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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica
PME-2100 - Mecânica A - Prova de Recuperação. 20/02/2002 Duração: 100 min (não é permitido o uso de calculadoras)
1a. Questão (5 pontos) - Um anel tem raio R e sua espessura h é desprezível. Na periferia do anel, no ponto C, está rigidamente fixada (soldada) uma esfera de raio desprezível, de tal forma que o baricentro G do conjunto está a uma distância R/2 do centro O. Este corpo rígido, formado pelo anel e a esfera, pode rolar sem escorregar sobre a barra AB. A barra AB, por sua vez, tem movimento de translação, deslizando r r sobre um plano horizontal. A aceleração da barra AB é constante e conhecida: a = −a i . Massa : 2m 3mR 2 São dados, para o sólido formado pelo anel e a esfera: Momento de inércia : J G z = 2
Assim, no instante mostrado na figura (neste instante a velocidade angular do anel é nula): a) Adotando a barra AB como referencial móvel, e o solo como referencial fixo, determine as acelerações relativa, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do baricentro G, em função de m, de R, r de a e da aceleração angular do sólido. b) Desenhe o diagrama de corpo livre do sólido. r c) Determine a aceleração angular do sólido em função de m, de R, e de a .
h
O R
R/2 G
r a A
C
g
r j r i
B
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Solução da 1a. questão: a)
r r Observando o sistema, verificamos que a O , r = −ω& R i . Lembrando ainda que, no instante considerado, r r ω = 0 , teremos:
Aceleração relativa: r R r r ω& R r r r r r r r r a G , r = a O , r + ω& × (G − O ) + ω × [ω × (G − O )] ⇒ a G , r = −ω& R i + ω& k × − j ⇒ a G , r = − i 2 2
( )
r r Aceleração de arrastamento: a G , a = − a i
r r Aceleração de Coriolis: a G , c = 0 (o referencial móvel tem velocidade angular nula). r r r r r ω& R r Aceleração absoluta: a G = a G , r + a G , a + a G , c ⇒ a G = − + a i 2
b) Diagrama de corpo livre:
c) TMB: ω& R 2m a G x = Fa ⇒ −2m + a = Fa 2
O
TMA: 2mg C
N
G
J G z ω& = Fa
R 2
Fa 3mR 2 ω& R R 3mR 2 mR 2 ω& = −maR ω& = −2m + a ⇒ + 2 2 2 2 2 2mR 2ω& = −maR ⇒ ω& = −
a 2R
⇒
r
ω& = −
a r k 2R
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2a. Questão (5 pontos) - O corpo rígido, mostrado na figura abaixo, é composto da placa triangular ABC, uniforme, de espessura muito pequena e massa m, e da barra cilíndrica BC, uniforme, de diâmetro muito pequeno e massa de idêntico valor, m. y
Anel em A
g
x A 18b
Articulação em C
Placa triangular
C Barra cilíndrica
24b B
Este apoio simples impede a translação do vértice B na direção do eixo y
z
DADOS: Momentos de inércia para as figuras genéricas.
Barra: J Gy
mL2 = 12
Triângulo: J Gx =
y
ma 2 18
y
x
G L
a
G
x
a/3
Pede-se: a) Determine as coordenadas do baricentro do corpo rígido. b) Desenhe o diagrama de corpo livre e determine as reações verticais dos vínculos, em A e B. c) Determine o momento de inércia do corpo rígido em relação ao eixo Cx. d) Supondo que o apoio simples em B seja subitamente retirado, e desprezando os atritos, determine o módulo da velocidade angular do corpo rígido quando BC for paralelo a Cy.
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Solução da 2a. questão: a) m.6b + m.0 ⇒ x G = 3b m+m b) Diagrama de corpo livre: Equilíbrio: xG =
yG = 0
Componente em z do momento em relação ao pólo C: M C z = 0 ⇒ Ay .18b − 2mg.3b = 0 ⇒ A y =
zG =
m.8b + m.12b ⇒ z G = 10b m+m
y
Ay
mg 3
x A
Cy
Componente em x do momento em relação ao pólo C: 5mg M C x = 0 ⇒ B y .24b − 2mg .10b = 0 ⇒ B y = 6
Cx C
Cz
Az G
2mg
3b
B
z
c) m(24b )2 m(24b )2 2 2 JC x = + m(8b ) + + m(12b ) ⇒ J C x = 288mb 2 12 1418 4424443 144424443 Placa triangular
Barra cilíndrica BC
d) TEC: E − E0 = W
Neste sistema, desprezando os atritos, apenas a força peso realiza trabalho: W = (2mg )h = (2mg )10b = 20mgb
Energia cinética (Cx é o eixo de rotação fixo do sólido): E=
By
10b
J C xω 2 2
= 144mb 2ω 2
Portanto: 144mb 2 ω 2 − 0 = 20mgb
ω2 =
20mgb 5g ⇒ω = 2 36b 144mb
