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Instituto Superior de Transportes e Comunicações
“Deformação na torção e flexão”
Licenciatura em Engenharia Civil e de Transportes
Disciplina: Resistência dos Materiais I Docente: Engº Jorge Amaral Discente: Lauro Mota Turma: C22 2º Ano
Maputo, Novembro - 2016
Índice 1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 2 2. TORÇÃO .......................................................................................................................................... 3 2.1 DEFORMAÇÕES DE TORÇÃO DE UMA BARRA CIRCULAR ...................................................... 4 3. FLEXÃO ........................................................................................................................................... 5 3.1 MOMENTO FLECTOR E TENSÃO NORMAL .................................................................................. 6 3.2 DEFORMAÇÕES ASSOCIADAS À FLEXÃO DE UMA VIGA ......................................................... 7 4. CONCLUSÃO ................................................................................................................................ 11 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................................... 12
1. INTRODUÇÃO Neste trabalho serão abordados relativos à deformação na torção e flexão, tendo como objectivo compreender os esforços que surgem devido à torção e flexão. Torção se refere ao giro de uma barra retilínea quando carregada por momentos (ou torques) que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra. Flexão é um esforço físico onde a deformação ocorre perpendicularmente ao eixo do corpo, paralelamente à força atuante.
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2. TORÇÃO Torção é a tensão que ocorre quando é aplicado momento sobre o eixo longitudinal de um elemento construtivos ou prisma mecânico, como podem ser eixos ou, em geral, elementos onde uma dimensão predomina sobre as outras duas, ainda que é possível encontrála em situações diversas.
Fig. 1 -
A torção se caracteriza geometricamente por qualquer curva paralela ao eixo da peça e deixa de estar contida no plano formado inicialmente pelas duas curvas. Em lugar disso uma curva paralela ao eixo se retorce ao redor dele. O estudo geral da torção é complicado porque sob esse tipo de solicitação a seção transversal de uma peça em geral se caracteriza por dois fenômenos: surgem tensões tangenciais paralelas à seção transversal. Se estas são representadas por um campo vetorial suas linhas de fluxo "circulam" ao redor da seção. Quando as tensões anteriores não estão distribuídas adequadamente, coisa que sucede sempre a menos que a seção tenha simetria circular, aparecem deformações seccionais que fazem com que as seções transversais deformadas não sejam planas.
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A deformação da seção complica o cálculo de tensões e deformações, e faz com que o momento torsor possa ser decomposto em uma parte associada a torção deformada e uma parte associada à chamada torção de Saint-Venant. Em função da forma da seção e a forma da deformação, podem ser usadas diversas aproximações mais simples que o caso geral. 2.1 DEFORMAÇÕES DE TORÇÃO DE UMA BARRA CIRCULAR Pode-se ilustrar o que acontece quando um torque é aplicado em um eixo circular, considerando o eixo como feito de um material altamente deformável. Quando o torque é aplicado, os círculos e as retas longitudinais da grelha original marcada no eixo tendem a se distorcer com o padrão mostrado na figura 2.b). A torção faz os círculos permanecerem como círculos e cada reta longitudinal da grelha deforma-se em hélice que intercepta os círculos em ângulos iguais. Além disso, as seções transversais do eixo permanecem planas e as retas radiais dessas seções permanecem retas durante a deformação (figura 2.b). A partir dessas observações, podemos supor que, se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento do eixo e seu raio permanecerão inalterados.
Fig. 2 a)
Fig. 2 b)
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A figura acima mostra a deformação do elemento retangular quando a barra de borracha é submetida a um torque. Se o eixo estiver preso em uma extremidade e for aplicado um torque na outra extremidade, o plano sombreado da figura 2 se distorcerá e assumirá uma forma oblíqua como mostrado. Nesse caso, uma linha radial localizada na seção transversal a uma distância x da extremidade fixa do eixo girará por meio de um ângulo φ(x). O ângulo φ(x).
3. FLEXÃO Flexão é um esforço físico onde a deformação ocorre perpendicularmente ao eixo do corpo, paralelamente à força atuante, A linha que une o centro de gravidade de todas as seções transversais constitui-se no eixo longitudinal da peça, e o mesmo está submetido a cargas perpendiculares ao seu eixo. Este elemento desenvolve em suas seções transversais o qual gera momento flector.
Fig. 3 – Viga sujeita à flexão
A flexão de uma barra pode ser classificada em três tipos: •
Flexão pura: quando o único esforço interno é o momento fletor. Isto é, na seção de uma barra onde ocorre a flexão pura o esforço cortante e esforço normal são nulos.
•
Flexão simples: quando o esforço normal é nulo. Isto é, na seção de uma barra onde ocorre a flexão simples existem dois esforços internos: o esforço cortante e o momento fletor.
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•
Flexão composta: quando a flexão está acompanhada de esforços normais não nulos.
3.1 MOMENTO FLECTOR E TENSÃO NORMAL No caso da flexão pura ou simples, se for computado o somatório de todas as forças infinitesimais !"#, o resultado será nulo. Isso porque o esforço normal é nulo. Pode-se dizer que: $ = ∫ ! ( "# = 0 (flexão simples)
De maneira análoga, o momento fletor em uma seção transversal corresponde ao somatório de todos os momentos infinitesimais dM provocados pelas forças infinitesimais σxdA: "* = – , ⋅ !("#
Sendo que y é a distância vertical da força σxdA ao centro de gravidade da seção transversal. O sinal negativo aparece porque o produto de uma tensão normal positiva (de tração) por um y negativo (ponto situado abaixo do plano xz) resulta em um momento fletor "* positivo de acordo com a convenção de sinais adotada. O somatório dos momentos infinitesimais "*, no limite quando "# tende a zero, para os pontos da seção transversal resulta em: * = ./0 ∑"* "# → 0 * = ./0∑(−,) ⋅ !("# "# → 0 607" = 8#
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3.2 DEFORMAÇÕES ASSOCIADAS À FLEXÃO DE UMA VIGA Considera-se um trecho de viga submetida à flexão pura, isto é submetida somente a um momento fletor positivo M, tal como indicado na figura abaixo.
Fig. 4
O momento fletor é constante para qualquer seção transversal do trecho e a viga se flexiona de uma maneira uniforme. Dessa forma, a linha AB na face superior da viga tem uma curvatura constante. Em outras palavras, a linha AB, que inicialmente era reta, se transforma em um arco de círculo com centro C, do mesmo modo que a linha A’B’, na face inferior da viga. As hipóteses básicas da deformação de uma viga submetida à flexão são: •
Qualquer seção transversal plana perpendicular ao eixo da barra permanece plana na flexão.
•
A seção transversal plana permanece perpendicular ao eixo da viga (no caso da flexão pura, o plano da seção transversal passa pelo ponto C). Pode-se notar que a linha #9 diminui de comprimento quando a viga flexiona na
maneira indicada, isto é, com * > 0. Pode-se ver também que a linha #’9’ se alonga. Dessa
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forma, a deformação específica εx é negativa (compressão) na parte superior da viga e positiva (tração) na parte inferior da viga. Como as tensões e deformações estão diretamente relacionadas, na parte superior da viga as tensões normais σx são de compressão e na parte inferior da viga as tensões σx são de tração. Vê-se também que para momentos fletores positivos (* > 0) a concavidade da viga deformada é para cima. Para momentos negativos a concavidade da viga deformada é para baixo. Dessa forma, momentos fletores positivos estão associados à tração das fibras inferiores da viga e compressão das fibras superiores da viga. Assim como, momentos fletores negativos estão associados à compressão das fibras inferiores e tração das fibras superiores. Deve haver uma superfície paralela à face superior e à face inferior da viga onde <( e !( se tornam nulas. Esta superfície é chamada superfície neutra. A linha reta que é a interseção da superfície neutra com uma seção transversal é chamada linha neutra. Nesta linha, as deformações e tensões normais são nulas. Pode-se mostrar que, no caso de flexão simples (sem esforço normal), a linha neutra passa pelo centro de gravidade da seção transversal. Para avaliar a variação da deformação ao longo de uma seção transversal, considere que o comprimento do trecho de viga é =. Como o eixo ( da viga passa pelos centros de gravidades das seções transversais, o comprimento do eixo ( flexionado não se altera. O arco de círculo >? na figura abaixo representa o eixo ( flexionado. O raio do círculo correspondente a >? é ρ e o ângulo central é @ (em radianos). Pode-se escrever que: = = A@.
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Fig. 5
Considerando agora o arco CD localizado a uma distância y acima da superfície neutra, vê-se que seu comprimento é: =’ = (A – ,)@. Como o comprimento original (antes da deformação da viga) do arco JK era L, a variação de comprimento da fibra JK é: E = =’ – = = (A – ,)@ – A@ = – ,@ O sinal negativo significa que, para um momento fletor M > 0, uma fibra com , positivo vai sofrer encurtamento, o que é pode ser comprovado na figura acima. A deformação normal específica da fibra CD é avaliada como a razão entre a variação de comprimento da fibra e o seu comprimento original =: <( = E = −,@ → = A@ O sinal negativo indica que a deformação é de compressão para um ponto y positivo (acima da linha neutra) e que a deformação é de tração para um ponto com y negativo (abaixo da linha neutra). O inverso do raio do círculo é definido como a curvatura do eixo da viga: FGHIJKGHJ = 1/N
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A deformação normal dada na expressão vale para qualquer ponto situado à distância , da superfície neutra. Diz-se que, na flexão pura, a deformação normal <( varia linearmente com a distância , da superfície neutra, ao longo de toda a barra. Deve-se observar que, embora a dedução da expressão tenha sido feito para o caso de flexão pura, ela também é válida para flexão simples. Para tanto, basta imaginar que o trecho com momento fletor constante é tão pequeno quanto se queira, ou que o ângulo θ é infinitesimal (na verdade é um "@). Neste caso, a expressão
se aplica a uma dada seção
transversal. Diz-se que, na flexão simples, a deformação normal <( varia linearmente com a distância , da linha neutra, ao longo de toda a seção transversal. A maior deformação normal <( em uma seção transversal ocorre, então, para o maior valor de ,. Chamando de c este valor (que pode corresponder à fibra superior ou à fibra inferior), o máximo valor absoluto de deformação normal é:
Wikipédia a enciclopédia livre, Flexão (Física) [consultado: 2016-11-02]. Disponível em: Beer & Johnston, Resistência dos Materiais, 3a ed., Makron Botelho & Marchetti, Concreto Armado - Eu te amo, 3a ed, Edgard Blücher, 2002.
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