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Resumo extraído do conteúdo do livro Pesquisa Operacional de Emerson Carlos
Colin.
Conceitos da Programação Linear:
Modelo: Representação simplificada do comportamento da realidade
expressa na forma de equações matemáticas que servem para simular a
realidade. Conjunto de equações, inequações que contém restrições,
variáveis ( x1 e x2), e a função objetivo.
Variáveis de Decisão: São variáveis utilizadas no modelo que podem ser
controladas pelo tomador de decisões, a solução do problema testando-
se diversos valores.
Variáveis, coeficientes de Folga: colocamos para completar a fórmula
para resolução por simplex. (f1, f2....) transformar as inequações do
problema em variáveis de folga.
Parâmetros: Variáveis utilizadas no modelo que não podem ser
controladas pelo tomador de decisão. A solução é encontrada admitindo
como fixo os valores. Sentenças, grandezas conhecidas do problema. São
números.
Função Objetivo: é uma função matemática que representa o principal
objetivo do tomador de decisões. Ela pode ser de dois tipos:
Minimização – Min Z ( minimizar custos, erros) ou de Maximização – Max
Z ( maximizar lucros, receitas).
Restrições: São regras que dizem o que podemos (ou não) fazer e quais
as limitações dos recursos ou das atividades que estão associadas ao
modelo. São as inequações. Temos também as restrições de não
negatividade.
Função Linear: uma função f (x1, x2,....) das variáveis x1 e x2 é uma
função linear se for do tipo f (x1, x2) = c1x1+ c2x2.... sendo c1, c2
valores constantes. É uma reta em um sistema de coordenadas
bidimensional.
Inequação Linear: para um número qualquer B e uma função linear ( x1,
x2) B e f ( x1, x2) B.
Algoritmo: é uma sequencia de instruções que para uma determinada
entrada gera um determinado resultado.
SUPOSIÇÕES DA PROGRAMAÇÃO LINEAR
Divisibilidade: Variáveis podem ter valores fracionados.
Aditividade: Relacionamento entre as variáveis são sempre adições e
subtrações, mas nunca outras operações. Não pode haver relacionamentos de
dependência.
Proporcionalidade: As contribuições de casa variável de decisão acontecem
na f 0 e nas restrições.
Certeza: Todos os parâmetros utilizados nos modelos são conhecidos com
certeza. Como a suposição pode não ser verdadeira ( futuro) utilizamos a
analise de sensibilidade para alterar os parâmetros.
Modelo Simples de Algoritmo: é uma metodologia que envolve uma sequencia de
cálculos repetitivos por meio das quais é possível chegar à solução de um
problema de programação linear. Essa sequencia recebe o nome de algoritmo.
Exemplo:
Max Z= 5x1 +3x2 Função Objetivo
Sujeito à: x1+ 2x2 8
2x1 – x2 7 restrições
tudo isso é o modelo
{ x1, x2} 0 restrições de não negatividade
Como resolver por solução manual simplex (comentado, sem contas).
Resolvemos pelo modelo simplex problemas com 2 ou mais variáveis de decisão
1) Eliminar as inequações,
Transformar o modelo na forma padrão,
Igualar à zero a função objetivo,
Adicionar variáveis de folga f1, f2.
Definição dos sinais para as variáveis de folga: fica +
(positivo) e fica – (negativo)
Não negatividade: x1,x2 0
2) Desenhar a tabela inicial Simplex
Com Iteração 1.1 , Variáveis básicas, variáveis de decisão (x1, x2),
coeficientes de folga ( f1, f2), lado direito ou solução, linha,
quociente.
Distribuir os valores conforme o modelo.
3) Iteração 1.2 – Descobrir a coluna Pivô : será a coluna com o menor
valor da linha 0.
Iteração 1.3 – Determinar quocientes Divisão do LD (lado direito) pelo
respectivo numero da coluna pivô.
Somente se calcula se ele for positivo
(maior que 0).
Iteração 1.4 – Determinar a linha pivô: será a linha do menor
quociente.
Iteração 1.5 – Determinar o Coeficiente Pivô: o numero que se cruzam a
linha e a coluna pivô.
Iteração 1.6 – Determinar Novas Linhas Pivô pelo método de Eliminação
de Gauss,
NL= (antiga linha) – (coeficiente da coluna
pivô) x (nova linha pivô).
It. 1.7 cálculo outras linhas.... até a regra de parada da solução
ótima.
4) Determinar a variável entrante (sempre x) e a sainte (sempre a de
folga).
Determina a linha sainte (x) fazendo a seguinte conta: linha pivô /
coeficiente pivô.
5) Iteração final: sabemos que estamos na iteração final quando Z (
função objetivo) tenha todos seus valores positivos.
6) Resolver Função objetivo:
Ex: Z = 5x1 + 3x2
Substituir x1 e x2 pelos valores obtidos na coluna Lado Direito ou
Solução (linha 0) com as linhas x1 e x2
E resolver a conta. Dando por resultado o ponto máximo.
Z= 5.(4,4) + 3. (1,8)
Z= 27,4
Tem que resultar no valor da linha Z com a coluna Lado Direito, ou
linha 0.
RESPOSTA: Para maximizar o lucro temos que decidir por x1 = 4,4 e x2 =
1,8 e nesse caso obtemos a solução ótima que é 27,4 para a função
objetivo Z= 5x1+3x2.
