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Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 20, no. 1, marco, 1998
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Deduc~ao das Equac~oes da Teoria de Gravitac~ao de Einstein em um Curso de Graduac~ao M. Cattani Instituto F sica, Universidade de S~ ao Paulo Caixa Postal 66318, CEP: 05315-970 S~ ao Paulo (SP), Brasil
Trabalho recebido em 4 de abril de 1997
Veremos como deduzir de modo simples as equac~oes fundamentais da teoria da gravitaca~o de Einstein para alunos do curso de graduac~ao que tenham alguma noca~o de relatividade restrita. Apesar da teoria ter cerca de oitenta anos, n~ao existe nenhum tratamento que seja aceito como rigoroso para chegar ate equac~oes de Einstein. Mostraremos aqui uma das possveis deduc~oes das equac~oes de campo da gravitac~ao. Nossa intenc~ao e mostrar como uma mistura de argumentos sicamente razoaveis, simplicidade matematica e sensibilidade estetica nos leva, mais ou menos de modo unico, as referidas equac~oes.
1. A geometria do espaco-tempo Em 1972, o famoso fsico indiano S. Chandrasekhar, pr^emio Nobel de Fsica de 1983, publicou um excelente artigo na revista American Journal of Physics(1) , mostrando como deduzir as equac~oes basicas da teoria de gravitac~ao de Einstein, tambem denominada de teoria da Relatividade Geral. A deduca~o das equaco~es e feita usando uma combinac~ao de argumentos sicamente razoaveis e simplicidade matematica. Esse artigo, entretanto, por ser sucinto demais em algumas partes, ca um pouco difcil de ser entendido por alunos do curso de graduac~ao. A nossa intenc~ao e de, seguindo os passos de Chandrasekhar, fazer uma tentativa de deduzir as referidas equac~oes de tal modo que os alunos de graduac~ao, que conhecam a Relatividade Restrita (R.R.) e um pouco de calculo tensorial, consigam entender os aspectos fundamentais da teoria de gravitac~ao de Einstein(1,7) . A Fsica deste seculo tem mostrado, de modo dramatico(8), como s~ao ilusorios e limitados todos os conceitos que os homens criam para analisar e explicar os fen^omenos naturais. Cada palavra, conceito ou imagem, apesar de parecerem muito precisos e claros, s~ao somente descrico~es aproximadas da realidade. Apesar disso, a nossa tend^encia e sempre acreditar que as criac~oes de nossa mente representem a realidade propriamente dita. Como e extremamente difcil termos uma
consci^encia exata das limitac~oes dos conceitos gerados por nossa mente, tendemos a confund-los com a realidade. Um dos nossos objetivos e o de buscar superar tal confus~ao. Isto e possvel a medida que as nossas tecnicas experimentais v~ao evoluindo(2). Ampliando o horizonte de experi^encias as restric~oes de nossa mente racional tornam-se mais claras, levando-nos a abandonar, ou modi car, alguns conceitos estabelecidos. Acreditamos que, dentre os conceitos criados para descrever a natureza, o espaco e o tempo s~ao os mais importantes. Eles s~ao de vital import^ancia para a ci^encia, loso a e nossa vida cotidiana: eles servem para ordenar eventos e objetos no ambiente que nos cerca. Como praticamente todas as leis da fsica s~ao formuladas usando as noc~oes de espaco e tempo, uma das maiores revoluc~oes na historia da fsica foi a profunda modi cac~ao dessas noc~oes fundamentais, gerada pela teoria da relatividade(1,7): Ate o incio deste seculo os fsicos acreditavam na exist^encia de um espaco absoluto tridimensional Euclideano, independente dos objetos materiais que s~ao contidos por ele. Admitiam tambem que o tempo era uma dimens~ao separada, igualmente absoluto, uindo de modo uniforme, independentemente do mundo material. Essas concepc~oes, pelo menos no mundo ocidental, estavam t~ao profundamente arraigadas nas mentes de losofos e cientistas que eram tidas como propriedades
28 genunas e indubitaveis da natureza. Devemos aos gregos a ideia de que a geometria Euclideana e a express~ao exata da natureza. Essa crenca, que surgiu com o aparecimento do texto \Elementos" de Euclides, perdurou por mais de dois mil anos. Somente nos primordios do seculo vinte os fsicos, gracas a tecnicas experimentais mais so sticadas, comecaram a descon ar dessa concepc~ao geometrica, divina e exata, do mundo. Assim, Minkowski, combinando a eletrodin^amica de Faraday-Maxwell com o princpio da relatividade restrita descobriu que a geometria do espaco-tempo e pseudo-Euclideana (ou de Minkowski). Esta descoberta fundamental foi comunicada pelo proprio Minkowski numa famosa confer^encia pronunciada em 1908, com as seguintes palavras: \As concepc~oes de espaco e tempo que desejo apresentar aos senhores emergiram do solo da Fsica experimental e nisto reside o poderio das novas ideias. Essas concepc~oes s~ao radicais. Daqui para diante, o espaco por si mesmo e o tempo por si mesmo est~ao condenados a desaparecer como simples sombras e so uma especie de uni~ao entre ambos preservara uma realidade independente". A relatividade restrita e tambem a relatividade geral (R.G.), como veremos nessas notas, mudaram radicalmente as nossas noc~oes sobre o espaco e o tempo. O espaco dos eventos fsicos n~ao pode ser considerado como tridimensional. Espaco e tempo aparecem ntima e inseparavelmente conectados constituindo um sistema mais complexo: um continuum quadridimensional denominado de \espaco-tempo". Os dois n~ao podem ser separados: o que e espaco para um observador poder ser uma mistura de espaco e tempo para outro. Dentro desse contexto n~ao faz sentido indagarmos acerca do comprimento \real" de um objeto ou do intervalo de tempo \real" de um acontecimento. Isto seria equivalente a perguntarmos qual o comprimento real da sombra de uma pessoa. A sombra e uma projeca~o de pontos de um espaco tridimensional sobre uma superfcie bidimensional e tera comprimentos diferentes conforme os diferentes ^angulos de projec~ao sobre a referida superfcie(7) . De modo analogo o comprimento de um objeto ou o intervalo de tempo de um acontecimento ser~ao as projec~oes de pontos do espaco-tempo quadridimensional sobre uma superfcie tridimensional. Foi com o aparecimento da R.R. que comecamos
M. Cattani a perceber que o espaco e o tempo, assim como deve ocorrer com outros conceitos, s~ao construco~es de nossa mente e, por conseguinte, devem ser considerados como algo relativo, ilusorio e limitado. Com essa nova teoria aprendemos que um sistema de coordenadas n~ao possui um signi cado objetivo; as coordenadas do espacotempo s~ao apenas elementos de uma linguagem que um observador utiliza para descrever o seu meio ambiente. Atraves do estudo das propriedades fsicas de um dado do campo de forcas seria possvel, em princpio, determinar a metrica do espaco-tempo associada ao referido campo. Ate o presente momento, acreditase que uma geometria pseudo-Euclideana esteja associada as interac~oes forte, fraca e eletromagnetica. A a rmac~ao de que processos fsicos ocorrem num espaco pseudo-Euclideano e muito mais rica do que o princpio da relatividade. Corresponde a generalizar tal princpio tornando possvel a utilizac~ao tanto de referenciais inerciais como n~ao inerciais para o estudo das leis da Fsica. Neste sentido, devemos notar que encontramos frequentemente na literatura a rmac~oes que a R.R. trata somente da descric~ao de fen^omenos em sistemas inerciais, enquanto que a descric~ao dos fen^omenos em referenciais n~ao inerciais e uma prerrogativa da R G.. Estas a rmac~oes est~ao erradas. Segue de modo trivial da descoberta de Minkowski que podemos usar qualquer sistema de refer^encia, inercial ou n~ao inercial, para descrever os fen^omenos fsicos(9). A R.R. que teve incio devido a con itos entre resultados experimentais e as previs~oes da Fsica Newtoniana, construiu uma estrutura comum para a Eletrodin^amica de Faraday-Maxwell e a Mec^anica de Newton, uni cou e completou a fsica classica. Veremos nessas notas, atraves do estudo da teoria da gravitaca~o de Einstein ou teoria da relatividade geral (R.G.), como e a metrica do espaco-tempo na presenca de um campo gravitacional. E importante salientar que, quando a R.G. foi formulada(1;2), em 1916, n~ao havia nenhum con ito serio entre as predico~es da teoria Newtoniana da gravitac~ao e os resultados experimentais. O que levou Einstein a modi car a teoria classica da gravitac~ao foi o fato de uma interac~ao gravitacional instant^anea estar em desacordo com a R.R. Notemos que a R.G. n~ao e uma simples generalizaca~o da teoria Newtoniana da gravitac~ao usando a R.R. (todas as
Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 20, no. 1, marco, 1998 tentativas neste sentido n~ao tiveram muito sucesso!). Analisaremos, na proxima secc~ao, a equival^encia, na teoria Newtoniana, entre a massa inercial e a gravitacional. Este fato e de fundamental import^ancia pois ele e a pedra angular da R.G..
2. Massa inercial e massa gravitacional As experi^encias legendarias de Galileo na torre de Pisa mostraram que a acelerac~ao que um corpo adquire num campo gravitacional uniforme independe de sua massa. Disto Newton inferiu a igualdade entre a massa inercial e a gravitacional. O conceito de massa e introduzido na teoria de duas maneiras logicamente distintas e estas s~ao agora postuladas como sendo iguais numericamente. Este e um aspecto surpreendente, possuindo algo de magico ate hoje ainda n~ao esclarecido. O conceito de massa foi introduzido atraves da segunda lei de Newton: Forca = m(I ) acelerac~ao. Esta massa m(I ) e a inercial, que e uma medida da resist^encia oferecida pelo corpo a uma mudanca de velocidade. Esse mesmo corpo interage com outro gravitacionalmente, segundo a teoria de Newton, conforme a lei G m(g) M (g) =R2 , sendo R a dist^ancia entre eles. As grandezas m(g) e M (g) s~ao as \cargas" ou massas gravitacionais dos dois corpos em interac~ao. De acordo com a segunda lei de Newton a acelerac~ao que o corpo de massa m(g) sofre e = (m(g) =m(I ) )G M (g)=R2 . De acordo com Galileo, todos os corpos localizados a mesma dist^ancia R de M (g) t^em a mesma acelerac~ao. Isto implicaria que m(g) =m(I ) deveria ser uma constante universal. Sem perda de generalidade poderamos assumir que m(g) fosse id^entica a m(I ) . Notemos que este resultado foi deduzido apelando para a experi^encia. Desde Newton, experi^encias t^em sido feitas com o intuito de veri car ate que ponto as duas massas s~ao exatamente iguais. Uma consequ^encia imediata dessa igualdade e que o perodo de um p^endulo simples n~ao depende nem da massa nem da constituic~ao da bolinha. Bessel concluiu, apos uma longa serie de medidas, que a independ^encia do perodo com a massa e a constituic~ao da bolinha podia ser estabelecida com uma precis~ao de uma parte em 105 . Eotvos, usando tecnicas mais so sticadas e estudando desvios de um o de prumo, mostrou que a igualdade das massas era valida dentro de uma precis~ao de um por 109. Re-
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centemente, Dicke(12;10) com tecnicas muito re nadas mostrou que ela e valida com uma precis~ao de uma parte em 1011. Ate hoje n~ao sabemos explicar porque as massas s~ao iguais e isto e aceito como um fato da natureza. Esta igualdade e denominada de Princpio de Equival^encia de Newton. Uma consequ^encia deste princpio e a seguinte: \Um sistema que esta estacionario em um campo gravitacional uniforme com intensidade ~g e sicamente equivalente a um sistema que esta numa regi~ao livre de gravitaca~o mas que esta acelerado com acelerac~ao = ,~g ". Isso corresponde a dizer que realizando experi^encias nos referidos sistemas e impossvel distinguir entre os efeitos de uma acelerac~ao uniforme e um campo gravitacional uniforme. Outra consequ^encia e a seguinte: \para um observador no interior de um sistema em queda livre num campo gravitacional uniforme, num dado instante t , e como se o espaco fosse livre de um campo de forcas". Antes de continuarmos nossa analise, e importante notar que o conceito de campo gravitacional uniforme em todo o espaco n~ao e valido: se fosse valido um corpo poderia ser acelerado inde nidamente ate adquirir momento in nito. E um conceito apenas aproximado: podemos admitir tal fato somente em pequenas regi~oes do espaco.
3. Uma estimativa da metrica do espaco-tempo devido a gravitac~ao Veremos agora como estimar a metrica do espacotempo, levando em conta a equival^encia entre m(I ) e m(g) , devido a presenca de um campo gravitacional. Com este intuito, consideremos um campo gravitacional esfericamente simetrico gerado, por exemplo, por uma estrela de massa M , suposta em repouso(11) num sistema S . Seja S0 um sistema (uma caixa) que cai em queda livre radialmente em direc~ao ao centro da estrela. As coordenadas no sistema S0 ser~ao indicadas por x0 (longitudinal, isto e , na direc~ao do movimento), y0 , z0 (transversal) e t0 . Como num determinado instante de tempo t0 no interior do sistema S0 , que cai em queda livre, o espaco-tempo pode ser considerado como o de Minkowski, o elemento de linha ds2 e dado por, ds2 = c2dt20 , (dx20 + dy02 + dz02) . Supondo que a caixa chega,
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num instante t , a uma dist^ancia r da estrela com velocidade v; r e v s~ao medidas no sistema S da estrela, onde temos as coordenadas r; #; ' e t . Atraves de uma transforma c~ao de Lorentz entre S e S0 obtemos, p p 2 dx0 = dr= 1 , ; dt0 = dt 1 , 2 ; dy0 = rd# e dz0 = r sen# d # d' , onde = v=c . Desse modo o elemento de linha ds2 pode ser escrito na forma 2 2 , 2 ) , dr2 ds2 = (1 , c2 )dt, (1 2 r (d#2 + sen2 #d'2) :
A m de escrevermos o fator 1 , 2 em termos do potencial gravitacional (r) = ,GM=r, onde M e a massa da estrela, consideremos a equac~ao da conservac~ao da energia de um corpo no sistema Sp. Sendo m0 a massa de repouso do corpo e m = m0 = 1 , 2 , temos (m , m0 )c2 + m(r) = 0 , onde, a esquerda, escrevemos a soma da energia cinetica e potencial. A energia constante, a direita, e tomada igual a zero, pois, quando r ! 1 temos m ! m0 . Dividindo a equac~ao de conservac~ao por mc2 , obtemos p 1, 1 , 2 = ,(r)=c2 . Se a estrela for semelhante ao Sol, GM=c2 ' 1 Km, podemos fazer a seguinte aproximac~ao, 1 , 2 ' 1 + 2(r)=c2 . Assim, ds2 torna-se: 2 2 )dt2 , dr2 =(1 + 2(r) (3:1) ds2 = c (1 +c2(r)=c 2 ) , r 2 (d#2 + sin2 #d'2 )
Assim, partindo da igualdade m(I ) = m(g) , usando a teoria Newtoniana da gravitac~ao e a R.R., mostramos que a metrica do espaco de Minkowski e alterada devido a presenca de um campo gravitacional. Naturalmente, devido as aproximac~oes envolvidas na obtenc~ao da Eq. (3.1), n~ao podemos ter uma ideia, no momento, de qual e a precis~ao dos nossos resultados. Com certeza, podemos dizer que a geometria do espaco-tempo n~ao e a mesma que a adotada na R.R.; a geometria, conforme veremos na proxima secc~ao, e a de Riemann. Porem, antes de passarmos a estudar a geometria Riemanniana, analisemos a Eq. (3.1). Ora, se dt e o intervalo de tempo entre dois \tics" de um relogio onde n~ao ha campo gravitacional, ent~ao para o mesmo relogio localizado no ponto r onde ha um campo gravitacional, o intervalo dtr entre dois \tics" sera dado por dtr = (1+(r)=c2)dt . Considerando dois pontos A e B separados por uma distancia h = rA , rB , a raz~ao entre os intervalos de tempo nesses dois pontos sera dado
por ,
1 + (r )=c2 dtA=dtB = (1 + (rA )=c2) = 1 + gh=c2 ; B onde g = GM=R2 e R e o raio do astro suposto muito maior do que h Esse efeito foi comprovado, com boa precis~ao, por Hafele e Keating(12;13), utilizando relogios de cesio e realizando viagens de circunavegac~ao da Terra em jatos comerciais.
4. Elementos de geometria Nesta secc~ao, iremos recordar algumas noco~es sobre espaco, tensores, metrica e introduzir alguns conceitos basicos em geometria Riemanniana(1,7;14). Veremos o mnimo necessario para que se possa ter uma ideia razoavel da formulac~ao matematica da R.G.. Seja x1; x2; : : :; xN fxg ( = 1; 2; : : :; N) um conjunto de variaveis contnuas independentes, que implica em @x @x = . Denominamos de espaco ao conjunto de todos os pontos representados por essas variaveis. Suponhamos que seja possvel descrever o espaco em quest~ao por um novo conjunto de variaveis x0 que sejam func~oes das antigas, isto e, x0 = x0 (x ) . Se essa descric~ao e, sob todos os aspectos, equivalente a antiga, nos devemos ser capazes de obter x como func~oes das novas variaveis x0 , isto e, x = x (x0 ) . Desse modo, nada e perdido quando efetuamos a transformaca~o x ! x0 . Se quisermos, podemos recuperar tudo por uma transformaca~o inversa x0 ! x . Tais transformaco~es denominam-se biunvocas ou um a um . A descrica~o de um espaco e o conjunto de todas as suas transformac~oes recebe o nome de GEOMETRIA. Os conjuntos de coordenadas x e x0 s~ao chamados de sistemas de coordenadas S e S 0 , respectivamente. Como x0 = x0 (x ) , os incrementos dx0 e dx est~ao relacionados por @x dx . Como assumimos que a transdx0 = @x 0 formac~ao de coordenadas e reversvel, os dx podem ser obtidos usando a express~ao acima, de onde resulta que o determinante dos coe cientes n~ao deve se anular: @x det @x 6= 0 . Qualquer conjunto de N elementos U que se transforma, de um sistema S para outro S 0 , como
Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 20, no. 1, marco, 1998 dx0 e denominado de vetor contravariante : U 0 = @x U . Por outro lado, o conjunto de elementos @x @x V e V que se transforma segundo a lei V 0 = @x 0 chamado de vetor covariante . Embora, de modo geral, n~ao haja nenhuma relac~ao entre um vetor covariante e um contravariante, podemos de nir uma relac~ao entre eles que e um invariante , ou seja, que e independente do sistema de coordenadas. Tal relac~ao, chamada de produto interno , e de nida por V U . Assim, @x @x0 V U = @x U U = V U B , V 0 U 0 = @x 0 @x @x 0 0 de onde vemos que V U = V U = invariante. O conjunto de grandezas, com doisndices, U que se transforma @x @x 0 como U = @x0 @x0 U e denominado de tensor covariante de segunda ordem . Generalizando essa ideia para contravariantes e com maisndices, temos tensores do tipo: @x0 @x @x : : : U ::: ; U 0 ::: = ::: @x @x0 @x0 ::: que e um tensor misto com covari^ancias : : : e contravari^ancias : : : . O numero total de ndices da a ordem do tensor: U tensor de ordem zero (escalar) U tensor de 1a ordem (vetor) U tensor de 2a ordem tensor de 3a ordem, etc.. U Um espaco no qual vetores covariantes e contravariantes existem separadamente e denominado de espaco a m . Num espaco a m n~ao existe o conceito de vetor. Ha somente vetores covariantes e contravariantes sem qualquer vnculo entre eles. Ha espacos nos quais vetores covariantes e contravariantes n~ao existem independentemente, podendo ser convertidos uns nos outros da seguinte maneira: U = g U e U = g U . Tais espacos s~ao ditos metricos . O tensor g e de nido como sendo o tensor metrico do espaco em quest~ao e g , a sua forma contravariante. Nesses espacos, as grandezas U e U s~ao equivalentes, sendo representadas pelo ente U~ denominado, simplesmente, de vetor . Combinando as duas equac~oes vistas acima, temos, U = g g U , o que implica em g g = . Em outras palavras, g e o inverso de g e viceversa, isto e g = M =g , onde g e o determinante de g e M e o determinante menor do componente g . Do mesmo modo que os ndices dos vetores s~ao
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abaixados e levantados, os ndices de um tensor podem ser submetidos ao mesmo processo, com o auxlio do tensor metrico. Por exemplo, U = g U e U = g U . O tensor g funciona como um operador, para tensores de qualquer ordem, para elevar e abaixar ndices. Em um espaco a m, o tensor g n~ao pode ser de nido. A equival^encia das descric~oes covariante e contravariante e uma propriedade da geometria metrica ditada por g . Com o auxlio deste tensor podemos de nir elemento de linha, dist^ancia, comprimento, ^angulo, perpendicularidade e muitos outros conceitos geometricos que nos s~ao familiares. Em um espaco a m, essas grandezas n~ao s~ao de nidas. O quadrado de um vetor e de nido pelo produto interno U~ 2 = U U = g U U = g U U . De modo analogo, podemos de nir o quadrado do diferencial d~x : d~x2 = g dx dx = ds2 . A grandeza ds e denominada de elemento de linha do espaco metrico e a equaca~o que de ne ds2 e chamada forma quadratica fundamental . Ela e a equac~ao mais importante das geometrias metricas pois de ne a grandeza basica de uma geometria metrica, que e a dist^ancia ds . Em um espaco tridimensional Euclideano, os tensores g em coordenadas Cartesianas e esfericas s~ao dados por g (1; 1; 1) e g0 (1; r2; r2 sen2 #) , respectivamente, lembrando que todos os termos n~ao diagonais s~ao nulos. Do mesmo modo, no espaco de Minkowsky x; y; z; ct; temos g (,1; ,1; ,1; 1) . O tensor metrico e diagonal somente quando as coordenadas forem ortogonais entre si. Quando o sistema de coordenadas for oblquo, g n~ao e diagonal. E o caso, por exemplo, de dois eixos x1 = x e x2 = y que formam um ^angulo # entre si. Nesse caso, ds2 = dx2 + 2cos# dx dy + dy2 , de onde vemos que g11 = g22 = 1 e g12 = g21 = cos# . Notemos que, quando as linhas das coordenadas s~ao retas os g s~ao constantes, ou seja, n~ao dependem das coordenadas. Por outro lado, quando as linhas das coordenadas forem curvas, como no caso das coordenadas esfericas, os g s~ao func~oes de x . As coordenadas s~ao denominadas, nesses dois casos, de retilneas e curvilneas, respectivamente. Se um espaco pode ser descrito por coordenadas retilneas, ele e considerado
32 um espaco plano. S~ao os casos considerados nos exemplos anteriores. Quando um espaco n~ao pode nunca ser descrito por coordenadas retilneas, ele e um espaco curvo ou Riemanniano. Como exemplo, temos a superfcie esferica onde r = a e as variaveis s~ao x1 = # e x2 = ' . Da, tiramos ds2 = a2 d#2 +a2 sen2#d'2 , ou seja, g11 = a2 ; g22 = a2 sen2# e g12 = g21 = 0 . O elemento de arco ds n~ao pode nunca ser escrito em termos de coordenadas retilneas. Isto ocorre, essencialmente, porque n~ao podemos desenhar linhas retas sobre a esfera. O mesmo ocorre nas superfcies de paraboloides, hiperboloides, toros, etc., que s~ao exemplos de espacos curvos. A geometria dos espacos curvos e conhecida como Geometria Riemanniana. Com o intuito de formularmos, mais adiante, o princpio da covari^ancia, e de fundamental import^ancia observarmos que a transformac~ao de qualquer tensor de S para S 0 e linear. E o caso, por exemplo, de T @x @x T . Assim, que se transforma em T 0 = @x 0 @x0 se as componentes de um tensor s~ao nulas em um sistema elas ser~ao nulas em qualquer outro sistema. Desse modo, se em S temos uma equac~ao U = V , nos podemos escrever G = U , V que em S 0 e dada @x @x (U , V ) . De por G0 = U 0 , V 0 = @x 0 @x0 onde conclumos, como uma consequ^encia imediata do carater tensorial, que U 0 = V 0 . 4.1. Analise tensorial Atraves da diferenciaca~o ordinaria de um vetor covariante U , por exemplo, obtemos dU = d (g U ) = dg U + g d U mostrando que em coordenadas curvilneas e, portanto, tambem em espacos curvos, a diferenciaca~o ordinaria destroi o carater vetorial de dU , pois, em geral, dg 6= 0 . O mesmo ocorre com um vetor contravariante ou com qualquer outro tensor de ordem superior. A m de manter o carater tensorial com a operaca~o de diferenciaca~o, precisamos generalizar o conceito de diferenciac~ao. Com este intuito, e introduzida a diferenciac~ao absoluta que e indicada pelo smbolo D. Ela e de nida por, DU = D (g U ) = g DU . Assim, numa diferenciaca~o absoluta, temos Dg = Dg = 0 . Considerando agora o produto escalar U U que e um invariante devemos ter D(U U ) = d(U U ) , ou
M. Cattani seja, DU U + U DU = dU U + U dU que esta satisfeita se assumirmos que DU = dU + , U dx e DU = dU , , U dx , onde , s~ao coe cientes chamados de smbolos de Christo el . Partindo desta de nic~ao de diferenciaca~o absoluta, vemos facilmente que a diferenciac~ao de um tensor covariante A B e dada por D(A B ) = DA B + A DB = d(A B ) , , A B dx , , A B dx . De onde podemos concluir que para o tensor covariante g temos Dg = dg , (g , + g , ) dx . Permutando ciclicamente os ndices ; e e somando as tr^es equac~oes resultantes, obtemos, lembrando que g g = , , , = g =2 (@ g + @ g , @ g ) : (4:1:1)
Sendo , dada pela Eq. (4.1.1), vemos que , = , e que , ; = , ; , onde , ; e de nida por , ; = g , . Como DU e DU podem ser escritas como DU = (@ U + , U ) dx e DU = , @ U , , U dx , podemos veri car que a derivada covariante , de nida por U; D U = @ U +, U e U; D U = @ U , , U , gera um novo tensor e e considerada como a generalizac~ao da derivada parcial ordinaria. Como D U , D U = @ U , @ U , constatamos que o operador rotacional ordinario e ainda um tensor em coordenadas curvilneas, n~ao precisando ser generalizado. Por outro lado, a generalizac~ao do operador divergente e feita da seguinte maneira: D U = U; = @ U + , U , que e um escalar. O Laplaciano generalizado de um escalar f e de nido por: D D f = f;; = @ (g @ f) + , g @ f . O divergente e o Laplaciano podem ser escritos, de modo mais compacto, com o auxlio da diferenciac~ao do determinante g; @ g = M @ g = gg @ g , o que nos permite escrever , = (g =2)@ g = (1=2g)@ g = @ logpg . Assim, U; e f;; s~ao dados, respectivamente, por U; = (1=pg)@ (pg U ) e f;; = (1=pg)@ (pg g @ )f . A generalizac~ao do invariante quadri-volume d e dada por d Z ! pg d e o teorema de Gauss ca esI p p crito como, U; g d = U gdS , onde dS e o elemento de area da hipersuperfcie que envolve o hipervolume.
Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 20, no. 1, marco, 1998 Em um espaco plano, a derivada segunda @ @ U e igual a @ @ U . Num espaco curvo, D D U n~ao e, em geral, igual a D D U . Subtraindo estas duas derivadas, temos a seguinte igualdade: D D U , D D U = R U , onde o tensor R , dado por R = @ , ,@ , +, , ,, , , e conhecido como tensor de curvatura ou de Riemann-Christo el . Ele da uma indicac~ao da curvatura do espaco pois depende somente dos , e de suas derivadas. De fato, se o espaco for plano, os componentes de g , sendo escritos em coordenadas retilneas, s~ao constantes, anulando os , . Consequentemente, R = 0 em qualquer sistema de coordenadas. Atraves de uma contrac~ao em R , obtemos o tensor de Ricci : R = R = R = @ , , @ , + , , , , , . Por meio de uma outra contrac~ao, resulta o escalar R = g R , conhecido como curvatura escalar ou invariante de curvatura . O nome curvatura provem do fato dele medir uma propriedade do espaco que e analoga a curvatura de uma superfcie bidimensional. Isto e simples de veri car, analisando o caso de uma superfcie esferica de raio a, na qual a metrica e dada por g11 = a2 ; g22 = a2 sen2 #; g12 = g21 = 0 , de onde vemos que g11 = a,2; g22 = (a sen#),2 e g = a4 sen2# . Assim usando a Eq. (4.1.1), veri camos que os unicos , que n~ao se anulam s~ao ,122 = ,sen(2#)=2 e ,221 = ,212 = cotg# . Desse modo temos os tensores de Ricci, R11 = ,1 e R22 = ,sen2 # que geram a curvatura R = g11R11 +g22 R22 = ,2=a2 . Ou seja, R e proporcional a curvatura Gaussiana de uma esfera de raio a, que e dada por 1=a2 . A analogia entre o tensor de curvatura e a curvatura Gaussiana e razoavel somente no caso de superfcies bidimensionais; para espacos de maior dimens~ao a relaca~o entre eles e remota. Se, em um determinado espaco Riemanniano, for possvel encontrar um sistema de coordenadas, cobrindo todos os pontos desse espaco, no qual os g s~ao constantes, os , , os tensores R R e o escalar R se anulam. Se isto ocorrer, tal espaco se denomina plano . Se o espaco for plano, o tensor de cur-
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vatura e nulo e esse carater n~ao pode ser mudado por nenhuma transformac~ao de coordenadas. Um espaco Riemanniano que n~ao e plano e chamado de curvo. A \curvatura" de um espaco e uma propriedade intrnseca dele e n~ao depende de um particular sistema de coordenadas no qual a metrica possa ser expressa. A m de n~ao queimar os neur^onios, n~ao devemos car imaginando como e um espaco curvo. Um espaco curvo, para o proposito dessas notas, e simplesmente aquele no qual o tensor R n~ao se anula em, pelo menos, um ponto do espaco em quest~ao. Pode-se mostrar que, num espaco curvo, e sempre possvel, nas vizinhancas de um ponto P, encontrar um sistema de coordenadas no qual o espaco seja localmente plano. Para terminar essa secc~ao, vamos de nir o seguinte tensor, G = R , g R=2 , conhecido como tensor de Einstein , que possui as seguintes propriedades: a) Tem um carater puramente geometrico pois depende somente de g de suas derivadas. b) E um tensor simetrico de segunda ordem, G = G. c) A sua derivada covariante e nula, D G = 0 . Estas propriedades, como veremos na secc~ao 6, s~ao fundamentais para a formulac~ao das equaco~es de campo da gravitac~ao. 4.2. Geodesica Consideremos, num espaco Riemanniano, dois pontos P1 e P2 pertencentes a uma curva . O comprimento de arco s12 entre os pontos P1 e P2 e dado por s12 =
Z
2 1
ds =
Z
2
p
1
onde a integral e feita ao longo de . Pelos pontos P1 e P2 podemos passar uma in nidade de curvas; denominamos de geodesica a curva que extremiza a integral s12 , ou seja, tal que s12 = 0 . A m de deduzir as equac~oes diferenciais de uma geodesica, levemos em conta que (ds2 ) = (g dx dx ) = 2 ds (ds) = dx dx (@ g ) x + 2 g dx (dx ) . Usando este resultado, e facil vermos que(3)
c s12 =
Z 1
2
g dx dx ;
1 dx dx (@ g ) x + g dx (dx ) ds : ds ds 2 ds ds
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M. Cattani
Integrando o segundo termo por partes, Z
d(x ) 2 Z2 d dx x ds : ) g dx g dx ds = (x , g ds ds ds 1 1 ds ds 1 Como o primeiro termo do segundo membro e nulo, s12 e dado por 2
Z
1 dx dx (@ g ) , d g dx x = 0 : s12 = 2 ds ds ds ds 1 dx 1 dx d dx Como os x s~ao arbitrarios, camos com a igualdade, 2 ds ds @ g , ds g ds . Desenvolvendo o segundo termo, teremos d g dx = g d2 x + dx d (g ) = g dv + v (@ g ) v ; ds2 ds ds ds ds ds 1 v v (@ g ) , g onde de nimos v = dx =ds . Desse modo, obtemos, 2 dv , v v (@ g ) = 0 . Notando que o ultimo termo pode ser escrito como ds v v (@ g ) = 21 v v (@ g + @ g ) resulta, g dvds + ,; v v = 0 onde
2
,; = 12 (@ g + @ g , @ g ) :
Elevando o ndice obtemos
,; v v = dv + , v v = 0 : g g dv + g ds ds
Finalmente, podemos escrever as equac~oes de uma geodesia. d2x + , dx dx = Dv = 0 ( ; ; = 1; 2; : : :; N) : (4:2:1) ds ds ds2 Ds Ao longo de uma geodesica, como Dv = Dv =Ds = 0 , o vetor velocidade v = dx =ds , que e tangente a curva em cada ponto, e constante. Num espaco Euclideano, como os smbolos de Christo el s~ao nulos, teremos, simplesmente, d2x =ds2 = 0 , que integradas geram as retas x , x 0 = v s , onde x 0 e v s~ao constantes de integrac~ao. As geodesicas, num espaco Euclideano, sendo retas, d~ao as dist^ancias mais curtas entre dois pontos. Um outro exemplo interessante e o que se obtem em uma superfcie esferica de raio a. Lembrando que x1 = # e x2 = ' e, usando os valores do tensor metrico vistos na secc~ao (4.1), as equac~oes da geodesica (4.2) se reduzem ao par:
d a2 d# , a2 sen#cos# d' 2 = 0 e d 2 2 d# ds ds ds ds a sen # ds = 0 : As soluc~oes particulares dessas equaco~es s~ao ' = constante e a# = s ou # = =2 e a' = s , correspondendo ao meridianos e equador da esfera, respectivamente. Assim, os grandes crculos s~ao geodesicas em uma superfcie esferica. Como sabemos, a dist^ancia mnima entre dois pontos nesse espaco e dada pelo comprimento de arco de uma grande crculo, que passa pelos referidos pontos. dx Ao deduzirmos as equac~oes da geodesica admitimos que o intervalo ds 6= 0 , o que implica em g dx ds ds = 1 . Existe um outro tipo de geodesica, chamada de geodesica nula , que e obtida assumindo que o intervalo entre dois
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pontos sobre a curva e zero. De nindo por um par^ametro escalar n~ao nulo variando sobre a geodesica, ent~ao dx dx 2 para essa especie de curva, e valida a equac~ao ds = g d d = 0 . Usando o par^amentro na integral que deve ser variedade, podemos mostrar(14), de modo analogo ao anterior, que, para uma geodesica nula, as seguintes equac~oes diferenciais s~ao obedecidas:
d2 x + , dx dx = 0 d d d2 Vejamos como interpretar uma geodesica nula num espaco de Minkowski onde x (x4 ;~x ) = (ct;~x ) e ds2 = (dx4)2 , (d~x)2 . Assim, se ds = 0 , teremos (d~x=dt)2 = v2 = c2 . Por outro lado, integrando as equac~oes da geodesica, obtemos linhas retas. Desses resultados, vemos que, num espaco de Minkowski, uma geodesica nula pode ser interpretada sicamente como a historia do movimento de um raio de luz. Esta mesma interpretac~ao se mantem quando um foton se movimenta em um campo gravitacional.
5. As hipoteses basicas da teoria da gravitac~ao Conforme vimos antes, o espaco dos eventos fsicos da R.R., denominado de espaco de Minkowski, e um espaco Riemanniano quadridimensional plano com uma metrica pseudo-Euclideana. Entretanto, como mostramos na secc~ao 1, a geometria de Minkowski e alterada devido a presenca de um campo gravitacional. Einstein usou este fato como ponto de partida para generalizar a teoria Newtoniana da gravitac~ao. Ele assumiu que o espaco-tempo, devido a interac~ao gravitacional, fosse um espaco curvo quadridimensional Riemanniano . Assim, um elemento se linha desse espaco seria dado genericamente por ds2 = g (x)dxdx (; = 1; 2; 3; 4) . Ha, porem, uma condic~ao subsidiaria a ser obedecida: se em um determinado ponto desse espaco estabelecermos um sistema localmente plano, o elemento ds2 deve ser escrito, neste ponto, na forma ds2 = (dx4)2 , (d~x )2 . Em outras palavras, o espaco-tempo devido a gravitac~ao deve ser localmente redutvel ao de Minlowski. Este tipo de espaco e denominado de quasi-Riemanniano.
( ; ; = 1; 2; : : :; N) :
d Adota-se tambem a hipotese da covari^ancia que expressa a ideia de n~ao existir um sistema de coordenadas preferencial, deixando o observador livre para escolher qualquer sistema de coordenadas. De acordo com o que foi analisado na secc~ao 4, essa condic~ao esta satisfeita, do ponto de vista matematico, escrevendo as leis fsicas usando tensores e equac~oes tensoriais, pois assim elas se transformam de modo covariante ao passar de um sistema para outro. Uma vez estabelecido que a gravitac~ao encurva o espaco-tempo, e que esta curva e dada atraves de g , n~ao precisamos, de certo modo, nos preocupar com a interac~ao gravitacional. Podemos agora supor que as partculas se movem livremente num espaco curvo onde os fen^omenos fsicos devidos a gravidade podem ser medidos com regua e relogio. Nos domnios de validade da R.R., admitirmos que a trajetoria de uma partcula e uma geodesica implica que ela seja livre. De fato, como neste caso e sempre possvel encontrar um sistema de coordenadas Cartesianas no qual os coe cientes , se anulem, da 2 Eq. (4.2.1) conclui-se que ddsx2 = dvds = 0 . Ou seja, nesse sistema a acelerac~ao dvds e nula e, consequentemente, a velocidade v = constante. Obviamente, num sistema de coordenadas curvilneas os , n~ao se anulam e a partcula, apesar de n~ao estar sob a ac~ao de nenhuma interac~ao, possui acelerac~oes inerciais. Em R.G., numa generalizac~ao obvia da R.R., postula-se que uma partcula livre descreve uma geodesica. Como Dv =Ds = Dv = 0 , temos, como consequ^encia, a const^ancia absoluta da velocidade v . A hipotese de que partculas livres descrevem geodesicas e denomi-
36 nada de princpio geodesico e corresponde a uma extens~ao do prncipio de inercia de Galileo. Assim, unificando inercia e gravitac~ao, eliminamos o conceito de forca externa transformando a teoria da gravitac~ao em geometria pura. Para terminar essa secc~ao, vale a pena notar que apesar de muitos anos de trabalho com a teoria da relatividade, cujo formalismomatematicoe muito bonito e elegante, sentimos grande di culdade com os conceitos relativsticos, tanto no nvel da intuic~ao como na linguagem usual. A familiarizac~ao com o formalismo, que nos fez aprecia-lo, n~ao ajudou muito a nossa intuica~o. N~ao possumos experi^encia sensorial direta do espacotempo quadridimensional ou de quaisquer outros conceitos usados pela teoria(1;2).
6. Gravitac~ao e materia Vimos na sec~ao 5 como uma parte das leis da gravitac~ao pode ser formulada postulando que o espacotempo e uma variedade Riemanniana e que todas as aceleraco~es devidas a forcas gravitacionais e inerciais tem uma origem metrica. Agora vamos relacionar o campo gravitacional com a matetia que o gera. Queremos, novamente, chamar a atenca~o para o fato de que os argumentos que usaremos para obter essas equaco~es, como tambem os utilizados na secc~ao anterior, n~ao podem ser considerados rigorosos. Eles parecem ser os mais simples, e de certo modo os mais razoaveis, que sabemos formular. Indicando por o potencial escalar da teoria Newtoniana da gravitac~ao podemos dizer que: (1) N~ao ha campo gravitacional presente quando = 0. (2) Numa regi~ao em que ha materia presente, como densidade , vale a equaca~o r2 = ,4G . Vejamos como generalizar essas leis Newtonianas. Ora, conforme discutimos antes, na aus^encia de gravitac~ao a curvatura do espaco-tempo deve se anular. Pode-se mostrar, usando a geometria diferencial, que a condic~ao necessaria e su ciente para que isso ocorra e que o tensor de Riemann-Christo el se anule, R = 0 . Esta seria, ent~ao, a generalizac~ao da condica~o (1), de = 0 . A m de obtermos a correspondente a condic~ao (2), vamos considerar, apenas para simpli car a analise,
M. Cattani a materia como sendo um uido ideal. Na. R.R., o tensor energia-momento T para um uido ideal e dado por T = ( + p=c2 )v v , g p=c2 , onde e a densidade escalar, p a press~ao escalar e o quadrivetor velocidade v obedece a condic~ao g v v = v v = 1 . A equac~ao T; = @T =@x = 0 , que esta satisfeita para o tensor T , expressa as leis de conservaca~o de energia e momento para o udo. Na R.G., o tensor T possui a mesma forma, porem, como os coe cientes g da metrica n~ao s~ao mais constantes, ao inves de termos T; = 0 , a condic~ao que ele obedece e D T = T; = 0 , que n~ao exprime nenhuma lei de conservac~ao(3;9). Nessas notas o tensor energiamomento T e encarado como o ente que engloba todas as propriedades fsicas da distribuic~ao de materia. De alguma maneira as propriedades geometricas do espaco-tempo devem ser deduzidas a partir das propriedades fsicas, dadas por T . Poderamos tentar escrever a seguinte equaca~o tensorial: G = k T , onde o tensor G deve depender somente das propriedades geometricas do espaco quasi-Riemanniano e k e uma constante a determinar. Alem disso, o tensor G deve obedecer as seguintes propriedades: (a) Ele deve ser simetrico em , pois T e simetrico. (b) D G = 0 , pois D T = 0 . Ora, como vimos na secc~ao (4.1), so existe um tensor de segunda ordem que obedece a essas propriedades e que e linear nas derivadas de segunda ordem de g . Esse tensor e o de Einstein, de nido por G = R , Rg =2 . Deste modo, as equac~oes do campo de gravitac~ao seriam dadas por (Equac~oes de Einstein): R , Rg =2 = kT : Resta agora determinar a constante k . Com o intuito de determina-la, impomos que no limite de c ! 1 a teoria de Einstein se reduza a de Newton. Precisamos mostrar que no limite de c ! 1 as equac~oes de Einstein, com uma escolha apropriada de k , se reduzem a equac~ao de Poisson r2 = ,4G . Ora, e facil vermos quando c ! 1 a unica componente n~ao nula do T e T 44 ' c2 e que T = T ' c2 . Nestas mesmas condic~oes, as componentes do tensor metrico, conforme Eq. (3.1), s~ao dados por g44 = 1 + 2=c2 ; g11 = ,1 , 2=c2 e g22 = g33 = ,1 . Calculando R em termos dos g , usando o que foi visto na secc~ao (4.1), obtemos R44 = ,(1=4c2)r2 . Por outro lado, levando em conta
Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 20, no. 1, marco, 1998 que a equac~ao de Einstein pode ser escrita na forma R = k(T , g T=2) , chegamos a seguinte igual dade, (1=4c2)r2 = k c2 , (1 + 2=c2)c2 =2 = kc2 =2 , k ' kc2 =2 , de onde deduzimos que a constante k deve ser k = ,8G=c4 . Com a determinac~ao da constante k completamos a \derivac~ao" da equac~ao de Einstein que e, ent~ao dada por R , g R=2 = ,(8G=c2)T : (1) Esta equac~ao constitui, de fato, um sistema de equaco~es de derivadas parciais de segunda ordem. S~ao dez equac~oes de campo pois os tensores g e T s~ao simetricos. Entretanto, como as coordenadas x podem ser submetidas a uma transformac~ao arbitraria, e possvel escolher arbitrariamente quatro das dez componentes de g . Como as quatro componentes de v , que comparecem em T , s~ao ligadas pela relac~ao g v v = v v = 1 , somente tr^es delas s~ao independentes. Desse modo, as dez equac~oes do campo gravitacional s~ao efetivamente constitudas por dez grandezas desconhecidas: seis componentes de g , tr^es componentes de v e a densidade de materia (ou a press~ao p). Lembrando que temos de conhecer de antem~ao a equac~ao de estado da materia, que relaciona p e , pois essa n~ao pode ser determinada atraves da Eq. (6.1). Como as equac~oes de nidas por (6.1) n~ao s~ao lineares, o princpio da superposic~ao n~ao e valido para os campos gravitacionais (a n~ao ser para campos fracos), contrariamente ao que ocorre para os campos eletromagneticos na R.R.. No caso do eletromagnetismo a distribuica~o e o movimento das cargas podem ser arbitrarias, desde que a carga total se conserve. Uma dada distribuic~ao de cargas determina, atraves das equac~oes de Maxwell, o campo que elas criam. No caso da gravitac~ao, a distribuic~ao e o movimento da materia que gera o campo n~ao podem ser tomados arbitrariamente, muito pelo contrario, eles, ao mesmo tempo que o campo criado pela materia, s~ao determinados por intermedio da Eq. (6.1), dadas as condic~oes iniciais. Apesar de muitas crticas(5) e de varias tentativas para desenvolver uma teoria da gravitac~ao diferente da de Einstein e esta que, ate o presente momento, melhor explica os resultados experimentais(11). Do ponto de vista historico, e importante notar que resultados semelhantes ao de Einstein foram obtidas,
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por Lorentz e Hilbert, antes do proprio Einstein, conforme ele mesmo cita em seu famoso artigo de 1916 (vide refer^encia 12, pag. 167). Para nalizar, vale a pena observar que, dentro do esquema da R.G., sempre que existir materia, existira um campo gravitacional que se manifestara atraves da curvatura do espaco circunvizinho aquela materia. N~ao devemos pensar, contudo, que o campo preenche o espaco e o \curva", pois n~ao podemos diferenciar os dois conceitos: o campo e o espaco curvo . O campo gravitacional e a estrutura (a geometria) do espacotempo s~ao id^enticos, e s~ao representados na Eq. (6.1) por uma unica grandeza matematica. Na teoria de Einstein, a materia n~ao pode ser separada de seu campo gravitacional e este n~ao pode ser separado do espaco curvo. Materia e espaco devem, pois, ser encarados como partes inseparaveis e interdependentes de um unico todo(4) .
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