Transcript
1º Simulado ITA - Resolução MATEMÁTICA
4/22/2011 http://dadosdedeus.blogspot.com Marcos Valle (IME)
2 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
GABARITO
1D
6E
11 A
16 E
2C
7E
12 B
17 B
3D
8A
13 B
18 C
4E
9D
14 C
19 C
5D
10 E
15 B
20 E
2
3 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução) NOTAÇÕES
: conjunto dos números naturais
: conjunto dos números complexos
: conjunto dos números inteiros
: unidade imaginária:
: conjunto dos números racionais
: conjugado do número
: conjunto dos números reais
: módulo do número
: conjunto das matrizes reais : determinante da matriz : adjunta da matriz M
: parte real do complexo : parte imaginária do complexo .
: segmento de reta unindo os pontos
e .
: ângulo formado pelos segmentos
e
, com vértice no ponto
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
Questão 1.
em A(
Dado
, então o valor de
é igual a )
.
B(
)
.
C( )
Solução:
3
.
D( )
.
E( )
.
4 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução) Mas:
Questão 2.
Sejam A, B e C três conjuntos de números complexos como definido abaixo
O número de elementos do conjunto
é
A(
C ( ) 1.
)
.
B ( ) 0.
D(
) 2.
E(
)
.
Solução: Vamos representar geometricamente em um mesmo plano Argand-Gauus os três conjuntos: A : conjunto dos pontos sobre e acima da reta
.
B : conjunto dos pontos pertencentes à circunferência de centro
e raio .
C:
.
De fato, há apenas 1 ponto possível. Questão 3.
Se
e
, então o LG dos pontos
é
A(
) reta que não passa pela origem.
B(
) uma circunferência.
D(
) o eixo .
E ( ) um ponto.
Solução:
. Como
C ( ) o eixo .
é imaginário puro, o conjunto dos
pontos é o próprio eixo y.
Questão 4. Um sinal que pode ser verde ou vermelho, com probabilidades 4/5 e 1/5 respectivamente, é recebido pela estação A e depois retransmitido para a estação B. A probabilidade de cada estação receber o sinal corretamente é ¾. Se o sinal recebido em B é verde, então a probabilidade de o sinal original fosse verde é
4
5 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
A(
) .
B( ) .
C( ) .
D( )
.
E( )
.
Solução: Evento G : probabilidade do sinal original ser verde. Evento E1 : A recebe o sinal correto. Evento E2 : B recebe o sinal correto. Evento E : Sinal recebido por B é verde.
Calculemos a probabilidade do evento E ocorrer:
A probabilidade de o sinal original ser verde e B receber verde é
A probabilidade de ocorrer o evento G dado que ocorre E (condicional) é:
Questão 5.
Para x pertencente ao conjunto dos reais, seja
I–
não é injetiva mas é sobrejetiva.
II –
é sobrejetiva mas não injetiva.
III –
não é injetiva nem sobrejetiva
IV –
é bijetiva.
V – Não é possível determinar se
.
é sobrejetiva.
é verdadeira A(
) I.
Solução: Sejam
Mas
B ( ) II. tal que
C ( ) III.
D ( ) IV.
. Temos que:
(pois
). Logo:
5
E ( ) V.
6 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
Assim,
é estritamente crescente e portanto bijetiva.
Questão 6.
Considere o sistema de equações e as seguintes proposições
I - o sistema não possui solução para II - o determinante
. , para
.
III - é impossível para qualquer valor de . é (são) verdadeira(s) A(
) apenas I.
D(
) apenas II e III.
Solução: Seja
B ( ) apenas II.
C ( ) apenas III.
E ( ) apenas I e II.
o determinante da matriz incompleta do sistema:
Assim, o sistema é possível indeterminado ou impossível. Para que ocorra o primeiro caso (e haja solução), devemos ter :
Logo, o sistema não possui solução para
Questão 7.
.
Considere as afirmações abaixo:
6
7 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução) I – se A e B são matrizes ortogonais, então (AB) é ortogonal. II – III – os únicos valores possíveis para o determinante de uma matriz ortogonal são
e
.
é (são) verdadeira(s) A(
) apenas I.
B ( ) apenas I e II.
D(
) nenhuma.
E ( ) todas.
C ( ) apenas II e III.
Solução: (I) Uma matriz Mé dita ortogonal se
(II) Sabemos que
. Mas se
e
, então:
. Primeiramente, se M é inversível, então e então
e .
Agora, se M não for inversível, . Logo, . Se , então e está provado. Se , então M possui uma linha não nula, digamos . Mas como , , o que implica que não é inversível e portanto a adjunta também não é. Com isso, e está provado. (III) seu inverso, logo
. Mas o determinante da transposta é igual ao da matriz e o da inversa é .
Questão 8. Os valores de é igual a 1 são A(
)0e
D(
)0e .
.
para os quais a soma dos cubos das raízes da equação
B(
)
e
.
E(
) Não há valores possíveis.
C(
)
e
.
Solução: Sejam a e b as raízes. Das relações de Girard, temos que:
Logo:
Logo,
ou
Questão 9. Sejam O valor de é
.
as raízes da equação
e ,
7
as raízes da equação
.
8 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
A(
)
D(
)
B( .
)
.
E( )
.
C(
)
.
Solução: Das Relações de Girard, temos que:
De (I) e (II):
e
Substituindo em (III):
Questão 10. igual a A(
O resto da divisão do polinômio
) 0.
B ( ) 40.
pelo polinômio C ( ) 60.
D ( ) 80.
,é E ( ) 120.
Solução: Podemos escrever o polinômio dado como:
Para
, temos:
Questão 11. A(
) -1.
Se
e
são as raízes da equação B(
) 1.
, então
C ( ) -2.
Solução: A raízes da equação são: e Logo:
8
é igual a D ( ) 2.
E ( ) 0.
9 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
Questão 12. A(
)
D(
)
O conjunto solução da desigualdade . .
B(
é igual a )
.
C(
)
E( )
Solução: Como
, temos que:
Por inspeção, 3 é raíz. Logo:
Colocando tudo em um quadro de sinais:
Portanto,
e
, ou seja
.
Questão 13. A reta intersecta a elipse nos pontos A e B. Existe o ponto P na elipse tal que a área de PAB é vale 3. Podemos afirmar que a quantidade possível de pontos P é A(
) 1.
B ( ) 2.
C ( ) 3.
Solução: Se P está na elipse, então faça mesmo lado de AB, a distância de P a AB é
Mas
, então
D ( ) 4.
E( )
.
na elipse.Quando P e a origem não estão no
.
9
10 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução) Portanto, quando a área de PAB é 3, P e O estão do mesmo lado de AB. Existem 2 pontos P.
Questão 14.
Seja
. Então o valor máximo de
é igual a A(
)
B( )
Solução: Seja
.
, então
C( )
.
D( )
e
. Temos que:
.
E( )
.
. Logo:
Como
e
são monótonos decrescentes neste caso,
atinge o máximo em
,e
.
Questão 15. Seja Seja AD perpendicular a raio, em , é igual a A(
) 3.
um quadrilátero com área , com lado e . Se um círculo é desenhado dentro de
B ( ) 2.
C(
) .
Solução:
Solução:
10
paralelo ao lado e . tocando todos seus lados, seu
D ( ) 1.
E( ) .
11 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução) Podemos verificar que
é solução do sistema.
Questão 16. Se os ângulos e comprimentos dos lados opostos a igual a A(
) .
B( )
.
de um triângulo formam uma progressão aritmética e e respectivamente, então o valor da expressão
C ( ) c) .
D( )
.
denotam os é
E( )
.
Solução: Da Lei dos Senos:
Logo: Mas se A, B e C estão em P.A., e
, então
e
.
Questão 17. No triângulo PQR isósceles, com PQ = PR = 3 cm e QR = 2 cm, a tangente à sua circunferência circunscrita no ponto Q encontra o prolongamento do lado PR em X. O valor de RX, em cm, é igual a A(
)
.
B(
)
.
C( ) .
Solução:
Primeiramente, vamos calcular o raio da circunferência circunscrita:
11
D(
) .
E(
) .
12 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução) Montamos agora as equações de
Como
e
:
:
E:
Igualando (I) e (II):
Voltando em (II):
Logo:
Questão 18. Seja reta , tal que A(
)
.
um triângulo e seja , B(
)
.
o ponto no semi – plano contrário ao do vértice , gerado pela e . Então o ângulo é igual a C( )
.
Solução:
12
D(
)
.
E(
)
.
13 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução) Teorema do Ângulo Externo:
Teorema do Ângulo Externo:
Substituindo (II) em (I):
Questão 19. A região definida pelas curvas , , e . é o volume do sólido obtido rotacionando-se a região descrita em torno do eixo . Uma outra região é formada pelos pontos que satisfazem , e . é o volume do sólido obtido rotacionando-se esta região em torno do eixo . A relação entre e é igual a A(
)
.
B( )
.
C( )
.
D( )
.
E( )
.
Solução:
Como mostrado no diagrama acima, os dois sólidos de rotação obtidos rotacionando-se respectivamente as duas regiões em torno do eixo y estão entre dois planos paralelos, distantes 8 unidades um do outro. Cortamos os dois sólidos de rotação por qualquer plano perpendicular ao eixo y. Suponha que a distância do plano à origem é . Assim, as áreas hachuradas são:
Pelo princípio de Cavalieri, temos que
.
Questão 20. A base de uma pirâmide regular é um hexágono inscrito em um círculo de a área da base é a décima parte da área lateral, então a altura da pirâmide, em , é igual a
de diâmetro. Se
A(
E(
)
.
B(
)
.
C( )
.
Solução: Seja g a geratriz das faces e h a altura buscada. 13
D(
)
.
)
.
14 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
Mas
AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE 21 A 30, DEVEM SER RESOLVIDAS E REPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES.
Questão 21.
Sabendo que
a) prove que b) calcule
: .
.
Solução: a) b) Do item anterior, temos que Logo:
Questão 22. Solução:
.
Determine todos os números complexos
tais que
.
. Logo:
Assim, o conjunto solução é formado por todos os reais diferentes de 0 e todos os complexos de módulo unitário.
Questão 23. Um torneio é disputado por quatro times A, B, C e D. É três vezes mais provável que A vença do que B, duas vezes mais provável que B vença do que C e três vezes mais provável que C vença do que D. Quais são as probabilidades de ganhar para cada um dos times? Solução: A soma de um evento com seu complementar é igual a 1. Logo:
14
15 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
Do enunciado,
Com isso,
Questão 24.
Resolva a inequação em :
.
Solução: Façamos as condições de existência:
Para a última condição:
Montamos o quadro de sinais para determinar o intervalo buscado:
Logo,
Portanto,
Questão 25. a)
ou
. Das outras condições, temos que
.
Sendo A, B e C matrizes inversíveis de ordem , prove que: .
15
. Assim:
16 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução) b)
.
c)
.
Solução: a) Logo:
.
b)
.
c)
.
Questão 26.
Resolva a equação em
: .
Solução:
Mas
. Logo:
Voltando em
De fato, para solução é
par
logo as condições de existência são atendidas. Assim, o conjunto .
Questão 27. O triângulo , cujos lados medem pirâmide de vértices S, cujas faces laterais , e a) Calcule o volume da pirâmide. 16
, formam diedros de
,
é base de uma com o plano da base.
17 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução) b) Calcule o raio da esfera inscrita na pirâmide. Solução: a) Sejam , o vértice da pirâmide e sua projeção sobre o plano da base, respectivamente e o ponto em que o raio da circunferência inscrita ao toca a aresta . O raio da cinrcunferência inscrita ao triângulo é . Como projeção de V conincide com o incentro da base e se H é a altura da pirâmide:
Logo:
b) Seja O o centro da esfera inscrita:
17
18 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
Questão 28.
.1
Mostre que
Solução: Sejam
e
. Logo:
Igualando as expressões:
Considerando apenas as primeiras determinações positivas:
Questão 29. Dado um quadrado . a) Prove que
de lado unitário e um um ponto O interno a
é equilátero.
b) Calcule o comprimento de
.
Solução:
a)
.
Por simetria,
e
.
: : b) 1
. Logo,
é equilátero.
.
A questão original estava errada.
18
tal que
19 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
Questão 30. Conforme ilustrado nas figuras abaixo, existe uma sequência de curvas , , , .... Sabe-se que a área definida por vale 1 e que é um triângulo equilátero. Obtemos de pelo seguinte procedimento: Dividimos cada lado de e construímos um trângulo equilátero externamente a cada lado de sobre o segmento do meio e depois retiramos esse segmento ( ). a) Escreva
como a área da região limitada por
b) Determine o valor de
para quando
e determine uma fórmula fechada para a mesma.
assume valores muito grandes.
Solução: a) Primeiramente, note que cada lado de vira 4 lados de sucessivamente, o que nos dá o número de lados em igual a
e cada lado de .
A cada passo, estamos ainda adicionando um triângulo equilátero de área
vira mais 4 de
a cada lado de
e assim
. Logo:
, , ,
.
Vamos provar essa conjectura via indução finita. Para . Para cada lado de
, é fácil perceber que, após este possui
a expressão é válida. Suponha para
e
operações, teremos adicionado um triângulo de área
a
lados. Assim: .
b) De a) temos que
. Logo: 19
20 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)
.
20
