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Laborat´orio de F´ısica Experimental V • Experimento Realizado em 20/04/2016
Dependˆ encia da Condutividade El´ etrica com a Temperatura: Cobre e Germˆ anio Daniel Rocha Ferreira, Victtor Hudson A. Arantes Instituto de F´ısica, Universidade Federal de Goi´as Curso de F´ısica - Licenciatura Resumo
Neste experimento foi estudada a dependˆencia com a temperatura da condutividade e da resistividade de dois materiais distintos, um semicondutor (Ge tipo p) e um metal (Cu), respectivamente. Para o semicondutor foi determinado o valor do gap de energia para uma certa faixa de temperatura, e para o metal foi verificado a dependˆencia linear da resistividade com a temperatura.
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Objetivos
Discutir as diferen¸cas b´asicas entre metais e semicondutores, observando a condutividade em fun¸ca˜o da temperatura. E posteriormente calcular a energia do gap de energia do semicondutor e comparar o valor esperado com o obtido experimentalmente. Assim, nesse experimento foi estudada a dependˆencia com a temperatura da condutividade e da resistividade de dois materiais distintos, um semicondutor (Ge tipo p) e um metal (Cu), respectivamente. Para o semicondutor foi determinado o valor do gap de energia para uma certa faixa de temperatura, e para o metal foi verificado a dependˆencia linear da resistividade com a temperatura.
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Introdu¸c˜ ao
Alguns resultados que dizem respeito aos el´etrons de condu¸ca˜o em metais podem ser obtidos a partir de ideias cl´assicas. Na ausˆencia de um campo el´etrico aplicado, esses el´etrons se movem em dire¸co˜es aleat´orias. Isso ocorre pelo fato de os el´etrons frequentemente colidirem com imperfei¸co˜es da rede cristalina do metal, produzidas pela a agita¸ca˜o t´ermica dos ´ıons de impurezas da rede. Ao colidir com essas imperfei¸co˜es, os el´etrons mudam de dire¸c˜ao e velocidade, o que torna seu movimento aleat´orio. Como no caso de colis˜oes moleculares num g´as cl´assico, podemos descrever a frequˆencia das colis˜oes el´etron-imperfei¸co˜es da rede atrav´es de um livre caminho m´edio λ, onde λ ´e a distˆancia m´edia percorrida por um el´etron entre colis˜oes. Quando um campo el´etrico ´e aplicado ao metal, os el´etrons modificam seus movimentos aleat´orias, de modo que, em m´edia, eles se deslocam lentamente na dire¸c˜ao oposta a` do campo, pois suas cargas s˜ao negativas, com uma velocidade dita de deriva vd . Esta velocidade ´e muito menor do que a velocidade instantˆanea real v¯, do movimento aleat´orio. No cobre por exemplo, vd ´e da ordem de 10−2 cm/s, enquanto que v¯ ´e de cerca de 107 cm/s. A velocidade de deriva pode ser calculada em termos do campo el´etrico aplicado E, de v¯ e de λ. Quando se aplica um campo sobre um el´etron num metal ele sofrer´a um for¸ca de 1
Laborat´orio de F´ısica Experimental V • Experimento Realizado em 20/04/2016 eE . Considerando intensidade eE, que produzir´a uma acelera¸c˜ao de m´odulo a, dada por a = m agora um el´etron que acabou de colidir com um imperfei¸ca˜o da rede. Em geral, a colis˜ao destruir´a momentaneamente a tendˆencia ao deslocamento na dire¸c˜ao antiparalela ao campo e o el´etron se movimentar´a de forma puramente aleat´orio, ap´os a colis˜ao. Pouco antes de sua aλ pr´oxima colis˜ao, o el´etron ter´a variado sua velocidade, em m´edia, de onde τ = λ/¯ v ´e o v¯ tempo m´edio entre as colis˜oes. Definimos a velocidade de arrastamento como
vd =
aλ eEλ = v¯ m¯ v
(1)
Se n for o n´ umero de el´etrons de condu¸c˜ao por unidade de volume e j for a densidade de corrente, teremos vd = j/ne = eEλ/m¯ v . Combinando isso com a defini¸ca˜o de velocidade de resistividade ρ = E/j, teremos ρ=
m¯ v 2 ne λ
(2)
A equa¸ca˜o 2 pode ser considerada como uma afirma¸c˜ao de que os metais obedecem a lei de Ohm, pois as grandezas v¯ e λ que determinam a resistividade ρ n˜ao dependem do campo el´etrico aplicado, crit´erio necess´ario para que a lei seja v´alida. Com frequˆencia operamos com a condutividade
σ= sendo
ne2 λ 1 = ρ m¯ v
(3)
λ = τ (tempo m´edio entre as colis˜oes), podemos ainda escrever v¯ ne2 τ σ= m
(4)
onde e e m s˜ao respectivamente a carga e a massa do el´etron. Lembrando que o parˆametro τ ´e caracter´ıstico de cada material e depende fundamentalmente da temperatura e da presen¸ca de defeitos e impurezas. Com rela¸ca˜o a teoria cl´assica da condu¸ca˜o de eletricidade (modelo de Drude) os el´etrons livres de um metal s˜ao tratados como um g´as de part´ıculas cl´assicas que obedecem a` estat´ıstica de Boltzmann. Isto resulta que a energia cin´etica m´edia de uma part´ıcula ´e 23 kB T . J´a o modelo considerado mais simples para os el´etrons livres de um metal ´e o modelo de g´as de part´ıculas n˜ao interagentes confinados a uma caixa. A diferen¸ca com o modelo de Drude ´e que temos que usar a estat´ıstica de Fermi e n˜ao a estat´ıstica de Boltzmann. A varia¸ca˜o com a temperatura da resistividade el´etrica ρ de metais que ´e igual a 1/σ ´e usualmente descrita pela seguinte express˜ao de origem emp´ırica: ρ = ρ0 [1 + α(T − T0 )],
(5)
sendo α denominado de coeficiente de temperatura da resistividade, T0 ´e uma temperatura de referˆencia arbitr´aria e ρ0 ´e a resistividade nessa temperatura. Essa rela¸ca˜o ´e uma aproxima¸c˜ao 2
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linear v´alida geralmente em faixas limitadas de varia¸c˜ao de temperatura dependente do material. Material Prata Cobre Germˆanio Vidro Borracha Dura Quartzo
Resistividade (Ωm)
Coeficiente de Temperatura α
−8
3, 8 × 10−3 3, 9 × 10−3 −48 × 10−3 -
1, 59 × 10 1, 72 × 10−8 0, 46 −10 10 ∼ 10−14 1013 7, 5 × 1015
Tabela 1: Resistividade e coeficiente de temperatura de alguns materiais.
Como podemos observar na tabela 1, h´a uma grande varia¸ca˜o nas resistividades, desde valores muito baixos para bons condutores, tais como o cobre a prata, at´e valores muito elevados para bons isolantes, tais como o vidro e borracha. Um condutor ideal ou “perfeito” teria resistividade nula e um isolante ideal teria resistividade infinita. Considerando um material de comprimento L e se¸ca˜o transversal de a´rea A submetido a um campo el´etrico uniforme que induz uma densidade de corrente j ao longo de seu comprimento e estabelece uma diferen¸ca de potencial eletrost´atico U nos terminais, e definindo a corrente el´etrica como I = j · A, pode-se calcular a condutividade como segue iL 1 1 σ= = ρ U A Ωm
(6)
A condutividade el´etrica de semicondutores pode ser descrita por uma express˜ao similar `a equa¸ca˜o 4, mas com a importante diferen¸ca de que pode haver mais de um tipo de portador de carga, inclusive com diferentes massas efetivas. Al´em disso, a concentra¸c˜ao de portadores n, ao inv´es de ser constante como nos metais, varia fortemente com a temperatura, devido a` excita¸ca˜o t´ermica de portadores nas bandas de valˆencia e/ou de condu¸c˜ao. ´ poss´ıvel mostrar que a condutividade el´etrica dos semicondutores apresenta em determiE nadas faixas de temperatura uma varia¸c˜ao t´ermica (em geral acima da temperatura ambiente) da forma: σ = σ0 e−Eg /2KB T
(7)
onde σ ´e a condutividade intr´ınseca, σ0 uma constante, KB a constante de Boltzmann e T a temperatura. A largura da banda proibida pode ser determinada a partir da varia¸ca˜o da condutividade com a temperatura na faixa intr´ınseca de temperatura. A equa¸c˜ao 7 pode ainda ser escrita na forma ln σ = ln σ0 −
Eg 2KB T
(8)
Quando consideramos um potencial cristalino entramos no estudo de teoria de bandas e conseguimos um explica¸c˜ao bem detalhada dos diversos tipos de materiais, classificando-os 3
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em metais, semicondutores e isolantes. Em um s´olido temos um grande n´ umero de a´tomos, consequentemente um grande n´ umero de n´ıveis de energia pr´oximos uns dos outros formando uma banda de energia praticamente cont´ınua. A principal diferen¸ca entre um metal e um semicondutor ´e o gap de energia, que ´e a diferen¸ca entre o m´aximo da banda de valˆencia e o m´ınimo da banda de condu¸c˜ao. Para um metal o gap de energia ´e nulo, j´a para um semicondutor ´e da ordem de kB T e para um isolante ´e maior que kB T , sendo mostrada na figura 1 uma representa¸c˜ao ilustrativa do gap de energia entre a banda de condu¸c˜ao e a banda de valˆencia para o metal, semicondutor e isolante.
Figura 1: Ilustra¸c˜ao do gap de energia para o metal, semicondutor e isolante.
3
Procedimento Experimental
O aparato experimental utilizado ´e mostrado na figura 2. Ele consiste de uma placa de germˆanio, uma placa de cobre, um volt´ımetro, um amper´ımetro, um termopar e uma fonte de tens˜ao.
Figura 2: Aparato experimental para realiza¸c˜ao das medidas de condutividade el´etrica. Conecta-se a amostra de Ge (com dimens˜ao (20 × 10 × 1 mm3 ) `a sa´ıda de tens˜ao cont´ınua da fonte atrav´es de um resistor e prote¸ca˜o e aplica-se uma corrente de at´e 30mA. A amostra ´e ent˜ao aquecida at´e uma temperatura na faixa de 130 − 140 C e ent˜ao registra-se os valores de da tens˜ao, temperatura e corrente durante o resfriamento livre da amostra.
°
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O procedimento ´e realizado novamente utilizando uma amostra de Cu (espessura de 35µm).
4
Resultados e Discuss˜ oes
A partir dos dados coletados calculamos as m´edias das trˆes medidas realizadas, e com isto obtemos a resistˆencia e condutividade para os dados do cobre e germˆanio. Os resultados para o cobre s˜ao apresentados na tabela 2 e os resultados para o germˆanio na tabela 3. Tens˜ ao (V )
Corrente (A)
Temperatura (K)
Resistˆ encia (Ω)
0,0297 0,0293 0,0288 0,0285 0,0281 0,0277 0,0274 0,0269 0,0265 0,0261 0,0258 0,0254 0,0250 0,0245 0,0243 0,0239 0,0234 0,0231 0,0226
0,0177 0,0177 0,0177 0,0177 0,0177 0,0177 0,0177 0,0177 0,0178 0,0173 0,0174 0,0174 0,0177 0,0177 0,0177 0,0177 0,0177 0,0175 0,0176
398,150 393,150 388,150 383,150 378,150 373,150 368,150 363,150 358,150 353,150 348,150 343,150 338,150 333,150 328,150 323,150 318,150 313,150 308,150
1,678 1,655 1,627 1,610 1,588 1,565 1,548 1,519 1,489 1,509 1,483 1,459 1,412 1,384 1,373 1,350 1,322 1,320 1,284
Tabela 2: Dados de tens˜ao, corrente, temperatura e resistˆencia obtidos para o cobre Cu.
Com os c´alculos realizados, foi poss´ıvel plotar os gr´aficos de resistˆencia por temperatura para os dados obtidos com o cobre mostrado na figura 3, e condutividade pelo inverso da temperatura para o germˆanio mostrado na figura 4.
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Tens˜ ao (V )
Corrente (mA)
Temperatura (K)
Resistˆ encia (Ω)
Condutividade (Ω · m)−1
0,504 0,554 0,614 0,671 0,725 0,782 0,830 0,864 0,906 0,922 0,935 0,938 0,933 0,926 0,908 0,892 0,869 0,851 0,826
17,670 17,680 17,680 17,690 17,690 17,690 17,690 17,690 17,760 17,270 17,430 17,370 17,710 17,710 17,710 17,710 17,710 17,510 17,550
398,150 393,150 388,150 383,150 378,150 373,150 368,150 363,150 358,150 353,150 348,150 343,150 338,150 333,150 328,150 323,150 318,150 313,150 308,150
29,133 32,588 36,766 40,915 45,312 49,494 52,866 56,470 60,000 61,879 62,752 62,953 62,617 62,148 60,132 58,684 56,797 55,259 53,290
70,119 63,828 57,590 52,727 48,800 45,243 42,627 40,949 39,205 37,462 37,283 37,036 37,964 38,251 39,009 39,709 40,759 41,152 42,494
Tabela 3: Dados de tens˜ao, corrente, temperatura, resistˆencia e condutividade obtidos para o germˆanio Ge.
1.75
Regreção Linear Pontos Experimentais
1.7 1.65
Resistência (Ω)
1.6 1.55 1.5 1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 300
325
350 Temperatura (K)
375
400
Figura 3: Gr´afico da resistˆencia pela temperatura, para o Cobre (Cu). 6
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Da regress˜ao linear do cobre encontramos os seguintes valores, relacionado com a equa¸ca˜o 5. ρ = (2, 87 × 10−8 ± 1, 47 × 10−9 ) + (3, 46 × 10−3 ± 2, 56 × 10−4 )T
(9)
Assim temos os valores para o cobre de ρ0 = (2, 87 × 10−8 ± 1, 47 × 10−9 ) Ω · m e α = (3, 46 × 10−3 ± 2, 56 × 10−4 ) K −1 . O valor do coeficiente de temperatura para o cobre e de 3, 9 × 10−3 , que resulta numa diferen¸ca percentual de ∆α = 11, 28%. Para a segunda parte foi feito os c´alculos da forma semelhante, por´em iniciamos o c´alculo da resistividade para a obten¸ca˜o da condutividade. Da equa¸ca˜o 7 temos a condutividade de um semicondutor com uma dependˆencia exponencial, com isto plotamos um gr´afico da condutividade pelo inverso da temperatura e obtivemos o seguinte resultado apresentado na figura 4.
70
65
σ (1/Ω.m)
60
55
50
45
40
35 0.0025 0.0026 0.0027 0.0028 0.0029 1/T (1/K)
0.003
0.0031 0.0032
Figura 4: Gr´afico da condutividade pelo inverso da temperatura, do germˆanio, onde se verifica o comportamento exponencial.
Assim, a partir dos dados considerados, calculamos a logaritmo natural da equa¸ca˜o 7, o que resultou na equa¸ca˜o 8, de posse desse resultado conseguimos obter um gr´afico linear do logaritmo natural da condutividade com a dependˆencia de 1/T (Figura 5).
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4.3 Regreção Linear Pontos Experimentais 4.2
4.1
ln(σ) (1/Ω.m)
4
3.9
3.8
3.7
3.6
3.5 0.0025
0.0026
0.0027 0.0028 1/T (1/K)
0.0029
0.003
Figura 5: Gr´afico do logaritmo natural da condutividade pela inverso da temperatura para o germˆanio.
Com os coeficiente angular do gr´afico da figura 5 calculado com o m´etodo de regress˜ao linear, foi poss´ıvel obter a energia de gap para o germˆanio. O valor experimental para a energia de gap foi de Eg = 0, 28 eV . Este resultado em rela¸c˜ao ao valor da literatura de Eg ≈ 0, 7 eV , tem uma diferen¸ca percentual de ∆Eg = 60%. As poss´ıveis causas de erro, em ambas as partes do experimento podem ser atribu´ıdas ao mal contato entre as conex˜oes e um sistema de medida de temperatura n˜ao muito eficiente.
5
Conclus˜ ao
Conforme as defini¸c˜oes deste relat´orio, foi observado diferentes comportamentos entre um condutor e um semicondutor quando a temperatura influencia nas propriedades da resistividade e condutividade. Conseguimos observar o comportamento linear da resistividade com a varia¸ca˜o de temperatura para um metal (Cu), e o comportamento exponencial decrescente da condutividade para o semicondutor (Ge) at´e uma certa temperatura de aproximadamente 0.00291 K −1 . Assim os resultados obtidos pela an´alise da condutividade do germˆanio foram condizentes com a previs˜ao te´orica somente para uma faixa limitada de temperatura (superior a 70 ), pois para temperaturas menores a condutividade se comportou de maneira inesperada (Figura 5). J´a para o cobre, a condutividade apresentou o comportamento linear esperado pois o mesmo possui essa caracter´ıstica fundante em sua configura¸c˜ao.
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Referˆ encias [1] Carvalho, J. F; Santana, R. C. F´ısica Experimental V (Experimentos de F´ısica Moderna). Goiˆania, 2016. (Apostila).
ª
[2] Halliday, David; Resnick, Robert, Walker, Jearl. Fundamentos de F´ısica. 8 ed. LTC, 2009. Vol. 03.
ª
[3] Nussenzveig, H. M. Curso de F´ısica B´asica: Eletromagnetismo, 4 ed. Edgard Bl¨ ucher, 2002. Vol. 03. [4] R. Eisberg, R. Resnick, F´ısica Quˆantica, Ed. Campus, Rio de Janeiro, 1979. [5] YOUNG, Hugh D. F´ısica III: Eletromagnetismo. Trad.: Sonia M. Yamamoto. S˜ao Paulo: Addison Wesley, 2009.
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