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Demonstre a E(x) e Var(x) para as distribuições discretas Binomial, Hipergeométrica, Poisson, Geométrica, Pascal e Multinomial.
Distribuições Discretas:
Binomial:
X~Bin (n, p)
Para:
Onde "p" é a probabilidade de sucessos e "q" a probabilidade de fracassos, temos:
E para o cálculo da Variância, temos:
Seja:
Então:
Adotando-se segue que o cálculo da variância pode ser descrito como: Var(x) = Npq.
Hipergeométrica:
A partir de e
de que são "sucesso" e são "fracassos"
O valor esperado de "xi" é simplesmente:
Isso também pode ser calculado pela soma direta como:
A Variância é:
Desde que xi seja uma variável de Bernoulli,
Então:
Para , a covariância é:
A probabilidade de i e j terem sucesso, quando i é diferente de j é:
Mas desde que "xi" e "ji" sejam variáveis aleatórias de Bernoulli (0 ou 1 cada), o produto é também uma variável de Bernoulli. Para que "xi" e "ji" sejam um, os dois devem ser 1:
Usando a equação anterior com:
Temos:
Há um total termos em uma soma dupla de . No entanto, fazendo i = j para estes N, existe um total de termos no somatório de covariância:
Combinando as equações, temos a variância:
Então o resultado final é:
E, desde que:
e
Nós temos:
Isso também pode ser obtido através da soma direta:
Poisson:
Onde "p" é a probabilidade de sucessos e "q" a probabilidade de fracassos.
Calculo da média:
Geométrica:
X~Geo ( p)
Para:
Onde "p" é a probabilidade de sucessos e "q" a probabilidade de fracassos.
Podemos efetuar o cálculo da esperança como sendo:
E para o cálculo da variância, temos:
Pascal:
Se a função densidade de probabilidade f.d.p. f(p) da variável randômica r.v. "p" é representada por:
Onde B(α,β) é uma função beta usual, "p" a probabilidade de sucesso (q=1-p), "k" número de experimentos com sucesso. Então a p.f. da distribuição pascal-beta pode ser dada por:
Uma vez que pretendemos fazer algumas declarações sobre a distribuição binomial-beta, nós escrevemos sua p.f. da seguinte maneira:
Onde "n" é o total de experimentos feitos, e α e β como definido anteriormente.
O r-ésimo momento da distribuição de pascal-beta pode ser mostrado pela fórmula:
( * )
Quando a expectativa primeira é feita com relação a função de probabilidade condicional da variável aleatória "X" e na expectativa da segunda é realizada com respeito à função densidade de probabilidade da variável aleatória "Y". Agora, usando a fórmula anterior ( * ), obtemos os quatro primeiros momentos da distribuição pascal-beta como: ( para α > 1 )
Para α > 2 :
Para α > 3:
Para α > 4 :
Consequentemente, a expressão de sua variância se dá :
Usando ( * ) , a média e a variância podem ser dadas por:
Multinomial:
O multinomial é uma (k-1) da família exponencial com parâmetros:
, e .
Onde "p" é sucesso e "q" são os fracassos. Tal como acontece com a família a um parâmetro exponencial, é conveniente para o índice por família . Onde é o número de resultados nas categorias 1 ,..., k nos "n" ensaios. Para os cálculos dos momentos das estatísticas suficientes :
Então para o cálculo da media temos:
E para o cálculo da variância:
.
Demonstre a E(x) e Var(x) para as distribuições contínuas Uniforme, Exponencial e Gama.
Distribuições Contínuas:
Uniforme:
Se para
Podemos fazer da seguinte forma:
Cálculo da variância:
Sabendo que
Exponencial:
Substituindo a integral :
Variância:
Gama:
X ~Gama(α,β)
Para E(x) = , temos:
( fazendo ), se
Então , logo E(x)= αβ.
Cálculo da Variância:
Fazendo Var(x) =
