termo do primeiro membro e do segundo membro são iguais a zero já que a derivada de uma constante é igual a zero. Vamos substituir as derivadas em cada um dos termos da equação de origem: dy 2y + 2x = 0 dx dy Isolando no primeiro membro teremos: dx dy 2x x =− =− dx 2y y EXEMPLO Encontre a derivada da seguinte função implícita: xy + x 2 − 1 = 0 SOLUÇÃO Podemos aplicar a propriedade da derivada da soma para encontrar: d d 2 d d ( xy) + ( x ) − (1) = ( 0) dx dx dx dx O primeiro termo é a derivada do produto de duas funções: d dy dx dy ( xy) = x +y =x +y dx dx dx dx Chamando u = x 2 , podemos calcular a derivada do segundo termo: du = 2x dx As derivadas do terceiro termo do primeiro membro e do segundo membro são iguais a zero já que a derivada de uma constante é igual a zero. Vamos substituir as derivadas em cada um dos termos da equação de origem: dy x + y + 2x = 0 dx dy  y + 2x  = −  dx  x  PÁGINA 17 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE Em alguns casos, uma função pode ser contínua mas não ser derivável num ponto. Isso significa que a continuidade não garante que a função é derivável. Por outro lado, se uma função é derivável num ponto podemos ter certeza que a função é contínua. Funções que apresentam pontas ou cantos nos seus gráficos são contínuas mas não são deriváveis. EXEMPLO As funções abaixo são contínuas mas não são deriváveis nas pontas ou cantos: Gráfico com ponta Gráfico com canto Quando uma função é contínua mas não é derivável, torna-se impossível traçar uma única reta tangente nos pontos em que ocorrem os cantos e as pontas. Veja o gráfico: Note que podemos traçar as retas r e s tangentes à função f(x) no ponto p. Na verdade, existem infinitas retas que tangenciam a função no ponto p. Provamos que uma função pode ser contínua mas não derivável através dos limites que definem a continuidade e a derivada. INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Analisando o sinal da primeira derivada, podemos ter uma idéia do comportamento de uma determinada função. Observe o gráfico abaixo: PÁGINA 18 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS Para cada um dos pontos analisados, podemos observar que o coeficiente angular da reta tangente à função tem um sinal diferente. Na primeira reta à esquerda o coeficiente angular é negativo, logo, a reta tangente é decrescente e a função também está decrescendo. Já na segunda reta à esquerda o coeficiente angular é positivo, portanto, a reta tangente é crescente e a função está crescendo. Lembramos que o coeficiente angular da reta tangente à função f(x) é dado pela primeira derivada de f(x), portanto, o seu sinal mostra onde a função cresce ou decresce. EXEMPLO Caracterizar a função abaixo em crescente ou decrescente em x=2. y = x 3 − 27 x SOLUÇÃO A primeira derivada é dada por: y ′ = 3x 2 − 27 No ponto x=2, a primeira derivada é igual a: y ′(2) = 3 ⋅ 2 2 − 27 = −15 Como a primeira derivada é negativa, então a função y = x 3 − 27 x é decrescente em x=2. EXEMPLO Partindo do exemplo anterior, caracterizar a função em crescente ou decrescente em x=4. SOLUÇÃO No ponto x=4, a primeira derivada é igual a: y ′(4) = 3 ⋅ 4 2 − 27 = 21 Como a primeira derivada é positiva, então a função y = x 3 − 27 x é crescente em x=4. CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO Assim como a primeira derivada, a segunda derivada também tem um significado especial. É possível demonstrar que a segunda derivada indica a concavidade da função no ponto. • Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade está para cima; • Quando a segunda derivada é negativa, a concavidade está para baixo. EXEMPLO Considere a função: y = ax 2 + bx + c SOLUÇÃO A segunda derivada é dada por: y ′ = 2ax + b y ′′ = 2a O que podemos perceber é que, dependendo do sinal de a, a segunda derivada mostra se a concavidade da função está para cima ou para baixo. Como a segunda derivada é constante, então a função possui apenas uma concavidade. EXEMPLO Qual é a concavidade da função no ponto x=2 ? y = 3x 3 + x + 1 PÁGINA 19 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS SOLUÇÃO A segunda derivada é dada por: y′ = 9x 2 + 1 y ′′ = 18x O ponto x=2 "enxerga" a função y com concavidade para cima porque: y ′′( 2) = 18 ⋅ 2 = 36 é positivo. EXEMPLO No exemplo anterior, qual é a concavidade da função no ponto x=-1 ? SOLUÇÃO O ponto x=-1 "enxerga" a função y com concavidade para baixo já que: y ′′( −1) = 18 ⋅ ( −1) = −18 é negativo. Em algumas funções, existe um valor de x em que a segunda derivada se anula. Esse ponto é chamado ponto de inflexão. Nesse caso, o valor de x encontrado separa a função em duas concavidades diferentes. EXEMPLO Encontrar, se houver, o ponto de inflexão da função: y = 2 x 3 − 12 x 2 + 1 SOLUÇÃO A segunda derivada é dada por: y ′ = 6 x 2 − 24 x y ′′ = 12 x − 24 Igualando a segunda derivada a zero: y ′′ = 0 12 x − 24 = 0 12 x = 24 x=2 O ponto x=2 separa a função em dois tipos de concavidade. Por exemplo, para qualquer x<2 o valor da segunda derivada é negativo, então a função tem concavidade para baixo. Já para x>2, o valor da segunda derivada é positivo e a função tem concavidade para cima. Observe o gráfico: Concavidade para cima Concavidade para baixo Então x = 2 é ponto de inflexão. PÁGINA 20 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS PONTO DE MÁXIMO E MÍNIMO Numa função do segundo grau, xv é chamado ponto de máximo ou de mínimo, dependendo da sua concavidade. Vamos agora formalizar um método para encontrar esse ponto para qualquer tipo de função. Sabemos que a primeira derivada fornece o coeficiente angular da reta tangente a qualquer função. Pois bem, em algumas funções, existe um valor de x em que a primeira derivada se anula. Nesse ponto x estamos sobre o ponto de máximo ou de mínimo. EXEMPLO Imagine uma estrada com altos e baixos. Um automóvel está no ponto mais alto (máximo) ou mais baixo (mínimo) quando o automóvel se encontra alinhado na horizontal. Quando o automóvel está alinhado na horizontal, o coeficiente angular da reta tangente à estrada é igual a zero (reta com inclinação nula). Conhecendo a concavidade da função, saberemos se x é um ponto de máximo ou de mínimo. Essa informação é dada pelo sinal da segunda derivada. Graficamente, isso significa: EXEMPLO Encontrar, se existir, o ponto de máximo ou mínimo da função: y = x 2 − 5x + 6 SOLUÇÃO Primeiro, vamos encontrar as duas derivadas da função acima: y ′ = 2x − 5 y ′′ = 2 PÁGINA 21 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS Igualando a primeira derivada a zero: y′ = 0 2x − 5 = 0 5 x= 2 Esse ponto é chamado de mínimo já que a função, analisando o sinal da segunda derivada, tem concavidade para cima. Compare com os cálculos que você já tinha aprendido no capítulo de funções! EXEMPLO Encontrar, se existir, o ponto de máximo ou mínimo da função: y = x 3 − 27 x + 2 SOLUÇÃO Primeiro, vamos encontrar as duas derivadas da função acima: y ′ = 3x 2 − 27 y ′′ = 6 x Igualando a primeira derivada a zero: y′ = 0 3x 2 − 27 = 0 3x 2 = 27 x = ±3 Substituindo x=+3 na segunda derivada: y ′′( +3) = 6 ⋅ ( +3) = 18 A função tem concavidade para cima e +3 é o ponto de mínimo. Agora, substituindo x=-3 na segunda derivada: y ′′(−3) = 6 ⋅ (−3) = −18 A função tem concavidade para baixo e -3 é o ponto de máximo. Através do gráfico da função, podemos localizar esses dois pontos: Pontos de máximo e mínimo podem ser locais ou globais. Um ponto x=p é chamado de máximo local se não existir um valor da função maior que f(p) na vizinhança de p. Por outro lado, um ponto x=p é chamado de mínimo local se não existir um valor da função menor que f(p) na vizinhança de p. PÁGINA 22 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS Um ponto p é chamado máximo global se não existir um valor da função maior que f(p) para qualquer valor de x dentro do domínio da função. Um ponto p é chamado mínimo global se não existir um valor da função menor que f(p) para qualquer valor de x dentro do domínio da função. APLICAÇÕES DE MÁXIMO E MÍNIMO Mostramos anteriormente que a curva de Gauss: 1 f (x) = ⋅e σ 2π Tem derivada igual a: 1  x −µ  − ⋅ 2  σ  2 1  x −µ  2 −   df 1 x −µ 1 =− ⋅ e 2 σ  ⋅  ⋅ dx σ 2π  σ  σ Vamos encontrar onde se localiza o seu ponto de máximo. Primeiramente, devemos igualar a derivada a zero: df =0 dx 1  x −µ  −  2  σ  2 x −µ 1 ⋅ ⋅ = 0 σ 2π  σ  σ Alguns termos presentes na equação acima nunca serão iguais a zero, como por exemplo: 1 1 − e , já que σ é sempre maior que zero; σ 2π σ − 1 1  x −µ  −  2  σ  ⋅e 2 e , pois a função exponencial nunca se anula. A única possibilidade da derivada se tornar nula acontecerá quando: x −µ  =0  σ  Então: x =µ Esse resultado nos conduz à seguinte interpretação: a ocorrência que possui a maior possibilidade de acontecimento é a média das ocorrências. Isso significa que, se pesquisarmos as alturas dos alunos de uma escola, será mais provável encontrarmos alunos com a altura média. Para o ponto de máximo, a função f(x) é igual a: f (µ) = 1 ⋅e 1  µ −µ  − ⋅ 2  σ  2 = 1 σ 2π σ 2π Note que a dispersão das ocorrências, dada por σ, faz com que a curva de Gauss fique mais concentrada em torno da média (mais comprimida) ou mais dispersa (mais achatada). PÁGINA 23 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS REGRAS DE L’HÔPITAL As regras de L’Hôpital são usadas nos cálculos de limites dos tipos: f (x) 0 f (x ) ± ∞ lim = ou lim = x →p g ( x ) x →p g ( x ) 0 ±∞ Esses limites podem ser resolvidos fazendo: f (x ) f ′( x ) lim = lim x →p g ( x ) x →p g ′( x ) EXEMPLO Encontrar o limite: x 2 − 5x + 6 lim x →2 x−2 SOLUÇÃO O limite dado é do tipo: f (x) 0 lim = x →p g ( x ) 0 Devemos então derivar as funções presentes no numerador e no denominador: f ( x ) = x 2 − 5x + 6 ⇒ f ′( x ) = 2 x − 5 g ( x ) = x − 2 ⇒ g ′( x ) = 1 Então o limite é dado por: x 2 − 5x + 6 2x − 5 lim = lim = −1 x →2 x →2 x−2 1 Note que: x 2 − 5x + 6 ( x − 3) ⋅ ( x − 2) lim = lim = lim x − 3 = −1 x →2 x →2 x →2 x−2 x−2 EXEMPLO Encontrar o limite: x 2 − 5x + 6 lim x →+∞ x2 − 2 SOLUÇÃO O limite dado é do tipo: f (x ) + ∞ lim = x →p g ( x ) +∞ Devemos então derivar as funções presentes no numerador e no denominador: f ( x ) = x 2 − 5x + 6 ⇒ f ′( x ) = 2 x − 5 g ( x ) = x 2 − 2 ⇒ g ′( x ) = 2 x Então o limite é dado por: x 2 − 5x + 6 2x − 5 5 lim = lim = lim 1 − 2 x →+∞ x →+∞ 2 x x →+∞ 2x x −2 PÁGINA 24 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS Aplicando a propriedade do limite da soma (ou subtração) de funções: 5 1 x 2 − 5x + 6 = 1 − ⋅ lim = 1 lim 2 x →+∞ 2 x →+∞ x x −2 Tente aplicar a técnica de dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x para encontrar o resultado do limite e verifique que o resultado é o mesmo. APLICAÇÕES DA DERIVADA Vamos escolher algumas aplicações bem simples. A primeira aplicação consiste em analisar o Movimento Uniformemente Variado (MUV) do ponto de vista da derivada. Considere a função horária do espaço no MUV: at 2 s( t ) = s 0 + v 0 t + 2 A primeira derivada dessa função em relação a t é dada por: ds = v( t ) = v 0 + at dt A equação acima nos mostra que a taxa de variação do espaço com o tempo é igual à velocidade instantânea. Definição: "Velocidade é a taxa de variação do espaço com o tempo". A velocidade pode ser encontrada derivando a função horária do espaço em relação ao tempo. Ao calcularmos a derivada da velocidade encontraremos: dv =a dt A equação acima nos mostra que a taxa de variação da velocidade com o tempo é igual à aceleração instantânea que, nesse caso, é constante. Note que a aceleração pode ser obtida derivando uma vez a velocidade ou derivando duas vezes o espaço: dv d 2s =a= 2 dt dt Definição: "Aceleração é a taxa de variação da velocidade com o tempo". A aceleração pode ser encontrada derivando a função horária da velocidade em relação ao tempo. EXEMPLO Partindo da seguinte equação horária do espaço: s( t ) = 2 + 3t + 3t 2 , sendo s=[m], t=[s], v=[m/s] e a=[m/s2] Encontrar a expressão da velocidade em função do tempo. SOLUÇÃO A velocidade instantânea é dada pela primeira derivada do espaço em relação ao tempo: ds v( t ) = = 3 + 6t dt Se quisermos calcular a velocidade do móvel no tempo t=2s, devemos fazer: v(2) = 3 + 6 ⋅ 2 = 15 m/s PÁGINA 25 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS Em Economia, precisamos encontrar o número de quantidades produzidas de um produto que maximiza o lucro. EXEMPLO Considere a seguinte função de produção: Lucro (q ) = −q 2 + 10q + 12 , sendo Lucro=[em $10.000] e q=[em 1.000 unidades] Encontre o número de unidades que devem ser produzidas para obtermos lucro máximo. SOLUÇÃO A primeira derivada é dada por: Lucro ′(q ) = −2q + 10 A segunda derivada é dada por: Lucro ′′(q ) = −2 Para o lucro ser máximo, então a primeira derivada deve ser nula e a segunda ser negativa: Lucro ′(q ) = 0 − 2q + 10 = 0 − 2q = −10 q=5 Como q deve ser expressa em 1.000 unidades, então 5.000 unidades devem ser produzidas para que o lucro seja máximo. O valor do lucro máximo é obtido substituindo q=5 na equação: Lucro (q ) = −q 2 + 10q + 12 Lucro (5) = −5 2 + 10 ⋅ 5 + 12 = 37 Como o lucro deve ser dado em $10.000, então o lucro máximo é igual a $370.000. A última aplicação está relacionada à área de otimização (utilização ótima de recursos). EXEMPLO Um papelão quadrado com 120 cm de lado deve ser transformado em uma caixa sem tampa que permita o maior volume possível. Determinar a medida x do lado de cada quadrado que será retirado nos quatro cantos do papelão. Formato para corte e dobradura do papelão Como o lado do papelão quadrado mede 120cm, o fundo da caixa será um quadrado de lado (120-2x) cm e a altura da caixa medirá x cm. O volume será dado por: V ( x ) = x ⋅ (120 − 2 x ) 2 = 4 x 3 − 480 x 2 + 14400 x A sua primeira derivada é igual a: V ′( x ) = 12 x 2 − 960 x + 14400 PÁGINA 26 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS Igualando a zero: 12 x 2 − 960 x + 14400 = 0 x 2 − 80 x + 1200 = 0 Essa equação possui as seguintes raízes: x ′ = 60 e x ′′ = 20 Se x = 60 cm, o papelão será cortado ao meio e não conseguiremos montar uma caixa. Se usarmos x = 20 cm, a caixa terá um fundo quadrado com o lado medindo 80 cm. O volume máximo será: V ( x ) = x ⋅ (120 − 2 x ) 2 V (20) = 20 ⋅ (120 − 2 ⋅ 20) 2 = 128.000 cm3 SÉRIES DE POTÊNCIAS DE X As séries de potências são polinômios com infinitos termos que servem para descrever uma função f(x) de forma aproximada. Essa abordagem se revela muito interessante no tratamento computacional aproximado de funções. Uma função qualquer, que tenha derivadas contínuas até a ordem n, pode ser colocada sob a forma de série de potências de x: f ( x ) = a 0 + a 1 ⋅ x + a 2 ⋅ x 2 + a 3 ⋅ x 3 + a 4 ⋅ x 4 + ... + a n −1 ⋅ x n −1 + a n ⋅ x n É imediato saber que f (0) = a 0 . Ao calcularmos a primeira derivada de f(x), encontramos: f ′( x ) = a 1 + 2 ⋅ a 2 ⋅ x 1 + 3 ⋅ a 3 ⋅ x 2 + 4 ⋅ a 4 ⋅ x 3 + ... + n ⋅ a n ⋅ x n −1 Com f ′(0) = a 1 . Ao calcularmos a segunda derivada de f(x), encontramos: f ′′( x ) = 2 ⋅1 ⋅ a 2 + 3 ⋅ 2 ⋅ a 3 ⋅ x 1 + 4 ⋅ 3 ⋅ a 4 ⋅ x 2 + ... + n ⋅ (n − 1) ⋅ a n ⋅ x n − 2 Com f ′′(0) = 2 ⋅ 1 ⋅ a 2 = 2!a 2 . Ao calcularmos a terceira derivada de f(x), encontramos: f ′′′( x ) = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ a 3 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ a 4 ⋅ x 1 + ... + n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ a n ⋅ x n −3 Com f ′′′(0) = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ a 3 = 3!a 3 . Ao fazermos esse processo sucessivamente, encontraremos: • Para a derivada n-1: f ( n −1) ( x ) = (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ a n −1 + n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ a n ⋅ x 1 Com f ( n −1) (0) = (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ a n −1 = (n − 1)!a n −1 • Para a derivada n: f ( n ) ( x ) = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ a n Com f ( n ) (0) = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ a n = n!a n Substituindo cada uma das constantes a0, a1, a2, a3,..., an-1, an na série de potências: f ′′(0) 2 f ′′′(0) 3 f ( n −1) (0) n −1 f ( n ) (0) n f ( x ) = f (0) + f ′(0) x + x + x + ... + x + x 2! 3! (n − 1)! n! Esta série de potências é conhecida como série de MacLaurin e é válida para valores de x próximos de zero (ponto de referência da série). PÁGINA 27 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS EXEMPLO Colocar f ( x ) = e x em série de potências de x. SOLUÇÃO Sabemos que todas as derivadas de f(x) são iguais: f ( x ) = f ′( x ) = f ′′( x ) = f ′′′( x ) = ... = f ( n −1) ( x ) = f ( n ) ( x ) = e x Então: f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = ... = f ( n −1) (0) = f ( n ) (0) = 1 A série de potências de f(x) é dada por: f ′′(0) 2 f ′′′(0) 3 f ( n −1) (0) n −1 f ( n ) (0) n f ( x ) = f (0) + f ′(0) x + x + x + ... + x + x 2! 3! (n − 1)! n! ex = 1+ x + x 2 x3 x n −1 xn + + ... + + 2! 3! (n − 1)! n! EXEMPLO Calcular e 0,5 através da série de potências de x com dois, três e quatro termos. Comparar o resultado com o valor fornecido pela calculadora. SOLUÇÃO O valor fornecido pela calculadora é igual a: e 0,5 = 1,648721271 • Com dois termos: f (x) = 1 + x f (0,5) = 1 + 0,5 = 1,5 • Com três termos: x2 f (x ) = 1 + x + 2! (0,5) 2 f (0,5) = 1 + 0,5 + = 1,625 2! • Com quatro termos: x2 x3 f (x ) = 1 + x + + 2! 3! (0,5) 2 (0,5) 3 f (0,5) = 1 + 0,5 + + = 1,64583... 2! 3! Note que o resultado se aproxima cada vez mais do valor de e 0,5 fornecido pela calculadora. PÁGINA 28 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS APLICAÇÕES DE SÉRIES DE POTÊNCIAS DE X Uma das aplicações de séries de potência é a simplificação do modelo matemático do funcionamento do diodo. No capítulo 1, mostramos que o funcionamento do diodo pode ser modelado pela seguinte equação: iD = IDe vd nVT Onde: iD é a corrente total (contínua mais alternada) sobre o diodo; ID é a corrente contínua sobre diodo; vd é a tensão alternada sobre o diodo; VT é a tensão térmica (≈25mV); n é uma constante que vale 1 para diodos em circuitos integrados e vale 2 para diodos em circuitos discretos. A aproximação da função exponencial é feita através da série de potências: x 2 x3 xk x e = 1+ x + + + ... + 2! 3! k! Fazendo a transformação de variáveis: v x= d nVT vd nVT 2 3 n  1  v  1  v   + ⋅  d  + ... + ⋅  d  e 3!  nVT  k!  nVT   Para v d << nVT , podemos desprezar os termos com potência maior que 2: vd nVT v 1  v = 1 + d + ⋅  d nVT 2!  nVT vd nVT Então, o modelo do diodo é dado por:  v  i D = I D ⋅ 1 + d   nVT  e ≈ 1+ iD = ID + ID vd nVT Fazendo: nVT ID O modelo do diodo se torna: v iD = ID + d rd O elemento rd é chamado resistência dinâmica do diodo. Note que o modelo do diodo foi consideravelmente simplificado de uma função exponencial para uma função do 1o grau. O modelo de pequenos sinais só é válido se a tensão de sinal vd for muito menor que a tensão térmica VT ( v d << nVT ). Na prática, o modelo de pequenos sinais pode ser justificado para tensões alternadas de até 10mV. rd = PÁGINA 29 CAPÍTULO 3 – DERIVADAS DERIVADAS NO MATHEMATICA Derivadas podem ser facilmente calculadas no Mathematica através dos comandos: • Aspas simples ( ' ): esse comando calcula a primeira derivada da função. EXEMPLO Sin'[x] Cos'[x] Log'[x] ArcTan'[x] • D[função, {variável a ser derivada,ordem da derivada}] EXEMPLO D[x^3,{x,2}] - Calcula a terceira derivada da função em relação a x. D[Cos[x],{x,5}] - Calcula a quinta derivada da função em relação a x. D[Log[x],x] - Calcula a primeira derivada da função em relação a x. PÁGINA 30