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1º Simulado ITA MATEMÁTICA
4/19/2011 http://dadosdedeus.blogspot.com Marcos Valle (IME)
2 Dados de Deus – 1º simulado ITA NOTAÇÕES
: conjunto dos números naturais
: conjunto dos números complexos
: conjunto dos números inteiros
: unidade imaginária:
: conjunto dos números racionais
: conjugado do número
: conjunto dos números reais
: módulo do número
: conjunto das matrizes reais : determinante da matriz : adjunta da matriz M
: parte real do complexo : parte imaginária do complexo .
: segmento de reta unindo os pontos
e .
: ângulo formado pelos segmentos
e
, com vértice no ponto
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
Questão 1.
em A(
Dado
, então o valor de
é igual a )
.
B(
)
.
C( )
2
.
D( )
.
E( )
.
3 Dados de Deus – 1º simulado ITA Questão 2.
Sejam A, B e C três conjuntos de números complexos como definido abaixo
O número de elementos do conjunto
é igual a
A(
C ( ) 1.
)
.
Questão 3.
B ( ) 0.
Se
e
D(
, então o LG dos pontos
) 2.
E(
)
.
é
A(
) reta que não passa pela origem.
B(
) uma circunferência.
D(
) o eixo .
E ( ) um ponto.
C ( ) o eixo .
Questão 4. Um sinal que pode ser verde ou vermelho, com probabilidades 4/5 e 1/5 respectivamente, é recebido pela estação A e depois retransmitido para a estação B. A probabilidade de cada estação receber o sinal corretamente é ¾. Se o sinal recebido em B é verde, então a probabilidade de o sinal original fosse verde é igual a A(
) .
B( ) .
Questão 5.
C( ) .
D( )
Para x pertencente ao conjunto dos reais, seja
I–
não é injetiva mas não sobrejetiva.
II –
é sobrejetiva mas não injetiva.
III –
não é injetiva nem sobrejetiva
IV –
é bijetiva.
V – Não é possível determinar se
.
E( )
.
.
é sobrejetiva.
é verdadeira A(
) I.
B ( ) II.
Questão 6.
C ( ) III.
D ( ) IV.
Considere o sistema de equações e as seguintes proposições
I - o sistema não possui solução para II - o determinante
. , para
3
.
E ( ) V.
4 Dados de Deus – 1º simulado ITA III - é impossível para qualquer valor de . é (são) verdadeira(s) A(
) apenas I.
D(
) apenas II e III.
Questão 7.
B ( ) apenas II.
C ( ) apenas III.
E ( ) apenas I e II.
Considere as afirmações abaixo:
I – se A e B são matrizes ortogonais, então (AB) é ortogonal. II – III – os únicos valores possíveis para o determinante de uma matriz ortogonal são
e
.
é (são) verdadeira(s) A(
) apenas I.
B ( ) apenas I e II.
D(
) nenhuma.
E ( ) todas.
Questão 8. Os valores de é igual a 1 são A(
)0e
D(
)0e .
A(
)
D(
)
Questão 10. igual a A(
A(
) -1.
B(
)
E(
) Não há valores possíveis.
e
as raízes da equação
B( .
.
e ,
)
.
E( )
.
O resto da divisão do polinômio
) 0.
Questão 11.
para os quais a soma dos cubos das raízes da equação
.
Questão 9. Sejam O valor de é igual a
C ( ) apenas II e III.
B ( ) 40.
Se
e
) 1.
)
e
as raízes da equação
C(
C ( ) 60.
)
D ( ) 80.
, então
C ( ) -2.
.
4
,é E ( ) 120.
é igual a D ( ) 2.
.
.
pelo polinômio
são as raízes da equação B(
C(
E ( ) 0.
5 Dados de Deus – 1º simulado ITA Questão 12. A(
)
D(
)
O conjunto solução da desigualdade .
B(
.
é igual a )
.
C(
)
E( )
Questão 13. A reta intersecta a elipse nos pontos A e B. Existe o ponto P na elipse tal que a área de PAB é vale 3. Podemos afirmar que a quantidade possível de pontos P é igual a A(
) 1.
B ( ) 2.
Questão 14.
C ( ) 3.
Seja
D ( ) 4.
E( )
.
. Então o valor máximo de
é igual a A(
)
B( )
Questão 15. Seja Seja AD perpendicular a raio, em , é igual a A(
) 3.
.
C( )
B ( ) 2.
) .
D( )
um quadrilátero com área , com lado e . Se um círculo é desenhado dentro de
C(
Questão 16. Se os ângulos e comprimentos dos lados opostos a igual a A(
.
B( )
) .
.
E( )
paralelo ao lado e . tocando todos seus lados, seu
D ( ) 1.
E( ) .
de um triângulo formam uma progressão aritmética e e respectivamente, então o valor da expressão
.
C ( ) c) .
.
D( )
.
denotam os é
E( )
.
Questão 17. No triângulo PQR isósceles, com PQ = PR = 3 cm e QR = 2 cm, a tangente à sua circunferência circunscrita no ponto Q encontra o prolongamento do lado PR em X. O valor de RX, em cm, é igual a A(
)
.
B(
Questão 18. Seja reta , tal que A(
)
.
)
.
C( ) .
um triângulo e seja , B(
)
.
D(
) .
E(
) .
o ponto no semi – plano contrário ao do vértice , gerado pela e . Então o ângulo é igual a C( )
.
5
D(
)
.
E(
)
.
6 Dados de Deus – 1º simulado ITA Questão 19. A região definida pelas curvas , , e . é o volume do sólido obtido rotacionando-se a região descrita em torno do eixo . Uma outra região é formada pelos pontos que satisfazem , e . é o volume do sólido obtido rotacionando-se esta região em torno do eixo . A relação entre e é igual a A(
)
.
B( )
.
C( )
.
D( )
.
Questão 20. A base de uma pirâmide regular é um hexágono inscrito em um círculo de a área da base é a décima parte da área lateral, então a altura da pirâmide, em , é igual a A(
)
.
B(
)
.
C( )
.
D(
)
.
E( )
.
de diâmetro. Se
E( )
.
AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE 21 A 30, DEVEM SER RESOLVIDAS E REPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES.
Questão 21.
Sabendo que
:
a) prove que
.
b) calcule Questão 22.
. Determine todos os números complexos
tais que
.
Questão 23. Um torneio é disputado por quatro times A, B, C e D. É três vezes mais provável que A vença do que B, duas vezes mais provável que B vença do que C e três vezes mais provável que C vença do que D. Quais são as probabilidades de ganhar para cada um dos times? Questão 24.
Resolva a inequação em :
Questão 25.
Sendo A, B e C matrizes inversíveis de ordem , prove que:
a)
.
.
b)
.
c)
.
Questão 26.
Resolva a equação em
: .
Questão 27. O triângulo , cujos lados medem pirâmide de vértices S, cujas faces laterais , e a) Calcule o volume da pirâmide. b) Calcule o raio da esfera inscrita na pirâmide.
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, formam diedros de
,
é base de uma com o plano da base.
7 Dados de Deus – 1º simulado ITA
Questão 28.
Mostre que
.
Questão 29. Dado um quadrado . a) Prove que
de lado unitário e um um ponto O interno a
tal que
é equilátero.
b) Calcule o comprimento de
.
Questão 30. Conforme ilustrado nas figuras abaixo, existe uma sequência de curvas , , , .... Sabe-se que a área definida por vale 1 e que é um triângulo equilátero. Obtemos de pelo seguinte procedimento: Dividimos cada lado de e construímos um trângulo equilátero externamente a cada lado de sobre o segmento do meio e depois retiramos esse segmento ( ). a) Escreva
como a área da região limitada por
b) Determine o valor de
para quando
e determine uma fórmula fechada para a mesma.
assume valores muito grandes.
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